ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ"

Transcript

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων (κρυσταλλικά στερεά) και άλλα όχι, π.χ. τα γυαλιά (άμορφα στερεά). Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε με τα κρυσταλλικά μεταλλικά υλικά. Μεταλλικά υλικά είναι τα καθαρά μέταλλα και τα κράματά τους με άλλα μέταλλα ή αμέταλλα. 2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σχήμα 1: (α) Κρυσταλλική δομή, (β) Στοιχειώδες κύτταρο Κρυσταλλική δομή είναι η διάταξη ατόμων στο χώρο που παρουσιάζει τριπλή περιοδικότητα, δηλαδή υφίσταται μία δομική μονάδα που επαναλαμβάνεται στις διευθύνσεις, βλ. Σχ. 1(α). Στοιχειώδες κύτταρο είναι η δομική μονάδα, από την οποία προκύπτει η κρυσταλλική δομή, βλ. Σχ. 1(β). Στις σχηματικές παραστάσεις που αποδίδονται με την κρυσταλλική δομή ή το στοιχειώδες κύτταρο, τα άτομα τοποθετούνται ως μικρές σφαίρες στις κορυφές. Κρύσταλλος ή κρυσταλλίτης ή κόκκος (grain) είναι το τμήμα στερεού που έχει σ όλη του την έκταση την ίδια συνεχή κρυσταλλική δομή. Ανάλογα με το πλήθος των κόκκων ενός στερεού διακρίνουμε: μονοκρυστάλλους και πολυκρυσταλλικά υλικά. Τα πλείστα μεταλλικά υλικά είναι πολυκρυσταλλικά υλικά. Κρυσταλλικό πλέγμα είναι το σύνολο των άπειρων σημείων στο χώρο που διατάσσονται έτσι ώστε να αποδίδουν την κρυσταλλική δομή του κρυστάλλου, βλ. Σχ. 2. Κάθε κρυσταλλικό πλέγμα χαρακτηρίζεται από: τα διανύσματα a r, b r και c r που ονομάζονται κρυσταλλικοί άξονες ή άξονες αναφοράς του κρυστάλλου και αναφέρονται σε συγκεκριμένο σύστημα αξόνων (x, y, z) του πλέγματος, τις γωνίες ˆα, ˆβ και ˆγ των αξόνων του και το γεωμετρικό σχήμα της δομικής του μονάδας που λέγεται κυψελίδα. Κυψελίδα είναι παραλληλεπίπεδο, το οποίο περιέχει οπωσδήποτε έναν κόμβο και επαναλαμβανόμενο στις τρεις διαστάσεις αναπαράγει το κρυσταλλικό πλέγμα. 1

2 Σχήμα 2: Κρυσταλλικό πλέγμα. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ (Bravais, 1848) Με βάση τα παραπάνω κριτήρια και τη διάταξη των ατόμων στην κυψελίδα διακρίνονται 14 είδη κρυσταλλικών πλεγμάτων, τα οποία ανάλογα με τη γεωμετρία της κυψελίδας τους ταξινομούνται σε 7 κρυσταλλικά συστήματα, με χαρακτηριστικά όπως παρουσιάζονται στο Σχ.. Για τον χαρακτηρισμό των κρυσταλλικών πλεγμάτων και συστημάτων ακολουθείται η εξής ορολογία: Κυβικό: Το γεωμετρικό σχήμα κυψελίδας είναι κύβος. Τετραγωνικό: Το γεωμετρικό σχήμα κυψελίδας είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση τετράγωνο. Ορθορομβικό: Το γεωμετρικό σχήμα κυψελίδας είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση ορθογώνιο. Ρομβοεδρικό: Το γεωμετρικό σχήμα κυψελίδας είναι παραλληλεπίπεδο με όλες τις έδρες του ίσους ρόμβους. Μονοκλινές: Το γεωμετρικό σχήμα κυψελίδας είναι παραλληλεπίπεδο με τις δύο βάσεις του και το ένα ζεύγος παράλληλων εδρών ορθογώνια, ενώ το τρίτο ζεύγος παράλληλων εδρών απλά παραλληλόγραμμα. Τρικλινές: Το γεωμετρικό σχήμα κυψελίδας είναι παραλληλεπίπεδο με όλες τις έδρες του παραλληλόγραμμα. Εξαγωνικό: Το γεωμετρικό σχήμα του στοιχειώδους κυττάρου είναι ορθό κανονικό εξαγωνικό πρίσμα, η δε κυψελίδα είναι ορθό πρίσμα με βάση ρόμβο. Χωροκεντρωμένο: Περιλαμβάνει ένα άτομο στο κέντρο βάρους του στοιχειώδους κυττάρου. Εδροκεντρωμένο: Περιλαμβάνει ανά ένα άτομο στο κέντρο βάρους κάθε έδρας του στοιχειώδους κυττάρου. Βασικοκεντρωμένο: Περιλαμβάνει ανά ένα άτομο στο κέντρο βάρους των δύο βάσεων μόνο του στοιχειώδους κυττάρου. Μέγιστης πυκνότητας: Χρησιμοποιείται μόνο για το εξαγωνικό πλέγμα. Πρόκειται για βασικοκεντρωμένο πλέγμα που έχει επιπλέον άλλα άτομα στο μέσο της απόστασης (ύψος) που ενώνει τα κέντρα βάρους των απέναντι τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγωνίους των εξαγωνικών βάσεων και δεν γειτνιάζουν μεταξύ τους (πάνω στη βάση που ανήκουν). 2

3 Σχήμα : Tα 14 κρυσταλλικά πλέγματα και τα 7 κρυσταλλικά συστήματα

4 Τα πλείστα των μεταλλικών υλικών κρυσταλλώνονται στους ακόλουθους τύπους κρυσταλλικής δομής, τα χαρακτηριστικά των οποίων θα μελετηθούν λεπτομερώς στα επόμενα: Κυβικό χωροκεντρωμένο σύστημα (BCC Body-Centered Cubic). Κυβικό εδροκεντρωμένο σύστημα (FCC Face-Centered Cubic). Μέγιστης πυκνότητας εξαγωνικό σύστημα (HCP Hexagonal Closed-Packed). 4. ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ Αριθμός ατόμων (τ) του στοιχειώδους κυττάρου: Στον υπολογισμό του τ, τα άτομα κορυφής θεωρούνται ότι μετέχουν κατά το 1/8 του όγκου τους στο κυβικό σύστημα και κατά το 1/6 του όγκου τους στο εξαγωνικό σύστημα, τα άτομα στο κέντρο εδρών συμμετέχουν κατά το 1/2 του όγκου τους και τα εσωτερικά άτομα μετέχουν εξ ολοκλήρου, βλ. παραδείγματα στο Σχ. 4. Σχήμα 4: Παράδειγμα υπολογισμού του ποσοστού συμμετοχής ατόμου κορυφής ή κέντρου έδρας στο κυβικό σύστημα Ελάχιστη απόσταση (δ) μεταξύ των κέντρων δύο γειτονικών ατόμων. Σημειώνεται ότι μέσα στην κρυσταλλική δομή του μετάλλου μερικά άτομα του μετάλλου εφάπτονται μεταξύ τους, ενώ άλλα όχι. Αριθμός συνδιάταξης (CN Coordination Number): Είναι ο αριθμός των πλησιέστερων γειτονικών ατόμων σε απόσταση ίση με δ από τυχαίο άτομο αναφοράς. Αριθμός ατομικής πλήρωσης (APF Atomic Packing Factor): Είναι ο λόγος του όγκου που καταλαμβάνουν τα άτομα του στοιχειώδους κυττάρου προς τον όγκο αυτού V c. Αν είναι r η ακτίνα του ατόμου, προφανώς θα ισχύει: APF = τ 4 V πr c Πυκνά επίπεδα και πυκνές διευθύνσεις: Είναι τα πυκνότερα σε άτομα επίπεδα και διευθύνσεις της κρυσταλλικής δομής. Η σημασία τους έγκειται στο ότι έχουν σημαντική επίδραση στην πλαστική παραμόρφωση των μετάλλων, η οποία λαμβάνει χώρα κατά κανόνα με ολίσθηση κρυσταλλικών ατελειών πάνω σ αυτά τα επίπεδα και διευθύνσεις. Κενά: Είναι οι ελεύθεροι διαθέσιμοι χώροι που προκύπτουν από τη σχετική διάταξη των ατόμων μέσα στην κρυσταλλική δομή. Εκεί φιλοξενούνται ξένα μικρότερα άτομα κατά τη δημιουργία μεταλλικών στερεών διαλυμάτων. 4

5 5. ΔΕΙΚΤΕΣ MILLER-BRAVAIS ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Πρόκειται για ακέραιους αριθμούς που χρησιμεύουν στην περιγραφή του κρυσταλλικού πλέγματος. Αναφέρονται σε: κρυσταλλικά επίπεδα και οικογένειες επιπέδων κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις και οικογένειες διευθύνσεων. Η έννοια της οικογένειας αναφέρεται σε ισοδύναμες καταστάσεις, π.χ. παράλληλες έδρες ή διαγώνια επίπεδα κλπ. ανήκουν στην ίδια οικογένεια, αντίστοιχα. Οι δείκτες Miller γράφονται μέσα σε: ( ) αν συμβολίζουν επίπεδα { } αν συμβολίζουν οικογένειες επιπέδων [ ] αν συμβολίζουν διευθύνσεις < > αν συμβολίζουν οικογένειες διευθύνσεων. ΔΕΙΚΤΕΣ MILLER ΚΥΒΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (α) Διαδικασία προσδιορισμού δεικτών Miller κρυσταλλικού επιπέδου (Σχ. 5) 1. Προσδιορίζονται τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες x, y, z (αποτέμνουσες). έστω ότι είναι α 1, α 2 και α, αντίστοιχα. 2. Υπολογίζονται οι αντίστροφοι των αποτεμνουσών 1/α 1, 1/α 2, 1/α.. (α) Εάν προκύπτουν ακέραιοι αριθμοί, καθίστανται πρώτοι μεταξύ τους (διαιρώντας με το Μ.Κ.Δ. τους) και οι προκύπτοντες ακέραιοι h, k, l είναι οι δείκτες Miller του επιπέδου. (β) Εάν προκύπτουν κλάσματα, καθίστανται ομώνυμα και επαναλαμβάνεται η διαδικασία (α) για τους αριθμητές. 4. Οι δείκτες Miller που υπολογίζονται γράφονται (h k l ). Αρνητικοί ακέραιοι αναγράφονται με μπάρα, π.χ. 1= 1. (β) Διαδικασία προσδιορισμού δεικτών Miller οικογένειας επιπέδων Υπολογίζονται οι δείκτες Miller των επιπέδων σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία. Εάν οι δείκτες αυτοί είναι ίση κατ απόλυτη τιμή και ανεξάρτητα από τη σειρά εμφάνισής τους, τότε τα επίπεδα αυτά ανήκουν στην ίδια οικογένεια. Η οικογένεια παριστάνεται με μια τριάδα μη αρνητικών ακεραίων, ανεξάρτητα αν κάποια επίπεδα έχουν αρνητικούς δείκτες, αρχίζοντας από τον κατ απόλυτη τιμή μεγαλύτερο και προχωρώντας προς τον μικρότερο, όσες φορές παρουσιάζεται ο καθένας στα επίπεδα της οικογένειας. Για παράδειγμα, στο Σχ. 5 στην πρώτη οικογένεια των παράλληλων εδρών εμφανίζεται απολύτως η μονάδα μία φορά και το μηδέν δύο φορές σε κάθε επίπεδο της οικογένειας, με αποτέλεσμα οι δείκτες της οικογένειας να γραφούν {1 0 0}. Στο ίδιο Σχήμα, η οικογένεια των διαγώνιων επιπέδων του πλέγματος χαρακτηρίζεται από δείκτες που περιλαμβάνουν κατ απόλυτη τιμή δύο φορές τη μονάδα και μία φορά το μηδέν. Άρα, οι δείκτες Miller της οικογένειας θα είναι {1 1 0}. (γ) Διαδικασία προσδιορισμού δεικτών Miller κρυσταλλικής διεύθυνσης (Σχ. 6) 1. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες (προβολές στους άξονες) u, v, w διανύσματος παράλληλου προς τη συγκεκριμένη διεύθυνση, έτσι ώστε η αρχή και το πέρας του να ευρίσκονται πάνω σε έδρες της κυψελίδας. 2. (α) Εάν προκύπτουν ακέραιοι αριθμοί, καθίστανται πρώτοι μεταξύ τους και οι προκύπτοντες ακέραιοι h, k, l είναι οι δείκτες Miller της διεύθυνσης. 5

