ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΩΣ ΤΟ ΔΙΣΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 4 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΩΣ ΤΟ ΔΙΣΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 4 - ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το Αρ3.2 Συγκρίνουν και διατάσσουν τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το Αρ3.3 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το Αρ3.17 Στρογγυλοποιούν αριθμούς στην πλησιέστερη δεκάδα, εκατοντάδα, χιλιάδα και εκατομμύριο και δεκαδικούς αριθμούς στο πλησιέστερο δέκατο και εκατοστό. Αρ4.3 Διατυπώνουν, αιτιολογούν και εφαρμόζουν τα κριτήρια διαιρετότητας του 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 και 25. Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ4.9 Εκτιμούν και υπολογίζουν το αποτέλεσμα μαθηματικών προτάσεων με θετικούς ρητούς αριθμούς. Αρ4.11 Αναφέρουν και εφαρμόζουν στρατηγικές εκτέλεσης νοερών υπολογισμών με ακέραιους, κλασματικούς, δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά. Αρ4.14 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλήματα με ρητούς αριθμούς, ποσοστά και ελέγχουν τη λογικότητα της απάντησής τους. ΑΛΓΕΒΡΑ Διερεύνηση σχέσεων και μοτίβων Αλ3.1 Περιγράφουν, συμπληρώνουν, επεκτείνουν, κατασκευάζουν, επεξηγούν τον κανόνα και βρίσκουν με επαγωγικό τρόπο το γενικό όρο αριθμητικών και γεωμετρικών μοτίβων.

2 Αλ3.5 Αντιλαμβάνονται την έννοια της συνάρτησης ως «ένα-προς-ένα αντιστοιχία» μέσω πινάκων, διαγραμμάτων και γραφικών παραστάσεων. Διερεύνηση εξισώσεων και ανισώσεων Αλ3.8 Απλοποιούν μαθηματικές εκφράσεις και υπολογίζουν την τιμή μαθηματικών προτάσεων για συγκεκριμένες τιμές μεταβλητών. Αλ3.9 Επιλύουν και χειρίζονται εξισώσεις. Αλ3.10 Γράφουν μαθηματικές εκφράσεις ή εξισώσεις με μεταβλητές, για να αναπαραστήσουν πληροφορίες και να επιλύσουν προβλήματα. Αλ3.11 Επιλύουν και κατασκευάζουν προβλήματα ρουτίνας πολλαπλών βημάτων και προβλήματα διαδικασίας. ΜΕΤΡΗΣΗ Έννοιες χρόνου, ρυθμού και μεταβολής Μ3.12 Καταγράφουν και υπολογίζουν αλλαγές θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια συγκεκριμένων χρονικών διαστημάτων. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΉ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Διερεύνηση εννοιών στατιστικής ΣΠ3.1 Διαβάζουν και κατασκευάζουν ραβδογράμματα, εικονογράμματα, κυκλικές και γραμμικές γραφικές παραστάσεις με ή χωρίς τη χρήση τεχνολογίας. ΣΠ3.4 Περιγράφουν και συγκρίνουν σύνολα δεδομένων, χρησιμοποιώντας τις έννοιες του μέσου όρου, της διαμέσου, της επικρατούσας τιμής, της μέγιστης και ελάχιστης τιμής. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 74-80): Εισαγωγή στην πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών αριθμών Μάθημα 3 και 4 (σελίδες 81-85): Αισθητοποίηση, ανάλυση και σύνθεση, σύγκριση και σειροθέτηση αριθμών μέχρι το δισεκατομμύριο Μάθημα 5 (σελίδες 86-87): Κριτήριο διαιρετότητας του 4

3 Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 88-90): Μετάφραση αλγεβρικών εκφράσεων Μάθημα 8 (σελίδες 91-93): Eισαγωγή στην επίλυση εξίσωσης Μάθημα 9 (σελίδες 94-95): Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Μάθημα 10 (σελίδες 96-97): Έννοια μεταβλητής Επίλυση προβλημάτων με μεταβλητές Μαθήματα 11 και 12 (σελίδες ): Μοτίβα Περιγραφή κανόνα για τον υπολογισμό του νιοστού όρου σε σχηματικά και αριθμητικά μοτίβα Μάθημα 13 (σελίδες ): Προβλήματα λογικής σκέψης ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 74-80) Εξερεύνηση (σελ ) Στόχος της εξερεύνησης είναι η εισαγωγή στην πρόσθεση και την αφαίρεση θετικών και αρνητικών αριθμών μέσα από ένα ρεαλιστικό πλαίσιο (ζώνες ώρας). Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να αναφερθούν στη διαφορά ώρας που έχει το Μπρίσμπεϊν και η Φλόριδα σε σχέση με την Κύπρο, χωρίς απαραίτητα να γνωρίζουν πόση ακριβώς είναι η διαφορά της ώρας. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι ο χάρτης παρουσιάζει την υδρόγειο σφαίρα που έχει χωριστεί σε 24 ζώνες. Οι ζώνες αυτές ονομάζονται ωριαίες άτρακτοι. Ως αρχική ζώνη έχει καθοριστεί αυτή στην οποία βρίσκεται το αστεροσκοπείο του Γκρίνουιτς στην Αγγλία. Η ώρα αυξάνεται για τις ζώνες που βρίσκονται δεξιά από την αρχική ζώνη και μειώνονται για τις ζώνες που βρίσκονται αριστερά. Στα ερωτήματα του μέρους (γ), τα παιδιά αναμένεται να κάνουν τις πιο κάτω παρατηρήσεις: Η διαφορά ώρας μεταξύ της Κύπρου και του Μπρίσμπεϊν είναι 8 ώρες (το Μπρίσμπεϊν είναι 8 ώρες πιο μπροστά από την Κύπρο). Αυτό συμβαίνει γιατί η Κύπρος βρίσκεται στη ζώνη +2 και το Μπρίσμπεϊν στη ζώνη +10. Έτσι, όταν στην Κύπρο η ώρα είναι 23:00, στο Μπρίσμπεϊν είναι 7 το πρωί της επόμενης μέρας.

4 Η διαφορά ώρας μεταξύ της Κύπρου και της Φλόριδας είναι 7 ώρες (η Φλόριδα είναι 7 ώρες πιο πίσω από την Κύπρο). Αυτό συμβαίνει γιατί η Κύπρος είναι στη ζώνη +2 και η Φλόριδα στη ζώνη 5. Έτσι, όταν στην Κύπρο είναι μεσάνυχτα, στη Φλόριδα είναι 5 το απόγευμα. Στην τελευταία ερώτηση τα παιδιά καλούνται να αναφέρουν παραδείγματα χωρών στις οποίες υπάρχουν διαφορετικές ζώνες ώρας, όπως στην Αυστραλία, τη Ρωσία, τις Η.Π.Α, τον Καναδά κ.α. Για παράδειγμα, η Ρωσία έχει 11 διαφορετικές ζώνες ώρας, αφού εκτείνεται ανάμεσα στις ζώνες +2 και +12. Διερεύνηση (σελ ) Στόχος της διερεύνησης είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση θετικών και αρνητικών, αξιοποιώντας τις μεταβολές της θερμοκρασίας. Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι καθώς αυξάνεται το υψόμετρο, η θερμοκρασία μειώνεται. Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά καλούνται να παρατηρήσουν τη σταθερή μεταβολή στη θερμοκρασία ως αποτέλεσμα της μεταβολής του υψομέτρου. Πιο συγκεκριμένα, τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι για κάθε αύξηση του υψομέτρου κατά 500 m, η θερμοκρασία μειώνεται κατά 3 C. Στο ερώτημα (δ) τα παιδιά αναμένεται να δώσουν τις πιο κάτω απαντήσεις: 1000 m 6 C 1500 m 9 C 2000 m 12 C 250 m 1,5 C Στο ερώτημα (ε), τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι στα 3300 m η θερμοκρασία θα είναι 10 C, στα 2300 m η θερμοκρασία θα είναι 4 C, στα 1300 m η θερμοκρασία θα είναι 2 C και στα 1050 m η θερμοκρασία θα είναι 3,5 C,

5 Στο ερώτημα (στ) τα παιδιά αναμένεται να συμπληρώσουν τον πίνακα ως ακολούθως: Yψόμετρο (m) Θερμοκρασία ( C) Με βάση τον πίνακα, προκύπτει το συμπέρασμα ότι η θερμοκρασία θα είναι περίπου 4 C. Συνεπώς, είναι δυνατόν να υπάρχει χιόνι, χωρίς να λαμβάνονται υπόψη άλλοι παράγοντες. Μαθήματα 3 και 4 (σελίδες 81-85) Εξερεύνηση (σελ. 81) Στόχος της εξερεύνησης είναι η αισθητοποίηση αριθμών μέχρι το δισεκατομμύριο. Η γραφική παράσταση παρουσιάζει τον πληθυσμό των ηπείρων ανά ηλικιακή ομάδα πληθυσμού. Τα παιδιά αναμένεται να σχολιάσουν ότι ο τίτλος που χρησιμοποίησε η Βασιλική είναι κατάλληλος για τη γραφική παράσταση. Σύμφωνα με τα δεδομένα που παρουσιάζονται ο πληθυσμός της Ευρώπης στην ηλικία 0-14 είναι περίπου ίδιος με τον πληθυσμό της ηλικιακής ομάδας 65 και άνω (περίπου άτομα). Αυτό δεν συμβαίνει στις υπόλοιπες ηπείρους, στις οποίες ο πληθυσμός από 0-14 είναι σχεδόν διπλάσιος από τον πληθυσμό στην ηλικιακή ομάδα 65 και άνω (π.χ., στην Αμερική ο πληθυσμός στην ηλικία 0-14 είναι περίπου άτομα ενώ στην ηλικία 65 χρονών και άνω είναι περίπου άτομα). Μάθημα 5 (σελίδες 86-87) Διερεύνηση (σελ. 86) Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να διατυπώσουν το κριτήριο διαιρετότητας του 4. Ξεκινώντας από διψήφιους αριθμούς, τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι αν ένας διψήφιος αριθμός διαιρείται με το 4 (π.χ., το 12), τότε όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 12 θα διαιρούνται με το 4 (π.χ., 312, 412, 1012, 2512). Μέσα από τις απαντήσεις τους στα ερωτήματα (β), (γ) και (δ), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι όταν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού σχηματίζουν ένα πολλαπλάσιο του 4, τότε ο αριθμός διαιρείται με το 4.

6 Δραστηριότητα 4 (σελ. 87) Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι δεν υπάρχουν αριθμοί που να διαιρούνται με το 4 και να μην διαιρούνται με το 2. Αυτό συμβαίνει γιατί όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το 4 είναι άρτιοι αριθμοί και άρα θα διαιρούνται και με το 2. Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 88-90) Διερεύνηση (σελ. 88) Στόχος της διερεύνησης είναι η μετάφραση αλγεβρικών εκφράσεων (από λεκτικές σε αλγεβρικές και το αντίστροφο) και η χρήση γραμμάτων για την αναπαράσταση άγνωστων αριθμών. Στο ερώτημα (α), τα παιδιά θα χρησιμοποιήσουν τρία δικά τους παραδείγματα αριθμών. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι το ν αναπαριστά οποιονδήποτε αριθμό που μπορεί να χρησιμοποιήσει κάποιος για να εκφράσει αλγεβρικά τον γρίφο της Λάουρας. Επιπλέον αναμένεται να παρατηρήσουν ότι πάντα το αποτέλεσμα του γρίφου είναι ο αριθμός 5. Αυτό συμβαίνει γιατί στον αρχικό αριθμό προστίθεται το 10 και αφαιρείται το 5, άρα συνολικά προστίθεται το 5. Στη συνέχεια, αφαιρείται ο αρχικός αριθμός, άρα το αποτέλεσμα είναι 5. Ενδεικτικά, ο πίνακας αναμένεται να συμπληρωθεί όπως φαίνεται πιο κάτω: Μυρτώ Δοκιμή 1 Δοκιμή 2 Δοκιμή 3 Σκέφτομαι έναν αριθμό ν Προσθέτω = = = =16 ν+10 Αφαιρώ = = =8 16 5=11 ν+10 5 Αφαιρώ τον αρχικό μου αριθμό 12 7=5 13 8=5 8 3=5 11 6=5 ν+10 5 ν Τελικό Αποτέλεσμα ν

7 Mάθημα 8 (σελίδες 91-93) Διερεύνηση (σελ ) Στόχος της διερεύνησης είναι η γραφή εξίσωσης, χρησιμοποιώντας γράμμα στη θέση του άγνωστου αριθμού και η επίλυσή της. Η διερεύνηση δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να αντιληφθούν την έννοια της εξίσωσης, ως μια σχέσης ισότητας που συνδέει γνωστές ποσότητες με άγνωστες ποσότητες, τις οποίες θέλουμε να προσδιορίσουμε. Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να αναφέρουν ότι το ν αναπαριστά τον αριθμό που επέλεξε ο Δημήτρης. Ο Δημήτρης περιγράφει τις ενέργειες του σε σχέση με τον αριθμό που επέλεξε καθώς και το αποτέλεσμα των ενεργειών του. Η Βασιλική μεταφράζει την λεκτική περιγραφή του Δημήτρη σε μια αλγεβρική εξίσωση. Χρησιμοποιεί το ν γιατί ο Δημήτρης δεν προσδιόρισε ποιος είναι ο συγκεκριμένος αριθμός που επέλεξε. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να μεταφράσουν τη λεκτική περιγραφή της Αγγελικής σε εξίσωση, χρησιμοποιώντας ένα γράμμα στη θέση του αριθμού που επέλεξε (π.χ. ν 4 = 12). Στα ερωτήματα (γ) και (δ), τα παιδιά αναμένεται να μεταφράσουν τις αλγεβρικές εξισώσεις σε λεκτικές περιγραφές. Mάθημα 9 (σελίδες 94-95) Διερεύνηση (σελ. 94) Στόχος της διερεύνησης είναι η εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης, μέσω της χρήσης αριθμομηχανής. Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι για κάθε αριθμό που εισάγεται στον πίνακα υπάρχει ένα αντίστοιχος αριθμός στην έξοδο του πίνακα. Η σχέση που συνδέει τους αριθμούς στην είσοδο και την έξοδο του πίνακα βασίζεται σε έναν κανόνα. Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι ο κανόνας που ακολουθεί η μηχανή είναι «για να βρω τον αριθμό εξόδου, προσθέτω 5 στον αριθμό εισόδου» ή «ο αριθμός εξόδου είναι το άθροισμα του αριθμού εισόδου και του 5». Η αλγεβρική έκφραση που περιγράφει τη λειτουργία της μηχανής, αν το x τοποθετηθεί στην είσοδό της, είναι x+5.

8 Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι ο κανόνας που ακολουθεί η μηχανή είναι «για να βρω τον αριθμό εξόδου, πολλαπλασιάζω τον αριθμό εισόδου επί 2 και προσθέτω 1». Δραστηριότητα 1 (σελ. 95) Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να γράψουν τις ακόλουθες αλγεβρικές εκφράσεις: Πίνακας Α: ν + 15 Πίνακας Β: ν 6 Πίνακας Γ: (2 ν) + 1 Δραστηριότητα 3 (σελ. 95) Τα παιδιά αναμένεται να αντιστοιχίσουν κάθε αριθμό στην είσοδο με τους αριθμούς στη έξοδο με βάση το χρώμα. είσοδος έξοδος ; ; ; Ακολούθως, με δοκιμή και έλεγχο μπορούν να διερευνήσουν τον κανόνα της μηχανής. Υπάρχουν περισσότερες από μια ορθές απαντήσεις. Ενδεικτικά, αναφέρονται οι πιο κάτω: (α) +2, 6, 2 (β) +1, 6, + 4 (γ) 1, 6, + 16 (δ) 6, + 6, + 4 (ε) 6, + 11, 1

9 Μάθημα 10 (σελίδες 96-97) Διερεύνηση (σελ. 96) Στόχος της διερεύνησης είναι η εισαγωγή στην έννοια της μεταβλητής. Συγκεκριμένα, τα παιδιά αναμένεται να διακρίνουν ποιες ποσότητες μεταβάλλονται και ποιες ποσότητες παραμένουν σταθερές σε προβλήματα της καθημερινής ζωής. Στο ερώτημα (α), αναμένεται να παρατηρήσουν ότι η ποσότητα που μεταβάλλεται στο τιμολόγιο είναι η χρέωση για τα εργατικά, αφού αυτή υπολογίζεται με βάση τις ώρες εργασίας. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να εντοπίσουν ότι η ποσότητα που παραμένει σταθερή στο τιμολόγιο είναι τα μεταφορικά, αφού αυτά είναι ένα σταθερό ποσό, το οποίο δεν επηρεάζεται από τις ώρες εργασίας. Στο ερώτημα (δ) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι για να υπολογιστεί το κόστος μιας υδραυλικής επιδιόρθωσης πολλαπλασιάζεται ο αριθμός των ωρών εργασίας επί το 25 και προστίθεται στο γινόμενο το 15. Στο ερώτημα (ε) τα παιδιά μπορούν να αφαιρέσουν από το ποσό των 315 το ποσό των 15, που είναι η σταθερή χρέωση για τα μεταφορικά. Το ποσό των 300 που απομένει είναι η χρέωση για τις ώρες εργασίας. Αφού η κάθε ώρα χρεώνεται 25, τότε ο κύριος Σωτήρης εργάστηκε 12 ώρες (300 25). Δραστηριότητα 1 (σελ. 97) Για να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας τα παιδιά αναμένεται να εντοπίσουν τη σταθερή ποσότητα ( 100 σταθερή χρέωση ενοικίασης) και τη μεταβλητή ποσότητα ( 75 ανά ώρα). Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι για 5 ώρες η ενοικίαση του χώρου θα στοιχίσει 475 ( ), ενώ για 8 ώρες, η ενοικίαση του χώρου θα στοιχίσει 700 ( ). Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι για να υπολογιστεί το συνολικό κόστος ενοικίασης του χώρου, πολλαπλασιάζεται ο αριθμός των ωρών ενοικίασης επί το 75 και προστίθεται στο γινόμενο το 100. Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά αναμένεται να αφαιρέσουν από το συνολικό κόστος ενοικίασης το ποσό των 100 που είναι η σταθερή χρέωση ενοικίασης του χώρου. Το ποσό των 450 που απομένουν είναι η χρέωση για τις ώρες που ενοικιάστηκε ο χώρος. Αφού η χρέωση είναι 75 την ώρα, τότε ο χώρος ενοικιάστηκε για 6 ώρες (450 75).

10 Μαθήματα 11 και 12 (σελίδες ) Διερεύνηση (σελ. 98) Στόχος της διερεύνησης είναι η αναγνώριση και η περιγραφή του κανόνα για τον υπολογισμό του νιοστού όρου σε σχηματικά και αριθμητικά μοτίβα. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι ο αριθμός των πράσινων ψηφίδων παραμένει σταθερός σε κάθε σχήμα του μοτίβου, ενώ ο αριθμός των κίτρινων ψηφίδων μεταβάλλεται σε κάθε σχήμα του μοτίβου (ο αριθμός του σχήματος του μοτίβου πολλαπλασιάζεται με το 4). Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι το Σχήμα 10 θα έχει συνολικά 3+(10 4)=43 ψηφίδες, ενώ το Σχήμα 35 θα έχει συνολικά 3+(35 4)=178 ψηφίδες. Στο ερώτημα (δ) τα παιδιά ενδεικτικά θα μπορούσαν να πουν ότι ο κανόνας του μοτίβου είναι «Πολλαπλασιάζω τον αριθμό θέσης του Σχήματος με το 4 και προσθέτω 3 στο γινόμενο»). Στο ερώτημα (ε) τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι δεν είναι δυνατόν σε ένα σχήμα να υπάρχουν 1000 ψηφίδες, γιατί αν από αυτόν τον αριθμό αφαιρεθούν οι 3 πράσινες ψηφίδες που παραμένουν σταθερές σε κάθε σχήμα, προκύπτει ο αριθμός 997. Ο αριθμός αυτός αντιστοιχεί στον αριθμό των κίτρινων ψηφίδων. Επειδή όμως ο αριθμός των κίτρινων ψηφίδων είναι πολλαπλάσιο του 4, δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν 997 κίτρινες ψηφίδες, γιατί ο αριθμός 997 δεν είναι πολλαπλάσιο του 4. Δραστηριότητα 1 (σελ. 99) Ο κανόνας του μοτίβου στο ερώτημα (α) είναι «στον αριθμό της θέσης του σχήματος προσθέτω το 4». Ο κανόνας του μοτίβου στο ερώτημα (β) είναι «πολλαπλασιάζω τον αριθμό της θέσης του σχήματος επί 2 και προσθέτω 1 στο γινόμενο».

11 Δραστηριότητα 2 (σελ. 100) Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι ο κανόνας της Θάλειας είναι «προσθέτω 2 στον αριθμό της θέσης του σχήματος του μοτίβου». Ο κανόνας του Αντώνη είναι «προσθέτω 1 στον αριθμό της θέσης του σχήματος και προσθέτω ακόμα 1 στο άθροισμα». Για να απαντήσουν στο ερώτημα (β), τα παιδιά μπορούν να εργαστούν είτε με τον τρόπο της Θάλειας, είτε με τον τρόπο του Αντώνη. Συγκεκριμένα: Αν εργαστούν με τον τρόπο της Θάλειας θα υπολογίσουν ότι το Σχήμα 20 θα έχει 2 μπλε και 20 πράσινα τετράγωνα Αν εργαστούν με τον τρόπο του Αντώνη θα υπολογίσουν ότι το Σχήμα 20 θα έχει 21 πράσινα τετράγωνα και 1 μπλε τετράγωνο. Μάθημα 13 (σελίδες ) Εξερεύνηση (σελ. 101) Σκοπός της εξερεύνησης είναι η εισαγωγή στην έννοια της ισότητας. Τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν το εφαρμογίδιο, για να βρουν την τιμή που αντιστοιχεί σε κάθε σχήμα (οι τιμές των σχημάτων είναι πάντα θετικοί ακέραιοι αριθμοί). Τα παιδιά προσπαθούν να βρουν ομάδες ισοδύναμων σχημάτων, τοποθετώντας σχήματα στη ζυγαριά ώστε αυτή να ισορροπήσει. Στο εφαρμογίδιο υπάρχουν έξι διαφορετικά έτοιμα σετ με τιμές σχημάτων (επιλογές «Set1», «Set2», «Set3», «Set4», «Set5» και «Set6»). Με την επιλογή «Random», εμφανίζεται διαφορετικό σετ σχημάτων κάθε φορά. Για να μπορέσουν τα παιδιά να τοποθετήσουν ένα σχήμα στη ζυγαριά, το επιλέγουν με το ποντίκι και το αφήνουν στο δίσκο της ζυγαριάς που επιθυμούν. Για να αφαιρέσουν ένα σχήμα από τη ζυγαριά, πατούν πάνω του με το ποντίκι. Η ζυγαριά κινείται ανάλογα με το ποια πλευρά έχει τη μεγαλύτερη μάζα. Όταν οι δύο πλευρές της ζυγαριάς ισορροπήσουν, η σχέση ισότητας παρουσιάζεται στον πίνακα που βρίσκεται στα δεξιά της οθόνης. Για να σχηματίζουν καινούριες ισότητες κάθε φορά, τα παιδιά πρέπει να καθαρίζουν τη ζυγαριά είτε πατώντας πάνω σε κάθε σχήμα ώστε να αφαιρεθεί είτε πατώντας «Reset Balance». Όταν τα παιδιά σχηματίσουν αρκετές ισότητες που τους επιτρέπουν τα υπολογίσουν τις τιμές των σχημάτων, επιλέγουν «Guess Weights», γράφουν τις τιμές και πατούν «Check». Οι

12 σωστές τιμές φαίνονται με και οι λανθασμένες με. Σε κάθε σετ δίνεται η τιμή ενός σχήματος (τα παιδιά μπορούν να δουν το σχήμα και την τιμή του επιλέγοντας «Guess Weights»). Η επιλογή «Reset Table», αφαιρεί όλες τις ισότητες από τον πίνακα, ενώ η επιλογή «Reset Balance», αφαιρεί όλα τα σχήματα που έχουν τοποθετηθεί στη ζυγαριά. Η επιλογή «Count Items» μετρά πόσα σχήματα έχουν τοποθετηθεί από το κάθε είδος σε κάθε δίσκο της ζυγαριάς και η επιλογή «New Weights» αλλάζει τις τιμές των σχημάτων όταν οι μαθητές έχουν επιλέξει το «Random». Ενδεικτικά, αν τα παιδιά επιλέξουν το «Set 1», μπορούν να σχηματίσουν τις πιο κάτω ισότητες σχημάτων στο εφαρμογίδιο: Με βάση τις ισότητες αυτές και γνωρίζοντας ότι το κόκκινο τετράγωνο ισούται με 1, τα παιδιά μπορούν να καταλήξουν στις πιο κάτω τιμές των σχημάτων:

13 Διερεύνηση (σελ. 102) Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν τις ισότητες για να εντοπίσουν τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των προϊόντων. Στη δραστηριότητα αυτή, τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τις στρατηγικές της αντικατάστασης (αντικαθιστώ μια ποσότητα με μια άλλη ίσης αξίας) και της διαγραφής (αφαιρώ την ίδια ποσότητα και από τις δύο πλευρές της ζυγαριάς/εξίσωσης). Στο πρώτο πρόβλημα, τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν ως ακολούθως: Στην πρώτη ζυγαριά 10 ροδάκινα ισούνται με 2 ανανάδες. Άρα 1 ανανάς ισούται με 5 ροδάκινα. Στη δεύτερη ζυγαριά 1 ανανάς ισούται με 2 ροδάκινα και 1 μήλο. Από την πρώτη ζυγαριά τα παιδιά βρήκαν ότι 1 ανανάς ισούται με 5 ροδάκινα. Άρα 1 μήλο θα ισούται με 3 ροδάκινα γιατί θα διαγραφούν δύο ροδάκινα από κάθε πλευρά της ζυγαριάς. Στην τρίτη ζυγαριά θα χρειαστούν 3 ροδάκινα. Στο δεύτερο πρόβλημα, τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν ως ακολούθως: Στη δεύτερη ζυγαριά 1 μελιτζάνα ισούται με 2 πιπέρια. Στην πρώτη ζυγαριά 6 καρότα ισούνται με 1 μελιτζάνα και 1 πιπέρι. Αντικαθιστώντας τη μελιτζάνα με 2 πιπέρια, τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι 6 καρότα ισούνται με 3 πιπέρια. Άρα 1 πιπέρι ισούται με 2 καρότα. Στην τρίτη ζυγαριά θα χρειαστούν 2 καρότα. Δραστηριότητα 1 (σελ. 103) Για να απαντήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας αυτής, τα παιδιά αναμένεται να χρησιμοποιήσουν τις στρατηγικές της αντικατάστασης και της διαγραφής. Ενδεικτικά, τα παιδιά θα μπορούσαν να εργαστούν ως εξής: Ερώτημα (α) Δύο τρίγωνα ισούνται με 6 τετράγωνα, άρα 1 τρίγωνο ισούται με 3 τετράγωνα.

14 Ερώτημα (β) Τέσσερις κύβοι ισούνται με 12 βόλους, άρα 1 κύβος ισούται με 3 βόλους. Δραστηριότητα 2 (σελ. 103) Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της διαγραφής, τα παιδιά από την πρώτη ζυγαριά θα εντοπίσουν ότι 5 τρίγωνα ισούνται με 10 τετράγωνα, άρα 1 τρίγωνο ισούται με 2 τετράγωνα. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τη μέθοδο της αντικατάστασης (αντικατάστασης του 1 τριγώνου με 2 τετράγωνα), τα παιδιά θα εντοπίσουν ότι 4 τετράγωνα ισούνται με 8 βόλους. Άρα 1 τετράγωνο θα ισούται με 2 βόλους. Δραστηριότητα 3 (σελ. 103) Τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν την τιμή κάθε προϊόντος με πολλούς τρόπους. Ενδεικτικά, θα μπορούσαν να εργαστούν ως εξής: = Με τη μέθοδο της διαγραφής, η τιμή των γυαλιών ισούται με την τιμή 2 παντελονιών. Με τη μέθοδο της αντικατάστασης (αντικαθιστώ τα γυαλιά με 2 παντελόνια), η τιμή 5 παντελονιών είναι 50. Άρα το κάθε παντελόνι στοιχίζει 10 και τα γυαλιά στοιχίζουν 20.

15 Χιλιάδες εκατομμυρίων Εκατοντάδες εκατομμυρίων Δεκάδες εκατομμυρίων Μονάδες εκατομμυρίων Εκατοντάδες χιλιάδες Δεκάδες χιλιάδες Μονάδες χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 3 (σελ. 105) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Ενδεικτικά: Άννα: Έδωσε 3 ορθές και μια λανθασμένη απάντηση =16 Δήμος: Έδωσε 2 ορθές και τέσσερις λανθασμένες απαντήσεις = 16 Πάνος: Έδωσε 4 ορθές και μια λανθασμένη απάντηση = 24 Δραστηριότητα 6 (σελ. 106) Τα παιδιά μπορούν να σχεδιάσουν τον πίνακα αξίας θέσης ψηφίου, όπως φαίνεται πιο κάτω Δραστηριότητα 10 (σελ. 108) Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι ο Κώστας αύξησε τον αριθμό κατά Η Εύη αύξησε τον αριθμό κατά Άρα, ο αριθμός του Κώστα είναι κατά μεγαλύτερος από τον αριθμό της Εύης. Δραστηριότητα 11 (σελ. 108) Τα παιδιά αναμένεται να σχηματίσουν τους πιο κάτω αριθμούς: (α) 60, 68, 76, 80, 96 (β) 760, 860, 960, 768, 968, 876, 976, 680, 780, 980, 796, 896 (γ) 6780 (δ)

16 Δραστηριότητα 15 (σελ. 110) Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να γράψουν τις πιο κάτω εξισώσεις: Παρατηρώντας τον πίνακα οριζόντια: (2 Π) + Α = 14 Π + (2 Κ) = 21 (2 Α) + Π = 13 Παρατηρώντας τον πίνακα κατακόρυφα: (3 Π) + Α = 19 Α + (2 Π) + Κ = 22 (2 Κ) + (2 Α) = 24 Στο ερώτημα (β), υπάρχουν πολλοί τρόποι για τον υπολογισμό της μάζας κάθε φρούτου. Ενδεικτικά, τα παιδιά μπορούν να συνδυάσουν τις πιο κάτω εξισώσεις: Αν (2 Π) + Α = 14 και (3 Π) + Α = 19, τότε Π=5. Tα παιδιά μπορούν να κάνουν το πιο κάτω σχέδιο, για να δείξουν ότι Π=5 kg. = 14 = Χρησιμοποιώντας την πρώτη εξίσωση, μπορούν να υπολογίσουν τη μάζα του ανανά. (2 Π) + Α = 14 (2 5) + Α = 14 Άρα Α=4 Kg Χρησιμοποιώντας την εξίσωση της Χριστίνας, μπορούν να υπολογίσουν τη μάζα του καρπουζιού.

17 Π + Α + Κ = Κ = 17 Άρα Κ=8 Kg Δραστηριότητα 18 (σελ. 111) Τα παιδιά αναμένεται να βρουν την απάντηση χρησιμοποιώντας δοκιμή και έλεγχο. Η σειρά με την οποία πρέπει να χρησιμοποιηθούν οι μηχανές είναι Β, Α και Γ, ώστε: Δραστηριότητα 20 (σελ. 112) Ο κανόνας που ακολουθεί το μοτίβο μπορεί να εκφραστεί με δύο τρόπους: (α) πολλαπλασιάζω τον αριθμό της θέσης του όρου επί 2 και αφαιρώ 1 (β) προσθέτω τον αριθμό της θέσης του όρου και τον αριθμό του όρου μειωμένο κατά 1. Δραστηριότητα 21 (σελ. 113) Ο κανόνας που ακολουθεί το μοτίβο μπορεί να εκφραστεί με δύο τρόπους: (α) πολλαπλασιάζω τον αριθμό της θέσης του σχήματος επί 2 και προσθέτω 4 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Σχήμα 3 (β) πολλαπλασιάζω τον αριθμό της θέσης του σχήματος επί 2 και προσθέτω 2. Στη συνέχεια προσθέτω ακόμα 2. Σχήμα 1 Σχήμα 2 Σχήμα 3

18 Δραστηριότητα 22 (σελ. 113) Τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν τις τιμές κάθε προϊόντος με διάφορους τρόπους. Ενδεικτικά, στο ερώτημα (α), τα παιδιά μπορούν να εργαστούν με τον ακόλουθο τρόπο: (1) Αν διπλασιάσουμε τα δύο μέρη της ισοδυναμίας που παρουσιάζει η πρώτη εικόνα, προκύπτει η πιο κάτω ισοδυναμία: = 160 (2) Αν αντικαταστήσουμε τη μία ομπρέλα και τα δύο καπελάκια στην πιο πάνω ισοδυναμία με 76 (που παρουσιάζει η δεύτερη εικόνα), τότε: + 76 = 160 Με βάση τα πιο πάνω, 1 ομπρέλα κοστίζει 28 και 1 καπελάκι κοστίζει 24. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά μπορούν να ακολουθήσουν το ίδιο τρόπο. Η απάντηση που αναμένεται να δώσουν είναι ότι το καπέλο κοστίζει 25 και τα γυαλιά κοστίζουν 17. Δραστηριότητα 23 (σελ. 114) Με τη μέθοδο της αντικατάστασης, είναι δυνατόν στην πρώτη ζυγαριά το σκυλάκι να αντικατασταθεί με ένα γατάκι και ένα βαρίδιο των 2 Kg. Άρα, 2 γατάκια και ένα βαρίδιο των 2 Kg είναι ίσο με 8 Kg. Με βάση το δεδομένο αυτό, το γατάκι έχει μάζα 3 Kg και το σκυλάκι έχει μάζα 5 Kg. Δραστηριότητα 24 (σελ. 114) Τα παιδιά μπορούν να λύσουν τα προβλήματα, γράφοντας μια αλγεβρική εξίσωση. Στο ερώτημα (α), μπορούν να γράψουν την εξίσωση 2 ν = ν Άρα ν = 12. Στο ερώτημα (β), μπορούν να συμβολίσουν το πόσο χρημάτων της Γιάννας με το γράμμα ν. Έτσι, προκύπτει η εξίσωση ν + (4 ν) = 50. Άρα ν = 10.

19 Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως τα πιο κάτω: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ 1. Εφαρμογίδια για πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών αριθμών 1.1. Λογισμικό: «Παίζω με τους αριθμούς» - Αριθμητική γραμμή Τα παιδιά συνεχίζουν ή κατασκευάζουν μοτίβα στην αριθμητική γραμμή, επιλέγοντας την αρχή, το τέλος και την αύξηση των αριθμών πάνω στη γραμμή Λογισμικό: «Παίζω με τους αριθμούς» - Αρνητικοί αριθμοί Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για πρόσθεση και αφαίρεση θετικών και αρνητικών αριθμών μέσα από δύο διαφορετικά πλαίσια (πολυκατοικία και θερμόμετρο).

20 1.3. Λογισμικό: «Παίζω με τους αριθμούς» - Μετρώντας με τον Άρη Τα παιδιά καλούνται να προσέξουν τα μοτίβα που γίνονται με τους αριθμούς και να βρουν τον κανόνα (βλ. Βήμα στο εφαρμογίδιο). Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα ρύθμισης του μετρητή (από ποιον αριθμό δηλαδή να ξεκινά το μοτίβο, βλ. «Ρύθμιση Μετρητή») και ορισμού του βήματος (ποιος θα είναι ο κανόνας του μοτίβου, βλ. «Ορισμός βήματος) Ιστοσελίδες: Τα παιδιά καλούνται να βρουν τη διαφορά δύο αριθμών ώστε να σωθούν τα ζώα. Ο ένας αριθμός παρουσιάζει τη θέση του ελικοπτέρου και ο άλλος αριθμός παρουσιάσει τη θέση των ζώων. Οι δύο αριθμοί παρουσιάζονται και στην αριθμητική γραμμή στην αριστερή πλευρά της οθόνης. Το εφαρμογίδιο υπάρχει σε δύο μορφές (οι αριθμοί αυξάνονται/μειώνονται κατά 1 μονάδα και κατά 1 δεκάδα).

21 1.5. Ιστοσελίδα: Τα παιδιά καλούνται να κατευθύνουν το όχημα προς τους στόχους, καθορίζοντας με έναν θετικό ή έναν αρνητικό αριθμό την κίνηση που απαιτείται να εκτελέσει Ιστοσελίδα: Τα παιδιά καλούνται να προσθέσουν και να αφαιρέσουν θετικούς και αρνητικούς αριθμούς ώστε να οδηγήσουν το διαστημόπλοιό τους στον τερματισμό. Σημασία στο παιχνίδι έχει η ταχύτητα με την οποία τα παιδιά απαντούν στις ερωτήσεις.

22 1.7. Ιστοσελίδα: Στο παιχνίδι αυτό, το παιδί παίζει εναντίον άλλων παικτών ή του υπολογιστή. Σκοπός του παιχνιδιού είναι το παιδί να βρει με ταχύτητα ζευγάρια αριθμών που να έχουν ως απάντηση τον αριθμό που υπάρχει στο κέντρο της οθόνης. Νικητής είναι ο παίκτης που με τη λήξη του παιχνιδιού θα έχει βρει τα περισσότερα ζευγάρια. 2. Εφαρμογίδια για αριθμομηχανές 2.1. Λογισμικό: «Παίζω με τους αριθμούς» - Μηχανές αριθμών Τα παιδιά καλούνται να εργαστούν με μηχανές αριθμών. Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για επιλογή αριθμού εισόδου (βλ. «Διάλεξε αριθμό» ή «Τυχαίος αριθμός») ή εξόδου (βλ. «Διάλεξε αποτέλεσμα» ή «Τυχαίο αποτέλεσμα») και επιλογή μηχανής (βλ. «Διάλεξε μηχανή»). Επιλέγοντας δύο λειτουργίες στη σειρά η αριθμομηχανή εκτελεί δύο πράξεις.

23 2.2. Ιστοσελίδα: 40 Το εφαρμογίδιο παρουσιάζει διάφορες μηχανές συνάρτησης. Τα παιδιά καλούνται να βρουν τον κανόνα με τον οποίο λειτουργεί κάθε μηχανή, παρατηρώντας τους αριθμούς εισόδου και εξόδου. Ο χρήστης έχει ακόμα τη δυνατότητα να καθορίσει τον κανόνα με τον οποίο λειτουργεί μια μηχανή. Το παιδί μπορεί να συνδυάσει περισσότερες από μία μηχανές Ιστοσελίδα: Τα παιδιά καλούνται να εντοπίσουν τον κανόνα με τον οποίο λειτουργεί η μηχανή. Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να επιλέξουν τον αριθμό εισόδου της μηχανής (επιλογή «You Decide The Input»). Στο «Activity Level 1», η μηχανή εκτελεί μία πράξη, ενώ στο «Activity Level 2» η μηχανή εκτελεί δύο πράξεις. Στο «Activity Level 3» γίνεται συνδυασμός των δύο προηγούμενων επιπέδων με ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς.

24 2.4. Ιστοσελίδα: Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα επιλογής μηχανών με μία ή δύο πράξεις ή επιλογή αριθμών που να ταιριάζουν σε έναν κανόνα μηχανής με βάση το παράδειγμα που τους δίνεται. Επίσης, τα παιδιά έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν έτοιμες μηχανές αριθμών ή να δημιουργήσουν τις δικές τους Ιστοσελίδα: Τα παιδιά καλούνται να εντοπίσουν τον κανόνα με τον οποίο δουλεύει η μηχανή που τους δίνεται.

25 3. Εφαρμογίδιο για μοτίβα 3.1. Ιστοσελίδα: 9 To εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση του κανόνα υπολογισμού των όρων σε σχηματικά μοτίβα. Στον πίνακα, παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισμού κάθε όρου σε σχέση με τη θέση του στο μοτίβο. Παράλληλα, δίνεται και αναπαράσταση του μοτίβου στην αριθμητική γραμμή, συνδέοντας έτσι τη σχηματική με την αριθμητική μορφή του μοτίβου. 3.2 Ιστοσελίδα: open=activities&from=category_g_3_t_2.html To εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση του κανόνα υπολογισμού των όρων σε σχηματικά μοτίβα. Στον πίνακα, παρουσιάζονται η θέση του μοτίβου (Χ) και ο αριθμός των τετραγώνων (Υ) ως διατεταγμένα ζεύγη. Παράλληλα, δίνεται η δυνατότητα για αναπαράσταση του μοτίβου με γραφική παράσταση.

26 4. Εφαρμογίδια για έννοια ισότητας 4.1. Ιστοσελίδα: Τα παιδιά καλούνται να βρουν την τιμή κάθε σχήματος, δημιουργώντας ομάδες ισοδύναμων σχημάτων τοποθετώντας τα σχήματα στη ζυγαριά ώστε αυτή να ισορροπήσει. Στο εφαρμογίδιο υπάρχουν έξι διαφορετικά έτοιμα σετ με τιμές σχημάτων (επιλογές «Set1», «Set2», «Set3», «Set4», «Set5» και «Set6»). Με την επιλογή «Random», εμφανίζεται διαφορετικό σετ σχημάτων κάθε φορά Ιστοσελίδα: Στο εφαρμογίδιο παρουσιάζονται τρία προβλήματα με ζυγαριά, παρόμοια με τη διερεύνηση του μαθήματος. Τα παιδιά καλούνται να υπολογίσουν πόσοι κύβοι υπάρχουν μέσα στη σακούλα. Μπορούν να προσθέσουν ή να αφαιρέσουν κύβους και σακούλες. Σε κάθε σακούλα υπάρχει ο ίδιος αριθμός κύβων.

27 4.3. Ιστοσελίδα: Τα παιδιά καλούνται να υπολογίσουν τις τιμές των αντικειμένων που παρουσιάζονται σε διάφορα προβλήματα Ιστοσελίδα: Τα παιδιά καλούνται να υπολογίσουν την τιμή κάθε φατσούλας με βάση τις ισότητες που τους δίνονται.

28 4.5. Ιστοσελίδα: Tα παιδιά καλούνται να χρησιμοποιήσουν τις πληροφορίες του πίνακα, για να υπολογίσουν την τιμή που αναπαριστά κάθε κουμπί και να συμπληρώσουν τα αθροίσματα που λείπουν.