c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6)"

Transcript

1 15 Απριλίου 2011

2 (ΔΕΜΠ) Πολλά σημαντικά επιστημονικά προβλήματα στο χώρο της φυσικής περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΔΕΜΠ). Συνήθως το φυσικό φαινόμενο που μελετάμε παριστάνεται από μια συνάρτηση περισοτέρων της μιας μεταβλητών που ικανοποιεί συγκεκριμένη μορφή εξίσωσης. Τα περισσότερα επιστημονικά/φυσικά προβλήματα μάλιστα περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις των οποίων η ανώτερης τάξης παράγωγος είναι δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα αν ψ είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών x και y τότε υπάρχουν τρείς μερικές παράγωγοι της δεύτερης τάξης 2 ψ x 2, 2 ψ x y, 2 ψ y 2 (1)

3 Με βάση τις τιμές των συντελεστών των παραγώγων δεύτερης τάξης κατατάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους σε ελλειπτικές, παραβολικές, υπερβολικές. Μια ΔΕΜΠ δέυτερης τάξης είναι της μορφής A 2 ψ x 2 + B 2 ψ x y + C 2 ψ y 2 + D ( x, y, ψ, ψ x, ψ ) = 0 (2) x Ανάλογα με την τιμή της ποσότητας B 2 4AC οι ΔΕΜΠ κατατάσσονται ως: Ελλειπτικές, αν B 2 4AC < 0 Παραβολικές, αν B 2 4AC = 0 Υπερβολικές, αν B 2 4AC > 0 Αν οι συντελεστές A, B και C είναι συναρτήσεις των x, y τότε είναι δυνατόν μια ΔΕΜΠ να άλλαζει κατηγορία σε διάφορες περιοχές του πεδίου ορισμού της.

4 Δυο κλασσικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους η εξίσωση Laplace 2 ψ = 0 (3) και η εξίσωση Poisson 2 ψ = f (x, y) (4) έχουν B = 0, A = C = 1, και επομένως είναι πάντοτε ελλειπτικές. Η κυματική εξίσωση 2 ψ 1 2 ψ c 2 t 2 = 0 (5) είναι κλασσική περίπτωση υπερβολικής ΔΕΜΠ. Ενώ η εξίσωση της θερμότητας σ 2 ψ ψ t = 0 (6) είναι χαρακτηριστική περίπτωση παραβολικής ΔΕΜΠ. Για την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων απαιτούνται κατ αρχάς οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες ή/και κατάλληλες αρχικές συνθήκες.

5 Παραβολικές ΔΕΜΠ Θα παρουσιάσουμε μια μέθοδο αναλυτικής επίλυσης μιας 1D παραβολικής ΔΕΜΠ. Εστω η ΔΕΜΠ: u t = α2 2 u x 2 για 0 x 1 και 0 t < (7) με οριακές συνθήκες : και αρχικές συνθήκες : u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 για 0 t < (8) u(x, 0) = φ(x), για 0 x 1. (9) Για την αναλυτική επίλυση θα θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση u(t, x) μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο συναρτήσεων η πρώτη εκ των οποίων είνα συνάρτηση μόνο της χρονικής μεταβλητής t και η άλλη μόνο της χωρικής μεταβλητής x, δηλαδή u(t, x) T (t) X (x) (10)

6 Παραβολικές ΔΕΜΠ Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (7) λαμβάνουμε: Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως : T (t)x (x) = a 2 T (t)x (x) (11) T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x) = λ2 (12) όπου λ είναι μια σταθερά αναλογίας. Με αυτό τον τρόπο έχουμε αναγάγει την αρχική παραβολική ΔΕΜΠ σε δύο κανονικές διαφορικές εξισώσεις με προφανείς λύσεις T λ 2 α 2 T = 0 (13) X λ 2 X = 0 (14) T (t) = C e λ2 α 2 t (15) X (x) = Ã sin(λx) + B cos(λx) (16)

7 Παραβολικές ΔΕΜΠ Η u(t, x) παίρνει τη μορφή: [ ] u(t, x) = Ce λ2 α 2 t à sin(λx) + B cos(λx), (17) προφανώς με αντικατάσταση C à A και C B B απαλείφουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης C. Οι εναπομείνουσες σταθερές ολοκλήρωσης A και B θα περιοριστούν ακόμη περισσότερο με χρήση των οριακών συνθηκών (8). Η οριακή συνθήκη u(0, t) = 0 συνεπάγεται ότι B = 0, άρα η λύση γίνεται: u(t, x) = Ae λ2 α 2t sin(λx), (18) Η δεύτερη οριακή συνθήκη u(1, t) = 0 συνεπάγεται ότι: e λ2 α 2t sin(λ) = 0 sin(λ) = 0 (19) με προφανείς επιτρεπτές τιμές για τη σταθερά λ τις : λ = ±π, ±2π, ±3π,... δηλαδή λ = ±nπ για n = ±1, ±2,... (20)

8 Παραβολικές ΔΕΜΠ Επομένως, όλες οι συναρτήσεις της μορφής : u n (t, x) = A n e (nπα)2t sin(nπx) για n = ±1, ±2,... (21) αποτελούν λύσεις της ΔΕΜΠ (7), αν και οι σταθερές ολοκλήρωσης A n θα πρέπει να υπολογισθούν με χρήση της συνθήκης αρχικών τιμών (9). Η γενική λύση θα είναι το άθροισμα όλων των λύσεων της μορφής (21), δηλαδή: u(t, x) = A n e (nπα)2t sin(nπx) για n = ±1, ±2,.... (22) n=1 Η συνθήκη αρχική τιμών (9), u(x, 0) = φ(x) οδηγεί στη σχέση φ(x) = A n sin(nπx) (23) n=1

9 Παραβολικές ΔΕΜΠ Οι σταθερές A n μπορούν να υπολογισθούν ως συνάρτηση της αρχικής συνάρτησης φ(x) αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση ορθογωνιότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή 1 { 0, m n sin(nπx) sin(mπx)dx = (24) 1/2, m = n 0 οπότε αν πολλαπλασιάσουμε την (23) με sin(mπx) (όπου m τυχαίος ακέραιος αριθμός) και ολοκληρώσουμε με όρια ολοκλήρωσης από 0 ως 1 λαμβάνουμε φ(x) sin(mπx)dx = A m sin 2 (mπx)dx = 1 2 A m (25) Επομένως, οι σταθερές A n θα υπολογίζονται από ολοκληρωτικές σχέσεις της μορφής A n = φ(x) sin(nπx)dx (26) και προφανώς εξαρτώνται κατά μοναδικό τρόπο από την αρχική μορφή της συνάρτησης φ(x).

10 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 1D Θα παρουσιάσουμε μια αναλυτική μέθοδο επίλυσης της μονοδιάστατης κυματικής εξίσωσης u tt = c 2 u xx (27) Η κυματική εξίσωση αυτή μπορεί να είναι η εξίσωση ταλάντωσης μιας χορδής, με τη συνάρτηση u(t, x) να παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισοροπίας και c την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. Θα θεωρήσουμε μια πακτωμένη στα άκρα χορδή, που για απλότητα θα υποθέσουμε ότι έχει μήκος l = 1. Δηλαδή οι οριακές συνθήκες θα είναι και οι αρχικές θα είναι u(t, 0) = u(t, 1) = 0 για t 0 (28) u(0, x) = φ(x) και u t (0, x) = ψ(x) για 0 x 1. (29)

11 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 1D Θα χρησιμοποιήσουμε την τεχνική του χωρισμού των μεταβλητών, δηλαδή θα γράψουμε την συνάρτηση u(t, x) ως u(t, x) = T (t) X (x) (30) όπου η T είναι συνάρτηση μόνο του χρόνου t και η X σύνάρτηση μόνο της χωρικής μεταβλητής x. Οπότε αντικαθιστώντας στην εξίσωση (27) έχουμε: T X = c 2 T X (31) αν χωρίσουμε την παραπάνω εξίσωση κατάλληλα 1 c 2 T T = X X = λ2 όπου λ = σταθερά (32) Επομένως, καταλήγουμε σε δύο κανονικές διαφορίκές εξισώσεις: T λ 2 c 2 T = 0 (33) X λ 2 X = 0 (34)

12 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 1D Η γενική λύση των παραπάνω εξισώσεων είναι: T (t) = α 1 cos(cλt) + α 2 sin(cλt) (35) X (x) = β 1 cos(λx) + β 2 sin(λx) (36) με βάση όμως την οριακή συνθήκη ότι u(t, 0) = u(t, 1) = 0 θα έχουμε ότι X (0) = X (1) = 0 που σημαίνει ότι : X (0) = β 1 = 0 (37) X (1) = β 2 sin(λ) = 0 (38) Για να ικανοποιείται η τελευταία εξίσωση, χωρίς να οδηγούμαστε σε μια τετριμμένη λύση, θα πρέπει να ισχύει λ = nπ όπου n = 0, 1, 2,... (39) που οδηγεί σε μια απειρία λύσεων της μορφής X n (x) = β 2 sin(nπx). (40)

13 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 1D Με βάση τα προηγούμενα η λύση της εξίσωσης για τη συνάρτηση T (t) γράφεται ως T n (t) = α 1,n cos(nπct) + α 2,n sin(nπct) (41) Οπότε υπάρχει ένα άπειρο σύνολο λύσεων της κυματικής εξίσωσης της μορφής u n (t, x) = T n (t) X n (x) = [A n cos(nπct) + B n sin(nπct)] sin(nπx) (42) όπου A n = α 1,n β 2 και B n = α 2,n β 2. Για να βρούμε μια λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (29) θα υποθέσουμε ότι η λύση δίνεται από την υπέρθεση των άπειρων λύσεων (ή και ενός συνόλου αυτών) δηλαδή η λύση θα είναι της μορφής u(t, x) = = T n (t) X n (x) n=1 [A n cos(nπct) + B n sin(nπct)] sin(nπx) (43) n=1

14 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 1D Από την πρώτη από τις αρχικές συνθήκες (29) πέρνουμε: u(0, x) = A n sin(nπx) = φ(x) (44) n=1 Οι σταθερές A n μπορούν να υπολογισθούν ως συνάρτηση της αρχικής συνάρτησης φ(x) αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση ορθογωνιότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή 1 0 sin(nπx) sin(mπx)dx = { 0, m n 1/2, m = n (45) οπότε αν πολλαπλασιάσουμε την (44) με sin(mπx) (όπου m τυχαίος ακέραιος αριθμός) και ολοκληρώσουμε με όρια ολοκλήρωσης από 0 ως 1 λαμβάνουμε φ(x) sin(mπx)dx = A m sin 2 (mπx)dx = 1 2 A m (46) 0

15 Επομένως, οι σταθερές A n θα υπολογίζονται από ολοκληρωτικές σχέσεις της μορφής A n = φ(x) sin(nπx)dx (47) και προφανώς εξαρτώνται κατά μοναδικό τρόπο από την αρχική μορφή της συνάρτησης φ(x). Απο τη χρήση της 2ης αρχικής συνθήκης θα καθορίσουμε την άλλη άγνωστη ποσότητα B n, συγκεκριμένα παραγωγίζοντας θα πάρουμε: u t = πc n [B n cos(nπct) A n sin(nπct)] sin(nπx) (48) n=1 που για t = 0 θα δώσει: οπότε θα είναι: B n = 2 nπ u t (0, x) = πc 1 0 nb n sin(nπx) = ψ(x) (49) n=1 ψ(x) sin(nπx)dx για n = 1, 2,... (50) και η λύση της εξίσωσης είναι πλήρως καθορισμένη.

16 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Η εξίσωση της εγκάρσιας κίνησης μιας μεμβράνης είναι: 2 ( ζ 2 ) t 2 = ζ c2 x ζ y 2 (51) c = (p/ρ) 1/2 : η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη μεμβράνη. Η εξίσωση (51) είναι δεύτερης τάξης ΔΕΜΠ και επομένως θα πρέπει να ορίσουμε αρχικές και οριακές συνθήκες έτσι ώστε να υπολογίσουμε μια μοναδική λύση. Θα μελετήσουμε μια κυκλική μεμβράνη με πακτωμένα τα άκρα της π.χ. επιφάνεια ενός τυμπάνου σε πολικές συντεταγμένες: 2 [ ( ζ 1 t 2 = c2 r 2 r ζ ) ] ζ r r r 2 φ 2 (52)

17 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Επειδή η μεμβράνη είναι πακτωμένη στα άκρα της η οριακή συνθήκη θα είναι ζ(r = R, φ, t) = 0. (53) Για ευκολία θα υποθέσουμε ότι η ακτίνα της μεμβράνης R = 1. Επομένως η οριακή συνθήκη (53) θα γραφεί ως: ζ(r = 1, φ, t) = 0. (54) Μια κλασσική μέθοδος για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους προβλημάτων είναι το ανάπτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις. Θα υποθέσουμε ότι η εγκάρσια μετατόπιση ζ(r, φ, t) είναι δυνατόν να χωρισθεί σε γινόμενο δύο συναρτήσεων, μια εξ αυτών θα περιγράφει τη χρονικό μέρος και η άλλη το χωρικό, ζ(r, φ, t) = G(r, φ)d(t). (55) Αν αντικαταστήσουμε την σχέση (55) στην εξίσωση (52) μπορούμε να χωρίσουμε το χωρικό από το χρονικό τμήμα της εξίσωσης 1 d 2 [ ( D(t) D dt 2 = c G(r, φ) r 2 r G ) ] G r r r 2 φ 2 = σταθερό ω 2 (56)

18 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Επειδή το αριστερό μερος της εξίσωσης είναι συνάρτηση μόνο του χρόνου και το δεξιό μόνο των χωρικών συντεταγμένων, θα πρέπει να είναι σταθερές και ίσες με μία ποσότητα, που ονομάσαμε ω 2. Επομένως το πρόβλημα ανάγεται στη λύση των παρακάτω δύο εξισώσεων d 2 D dt 2 = ω 2 D (57) ( 1 r 2 r G ) G r r r 2 φ 2 = ω2 c 2 G = k2 G (58) όπου k = ω/c είναι ο κυματάριθμος. Θα υποθέσουμε ότι η συνάρτηση G(r, φ) χωρίζεται σε δύο συναρτήσεις. Μία συνάρτηση της ακτινικής συντεταγμένης και μία της γωνιακής, δηλαδή G(r, φ) = h(r)g(φ). Με αντικατάσταση στην (58) λαμβάνουμε r 2 d 2 h h dr 2 + r dh h dr + k2 r 2 = 1 d 2 g g dφ 2 = σταθερό = m2 (59)

19 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Επομένως το πρόβλημα μας έχει αναχθεί στη λύση δύο κανονικών διαφορικών εξισώσεων d 2 g dφ 2 + m2 g = 0 (60) d 2 h dr ) dh (k r dr + 2 m2 r 2 h = 0 (61) Η εξίσωση (60) είναι μια κανονική διαφορική εξίσωση που περιγράφει κανονική ταλάντωση, στη συγκεκριμένη περίπτωση για την γωνιακή συντεταγμένη φ. Η γενική λύση της είναι g(φ) = A sin(mφ) + B cos(mφ) (62) Η δεύτερη εξίσωση, (61), ανάγεται στην γνωστή εξίσωση Bessel αν θεωρήσουμε την αλλαγή μεταβλητής x = kr. h + 1 ) x h + (1 m2 h = 0 (63) x 2

20 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Η λύση της εξίσωσης (63) για την παλλόμενη μεμβράνη είναι h(x) = J m (x) = J m (kr) όπου m = 0, 1, 2,... (64) όπου J m (x) είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους, που στη Mathematica δίνεται απο τη συνάρτηση BesselJ[m,x]. Σε μορφή σειράς δίνεται απο τη σχέση: J m (x) = 1 m! = i=0 ( x 2 ) m [ 1 1 ( 1) i i! Γ(m + i + 1) ( x 2 ( x ) ( x ) ] 4 + m (m + 1)(m + 2) 2! 2 ) m+2i (65) Οι συναρτήσεις Bessel υπακούουν σε νόμους ορθογωνιότητας ανάλογους με αυτούς των πολυωνύμων Legendre που είναι γνωστά από την Κβαντομηχανική.

21 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Αν ισχύει ότι οι J m (kx) και J m (lx) (ή οι παράγωγοι τους) μηδενίζονται στα σημεία a και b τότε b a J m (kx)j m (lx)xdx = 0 αν k l (66) ενώ b a J m (kx)j m (lx)xdx = x 2 2 [J m(kx)] 2 b a = x 2 2 [J m+1(kx)] 2 b a αν k = l Οι παραπάνω σχέσεις ορθογωνιότητας χρησιμοποιούνται συνήθως για τον υπολογισμό των συντελεστών σε αναπτύγματα συναρτήσεων σε σειρές συναρτήσεων Bessel. (67)

22 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Με την χρήση της Mathematica μπορούμε να δημιουργήσουμε τη γραφική παράσταση των συναρήσεων Bessel. Η εντολή είναι: Plot[Evaluate[Table[BesselJ[n,x],{n,0,2}]],{x,0,12}, PlotStyle >{{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]},{RGBColor[0,0,1]}}] Σχήμα: Γραφική παράσταση των συναρτήσεων Bessel J 0 (x), J 1 (x) και J 2 (x).

23 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Επομένως, η λύση της εξίσωσης (58) γράφεται στη μορφή G m (r, φ) = J m (kr) [A sin(mφ) + B cos(mφ)] (68) Ο δείκτης m στη συνάρτηση G m υποδηλώνει την ύπαρξη διαφορετικών λύσεων για τις διάφορες τιμές του m. Εως τώρα δεν χρησιμοποιήσαμε τις οριακές συνθήκες (54) ή (55), που με βάση το χωρισμό της συνάρτησης που ορίσαμε γράφεται και επομένως G(r = 1, φ) = h(r = 1) g(φ) = 0 (69) J m (k) = 0. (70) Επομένως ο υπολογισμός των ιδιοτιμών k έχει αναχθεί στην εύρεση των ριζών της εξίσωσης (70) η καλύτερα των ριζών των συναρτήσεων Bessel. Η κατάλληλη εντολή στη Mathematica είναι: << NumericalMath BesselZeros BesselJZeros[k,m]

24 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Ειναι γνωστό ότι οι συναρτήσεις Bessel έχουν άπειρο αριθμό ριζών, επομένως για κάθε τιμή του m πρέπει να υπολογίσουμε ένα άπειρο αριθμό ιδιοτιμών k απο την εξίσωση (70). Θα ακολουθήσουμε την εξής αρίθμηση για τις ιδιοτιμές k, θα τις γράφουμε στη μορφή k m,n όπου ο δείκτης n θα είναι η n-οστή ρίζα της m συνάρτησης Bessel. Αντίστοιχα θα αριθμούμε και τις τιμές του ω = ck δηλαδή ω m,n. Μερικές χαρακτηριστικές τιμές των ριζών των συναρτήσεων Bessel είναι: J 0 (k) = 0 : k 0,n 2.40, 5.52, 8.65 J 1 (k) = 0 : k 1,n 3.83, 7.02, J 2 (k) = 0 : k 2,n 5.14, 8.42, 11.62

25 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Αρα οι χαμηλότερες αρμονικές συχνότητες και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις θα είναι: k 0,1 = 2.40 ω 0,1 = 2.40c G 0 J 0 (2.40r) k 1,1 = 3.83 ω 1,1 = 3.83c G 1 J 1 (3.83r) [A sin(φ) + B cos(φ)] k 2,1 = 5.14 ω 2,1 = 5.14c G 2 J 2 (5.14r) [A sin(2φ) + B cos(2φ)] k 0,2 = 5.52 ω 0,2 = 5.52c G 0 J 0 (5.52r) Η χρονικά εξαρτώμενη λύση της εξίσωσης (52) για συγκεκριμένες τιμές των m και n θα είναι: ζ m,n (r, φ, t) = J m (k m,n r) [A m,n sin(mφ) + B m,n cos(mφ)] όπου ω m,n = ck m,n. [Γ m,n sin(ω m,n t) + m,n cos(ω m,n t)](71)

26 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Επειδή η εξίσωση (52) είναι μια γραμμική εξίσωση κίνησης, η γενική λύση θα είναι μια υπέρθεση των επιμέρους λύσεων (71). Οπότε αθροίζοντας ώς προς τα m και n καταλήγουμε στην η σε αναλυτική μορφή ζ(r, φ, t) = m=0 n=0 C m,n ζ m,n (r, φ, t) (72) ζ(r, φ, t) = + m,n=0 m,n=0 K m,n J m (k m,n r) sin(mφ) [Γ m,n sin(ω m,n t) + m,n cos(ω m,n t)] L m,n J m (k m,n r) cos(mφ) [Γ m,n sin(ω m,n t) + m,n cos(ω m,n (73) t)] όπου K m,n = C m,n A m,n και L m,n = C m,n B m,n. Οι άγνωστες ποσότητες στο ανάπτυγμα (73) είναι οι (χρονικά ανεξάρτητοι) συντελεστές K m,n Γ m,n, K m,n m,n, L m,n Γ m,n και L m,n m,n.

27 Υπερβολικές ΔΕΜΠ - 2D Αν χρησιμοποιήσουμε κατάλληλα τις αρχικές συνθήκες μπορούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές απο τις σχέσεις: K m,n Γ m,n = L m,n Γ m,n = K m,n m,n = L m,n m,n = 1 [I m,n 2 I m,n 3 + I m,n 1 I m,n 4 ] ω m,n πj m,n (74) 1 [I m,n 2 I m,n 5 + I m,n 1 I m,n 6 ] ω m,n πj m,n (75) 1 I m,n 1 I m,n 3 πj m,n (76) 1 I m,n 1 I m,n 5 πj m,n (77)

28 Οπότε απαιτείται ο υπολογισμός των παρακάτω ολοκληρωμάτων: J m,n = I m,n 1 = I m,n 2 = I m,n 3 = I m,n 4 = I m,n 5 = I m,n 6 = π 0 2π 0 2π 0 2π 0 J 2 m(k m,n r)rdr (78) h 1 (r)j m (k m,n r)rdr (79) h 2 (r)j m (k m,n r)rdr (80) g 1 (φ) sin(mφ)dφ (81) g 2 (φ) sin(mφ)dφ (82) g 1 (φ) cos(mφ)dφ (83) g 2 (φ) cos(mφ)dφ (84)

29 Παλλόμενη Κυκλική Μεμβράνη Σχήμα: Κανονικές μορφές ταλάντωσης μια κυκλικής μεμβράνης

30 Παλλόμενη Κυκλική Μεμβράνη Τα βασικά βήματα στην επίλυση του προβλήματος είναι: 1. Ο υπολογισμός των ριζών των συναρτήσεων Bessel. 2. Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων I m,n i. 3. Τέλος για πρακτικούς λόγους δεν θα περιλάβουμε άπειρους όρους στο ανάπτυγμα (73), αλλά αντίθετα ένα πεπερασμένο αριθμό όρων ανάλογα με την υπολογιστική ισχύ του ΗΥ μας και την μνήμη RAM που διαθέτει.

31 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Να δείξετε (αριθμητικά) τις σχέσεις ορθογωνιότητας (66) και (67) με χρήση της Mathematica. 2. Να γράψετε ένα πρόγραμμα που να προσομοιάζει ένα πρόβλημα διάδοσης θερμότητας με βάση την αναλυτική λύση που παρουσιάσαμε. 3. Στη συνέχεια γράψτε ένα πρόγραμμα στη Mathematica που να κάνει προσομοίωση των ταλαντώσεων μια πακτωμένης στα ακρα χορδής. 4. Γραψτε ένα προγραμμα στη Mathematica που με βάση την παραπάνω διαδικασία να κάνει προσομοίωση των ταλαντώσεων της μεμβράνης.

32 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η εξίσωση Poisson 2 u(x, y, z) = f (x, y, z) (85) είναι θεμελιώδης ΔΕΜΠ για πολλούς κλάδους της Φυσικής για παράδειγμα βαρύτητα, ηλεκτρομαγνητισμό, μελέτης της ροής ρευστών κοκ Θα προσπαθήσουμε να μελετήσουμε αναλυτικά της λύσεις της χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που αναπτύξαμε για άλλους τύπους ΔΕΜΠ (παραβολικές, υπερβολικές). Για αυτούς τους τύπους ΔΕΜΠ η λύση καθορίζεται αποκλειστικά από τις οριακές συνθήκες της περιοχής που γίνεται η μελέτη.

33 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πρόβλημα Dirichlet: εδώ καθορίζουμε τις τιμές της συνάρτησης u στο σύνορο της περιοχής μελέτης. Για παράδειγμα, θεωρείστε το πρόβλημα εύρεσης της κατανομής της θερμοκρασίας στο εσωτερικό μιας περιοχής για την οποία είναι γνωστή η θερμοκρασία στο σύνορο της. Πρόβλημα Neumann: εδώ καθορίζουμε τις τιμές της συνάρτησης u/ n στο σύνορο της περιοχής μελέτης. Για παράδειγμα, θεωρείστε το πρόβλημα εύρεσης της συνεχούς ροής (ενέργειας, ηλεκτρονίων κοκ) στο εσωτερικό μιας περιοχής για την οποία είναι γνωστή η ροή (ενέργειας, ηλεκτρονίων κοκ) στο σύνορο της. Σχήμα: (Αριστερά): Πρόβλημα Dirichlet με u(ρ, θ) = sin θ (Δεξιά): Πρόβλημα Neumann

34 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Cartesian Θα παρουσιάσουμε μια λύση της εξίσωσης Poisson με οριακές συνθήκες Dirichlet σε καρτεσιανές συντεταγμένες. 2 u = u xx + u yy = 0 (86) Οριακές συνθήκες Dirichlet σε τετράγωνο. u(0, y) = u(1, y) = 0 0 y 1 (87) u(x, 0) = 0 0 x 1 (88) u(x, 1) = g(x) 0 x 1 (89)

35 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Cartesian θα κάνουμε την υπόθεση ότι η λύση μπορεί να γραφεί στη μορφή: u(x, y) = X (x) Y (y) (90) οπότε με ανστικατάσταση στην εξίσωση Poisson (86) πέρνουμε και τελικά X (x)y (y) + X (x)y (y) = 0 (91) X (x) X (x) = Y (y) Y (y) = λ (92) Οπότε θα αντιμετωπίσουμε τα δύο προβλήματα οριακών τιμών που προκείπτουν ξεχωριστά.

36 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Cartesian X (x) + λx (x) = 0 όπου 0 < x < 1 και X (0) = X (1) = 0, (93) το πρόβλημα αυτό έχει ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις λ k = (kπ) 2, k = 1, 2,..., (94) X k (x) = sin(kπx), k = 1, 2,..., (95) Y (y) λy (y) = 0 όπου 0 < y < 1 και Y (0) = Y (1) = 0, (96) Η γενική λύση της (96) για λ = β 2, θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός της e βy και της e βy και λόγω της οριακής συνθήκης στο y = 0 η λύση θα είναι της μορφής Y (y) = sinh(βy) (97)

37 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Cartesian Αρα οι μερικές λύσεις θα έχουν τη μορφή u k (x, y) = sin(kπx) sinh(kπy), k = 1, 2,..., (98) και η γενική λύση θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των μερικών δηλαδή u(x, y) = c k sin(kπx) sinh(kπy) (99) k=1 όπου τα c k είναι αυθαίρετοι πραγματικοί συντελεστές.

38 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Cartesian Αν λάβουμε υπ οψη μας την οριακή συνθήκη που δίνεται από τη σχέση (89) και υποθέσουμε ότι η g(x) επιδέχεται ένα ανάπτυγμα Fourier σε ημίτονα, δηλαδή g(x) = g k sin(kπx) (100) k=1 οπότε οι συντελεστές Fourier g k θα είναι g k = g(x) sin(kπx)dx (101) οπότε από την οριακή συνθήκη (89) για y = 1 οδηγούμαστε στη σχέση: c k = g k / sinh(kπ) για k = 1, 2,... (102)

39 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Polar Θα μελετήσουμε το εσωτερικό Dirichlet πρόβλημα για δίσκο. Η εξίσωση Poisson για δίσκο είναι: 2 u u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = 0 για 0 < r < ρ (103) Με οριακή συνθήκη: u(ρ, θ) = g(θ) για 0 θ < 2π (104) Θα προσπαθήσουμε να λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας της μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών.

40 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Polar Κατ αρχάς θα υποθέσουμε ότι η συνάρτηση g(θ) είναι περιοδική και επομένως μπορεί να γραφεί με τη μορφή σειράς Fourier της μορφής: g(θ) = a [a k cos(kθ) + b k sin(kθ)], (105) k=1 όπου a k = 1 π b k = 1 π π π π π g(φ) cos(kθ)dφ (106) g(φ) sin(kθ)dφ (107)

41 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Polar Θα κάνουμε την υπόθεση ότι: οπότε η εξίσωση (103) θα γραφεί ως: u(r, θ) = R(r) Θ(θ), (108) R Θ + 1 r R Θ + 1 r 2 RΘ = 0 (109) r 2 R R + r R R = Θ Θ λ (110) όπου το λ είναι ανεξάρτητο από τα r και θ. Επομένως καταλήγουμε στις κανονικές διαφορικές εξισώσεις και Θ + λθ = 0 (111) r 2 R + rr λr = 0 (112) Προφανώς, η συνάρτηση Θ πρέπει να είναι 2π-περιοδική ως πρός τη μεταβλητή θ. Οπότε στη ΔΕ (111) θα θέσουμε τη συνθήκη: Θ( π) = Θ(π) και Θ ( π) = Θ (π) (113)

42 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Polar Υπ αυτές τις συνθήκες θα πάρουμε ως ιδιοτιμές με ιδιοσυναρτήσεις λ k = k 2 για k = 0, 1, 2,... (114) Θ k (θ) = c 1 cos(kφ) + c 2 sin(kφ) για k = 0, 1, 2,... (115) όπου τα c 1 και c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Η διαφορική εξίσωση (112) είναι γνωστή ως εξίσωση Euler και επιδέχεται λύσεις της μορφής: οπότε αντικαθιστώντας στην (112) λαμβάνουμε R(r) = r β (116) β(β 1)r β + βr β k 2 r β = 0, (117) που οδηγεί στη σχέση: β = ±k (118)

43 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Polar Οπότε για k 1 θα πάρουμε μια λύση που θα είναι γραμμικός συνδυασμός των r k και r k δηλαδή Ενώ για k = λ = 0 η λύση θα είναι της μορφής: R(r) = c 1 r k + c 2 r k (119) R(r) = c 1 ln(r) + c 2 (120) Επειδή οι λύσεις στο εσωτερικό της περιοχής θα πρέπει να μην έχουν απειρισμούς οι λύσεις της μορφής r k και ln(r) που απειρίζονται στο r = 0 θα πρέπει να απορριφθούν. Επομένως η αποδεκτή λύση θα πρέπει να είναι της μορφής: R k (r) = c 1 r k για k = 0, 1, 2,... (121)

44 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2D - Polar Οπότε η γενική λύση θα είναι: u(r, θ) = ã0 2 + ( r k ã k cos(kθ) + b ) k sin(kθ) k=1 (122) όπου ã k και b k είναι σταθερές που θα πρέπει να υπολογισθούν από την οριακή συνθήκη u(ρ, θ) = g(θ). Με βάση τις εξισώσεις (105), (106) και (107) βρίσκουμε ότι: ã k = a k r k και bk = b k r k (123)

45 ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ποιά είναι η λύση του εσωτερικού προβλήματος Dirichlet u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = 0 0 < r < 1 για τις παρακάτω συνοριακές συνθήκες: 1. u(1, θ) = 1 + sin(θ) cos θ 2. u(1, θ) = 2 3. u(1, θ) = sin θ 4. u(1, θ) = sin 3θ Ποιά είναι η μορφή της λύσης (γραφικά) Ποιά είναι η λύση του εσωτερικού προβλήματος Dirichlet u rr + 1 r u r + 1 r 2 u θθ = 0 0 < r < 2 με συνοριακή συνθήκη u(2, θ) = sin θ. Ποιά είναι η μορφή της λύσης (γραφικά) Ποιά θα ήταν η λύση του προηγούμενου προβλήματος αν άλλαζε η οριακή συνθήκη σε u(2, θ) = sin(2θ) και ποιά είναι η μορφή της λύσης (γραφικά)

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών Δομή Διάλεξης Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε καρτεσιανές συν/νες (οριακές συνθήκες σε επίπεδο). Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε σφαιρικές συν/νες (οριακές

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 12: Συνάρτηση Green από ιδιοσυναρτήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την συνάρτηση Green από

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δώσει μια πλήρη μαθηματική- κβαντομηχανική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση : Η Κυματική Εξίσωση. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή κυματική εξίσωση σε χωρικές και 1 χρονική διάσταση : t ( Ψ (, rt = f(, rt (139 ( Εδώ είναι μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ : Φυσικής και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Μάθημα : Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Διδάσκων: Αν. καθηγητής Χρ. Σχοινάς Προαιρετική

Διαβάστε περισσότερα

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι στο άπειρο το αποτέλεσμα απειρίζεται λογαριθμικά. Αυτή η συμπεριφορά του δυναμικού Coulomb σε δύο διαστάσεις δεν μπορεί να εξαλειφθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η απόκλιση (86 διότι έχει φυσική αφετηρία :

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: O Carlos Santana εκμεταλλεύεται τα στάσιμα κύματα στις χορδές του. Αλλάζει νότα στην κιθάρα του πιέζοντας τις χορδές σε διαφορετικά σημεία, μεγαλώνοντας ή μικραίνοντας το

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις

2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις ΚΕ. Εισαγωγή στην φυσική της κυματικής κίνησης.-0.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις.5.1 Σφαιρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις.5. Κυλινδρικά

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση. 3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 4η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Κυματική Εξίσωση Ακριβής Λύση Οπτικών Ινών Ταξινόμηση Τρόπων Αριθμός Τρόπων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

και A = 1 Το πρόβλημα των μη ομογενών συνοριακών συνθηκών.

και A = 1 Το πρόβλημα των μη ομογενών συνοριακών συνθηκών. Στις δύο διαστάσεις αφετηρία είναι η σχέση r + r r r A r + q r q Grr (, = ln ln L L (6 από την οποία μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι και επομένως R R q = r, L r = L και A = r (7 r + r r r Grr (, = ln rr

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού //04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. 2. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το ( ) ( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. 2. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Να λύσετε το πρόβλημα. l. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το πρόβλημα : f a l b 3. Βρείτε τη συνάρτηση η οποία ικανοποιεί την εξίσωση και

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΛΟΓΩ ΔΙΝΩΝ Γ. Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦYΛΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ Διατύπωση των εξισώσεων Θεωρούμε κύλινδρο διαμέτρου D, μήκους l, και μάζας m. Ο κύλινδρος συγκρατειται

Διαβάστε περισσότερα

1. Πηγή αρμονικών κυμάτων συχνότητας 5 Hz εξαναγκάζει το άκρο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, το

1. Πηγή αρμονικών κυμάτων συχνότητας 5 Hz εξαναγκάζει το άκρο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, το Η φάση του αρμονικού κύματος 1. Πηγή αρμονικών κυμάτων συχνότητας 5 Hz εξαναγκάζει το άκρο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο ημιάξονα O, να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Σχέση δύναμης - κίνησης Δύναμη σταθερή εφαρμόζεται σε σώμα Δύναμη ανάλογη της απομάκρυνσης (F-kx) εφαρμόζεται σε σώμα Το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 21 Κυματική ΦΥΣ102 1

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 21 Κυματική ΦΥΣ102 1 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 21 Κυματική ΦΥΣ102 1 Χαρακτηριστικά Διάδοσης Κύματος Όλα τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler.

Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler. Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler. Ε. Κορφιάτης Με αφορμή την συζήτηση που γίνεται για το θέμα Α4 αποφάσισα να γράψω το κείμενο που ακολουθεί. Σαν φοιτητής η σχέση που

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 7: Εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει και να επιλύσει

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.

Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ34 Λύσεις 5 ης Εργασίας

ΦΥΕ34 Λύσεις 5 ης Εργασίας ΦΥΕ3 Λύσεις 5 ης Εργασίας ) Έστω αρµονικό κύµα της (εκθετικής) µορφής: F( x, t) i( kx ωt+ ϕ ) = Ae. Παραγωγίζοντας βρίσκουµε: = iωf( x, t) t = ikf( x, t) x Παραγωγίζοντας αυτές τις δύο σχέσεις µία ακόµη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: O Carlos Santana εκμεταλλεύεται τα στάσιμα κύματα στις χορδές του. Αλλάζει νότα στην κιθάρα του πιέζοντας τις χορδές σε διαφορετικά σημεία, μεγαλώνοντας ή μικραίνοντας το

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Όταν το ελατήριο έχει μάζα

Όταν το ελατήριο έχει μάζα Όταν το ελατήριο έχει μάζα Εισαγωγή Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν η θέση που διατύπωσε ο Γιάννης ο Κυριακόπουλος όσον αφορά στην συχνότητα ταλάντωσης ενός σώματος, το οποίο είναι δεμένο σε ελατήριο

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος

Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος Το γραμμικό αρμονικό κύμα έχει εξ ορισμού τα εξής γνωρίσματα: Κύμα = Διάδοση ενέργειας χωρίς μεταφορά ύλης. Επιτρεπτή η συμμετοχή της ύλης στον κυματικό μηχανισμό. Απαραίτητη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα