Κεφάλαιο 1. Μονάδες, Φυσικές Ποσότητες και Κυματοδιανύσματα

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Μονάδες, Φυσικές Ποσότητες και Κυματοδιανύσματα

2 Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Τρεις βασικές ποσότητες στη φυσική: μέτρα, χιλιόγραμμα και δευτερόλεπτα Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία στις μετρήσεις Βαθμωτές και διανυσματικές ποσότητες διανυσματικό άθροισμα Συνιστώσες διανυσμάτων και χρήση τους για την άθροιση διανυσμάτων Μοναδιαία διανύσματα και χρήση τους Γινόμενο διανυσμάτων βαθμωτό και διανυσματικό γινόμενο

3 Πρότυπα και μονάδες Μήκος, χρόνος και μάζα είναι οι τρεις θεμελιώδεις ποσότητες της φυσικής. Το Διεθνές σύστημα ή SI είναι το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται ευρέως σήμερα. Στο σύστημα SI το μήκος μετριέται σε μέτρα, ο χρόνος σε δευτερόλεπτα και η μάζα σε χιλιόγραμμα.

4 Προθέματα μονάδων

5 Προθέματα μονάδων Ο πίνακας δείχνει κάποιες μεγαλύτερες και μικρότερες μονάδες μήκους, μάζας και χρόνου. Το Βρετανικό σύστημα μονάδων Οι βρετανικές μονάδες ορίζονται με βάση τις αντίστοιχες μονάδες στο SI ως εξής: Μήκος: 1 ίντσα= 1 in=2,54 cm. Δύναμη: 1 λίβρα-δύναμης (pond force)=4, newton

6 Συμφωνία μονάδων και μετατροπές Οι εξισώσεις πρέπει να είναι πάντοτε συνεπείς ως προς τις διαστάσεις. Δύο όροι μπορούν να προστεθούν ή να εξισωθούν μόνο αν έχουν τις ίδιες διαστάσεις. (Προσθέτουμε μήλα με μήλα όχι μήλα με αυτοκίνητα). Στους υπολογισμούς κάνουμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με τις μονάδες. Αν π.χ. η απόσταση d μετριέται σε μέτρα τότε και το γινόμενο d=υt πρέπει να εκφράζεται σε μέτρα. Παράδειγμα μετατροπής μονάδων ταχύτητας: Στις 15 Οκτωβρίου 1997 ο Andy Green με το αεριωθούμενο αυτοκίνητο Thrust SSC πέτυχε ρεκόρ επίγειας ταχύτητας 1228,0 Km/h, που αποτελεί επίσημο παγκόσμιο ρεκόρ επίγειας ταχύτητας. Εκφράστε αυτή την ταχύτητα σε m/s. 1228,0 km h = h 103 m/h = 341,11 m/s 3600 s

7 Μετατροπή μονάδων όγκου Το μεγαλύτερο επεξεργασμένο διαμάντι του κόσμου είναι το Αστέρι της Αφρικής (πάνω στο Βρετανική Βασιλικό Σκήπτρο που φυλάσσεται στον Πύργο του Λονδίνου). Έχει όγκο 1,84 κυβικές ίντσες. Ποιος είναι ο όγκος του σε κυβικά εκατοστά; Σε κυβικά μέτρα; 1,84 in 3 = 1,84 in 3 2,54 cm 3 1 in 1 cm=10-2 m και = 1,84 2,54 3 in3 cm 3 = 30,2 cm3 1 in3 30,2 cm 3 = 30,2 cm 3 1 cm 10 2 m = 30, cm3 m 3 cm 3 = 30, m 3 3

8 Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία Η αβεβαιότητα ή το σφάλμα μιας μέτρησης υποδεικνύεται με το πλήθος των σημαντικών ψηφίων στην μετρημένη τιμή. Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε αριθμούς, τα σημαντικά ψηφία του αποτελέσματος δεν είναι περισσότερα από εκείνα που έχει ο παράγοντας με το μικρότερο αριθμό σημαντικών ψηφίων. Παράδειγμα: 0,745 2,2 = 0,42 3,885 1, , = 5, Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμούς σημασία έχει η θέση της υποδιαστολής και όχι ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων. Τα ψηφία καθορίζονται από τον αριθμό με τη μικρότερη αβεβαιότητα (δηλ. τα λιγότερα ψηφία δεξιά της υποδιαστολής). Παράδειγμα: 27, ,2 11,74 = 53,6 Ένα μικρό επί τοις εκατό σφάλμα προκάλεσε το θεαματικό σφάλμα της εικόνας.

9 Παράδειγμα: Σημαντικά ψηφία στο πολλαπλασιασμό. Η ενέργεια ηρεμίας Ε ηλεκτρονίου με μάζα ηρεμίας m δίνεται από την εξίσωση ηρεμίας του Einstein E 0 = mc 2 όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Βρείτε την ενέργεια Ε 0 για ένα αντικείμενο με m=9, kg (μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου με τρία σημαντικά ψηφία). Η μονάδα της E 0 στο SI είναι το joule. 1J=1Kg.m 2 /s E 0 = 9, , m/s 2 = 9,11 2, kg. m2 = 8, kg. m 2 /s 2 Η τιμή της m έχει δοθεί με τρία σημαντικά ψηφία, επομένως μπορούμε να στρογγυλέψουμε το αποτέλεσμα σε E 0 = 8,19 kg. m2 s 2 = J s 2

10 Βαθμωτές και διανυσματικές ποσότητες Όταν μια φυσική ποσότητα περιγράφεται από έναν αριθμό ονομάζεται βαθμωτή. Μια διανυσματική ποσότητα έχει μέτρο και κατεύθυνση. Η μετατόπιση είναι ένα παράδειγμα διανυσματικής ποσότητας. Στο βιβλίο τα διανύσματα συμβολίζονται μ ένα γράμμα με παχιά πλάγια γράμματα: Α. Όταν τα γράφουμε βάζουμε πάνω στο γράμμα ένα βελάκι: Α. Το μέτρο του διανύσματος Α γράφεται ως Α ή Α.

11 Διανυσματικό άθροισμα Διανυσματικό άθροισμα ή συνισταμένη C δύο διανυσμάτων Α και Β.

12 Παράδειγμα πρόσθεσης διανυσμάτων. Μια σκιέρ διάνυσε 1,00 km βόρεια και μετά 2,00 km ανατολικά σε οριζόντια χιονοδρομική πίστα. Α) Πόσο μακριά βρέθηκε από το σημείο που ξεκίνησε και προς ποια κατεύθυνση; Β) Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της συνισταμένης των μετατοπίσεων της; 2 km Α) Τα διανύσματα σχηματίζουν ορθή γωνία. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: 1 km φ 1,00 km 2 + 2,00 km 2 = 2,24 km Η κατεύθυνση είναι η γωνία φ. tanφ = απεναντι πλευρα = 2 km = προσκειμενη πλευρα 1 km 63,4o B) Το μέτρο και η κατεύθυνση της συνισταμένης μετατόπισης είναι 2,24 km. Για την κατεύθυνση μπορούμε να πούμε αν κοιτάμε το βορρά είναι 63,4 ο ανατολικά του βορρά. Αν κοιτάμε την ανατολή θα πούμε ότι είναι 26,6 ο βόρεια της ανατολής.

13 Συνιστώσες διανυσμάτων Η πρόσθεση διανυσμάτων γραφικά, χρησιμοποιώντας διάγραμμα έχει περιορισμένη ακρίβεια και ο υπολογισμός με ορθογώνια τρίγωνα εφαρμόζεται μόνο όταν τα διανύσματα είναι κάθετα. Μια πιο γενική μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων είναι η μέθοδος των συνιστωσών. Κάθε διάνυσμα στο επίπεδο x-y μπορεί να παρασταθεί με το διανυσματικό άθροισμα των διανυσματικών συνιστωσών Α x και Α y : Α = A x + A y. Το μέτρο των συνιστωσών Α x και Α y δίνεται από τις σχέσεις: A x = Acos θ και Α y Αsin θ, όπου Α το μέτρο του διανύσματος.

14 Παράδειγμα: Πώς βρίσκουμε συνιστώσες. Α) Ποιες είναι οι συνιστώσες κατά τους άξονες x και y του διανύσματος D στο σχήμα (α); Το μέτρο του διανύσματος είναι D=3,00 m και η γωνία είναι α=45 ο. Β) Ποιες είναι οι συνιστώσες κατά τους άξονες x και y του διανύσματος E στο σχήμα (β); Το μέτρο του διανύσματος είναι Ε=4,50 m και η γωνία είναι β=37,0 ο. A) B) D x = Dcosα = 3,00 m cos 45 o = +2,1 m D y = Dsinα = 3,00 m sin 45 o = 2,1 m E x = Esinβ = 4,50 m sin37,0 o = +2,71 m E y = Ecosβ = 4,50 m cos37,0 o = +3,59 m

15 διανυσμάτων R στον z είναι: R z = A z + B z + C z +. Χρήση των Συνιστωσών για την άθροιση διανυσμάτων Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις συνιστώσες ενός διανύσματος για να βρούμε το μέτρο και την κατεύθυνση: A = A x 2 + A y 2 και tanθ = Α y A x Το διάνυσμα R είναι το διανυσματικό άθροισμα ( η συνισταμένη) των A και B. Η συνιστώσα x του διανύσματος R, ισούται με το άθροισμα των συνιστωσών x των Α και Β. Με την ίδια σχέση συνδέονται και οι συνιστώσες y: R x = A x + B x, R y = A y + B y Για μεγαλύτερο αριθμό διανυσμάτων έχουμε: Έστω R το διανυσματικό άθροισμα των A,B,C,D,E τότε οι συνιστώσες του R είναι: R A B C, R A B C x x x x y y y y Σε τρεις διαστάσεις το μέτρο ενός διανύσματος A είναι: A = A x 2 + A y 2 + A z 2. Ενώ η συνιστώσα του αθροίσματος

16 Παράδειγμα: Πρόσθεση διανυσμάτων με συνιστώσες. Τρεις παίκτες στον τελικό γύρο ενός διαγωνισμού οδηγούνται στο κέντρο μεγάλου επίπεδου γηπέδου. Δίνουν στον καθένα από ένα μέτρο, μια πυξίδα, έναν υπολογιστή τσέπης, ένα φτυάρι και τις ακόλουθες τρεις μετατοπίσεις (με διαφορετική σειρά στον καθένα): 72,4 m, 32 o ανατολικά του βορρά 57,3 m, 36 o νότια της δύσης 17,8 m ακριβώς νότια. Οι τρεις μετατοπίσεις οδηγούν στο σημείο που είναι θαμμένα τα κλειδιά μιας καινούργιας Πόρσε. Οι δύο διαγωνιζόμενοι αρχίζουν αμέσως να μετράνε, αλλά ο νικητής πρώτα υπολογίζει προς τα πού να πάει. Τι υπολογίζει; Οι γωνίες μετριούνται από τον άξονα x προς τον y: 90,0 ο -32,0 ο =58 ο, 180 ο +36,0 ο =216,0 ο, 270 ο. A x = Acosθ Α = 72,4 m cos58 o = 38,37m A y = Acosθ Β = 72,4 m sin58 o = 61,40 m Απόσταση Γωνία Συνιστώσα x Συνιστώσα y R = A=72,4 m 58,0 o 38,37 m 61,40 m B=57,3 m 216,0 o -46,36 m -33,68 m C=17,8 m 270,0 o 0,00 m -17,80 m R x =-7,99 m 7,99 m 2 + 9,92 m 2 = 12,7m R y =9,92 m θ = arctan 9,92 m 7,99 m = 129 o = 39 o δυτικά του βορρά. Επομένως ο νικητής βρίσκει την συνισταμένη R και τη γωνία θ. Οι χαμένοι προσπαθούν να μετρήσουν τρεις γωνίες και τρεις αποστάσεις.

17 Παράδειγμα: Διάνυσμα σε τρεις διαστάσεις. Ένα αεροπλάνο, αφού απογειωθεί, πετάει 10,4 km δυτικά, 8,7 km βόρεια και παίρνει ύψος 2,1 km. Πόσο μακριά βρίσκεται από το σημείο απογέιωσης; Βρίσκουμε το μέτρο της συνισταμένης: A = 10,4 km 2 + 8,7 km 2 + 2,1 km 2 = 13,7 km.

18 Μοναδιαία διανύσματα Ένα μοναδιαίο διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα, που έχει μέτρο καθαρό αριθμό ίσο με τη μονάδα. Σ ένα σύστημα συντεταγμένων x-y μπορούμε να ορίσουμε ένα μοναδιαίο διάνυσμα i που έχει την κατεύθυνση του θετικού άξονα x και ένα μοναδιαίο διάνυσμα j που έχει την κατεύθυνση του θετικού άξονα y. Έτσι οι διανυσματικές συνιστώσες A x και A y ενός διανύσματος A μπορούν να εκφραστούν ως: A x = A x i, A y = A y j και A = A x i + A y j Για δύο διανύσματα A και Β που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο A = A x i + A y j και B = B x i + B y j το διανυσματικό τους άθροισμα είναι: R = A + B = A x i + A y j + B x i + B y j = = A x + B x i + A y + B y j = R x i + R y j Αν τα διανύσματα δεν βρίσκονται όλα στο επίπεδο, χρειαζόμαστε μια τρίτη συνιστώσα στον άξονα z. R = A x + B x i + A y + B y j + A z + B z z = R x i + R y j + R z z

19 Παράδειγμα: Χρήση των μοναδιαίων διανυσμάτων. Αν δίνονται οι δύο μετατοπίσεις D = 6i + 3j k m και E = 4i 5j + 8k m Βρείτε το μέτρο της μετατόπισης F=2D-E. F = 2 6i + 3j k m 4i 5j + 8k m = 8i + 11j 10k m F = 8 m m m 2 = 17 m.

20 Γινόμενα διανυσμάτων Το βαθμωτό γινόμενο ή εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων A και B συμβολίζεται με το γινόμενο A B. Ισχύει: A B = ABcosφ = A B cosφ Το φ παίρνει τιμές από 0 ο 180 ο. a) Για να ορίσουμε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων A, B τα σχεδιάζουμε με κοινή αρχή. b) Η συνιστώσα του B στην κατεύθυνση του A είναι Bcosφ και το γινόμενο αυτής της συνιστώσας με το μέτρο του A είναι A B. c) Το γινόμενο της συνιστώσας του Α στην κατεύθυνση του Β με το μέτρο του Β είναι επίσης A B.

21 a) Όταν η γωνία φ είναι μεταξύ 0 ο -90 ο το A B είναι θετικό. b) Αν φ είναι μεταξύ 90 ο -180 ο το A B είναι αρνητικό. c) Για κάθετα διανύσματα, φ=90 ο το γινόμενο A B είναι μηδέν. Στη Φυσική για παράδειγμα το έργο W μιας σταθερής δύναμης F που εφαρμόζεται σ ένα σώμα και το μετατοπίζει σε απόσταση s, εκφράζεται με το βαθμωτό γινόμενο: W = F s. Αν γνωρίζουμε τις συνιστώσες των A και B στους τρεις άξονες μπορούμε να υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο A B. Ισχύει: i i = j j = k k = 1 1 cos0 = 1 i j = i k = j k = 1 1 cos90 o = 0

22 A B = A x i + A y j + A z k B x i + B y i + B z k = A x i B x i + A y j B x i + A z k B x i +A x i B y j + A y j B y j + A z k B y j +A x i B z k + A y j B z k + A z k B z k = A x B x + A y B y + A z B z Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β ή εξωτερικό γινόμενο συμβολίζεται με A B. Ισχύει: A B = ABsinφ

23 Ισχύει για τα μοναδιαία διανύσματα: i i = j j = k k = 0 Επίσης: i j = j i = k j k = k j = i k i = i k = j Το εξωτερικό γινόμενο A B σαν συνάρτηση των συνιστωσών τους είναι: A B = A x i + A y j + A z k B x i + B y i + B z k = A x i B x i + A x i B y j + A x i B z k +A y j B x i + A y j B y j + A y j B z k +A z k B x i + A z k B y j + A z k B z k = A y B z A z B y i + A z B x A x B z j + A x B y A y B x k A B = i j k A x A y A z B x B y B z

24 Παράδειγμα: Υπολογισμός βαθμωτού γινομένου. Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο A B των δύο διανυσμάτων στο πιο κάτω σχήμα. Τα μέτρα των δύο διανυσμάτων είναι Α=4,00 και Β=5,00. Υπάρχουν δύο τρόποι εύρεσης του βαθμωτού γινομένου: Α) A B = ABcosφ = 4,00 5,00 cos77,0 ο = 4,50 Β) πολλαπλασιάζοντας τις συνιστώσες των δύο διανυσμάτων: Τα δύο διανύσματα βρίσκοντοι στο επίπεδο x-y, επομένως: A x = 4,00 cos53,0 o = 2,407 A y = 4,00 sin53,0 o = 3,195 B x = 5,00 cos130,0 o = 3,214 B y = 5,00 cos130,0 o = 3,830 A B = A x B x + A y B y = 4,50

25 Παράδειγμα: Εύρεση γωνιών με το βαθμωτό γινόμενο. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων A = 2i + 3j + k και B = 4i + 2j k cosφ = A xb x + A y B y + A z B z AB A B = A x B x + A y B y + A z B z = = 3 A = A x 2 + A y 2 + Az 2 = = 14 B = B x 2 + B y 2 + Bz 2 = = 21 cosφ = = 0,175 φ = 100ο.

26 Παράδειγμα: Υπολογισμός διανυσματικού γινομένου. Το διάνυσμα Α έχει μέτρο 6 μονάδες κα βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα +x. Το διάνυσμα Β έχει μέτρο 4 μονάδες, βρίσκεται στο επίπεδο xy και σχηματίζει γωνία 30 ο με τον άξονα +x. Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο A B. Δύο τρόποι για την επίλυση: Α) ABsinφ = 6 4 sin30 o = 12 B) Βρίσκουμε τις συνιστώσες και επιλύουμε τον πίνακα: C = A B = i j k A x A y A z = A y B z A z B y i + A z B x A x B z j + A x B y A y B x k B x B y B z A x =6, A y =0 B x =4cos30 ο =2 3, B y =4sin30 ο =2 C x = = 0 C y = = 0 C z = = 12. Tο εξωτερικό γινόμενο έχει τη διεύθυνσή του στον άξονα z.

27 1. Πρόβλημα: Πρότυπα και μονάδες-συμφωνία μονάδων και μετατροπές. Το Φθινόπωρο του 2002, μια ομάδα επιστημόνων στο Εθνικό Εργαστήριο του Λος Άλαμος βρήκε ότι η κρίσιμη μάζα του ποσειδωνίου -237 είναι περίπου 60 kg. Η κρίσιμη μάζα ενός σχάσιμου υλικού είναι η ελάχιστη ποσότητα που πρέπει να έρθει κοντά ώστε να ξεκινήσει μια αλυσιδωτή αντίδραση. Το στοιχείο αυτό έχει πυκνότητα 19,5 g/cm 3. Ποια θα ήταν η ακτίνα μιας σφαίρας από αυτό το υλικό όταν έχει την κρίσιμη μάζα; 2. Πρόβλημα: Διανύσματα και πρόσθεση διανυσμάτων. Μια σπηλαιολόγος εξερευνά ένα σπήλαιο. Ακολουθεί στοά μήκους 180 μέτρων προς τα δυτικά, μετά διανύει 210 m σε διεύθυνση 45 ο ανατολικά του νότου και μετά 280 m σε 30 ο ανατολικά του βορρά. Μετά από μια τέταρτη μετατόπιση, που δεν τη μέτρησε, βρέθηκε πίσω στο σημείο απ όπου ξεκίνησε. Κάνετε ένα διάγραμμα υπό κλίμακα και προσδιορίστε την τέταρτη μετατόπιση, κατά μέτρο και κατεύθυνση. 3. Πρόβλημα: Διανύσματα και πρόσθεση διανυσμάτων. Κάποιος καθηγητής Φυσικής, που έχασε το δρόμο του, οδηγεί 3,25 km βόρεια, μετά 4,75 km δυτικά και τέλος 1,50 km νότια. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της συνισταμένης της μετατόπισης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των συνιστωσών. 4. Πρόβλημα: Μοναδιαία διανύσματα. Α)Είναι το διάνυσμα i + j + k μοναδιαίο διάνυσμα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας. Β) Μπορεί ένα διάνυσμα να έχει μέτρο μεγαλύτερο της μονάδας; Μπορεί κάποιες συνιστώσες του να είναι αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας σε κάθε περίπτωση. C) Αν A = a 3,0i + 4,0j, όπου η α είναι μια σταθερά, να καθορίσετε την τιμή του α που κάνει το διάνυσμα Α μοναδιαίο.

28 5. Πρόβλημα: Γινόμενα διανυσμάτων. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων για κάθε ένα από τα παρακάτω ζεύγη: Α) A = 2,00i + 6,00j και B = 2,00i 3,00j B) A = 3,00i + 5,00j και B = 10,00i + 6,00j C) A = 4,00i + 2,00j και B = 7,00i + 14,00j Για τα δύο διανύσματα της εικόνας βρείτε: α) το μέγεθος και τη διεύθυνση του εξωτερικού γινομένου A B, β) κάντε το ίδιο για το B A.

29 Ένα πλοίο φεύγει από το νησί Γκουάμ και πλέει 285 km και στις 40 ο βόρεια της δύσης. Προς τα πού πρέπει τώρα να κατευθυνθεί και πόσο μακριά πρέπει να ταξιδέψει ώστε η συνισταμένη μετατόπιση του να είναι 115 km απευθείας ανατολικά της Γκουάμ;