11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου
|
|
- Θέμις Αλεβιζόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού εκκρεµούς. Περίληψη Κώστας Παπαµιχάλης, Γιάννης Χατζής, Κ. Καµπούρης Πολλά φυσικά µεγέθη µετρούνται έµµεσα, µέσω φυσικών νόµων (µαθηµατικών σχέσεων) που τα συνδέουν µε άλλα φυσικά µεγέθη τα οποία είναι άµεσα µετρήσιµα. Έστω ότι το φυσικό µέγεθος Ζ σχετίζεται µε το Υ µέσω του φυσικού νόµου: Z= F(Y) (I) και έχουµε τη δυνατότητα µέτρησης µόνο του Υ, µέσω µιας κατάλληλης πειραµατικής διάταξης, που σχετίζει το Υ µε το Ζ µέσω της σχέσης (I). Τότε, λέµε ότι η µέτρηση του Ζ γίνεται έµµεσα, µέσω της µέτρησης του Υ και του φυσικού νόµου (I). Σύµφωνα µε το νόµο των µεγάλων αριθµών, αν πραγµατοποιήσουµε Ν µετρήσεις του Υ: Υ, Υ, Υ Ν, ο αριθµητικός µέσος τους Y συγκλίνει, για Ν στη µέση τιµή µ(υ) της τυχαίας µεταβλητής Υ. Επίσης, ο αριθµητικός µέσος ( Z= F(Y) ) των Ζ =F(Y ), Ζ =F(Y ), Ζ Ν =F(Y Ν ) συγκλίνει στη µέση τιµή µ(z) της τυχαίας µεταβλητής Z. Στην παρούσα εργασία δείχνουµε ότι: Αν διαθέτουµε πειραµατική διάταξη µέσω της οποίας: a) Μετρούµε άµεσα το φυσικό µέγεθος Υ b) Συσχετίζουµε το Υ µε το φυσικό µέγεθος Ζ, µέσω φυσικού νόµου της µορφής (I), τότε η πειραµατική τιµή Ζ exp, του µεγέθους Ζ, δίνεται από τη σχέση: Z = F(Y). Η τιµή αυτή διαφέρει από την τιµή Z= F(Y). Η τιµή Z= F(Y) δεν πρέπει να χρησιµοποιείται ως πειραµατική τιµή του Ζ, εκτός αν η σχέση (I) είναι γραµµική. Επίσης, υπολογίζεται το σφάλµα που εισάγεται, αν χρησιµοποιηθεί η σχέση Z= F(Y) για τον υπολογισµό της πειραµατικής τιµής του µεγέθους Ζ. Τα συµπεράσµατα εφαρµόζονται στη µέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g), µέσω της µέτρησης της περιόδου της ταλάντωσης απλού εκκρεµούς. ) Άµεση µέτρηση ενός µεγέθους (Υ). ιαδοχικές µετρήσεις του Υ. Η κατανοµή πιθανότητας. Βασικές παραδοχές. Η µέτρηση κάθε φυσικού µεγέθους πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια κατάλληλης πειραµατικής διάταξης. Για παράδειγµα, για τη µέτρηση του χρόνου δέκα αιωρήσεων ενός απλού εκκρεµούς ορισµένου µήκους, η πειραµατική διάταξη αποτελείται από το εκκρεµές και ένα χρονόµετρο. Είναι φανερό ότι για τη µέτρηση του ίδιου µεγέθους είναι δυνατό να χρησιµοποιηθούν πολλές διαφορετικές µεταξύ τους πειραµατικές διατάξεις. Στο παράδειγµά µας, θα µπορούσαµε να συναρµολογήσουµε διαφορετικές πειραµατικές διατάξεις, χρησιµοποιώντας ένα χρονόµετρο ελατηρίου, ή ένα ηλεκτρονικό χρονόµετρο, ή ακόµα ένα ζεύγος φωτοπυλών, συνδεδεµένων µε ηλεκτρονικό χρονόµετρο. Κάθε µια από τις διαφορετικές πειραµατικές διατάξεις του παραδείγµατός µας, παρέχει διαφορετική ακρίβεια στη µέτρηση του χρόνου. Ωστόσο όλες τους έχουν τα ακόλουθα κοινά χαρακτηριστικά: a) Όλες τους µετρούν άµεσα το µέγεθος, του οποίου την πειραµατική τιµή θέλουµε να προσδιορίσουµε (το χρόνο των δέκα αιωρήσεων). ηλαδή η µέτρηση του χρόνου των δέκα αιωρήσεων δεν ανάγεται στην ενδιάµεση