Εργαστήριο Φυσικοχημείας Ι ΧΗΜ-311

Transcript

1 Τµήµα Χηµείας Πανεπιστήµιο Κρήτης Εργαστήριο Φσικοχημείας Ι ΧΗΜ-3 Γ εξάμηνο 0-3 Ιδανικά αέρια Κινητική Θεωρία των Αερίων Εργαστηριακή άσκηση Α6

2 Άσκηση Α6 : Κατανοµή Ταχτήτων κατα Mawell Αντικείµενο Μελέτη κατανοµής ταχτήτων και ενεργειών σε ιδανικό αέριο προσοµοίωση Πειραµατική διάταξη Μετρήσεις Προσοµοίωση ιδανικού αερίο µε µικρά άλινα σφαιρίδια had sphees Προσδιορισµός πληθσµιακών κατανοµών ταχύτητας Θεωρητικό πόβαθρο Κινητική θεωρία αερίων Κατανοµή ταχτήτων και ενεργειών σε ιδανικό αέριο Mawell-oltzann Στατιστική θερµοδναµική Βιβλιογραφία : AtΦΧ Φσικοχηµεία, Τόµος Ι P.W. Atins, Κεφ. AtΦΧ Φσικοχηµεία, Τόµος ΙΙ P.W. Atins, Κεφ., 4.3,4 AtΦΧ3 Φσικοχηµεία, Τόµος ΙIΙ P.W. Atins, Κεφ. 6 ΕG Γενική Χηµεία Ebbing, Gaon, Κεφ. 5 ΕR Physical Cheisty, Κεφ. 9, 33

3 Ιδανικά τέλεια αέρια Ορισµός ιδανικού αερίο pv nr ή pv R Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων U Θεµελιώδης εξίσωση ιδανικού αερίο R 8.34 JK - ol - N A R lit at K - ole - V.44 litol - SP Χαρακτηριστικά ιδανικού αερίο Σωµάτια µόρια τέλειες σφαίρες σηµεία Ελαστικές κρούσεις µεταξύ µορίων και µε τοιχώµατα δοχείο Ε ΚΙΝ σταθ. Όγκος µορίων αµελητέος σε σχέση µε δοχείο

4 Ιδανικά αέρια Νόμος το oyle pvσταθ. Νόμος Gay-Lussac V ~, pσταθ. P ~, Vσταθ. Υπόθεση Avogado V ~ n, p, σταθ. P.W. Atins, J. de Paula, Physical Cheisty pv nr ή pv R Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων

5 Αποκλίσεις από την ιδανική σµπεριφορά πραγµατικά αέρια Πραγµατικά αέρια Χαρακτηριστικά πραγµατικού αερίο Σωµάτια µόρια έχον σχήµα και είναι σµπιεστά Ελκτικές ή/και απωστικές δνάµεις µεταξύ µορίων σνάρτηση απόστασης Όγκος µορίων πεπερασµένος pv ZRΤ Z : παράγοντας σµπιεστότητας Το Ζ είναι µέτρο των ΙΑΜΟΡΙΑΚΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ Ζ > Απωστικές δνάµεις σνήθως για ψηλές τιµές p Z< Ελκτικές δνάµεις σνήθως για χαµηλές τιµές p Για iδανικό αέριο : Ζ και dz/dp 0 Θερμοκρασία oyle P.W. Atins, J. de Paula, Physical Cheisty

6 Πραγµατικά αέρια pv pv Z pp ' + R + p R + V C' p Επίσης Β ΒΤ + C p C + V +... ' Αν Τ Τ Βoyle τότε : 0 και το αέριο VdW σµπεριφέρεται ιδανικά o p P.W. Atins, J. de Paula, Physical Cheisty Καταστατικές εξισώσεις Viial Το αέριο προσεγγίζει ιδανική σµπεριφορά όταν: P 0 ή V 0 Οι σντελεστές Viial σχετίζονται µε το δναµικό µοριακών αλληλεπιδράσεων U ναµικό Lennad-Jones σ U 4ε 6 σ

7 Πραγµατικά αέρια a p + V b V R Καταστατική εξίσωση Van de Waals V a b : Διορθωτικός παράγοντας για τον όγκο πο καταλαμβάνον τα μόρια το αερίο b : χαρακτηριστικό το μεγέθος Διορθωτικός παράγοντας για τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μορίων α : χαρακτηριστικό μοριακής δομής CO oyle?? Άσκηση Να παρασταθεί γραφικά η καµπύλη Van de Waals για τα αέρια : He, A, N, CO, µε βάση τις τιµές των σταθερών το Πίνακα.3 Φσικοχηµεία Ι Atins,ΠΕΚ P.W. Atins, J. de Paula, Physical Cheisty

8 Πραγµατικά αέρια Άσκηση Να παρασταθεί γραφικά η καµπύλη Van de Waals για τα αέρια : He, A, N, CO, µε βάση τις τιµές των σταθερών το Πίνακα.3 Φσικοχηµεία Ι Atins, ΠΕΚ CO P.W. Atins, J. de Paula, Physical Cheisty

9 a p + V b V P V V P R V b R V b R a + 3 V 3 6a V τ Πραγµατικά αέρια Καταστατική εξίσωση Van de Waals V c 3b a p c 7b 8a c 7Rb Z π c pcv R c c 3 8 8τ 3 3ϕ ϕ CO P.W. Atins, J. de Paula, Physical Cheisty

10 Πραγµατικά αέρια Άσκηση Να παρασταθεί γραφικά η καµπύλη Van de Waals για τα αέρια : He, A, N, CO, µε βάση τις τιµές των κρίσιµων σταθερών πο δίνονται στον Πίνακα. CO P.W. Atins, J. de Paula, Physical Cheisty

11 Κινητική Θεωρία των Αερίων Η κινητική θεωρία περιιγράφει σε µικροσκοπικό επίπεδο την κίνηση ατόµων/µορίων αερίο και παρέχει πληροφορίες για την κατανοµή ταχτήτων και την πίεση. Χρησιµοποιείται για την περιγραφή και κατανόηση χηµικών αντιδράσεων στην αέρια φάση καθώς και φαινοµένων µεταφοράς µάζας, ενέργειας. Βασικά χαρακτηριστικά το µοντέλο Ενα αέριο αποτελείται από πολύ µεγάλο αριθµό πολύ µικρών σωµατιδίων άτοµα ή µόρια πο θεωρούνται τέλειες σφαίρες had sphees µάζας και διαµέτρο d. Έστω λ : µέση ελεύθερη διαδροµή Τότε ισχύει : λ >> d Η ενέργεια το σστήµατος είναι αποκλειστικώς κινητική αγνοούνται εσωτερικοί βαθµοί ελεθερίας. 3 Η κίνηση είναι διαρκής και τχαία. Τα µόρια το αερίο κινούνται σε εθύγραµµη τροχιά αποσία δύναµης και η κίνησή τος περιγράφεται από τος νόµος το Νεύτωνα κλασσική µηχανική * 4 Υφίστανται ελαστικές σγκρούσεις µε άλλα µόρια και οι µεταξύ τος αλληλεπιδράσεις είναι µόνο µεταφορικής ενέργειας. * Ε<< Β Τ

12 Πιθανότητες ΣΥΛΛΟΓΗ Σύνολο αντικειµένων µε µετρήσιµες ιδιότητες µεταβλητές / vaiables π.χ.: άτοµα, µόρια // ταχύτητα, κιν. ενέργεια ιακριτές µεταβλητές Το σύνολο τιµών της ιδιότητας είναι πεπερασµένος αριθµός εντός το δειγµατικού χώρο saple space. Σνεχείς µεταβλητές Άπειρες επιτρεπτές τιµές για τη µεταβλητή εντός το πεδίο τιµών το οποίο οριοθετείται από τις ακρότατες τιµές της µεταβλητής

13 Πιθανότητες ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ διακριτή µεταβλητή Έστω διακριτή µεταβλητή S πο λαµβάνει τιµές {s, s, s 3,, s i, s n } Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ η µεταβλητή S να λάβει την τιµή s i είναι : N s N s P i i n s P s P s P s P Ισχύει : Μέση τιµή ean value, aveage : Απόκλιση ιασπορά : Στατιστικό σφάλµα : n i i i s P s P s P s P n i i s i P s S S S s s i i δ S S S δ S RMS oot ean squae

14 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ σνεχής µεταβλητή Έστω σνεχής µεταβλητή X πο λαµβάνει τιµές : a < i < b ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ η µεταβλητή X να λάβει την τιµή i + d i : Η σνάρτηση ονοµάζεται πκνότητα πιθανότητας. Ισχύει : b d a Μέση τιµή ean value : X b a d Πιθανότητες P i i d Απόκλιση ιασπορά : Στατιστικό σφάλµα : δ i δx i X X X

15 Πιθανότητες Σνάρτηση Gauss κανονική κατανοµή Ψ ep o π σ

16 Κατανοµή Ενέργειας κατα oltzann Η κατανοµή oltzann περιγράφει την πληθσµιακή κατάληψη ενεργειακών επιπέδων σε σύστηµα σωµατιδίων, πο ερίσκονται σε θερµική ισορροπία, ως σνάρτηση της ενέργειας των επιπέδων Ε, Ε,...Ε i,... και της θερµοκρασίας,. g i : εκφλισµός ενεργειακού επιπέδο N N E i Ο παρονοµαστής το κλάσµατος ονοµάζεται σνάρτηση επιµερισµού το σστήµατος και περικλείει την ΠΛΗΡΗ στατιστική πληροφορία για το σύστηµα. Αποτελεί το κεντρικό στοιχείο της Στατιστικής Μηχανικής. i i g i g e i e E i

17 Κατανοµή ταχτήτων κατά Mawell,, z y z y Η πιθανότητα ένα σωματίδιο να έχει διανσματική ταχύτητα velocity v ωςv+dv ή : v +dv, v y +dv y, v z +dv z είναι ανάλογη το εύρος το πεδίο τιμών ταχτήτων και της τιμής της ταχύτητας. Ανεξαρτησία κίνησης στος 3 άξονες,, z z y y ep ep ep ep,, K K z y z y Αντιστοίχηση ταχύτητας κινητικής ενέργειας Κατανοµή ταχύτητας ~ Κατανοµή ενέργειας oltzann

18 Κατανοµή ταχτήτων κατά Mawell /3 /3 ep + + K d K d π Πιθανότητα ένα σωματίδιο να έχει ταχύτητα στηδιεύθνση, μεταξύ v και v +dv, ep /3 K Σύνολο πιθανότητας 3/ /3 /3 ep K K d K π π ep / π ep 3/ π Να εκφράσετε το Κ ώς σνάρτηση της πιό πιθανής ταχύτητας p. Πώς ερμηνεύετε το γεγονός οτι ο «σντελεστής αναλογίας» Κ εξαρτάται από την ταχύτητα?

19 Κατανοµή ταχτήτων κατά Mawell ϕ θ θ d d d d d d d d z y sin Πιθανότητα ένα σωματίδιο να έχει ταχύτητα speed με μέτρο v ως v+dv, ανεξαρτήτως διεύθνσης ep 4 3/ π π ϕ θ θ d d d sin Κατανοµή Mawell -Να κάνετε γραφική παράσταση της κατανομής Mawellγια το Ne και το Aσε θερμοκρασία Τ 00 Κ, 500 Κ και 500 Κ.

20 Κατανοµή ταχτήτων κατά Mawell R M e R M / 3/ 4 π π e / 3/ 4 π π

21 Κατανοµή ταχτήτων κατά Mawell p 8 π R M 8R πm 3 3 R M -Να προσδιορίσετε τις παραπάνω ποσότητες στον αέρα για P at, 98 K. -Να σγκρίνετε τις τιμές με την ταχύτητα το ήχο στον αέρα.

22 Μέση ελεύθερη διαδροµή όµοια σωµατίδια Ενεργός διατομή κρόσης Σχνότητα κρούσεων σωματιδίο z s σp Μέση ελεύθερη διαδρομή λ z - Ποιά σχέση παρέχει τη μέση τιμή το χρόνο μεταξύ κρούσεων? collision tie -Να προσδιορίσετε τη σχνότητα κρούσεων για το N σε P atκαι Τ98 Κ. - Να πολογίσετε το σνολικό αριθμό κρούσεων ανα μονάδα όγκο σε ιδανικό αέριο. Τ σp

23 Μέση ελεύθερη διαδροµή διαφορετικά σωµατίδια Μείγµα αερίων Α και Β, σε µερικές πιέσεις P A, P Ενεργός διατοµή κρούσης : σ πr A +R Μέση ταχύτητα : A 8 πµ µ ανηγµένη µάζα µ A A + Σχνότητα κρούσεων : z A s P P A σ A A Παρατήρηση : A > -Να προσδιορίσετε πώς μεταβάλλεται η μέση ταχύτητα, ΑΒ, όταν Α Β. Τι παρατηρείτε? - Να πολογίσετε τη μέση ελέθερη διαδρομή στο A, P0,00 at, 98K

24 P F A A Προσδιορισµός πίεσης ιδανικού αερίο Η πίεση σε δοχείο, πο περιέχει ιδανικό αέριο προσδιορίζεται από τη δύναμη πο ασκεί το αέριο μέσω των κρούσεων στα τοιχώματα το δοχείο. Πίεση P : dp dt p p N N olecule N A t V p N F F A P t V A Καταστατική εξίσωση ιδανικού αερίο P F : δύναµη Α : επιφάνεια τοιχώµατος p : ορµή N V N V Μεταβολή ορµής κατα την κρούση ενός σωµατιδίο στο τοίχωµα Αριθµός σωµατιδίων πο σε χρόνο t προσκρούον στο τοίχωµα 3 Α

25 Ισοκατανοµή ενέργειας µεταξύ βαθµών ελεθερίας ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΚΙΝΗΣΗΣ οι ανεξάρτητες μεταβλητές πο απαιτούνται για την περιγραφή της κίνησης ενός μορίο στο χώρο Β.Ε. 3Ν Ν: ο αριθμός ατόμων το μορίο A N > 3β.ε. CO N > 6 β.ε. HCN N3 > 9 β.ε. Μεταφορικοί βαθμοί ελεθερίας tans: 3 3 κατεθύνσεις u X, u Y, u Z Περιστροφικοί βαθμοί ελεθερίας ot : ή 3 μεταβλητές για γραμμικά μόρια π.χ. HCl, CO, HCN 3μεταβλητές για μη γραμμικά μόρια π.χ. H Ο, NΗ 3 Δονητικοί βαθμοί ελεθερίας vib : 3N-5 ή 3Ν-6 3N 5 : γραμμικά μόρια 3Ν 6 : μη γραμμικά μόρια

26 Ισοκατανοµή ενέργειας µεταξύ βαθµών ελεθερίας PV R E M αλλά E M εποµ έ νως E E + E y + 3 E R M z 3 + N R o b M + y R U + + M R z Κινητική ενέργεια ιδανικού αερίο Ισοκατανομή ενέργειας στις 3 σνιστώσες της κίνησης Θεώρημα Ισοκατανομής Ενέργειας μεταξύ Βαθμών Ελεθερίας Αν Ν ανεξάρτητες μεταβλητές βαθμοί ελεθερίας περιγράφον την N ενέργεια σστήματος σύμφωνα με τη σχέση : E a i i i τότε σε κάθε όρο της σχέσης αντιστοιχεί ενέργεια ίση με : ή R / ole

27 Ισοκατανοµή ενέργειας µεταξύ βαθµών ελεθερίας Eνέργεια ιδανικού αερίο : E tans + E ot + E vib Μονο-ατομικά αέρια : Διατομικά αέρια : Τριατομικά αέρια : γραμμικά Τριατομικά αέρια : μη γραμμικά 3 R/ 3R/ 3 R/ + R/ 5R/ 3 R/ + R/ + E vib 5R/ + E vib 3 R/ + 3 R/ + E vib 3R + E vib Σε σνήθεις θερμοκρασίες : E vib hν/ Σε ψηλές θερμοκρασίες : E vib 3N-5R/ ή 3N-6R/ Επίσης : E ot JJ+

28 Πείραµα µέτρησης κατανοµής ταχτήτων κατά Mawell -Αν η απόσταση μεταξύ των δίσκων είναι 0 c να επιλέξετε την κατάλληλη γωνία θ μεταξύ των ανοιγμάτων και την κατάλληλη σχνότητα περιστροφής ω, ώστε να επιτεχθεί διέλεση σωματιδίων A, πο έχον τη μέγιστη ταχύτητα σε Τ98 Κ.

29 Άσκηση Α6 : Κατανοµή Ταχτήτων κατα Mawell

30 Άσκηση Α6 : Κατανοµή Ταχτήτων κατα Mawell

31 Προτάσεις για µελέτη και εξερεύνηση Χρήσιμοι σύνδεσμοι Kinetics/Mawell_Distibution_o_Speeds Το βιβλίο Φσικής της Β Λκείο για τη Θετική-Τεχνολογική κατεύθνση περιγράφει πολύ καλά τα βασικά περί Κινητικής Θεωρίας των Αερίων. Αξίζει μιά ματιά. Είναι διαθέσιμο και μέσω το ιστότοπο το Υπ. Παιδείας