Θεματολογία. Ένα κλασικό πείραμα. Ένα κλασικό πείραμα. Πειράματα και Δειγματικοί Χώροι. Πειράματα, Αποτελέσματα, και Ενδεχόμενα

Transcript

1 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Θεματολογία Στατιστική Ι νότητα 3: ισαγωγή στη Θεωρία Δρ. Χρήστος μμανουηλίδης πίκουρος αθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Βασικές έννοιες: Τυχαία πειράματα, αποτελέσματα, ενδεχόμενα αταγραφή δειγματικού χώρου, κανόνες απαρίθμησης Πράξεις ενδεχομένων Πιθανότητα, ορισμοί, λογισμός πιθανοτήτων Πιθανότητα υπό συνθήκη Στοχαστική ανεξαρτησία Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr Ένα κλασικό πείραμα Ποια είναι η πιθανότητα να λάβουμε την όψη κεφαλή στη ρίψη ενός κανονικού νομίσματος; Ρίχνουμε το νόμισμα δύο φορές. Θα λάβουμε μια φορά κεφαλή και μια φορά γράμματα; Ποιο είναι το νόημα της παραπάνω πιθανότητας; Ένα κλασικό πείραμα Πολλές επαναλήψεις του πειράματος: Αριθµός εφαλών /Αριθµός Ρίψεων ( f K / Αριθµός Ρίψεων ( Πειράματα και Δειγματικοί Χώροι Πειράματα, Αποτελέσματα, και νδεχόμενα Τυχαίο Πείραμα άθε διαδικασία που παράγει συγκεκριμένες παρατηρήσεις ή αποτελέσματα, με αβεβαιότητα ως προς το ποιο αποτέλεσμα θα πραγματοποιηθεί. Δοκιμή άθε επανάληψη ενός τυχαίου πειράματος. Δειγματικό σημείο άθε στοιχειώδες αποτέλεσμα του πειράματος. Δειγματικός Χώρος( Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr DF processed with CuteDF evaluatio editio

2 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Πειράματα και Δειγματικοί Χώροι Πείραµα ειγµατικός χώρος Όψη στη ρίψη ενός νομίσματος εφαλή, Γράμματα Όψεις στη ρίψη νομισμάτων, Γ, Γ, ΓΓ Λήψη ενός χαρτιού,,..., A (5 Χρώμα στη λήψη ενός χαρτιού όκκινο, Μαύρο Αποτέλεσμα ποδοσφαιρικού αγώνα Νίκη, Ήττα, Ισοπαλία Έλεγχος ποιότητας λαττωματικό, αλό Παρατήρηση φύλου Αρσενικό, Θηλυκό Παρατήρηση εισοδήματος R+ νδεχόμενα νδεχόμενο κάθε υποσύνολο ενός δ.χ. Απλό ήστοιχειώδες ενδεχόμενο ενδεχόμενο που περιέχει μόνο ένα δειγματικό σημείο. Σύνθετο ενδεχόμενο ενδεχόμενο που περιέχει δύο ή περισσότερα δειγματικά σημεία. Γεγονός η πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου. Αδύνατο ενδεχόμενο ενδεχόμενο που δε μπορεί να συμβεί Βέβαιο ενδεχόμενο ενδεχόμενο που πάντοτε συμβαίνει νδεχόμενα Πείραµα: Ρίψη νοµισµάτων. νδεχόµενο Αποτελέσµατα Δειγματικός χώρος KK, KΓ, Γ, ΓΓ εφαλήκαι Γράμματα Γ, Γ εφαλή στο ο νόμισμα, Γ Τουλάχιστον εφαλή, Γ, Γ εφαλή και στα νομίσματα αταγραφή Δειγματικού Χώρου. αταγραφή σε λίστα {εφαλή, Γράμματα}. Διαγράμματα Ve 3. Διαγράμματα Δένδρου 4. Πίνακες Διπλής ισόδου 5. ανόνες Απαρίθμησης Διαγράμματα Ve Πείραµα: Ρίψη νοµισµάτων. Αποτέλεσµα {, Γ, Γ, ΓΓ } Γ Γ ΓΓ ειγµατικός Χώρος Γράµµατα Σύνθετο νδεχόµενο Διαγράμματα Δένδρου Πείραµα: Ρίψη νοµισµάτων. {, Γ, Γ, ΓΓ } Γ Γ Γ Γ Γ ΓΓ ειγµατικός Χώρος Αποτέλεσµα Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr

3 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία ανόνες Απαρίθμησης Οι βασικές μέθοδοι απαρίθμησης δειγματικών σημείων ή ενδεχομένων είναι χρήσιμες σε περιπτώσεις προβλημάτων όπου ο δ.χ. περιέχει πολλά δειγματικά σημεία που πρακτικά δεμπορούννααπαριθμηθούνέναπροςέναγιατον υπολογισμό πιθανοτήτων. Βάση τους είναι η Πολλαπλασιαστική αρχή Πολλαπλασιαστική Αρχή Πολλαπλασιαστική αρχή Σε ένα πείραμα που περιλαμβάνει κ βήματα όπου το πρώτο βήμα μπορεί να έχει δυνατά αποτελέσματα, το δεύτερο,, και το τελικό βήμα κ αποτελέσματα, τότε ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων του πειράματος είναι κ : Πολλαπλασιαστική Αρχή πενδυτής επενδύει σε δύο μετοχές,τουοτ και της.τ..ο επενδυτής έχει υπολογίσει πως τα δυνατά αποτελέσματα της επένδυσής του σε διάστημα 3 ων μηνών από τώρα για κάθε μετοχή είναι τα ακόλουθα: έρδη ή Απώλειες σε3 Μήνες(σε 000 ΟΤ Τ Ποιο είναι το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων; Πολλαπλασιαστική Αρχή : Η επένδυση μπορεί να ειδωθεί ως πείραμα δύο βημάτων:ενέχει δύο μετοχές, καθεμιά με έναν αριθμό δυνατών αποτελεσμάτων. ΟΤ: 4 Τ: Συνολικός Αριθμός Πειραματικών Αποτελεσμάτων: (4( 8 Πολλαπλασιαστική Αρχή : αταγραφή δ.χ. με διάγραμμα δένδρου: ΟΤ (Βήμα : Πολλαπλασιαστική Αρχή αταγραφή δ.χ. με διάγραμμα δένδρου: ΟΤ Τ (Βήμα (Βήμα (έρδος Α(ϖώλεια 0 (έρδος 0 5 Πάγια Α(ϖώλεια 0 8 Α 8 Α 8 Α 8 Α Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 3

4 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Πολλαπλασιαστική Αρχή : αταγραφή δ.χ. με διάγραμμα δένδρου: ΟΤ Τ Πειραματικά (Βήμα (Βήμα Αποτελέσματα (έρδος 0 5 Πάγια Α(ϖώλεια 0 8 Α 8 Α 8 Α 8 Α (0, 8 έρδος 8,000 (0, - έρδος 8,000 (5, 8 έρδος 3,000 (5, - έρδος 3,000 (0, 8 έρδος 8,000 (0, - Αϖώλεια,000 (-0, 8 Αϖώλεια,000 (-0, - Αϖώλεια,000 Σύνθετα νδεχόμενα Τα σύνθετα ενδεχόμενα προκύπτουν από τις πράξεις ενδεχομένων: Τομή νδεχομένων Ένωση νδεχομένων Αμοιβαία Αποκλειόμενα νδεχόμενα Διαμερισμός δ.χ. Συμπληρωματικόνδεχόμενο Διαφορά ενδεχομένων Τομή νδεχομένων Τομή νδεχομένων Το ενδεχόμενο που περιέχει τα αποτελέσματα που ανήκουν και στο ενδεχόμενο Α και στο ενδεχόμενο Β Αντιστοιχεί στο λογικό ΑΙ B, A A... A A i i Τομή νδεχομένων Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. (ίδος, Χρώµα, Σύµβολο ειγµατικός Χώρος:,, Μ,..., A Μ ΑΣΣΟΣ ΜΑΥΡΟ νδεχ. ΜΑΥΡΟ: Μ, Μ,..., A Μ νδεχόµενοασσοσ: A, A, A Μ, A Μ Τοµή (ΑΣΣΟΣ ΜΑΥΡΟ: A Μ, A Μ Ένωση νδεχομένων Ένωση νδεχομένων Το ενδεχόμενο που περιέχει τα αποτελέσματα που ανήκουν ήστο ενδεχόμενο Α ήστο ενδεχόμενο Β ήκαι στα δύο Αντιστοιχεί στο λογικό Η A B, A A... A A i i Ένωση νδεχομένων Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. (ίδος, Χρώµα, Σύµβολο ειγµατικός Χώρος:,, Μ,..., A Μ ΑΣΣΟΣ ΜΑΥΡΟ νδεχ. ΜΑΥΡΟ: Μ, Μ,..., A Μ νδεχόµενοασσοσ: A, A, A Μ, A Μ νδεχόµενο (ΑΣΣΟΣ ΜΑΥΡΟ: A,..., A Μ, Μ,..., K Μ Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 4

5 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Ασυμβίβαστα νδεχόμενα Ασυμβίβαστα ή αμοιβαία αποκλειόμενα νδεχόμενα που δε μπορεί να συμβούν ταυτόχρονα A B ειγµατικός Χώρος:,,,..., A Ασυμβίβαστα νδεχόμενα Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. (ίδος, Σύµβολο νδεχ.μπαστουνι:, 3, 4,..., A νδεχόµενο OYΠΑ:, 3, 4,..., A Τα ενδεχόµενα και είναι Ασυµβίβαστα Διαμερισμός Δειγματικού Χώρου Διαμερισμός δ.χ. Τα μη κενά ενδεχόμενα Α, Α,, Α για τα οποία ισχύει A A A, A i j i i για κάθε Α i, A j, i,j,,, i j A 5 A 4 A A 3 ιαµερισµός δειγµατικού χώρου για 5 Διαμερισμός Δειγματικού Χώρου : Α { Χαρτί }, {,,, } Α { Χαρτί }, Α 3 { Χαρτί }, Α 4 { Χαρτί }, Α Α Α 3 Α 4, Α i Α j, i j Συμπληρωματικό νδεχόμενο Συμπλήρωμα Αν Β Α, το συμπλήρωμα του Βως προς το Αείναι το ενδεχόμενο που περιέχει τα αποτελέσματα του Απου δεν ανήκουν στο Β: B A Συμπληρωματικό νδεχόμενο Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. (ίδος, Χρώµα, Σύµβολο ειγµατικός Χώρος:,, Μ,..., A Μ MAYΡΟ Το συµπλήρωµα του Βως προς το δ.χ. : B νδεχόµενομαυρο: Μ, Μ,..., A Μ Συµπληρωµατικό νδεχόµενο, ΜΑΥΡΟ :,,..., A, A κ Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 5

6 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Διαφορά νδεχομένων Διαφορά νδεχομένων Το ενδεχόμενο που περιέχει τα αποτελέσματα που ανήκουν στο Ακαι δεν ανήκουν στο Β: A B Διαφορά νδεχομένων : Α { Χαρτί ΟΥΠΑ}, Β { Χαρτί ΑΣΣΟΣ}, Α Β { Οι ΟΥΠΣ που δεν είναι ΑΣΣΟΣ } Αν Β Ατότε A B B A Μερικές χρήσιμες ιδιότητες Αντιµεταθετική ιδιότητα ένωσης A B B A Προσεταιριστική ιδιότητα ένωσης A ( B C ( A C A B C Αντιµεταθετική ιδιότητα τοµής A B B A Προσεταιριστική ιδιότητα τοµής A ( B C ( A C A B C Μερικές χρήσιμες ιδιότητες Πρώτη πιµεριστική ιδιότητα A ( B C ( A ( A C εύτερη πιµεριστική ιδιότητα A ( B C ( A ( A C Α-Β Α Β Αν A B,τότε B A Μερικές χρήσιμες ιδιότητες A A, A A, A A ( A A B Πρώτος ανόνας του De Morga ( A A B εύτερος ανόνας του De Morga Πιθανότητες Αρχή του δυϊσµού :άθε σχέση µεταξύ συνόλων εξακολουθεί να ισχύει εάν αντικαταστήσουµε τις ενώσεις µε τις τοµές, τις τοµές µε ενώσεις, τα σύνολα µε τα συµπληρώµατά τους και αντιστρέψουµε τη φορά των συµβόλων περιεκτικότητας (εγκλεισµού και. Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 6

7 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Ορισμός της Πιθανότητας Μαθηματικός Ορισμός της Πιθανότητας: Αν ο δ.χ. ενός πειράματος και U {A: A } το σύνολο των δυνατών ενδεχομένων του, η πιθανότητα Ρ είναι κάθε συνάρτηση Ρ: U R, που ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα: Αξιώματα της Πιθανότητας (Αξιώματα Kolmogorov Α. Για κάθε ενδεχόμενο Απου ανήκει στο U, 0 Α Α. Α3. Αν τα ενδεχόμενα Α και Α που ανήκουν στο U είναι ασυμβίβαστα, τότε Α Α Α + Α Υπολογισμός Πιθανότητας Τρόποι Υπολογισμού: λασική Μέθοδος (εκ των προτέρων Βασίζεται στην παραδοχήτης ίδιας δυνατότητας εμφάνισης στοιχειωδών αποτελεσμάτων μπειρική λασική Μέθοδος (εκ των υστέρων Βασίζεται σε επαναλαμβανόμενα πειράματα ή ιστορικά δεδομένα Υποκειμενική Μέθοδος Βασίζεται στην κρίση του αναλυτή λασική Μέθοδος Αν ένα πείραμα έχει δυνατά στοιχειώδη αποτελέσματα, τότε με την κλασική μέθοδο θεωρούμε πωςκάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο έχει πιθανότητα /. Ηπιθανότητα ενός ενδεχομένου Απου περιέχει A σημεία είναι αριθµός δειγµατικών σηµείωντουα A αριθµός δειγµατικών σηµείωντου Απαιτεί εκ των προτέρων γνώση του προβλήματος Ο υπολογισμός γίνεται πριν από την εκτέλεση του πειράματος λασική Μέθοδος Πείραμα: Ρίψη ζαριού Δειγματικός Χώρος: {,, 3, 4, 5, 6} Πιθανότητες: κάθε δειγματικό σημείο έχει πιθανότητα /6 Πιθανότητα ενδεχομένου Α {,} : Ρ(Α/ μπειρική λασική Μέθοδος μπειρική λασική Μέθοδος Σε επαναλήψιμαπειράματα παρατηρείται στατιστική κανονικότητα στα αποτελέσματά τους: όσο αυξάνει ο αριθμός των επαναλήψεων, οι σχετικές συχνότητες εμφάνισης των ενδεχομένων τείνουν σε συγκεκριμένες τιμές. Για κάθε ενδεχόμενο Α,η τιμή της σχετικής συχνότητάς του f A / μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεωνορίζει την πιθανότητά του: f A lim άν τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος είναι απαριθμήσιμα και έχουν την ίδια δυνατότητα εμφάνισης, οι πιθανότητες που υπολογίζονται με τον κλασικό και τον εμπειρικό τρόπο είναι οι ίδιες. Χρησιμοποιεί πραγματικά δεδομένα Ο υπολογισμός γίνεται μετά την εκτέλεση του πειράματος αλείται επίσης και «Μέθοδος Σχετικής Συχνότητας» Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 7

8 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία μπειρική λασική Μέθοδος ταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων πολυτελείαςθέλει να υπολογίσει πιθανότητες για τον αριθμό αυτοκινήτων που νοικιάζει ημερησίως. Από στοιχεία της εταιρίας προκύπτουν οι παρακάτω συχνότητες ημερησίων ενοικιάσεων για τις τελευταίες 400 ημέρες: Αριθµός Αριθµός ενοικιάσεων ηµερών μπειρική λασική Μέθοδος Ο υπολογισμός των πιθανοτήτων γίνεται διαιρώντας τις συχνότητες με την συνολική συχνότητα (συνολικός αριθμός ημερών. Αριθµός Αριθµός ενοικιάσεων ηµερών Πιθανότητες / / κοκ Υποκειμενική Μέθοδος Όταν οι οικονομικές συνθήκες αλλάζουν γρήγορα, τότε ο υπολογισμός πιθανοτήτων με τις κλασικές μεθόδους (με ιστορικά δεδομένα μπορεί να είναι ακατάλληλος. Τα ιστορικά δεδομένα (αν υπάρχουν μπορούν να συνδυαστούν με την εμπειρία και την κρίση του αναλυτή και να προκύψουν πιθανότητας που εκφράζουν το βαθμό πίστης μας για την πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου. Συχνά, οι καλύτερες εκτιμήσεις πιθανότητας προκύπτουν συνδυάζοντας τις εκτιμήσεις από την κλασική ή την εμπειρική μέθοδο με τις υποκειμενικές εκτιμήσεις. Υποκειμενική Μέθοδος πενδυτής σε μετοχές τουοτ και της.τ..εφαρμόζοντας την υποκειμενική μέθοδο έκανε τους παρακάτω υπολογισμούς πιθανότητας: Πειραμ. Αποτέλεσμα Χρηματικό Αποτέλεσμα Πιθανότητα ( 0, 8 8, ( 0, - 8, ( 5, 8 3, ( 5, - 3, ( 0, 8 8, ( 0, - -, (-0, 8 -, (-0,- -, Λογισμός Με βάση τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας και τις πράξεις ενδεχομένωναναπτύχθηκε ο λογισμός πιθανοτήτων για τον υπολογισμό των πιθανοτήτωνορισμένων ενδεχομένων από τις πιθανότητες άλλων. ανόνες λογισμού πιθανοτήτων Πιθανότητα αδύνατου ενδεχόµενου : Πιθανότητα εγκλεισµού ενδεχοµένων : Πιθανότητα συµπληρωµατικού ενδεχοµένου : Πιθανότητα διαφοράς ενδεχοµένων : ( 0 αν A A, ( ( A A ( A A Λογισμός ανόνες λογισμού πιθανοτήτων Προσθετικός ανόνας Πιθανότητα ένωσης ενδεχοµένων : A A A + A A A + A A A3 Για ενδεχόµενα : Ai Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ( i i i, j i, j, k i j Αν τα ενδεχόµενα είναι ανά δύο ασυµβίβαστα: A A A A + A + A 3 3 i j k A A A A A A 3 3 Ai Ai i i i Ai όροι Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 8

9 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία A A 3 Λογισμός A 3 A A A3 A A 3 Υπολογισμός με Πίνακα Πίνακες συνάφειας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την καταγραφή του δειγματικού χώρου και τον υπολογισμό πιθανοτήτων όταν το τυχαίο πείραμα αφορά μέτρηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Παράδειγµα: Σε τυχαίο δείγµα µεγέθους 500 οι συµµετέχοντες ερωτήθηκαν «ίστε ικανοποιηµένοι από το επίπεδο των υπηρεσιών;». Από τους 40 άνδρες, οι 40 απάντησαν «Ναι». Από τις 60 γυναίκες, οι 0 απάντησαν «Ναι». Α A A A A A A3 ΦΥΛΟ ΝΑΙ ΟΧΙ Άντρας Γυναίκα 0 40 Υπολογισμού με Πίνακα : Σε τυχαίο δείγμα μεγέθους 500 οι συμμετέχοντες ερωτήθηκαν «ίστε ικανοποιημένοι από το επίπεδο των υπηρεσιών;». Από τους 40 άνδρες, οι 40 απάντησαν «Ναι». Από τις 60 γυναίκες, οι 0 απάντησαν «Ναι». ΦΥΛΟ ΝΑΙ ΟΧΙ ΣΥΝΟΛΟ Άντρας Γυναίκα ΣΥΝΟΛΟ Περιθώρια αθροίσµατα στηλών Περιθώρια αθροίσµατα γραµµών Υπολογισμού με Πίνακα Α { Ο ερωτώµενος είναι Άντρας } Α { Ο ερωτώµενος είναι Γυναίκα } Β { Ο ερωτώµενος απαντά Ναι } Β { Ο ερωτώµενος απαντά Όχι } Ρ(Α Ρ(Α Ρ(Β Ρ(Β ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ / / / / Υπολογισμού με Πίνακα Περιθώριες ή ολικές πιθανότητες Ρ(Α 40/ Ρ(Α 60/ Ρ(Β 360/ Ρ(Β 40/ ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( 0.48 Γυναίκα (A 0.5 ΣΥΝΟΛΟ Υπολογισμού με Πίνακα Πιθανότητες τοµών ή κοινές πιθανότητες Α Β : Ρ(Α Β 40/ Α Β : Ρ(Α Β 00/ Α Β : Ρ(Α Β 0/ Α Β : Ρ(Α Β 40/ ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 9

10 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού με Πίνακα οινές πιθανότητες Πίνακας οινών Ρ(Α Β 40/ Ρ(Α Β 00/ Ρ(Α Β 0/ Ρ(Α Β 40/ ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ Υπολογισμού με Πίνακα Παρατηρήσεις: Τα ενδεχόμενα Α, Α είναι διαμερισμός του δ.χ. Τα ενδεχόμενα Β, Β είναι διαμερισμός του δ.χ. Τα ενδεχόμενα Α Β, Α Β,Α Β,Α Β είναι διαμερισμός του δ.χ. ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ Υπολογισμού με Πίνακα : Μέτρηση Φύλου και ισοδήματος Σε δείγμα 000 εργαζομένων καταγράφηκε το φύλο και το ετήσιο εισόδημα. Τα αποτελέσματα ταξινομήθηκαν στον πίνακα συνάφειας: ΙΣΟ ΗΜΑ ΦΥΛΟ <0,000 0,000-0,000 >0,000 Άντρας Γυναίκα α ατασκευάστε τον Πίνακα οινών. β Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι άνδρας; γποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι γυναίκα µε εισόδηµα 0,000; Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. νδεχόµενα: Α{ΑΣΣΟΣ}, Β{ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και Α} Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. Β{ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και Α} Α{ΑΣΣΟΣ} Β{ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και Α} Ποιες είναι οι πιθανότητες Ρ(Α, Ρ(Β, Ρ(Α Β; A Α{ΑΣΣΟΣ} B 5 A A B 5 Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 0

11 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. Β{ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και Α} Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. Το B πραγµατοποιείται: Όλα τα άλλα αποτελέσµατα είναι πλέον αδύνατα Β{ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και Α} Α{ΑΣΣΟΣ} Αν ξέρουµε ότι το χαρτί είναι ΜΑΥΡΟαπό ΑΣΣΟ έως και Α, δηλαδή το Β έχει συµβεί, ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να είναι ΑΣΣΟΣ; ηλαδή ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το Α δεδοµένου του Β; B A 0 B Α{ΑΣΣΟΣ} νδεχόµενο (A πειδή το Βέχει συµβεί, ο δ.χ. περιορίζεται στο Β B ( Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. A B B / A A B B B / 0 / 5 A 0 / 5 0 Ορισµός δεσµευµένης πιθανότητας νδεχόµενο (A B B ( Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δεδομένου ότι ένα άλλο δυνατό ενδεχόμενο Β έχει πραγματοποιηθεί ονομάζεται δεσμευμένη ή υπό συνθήκη πιθανότητα του Α δεδομένου του Β. Συμβολίζεται ως A πειδή το Βέχει συμβεί, ο δ.χ. περιορίζεται στο Β και η παρατήρηση αυτή οδηγεί στον ορισμό A Α Β Β Α Αποδεικνύεται πως η Ρ(Α Β ικανοποιεί τα αξιώματα της πιθανότητας : Α. Για κάθε ενδεχόμενο Α, 0 A A. Για το βέβαιο ενδεχόμενο, A3. Για τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Α, Για A A,...,, A A A + A A ανά δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, i Ai B i A i Συνεπώς οι γνωστοί κανόνες λογισμού πιθανοτήτων ισχύουν και για τις δεσμευμένες πιθανότητες. Π.χ. ο απλός προσθετικός κανόνας: ( A A A + A A A Η Ρ(Αονομάζεται ολικήή απόλυτηή περιθώρια ή χωρίς συνθήκη πιθανότητατου Α. ίναι και αυτή μια υπό συνθήκη πιθανότητα δεδομένου του δειγματικού χώρου : και A Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr

12 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Χρησιμότητα της δεσμευμένης πιθανότητας : α επιτρέπει ακριβέστερο προσδιορισμό της πιθανότηταςσε υποσύνολα του δειγματικού χώρου κατά την εκτέλεση μετρήσεων ή πειραμάτων, β υποδηλώνει τη «συσχέτιση» ενδεχομένωνή γεγονότων, είτε ως αιτιακή είτε απλά ως στατιστική κανονικότητα, και γ ως απόρροια του (β, σε πολλές περιπτώσεις επαναλήψιμων πειραμάτων, όταν υπάρχει έστω μερική πρότερη γνώση του φαινομένου που μελετάται με το πείραμα, επιτρέπει την ακριβέστερη πρόβλεψη του αποτελέσματος του πειράματος πριναπό την εκτέλεσή του. Πολλαπλασιαστικός ανόνας Οπολλαπλασιαστικός κανόναςμας δίνει έναν τρόπο υπολογισμού της πιθανότητας της τομής δύο ενδεχομένων. Προκύπτει από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας: A A ή B Για ενδεχόμενα του, Α,Α,...,Α, ο κανόνας γενικεύεται ως εξής: i Ai A A A A3 A A... A Aj j Πολλαπλασιαστικός ανόνας Ai A A A A3 A A... A Aj i j Για ( A A ( A ( A A Για 3 Θέστε A A B Άρα ( A A A3 ( B A3 A3 A A ( A3 A A Όµως ( A A ( A ( A A Συνεπώς ( A A A3 ( A ( A A ( A3 A A αι µε τον ίδιο τρόπο γενικεύουµε για οποιοδήποτε Υπολογισμός με Πίνακα Σε τυχαίο δείγμα μεγέθους 500 οι συμμετέχοντες ερωτήθηκαν «ίστε ικανοποιημένοι από το επίπεδο των υπηρεσιών;». Από τους 40 άνδρες, οι 40 απάντησαν «Ναι». Από τις 60 γυναίκες, οι 0 απάντησαν «Ναι». ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ α ίναι πιθανότερο να απαντήσει ΝΑΙ µια γυναίκα ή ένας άνδρας; β Ένα άτοµο έχει απαντήσει ΟΧΙ. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα; γ Να καταγραφούν τα αποτελέσµατα σε διάγραµµα δέντρου Υπολογισμός με Πίνακα α ίναι πιθανότερο να απαντήσει ΝΑΙ μια γυναίκα ή ένας άνδρας; Πίνακας οινών ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ Ζητούνται οι Ρ(Β Α και Ρ(Β Α Υπολογισμός με Πίνακα α Πίνακας οινών ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ B A B A A 0. 5 Άρα µια γυναίκα είναι πιθανότερο να έχει απαντήσει ΝΑΙ B A 0. 8 B A A Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr

13 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμός με Πίνακα β Ένα άτομο έχει απαντήσει ΟΧΙ. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα; Πίνακας οινών ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ Ζητούνται οι Ρ(Α Β και Ρ(Α Β Υπολογισμός με Πίνακα β Πίνακας οινών ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ A B 0. 0 A B A B A B B 0. 8 B 0. 8 Άρα ένα άτοµο που έχει απαντήσει ΟΧΙ είναι πιθανότερο να είναι άνδρας Υπολογισμός με Πίνακα β Παρατήρηση: Η Ρ(Α Β θα µπορούσε να προκύψει από τον προσθετικό κανόνα ως εξής: A A B A B + A B A A ( B A B A A B A B + A A B Όµως τα Α και Α είναι διαµερισµός του δ.χ., άρα A A A A B A A A A B. ( A B A B Υπολογισμός με Πίνακα γ Να καταγραφούν τα αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος της μέτρησης της ικανοποίησης σε ένα διάγραμμα δένδρου. Να καταγραφούν επίσης όλες οι πιθανότητες που αντιστοιχούν στους κλάδους και τα μονοπάτια του δένδρου. Πίνακας οινών ΦΥΛΟ ΝΑΙ ( ΟΧΙ (B ΣΥΝΟΛΟ Άντρας ( Γυναίκα (A ΣΥΝΟΛΟ Υπολογισμός με Πίνακα γ A Υπολογισμός με Πίνακα γ A B A B A 0.48 A 0.48 B A 0.47 B B A B A 0.5 A 0.5 A A B A 0.54 B Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 3

14 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμός με Πίνακα γ A B A B B A B A A 0.8 Υπολογισμός με Πίνακα Παρατηρήσεις: α Η κοινή πιθανότητα κάθε μονοπατιού είναι το γινόμενο των πιθανοτήτων κάθε κλάδου του A 0.48 A 0.5 A B A 0.47 B A B A 0.54 B B B B A B A A 0.0 B A B A A 0.44 B A B A A 0.08 β Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των κλάδων με κοινή κορυφή είναι γ Το άθροισμα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε όλα τα μονοπάτια είναι Δένδρα Πιθανότητας ίναι δένδρα των οποίων οι κόμβοιαντιστοιχούν σε αποτελέσματα και οι κλάδοι σε πιθανότητες πραγματοποίησης των αποτελεσμάτων. A A A A B A B A B A B A Η κοινή πιθανότητα κάθε μονοπατιού είναι το γινόμενο των πιθανοτήτων κάθε κλάδου του Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των κλάδων με κοινή κορυφή είναι Το άθροισμα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε όλα τα μονοπάτια είναι B B B B B A B A A B A B A A B A B A A B A B A A A A A A B A B A B A B A B Γ B B Γ A B Γ A B Γ A B Γ A B Γ A B Γ A B Γ A B Γ Γ Γ Γ Γ Γ B Γ Γ A B A i B j Γ k A i B j A i Γ k A i B j ταιρία έρευνας μάρκετινγκ εκτίμησε ότι οι αγοραστές ενός νέου προϊόντος ταχείας διακίνησης (fast movig είναι μια συγκεκριμένη περίοδο 340 άτομα, το 60% άνδρες (Α και κατά 40% γυναίκες (Γ. Σε μελέτη που διεξήγαγε την ίδια περίοδο το 70% των ανδρών δήλωσε υψηλό (Υ επίπεδο ικανοποίησης από το προϊόν και το 30% χαμηλό (Χ επίπεδο ικανοποίησης. Για τις γυναίκες τα αντίστοιχα ποσοστά ήταν 80% και 0%. πίσης, το 80% των περισσότερο ικανοποιημένων και το 0% των λιγότερο ικανοποιημένων ανδρών δήλωσε πως στην επόμενη περίοδο θα αγοράσει (Ν το προϊόν. Οι υπόλοιποι δήλωσαν πως δε θα αγοράσουν (Ο το προϊόν. Για τις γυναίκες τα αντίστοιχα ποσοστά ήταν 90% και 0%. Ποια είναι η εκτίμησή σας για το μέγεθος και τη σύσταση της αγοράς την επόμενη περίοδο με βάση τα παραπάνω στοιχεία; ατασκευάστε το δέντρο πιθανότητας και κάντε τους υπολογισμούς με βάση αυτό. Υπολογισμού με Πίνακα : Μέτρηση Φύλου και ισοδήματος Σε δείγμα 000 εργαζομένων καταγράφηκε το φύλο και το ετήσιο εισόδημα. Τα αποτελέσματα ταξινομήθηκαν στον πίνακα συνάφειας: ΙΣΟ ΗΜΑ ΦΥΛΟ <0,000 0,000-0,000 >0,000 Άντρας Γυναίκα α ατασκευάστε τον Πίνακα οινών. β Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι άνδρας; γποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι γυναίκα µε εισόδηµα 0,000; Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 83 Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 4

15 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού με Πίνακα : Μέτρηση Φύλου και ισοδήματος Σε δείγμα 000 εργαζομένων καταγράφηκε το φύλο και το ετήσιο εισόδημα. Τα αποτελέσματα ταξινομήθηκαν στον πίνακα συνάφειας: ΙΣΟ ΗΜΑ ΦΥΛΟ <0,000 0,000-0,000 >0,000 Άντρας Γυναίκα Στοχαστική Ανεξαρτησία δ ίναι πιθανότερο µια γυναίκα ή ένας άνδρας να έχει εισόδηµα 0,000 και πάνω; ε ργαζόµενος έχει εισόδηµα >0,000. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα; στ ατασκευάστε το δένδρο πιθανότητας για το πρόβληµα αυτό. Στοχαστική Ανεξαρτησία Αν η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Αδεν επηρεάζεται από το εάν το ενδεχόμενο Βσυμβεί ή όχι, τότε το ενδεχόμενο Αείναι στοχαστικάή στατιστικά ανεξάρτητο ή απλά ανεξάρτητο του ενδεχόμενου Β. Η σχέση ορισμού είναι ( A Στοχαστική Ανεξαρτησία Από τη σχέση ορισμού της στοχαστικής ανεξαρτησίας και τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας προκύπτουν οι ισοδύναμες σχέσεις: ( A ( B άρα, αν το Α είναι ανεξάρτητο του Βτότε και το Βείναι ανεξάρτητο του Α. αθώς οι παραπάνω τρεις σχέσεις είναι ισοδύναμες, αρκεί να δείξουμε την ισχύ μιας από αυτές για να είναι τα Ακαι Β ανεξάρτητα. Στοχαστική Ανεξαρτησία- Δίνεται ότι: Ρ(Α0.35, Ρ(Β0.0, Ρ(Α Β0.07 ίναι τα Α και Β ανεξάρτητα; ( ( ναλλακτικός τρόπος: A B Τα Α και Β είναι ανεξάρτητα Τα Α και Β είναι ανεξάρτητα Γενίκευση σε ενδεχόμενα, Α, Α,..., : ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα αν και μόνο ανισχύουν καιοι δύο παρακάτω συνθήκες α τα ενδεχόμενα είναι ανά δύο ανεξάρτητα, δηλαδή για κάθε i j, i,j,,, ισχύει και β Στοχαστική Ανεξαρτησία A A A A ( i j i j Ai Ai i i Α Πολλαπλασιαστικός κανόνας για ανεξάρτητα ενδεχόµενα Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 5

16 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία Στοχαστική Ανεξαρτησία- Δίνεται ότι: Ρ(Α0.4,Ρ(Β0.5, Ρ(Γ0.3,Α Β0., Ρ(Α Γ0., Ρ(B Γ0.5, Ρ(Α Β Γ0.80. ίναι τα Α, Β και Γ ανεξάρτητα; Ισχύει Ρ(Α ΒΡ(Α.Ρ(Β, Ρ(Α ΓΡ(Α.Ρ(Γ, Ρ(Β ΓΡ(Β.Ρ(Γ Άρα τα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ανεξάρτητα B Γ A B Γ Γ + A + A Γ + B Γ ( Γ ( 0. 4( 0. 5( A B Γ Άρα τα Α, Β και Γ δεν είναι όλα µαζί ανεξάρτητα Στοχαστική Ανεξαρτησία- Δίνεται ότι: Ρ(Α0.4,Ρ(Β0.5, Ρ(Γ0.3,Α Β0., Ρ(Α Γ0., Ρ(B Γ0.5, Ρ(Α Β Γ0.80. ίναι τα Α, Β και Γ ανεξάρτητα; Όντως, παρατηρήστε ότι (πολλαπλασιαστικός κανόνας: B Γ B Γ Γ A B Γ 0.07 Γ Γ νώ το Γ είναι ανεξάρτητο των Α και Β ξεχωριστά,δεν είναι ανεξάρτητο της τοµής τους. Μπορεί να δειχθεί ότι κανένα από τα Α,Β, και Γ δεν είναι ανεξάρτητο της τοµής των άλλων δύο. Στοχαστική Ανεξαρτησία Παρατήρηση : αι οι δύο συνθήκες είναι αναγκαίες για να είναι τα ενδεχόμενα ανεξάρτητα. Η συνθήκη (β δεν προκύπτει από την (α, δηλαδή μπορεί ενδεχόμενα να είναι ανά δύο ανεξάρτητα αλλά να μην είναι όλα μαζί ανεξάρτητα. Παρατήρηση : Υπάρχει σαφής διάκριση ανάμεσα στις έννοιες «ασυμβίβαστα» και «ανεξάρτητα» ενδεχόμενα. Δύο ενδεχόμενα με μη μηδενικές πιθανότητες δε μπορούν να είναι ταυτόχρονα και ασυμβίβαστα και ανεξάρτητα. Αν ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα συμβεί, τότε η πιθανότητα να συμβεί το άλλο γίνεται μηδενική. Έτσι, τα ενδεχόμενα αυτά δεν είναι ανεξάρτητα. Στοχαστική Ανεξαρτησία- Πείραμα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. Δίνονται τα ενδεχόμενα: Α { Χαρτί κάτω του 5 } Β { Χαρτί ΟΥΠΑ } Γ { Χαρτί ΜΑΥΡΟ κάτω του 6 } α ίναι τα Α και Β ανεξάρτητα; β ίναι τα Α, Β, και Γ ανεξάρτητα; Στοχαστική Ανεξαρτησία- Πείραμα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. α Α { Χαρτί κάτω του 5 } Β { Χαρτί ΟΥΠΑ } Στοχαστική Ανεξαρτησία- Πείραμα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα. β Α { Χαρτί κάτω του 5 } Β { Χαρτί ΟΥΠΑ } 6 ( 5 3 ( ( ( A 4 5 Γ { Χαρτί ΜΑΥΡΟ κάτω του 6 } 6 3 ( ( Γ (Γ 5 ( A Γ 8 5 Άρα τα Α και Γ δεν είναι ανεξάρτητα και συνεπώς ούτε τα Α, Β, και Γ δεν είναι ανεξάρτητα. Άρα τα Α και Β είναι ανεξάρτητα Πολύ πιο απλά, θα µπορούσατε να δείτε ότι τα Β και Γ είναι ασυµβίβαστα και συνεπώς εξαρτηµένακαι να καταλήξετε στο ίδιο συµπέρασµα. Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 6

17 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία φαρμογή στην Απλή Τυχαία Απλή Τυχαία : Όταν όλα τα δυνατά δείγματα μεγέθους από έναν πληθυσμό έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης με μια δειγματοληπτική διαδικασία, τότε η δειγματοληψία ονομάζεται απλή τυχαία δειγματοληψία. : Σε πληθυσμό Ν0 προϊόντων, τα είναι ελαττωματικά. Ποια είναι η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους, το ένα προϊόν να είναι ελαττωματικό και το άλλο καλό; Ζητούμε την πιθανότητα Ρ( ανεξαρτήτως σειράς φαρμογή στην Απλή Τυχαία α με επανάθεση: Πλήθος δυνατών δειγµάτων µεγέθους Πολλαπλασιαστική αρχή: (N.(N N 0 00 Πιθανότητα εµφάνισης κάθε δείγµατος : N 0 00 φαρμογή στην Απλή Τυχαία α με επανάθεση: Τρόποι µε τους οποίους µπορεί να προκύψει λατ. και αλό προϊόν : φαρμογή στην Απλή Τυχαία α με επανάθεση: Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας : { στην η λήψη, στην η λήψη } : (x(8 6 τρόποι { στην η λήψη, στην η λήψη } : (8x( 6 τρόποι /0 Σύνολο : 3 τρόποι Πιθανότητα Ρ( : 3 ( E K /0 φαρμογή στην Απλή Τυχαία φαρμογή στην Απλή Τυχαία α με επανάθεση: Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας : Ρ(/0 α με επανάθεση: Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας : Ρ(/0 4/00 /0 8/0 Ρ(8/0 Ρ(/0 Ρ(8/0 /0 8/0 Ρ(8/0 Ρ(/0 Ρ(8/0 6/00 3/00 6/00 64/00 Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 7

18 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία φαρμογή στην Απλή Τυχαία β χωρίς επανάθεση: Πλήθος δυνατών δειγµάτων µεγέθους Πολλαπλασιαστική αρχή: (N.(N- 0x9 90 Πιθανότητα εµφάνισης κάθε δείγµατος : 90 φαρμογή στην Απλή Τυχαία β χωρίς επανάθεση: Τρόποι µε τους οποίους µπορεί να προκύψει λατ. και αλό προϊόν : { στην η λήψη, στην η λήψη } : (x(8 6 τρόποι { στην η λήψη, στην η λήψη } : (8x( 6 τρόποι Πιθανότητα Ρ( : Σύνολο : 3 ( E K τρόποι φαρμογή στην Απλή Τυχαία φαρμογή στην Απλή Τυχαία β χωρίς επανάθεση: Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας : β χωρίς επανάθεση: Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας : /9 /0 /0 8/9 /9 8/0 8/0 7/9 φαρμογή στην Απλή Τυχαία φαρμογή στην Απλή Τυχαία β χωρίς επανάθεση: Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας : /9 /0 8/9 /9 8/0 7/9 /90 6/90 3/90 6/90 56/90 Όταν Ν>>, τότε οι πιθανότητες είναι περίπου οι ίδιες είτε με είτε χωρίς επανατοποθέτηση: Π.χ. Ν000, 00 ελαττωματικά(σταθερή αναλογία Λ στο 0% Πλήθος δυνατών δειγµάτων µεγέθους - πανατοποθέτηση Πολλαπλασιαστική αρχή: (N.(N N,000,000 Τρόποι µε τους οποίους µπορεί να προκύψει λατ. και αλό προϊόν : { στην η λήψη, στην η λήψη } : (00.(800 60,000 { στην η λήψη, στην η λήψη } : (800.(00 60,000 Σύνολο : 30,000 Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 8

19 νότητα 3η : ισαγωγή στη Θεωρία φαρμογή στην Απλή Τυχαία Όταν Ν>>, τότε οι πιθανότητες είναι περίπου οι ίδιες είτε με είτε χωρίς επανατοποθέτηση: Π.χ. Ν000, 00 ελαττωματικά(σταθερή αναλογία Λ στο 0% Πιθανότητα - πανατοποθέτηση 30, 000 ( E K 0. 3, 000, 000 φαρμογή στην Απλή Τυχαία Όταν Ν>>, τότε οι πιθανότητες είναι περίπου οι ίδιες είτε με είτε χωρίς επανατοποθέτηση: Π.χ. Ν000, 00 ελαττωματικά(σταθερή αναλογία Λ στο 0% Πλήθος δυνατών δειγµάτων Χωρίς επανατοποθέτηση Πολλαπλασιαστική αρχή: (N.(N- 999,000 Τρόποι µε τους οποίους µπορεί να προκύψει λατ. και αλό προϊόν : { στην η λήψη, στην η λήψη } : (00.(800 60,000 { στην η λήψη, στην η λήψη } : (800.(00 60,000 Σύνολο : 30,000 φαρμογή στην Απλή Τυχαία Όταν Ν>>, τότε οι πιθανότητες είναι περίπου οι ίδιες είτε με είτε χωρίς επανατοποθέτηση: Π.χ. Ν000, 00 ελαττωματικά(σταθερή αναλογία Λ στο 0% Πιθανότητα - Χωρίς επανατοποθέτηση Οι πιθανότητες είναι περίπου ίσες 30, 000 ( E K , 000 φαρμογή στην Απλή Τυχαία α με επανάθεση: /0 8/0 Ρ(/0 Ρ(8/0 Ρ(/0 Ρ(8/0 Ανεξαρτησία λήψεων 4/00 6/00 6/00 64/00 φαρμογή στην Απλή Τυχαία β χωρίς επανάθεση, Ν>> : 99/999 /0E Ανεξαρτησία λήψεων 4/00 Τέλος ενότητας /0 8/0 800/999 8/0 K 00/999 /0 E 799/999 8/0 K 6/00 6/00 64/00 Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 4 Χ. μμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 9