µέτρηση κάποιου άλλου µεγέθους (Χ) µε το οποίο σχετίζεται µέσω κάποιου φυσικού νόµου (της µορφής Υ=F(X)). b) Σε κάθε πειραµατική διάταξη, τα χρησιµοποιούµενα όργανα, η συναρµολόγηση της διάταξης και οι συνθήκες διεξαγωγής του πειράµατος είναι τέτοια ώστε οι πειραµατικές τιµές του µετρούµενου µεγέθους να υπακούουν σε µια κατανοµή πιθανότητας w(y), που είναι χαρακτηριστική της πειραµατικής διάταξης (σε κάθε πειραµατική διάταξη αντιστοιχεί διαφορετική κατανοµή w(y)). exp
2 Έτσι, το µετρούµενο µέγεθος Υ να µπορεί να θεωρηθεί ως µια τυχαία µεταβλητή που παίρνει τιµές στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε κατανοµή (πυκνότητα) πιθανότητας w(y) (y R). Κατά τη διεξαγωγή µιας µέτρησης, η πιθανότητα η τιµή του µετρούµενου µεγέθους Υ να βρεθεί στο διάστηµα (y, y+dy) δίνεται από τη σχέση: P(y<Y<y+dy)=w(y)dy και γενικά: [ ] b P a Y b = w(y)dy w(y)dy = a c) Το αποτέλεσµα κάθε µέτρησης σε µια ακολουθία µετρήσεων µε την ίδια πειραµατική διάταξη και κάτω από τις ίδιες συνθήκες διεξαγωγής του πειράµατος, είναι ανεξάρτητο από το αποτέλεσµα κάθε άλλης µέτρησης. Οι µετρήσεις µας είναι στατιστικά ανεξάρτητες και η κατανοµή πιθανότητας κάθε φορά είναι η ίδια (w(y)). Έτσι, κατά τη διεξαγωγή της k µέτρησης µιας ακολουθίας µετρήσεων µε την ίδια πειραµατική διάταξη και κάτω από τις ίδιες συνθήκες, η πιθανότητα η µεταβλητή Υ να βρεθεί στο διάστηµα τιµών (y k, y k +dy k ) δίνεται από τη σχέση: P(y k <Y<y k +dy k )=w(y k )dy k Λόγω της στατιστικής ανεξαρτησίας των µετρήσεων, η πιθανότητα τα αποτελέσµατα των διαδοχικών µετρήσεων,, 3 Ν, να βρίσκονται αντίστοιχα στα διαστήµατα (y, y +dy ), (y, y +dy ), (y 3, y 3 +dy 3 ) Σχήµα (y, y +dy ) είναι ίση µε το γινόµενο των αντίστοιχων πιθανοτήτων: 0) 9,83 P(y <Y <y +dy ; y <Y <y +dy y <Y <y +dy )=w(y ) w(y ) w(y )dy dy dy d) Η κατανοµή πιθανότητας w(y), όπως είπαµε, εξαρτάται από τη συγκεκριµένη πειραµατική διάταξη και τις συνθήκες διεξαγωγής του πειράµατος. Ωστόσο, η αναλυτική της έκφραση µας είναι άγνωστη. Παρόλα αυτά, εφόσον ικανοποιούνται οι συνθήκες b και c, κάθε κατανοµή w(y), που αντιστοιχεί σε µια αξιόπιστη πειραµατική διαδικασία πρέπει να είναι εντοπισµένη σε µια ορισµένη περιοχή τιµών της τυχαίας µεταβλητής Υ. Για παράδειγµα, από τις διαδοχικές µετρήσεις του χρόνου δέκα πλήρων αιωρήσεων ενός εκκρεµούς µήκους 0,98m, προέκυψαν οι τιµές που αναγράφονται στον πίνακα Α. Παρατηρούµε ότι οι τιµές βρίσκονται µέσα στο διάστηµα (9,4, 0,0). Είναι «λογικό» να περιµένουµε ότι η κατανοµή πιθανότητας w(y) για τη συγκεκριµένη ακολουθία µετρήσεων έχει τιµές σηµαντικά διαφορετικές από το µηδέν µέσα σε αυτό το διάστηµα, ενώ οι τιµές της συγκλίνουν γρήγορα προς το µηδέν όταν το y λαµβάνει τιµές εκτός αυτού. Ή, µε διαφορετική διατύπωση, θεωρούµε πάρα πολύ απίθανο να πραγµατοποιήσουµε µε τη συγκεκριµένη πειραµατική διάταξη αξιόπιστη µέτρηση, στην ΠΙΝΑΚΑΣ Α Χρόνος 0 αιωρήσεων t (s) (Μήκος εκκρεµούς 0,98m) ) 9,8 ) 9,67 3) 9,83 4) 9,47 5) 9,87 6) 9,99 7) 9,87 8) 9,98 9) 9,93
3 οποία η τιµή του χρόνου να προκύψει για παράδειγµα 40s ή 5s. Ώστε η κατανοµή πιθανότητας, αν και άγνωστη, πρέπει να έχει γράφηµα παρόµοιο µε εκείνο του σχήµατος. ) Μέση τιµή των πειραµατικών τιµών και ο νόµος των µεγάλων αριθµών. Κατά τη διεξαγωγή µιας ακολουθίας Ν µετρήσεων ενός µεγέθους Υ, µέσω µιας συγκεκριµένης πειραµατικής διάταξης και κάτω από προσδιορισµένες συνθήκες, θεωρούµε ως την πιθανότερη τιµή του Υ, τον αριθµητικό µέσο των τιµών του Υ που έχουν προκύψει κατά τις µετρήσεις. ηλαδή, αν Υ, Υ, Υ Ν είναι οι πειραµατικές τιµές του Υ, θεωρούµε ότι η µέση τιµή του Υ ισούται µε τον αριθµητικό µέσο των πειραµατικών τιµών: Y= ( Y + Y Y) () Ωστόσο, σύµφωνα µε τη θεωρία των πιθανοτήτων, η µέση τιµή (µ) του µεγέθους Υ, προσδιορίζεται από την κατανοµή w(y), που αντιστοιχεί στην πειραµατική διαδικασία, µε βάση τη σχέση: () µ= y w(y)dy Με άλλα λόγια θεωρούµε ότι η µέση τιµή του µεγέθους Υ, όπως αυτή προσδιορίζεται από τη σχέση () είναι ίση µε τον αριθµητικό µέσο των πειραµατικών τιµών του Υ, που υπολογίζεται από τη σχέση (): µ= Y y w(y)dy= Y + Y Y ( ) (3) Το δικαίωµα να χρησιµοποιούµε τις σχέσεις (3), µας το παρέχει το θεώρηµα των µεγάλων αριθµών, του οποίου δίνουµε µια απλή απόδειξη στη συνέχεια. Λήµµα: Η ανισότητα του Chebyshev. Έστω Υ τυχαία µεταβλητή µε κατανοµή πιθανότητας w(y) και τιµές στο R. Η µέση τιµή της Υ είναι µ και η τυπική απόκλιση (µεταβλητότητα) σ. Τότε για κάθε θετικό αριθµό α (α>0), ισχύει η σχέση: P Y µ α σ α (4) ( ηλαδή η πιθανότητα η απόλυτη τιµή της διαφοράς της Υ από τη µέση τιµή της, να είναι µεγαλύτερη από θετικό αριθµό α, είναι ανάλογη του σ και αντιστρόφως ανάλογη του α. Παρατήρησε ότι για δεδοµένο α, η πιθανότητα αυτή είναι τόσο µικρότερη όσο πιο µικρή είναι η τυπική απόκλιση σ της κατανοµής πιθανότητας. ηλαδή όσο πιο µικρή είναι η τυπική απόκλιση της κατανοµής τόσο πιο πολύ εντοπισµένες γύρω από τη µέση τιµή τους είναι οι τιµές της µεταβλητής Υ.) Απόδειξη Η µέση τιµή της Υ δίνεται από τη σχέση () και η τυπική της απόκλιση της από τη σχέση: 3
4 σ = (y µ ) w(y)dy (5) Η ποσότητα που ολοκληρώνεται στην (5) είναι θετική ή µηδέν για κάθε y στο R. Εποµένως, περιορίζοντας την περιοχή ολοκλήρωσης, από την (5) προκύπτουν αµέσως οι σχέσεις: σ = (y µ ) w(y)dy (y µ ) w(y)dy α w(y)dy =α P Y µ α y µ α y µ α από την οποία τελικά προκύπτει η (4). Ας υποθέσουµε τώρα ότι πραγµατοποιούµε Ν διαδοχικά πειράµατα µε την ίδια διάταξη και κάτω από ταυτόσηµες συνθήκες και υπολογίζουµε τον αριθµητικό µέσο όρο Y των πειραµατικών τιµών του Υ. Αν πραγµατοποιήσουµε άλλα Ν πειράµατα µε τον ίδιο τρόπο, η τιµή του Y θα λάβει κάποια άλλη τιµή κοκ. Με τον τρόπο αυτό ο αριθµητικός µέσος Y, µπορεί να ειδωθεί ως µια τυχαία µεταβλητή, που ορίζεται από τη σχέση: Y= ( Y + Y Y) (6) όπου Υ, Υ, Υ Ν είναι οι τυχαίες µεταβλητές που λαµβάνουν τιµές τις πειραµατικές τιµές του µεγέθους Υ κατά τις µετρήσεις,, Ν, σε µια Νιάδα µετρήσεων. Η πρόθεσή µας τώρα είναι να εφαρµόσουµε την ανισότητα του Chebyshev για τη µεταβλητή Y. Προς τούτο χρειάζεται να υπολογίσουµε τη µέση τιµή (µ Ν ) και την τυπική απόκλιση (σ Ν ) της Y. Με δεδοµένο ότι οι µεταβλητές Υ, Υ, Υ Ν είναι στατιστικά ανεξάρτητες και ακολουθούν όλες την κοινή κατανοµή πιθανότητας w(y), είναι ζήτηµα εφαρµογής των ορισµών και προσεκτικών πράξεων για να διαπιστώσουµε ότι: όπου: µ =µ Ν ( ) y w(y)dy µ Υ = ( ( ) σ σ Ν = µ Υ µ ) = Ν Ν Με βάση τις σχέσεις (7), η ανισότητα του Chebyshev λαµβάνει τη µορφή: (7) για κάθε θετικό αριθµό α. σ P (Y + Y Y ) µ α Ν α (8) Παρατηρούµε ότι όταν ο αριθµός των µετρήσεων Ν τείνει στο άπειρο, η πιθανότητα ο αριθµητικός µέσος Ν µετρήσεων να διαφέρει από τη µέση τιµή µ του µετρούµενου µεγέθους Υ συγκλίνει στο µηδέν. Το συµπέρασµα αυτό είναι µια έκφραση του νόµου των µεγάλων αριθµών, προσαρµοσµένη στη διαδικασία των µετρήσεων. Έτσι, σε µια πειραµατική διαδικασία µέτρησης κάποιου µεγέθους Υ, νοµιµοποιείται η ταύτιση της µέσης τιµής του Υ µε το µέσο όρο µιας ακολουθίας Ν διαδοχικών µετρήσεων. Ωστόσο, θα έλεγε κανείς ότι για να εξασφαλιστεί σε ικανοποιητικό βαθµό η ταύτιση αυτή 4
5 θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί ένας πολύ µεγάλος αριθµός διαδοχικών µετρήσεων του Υ (Ν ). Παρατήρησε όµως ότι στον αριθµητή του ου µέρους της (8) υπάρχει το σ, που είναι η τυπική απόκλιση της κατανοµής πιθανότητας w(y). Όµως, όπως είδαµε, η συνάρτηση w(y) είναι εξαιρετικά εντοπισµένη σε µια µικρή περιοχή γύρω από τη µέση τιµή µ της Υ (σχήµα), που σηµαίνει ότι το σ έχει τιµή πολύ κοντά στο µηδέν. Έτσι, στην πράξη δεν χρειάζεται να κάνουµε ένα τεράστιο αριθµό µετρήσεων για να εξασφαλίσουµε τη σύγκλιση του αριθµητικού µέσου των µετρήσεων µε τη µέση τιµή του Υ. Αρκούν µερικές µετρήσεις (0 στο παράδειγµά µας), και το δεύτερο µέρος της (8) λαµβάνει αρκετά µικρή τιµή. 3) Έµµεσα µετρούµενα µεγέθη. Πολλά φυσικά µεγέθη µετρούνται έµµεσα, µέσω φυσικών νόµων (µαθηµατικών σχέσεων) που τα συνδέουν µε άλλα φυσικά µεγέθη τα οποία είναι άµεσα µετρήσιµα. Για παράδειγµα, η µέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας µε ένα απλό εκκρεµές σταθερού µήκους γίνεται µέσω της µέτρησης του χρόνου µιας πλήρους αιώρησης µικρού πλάτους του εκκρεµούς (περίοδο Τ), και της σχέσης που συνδέει την επιτάχυνση της βαρύτητας g µε την περίοδο Τ: 4π L g= (9) Έστω λοιπόν ότι το φυσικό µέγεθος Ζ σχετίζεται µε το Υ µέσω του φυσικού νόµου T Z= F(Y) και το Υ είναι άµεσα µετρήσιµο µε τη βοήθεια µιας πειραµατικής διάταξης που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της παραγράφου. Πραγµατοποιούµε Ν µετρήσεις Υ, Υ, Υ Ν του µεγέθους Υ και υπολογίζουµε τις αντίστοιχες τιµές του µεγέθους Ζ: Ζ =F(Y ), Ζ =F(Y ), Ζ Ν =F(Y Ν ). εν είναι δύσκολο να διαπιστώσουµε ότι η ανισότητα του Chebyshev και ο νόµος των µεγάλων αριθµών, όπως διατυπώθηκαν για την άµεσα µετρούµενη µεταβλητή Υ, στην παράγραφο, ισχύουν και για την εξαρτηµένη µεταβλητή Ζ=F(Y). ηλαδή µπορούµε να δείξουµε ότι ο αριθµητικός µέσος των Ζ =F(Y ), Ζ =F(Y ), Ζ Ν =F(Y Ν ) συγκλίνει προς τη µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Ζ=F(Y) και µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: όπου: Z= F(Y) = F(Y ) + F(Y ) +...F(Y ) µ (Z) = ( ) F(y)w(y)dy σ (Z) = (F(y) µ (Z)) w(y)dy σ σ (Z) = ( µ (Z ) µ (Z)) = (Z) Z =µ (Z) Είναι όµως η τιµή: Z= F(Y) (0) η ζητούµενη πειραµατική τιµή του µεγέθους Ζ; Με την πειραµατική διάταξη που χρησιµοποιούµε µπορούµε να µετρήσουµε το µέγεθος Υ (το χρόνο δέκα αιωρήσεων του εκκρεµούς, στο παράδειγµά µας) και, σύµφωνα µε το θεώρηµα των µεγάλων αριθµών, η πλέον αποδεκτή τιµή του Υ είναι ο αριθµητικός µέσος των πειραµατικών τιµών του Υ. Επιπλέον γνωρίζουµε ότι στο φαινόµενο που αναπαράγουµε µε την πειραµατική µας διάταξη, το φυσικό µέγεθος Ζ σχετίζεται µε το Υ, µέσω του φυσικού νόµου Z=F(Y). Συµπεραίνουµε ότι η αποδεκτή πειραµατική τιµή του Ζ είναι: 5
6 Zexp = F(Y) () Πολύ συχνά συµβαίνει να εκλαµβάνεται ως πειραµατική τιµή του εξαρτηµένου µεγέθους Ζ η µέση τιµή των τιµών το F(Y ), F(Y ), F(Y ) (σχέση (0)) και όχι η Ζ exp που δίνεται από τη σχέση (). Οι δύο τιµές ταυτίζονται όταν ο φυσικός νόµος Z=F(Y) είναι γραµµικός. Στη γενική, ωστόσο περίπτωση οι δύο τιµές είναι διαφορετικές. Στη συνέχεια, θα υπολογίσουµε τη διαφορά των δύο τιµών Z= F(Y) και Zexp = F(Y), και θα βρούµε τη διαφορά στην τιµή του g, που προκύπτει στο παράδειγµα της µέτρησης του g µε απλό εκκρεµές σταθερού µήκους. 4) Η τιµή Z = F( Y ) διαφέρει από την πειραµατική τιµή του Zexp = F( Y ). Έστω y, y, y ένα σύνολο πειραµατικών τιµών του µεγέθους Υ, y η µέση τιµή τους και σ η τυπική απόκλιση τους από τη µέση τιµή y. Σύµφωνα µε τα προηγούµενα ισχύουν οι σχέσεις: y = y k k= () σ Ν = (yk y) = εk Ν k= k= όπου ε k = yk y. Είναι φανερό ότι τα ε k ικανοποιούν τη σχέση: ε k = 0 (3) k= Η µέση τιµή του µεγέθους Ζ είναι: Z= F(y k ) = F(y +εk ) (4) k= k= Με δεδοµένο ότι οι πειραµατικές τιµές του Υ είναι εντοπισµένες σε µια περιοχή αρκετά µικρού εύρους γύρω από τη µέση τιµή τους, µπορούµε να αναπτύξουµε τις συναρτήσεις του ου µέρους της (4) σε σειρά Taylor ως προς τα ε k. Το άθροισµα των όρων πρώτης τάξης µηδενίζεται λόγω της σχέσης (3), οπότε αν κρατήσουµε όρους µέχρι και ης τάξης ως προς τα ε k, λαµβάνουµε: d F(y) σ d F(y) k (5) k= Z= F(y) + ε = F(y) + dy dy Ώστε καταλήγουµε ότι για αρκετά εντοπισµένες µετρήσεις γύρω από τη µέση τιµή τους, σε πολύ ικανοποιητική προσέγγιση µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: σ d F(y) F(Y) = F(y) + (6) dy Ας ελέγξουµε τους ισχυρισµούς αυτής και της προηγούµενης παραγράφου, δηλαδή τις σχέσεις () και (6) στο πείραµα της µέτρησης του g µε απλό εκκρεµές σταθερού µήκους. Παραθέτουµε δύο πίνακες µε πειραµατικά δεδοµένα και τους σχετικούς υπολογισµούς. Οι µετρήσεις που αντιστοιχούν στον πίνακα Β, έχουν γίνει µε µικρότερη ακρίβεια απ ότι εκείνες που αντιστοιχούν σον πίνακα Γ. Για το απλό εκκρεµές ισχύει η σχέση (9). Εποµένως η σχέση (6) λαµβάνει τη µορφή: 6
7 g(t) π L = g(t) +σ (7) 4 T Παρατηρούµε ότι και στα δύο σύνολα µετρήσεων οι τιµές g(t),g(t) διαφέρουν µεταξύ τους όσο προβλέπεται από τη σχέση (7). Σηµειώνουµε ότι η διαφορά αυτή είναι ανάλογη της τυπικής απόκλισης σ. Όσο µικρότερο είναι το σ, δηλαδή όσο περισσότερο εντοπισµένες είναι οι µετρήσεις γύρω από τη µέση τιµή τους, τόσο µικρότερη είναι η διαφορά της µέσης τιµής των τιµών του g από την πειραµατική τιµή του g(t). Συµπέρασµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός ενός έµµεσα µετρούµενου µεγέθους από τη µέση τιµή των τιµών του (που προκύπτουν κατά τις διαδοχικές διεξαγωγές της ίδιας πειραµατικής διαδικασίας), εισάγει πάντοτε ένα σφάλµα, που υπολογίζεται από τη σχέση (6). 7
8 Αριθµός µέτρησης ΠΙΝΑΚΑΣ Β Χρόνος 0 Χρόνος πλήρων µιας αιωρήσεων πλήρους (t), s αιώρησης (Τ), s g(t k ) m/s (T k -T exp ) Χρόνος µιας πλήρους αιώρησης (Τ), s ΠΙΝΑΚΑΣ Γ g(t k ) (T k -T exp ) m/s 9,8,98 9,859,5E-06,9 0,77 0, ,67,967 9,999 0,000405,96 0,07 0, ,83,983 9,839,5E-07,98 9,869 E ,47,947 0,06 0,00605,9 0,495 0, ,87,987 9,799,05E-05,07 9,09 0, ,99,999 9,68 0,00075,03 9,388 0, ,87,987 9,799,05E-05,96 0,07 0, ,98,998 9,69 0,000405,95 0,75 0, ,93,993 9,740 0,00005,04 9,97 0, ,83,983 9,839,5E-07 9,67 0,00036 Μέση περίοδος Τ exp,983,98 Τυπική απόκλιση σ 0,000 0,006 Μέση τιµή των g(t k ) 9,845 9,878 (µ(g)) Πειραµατική τιµή του g: g(t exp ) 9,844 9,859 µ(g)-g(texp) 0,006 0,097 ιαφορά της g(texp) από τη µέση τιµή των g(tk), σύµφωνα µε τον τύπο (7) 0,006 0,098 Βιβλιογραφία: ) Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill int. eds. ) Αποστολάτος Ν. Αριθµητική Ανάλυση, Αθήνα 97 (εκδ. Παν. Αθηνών) 3) Feller, An Introduction to Probability Theory, 3d ed, Wiley Int. Eds. 4) Gnedenko, The Theory of Probability, Mir Puplishers, Moscow. 8
Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης
Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2010 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο:
ΕΚΦΕ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 010 Προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας 1) ) 3) Οι στόχοι του πειράµατος 1. Η µέτρηση της επιτάχυνσης
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότερα3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)
3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος
Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραεξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.
Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότερα1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1
1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότερα) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή
Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραόπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.
3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΕργαστηριακά Κέντρα Φυσικών Επιστηµών Ανατολικής (ΕΚΦΕ) Αττικής 2010 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΦΩΤΟΠΥΛΗΣ
Εργαστηριακά Κέντρα Φυσικών Επιστηµών Ανατολικής (ΕΚΦΕ) Αττικής 010 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΦΩΤΟΠΥΛΗΣ Στόχοι. Σχεδιασµός, συναρµολόγηση και λειτουργία απλών πειραµατικών
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότερα11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου.
11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ Η/Μ ΕΠΑΓΩΓΗΣ, ΤΟΥ FARADAY ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑ MB. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος
Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΗ ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Διαβάστε περισσότεραΟι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότερα, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων
Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα
ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ
ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από
Διαβάστε περισσότεραΑ. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα
Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΣτροβιλισµός πεδίου δυνάµεων
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραστατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας
στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων
Διαβάστε περισσότεραΟι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:
Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:
Διαβάστε περισσότεραΥπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Διαβάστε περισσότερα----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------
----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότερα... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1
ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι
Διαβάστε περισσότεραΓενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας
Γενικές Παρατηρήσεις για τις Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικοχηµείας Σκοπός των ασκήσεων είναι η κατανόηση φυσικών φαινοµένων και µεγεθών και η µέτρησή τους. Η κατανόηση αρχίζει µε την µελέτη των σηµειώσεων,
Διαβάστε περισσότεραΒαγγέλης Κουντούρης Φυσικός 1 ο Γυµνάσιο Ιλίου. Μια διδακτική προσέγγιση της έννοιας «δύναµη»
Φυσικός 1 ο Γυµνάσιο Ιλίου Μια διδακτική προσέγγιση της έννοιας «δύναµη» Νίκαια 24/04/2004 Έννοια δύναµη 1. Ορισµός 2. Χαρακτηριστικά δύναµης 3. Μέτρηση δύναµης 4. Συνισταµένη δυνάµεων 5. Πειραµατικός
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότερα1. Πειραματικά Σφάλματα
. Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραΣφάλματα Είδη σφαλμάτων
Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΤρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα