Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Transcript

1 Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε την χρήση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Αρκετές κατηγορίες συνήθων διαφορικών εξισώσεων επιλύονται αναλυτικά αλλά ακόµη περισσότερες είναι αυτές που δεν επιλύονται αναλυτικά, δηλαδή δεν έχουν αναλυτικές λύσεις κλειστής µορφής και η επίλυσή τους επιτυγχάνεται µόνο αριθµητικά. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε αριθµητικές τεχνικές επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Έστω µια συνήθης διαφορική εξίσωση της µορφής n dy d y d y F,y,,,, 0, n = d d d (..) όπου και y η ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή αντίστοιχα. Η (..) έχει µοναδική λύση µόνο όταν συνοδεύεται από n συνθήκες. Εάν οι συνθήκες αυτές ορίζονται σε ένα σηµείο, έστω στο σηµείο 0, τότε το πρόβληµα ονοµάζεται πρόβληµα αρχικών τιµών, ενώ εάν ορίζονται σε περισσότερα από ένα σηµείο τότε το πρόβληµα ονοµάζεται πρόβληµα οριακών τιµών. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε προβλήµατα αρχικών τιµών. Όταν έχουµε να λύσουµε ένα πρόβληµα αρχικών τιµών n τάξης, συνήθως αντικαθιστούµε την συνήθη διαφορική εξίσωση µε n εξισώσεις ης τάξης. Αυτό επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας n- νέες εξαρτηµένες µεταβλητές. Αντίστοιχα οι n- αρχικές συνθήκες για τις παραγώγους της άγνωστης

2 εξαρτηµένης µεταβλητής αντικαθίστανται µε αρχικές συνθήκες για τις n- νέες εξαρτηµένες µεταβλητές του συστήµατος. Θέτοντας y y y dy = d = n d y d n d y = d προκύπτει το σύστηµα y' = y y' y' = y = y n n (, n n ) F,y,y y, y,y' = 0 (..) (..3) Παράδειγµα: Έστω η εξίσωση Bessel ης τάξης d y dy p d d + + = 0 όπου p µια σταθερά. Θέτοντας εξισώσεων ης τάξης dy = g d dg + d + ( ) = 0 g p y g dy d (..4) = προκύπτει το σύστηµα δύο (..5) Εποµένως αφού στην περίπτωση προβληµάτων αρχικών τιµών, µια εξίσωση n τάξης µπορεί να αντικατασταθεί από σύστηµα n εξισώσεων ης τάξης θα ασχοληθούµε αρχικά µε την επίλυση εξισώσεων και στη συνέχεια συστηµάτων ης τάξης.

3 Οι βασικές κατηγορίες µεθόδων επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων ης τάξης ταξινοµούνται ως εξής: Α. Πρόβληµα αρχικών τιµών. Μέθοδοι ενός βήµατος (Euler, Runge Kutta). Μέθοδοι πολλών βηµάτων Β. Προβλήµατα οριακών τιµών. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών. Μέθοδος πεπερασµένων όγκων Στο κεφάλαιο αυτό όπως προαναφέραµε θα ασχοληθούµε µε την επίλυση προβληµάτων αρχικών τιµών, εφαρµόζοντας µεθόδους ενός βήµατος. Προβλήµατα οριακών τιµών θα εξετασθούν στο Κεφάλαιο 3 παράλληλα µε την εισαγωγή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών. Σηµειώνεται ότι στη περίπτωση των προβληµάτων οριακών τιµών η αντικατάσταση της διαφορικής εξίσωσης µε σύστηµα δεν είναι εφικτή, επειδή η φυσική σηµασία και η µαθηµατική διατύπωση των δύο προβληµάτων δεν είναι ισοδύναµη.. Μέθοδος Euler Έστω το πρόβληµα αρχικών τιµών dy f (,y) d = (..) y( 0) = y 0 (..) Από την εξ. (..) είναι προφανές ότι για κάθε ζεύγος σηµείων ( * ( * * *,y )) η συνάρτηση άγνωστης συνάρτησης y στο σηµείο dy 0 ( ) ( f,y f,y f,y που ταυτίζεται µε τη κλίση της ) *. Για παράδειγµα = 0 0 = 0 0 (..3) d = 3

4 Η µέθοδος Εuler βασίζεται στην υπόθεση ότι για µια µικρή απόσταση κατά µήκος του άξονα η κλίση της συνάρτησης y είναι σταθερή µε τιµή ίση µε τη τιµή της κλίσης στην αρχή του διαστήµατος. Αναπτύσσοντας την y σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο 0 έχουµε dy dy 0 0 ( ) y + = y (..4) d d = 0 = 0 Εφαρµόζοντας την βασική υπόθεση της µεθόδου Euler στην πρώτη παράγωγο της (..4) και αποκόβοντας τους όρους από ης επάνω προκύπτει η σχέση ( 0 + ) ( 0 ) + (, ) y y f y τάξης και 0 0 (..5) Έχοντας υπολογίσει την τιµή y( ) y( ) επαναλαµβάνεται και έχουµε + y y f,y = + η διαδικασία 0 (..6) Θεωρώντας ότι κάθε φορά προχωρούµε στον άξονα κατά ένα βήµα = η µέθοδος Euler γράφεται στη γενική µορφή y + = y + y + f,y, = 0,,, (..7) ή στην απλούστερη µορφή y = y + f, y + + O, = 0,,, (..8) Η (..8) έχει ρητή µορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται µόνο στην αριστερή πλευρά της αναγωγικής σχέσης. Η γεωµετρική αναπαράσταση της µεθόδου Euler είναι απλούστατη και φαίνεται στο Σχήµα. όπου y + και y στο σηµείο y + είναι η αναλυτική και αριθµητική τιµή της +. Είναι προφανές ότι η µέθοδος θα είναι αποτελεσµατική µόνο όταν η συνάρτηση y( ) είναι οµαλή και η κλίση της στο διάστηµα παραµένει περίπου σταθερή και ίση µε την κλίση της y( ) στην αρχή του διαστήµατος. 4

5 Σχήµα.: Γεωµετρική ερµηνεία της µεθόδου Euler Παράδειγµα: Έστω η διαφορική εξίσωση y' y, Η αναλυτική λύση είναι = + µε αρχική συνθήκη y y0 0 = = 0. y = e. Επιλέγοντας = 0., εφαρµόζουµε την µέθοδο Euler και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας αποτελεσµάτων: Αριθµός βήµατος Αριθµητική λύση y f (,y ) Αναλυτική λύση y( ) Απόλυτο σφάλµα ε = y y

6 Όπως προκύπτει από την τελευταία στήλη του πίνακα το απόλυτο σφάλµα αυξάνει σε κάθε βήµα της µεθόδου. Όπως θα δούµε παρακάτω το τοπικό σφάλµα της µεθόδου Euler είναι O( ) αλλά το συνολικό σφάλµα είναι O( ). Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να ξανά-διατυπώσουµε την µέθοδο Euler εφαρµόζοντας αριθµητική ολοκλήρωση αντί για αριθµητική παραγώγιση (σειρά Taylor). Έστω ότι επιλύουµε το ίδιο πρόβληµα αρχικών τιµών όπως περιγράφεται από την εξίσωση (..) και την συνθήκη (..), στο διάστηµα [ 0, N ]. Επιλέγουµε το µέγεθος N από τη σχέση N 0 = (..9) όπου N [ 0 N ] είναι ο αριθµός των ίσων διαστηµάτων που διαιρείται το διάστηµα, και = 0 +, = 0,,,N. Στη συνέχεια ολοκληρώνουµε αναλυτικά την διαφορική εξίσωση κατά µήκος των και έχουµε N υπό-διαστηµάτων 0 + N N 0 + y = y + f,y d y = y + f,y d N N y = y + f,y d y = y + f,y d. (..0) 6

7 Βεβαίως ο αναλυτικός υπολογισµός των εκφράσεων (..0) δεν είναι εφικτός, αφού οι συναρτήσεις f (,y ) δεν είναι γνωστές στα υπόδιαστήµατα ολοκλήρωσης. Εδώ ακριβώς, εισάγεται η βασική υπόθεση της µεθόδου Euler όπου υποθέτουµε ότι η τιµή της συνάρτησης f (,y ) σε κάθε υπό-διάστηµα παραµένει σταθερή και ίση µε την τιµή της f (,y ) στην αρχή του υπό-διαστήµατος. Η προσέγγιση αυτή είναι αντίστοιχη µε την µεθοδολογία αριθµητικής ολοκλήρωσης I, ακρίβειας O. Εποµένως τώρα τα ολοκληρώµατα στην ακολουθία (..0) υπολογίζονται προσεγγιστικά και προκύπτει η αναγωγική έκφραση (..8) της µεθόδου Euler. Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της µεθόδου Euler βελτιώνεται εάν βελτιωθεί η ακρίβεια της αριθµητικής ολοκλήρωσης σε κάθε υπό-διάστηµα. Για παράδειγµα εάν η αριθµητική ολοκλήρωση I αντικατασταθεί µε αριθµητική ολοκλήρωση I, δηλαδή κανόνα του τραπεζίου, βρίσκουµε την αναγωγική έκφραση 3 y+ = y + f (,y) + f ( +,y+ ) + O( ). (..) Η (..) έχει πεπλεγµένη µορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται και στις δύο πλευρές της αναγωγικής σχέσης. Στις περιπτώσεις αυτές η άγνωστη ποσότητα προκύπτει µετά από επαναληπτική διαδικασία που σταµατά όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης. Εποµένως η (..) γράφεται στη µορφή y = y + f (,y ) f ( +,y n (n + ) (n) + + όπου ο δείκτης ) + (..) σε παρένθεση είναι ο δείκτης επανάληψης. Είναι προφανές ότι η αριθµητική προσπάθεια αυξάνει σηµαντικά, αφού κάθε βήµα συνοδεύεται από ένα αναγκαίο αριθµό επαναλήψεων ώστε να βελτιωθεί η τιµή y + που προκύπτει µετά την πρώτη επανάληψη. Ο αλγόριθµος (..) είναι γνωστός σαν πεπλεγµένη Euler ή µέθοδος Heun. 7

8 Επιλέγοντας άλλα σχήµατα αριθµητικής ολοκλήρωσης οδηγούµεθα σε αντίστοιχα σχήµατα αριθµητικής επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Για το λόγο αυτό πολλές φορές όταν αναφερόµεθα σε µεθόδους επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων έχει επικρατήσει ο όρος αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων..3 Μέθοδοι Runge-Kutta Πρόκειται για οικογένεια µεθόδων ενός βήµατος µε την έννοια ότι η τιµή της εξαρτηµένης τιµής στο τέλος του βήµατος, όπως και στη µέθοδο Euler, εξαρτάται µόνο από την πληροφορία που αντλείται µέσα από το συγκεκριµένο βήµα. ηλαδή η τιµή y + εξαρτάται µόνο από την τιµή και άλλες τιµές της y στο διάστηµα [, ]. + y Η απλούστερη όλων είναι η Runge-Kutta ης τάξης που δίδεται από τη σχέση y+ = y + f (,y) + f ( +,y + f (,y) ). (.3.) Η (..3) προκύπτει εφαρµόζοντας την µέθοδο Euler δύο φορές ή την πεπλεγµένη Euler για µία µόνο επανάληψη. Πρώτα υπολογίζουµε την ενδιάµεση τιµή ŷ = y + + f,y (.3.) και στη συνέχεια την τελική τιµή y ( ) ( ˆ + = y + f,y + f,y + ). (.3.3) Η Runge-Kutta ης τάξης συνοψίζεται στον αλγόριθµο k = f,y ( ) k = f +,y + k y+ = y + k+ k = 0,, (.3.4) µε. Ο αλγόριθµος γίνεται εύκολα κατανοητός από την γεωµετρική του αναπαράσταση που φαίνεται στο Σχήµα.. 8

9 Σχήµα.: Γεωµετρική ερµηνεία της µεθόδου Runge-Kutta ης τάξης Οι Runge-Kutta µεγαλύτερης τάξης προκύπτουν µε παρόµοιο τρόπο εφαρµόζοντας µεθόδους αριθµητικής ολοκλήρωσης µεγαλύτερης τάξης. Ο αλγόριθµος της Runge-Kutta 3 ης τάξης, εφαρµόζοντας τον ο κανόνα του Smpson, δίδεται από τις σχέσεις k = f,y k = f +,y + k k = f +,y + k 3 (.3.5) y+ = y + ( k+ 4k + k 3 ) 6 = 0,, k,k,k 3 µε. Οι ποσότητες προσεγγίζουν τις παραγώγους της εξαρτηµένης µεταβλητής στα σηµεία, +, + αντίστοιχα του υπό- διαστήµατος [ + ],. 9

10 Η γενική µορφή των µεθόδων Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι y y ak bk ck dk = (.3.6) όπου οι ποσότητες k,k,k,k 3 4 είναι προσεγγιστικές τιµές της,. διαφορετικά σηµεία του υπό-διαστήµατος [ ] Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι οι αλγόριθµοι k = f,y k = f +,y + k k3 = f +,y + k k = f +,y + k 4 3 y+ = y + k+ k + k3 + k 4 6 και k = f,y ( ) k = f +,y + k 3 3 k3 = f +,y + k 3 3 k = f +,y + k 4 3 y+ = y + k+ k + k3 + k 8 ( 3 3 ) 4 dy d σε + Οι πλέον δηµοφιλείς (.3.7) (.3.8) Όλοι οι αλγόριθµοι Runge-Kutta έχουν ρητό χαρακτήρα. Το συσσωρευµένο σφάλµα της κάθε µεθόδου Runge-Kutta είναι αντίστοιχο µε την τάξη της µεθόδου. 0

11 .4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Έστω ότι έχουµε ένα σύστηµα n εξισώσεων ης τάξης dy = f,y,,yn d dy = f,y,,y d dyn = d ( ) n ( ) ( ) f,y,,y µε αρχικές συνθήκες στο σηµείο 0 y = y 0 0, y = y 0, 0 n y = y 0 n, 0 n n (.4.) (.4.) Η επίλυση ενός συστήµατος εξισώσεων µε βάση τις µεθόδους που έχουν αναπτυχθεί δεν έχει επιπλέον θεωρητικές δυσκολίες από ότι στη περίπτωση των απλών εξισώσεων. Βεβαίως οι αναγκαίοι υπολογισµοί είναι περισσότεροι και ο προγραµµατισµός γίνεται πιο σύνθετος. Παράδειγµα: d y z y e d = +, ' y ( 0) =, ( 0) d y z y e d =, z 0 0, ' = ( 0) Εισάγουµε τις εξαρτηµένες µεταβλητές y y = (.4.3α) z 0 = (.4.3β) = y, y ' = y, y3 ' = z και y4 = z και το αρχικό σύστηµα µετατρέπεται σε ένα σύστηµα ης εξισώσεων µε τέσσερις αρχικές συνθήκες: ' y = y y ( 0 ) = y y y ' = 3 +e y 0 = τάξης τεσσάρων

12 ' y3 = y y 4 3 ( 0 ) = 0 y y y e ' 4 = 3 ( 0 4 ) y 0 = (.4.4) Αρχικά εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο Euler για = 0.. Εποµένως y 0. = y 0 + y 0 = y 0. = y 0 + y3 0 y 0 + e = y 0. = y 0 + y 0 = y 4 0. = y4 0 + y3 0 y 0 e = 0. (.4.5) Η διαδικασία συνεχίζεται βήµα - βήµα για όσα βήµατα κρίνεται αναγκαίο. Σηµειώνεται ότι οι συναρτήσεις και αντιστοιχούν στις αρχικές άγνωστες εξαρτηµένες µεταβλητές και, ενώ οι συναρτήσεις και στις παραγώγους τους. y y3 y z 3 y y4 Επαναλαµβάνουµε τη επίλυση του παραδείγµατος εφαρµόζοντας τώρα την µέθοδο Runge-Kutta ης τάξης για 0 =.. Τώρα οι ποσότητες και k k είναι διανύσµατα τεσσάρων στοιχείων, όπου το κάθε στοιχείο συνδέεται µε την αντίστοιχη άγνωστη εξαρτηµένη µεταβλητή: k = y ( 0) = ( 0) ( 0) ( 3) = y ( 0) = 0 ( 4) ( 0) ( 0) k = y y + e k k = y y e = 0 3 και = 0 0. ( 0) ( 0) k = y 0. = y 0 + k = + 0. * 0= k = y. y. + e = 3 0. y3 + k y + k + e =. 0. ( 4) = ( 0 ) ( 0 ) = k 3 = y 0. = y 0 + k 4 = * = k y. y. e 3 y k y k e = 705 (.4.6) (.4.7)

13 Τελικά µετά από ένα βήµα οι τιµές των εξαρτηµένων µεταβλητών είναι: 3 4 = + ( + ) = = + ( ) = y y 0. = =. 977 y y 0. = = (.4.8) Έχοντας σαν βάση την παραπάνω επεξεργασία ο αναγνώστης, για να εξοικειωθεί µε τη διαδικασία, µπορεί να επιλύσει το σύστηµα των τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων µε Runge-Kutta 3 ης και 4 ης τάξης. Σηµειώνεται ότι η f,y,y,y,y, κάθε εξαρτηµένη µεταβλητή της συνάρτησης j = 34,,, j 3 4 στη δεξιά πλευρά του συστήµατος βελτιώνεται µε τις «δικά k j =,,,J εξισώσεις της». Στη γενική περίπτωση ενός συστήµατος µε ο πρώτος από τους δύο αλγορίθµους Runge-Kutta 4 ης τάξης, στους οποίους αναφερθήκαµε, γράφεται ως εξής: + = + ( ), = 0,,, (.4.9) 6 yj, yj, kj, kj, kj, 3 kj, 4 όπου ( ) k = f,y,y,,y j, j J ŷj = yj + kj, k = f +,y ˆ,y ˆ,,y ˆ yj = yj + kj, k = f +,y,y,,y y = y + k j, j J j, 3 j J j j j, 3 ( ) k = f +,y,y,,y j, 4 j J (.4.0) 3

14 .5 Σφάλµατα, διάδοση σφαλµάτων, ευστάθεια και σύγκλιση Το σφάλµα ε ανάµεσα στην αριθµητική και αναλυτική τιµή της συνάρτησης y( ) στον κόµβο ορίζεται από το µέτρο της διαφοράς ε = y y (.5.) όπου y και αντίστοιχα. y η αριθµητική και αναλυτική τιµή της y στο σηµείο Για να µελετήσουµε το σφάλµα της µεθόδου Euler, επιλύουµε την (.5.) για την αριθµητική τιµή και την αντικαθιστούµε στην σχέση (..8). Η επεξεργασία αυτή µας οδηγεί στη σχέση y + ε = y + ε + f,y + ε + O (.5.) + + Στη συνέχεια αναπτύσσουµε σε σειρά Taylor τον όρο f f (,y( ) + ε) = f (,y( ) ) + ε y y= y (.5.3) και αντικαθιστώντας την (.5.3) στην (.5.) προκύπτει ότι το σφάλµα στο + ε βήµα συνδέεται µε το σφάλµα στο βήµα µε τη σχέση f = ε + + O y y= y( ) + (.5.4) Ο πρώτος όρος στο δεξί τµήµα της (.5.4) υποδηλώνει την συνεισφορά του σφάλµατος του βήµατος στο σφάλµα του + βήµατος, ενώ ο δεύτερος όρος υποδηλώνει το τοπικό σφάλµα αποκοπής. Εποµένως, ενώ το τοπικό σφάλµα είναι ης + µετά από βήµατα, είναι ης τάξης. τάξης το συνολικό σφάλµα της µεθόδου Euler, Επίσης από την (.5.4) προκύπτει ότι εάν σε κάθε βήµα ισχύει η ανισότητα f + y = y y < (.5.5) 4

15 τότε το σφάλµα παραµένει πεπερασµένο και µάλιστα µειώνεται καθώς αυξάνει ο αριθµός των βηµάτων. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι η µέθοδος f < y είναι ευσταθής. Εάν η παράγωγος 0 εύρος τιµών για το βήµα τότε µπορούµε να ορίσουµε το f > y ώστε να ισχύει η (.5.5). Αντίθετα εάν 0 τότε η ανισότητα (.5.5) δεν ισχύει για οποιαδήποτε τιµή του βήµατος. Στη περίπτωση αυτή f + y = y y > (.5.6) και το σφάλµα αυξάνει συνεχώς και λέµε ότι η µέθοδος είναι ασταθής. Το ερώτηµα που πρέπει να απαντηθεί είναι εάν η συνεχής αύξηση του σφάλµατος συνεπάγεται και αστοχία της αριθµητικής µεθόδου. Η απάντηση είναι: Όχι απαραίτητα. Πρέπει να ελεγχθεί η συµπεριφορά της αναλυτικής λύσης καθώς αυξάνουν οι τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής. Εάν η λύση του προβλήµατος είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς, τότε βεβαίως τα αριθµητικά αποτελέσµατα είναι εσφαλµένα. Αντίθετα εάν η λύση του προβλήµατος είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς, τότε ο πιο σηµαντικός παράγοντας δεν είναι οι πεπερασµένες τιµές του απολύτου σφάλµατος αλλά οι τιµές του σχετικού σφάλµατος σηµαντικά. ε y να µην µεγαλώνουν Στην έννοια της σύγκλισης θα αναφερθούµε µε λεπτοµέρεια σε επόµενα κεφάλαια. Όµως στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να δώσουµε το σχετικό ορισµό. Λέµε ότι µία αριθµητική µέθοδος συγκλίνει όταν το σφάλµα ε, 0,,, = τείνει στο µηδέν, καθώς το διάστηµα µηδέν: 0 τείνει επίσης στο lm ε = 0 (.5.7) ηλαδή η αριθµητική λύση ανάγεται στην συνεχή λύση καθώς το διακριτοποιηµένο πρόβληµα ανάγεται στο συνεχές πρόβληµα. 5

16 Για τη µελέτη ευστάθειας των άλλων µεθόδων αριθµητικής ολοκλήρωσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων, απλουστεύουµε την µαθηµατική επεξεργασία και εξετάζουµε την ευστάθειά τους µε βάση την γραµµικοποιηµένη εξίσωση dy d λ y =. (.5.8) Στη περίπτωση αυτή εύκολα προκύπτει από την (.5.5) ότι το κριτήριο ευστάθειας της µεθόδου Euler είναι + λ <. (.5.9) Η ανισότητα (.5.9), για ισχύει όταν ( λ ) R I λ R ισχύει όταν λ 0, ενώ για λ C + + λ <. Άρα η µέθοδος είναι ευσταθής εφόσον η ποσότητα λ βρίσκεται εντός του κύκλου µε κέντρο ( 0, ) ρ = του µιγαδικού επιπέδου. και ακτίνα Τo κριτήριο ευστάθειας της µεθόδου Runge-Kutta ης τάξης, όταν αυτή εφαρµοσθεί στην (.5.8), προκύπτει ως εξής: λ y+ = y + λy λ( y λy) y λ + + = + + (.5.0) Από τη σχέση (.5.0) συνεπάγεται ότι το σφάλµα παραµένει µικρό όταν λ + λ + < (.5.) Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι τα κριτήρια ευστάθειας των Runge- Kutta 3 ης και 4 ης τάξης είναι 3 3 λ λ + λ + + < (.5.) 6 και λ λ λ + λ < (.5.3) 6 4 6

17 αντίστοιχα. Εάν το λ R οι σχέσεις ( ) οδηγούν στις παρακάτω ανισότητες που είναι ενδεικτικές για το εύρος τιµών που επιτρέπεται να πάρει το βήµα ευσταθές: ώστε το αριθµητικό σχήµα να είναι Runge-Kutta ης τάξης: < λ < 0 Runge-Kutta 3 ης τάξης: 5. < λ < 0 Runge-Kutta 4 ης τάξης:. 785 < λ < 0 (.5.4) Επίσης εφαρµόζοντας την ίδια µεθοδολογία στον αλγόριθµο (..) προκύπτει ότι η πεπλεγµένη Euler, εφαρµοζόµενη στην γραµµική εξίσωση (.5.8) για λ R είναι ευσταθής όταν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: 0 < < για λ < 0 και λ 0 για λ > 0 (.5.5) Τονίζεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις οι µέθοδοι είναι ευσταθείς µόνο όταν λ < 0. Εάν το λ C, οι αντίστοιχες περιοχές ευστάθειας θα πρέπει να αναζητηθούν στο µιγαδικό επίπεδο και απεικονίζονται στο Σχήµα.3. Υπενθυµίζουµε ότι τα αποτελέσµατα αυτά προκύπτουν ικανοποιώντας τις ανισότητες ( ) και ότι ισχύουν µόνο για διαφορικές εξισώσεις της µορφής (.5.8). Γενικά καθώς αυξάνει η τάξη ακρίβειας της αριθµητικής µεθόδου ολοκλήρωσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων αυξάνει και η ευστάθεια της µεθόδου, επιτρέποντας το βήµα ολοκλήρωσης να παίρνει µεγαλύτερες τιµές. Το ζητούµενο σε κάθε περίπτωση είναι η ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων υψηλής ακρίβειας και ευστάθειας. υστυχώς τις περισσότερες φορές κάτι τέτοιο είναι δύσκολο και ανάλογα µε την εφαρµογή και τις υπολογιστικές δυνατότητες που έχουµε θυσιάζουµε την ακρίβεια προς όφελος της ευστάθειας ή το αντίθετο. 7

18 Σχήµα.3: Περιοχές ευστάθειας στο µιγαδικό επίπεδο των µεθόδων Euler και Runge-Kutta ης, 3 ης και 4 ης τάξης. 8

19 Αναφορές: Brce Carnaan, H. A. Luter, James O. Wlkes, Appled Numercal Metods (Capter 6), Jon Wley & Sons, 969. Alks Constantndes, Appled Numercal Metods wt Personal Computes (Capter 5), McGraw Hll Int. Edtons, 988. Γεώργιος Ακρίβης, Βασίλειος ουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 998. Στέφανος Τραχανάς, Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης,