Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές"

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές Ανεξαρτησία ενδεχομένων και πειραμάτων Πιθανότητες επιβίωσης Ασκήσεις Εφαρμογές

2

3 Κεφάλαιο Πιθανότητες Η θεωρία των Πιθανοτήτων ασχολείται με την έννοια της αβεβαιότητας και τη διατύπωση των νόμων που διέπουν τα διάφορα τυχαία φαινόμενα. Αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται η στατιστική συμπερασματολογία στην Ιατρική. Σκοπός αυτού του Κεφαλαίου δεν είναι η ανάπτυξη της θεωρίας σε λεπτομέρειες, αλλά η παρουσίαση μερικών βασικών εννοιών και κανόνων για το χειρισμό των πιθανοτήτων. Η επιδίωξή μας είναι να γίνει α- ντιληπτή η έννοια της πιθανότητας και οι εφαρμογές της και να τεθούν οι βάσεις για την ανάπτυξη της στατιστικής συμπερασματολογίας που θα γίνει στα επόμενα. Μέσα στα πλαίσια αυτά εισάγεται η έννοια της πιθανότητας, δίνονται τρόποι υπολογισμού αυτής και ορισμένα βασικά θεωρήματα. Από τις κυριότερες εφαρμογές που περιέρχονται στο Κεφάλαιο είναι η βακτηριουρία και η πυελονεφρίτιδα, ο καρκίνος της μήτρας, η ιατρική διάγνωση με computers, το κάπνισμα και οι πνευμονικές ανωμαλίες, η επιβίωση των νεογέννητων κ.λ.π.. Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ο κλάδος ο οποίος ασχολείται με την έννοια της αβεβαιότητας (πιθανότητας). Στατιστική είναι ο κλάδος, ο ο- ποίος ασχολείται με την σχεδίαση πειραμάτων ή μεθόδων δειγματοληψίας, τη συλλογή και ανάλυση αριθμητικών δεδομένων (μετρήσεων) και την εξαγωγή συμπερασμάτων για ένα σύνολο βάσει των πληροφοριών που περιέχονται σε ένα δείγμα από το σύνολο αυτό. Σχεδόν κάθε ανθρώπινο ή φυσικό φαινόμενο περιλαμβάνει αβεβαιότητες τις οποίες προσπαθούμε να αναλύσουμε με τη διαισθητική έννοια της πιθανότητας. Ποια είναι η πιθανότητα βροχής την η Μαρτίου; Πώς μπορούμε να δώσουμε μια κατανοητή απάντηση στο ερώτημα αυτό; Ένας τρόπος είναι να υπολογίσουμε το ποσοστό των αντίστοιχων ημερών κατά

4 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ τα προηγούμενα έτη που είχαν βροχή. Ένα παρόμοιο πρόβλημα είναι η εκτίμηση της πιθανότητας βροχής την αυριανή ημέρα. Ένας λογικός τρόπος θα ήταν να προσδιορίσουμε από τα μετεωρολογικά αρχεία εκείνες τις μέρες του παρελθόντος με συνθήκες καιρού παρόμοιες με τις συνθήκες της σημερινής ημέρας. Η πιθανότητα βροχής αύριο θα είναι το ποσοστό ημερών με παρόμοιο καιρό για τις οποίες η επόμενη μέρα είχε βροχή. Οι πρώτες βασικές έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής είναι οι έννοιες του πληθυσμού και του δείγματος. Πληθυσμός είναι ένα σύνολο αντικειμένων, ατόμων, κ.λ.π. για το οποίο ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά του στοιχεία. είγμα είναι ένα υποσύνολο του πληθυσμού το οποίο επιλέγεται κατά κάποιο τρόπο για τη λήψη μετρήσεων και εξέταση ορισμένων χαρακτηριστικών. Παράδειγμα () Ένας γιατρός ενδιαφέρεται για τη σχέση που πιθανόν να υπάρχει μεταξύ καπνίσματος και καρκίνου. Πληθυσμός μπορεί να είναι οι κάτοικοι της χώρας που ζει ο γιατρός και δείγμα ένα υποσύνολο των κατοίκων που επιλέγεται με τρόπους που μας διδάσκει η Στατιστική. Παράδειγμα () Ένας βιολόγος ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τον αριθμό ενός σπάνιου είδους ψαριών που βρίσκονται σε μια λίμνη. Πληθυσμός είναι όλα τα ψάρια της λίμνης και δείγμα τα ψάρια που πιάνονται από τα πειραματικά συνεργεία και των οποίων το είδος προσδιορίζεται. Ο Στατιστικός ενδιαφέρεται για την εξαγωγή συμπερασμάτων κατά τον καλύτερο τρόπο καθώς και για την αξιολόγηση της καταλληλότητας της μεθόδου εξαγωγής συμπερασμάτων που χρησιμοποιεί. Η Θεωρία Πιθανοτήτων ενδιαφέρεται για τη διατύπωση νόμων ή προτύπων πιθανότητας που διέπουν τα διάφορα φαινόμενα. Πολλοί από τους νόμους αυτούς διατυπώνονται βάσει εξιδανικεύσεων ή γενικών αρχών. Η Στατιστική με τα δείγματά της καλείται να επιβεβαιώσει την ορθότητα ή μη των νόμων αυτών. Ιστορικά η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε από τη μαθηματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών. Τέτοια παιχνίδια παίζονται πάνω από 5000 χρόνια. Ένα πρωτόγονο παιχνίδια ζαριών γινόταν με μικρά ορθογώνια οστά από τον αστράγαλο ενός θηλαστικού. Η Θεωρία Πιθανοτήτων έχει ένα ευρύτατο πεδίο εφαρμογών που καλύπτει σχεδόν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα, όπως την πρόβλεψη του καιρού, τη χαρτοπαιξία, τη γενετική, την ιατρική κ.λ.π. Σύγχρονες θεωρίες για την δομή της ύλης διατυπώνονται με τη βοήθεια της έννοιας της πιθανότητας. Η Στατιστική έλαβε μεγάλη ανάπτυξη τα τελευταία χρόνια. Πατέρας της θεωρείται ο Άγγλος R. A. Fsher.

5 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 7. ειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Ο όρος πείραμα με την κοινή καθομιλουμένη έννοια δε χρειάζεται να ορισθεί ιδιαίτερα. Η Θεωρία Πιθανοτήτων και η Στατιστική χρησιμοποιούν τον όρο αυτό είτε με τη στενή, πραγματική του έννοια, είτε με μια γενικότερη ιδεατή μορφή. Υπάρχουν πειράματα των οποίων το αποτέλεσμα είναι γνωστό εκ των προτέρων. Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων το αποτέλεσμα δεν είναι δυνατό να προκαθοριστεί. Αν π.χ. ενώσουμε δύο άτομα υδρογόνου και ένα άτομο οξυγόνου το αποτέλεσμα είναι προκαθορισμένο, δηλαδή ο σχηματισμός ενός μορίου νερού. Αν όμως εκτοξεύσουμε ένα βλήμα σε ένα στόχο το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προκαθοριστεί γιατί επιδρούν παράγοντες που είναι άγνωστοι ή δεν μπορούν να ελεγχθούν. Τυχαίο πείραμα ή πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα του οποίου τα αποτελέσματα κυβερνώνται από τους νόμους της τύχης και δεν μπορούν να καθοριστούν εκ των προτέρων. Για συντομία στην έκφραση θα χρησιμοποιούμε απλώς τον όρο πείραμα. Το αποτέλεσμα που προκύπτει από μια εκτέλεση ενός πειράματος λέγεται στοιχειώδες ή απλό ενδεχόμενο ή δειγματικό σημείο. Το σύνολο των δειγματικών σημείων ενός πειράματος λέγεται δειγματικός χώρος. Ο χώρος αυτός συμβολίζεται συνήθως με S και μπορεί να είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο. Παράδειγμα. Έστω ένα ζάρι του οποίου κάθε όψη χαρακτηρίζεται με έναν από τους αριθμούς,,, 3, 4, 5, 6. Το πείραμα τύχης συνίσταται στη ρίψη του ζαριού πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Η ένδειξη της όψης που είναι στραμμένη προς τα επάνω αποτελεί το αποτέλεσμα. Επομένως είναι φανερό ότι τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι,, 3, 4, 5, 6 και ο δειγματικός χώρος είναι S {,,3,4,5,6}. Παράδειγμα. Τρία άτομα εκλέγονται από έναν πληθυσμό και εξετάζονται αν έχουν προσβληθεί από μια ασθένεια. Έστω A το αποτέλεσμα ότι ένα άτομο είχε προσβληθεί από την ασθένεια και K το αποτέλεσμα ότι είναι καλά. Ένα τυπικό αποτέλεσμα του πειράματος αυτού είναι AAK δηλαδή το πρώτο άτομο έχει προσβληθεί το δεύτερο ομοίως και το τρίτο είναι καλά. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αυτού είναι S { AAA, AAK, AKA, KAA, AKK, KAK, KKA, KKK}.

6 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Παράδειγμα.3 Έστω μια μαγνητική πυξίδα της οποίας η βελόνα μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα. Κάθε ένδειξη μεταξύ 0 και π αποτελεί δειγματικό σημείο. Ο δειγματικός χώρος εδώ είναι S { φ 0 φ π} και είναι συνεχής. Ενδεχόμενο ή γεγονός λέγεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος. Με άλλα λόγια ενδεχόμενο είναι ένα σύνολο δειγματικών σημείων του S. Συνήθως τα ενδεχόμενα συμβολίζονται με τα κεφαλαία γράμματα A, B, C, K. Το σύνολο όλων των αποτελεσμάτων ενός πειράματος δηλαδή ο δειγματικός χώρος S είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο λέγεται το βέβαιο ενδεχόμενο. Το κενό σύνολο δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα αποτέλεσμα του δειγματικού χώρου λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο. Ένα ενδεχόμενο A πραγματοποιείται όταν τουλάχιστον ένα από τα δειγματικά του σημεία πραγματοποιηθεί. Έτσι εκτελώντας ένα πείραμα το βέβαιο ενδεχόμενο πραγματοποιείται πάντοτε, το δε αδύνατο ποτέ. Παράδειγμα.4 Πρόκειται να υπολογιστεί ο αριθμός των τηλεφωνικών κλήσεων ενός τηλεφωνικού κέντρου σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Τα δυνατά αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος είναι 0,,,3, K τηλεφωνικές κλήσεις. ύο παραδείγματα συνθέτων ενδεχομένων είναι τα Α {τουλάχιστον τέσσερες κλήσεις} {4, 5,...} Παράδειγμα.5 Β {το πολύ δύο κλήσεις} {0,, }. Τέσσερα κύτταρα (αιμοσφαίρια) αίματος εκλέγονται και παρατηρείται ο αριθμός των ερυθρών αιμοσφαιρίων. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι 0,,,3,4 ερυθρά. Το ενδεχόμενο τα ερυθρά αιμοσφαίρια να είναι περισσότερα από τα λευκά είναι Α { 3,4}. Εάν δοθούν δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα τότε νέα ενδεχόμενα μπορούν να οριστούν από αυτά με τη βοήθεια πράξεων, οι οποίες εξετάζονται πιο κάτω. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου S. Εάν η πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A συνεπάγεται την πραγματοποίηση του B τότε λέμε πως το A συνεπάγεται το B και σημειώνουμε A B. Εάν το A συνεπάγεται το B και το B συνεπάγεται το A τότε λέμε πως

7 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 9 τα A και B είναι ισοδύναμα και γράφουμε A B. Πιο απλά A B σημαίνει πως και τα δύο πραγματοποιούνται ή όχι ταυτόχρονα. Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα δύο ενδεχόμενα A και B ονομάζεται άθροισμα ή ένωση αυτών και συμβολίζεται με A + B ή A B. S A Σχήμα. B Έτσι A B { A ή Β}. Παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.. Η πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A B απαιτεί την πραγματοποίηση του Α ή του Β ή και των δύο. Ένα ενδεχόμενο είναι η ένωση των στοιχειωδών ενδεχομένων που το αποτελούν. Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην ταυτόχρονη πραγματοποίηση των Α και Β ονομάζεται το γινόμενο ή η τομή αυτών και συμβολίζεται με ΑΒ ή Α Β. Έτσι ΑΒ { Α και Β }. Παρίσταται S B γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.. Για να συμβεί η τομή ΑΒ πρέπει να συμβούν ταυτόχρονα και τα δύο ενδεχόμενα Α και Β. Εάν τα ενδεχόμενα Α και A Β δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τότε τα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα. Σχήμα. Με άλλα λόγια ΑΒ. S A Σχήμα.3 B Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην πραγματοποίηση του Α και τη μη πραγματοποίηση του Β ονομάζεται η διαφορά των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β. Η διαφορά Α Β παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.3. Αντίθετο ή συμπληρωματικό του ενδεχόμενου Α ονομάζεται το ενδεχόμενο που συνίσταται στη μη πραγματοποίηση του Α και συμβολίζεται με Α ή Α C. Η πραγματοποίηση του ενδεχομένου A σημαίνει τη μη πραγματοποίηση S Á A και τα δύο ενδεχόμενα A και A είναι ασυμβίβαστα. Το A παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος Σχήμα.4.4. Προφανώς A S A.

8 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Παράδειγμα.6 Ένα χαρτί διαλέγεται από μια συνηθισμένη τράπουλα. Ο δειγματικός χώρος S αποτελείται από τα 5 παιγνιόχαρτα. Εάν θεωρηθούν τα ενδεχόμενα A { σπαθί}, Β { βαλές}, C { φιγούρα} τότε έχουμε: Α Β {όλα τα σπαθιά και οι άλλοι τρεις βαλέδες} Α Β {όλα τα σπαθιά εκτός από τον βαλέ σπαθί} Α Β {βαλές σπαθί} S Α {όλα τα καρώ, κούπες και μπαστούνια} ( Α C) Β {όλα τα σπαθιά και οι φιγούρες εκτός από τους τέσσερες βαλέδες}. Το άθροισμα και το γινόμενο περισσότερων από δύο ενδεχομένων ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Εάν { Α },,, K είναι μια ακολουθία ενδεχομένων, τότε η ένωση A ορίζεται ως το ενδεχόμενο το οποίο συνίσταται στην πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα A και η τομή A ως το ενδεχόμενο το οποίο συνίσταται στην ταυτόχρονη πραγματοποίηση όλων των A..3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων Η έννοια της πιθανότητας ενός ενδεχόμενου μπορεί να οριστεί με περισσότερους από έναν τρόπους ανάλογα με το είδος του ενδεχομένου, το πεδίο αναφοράς αυτού, τη μορφή του δειγματικού χώρου, το ισοπίθανο ή όχι των αποτελεσμάτων αυτού, την υποκειμενική μας αβεβαιότητα για το ενδεχόμενο κ.ο.κ. Πράγματι η Θεωρία Πιθανοτήτων προσφέρει περισσότερους από ένα ορισμούς της έννοιας της πιθανότητας. Οι ορισμοί αυτοί είναι το αποτέλεσμα λογικής επεξεργασίας απλών παρατηρήσεων και πρακτικών μεθόδων που η αξία τους έχει αποδειχθεί από την επανειλημμένη χρήση. Οι βασικοί ορισμοί της πιθανότητας είναι ο κλασικός, ο εμπειρικός και ο αξιωματικός. Ο κλασικός ορισμός αναφέρεται στην έννοια ισοπίθανων στοιχειωδών ενδεχομένων. Η προέλευσή του είναι από τα τυχερά παιγνίδια. Έ- στω A ένα ενδεχόμενο που αποτελείται από n στοιχειώδη ενδεχόμενα.

9 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Έστω S ο δειγματικός χώρος αποτελούμενος από N στοιχειώδη ισοπίθανα ενδεχόμενα και A S. Τότε η πιθανότητα P ( A) του A ορίζεται P ( A) n / N (.) Ας θεωρήσουμε ένα τέλειο ζάρι. Κάθε μια από τις 6 πλευρές του είναι δυνατό να είναι το αποτέλεσμα μιας ρίψης του. εν έχουμε κανένα ιδιαίτερο λόγο να δώσουμε μεγαλύτερη εμπιστοσύνη σε κάποιο αποτέλεσμα. Έτσι ο δειγματικός χώρος S αποτελείται από έξι δυνατά ισοπίθανα αποτελέσματα. Η πιθανότητα του καθενός είναι P ( E ),,, K,6, 6 όπου με E, E, K, E6 συμβολίζονται τα έξι δυνατά αποτελέσματα,,..., 6. Έστω τώρα A το ενδεχόμενο ότι το αποτέλεσμα είναι άρτιο. Τότε 3 A { E, E 4, E 6 } και P ( A). 6 Η πιθανότητα P ( A) του ενδεχόμενου A είναι ίση προς τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν ή αντιπροσωπεύουν την πραγματοποίηση του A διαιρημένο με τον ολικό αριθμό των ισοπίθανων αποτελεσμάτων του πειράματος. Είναι προφανές ότι η πιθανότητα του S, του βέβαιου ενδεχόμενου, είναι N / N. Ομοίως η πιθανότητα του αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν. Έ- τσι η πιθανότητα μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των ενδεχομένων και παίρνει τιμές στο διάστημα [ 0,]. Ο εμπειρικός ορισμός της πιθανότητας βασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας. Έστω ότι το τυχαίο πείραμα εκτελείται N φορές και ότι n φορές από αυτές κατέληξαν στην πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A. Ο λόγος n / N είναι η σχετική συχνότητα του A. Η πιθανότητα του A ορίζεται τότε ως το όριο της σχετικής συχνότητας καθώς το N δηλαδή P( A) lm N Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας είναι καθαρό μαθηματικό δημιούργημα στηριζόμενο σε τρία αξιώματα που συμβιβάζονται με την αντίληψη του κλασικού και εμπειρικού ορισμού. Τα αξιώματα αυτά είναι γνωστά ως αξιώματα του Kolmogorov και είναι τα ακόλουθα: n N

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Αξίωμα Η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. ηλαδή P ( A) 0 για κάθε ενδεχόμενο A. Αξίωμα Αξίωμα 3 P ( S). Εάν A, A, K είναι μία πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία ασυμβίβαστων ανά δύο ενδεχομένων τότε ( U A ) P( A ), ( A Aj j) P, όπου ο δείκτης διατρέχει τους αριθμούς,, K, n ή τους αριθμούς,, K Με άλλα λόγια πιθανότητα είναι μία συνολοσυνάρτηση που ονομάζεται μέτρο πιθανότητας με πεδίο ορισμού το σύνολο των ενδεχομένων και τιμές τους μη αρνητικούς αριθμούς [ 0, ] που ικανοποιεί τα Αξιώματα και 3. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα τρία αξιώματα δεν μας λένε πως να ορίζουμε τις πιθανότητες στα διάφορα γεγονότα. Απλώς ορίζουν τους νόμους οι οποίοι πρέπει να διέπουν μία τέτοια πράξη. Ο Μαθηματικός ορίζει τις πιθανότητες κατά κάποιο τρόπο αυθαίρετα αρκεί τα αξιώματα να μη παραβιάζονται. Π.χ. εάν έχουμε ένα πείραμα με 5 διαφορετικά αποτελέσματα Α, Β, Γ,, Ε τότε P ( A) 0., P( B) 0., P( Γ) 0., P ( ) 0.3, P( E) 0. 3 αποτελούν σωστό τρόπο καθορισμού των πιθανοτήτων, ενώ ο τρόπος P ( A) 0., P( B) 0.3, P( Γ) 0., P ( ) 0.4, P ( E) 0. δεν είναι σωστός διότι παραβιάζει το Αξίωμα ( P ( S) > ). Εάν A είναι ένα υποσύνολο ενός διακεκριμένου δειγματικού χώρου και E, E, K μία πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία στοιχειωδών ενδεχομένων που αντιπροσωπεύουν το A τότε: () P ( A) P( ) (.) E

11 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 3 () 0 P ( A) (3) P ( ) 0 (.3) (4) P ( A) + P( A) (5) Αν A και B είναι δύο ενδεχόμενα, τότε P( A B) P( A) + P( B) P( A B) (3.4) Η σχέση αυτή ονομάζεται συνήθως προσθετικός νόμος και δεν απαιτεί τα A και B να είναι ασυμβίβαστα. (6) Αν A B τότε P( A) P( B). Για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων προσφέρονται δύο δρόμοι. Ο ένας στηρίζεται στον κλασικό ορισμό και απαιτεί τον υπολογισμό του αριθμού N των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος και του αριθμού n των ευνο κών περιπτώσεων για ένα ενδεχόμενο. Για τους υπολογισμούς αυτούς χρειάζονται στοιχεία συνδυαστικής ανάλυσης (βλέπε π.χ. Παράρτημα Α). Ο άλλος στηρίζεται στους νόμους των πιθανοτήτων. Παράδειγμα.7 Σε ένα Νοσοκομείο 50 ασθενείς εκλέγονται για τη μελέτη των αποτελεσμάτων παρατεταμένης νοσοκομειακής περίθαλψης. Ο ιευθυντής του Νοσοκομείου έχει 50 κάρτες, μία για κάθε ασθενή, με πληροφορίες που δίνονται στον παρακάτω πίνακα σχετικά με το άτομο και την ασθένειά του. Ηλικία Αρ. ασθενών 0 40 ετών ετών ετών 30 Από αυτούς 0 είναι άνδρες και 30 γυναίκες (α) Μία κάρτα εκλέγεται στην τύχη. Ποια η πιθανότητα να ανήκει () σε γυναίκα; () να ανήκει σε ασθενή ηλικίας μεταξύ 0 40 ή 60 80; (β) Τρεις κάρτες εκλέγονται χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα και οι τρεις να ανήκουν σε άτομα ηλικίας ετών;

12 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 30 P ( να ανήκει σε γυναίκα ) 60%. 50 P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ ή 60 80) P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ. 0 40) %. + P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ ) P ( οι τρεις να ανήκουν σε ατ. ηλ ) Παράδειγμα.8 Μία ασθένεια εμφανίζεται σε έναν πληθυσμό ανεξάρτητα από το φύλο και με συχνότητα 40% στους άνδρες και 60% στις γυναίκες. Ένας άνδρας και μία γυναίκα εκλέγονται στην τύχη από τον πληθυσμό αυτό. Ποια η πιθανότητα ένας από τους δύο να είναι φορέας της ασθένειας; Έστω A { το ενδεχόμενο να είναι άνδρας}, Γ { το ενδεχόμενο να είναι γυναίκα}. Τότε P ( ένας από τους δύο) P( A ή Γ) P ( A) + P( Γ), (( Α Γ) ) P( A ναι και Γ όχι) + P( Α όχι και Γ ναι) P( Α ναι) P( Γ όχι) + P( A όχι) P( Γ ναι)

13 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ %..4 εσμευμένη πιθανότητα - Ολική πιθανότητα - Κανόνας Bayes - Υποκειμενική πιθανότητα Η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας στηρίζεται στην έννοια του δεσμευμένου γεγονότος. Και οι δύο έννοιες είναι θεμελιώδους σημασίας για τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τη Στατιστική. Έστω ένας πληθυσμός με N άτομα από τα οποία N A έχουν αχρωματοψία, N B είναι γυναίκες και N AB είναι ο αριθμός των γυναικών που πάσχουν από αχρωματοψία (βλέπε Σχήμα.5). Εκλέγεται ένα άτομο στην τύχη από τον πληθυσμό. Έστω A το ενδεχόμενο το άτομο που ε- κλέχτηκε να έχει αχρωματοψία και B το ενδεχόμενο να είναι γυναίκα. Προφανώς N A N B P( A) και P( B). N N Σχήμα.5 Αντί του συνολικού πληθυσμού εξετάζουμε τώρα τον υποπληθυσμό των γυναικών και ενδιαφερόμαστε για την πιθανότητα η γυναίκα που εκλέγεται στην τύχη να έχει αχρωματοψία. Η πιθανότητα είναι N AB N B. Τίποτε το καινούριο δεν έχουμε συναντήσει μέχρι τώρα. Χρειαζόμαστε όμως ένα συμβολισμό για να χαρακτηρίσουμε τον υποπληθυσμό που χρησιμοποιούμε. Έτσι γράφοντας A B εννοούμε το ενδεχόμενο A (αχρωματοψία) δοθέντος του ενδεχόμενου B (το πρόσωπο που εκλέχτηκε να είναι γυναίκα) και ονομάζουμε το γεγονός αυτό δεσμευμένο ή υπό συνθήκη. Προφανώς ονομάζουμε

14 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ P( A B) N N AB B N N AB B N N P( AB) P( B). Η προηγούμενη πιθανότητα λέγεται δεσμευμένη ή υπό συνθήκη πιθανότητα. Ορισμός. Έστω ένας δειγματικός χώρος S και ένα ενδεχόμενο B με P ( B) > 0. Η δεσμευμένη πιθανότητα ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου A δοθέντος του B συμβολίζεται με P ( A B) και ορίζεται ως P( A B) P( A B). (.5) P( B) Εάν P ( B) 0 οι δεσμευμένες πιθανότητες δεν ορίζονται. Το σύμβολο A B διαβάζεται το ενδεχόμενο A δοθέντος του B. Σε αντιδιαστολή με την P ( A B) ή P ( A) λέγεται και απόλυτη πιθανότητα. Παράδειγμα.9 Έστω ένας πληθυσμός από 00 άτομα τα οποία ταξινομούνται ανάλογα με το φύλο και το πτυχίο Πανεπιστημίου στον παρακάτω πίνακα. Πτυχιούχοι Παν. Μη πτυχιούχοι Σύνολο Άνδρες Γυναίκες Σύνολο Ένα άτομο εκλέγεται στην τύχη από τον πληθυσμό. Τότε P ( το άτομο να είναι πτυχιούχος άνδρας) P ( το άτομο να είναι πτυχιούχος γυναίκα) P ( το άτομο να είναι άνδρας πτυχιούχος) P ( το άτομο να είναι μη πτυχιούχος γυναίκα ) Ο ορισμός της δεσμευμένης πιθανότητας μας δίνει P ( A B) P( A) P( B A) P( B) P( A B) (.6)

15 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 7 με την προ πόθεση ότι P ( A) > 0, P( B) > 0. Ο νόμος αυτός είναι γνωστός ως πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων. Γενικεύεται και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα και μας δίνει συχνά έναν άλλο εύκολο τρόπο υπολογισμού πιθανοτήτων με τη βοήθεια δεσμευμένων ενδεχομένων. Έχει ευρύτατες εφαρμογές ιδιαίτερα όταν το τυχαίο πείραμα περιλαμβάνει διαδοχικές επιλογές αντικειμένων από έναν πληθυσμό. Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία το τελικό αποτέλεσμα εξαρτάται από το τι γίνεται σε ενδιάμεσες περιπτώσεις. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα: έστω ένας πληθυσμός με ίσο αριθμό ανδρών και γυναικών. Πέντε άνδρες στους εκατό και είκοσι πέντε γυναίκες στις δέκα χιλιάδες έχουν αχρωματοψία. Εάν εκλέξουμε στην τύχη ένα άτομο ποια η πιθανότητα να έχει αχρωματοψία; Έστω A χρ το ενδεχόμενο ότι το άτομο που εκλέχτηκε έχει αχρωματοψία, A το ενδεχόμενο ότι είναι άνδρας και Γ το ότι είναι γυναίκα. Τότε έχουμε P ( A), P( Γ), P( A A) 0.05, P( A Γ) και χρ χρ A ( A A) ( A Γ). χρ χρ χρ Αλλά τα γεγονότα A χρ A, Aχρ Γ είναι ασυμβίβαστα και σύμφωνα με το Αξίωμα 3 θα έχουμε P ( A ) P( A A) + ( A Γ). χρ χρ χρ Έτσι σύμφωνα με τον πολλαπλασιαστικό νόμο P( A ) P( A A) P( A) P( A Γ) P( Γ) χρ χρ Η γενίκευση της προηγούμενης μεθόδου μας δίνει το Θεώρημα της ολικής πιθανότητας, το οποίο έχει ως εξής: Έστω H, H, K, Hk k ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα το ά- θροισμα των οποίων καλύπτει όλο το δειγματικό χώρο S (δηλ. H H K Hk S ) και P ( H ) > 0 για,, K, k. Τότε για κάθε ενδεχόμενο A του S έχουμε χρ k P( A) P( AH ) P( H ) P( A H ) k (.7)

16 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π.χ. αν έχουμε δύο ενδεχόμενα H, H με H H S και A να α- νήκει στο S, όπως στο Σχήμα.6, τότε A και επομένως ( H A) ( H A) P( A) P( H A) + P( H A) P ( A H ) P( H ) + P( A H ) P( ). H Σχήμα.6 Ας επανέλθουμε τώρα στο προηγούμενο παράδειγμα και ας υποθέσουμε ότι το άτομο που εκλέγεται έχει αχρωματοψία. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Έχουμε λοιπόν να βρούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου το άτομο να είναι άνδρας δοθέντος ότι έχει αχρωματοψία. Έτσι έχουμε P ( A A ) χρ P P ( A Aχρ ) P( Aχρ ) ( Aχρ A) P( A) P( A ) χρ P ( A A) χρ P ( A Aχρ ) P( A) Η γενίκευση του παραπάνω προβλήματος αποτελεί τον κανόνα του Bayes, ο οποίος διατυπώνεται ως εξής: Κανόνας του Bayes: Έστω H, K, Hk k ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα τα οποία καλύπτουν ολόκληρο το δειγματικό χώρο S με P ( ) > 0 για κάθε. Τότε για κάθε ενδεχόμενο A, με P ( A) > 0, έχουμε: H P( A H ) P( H ) P( H A),,, K, k (.8) Σ P( A H ) P( H )

17 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 9 Παράδειγμα.0 Ένα καινούριο τεστ διάγνωσης του καρκίνου έχει πιθανότητα θετικού σφάλματος (θετικό τεστ ενώ το άτομο είναι υγιές) % και πιθανότητα αρνητικού σφάλματος (αρνητικό τεστ ενώ το άτομο πάσχει από καρκίνο) 5%. Ο καρκίνος σε έναν πληθυσμό εμφανίζεται με συχνότητα 0.0%. Αν από τον πληθυσμό αυτό εκλεγεί ένα άτομο στην τύχη και κάνει το τεστ, να βρεθεί η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό. Έστω το ενδεχόμενο: + το τεστ να είναι θετικό. Τότε P ( + ) P( + και υγιής) ή P( + και ασθενής) Όμως P ( + υγιής) P( υγιής) + P( + ασθενής) P( ασθενής). P ( + υγιής) 0.0, P ( υγιής) 0.0% , P ( + ασθενής) , Άρα P ( ασθενής) 0.0% P( + ) ( 0.0)( ) + ( 0.95)( 0.000) %. Παράδειγμα. Έστω δύο κλουβιά K και K. Το πρώτο περιέχει άσπρα και 8 μαύρα ποντίκια. Το δεύτερο περιέχει 6 άσπρα και 4 μαύρα ποντίκια. Εκτελούμε το εξής πείραμα: ιαλέγουμε στην τύχη ένα κλουβί και μετά ένα ποντίκι από το κλουβί που εκλέχτηκε. Έστω ότι το ποντίκι είναι άσπρο. Ποια η πιθανότητα να έχει βγει από το πρώτο κλουβί; Η εκ των προτέρων πιθανότητα να διαλέξουμε το κλουβί K είναι P ( K ) και το κλουβί K P( K ). Τώρα έχουμε

18 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ( να έχουμε διαλέξει το κλουβί K ποντίκι άσπρο) P( K A) P Όμοια βρίσκουμε P( A K ) P( K ) P( A K ) P( K ) + P( A K ) P( K ) P( K A) P( A K ) P( K ) P( A K ) P( K ) + P( A K ) P( K ) 3 4. Οι πιθανότητες P( K A) και P( K A) δηλαδή οι πιθανότητες μετά την εκτέλεση του πειράματος ονομάζονται και εκ των υστέρων πιθανότητες. Παράδειγμα. Πιθανότητες και Γενετική Έστω ένα ζευγάρι του οποίου η γυναίκα έχει τύπο αίματος O και ο άνδρας έχει τύπο αίματος AB. Το ζευγάρι αποκτά δίδυμα αγόρια με τύπο αίματος B. Είναι γνωστό () όταν ο τύπος αίματος O και AB διασταυρώνονται, 50% των απογόνων έχουν τύπο αίματος A και 50% τύπο αίματος B, () δίδυμα που προέρχονται από το ίδιο ωάριο έχουν τον ίδιο τύπο αίματος. Εάν γνωρίζουμε ότι περίπου ένα τέταρτο των διδύμων προέρχονται από το ίδιο ωάριο ποια η πιθανότητα τα δίδυμα του ζευγαριού να προέρχονται από το ίδιο ωάριο; Τα δίδυμα αγόρια διαιρούνται σε εκείνα που προέρχονται από ένα ωάριο και εκείνα από δύο διαφορετικά ωάρια. Για λόγους συντομίας ο- ρίζουμε τα ενδεχόμενα: A A { δίδυμα προέρχονται από ένα ωάριο} { δίδυμα προέρχονται από δύο ωάρια} A { δίδυμα τύπου B}. Από τον κανόνα του Bayes η ζητούμενη πιθανότητα γράφεται ( δίδυμα προέρχονται από ένα ωάριο δίδυμα τύπου B) P( A A) P

19 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ P( A A ) P( A ) P( A A ) P( A ) + P( A A ) P( A ). (.9) Από τα ενδεχόμενα του προβλήματος έχουμε P ( A ) 4, P( A ) 3 4, P( A A ).

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης,

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν Ω είναι δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. *

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 968, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ ής Ι. Μ ητ ρ

Διαβάστε περισσότερα