Αρμονικός ταλαντωτής (κλασσική μηχανική)

Transcript

1 Αρμονικός ταλανττής κλασσική μηχανική F k μετατόπιση F Δύναμη επαναφοράς k σταθερά δύναμης Ενέργεια E T V m T V m m Fd kd k d dt E m E k k Σχνότητα ταλάντσης v π k m

2 Αρμονικός ταλανττής κβαντομηχανική z r r απόσταση ισορροπίας y m m Μετατόπιση r - r V k r r r Το διπρηνικό μόριο εκτελεί δύο κινήσεις: - Μεταφορική κίνηση - Δόνηση το δεσμού Επομένς, χρειάζονται δύο εισώσεις για να περιγράψομε την κίνησή το. q V T kq µ q r

3 Αρμονικός ταλανττής κβαντομηχανική Αρμονικός ταλανττής κβαντομηχανική q E q kq dq d Ψ Ψ µ kq dq d dq d i p µ kq p E q p kq q V T E µ µ µ

4 θέτομε β µ β µ α q k E και επειδή β d d dq d Ψ Ψ β α d d Δοκιμαστική λύση Ψ Για να πάρχει λύση β α β α d d d d a a a a a n n n Πολώνμο Πολώνμο rmit rmit n a a a a n n a a a a n ς περιττ α α ρτιος ό n n n n ά n n n

5 Για είναι αποδεκτή η λύση n a n για όλα τα, θα πρέπει η σειρά n να είναι ορισμένη και να περιέχει έναν ορισμένο αριθμό όρν.. πρέπει να είναι ακέραιος n.. Εάν περιττός και ακέραιος, τότε α και α ορισμένος. Επομένς, όλοι οι περιττοί σντελεστές έχον τιμή, ενώ οι άρτιοι είναι μηδέν. 4 Εάν άρτιος και ακέραιος, τότε α και α ορισμένος. Επομένς, όλοι οι άρτιοι σντελεστές έχον τιμή, ενώ οι περιττοί είναι μηδέν. Η ακέραια τιμή το προσδιορίζει την τάη το πολνύμο. 5 Το πολώνμο rmit είναι ορθοκανονικό.

6 ! / π β µ Ψ N q q k N Κματοσνάρτηση Κματοσνάρτηση αρμονικού ταλανττή αρμονικού ταλανττή Σταθερά Σταθερά κανονικότητας κανονικότητας -5 5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 3 ÅíÝñãåéá X β q Ψ N 4 Ψ N Ψ N Ψ N

7 Ψ Ψ

8 Μερικές ιδιότητες της Ψ. Είναι ορθοκανονικές στο διάστημα - < < * Ψ Ψ d όταν όταν. Είναι σμμετρική γύρ από τη μηδενική μετατόπιση, όταν άρτιος και αντισμμετρική όταν περιττός. 3. Εμφανίζει κομβικά σημεία, δηλαδή η κματοσνάρτηση μηδενίζεται για ορισμένες τιμές το. Ο αριθμός τν κομβικών σημείν αάνεται με τον κβαντικό αριθμό. 4. Σε μεγάλες τιμές το, οι κματοσναρτήσεις έχον το μεγαλύτερο πλάτος τος πλησίον το σημείο επιστροφής. Ατή η παρατήρηση σμφνεί με τα σμπεράσματα της κλασσικής μηχανικής.

9 Πιθανότητα P N Ψ Ψ d α µ E Ενέργεια Α. Τ. µ k k α β osc β c µ ÅíÝñãåéá 4,5 4, 3,5 3,,5,,5,,5 3 E ε E hc h osc h jouls osc,,,... Ενέργεια μηδενικής στάθμης ε, -5 5 X osc osc osc Οι ενεργειακές στάθμες ισαπέχον E ε h osc osc jouls osc osc σε σε z

10 Κανόνες επιλογής Α. Τ.. Ύπαρη μεταβαλλόμενης διπολικής ροπής, ανεάρτητα από το εάν το μόριο έχει ή όχι μόνιμη διπολική ροπή. - Διπρηνικά, ομοιοατομικά μόρια π.χ. Η, Ν, Ο δεν παροσιάζον μεταβολή της διπολικής ροπής. Επομένς δεν είναι δραστήρια στη φασματοσκοπία IR. Τα διπρηνικά ετεροατομικά μόρια παροσιάζον μεταβολή της διπολικής ροπής και είναι δραστήρια.. Δ ± μεταπτώσεις,, 3, κ.λ.π Στη θερμοκρασία δματίο, η θεμελιώδης στάθμη είναι σχεδόν πλήρς κατειλημμένη. E N hν kt kt N Επίσης, στη θερμοκρασία δματίο, η θεμελιώδης μετάπτση είναι η. Σε ψηλότερες θερμοκρασίες παρατηρούνται κι άλλες μεταπτώσεις, οι οποίες είναι χαμηλότερης έντασης. Ατές ονομάζονται και θερμές μεταπτώσεις.

11 Αναρμονικότητα Αναρμονικότητα 4 ÅíÝñãåéá Mors Á.Ô. D D [ ],...,, ε β D V D D h k 4 µ β µ σταθερά σταθερά αναρμονικότητας αναρμονικότητας ] [ ] [ ] [ ε ε G Οι ενεργειακές στάθμες δεν ισαπέχον. Για μεγάλος κβαντικούς αριθμούς πλησιάζον πολύ κοντά continuum.

12 Ενέργεια μηδενικής στάθμης ε Κανόνες επιλογής ± θεμελιώδης ±, ±3,... αρμονικές Μεταπτώσεις 3 : : 3 : : ε ε ε ε ε ε ε ε 3 ε ε ε ε Θεμελιώδης η αρμονική η αρμονική θερμή

13 Ενέργεια διάσπασης ενέργεια δεσμού ÅíÝñãåéá Mors Á.Ô. D D D 4 D D ε D ΔG / ÄåäïìÝíá Fit Πειραματικά μπορούμε να προσδιορίσομε την ενέργεια διάσπασης μόνο σε σχέση με τη στάθμη μηδενικής ενέργειας. G / ε ε D G /

14 Φάσματα περιστροφής Φάσματα περιστροφής-δόνησης δόνησης ε t õ õ ] 4 [,,, ε ε ε Κανόνες επιλογής, ± ± t t ouls E E E ε ε ε orn-oppnhimr

15 , δηλαδή ε ή, R,,,... R-κλάδος, δηλαδή ε ή, P,,,... P-κλάδος ε, δηλαδή χ, Q ή Q-κλάδος - Ο κλάδος Q εμφανίζεται σπάνια σε διατομικά μόρια. - Λόγ αναρμονικότητας είναι επιτρεπτές οι μεταπτώσεις Δ ±, Δ ±3,... και η εμφάνιση αρμονικών. - ΗσταθεράΒ θερείται η ίδια για και, εφόσον ισχύει η προσέγγιση orn-oppnhimr.

16 P-κλάδος R-κλάδος

17 CO η αρμονική 46.4 θεμελιώδης 43.6 < >

18 Γραμμή Δ Γραμμή Δ Β P R P R P R P R P5 3.7 R4 6.97

19 Αλληλεπίδραση περιστροφής και δόνησης r Ο δεσμός ενός διατομικού μορίο δονείται περίπο φορές κατά τη διάρκεια μιας μόνο περιστροφής. Εάν η δόνηση είναι αρμονική, τότε r r και το μήκος δεσμού δεν μεταβάλλεται με την ενέργεια δόνησης. α Στην περίπτση μη αρμονικής δόνησης, η Β εαρτάται από την ενέργεια και το πλάτος δόνησης. Αύηση το πλάτος δόνησης οδηγεί σε αύηση το r.. Επομένς, η Β εαρτάται από τον κβαντικό αριθμό. Β και Β Β > Β ε, ε, ε, [ 4 ]

20 , δηλαδή ε ε,, R, δηλαδή P ή,,,... ή,,,... R-κλάδος P-κλάδος Οι μεταπτώσεις R και P έχον κοινή ανώτερη στάθμη την. Επομένς, η διαφορά θα είναι σνάρτηση της Β μόνον. R P Οι μεταπτώσεις R και P 3 έχον κοινή ανώτερη στάθμη την. Επομένς, η διαφορά R θα είναι σνάρτηση της Β μόνον. P 3 Γενικά, η διαφορά, η οποία σνήθς γράφεται ς είναι R P σνάρτηση της Β μόνον. Επίσης, η διαφορά R P, οποία γράφεται ς Προσδιορισμός τν σταθερών Β και Β είναι σνάρτηση της Β μόνον.

21 P-κλάδος R-κλάδος

22 P-κλάδος R-κλάδος

23 ,...,, P R R 4 R P,,,... R P P 4 R P

24 5 4 Αποτελέσματα για CO 5.95±. R P ±. α α.8 και.94 r r.33 nm,.3 nm r.36 nm R P

25 Τρόποι δόνησης πολατομικών μορίν Βαθμοί ελεθερίας είναι οι 3Ν σντεταγμένες πο χρειάζονται για να προσδιορίσομε την γεμετρία ενός μορίο. Μεταφορικοί Βαθμοί ελεθερίας: 3 σντεταγμένες πο απαιτούνται για τον προσδιορισμό της θέσης το κέντρο μάζας το μορίο. Περιστροφικοί Βαθμοί ελεθερίας: Οι σντεταγμένες πο απαιτούνται για τον προσδιορισμό της περιστροφής το μορίο 3 για μη γραμμικά μόρια και για γραμμικά. Δονητικοί βαθμοί ελεθερίας είναι οι 3Ν 6 ή 3Ν 5 πόλοιπες σντεταγμένες και οσιαστικά περιγράφον τις δονήσεις το μορίο. Κανονικοί τρόποι δόνησης είναι οι δονητικοί βαθμοί ελεθερίας όταν ατοί πληρούν τις σχέσεις 3N 6 V λ iqi Δναμική Ενέργεια K 3N 6 dqi dt Κινητική Ενέργεια

26 Τρόποι δόνησης πολατομικών μορίν Αρμονικές δονήσεις: Πολλαπλάσια τν κανονικών δονήσεν, π.χ. ν, 3ν. Δονήσεις σνδασμού: Άθροισμα ή διαφορά κανονικών δονήσεν. Δονήσεις Frmi: Προκύπτον από την αλληλεπίδραση κανονικών δονήσεν με αρμονικές δονήσεις ή με δονήσεις σνδασμού.

27 Ενέργεια Ενέργεια 6 3, 6 3,,,,... N i i i i i i i i i N i i h E m k h E E E ν π ν ν Κανόνες επιλογής Κανόνες επιλογής - Ύπαρη μεταβαλλόμενης διπολικής ροπής, ανεάρτητα από το εάν το μόριο έχει ή όχι μόνιμη διπολική ροπή. - Δ ι ±

28 Γραμμικά μόρια Φάσματα περιστροφής και δόνησης πολατομικών μορίν Παράλληλες δονήσεις Δ ±, Δ ± - Ταφάσματαέχοντηνίδιαεμφάνισημετααντίστοιχατνδιατομικών μορίν κλάδοι P και R, όχι Q. - Η Β είναι μικρότερη από τη σταθερά περιστροφής τν διατομικών μορίν. Κάθετοι δονήσεις Δ ±, Δ, ± - Εμφάνιση Q-κλάδο Δ Όταν Β Β, τότε Όταν Β Β, τότε ε ε ε ε, ε,, ε, - Ο Q-κλάδος διασπάται σε μια σειρά γραμμών. Στην πραγματικότητα όμς, επειδή η διαφορά Β Β είναι πολύ μικρή, ο Q-κλάδος δεν αναλύεται, αλλά εμφανίζεται ς μία ερεία γραμμή ψηλής έντασης.

29 -C N P-κλάδος R-κλάδος Παράλληλη δόνηση σμμετρική δόνηση τάσης Κάθετη δόνηση δόνηση κάμψης

30 ε Φάσματα περιστροφής και δόνησης πολατομικών μορίν Αονικά σμμετρικά μόρια ε t ε, K orn Oppnhimr A 4πcI 4πcI ε ε, K A K,,,...; K ±, ± Παράλληλες δονήσεις Δ ±, Δ, ±, ΔΚ,,,...,... - Ταφάσματαέχοντηνίδιαεμφάνισημετααντίστοιχατνδιατομικών μορίν με κάθετες δονήσεις κλάδοι P, R, Q. - Η απόσταση τν γραμμών στος κλάδος P και R είναι Β.

31 ε K A Κάθετοι δονήσεις Δ ±, Δ, ±, ΔΚ ± Δ ±, Δ, ΔΚ ± R-κλάδος ε A ± K Δ ±, Δ -, ΔΚ ± P-κλάδος ε A ± K Δ ±, Δ, ΔΚ ± Q-κλάδος ε A ± K

32 Q C 3 P R Παράλληλη δόνηση I C ì Q-κλάδος C 3 I ì C Κάθετη δόνηση