Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές"

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές Ανεξαρτησία ενδεχομένων και πειραμάτων Πιθανότητες επιβίωσης Ασκήσεις Εφαρμογές

2

3 Κεφάλαιο Πιθανότητες Η θεωρία των Πιθανοτήτων ασχολείται με την έννοια της αβεβαιότητας και τη διατύπωση των νόμων που διέπουν τα διάφορα τυχαία φαινόμενα. Αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται η στατιστική συμπερασματολογία στην Ιατρική. Σκοπός αυτού του Κεφαλαίου δεν είναι η ανάπτυξη της θεωρίας σε λεπτομέρειες, αλλά η παρουσίαση μερικών βασικών εννοιών και κανόνων για το χειρισμό των πιθανοτήτων. Η επιδίωξή μας είναι να γίνει α- ντιληπτή η έννοια της πιθανότητας και οι εφαρμογές της και να τεθούν οι βάσεις για την ανάπτυξη της στατιστικής συμπερασματολογίας που θα γίνει στα επόμενα. Μέσα στα πλαίσια αυτά εισάγεται η έννοια της πιθανότητας, δίνονται τρόποι υπολογισμού αυτής και ορισμένα βασικά θεωρήματα. Από τις κυριότερες εφαρμογές που περιέρχονται στο Κεφάλαιο είναι η βακτηριουρία και η πυελονεφρίτιδα, ο καρκίνος της μήτρας, η ιατρική διάγνωση με computers, το κάπνισμα και οι πνευμονικές ανωμαλίες, η επιβίωση των νεογέννητων κ.λ.π.. Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ο κλάδος ο οποίος ασχολείται με την έννοια της αβεβαιότητας (πιθανότητας). Στατιστική είναι ο κλάδος, ο ο- ποίος ασχολείται με την σχεδίαση πειραμάτων ή μεθόδων δειγματοληψίας, τη συλλογή και ανάλυση αριθμητικών δεδομένων (μετρήσεων) και την εξαγωγή συμπερασμάτων για ένα σύνολο βάσει των πληροφοριών που περιέχονται σε ένα δείγμα από το σύνολο αυτό. Σχεδόν κάθε ανθρώπινο ή φυσικό φαινόμενο περιλαμβάνει αβεβαιότητες τις οποίες προσπαθούμε να αναλύσουμε με τη διαισθητική έννοια της πιθανότητας. Ποια είναι η πιθανότητα βροχής την η Μαρτίου; Πώς μπορούμε να δώσουμε μια κατανοητή απάντηση στο ερώτημα αυτό; Ένας τρόπος είναι να υπολογίσουμε το ποσοστό των αντίστοιχων ημερών κατά

4 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ τα προηγούμενα έτη που είχαν βροχή. Ένα παρόμοιο πρόβλημα είναι η εκτίμηση της πιθανότητας βροχής την αυριανή ημέρα. Ένας λογικός τρόπος θα ήταν να προσδιορίσουμε από τα μετεωρολογικά αρχεία εκείνες τις μέρες του παρελθόντος με συνθήκες καιρού παρόμοιες με τις συνθήκες της σημερινής ημέρας. Η πιθανότητα βροχής αύριο θα είναι το ποσοστό ημερών με παρόμοιο καιρό για τις οποίες η επόμενη μέρα είχε βροχή. Οι πρώτες βασικές έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής είναι οι έννοιες του πληθυσμού και του δείγματος. Πληθυσμός είναι ένα σύνολο αντικειμένων, ατόμων, κ.λ.π. για το οποίο ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά του στοιχεία. είγμα είναι ένα υποσύνολο του πληθυσμού το οποίο επιλέγεται κατά κάποιο τρόπο για τη λήψη μετρήσεων και εξέταση ορισμένων χαρακτηριστικών. Παράδειγμα () Ένας γιατρός ενδιαφέρεται για τη σχέση που πιθανόν να υπάρχει μεταξύ καπνίσματος και καρκίνου. Πληθυσμός μπορεί να είναι οι κάτοικοι της χώρας που ζει ο γιατρός και δείγμα ένα υποσύνολο των κατοίκων που επιλέγεται με τρόπους που μας διδάσκει η Στατιστική. Παράδειγμα () Ένας βιολόγος ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τον αριθμό ενός σπάνιου είδους ψαριών που βρίσκονται σε μια λίμνη. Πληθυσμός είναι όλα τα ψάρια της λίμνης και δείγμα τα ψάρια που πιάνονται από τα πειραματικά συνεργεία και των οποίων το είδος προσδιορίζεται. Ο Στατιστικός ενδιαφέρεται για την εξαγωγή συμπερασμάτων κατά τον καλύτερο τρόπο καθώς και για την αξιολόγηση της καταλληλότητας της μεθόδου εξαγωγής συμπερασμάτων που χρησιμοποιεί. Η Θεωρία Πιθανοτήτων ενδιαφέρεται για τη διατύπωση νόμων ή προτύπων πιθανότητας που διέπουν τα διάφορα φαινόμενα. Πολλοί από τους νόμους αυτούς διατυπώνονται βάσει εξιδανικεύσεων ή γενικών αρχών. Η Στατιστική με τα δείγματά της καλείται να επιβεβαιώσει την ορθότητα ή μη των νόμων αυτών. Ιστορικά η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε από τη μαθηματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών. Τέτοια παιχνίδια παίζονται πάνω από 5000 χρόνια. Ένα πρωτόγονο παιχνίδια ζαριών γινόταν με μικρά ορθογώνια οστά από τον αστράγαλο ενός θηλαστικού. Η Θεωρία Πιθανοτήτων έχει ένα ευρύτατο πεδίο εφαρμογών που καλύπτει σχεδόν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα, όπως την πρόβλεψη του καιρού, τη χαρτοπαιξία, τη γενετική, την ιατρική κ.λ.π. Σύγχρονες θεωρίες για την δομή της ύλης διατυπώνονται με τη βοήθεια της έννοιας της πιθανότητας. Η Στατιστική έλαβε μεγάλη ανάπτυξη τα τελευταία χρόνια. Πατέρας της θεωρείται ο Άγγλος R. A. Fsher.

5 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 7. ειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Ο όρος πείραμα με την κοινή καθομιλουμένη έννοια δε χρειάζεται να ορισθεί ιδιαίτερα. Η Θεωρία Πιθανοτήτων και η Στατιστική χρησιμοποιούν τον όρο αυτό είτε με τη στενή, πραγματική του έννοια, είτε με μια γενικότερη ιδεατή μορφή. Υπάρχουν πειράματα των οποίων το αποτέλεσμα είναι γνωστό εκ των προτέρων. Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων το αποτέλεσμα δεν είναι δυνατό να προκαθοριστεί. Αν π.χ. ενώσουμε δύο άτομα υδρογόνου και ένα άτομο οξυγόνου το αποτέλεσμα είναι προκαθορισμένο, δηλαδή ο σχηματισμός ενός μορίου νερού. Αν όμως εκτοξεύσουμε ένα βλήμα σε ένα στόχο το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προκαθοριστεί γιατί επιδρούν παράγοντες που είναι άγνωστοι ή δεν μπορούν να ελεγχθούν. Τυχαίο πείραμα ή πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα του οποίου τα αποτελέσματα κυβερνώνται από τους νόμους της τύχης και δεν μπορούν να καθοριστούν εκ των προτέρων. Για συντομία στην έκφραση θα χρησιμοποιούμε απλώς τον όρο πείραμα. Το αποτέλεσμα που προκύπτει από μια εκτέλεση ενός πειράματος λέγεται στοιχειώδες ή απλό ενδεχόμενο ή δειγματικό σημείο. Το σύνολο των δειγματικών σημείων ενός πειράματος λέγεται δειγματικός χώρος. Ο χώρος αυτός συμβολίζεται συνήθως με S και μπορεί να είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο. Παράδειγμα. Έστω ένα ζάρι του οποίου κάθε όψη χαρακτηρίζεται με έναν από τους αριθμούς,,, 3, 4, 5, 6. Το πείραμα τύχης συνίσταται στη ρίψη του ζαριού πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Η ένδειξη της όψης που είναι στραμμένη προς τα επάνω αποτελεί το αποτέλεσμα. Επομένως είναι φανερό ότι τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι,, 3, 4, 5, 6 και ο δειγματικός χώρος είναι S {,,3,4,5,6}. Παράδειγμα. Τρία άτομα εκλέγονται από έναν πληθυσμό και εξετάζονται αν έχουν προσβληθεί από μια ασθένεια. Έστω A το αποτέλεσμα ότι ένα άτομο είχε προσβληθεί από την ασθένεια και K το αποτέλεσμα ότι είναι καλά. Ένα τυπικό αποτέλεσμα του πειράματος αυτού είναι AAK δηλαδή το πρώτο άτομο έχει προσβληθεί το δεύτερο ομοίως και το τρίτο είναι καλά. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αυτού είναι S { AAA, AAK, AKA, KAA, AKK, KAK, KKA, KKK}.

6 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Παράδειγμα.3 Έστω μια μαγνητική πυξίδα της οποίας η βελόνα μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα. Κάθε ένδειξη μεταξύ 0 και π αποτελεί δειγματικό σημείο. Ο δειγματικός χώρος εδώ είναι S { φ 0 φ π} και είναι συνεχής. Ενδεχόμενο ή γεγονός λέγεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος. Με άλλα λόγια ενδεχόμενο είναι ένα σύνολο δειγματικών σημείων του S. Συνήθως τα ενδεχόμενα συμβολίζονται με τα κεφαλαία γράμματα A, B, C, K. Το σύνολο όλων των αποτελεσμάτων ενός πειράματος δηλαδή ο δειγματικός χώρος S είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο λέγεται το βέβαιο ενδεχόμενο. Το κενό σύνολο δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα αποτέλεσμα του δειγματικού χώρου λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο. Ένα ενδεχόμενο A πραγματοποιείται όταν τουλάχιστον ένα από τα δειγματικά του σημεία πραγματοποιηθεί. Έτσι εκτελώντας ένα πείραμα το βέβαιο ενδεχόμενο πραγματοποιείται πάντοτε, το δε αδύνατο ποτέ. Παράδειγμα.4 Πρόκειται να υπολογιστεί ο αριθμός των τηλεφωνικών κλήσεων ενός τηλεφωνικού κέντρου σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Τα δυνατά αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος είναι 0,,,3, K τηλεφωνικές κλήσεις. ύο παραδείγματα συνθέτων ενδεχομένων είναι τα Α {τουλάχιστον τέσσερες κλήσεις} {4, 5,...} Παράδειγμα.5 Β {το πολύ δύο κλήσεις} {0,, }. Τέσσερα κύτταρα (αιμοσφαίρια) αίματος εκλέγονται και παρατηρείται ο αριθμός των ερυθρών αιμοσφαιρίων. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι 0,,,3,4 ερυθρά. Το ενδεχόμενο τα ερυθρά αιμοσφαίρια να είναι περισσότερα από τα λευκά είναι Α { 3,4}. Εάν δοθούν δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα τότε νέα ενδεχόμενα μπορούν να οριστούν από αυτά με τη βοήθεια πράξεων, οι οποίες εξετάζονται πιο κάτω. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου S. Εάν η πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A συνεπάγεται την πραγματοποίηση του B τότε λέμε πως το A συνεπάγεται το B και σημειώνουμε A B. Εάν το A συνεπάγεται το B και το B συνεπάγεται το A τότε λέμε πως

7 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 9 τα A και B είναι ισοδύναμα και γράφουμε A B. Πιο απλά A B σημαίνει πως και τα δύο πραγματοποιούνται ή όχι ταυτόχρονα. Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα δύο ενδεχόμενα A και B ονομάζεται άθροισμα ή ένωση αυτών και συμβολίζεται με A + B ή A B. S A Σχήμα. B Έτσι A B { A ή Β}. Παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.. Η πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A B απαιτεί την πραγματοποίηση του Α ή του Β ή και των δύο. Ένα ενδεχόμενο είναι η ένωση των στοιχειωδών ενδεχομένων που το αποτελούν. Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην ταυτόχρονη πραγματοποίηση των Α και Β ονομάζεται το γινόμενο ή η τομή αυτών και συμβολίζεται με ΑΒ ή Α Β. Έτσι ΑΒ { Α και Β }. Παρίσταται S B γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.. Για να συμβεί η τομή ΑΒ πρέπει να συμβούν ταυτόχρονα και τα δύο ενδεχόμενα Α και Β. Εάν τα ενδεχόμενα Α και A Β δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τότε τα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα. Σχήμα. Με άλλα λόγια ΑΒ. S A Σχήμα.3 B Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην πραγματοποίηση του Α και τη μη πραγματοποίηση του Β ονομάζεται η διαφορά των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β. Η διαφορά Α Β παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.3. Αντίθετο ή συμπληρωματικό του ενδεχόμενου Α ονομάζεται το ενδεχόμενο που συνίσταται στη μη πραγματοποίηση του Α και συμβολίζεται με Α ή Α C. Η πραγματοποίηση του ενδεχομένου A σημαίνει τη μη πραγματοποίηση S Á A και τα δύο ενδεχόμενα A και A είναι ασυμβίβαστα. Το A παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος Σχήμα.4.4. Προφανώς A S A.

8 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Παράδειγμα.6 Ένα χαρτί διαλέγεται από μια συνηθισμένη τράπουλα. Ο δειγματικός χώρος S αποτελείται από τα 5 παιγνιόχαρτα. Εάν θεωρηθούν τα ενδεχόμενα A { σπαθί}, Β { βαλές}, C { φιγούρα} τότε έχουμε: Α Β {όλα τα σπαθιά και οι άλλοι τρεις βαλέδες} Α Β {όλα τα σπαθιά εκτός από τον βαλέ σπαθί} Α Β {βαλές σπαθί} S Α {όλα τα καρώ, κούπες και μπαστούνια} ( Α C) Β {όλα τα σπαθιά και οι φιγούρες εκτός από τους τέσσερες βαλέδες}. Το άθροισμα και το γινόμενο περισσότερων από δύο ενδεχομένων ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Εάν { Α },,, K είναι μια ακολουθία ενδεχομένων, τότε η ένωση A ορίζεται ως το ενδεχόμενο το οποίο συνίσταται στην πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα A και η τομή A ως το ενδεχόμενο το οποίο συνίσταται στην ταυτόχρονη πραγματοποίηση όλων των A..3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων Η έννοια της πιθανότητας ενός ενδεχόμενου μπορεί να οριστεί με περισσότερους από έναν τρόπους ανάλογα με το είδος του ενδεχομένου, το πεδίο αναφοράς αυτού, τη μορφή του δειγματικού χώρου, το ισοπίθανο ή όχι των αποτελεσμάτων αυτού, την υποκειμενική μας αβεβαιότητα για το ενδεχόμενο κ.ο.κ. Πράγματι η Θεωρία Πιθανοτήτων προσφέρει περισσότερους από ένα ορισμούς της έννοιας της πιθανότητας. Οι ορισμοί αυτοί είναι το αποτέλεσμα λογικής επεξεργασίας απλών παρατηρήσεων και πρακτικών μεθόδων που η αξία τους έχει αποδειχθεί από την επανειλημμένη χρήση. Οι βασικοί ορισμοί της πιθανότητας είναι ο κλασικός, ο εμπειρικός και ο αξιωματικός. Ο κλασικός ορισμός αναφέρεται στην έννοια ισοπίθανων στοιχειωδών ενδεχομένων. Η προέλευσή του είναι από τα τυχερά παιγνίδια. Έ- στω A ένα ενδεχόμενο που αποτελείται από n στοιχειώδη ενδεχόμενα.

9 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Έστω S ο δειγματικός χώρος αποτελούμενος από N στοιχειώδη ισοπίθανα ενδεχόμενα και A S. Τότε η πιθανότητα P ( A) του A ορίζεται P ( A) n / N (.) Ας θεωρήσουμε ένα τέλειο ζάρι. Κάθε μια από τις 6 πλευρές του είναι δυνατό να είναι το αποτέλεσμα μιας ρίψης του. εν έχουμε κανένα ιδιαίτερο λόγο να δώσουμε μεγαλύτερη εμπιστοσύνη σε κάποιο αποτέλεσμα. Έτσι ο δειγματικός χώρος S αποτελείται από έξι δυνατά ισοπίθανα αποτελέσματα. Η πιθανότητα του καθενός είναι P ( E ),,, K,6, 6 όπου με E, E, K, E6 συμβολίζονται τα έξι δυνατά αποτελέσματα,,..., 6. Έστω τώρα A το ενδεχόμενο ότι το αποτέλεσμα είναι άρτιο. Τότε 3 A { E, E 4, E 6 } και P ( A). 6 Η πιθανότητα P ( A) του ενδεχόμενου A είναι ίση προς τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν ή αντιπροσωπεύουν την πραγματοποίηση του A διαιρημένο με τον ολικό αριθμό των ισοπίθανων αποτελεσμάτων του πειράματος. Είναι προφανές ότι η πιθανότητα του S, του βέβαιου ενδεχόμενου, είναι N / N. Ομοίως η πιθανότητα του αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν. Έ- τσι η πιθανότητα μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των ενδεχομένων και παίρνει τιμές στο διάστημα [ 0,]. Ο εμπειρικός ορισμός της πιθανότητας βασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας. Έστω ότι το τυχαίο πείραμα εκτελείται N φορές και ότι n φορές από αυτές κατέληξαν στην πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A. Ο λόγος n / N είναι η σχετική συχνότητα του A. Η πιθανότητα του A ορίζεται τότε ως το όριο της σχετικής συχνότητας καθώς το N δηλαδή P( A) lm N Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας είναι καθαρό μαθηματικό δημιούργημα στηριζόμενο σε τρία αξιώματα που συμβιβάζονται με την αντίληψη του κλασικού και εμπειρικού ορισμού. Τα αξιώματα αυτά είναι γνωστά ως αξιώματα του Kolmogorov και είναι τα ακόλουθα: n N

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Αξίωμα Η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. ηλαδή P ( A) 0 για κάθε ενδεχόμενο A. Αξίωμα Αξίωμα 3 P ( S). Εάν A, A, K είναι μία πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία ασυμβίβαστων ανά δύο ενδεχομένων τότε ( U A ) P( A ), ( A Aj j) P, όπου ο δείκτης διατρέχει τους αριθμούς,, K, n ή τους αριθμούς,, K Με άλλα λόγια πιθανότητα είναι μία συνολοσυνάρτηση που ονομάζεται μέτρο πιθανότητας με πεδίο ορισμού το σύνολο των ενδεχομένων και τιμές τους μη αρνητικούς αριθμούς [ 0, ] που ικανοποιεί τα Αξιώματα και 3. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα τρία αξιώματα δεν μας λένε πως να ορίζουμε τις πιθανότητες στα διάφορα γεγονότα. Απλώς ορίζουν τους νόμους οι οποίοι πρέπει να διέπουν μία τέτοια πράξη. Ο Μαθηματικός ορίζει τις πιθανότητες κατά κάποιο τρόπο αυθαίρετα αρκεί τα αξιώματα να μη παραβιάζονται. Π.χ. εάν έχουμε ένα πείραμα με 5 διαφορετικά αποτελέσματα Α, Β, Γ,, Ε τότε P ( A) 0., P( B) 0., P( Γ) 0., P ( ) 0.3, P( E) 0. 3 αποτελούν σωστό τρόπο καθορισμού των πιθανοτήτων, ενώ ο τρόπος P ( A) 0., P( B) 0.3, P( Γ) 0., P ( ) 0.4, P ( E) 0. δεν είναι σωστός διότι παραβιάζει το Αξίωμα ( P ( S) > ). Εάν A είναι ένα υποσύνολο ενός διακεκριμένου δειγματικού χώρου και E, E, K μία πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία στοιχειωδών ενδεχομένων που αντιπροσωπεύουν το A τότε: () P ( A) P( ) (.) E

11 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 3 () 0 P ( A) (3) P ( ) 0 (.3) (4) P ( A) + P( A) (5) Αν A και B είναι δύο ενδεχόμενα, τότε P( A B) P( A) + P( B) P( A B) (3.4) Η σχέση αυτή ονομάζεται συνήθως προσθετικός νόμος και δεν απαιτεί τα A και B να είναι ασυμβίβαστα. (6) Αν A B τότε P( A) P( B). Για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων προσφέρονται δύο δρόμοι. Ο ένας στηρίζεται στον κλασικό ορισμό και απαιτεί τον υπολογισμό του αριθμού N των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος και του αριθμού n των ευνο κών περιπτώσεων για ένα ενδεχόμενο. Για τους υπολογισμούς αυτούς χρειάζονται στοιχεία συνδυαστικής ανάλυσης (βλέπε π.χ. Παράρτημα Α). Ο άλλος στηρίζεται στους νόμους των πιθανοτήτων. Παράδειγμα.7 Σε ένα Νοσοκομείο 50 ασθενείς εκλέγονται για τη μελέτη των αποτελεσμάτων παρατεταμένης νοσοκομειακής περίθαλψης. Ο ιευθυντής του Νοσοκομείου έχει 50 κάρτες, μία για κάθε ασθενή, με πληροφορίες που δίνονται στον παρακάτω πίνακα σχετικά με το άτομο και την ασθένειά του. Ηλικία Αρ. ασθενών 0 40 ετών ετών ετών 30 Από αυτούς 0 είναι άνδρες και 30 γυναίκες (α) Μία κάρτα εκλέγεται στην τύχη. Ποια η πιθανότητα να ανήκει () σε γυναίκα; () να ανήκει σε ασθενή ηλικίας μεταξύ 0 40 ή 60 80; (β) Τρεις κάρτες εκλέγονται χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα και οι τρεις να ανήκουν σε άτομα ηλικίας ετών;

12 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 30 P ( να ανήκει σε γυναίκα ) 60%. 50 P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ ή 60 80) P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ. 0 40) %. + P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ ) P ( οι τρεις να ανήκουν σε ατ. ηλ ) Παράδειγμα.8 Μία ασθένεια εμφανίζεται σε έναν πληθυσμό ανεξάρτητα από το φύλο και με συχνότητα 40% στους άνδρες και 60% στις γυναίκες. Ένας άνδρας και μία γυναίκα εκλέγονται στην τύχη από τον πληθυσμό αυτό. Ποια η πιθανότητα ένας από τους δύο να είναι φορέας της ασθένειας; Έστω A { το ενδεχόμενο να είναι άνδρας}, Γ { το ενδεχόμενο να είναι γυναίκα}. Τότε P ( ένας από τους δύο) P( A ή Γ) P ( A) + P( Γ), (( Α Γ) ) P( A ναι και Γ όχι) + P( Α όχι και Γ ναι) P( Α ναι) P( Γ όχι) + P( A όχι) P( Γ ναι)

13 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ %..4 εσμευμένη πιθανότητα - Ολική πιθανότητα - Κανόνας Bayes - Υποκειμενική πιθανότητα Η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας στηρίζεται στην έννοια του δεσμευμένου γεγονότος. Και οι δύο έννοιες είναι θεμελιώδους σημασίας για τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τη Στατιστική. Έστω ένας πληθυσμός με N άτομα από τα οποία N A έχουν αχρωματοψία, N B είναι γυναίκες και N AB είναι ο αριθμός των γυναικών που πάσχουν από αχρωματοψία (βλέπε Σχήμα.5). Εκλέγεται ένα άτομο στην τύχη από τον πληθυσμό. Έστω A το ενδεχόμενο το άτομο που ε- κλέχτηκε να έχει αχρωματοψία και B το ενδεχόμενο να είναι γυναίκα. Προφανώς N A N B P( A) και P( B). N N Σχήμα.5 Αντί του συνολικού πληθυσμού εξετάζουμε τώρα τον υποπληθυσμό των γυναικών και ενδιαφερόμαστε για την πιθανότητα η γυναίκα που εκλέγεται στην τύχη να έχει αχρωματοψία. Η πιθανότητα είναι N AB N B. Τίποτε το καινούριο δεν έχουμε συναντήσει μέχρι τώρα. Χρειαζόμαστε όμως ένα συμβολισμό για να χαρακτηρίσουμε τον υποπληθυσμό που χρησιμοποιούμε. Έτσι γράφοντας A B εννοούμε το ενδεχόμενο A (αχρωματοψία) δοθέντος του ενδεχόμενου B (το πρόσωπο που εκλέχτηκε να είναι γυναίκα) και ονομάζουμε το γεγονός αυτό δεσμευμένο ή υπό συνθήκη. Προφανώς ονομάζουμε

14 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ P( A B) N N AB B N N AB B N N P( AB) P( B). Η προηγούμενη πιθανότητα λέγεται δεσμευμένη ή υπό συνθήκη πιθανότητα. Ορισμός. Έστω ένας δειγματικός χώρος S και ένα ενδεχόμενο B με P ( B) > 0. Η δεσμευμένη πιθανότητα ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου A δοθέντος του B συμβολίζεται με P ( A B) και ορίζεται ως P( A B) P( A B). (.5) P( B) Εάν P ( B) 0 οι δεσμευμένες πιθανότητες δεν ορίζονται. Το σύμβολο A B διαβάζεται το ενδεχόμενο A δοθέντος του B. Σε αντιδιαστολή με την P ( A B) ή P ( A) λέγεται και απόλυτη πιθανότητα. Παράδειγμα.9 Έστω ένας πληθυσμός από 00 άτομα τα οποία ταξινομούνται ανάλογα με το φύλο και το πτυχίο Πανεπιστημίου στον παρακάτω πίνακα. Πτυχιούχοι Παν. Μη πτυχιούχοι Σύνολο Άνδρες Γυναίκες Σύνολο Ένα άτομο εκλέγεται στην τύχη από τον πληθυσμό. Τότε P ( το άτομο να είναι πτυχιούχος άνδρας) P ( το άτομο να είναι πτυχιούχος γυναίκα) P ( το άτομο να είναι άνδρας πτυχιούχος) P ( το άτομο να είναι μη πτυχιούχος γυναίκα ) Ο ορισμός της δεσμευμένης πιθανότητας μας δίνει P ( A B) P( A) P( B A) P( B) P( A B) (.6)

15 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 7 με την προ πόθεση ότι P ( A) > 0, P( B) > 0. Ο νόμος αυτός είναι γνωστός ως πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων. Γενικεύεται και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα και μας δίνει συχνά έναν άλλο εύκολο τρόπο υπολογισμού πιθανοτήτων με τη βοήθεια δεσμευμένων ενδεχομένων. Έχει ευρύτατες εφαρμογές ιδιαίτερα όταν το τυχαίο πείραμα περιλαμβάνει διαδοχικές επιλογές αντικειμένων από έναν πληθυσμό. Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία το τελικό αποτέλεσμα εξαρτάται από το τι γίνεται σε ενδιάμεσες περιπτώσεις. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα: έστω ένας πληθυσμός με ίσο αριθμό ανδρών και γυναικών. Πέντε άνδρες στους εκατό και είκοσι πέντε γυναίκες στις δέκα χιλιάδες έχουν αχρωματοψία. Εάν εκλέξουμε στην τύχη ένα άτομο ποια η πιθανότητα να έχει αχρωματοψία; Έστω A χρ το ενδεχόμενο ότι το άτομο που εκλέχτηκε έχει αχρωματοψία, A το ενδεχόμενο ότι είναι άνδρας και Γ το ότι είναι γυναίκα. Τότε έχουμε P ( A), P( Γ), P( A A) 0.05, P( A Γ) και χρ χρ A ( A A) ( A Γ). χρ χρ χρ Αλλά τα γεγονότα A χρ A, Aχρ Γ είναι ασυμβίβαστα και σύμφωνα με το Αξίωμα 3 θα έχουμε P ( A ) P( A A) + ( A Γ). χρ χρ χρ Έτσι σύμφωνα με τον πολλαπλασιαστικό νόμο P( A ) P( A A) P( A) P( A Γ) P( Γ) χρ χρ Η γενίκευση της προηγούμενης μεθόδου μας δίνει το Θεώρημα της ολικής πιθανότητας, το οποίο έχει ως εξής: Έστω H, H, K, Hk k ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα το ά- θροισμα των οποίων καλύπτει όλο το δειγματικό χώρο S (δηλ. H H K Hk S ) και P ( H ) > 0 για,, K, k. Τότε για κάθε ενδεχόμενο A του S έχουμε χρ k P( A) P( AH ) P( H ) P( A H ) k (.7)

16 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π.χ. αν έχουμε δύο ενδεχόμενα H, H με H H S και A να α- νήκει στο S, όπως στο Σχήμα.6, τότε A και επομένως ( H A) ( H A) P( A) P( H A) + P( H A) P ( A H ) P( H ) + P( A H ) P( ). H Σχήμα.6 Ας επανέλθουμε τώρα στο προηγούμενο παράδειγμα και ας υποθέσουμε ότι το άτομο που εκλέγεται έχει αχρωματοψία. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Έχουμε λοιπόν να βρούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου το άτομο να είναι άνδρας δοθέντος ότι έχει αχρωματοψία. Έτσι έχουμε P ( A A ) χρ P P ( A Aχρ ) P( Aχρ ) ( Aχρ A) P( A) P( A ) χρ P ( A A) χρ P ( A Aχρ ) P( A) Η γενίκευση του παραπάνω προβλήματος αποτελεί τον κανόνα του Bayes, ο οποίος διατυπώνεται ως εξής: Κανόνας του Bayes: Έστω H, K, Hk k ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα τα οποία καλύπτουν ολόκληρο το δειγματικό χώρο S με P ( ) > 0 για κάθε. Τότε για κάθε ενδεχόμενο A, με P ( A) > 0, έχουμε: H P( A H ) P( H ) P( H A),,, K, k (.8) Σ P( A H ) P( H )

17 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 9 Παράδειγμα.0 Ένα καινούριο τεστ διάγνωσης του καρκίνου έχει πιθανότητα θετικού σφάλματος (θετικό τεστ ενώ το άτομο είναι υγιές) % και πιθανότητα αρνητικού σφάλματος (αρνητικό τεστ ενώ το άτομο πάσχει από καρκίνο) 5%. Ο καρκίνος σε έναν πληθυσμό εμφανίζεται με συχνότητα 0.0%. Αν από τον πληθυσμό αυτό εκλεγεί ένα άτομο στην τύχη και κάνει το τεστ, να βρεθεί η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό. Έστω το ενδεχόμενο: + το τεστ να είναι θετικό. Τότε P ( + ) P( + και υγιής) ή P( + και ασθενής) Όμως P ( + υγιής) P( υγιής) + P( + ασθενής) P( ασθενής). P ( + υγιής) 0.0, P ( υγιής) 0.0% , P ( + ασθενής) , Άρα P ( ασθενής) 0.0% P( + ) ( 0.0)( ) + ( 0.95)( 0.000) %. Παράδειγμα. Έστω δύο κλουβιά K και K. Το πρώτο περιέχει άσπρα και 8 μαύρα ποντίκια. Το δεύτερο περιέχει 6 άσπρα και 4 μαύρα ποντίκια. Εκτελούμε το εξής πείραμα: ιαλέγουμε στην τύχη ένα κλουβί και μετά ένα ποντίκι από το κλουβί που εκλέχτηκε. Έστω ότι το ποντίκι είναι άσπρο. Ποια η πιθανότητα να έχει βγει από το πρώτο κλουβί; Η εκ των προτέρων πιθανότητα να διαλέξουμε το κλουβί K είναι P ( K ) και το κλουβί K P( K ). Τώρα έχουμε

18 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ( να έχουμε διαλέξει το κλουβί K ποντίκι άσπρο) P( K A) P Όμοια βρίσκουμε P( A K ) P( K ) P( A K ) P( K ) + P( A K ) P( K ) P( K A) P( A K ) P( K ) P( A K ) P( K ) + P( A K ) P( K ) 3 4. Οι πιθανότητες P( K A) και P( K A) δηλαδή οι πιθανότητες μετά την εκτέλεση του πειράματος ονομάζονται και εκ των υστέρων πιθανότητες. Παράδειγμα. Πιθανότητες και Γενετική Έστω ένα ζευγάρι του οποίου η γυναίκα έχει τύπο αίματος O και ο άνδρας έχει τύπο αίματος AB. Το ζευγάρι αποκτά δίδυμα αγόρια με τύπο αίματος B. Είναι γνωστό () όταν ο τύπος αίματος O και AB διασταυρώνονται, 50% των απογόνων έχουν τύπο αίματος A και 50% τύπο αίματος B, () δίδυμα που προέρχονται από το ίδιο ωάριο έχουν τον ίδιο τύπο αίματος. Εάν γνωρίζουμε ότι περίπου ένα τέταρτο των διδύμων προέρχονται από το ίδιο ωάριο ποια η πιθανότητα τα δίδυμα του ζευγαριού να προέρχονται από το ίδιο ωάριο; Τα δίδυμα αγόρια διαιρούνται σε εκείνα που προέρχονται από ένα ωάριο και εκείνα από δύο διαφορετικά ωάρια. Για λόγους συντομίας ο- ρίζουμε τα ενδεχόμενα: A A { δίδυμα προέρχονται από ένα ωάριο} { δίδυμα προέρχονται από δύο ωάρια} A { δίδυμα τύπου B}. Από τον κανόνα του Bayes η ζητούμενη πιθανότητα γράφεται ( δίδυμα προέρχονται από ένα ωάριο δίδυμα τύπου B) P( A A) P

19 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ P( A A ) P( A ) P( A A ) P( A ) + P( A A ) P( A ). (.9) Από τα ενδεχόμενα του προβλήματος έχουμε P ( A ) 4, P( A ) 3 4, P( A A ).

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Πειραματικά Μοντέλα Μοντέλα:» Καθοριστικά» (π.χ. ο νόμος του Ohm)» Στοχαστικά ή πιθανοτικά» (π.χ. ένταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. Μάθηµα 1 ο Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. http://compus.uom.gr/inf267/index.php 1 Εισαγωγικά Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη Στατιστική Ι 2 η Διάλεξη 1 2 Δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β (1) Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης και P(Β)>0, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Έννοια Τυχαίας Μεταβλητής. Συναρτήσεις Μάζας ή Πυκνότητας Πιθανότητας

Κεφάλαιο 4. Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Έννοια Τυχαίας Μεταβλητής. Συναρτήσεις Μάζας ή Πυκνότητας Πιθανότητας Κεφάλαιο 4 Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας Έννοια Τυχαίας Μεταβλητής Συναρτήσεις Μάζας ή Πυκνότητας Πιθανότητας Αθροιστική Συνάρτηση Πιθανότητας Μικτή Τυχαία Μεταβλητή Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ )

n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) Ενίοτε η πραγματοποίηση ενός γεγονότος εξαρτάται από την πραγματοποίηση άλλου τινός γεγονότος. Κατ' αντιστοιχία, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μπορεί να εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Εστω (Ω,A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

Στην Ξένια και στην Μαίρη

Στην Ξένια και στην Μαίρη Στην Ξένια και στην Μαίρη Περιεχόμενα 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πολλές φορές θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα ή συστήματα τα οποία εξελλίσονται, κυρίως αναφορικά με τον χρόνο, και των οποίων η μελλοντική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα