ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΦΟΥΛΛΕΡΕΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΚΑΙ ΝΑΝΟΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΓΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΙΣΘΗΤΗΡΩΝ R O O O R N R O O HN N HN O O O O A O B N H H N O H N N H O H H N N N H O O R H N O O DMSO CHCl 3 1 = H 2 = O O Fe ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΚΟΥΡΗΣ ΠΑΤΡΑ 2008

2

3 Δημοσιεύσεις 1. Nonlinear optical properties of Au nanoclusters encapsulated into hybrid block copolymer micelles, K. Iliopoulos, D. Athanasiou, A. Meristoudi, N. Vainos, S. Pispas, S. Couris, Physica Status Solidi a 205, 2635, (2008) 2. Efficient modulation of the third order nonlinear optical properties of fullerene derivatives, A. Mateo-Alonso, K. Iliopoulos, S. Couris, M. Prato, J. Am. Chem. Soc. 130, , (2008) 3. Synthesis of one-dimensional structured metal phthalocyanine in an ionic liquid, D. S. Jacob, S. Mallenahalli, A. Gedanken, L. A. Solovyov, E. Xenogiannopoulou, K. Iliopoulos, S. Couris, Journal of Porphyrins and Phthalocyanines 11, , (2007) 4. Optically active spherical polyelectrolyte brushes with a nanocrystalline magnetic core, A. Bakandritsos, N. Bouropoulos, R. Zboril, K. Iliopoulos, N. Boukos, G. Chatzikyriakos, S. Couris, Adv. Funct. Mater. 18, , (2008) 5. Third-order nonlinear optical response of gold island films, E. Xenogiannopoulou, K. Iliopoulos, S. Couris, T. Karakouz, A. Vaskevich, I. Rubinstein, Adv. Funct. Mater. 18, , (2008) 6. Nonlinear optical response of water soluble C70 dendrimers, K. Iliopoulos, S. Couris, U. Hartnagel, A. Hirsch, Chem. Phys. Lett. 448, , (2007). 7. Nonlinear optical properties of Ferrocene- and porphyrin- [60] fullerene dyads, E. Xenogiannopoulou, M. Medved, K. Iliopoulos, S. Couris, M. G. Papadopoulos, D. Bonifazi, C. Sooambar, A. Mateo-Alonso, M. Prato, Chem. Phys. Chem. 7, , (2007). 8. An experimental investigation on the third-order nonlinear optical properties of the fullerene dimer C120 under ps and ns laser excitation, P. Aloukos, K. Iliopoulos, N. Tagmatarchis, S. Couris, in preparation 9. Transient nonlinear optical response and optical limiting properties of donoracceptor type fullerene derivatives, P. Aloukos, D. Bonifazi, E. Xenogiannopoulou, K. Iliopoulos, M. Prato, S. Couris, in preparation

4 10. Third order nonlinear response of Au and Ag nanoparticles embedded into hybrid block copolymer micelles, K. Iliopoulos, S. Couris, A. Meristoudi, S. Pispas, in preparation 11. Synthesis, characterization and non-linear optical properties of polymercoated palladium nanoparticles stabilized in organic medium, K. Iliopoulos, S. Couris, M. Demetriou, T. Krasia-Christoforou, in preparation 12. Third-order nonlinear optical response of several organic solvents by means of OKE and Z-scan techniques, K. Iliopoulos, E. Xenogiannopoulou, P. Aloukos, S. Couris, in preparation 13. Influence of organic solvents on the third order nonlinearity of Au island films, K. Iliopoulos, S. Couris, T. Karakouz, A. Vaskevich, I. Rubinstein, in preparation 14. Nonlinear optical properties of porphyrin-[60] fullerene dyads. An experimental and theoretical investigation., V. Filidou, K. Iliopoulos, S. Couris, D. Bonifazi, M. Prato, in preparation 15. Nonlinear optical response of titanium oxide nanostructured thin films, K. Iliopoulos, G. Kalogerakis, N. Katsarakis, D. Vernardou, E. Koudoumas, S. Couris, submitted in Thin Solid Films 16. Comparative nonlinear optical investigation of Au nanoparticles encapsulated into block and random copolymer micelles, K. Iliopoulos, S. Couris, A. Meristoudi, S. Pispas, in preparation 17. Experimental and theoretical investigation of the third order nonlinear optical response of [60] fullerene dimers, K. Iliopoulos, G. Chatzikyriakos, S. Derlopa, S. Couris, M. G. Papadopoulos, G. Rotas, N. Tagmatarchis, in preparation 18. Enhanced third order nonlinearities of [60] fullerene dyads under ps and ns laser pulse duration, K. Iliopoulos, S. Couris, U. Hartnagel, A. Hirsch, in preparation

5 Συμμετοχές σε συνέδρια 1. Nonlinear optical response of titanium oxide nanostructured thin films, K. Iliopoulos, G. Kalogerakis, D. Vernardou, N. Katsarakis, E. Koudoumas, S. Couris, 2 nd International Symposium on Transparent Conductive Oxides, Hersonissos, Crete, Greece, October Optical nonlinearities of Pd nanoparticles encapsulated in plauma-bpaema/pd micellar hybrids, K. Iliopoulos, S. Couris, M. Demetriou, T. Krasia-Christoforou, September 2008, XXIV Panhellenic Conference on Solid State Physics and Materials Science, Heraklion, Crete, Greece. 3. Block and random copolymers encapsulating metal nanoparticles: Development and nonlinear optical properties, September 2008, A. Meristoudi, K. Iliopoulos, S. Pispas, N. Vainos, S. Couris, XXIV Panhellenic Conference on Solid State Physics and Materials Science, Heraklion, Crete, Greece. 4. Nonlinear optical properties of water soluble C70 dendrimers and C 60 dimer, K. Iliopoulos, S. Couris, 30 May 2008, Workshop on fullerenes: design, synthesis and properties, National Hellenic Research Foundation (NHRF), Athens, Greece. 5. Nonlinear optical properties of Au nanoclusters encapsulated into hybrid block copolymer micelles, K. Iliopoulos, D. Athanasiou, S. Couris, A. Meristoudi, N. Vainos, S. Pispas, November 2007, 3 rd International Conference Micro & Nano, Athens, Greece. 6. Nonlinear optical response of hybrid block copolymer micelles encapsulating metal nanoparticles, A. Meristoudi, S. Pispas, N. Vainos, K. Iliopoulos, S. Couris, September 2007, XXIIΙ Panhellenic Conference on Solid State Physics and Material Science, Athens, Greece. 7. Third-order nonlinear optical response of metal nanoparticles, K. Iliopoulos, D. Athanasiou, S. Couris, A. Meristoudi, S. Pispas, T. Karakouz, A. Vaskevich, I. Rubinstein, July 2007, 20 th International School-Conference, Nonlinear Science and complexity, Patras, Greece.

6 8. Nonlinear optical response of hybrid block copolymer micelles encapsulating metal nanoparticles, K. Iliopoulos, D. Athanasiou, S. Couris, A. Meristoudi, S. Pispas, July 2007, 4 th International Workshop on Nanosciences & Nanotechnologies - NN07, Thessaloniki, Greece. 9. Trends in the nonlinear optical properties of fullerenes, K. Iliopoulos, E Xenogiannopoulou, P. Aloukos, S. Couris, October 2006, Advanced Laser Processing in Photonics: State-of-the-art and prospects, Heraklion, Crete, Greece. 10. Size and annealing effects on the third order nonlinear optical response of ultrathin Au island films, E. Xenogiannopoulou, K. Iliopoulos, S. Couris, T. Karakouz, A. Vaskevich, I. Rubinstein, September 2006, XXII Panhellenic Conference on Solid State Physics and Material Science, Patras, Greece. 11. Thin films of metallic nanoparticles embedded in SiO2 or TiO 2 polymer matrices, A. Meristoudi, G. Mousdis, A. Pispas, N. Vainos, K. Iliopoulos, S. Couris, September 2006, XXII Panhellenic Conference on Solid State Physics and Material Science, Patras, Greece. 12. Trends in the nonlinear optical properties of fullerenes, E. Xenogiannopoulou, P. Aloukos, K. Iliopoulos, S. Couris, 26 May 2006, COST Meeting, Materials and Systems for Optical Data Storage and Processing, Loutraki, Greece 13. Quantitative determination of glucose using Raman spectroscopy, October 2004, Laser Olympics 2004, Eugenidou foundation, Athens, Greece

7 ΜΕΛΗ ΕΠΤΑΜΕΛΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ Ν. Βάινος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Επιστήμης Υλικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Α. Γεώργας: Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Θ. Ευθυμιόπουλος: Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Α. Ζδέτσης: Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Σ. Κουρής: Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Α. Τερζής: Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Χ. Τοπρακτσιόγλου: Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών

8

9 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν κατά τη διάρκεια πραγματοποίησης της διδακτορικής μου διατριβής. Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Στέλιο Κουρή για την ανάθεση της εργασίας αυτής και τη βοήθεια που μου προσέφερε κατά τη διάρκειά της. Οι συμβουλές που μου έδινε σε οποιαδήποτε δυσκολία παρουσιαζόταν με βοήθησαν να βελτιωθώ και να κερδίσω πραγματικά πολύτιμες γνώσεις σε όλη την διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Μέσω εκτενών συζητήσεων μεταξύ μας, προσπαθώντας να συγκρίνουμε και να ερμηνεύσουμε πειραματικά αποτελέσματα, κατάφερα να κατανοήσω καλύτερα τους φυσικούς μηχανισμούς που κρύβονται πίσω από τις μετρήσεις που θα παρουσιασθούν στη διδακτορική αυτή διατριβή. Ευχαριστώ την Δρ. Ξενογιαννοπούλου Ευαγγελία με την οποία συνεργάστηκα στα πρώτα έτη των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Με τη βοήθειά της έμαθα να ανταπεξέρχομαι σε πειραματικές δυσκολίες που προκύπτουν καθημερινά. Δεν θα ξεχάσω ποτέ τις ατέλειωτες ώρες που προσπαθούσαμε να επιτύχουμε βέλτιστες συνθήκες για την διεξαγωγή των μετρήσεων, διαδικασία που με έμαθε να δίνω πάντοτε την απαραίτητη προσοχή κατά τη διάρκεια των πειραμάτων. Ευχαριστώ επίσης τον Δρ. Αλούκο Παναγιώτη, ο οποίος μου προσέφερε πολλές γνώσεις, σχετικές με τη τεχνική Z-scan και τη μη γραμμική οπτική, ιδιαίτερα χρήσιμες για εμένα κατά την πραγματοποίηση της διδακτορικής μου διατριβής. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Δρ. Πολυχρόνη Σταυρόπουλο, ο οποίος ήταν ο πρώτος συνεργάτης μου στην ομάδα. Χωρίς ποτέ να χάνει την υπομονή του και το κουράγιο του, ανταπεξερχόταν σε όλες τις δυσκολίες με επιτυχία. Με βοήθησε πραγματικά να μάθω πως πρέπει να δουλεύω μέσα σε μια ερευνητική ομάδα. Επίσης ευχαριστώ την Δρ. Μιχαλάκου Αμαλία, με την οποία συνεργαστήκαμε αρκετά τα τελευταία χρόνια και μαζί προσπαθούσαμε να λύσουμε αρκετά από τα προβλήματα που παρουσιάζονταν. Με τη συμπαράστασή της κατάφερνα να ξεπερνώ τις δυσκολίες και να κάνω ένα βήμα μπροστά. Ευχαριστώ επίσης την κ. Β. Φιλίδου. Μου έκανε εντύπωση η ικανότητα της να διεξάγει παράλληλα πειραματικές μετρήσεις καθώς και θεωρητικούς υπολογισμούς.

10 Με τη Βασιλεία μελετήσαμε μια σειρά από παράγωγα φουλλερενίων, προσπαθώντας να προσδιορίσουμε τη μη γραμμική τους απόκριση και να την συσχετίσουμε με παλιότερες μελέτες που είχαν διεξαχθεί από την ομάδα. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον συνεργάτη κ. Γ. Χατζηκυριάκο, με τον οποίο δουλέψαμε αρμονικά τα τελευταία δύο χρόνια κάνοντας μετρήσεις σε αρκετά μοριακά συστήματα, καθώς και σε συστήματα νανοσωματιδίων μετάλλων. Μαζί καταφέραμε να ερμηνεύσουμε τα αποτελέσματα καθώς και την προέλευσή τους. Ευχαριστώ επίσης τα νέα μέλη της ομάδας κ. Μ. Ακριώτη, κ. Σ. Δερλώπα, κ. Ε. Παπαγιαννούλη, κ. Μ. Χατζηπέτρου. Δείχνοντας ιδιαίτερο ζήλο τόσο κατά τη διάρκεια των πειραμάτων, όσο για να μάθουν νέα πράγματα, θεωρώ ότι είναι οι πλέον κατάλληλες για να συνεχίσουν τις μελέτες που βρίσκονται σε εξέλιξη από την ομάδα. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συνεργάτες μας, οι οποίοι πραγματοποίησαν τη σύνθεση και χαρακτηρισμό των συστημάτων που μελετήθηκαν στη παρούσα εργασία. Πιο συγκεκριμένα θα ήθελα να ευχαριστήσω την ομάδα του Καθ. Alexander Vaskevich και του Καθ. Israel Rubinstein από το Weizmann Institute of Science, Israel για τη σύνθεση των υμενίων νανο-νησίδων Au. Ευχαριστώ επίσης τους ερευνητές από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών και από το Τμήμα Επιστήμης υλικών του Πανεπιστημίου Πατρών Αν. Καθ. Ν. Βάινο, Δρ. Πίσπα, καθώς και την Α. Μεριστούδη για την σύνθεση των συστημάτων νανοσωματιδίων Au και Ag εγκλωβισμένων από συμπολυμερή καθώς και σε μήτρες ανόργανων υλικών. Επίσης ευχαριστώ την ομάδα της Δρ. Θ. Κρασιά-Χριστοφόρου από το πανεπιστήμιο Κύπρου για τη σύνθεση των συστημάτων νανοσωματιδίων Pd, καθώς και τους Καθ. Ε. Κουδουμά και Δρ. Δ. Βερνάρδου (Τ.Ε.Ι. Ηρακλείου, Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής Δομής και Λέιζερ ΙΗΔΛ) για την παρασκευή και χαρακτηρισμό των υμενίων TiO 2. Ευχαριστώ την ομάδα του Καθ. M. Prato (Univ. Of Trieste, Italy), τους Καθ. D. Bonifazi (Univ. Of Namur, Belgium), και Dr. Mateo-Alonso για την σύνθεση παραγώγων φουλλερενίων καθώς και μοριακών μηχανών. Ευχαριστώ την ομάδα του Δρ. Ν. Ταγματάρχη από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών για τη σύνθεση των διμερών φουλλερενίων, αζαφουλλερενίων καθώς και άλλων παραγώγων φουλλερενίων που η διερεύνηση της μη γραμμικής τους απόκρισης βρίσκεται αυτή τη στιγμή σε εξέλιξη από την ομάδα μας. Τα συστήματα φουλλερενίων-δενδριμερών καθώς επίσης και μερικών παραγώγων φουλλερενίων παρασκευάσθηκαν από την ομάδα του Καθ. A.

11 Hirsch στο Ινστιτούτο Οργανικής Χημείας της Νυρεμβέργης, τους οποίους επίσης ευχαριστώ. Θέλω να ευχαριστήσω τα μέλη της επταμελούς επιτροπής, για το χρόνο που αφιέρωσαν μελετώντας τη διδακτορική αυτή διατριβή καθώς και για τις παρατηρήσεις τους, που ήσαν σημαντικές για τη βελτίωση του κειμένου. Μεγάλο μέρος των πειραμάτων διεξήχθη στο ινστιτούτο ΙΤΕ-ΕΙΧΗΜΥΘ. Θα ήθελα να ευχαριστήσω το προσωπικό του Ινστιτούτου για τη τεχνική και γραμματειακή υποστήριξη που προσέφερε. Ευχαριστώ την Ελληνική Γενική Γραμματεία Έρευνας και Τεχνολογίας (ΓΓΕΤ) και την Ευρωπαϊκή Ένωση για την στήριξη αυτής της διδακτορικής διατριβής, μέσω του προγράμματος ΝΑΝΟΣΚΟΠΙΚΟΙ ΥΒΡΙΔΙΚΟΙ ΦΩΤΟΝΙΚΟΙ ΑΙΣΘΗΤΗΡΕΣ ΑΕΡΙΩΝ (ΝΥΒΡΙΦΩΣ) (Κωδικός έργου: ΠΕΝΕΔ 03ΕΔ888). Τέλος ευχαριστώ την οικογένειά μου για την υποστήριξη και συμπαράσταση που μου προσέφερε όλα αυτά τα χρόνια.

12

13 Περίληψη Η μη γραμμική οπτική είναι ο κλάδος της οπτικής ο οποίος μελετά την αλληλεπίδραση ύλης-ακτινοβολίας καθώς και τις μεταβολές που επέρχονται στις οπτικές ιδιότητες υλικών όταν αυτά αλληλεπιδρούν με ισχυρά ηλεκτρομαγνητικά πεδία. Τόσο ισχυρά ηλεκτρομαγνητικά πεδία ικανά να επάγουν τέτοιες μεταβολές είναι αυτά που αντιστοιχούν σε δέσμες λέιζερ. Η μη γραμμικότητα έγκειται στο γεγονός ότι η απόκριση των υλικών δεν εξαρτάται γραμμικά από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Υλικά με σημαντική μη γραμμική απόκριση είναι πολύ χρήσιμα για την φωτονική και οπτο-ηλεκτρονική. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως οπτικοί περιοριστές (optical limiters) για την προστασία ευαίσθητων ανιχνευτών από δέσμες λέιζερ υψηλής έντασης, καθώς και ως οπτικοί διακόπτες (optical switches), οπτικές λογικές πύλες (optical logic gates) κ.α., με απώτερο στόχο την επεξεργασία οπτικής πληροφορίας και τη κατασκευή οπτικών υπολογιστών. Στην παρούσα εργασία ερευνάται η τρίτης τάξης μη γραμμική οπτική απόκριση διαφόρων υλικών τα οποία μελετήθηκαν σε μορφή διαλυμάτων ή λεπτών υμενίων. Η δομή της εργασίας έχει ως ακολούθως: Αρχικά θα γίνει μια περιγραφή των βασικών εννοιών της μη γραμμικής οπτικής, μερικών σημαντικών φυσικών διαδικασιών που σχετίζονται με αυτή καθώς και των διαφόρων μηχανισμών που μπορούν να συνεισφέρουν στο μη γραμμικό δείκτη διάθλασης. Επίσης θα εξαχθούν οι σχέσεις που δίνουν τις επιδεκτικότητες (γραμμική και μη γραμμικές) τόσο με το κλασσικό, όσο και με το κβαντομηχανικό μοντέλο. Έπειτα θα αναφερθούν οι οπτικές παράμετροι που σχετίζονται με τη τρίτης τάξης μη γραμμικότητα, οι πειραματικές τεχνικές που χρησιμοποιήθηκαν, καθώς και η διαδικασία ανάλυσης των πειραματικών αποτελεσμάτων που ακολουθήθηκε προκειμένου να προσδιοριστούν οι μη γραμμικές οπτικές παράμετροι. Στα επόμενα κεφάλαια θα παρουσιασθούν τα πειραματικά αποτελέσματα που προέκυψαν από την εργασία αυτή. Αρχικά παρουσιάζεται η μη γραμμική οπτική απόκριση νανοδομών Au, Pd και Αg. Σε αρκετά από τα συστήματα αυτά τα νανοσωματίδια εγκλωβίζονται μέσα σε μήτρες πολυμερικών υλικών. Με τη βοήθεια των πολυμερών αποτρέπεται η συσσωμάτωση και καθίζηση του μετάλλου και επιτυγχάνεται η δημιουργία μεταλλικών νανοσωματιδίων συγκεκριμένων διαστάσεων

14 με σχετικά μικρή διασπορά γύρω από τη μέση τιμή, τα οποία περιβάλλονται από διηλεκτρικό. Στόχος της μελέτης δεν είναι μόνο ο προσδιορισμός της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης αλλά και η διερεύνηση της επίδρασης διαφόρων παραμέτρων, όπως του μεγέθους των νανοσωματιδίων, της συγκέντρωσης του μετάλλου, την αναλογία πολυμερούς/ μετάλλου, της θέσης του συντονισμού επιφανειακού πλασμονίου (SPR) κ.α., σε αυτή. Στο κεφάλαιο 5 μελετάται η μη γραμμικότητα υμενίων TiΟ 2 πάνω σε γυάλινα υποστρώματα. Ο χρόνος εναπόθεσης φάνηκε να επηρεάζει έντονα τη δομή του TiO 2. Συγκεκριμένα, ανάλογα με το χρόνο εναπόθεσης τα υμένια εμφάνιζαν κρυσταλλική δομή ανατάση ή ρουτηλίου. Όπως αποδείχθηκε από τις μετρήσεις που διεξήχθησαν η δομή, καθώς και ο χρόνος εναπόθεσης επηρέαζαν έντονα τη μη γραμμική οπτική απόκριση. Έπειτα, στο κεφάλαιο 6, παρουσιάζονται μελέτες που αφορούν σε παράγωγα φουλλερενίων. Τα φουλερένια γενικώς παρουσιάζουν ιδιαίτερα αυξημένη μη γραμμικότητα εξαιτίας του απεντοπισμένου νέφους π-ηλεκτρονίων. Στην εργασία αυτή μελετάται η μη γραμμική οπτική απόκριση κατάλληλα χημικά τροποποιημένων παραγώγων φουλλερενίων. Η χημική τροποποίηση οδηγεί σε αρκετές περιπτώσεις σε μεταφορά φορτίου από την προστιθέμενη ομάδα προς το φουλλερένιο με αποτέλεσμα την αύξηση της μη γραμμικότητάς τους, ενώ σε άλλες σε μεταβολή των χημικών ή φωτοχημικών ιδιοτήτων σε σχέση με αυτές των απλών φουλλερενίων έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συγκεκριμένες εφαρμογές. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας αυτής μελετώνται συστήματα μοριακών μηχανών (molecular engines), στα οποία ένα κινητό μέρος (μακρόκυκλος) μπορεί να μετακινείται μεταξύ δύο μοριακών σταθμών (molecular stations). Η μη γραμμική οπτική απόκριση των μορίων αυτών μελετήθηκε ξεχωριστά στις διαφορετικές τους καταστάσεις. Παρατηρήθηκε πολύ μεγάλη μεταβολή της μη γραμμικότητας κατά τη κίνηση του μακρόκυκλου γεγονός που καθιστά τα συστήματα αυτά πολύτιμα για φωτονικές εφαρμογές.

15 Abstract Nonlinear optics is related with laser-matter interactions, as well as with the changes which are induced on the materials during their interaction with intense laser fields. Laser beams can provide strong enough electromagnetic fields, capable of inducing such optical changes. In these cases the response of the material is not linearly dependent on the intensity of the electric field. Materials with high nonlinearities are very useful for applications related with photonics and optoelectronics. In particular, they can be used as optical limiters, protecting sensitive devices from high intensity laser beams. Moreover they can be used as optical logic gates, optical switches etc., and in this way they are promising candidates for optical data processing and optical computing. In this work the third order nonlinear optical response of several photonic materials, has been investigated. These materials were in the form of solutions, colloids or thin films. The structure of this thesis is as follows: Initially some basic concepts of nonlinear optics, the physical processes related with it, as well as the physical mechanisms related to the nonlinear refractive index will be presented. Moreover the equations, which describe the nonlinear optical susceptibilities (linear and nonlinear) will be derived according to the classical and quantum mechanical model. Then reference will be made to the optical parameters related to the third order optical nonlinearity, and to the experimental techniques which were employed for the determination of the nonlinearity, as well as to the procedure followed to derive the nonlinear optical parameters from the acquired experimental data. Then, the experimental results of this work will be presented. The nonlinear optical response of Au, Pd and Ag nanostructures is presented in chapters 3 and 4. In several of these systems the nanoparticles are encapsulated by polymer matrices. By using polymers, formation of nanoparticles exhibiting specific sizes can be achieved. Furthermore the polymer does not allow metal aggregation in the system. The target of the investigation was not only the determination of the nonlinear optical parameters, but also the investigation of the influence of several parameters, as the nanoparticle size, the metal concentration, the polymer/metal ratio, the Surface Plasmon Resonance (SPR) position, on the response.

16 In chapter 5 the nonlinearity of TiO 2 on glass substrates is investigated. The deposition time plays important role on the structure of TiO 2. In particular, depending on the deposition time the films exhibited anatase or rutile structure. From the measurements which were carried out on these films, has been shown that the deposition time strongly influenced the nonlinearity. Then, in chapter 6, several chemically modified fullerene derivatives are investigated. Fullerenes are well known to exhibit increased nonlinearity due to the highly delocalized π-electron cloud. The chemical modification results in several cases to charge transfer from the added chemical groups to the fullerene cage, increasing in this way the nonlinearity of the system, while in other cases to changes in chemical or photochemical properties of the system compared to those of pristine fullerenes, enabling in this way the utilization of the systems to specific applications. In the last part of this work molecular engine systems have been investigated. In these systems a mobile part (macrocycle) is able to move between two different molecular stations. The nonlinear optical response has been individually determined in the different molecule conformations. The macrocycle movement has been found to be followed by a significant change of the response of the system. This fact makes these molecular engines very promising candidates for photonic applications.

17 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1: Στοιχεία μη γραμμικής οπτικής Βασικές έννοιες Νόμος Lorentz-Lorenz Η κυματική εξίσωση στη περίπτωση της μη γραμμικής οπτικής Μη γραμμικά φαινόμενα Γένεση δεύτερης αρμονικής Γένεση αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων Κορέσιμη και ανάστροφα κορέσιμη απορρόφηση Οπτικός περιορισμός (Optical Limiting) Αυτό-εστίαση και αυτό-από-εστίαση Ηλεκτροοπτικό Φαινόμενο Φαινόμενο Pockels Φαινόμενο Kerr/ Οπτικό φαινόμενο Kerr Υπολογισμός επιδεκτικοτήτων μέσω του κλασικού μοντέλου Υπολογισμός επιδεκτικοτήτων μέσω νόμων της κβαντομηχανικής Μη γραμμικός δείκτης διάθλασης Συμβάσεις για τον μη γραμμικό δείκτη διάθλασης Μηχανισμοί που συνεισφέρουν στον μη γραμμικό δείκτη διάθλασης 32 Κεφάλαιο 2: Πειραματικές τεχνικές Διάταξη Οπτικού Φαινομένου Kerr (Optical Kerr Effect) Ανάλυση πειραματικών δεδομένων OKE Η τεχνική Z-scan Closed aperture Z-scan Open aperture Z-scan Divided Z-scan Ανάλυση πειραματικών δεδομένων της τεχνικής Z-scan 52

18 2.4.1 Προσδιορισμός της μη γραμμικής διάθλασης Προσδιορισμός της μη γραμμικής απορρόφησης Τεχνική Z-scan με top-hat δέσμες Συστήματα λέιζερ 60 Κεφάλαιο 3: Μελέτη μη γραμμικής οπτικής απόκρισης νανοδομών Au 3.1 Εισαγωγή Προέλευση της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης των μετάλλων/μεταλλικών νανοσωματιδίων Η συνεισφορά intraband Η interband συνεισφορά Η συνεισφορά hot electron Πειραματικά Αποτελέσματα Μελέτη υμενίων νησίδων νανοσωματιδίων Au με την τεχνική Z-scan Μελέτη της επίδρασης οργανικών διαλυτών στη μη γραμμική απόκριση των υμενίων νησίδων νανοσωματιδίων Au Μελέτη συστημάτων νανοσωματιδίων Au σε μήτρες πολυμερών κατά συστάδες (block copolymers) 90 Κεφάλαιο 4: Μελέτη της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης νανοδομών Pd, Ag Σύνθεση και χαρακτηρισμός συστημάτων plauma-b-paema/pd Μη γραμμική οπτική απόκριση των συστημάτων plauma-b-paema/pd(0) Μελέτη συστημάτων νανοσωματιδίων Ag σε μήτρες πολυμερών κατά συστάδες (block copolymers) 113 Κεφάλαιο 5 Μη γραμμική οπτική απόκριση υμενίων TiO Εισαγωγή Χαρακτηρισμοί των υμενίων και μη γραμμικές οπτικές ιδιότητες 126

19 5.3 Σχολιασμός Αποτελεσμάτων 131 Κεφάλαιο 6 Πειραματικά αποτελέσματα παραγώγων φουλλερενίων Εισαγωγή Μη γραμμική οπτική απόκριση παραγώγων φουλλερενίων-δενδριμερών Μελέτη συστημάτων δότη-δέκτη (donor-acceptor) ηλεκτρονίων Μελέτη μη γραμμικής οπτικής απόκρισης του διμερούς C Κεφάλαιο 7 Μελέτη της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης συστημάτων rotaxanes 165

20

21 Κεφάλαιο 1 Στοιχεία μη γραμμικής οπτικής Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιασθούν κάποιες από τις βασικές έννοιες της μη γραμμικής οπτικής, όπως επίσης και οι μη γραμμικές οπτικές παράμετροι που σχετίζονται με τη μη γραμμική οπτική απόκριση και ο προσδιορισμός των οποίων γίνεται στην εργασία αυτή. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η διαδικασία εύρεσης των σχέσεων που δίνουν την γραμμική και τις μη γραμμικές επιδεκτικότητες σύμφωνα με την κλασσική καθώς και την κβαντομηχανική περιγραφή. Στο τελευταίο μέρος του κεφαλαίου γίνεται αναφορά στο μη γραμμικό δείκτη διάθλασης, στους φυσικούς μηχανισμούς που συνεισφέρουν σε αυτόν καθώς και στους αντίστοιχους χαρακτηριστικούς χρόνους. Σε όλα τα παραπάνω γίνεται απλώς σύντομη αναφορά καθώς εκτενείς περιγραφές μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία ([1]-[5]). 1.1 Βασικές έννοιες Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή η μη γραμμική οπτική εξετάζει την απόκριση υλικών και την αλληλεπίδραση ύλης-ακτινοβολίας υπό την επίδραση ισχυρών ηλεκτρικών πεδίων. Υπό ασθενή ηλεκτρικά πεδία, σύμφωνα με τη γραμμική οπτική η πόλωση που επάγεται σε κάποιο υλικό είναι ανάλογη του ηλεκτρικού πεδίου που εφαρμόζεται σε αυτό. Δηλαδή η πόλωση δίνεται από τη σχέση: (1) Pt () = χ Et (), (1.1) (1) όπου χ είναι η γραμμική επιδεκτικότητα. Στη μη γραμμική οπτική λόγω των πολύ ισχυρών ηλεκτρικών πεδίων εμφανίζονται και όροι ανωτέρας τάξεως στη σχέση (1.1) και έτσι η πόλωση δίνεται ως ανάπτυγμα σε δυνάμεις του ηλεκτρικού πεδίου: (1) (2) 2 (3) 3 (1) (2) (3) P() t = χ E() t + χ E () t + χ E () t +... = P () t + P () t + P () t +.. (1.2) όπου (1) χ είναι η γραμμική επιδεκτικότητα (2) χ, (3) χ είναι οι μη γραμμικές επιδεκτικότητες δεύτερης και τρίτης τάξης αντίστοιχα. Ο όρος P (2) () t είναι η μη γραμμική πόλωση δεύτερης τάξης και ο P (3) () t η μη γραμμική πόλωση τρίτης τάξης. Ο δεύτερος όρος στο ανάπτυγμα (1.2) δεν υπάρχει στη περίπτωση 1

22 κεντροσυμμετρικών υλικών (υλικά που παρουσιάζουν συμμετρία αναστροφής όπως υγρά και αέρια). Αυτό συμβαίνει γιατί στη περίπτωση κεντροσυμμετρικών υλικών η δυναμική συνάρτηση που αντιστοιχεί στη δύναμη επαναφοράς που δρα πάνω στο ηλεκτρόνιο (όπως θα φανεί στη παράγραφο 1.5) πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση U(x)=U(-x). Το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μην επιτρέπονται μη γραμμικές αλληλεπιδράσεις δεύτερης τάξης (βλ. π.χ. [1]). Σε περίπτωση βέβαια που δεν υπάρχει συμμετρία αναστροφής όχι μόνο υπάρχει ο δεύτερος όρος, αλλά είναι και ο κυρίαρχος των μη γραμμικών όρων στο ανάπτυγμα. Σε όλα τα πειραματικά αποτελέσματα που θα παρουσιασθούν στην εργασία αυτή τα υλικά που μελετήθηκαν παρουσιάζουν συμμετρία αναστροφής με αποτέλεσμα να υπάρχει συνεισφορά μόνο από τον όρο που αντιστοιχεί σε μη γραμμικότητα τρίτης τάξης. Η γραμμική επιδεκτικότητα χ (1) καθώς και οι μη γραμμικές επιδεκτικότητες χ (2) και χ (3) είναι εν γένει μιγαδικοί αριθμοί. Συγκεκριμένα το πραγματικό και φανταστικό μέρος της γραμμικής επιδεκτικότητας συνδέονται με το γραμμικό δείκτη διάθλασης (n 0 ) και με το συντελεστή γραμμικής απορρόφησης του υλικού (α 0 ) αντίστοιχα. Ομοίως το πραγματικό και φανταστικό μέρος της μη γραμμικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης είναι ανάλογα του μη γραμμικού δείκτη διάθλασης (n 2 ), και συντελεστή απορρόφησης (β) αντίστοιχα. Ο ορισμός των τελευταίων ποσοτήτων, καθώς και η συσχέτιση τους με τη μη γραμμική επιδεκτικότητα, θα γίνει σε επόμενη παράγραφο. Στη πραγματικότητα η σωστή αναπαράσταση των μη γραμμικών επιδεκτικοτήτων απαιτεί τη χρήση τανυστών. Κατά την αναπαράσταση αυτή η γραμμική επιδεκτικότητα επιδεκτικότητα (1) χ είναι τανυστής δεύτερης τάξης, η μη γραμμική (2) χ είναι τανυστής τρίτης τάξης και η (3) χ είναι τανυστής τέταρτης τάξης. Τα στοιχεία των τανυστών αυτών είναι οι συντελεστές αναλογίας μεταξύ του πλάτους της πόλωσης και του γινομένου των πλατών των ηλεκτρικών πεδίων που προκαλούν τη πόλωση. Έτσι για την ( ) (2) χ έχουμε: ( 2 ) (,, ) ( ) ( ), (1.3) P ω + ω = χ ω + ω ω ω E ω E ω i n m ijk n m n m j n k m jk ( nm) όπου οι δείκτες i, j, k αναφέρονται στις καρτεσιανές συνιστώσες των πεδίων. Στη παραπάνω σχέση θεωρήθηκε ότι τα δύο ηλεκτρικά πεδία έχουν διαφορετικές συχνότητες ω, ω. Ο συμβολισμός (nm) μας δείχνει ότι κατά την άθροιση πάνω στα n m n, m το άθροισμα ω n + ω m πρέπει να μένει σταθερό. 2

23 Γενικεύοντας τη σχέση (1.3) προκύπτει παρόμοια σχέση για τη μη γραμμική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης: ( 3 ( + + ) = ) ( + +,,, ) ( nmp) ( ) ( ) ( ) P ω ω ω χ ω ω ω ω ω ω E ω E ω E ω (1.4) i p n m ijkl p n m p n m j p k n l m jkl Ο τανυστής ο οποίος περιγράφει τη μη γραμμική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης αποτελείται από στοιχεία τα οποία αποτελούν όλους του δυνατούς συνδυασμούς των τεσσάρων ηλεκτρικών πεδίων στις τρεις χωρικές συντεταγμένες. Συνολικά λοιπόν ο 4 τανυστής αυτός θα περιέχει 3 = 81 στοιχεία. Τα στοιχεία αυτά διέπονται από αρκετές σχέσεις συμμετρίας οι οποίες δεν θα αναφερθούν στην εργασία αυτή, αλλά μπορούν να βρεθούν αλλού (βλ. π.χ. [1], [2]). Εξαιτίας των σχέσεων αυτών κάποια στοιχεία του τανυστή (ανάλογα με το υλικό) μηδενίζονται. Ως παράδειγμα θα αναφερθεί η περίπτωση ισότροπων υλικών (που θα μας απασχολήσει και στην εργασία αυτή) κατά την οποία απομένουν μόνο τρία μη μηδενικά στοιχεία. Αυτά είναι τα χ1111, χ1122, χ 1221 τα οποία επιπλέον συνδέονται μεταξύ τους μέσω της σχέσης (βλ. [6] σελ. 262): ( 3) ( 3) ( 3) χ = 2χ + χ (1.5) Όπως προαναφέρθηκε, όταν εφαρμόσουμε ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο η πόλωση ως ανάπτυγμα σε δυνάμεις του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από τη σχέση (1.2). Αυτό συμβαίνει αν το υλικό εξετασθεί σε μακροσκοπικό επίπεδο. Αν θέλουμε να μεταβούμε στη μικροσκοπική κλίμακα αντί για την πόλωση θα πρέπει να εξετασθεί η διπολική ροπή η οποία αναφέρεται σε ένα μόνο μόριο. Η πόλωση συνδέεται με τη διπολική ροπή μέσω της σχέσης: P= Np όπου N είναι ο αριθμός μορίων ανά μονάδα όγκου. Όπως εύκολα γίνεται κατανοητό η πόλωση είναι η διπολική ροπή ανά μονάδα όγκου. Το αντίστοιχο ανάπτυγμα για τη διπολική ροπή είναι το: p = αe + β E + γ E +... (1.6) 2 3 loc loc loc Τη θέση όπως βλέπουμε του ηλεκτρικού πεδίου παίρνει το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο που είναι ουσιαστικά ένα ενεργό ηλεκτρικό πεδίο που αισθάνεται κάθε μόριο. Δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή ενός μορίου που δημιουργείται από όλα τα μόρια του υλικού εκτός από αυτό που εξετάζουμε. Τα δύο πεδία συνδέονται μεταξύ τους μέσω της σχέσης: Eloc = LE, (1.7) 3

24 όπου L είναι ένας συντελεστής που λέγεται συντελεστής διόρθωσης τοπικού πεδίου (local field correction factor) και ο οποίος δίνεται από τη σχέση: 2 ( n0 + 2) L = (1.8) 3 Ο συντελεστής διόρθωσης τοπικού πεδίου προκύπτει από τον νόμο Lorentz-Lorenz ο οποίος παρουσιάζεται στην επόμενη παράγραφο. Επίσης τη θέση της γραμμικής επιδεκτικότητας (1) χ, στο ανάπτυγμα (1.6) παίρνει η πολωσιμότητα α. Η μη γραμμική επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης αντικαθίσταται από την υπερπολωσιμότητα πρώτης τάξης (β) και η μη γραμμική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης από την υπερπολωσιμότητα δεύτερης τάξης (γ). Στα πειραματικά αποτελέσματα της εργασίας αυτής που αφορούν σε μοριακά συστήματα θα γίνεται πάντοτε ο υπολογισμός της υπερπολωσιμότητας δεύτερης τάξης και αυτό διότι η τελευταία δεν εξαρτάται από την συγκέντρωση του διαλύματος που μελετάται αλλά αντίθετα είναι χαρακτηριστική φυσική παράμετρος του συγκεκριμένου μοριακού συστήματος. Έτσι ο υπολογισμός του γ έχει πολύ μεγάλο ενδιαφέρον καθώς κάνει πολύ πιο εύκολη την σύγκριση μεταξύ της μη γραμμικής οπτικής απόκρισης διαφορετικών μοριακών συστημάτων. Ο υπολογισμός της υπερπολωσιμότητας δεύτερης τάξης από την μη γραμμική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης γίνεται μέσω της σχέσης: χ γ =, (1.9) 4 NL όπου N είναι ο αριθμός μορίων στη μονάδα του όγκου (number density) και L ο συντελεστής διόρθωσης τοπικού πεδίου. ( 3) 1.2 Νόμος Lorentz-Lorenz Όπως φάνηκε και στη προηγούμενη παράγραφο κατά τη μετάβαση από τη μακροσκοπική κλίμακα (πόλωση) στη μικροσκοπική (διπολική ροπή) δεν είναι σωστό να χρησιμοποιηθεί το ίδιο ηλεκτρικό πεδίο. Ορίστηκε για αυτό το λόγο το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο μέσω της σχέσης: E loc E loc το οποίο συνδέεται με το συνηθισμένο ηλεκτρικό πεδίο = LE. Στη περίπτωση της γραμμικής οπτικής και σύμφωνα με τη σχέση (1.1) ισχύει: 4

25 Επιπλέον ισχύει ότι: ( 1) P= χ E P= Np (1.10) (1.11) Η τελευταία σχέση μας δείχνει ότι η πόλωση δίνεται ως το γινόμενο της διπολικής ροπής με την πυκνότητα μορίων. Αν δεν ληφθούν υπόψη διορθώσεις τοπικού πεδίου μπορεί να γραφεί ότι: p= ae (1.12) Από τις σχέσεις (1.10),(1.11),(1.12) προκύπτει: ( 1) χ = Na (1.13) Στις σχέσεις (1.10), (1.12) το ηλεκτρικό πεδίο είναι το συνολικό μακροσκοπικό ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό είναι σωστό στη περίπτωση της σχέσης (1.10). Από την άλλη μεριά, η πολωσιμότητα ορίζεται για ένα συγκεκριμένο άτομο επομένως δεν είναι εντελώς σωστό να χρησιμοποιηθεί το ίδιο ηλεκτρικό πεδίο και στη περίπτωση της σχέσης (1.12). Στη περίπτωση αυτή το μακροσκοπικό ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να αντικατασταθεί από ένα άλλο το οποίο θα δημιουργείται από όλα τα άτομα εκτός από αυτό που εξετάζεται. Στο σημείο αυτό θα θεωρηθεί ότι ο όγκος που αντιστοιχεί σε κάθε άτομο στο υλικό είναι μια σφαίρα ακτίνας R (βλ. εικόνα 1-1) και ότι το άτομο βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας αυτής. Το συνολικό μακροσκοπικό ηλεκτρικό πεδίο θα δίνεται ως το άθροισμα του ηλεκτρικού πεδίου στη περιοχή του όγκου της σφαίρας εξαιτίας του υπό μελέτη ατόμου και του ηλεκτρικού πεδίου που προκύπτει στη περιοχή του ίδιου όγκου εξαιτίας όλων των άλλων ατόμων του υλικού. Δηλαδή θα ισχύει: E = E + E atom others (1.14) Όπως εύκολα γίνεται κατανοητό από τα προηγούμενα το ηλεκτρικό πεδίο που θα E P E loc atom R Εικόνα 1-1: Τοπικό ηλεκτρικό πεδίο. 5

26 πρέπει να εμφανίζεται στη σχέση (1.12) είναι το E others. Το E others όμως σύμφωνα με αυτά που αναφέρθηκαν είναι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο που μας ενδιαφέρει δηλαδή το E loc. Αποδεικνύεται σε πολλά βιβλία ηλεκτρομαγνητισμού (βλ. π.χ. [7],[8]) ότι αυτό δίνεται από τη σχέση: 4 Eloc = E+ π P (1.15) 3 Με τη βοήθεια της σχέσης (1.11) και της (1.12) (όπου στη τελευταία το μακροσκοπικό ηλεκτρικό πεδίο έχει αντικατασταθεί από το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο) προκύπτει: 4 P = Na E + π P (1.16) 3 Λύνοντας τη τελευταία ως προς P και συγκρίνοντάς τη με τη σχέση (1.10) προκύπτει ότι: χ ( 1) = 4 1 NaNa π 3 (1.17) Χρησιμοποιώντας τη σχέση ε ( 1) ( 1) = 1+ 4πχ (1.18) έχουμε: ε ε ( 1) ( 1) 1 4 = π Na (1.19) Η τελευταία σχέση αυτή αποτελεί το νόμο Lorentz-Lorenz. Μπορεί δε να γραφεί και στη μορφή ( 1) ε = π Na 3 Με τη βοήθεια της τελευταίας η (1.17) γράφεται: χ ( ) ( 1) 1 ε 2 (1.20) + = Na (1.21) 3 Συγκρίνοντας τη (1.21) με τη (1.13) παρατηρούμε ότι η γραμμική επιδεκτικόπτητα διαφέρει κατά ένα πολλαπλασιαστικό παράγοντα ο συντελεστής διόρθωσης τοπικού πεδίου. ( 1) ε + 2. Ο παράγοντας αυτός είναι 3 6

27 1.3 Η κυματική εξίσωση στη περίπτωση της μη γραμμικής οπτικής Όπως φάνηκε και στις προηγούμενες παραγράφους η μη γραμμική πόλωση οδηγεί στη δημιουργία νέων συχνοτήτων που δεν υπάρχουν αρχικά. Για παράδειγμα στη σχέση (1.4) γίνεται φανερό ότι ενώ αρχικά υπήρχαν οι συχνότητες ωp, ωn, ω m τελικά προέκυψε μια νέα συχνότητα ω = ωp + ωn + ωm. Στη παράγραφο αυτή θα εξαχθεί η κυματική εξίσωση για μη γραμμικά υλικά, μέσω της οποίας μπορεί να περιγραφεί η γένεση αυτών των νέων συχνοτήτων. Η εξαγωγή της μη γραμμικής κυματικής εξίσωσης θα ξεκινήσει από τις εξισώσεις του Maxwell οι οποίες στο γκαουσσιανό σύστημα μονάδων γράφονται ως εξής : D = 4πρ (1.22) B = 0 (1.23) 1 B E = (1.24) c t 1 D 4π H = + J (1.25) c t c Η λύση των εξισώσεων αυτών έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον σε περιοχές του χώρου που δεν περιέχουν ελεύθερα φορτία ή ρεύματα δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: ρ = 0 (1.26) J = 0 (1.27) Επιπλέον θα θεωρηθεί ότι το υλικό είναι μη μαγνητικό δηλαδή ότι B= H (1.28) Επίσης ισχύει: D= E+ 4π P, (1.29) όπου με D στη παραπάνω σχέση συμβολίζεται το διάνυσμα μετατόπισης και P ως γνωστό είναι το διάνυσμα της πόλωσης. Αν θεωρήσουμε το υλικό μη γραμμικό, όπως άλλωστε έχει προαναφερθεί, η πόλωση θα εξαρτάται μη γραμμικά από το ηλεκτρικό πεδίο E. Αν πάρουμε το στροβιλισμό και στα δύο μέλη της εξίσωσης (1.24) και χρησιμοποιήσουμε επιπλέον τις σχέσεις (1.25), (1.27), (1.28) καταλήγουμε στη σχέση: 7

28 2 1 E+ D= c t Αντικαθιστώντας τώρα τη σχέση (1.29) στη τελευταία προκύπτει: π P E+ E = c t c t (1.30) (1.31) Με τη βοήθεια της διανυσματικής ανάλυσης ο πρώτος όρος του αριστερού μέλους μπορεί να γραφεί: E = E E (1.32) ( ) 2 Στη γραμμική οπτική, στη περίπτωση ισότροπων υλικών, απουσία ελεύθερων φορτίων ο πρώτος όρος στο δεξί μέλος της σχέσης (1.32) μηδενίζεται, λόγω της σχέσης (1.22) του Maxwell. Αντίθετα, στη μη γραμμική οπτική, εν γένει, ο όρος αυτός δεν είναι μηδενικός. Παρόλα αυτά ακόμα και σε αυτή τη περίπτωση μπορεί να αγνοηθεί, διότι είναι αμελητέος. Είναι καλύτερο στο σημείο αυτό να διαχωριστούν το γραμμικό από το μη γραμμικό μέρος της πόλωσης δηλαδή αυτή να γραφεί ως εξής: ( 1) NL P= P + P, (1.33) ( 1) όπου με P συμβολίζεται η γραμμική πόλωση. Ομοίως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1.29), (1.33) μπορεί και το διάνυσμα μετατόπισης να χωριστεί σε δύο μέρη (εκ των οποίων το ένα γραμμικό και το άλλο μη γραμμικό) και να γραφεί ως: ( 1) NL D= D + 4π P, (1.34) όπου: D = E+ 4π P ( 1) ( 1) (1.35) Με χρήση των παραπάνω η κυματική εξίσωση (1.31) μπορεί να γραφεί: 2 ( 1 ) 2 NL 1 D 4π P E + = (1.36) c 2 t 2 c 2 t 2 Με τη βοήθεια της μη γραμμικής κυματικής εξίσωσης μπορούν να περιγραφούν πολλές μη γραμμικές αλληλεπιδράσεις. Η διαδικασία γένεσης δεύτερης αρμονικής, η γένεση αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων για παράδειγμα είναι μη γραμμικές αλληλεπιδράσεις που μπορούν να περιγραφούν με τον τρόπο αυτό. Η πλήρης περιγραφή αυτών των φαινομένων, βάσει της μη γραμμικής κυματικής εξίσωσης, ξεφεύγει από τους σκοπούς της εργασίας αυτής, αλλά υπάρχει αναλυτικά στη βιβλιογραφία (βλ. [1],[2]). Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια σύντομη περιγραφή μερικών πολύ σημαντικών μη γραμμικών φαινομένων. 8

29 1.4 Μη γραμμικά φαινόμενα Γένεση δεύτερης αρμονικής Η διαδικασία γένεσης δεύτερης αρμονικής φαίνεται στην αναπαράσταση ενεργειακών επιπέδων της εικόνας 1-2. Η διαδικασία αυτή είναι πάρα πολύ σημαντική διότι κατά την διέλευση δέσμης λέιζερ από κατάλληλο μη γραμμικό υλικό επέρχεται διπλασιασμός της συχνότητας. Έτσι από δύο φωτόνια συχνότητας ω δημιουργείται ένα συχνότητας 2ω. Ας θεωρήσουμε ότι δέσμη λέιζερ, το ηλεκτρικό πεδίο της οποίας περιγράφεται από τη σχέση: Εικόνα 1-2: Περιγραφή της διαδικασίας γένεσης δεύτερης αρμονικής με ενεργειακά διαγράμματα. E t Ee cc iωt ( ) = +. (1.37) προσπίπτει σε κρύσταλλο του οποίου η μη γραμμική επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης ( 2) χ είναι μη μηδενική. Η μη γραμμική πόλωση δεύτερης τάξης όπως φάνηκε και στα προηγούμενα δίνεται από τη σχέση: P 2 t ( ) = χ E 2 t ( ) ( ) Με αντικατάσταση της σχέσης (1.37) στη τελευταία προκύπτει: 2 ( 2) ( 2) 2 2iωt P t = 2 χ EE + χ E e + c. c ( ) ( ) ( ) ( ) (1.38) (1.39) 9

30 Ο πρώτος όρος στο δεξί μέλος της τελευταίας σχέσης είναι ανεξάρτητος της συχνότητας, ενώ ο δεύτερος όρος δίνει συνεισφορά η οποία αντιστοιχεί σε συχνότητα 2ω. Η δεύτερη συνεισφορά οδηγεί στη γένεση της δεύτερης αρμονικής. Η μη γραμμική επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης, όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα είναι τανυστής, επομένως μπορεί να γραφεί για την πόλωση η παρακάτω σχέση: ( 2 P ( ) ) i ω3 = χijk ( ω3, ω1, ω1) Εj ( ω1) Εk ( ω1) (1.40) jk Όπως γίνεται φανερό η αρχική συχνότητα είναι η ω 1, ενώ η συχνότητα που δημιουργείται είναι η διπλάσια της αρχικής δηλαδή ω3 = 2ω1. Μια από τις σημαντικότερες εφαρμογές της γένεσης δεύτερης αρμονικής είναι ο υποδιπλασιασμός του μήκους κύματος δεσμών λέιζερ. Ένα κλασικό παράδειγμα αποτελούν τα λέιζερ Nd:YAG, όπως αυτά που χρησιμοποιήθηκαν στο πειραματικό μέρος της εργασίας αυτής, τα οποία εκπέμπουν στα 1064 nm. Με τη βοήθεια της γένεσης δεύτερης αρμονικής το μήκος κύματος της εξόδου του λέιζερ μπορεί να μετατραπεί σε 532 nm Γένεση αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων Οι διαδικασίες γένεσης αθροίσματος και διαφοράς συχνοτήτων φαίνονται στις εικόνες 1-3, 1-4 αντίστοιχα. Θεωρώντας ότι οι αρχικές συχνότητες είναι ω1, ω 2 και ότι, στη περίπτωση της γένεσης αθροίσματος συχνοτήτων, η τελική συχνότητα είναι ω3 = ω1+ ω2, από τη σχέση (1.3) και αθροίζοντας πάνω στα (n,m) όπως φαίνεται στη σχέση αυτή προκύπτει: ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) P ω = [ χ ω, ω, ω E ω E ω i 3 ijk j 1 k 2 jk ( 2 ) ( ) E ( ) E ( ) + χ ω ω, ω ω ω ] ijk 3, 2 1 j 2 k 1 (1.41) Στο σημείο αυτό και χρησιμοποιώντας την παρακάτω σχέση συμμετρίας την οποία ικανοποιεί η μη γραμμική επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ijk m n, m, n ikj m n, n, m χ ω + ω ω ω = χ ω + ω ω ω (1.42) προκύπτει ότι: ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) P ω = 2 χ ω, ω, ω E ω E ω (1.43) i 3 ijk j 1 k 2 jk 10

31 Παρόμοια σχέση προκύπτει και στη περίπτωση της διαφοράς συχνοτήτων μόνο που Εικόνα 1-3: Περιγραφή της διαδικασίας γένεσης αθροίσματος συχνοτήτων με ενεργειακά διαγράμματα. σε αυτή τη περίπτωση τελική συχνότητα θα είναι η ω3 = ω2 ω1. Όπως εύκολα μπορεί να γίνει αντιληπτό η γένεση της δεύτερης αρμονικής είναι ειδική περίπτωση της γένεσης αθροίσματος συχνοτήτων. Συγκεκριμένα η περίπτωση της γένεσης δεύτερης αρμονικής προκύπτει από τη γένεση αθροίσματος συχνοτήτων αν οι δύο αρχικές συχνότητες θεωρηθούν ίσες. Προφανώς η γένεση αθροίσματος και η γένεση διαφοράς συχνοτήτων είναι μη Εικόνα 1-4: Περιγραφή γένεσης διαφοράς συχνοτήτων με τη βοήθεια ενεργειακών διαγραμμάτων. 11

32 γραμμικές διαδικασίες δεύτερης τάξης για αυτό το λόγο δεν αναμένεται να εμφανίζονται σε κεντροσυμμετρικά υλικά Κορέσιμη και ανάστροφα κορέσιμη απορρόφηση Όταν σε ένα υλικό προσπίπτει δέσμη λέιζερ υψηλής έντασης ο συντελεστής απορρόφησης του υλικού παύει να είναι γραμμικός. Συγκεκριμένα στη περίπτωση αυτή δίνεται από τη σχέση: α = α0 + βi (1.44) όπου με α 0 και β συμβολίζονται ο συντελεστής γραμμικής και μη γραμμικής απορρόφησης αντίστοιχα. Υλικά που δεν παρουσιάζουν σταθερή απορρόφηση αλλά αυτή διαφοροποιείται με μεταβολή της έντασης της ακτινοβολίας που διέρχεται από μέσα τους ονομάζονται μη γραμμικοί απορροφητές. Όπως έχει ήδη αναφερθεί ο συντελεστής μη γραμμικής απορρόφησης συνδέεται με το φανταστικό μέρος της μη γραμμικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης. Τα δύο αυτά φυσικά μεγέθη συνδέονται με τη σχέση (βλ. [9]): Im χ ( ) ( esu) 10 c n β =, (1.45) 96π ω όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός σε cm/sec, n 0 ο γραμμικός δείκτης διάθλασης, β ο συντελεστής μη γραμμικής απορρόφησης σε cm/w και ω η κυκλική συχνότητα σε 1 sec. Οι μη γραμμικοί απορροφητές μπορεί να παρουσιάζουν συμπεριφορά κορέσιμου απορροφητή (saturable absorber) ή ανάστροφα κορέσιμου απορροφητή (reverse saturable absorber). Στη πρώτη περίπτωση παρουσιάζεται αύξηση της διαπερατότητας της δέσμης λέιζερ μέσα από το υλικό σε μεγάλες εντάσεις της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, ενώ αντίθετα στη δεύτερη παρουσιάζεται μείωση της διαπερατότητας σε μεγάλες εντάσεις. Κατά σύμβαση, το β θεωρείται αρνητικό στην περίπτωση των κορέσιμων απορροφητών και θετικό στην περίπτωση των ανάστροφα κορέσιμων απορροφητών. Η μη γραμμική απορρόφηση μπορεί να εξηγηθεί ικανοποιητικά με τη βοήθεια ενός συστήματος πέντε επιπέδων όπως αυτό που φαίνεται στο διάγραμμα της εικόνας 1-5 (βλ. σελ 607 αναφοράς [2]). Στην περίπτωση που η προσπίπτουσα ένταση είναι αρκετή, τότε σημαντικός αριθμός ηλεκτρονίων μεταφέρεται στην διεγερμένη 12

33 ηλεκτρονική κατάσταση (S 1 ). Προτού τα ηλεκτρόνια αποδιεγερθούν και επανέλθουν στη θεμελιώδη κατάσταση υπάρχει η δυνατότητα να ξανά-απορροφήσουν και να μεταβούν σε ακόμα ανώτερες ενεργειακές καταστάσεις. Η διαδικασία αυτή Εικόνα 1-5: Σύστημα 5 επιπέδων. αποκαλείται excited state absorption και παρατηρείται μόνο όταν η προσπίπτουσα ένταση είναι αρκετά υψηλή έτσι ώστε να από-πληθυστεί η θεμελιώδης κατάσταση και να μεταφερθεί ικανοποιητικός πληθυσμός στην ενεργειακή κατάσταση S 1. Όπως φαίνεται και στην εικόνα 1-5 το σύστημα 5-επιπέδων αποτελείται από 5 ξεχωριστές ηλεκτρονικές καταστάσεις κάθε μια εκ των οποίων απαρτίζεται από μια πληθώρα δονητικών-περιστροφικών καταστάσεων οι οποίες είναι πολύ κοντά μεταξύ τους. Όταν ένα ηλεκτρόνιο διεγείρεται σε μια ηλεκτρονική κατάσταση στην πραγματικότητα μεταβαίνει σε κάποια από αυτές τις δονητικές-περιστροφικές καταστάσεις και στη συνέχεια αποδιεγείρεται προς τη χαμηλότερη δονητική κατάσταση της ηλεκτρονικής κατάστασης (relaxation). Έτσι λοιπόν αρχικά το ηλεκτρόνιο με μονοφωτονική απορρόφηση μεταπηδά στη πρώτη διεγερμένη κατάσταση του συστήματος (S 1 ). Έπειτα τρείς διαφορετικές διαδικασίες μπορούν να συμβούν: 13

34 1) Το ηλεκτρόνιο αποδιεγείρεται στη θεμελιώδη κατάσταση (k f ). 2) Το ηλεκτρόνιο μεταφέρεται μέσω intersystem crossing σε triplet κατάσταση (k isc ). 3) Το ηλεκτρόνιο διεγείρεται σε υψηλότερη singlet κατάσταση. Από την άλλη πλευρά όταν το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στη χαμηλότερη triplet κατάσταση υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: 1) Το ηλεκτρόνιο αποδιεγείρεται στη θεμελιώδη κατάσταση (φωσφορισμός k ph ) 2) Το ηλεκτρόνιο διεγείρεται σε ανώτερη κατάσταση triplet από όπου στη συνέχεια μεταπίπτει ξανά στην κατώτερη triplet. Όταν η ενεργός διατομή απορρόφησης (absorption cross-section) της διεγερμένης κατάστασης είναι μικρότερη από αυτή της θεμελιώδους τότε η διαπερατότητα του συστήματος αυξάνεται με αποτέλεσμα όπως προαναφέρθηκε το σύστημα να λειτουργεί ως κορέσιμος απορροφητής. Αντίθετα για να έχει ένα υλικό συμπεριφορά ανάστροφα κορέσιμου απορροφητή θα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: 1. Η ενεργός διατομή απορρόφησης από την πρώτη διεγερμένη στάθμη σε μια ανώτερη διεγερμένη πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ενεργό διατομή απορρόφησης από τη θεμελιώδη κατάσταση στη διεγερμένη. 2. Η ενεργός διατομή απορρόφησης της θεμελιώδους κατάστασης θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλη έτσι ώστε να πληθυστεί ικανοποιητικά η πρώτη διεγερμένη στάθμη. 3. Η αποδιέγερση των ανώτερων σταθμών πρέπει να είναι γρήγορη, έτσι ώστε αυτές να μπορούν να επαναπορροφήσουν. 14

35 1.4.4 Οπτικός περιορισμός (Optical limiting) Ένα άλλο πολύ σημαντικό μη γραμμικό φαινόμενο είναι ο οπτικός περιορισμός. Οι οπτικοί περιοριστές χρησιμοποιούνται για να προστατεύσουν Εικόνα 1-6 Συμπεριφορά οπτικού περιοριστή.. ευαίσθητους ανιχνευτές από ισχυρής έντασης δέσμες λέιζερ. Αναγκάζοντας το φως να περάσει μέσα από τον οπτικό περιοριστή προτού φτάσει στον ανιχνευτή πετυχαίνεται μείωση της έντασης της ακτινοβολίας, ιδιαίτερα σε αυξημένες εντάσεις ακτινοβολίας. Σε υλικά που λειτουργούν ως οπτικοί περιοριστές παρατηρείται μείωση της διαπερατότητας αυξανομένης της έντασης του λέιζερ όπως και στην περίπτωση της ανάστροφα κορέσιμης απορρόφησης που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Στην πραγματικότητα η ανάστροφη κορέσιμη απορρόφηση είναι μια εκ των διαδικασιών που μπορούν να οδηγήσουν σε οπτικό περιορισμό. Άλλοι μηχανισμοί είναι η πολυφωτονική απορρόφηση (π.χ. διφωτονική απορρόφηση) και ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης. Ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης οδηγεί έμμεσα σε οπτικό περιορισμό λόγω του ότι μέσω της διεύρυνσης που προκαλεί στη δέσμη 15

36 λέιζερ μπορεί να μειώσει την ένταση της ακτινοβολίας που περνά μέσα από διάφραγμα σταθερής διαμέτρου. Σε ένα ιδανικό οπτικό περιοριστή, και σε χαμηλές εντάσεις της δέσμης λέιζερ, η διαπερατότητα παραμένει σταθερή ανεξάρτητα από την ένταση όπως φαίνεται και στο διάγραμμα της εικόνας 1-6. Αντίθετα σε υψηλότερες εντάσεις (όταν η ένταση ξεπερνά ένα κατώφλι (threshold)) η διαπερατότητα μειώνεται απότομα αυξανομένης της έντασης. Στην πράξη σε υλικά που λειτουργούν ως οπτικοί περιοριστές η μεταβολή της διαπερατότητας δεν είναι τόσο απότομη αλλά γίνεται πιο ομαλά, οπότε και δεν είναι τόσο εύκολο να ορισθεί το κατώφλι έντασης πάνω από το οποίο το υλικό θεωρείται ότι λειτουργεί ως οπτικός περιοριστής [2]. Σε κάθε περίπτωση πάντως το κατώφλι θα πρέπει να είναι τέτοιο έτσι ώστε η ένταση εξόδου του οπτικού περιοριστή να μην ξεπερνά το όριο καταστροφής του. Παρακάτω φαίνονται συνοπτικά μερικές από τις σημαντικότερες προϋποθέσεις που πρέπει να ικανοποιεί ένα υλικό για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην πράξη ως οπτικός περιοριστής: 1) Χαμηλό κατώφλι λειτουργίας. 2) Ικανοποιητική προστασία σε μεγάλο εύρος ροής/έντασης της δέσμης λέιζερ. 3) Γρήγορη απόκριση έτσι ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε παλμικά λέιζερ που παρέχουν παλμούς διαφόρων χρονικών διαρκειών. 4) Υψηλή γραμμική διαπερατότητα. 5) Αμελητέα σκέδαση της δέσμης λέιζερ κατά το πέρασμά της μέσα από το υλικό κ.τ.λ. Εξαιτίας των πολλών περιορισμών που υπάρχουν για να θεωρηθεί ένα υλικό κατάλληλο για οπτικός περιοριστής, έχει γίνει έντονη η έρευνα στο πεδίο αυτό, έτσι ώστε να κατασκευασθούν υλικά τα οποία θα είναι όσο το δυνατόν καταλληλότερα για τέτοιου είδους εφαρμογές. 16

37 1.4.5 Αυτό-εστίαση και αυτό-αποεστίαση Όπως θα φανεί στα επόμενα (βλ. σχέση (1.99)), αν δέσμη υψηλής έντασης διέλθει μέσα από ένα υλικό, ο δείκτης διάθλασης του παύει να είναι σταθερός και Εικόνα 1-7 Γκαουσσιανή δέσμη λέιζερ. εξαρτάται από την ένταση της δέσμης. Ας θεωρήσουμε ότι η δέσμη έχει γκαουσσιανή χωρική κατανομή (δηλαδή ότι η ένταση μειώνεται εκθετικά με την απόσταση από το κέντρο σύμφωνα με τη σχέση I( r) = I exp 2 r w0, όπου w 0 είναι η ακτίνα της 2 δέσμης που αντιστοιχεί το 1/e της 0 δείκτης διάθλασης n 2 είναι θετικός. I ), (βλ.εικόνα 1-7) και ότι ο μη γραμμικός Στο κέντρο της δέσμης όπου η ένταση είναι μέγιστη το υλικό θα παρουσιάζει μέγιστο δείκτη διάθλασης. Όσο προχωρούμε ακτινικά προς τα έξω ο δείκτης διάθλασης θα μειώνεται, ακολουθώντας την εκθετική μείωση της έντασης της δέσμης. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το υλικό στο σημείο από το οποίο διέρχεται η δέσμη να λειτουργεί σαν συγκεντρωτικός φακός ο οποίος έχει τη δυνατότητα να εστιάζει ακόμη περισσότερο την ίδια τη δέσμη που προκάλεσε το μη γραμμικό αυτό φαινόμενο της αυτό-εστίασης. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή θεωρήσουμε το μη γραμμικό δείκτη διάθλασης αρνητικό, τότε ο δείκτης διάθλασης του υλικού θα αυξάνεται όσο κατευθυνόμαστε από το κέντρο προς το εξωτερικό της δέσμης. Στην περίπτωση αυτή το υλικό λειτουργεί ως αποκεντρωτικός φακός με αποτέλεσμα να αποεστιάζει τη διερχόμενη δέσμη. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται ως αυτόαποεστίαση. 17

38 Κατά το φαινόμενο της αυτό-εστίασης και για παχιά υλικά υπάρχει η περίπτωση η εστία του επαγόμενου φακού να βρίσκεται μέσα στο υλικό με αποτέλεσμα να οδηγήσει σε μεγάλη ένταση στο εστιακό επίπεδο και κατά συνέπεια στην καταστροφή του υλικού τουλάχιστον στο συγκεκριμένο σημείο Ηλεκτροοπτικό φαινόμενο Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη παράγραφο οι οπτικές ιδιότητες ενός υλικού μεταβάλλονται όταν από αυτό διέλθει ακτινοβολία υψηλής έντασης. Ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού δεν είναι γενικά σταθερός όπως προβλέπει η γραμμική οπτική αλλά εξαρτάται από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου της ακτινοβολίας. Η μεταβολή του δείκτη διάθλασης ενός υλικού όταν αυτό τοποθετηθεί σε συνεχές (dc) (ή τουλάχιστον πολύ μικρής συχνότητας) ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ηλεκτροοπτικό φαινόμενο. Αν αναπτύξουμε τον δείκτη διάθλασης σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο Ε=0 παίρνουμε: 1 2 n( E) = n0 + ne 1 + ne 2, (1.46) 2 όπου n 0 είναι ο γνωστός από τη γραμμική οπτική δείκτης διάθλασης. Ο δεύτερος και τρίτος όρος στο δεξί μέλος (που παρουσιάζουν εξάρτηση από το ηλεκτρικό πεδίο) θεωρητικά υπάρχουν πάντα, πρακτικά όμως συνεισφέρουν μόνο στη περίπτωση αρκετά ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Όροι ανώτερης τάξης από αυτούς που φαίνονται στη παρακάτω σχέση έχουν συνήθως αμελητέα συνεισφορά Φαινόμενο Pockels Σε πολλά υλικά ο τρίτος όρος της σχέσης (1.46) είναι πολύ μικρός σε σχέση με το δεύτερο, έτσι ο δείκτης διάθλασης δίνεται από σχέση της μορφής: n( E) = n0 + ne 1 (1.47) Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο Pockels (ή γραμμικό ηλεκτροοπτικό φαινόμενο). 18