Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Κήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2007 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληοφοιών Information Retrieval (IR) Systems Ποχωημένες Λειτουγίες Επεώτησης Avance Query Operations Γιάννης Τζίτζικας ιάλεξη : 11 Ημεομηνία : CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Διάθωση Διάλεξης Κίνητο Ανάδαση Συνάφειας (Relevance Feeback) Αναδιατύπωση Επεωτήσεων (Query Reformulation) Αναβάυνση Όων (Term Reweighting) Επέκταση (Διαστολή) Επεώτησης (Query Expansion), Αναδιατύπωση Επεωτήσεων για το Διανυσματικό Μοντέλο Optimal Query, Rochio Metho, Ie Metho, DeHi Metho Η έννοια του Optimal (or Best) Query Αξιολόγηση Ψευδο-ανάδαση συνάφειας (Pseuo relevance feeback) Επέκταση Επεωτήσεων Αυτόματη Τοπική (Επιτόπια) Ανάλυση (Automatic Local Analysis) Καθολική Ανάλυση Επέκταση Επεώτησης βάσει Θησαυού (Thesaurus-base Query Expansion) Αυτόματη Καθολική Ανάλυση (Automatic Global Analysis) Στατιστικοί Θησαυοί (Statistical Thesaurus) Γενετικοί Αλγόιθμοι CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

2 Κίνητο Έχει παατηηθεί ότι οι χήστες των ΣΑΠ δαπανούν πολύ χόνο αναδιατυπώνοντας την αχική τους επεώτηση ποκειμένου να βουν ικανοποιητικά έγγαφα Πιθανές αιτίες ο χήστης δεν γνωίζει το πειεχόμενο των υποκείμενων εγγάφων το λεξιλόγιο του χήστη μποεί να διαφέει από αυτό της συλλογής η αχική επεώτηση μποεί να είναι πιο γενική ή πιο ειδική από αυτή που θα έπεπε (καταλήγοντας είτε σε πάα πολλά ή σε πολύ λίγα έγγαφα) Η αχική επεώτηση μποεί να θεωηθεί ως η πώτη ποσπάθεια έκφασης της πληοφοιακής ανάγκης του χήστη Ανάγκη για τεχνικές αντιμετώπισης αυτού του ποβλήματος CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Τόποι Αντιμετώπισης (1) Βελτίωση της αχικής επεώτησης (2) Χήση Ποφίλ Χήστη (3) Βελτίωση παάστασης κειμένων (4) Βελτίωση αλγοίθμου (μοντέλου) ανάκτησης Παατηήσεις Τα (2),(3),(4) έχουν πιο μόνιμο αποτέλεσμα (επηεάζουν την απάντηση και των επόμενων επεωτήσεων) Εδώ θα εστιάσουμε στο (1) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

3 Τεχνικές Βελτίωσης της Αχικής Επεώτησης Κατηγοίες: (α) τεχνικές που απαιτούν είσοδο από τον χήστη (β) τεχνικές που δεν απαιτούν είσοδο (β1) που στηίζονται στα κουφαία έγγαφα που ανακτήθηκαν (β2) που στηίζονται σε όλα τα έγγαφα της συλλογής Ανάδαση Συνάφειας (Relevance Feeback): Η βασική ιδέα Βήματα: 1/ Μετά την παουσίαση των αποτελεσμάτων, επιτέπουμε στο χήστη να κίνει την συνάφεια ενός ή πεισσότεων εγγάφων της απάντησης 2/ Αξιοποιούμε αυτήν την πληοφοία για να αναδιατυπώσουμε την επεώτηση 3/ Κατόπιν δίδουμε στο χήστη την απάντηση της αναδιατυπωμένης επεώτησης 4/ Πήγαινε στο βήμα 1/ CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

4 Αχιτεκτονική για Ανάδαση Συνάφειας Query String Revise Query IR System Rankings ReRanke Documents Query Reformulation Ranke Documents 1. Doc1 2. Doc2 3. Doc Doc2 2. Doc4 3. Doc Doc1 2. Doc2 3. Doc3 Feeback.. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Τμήματα της Αχιτεκτονικής που Εμπλέκονται user nee User Interface Text user feeback query retrieve ocs logical view Query Operations Searching Text Operations logical view Inexing inverte file Inex Text Corpus ranke ocs Ranking CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

5 q=bike CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Αποτελέσματα Ans(«bike») CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

6 Μακάισμα των Συναφών από τον Χήστη CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Απάντηση Αναδιατυπωμένης Επεώτησης CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

7 Αναδιατύπωση επεώτησης βάσει Ανάδασης Συνάφειας (Relevance Feeback: Query Reformulation) Τόποι αναδιατύπωσης της επεώτησης μετά την ανάδαση: Αναβάυνση των Όων (Term Reweighting): Αύξηση των βαών των όων που εμφανίζονται στα συναφή έγγαφα και μείωση των βαών των όων που εμφανίζονται στα μη-συναφή έγγαφα. Επέκταση επεώτησης (Query Expansion): Ποσθήκη νέων όων στην επεώτηση (π.χ. από γνωστά συναφή έγγαφα) Υπάχουν πολλοί αλγόιθμοι για επαναδιατύπωση επεώτησης CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Αναδιατύπωση επεώτησης στο Διανυσματικό Μοντέλο Η βέλτιστη επεώτηση (Optimal Query) Ας υποθέσουμε ότι γνωίζουμε το σύνολο C r όλων των συναφών (με την πληοφοιακή ανάγκη του χήστη) εγγάφων. Η «καλύτεη επεώτηση» (αυτή που κατατάσσει στην κουφή όλα τα συναφή έγγαφα) θα ήταν: 1 1 qopt = C N C r C r r C Where N is the total number of ocuments. r (θα αναλύσουμε πεισσότεο αυτό το ζήτημα αγότεα) Αφού όμως δεν γνωίζουμε το σύνολο C r,θα λάβουμε υπόψη την αχική επεώτηση και την είσοδο του χήστη. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

8 Αναδιατύπωση επεώτησης στο Διανυσματικό Μοντέλο Αφού όμως δεν γνωίζουμε το σύνολο C r,θα λάβουμε υπόψη την αχική επεώτηση και την είσοδο του χήστη. answer(q): Κόκκινα: ο χήστης έδωσε ανητική ανάδαση Πάσινα: ο χήστης έδωσε θετική ανάδαση Μπλε: ο χήστης δεν έδωσε ανάδαση CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Τεχνικές (Ι) Rocchio Metho (ΙΙ) Ie Metho (ΙΙΙ) DeHi Metho CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

9 (Ι) Stanar Rochio Metho Αφού το σύνολο όλων των συναφών είναι άγνωστο, χησιμοποίησε τα γνωστά συναφή (D r ) και γνωστά μη-συναφή (D n ) έγγαφα (από την απάντηση της αχικής επεώτησης και βάσει της εισόδου από τον χήστη) και επίσης συμπειέλαβε την αχική επεώτηση q. Αναδιατυπωμένη επεώτηση: q m = αq + β D r Dr γ D n Dn α: Tunable weight for initial query. β: Tunable weight for relevant ocuments. γ: Tunable weight for irrelevant ocuments. answer(q): Usually γ < β (the relevant ocs are more important) If γ=0 then we have positive feeback only CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring (ΙΙ) Ie Regular Metho Πεισσότεη ανάδαση => μεγαλύτεος βαθμός αναδιατύπωσης. Για αυτό, κατά την IDE Regular μέθοδο δεν κάνουμε κανονικοποίηση (βάσει του ποσού ανάδασης) q m = α q + β D r γ D n α: Tunable weight for initial query. β: Tunable weight for relevant ocuments. γ: Tunable weight for irrelevant ocuments. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

10 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring (III) Ie Dec Hi Metho Τάση για απόιψη μόνο των μη-συναφών εγγάφων που έχουν υψηλό σκο (Bias towars reecting ust the highest ranke of the irrelevant ocuments:) ) ( max relevant non D m q q r + = γ β α α: Tunable weight for initial query. β: Tunable weight for relevant ocuments. γ: Tunable weight for irrelevant ocument. answer(q): CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Σύγκιση μεθόδων (I) (II) (III) Γενικά, τα πειαματικά δεδομένα δεν δίνουν καθαό ποβάδισμα σε κάποια τεχνική. Όλες οι τεχνικές βελτιώνουν την απόδοση ( recall & precision) Συνήθως α=β=γ=1 + = n r D D m q q γ β α ) ( max relevant non D m q q r + = γ β α + = Dn n Dr r m D D q q γ β α

11 Αξιολόγηση Αποτελεσματικότητας Τεχνικών Ανάδασης Συνάφειας Remarks By construction, reformulate query will rank explicitly-marke relevant ocuments higher an explicitly-marke irrelevant ocuments lower. Metho shoul not get creit for improvement on these ocuments, since it was tol their relevance. In machine learning, this error is calle testing on the training ata. Evaluation shoul focus on generalizing to other un-rate ocuments. Fair Evaluation of Relevance Feeback Remove from the corpus any ocuments for which feeback was provie. Measure recall/precision performance on the remaining resiual collection. Compare to complete corpus, specific recall/precision numbers may ecrease since relevant ocuments were remove. However, relative performance on the resiual collection provies fair ata on the effectiveness of relevance feeback CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Relevance Feeback Evaluation Simulate interactive retrieval consistently outperforms non-interactive retrieval (70% here). CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

12 Relevance Feeback Evaluation: Case Stuy Example of evaluation of interactive information retrieval [Koenemann & Belkin 1996] Goal of stuy: show that relevance feeback improves retrieval effectiveness Details 64 novice searchers (43 female, 21 male, native English) TREC test be (Wall Street Journal subset) Two search topics Automobile Recalls Tobacco Avertising an the Young Relevance ugements from TREC an experimenter System was INQUERY (vector space with some bells an whistles) Subects ha a tutorial session to learn the system Their goal was to keep moifying the query until they have evelope one that gets high precision Reweighting of terms similar to but ifferent from Rocchio CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Creit: Marti Hearst CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

13 Evaluation:Precision vs. RF conition (from Koenemann & Belkin 96) Criterion: (precision at 30 ocuments) Compare: for users with relevance feeback for users without relevance feeback Goal: show that users with relevance feeback o better Results: Subects with relevance feeback ha 17-34% better performance But: Difference in precision numbers not statistically significant. Search times approximately equal Creit: Marti Hearst CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Σιωπηές Υποθέσεις της Ανάδασης Συνάφειας A1: User has sufficient knowlege for initial query. However: User oes not always have sufficient initial knowlege. Examples: Misspellings, Mismatch of searcher s vocabulary vs collection vocabulary. A2: Relevance prototypes are well-behave. Either: All relevant ocuments are similar to a single prototype. Or: There are ifferent prototypes, but they have significant vocabulary overlap. However: There are several relevance prototypes. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

14 Γιατί η ανάδαση συνάφειας δεν χησιμοποιείται ευέως; Οι χήστες συχνά διστάζουν να δώσουν είσοδο Η ανάδαση έχει ως αποτέλεσμα μεγάλες επεωτήσεις των οποίων ο υπολογισμός απαιτεί πεισσότεο χόνο σε σύγκιση με τις συνηθισμένες επεωτήσεις που διατυπώνουν οι χήστες οι οποίες αποτελούνται από 2-3 λέξεις (search engines process lots of queries an allow little time for each one) Μεικές φοές η νέα απάντηση πειέχει έγγαφα τα οποία δεν μποούμε να καταλάβουμε πως ποέκυψαν CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Ανάδαση Συνάφειας στον Παγκόσμιο Ιστό Some search engines offer a similar/relate pages feature (simplest form of relevance feeback) Google (link-base) But some on t because it s har to explain to average user. Excite initially ha true relevance feeback, but abanone it ue to lack of use. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

15 Ψευδοανάδαση Συνάφειας Ψευδοανάδαση Συνάφειας Pseuo Relevance Feeback Χήση μεθόδων ανάδασης αλλά χωίς είσοδο από το χήστη Υπόθεση ότι τα κουφαία m από τα ανακτημένα έγγαφα είναι συναφή (και χήση αυτών για ανάδαση) Μποούμε επίσης να χησιμοποιήσουμε τα τελευταία έγγαφα για ανητική ανάδαση Επιτέπει την επέκταση της επεώτησης με όους που σχετίζονται με τους όους της επεώτησης answer(q): CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

16 Ψευδοανάδαση Query String Revise Query IR System Rankings ReRanke Documents Query Reformulation Ranke Documents 1. Doc1 2. Doc2 3. Doc Doc2 2. Doc4 3. Doc Doc1 Pseuo 2. Doc2 3. Doc3. Feeback. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Αξιολόγηση Ψευδοανάδασης Βέθηκε να βελτιώνει την απόδοση στο διαγωνισμό του TREC (ahoc retrieval task) Δουλεύει ακόμα καλύτεα αν τα κουφαία έγγαφα πέπει να ικανοποιούν και μια boolean έκφαση ποκειμένου να χησιμοποιηθούν για ανάδαση (π.χ. να πειέχουν όλους του όους της επεώτησης) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

17 Αναλύοντας πεισσότεο την έννοια της βέλτιστης επεώτησης Πηγή: Yannis Tzitzikas an Yannis Theoharis, Naming Functions for the Vector Space Moel, 29th European Conference on Information Retrieval, Rome 2-5 April 2007 The Naming Problem We can view an IR system as a function from set of Queries to set of Answers S: Queries Answers Classically IR systems are goo at solving the equation S(q)=A wrt A, i.e.: S(q) =? The naming problem is the problem of solving the equation wrt q, i.e. : S(?) = A We can istinguish two formulations of the naming problem: For unorere answers (here A is a subset of Ob ) For orere answers (here A is an orere subset of Ob). where Ob is the set of store obects (e.g. ocuments) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

18 The Naming Problem for Unorere Sets Basic Notions Exact name Upper name Best Upper Name Lower name Best Lower Name Relaxe name S(upperName(A)) A Ob S(lowerName(A)) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring The Naming Problem for Orere Sets Basic Notions Exact name Upper name Best Upper Name Lower name Best Lower Name Relaxe name A = S(exactName(A)) = S(lowerName(A)) = 1, 2, 3 1, 2, 3, 8, 9, 1, 2, 5, 7, S(upperName(A)) = 1, 9, 2, 5, 3, 8, CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

19 Notations A(k) : the orere set comprising the first k elements of A A{k} : the set of elements that appear in A(k) A F : the restriction of A on the set F, i.e. the orere set obtaine if we exclue from A those elements that o not belong to F, Example if A = 1, 2, 3 then A(2)= 1, 2 A{2}= {1, 2} {A}= {1, 2, 3} if F={1,3}, then A F = 1, 3 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Defining Formally Relaxe/Upper/Lower/Exact Names A query is a relaxe name of an answer A iff : (A is a set) : S(q){m} A = where m >0. (A is an orere set) : S(q)(m) {A()} = A() where m >0. If m== A then q is an exact name If m>= A then q is an upper name (the best upper name if m is the least possible) If m=< A then q is a lower name (the best lower name if m is the greatest possible) So each query can be characterize by a pair (m,). We can now efine an orering over these pairs. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

20 Defining a total orering of queries (m,) > (m, ) iff: (> ) or (= an m<m ) Let Ob =5 an A =3 exact name upper names Let Ob =5 an A =3. The orering of the corresponing pairs are: lower names (1,1) (3,3) (4,3) (5,3) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Investigating possible approaches for solving the Naming Problem for Unorere Sets Let A = {1, 2, 3,, n} Possible name queries qa= ½(i,) where (i,) = arg max {ist(, ), A} qb=1/ A Σ { A} qc=1/ A Σ { a A} - 1/ Ob-A Σ { A} Notes qa: minimizes the maximum ist from the elements of A qb: minimizes the average ist from the elements of A qc: is the Rocchio metho (avg A, - avg Ob-A) Important remarks: None is guarantee to be the exact name (they are all relaxe names) However, if an exact name oes not exist, then qa is the best upper name Moreover, the evaluation of qa (i.e. the computation if its answer) is faster than the evaluation of qb, qc. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

21 The Naming Problem for Unorere Sets (III) Metho (a): Let A = {1, 2, 3, 4} o1 1 2 o st step: Fin the pair of most istant ocuments Here: (1, 4) 2n step: Fin whether other ocuments lie in the area specifie by (1, 4) Here: {o1, o2}!= 0 Thus, qa = ½(1, 4) is an upper name of A Cost 1 st step: O( A 2 ) computations of similarity 2 n step: O( Ob ) or compute the answer of qa an check if S(qa){ A }=A CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring The Naming Problem for Orere Sets Let A = 1, 2, 3,, n Let i the max integer for which it hols: sim(1,2) > sim(1,3) > > sim(1,i) relaxe name, always 1 is a upper name, exact name, lower name, if i=n if i=n an S(1)(n)=A if i<n an S(1)(i)=A(i) Computational cost: O(n) computations of similarity to fin i. One query evaluation in orer to ecie whether 1 is lower/exact name. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

22 Experimental Evaluation Experiments conucte over the experimental web search engine GRoogle The set A was selecte ranomly, the average times are liste in the Table below. ta: time to fin the query (fast, epens on A, not the size of the b) tb: time to evaluate the query (this is the only expensive task) tc: time to ecie what kin of name it is (fast) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring Concluing Remarks an Further Research The naming problem has several applications (e.g. for relevance feeback or for proviing a flexible interaction scheme between the system an the users) We expresse formally several variations of this problem an relate optimality criteria (to best of our knowlege this analysis is novel) We provie optimal solutions E.g. we provie a metho that certainly returns the best upper name for unorere sets (this is not true for the Rocchio metho) We escribe (polynomial) algorithms for solving these problems Future research Exten the problem statement with an aitional parameter: the maximum number of wors that a name coul have, e.g. fin the best upper name with no more than 3 wors. Inexing structures for efficient computation of names For more see CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete, Spring

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Πανεπιστήμιο Κήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2008 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληοφοιών Information Retrieval (IR) Systems Ποχωημένες Λειτουγίες Επεώτησης Advanced Query Operations Γιάννης Τζίτζικας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Ανάκτηση Πληροφορίας Αποτίμηση Αποτελεσματικότητας Μέτρα Απόδοσης Precision = # σχετικών κειμένων που επιστρέφονται # κειμένων που επιστρέφονται Recall = # σχετικών κειμένων που επιστρέφονται # συνολικών

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas 09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013 The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet

Διαβάστε περισσότερα

ST5224: Advanced Statistical Theory II

ST5224: Advanced Statistical Theory II ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Fractional Colorings and Zykov Products of graphs

Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is

Διαβάστε περισσότερα

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)

Διαβάστε περισσότερα

The challenges of non-stable predicates

The challenges of non-stable predicates The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)

Διαβάστε περισσότερα

Srednicki Chapter 55

Srednicki Chapter 55 Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

SCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018

SCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018 Journal of rogressive Research in Mathematics(JRM) ISSN: 2395-028 SCITECH Volume 3, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION ublished online: March 29, 208 Journal of rogressive Research in Mathematics www.scitecresearch.com/journals

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits. EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη Διάρθρωση Διάλεξης Γιάννης Τζίτζικας ιάλεξη : 11 Ημερομηνία : 31-3- HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Προχωρημένες

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness

Διαβάστε περισσότερα

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0. DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec

Διαβάστε περισσότερα

Reminders: linear functions

Reminders: linear functions Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U

Διαβάστε περισσότερα

Numerical Analysis FMN011

Numerical Analysis FMN011 Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Στατιστικά Κειμένου Text Statistics Γιάννης Τζίτζικας άλ ιάλεξη :

Διαβάστε περισσότερα

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

MATH423 String Theory Solutions 4. = 0 τ = f(s). (1) dτ ds = dxµ dτ f (s) (2) dτ 2 [f (s)] 2 + dxµ. dτ f (s) (3)

MATH423 String Theory Solutions 4. = 0 τ = f(s). (1) dτ ds = dxµ dτ f (s) (2) dτ 2 [f (s)] 2 + dxµ. dτ f (s) (3) 1. MATH43 String Theory Solutions 4 x = 0 τ = fs). 1) = = f s) ) x = x [f s)] + f s) 3) equation of motion is x = 0 if an only if f s) = 0 i.e. fs) = As + B with A, B constants. i.e. allowe reparametrisations

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent

Διαβάστε περισσότερα

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds! MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R + Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 3: Ordinal Numbers

Chapter 3: Ordinal Numbers Chapter 3: Ordinal Numbers There are two kinds of number.. Ordinal numbers (0th), st, 2nd, 3rd, 4th, 5th,..., ω, ω +,... ω2, ω2+,... ω 2... answers to the question What position is... in a sequence? What

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013 Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering

Διαβάστε περισσότερα

Dynamic types, Lambda calculus machines Section and Practice Problems Apr 21 22, 2016

Dynamic types, Lambda calculus machines Section and Practice Problems Apr 21 22, 2016 Harvard School of Engineering and Applied Sciences CS 152: Programming Languages Dynamic types, Lambda calculus machines Apr 21 22, 2016 1 Dynamic types and contracts (a) To make sure you understand the

Διαβάστε περισσότερα

CE 530 Molecular Simulation

CE 530 Molecular Simulation C 53 olecular Siulation Lecture Histogra Reweighting ethods David. Kofke Departent of Cheical ngineering SUNY uffalo kofke@eng.buffalo.edu Histogra Reweighting ethod to cobine results taken at different

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ του Γεράσιμου Τουλιάτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Similarly, we may define hyperbolic functions cosh α and sinh α from the unit hyperbola

Similarly, we may define hyperbolic functions cosh α and sinh α from the unit hyperbola Universit of Hperbolic Functions The trigonometric functions cos α an cos α are efine using the unit circle + b measuring the istance α in the counter-clockwise irection along the circumference of the

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Storage Devices

Abstract Storage Devices Abstract Storage Devices Robert König Ueli Maurer Stefano Tessaro SOFSEM 2009 January 27, 2009 Outline 1. Motivation: Storage Devices 2. Abstract Storage Devices (ASD s) 3. Reducibility 4. Factoring ASD

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Terabyte Technology Ltd

Terabyte Technology Ltd Terabyte Technology Ltd is a Web and Graphic design company in Limassol with dedicated staff who will endeavour to deliver the highest quality of work in our field. We offer a range of services such as

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Math221: HW# 1 solutions

Math221: HW# 1 solutions Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin

Διαβάστε περισσότερα

Overview. Transition Semantics. Configurations and the transition relation. Executions and computation

Overview. Transition Semantics. Configurations and the transition relation. Executions and computation Overview Transition Semantics Configurations and the transition relation Executions and computation Inference rules for small-step structural operational semantics for the simple imperative language Transition

Διαβάστε περισσότερα

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,

Διαβάστε περισσότερα

Elements of Information Theory

Elements of Information Theory Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

Test Data Management in Practice

Test Data Management in Practice Problems, Concepts, and the Swisscom Test Data Organizer Do you have issues with your legal and compliance department because test environments contain sensitive data outsourcing partners must not see?

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2007 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Στατιστικά Κειμένου Text Statistics Γιάννης Τζίτζικας ιάλεξη : 14a

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική»

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Επίκαιρα Θέματα Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Σταμάτιος

Διαβάστε περισσότερα

Quadratic Expressions

Quadratic Expressions Quadratic Expressions. The standard form of a quadratic equation is ax + bx + c = 0 where a, b, c R and a 0. The roots of ax + bx + c = 0 are b ± b a 4ac. 3. For the equation ax +bx+c = 0, sum of the roots

Διαβάστε περισσότερα