ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΠΟΤΣΑΡΗΣ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΠΙΣΜΠΙΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 46

2

3 3

4 4

5 Ευχαριστώ πολύ τον καθηγητή µου κ. Μπότσαρη και όλους όσους µε βοήθησαν να φτάσω έως εδώ 5

6 6

7 Περιεχόµενα. Εισαγωγή, 9. Ορισµός συστήµατος αναµονής, 9. Χαρακτηρισµός απλών συστηµάτων αναµονής, 4 - Ζητούµενα µεγέθη, 7 - Εκθετική κατανοµή, 8 - Ιδιότητα έλλειψης µνήµης (memory-less property), 9.3 Μοντέλα συστηµάτων αναµονής - Θεώρηµα του Lttle,.4 Θεώρηµα του Lttle,.5 Εφαρµογές του θεωρήµατος του Lttle, 5.6 Το M/M/ σύστηµα αναµονής, 8.6. Κύρια αποτελέσµατα, 9.6. Κατανοµή κατοχής κατά την άφιξη (Occupacy Dstrbuto upo Arrval), Κατανοµή κατοχής κατά την άφιξη (Occupacy Dstrbuto upo Departure), 4.7 Το M/M/c, M/M/, M/M/c/c, και άλλα συστήµατα Markov, 4.7. Το M/M/c σύστηµα αναµονής : c µονάδες εξυπηρέτησης, 4.7. Σειρές αναµονής M / M / c/ K µε παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης, Το σύστηµα αναµονής M/M/c/c: c εξυπηρετητές, απώλειες, Πολυδιάστατες αλυσίδες Markov-εφαρµογές στη µεταγωγή κυκλώµατος, Το σύστηµα αναµονής M/M/ : άπειρες µονάδες εξυπηρέτησης, Σειρές αναµονής περιορισµένου πληθυσµού, Εξαρτηµένος ρυθµός εξυπηρέτησης, Σειρές αναµονής µε ανυποµονησία, 64.8 Το Μ/G/ σύστηµα, Μ/G/ Σειρές αναµονής µε διακοπές, 7.8. Σειρές αναµονής µε προτεραιότητα, 75 - Απλή προτεραιότητα ή προτεραιότητα χωρίς διακοπή, 75 - Απόλυτη προτεραιότητα ή προτεραιότητα µε διακοπή, 78.9 Προηγµένα Mαρκοβιανά Μοντέλα Αναµονής, 8 [ X ].9. Μαζική εισαγωγή ( M / M /), 8 [ Y ].9. Μαζική εξυπηρέτηση ( M / M /), Μοντέλα γραµµών αναµονής µε µη εκθετικές κατανοµές, 9 - Η κατανοµή Erlag, 9 - Μοντέλο εξυπηρέτησης Erlag ( M / E /), 94 k - Μοντέλο άφιξης Erlag ( M / E /), 98 k. ίκτυα, σειριακές και κυκλικές σειρές αναµονής,. Σειριακές γραµµές αναµονής, 3.. Queue Output, 4 - Θεώρηµα Burke, 7.. Σειριακές γραµµές παραγωγής µε µπλοκάρισµα (συµφόρηση),. Ανοικτά δίκτυα Jackso, 8.. Ανοικτά δίκτυα Jackso µε πολλαπλές κατηγορίες πελατών, 8 7

8 .3 Κλειστά δίκτυα Jackso, 3.3. Mea-Value Aalyss, 37.4 Κυκλικές σειρές αναµονής, 49 Περαιτέρω έρευνα, 5 Παράρτηµα Α: Περίληψη των αποτελεσµάτων, 5 Βιβλιογραφία, 58 8

9 . Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Τα συστήµατα γραµµών αναµονής είναι ένα καθηµερινό φαινόµενο, που δηµιουργείται σε ένα σύστηµα όταν η τρέχουσα ζήτηση για µια εξυπηρέτηση είναι µεγαλύτερη από την τρέχουσα δυναµικότητα του συστήµατος, που παρέχει την εξυπηρέτηση. Η καταλληλότητα των συστηµάτων αυτών έχει µεγάλη επίδραση τόσο στην ποιότητα ζωής όσο και στην παραγωγικότητα. Οι γραµµές αναµονής συναντώνται πολύ συχνά στη βιοµηχανία, το εµπόριο και τη ηµόσια ιοίκηση. Οι αποφάσεις που έχουν σχέση µε τον προσδιορισµό της δυναµικότητας είναι πολλές φορές δύσκολες, επειδή είναι συχνά αδύνατο να προβλέψουµε επακριβώς πότε θα αφιχθούν οι µονάδες στο σύστηµα για να εξυπηρετηθούν και πόσος χρόνος θα χρειαστεί για την εξυπηρέτησή τους. Η ύπαρξη στο σύστηµα µεγαλύτερης δυναµικότητας από αυτή που χρειάζεται, θα απαιτήσει µεγαλύτερο κόστος. Από την άλλη µεριά, αν είναι µικρότερη, θα δηµιουργηθεί συνωστισµός και η ουρά θα µεγαλώνει µε την πάροδο του χρόνου. Η ύπαρξη ουράς δηµιουργεί και αυτή κόστος, όπως π.χ. κοινωνικό κόστος, κόστος διαρροής πελατών, κόστος αχρησιµοποίητων πόρων κ.ά. Έτσι, αντικειµενικός σκοπός είναι να βρεθεί µια οικονοµική ισορροπία µεταξύ του κόστους εξυπηρέτησης και του κόστους που συνδέεται µε την αναµονή γι' αυτή την εξυπηρέτηση.. Ορισµός Συστήµατος Αναµονής Ένα σύστηµα αναµονής χαρακτηρίζεται από ροή "πελατών" που φθάνουν σ' ένα ή περισσότερους σταθµούς εξυπηρέτησης. Ο όρος "πελάτης" χρησιµοποιείται υπό µια γενική έννοια και δεν αναφέρεται απαραίτητα σε έναν ανθρώπινο πελάτη. Παραδείγµατος χάριν, ένας πελάτης θα µπορούσε να είναι ένα αεροπλάνο που περιµένει να απογειωθεί από ένα συγκεκριµένο διάδροµο απογείωσης, ή στην περίπτωση δικτύων υπολογιστών, οι πελάτες µπορεί να παριστάνουν πακέτα δεδοµένων (µηνύµατα) τα οποία φθάνουν σε έναν επικοινωνιακό σύνδεσµο για µετάδοση ή ακόµα θα µπορούσε να είναι ένα πρόγραµµα σε έναν υπολογιστή που περιµένει να υλοποιηθεί. Όταν φθάσει στο σταθµό εξυπηρέτησης ο πελάτης, µπορεί να εξυπηρετηθεί αµέσως ή εφόσον το επιθυµεί, θα περιµένει µέχρις ο σταθµός εξυπηρέτησης εκκενωθεί. Σ' ένα σύστηµα γραµµών αναµονής οι σταθµοί εξυπηρέτησης έχουν περιορισµένη ικανότητα εξυπηρέτησης πελατών, ενώ οι πελάτες καταφθάνουν τυχαία και χρειάζονται διαφορετικούς χρόνους εξυπηρέτησης. Έτσι, είναι δύσκολο αν όχι αδύνατο να εξασφαλισθεί ότι όλοι οι πελάτες θα εξυπηρετηθούν κατά την άφιξή τους ή ότι οι σταθµοί εξυπηρέτησης θα είναι πάντα πλήρεις. Το πρόβληµα της θεωρίας γραµµών αναµονής είναι να εξασφαλισθεί λογικός χρόνος αναµονής για τους πελάτες µε µικρό κόστος εξυπηρέτησης. Ένα τέτοιο βασικό σύστηµα µπορεί να παρουσιαστεί σχηµατικά όπως στο σχήµα. Σύµφωνα µε αυτό µια ακολουθία πελατών φθάνει σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης, ο οποίος περιλαµβάνει µία ή περισσότερες θέσεις εξυπηρέτησης. Αν ένας πελάτης, φθάνοντας στο σύστηµα βρει όλους τους σταθµούς εξυπηρέτησης απασχοληµένους, τότε περιµένει στην ουρά 9

10 αναµονής µέχρι να επιλεχθεί η κατάλληλη χρονική στιγµή προκειµένου να εξυπηρετηθεί, σύµφωνα µε κάποιο αλγόριθµο χρονοδροµολόγησης Σχήµα - Γενικό σύστηµα αναµονής (queueg dscple) γνωστό ως πειθαρχία ουράς ή πειθαρχία εξυπηρέτησης. Τελειώνοντας η εξυπηρέτησή του, ο πελάτης αναχωρεί από το σύστηµα. Οι σταθµοί εξυπηρέτησης µπορεί να είναι παράλληλοι ή στη σειρά. Όταν είναι παράλληλοι, οι πελάτες που καταφθάνουν µπορεί να κάνουν µία µόνο ουρά, όπως φαίνεται στο σχήµα.α ή µία ουρά µπροστά από κάθε σταθµό εξυπηρέτησης, όπως συνήθως συµβαίνει στα ταχυδροµεία. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης µπορεί να είναι σταθεροί ή τυχαίοι και οι πελάτες µπoρεί να εξυπηρετηθούν µεµονωµένα ή σε οµάδες (όπως οι επιβάτες σ' ένα λεωφορείο). Σχήµα.α Παράλληλος σταθµός εξυπηρέτησης Οι σταθµοί εξυπηρέτησης µπορεί να µην είναι διατεταγµένοι παράλληλα, αλλά σε σειρά (σχήµα β) και ο κάθε πελάτης θα πρέπει να περάσει για εξυπηρέτηση απ' όλους τους σταθµούς, όπως όταν ένα εξάρτηµα πρέπει να υποστεί διαδοχικές επεξεργασίες σε διάφορα µηχανήµατα. Τότε µεταξύ δύο διαδοχικών σταθµών σχηµατίζεται µία ουρά και έχουµε ένα σύστηµα πολλών σταθµών σε σειρά ή ουρές σε σειρά. Μερικές φορές οι πελάτες µπορούν να εξυπηρετηθούν µόνο κατά τη διάρκεια συγκεκριµένων περιόδων, κατά τη διάρκεια των οποίων µπορεί να υπάρχει ή όχι περιορισµός στον αριθµό των πελατών που µπορούν να εξυπηρετηθούν ταυτόχρονα. Για παράδειγµα, αν οι πελάτες είναι πεζοί που περιµένουν να περάσουν ένα πολυσύχναστο δρόµο σ' ένα σηµείο χωρίς φανάρια, η

11 Σχήµα.β Σταθµοί εξυπηρέτησης σε σειρά εξυπηρέτησή τους είναι δυνατή µόνον όταν δηµιουργηθεί ένα κενό στην κυκλοφορία. Όταν συµβεί αυτό, ένας µεγάλος αριθµός πεζών µπορεί να εξυπηρετηθεί ταυτόχρονα. Αν οι πελάτες είναι αυτοκίνητα που περιµένουν στα φανάρια, η εξυπηρέτηση περιορίζεται από την ανάγκη να περιµένει µέχρις όλοι οι προηγούµενοι πελάτες στην ουρά έχουν εξυπηρετηθεί και µέχρις ότου ανάψει το πράσινο. ηλαδή, εδώ υπάρχει ένα µείγµα δύο περιορισµών στην εξυπηρέτηση. Ας ξαναθυµηθούµε το σχήµα, έστω λ πελάτες ανά δευτερόλεπτο ο µέσος ρυθµός αφίξεων πελατών (βλέπε σχήµα ). Αν a ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων, τότε ισχύει: Ea ( ) = / λ Έστω µ πελάτες ανά δευτερόλεπτο ο µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης των πελατών. Αν s ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αναχωρήσεων, τότε ισχύει: Es () = / µ Σχήµα - Αφίξεις/ αναχωρήσεις σε σύστηµα αναµονής Ας θεωρήσουµε ρυθµό αφίξεων πελάτες/sec και ρυθµό εξυπηρέτησης πελάτες/sec. Εξασφαλίζουµε καλή συµπεριφορά του συστήµατος αναµονής, εφόσον: ρ = λ / µ < όπως στο συγκεκριµένο αριθµητικό παράδειγµα. Για συστήµατα αναµονής µε µια θέση εξυπηρέτησης ο λόγος: λ / µ ή λ Es ()

12 δηλώνει την ένταση φορτίου (traffc testy) και συνήθως εκφράζεται σε Erlags,είναι δε ίσος µε το συντελεστή χρησιµοποίησης. Η ένταση φορτίου εκφράζει το ποσοστό της εξυπηρέτησης, το οποίο απαιτεί ένας χρήστης και σύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι ίση µε: ρ = Es ()/ Ea () Στην περίπτωση που έχουµε δύο θέσεις εξυπηρέτησης τότε το σύστηµα είναι ευσταθές αν ρ <, ενώ στην γενική περίπτωση που έχουµε N εξυπηρετητές το σύστηµα είναι ευσταθές αν ρ < N. Παράδειγµα: Έστω το τηλεφωνικό δίκτυο του Πολυτεχνείου, όπου ο αριθµός των εξυπηρετητών είναι. Εξασφαλίζουµε καλή συµπεριφορά του συστήµατος εάν ρ <. Θεωρώντας E() s =3m=8sec, ο ρυθµός εξυπηρέτησης θα είναι µ =/8 πελάτες/sec. Αυτό σηµαίνει ότι το τηλεφωνικό δίκτυο θα έχει καλή συµπεριφορά ακόµα και αν έχουµε αφίξεις µέχρι και λ =7 πελάτες /m. Έστω ένα τηλεφωνικό κέντρο, το οποίο µπορούµε να θεωρήσουµε ως σύστηµα αναµονής χωρίς χώρο αναµονής (buffer). Στην περίπτωση αυτή, αν ρ = λ / µ η ένταση φορτίου, τότε ορίζουµε ως µέσο ρυθµό εξόδου ρυθµαπόδοση (throughput) του συστήµατος σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: γ = λ( P ) bl όπου P bl η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστηµα πλήρες. Στα τηλεφωνικά κέντρα η πιθανότητα αυτή συνήθως είναι.< P bl <. και αποτελεί µια παράµετρο του βαθµού ποιότητας του συστήµατος (Grade of Servce GOS). Στην περίπτωση άπειρης ουράς αναµονής δεν έχουµε απώλειες και λ = γ. Προκειµένου να έχουµε σταθερό σύστηµα θα πρέπει λ < µ N ή λ < N. Το γινόµενο µ N αποτελεί τη δυνατότητα διεκπεραίωσης του συστήµατος. Στην γενική περίπτωση δεν µπορούµε να εκµεταλλευτούµε ένα σύστηµα αναµονής πλήρως, οπότε ισχύει λ < γ < µ. Ο λόγος: u = γ / µ ή u = γ / Nµ για N > ονοµάζεται βαθµός εκµετάλλευσης του συστήµατος ή βαθµός απόδοσης /χρησιµοποίησης (utlzato) και µας δείχνει το ποσοστό του Ο αριθµός Erlags (ένταση κινήσεως) είναι ο µέσος αριθµός των ταυτόχρονων καταλήψεων σε ένα τηλεφωνικό σύστηµα κατά τη διάρκεια µιας καθορισµένης χρονικής περιόδου Τ.

13 χρόνου που είναι απασχοληµένες οι θέσεις εξυπηρέτησης δηλαδή ο εξυπηρετητής είναι ενεργός. Αν γ = πελάτες/sec η ρυθµαπόδοση του συστήµατος και µ =5 πελάτες/sec ο ρυθµός εξυπηρέτησης του συστήµατος, τότε η χρησιµοποίηση του συγκεκριµένου συστήµατος θα είναι u =/5. Σχήµα 3 - Κατάσταση της ουράς Η κατάσταση της ουράς δηλαδή ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα κάποια χρονική στιγµή t, όπως φαίνεται στο σχήµα 3 ισούται µε τον αριθµό των πελατών που εξυπηρετούνται τη χρονική στιγµή t συν τον αριθµό των πελατών που βρίσκονται σε αναµονή την ίδια χρονική στιγµή, t () = () t () t q + s. Στην περίπτωση ενός εξυπηρετητή: E ( ( t)) = P + P= P + ( P) = P[ t ( ) = ] + P[ t ( ) > ] s r r όπου P [ ( t) > ] είναι η πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στην ουρά. Στην r περίπτωση ενός εξυπηρετητή η πιθανότητα αυτή ισούται µε το κλάσµα του χρόνου κατά το οποίο ο εξυπηρετητής είναι ενεργός, δηλαδή P [ ( t) > ] = u. r Στο σχήµα 3 ο χρόνος που απαιτείται για να περάσει ένας πελάτης από το Α στο Β ισούται µε το άθροισµα του χρόνου αναµονής και του χρόνου εξυπηρέτησης. ηλαδή: Et ( ( )) = E ( ( t)) + u, όπου u <. q Για να έχουµε µια πλήρη περιγραφή της κατάστασης ενός συστήµατος αναµονής θα πρέπει να γνωρίζουµε τον αριθµό των πελατών σε αναµονή, τoν αριθµό των πελατών που εξυπηρετούνται και τη διάρκεια κάθε συνδιαλλαγής. Σε πολλές περιπτώσεις χρησιµοποιείται η εκθετική κατανοµή για τον προσδιορισµό της διάρκειας µιας συνδιαλλαγής. Η κατανοµή αυτή 3

14 χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα απώλειας µνήµης ή ιδιότητα Markov σύµφωνα µε την οποία για τον υπολογισµό κάποιας πιθανότητας κάποια χρονική στιγµή δεν µας ενδιαφέρει η ήδη διάρκεια της συνδιαλλαγής. Για παράδειγµα, η πιθανότητα να διαρκέσει κάποια συνδιάλεξη περισσότερο από m είναι ανεξάρτητη από την ήδη διάρκεια της συνδιάλεξης.. Χαρακτηρισµός Απλών Συστηµάτων Αναµονής Ένα σύστηµα γραµµών αναµονής προσδιορίζεται πλήρως όταν οι πιο κάτω ποσότητες είναι γνωστές: α) Ο πληθυσµός των πελατών. Ένα από τα χαρακτηριστικά του πληθυσµού πελατών είναι το µέγεθός του, δηλαδή ο συνολικός αριθµός πελατών, που χρειάζονται εξυπηρέτηση και που µπορεί να είναι ή περιορισµένος ή άπειρος. Επειδή οι υπολογισµοί είναι πιο εύκολοι για την περίπτωση του άπειρου αριθµού πελατών, η υπόθεση αυτή γίνεται συχνά και όταν το πραγµατικό µέγεθος του πληθυσµού είναι ένας σχετικά µεγάλος πεπερασµένος αριθµός. Η περίπτωση του περιορισµένου αριθµού πελατών είναι πιο δύσκολη, επειδή ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα ουράς επηρεάζει τον αριθµό των πιθανών πελατών, που είναι έξω από το σύστηµα. Όµως, η υπόθεση του περιορισµένου αριθµού πελατών πρέπει να γίνεται όταν ο ρυθµός, µε τον οποίο ο πληθυσµός των πελατών δηµιουργεί νέους πελάτες, επηρεάζεται σηµαντικά από τον αριθµό των πελατών στο σύστηµα ουράς. Τέλος, θα πρέπει να προσδιοριστεί οποιαδήποτε ασυνήθιστη υπόθεση σχετική µε τη συµπεριφορά των πελατών. Ένα παράδειγµα είναι η µη προσχώρηση των πελατών στο σύστηµα, επειδή η ουρά αναµονής είναι µεγάλη. β) Η πειθαρχία ουράς αφορά την προτεραιότητα µε την οποία επιλέγονται οι πελάτες στην ουρά, για να εξυπηρετηθούν.οι συνηθέστερα χρησιµοποιηµένες πειθαρχίες είναι : FIFO ή FCFS, LIFO ή LCFS, Roud Rob (κυκλικά), κλπ. Στην συνέχεια παραθέτονται µερικοί από τους πιο συνηθισµένους τρόπους εξυπηρέτησης: FIFO (Frst I Frst Out) ή FCFS (Frst Come Frst Served): Οι πελάτες εξυπηρετούνται σύµφωνα µε την σειρά άφιξής τους. LIFO (Last I Frst Out) ή LCFS (Last Come Frst Served): Κάθε φορά εξυπηρετείται ο πελάτης µε τον πιο πρόσφατο χρόνο άφιξης. FIRO (Frst I Radom Out): Ισχύει τυχαία σειρά εξυπηρέτησης των πελατών. Χρονοδροµολόγηση µε προτεραιότητες (Prorty Schedulg): Οι πελάτες χωρίζονται σε κατηγορίες µε διαφορετικές προτεραιότητες. ιακρίνουµε δύο γενικούς τύπους προτεραιοτήτων: Απλή προτεραιότητα ή προτεραιότητα χωρίς διακοπή (o-preemptve): µετά το τέλος εξυπηρέτησης επιλέγεται για την επόµενη εξυπηρέτηση ο 4

15 πελάτης µε την υψηλότερη προτεραιότητα (µεταξύ προτεραιότητα ακολουθείται ο κανόνας FCFS). πελατών µε ίση Απόλυτη προτεραιότητα ή προτεραιότητα µε διακοπή (preemptve): όταν ένας πελάτης που φθάνει στο σύστηµα βρίσκει ένα πελάτη µε χαµηλότερη προτεραιότητα να εξυπηρετείται, το διακόπτει και αρχίζει η δική του εξυπηρέτηση. (R-R) Roud Rob: Είναι ένας από τους πιο διαδεδοµένους αλγόριθµους χρονοδροµολόγησης για συστήµατα καταµερισµού χρόνου (tme-sharg). Οι πελάτες εξυπηρετούνται σε διάταξη FCFS εφόσον ο χρόνος εξυπηρέτησής τους δεν ξεπερνά ένα σταθερό χρονικό διάστηµα. Όταν ο χρόνος εξυπηρέτησής τους φθάσει το διάστηµα αυτό, ο πελάτης διακόπτεται και τοποθετείται στο τέλος της ουράς. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για όλους τους πελάτες. Η πειθαρχία ουράς επηρεάζει την κατανοµή των χρόνων αναµονής στο σύστηµα. Ενώ ο µέσος χρόνος αναµονής εξαρτάται από τη διαδικασία εξυπηρέτησης και άφιξης, η κατανοµή των χρόνων αναµονής σε σχέση µε τη µέση τιµή τους εξαρτάται από την πειθαρχία ουράς. Στην περίπτωση της πειθαρχίας FCFS η κατανοµή έχει πολύ λίγους µεγάλους χρόνους αναµονής. Η πειθαρχία FIRO δίνει κατανοµή µε µεγαλύτερη διασπορά, επειδή ορισµένοι πελάτες πρέπει να περιµένουν, ενώ άλλοι που ήρθαν αργότερα εξυπηρετούνται πριν απ' αυτούς. Με την πειθαρχία LCFS η κατανοµή έχει ακόµη µεγαλύτερη διασπορά. γ) Ο µηχανισµός αφίξεων. Μ' αυτόν τον όρο εννοείται ο µέσος αριθµός άφιξης πελατών στη µονάδα του χρόνου καθώς και η συνάρτηση κατανοµής των αφίξεων. Αυτή µπορεί να είναι η κατανοµή των διαστηµάτων µεταξύ διαδοχικών αφίξεων ή η κατανοµή του αριθµού των πελατών που φθάνουν στη µονάδα χρόνου. Ένας συνηθισµένος τύπος αφίξεων είναι οι "εντελώς τυχαίες" αφίξεις ή "Posso" αφίξεις. Όσο πιο ανοµοιόµορφες είναι οι αφίξεις τόσο µεγαλύτερη συµφόρηση παρατηρείται στο σταθµό εξυπηρέτησης, µε την προϋπόθεση ότι τ' άλλα χαρακτηριστικά µεγέθη είναι τα ίδια. Αφίξεις σε σταθερά χρονικά διαστήµατα προκαλούν πολύ µικρή συµφόρηση, επειδή υπάρχει χρόνος για την εξυπηρέτηση κάποιου πελάτη πριν έρθει ο επόµενος. Ανοµοιόµορφες αφίξεις, µε διαστήµατα µεταξύ διαδοχικών αφίξεων που µεταβάλλονται, προκαλούν σηµαντικούς χρόνους αναµονής, επειδή ο σταθµός εξυπηρέτησης είναι συχνά πλήρης, όταν φθάνει κάποιος πελάτης. Γενικά, η διαδικασία αφίξεων περιγράφεται µέσω µιας κατανοµής πιθανοτήτων των χρόνων µεταξύ αφίξεων των πελατών και συµβολίζεται µε A() t, όπου : At () = P[ο χρόνος µεταξύ αφίξεων t ] r Ο συµβολισµός P [ A] r το γεγονός A θα συµβολίζει στη συνέχεια την πιθανότητα να συµβεί 5

16 Στα συστήµατα αναµονής, πολύ συχνά γίνεται η παραδοχή ότι οι χρόνοι αυτοί µεταξύ των αφίξεων είναι ανεξάρτητες, οµοίως κατανεµηµένες τυχαίες µεταβλητές (και κατά συνέπεια, η ροή των αφίξεων σχηµατίζει µια στάσιµη ανανεωτική διαδικασία). Συνήθως µας ενδιαφέρει µόνο η κατανοµή At () που περιγράφει τους χρόνους µεταξύ αφίξεων. δ) Ο µηχανισµός εξυπηρέτησης αποτελείται από ένα ή περισσότερα συστήµατα εξυπηρέτησης, καθένα από τα οποία αποτελείται από µια ή περισσότερες παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα συστήµατα εξυπηρέτησης, ο πελάτης µπορεί να εξυπηρετηθεί σε µια ακολουθία από αυτά. Σε ένα σύστηµα εξυπηρέτησης ο πελάτης πηγαίνει σε µια θέση εξυπηρέτησης και εξυπηρετείται από τη θέση αυτή. Ο χρόνος που παραµένει ο πελάτης στο σύστηµα εξυπηρέτησης ονοµάζεται χρόνος εξυπηρέτησης. Σε ένα συγκεκριµένο σύστηµα γραµµών αναµονής πρέπει να προσδιοριστεί η κατανοµή πιθανότητας B( x ), των χρόνων εξυπηρέτησης για κάθε θέση. B( x) = P [ χρόνος εξυπηρέτησης x ] r Η κατανοµή του χρόνου εξυπηρέτησης, που συνήθως χρησιµοποιείται, είναι η εκθετική κατανοµή. Άλλες σπουδαίες κατανοµές χρόνων εξυπηρέτησης είναι η εκφυλισµένη κατανοµή (σταθεροί χρόνοι εξυπηρέτησης) και η κατανοµή Erlag. Σε περίπτωση που οι σταθµοί εξυπηρέτησης είναι περισσότεροι από ένας, τότε η κατανοµή B( x ) µπορεί να διαφέρει σε κάθε έναν 3. Σχετικά µε τη δοµή και τον τρόπο εξυπηρέτησης, θα πρέπει κανείς να καθορίσει επιπλέον ένα στοιχείο που είναι το µέγεθος του χώρου αναµονής όπου οι πελάτες µπορούν να περιµένουν µέχρι να εξυπηρετηθούν. Συχνά ο χώρος αναµονής θεωρείται άπειρος. Ο D. G. Kedall εισήγαγε ένα χρήσιµο συµβολισµό για τα συστήµατα αναµονής που περιγράφει τα πιο πάνω χαρακτηριστικά. Αυτός είναι: A/B/m/K/Ζ, όπου κάθε ένα από τα γράµµατα έχουν την ακόλουθη σηµασία: A: ιαδικασία αφίξεων: Το σύµβολο Α προσδιορίζει το νόµο διαδικασίας αφίξεων πελατών και καθορίζει έτσι την κατανοµή των αφίξεων πελατών. Τα ακόλουθα σύµβολα χρησιµοποιούνται για την περιγραφή των κατανοµών. M (εκθετική), E (Erlag-k), H (υπερ-εκθετική τάξης k ), k k D (σταθερή), G (γενική, δηλαδή δεν γίνεται καµία υπόθεση ως προς την ακριβή µορφή της κατανοµής). 3 Η ροή αφίξεων µπορεί και αυτή να αποτελείται από διαφορετικές κλάσεις πελατών, οπότε και οι κατανοµές At () και B( x ) να είναι διαφορετικές για κάθε κλάση πελατών. 6

17 B: Η διαδικασία εξυπηρέτησης (κατανοµή του χρόνου εξυπηρέτησης) δηλαδή το σύµβολο Β προσδιορίζει το νόµο που ελέγχει τη διαδικασία εξυπηρέτησης. Ισχύουν τα παραπάνω σύµβολα για τις κατανοµές. m: Αριθµός σταθµών εξυπηρέτησης (παράλληλα) K: Χωρητικότητα της σειράς αναµονής (στην περίπτωση πεπερασµένου χώρου αναµονής). Ζ: Η πειθαρχία ουράς: Το σύµβολο Z διευκρινίζει τον τρόπο στο οποίο η σειρά αναµονής ρυθµίζεται, αυτή είναι η διαταγή στην οποία οι πελάτες τακτοποιούνται στη σειρά αναµονής και η διαταγή µε την οποία οι πρώτοι πελάτες αφήνουν τη σειρά αναµονής. Παραδείγµατος χάριν, το M / D// / FCFS είναι ένα σύστηµα αναµονής που η κατανοµή του χρόνου µεταξύ των διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετική,η κατανοµή του χρόνου εξυπηρέτησης είναι σταθερή, µε δύο παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης, µε κανένα περιορισµό στο µέγιστο αριθµό που επιτρέπεται στο σύστηµα, και πειθαρχία ουράς FCFS. Σε πολλές περιπτώσεις χρησιµοποιούνται µόνο τα πρώτα τρία σύµβολα. Συνήθως παραλείπεται το σύµβολο για την χωρητικότητα της σειράς αναµονής εάν δεν υπάρχει κανένας περιορισµός (K = ) και παραλείπεται η πειθαρχία ουράς εάν αυτή είναι FCFS. Κατά συνέπεια το M / D / θα ήταν ένα σύστηµα αναµονής µε εκθετική είσοδο, σταθερή εξυπηρέτηση, δύο θέσεις εξυπηρέτησης, µε κανένα όριο στην χωρητικότητα του συστηµάτος, και µε FCFS πειθαρχία. Ζητούµενα µεγέθη Έχοντας καθορίσει τον τρόπο χαρακτηρισµού ενός συστήµατος αναµονής, µπορούµε τώρα να ονοµάσουµε µέτρα των επιδόσεων και της ικανότητας, τα οποία προσδιορίζονται µέσω της ανάλυσης. Ένα από τα πιο σηµαντικά µεγέθη σε ένα σύστηµα αναµονής είναι ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα, κάθε χρονική στιγµή. Σε ένα απλό σύστηµα αναµονής, όπως το D/D/ όπου η κατανοµή των χρόνων µεταξύ αφίξεων και η κατανοµή των χρόνων εξυπηρέτησης είναι σταθερή, µπορούµε ιδανικά να γνωρίζουµε κάθε χρονική στιγµή το Nt (). Σε πιο πολύπλοκα συστήµατα προσπαθούµε να βρούµε την κατανοµή του Nt (), ενώ σε ακόµα πιο σύνθετες καταστάσεις αναγκαζόµαστε να βρούµε την οριακή κατανοµή του Nt (), όταν το t. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η µέση τιµή της κατανοµής Nt (), είτε την χρονική στιγµή t, είτε στην οριακή κατάσταση. Άλλο ενδιαφέρον µµέγεθος σε ένα σύστηµα αναµονής, αποτελεί ο χρόνος παραµονής των πελατών στο σύστηµα, ο οποίος είναι ίσος µε τον χρόνο αναµονής συν τον χρόνο εξυπηρέτησης. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν ακόµα το µήκος περιόδων διαρκούς εξυπηρέτησης (busy perods) και το µήκος των περιόδων αδράνειας (dle perods). 7

18 Σχήµα 4 - Ακριβής υπολογισµός του N(t) σε σύστηµα D/D/ Όλα τα παραπάνω µέτρα είναι τυχαίες µεταβλητές και κατά συνέπεια κανείς αναζητεί για αυτές πλήρη στοχαστική περιγραφή (δηλαδή τη συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας). εδοµένου ότι σε πολλές περιπτώσεις η πλήρης περιγραφή δίνει περισσότερη πληροφορία από την απολύτως απαραίτητη, µπορεί κανείς να περιγράψει τις τυχαίες µεταβλητές µε κάποιες ροπές (π.χ. µέση τιµή, διασπορά, κλπ.) και βέβαια µε µικρότερο κόπο και κόστος. Εκθετική κατανοµή Πολύ συχνά στη θεωρία αναµονής χρησιµοποιείται η εκθετική κατανοµή. Μια τυχαία µεταβλητή X λέµε ότι ακολουθεί εκθετική συνάρτηση µε παράµετρο λ, λ >, όταν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας : λe λx ή ισοδύναµα αν η συνάρτηση κατανοµής της είναι: x λx F( X) = f( y) dy = e, x Η γεννήτρια συνάρτηση ροπών της εκθετικής συνάρτησης είναι: tx tx λx λ Ee [ ] = e λe dx= λ t Από αυτή προκύπτουν εύκολα οι ροπές της τυχαίας µεταβλητής X : µέση τιµή /λ και διασπορά /λ. Στο σχήµα 5 παρουσιάζουµε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Εκθετικής κατανοµής και στο σχήµα 6 τη συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας. 8

19 Σχήµα 5 - Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας εκθετικής κατανοµής Σχήµα 6 - Συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας εκθετικής κατανοµής Ιδιότητα έλλειψης µνήµης (memory-less property) Η σπουδαιότερη ιδιότητα της εκθετικής κατανοµής είναι η έλλειψη µνήµης. Μια τυχαία µεταβλητή λέγεται ότι δεν έχει µνήµη (memoryless), εάν: P [ X > s+ t/ X > t] = P [ X > s], s, t > (.) r r Εύκολα αποδεικνύεται ότι αυτό ισχύει για την εκθετική κατανοµή. Έστω t η στιγµή του -στού γεγονότος και έστω ότι έχει παρέλθει διάστηµα x πριν συµβεί το επόµενο γεγονός (βλέπε σχήµα 7). Ενδιαφερόµαστε για την πιθανότητα το διάστηµα που υπολείπεται µέχρι το επόµενο γεγονός να είναι µεγαλύτερο από y,δεδοµένου ότι έχει ήδη παρέλθει διάστηµα x από το τελευταίο γεγονός. 9

20 Σχήµα 7 - Ιδιότητα έλλειψης µνήµης Αν X ο χρόνος µεταξύ γεγονότων, θα έχουµε σύµφωνα µε τον ορισµό της πιθανότητας υπό συνθήκη: r [ / ] [, ] [ ] [ ] [ ] P X > x+ y X > x P X > x+ y e λ ( x+ y) > + > = r r λ y = = = e = P x r X y λ Pr X x Pr X x e > > > P X x y X x δηλαδή η υπό συνθήκη κατανοµή του υπολειπόµενου διαστήµατος είναι ανεξάρτητη του x και είναι ίδια µε την κατανοµή του X. Με άλλα λόγια η κατανοµή του χρόνου µέχρι το επόµενο γεγονός δεν εξαρτάται από το πότε συνέβη το τελευταίο γεγονός. Αποδεικνύεται ότι η εκθετική κατανοµή είναι η µόνη συνεχής κατανοµή µε την ιδιότητα έλλειψης µνήµης. απόδειξη Εάν µια τυχαία µεταβλητή X είναι εκθετικά κατανεµηµένη, τότε: και P [ X s] = e λt ή P [ X > s] = e λt r r r [ / ] P X x t X t [, ] [ ] r > + > = = r Για την απόδειξη της µοναδικότητας, έστω: τότε η (.) µας δίνει ή r [ ] [ ] P X > x+ y X > x P X > x+ y P X > x P X > x F( x) = P [ X > x] r P [ X > s+ t/ X > t] = P [ X > t] P [ X > s] r r r Fs ( + t) = FsFt ( ) ( ) Αποδεικνύεται ότι η µόνη (µετρήσιµη) λύση της συναρτησιακής r

21 συνάρτησης αυτής είναι η: Ft () = e λt που είναι η συνάρτηση κατανοµής της εκθετικής τυχαίας µεταβλητής. Τα παραπάνω µπορούν να φανούν παρατηρώντας το σχήµα 8, όπου είναι σχεδιασµένη η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) για µια εκθετική µεταβλητή, λe λt. εδοµένου ότι πέρασαν t sec, για να υπολογίσουµε την σππ, πρέπει να λάβουµε υπόψη το κοµµάτι της δεξιά του t (γραµµοσκιασµένη περιοχή), αφού αυτό παριστάνει τι θα συµβεί στο µέλλον. Για να γίνει η γραµµοσκιασµένη περιοχή κανονική συνάρτηση κατανοµής πρέπει να αυξηθεί κατάλληλα ώστε το συνολικό εµβαδόν κάτω από αυτή να είναι ίσο µε. Η κατάλληλη αύξηση γίνεται διαιρώντας τη συνάρτηση που παριστάνει την ουρά της κατανοµής δια του εµβαδού της γραµµοσκιασµένης περιοχής, που προφανώς είναι η πιθανότητα P [ X > t]. Η r πράξη αυτή ταυτίζεται µε τη δηµιουργία µιας υπό συνθήκης κατανοµής δια διαιρέσεως της από κοινού κατανοµής µε την πιθανότητα της συνθήκης. Σχήµα 8 Ιδιότητα έλλειψης µνήµης εκθετικής κατανοµής Το αποτέλεσµα της αύξησης φαίνεται στη δεύτερη καµπύλη στο σχήµα 8. Η νέα συνάρτηση είναι ακριβές αντίγραφο της αρχικής σππ µόνο που έχει µετατοπισθεί κατά χρόνο t sec προς τα δεξιά..3 Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής - Θεώρηµα του Lttle Θεωρούµε συστήµατα αναµονής όπου οι πελάτες φθάνουν σε τυχαίες χρονικές στιγµές προκειµένου να εξυπηρετηθούν. Θεωρούµε ακόµα ότι έχουν δοθεί οι κατανοµές των πιθανοτήτων για τους χρόνους µεταξύ διαδοχικών αφίξεων και τους χρόνους εξυπηρέτησης.

22 Στην περίπτωση δικτύων υπολογιστών, οι πελάτες αυτοί µπορεί να παριστάνουν πακέτα δεδοµένων τα οποία φθάνουν σε έναν επικοινωνιακό σύνδεσµο για µετάδοση. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης αντιστοιχούν στους χρόνους µετάδοσης των πακέτων και είναι ίσοι µε L / C όπου L είναι το µήκος του πακέτου σε ψηφία και C είναι η χωρητικότητα του επικοινωνιακού συνδέσµου (ή µετάδοσης των συνδέσµων ) σε bts/sec. Μας ενδιαφέρει ο υπολογισµός ποσοτήτων όπως:. Ο µέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα (δηλ., "ο χαρακτηριστικός "αριθµός πελατών που είτε περιµένουν στη σειρά αναµονής είτε υποβάλλονται σε εξυπηρέτηση).. Η µέση καθυστέρηση ανά πελάτη (δηλ., ο "χαρακτηριστικός" χρόνος αναµονής ενός πελάτη στο σύστηµα συν το χρόνο εξυπηρέτησης). Αυτές οι ποσότητες θα υπολογιστούν από την άποψη των γνωστών πληροφοριών όπως:. Το ρυθµό άφιξης πελατών (δηλ., ο "χαρακτηριστικός" αριθµός πελατών που εισέρχονται στο σύστηµα ανά µονάδα χρόνου). Το ρυθµό εξυπηρέτησης πελατών (δηλ., ο "χαρακτηριστικός" αριθµός πελατών που το σύστηµα εξυπηρετεί ανά µονάδα χρόνου όταν είναι συνεχώς απασχοληµένο) Σε πολλές περιπτώσεις οι ρυθµοί άφιξης και εξυπηρέτησης των πελατών δεν είναι επαρκή για να καθορίσουν τα χαρακτηριστικά καθυστέρησης του συστήµατος. Κατά συνέπεια για να προβλέψουµε τη µέση καθυστέρηση, θα χρειαστούµε πιο λεπτοµερείς (στατιστικές) πληροφορίες για τον χρόνο µεταξύ διαδοχικών αφίξεων πελατών (terarrval tmes) και τους χρόνους εξυπηρέτησης..4 Θεώρηµα του Lttle Συµβολίζουµε µε p () t την πιθανότητα πελάτες να περιµένουν στην ουρά ή να βρίσκονται υπό εξυπηρέτηση την χρονική στιγµή t. Αν µας έχουν δοθεί οι οριακές πιθανότητες p () και άλλες στατιστικές πληροφορίες είναι πιθανό να µας ζητηθούν οι πιθανότητες p () t για όλες τις χρονικές στιγµές t. Συµβολίζοντας µε N() t το µέσο αριθµό πελατών στο σύστηµα την χρονική στιγµή t τότε θα ισχύει:

23 Nt () = p () t = (.) Τα N() t kαι p () t εξαρτώνται από τη χρονική στιγµή t όπως και από την οριακή κατανοµή πιθανότητας { p (), p (),...}. Εντούτοις για τα συστήµατα τα οποία µας ενδιαφέρουν, τυπικά θεωρούµε ότι έχουν φθάσει στην µόνιµη κατάσταση υπό την έννοια ότι για κάποια N και p (ανεξάρτητα της οριακής κατανοµής πιθανότητας) ισχύει: lm t p ( t) = p, =,... N = p = N() t = lm t (.) Στην περίπτωση που ο ρυθµός αφίξεων ξεπεράσει τον ρυθµό εξυπηρέτησης το N γίνεται άπειρο. Θεώρηµα: Ο µέσος αριθµός πελατών σε ένα σύστηµα N και η µέση καθυστέρηση Τ συνδέονται από µια απλή εξίσωση η οποία µας επιτρέπει τον υπολογισµό της µιας ποσότητας εφόσον η άλλη είναι γνωστή. Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως το θεώρηµα Lttle (Lttle Theorem) και έχει την ακόλουθη µορφή: N = λt (.3) όπου λ ο µέσος ρυθµός αφίξεων πελατών στο σύστηµα, ο οποίος δίνεται από τη σχέση: αναµενοµενος αριθµος αφιξεων στο διαστηµα [, t] λ = lm t t Στην συνέχεια θα δοθεί µια απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος µε γραφικό τρόπο θεωρώντας αλγόριθµο εξυπηρέτησης FIFO. Έστω : at () =αριθµός αφίξεων στο διάστηµα [, t ] β () t =αριθµός αναχωρήσεων στο διάστηµα [, t ] Υποθέτοντας ότι το σύστηµα ήταν άδειο στο χρόνο µηδέν ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα το χρόνο t δίνεται από τη σχέση: Nt () = at () β () t 3

24 Έστω γ () t το εµβαδόν της περιοχής που ορίζεται από τις at (), β () t. Η ποσότητα αυτή δίνει το συνολικό χρόνο παραµονής στο σύστηµα όλων των πελατών µέχρι το χρόνο t (σχήµα 9) και ίνεται από τη σχέση: t γ () t = N( τ) dτ (.4) Έστω λ ο µέσος ρυθµός αφίξεων πελατών στο σύστηµα στο διάστηµα t [, t]. Έχουµε: λ = at ()/ t (.5) t Έστω T η µέση καθυστέρηση πελατών στο σύστηµα οι οποίοι t εµφανιστήκαν στο διάστηµα [, t ]. Έχουµε: T = γ ()/ t a() t (.6) t δηλαδή T είναι ο λόγος της συνολικής καθυστέρησης όλων των πελατών t δια του αριθµού των πελατών. Σχήµα 9 - Γραφική απόδειξη του θεωρήµατος του Lttle Έστω N t η µέση τιµή του αριθµού των πελατών στο σύστηµα στο διάστηµα [, ] t. Έχουµε από τις (.4), (.5), (.6): 4

25 Παίρνοντας τα όρια των N t, (.3). t λ N = N( ) d ( t) t T t τ τ = γ = = λ t t α() t t t λ, T για t έχουµε τελικά την επιθυµητή σχέση t t.5 Εφαρµογές του Θεωρήµατος του Lttle. Η σηµασία του θεωρήµατος του Lttle είναι πολύ µεγάλη κυρίως λόγω της γενικότητας του θεωρήµατος αυτού. Ισχύει σχεδόν για κάθε σύστηµα αναµονής το οποίο φθάνει οριακά σε µια στατιστική ισορροπία. Το σύστηµα δεν είναι απαραίτητο να αποτελείται µονάχα από µία ουρά αναµονής. Με κατάλληλη επεξήγηση των όρων N, λ, T µπορεί να κανείς να εφαρµόσει το Θεώρηµα Lttle σε µια ποικιλία συστηµάτων αναµονής. Παράδειγµα. Θεωρήστε ένα σύστηµα αναµονής που δέχεται πελάτες µε ρυθµό λ. Έστω T η αναµενόµενη τιµή του χρόνου καθυστέρησης των πελατών δηλαδή η αναµενόµενη τιµή του χρόνου που µεσολαβεί από την άφιξη στο σύστηµα αναµονής µέχρι την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης και έστω N ο µέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα. Τότε ισχύει το θεώρηµα του Lttle χωρίς καµιά παραπάνω υπόθεση σχετικά µε το σύστηµα, τις διαδικασίες άφιξης και εξυπηρέτησης. Αν ως σύστηµα ορίσουµε το σύστηµα αναµονής εκτός της µονάδας εξυπηρέτησης τότε θα έχουµε: N Q = λ W (3.) Όπου N Q ο µέσος αριθµός των πελατών που περιµένουν να εξυπηρετηθούν και W ο µέσος χρόνος αναµονής των πελατών για να αρχίσουν να εξυπηρετούνται. Αν ως σύστηµα ορίσουµε τη µονάδα εξυπηρέτησης θα έχουµε: ρ = λ X όπου ρ ο συντελεστής χρησιµοποίησης (µέσος αριθµός πελατών στον εξυπηρετητή) και X η αναµενόµενη τιµή του χρόνου εξυπηρέτησης. Αν θεωρήσουµε ένα δίκτυο από συστήµατα αναµονής τότε ισχύει το θεώρηµα του Lttle όπου λ είναι ο συνολικός µέσος ρυθµός αφίξεων πελατών στο δίκτυο, N ο µέσος αριθµός πελατών σε όλο το δίκτυο και T ο µέσος χρόνος καθυστέρησης ενός πελάτη στο δίκτυο. Παράδειγµα. Εξετάστε ένα δίκτυο γραµµών µετάδοσης όπου τα πακέτα 5

26 φθάνουν σε διαφορετικούς κόµβους µε ρυθµούς λ, λ,..., λ αντίστοιχα. Εάν το είναι ο µέσος συνολικός αριθµός των πακέτων µέσα στο δίκτυο, κατόπιν (ανεξάρτητα από τη κατανοµή µήκους των πακέτων και τη µέθοδο δροµολόγησης των πακέτων ) η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο είναι T N = = λ Επιπλέον, το θεώρηµα του Lttle παράγει επίσης N = λ T, όπου το N και το T είναι ο µέσος αριθµός στο σύστηµα και η µέση καθυστέρηση των πακέτων που φθάνουν στον κόµβο, αντίστοιχα. Παράδειγµα 3. Ένα πακέτο φθάνει σε µια γραµµή µετάδοσης κάθε K δευτερόλεπτα µε το πρώτο πακέτο να φθάνει στο χρόνο. Όλα τα πακέτα έχουν ίσο µήκος και απαιτούν ak δευτερόλεπτα για τη µετάδοση όπου a <. Η καθυστέρηση επεξεργασίας και διάδοσης ανά πακέτο είναι P δευτερόλεπτα. Ο ρυθµός άφιξης είναι λ = / K. Επειδή τα πακέτα φθάνουν µε ένα κανονικό ρυθµό (ίσοι χρόνοι µεταξύ διαδοχικών αφίξεων), δεν υπάρχει καµία καθυστέρηση περιµένοντας στη σειρά, έτσι ο χρόνος T που το πακέτο ξοδεύει στο σύστηµα (συµπεριλαµβανοµένης της καθυστέρησης επεξεργασίας και διάδοσης) είναι: T = ak + P Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Lttle, έχουµε P N = λt = α + (3.) K Ο αριθµός Nt () στο σύστηµα είναι µια συνάρτηση του χρόνου. Η µορφή της παρουσιάζεται στο σχήµα για την περίπτωση όπου K < ak + P< K, και µπορεί να φανεί ότι το Nt () δεν συγκλίνει σε οποιαδήποτε τιµή (το σύστηµα δεν φθάνει ποτέ στη στατιστική ισορροπία). Εντούτοις, το θεώρηµα του Lttle αντιµετωπίζει το N ως χρονικό µέσο όρο. 6

27 Σχήµα Ο αριθµός Ν(t) στο σύστηµα του παραδείγµατος 3 είναι αιτιοκρατικός και δεν συγκλίνει καθώς το t. Παράδειγµα 4 Εξετάστε ένα σύστηµα αναµονής µε K θέσεις εξυπηρέτησης και µε χώρο για περισσότερους από N K πελάτες (είτε στη σειρά αναµονής είτε στην εξυπηρέτηση). Το σύστηµα είναι πάντα πλήρες, υποθέτουµε ότι αρχίζει µε N πελάτες και ότι ένας πελάτης που αναχωρεί αντικαθίσταται αµέσως από έναν νέο πελάτη. (Τα συστήµατα αναµονής αυτού του τύπου καλούνται κλειστά. Υποθέστε ότι ο µέσος χρόνος εξυπηρέτησης πελατών είναι το X. Θέλουµε να βρούµε το µέσο χρόνο T των πελατών στο σύστηµα. Εφαρµόζουµε το θεώρηµα του Lttle δύο φορές, πρώτα για ολόκληρο σύστηµα, παίρνουµε N = λt, και έπειτα για το τµήµα εξυπηρέτησης του συστήµατος, παίρνουµε K = λ X (δεδοµένου ότι όλες οι θέσεις εξυπηρέτησης είναι συνεχώς απασχοληµένες). Με την εξάλειψη του λ σε αυτές τις δύο σχέσεις έχουµε T = NX K Εξετάστε επίσης το ίδιο σύστηµα αλλά µε διαφορετικές περιπτώσεις άφιξης πελατών. Ειδικότερα, υποθέστε ότι οι πελάτες φθάνουν µε ένα ρυθµό λ αλλά εµποδίζονται (και χάνονται) από το σύστηµα εάν βρίσκουν το σύστηµα γεµάτο (πλήρες). Κατόπιν ο αριθµός θέσεων εξυπηρέτησης που είναι απασχοληµένες µπορεί να είναι λιγότερος από K. Αφήστε το K να είναι ο µέσος αριθµός των απασχοληµένων θέσεων εξυπηρέτησης και αφήστε το β να είναι ο ρυθµός των πελατών που εµποδίζονται να εισέλθουν στο σύστηµα. Εφαρµόζοντας το θεώρηµα Lttle για το τµήµα εξυπηρέτησης του συστήµατος, λαµβάνουµε από το οποίο K = ( β ) λ X 7

28 K β = λ X Αφού K K, λαµβάνουµε ένα κάτω φράγµα για την blockg probablty, δηλαδή, K β λ X.6 Το M/M/ Σύστηµα Αναµονής Το M/M/ σύστηµα αναµονής αποτελείται από έναν σταθµό αναµονής µε µία θέση εξυπηρέτησης. Οι πελάτες φθάνουν σύµφωνα µε µια κατανοµή Posso µε ρυθµό λ, και η κατανοµή πιθανότητας του χρόνου εξυπηρέτησης είναι εκθετική µε µέσο / µ sec. Θα εξηγήσουµε την έννοια αυτών των όρων σύντοµα. Το όνοµα M / M / απεικονίζει την τυποποιηµένη ονοµατολογία της θεωρίας αναµονής όπως έχουµε προαναφέρει µε το οποίο:. Το πρώτο γράµµα δείχνει τη φύση της διαδικασίας άφιξης [ π.χ M για την απώλεια µνήµης, το οποίο εδώ σηµαίνει µια διαδικασία Posso (δηλ., εκθετικά κατανεµηµένoυς χρόνους αφίξεων).το δεύτερο γράµµα δείχνει τη φύση της κατανοµής της πιθανότητας των χρόνων εξυπηρέτησης, το οποίο εδώ είναι εκθετική. Σε όλες τις περιπτώσεις, οι χρόνοι µεταξύ διαδοχικών αφίξεων και οι χρόνοι εξυπηρέτησης υποτίθεται ότι ήταν στατιστικά ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλον. 3.Ο τελευταίος αριθµός δείχνει τον αριθµό των θέσεων εξυπηρέτησης Έχουµε καθορίσει ήδη, µέσω του θεωρήµατος του Lttle, τις σχέσεις N = λτ, N W Q = λ µεταξύ των βασικών ποσοτήτων, όπου N = µέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα T = µέσος χρόνος παραµονής των πελατών στο σύστηµα N = µέσος αριθµός πελατών που περιµένουν στη σειρά αναµονής Q 8

29 W = µέσος χρόνος αναµονής πελατών στη σειρά αναµονής Ωστόσο, το N, το T, το N Q, και το W δεν µπορούν να διευκρινιστούν περισσότερο εκτός αν ξέρουµε κάτι περισσότερο για τις στατιστικές του συστήµατος. Λαµβάνοντας υπόψη αυτές τις στατιστικές, θα είµαστε σε θέση να παραγάγουµε τις πιθανότητες της µόνιµης κατάστασης p = πιθανότητα πελάτες να βρίσκονται στο σύστηµα, =,,... Από αυτές τις πιθανότητες παίρνουµε N = p = και χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Lttle, T = N / λ Παρόµοιοι τύποι υπάρχουν για το N Q και W. Η ανάλυση του Μ/Μ/ συστήµατος καθώς επίσης και διάφορα άλλα σχετικά συστήµατα, όπως το M / M / c ή το σύστηµα M / M /, είναι βασισµένα στη θεωρία των αλυσίδων του Markov..6. Κύρια Αποτελέσµατα Εισάγουµε αρχικά τις υποθέσεις µας στις στατιστικές άφιξης και εξυπηρέτησης του M / M / συστήµατος. Στατιστικά της άφιξης - διαδικασία Posso. Στο σύστηµα M / M /, οι πελάτες φθάνουν σύµφωνα µε µια διαδικασία Posso που καθορίζουµε τώρα: Μια στοχαστική διαδικασία { At ()/ t } που παίρνει µη αρνητικές τιµές ακέραιων αριθµών λέγεται ότι είναι µια διαδικασία Posso µε ρυθµό λ εάν. At () είναι µια µετρίσιµη διαδικασία που αντιπροσωπεύει το συνολικό αριθµό αφίξεων που έχουν εµφανιστεί από το χρόνο έως t [ δηλ., A () = ], και για s< t, A() t A() s είναι ίσο µε τους αριθµούς αφίξεων στο διάστηµα (,] st. Οι αριθµοί αφίξεων που εµφανίζονται µέσα στα χωριστά χρονικά διαστήµατα είναι ανεξάρτητοι. 3. Ο αριθµός αφίξεων διαστήµατος µήκους τ είναι Posso που κατανέµεται µε οποιοδήποτε παράµετρο λ τ. ηλαδή για όλο το t, τ >, 9

30 λτ ( λτ ) P{ A( t+ τ ) Α ( t) = } = e, =,, (3.)! Ο µέσος αριθµός αφίξεων µέσα σε ένα διάστηµα µήκους τ βασίζεται στο µέσο της κατανοµής Posso). Αυτό οδηγεί στην ερµηνεία του λ ως ρυθµός άφιξης (µέσος αριθµός αφίξεων ανά µονάδα χρόνου). Απαριθµούµε µερικές ενδιαφέροντες ιδιότητες της διαδικασίας Posso. Οι χρόνοι αφίξεων είναι ανεξάρτητοι και ακολουθούν την εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ δηλαδή εάν το t συµβολίζει το χρόνο της άφιξης, τα διαστήµατα τ = t t + έχουν πιθανότητα κατανοµής p = P( τ s) = e λs, s (3.) και είναι αµοιβαία ανεξάρτητα. [ Η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι p( τ ) = λe λτ. Η µέση τιµή και η διασπορά τηςτ είναι /λ και /λ, αντίστοιχα. ]. Για κάθεt και δ, { t } { t } { δ t } P A( t+ δ ) Α ( ) = = λδ + ο( δ ) (3.) P A( t+ δ ) Α ( ) = = λδ + ο( δ ) (3.3) P A( t+ ) Α ( ) = = οδ ( ) (3.4) όπου γενικά συµβολίζουµε µε ο( δ ) τη συνάρτηση του δ όπως, ο( δ ) lm = δ δ Αυτές οι εξισώσεις µπορούν να ελεγχθούν µε την επέκταση της κατανοµής Posso στον αριθµό αφίξεων σε ένα διάστηµα του µήκους δ [σχέση (3.) ] σε µια σειρά Taylor [ ή ισοδύναµα, e λδ = λδ + ( λδ ) /...] 3. Εάν δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες διαδικασίες Posso A, A,..., A Κ συγχωνεύονται σε µια ενιαία διαδικασία A = A A... A + + +, η τελευταία K διαδικασία είναι Posso µε ρυθµό ίσο µε το άθροισµα των ρυθµών των όρων του (βλ. το πρόβληµα 9). 3

31 4. Εάν µια διαδικασία Posso χωρίζεται σε δύο άλλες διαδικασίες µε ανεξάρτητο ορισµό κάθε άφιξη στο πρώτο (δευτερόλεπτο) αυτών των διαδικασιών µε πιθανότητα p ( p αντίστοιχα), οι δύο διαδικασίες άφιξης είναι Posso (βλ. το πρόβληµα ). Μια διαδικασία Posso θεωρείται γενικά ένα καλό µοντέλο για τη συνολική κυκλοφορία ενός µεγάλου αριθµού παρόµοιων και ανεξάρτητων χρηστών. Ειδικότερα, υποθέστε ότι συγχωνεύουµε ανεξάρτητες και όµοια κατανεµηµένες διαδικασίες άφιξης πελατών. Κάθε διαδικασία έχει ρυθµό άφιξης λ /, έτσι ώστε η συνολική διαδικασία να έχει ρυθµό άφιξης λ. Οι χρόνοι αφίξεων τ µεταξύ των πελατών της ίδιας διαδικασίας έχουν µια F() s = P τ s και είναι ανεξάρτητοι [ F() s δεν δεδοµένη κατανοµή { } χρειάζεται να είναι µια εκθετική κατανοµή ]. Κατόπιν υπό σχετικά ασθενείς συνθήκες για το F [ π.χ F( o) =, df( o)/ ds> ], η συνολική διαδικασία άφιξης µπορεί να προσεγγιστεί καλά µε µια διαδικασία Posso µε ρυθµό λ καθώς το. Στατιστικές εξυπηρέτησης. Η υπόθεσή µας σχετικά µε τη διαδικασία εξυπηρέτησης είναι ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης των πελατών έχουν µια εκθετική κατανοµή µε µέσο µ, δηλαδή εάν s είναι ο χρόνος εξυπηρέτησης του -ιοστού πελάτη, µ s { } =, P s s e s s [ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της s είναι ps ( ) = µ e µ, και η µέση τιµή και η διασπορά του είναι / µ και /µ, αντίστοιχα. ] Επιπλέον, ο χρόνος εξυπηρέτησης s είναι αµοιβαία ανεξάρτητος και επίσης ανεξάρτητος από όλους τους χρόνους µεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Η παράµετρος µ ονοµάζεται ρυθµός εξυπηρέτησης και αντιπροσωπεύει το ρυθµό (στους πελάτες που εξυπηρετούνται ανά µονάδα χρόνου) µε τον οποίο ο εξυπηρετητής λειτουργεί όταν απασχοληµένος. Στα πλαίσια ενός συστήµατος µετάδοσης πακέτων, η ανεξαρτησία των αφίξεων και των χρόνων εξυπηρέτησης υπονοεί, µεταξύ άλλων, ότι το µήκος ενός πακέτου άφιξης δεν έχει επιπτώσεις στο χρόνο άφιξης του επόµενου πακέτου. Αυτός ο όρος παραβιάζεται συχνά στην πράξη, ιδιαίτερα όταν τα αφιχθέντα πακέτα µόλις έχουν αναχωρήσει από µια άλλη σειρά αναµονής.. Ένα σηµαντικό γεγονός σχετικά µε την εκθετική κατανοµή είναι η απώλεια µνήµης όπως έχουµε ξαναπεί, η οποία µπορεί να εκφραστεί ως { } { } P τ > r+ t/ τ > t = P τ > r, για r, t 3

32 { } { } P s > r+ t / s > t = P s > r, για r, t για τους χρόνους αφίξεων και του χρόνους εξυπηρέτησης τ και s, αντίστοιχα. Αυτό σηµαίνει ότι ο πρόσθετος χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρωθεί µια εξυπηρέτηση πελατών υπό εξέλιξη είναι ανεξάρτητος από όταν άρχισε η εξυπηρέτηση. Οµοίως, ο χρόνος µέχρι την επόµενη άφιξη είναι ανεξάρτητος από όταν εµφανίστηκε η προηγούµενη άφιξη. Η επαλήθευση της ιδιότητας της έλλειψης µνήµης προκύπτει από τον υπολογισµό { τ > + } { τ > } P r t λ( r+ t) e P{ τ > r+ t/ τ > t r } = = = e λ = P τ > r P t t e λ { } ιατύπωση της αλυσίδας Markov. Μια σηµαντική συνέπεια της ιδιότητας της έλλειψης µνήµης είναι, ότι επιτρέπει τη χρήση της θεωρίας των αλυσίδων Markov: Πράγµατι, αυτή, η ιδιότητα, µαζί µε τις προηγούµενες υποθέσεις ανεξαρτησίας για τους χρόνους αφίξεων και τους χρόνους εξυπηρέτησης, υπονοούν ότι αν ξέρουµε τον αριθµό Nt () των πελατών στο σύστηµα στο χρόνο t, οι χρόνοι στους οποίους οι πελάτες θα φθάσουν ή θα ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση τους στο µέλλον είναι ανεξάρτητοι από τους χρόνους άφιξης των πελατών προς στο σύστηµα και πόσης εξυπηρέτησης (ενδεχοµένως) ο πελάτης έχει λάβει ήδη κατά την περίοδο της εξυπηρέτησης. Αυτό σηµαίνει ότι οι µελλοντικοί αριθµοί πελατών εξαρτώνται από τους προηγούµενους Nt ()/ t είναι µια αριθµούς µόνο µέσο του παρόντος αριθµού, δηλαδή, η { } συνεχής-χρονική αλυσίδα Markov. Θα µπορούσαµε να αναλύσουµε τη διαδικασία Nt () από την άποψη της συνεχούς χρονικής µεθοδολογίας της αλυσίδας του Markov. Το µεγαλύτερο µέρος της βιβλιογραφίας της θεωρίας αναµονής ακολουθεί αυτήν την γραµµή ανάλυσης (βλ. επίσης το πρόβληµα ). Στρέψτε την προσοχή στους χρόνους, δ, δ,..., kδ,... όπου το δ είναι ένας µικρός θετικός αριθµός, συµβολίζουµε µε N k =αριθµός πελατών στο σύστηµα στο χρόνο kδ Αφού N = N( kδ ) και, όπως συζητήσαµε, το Nt ( ) είναι µία συνεχής χρονική k 3

33 αλυσίδα του Markov, βλέπουµε ότι { N / k,,... } = είναι µία αλυσίδα Markov k σε διακριτό χρόνο µε πιθανότητες µόνιµης κατάστασης ίσες µε εκείνες της συνεχούς αλυσίδας. Ας συµβολίσουµε µε P τις αντίστοιχες πιθανότητες j µετάβασης { / } P = P N = j N = j k + k Σηµειώστε ότι το P j εξαρτάται από το δ, αλλά για να µείνει απλός αυτός ο, συµβολισµός, δεν παρουσιάζουµε αυτή την εξάρτηση. Με τη χρησιµοποίηση των εξισώσεων (3.) µέσω της (3.4), κάποιος µπορεί να δείξει ότι P = λδ + ο( δ) (3.5) P = λδ µδ + ο( δ) (3.6) P = λδ + ο( δ), + P = µδ + ο( δ), (3.7) (3.8) P = ο( δ) και j, +, j Για να δείτε πώς επαληθεύονται αυτές οι εξισώσεις, σηµειώστε ότι σε µία κατάσταση, η πιθανότητα αφίξεων και αναχωρήσεων σε ένα δ - διάστηµα I = [ kδ,( k+ ) δ k ] είναι ( e λδ )( e µδ ), αυτό γίνεται επειδή ο αριθµός αφίξεων και ο αριθµός αναχωρήσεων ακολουθούν την Posso κατανοµή και είναι ανεξάρτητος ο ένας από τον άλλο. Επεκτείνοντας αυτό σε µια σειρά δ τάξης, P { πελάτες φθάνουν και αναχωρούν στο I }= λδ µδ + ο( δ) (3.9) k Η πιθανότητα αφίξεων και αναχώρησης στο διάστηµα I k είναι ( e λδ )( e µδ ) εάν = (αφού e µδ είναι η πιθανότητα ο πελάτης που εξυπηρετείται να ολοκληρώσει την εξυπηρέτησή του µέσα στο I ), και εάν k > (δεδοµένου ότι µδ e µδ είναι η πιθανότητα ότι µέσα στο διάστηµα I, ο k πελάτης που εξυπηρετείται να ολοκληρώσει την εξυπηρέτησή του επόµενος πελάτη όχι). Και στις δύο περιπτώσεις έχουµε ενώ ο 33

34 P { πελάτες φθάνουν και αναχωρεί στο I }= µδ + ο( δ) k Όµοια, η πιθανότητα άφιξης και αναχώρησης στο διάστηµα I k είναι ( λδ e λδ ) e µδ,έτσι P { πελάτης φθάνει και αναχωρούν στο I }= λδ + ο( δ) k Αυτές οι πιθανότητες είναι από συν το ο( δ ). Κατά συνέπεια, η πιθανότητα περισσότερων από µιας άφιξης ή αναχώρησης είναι αµελητέα για µικρά δ. Ακολουθεί ότι για το, P, που είναι η πιθανότητα ενός ίσου αριθµού j αφίξεων και αναχωρήσεων στο I, είναι µέσα στο ο( δ ) της τιµής της k εξίσωσης (3.9). Αυτό επαληθεύει την εξίσωση (3.6). Οι εξισώσεις (3.5), (3.7), και (3.8) επαληθεύονται µε τον ίδιο τρόπο. Το διάγραµµα µετάβασης των καταστάσεων για την αλυσίδα του Markov { Ν k } παρουσιάζεται στο σχήµα, όπου έχουµε παραλείψει τους όρους δ. Σχήµα Αλυσίδα Markov σε διακριτό χρόνο για το Μ/Μ/ σύστηµα. Η κατάσταση αντιστοιχεί στους πελάτες στο σύστηµα. Οι πιθανότητες µετάβασης που παρουσιάζονται είναι διορθωµένες κατά έναν όρο ο( δ ). Παραγωγή της στάσιµης κατανοµής. µόνιµης κατάστασης Εξετάστε τώρα τις πιθανότητες της { } { } p = lm P N = = lm P N( t) = k k k Σηµειώστε ότι κατά τη διάρκεια οποιουδήποτε χρονικού διαστήµατος, ο συνολικός αριθµός µεταβάσεων από την κατάσταση στη + πρέπει να διαφέρει από το συνολικό αριθµό µεταβάσεων από το + στο το πολύ. Κατά συνέπεια ασυµπτωτικά, η συχνότητα των µεταβάσεων από το στο + είναι ίση µε τη συχνότητα των µεταβάσεων από + στο. Ισοδύναµα, η πιθανότητα ότι το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση και κάνει µια µετάβαση + στο διάστηµα µετάβασης είναι η ίδια µε την πιθανότητα ότι το σύστηµα είναι στην κατάσταση + και κάνει µια µετάβαση στο, δηλαδή p ( ) p ( ) λδ + ο δ = µδ + + ο δ 34

35 Με τη λήψη του ορίου σε αυτήν την εξίσωση καθώς δ, λαµβάνουµε p p λ = + µ (3.) (Οι προηγούµενες εξισώσεις καλούνται σφαιρικές εξισώσεις ισορροπίας,,,..., και που αντιστοιχούν στο σύνολο των καταστάσεων { } { +, +,... }. Αυτές οι εξισώσεις µπορούν επίσης να γραφτούν ως p = ρ p + =,,... όπου Συνεπάγεται ότι λ ρ = µ p = ρ + p +, =,,.. (3.) Εάν ρ < (ο ρυθµός εξυπηρέτησης υπερβαίνει το ρυθµό άφιξης), οι πιθανότητες p είναι όλες θετικές και καταλήγουν στη µονάδα, έτσι p = p = ρ p = = = ρ (3.) Συνδυάζοντας τις τελευταίες δύο εξισώσεις, παίρνουµε τελικά p = ρ ( ρ), =,,... (3.3) Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε το µέσο αριθµό πελατών στο σύστηµα στην µόνιµη κατάσταση: N = lm E{ N( t) } = p = ρ ( ρ) = t = = ( ) ρ ρ ρ ρ( ρ) ρ = = = ρ = = = ρ( ρ) = ρ( ρ) ρ ρ ρ ( ) 35

36 λ και τελικά, χρησιµοποιώντας την ρ =, έχουµε µ ρ λ N = = (3.4) ρ µ λ Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης παρουσιάζεται στο σχήµα. εδοµένου ότι το ρ αυξάνεται, το ίδιο κάνει και το Ν, και καθώς ρ, έχουµε N. Η γραφική παράσταση ισχύει για ρ <. Εάν ρ >, ο εξυπηρετητής δεν µπορεί να συµβαδίσει µε το ρυθµό άφιξης και τις αυξήσεις του µήκους σειρών αναµονής χωρίς όριο. Στα πλαίσια ενός συστήµατος µετάδοσης πακέτων, ρ > σηµαίνει ότι λ L > C, όπου λ είναι ο ρυθµός άφιξης σε πακέτα/sec, L είναι το µέσο µήκος των πακέτων σε bts, και το C είναι η ικανότητα µετάδοσης σε bts/sec. Η µέση καθυστέρηση ανά πελάτη (χρόνος αναµονής στη σειρά αναµονής συν το χρόνο εξυπηρέτησης) δίνεται από το θεώρηµα του Lttle, N ρ T = = λ λ( ρ) λ Χρησιµοποιώντας την ρ =, αυτό γίνεται µ (3.5) T = µ λ (3.6) Σχήµα Μέσος αριθµός στο σύστηµα σε σχέση µε τον συντελεστή χρησιµοποίησης στο Μ/Μ/ σύστηµα. Καθώς το ρ, N. 36

37 Εδώ σηµειώνουµε ότι µπορούµε να δείξουµε ότι η καθυστέρηση των πελατών ακολουθεί την εκθετική κατανοµή στη µόνιµη κατάσταση [ δείτε το πρόβληµα (β) ]. Ο µέσος χρόνος αναµονής στη σειρά αναµονής, W, είναι η µέση καθυστέρηση T που είναι λιγότερη του µέσου χρόνου εξυπηρέτησης,έτσι W ρ = = µ λ µ µ λ από το θεώρηµα του Lttle, ο µέσος αριθµός πελατών στη σειρά αναµονής είναι ρ N = λw = Q ρ Μια πολύ χρήσιµη ερµηνεία είναι να αντιµετωπισθεί η ποσότητα ρ ως συντελεστής χρησιµοποίησης του συστήµατος αναµονής, (δηλ. το µακροπρόθεσµο ποσοστό του χρόνου που ο εξυπηρετητής είναι απασχοληµένος). Αυτό το παρουσιάσαµε νωρίτερα σε ένα ευρύτερο πλαίσιο µε τη χρησιµοποίηση του θεωρήµατος του Lttle ( παράδειγµα ). Βασισµένο σε αυτήν την ερµηνεία, έχουµε ότι ρ = p, όπου p είναι η πιθανότητα να µην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστηµα, και παίρνουµε µια εναλλακτική επαλήθευση του τύπου που παράγεται για p [Εξίσωση (3.) ]. Επεξηγούµε αυτά τα αποτελέσµατα µε τη βοήθεια µερικών παραδειγµάτων από τα δίκτυα δεδοµένων. Παράδειγµα 5. Αύξηση των ρυθµών άφιξης και µετάδοσης από τον ίδιο παράγοντα Εξετάστε ένα σύστηµα µετάδοσης πακέτων του οποίου ο ρυθµός άφιξης (σε πακέτα/sec) αυξάνεται από λ σε Kλ, όπου K > είναι κάποιος κλιµακωτός παράγοντας. Η κατανοµή του µήκους των πακέτων παραµένει η ίδια αλλά η ικανότητα µετάδοσης αυξάνεται από έναν παράγοντα K, έτσι ο µέσος χρόνος / Kµ αντί /µ. Ακολουθεί ότι ο µετάδοσης των πακέτων είναι τώρα ( ) συντελεστής χρησιµοποίησης, και εποµένως ο µέσος αριθµός πακέτων στο σύστηµα, παραµένει ο ίδιος: N ρ λ = = ρ µ λ Ωστόσο, η µέση καθυστέρηση ανά πακέτο είναι τώρα T N / ( Kλ ) = και εποµένως µειώνεται κατά ένα συντελεστή K. Με άλλα λόγια µια γραµµή µετάδοσης K φορές ταχύτερη θα εξυπηρετεί K φορές περισσότερα πακέτα ανά δευτερόλεπτο µε K φορές µικρότερη µέση καθυστέρηση ανά πακέτο. 37

38 Αυτό το αποτέλεσµα είναι αρκετά γενικό, ακόµη και για τα ισχύοντα δίκτυα των σειρών αναµονής. Αυτό που συµβαίνει, όπως φαίνεται στο σχήµα 3, είναι ότι µε την αύξηση του ρυθµού άφιξης και του ρυθµού εξυπηρέτησης κατά ένα συντελεστή K, τα στατιστικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας αναµονής είναι αµετάβλητα εκτός από µια αλλαγή στο χρονική κλίµακα, η διαδικασία επιταχύνεται κατά ένα συντελεστή K. Κατά συνέπεια, όταν φθάνει ένα πακέτο, θα δει µπροστά του στατιστικά τον ίδιο αριθµό πακέτων όπως µε µια πιο αργή γραµµή µετάδοσης. Εντούτοις, τα πακέτα µπροστά από αυτό θα κινούνται K φορές γρηγορότερα. Σχήµα 3 Όπου αυξάνεται ο ρυθµός άφιξης και ο αριθµός εξυπηρέτησης κατά τον ίδιο συντελεστή (βλ. το παράδειγµα 5). (α) Πορείες δειγµάτων του αριθµού αφίξεων α () t και αναχωρήσεων β () t στο σύστηµα. (β) Αντίστοιχες πορείες δειγµάτων του αριθµού αφίξεων α () t και αναχωρήσεις β () t στο "επιταχυνοµένο επάνω" σύστηµα, όπου ο 38

39 ρυθµός άφιξης και ο ρυθµός εξυπηρέτησης έχουν αυξηθεί κατά ένα συντελεστή. Ο µέσος αριθµός στο σύστηµα είναι ο ίδιος µε πριν, αλλά η µέση καθυστέρηση µειώνεται κατά έναν συντελεστή δεδοµένου ότι οι πελάτες κινούνται δύο φορές πιο γρήγορα. Λήµµα: Σε ένα σύστηµα M / M / στη µόνιµη κατάσταση: ο αριθµός των πελατών που βρίσκονται στο σύστηµα είναι ανεξάρτητος της σειράς των χρόνων αναχώρησης στο παρελθόν, ο χρόνος παραµονής στο σύστηµα (χρόνος αναµονής στην ουρά και εξυπηρέτησης) ενός πελάτη είναι ανεξάρτητος της διαδικασίας αναχωρήσεων πριν την αναχώρησή του..6. Κατανοµή Κατοχής Κατά Την Άφιξη (Occupacy Dstrbuto upo Arrval) Στην επόµενη ανάπτυξή µας, υπάρχουν διάφορες καταστάσεις όπου θα χρειαστούµε έναν πιθανολογικό χαρακτηρισµό ενός συστήµατος αναµονής όπως φαίνεται από την πλευρά ενός πελάτη που φθάνει. Είναι πιθανό ότι οι χρόνοι αφίξεων των πελατών είναι υπό κάποια έννοια ακανόνιστοι, έτσι ώστε οι πιθανότητες κατοχής της µόνιµης κατάστασης κατά την άφιξη, a = lm P N( t) = / t t (3.7) } { µια άφιξη εµφανίστηκε αµέσως µετά από το χρόνο δεν χρειάζεται να είναι ίσες µε τις αντίστοιχες ανεξάρτητες (ucodtoal) πιθανότητες της µόνιµης κατάστασης, p = lm P N( t) = t { } (3.8) Ωστόσο, για το Μ/Μ/ σύστηµα, έχουµε, p = a =,,... (3.9) έτσι ώστε ένας πελάτης που φθάνει βρίσκει το σύστηµα σε µία χαρακτηριστική (typcal) κατάσταση. Πράγµατι, αυτό ισχύει υπό πολύ γενικούς όρους για τα συστήµατα αναµονής µε αφίξεις που ακολουθούν την κατανοµή Posso ανεξάρτητα από τη κατανοµή των χρόνων εξυπηρέτησης. Η µόνη πρόσθετη απαίτηση που χρειαζόµαστε είναι ότι οι µελλοντικές αφίξεις είναι ανεξάρτητες από τον τρέχοντα αριθµό στο σύστηµα. Ακριβέστερα, υποθέτουµε ότι για κάθε χρόνο t και αύξηση δ >, ο αριθµός των αφίξεων στο διάστηµα (, tt+ δ ) είναι ανεξάρτητος από τον αριθµό στο σύστηµα στο χρόνο t. Λαµβάνοντας υπόψη την υπόθεση Posso, ουσιαστικά αυτό ανέρχεται στο να υποθέσει ότι, οποιαδήποτε στιγµή, οι χρόνοι εξυπηρέτησης 39