6 (β) Εάν προκύπτουν κλάσματα, καθίστανται ομώνυμα και επαναλαμβάνεται η διαδικασία (α) για τους αριθμητές.. Οι δείκτες Miller της ζητούμενης διεύθυνσης γράφονται [h k l ]. (δ) Διαδικασία προσδιορισμού δεικτών Miller οικογένειας διευθύνσεων Ακολουθείται διαδικασία ανάλογη με εκείνη της οικογένειας επιπέδων. Σχήμα 5: Δείκτες Miller κρυσταλλικών επιπέδων και οικογένειας επιπέδων στο κυβικό σύστημα Σχήμα 6: (α) Δείκτες Miller κρυσταλλογραφικών διευθύνσεων, (β) παράδειγμα οικογένειας κρυσταλλογραφικών διευθύνσεων στο κυβικό σύστημα 6

7 ΔΕΙΚΤΕΣ MILLER ΕΞΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Το εξαγωνικό σύστημα έχει 4 άξονες α 1, α 2, α και c, βλ. Σχ. 7. Άρα, καθορίζονται 4 δείκτες Miller h, k, i και l, αντίστοιχα. Οι άξονες α 1, α 2, α βρίσκονται στο επίπεδο της βάσης της εξαγωνικού πρίσματος και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες 120 ο. Λόγω αυτής της σχέσης αποδεικνύεται ότι ισχύει: h+ k = i. Οι δείκτες Miller των επιπέδων υπολογίζονται ακριβώς όπως και στο κυβικό σύστημα που παρουσιάστηκε παραπάνω. Παραδείγματα παρουσιάζονται στο Σχ. 8. Οι δείκτες Miller κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης μπορούν να παρουσιαστούν ως τετράδες [h k i l ] ή ως τριάδες [h k l ], μεταξύ των οποίων υφίστανται οι σχέσεις, βλ. Σχ. 9: 1 h 2h k = ( ), k ( 2k h ) 1 1 =, i= ( h + k ) και l = l (α) (β) Σχήμα 7: (α) Περιγραφή κατασκευής του στοιχειώδους κυττάρου του μέγιστης πυκνότητας εξαγωνικού συστήματος, (β) Σύστημα αξόνων στο εξαγωνικό σύστημα 7

8 (α) (β) Σχήμα 8: (α) Παραδείγματα υπολογισμού δεικτών Miller επιπέδων, (β) Παράδειγμα οικογένειας επιπέδων στο εξαγωνικό σύστημα Σχήμα 9: Δείκτες Miller κρυσταλλογραφικών διευθύνσεων στο εξαγωνικό σύστημα 8

9 6. ΠΛΕΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕΔΩΝ Πλεγματική απόσταση είναι η απόσταση d μεταξύ δύο παράλληλων διαδοχικών πλεγματικών επιπέδων που έχουν τους ίδιους δείκτες Miller. Για ορθογώνιο σύστημα δίνεται από τη σχέση: d hkl = h k l + + a b c όπου: h, k, l οι δείκτες Miller και a, b, c οι κρυσταλλικοί άξονες του συστήματος. Στο κυβικό σύστημα (a=b=c) η παραπάνω σχέση γράφεται: d hkl = h a k + l. Στο Σχ. 10 παρουσιάζεται η μεταβολή της πλεγματικής απόστασης d συναρτήσει των δεικτών Miller, από το οποίο προκύπτει ότι: Με αύξηση των δεικτών Miller, η πλεγματική απόσταση d μειώνεται. Με αύξηση των δεικτών Miller, η πυκνότητα των κόμβων στα επίπεδα ελαττώνεται. Σχήμα 10: Μεταβολή της απόστασης d με την αύξηση των δεικτών Miller 9

10 7. ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΚΥΒΙΚΟΥ ΧΩΡΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (Σχ. 11) Σχήμα 11: (α) Στοιχειώδες κύτταρο συστήματος bcc, (β) το ίδιο στοιχειώδες κύτταρο με τα άτομα στις πραγματικές τους διαστάσεις, (γ) Σχέση μεταξύ της πλευράς a του κύβου και της ατομικής ακτίνας r. Αριθμός ατόμων ανά στοιχειώδες κύτταρο (Σχ. 11β): Περιλαμβάνει 8 άτομα κορυφής (8 1/8) 1 και ένα κεντρικό άτομο (1 1), δηλαδή συνολικά είναι: τ = 8 + 1= 2 8 Ελάχιστη ενδοατομική απόσταση (Σχ. 11γ): Από το διαγώνιο επίπεδο του κύβου προκύπτει ότι η ελάχιστη ενδοατομική απόσταση ισούται με το μισό της διαγωνίου του κύβου. Αν είναι r η ακτίνα του ατόμου, προφανώς θα ισχύουν οι σχέσεις: a a Μήκος διαγωνίου = 4r = 2δ = a ή ισοδύναμα r = και δ= 4 2 Αριθμός συνδιάταξης (Σχ. 11α): Λαμβάνεται ίσος προς τον αριθμό των ατόμων της κρυσταλλικής δομής που ισαπέχουν απόσταση δ από οποιοδήποτε άτομο (άτομο αναφοράς) του στοιχειώδους κυττάρου. Αν επιλεγεί ως άτομο αναφοράς το κεντρικό άτομο, θα είναι: CN = 8. Αριθμός ατομικής πλήρωσης: Από τη θεώρηση του στοιχειώδους κυττάρου, προκύπτουν οι σχέσεις: V 4r c = a = = 12.2 r 4 V ατόμων =τ π r = 8.7 r Άρα: APF = V ατόμων / V c = 0.68 ή 68% Δηλαδή, τα 2% περίπου του όγκου του στοιχειώδους κυττάρου είναι κενός χώρος. Κενά (Σχ. 12): Διακρίνουμε τα ακόλουθα είδη κενών που σχηματίζονται μεταξύ των ατόμων: Οκταεδρικό κενό (Σχ. 12α), όπου η μεγαλύτερη σφαίρα ξένου ενθέτου ατόμου που μπορεί να το καταλάβει έχει ακτίνα r. Τετραεδρικό κενό (Σχ. 12β), όπου η μεγαλύτερη σφαίρα ξένου ενθέτου ατόμου που μπορεί να το καταλάβει έχει ακτίνα r. 10

11 Εάν στα κενά αυτά τοποθετηθεί άτομο μεγαλύτερης διαμέτρου, τότε τα άτομα που το περιβάλλουν θα μετατοπιστούν, βλ. Σχ. 1. Σχήμα 12: (α) Οκταεδρικό κενό σε δομή bcc, (β) Τετραεδρικό κενό σε δομή bcc Σχήμα 1: Θέσεις τετραεδρικών και οκταεδρικών κενών σε δομή bcc. Πυκνά επίπεδα και πυκνές διευθύνσεις (Σχ. 14): Διακρίνουμε: Πυκνότερα σε άτομα επίπεδα: Είναι η οικογένεια έξι (6) επιπέδων με δείκτες Miller {1 1 0}. Πυκνότερες σε άτομα διευθύνσεις: Είναι η οικογένεια οκτώ (8) διευθύνσεων με δείκτες Miller <1 1 1>. Σχήμα 14: Οι πυκνότερες σε άτομα διευθύνσεις στο σύστημα bcc 11

12 8. ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΚΥΒΙΚΟΥ ΕΔΡΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (Σχ. 15) Σχήμα 15: (α) Στοιχειώδες κύτταρο συστήματος fcc, (β) το ίδιο στοιχειώδες κύτταρο με τα άτομα στις πραγματικές τους διαστάσεις, (γ) Σχέση μεταξύ της πλευράς a του κύβου και της ατομικής ακτίνας r. Εργαζόμενοι με όμοιο τρόπο έχουμε αντίστοιχα: Αριθμός ατόμων ανά στοιχειώδες κύτταρο (Σχ. 15β): Περιλαμβάνει 8 άτομα κορυφής (8 1/8) 1 1 και 6 άτομα στα κέντρα των εδρών (6 1/2), δηλαδή συνολικά είναι: τ = = Ελάχιστη ενδοατομική απόσταση (Σχ. 15γ): Είναι προφανές ότι αυτή ισούται με το μισό της διαγωνίου της έδρας του κύβου. Αν είναι r η ακτίνα του ατόμου, προφανώς θα ισχύουν οι σχέσεις: 2a a 2 Μήκος διαγωνίου = 4r = 2δ = a 2 ή ισοδύναμα r = και δ= 4 2 Αριθμός συνδιάταξης (Σχ. 15α): Θεωρούμε τον αριθμό των ατόμων που ισαπέχουν απόσταση δ από ένα άτομο κορυφής. Δεδομένου ότι κάθε άτομο κορυφής απέχουν απόσταση δ τα άτομα του κέντρου εδρών και συγχρόνως κάθε άτομο κορυφής ανήκει σε 8 γειτονικά στοιχειώδη κύτταρα, θα είναι: CN = ( 8):2=12 Αριθμός ατομικής πλήρωσης: Από τη θεώρηση του στοιχειώδους κυττάρου, προκύπτουν οι σχέσεις: 4r Όγκος κυψελίδας: V c = a = = r 2 4 Καταλαμβανόμενος όγκος από τα άτομα: V ατόμων = τ π r = r Άρα: APF = V ατόμων / V c = 0.74 ή 74% Δηλαδή, τα 26% περίπου του όγκου του στοιχειώδους κυττάρου είναι κενός χώρος. Κενά (Σχ. 16): Είναι: Οκταεδρικό κενό (Σχ. 16α), όπου η μεγαλύτερη σφαίρα ξένου ενθέτου ατόμου που μπορεί να το καταλάβει έχει ακτίνα r. Τετραεδρικό κενό (Σχ. 16β), όπου η μεγαλύτερη σφαίρα ξένου ενθέτου ατόμου που μπορεί να το καταλάβει έχει ακτίνα r. 12

13 Πυκνά επίπεδα και πυκνές διευθύνσεις (Σχ. 17): Έχουμε Πυκνότερα σε άτομα επίπεδα: Είναι η οικογένεια τεσσάρων (4) επιπέδων με δείκτες Miller {1 1 1}. Πυκνότερες σε άτομα διευθύνσεις: Είναι η οικογένεια τριών () διευθύνσεων με δείκτες Miller <1 1 0>. Σχήμα 16: (α) Οκταεδρικό κενό σε δομή fcc, (β) Τετραεδρικό κενό σε δομή fcc Σχήμα 17: (α) Μέγιστης πυκνότητας επίπεδα και (β) Mέγιστης πυκνότητας διευθύνσεις στο σύστημα fcc 1

14 9. ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΕΞΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (Σχ. 18) Ομοίως προκύπτουν: Σχήμα 18: (α) Στοιχειώδες κύτταρο συστήματος hcp, (β) το ίδιο στοιχειώδες κύτταρο με τα άτομα στις πραγματικές τους διαστάσεις Αριθμός ατόμων ανά στοιχειώδες κύτταρο (Σχ. 18β): Περιλαμβάνει 12 άτομα κορυφής (12 1/6), 2 άτομα στα κέντρα των εδρών (2 1/2) και άτομα εξ ολοκλήρου μέσα στην κυψελίδα ( 1), 1 1 δηλαδή συνολικά είναι: τ = = Ελάχιστη ενδοατομική απόσταση (Σχ. 18α): Είναι προφανές ότι αυτή εντοπίζεται στις εξαγωνικές βάσεις και ισούται με την πλευρά a. Δηλαδή, θα ισχύουν οι σχέσεις: Μήκος διαγωνίου = 4r = 2δ = 2a ή ισοδύναμα r= a/2 και δ = a Αριθμός συνδιάταξης (Σχ. 18α): Λαμβάνεται ίσος προς τον αριθμό των ατόμων που ισαπέχουν απόσταση δ από το άτομο του κέντρου της εξαγωνικής βάσης. Εξ ορισμού στα άτομα αυτά συνυπολογίζονται και τα εσωτερικά άτομα, πράγμα που συμβαίνει μόνο για c/a=1.6 (ιδανικός τύπος της δομής hcp με την πυκνότερη δυνατή διάταξη ατόμων). Άρα, από το άτομο αναφοράς θα ισαπέχουν τα 6 άτομα της κορυφής της ίδιας έδρας τα εσωτερικά άτομα της κυψελίδας που εξετάζεται και τα αντίστοιχα άτομα της αμέσως γειτονικής κυψελίδας (με κοινή εξαγωνική βάση). Δηλαδή, συνολικά θα είναι: CN = 12. Αριθμός ατομικής πλήρωσης: Από τη θεώρηση του στοιχειώδους κυττάρου, προκύπτουν οι σχέσεις: a = 6 c = a 1.6a =.94 r 4 2 V c 2 4 V ατόμων =τ π r = r 2 Άρα: APF = V ατόμων / V c = 0.74 ή 74% Δηλαδή, τα 26% περίπου του όγκου του στοιχειώδους κυττάρου είναι κενός χώρος. 14

15 Κενά (Σχ. 19): Διακρίνουμε: Οκταεδρικό κενό (Σχ. 19α), όπου η μεγαλύτερη σφαίρα ξένου ενθέτου ατόμου που μπορεί να το καταλάβει έχει ακτίνα r. Τετραεδρικό κενό (Σχ. 19β), όπου η μεγαλύτερη σφαίρα ξένου ενθέτου ατόμου που μπορεί να το καταλάβει έχει ακτίνα r. Πυκνά επίπεδα και πυκνές διευθύνσεις (Σχ. 20): Υφίστανται Πυκνότερα σε άτομα επίπεδα: Τα δύο (2) επίπεδα των βάσεων με δείκτες Miller { }και { }. Πυκνότερες σε άτομα διευθύνσεις: Η οικογένεια τριών () διευθύνσεων με δείκτες Miller < >. Σχήμα 19: (α) Οκταεδρικό κενό σε δομή hcp, (β) Τετραεδρικό κενό σε δομή hcp Σχήμα 20: Οι πυκνότερες σε άτομα διευθύνσεις στο σύστημα hcp ΠΙΝΑΚΑΣ 1. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ BCC FCC HCP W, Mo, V, Ba, Na, Zr, Feα, Cr, K, Ta Cu, Ag, Au, Ni, Al, Pb, Pt, Feγ Mg, Ni, Ti, Zr, Be, Zn, Cd, Co 15

Καταστάσεις της ύλης. Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο.

Καταστάσεις της ύλης. Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο. Καταστάσεις της ύλης Αέρια: Παντελής απουσία τάξεως. Τα µόρια βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση σε σχεδόν κενό χώρο. Υγρά: Τάξη πολύ µικρού βαθµού και κλίµακας-ελκτικές δυνάµεις-ολίσθηση. Τα µόρια βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις

Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις 4 η σειρά διαφανειών Δημήτριος Λαμπάκης Ορισμός και ιδιότητες των μετάλλων Τα χημικά στοιχεία διακρίνονται σε μέταλλα (περίπου 70 τον αριθμό)

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις

Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Υλικά Ηλεκτρονικής & Διατάξεις 3 η σειρά διαφανειών Δημήτριος Λαμπάκης Τύποι Στερεών Βασική Ερώτηση: Πως τα άτομα διατάσσονται στο χώρο ώστε να σχηματίσουν στερεά? Τύποι Στερεών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ. Ενότητα 2: Κρυσταλλική Δομή των Μετάλλων. Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών

Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ. Ενότητα 2: Κρυσταλλική Δομή των Μετάλλων. Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ Ενότητα 2: Κρυσταλλική Δομή των Μετάλλων Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Η Δομή των Μετάλλων. Γ.Ν. Χαϊδεμενόπουλος, Καθηγητής

Η Δομή των Μετάλλων. Γ.Ν. Χαϊδεμενόπουλος, Καθηγητής Η Δομή των Μετάλλων Γ.Ν. Χαϊδεμενόπουλος, Καθηγητής Τρισδιάστατο Πλέγμα Οι κυψελίδες των 14 πλεγμάτων Bravais (1) απλό τρικλινές, (2) απλό μονοκλινές, (3) κεντροβασικό μονοκλινές, (4) απλό ορθορομβικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ

ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΥΛΙΚΑ ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ Ι 5 Δομή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Κρυσταλλικά υλικά Άμορφα υλικά Κρύσταλλος είναι ένα υλικό που παρουσιάζει τρισδιάστατη περιοδική τάξη ατόμων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ & ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ & ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνσης Συντήρησης Πολιτισμικής Κληρονομιάς ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ & ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 6 η Ενότητα ΣΤΕΡΕΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Δημήτριος Λαμπάκης Τύποι Στερεών Βασική Ερώτηση: Πως τα άτομα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης. Ενότητα 2. Βασίλειος Γιαννόπαπας

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης. Ενότητα 2. Βασίλειος Γιαννόπαπας Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης Ενότητα 2 Βασίλειος Γιαννόπαπας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΛΙΚΑ. Ενότητα 2: ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ ΛΙΤΣΑΡΔΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΤΗΜΜΥ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΛΙΚΑ. Ενότητα 2: ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ ΛΙΤΣΑΡΔΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΤΗΜΜΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Ενότητα 2: ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ ΛΙΤΣΑΡΔΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΤΗΜΜΥ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

οµή των στερεών ιάλεξη 4 η

οµή των στερεών ιάλεξη 4 η οµή των στερεών ιάλεξη 4 η Ύλη τέταρτου µαθήµατος Οι καταστάσεις της ύλης, Γιατί τις µελετάµε; Περιοδική τοποθέτηση των ατόµων, Κρυσταλλική και άµορφη δοµή, Κρυσταλλικό πλέγµα κρυσταλλική κυψελίδα, Πλέγµατα

Διαβάστε περισσότερα

H τέλεια κρυσταλλική δομή των καθαρών μετάλλων

H τέλεια κρυσταλλική δομή των καθαρών μετάλλων Κεφάλαιο 3 H τέλεια κρυσταλλική δομή των καθαρών μετάλλων Μετά από κάποια εισαγωγικά στοιχεία συζητιέται ο τρόπος δημιουργίας βασικών κρυσταλλικών δομών (SC, BCC, FCC, HCP), ως τρισδιάστατες στοιβάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κρυσταλλογραφία: επιστήμη που ασχολείται με τη περιγραφή της γεωμετρίας των κρυστάλλων και της διάταξης στο εσωτερικό τους.

Κρυσταλλογραφία: επιστήμη που ασχολείται με τη περιγραφή της γεωμετρίας των κρυστάλλων και της διάταξης στο εσωτερικό τους. I. Κρυσταλλική Δομή Κρυσταλλογραφία Κρυσταλλογραφία: επιστήμη που ασχολείται με τη περιγραφή της γεωμετρίας των κρυστάλλων και της διάταξης στο εσωτερικό τους. Η συμμετρία του κρυστάλλου επηρεάζει τις

Διαβάστε περισσότερα

2. H ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ

2. H ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ 2. H ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα μέταλλα είναι κρυσταλλικά στερεά, έχουν δηλαδή κρυσταλλική δομή, διότι η σύνταξη των ατόμων που τα αποτελούν παρουσιάζει περιοδικότητα και στις τρεις διευθύνσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Μεταλλικός δεσμός - Κρυσταλλικές δομές Ασκήσεις

Μεταλλικός δεσμός - Κρυσταλλικές δομές Ασκήσεις Μεταλλικός δεσμός - Κρυσταλλικές δομές Ασκήσεις Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις ισχύει για τους μεταλλικούς δεσμούς; α) Οι μεταλλικοί δεσμοί σχηματίζονται αποκλειστικά μεταξύ ατόμων του ίδιου είδους μετάλλου.

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΟΜΙΚΑ ΥΛΙΚΑ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΟΜΙΚΑ ΥΛΙΚΑ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΕΧΝΙΚΑ ΥΛΙΚΑ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΟΜΙΚΑ ΥΛΙΚΑ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) Ε. Βιντζηλαίου (Συντονιστής), Ε. Βουγιούκας, Ε. Μπαδογιάννης Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή εξέταση προόδου «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Νοέμβριος 2015

Γραπτή εξέταση προόδου «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Νοέμβριος 2015 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ-ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ (Καθ. Β.Ζασπάλης) ΘΕΜΑ 1 ο (15 Μονάδες) Πόσα γραμμάρια καθαρού κρυσταλλικού

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή άσκηση 01. Τα επτά συστήματα κρυστάλλωσης και κρυσταλλικές μορφές

Εργαστηριακή άσκηση 01. Τα επτά συστήματα κρυστάλλωσης και κρυσταλλικές μορφές Εργαστηριακή άσκηση 01 Τα επτά συστήματα κρυστάλλωσης και κρυσταλλικές μορφές Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης Οκτώβριος / Νοέμβριος 2004 Τι περιλαμβάνει η άσκηση Θα μάθετε τα 7 κρυσταλλογραφικά συστήματα και πως

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3. ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ Ταξινόμηση των κρυστάλλων σαν στερεά σχήματα και οι συμμετρίες Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένας κρύσταλλος ή ακριβέστερα ένας µονοκρύσταλλος, µπορεί να οριστεί µακροσκοπικά ως ένα στερεό αντικείµενο µε οµοιόµορφη χηµική σύσταση που, όπως απαντάται στη φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κρυσταλλογραφία

Κεφάλαιο 3 Κρυσταλλογραφία Κεφάλαιο 3 Κρυσταλλογραφία Σύνοψη Μελετάται ο σχηματισμός των κρυστάλλων με τα αντίστοιχα στάδια ανάπτυξης αυτών, τα κρυσταλλικά συστήματα, τα κρυσταλλικά πλέγματα, η μελέτη των κρυσταλλικών δομών μεγίστης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης

Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Βιοφυσική & Νανοτεχνολογία Εργαστηριακή Άσκηση Β3: Πειράματα περίθλασης από κρύσταλλο λυσοζύμης Ημερομηνία εκτέλεσης άσκησης... Ονοματεπώνυμα... Περίληψη Σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση με την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μοριακών Τροχιακών (ΜΟ)

Θεωρία Μοριακών Τροχιακών (ΜΟ) Θεωρία Μοριακών Τροχιακών (ΜΟ) Ετεροπυρηνικά διατομικά μόρια ή ιόντα (πολικοί δεσμοί) Το πιο ηλεκτραρνητικό στοιχείο (με ατομικά τροχιακά χαμηλότερης ενεργειακής στάθμης) συνεισφέρει περισσότερο στο δεσμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ. Ενότητα 3: Στερεά διαλύματα και ενδομεταλλικές ενώσεις. Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών

Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ. Ενότητα 3: Στερεά διαλύματα και ενδομεταλλικές ενώσεις. Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Φυσική ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΙΑ Ενότητα 3: Γρηγόρης Ν. Χαϊδεμενόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο 1.1 ΠΡΟΒΛΗ ΜΑ Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν απόσταση 1. Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκινα

Διαβάστε περισσότερα

, όπου Α, Γ, l είναι σταθερές με l > 2.

, όπου Α, Γ, l είναι σταθερές με l > 2. Φυσική Στερεάς Κατάστασης: Εισαγωγή Θέμα 1 Η ηλεκτρική χωρητικότητα ισούται με C=Q/V όπου Q το φορτίο και V η τάση. (α) Εκφράστε τις διαστάσεις του C στις βασικές διαστάσεις L,M,T,I. (β) Σφαίρα είναι φορτισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ (DISLOCATIONS )

ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ (DISLOCATIONS ) ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ (DISLOCATIONS ) 1. ΕΙΣΑΓΩΓΉ Η αντοχή και η σκληρότητα είναι μέτρα της αντίστασης ενός υλικού σε πλαστική παραμόρφωση Σε μικροσκοπική κλίμακα, πλαστική παραμόρφωση : - συνολική κίνηση μεγάλου

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θεµατικό Περιεχόµενο Μαθήµατος

Θεµατικό Περιεχόµενο Μαθήµατος Θεµατικό Περιεχόµενο Μαθήµατος 1. Κρυσταλικές δοµές Ιονική ακτίνα Ενέργεια πλέγµατος Πυκνές διατάξεις 4εδρικές 8εδρικές οπές Μέταλλα ιοντικά στερεά Πώς περιγράφεται η δοµή τους Πως προσδιορίζεται η δοµή

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΝΟΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΣΤΕΛΛΑ ΚΕΝΝΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΝΑΝΟΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΣΤΕΛΛΑ ΚΕΝΝΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΣΤΕΛΛΑ ΚΕΝΝΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ 1 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ Πλέγμα στο χώρο Πλέγμα Bravais Διάταξη σημείων στο χώρο έτσι ώστε κάθε σημείο να έχει ταύτοσημο περιβάλλον Αυτό προσδιορίζει δύο ιδιότητες των πλεγμάτων Στον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή «επί πτυχίω» εξέταση στο μάθημα «Επιστήμη & Τεχνολογία Υλικών Ι»-Ιούνιος 2017

Γραπτή «επί πτυχίω» εξέταση στο μάθημα «Επιστήμη & Τεχνολογία Υλικών Ι»-Ιούνιος 2017 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ-ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ (Καθ. Β.Ζασπάλης) Στην παραπάνω Εικόνα δίνονται οι κρυσταλλικές δομές δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή εξέταση προόδου «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Νοέμβριος 2016

Γραπτή εξέταση προόδου «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Νοέμβριος 2016 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ-ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ (Καθ. Β.Ζασπάλης) Θέμα 1: Ερωτήσεις (10 Μονάδες) (Σύντομη αιτιολόγηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

MATHematics.mousoulides.com

MATHematics.mousoulides.com ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Ενδεικτικές Επαναληπτικές Δραστηριότητες 1 1. Να χαρακτηρίσετε με ΟΡΘΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Ο κύλινδρος είναι πολύεδρο. ΟΡΘΟ /

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ

ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑ Συμμετρία και Κρυσταλλικά Συστήματα Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα Θεωρητικη αναλυση ΧΗΜΙΚΟΙ ΔΕΣΜΟΙ στα στερεα Ομοιοπολικός δεσμός Ιοντικός δεσμός Μεταλλικός δεσμός Δεσμός του υδρογόνου Δεσμός van der Waals ΔΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ Στοιβάδες Χώρος κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ

Κεφάλαιο 2 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ Κεφάλαιο ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ Προαπαιτούμενη γνώση Πλέγμα Brvis, θεμελιώδης και μοναδιαία κυψελίδα, πλεγματικά επίπεδα, δείκτες Miller, ανάστροφο πλέγμα, ζώνη Brillouin, σημειακές ομάδες χώρου. Πρόβλημα Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

7.14 Προβλήματα για εξάσκηση

7.14 Προβλήματα για εξάσκηση 7.14 Προβλήματα για εξάσκηση 7.1 Το ορυκτό οξείδιο του αλουμινίου (Corundum, Al 2 O 3 ) έχει κρυσταλλική δομή η οποία μπορεί να περιγραφεί ως HCP πλέγμα ιόντων οξυγόνου με τα ιόντα αλουμινίου να καταλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2η:Ταξινόμηση των στοιχείων-στοιχεία με ιδιαίτερο ενδιαφέρον

ΕΝΟΤΗΤΑ 2η:Ταξινόμηση των στοιχείων-στοιχεία με ιδιαίτερο ενδιαφέρον ΕΝΟΤΗΤΑ 2η:Ταξινόμηση των στοιχείων-στοιχεία με ιδιαίτερο ενδιαφέρον 1. ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Η ανάγκη της ταξινόμησης των στοιχείων Ενώ στην αρχαιότητα ήταν γνωστά γύρω στα 13 περίπου στοιχεία, τον 18o αιώνα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή εξέταση «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Σεπτέμβριος 2016

Γραπτή εξέταση «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Σεπτέμβριος 2016 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ-ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ (Καθ. Β.Ζασπάλης) ΘΕΜΑ 1 ο (30 Μονάδες) Στην εικόνα δίνονται οι επίπεδες

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική V (Σύγχρονη Φυσική) Φυσική Ακτίνων-Χ και Αλληλεπίδραση Ακτίνων-Χ και Ηλεκτρονίων με την Ύλη

Γενική Φυσική V (Σύγχρονη Φυσική) Φυσική Ακτίνων-Χ και Αλληλεπίδραση Ακτίνων-Χ και Ηλεκτρονίων με την Ύλη Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Εφαρμοσμένης Φυσικής Γενική Φυσική V (Σύγχρονη Φυσική) Φυσική Ακτίνων-Χ και Αλληλεπίδραση Ακτίνων-Χ και Ηλεκτρονίων με την Ύλη Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ

7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ 1 7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Απόλυτη τιµή ρητού: Έστω ένας ρητός αριθµός α. Η απόλυτη τιµή του αριθµού α συµβολίζεται µε α και εκφράζει την απόσταση του σηµείου µε τετµηµένη α από την αρχή Ο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΡΓΑΝΑ ΥΛΙΚΑ. Μάθημα 5ο. Δεσμοί στους κρυστάλλους Μεταλλικοί δεσμοί. Ενώσεις υδρογόνου. Ιοντικές ακτίνες. Ενδομεταλλικές ενώσεις

ΑΝΟΡΓΑΝΑ ΥΛΙΚΑ. Μάθημα 5ο. Δεσμοί στους κρυστάλλους Μεταλλικοί δεσμοί. Ενώσεις υδρογόνου. Ιοντικές ακτίνες. Ενδομεταλλικές ενώσεις ΑΝΟΡΓΑΝΑ ΥΛΙΚΑ Μάθημα 5ο Δεσμοί στους κρυστάλλους Μεταλλικοί δεσμοί. Ενώσεις υδρογόνου. Ιοντικές ακτίνες. Ενδομεταλλικές ενώσεις 1 Στο σύστημα Cu-Au το κράμα Cu 3 Au υπάρχει σε υψηλή θερμοκρασία και χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

(α ) Αποδείξτε ότι λ / σ = φ αλλά και χ / λ = φ όπου χ = σ + ψ + σ. Η χρυσή τομή φ = 1+ 5

(α ) Αποδείξτε ότι λ / σ = φ αλλά και χ / λ = φ όπου χ = σ + ψ + σ. Η χρυσή τομή φ = 1+ 5 Ασκήσεις Κεφαλαίου 1. Άσκηση 1.1 Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τέσσερα ίσα μέρη, μετά εξαιρούμε το δεύτερο και το τέταρτο, ενώ συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία επ' άπειρον στα ευθύγραμμα τμήματα που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

KEΦAΛAIO Eισαγωγή

KEΦAΛAIO Eισαγωγή ΟΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 5 KEΦAΛAIO 2 OMH TΩN YΛIKΩN 2.1 Eισαγωγή Για να εξηγηθούν και να κατανοηθούν βασικές μακροσκοπικές ιδιότητες των υλικών είναι απαραίτητο να εξεταστεί η δομή τους, δηλαδή οι δεσμοί μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Χτίζοντας τους κρυστάλλους από άτομα Είδη δεσμών Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου

4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου 4. Ομάδες Σημείου ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου o διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Τελική γραπτή εξέταση «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Ιανουάριος 2017

Τελική γραπτή εξέταση «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Ιανουάριος 2017 Τελική γραπτή εξέταση «Επιστήμη και Τεχνολογία Υλικών Ι»-Ιανουάριος 017 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ-ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΡΓΑΝΑ ΥΛΙΚΑ. Μάθημα 3ο. Συμμετρία

ΑΝΟΡΓΑΝΑ ΥΛΙΚΑ. Μάθημα 3ο. Συμμετρία ΑΝΟΡΓΑΝΑ ΥΛΙΚΑ Μάθημα 3ο Συμμετρία 1 Συμμετρία Μια κατάσταση στην οποία μέρη τα οποία ευρίσκονται σε αντίθετες μεταξύ τους θέσεις ενός επιπέδου, γραμμής ή σημείου φανερώνει διευθετήσεις οι οποίες αλληλοσυνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

To θετικό πρόσημο σημαίνει ότι το πεδίο προσφέρει την ενέργεια για τη μετακίνηση αυτή.

To θετικό πρόσημο σημαίνει ότι το πεδίο προσφέρει την ενέργεια για τη μετακίνηση αυτή. Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου, Ηλεκτρικό Δυναμικό 23.21.Δύο σημειακά φορτία q 1 =+2,4 nc q 2 =-6,5 nc βρίσκονται σε απόσταση 0,1 m το ένα από το άλλο. Το σημείο Α βρίσκεται στο μέσον της απόστασής τους και το

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΕΤΑΛΛΑ - ΚΡΑΜΑΤΑ. 2.2 Κύριοι χημικοί δεσμοί

2. ΜΕΤΑΛΛΑ - ΚΡΑΜΑΤΑ. 2.2 Κύριοι χημικοί δεσμοί 1 2. ΜΕΤΑΛΛΑ - ΚΡΑΜΑΤΑ 2.1 Γενικά Τα μικρότερα σωματίδια της ύλης, που μπορούν να βρεθούν ελεύθερα και να διατηρούν τις ιδιότητες του σώματος στο οποίο ανήκουν, λέγονται μόρια. Τα ελάχιστα σωματίδια της

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Τεχνολογίας Υλικών

Εργαστήριο Τεχνολογίας Υλικών Εργαστήριο Τεχνολογίας Υλικών Εργαστηριακή Άσκηση 02 Μεταλλογραφική Παρατήρηση Διδάσκοντες: Δρ Γεώργιος Ι. Γιαννόπουλος Δρ Θεώνη Ασημακοπούλου Δρ ΘεόδωροςΛούτας Τμήμα Μηχανολογίας ΑΤΕΙ Πατρών Πάτρα 2011

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα