# On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

## Transcript

1 BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages ISSN On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In article [1] the authors construct and classify all the hyperbolic spaceforms H n /Γ where Γ is a torsion-free subgroup of minimal index in the congruence two subgroup Γ n 2 for n = 3,4. In the present paper some hyperbolic 3- and 4-manifolds are constructed that are absent in [1]. Mathematics subject classification: 51M10, 53C25. Keywords and phrases: Hyperbolic manifolds, 4-manifolds, volume, 24-cells. In the works [1] and [2] some four-dimensional hyperbolic manifolds with finite volume were constructed. They were obtained by identifying the faces of the regular 24-cells in H 4 with all vertices being on the absolute. The present article is devoted to the construction of a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume by identifying the faces of a four-dimensional hyperbolic polyhedron with all the vertices being on the absolute. This polyhedron is not regular and its construction is non-trivial. 1. The construction of a four-dimensional polyhedron In the four-dimensional space H 4 consider the regular 24-cells R. As it is known this polyhedron has 24 three-dimensional faces, 96 two-dimensional faces, 96 edges, and 24 vertices. The three-dimensional faces of the polyhedron are regular octahedra, two-dimensional faces are regular triangles. Inscribe in the polyhedron R a three-dimensional sphere S 3. Denote its radius by r. If we begin to enlarge the radius r of the sphere S 3, the polyhedron R will increase, but its dihedral angles at the two-dimensional faces will decrease. Continuing the process, we ultimately come to the case when for some r 0 all the vertices of the polyhedron R become infinitely removed, i.e. they get out on the absolute. In this case the three-dimensional faces are regular octahedra with all the vertices being on the absolute. Then the dihedral angles at the two-dimensional faces will be equal to π/2. Indeed, consider a three-dimensional horosphere centered at a vertex of the polyhedron R. Choose the radius of the horosphere such that the horosphere intersects only one-dimensional edges of the polyhedron which go to the center of the horosphere. Then the intersection of the horosphere and the polyhedron R is a cube. But the dihedral angles at the two-dimensional faces of the polyhedron R are equal to the dihedral angles at the edges of the obtained cube. Since the metric on the horosphere is Euclidean, c I. S. Gutsul,

2 ON A FOUR-DIMENSIONAL HYPERBOLIC MANIFOLD WITH FINITE VOLUME 81 the dihedral angles of the cube are equal to π/2, i.e. the dihedral angles at the two-dimensional faces of the polyhedron R are equal to π/2. If we continue to enlarge the radis of the three-dimensional sphere, the vertices of the polyhedron R will get out on the absolute. We obtain a four-dimensional polyhedron R 2 with all the vertices being infinitely removed. The polyhedron R 2 has three-dimensional faces of two kinds: 24 cubes with all the vertices being on the absolute and 24 truncated octahedra with all the vertices being infinitely removed. The polyhedron R 2 has 94 infinitely removed vertices, 288 one-dimensional edges, two-dimensional faces of two kinds: 144 squares with all the vertices being on the absolute and 96 triangles with all the vertices being infinitely removed. Dihedral angles at two-dimensional faces of this polyhedron are of two kinds: dihedral angles at the squares are equal to π/2, dihedral angles at the triangles are equal to π/3, both facts can be easy proved. Label infinitely removed vertices of the polyhedron R 2 by the numbers from 1 to 94. Write all three-dimensional faces of the obtained polyhedron. First write cubes with all the vertices being on the absolute: K 25 (1,7,8,6,30,16,15, 22) K 26 (13,21,91,39,5,1,2,12) K 27 (7,2,10,3,28,17, 19,44) K 28 (3,9,4,8,24,26,49,35) K 29 (4,6,5,11,54,33, 31,40) K 30 (18,17,27,68,92, 14,15,23) K 31 (9,10,12,11,52,48, 42,41) K 32 (13,20,64,38,36, 16,14,93) K 33 (18,19,21,20,67,71,45, 46) K 34 (22,23,25,24,34, 29,94,73) K 35 (50,26,25,96,69,51,28, 27) K 36 (29,30,31,32,75, 95,36,37) K 37 (74,56,35,34,32,76,55, 33) K 38 (37,38,39,40,59, 77,65,58) K 39 (66,46,91,58,57,63,43, 41) K 40 (45,70,51,44,42, 43,60,47) K 41 (47,48,49,50,72,61,53, 56) K 42 (53,62,78,55,54, 52,57,59) K 43 (61,60,86,89,90,62,63, 87) K 44 (66,67,64,65,85, 87,81,80) K 45 (70,71,81,86,83,69,68, 79) K 46 (83,82,88,89,72, 96,73,74) K 47 (78,90,85,77,75,76,88, 84) K 48 (92,94,82,79,80, 93,95,84) The polyhedron R 2 has also 24 truncated octahedra with all the vertices being on the absolute. Write these faces: O 1 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12) O 2 (15,16,30,22,23,14,36, 29, 92,93, 95, 94) O 3 (1,7,15,16,13,2, 17,14, 20, 21,19,18) O 4 (7,8,22,15,17,3, 24,23, 25, 26,28,27) O 5 (8,6,30,22,24,4, 31,29, 34, 35,33,32) O 6 (6,1,16,30,36,13,5,31, 37, 38,39,40) O 7 (12,10,42,41,91,2, 44,43,45, 46,21,19) O 8 (10,9,48,42,44,3,49, 47,50,51, 28,26) O 9 (9,11,52,48,49,4,54, 53,55,56, 35,33) O 10 (11,12,41,52,54,57, 91, 5, 39,40,59, 58) O 11 (62,61,60,63,57,53, 47, 43,52,48, 42,41) O 12 (13,21,91,39,38,20, 46, 58,65,66, 67,64)

3 82 I. S. GUTSUL O 13 (17,19,44,28,27,18, 45, 51,69,68, 71,70) O 14 (72,74,73,96,50,56, 34, 25,26,24, 35,49) O 15 (78,76,75,77,59,55, 32, 37,40,54, 33,31) O 16 (18,20,67,71,68,14, 64, 81,80,79, 92,93) O 17 (25,27,69,96,73,83, 68, 23,92,94, 82,79) O 18 (38,37,77,65,64,36, 75, 85,84,80, 93,95) O 19 (45,46,67,71,70,43, 66, 81,86,60, 63,87) O 20 (32,34,74,76,75,29, 73, 88,82,84, 95,94) O 21 (50,51,69,96,83,70, 47, 72,89,86, 60,61) O 22 (55,56,74,76,78,53, 72, 88,90,62, 61,89) O 23 (58,59,77,65,66,57, 78, 85,90,62, 63,87) O 24 (89,88,85,81,83,86, 90, 87,80,84, 79,82) 2. The construction of a four-dimensional hyperbolic manifold Indicate motions ( isometries ) that identify faces of the polyhedron: ϕ 1 : ϕ 2 : ϕ 3 : ϕ 4 : ϕ 5 : ϕ 6 : ϕ 7 : ϕ 8 : ϕ 9 : ϕ 10 : (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (89, 88, 85, 81, 83, 86, 90, 87, 80, 84, 79, 82); (15, 16, 30, 22, 23, 14, 36, 29, 92, 93, 95, 94) (62, 61, 60, 63, 57, 53, 47, 43, 52, 48, 42, 41); (1, 7, 15, 16, 13, 2, 17, 14, 20, 21, 19, 18) (55, 56, 74, 76, 78, 53, 72, 88, 90, 62, 61, 89); (7, 8, 22, 15, 17, 3, 24, 23, 25, 26, 28, 27) (58, 59, 77, 65, 66, 57, 78, 85, 90, 62, 63, 87); (8, 6, 30, 22, 24, 4, 31, 29, 34, 35, 33, 32) (45, 46, 67, 71, 70, 43, 66, 81, 86, 60, 63, 87); (6, 1, 16, 30, 36, 13, 5, 31, 37, 38, 39, 40) (50, 51, 69, 96, 83, 70, 47, 72, 89, 86, 60, 61); (12, 10, 42, 41, 91, 2, 44, 43, 45, 46, 21, 19) (32, 34, 74, 76, 75, 29, 73, 88, 82, 84, 95, 94); (10, 9, 48, 42, 44, 3, 49, 47, 50, 51, 28, 26) (38, 37, 77, 65, 64, 36, 75, 85, 84, 80, 93, 95); (9, 11, 52, 48, 49, 4, 54, 53, 55, 56, 35, 33) (18, 20, 67, 71, 68, 14, 64, 81, 80, 79, 92, 93); (11, 12, 41, 52, 54, 57, 91, 5, 39, 40, 59, 58) (25, 27, 69, 96, 73, 83, 68, 23, 92, 94, 82, 79);

4 ON A FOUR-DIMENSIONAL HYPERBOLIC MANIFOLD WITH FINITE VOLUME 83 ϕ 11 : ϕ 12 : (13, 21, 91, 39, 38, 20, 46, 58, 65, 66, 67, 64) (72, 74, 73, 96, 50, 56, 34, 25, 26, 24, 35, 49); (17, 19, 44, 28, 27, 18, 45, 51, 69, 68, 71, 70) (78, 76, 75, 77, 59, 55, 32, 37, 40, 54, 33, 31); ϕ 13 : (1, 7, 8,, 6, 30, 16, 15, 22) (66, 46, 91, 58, 57, 63, 43, 41); ϕ 14 : ϕ 15 : ϕ 16 : ϕ 17 : ϕ 18 : ϕ 19 : ϕ 20 : ϕ 21 : ϕ 22 : ϕ 23 : ϕ 24 : (13, 21, 91, 39, 5, 1, 2, 12) (66, 67, 64, 65, 85, 87, 81, 80); (7, 2, 10, 3, 28, 17, 19, 44) (50, 26, 25, 96, 69, 51, 28, 27); (3, 9, 4, 8, 24, 26, 49, 35) (83, 82, 88, 89, 72, 96, 73, 74); (4, 6, 5, 11, 54, 33, 31, 40) (74, 56, 35, 34, 32, 76, 55, 33); (18, 17, 27, 68, 92, 14, 15, 23) (45, 70, 51, 44, 42, 43, 60, 47); (9, 10, 12, 11, 52, 48, 42, 41) (13, 20, 64, 38, 36, 16, 14, 93); (18, 19, 21, 20, 67, 71, 45, 46) (70, 71, 81, 86, 83, 69, 68, 79); (22, 23, 25, 24, 34, 29, 94, 73) (61, 60, 86, 89, 90, 62, 63, 87); (29, 30, 31, 32, 75, 95, 36, 37) (53, 62, 78, 55, 54, 52, 57, 59); (37, 38, 39, 40, 59, 77, 65, 58) (78, 90, 85, 77, 75, 76, 88, 84); (47, 48, 49, 50, 72, 61, 53, 56) (92, 94, 82, 79, 80, 93, 95, 84). Consider cycles of two-dimensional faces of the polyhedron R 2. As the dihedral angles at the quadrangular faces are equal to π/2, in order that the cycles of these faces be inessential each of them must contain four faces. Write cycles of these faces. We will present cycles of faces as follows: write a face, then write the motion that transfers this face into another face, then again a face, again a motion, and so on. (O 1 K 25 )(1,7,8,6) ϕ 13 (O 12 K 39 )(66,46,91,58) ϕ 11 (O 14 K 34 ) (24,34,73,25) ϕ 21 (O 24 K 43 )(89,90,87,86) 1 (O 1 K 25 )(1,7,8.6);

5 84 I. S. GUTSUL (O 3 K 25 )(1,7,15,16) ϕ 13 (O 19 K 39 )(66,46,43,63) 5 (O 5 K 29 ) (31,6,4,33) ϕ 17 (O 22 K 37 )(55,56,74,76) 3 (O 3 K 25 )(1,7,15,16); (O 6 K 25 )(1,6,30,16) ϕ 13 (O 23 K 39 )(66,58,57,63) 4 (O 4 O 27 ) (17,7,3,28) ϕ 15 (O 21 K 35 )(51,50,96,69) 6 (O 6 K 25 )(1,6,30,16); (O 5 K 25 )(8,6,30,22) ϕ 13 (O 1 0 K 39 )(91,58,57,41) ϕ 10 (O 17 K 45 ) (68,79,83,69) 20 (O 19 K 33 )(45,46,67,71) 5 (O 5 K 25 )(8,6,30,22); (O 4 K 25 )(8,7,15,22) ϕ 13 (O 7 K 39 )(91,46,43,41) ϕ 7 (O 20 K 47 ) (75,84,88,76) 23 (O 23 K 38 )(59,58,65,77) 4 (O 4 K 25 )(8,7,15,22); (O 2 K 25 )(15,16,30,22) ϕ 13 (O 11 K 39 )(43,63,57,41) 2 (O 2 K 34 ) (29,22,23,94) ϕ 21 (O 11 K 43 )(62,61,60,63) 2 (O 2 K 25 )(15,16,30,22); (O 1 K 26 )(1,2,12,5) ϕ 14 (O 24 K 44 )(87,81,80,85) 1 O 1 K 28 ) (8,4,9,3) ϕ 16 (O 24 K 46 )(89,88,82,83) 1 (O 1 K 26 )(1,2,12,5); (O 3 K 26 )(1,2,21,13) ϕ 14 (O 19 K 44 )(87,81,67,66) 5 (O 5 K 36 ) (32,29,30,31) ϕ 22 (O 22 K 42 )(55,53,62,78) 3 (O 3 K 26 )(1,2,21,13); (O 6 K 26 )(1,5,39,13) ϕ 14 (O 23 K 44 )(87,85,65,66) 4 (O 4 K 30 ) (27,23,15,17) ϕ 18 (O 21 K 40 )(51,47,60,70) 6 (O 6 K 26 )(1,5,39,13); (O 7 K 26 )(91,21,2,12) ϕ 14 (O 16 K 44 )(64,67,81,80) 9 (O 9 K 42 ) (54,52,53,55) 22 (O 20 K 36 )(75,95,29,32) 7 (O 7 K 26 )(91,21,2,12); (O 12 K 26 )(91,21,13,39) ϕ 14 (O 12 K 44 )(64,67,66,65) ϕ 11 (O 14 K 28 ) (49,35,24,26) ϕ 16 (O 14 K 46 )(73,74,72,96) 11 (O 12 K 26 )(91,21,13,39); (O 10 K 26 )(91,12,5,39) ϕ 14 (O 18 K 44 )(64,80,85,65) 8 (O 8 K 40 ) (44,51,47,42) 18 (O 17 K 30 )(68,27,23,92) 10 (O 10 K 26 )(91,12,5,3); (O 1 K 27 )(2,7,3,10) ϕ 15 (O 14 K 35 )(26,50,96,25) 11 (O 12 K 38 ) (65,38,39,58) ϕ 23 (O 24 K 47 )(88,90,85,84) 1 (O 1 K 27 )(2,7,3,10); (O 3 K 27 )(2,7,17,19) ϕ 15 (O 8 K 35 )(26,50,51,28) ϕ 8 (O 18 K 48 ) (95,84,80,93) 24 (O 22 K 41 )(53,56,72,61) 3 (O 3 K 27 )(2,7,17,19); (O 7 K 27 )(2,10,44,19) ϕ 15 (O 4 K 35 )(26,25,27,28) ϕ 4 (O 23 K 43 ) (62,90,87,63) 21 (O 20 K 34 )(29,34,73,94) 7 (O 7 K 27 )(2,10,44,19); (O 8 K 27 )(28,3,10,44) ϕ 15 (O 17 K 35 )(69,96,25,27) 10 (O 10 K 31 ) (41,52,11,12) ϕ 19 (O 18 K 32 )(93,36,38,64) 8 (O 8 K 27 )(28,3,10,44); (O 13 K 27 )(28,17,19,44) ϕ 15 (O 13 K 35 )(69,51,28,27) ϕ 12 (O 15 K 38 ) (40,37,77,59) ϕ 23 (O 15 K 47 )(77,78,76,75) 12 (O 13 K 27 )(28,17,19,44); (O 8 K 28 )(3,9,49,26) ϕ 16 (O 17 K 46 )(83,82,73,96) 10 (O 10 K 42 ) (57,59,54,52) 22 (O 18 K 36 )(36,37,75,95) 8 (O 8 K 28 )(3,9,49,26); (O 5 K 28 )(4,8,24,35) ϕ 16 (O 22 K 46 )(88,89,72,74) 3 (O 3 K 30 ) (14,18,17,15) ϕ 18 (O 19 K 40 )(43,45,70,60) 5 ;(O 5 K 28 )(4,8,24,35);

6 ON A FOUR-DIMENSIONAL HYPERBOLIC MANIFOLD WITH FINITE VOLUME 85 (O 9 K 28 )(4,9,49,35) ϕ 16 (O 20 K 46 )(88,82,73,74) 7 (O 7 K 40 ) (43,45,44,42) 18 (O 16 K 30 )(14,18,68,92) 9 (O 9 K 28 )(4,9,49,35); (O 4 K 28 )(3,8,24,26) ϕ 16 (O 21 K 46 )(83,89,72,96) 6 (O 6 K 36 ) (36,37,51,30) ϕ 22 (O 23 K 42 )(57,59,78,62) 4 (O 4 K 28 )(3,8,24,26); (O 1 K 29 )(4,6,5,11) ϕ 17 (O 14 K 37 )(74,56,35,34) 11 (O 12 K 33 ) (21,20,67,46) ϕ 20 (O 24 K 45 )(81,86,83,79) 1 (O 1 K 29 )(4,6,5,11); (O 9 K 29 )(4,11,54,33) ϕ 17 (O 20 K 37 )(74,34,32,76) 7 (O 7 K 31 ) (42,10,12,41) ϕ 19 (O 16 K 32 )(14,20,64,93) 9 (O 9 K 29 )(4,11,54,33); (O 6 K 29 )(5,6,31,40) ϕ 17 (O 9 K 37 )(35,56,55,33) ϕ 9 (O 16 K 48 ) (92,79,80,93) 24 (O 21 K 41 )(47,50,72,61) 6 (O 6 K 29 )(5,6,31,40); (O 10 K 29 )(5,11,54,40) ϕ 17 (O 5 K 37 )(35,34,32,33) ϕ 5 (O 19 K 43 ) (60,86,87,63) 21 (O 17 K34)(23,25,73,94) 10 (O 10 K 29 )(5,11,54,40); (O 15 K 29 )(31,40,54,33) ϕ 17 (O 15 K 37 )(55,33,32,76) 12 (O 13 K 33 ) (18,71,45,19) ϕ 20 (O 13 K 45 )(70,69,68,71) ϕ 12 (O 15 K 29 )(31,40,54,33); (O 2 K 30 )(14,15,23,92) ϕ 18 (O 11 K 40 )(43,60,47,42) 2 (O 2 K 36 ) (29,30,36,95) ϕ 22 (O 11 K 42 )(53,62,57,52) 2 (O 2 K 30 )(14,15,23,92); (O 13 K 30 )(17,18,68,27) ϕ 18 (O 13 K 40 )(70,45,44,51) ϕ 12 (O 15 K 36 ) (31,32,75,37) ϕ 22 (O 15 K 42 )(78,55,54,59) 12 (O 13 K 30 )(17,18,68,27); (O 1 K 31 )(9,10,12,11) ϕ 19 (O 12 K 32 )(13,20,64,38) ϕ 11 (O 14 K 41 ) (72,56,49,50) ϕ 24 (O 24 K 48 )(80,84,82,79) 1 (O 1 K 31 )(9,10,12,11); (O 8 K 31 )(9,10,42,48) ϕ 19 (O 3 K 32 )(13,20,14,16) ϕ 3 (O 22 K 47 ) (78,90,88,76) 23 (O 18 K 38 )(37,38,65,77) 8 (O 8 K 31 )(9,10,42,48); (O 9 K 31 )(9,11,52,48) ϕ 19 (O 6 K 32 )(13,38,36,16) ϕ 6 (O 21 K 45 ) (70,86,83,69) 20 (O 16 K 33 )(18,20,67,71) 9 (O 9 K 31 )(9,11,52,48); (O 11 K 31 )(41,42,48,52) ϕ 19 (O 2 K 32 )(93,14,16,36) ϕ 2 (O 11 K 41 ) (48,53,61,47) ϕ 24 (O 2 K 48 )(94,95,93,92) ϕ 2 (O 11 K 31 )(41,42,48,52); (O 3 K 33 )(18,19,21,20) ϕ 20 (O 19 K 45 )(70,71,81,86) 5 (O 5 K 34 ) (24,22,29,34) ϕ 21 (O 22 K 43 )(89,61,62,90) 3 (O 3 K 33 )(18,19,21,20); (O 7 K 33 )(19,21,46,45) ϕ 20 (O 16 K 45 )(71,81,79,68) 9 (O 9 K 41 ) (48,53,56,49) ϕ 24 (O 20 K 48 )(94,95,84,82) 7 (O 7 K 33 )(19,21,46,45); (O 4 K 34 )(22,23,25,24) ϕ 21 (O 21 K 43 )(61,60,86,89) 6 (O 6 K 38 ) (40,39,38,37) ϕ 23 (O 23 K 47 )(77,85,90,78) 4 (O 4 K 34 )(22,23,25,24); (O 10 K 38 )(40,39,58,59) ϕ 23 (O 18 K 47 )(77,85,84,75) 8 (O 8 K 41 ) (48,47,50,49) ϕ 24 (O 17 K 48 )(94,92,79,82) ϕ 10 (O 10 K 38 )(40,39,58,59). The dihedral angles at the triangular faces of the polyhedron are equal to π/3. Therefore a cycle of these faces will be inessential if it contains six faces. Write cycles of these faces:

7 86 I. S. GUTSUL (O 1 O 3 )(1,2,7) ϕ 1 (O 22 O 24 )(89,88,90) 3 (O 3 O 16 ) (18,14,20) 9 (O 1 O 9 )(9,4,11) ϕ 1 (O 16 O 24 )(80,81,79) 9 (O 9 O 22 )(55,53,56) 3 (O 1 O 3 )(1,2,7); (O 1 O 6 )(1,5,6) ϕ 1 (O 21 O 24 )(89,83,86) 6 (O 6 O 18 ) (37,36,38) 8 (O 1 O 8 )(9,3,10) ϕ 1 (O 18 O 24 )(80,85,84) 8 (O 8 O 21 )(51,47,50) 6 (O 1 O 3 )(1,5,6); (O 1 O 5 )(8,6,4) ϕ 1 (O 19 O 24 )(87,86,81) 5 (O 5 O 20 ) (32,34,29) 7 (O 1 O 7 )(12,10,2) ϕ 1 (O 20 O 24 )(82,84,88) 7 (O 7 O 19 )(45,46,43) 5 (O 1 O 5 )(8,6,4); (O 1 O 4 )(8,7,3) ϕ 1 (O 23 O 24 )(87,90,85) 4 (O 4 O 17 ) (27,25,23) 10 (O 1 O 10 )(12,11,5) ϕ 1 (O 17 O 24 )(82,79,83) 10 (O 10 O 23 )(59,58,57) 4 (O 1 O 4 )(8,7,3); (O 2 O 3 )(15,16,14) ϕ 2 (O 11 O 23 )(62,61,53) 3 (O 3 O 7 ) (21,19,2) ϕ 7 (O 2 O 20 (95,94,29) ϕ 2 (O 7 O 11 )(41,42,43) ϕ 7 (O 20 O 22 (76,74,88) 3 (O 2 O 3 )(15,16,14); (O 2 O 4 )(15,22,23) ϕ 2 (O 11 O 23 )(62,63,57) 4 (O 4 O 8 ) (26,28,3) ϕ 8 (O 2 O 18 )(95,93,36) ϕ 2 (O 8 O 11 )(42,48,47) ϕ 8 (O 18 O 23 )(65,77,85) 4 (O 2 O 4 )(15,22,23); (O 2 O 4 )(22,29,30) ϕ 2 (O 11 O 19 )(63,43,60) 5 (O 5 O 9 ) (33,4,35) ϕ 9 (O 2 O 16 )(93,14,92) ϕ 2 (O 9 O 11 )(48,53,52) ϕ 9 (O 16 O 19 )(71,81,67) 5 (O 2 O 4 )(22,29,30); (O 2 O 6 )(16,36,30) ϕ 2 (O 11 O 21 )(61,47,60) 6 (O 6 O 10 ) (40,5,39) ϕ 10 (O 2 O 17 )(94,23,92) ϕ 2 (O 10 O 11 (41,57,52) ϕ 10 (O 17 O 21 )(69,83,96) ϕ 6 (O 2 O 6 )(16,36,30); (O 3 O 6 )(1,16,13) ϕ 3 (O 15 O 22 )(55,76,78) 12 (O 3 O 13 ) (18,19,17) ϕ 3 (O 21 O 22 )(89,61,72) 6 (O 6 O 15 )(37,40,31) 12 (O 13 O 21 )(51,69,70) 6 (O 3 O 6 )(1,16,13); (O 3 O 4 )(15,17,7) ϕ 3 (O 14 O 22 )(74,72,56) 11 (O 3 O 12 ) (21,13,20) ϕ 3 (O 22 O 23 )(62,78,90) 4 (O 4 O 14 )(26,24,25) 11 (O 12 O 23 )(65,66,58) 4 (O 3 O 4 )(15,17,7); (O 4 O 5 )(8,22,24) ϕ 4 (O 15 O 23 )(59,77,78) 12 (O 4 O 13 ) (27,28,17) ϕ 4 (O 19 O 23 )(87,63,66) 5 (O 5 O 15 )(32,33,31) 12 (O 13 O 19 )(45,71,70) 5 (O 4 O 5 )(8,22,24); (O 5 O 14 )(34,35,24) ϕ 5 (O 19 O 21 )(86,60,70) 6 (O 6 O 12 ) (38,39,13) ϕ 11 (O 14 O 21 )(50,96,72) 6 (O 5 O 6 )(6,30,31) ϕ 5 (O 12 O 19 )(46,67,66) ϕ 11 (O 5 O 14 )(34,35,24); (O 7 O 8 )(10,42,44) ϕ 7 (O 14 O 20 )(34,74,73) 11 (O 7 O 12 ) (46,21,91) ϕ 7 (O 18 O 20 )(84,95,75) 8 (O 8 O 14 )(50,26,49) 11 (O 12 O 18 )(38,65,64) 8 (O 7 O 8 )(10,42,44);

8 ON A FOUR-DIMENSIONAL HYPERBOLIC MANIFOLD WITH FINITE VOLUME 87 (O 7 O 10 )(12,41,91) ϕ 7 (O 15 O 20 )(32,76,75) 12 (O 7 O 13 ) (45,19,44) ϕ 7 (O 17 O 20 )(82,94,73) 10 (O 10 O 15 )(59,40,54) 12 (O 13 O 17 )(27,69,68) 10 (O 7 O 10 )(12,41,91); (O 8 O 9 )(9,48,49) ϕ 8 (O 15 O 18 )(37,77,75) 12 (O 8 O 13 ) (51,28,44) ϕ 8 (O 16 O 18 )(80,93,64) 9 (O 9 O 15 )(55,33,54) 12 (O 13 O 16 )(18,71,68) 9 (O 8 O 9 )(9,48,49); (O 9 O 10 )(54,52,11) ϕ 9 (O 12 O 16 )(64,67,20) ϕ 11 (O 9 O 14 ) (49,35,56) ϕ 9 (O 16 O 17 )(68,92,79) 10 (O 10 O 12 )(91,39,58) ϕ 11 (O 14 O 17 )(73,96,25) 10 (O 9 O 10 )(54,52,11). Finally write cycles of one-dimensional edges of the polyhedron R 2 : (1,2) ϕ 14 (87,81) 1 (8,4) ϕ 16 (89,88) 3 (18, 14) ϕ 18 (45,43) ϕ 7 (82,88) 16 (9,4) ϕ 1 (80,81) 14 (12,2) ϕ 7 (32,29) ϕ 22 (55,53) 3 (1,2); (1,5) ϕ 14 (87,85) 1 (8,3) ϕ 16 (89,83) 6 (37, 36) ϕ 22 (59,57) ϕ 10 (82,83) 16 (9,3) ϕ 1 (80,85) 14 (12,5) ϕ 10 (27,23) ϕ 18 (51,47) 6 (1,5); (1,6) ϕ 13 (66,58) ϕ 11 (24,25) ϕ 21 (89,86) 6 (37, 38) ϕ 23 (78,90) 3 (13,20) 19 (9,10) ϕ 1 (80,84) 24 (72,56) ϕ 1 3 (17,7) ϕ 15 (51,50) 6 (1,6); (1,7) ϕ 13 (66,46) ϕ 11 (24,34) ϕ 21 (89,90) 3 (18, 20) ϕ 20 (70,86) 6 (13,38) 19 (9,11) ϕ 1 (80,79) 24 (72,50) ϕ 1 6 (31,6) ϕ 17 (55,56) 3 (1,7); (1,16) ϕ 13 (66,63) 5 (31,33) ϕ 17 (55,76) 12 (18,19) ϕ 20 (70,71) 5 (24,22) ϕ 21 (89,61) 6 (37, 40) ϕ 23 (78,77) 12 (17,28) ϕ 15 (51,69) 6 (1,16); (1,13) ϕ 14 (87,66) 4 (27,17) ϕ 18 (51,70) ϕ 12 (37,31) ϕ 22 (59,78) 4 (8,24) ϕ 16 (89,72) 3 (18, 17) ϕ 18 (45,70) ϕ 1 2 (32,31) ϕ 22 (55,78) 3 (1,13); (2,10) ϕ 15 (26,25) ϕ 4 (62,90) 21 (29,34) ϕ 5(81,86) 20 (21,20) ϕ 11 (74,56) 17 (4,6) ϕ 5 (43,46) 13 (15,7) ϕ 4 (65,58) ϕ 23 (88,84) 1 (2,10); (2,7) ϕ 15 (26,50) ϕ 8 (95,84) 24 (53,56) ϕ 9 (81,79) 20 (21,46) ϕ 11 (74,34) 17 (4,11) ϕ 9 (14,20) 19 (42,10) ϕ 8 (65,38) ϕ 23 (88,90) 1 (2,7); (2,19) ϕ 15 (26,28) ϕ 4 (62,63) 21 (29,94) ϕ 2 (43,41) 13 (15,22) ϕ 4 (65,77) ϕ 23 (88,76) 3 (14, 16) 19 (42,48) ϕ 1 2 (95,93) 24 (53,61) ϕ 1 3 (2,19);

9 88 I. S. GUTSUL (2,21) ϕ 14 (81,67) 5 (29,30) ϕ 22 (53,62) 2 (14, 15) ϕ 18 (43,60) 5 (4,35) ϕ 16 (88,74) 7 (43, 42) 18 (14,92) ϕ 2 (53,52) 22 (29,95) ϕ 1 7 (2,21); (3,7) ϕ 15 (96,50) 11 (39,38) ϕ 23 (85,90) 4 (23, 25) ϕ 21 (60,86) 5 (35,34) 17 (5,11) ϕ 1 (83,79) 20 (67,46) ϕ 1 5 (30,6) ϕ 13 (57,58) 4 (3,7); (3,10) ϕ 15 (96,25) 11 (39,58) ϕ 23 (85,84) 8 (47, 50) ϕ 24 (92,79) 9 (35,56) 17 (5,6) ϕ 1 (83,86) 20 (67,20) ϕ 1 9 (51,11) ϕ 19 (36,38) 8 (3,10); (3,26) ϕ 16 (83,96) 6 (36,30) ϕ 22 (57,62) 2 (23, 15) ϕ 18 (47,60) 6 (5,39) ϕ 14 (85,65) 8 (47, 42) 18 (23,92) ϕ 2 (57,52) 22 (36,95) ϕ 1 8 (3,26); (3,28) ϕ 15 (96,69) 10 (52,41) ϕ 19 (36,93) ϕ 2 (47,48) ϕ 24 (92,94) 10 (39,40) ϕ 23 (85,77) 4 (23, 22) ϕ 21 (60,61) 2 (30,16) ϕ 13 (57,63) 4 (3,28); (4,33) ϕ 17 (74,76) 3 (15,16) ϕ 13 (43,63) 2 (29, 22) ϕ 21 (62,61) 3 (21,19) ϕ 20 (81,71) 9 (53, 48) ϕ 24 (95,94) ϕ 2 (42,41) ϕ 19 (14,93) 9 (4,33); (5,40) ϕ 17 (35,33) ϕ 5 (60,63) 21 (23,94) ϕ 2 (57,41) 13 (30,22) ϕ 5 (67,71) ϕ 20 (83,69) 6 (36, 16) 19 (52,48) ϕ 1 2 (92,93) 24 (47,61) ϕ 1 6 (5,40); (6,8) ϕ 13 (58,91) ϕ 13 (25,73) ϕ 21 (86,87) 5 (34,32) 17 (11,54) ϕ 9 (20,64) 19 (10,12) ϕ 1(84,82) 24 (56,49) ϕ 9(79,68) 20 (46,45) ϕ 1 5 (6,8); (7,8) ϕ 13 (46,91) ϕ 7 (84,75) 23 (58,59) ϕ 10 (79,82) 24 (50,49) ϕ 1 11 (38,64) ϕ 1 19 (11,12) ϕ 10 (25,27) 15 (10,44) ϕ 7 (34,73) ϕ 21 (90,87) 1 (7,8); (8,22) ϕ 13 (91,41) ϕ 7 (75,76) 23 (59,77) ϕ 1 12 (27,28) 15 (44,19) ϕ 7 (73,94) ϕ 21 (87,63) 5 (32, 33) 17 (54,40) ϕ 1 12 (68,69) ϕ 1 20 (45,71) ϕ 1 5 (8,22); (9,49) ϕ 16 (82,73) 7 (45,44) 18 (18,68) ϕ 12 (55,54) 22 (32,75) ϕ 1 7 (12,91) ϕ 14 (80,64) 8 (51, 44) 18 (27,68) ϕ 12 (59,54) 22 (37,75) ϕ 1 8 (9,49); (9,48) ϕ 19 (13,16) ϕ 3 (78,76) 23 (37,77) ϕ 1 12 (51,28) 15 (17,19) ϕ 3 (72,61) ϕ 24 (80,93) 9 (55, 33) 17 (31,40) ϕ 1 12 (70,69) ϕ 20 1 (18,71) 9 (9,48); (12,41) ϕ 19 (64,93) 9 (54,33) ϕ 17 (32,76) 12 (45,19) ϕ 20 (68,71) 9 (49,48) ϕ 24 (82,94) 10 (59,40) ϕ 23 (75,77) 12 (44,28) ϕ 15 (27,69) 10 (12,41);

10 ON A FOUR-DIMENSIONAL HYPERBOLIC MANIFOLD WITH FINITE VOLUME 89 (13,21) ϕ 14 (66,67) ϕ 11 (24,35) ϕ 16 (72,74) 3 (17, 15) ϕ 18 (70,60) 6 (13,39) ϕ 14 (66,65) ϕ 11 (24,26) ϕ 16 (72,96) 6 (31,30) ϕ 22 (78,62) 3 (13,21); (95,75) ϕ 22 (52,54) ϕ 9 (67,64) 14 (21,91) ϕ11 (74,73) 16 (35,49) ϕ 9 (92,68) ϕ 18 (42,44) ϕ 8 (65,64) 14 (39,91) ϕ 11 (96,73) 16 (26,49) ϕ 8 (95,75). As each cycle contains 12 edges, we have shown that cycles of one-dimensional edges are inessential, too. Thus we have shown that identifying the faces of the polyhedron R 2 by the motions ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ 24, the cycles both of two-dimensional faces and one-dimensional edges are inessential. Therefore the group Γ generated by the motions ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ 24 does not contain elements of finite order, i. e. Γ is torsion-free. Then the quotient space of the space H 4 by the group Γ is a fourdimensional hyperbolic manifold M with finite volume which is not closed. The manifold M has four cusps, i. e. four ends of the form T 3 [0, ), where T 3 is a three-dimensional torus. References [1] Ratcliffe I. G., Tschantz S. T. The Volume Spectrum of Hyperbolic 4-Manifolds. Experimental Math., 2000, 9, [2] Gutsul I. S. Some hyperbolic manifolds. Bul. Acad. Ştiinţe Repub. Moldova, Matematica, 2004, No. 3(46), I. S.Gutsul Institute of Mathematics and Computer Science Academy of Sciences of Moldova 5 Academiei str., Chişinău, MD-2028 Moldova Received March 18, 2013

### EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

### 2 Composition. Invertible Mappings

Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

### Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

### Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

### C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

### Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

### Second Order Partial Differential Equations

Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

### A Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation

International Mathematical Forum, 5, 2010, no. 67, 3301-3307 A Note on Intuitionistic Fuzzy Equivalence Relation D. K. Basnet Dept. of Mathematics, Assam University Silchar-788011, Assam, India dkbasnet@rediffmail.com

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

### Areas and Lengths in Polar Coordinates

Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

### Lecture 13 - Root Space Decomposition II

Lecture 13 - Root Space Decomposition II October 18, 2012 1 Review First let us recall the situation. Let g be a simple algebra, with maximal toral subalgebra h (which we are calling a CSA, or Cartan Subalgebra).

Διαβάστε περισσότερα

### 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

### Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

### Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

### Section 8.3 Trigonometric Equations

99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

### Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

### Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

### DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS

GANIT J. Bangladesh Math. oc. IN 606-694) 0) -7 DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANFORMATION EMIGROUP ubrata Majumdar, * Kalyan Kumar Dey and Mohd. Altab Hossain Department of Mathematics University

Διαβάστε περισσότερα

### CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

### ( ) 2 and compare to M.

Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

### Section 9.2 Polar Equations and Graphs

180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

### CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

### SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

### Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

### The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 7: The Janson Inequality Sotiris Nikoletseas Associate Professor Computer Engineering and Informatics Department 2014-2015 Sotiris Nikoletseas,

Διαβάστε περισσότερα

### Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

### 2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

### Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

### Homework 8 Model Solution Section

MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

### 9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr

9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values

Διαβάστε περισσότερα

### MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS

MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS FUMIE NAKAOKA AND NOBUYUKI ODA Received 20 December 2005; Revised 28 May 2006; Accepted 6 August 2006 Some properties of minimal closed sets and maximal closed

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

### ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER Abstract. We define ordinal arithmetic and show laws of Left- Monotonicity, Associativity, Distributivity, some minor related properties and the Cantor Normal Form.

Διαβάστε περισσότερα

### Coefficient Inequalities for a New Subclass of K-uniformly Convex Functions

International Journal of Computational Science and Mathematics. ISSN 0974-89 Volume, Number (00), pp. 67--75 International Research Publication House http://www.irphouse.com Coefficient Inequalities for

Διαβάστε περισσότερα

### TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

### Second Order RLC Filters

ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

### 14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense

Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Day one I. Word Study and Grammar 1. Most Greek verbs end in in the first person singular. 2. The present tense is formed by adding endings to the present stem.

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

### Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

### ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

### Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic

Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness

Διαβάστε περισσότερα

### Instruction Execution Times

1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα

### Partial Trace and Partial Transpose

Partial Trace and Partial Transpose by José Luis Gómez-Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/ jose.luis.gomez@itesm.mx This document is based on suggestions by Anirban Das Introduction This

Διαβάστε περισσότερα

### Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

### Συντακτικές λειτουργίες

2 Συντακτικές λειτουργίες (Syntactic functions) A. Πτώσεις και συντακτικές λειτουργίες (Cases and syntactic functions) The subject can be identified by asking ποιος (who) or τι (what) the sentence is about.

Διαβάστε περισσότερα

### Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΑΓΡΟΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Οικονομετρική διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

### Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα

[ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα Νίκος Στυλιανόπουλος, Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, εκέµβριος 2009 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Πόσο σηµαντική είναι η απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

### Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.

Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x

Διαβάστε περισσότερα

### A General Note on δ-quasi Monotone and Increasing Sequence

International Mathematical Forum, 4, 2009, no. 3, 143-149 A General Note on δ-quasi Monotone and Increasing Sequence Santosh Kr. Saxena H. N. 419, Jawaharpuri, Badaun, U.P., India Presently working in

Διαβάστε περισσότερα

### 6.3 Forecasting ARMA processes

122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΕΧΝΟΛΟ ΓΙ ΚΟ ΕΚΠΑ ΙΔ ΕΥ Τ ΙΚΟ Ι ΔΡΥ Μ Α 'ΠΕ Ι ΡΑ ΙΑ ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΦΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ ΕΥΧΡΗΣΤΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΜΕΝΟΥ

515 ΤΕΧΝΟΛΟ ΓΙ ΚΟ ΕΚΠΑ ΙΔ ΕΥ Τ ΙΚΟ Ι ΔΡΥ Μ Α 'ΠΕ Ι ΡΑ ΙΑ ~ " ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΦΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΉ ΕΡΓ ΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ ΕΥΧΡΗΣΤΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΙΚΟΥ ΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

### Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού)

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Ενδεικτικές δραστηριότητες

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games

Διαβάστε περισσότερα

### Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

### UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *6301456813* GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30

Διαβάστε περισσότερα

### Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

### ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ιπλωµατική Εργασία. της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411

Παρακίνηση εργαζοµένων: Ο ρόλος του ηγέτη στην παρακίνηση των εργαζοµένων. ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιπλωµατική Εργασία της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411 ΠΑΡΑΚΙΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 9: Inversion Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ

Ε ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΗΜΟΣΙΑΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙE ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέµα: Εκπαίδευση: Μέσο ανάπτυξης του ανθρώπινου παράγοντα και εργαλείο διοικητικής µεταρρύθµισης Επιβλέπουσα:

Διαβάστε περισσότερα

### ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) β = Chapter 5 Exercise Problems EX α So 49 β 199 EX EX EX5.4 EX5.5. (a)

hapter 5 xercise Problems X5. α β α 0.980 For α 0.980, β 49 0.980 0.995 For α 0.995, β 99 0.995 So 49 β 99 X5. O 00 O or n 3 O 40.5 β 0 X5.3 6.5 μ A 00 β ( 0)( 6.5 μa) 8 ma 5 ( 8)( 4 ) or.88 P on + 0.0065

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Introduction and Preliminaries.

Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.yu/filomat Filomat 22:1 (2008), 97 106 ON δ SETS IN γ SPACES V. Renuka Devi and D. Sivaraj Abstract We

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟΥ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΘΕΜΕΛΗ ΤΙΤΛΟΣ Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

### 1. For each of the following power series, find the interval of convergence and the radius of convergence:

Math 6 Practice Problems Solutios Power Series ad Taylor Series 1. For each of the followig power series, fid the iterval of covergece ad the radius of covergece: (a ( 1 x Notice that = ( 1 +1 ( x +1.

Διαβάστε περισσότερα

### Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

### Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

### Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η προβολή επιστημονικών θεμάτων από τα ελληνικά ΜΜΕ : Η κάλυψή τους στον ελληνικό ημερήσιο τύπο Σαραλιώτου

Διαβάστε περισσότερα

### Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Connectionless transmission with datagrams. Connection-oriented transmission is like the telephone system You dial and are given a connection to the telephone of fthe person with whom you wish to communicate.

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) «Αρχιμήδης ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών ομάδων στην Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.» Υποέργο: 8 Τίτλος: «Εκκεντρότητες αντισεισμικού σχεδιασμού ασύμμετρων

Διαβάστε περισσότερα

### Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

### ECON 381 SC ASSIGNMENT 2

ECON 8 SC ASSIGNMENT 2 JOHN HILLAS UNIVERSITY OF AUCKLAND Problem Consider a consmer with wealth w who consmes two goods which we shall call goods and 2 Let the amont of good l that the consmer consmes

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

### ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

### Door Hinge replacement (Rear Left Door)

Door Hinge replacement (Rear Left Door) We will continue the previous article by replacing the hinges of the rear left hand side door. I will use again the same procedure and means I employed during the

Διαβάστε περισσότερα

### Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is

Volume of a Cuboid The formula for the volume of a cuboid is Volume = length x breadth x height V = l x b x h Example Work out the volume of this cuboid 10 cm 15 cm V = l x b x h V = 15 x 6 x 10 V = 900cm³

Διαβάστε περισσότερα

### "ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013"

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Επιμέλεια Κρανιωτάκη Δήμητρα Α.Μ. 8252 Κωστορρίζου Δήμητρα Α.Μ. 8206 Μελετίου Χαράλαμπος Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα

### Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. Χρυσάνθη Στυλιανού Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

### Abstract Storage Devices

Abstract Storage Devices Robert König Ueli Maurer Stefano Tessaro SOFSEM 2009 January 27, 2009 Outline 1. Motivation: Storage Devices 2. Abstract Storage Devices (ASD s) 3. Reducibility 4. Factoring ASD

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μελέτη των υλικών των προετοιμασιών σε υφασμάτινο υπόστρωμα, φορητών έργων τέχνης (17ος-20ος αιώνας). Διερεύνηση της χρήσης της τεχνικής της Ηλεκτρονικής Μικροσκοπίας

Διαβάστε περισσότερα

### Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

### þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä ÅÂ ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å

Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Economic Sciences and Business http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ ½»ÅÃ ÄÉ½ µ½½ ¹Î½ Ä Â þÿ±¾¹»ì³ Ã Â º±¹ Ä Â þÿ±à Äµ»µÃ¼±Ä¹ºÌÄ Ä±Â

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα

### Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά.

Διαστημικό εστιατόριο του (Μ)ΑστροΈκτορα Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Μόλις μια παρέα πελατών κάτσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

### Tevfik Bilgin, Necat Gorentas, and I. Gokhan Kelebek

J Korean Math Soc 47 (010), No 6, pp 139 15 DOI 104134/JKMS010476139 CHARACTERIZATION OF CENTRAL UNITS OF ZA n Tevfik Bilgin, Necat Gorentas, and I Gokhan Kelebek Abstract The structure of V (Z(ZA n))

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

### Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =

Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Π.Μ.Σ. «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ» «Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

### LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV 18 February 2014 Slowly/quietly Clear/clearly Clean Quickly/quick/fast Hurry (in a hurry) Driver Attention/caution/notice/care Dance Σιγά Καθαρά Καθαρός/η/ο

Διαβάστε περισσότερα

### Démographie spatiale/spatial Demography

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα