Μη γραµµικοί ταξινοµητές Νευρωνικά ίκτυα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη γραµµικοί ταξινοµητές Νευρωνικά ίκτυα"

Transcript

1 KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Μη γραµµικοί ταξινοµητές Νευρωνικά ίκτυα ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Περιεχόµενα Βιβλιογραφία Περιεχόµενα Ενότητας Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρωνστοναλγόριθµο back-propagation Παραδείγµατα Βιβλιογραφία: Duda [4]: Chapter 6 Theodoridis []: Chapter 4 Bow []: Chapter 8

2 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Εισαγωγή Μέχρι τώρα είδαµε ότιοιγραµµικοί ταξινοµητές µπορούν να σχεδιαστούν µε τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιούν το σφάλµα ταξινόµησης σε γραµµικά διαχωρίσιµα δεδοµένα (αλγόριθµος Perceptron, SVM) αλλά και σε µη γραµµικά διαχωρίσιµα δεδοµένα (αλγόριθµος Pocket, SVM) Υπάρχουν εντούτοις προβλήµατα στα οποία οι γραµµικοί ταξινοµητές δεν έχουν αποδεκτή απόδοση Σε τέτοιους είδους προβλήµαταπολυεπίπεδαδίκτυαperceptron σε συνδυασµό µε το αλγόριθµο back-propagation αποδεικνύονται ιδιαίτερα αποτελεσµατικά Τα πολυεπίπεδα Perceptron αποτελούν µια υποκατηγορία µιας ευρείας κατηγορίας µη γραµµικών ταξινοµητών που ονοµάζονται Νευρωνικά ίκτυα. Άλλα είδη Νευρωνικών ικτύων είναι τα δίκτυα RBF, τα δίκτυα Hopfiled, κ.λπ. Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Το πρόβληµα XOR x x XOR The XOR problem Class ω ω ω ω Το απλούστερο µη γραµµικό πρόβληµα είναι το πρόβληµα XOR (βλέπε σχήµα και πίνακα αληθείας στα αριστερά). Είναι εµφανές ότι δεν µπορούµε να βρούµε µια γραµµή: T = w x + w x γιατηνοποίαναισχύει: >, <, x ω x ω (δηλαδή να διαχωρίζει τις κλάσεις ω, ω ) x

3 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Πολυεπίπεδες Perceptron Το πρόβληµα XOR µπορεί να λυθεί χρησιµοποιώντας δύο γραµµές. Ηκλάσηω, βρίσκεται εκτός της σκιαγραµµισµένης περιοχής και η κλάση ω βρίσκεται εντός. Το XOR πρόβληµα µπορεί να λυθεί σε δύο βήµατα: Βήµα : Σχεδιάζουµε δύογραµµές: g x) = ( = Καθεµία από τις γραµµές υλοποιείται µε µια µηχανή Perceptron (νευρώνας). Η έξοδος τους θα είναι: yi = f ( gi ( x)) = i =, Βήµα : Βρίσκουµε τηθέσητουx σε σχέση και µε τις δύο γραµµές (τιµές y, y ) Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα x st phase x y (-) (+) (+) (+) y (-) (-) (-) (+) Πολυεπίπεδες Perceptron (II) nd phase ω () ω () ω () ω () Ισοδύναµα: Οι υπολογισµοί στο πρώτο βήµα πραγµατοποιούν µια αντιστοίχιση: T x y = [ y, y] Ηταξινόµηση γίνεται τώρα στα µετασχηµατισµένα δεδοµένα y (βλέπε σχήµα). Ηταξινόµηση αυτή πραγµατοποιείται από µια γραµµή (υπερεπιφάνεια) και εποµένως µπορεί να υλοποιηθεί µέσω µιας µηχανής Perceptron. Οι υπολογισµοί στο πρώτο βήµα εκτελούνµια αντιστοίχιση η οποία µετασχηµατίζει το µη γραµµικά διαχωρίσιµο πρόβληµα σε διαχωρίσιµο 3

4 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Perceptron δύο επιπέδων g( x) = x + x = 3 g( x) = x + x = g( y) = y y = Η αρχιτεκτονική του συνολικού ταξινοµητή για το πρόβληµα XOR φαίνεται στο σχήµα. Η αρχιτεκτονική αυτή είναι γνωστή ως µηχανή Perceptron δύο επιπέδων µε ένακρυφό (hidden) (δύο εσωτερικοί νευρώνες) επίπεδο και ένα επίπεδο εξόδου (εξωτερικός νευρώνας) Η συνάρτηση ενεργοποίησης f όλων των νευρώνων δίνει έξοδο ή. f ( ) = Τα δεδοµένα εισόδου καθορίζουν το επίπεδο εισόδου το οποίο όµως δεν πραγµατοποιεί κάποια επεξεργασία. Συνολικά η µηχανή Perceptron δύο επιπέδων του παραδείγµατος υλοποιεί τις γραµµές (υπερεπίπεδα) που δίνονται από τις σχέσεις στα αριστερά (<=). Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Ταξινόµηση από τη µηχανή Perceptron δύο επιπέδων Η αντιστοίχιση που πραγµατοποιείται στο πρώτο επίπεδο µετασχηµατίζει τα δεδοµένα εισόδου στις κορυφές ενός τετραγώνου µοναδιαίας πλευράς, δηλαδή στα σηµεία (, ), (,), (,), (,). Στη γενική περίπτωση (βλέπε σχήµα) έχουµε: l x R T x y = [ y,... y p ], yi, i =,,... { } p και η αντιστοίχιση του διανύσµατος x γίνεται σε µια από τις κορυφές ενός υπερκύβου H p. Η αντιστοίχιση αυτή επιτυγχάνεται από τα p υπερεπίπεδα που ορίζουν οι εσωτερικοί νευρώνες. Η έξοδος καθενός από αυτούς τους νευρώνες είναι είτε µηδέν () είτε ένα () ανάλογα µε τησχετική θέση του x ως προς το υπερεπίπεδο. 4

5 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Ταξινόµηση από τη µηχανή Perceptron δύο επιπέδων (ΙΙ) Οι τοµές των υπερεπιπέδων ορίζουν περιοχές (βλέπε σχήµα) στον l-διάστατο χώρο. Κάθε περιοχή αντιστοιχεί σε µια κορυφή του υπερκύβου. Για παράδειγµα ηπεριοχή βρίσκεται: στην αρνητική (-) πλευρά της g (x)= στην αρνητική (-) πλευρά της g (x)= στη θετική (+) πλευρά της g 3 (x)= Ο νευρώνας εξόδου υλοποιεί ένα υπερεπίπεδο στο µετασχηµατισµένο χώρο y, το οποίο διαχωρίζεις κάποιες κορυφές από κάποιες άλλες. Συγκεκριµένα µπορεί να διαχωρίσει περιοχές των οποίων η ένωση ορίζει µια συνεχή περιοχή αλλά όχι κάθε συνδυασµό περιοχών Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Παράδειγµα x Data separable by two layer perceptron Γιαταδεδοµένα του σχήµατος στα αριστερά (κόκκινα κλάση ω, πράσινα κλάση ω ) να βρείτε µια µηχανή Perceptron δύο επιπέδων που να τα ταξινοµεί σωστά. Ζητούµενα: g (x), g (x), g(y) f( ) Transformation to y-space..8.6 y x y 5

6 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙΙ Οι παρακάτω γραµµές διαχωρίζουν τον διδιάστατο χώρο σε επτά περιοχές: = x + x = 3 = x = x = 4 x =. Να σχηµατίσετε τις ανωτέρω περιοχές. Να βρείτε σε ποιά κορυφή του κύβου αντιστοιχείται κάθε περιοχή 3. Αν οι περιοχές και σχηµατίζουν την κλάση ω καιοιυπόλοιπες την κλάση ω να ελέγξετε κατά πόσο το ανωτέρω πρόβληµα ταξινόµησης είναι επιλύσιµο µε µια µηχανή perceptron δύο επιπέδων. Αν είναι βρείτε την επιφάνεια διαχωρισµού των κλάσεων (δηλαδή τη συνάρτηση g(y)) Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Ηαρχιτεκτονικήτηςµηχανής Perceptron τριών επιπέδων φαίνεται στο σχήµα. Μηχανή Perceptron τριών επιπέδων Η µηχανή Perceptron τριών επιπέδων µπορεί να διαχωρίσει οποιοδήποτε συνδυασµό περιοχώνστοµετασχηµατισµένο χώρο y. Ηβασικήιδέαείναιπαρόµοια µε αυτή του XOR προβλήµατος: Χρησιµοποιούµε περισσότερα από ένα υπερεπίπεδα για να διαχωρίσουµε p το χώρο y R Τα υπερεπίπεδα αυτά συνδυάζονται στο επίπεδο εξόδου για τον τελικό διαχωρισµό σεδύοκλάσεις. 6

7 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Η µηχανή Perceptron τριών επιπέδων µπορεί να διαχωρίσει οποιοδήποτε συνδυασµό περιοχών διότι: Μηχανή Perceptron τριών επιπέδων (ΙΙ) Για κάθε κορυφή του υπερκύβου που ανήκει στην κλάση ω µπορούµε να ορίσουµε ένα υπερεπίπεδο που διαχωρίζει αυτή την περιοχή (+) από όλες τις άλλες (-). Το επίπεδο εξόδου υλοποιεί µια συνάρτηση OR (όλων των κορυφών που ανήκουνστηνκλάσηω ). Συνοπτικά: Το πρώτο κρυφό επίπεδο δηµιουργεί τις υπερεπιφάνειες διαχωρισµού Το δεύτερο σχηµατίζει τις περιοχές Το επίπεδο εξόδου σχηµατίζει τις κλάσεις Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Παράδειγµα ΙΙΙ Οι παρακάτω γραµµές διαχωρίζουν τον διδιάστατο χώρο σε επτά περιοχές: = x + x = 3 = x = x = 4 x =. Αν οι περιοχές και σχηµατίζουν την κλάση ω καιοιυπόλοιπες την κλάση ω να βρείτε τις υπερεπιφάνειες διαχωρισµού των κλάσεων (δηλαδή τις συνάρτησεις q (y), q (y)) καθώς και την συνάρτηση εξόδου (OR) 7

8 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Με τον όρο σχεδίαση αναφερόµαστε στην εύρεση, µε συστηµατικό τρόπο, των συναρτήσεων αντιστοίχισης (πρώτο επίπεδο), σχηµατισµού περιοχών (δεύτερο επίπεδο), και διαχωρισµού κλάσεων (επίπεδο εξόδου) από ένα σύνολο διανυσµάτων εκπαίδευσης [x, x,, x N ] γιαταοποίαείναιγνωστές οι κλάσεις στις οποίες ανήκουν. Υπάρχουν δύο βασικές κατευθύνσεις όσον αφορά τη σχεδίαση πολυεπίπεδων µηχανών Perceptron: Σχεδίαση πολυεπίπεδων µηχανών Perceptron Κατασκευή perceptron τριών επιπέδων για ορθή ταξινόµηση όλων των διανυσµάτων εκπαίδευσης µε χρήση της µεθοδολογίας που περιγράφηκε στις προηγούµενες διαφάνειες. Προφανώς σε αυτή την περίπτωση η δοµή του δικτύου Perceptron δεν είναι γνωστή και πρέπει να προκύψει από τη διαδικασία µάθησης. Με δεδοµένη µια δοµή γιατοδίκτυοperceptron υπολογίζουµε τα συναπτικά βάρη w ij, w i για την ελαχιστοποίηση ενός κριτηρίου κόστους. Η µεθοδολογία αυτή δεν οδηγεί πάντα σε ορθή ταξινόµηση όλων των διανυσµάτων εκπαίδευσης. Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Ο αλγόριθµος backpropagation Οαλγόριθµος backpropagation εφαρµόζεται σε πολυεπίπεδα δίκτυα Perceptron όπως αυτό του σχήµατος Συµβολισµοί: Είσοδος => ιάνυσµα x = [x x x L ] T Έξοδος => z = [z z z k ] T Νευρώνας i m => i-στός νευρώνας m-στού επιπέδου Συναπτικά βάρη w ijm => Βάρος που συνδέει τον i-στο νευρώνα του m-στού επιπέδου µε τονjστο νευρώνα του αµέσως προηγούµενου επιπέδου 8

9 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Ο αλγόριθµος back-propagation είναι µια επαναληπτική διαδικασία υπολογισµού των συναπτικών βαρών [w ik j w i j ] σε ένα πολυεπίπεδο δίκτυο Perceptron µε τη βοήθεια των δεδοµένων εκπαίδευσης (x q, d q ), q =,,,N, όπου: x q = [x q x q x ql ] T το q-στο διάνυσµα εισόδου διάστασης L (x q є R L ) d q : ηεπιθυµητή έξοδος του διανύσµατος x q, µέσω της οποίας παράγεται η τελική κλάση στην οποία ανήκει ( => κλάση ω, => κλάση ω ) Επειδή στον αλγόριθµο back-propagation βελτιστοποιείται ένα κριτήριο κόστους (και όχι στο σφάλµα ταξινόµησης) είναι επιθυµητό οι συναρτήσεις ενεργοποίησης f ( ) τωννευρώνωνναέχουνσυνεχήµορφή ώστε να είναι παραγωγίσιµες: Η συνάρτηση ενεργοποίησης της µηχανής Perceptron δεν είναι αποδεκτή Αντίθετα η σιγµοειδής συνάρτηση: Ο αλγόριθµος backpropagation (ΙΙ) f ( x) = f ( x) = + e x > x < ax έχει παρόµοια συµπεριφορά αλλά επιπλέον είναι και παραγωγίσιµη Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Μορφή σιγµοειδούς συνάρτησης Ησιγµοειδής συνάρτηση µε κατάλληλη τιµή του α προσεγγίζει την βηµατική συνάρτηση αλλά εξακολουθεί να είναι παραγωγίσιµη. Η παράγωγος της σιγµοειδούς συνάρτησης δίνεται από τη σχέση: f ( x) = + e ax ax df ( x) ae f ' ( x) = = dx + e ax = af ( x) ( f ( x) ) 9

10 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Βήµατα: Ορισµός µιας συνάρτησης κόστους J. Η συνηθέστερη επιλογή είναι η συνάρτηση σφάλµατος ελαχίστων τετραγώνων (least squares error). Το σφάλµα ορίζεταιωςηδιαφοράανάµεσα στο επιθυµητό διάνυσµα εξόδου d q του διανύσµατος x q και την πραγµατική έξοδο z q που δίνει το συγκεκριµένο διάνυσµα: e q = d q z q Ορισµός µιας επαναληπτικής διαδικασίας βελτιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) της συνάρτησης κόστους ως προς τα συναπτικά βάρη w ij m. Η συνηθέστερη επιλογή είναι η χρήση της µεθόδου κατάβασης κατά τη µέγιστη κλίση (Gradient descent). Εναλλακτικές επιλογές: Αλγόριθµος Newton Υπολογισµός συναπτικών βαρών J = N q= Συζυγής κλίση (Conjugate gradient) e T q e q Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Η διαδικασία εύρεσης των συναπτικών βαρών είναι ένα µη γραµµικό πρόβληµα βελτιστοποίησης εξαιτίας της συνάρτησης ενεργοποίησης f( ) η οποία στις περισσότερες περιπτώσεις είναι µη γραµµική (π.χ. η σιγµοειδής συνάρτηση). Υπολογισµός συναπτικών βαρών (ΙΙ) Στην περίπτωση της µεθόδου κατάβασης κατά τη µέγιστη κλίση η επαναληπτική διαδικασία υπολογισµού των συναπτικών βαρών περιγράφεται από τις σχέσεις: r r w ( new) = w (old) + w r J w = µ w r r

11 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Υπολογισµός των βαρών στον back-propagation ιαδικασία:. Αρχικοποίηση των συναπτικών βαρών µε µικρές τυχαίες τιµές. Υπολογισµός της κλίσης της συνάρτησης κόστους σε σχέση µε τα συναπτικά βάρη από το τελευταίο επίπεδο (επίπεδο εξόδου) προς τα πίσω 3. ιόρθωση των βαρών µε µεταβολή αντίθετα προς την κλίση της συνάρτησης κόστους 4. Επανάληψη των βηµάτων ()-(3) µέχρι την ικανοποίηση ενός κριτηρίου τερµατισµού (π.χ. πολύ µικρή µεταβολή των βαρών) Υπάρχουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις ως προς την διόρθωση των βαρών. ιόρθωση µετά από τον υπολογισµό της εξόδου κάθε προτύπου (Pattern mode). ιόρθωση µετά από την εφαρµογή του συνόλου των δεδοµένων εκπαίδευσης προτύπων (Batch mode) Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Σχηµατική αναπαράσταση του back-propagation

12 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Εξισώσεις διόρθωσης των βαρών Έστω ότι έχουµε κριτήριο κόστους το τετραγωνικό σφάλµα: T J = e e e = d z όπου d ηεπιθυµητή έξοδος για το διάνυσµα εισόδου x και z ηέξοδοςτου δικτύου υπολογισµένη µε τα τρέχοντα βάρη. Η διόρθωση των βαρών στο δεύτερο επίπεδο δίνεται από τις σχέσεις: () () () wi ( new) = wi ( old) + wi () wi = µ y δi, i =,,..., k () T () δi = f ' wi y w + i ( di zi ) όπου <µ< είναι το βήµα προσαρµογής, f ( ) είναι η παράγωγος της συνάρτησης ενεργοποίησης, y είναι το διάνυσµα των εξόδων του πρώτου επιπέδου, και w i () είναι το διάνυσµα συναπτικών βαρών που εισέρχονται στον i-στο νευρώνα του δευτέρου επιπέδου. Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Εξισώσεις διόρθωσης των βαρών (ΙΙ) Η διόρθωση των βαρών στο πρώτο επίπεδο δίνεται από τις σχέσεις: () j () j () j w ( new) = w ( old) + w, () T ( ) () T w j = µ u j δ f ' wi x+ w δ () wi j δ () w j δ =, u =... j... () δk w kj () j j =,,..., p x όπου x είναι το πρότυπο εισόδου, w j () είναι το διάνυσµα συναπτικών βαρών που εισέρχονται στον j-στο νευρώνα του πρώτου επιπέδου, και u j είναι το διάνυσµα συναπτικών βαρών που εξέρχονται από τον j-στο νευρώνα του πρώτου επιπέδου

13 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Επιλογή Παραµέτρων Ηεφαρµογή του αλγορίθµου back-propagation απαιτεί τη ρύθµιση κάποιων παραµέτρων εξαρχής: Κριτήριο κόστους Μέσο τετραγωνικό σφάλµα (Least Mean Squares Error LMS Error): J = N i= E( i) k k E( i) = em ( i) = ( d m ( i) z m ( i)) m= m= i =,,..., N όπου d m (i) είναι η επιθυµητή έξοδος από τον m νευρώνα εξόδου για το πρότυπο i (µπορεί να είναι ή ) και z m (i) ηπραγµατική έξοδος (στον ίδιο νευρώνακαιγιατοίδιοπρότυπο) η οποίακυµαίνεται στο διάστηµα [ ] ιασταυρούµενη εντροπία (Cross Entropy) J = N i= k E( i) E( i) = { d ( i) ln z ( i) + ( d ( i)) ln( z ( i)) } m= m m m m Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Επιλογή Παραµέτρων (II) Μέγεθος δικτύου Perceptron Συνήθως επιλέγεται δίκτυο µε έναµόνο κρυφό (hidden) επίπεδο. Οι νευρώνες εξόδου καθορίζονται από τον αριθµό των κλάσεων στα οποία θα ταξινοµήσουµε ταδεδοµένα. Εποµένως η επιλογή αφορά το πλήθος των νευρώνων στο κρυφό επίπεδο (p). Υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις: Μέθοδοι κλαδέµατος (pruning techniques). Ξεκινάµε απόέναδίκτυοµε πολλούς κόµβους και σταδιακά αφαιρούµε τους πιο ανενεργούς µε χρήση διαφόρων κριτηρίων Μέθοδοι σύνθεσης (constructive techniques). Ξεκινάµε απόέναδίκτυµε λίγους κόµβους και προσθέτουµε νέους µε στόχο τη βελτίωση της ταξινόµησης Γενικά πολλοί κόµβοι στο εσωτερικό επίπεδο οδηγούν σε εύκολη µάθηση αλλά σε πολλές περιπτώσεις φτωχή γενικευτική ικανότητα. Αντίθετα λίγοι κόµβοι µπορεί να µας οδηγήσουν σε ένα τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης κόστους (µη επαρκήςλύση). Έχουν όµως καλύτερη γενικευτική ικανότητα 3

14 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Προβλήµατα του backpropagation. Πιθανή σύγκλιση σε τοπικό ελάχιστο:. Φτωχή γενίκευση Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Παραδείγµατα Κατά την εφαρµογή του αλγορίθµου back-propagation στην m-στη επανάληψη έχουµε: Είσοδο το πρότυπο x = [ 3] Τ το οποίο έχει επιθυµητή έξοδο d = [ ] Τ Πίνακα βαρών στο πρώτο επίπεδο W = [w () w ()... w p () ] (η τελευταία γραµµή του πίνακα W αντιστοιχεί στα κατώφλια w i () των κόµβων): W.6. = Πίνακα βαρών στο δεύτερο επίπεδο W = [w () w () w k () ] (η τελευταία γραµµή του πίνακα W αντιστοιχεί στα κατώφλια w i () των κόµβων): W.7.9 =

15 Εισαγωγή Πολυεπίπεδες Perceptron Οαλγόριθµος back-propagation Επιλογή παραµέτρων Παραδείγµατα Παραδείγµατα (II) Ζητούµενα:. Να σχηµατίσετε το δίκτυο. Να υπολογίσετε την έξοδο y του κρυφού επιπέδου για το πρότυπο x. 3. Να υπολογίσετε την έξοδο z του δικτύου για το πρότυπο x 4. Να εφαρµόσετε τον αλγόριθµο back-propagation για τον υπολογισµό των πινάκων W, W στην m+ επανάληψη (µετά την εφαρµογή της εισόδου x) Θεωρήστε ότι όλοι οι κόµβοι έχουν συνάρτηση ενεργοποίησης: f ( x) = + e x για την οποία ισχύει: f '( x) = f ( x) ( f ( x) ) 5

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2004-5) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #3 Στόχος Στόχος αυτής της εργασίας είναι η απόκτηση δεξιοτήτων σε θέματα που αφορούν τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα και ποιο συγκεκριμένα θέματα εκπαίδευσης και υλοποίησης.

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Χάρης Γεωργίου, ΑΜ:Μ-177 Αθήνα, Σεπτέµβριος 2000 - ii - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Εκπαίδευσης και Μοντέλα Τεχνητών Νευρωνικών ικτύων

Μέθοδοι Εκπαίδευσης και Μοντέλα Τεχνητών Νευρωνικών ικτύων Νικόλαος Γλυνός Επίκ. Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Γεωργίου Β. Χάρης Μελισσόβας Β. Σπύρος Παπαδόπουλος Σ. ηµήτρης Μέθοδοι Εκπαίδευσης και Μοντέλα Τεχνητών Νευρωνικών ικτύων Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Ανάλυση και ο Σχεδιασµός στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Ανάλυση και ο Σχεδιασµός στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής 1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Η και ο στην Ενοποιηµένη ιαδικασία ρ. Πάνος Φιτσιλής Περιεχόµενα Γενικές αρχές ανάλυσης και σχεδιασµού Τα βήµατα της ανάλυσης και του σχεδιασµού Συµπεράσµατα 2 3 Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγικές Μηχανές Διανυσμάτων Στήριξης και εφαρμογή σε προβλήματα ταξινόμησης

Επαγωγικές Μηχανές Διανυσμάτων Στήριξης και εφαρμογή σε προβλήματα ταξινόμησης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επαγωγικές Μηχανές Διανυσμάτων Στήριξης

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΜΕΤΑ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ:

ΤΕΛΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΜΕΤΑ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΜΕΤΑ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ: ιερεύνηση Επιπτώσεων ιαστατικότητας στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Ρεφανίδης Γιάννης. Οκτώβριος 2011. http://users.uom.gr/~yrefanid/courses/neuralnetworks/

Ρεφανίδης Γιάννης. Οκτώβριος 2011. http://users.uom.gr/~yrefanid/courses/neuralnetworks/ Νευρωνικά Δίκτυα Ρεφανίδης Γιάννης Οκτώβριος 2011 Γενικά Σελίδα μαθήματος: http://users.uom.gr/~yrefanid/courses/neuralnetworks/ Συγγράμματα: Πανεπιστημιακές παραδόσεις για Νευρωνικά Δίκτυα και Εξελικτικούς

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

6. Α ΙΕΞΟ Α Στέφανος Γκρίτζαλης Αναπληρωτής Καθηγητής Κωνσταντίνος Καραφασούλης ιδάσκων (Π 407) 6.1 ΠΟΡΟΙ (1/2) Υπάρχουν δύο τύποι πόρων σε υπολογιστικά συστήµατα: προεκχωρήσιµοι πόροι (preemptable resources):

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ P-INF-003 : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ : ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Νευρωνικού Μοντέλου Για Γονιδιακή Ανάλυση

Ανάπτυξη Νευρωνικού Μοντέλου Για Γονιδιακή Ανάλυση Πολυτεχνείο Κρήτης Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάπτυξη Νευρωνικού Μοντέλου Για Γονιδιακή Ανάλυση Φοίβος Γύπας Εξεταστική επιτροπή Μιχάλης Ζερβάκης (Επιβλέπων) Γεώργιος Σταυρακάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Νευρωνικού Μοντέλου Για Γονιδιακή Ανάλυση

Ανάπτυξη Νευρωνικού Μοντέλου Για Γονιδιακή Ανάλυση Πολυτεχνείο Κρήτης Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάπτυξη Νευρωνικού Μοντέλου Για Γονιδιακή Ανάλυση Φοίβος Γύπας Χανιά, Ιούνιος 2011 Τριµελής εξεταστική επιτροπή Καθηγητής Ζερβάκης

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΓΥΡΗΣ ΚΟΖΑΝΗ 2005 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Για τον καλύτερο προσδιορισµό των µεγεθών που χρησιµοποιούµε στις εξισώσεις, χρησιµοποιούµε τους παρακάτω συµβολισµούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενο. ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων. Σχεδίαση και Ανάπτυξη Πολυµεσικών Εφαρµογών. Βιβλιογραφία. Καγιάφας [2000]: Κεφάλαιο 9, [link]

Περιεχόµενο. ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων. Σχεδίαση και Ανάπτυξη Πολυµεσικών Εφαρµογών. Βιβλιογραφία. Καγιάφας [2000]: Κεφάλαιο 9, [link] Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων Σχεδίαση και Ανάπτυξη Πολυµεσικών Εφαρµογών Βασικά ζητήµατα σχεδίασης Η διαδικασία ανάπτυξης πολυµεσικών εφαρµογών Η οµάδα ανάπτυξης πολυµεσικών εφαρµογών Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή Καθ. Κ. Κουρκουµπέτης Σηµείωση: Οι διαφάνειες βασίζονται σε µεγάλο βαθµό σε αυτές που συνοδεύονται µε το προτεινόµενο σύγγραµµα. 1

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ελαχιστοποίηση χαρακτηριστικών ταξινομητή για γονιδιακή σύνθεση ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 2008 2009 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

R k = r k x r k y r k z

R k = r k x r k y r k z Κατασκευή 3D µοντέλων κεφαλιών από ϕωτογραφίες Καλογήρου Χαρίλαος Ηλ. Ταχυδροµείο : harkal@cs.uoi.gr Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Τµήµα Πληροφορικής Κατασκευή 3D µοντέλων κεφαλιών από ϕωτογραφίες p.1/ Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

2.7.4 Πως οι εικόνες καταγράφονται στο γεωγραφικό χώρο

2.7.4 Πως οι εικόνες καταγράφονται στο γεωγραφικό χώρο 2.7.3 Γεωαναφορά raster αρχείου Τα φηφιδωτά (raster) δεδοµένα προέρχονται κυρίως από σαρωµένους χάρτες, αεροφωτογραφίες και δορυφορικές εικόνες. Οι σαρωµένοι χάρτες δεν περιέχουν καµία πληροφορία συντεταγµένων,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα