Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014"

Transcript

1 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα ιανύσματα ιάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που καθορίζεται από δύο σημεία Α και Β. Το σημείο Α αποτελεί την αρχή και το σημείο Β, το τέλος (ή πέρας) του διανύσματος. Αν το διάνυσμα είναι εαρμοστό, τότε η αρχή του ονομάζεται και σημείο εαρμογής του διανύσματος. Στο γραπτό λόγο, πολλές ορές αναερόμαστε σ ένα διάνυσμα γράοντας το σύμβολό του έντονα: α AB Α Β Συνήθως δε μας ενδιαέρει η αρχή και το τέλος του διανύσματος κι έτσι χρησιμοποιούμε έναν πιο απλό συμβολισμό. 4-3 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 1

2 ιεύθυνση & ορέας ιεύθυνση ενός διανύσματος ονομάζουμε κάθε ευθεία που είναι παράλληλη στο διάνυσμα. Πόσες τέτοιες ευθείες υπάρχουν? Πόσες διευθύνσεις έχει ένα διάνυσμα? Φορέας ενός διανύσματος ονομάζεται η (μοναδική) ευθεία πάνω στην οποία ανήκει το διάνυσμα. Προανώς και ο ορέας ορίζει τη διεύθυνση του διανύσματος. (ε) (ε ) 4-4 Φορά & κατεύθυνση Φορά ενός διανύσματος είναι η ορά κίνησης από την αρχή προς το τέλος του διανύσματος. Συμβολίζεται με ένα βελάκι συνήθως στο πέρας του διανύσματος. Κατεύθυνση ενός διανύσματος είναι η ορά και η διεύθυνσή του μαζί. 4-5 Μέτρο Μέτρο ενός διανύσματος ονομάζουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζει το διάνυσμα, υπό κατάλληλη κλίμακα και μονάδα μέτρησης. Συμβολισμός: ή ή AB AB Α Β 4-6 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 2

3 Μέτρο Αού το μέτρο ενός διανύσματος ορίστηκε ως μήκος ευθύγραμμου τμήματος, προανώς θα είναι ένας μη-αρνητικός αριθμός. ηλαδή για κάθε διάνυσμα θα ισχύει: Το μηδενικό διάνυσμα Αν το μέτρο ενός διανύσματος είναι ίσο με μηδέν τότε το διάνυσμα ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα. Ένα μηδενικό διάνυσμα δεν έχει καθορισμένη κατεύθυνση με αποτέλεσμα, ως διεύθυνσή του να μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε διεύθυνση, και ως ορά οποιαδήποτε ορά. Ουσιαστικά ένα τέτοιο διάνυσμα είναι (έχει εκυλιστεί σ ) ένα σημείο. 4-8 Αλγεβρική τιμή Ορίζοντας μια θετική ορά κατά τη διεύθυνση ενός διανύσματος, αποκτά έννοια η αλγεβρική τιμή του διανύσματος: Η αλγεβρική τιμή του διανύσματος είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος, αν η ορά του διανύσματος συμπίπτει με τη θετική ορά, και αντίθετη του μέτρου του αν έχει τη αντίθετη ορά., 5 (+), 2 Αλγεβρική τιμή του α : Αλγεβρική τιμή του : (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 3

4 Είδη διανυσμάτων Σχετικά με το σημείο εαρμογής τους, τα διανύσματα διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: 1. Εαρμοστά: είναι τα διανύσματα που έχουν καθορισμένο ορέα και σημείο εαρμογής. 2. Ολισθαίνοντα: είναι αυτά που έχουν καθορισμένο ορέα αλλά όχι σταθερό σημείο εαρμογής. 3. Ελεύθερα: είναι αυτά που έχουν καθορισμένη κατεύθυνση, αλλά όχι καθορισμένο ορέα και σημείο εαρμογής. Σ ό,τι ακολουθεί τα διανύσματα θα θεωρούνται ελεύθερα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μετακινήσουμε το διάνυσμα παράλληλα με τον εαυτό του (χωρίς όμως να αλλάξουμε τη ορά ή/και το μέτρο του) χωρίς να αλλάζει τίποτα. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως παράλληλη μεταορά Παράλληλη μεταορά Παρά τη μετακίνησή του, το διάνυσμα δεν έχει μεταβληθεί. Θυμηθείτε τον δείκτη του ποντικιού στην οθόνη του η/υ 4-11 Γωνία δυο διανυσμάτων Τη μικρότερη γωνία που σχηματίζουν οι ορείς δύο διανυσμάτων θα την ονομάζουμε γωνία αυτών των δύο διανυσμάτων. Για τις ανάγκες μας, τη γωνία αυτή δε θα τη θεωρούμε προσανατολισμένη.,, 4-12 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 4

5 Συγγραμμικά (παράλληλα) Συγγραμμικά ή παράλληλα λέγονται δυο διανύσματα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση. Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα α και είναι μεταξύ τους συγγραμμικά, γράουμε: Προσέξτε ότι τα παράλληλα διανύσματα σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 0 ή 180., c Ομόρροπα Ομόρροπα λέγονται δυο διανύσματα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια ορά, δηλαδή όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Γράουμε: Τα ομόρροπα διανύσματα σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 0. Προσέξτε ότι τα ομόρροπα διανύσματα είναι μεταξύ τους και συγγραμμικά, όμως τα συγγραμμικά δεν είναι και κατ ανάγκη και ομόρροπα., Αντίρροπα Αντίρροπα λέγονται δυο διανύσματα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη ορά, δηλαδή όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Γράουμε: Τα αντίρροπα διανύσματα σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία π. Προσέξτε ότι τα αντίρροπα διανύσματα είναι μεταξύ τους και συγγραμμικά, όμως τα συγγραμμικά δεν είναι και κατ ανάγκη και αντίρροπα., 4-15 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 5

6 Ίσα Ίσα ονομάζονται δύο διανύσματα όταν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα). Γράουμε Προσέξτε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι μια ισότητα διανυσμάτων και όχι μια ισότητα αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω εξίσωση περιλαμβάνει περισσότερες πληροορίες σε σχέση με μια απλή αριθμητική εξίσωση Αντίθετα Αντίθετα ονομάζονται δύο διανύσματα όταν έχουν το ίδιο μέτρο και αντίθετη κατεύθυνση (αντίρροπα). Γράουμε Προσέξτε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι μια ισότητα διανυσμάτων και όχι μια ισότητα αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω εξίσωση περιλαμβάνει περισσότερες πληροορίες σε σχέση με μια απλή αριθμητική εξίσωση Κάθετα Κάθετα λέγονται δύο διανύσματα όταν σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 90, και για να το δηλώσουμε αυτό γράουμε, (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 6

7 ιαδοχικά ιαδοχικά ονομάζονται δυο διανύσματα αν το τέλος του ενός αποτελεί την αρχή του άλλου Παρατηρήσεις 1. Ένα διάνυσμα είναι ένα αντικείμενο με αριθμητικές και γεωμετρικές ιδιότητες. Άρα ο πλήρης καθορισμός ενός διανύσματος απαιτεί καθορισμό του μέτρου του όπως επίσης και της κατεύθυνσής του (διεύθυνση και ορά). 2. Η ισότητα των μέτρων δύο διανυσμάτων δεν συνεπάγεται την ισότητα των διανυσμάτων Παρατηρήσεις 3. Η ισότητα των διανυσμάτων δεν απαιτεί τα διανύσματα να βρίσκονται στην ίδια θέση του χώρου. Άρα όλα τα διανύσματα που έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύθυνση είναι μεταξύ τους ίσα, ανεξάρτητα από το που βρίσκεται η αρχή τους. Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να μεταέρουμε ένα διάνυσμα παράλληλα προς την αρχική του κατεύθυνση, χωρίς να επηρεάζεται το διάνυσμα. Κάθε διάνυσμα μπορεί να μεταερθεί παράλληλα προς τον εαυτό του. (Υπενθυμίζεται ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα) (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 7

8 Παρατηρήσεις 4. Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση μπορούμε ένα οποιοδήποτε διάνυσμα να το μεταέρουμε παράλληλα μέχρις ότου η αρχή του να συμπέσει με την αρχή του εκάστοτε συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε. Έτσι για τον πλήρη καθορισμό του διανύσματος χρειαζόμαστε μόνο τις συντεταγμένες του πέρατός του αού πάντα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η αρχή του βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. B B A A B A A B 4-22 Παρατηρήσεις B A B A A B B A 4-23 Πρόσθεση διανυσμάτων Πρόσθεση Διανυσμάτων Γεωμετρική μέθοδος Αναλυτική μέθοδος Μέθοδος δυναμοπολυγώνου Μέθοδος παραλληλογράμμου 4-24 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 8

9 Μέθοδος δυναμοπολυγώνου Κάνοντας χρήση της παράλληλης μεταοράς τοποθετούμε τα δύο διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε έτσι ώστε να γίνουν διαδοχικά. Το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος, το τέλος του δευτέρου είναι εξ ορισμού το άθροισμα που ψάχνουμε. c c 4-25 Μέθοδος δυναμοπολυγώνου 4-26 Μέθοδος δυναμοπολυγώνου Παρατήρηση Η μέθοδος του δυναμοπολυγώνου είναι δύσχρηστη και δεν χρησιμοποιείται στις εαρμογές. Παρουσιάζει μόνο θεωρητικό ενδιαέρον για τον ορισμό και τις ιδιότητες της πρόσθεσης των διανυσμάτων καθώς και για την άμεση εποπτεία που μας προσέρει (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 9

10 Μέθοδος παραλληλογράμμου Για να προσθέσουμε δυο διανύσματα με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου, τα τοποθετούμε ώστε να έχουν κοινή αρχή, έστω το σημείο Ο που βλέπουμε. Φέροντας παράλληλα προς τα αρχικά διανύσματα, ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο (το ΟΑΒΓ). Το άθροισμα των δυο διανυσμάτων παριστάνεται από τη διαγώνιο ΟΓ. Ο Α c c Β Γ 4-28 Μέθοδος παραλληλογράμμου Η μέθοδος του παραλληλογράμμου μπορεί να γενικευτεί για περισσότερα των δυο διανυσμάτων ως εξής: v v1v2 v3 v4... v1v2v3 v4... v12 v3 v4... v12 v3v4... v v όπου v 12 είναι το διανυσματικό άθροισμα των v 1 και v 2, κλπ. Λόγω όμως της πολυπλοκότητάς της η μέθοδος χρησιμοποιείται μόνο για την περίπτωση πρόσθεσης δύο ή τριών διανυσμάτων και πολύ σπάνια για περισσότερα Ειδικές περιπτώσεις πρόσθεσης Κατά την πρόσθεση δύο διανυσμάτων παρουσιάζονται συχνά ορισμένες ειδικές περιπτώσεις τις οποίες αξίζει να τις μελετήσουμε αναλυτικά. Όπως έχουμε πει, το διάνυσμα είναι ένα αντικείμενο με αριθμητικές (μέτρο) και γεωμετρικές (κατεύθυνση) ιδιότητες. Συνεπώς, ο πλήρης καθορισμός του αθροίσματος θα πρέπει να περιλαμβάνει τον καθορισμό του μέτρου αλλά και της κατεύθυνσης του νέου διανύσματος. Αυτή η παρατήρηση δεν ισχύει μόνο στην πρόσθεση αλλά σε κάθε περίπτωση προσδιορισμού ενός διανύσματος. Τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους αυτά τα δύο διανύσματα θα τη συμβολίσουμε με (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 10

11 Ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα έχει: 1. Μέτρο: το άθροισμα των μέτρων των διανυσμάτων που προσθέτουμε. 2. Κατεύθυνση: την κατεύθυνση των διανυσμάτων που προσθέτουμε. c c c 4-31 Αντίρροπα Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα έχει: 1. Μέτρο: την απόλυτη τιμή της διαοράς των μέτρων των διανυσμάτων που προσθέτουμε. 2. Κατεύθυνση: την κατεύθυνση του διανύσματος με το μεγαλύτερο μέτρο. c c, c, c c 4-32 Συγγραμμικά Για να προσθέσουμε πολλά συγγραμμικά διανύσματα ακολουθούμε την εξής διαδικασία: 1. Ορίζουμε μια θετική ορά στη διεύθυνση των διανυσμάτων. 2. Προσθέτουμε τα διανύσματα που έχουν τη θετική ορά (ομόρροπα). 3. Προσθέτουμε τα διανύσματα που έχουν την αρνητική ορά (ομόρροπα). 4. Προσθέτουμε τα δύο αυτά διανύσματα (αντίρροπα). (+) 4-33 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 11

12 Κάθετα διανύσματα Εργαζόμαστε με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου. Το μέτρο και η κατεύθυνση του αθροίσματος προκύπτουν εύκολα από τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: 2 2 Άρα το μέτρο του αθροίσματος είναι: c 2 2 Ενώ για τη γωνία ω έχουμε: Και συνεπώς: Α Γ c ω Ο Β 4-34 Κάθετα διανύσματα Το άθροισμα κλίνει προς το διάνυσμα με το μεγαλύτερο μέτρο. Αντί για τη γωνία ω θα μπορούσαμε να βρούμε τη συμπληρωματική της Γενική περίπτωση Η γωνία που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα είναι. =0 (ομόρροπα) =180 (αντίρροπα) =90 (κάθετα) 4-36 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 12

13 Γενική περίπτωση Το μέτρο του αθροίσματος προκύπτει από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα: 2 2 c 2 ω c Ενώ η γωνία που σχηματίζει το νέο διάνυσμα με το διάνυσμα είναι: 4-37 Γενική περίπτωση Β Γ ω Ο Α Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Ορίζεται ως το γινόμενο ενός αριθμού (λ) και ενός διανύσματος (α). Το αποτέλεσμα είναι διάνυσμα (): Για την κατεύθυνση του νέου διανύσματος θα ισχύει: 0 0 Ενώ το μέτρο του θα είναι: 4-39 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 13

14 Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Αού = λ α, θα ισχύει: Προανώς, αν λ=0 ή/και α=0, θα είναι και =0. Με βάση τα προηγούμενα, η διαίρεση ενός διανύσματος μ έναν αριθμό ανάγεται στον πολλαπλασιασμό του διανύσματος με τον αντίστροο του αριθμού: Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Μοναδιαία διανύσματα Πολλές ορές, διανυσματικές ποσότητες εκράζονται συναρτήσει μοναδιαίων διανυσμάτων. Ένα μοναδιαίο διάνυσμα δεν έχει διαστάσεις και το μήκος του είναι η μονάδα. Χρησιμεύει για να ορίσει μια κατεύθυνση στο χώρο. Τα μοναδιαία διανύσματα λοιπόν δεν έχουν άλλη χρησιμότητα από το να μας διευκολύνουν στη περιγραή μιας κατεύθυνσης στο χώρο. Ένα διάνυσμα α γράεται: u ˆ Όπου û α, είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του α (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 14

15 Μοναδιαία διανύσματα εδομένου ότι 1 uˆ Καταλαβαίνουμε ότι uˆ, ύ, 0 Τονίζεται ότι το μοναδιαίο διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με τη μονάδα: uˆ u 1 Έχοντας ορίσει ένα μοναδιαίο διάνυσμα μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να εκράσουμε οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα παράλληλο προς το α. Έτσι, αν και c είναι δυο διανύσματα, ομόρροπο και αντίρροπο του α αντίστοιχα, αυτά μπορούν να γραούν ως εξής: uˆ c c cuˆ 4-43 Μοναδιαία διανύσματα z k j i Για τα τρία μοναδιαία διανύσματα που ορίζουν τις κατευθύνσεις, και z, θα ισχύει: iˆ ˆj kˆ 1 iˆ ˆj kˆ 4-44 Συνιστώσες ενός διανύσματος Ανάλυση ενός διανύσματος ονομάζουμε την εύρεση δύο (τριών για τρισδιάστατη περίπτωση) άλλων διανυσμάτων που έχουν ως άθροισμα το αρχικό διάνυσμα. Προανώς το πρόβλημα, όπως βλέπουμε και στο σχήμα δεν έχει μονοσήμαντη λύση. 1 1 ' 2 ' ' 2' 4-45 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 15

16 Συνιστώσες ενός διανύσματος Γενικά μιλώντας υπάρχει μια απειρία συνδυασμών. Η απειρία αυτή αίρεται αν απαιτήσουμε η ανάλυση να γίνει ως προς κάποιο 1 συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Έτσι για παράδειγμα η ανάλυση του α σε δύο κάθετες συνιστώσες είναι τα διανύσματα α 1 και α 2. Συνηθέστερα, τα διανύσματα αυτά τα συμβολίζουμε με α και α αντίστοιχα. 1 ' 2 ' Συνιστώσες ενός διανύσματος Τα διανύσματα α και α ονομάζονται (διανυσματικές) συνιστώσες του α (ως προς το συγκεκριμένο σύστημα αξόνων). Το διάνυσμα α αποτελεί τη συνισταμένη των α και α. Εξ ορισμού: j, i θ 4-47 Συνιστώσες ενός διανύσματος Από τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται έχουμε: όπου οι αριθμητικές ποσότητες α και α ονομάζονται (βαθμωτές) συνιστώσες του α και μπορούν να πάρουν και θετικές τιμές και αρνητικές (υσικά και μηδέν). j i θ 4-48 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 16

17 Συνιστώσες ενός διανύσματος Οι αντίστροες των προηγούμενων σχέσεων γράονται: 2 2 j i θ 4-49 Συνιστώσες ενός διανύσματος 2 2 Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν τις δύο όψεις του ίδιου νομίσματος. Μετά την ανάλυση ενός διανύσματος στις συνιστώσες του, οι ίδιες οι συνιστώσες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ορίσουν το διάνυσμα. j i θ Αντί των δύο αριθμών α (μέτρο του διανύσματος) και θ (κατεύθυνση), έχουμε τώρα τους αριθμούς α και α Συνιστώσες ενός διανύσματος Με βάση τα μοναδιαία διανύσματα, οι διανυσματικές συνιστώσες του α γράονται: i j j Με αποτέλεσμα να έχουμε: i j i θ 4-51 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 17

18 Πρόσθεση αναλυτική μέθοδος Έστω c το άθροισμα των α και : c Σ ένα δοσμένο σύστημα συντεταγμένων, δυο διανύσματα όπως τα c και α+ μπορούν να είναι ίσα μόνο αν οι αντίστοιχες συνιστώσες τους είναι ίσες: c c Υπολογίζοντας τις συνιστώσες c και c μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο και την κατεύθυνση του c: 2 2 c c c c c 4-52 Πρόσθεση αναλυτική μέθοδος Έχουμε λοιπόν τον ακόλουθο αναλυτικό κανόνα για την πρόσθεση διανυσμάτων: 1. ιαλέγουμε ένα (βολικό) σύστημα συντεταγμένων 2. Αναλύουμε όλα τα διανύσματα στις και συνιστώσες τους 3. Βρίσκουμε τις συνιστώσες του αθροίσματος (δηλ. το άθροισμα των συνιστωσών) ξεχωριστά για την κατεύθυνση και. 4. Υπολογίζουμε το μέτρο και την κατεύθυνση του αθροίσματος Παράδειγμα Έστω τρία διανύσματα α 1, α 2, α 3 τα μέτρα των οποίων είναι αντίστοιχα: α 1 = 300, α 2 = 100 και α 3 = Οι κατευθύνσεις τους είναι αυτές που αίνονται στο σχήμα. α 1 Επίσης δίνονται οι γωνίες = 60 και θ = 30. α 3 α 2 θ Ζητείται να βρεθεί το άθροισμα α = α 1 + α 2 + α (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 18

19 Παράδειγμα Το σύστημα αξόνων δεν χρειάζεται να το αλλάξουμε αού προανώς είναι η πιο βολική επιλογή. Αναλύουμε όσα διανύσματα δεν βρίσκονται πάνω στους άξονες. α 3 α 1 θ α Παράδειγμα Πρώτα το α 1 : ,8 1 2 α 1 α 1 α 2 θ α 1 α Παράδειγμα Πρώτα το α 1 : ,8 1 2 α 1...μετά το α 2 : , α 2 α 2 α 2 θ α 1 α (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 19

20 Παράδειγμα Πρώτα το α 1 : , μετά το α 2 : Το α 3 βρίσκεται πάνω στον άξονα και συνεπώς δε χρειάζεται ανάλυση α , α 2 α 2 α 3 α Παράδειγμα Βρίσκουμε τις συνιστώσες του αθροίσματος (θεωρώντας θετικές ορές, τις ορές των αξόνων): α 1 στον άξονα : α ,6 α 2 α 1 α Παράδειγμα Βρίσκουμε τις συνιστώσες του αθροίσματος (θεωρώντας θετικές ορές, τις ορές των αξόνων): α 1 στον άξονα : ,6 α 2 α...στον άξονα : α (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 20

21 Παράδειγμα Το μέτρο του αθροίσματος είναι: , ,8 Ενώ το διάνυσμα σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα τέτοια ώστε ω α 50 tn 0, ,93 α α 4-61 Ααίρεση διανυσμάτων Η διαορά c δύο διανυσμάτων α και ορίζεται ως το διάνυσμα για το οποίο ισχύει: c Για τον υπολογισμό του διανύσματος μπορούμε να ακολουθήσουμε είτε την αναλυτική είτε τη γεωμετρική μέθοδο. Κατά την αναλυτική μέθοδο, ακολουθούμε τη διαδικασία που περιγράηκε, μόνο που τώρα οι αντίστοιχες σχέσεις περιέχουν τη διαορά των συνιστωσών και όχι το άθροισμα: c c 4-62 Ααίρεση διανυσμάτων Κατά τη γεωμετρική μέθοδο, η ααίρεση c= α- ανάγεται σε δύο βήματα 1. Υπολογίζουμε το αντίθετο του, δηλαδή βρίσκουμε το -, το οποίο υπενθυμίζεται ότι έχει το ίδιο μέτρο αλλά την αντίθετη κατεύθυνση, και 2. προσθέτουμε στο α το -, δηλαδή: c = α = α + (-) - 1 ω c α α 4-63 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 21

22 Ααίρεση διανυσμάτων Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι τα διανύσματα και έχουν το ίδιο μέτρο: = - =, θα έχουμε: 2 2 c 21 ενώ ω c α α 4-64 Ααίρεση διανυσμάτων εδομένου ότι Και επειδή ισχύουν οι σχέσεις Θα έχουμε τελικά: c 2 1 ω c α α 4-65 Πολλαπλασιασμός με διανύσματα Επειδή τα διανύσματα έχουν μέτρο και κατεύθυνση, ο διανυσματικός πολλαπλασιασμός (όπως άλλωστε και η πρόσθεση) δεν μπορεί να ακολουθεί ακριβώς τους ίδιους κανόνες με τον πολλαπλασιασμό βαθμωτών μεγεθών. Για τον πολλαπλασιασμό διανυσμάτων πρέπει να καθιερωθούν νέοι κανόνες (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 22

23 Πολλαπλασιασμός με διανύσματα Είναι χρήσιμο να ορίσουμε για τα διανύσματα τρία είδη πολλαπλασιασμού: 1. Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό (βαθμωτός πολλαπλασιασμός). 2. Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων άλλα με τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να είναι αριθμός (εσωτερικό γινόμενο). 3. Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων άλλα με τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να είναι διάνυσμα (εξωτερικό γινόμενο). Υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις αλλά εμάς δε θα μας απασχολήσουν. Επίσης, για το πρώτο είδος πολλαπλασιασμού έχουμε ήδη αναερθεί. Για καθαρά πρακτικούς λόγους θα χρησιμοποιήσουμε τρεις διαστάσεις και όχι δύο Εσωτερικό γινόμενο Έστω δύο διανύσματα α, και η μεταξύ τους γωνία. Το εσωτερικό (ή αριθμητικό) γινόμενό τους, που συμβολίζεται με α, είναι ένας αριθμός που ορίζεται ως εξής: Χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες των διανυσμάτων μπορούμε να γράψουμε το εσωτερικό γινόμενο και ως z z 4-68 Εσωτερικό γινόμενο Σημειώστε ότι το εσωτερικό γινόμενο κάθετων μεταξύ τους διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν: 0 το εσωτερικό ενός διανύσματος με τον εαυτό του μας δίνει το τετράγωνο του μέτρου του: ή γραμμένο διαορετικά: z 4-69 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 23

24 Εσωτερικό γινόμενο Όπως μπορούμε να δούμε το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να θεωρείται σαν το γινόμενο του μέτρου του ενός διανύσματος και της συνιστώσας του άλλου διανύσματος στη διεύθυνση του πρώτου. συν α ασυν 4-70 Εξωτερικό γινόμενο Έστω δύο διανύσματα α, και η μεταξύ τους γωνία. Το εξωτερικό γινόμενό τους, είναι ένα διάνυσμα που συμβολίζεται ως εξής: c z c α Το νέο διάνυσμα έχει διεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο που ορίζουν τα α και Εξωτερικό γινόμενο Ένας τρόπος για να βρούμε τη ορά του c είναι ο εξής: Θεωρούμε έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο των α και που να περνάει από την κοινή αρχή τους. z Στρίβουμε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού γύρω απ αυτόν τον άξονα και σπρώχνουμε με τα δάχτυλα από το α προς το μέσω της μικρότερης μεταξύ τους γωνίας, κρατώντας τον αντίχειρα όρθιο. c α Η ορά του όρθιου αντίχειρα δίνει τη ορά του c (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 24

25 Εξωτερικό γινόμενο Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι c c Για το εξωτερικό γινόμενο δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, κι έτσι η σειρά των παραγόντων είναι σημαντική: Επίσης, αν τα δύο διανύσματα είναι παράλληλα (ομόρροπα ή αντίρροπα, = 0 ή = 180 αντίστοιχα), τότε επειδή ημ = 0, θα είναι και c = 0 άρα και c = Εξωτερικό γινόμενο Ο αλγεβρικός ορισμός του εξωτερικού γινομένου με τη βοήθεια των συνιστωσών των διανυσμάτων δίνεται από τις διπλανές σχέσεις: ή μέσω της διπλανής συμβολικής ορίζουσας: c z z c z z c z iˆ ˆj kˆ c z z 4-74 Ιδιότητες διανυσματικών πράξεων θα αναέρουμε τις σημαντικότερες από τις ιδιότητες που παρουσιάζουν οι διανυσματικές πράξεις. Σ όλα τα παρακάτω, τα σύμβολα α,, c θα παριστάνουν τυχαία διανύσματα. Με (α, α, α z ) παριστάνεται το διάνυσμα α με τη βοήθεια των συνιστωσών του, ομοίως και τα, c. Επίσης, τα λ και μ παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 25

26 Ιδιότητες βαθμωτού πολ/σμού ,, z Ιδιότητες πρόσθεσης - ααίρεσης c c 0,, z z 4-77 Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου 0 c c c cc z z cos z z 4-78 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 26

27 Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου 0 c cc 4-79 Βοηθητικοί ορισμοί ισεξωτερικό γινόμενο: Μικτό γινόμενο: c c c c c c c c c c z z c c c z 4-80 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 27

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Παρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με

Παρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με 2. Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων Έστω και δυο μη μηδενικά διανύσματα. Για να τα προσθέσουμε κάνουμε τα εξής: Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο του χώρου και γράφουμε το διάνυσμα συνέχεια με αρχή το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά).

Διανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά). Διανύσματα Βαθμωτή Ποσότητα: αυτή που μπορεί να οριστεί πλήρως με έναν αριθμό και μια μονάδα. Ο αριθμός και η μονάδα συνιστούν το μέτρο της βαθμωτής ποσότητας. Διάνυσμα: είναι η ποσότητα που έχει (α) μέτρο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

( AB) + ( BC) = ( AC).

( AB) + ( BC) = ( AC). ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 3 Προβολή, εσωτερικό γινόμενο Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Σεπ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-3 Σεπ 2014 1 / 12 Άξονας, αλγεβρική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

n, C n, διανύσματα στο χώρο Εισαγωγή

n, C n, διανύσματα στο χώρο Εισαγωγή Θα περιοριστούμε σε διανύσματα των οποίων τα στοιχεία προέρχονται από τον χώρο και τον C, χωρίς καμία δυσκολία όμως μπορούν να αναχθούν σε οποιοδήποτε χώρο K Το πρώτο διάνυσμα: Τέρματα που έχουν πέτυχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: 1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις 1 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο Αριστείδης Δοκουμετζίδης Ύλη Διανύσματα Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα Διαφορικές εξισώσεις ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μία φυσική ποσότητα μπορεί να αναπαρίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη

ΦΥΣΙΚΗ. Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη ΦΥΣΙΚΗ Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη Μέσα από το πείραμα ψάχνουμε κανονικότητες και αρχές (θεωρίες, νόμοι) ΕρώτημαΠείραμαΑποτέλεσμαΘεωρία Νόμος Φυσική 1 ΦΥΣΙΚΗ Η Φυσική χρησιμοποιεί μοντέλα Απλοποιημένη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις

Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις Σχέσεις Σύνθεση Ισορροπία Ίσες Δυνάμεις Δυο δυνάμεις F 1 και F 2 είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο. F = F Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη

ΦΥΣΙΚΗ. Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη ΦΥΣΙΚΗ Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη Μέσα από το πείραμα ψάχνουμε κανονικότητες και αρχές (θεωρίες, νόμοι) ΕρώτημαΠείραμαΑποτέλεσμαΘεωρία Νόμος Φυσική 1 ΦΥΣΙΚΗ Φυσική 2 ΦΥΣΙΚΗ Η Φυσική χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Α Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Α Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή διαφορετικών μεταξύ τους αντικειμένων. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Για

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = α, Α = β. α) Το διάνυσµα ΑΓ ισούται µε Α. α - β Β. β - α Γ.. α + β Ε. α - β α + β β) Το διάνυσµα Β ισούται µε α + β Α. α + β Β. β -

Διαβάστε περισσότερα

ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Από την θεωρία της Τριγωνοµετρίας είναι γνωστοί δύο νόµοι: ο νόµος του ηµιτόνων και ο νόµος του συνηµιτόνων, οι οποίοι ισχύουν για τυχαίο τρίγωνο. Έστω ένα τυχαίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Βισκαδουράκης Βασίλειος Γαβαλάς Δημήτριος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ

1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ 1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΔΥΝΑΜΗ Τις δυνάμεις τις διακρίνουμε βασικά με δύο τρόπους: Συντηρητικές Μη συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους, C, διανύσματα στο χώρο (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ Παρακάτω α αναέρουμε τον τρόπο που ακουούμε σε κάε άσκηση για να υπογίσουμε τη συνική δύναμη που ενεργεί σε ένα σώμα ή να αναλύσουμε τις διάορες δυνάμεις σε άλλες. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα