(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x"

Transcript

1 ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015

2 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως οι κάτωθι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: (i) y (x) + y (x) 2y(x) = x 3 (iii) y(x)y (x) + [y(x)] 4 = sin x (v) y (x) 2y (x) + 5y (x) + y(x) = e x (vii) [y (x)] 2 + y(x) = 0 (ix) x 2 y (x) + xy (x) + 2y(x) = 0 (ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x (iv) y (x) = x 2 sin y(x) (vi) y (x) = x 2 sin x (viii) y (x) = y(x) (x) y (x) 2y(x) = e y(x) 2. Να χαρακτηρισθούν τα κάτωθι προβλήματα, ως προβλήματα αρχικών ή συνοριακών τιμών: (i) y (x) + 2y(x) = 0, y(0) = 2 (ii) y (x) y (x) = 1 y(0) = 0, y (0) = 0 (iii) y (x) + 9y(x) = 0 (iv) y (x) 2y (x) = 0 y(0) = 0, y(π) = 1 y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 3 (v) y (x) 4y (x) = 0 (vi) x 2 y (x) + 42y(x) = 0 y(0) = 1, y (0) = 1, y (1) = 3 y(1) = 1, y (1) = 1 3. Να εξετασθεί αν η δοθείσα κάθε φορά συνάρτηση y p (x), είναι λύση της εκάστοτε διαφορικής εξίσωσης ή του εκάστοτε προβλήματος αρχικών ή συνοριακών τιμών: (i) y (x) + 2y(x) = 0 (ii) y (x) + 2y(x) = 0 y p (x) = e 2x y p (x) = 5e 2x (iii) y (x) + 2y(x) = 0 (iv) y (x) 2y (x) = 0 y p (x) = e 3x y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 3 y p (x) = 3e2x 2x 3 4 (v) y (x) + y(x) = 0 (vi) x 2 y (x) 42y(x) = 0 y(0) = 1, y (0) = 1, y (1) = 3 y(1) = 1, y (1) = 1 y p (x) = sin x y p (x) = 5x x 6

3 2 4. Για κάθε μία από τις παρακάτω οικογένειες συναρτήσεων (όπου c 1, c 2, c 3 παράμετροι), να σχηματισθεί η σχετική διαφορική εξίσωση με άγνωστη συνάρτηση την y(x): (i) y x3 = c 1 y = 6x2 7y 3 (ii) 3 cos x = 4 sin y + c 1 4y cos y 3 sin x = 0 (iii) y = c 1 e 4x + c 2 e x + 1 y + 5y + 4y = 4 (iv) y = c 1 x 6 + c 2 x 7 x 2 y 12xy + 42y = 0 (vi) y = x2 8 x3 + c e 2x + c 2 + c 3 x y 2y = x 5. Να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων με άμεση ολοκλήρωση: (i) y (x) = (x 2 1) (x 3 3x) 3 (ii) y (x) = x ln x, x > 0 (iii) y (x) = 1, x > 0 x ln x (iv) y (x) = x, x > 4 x 2 16 y(x) = 27x4 + 9x8 + x x 6 x 10 + c y(x) = x2 + x2 ln x + c 4 2 y(x) = ln ln x + c y(x) = x c Με χρήση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x): (i) y = 3y7, x 0 x 8 (ii) y 1 = x 2 (8+9y 2 ) y 6 = 18 7 x 7 + c = 1 + c x (iii) y = 3 cosh(3x), y 0 2 sinh(4y) cosh(4y) = 2 sinh(3x) + c (iv) y = e 2y+10x e 2y = e10x + c 5 (v) y = 1+2ey 2e y = 1 + c ln 2 x e y x ln x 2η ομάδα ασκήσεων 1. Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις είναι ομογενείς (όπου y = y(x)): (i) x + 2y 5xy = 0 (ii) y 2 x 2 + 3xyy = 0 (iii) y ( x 2 + ) xy 10xy = 0 (iv) 2 + (x ( + ) y)y = 0 x (v) sin + e 2y/x y x = 0 (vi) x ln + x2 x+y y x+y y = 0 (vii) 2 ln x y ln y 2 = 0 (viii) y y = 0 y x x 2 (ix) cos y + ln x sin x ln y y = 0 (x) x yy = 0

4 2. Χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία των ομογενών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι εξισώσεων, ή η λύση των αντίστοιχων προβλημάτων αρχικών τιμών (όπου y = y(x): (i) y = 4y2 x 2 2xy, y(1) = 1 2y 2 = x 2 + x 4 (ii) x 2yy ln y x = 0 x 1 2 ln y+2 ln x = c (iii) xy y x 2 + y 2 = 0, y(1) = 0 y+ x 2 +y 2 = c x 2 (iv) x 2 + y x 2 + y 2 (y xy ) = 0 (x 2 + y 2 ) 3/2 + +3x 2 + cx 3 = 0 (v) x 2 ye x/y ( x 3 e x/y + y 3) y = 0 e x/y ( x 2 y 2 2 x y + 2 ) = = ln y + c 3. Να λυθούν τα κάτωθι προβλήματα αρχικών τιμών (όπου y = y(x)), με τη μέθοδο της εκθετικής αντικατάστασης: (i) y 2y = 0, y(1) = 1 (ii) y + y = 0, y(0) = 1 (iii) y + 5y = 0, y(0) + y (0) = 4 y(x) = e 2x 2 y(x) = e x y(x) = e 5x 4. Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x)), με τη μέθοδο του ολοκληρωτικού παράγοντα: (i) y + y = sin x sin x x cos x+c y(x) = x x (ii) y 2x y = 2x y(x) = (x 2 + 1) [c + ln (x 2 + 1)] 1+x 2 (iii) y y tan x = e 2x y(x) = e 2x c ( 2 + tan x) + 5 cos x (iv) y y = 3x y = x 3x2 + cx (v) y 16x y = x y(x) = +25+c) (16x2 16x x Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων τύπου Bernoulli (όπου y = y(x)): (i) y + x 1 y = x 1 y 2 y 3 = 1 + cx 3 (ii) y x 1 y = y 3 sin x y 2 = 2x2 cos x 4 cos x 4x sin x+c x 2 (iii) y y = 2x y3 cos x y 2 2 cos x+2x sin x+c = x (iv) y + 3y = y cos x y = 3 cos x + 2 sin x + ce 3x/ (v) y 2y = cos x y y 3/2 = 9 cos x + 3 sin x + ce3x

5 4 3η ομάδα ασκήσεων 1. Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις είναι ακριβείς (όπου y = y(x)): (i) x x dx + y 2 +y x dy = 0 (ii) 2 2 +y exy dx + x 2 y e xy dy = 0 (iii) y cos(xy)dx + x cos(xy)dy = 0 (iv) y sin(2x)dx dy = 0 (v) (e 2x + y) dx (e y x) dy = 0 (vi) (y + x)dy ydx = 0 (vii) (x y sin x)dx + (y 6 + cos x) dy = 0 (viii) 3xy 2 dy + y 3 dx = 0 (ix) xdy xydx = 0 (x) (y + x)dy + ydx = 0 2. Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι ακριβών διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x)): (i) (2x + y 3 ) ( dx + (3xy ) 2 + 4) dy = 0 x 2 + xy 3 + 4y = c (ii) 1dx + x + 3y 2 dy = 0 x + y y 2 y y3 = c (iii) (sin y) 2 dx + x sin(2y)dy = 0 x sin 2 y = c (iv) (e y 2xy) dx + (xe y x 2 ) dy = 0 xe y x 2 y = c (v) ( 2x + y ) dx + (e y + x) dy = 0 e y + xy + ln (1 + x 2 ) = c 1+x 2 3. Να βρεθεί η γενική λύση, των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων (όπου y = y(x)), αφού πρώτα επαληθευτεί ότι η εκάστοτε συνάρτηση µ, είναι ολοκληρωτικός παράγοντας για την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση: (i) y (2e x + 4x) dx + 3 (e x + x 2 ) dy = 0 µ(y) = y 1/2 (ii) y = 5xy+4y2 +1 x 2 +2xy 2 (e x + x 2 ) y 3/2 = c x 5 y + x 4 y 2 + x4 4 = c µ(x) = x 3 (iii) y = 5x2 +2xy+3y 3 (x + y) 3 (x 2 + y 3 ) = c 3(x 2 +xy 2 +2y 3 ) µ(x + y) = (x + y) 2 (iv) y = y2 +xy+1 e xy (x + y) = c x 2 +xy+1 µ(xy) = e xy (v) ydx (y 2 + x 2 + x) dy = 0 µ (x 2 + y 2 ) = 1 x 2 +y 2 arctan x arctan 1 y y y arctan y = c

6 4. Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των κάτωθι μονοπαραμετρικών οικογενειών καμπυλών (όπου y = y(x)): (i) y + 2x = c y = k + x/2 (ii) y 2 = x 2 + cx x 2 y + y3 3 = k (iii) y = e cx y 2 ln y y2 2 + x2 = k (iv) y = ce x y2 2 + x = k (v) y = c cos x y2 2 = ln sin x + k 4η ομάδα ασκήσεων 1. Να υπολογισθεί η ορίζουσα Wronski των συναρτήσεων: (i) y 1 (x) = x, y 2 (x) = 4x 1 1 (ii) y 1 (x) = 3x 2, y 2 (x) = x, y 3 (x) = 2x 2x 2 0 (iii) y 1 (x) = cos(2x), y 2 (x) = sin x, y 3 (x) = 1 8x (iv) y 1 (x) = x, y 2 (x) = e x e x (x 1) (v) y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e 2x, y 3 (x) = e 4x 30e 5x 2. (α) Να δειχθεί ότι το εκάστοτε σύνολο συναρτήσεων S, αποτελείται από γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις της αντίστοιχης διαφορικής εξίσωσης (i) S = {e 6x, e 4x }, y (x) + 10y (x) + 24y(x) = 0 (ii) S = {cos(2x), sin(2x)}, y (x) + 4y(x) = 0 (iii) S = {e x, e 3x, xe 3x }, y (x) 5y (x) + 3y (x) + 9y(x) = 0 (iv) S = {e x cos(2x), e x sin(2x), e 2x cos(5x), e 2x sin(5x)}, y (4) (x) 2y (x) + 26y (x) + 38y (x) + 145y(x) = 0 (β) Να βρεθούν οι τιμές των a, β και γ, έτσι ώστε οι συναρτήσεις e x, e x, e 2x να είναι γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης y (x) + ay (x) + βy (x) + γy(x) = 0 ( a = 2, β = 1, γ = 2) 3. Με χρήση της μεθόδου εκθετικής αντικατάστασης, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων: (i) 2y (x) 5y (x) + 3y(x) = 0 y(x) = c 1 e 3x/2 + c 2 e x (ii) y (x) + 2y (x) + 5y(x) = 0 y(x) = c 1 e x cos(2x)+ +c 2 e x sin(2x) (iii) y (x) 8y (x) + 16y(x) = 0 y(x) = e 4x (c 1 + c 2 x) 5

7 6 (iv) y (x) + y (x) 16y (x) y(x) = c 1 e 5x + c 2 e 2x + +20y(x) = 0 +c 3 xe 2x (v) y (4) (x) 9y (x) = 0 y(x) = c 1 e 3x + c 2 + +c 3 x + c 4 e 3x (vi) y (4) (x) 16y(x) = 0 y(x) = c 1 e 2x + c 2 e 2x + +c 3 cos(2x) + c 4 sin(2x) (vii) y (4) (x) + 32y (x) + 256y(x) = 0 y(x) = (c 1 + c 2 x) cos(4x) +(c 3 + c 4 x) sin(4x) (viii) y (5) (x) + 25y (x) = 0 y(x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + +c 4 cos(5x) + c 5 sin(5x) 4. Με χρήση της μεθόδου των προσδιοριστέων συντελεστών, να βρεθεί μια μερική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων: (i) y (x) 2y (x) 3y(x) = x 2 3x 9 (ii) 9y (x) 12y (x) + 4y(x) = e 3x e 3x /121 (iii) 2y (x) + 4y 56 sin(2x) 105 cos(2x) (x) 7y(x) = 7 cos(2x) 289 (iv) y (x) + 4y (x) 5y(x) = 3e x xe x /2 (v) y (x) 4y (x) 5y(x) = 648x 2 e 5x 6 (x 3x 2 + 6x 3 ) e 5x (vi) y (x) + 10y (x) + 34y (x)+ xe 3x (sin x cos x) 2 +40y(x) = 2e 3x cosx (vii) y (4) (x) 8y (x) + 25y (x) x 2 e2x sin x 36y (x) + 20y(x) = e 2x cosx (viii) y (4) (x) 18y (x) + 81y(x) = e 3x x2 72 e3x 5. Με χρήση της μεθόδου μεταβολής των παραμέτρων, να βρεθεί μια μερική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων: (i) y (x) 2y (x) + y(x) = e x ln x, x > 0 x2 e x (2 ln x 3) 4 (ii) y (x) 9y(x) = 1 1+e 3x e 3x ) (iii) y (x) 2y (x) + y(x) = ex, x > 0 x e 3x 18 e3x ) (ln x 1) (iv) y (x) 4y (x) + 4y(x) = e2x, x > 0 x 2 e 2x (ln x + 1) (v) y (x) + 3y (x) + 2y(x) = cos e x e 2x cos e x (vi) y (x) 2y (x) = 1+2x, x > 0 x 2 x ln x x 1 2 (vii) y (x) 3y (x) + 3y (x) x2 4 ex (2 ln x 3) y(x) = ex, x > 0 x

8 7 5η ομάδα ασκήσεων 1. Με χρήση της χαρακτηριστικής εξίσωσης, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι ομογενών διαφορικών εξισώσεων τύπου Euler: (i) x 2 y (x) 3xy (x) + 3y(x) = 0 y(x) = c 1 x + c 2 x 3 (ii) (x + 3) 2 y (x) + 3(x + 3)y (x)+ y(x) = c 1+c 2 ln(x+3) x+3 +y(x) = 0, x > 3 (iii) x 2 y (x) 2xy (x) 4y(x) = 0, y(x) = c 1 x 4 + c 2 x 1 x 0 (iv) x 3 y (x) + 4x 2 y (x) 8xy (x)+ y(x) = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 4 +8y(x) = 0, x 0 2. Με χρήση της αλλαγής ανεξάρτητης μεταβλητής x = e t ή x + 3 = e t ή x 1 = e t, να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι διαφορικών εξισώσεων τύπου Euler: (i) x 2 y (x) + xy (x) y(x) = x 4, x > 0 y(x) = c 1 x 1 + c 2 x + x4 15 (ii) (x 1) 2 y (x) 4(x 1)y (x) y(x) = c 1 (x 1) 7 + c 2 14y(x) = 1 x x 72(x 1) 2 (iii) (x + 3) 2 y (x) (x + 3)y (x)+ y(x) = (x + 3) [c 1 + ] +y(x) = x + 3, x > 3 +c 2 ln(x + 3) + ln2 (x+3) 2 (iv) x 2 y (x) 2xy (x) 4y(x) = x 4 y(x) = c 1 x 4 + c 2 x 1 + x > 0 + x4 x4 ln x Να λυθούν τα κάτωθι προβλήματα συνοριακών τιμών: (x 1) 2 + (i) y (x) + 2y (x) 3y(x) = 0, y(x) = 0 y(0) = 0, y (1) = 0 (ii) y (x) + 2y (x) 3y(x) = 9x, y(x) = (3e 5)e 3x +(5+9e 3 ) e x e+3e 3 y(0) = 0, y (1) = 2 3x 2 (iii) y (x) + 4y(x) = 0, y(x) = 7 sin(2x) y(0) = 0, y(π/4) = 7 (iv) y (x) + 4y(x) = 0, y(x) = 4 cos(2x) + c sin(2x) y(0) = 4, y(π) = 4 (v) y (x) 4y (x) + 4y(x) = 0, y(x) = 0 y(0) = 0, y(1) + y (1) = 0

9 8 4. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις των κάτωθι προβλημάτων συνοριακών τιμών: (i) y (x) 4λy (x) + 4λ 2 y(x) = 0, Ιδιοτιμή 1, y(0) = 0, y(1) + y (1) = 0 ιδιοσυνάρτηση xe 2x (ii) y (x) + λy (x) = 0, Δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και y(0) + y (0) = 0, y (1) = 0 αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις (iii) y (x) + 2y (x)+ Ιδιοτιμές n 2 π 2, +(1 λ)y(x) = 0, ιδιοσυναρτήσεις e x sin(nπx) y(0) = 0, y(1) = 0 n = 1, 2, 3,... (iv) x 2 y (x) + xy (x) + λy(x) = 0 Ιδιοτιμές n 2 π 2, x > 0, y(1) = 0, y(e) = 0, ιδιοσυναρτήσεις sin(nπ ln x) n = 1, 2, 3,... (v) y (4) (x) λy(x) = 0 Ιδιοτιμές n 4, y(0) = y (0) = 0, ιδιοσυναρτήσεις sin(nx) y(π) = y (π) = 0 n = 1, 2, 3,... 6η ομάδα ασκήσεων 1. Με χρήση της μεθόδου της απαλοιφής, να λυθούν τα κάτωθι συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων (όπου x = x(t), y = y(t), z = z(t)): (i) x = 2x 2y + 4 y = 5x + y } x(t) = c 1e 3t + c 2 e 4t y(t) = 5 3 5c 1 2 e3t + c 2 e 4t (ii) (iii) x = 2y y = 2x } x = 3x + 2y + 2z y = 2x + 3y + 2z z = x + y x(t) = e t (c 1 sin t + c 2 cos t)+ +e t (c 3 sin t + c 4 cos t) y(t) = e t (c 1 cos t c 2 sin t)+ +e t (c 4 sin t c 3 cos t) y(t) = c 1 + c 2 e 3t + c 3 e 3t z(t) = 5c 1 2 2e 3t + c 3 e 3t x(t) = c 1 + c 2 e3t 2c 3 e 3t

10 (iv) x = x + 2y 2z + cos t y = x y + 2z z = x y x(t) = 3 cos t 1 sin t c 1 e 2t 2c 3 te t + +(3c 3 2c 2 )e t y(t) = 1 sin t + 3c 2 3te t + +(3c 2 4c 3 )e t z(t) = 2 cos t + 3 sin t c 1 e 2t + c 2 e t + c 3 te t 2. Με χρήση της μεθόδου της διαγωνοποίησης, να λυθούν τα κάτωθι συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων (όπου x = x(t), y = y(t), z = z(t)): } x (i) = x 10y x(t) = c y 1 e 15t + 2c 2 e 4t = 7x + 10y y(t) = 7c 1 5 e15t + c 2 e 4t (ii) (iii) (iv) x = 6x y y = 5x x = 4x + z y = 2y z = z } x = 2x 2y 2z y = 2y + z z = 2y 5z x(t) = c 1 e t + c 2 e 5t y(t) = 5c 1 e t + c 2 e 5t x(t) = c 1 e 4t + c 2 e t y(t) = c 3 e 2t z(t) = 5c 2 e t x(t) = c 2 e 4t + c 3 e 2t y(t) = c 2 e 4t c 1 e 3t z(t) = 2c 2 e 4t + c 1 e 3t 3. Να βρεθεί η γενική λύση των κάτωθι μη ομογενών συστημάτων α) με χρήση της μεθόδου προσδιοριστέων συντελεστών, β) με χρήση της μεθόδου μεταβολής των παραμέτρων (όπου x = x(t), y = y(t), z = z(t)): (i) x = 2y + e t y = x + 3y e t } x(t) = 2c 1 e t + c 2 e 2t + 3e t + 4te t y(t) = c 1 e t + c 2 e 2t + 3e t + 2te t 9 (ii) x = x y + e t cos t y = x + y + e t sin t } x(t) = c 1 e t cos t + c 2 e t sin t+ +te t cos t y(t) = c 1 e t sin t c 2 e t cos t+ +te t sin t (iii) x = y + z + 3e t y = x + z e t z = x + y e t x(t) = c 1 e 2t c 2 e t c 3 e t + e t y(t) = c 1 e 2t + c 3 e t e t z(t) = c 1 e 2t + c 2 e t e t

11 10 7η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως οι εξισώσεις (θεωρείστε u = u(x, y)) (i) u x + u y u = 0 (vi) 2u xx + (x 1)u yy + yu x xu y = 0, x 1 (ii) u x u y u 2 = 0 (vii) e y u xx + sin y = u yy (iii) u xx + u xy + u yy = 0 (viii) u xy + (sin x)u y + (cos y)u x = 0 (iv) u xx + 2u xy + u yy = 0 (ix) u xx + 3u xy + u yy = sin x (v) u xx + 5u xy 2u yy = 0 (x) u xx = uu yyyy + e x 2. Να δειχθεί ότι (i) η u(x, y) = x 2 + y 2 είναι λύση της 2xu x + yu y = 2u (ii) η u(x, y) = f ( y x), x 0 είναι λύση της xux +yu y = 0, όπου f αυθαίρετη συνάρτηση. 3. Να προσδιορισθεί το λ ώστε η συνάρτηση u(x 1, x 2,..., x n ) = ( x x x 2 n) λ, όπου n 3, να είναι μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης 2 u + 2 u u x 2 1 x 2 2 x 2 n = Να βρεθεί η λύση του d Alembert για το πρόβλημα αρχικών τιμών όπου u = u(x, t). u tt u xx = 0, u(x, 0) = sin x, u t (x, 0) = 1, 5. Να βρεθεί η γενική λύση των εξισώσεων (θεωρείστε u = u(x, y)): ( λ = 1 n 2 ) (i) u yy + 3u xy 10u xx = 0 u(x, y) = f 1 (x + 2y) + f 2 (x 5y) (ii) 4u xx + u yy u(x, y) = f 1 (x + 2iy) + f 2 (x 2iy) 6. Να γενικευθεί η μεθοδολογία της ;; για κατάλληλες γραμμικές ΜΔΕ τρίτης τάξης, δύο ανεξάρτητων μεταβλητών.

12 11 8η ομάδα ασκήσεων 1. Να βρεθεί η σειρά Fourier των κάτωθι (περιοδικών θεωρούμενων) συναρτήσεων: (i) f(x) = 4x, x [ 10, 10] f(x) 80 ( 1) n+1 sin nπx π n 10 { n=1 x, 0 < x 1 (ii) f(x) = f(x) 0, 1 x cos[(2n+1)πx] + 4 π 2 (2n+1) 2 (iii) f(x) = { 3, 0 < x 5 0, 5 x 0 (iv) f(x) = x 2, x [ π, π] 1 π n=1 n=0 ( 1) n+1 sin(nπx) n f(x) π n=0 f(x) π n=1 1 (2n+1)πx sin 2n+1 5 cos(nx) n 2 2. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, με χρήση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών: sin(3πx) sin(3πt) 3π (i) u tt = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(x, t) = u(0, t) = 0, u(1, t)=0 u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = sin(2πx) (ii) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(x, t) = e 9π2t sin(3πx) u(0, t) = 0, u(1, t)=0 u(x, 0) = sin(3πx) (iii) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(x, t) = e 4π2t sin(2πx)+ u(0, t) = 0, u(1, t)= e 16π2t sin(4πx)+ u(x, 0) = sin(2πx) + sin(4πx) t 3 5 e 36π2 + sin(6πx) 5 (iv) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(0, t) = 0, u(1, t)=0 u(x, t) = 8 π 3 u(x, 0) = x x 2 (v) u xx + u yy = 0, 0 < x, y < 1, u(0, y) = 0, u(1, y)=0 u(x, 0) = 0, u(x, 1) = x k=0 u(x, y) = 2 π n=1 e (2k+1)2 π 2t sin[(2k + 1)πx] (2k + 1) 3 cos(nπ) sin(nπx) sinh(nπy) n sinh(nπ) 3. Να βρεθεί φραγμένη και περιοδική ως προς θ λύση περιόδου 2π των κάτωθι προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, με χρήση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών:

13 12 (i) u rr + 1u r r + 1 u r 2 θθ = 0, 0 < r < 2 u(r, θ) = r3 sin(3θ) 8 u(2, θ) = sin(3θ), 0 θ 2π (ii) u rr + 1u r r + 1 u r 2 θθ = 0, r > 2 u(r, θ) = 1 cos(4θ) 16r 4 u(2, θ) = cos(4θ), 0 θ 2π (iii) u rr + 1u r r + 1 u r 2 θθ = 0, 1 < r < 2 u(r, θ) = ( r r) cos θ+ u(1, θ) = cos θ, 0 θ 2π + ( 2r 3 3 2r) sin θ u(2, θ) = sin θ, 0 θ 2π 4. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, με τροποποίηση της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών: (i) u t = u xx, 0 < x < 2, t > 0, [ u(0, t) = 2, u(2, t) = 5, ] u(x, 0) = 1 x 2 16( 1) n (1 ( 1)n ) e n2 π 2t/4 sin nπx nπ n 3 π 3 2 u(x, t) = 3 2 x n=1 (ii) u t = u xx + cos x, 0 < x < π, t > 0, u x (0, t) = 0, u x (π, t) = 0, u(x, 0) = cos 2 x + 2 cos 4 x u(x, t) = cos x e t cos x + e 4t cos(2x) e 16t cos(4x) 9η ομάδα ασκήσεων 1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των κάτωθι συναρτήσεων με χρήση (α) μόνο του ορισμού, (β) της συνάρτησης Heaviside και του μετασχηματισμού Laplace αυτής: { 0, t < 4 (i) f(t) = { (t 4) 2, t 4 t (ii) f(t) = 2 + 2, 0 t 2 { 6, t > 2 cos t, 0 t π/2 (iii) f(t) = 0, t > π/2 F (s) = 2e 4s s 3 F (s) = 2+2s2 e 2s (2+4s+6s 2 ) s 3 s 3 F (s) = e sπ/2 +s s Μόνο με χρήση των ιδιοτήτων και του πίνακα των βασικών μετασχηματισμών Laplace, να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των κάτωθι συναρτήσεων: (i) f(t) = 2t 2 3t + 4 F (s) = s 3 s 2 s (ii) f(t) = 2 sin t + 3 cos(2t) F (s) = 2 + 3s s 2 +1 s 2 +4 (iii) f(t) = 2e 5t 2 sin t F (s) = (s 5) 2 +1 (iv) f(t) = cos 2 (kt) F (s) = s2 +2k 2 s(s 2 +4k 2 )

14 3. Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των κάτωθι συναρτήσεων: 1 (i) F (s) = f(t) = e 7t e 8t s 2 +15s+56 1 (ii) F (s) = f(t) = 1 s 2 +12s+61 5 e 6t sin(5t) (iii) F (s) = s 1 f(t) = e t cos(7t) s 2 2s+50 (iv) F (s) = s3 +3s f(t) = t2 (s 2 1) 3 4 (et + e t ) 10s (v) F (s) = f(t) = 2 cos t 2 cos(4t) s 4 +17s s (vi) F (s) = f(t) = 8 cos(t 3)H(t 3) e 3s (s 2 +1) 4. Με χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Laplace, να λυθούν τα κάτωθι Π.Α.Τ. (όπου y = y(t), Y (s) = L[y(t)]): (i) y + 11y + 24y = 0 y(t) = 3 5 e 8t 8 5 e 3t y(0) = 1, y (0) = 0 (ii) 16y + 8y + 65y = 0 y(t) = e t/4 sin(2t) y(0) = 0, y (0) = 2 (iii) y 4y 9y + 36y = 0 y(t) = 10 7 e4t e3t e 3t y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 1 (iv) y y 2y = e t y(t) = 8 9 e t e2t 1 3 te t y(0) = 2, y (0) = 1 (v) y + 5ty 10y = 2 y(t) = 6t y(0) = 1, y (0) = 0 lim Y (s) = 0 s + (vi) y + ty 2y = 4 y(t) = 2t 2 y(0) = 0, y (0) = 0 lim Y (s) = 0 s + (vii) y + 6y + 8y = f(t) y(t) = e 4t + 2e 2t + y(0) = 1, y (0) = e4 4t 2e 2 2t { H(t 1) 8 0, 0 t < 1 f(t) = 1, t 1 (viii) y + 9y = cos t + δ(t π) y(t) = cos t cos(3t) 8 8 y(0) = 0, y (0) = 0, 1 sin(3t)h(t π) 3 13

15 14 5. Με χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Laplace, να λυθούν τα κάτωθι συστήματα ΣΔΕ (όπου y = y(t), x = x(t), z = z(t)): } x (i) 2x + 3y = 0 y + 9x + 4y = 0 x(0) = 0, y(0) = 4 } x (ii) x 3y = e 4t y 5x + y = 0 x(0) = 0, y(0) = 0 x 5x + 4y 2z = 0 (iii) y + 2x + 2y + 2z = 0 z z = 0 x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 15 x(t) = e 7t e 5t y(t) = 3e 7t + e 5t x(t) = 40te4t +3e 4t 3e 4t 64 y(t) = 40te4t 5e 4t +5e 4t 64 x(t) = 5e 3t +16e 6t 21e t 2 y(t) = 3e t + 5e 3t 2e 6t z(t) = 15e t 6. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων, με κατάλληλη χρήση του μετασχηματισμού Laplace (όπου u = u(x, t)): (i) u xt cos t = 0, x, t > 0 u(x, 0) = 0, u(0, t) = 0 (ii) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) = 1, u(1, t) = 1 u(x, 0) = 1 + sin(πx) (iii) u tt + 2u t + xu x + u = xt x, t > 0 u(0, t) = 0, u(x, 0) = 0 u t (x, 0) = 0 (iv) 1 u c 2 tt = u xx, x, t > 0 u(0, t) = u 0 =σταθερά L[u(x, t)] φραγμένη (v) 1 k u t = u xx, x, t > 0 u(0, t) = u 0 =σταθερά L[u(x, t)] φραγμένη (vi) 1 u c 2 tt u xx = k sin πx a 0 < x < a, t > 0 u(0, t) = 0, u(a, t) = 0 u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = 0 u(x, t) = x sin t u(x, t) = 1 + e π2t sin(πx) ( ) u(x, t) = x 2 + t + e t cos t 2 2 u(x, t) = u 0 H ( t x c ( u(x, t) = u 0 erfc u(x, t) = a2 k π 2 ) x 2 kt ) ( ) 1 cos πct a sin πx a

16 15 10η ομάδα ασκήσεων 1. Μόνο με χρήση του ορισμού να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier των κάτωθι συναρτήσεων: { 0, t > 2 (i) f 1 (t) = F 1, t 2 1 (ω) = 2 sin(2ω) ω { 1 t (ii) f(t) = 2, t 1 sin ω ω cos ω F 0, t > 1 2 (ω) = 4 ω { 3 e (iii) f(t) = t, t π F 0, t > π 3 (ω) = ie π(1+iω) ( 1+e 2π(1+iω) ) i ω 2. Με χρήση της μεθόδου του μετασχηματισμού Fourier, να λυθούν οι κάτωθι ΣΔΕ: (i) y (t) + y (t) + y(t) = f 1 (t) (ii) y (t) + 2y (t) + y(t) = f 2 (t) (iii) y (t) + y (t) + 3y(t) = f 3 (t) όπου f 1 (t), f 2 (t) και f 3 (t) οι συναρτήσεις της προηγούμενης άσκησης. (Υπ. Μπορείτε να αφήσετε τη λύση σε ολοκληρωτική μορφή.) 3. Να βρεθεί η λύση των κάτωθι προβλημάτων, με κατάλληλη χρήση του μετασχηματισμού Fourier (όπου u = u(x, t)): (i) u t = 4u xx u(x, t) = 1 u(x, 0) = e x2 x R, t > 0 (ii) u tt + u xxxx = 0 u(x, t) = 1 2 πt u(x, 0) = f(x) u t (x, 0) = 0 x R, t > 0 (iii) u tt + u xx = t e x2 1+16t + + f(x ξ) cos ( f(ξ) (x ξ) 2 +t 2 dξ u(x, t) = t π u(x, 0) = f(x) x R, t > 0 υπό την προϋπόθεση ότι F [u(x, t)] είναι φραγμένος. ξ 2 π 4t 4 ) dξ

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Α. Αργυρίου May 5, 205 Οι σημειώσεις αυτές περιέχουν λυμένες ασκήσεις από τις διάϕορες ενότητες του μαθήματος των Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων, ώστε να δώσουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις. Σηµειώσεις

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις. Σηµειώσεις Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις Σηµειώσεις Ε. Στεϕανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές αποτελούν εξέλιξη σηµειώσεων οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν σε παραδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε ηλεκτροµαγνητικό κύµα κυκλ. Συχνότητας ω. Παρατηρούµε ότι η πολωσιµότητα του µέσου εξαρτάται µε την εκφραση 2.42

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος

Περιεχόμενα 7. Πρόλογος Περιεχόμενα 7 Πρόλογος Πολλά προβλήματα των Φυσικών και γενικότερα των Τεχνικών Επιστημών είναι προβλήματα συμμεταβολής διαφόρων μεγεθών. Η μελέτη αυτών των προβλημάτων αποβλέπει στον προσδιορισμό των

Διαβάστε περισσότερα

c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6)

c 2 t 2 = 0 (5) t = 0 (6) 15 Απριλίου 2011 (ΔΕΜΠ) Πολλά σημαντικά επιστημονικά προβλήματα στο χώρο της φυσικής περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΔΕΜΠ). Συνήθως το φυσικό φαινόμενο που μελετάμε παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γνσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφ του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ 30348086, e-mail: thanasisenos@yahoogr ISBN 978-960-456-08-3 Copyright: Ξένος Θ, Eκδόσεις Zτη, Ιανουάριος 008, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f (x) = log x (5x + 3) + sin x. f (x) = (x + ) sin x 3. f 3 (x) = 3 sin

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση

7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση 7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη 18 22 Μαρτίου 215 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση Κυριαζής Χρήστος Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 1 Ενότητες παρουσίασης Εισαγωγικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 0 0 3 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης (Λύσεις Άσκηση 1: Μία έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα 5m και µικρό 3m έχει κέντρο την αρχή των αξόνων. Να υπολογισθούν τα ακρότατα στην

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους

Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Π Δ Μ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 23 Μαΐου 216 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

A = B = Ψ(1) = Ψ(0) = γ) Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε

A = B = Ψ(1) = Ψ(0) = γ) Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε 1 Prìblhma 2 και α Εχουμε ότι a 11 =1 a 21 = a 12 = 1 a 22 = b 11 = b 21 = b 12 = b 22 =1 A = B = ( 1 1 ( και επομένως det A =detb =, οπότε οι συνθήκες είναι αμιγείς. β Εχουμε ότι ( ( 1 2 1 A =, B = 1

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων 1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση 1: (α) Να προσεγγισθεί η τιµή του e µε ακρίβεια 0.001. (ϐ) Να προσεγγισθεί ο ln µε ακρίβεια 0.1. Λύση : Αν ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές εξισώσεις

Διαφορικές εξισώσεις Διαφορικές εξισώσεις Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικές εξισώσεις τεχνικές 73 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΓΙΚΗ - ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση : Η Κυματική Εξίσωση. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή κυματική εξίσωση σε χωρικές και 1 χρονική διάσταση : t ( Ψ (, rt = f(, rt (139 ( Εδώ είναι μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 14 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (για το µάθηµα Μ104 Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ) Ι.. ΠΛΑΤΗΣ Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών 2011 Πρόλογος Οι πρόχειρες αυτές σηµειώσεις διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Κατεύθυνση: Εφαρμοσμένη Ανάλυση & Μαθηματική Φυσική Διπλωματική Εργασία Περιγραφή και Μελέτη Προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων. εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά σε διατάσεις...

Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων. εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά σε διατάσεις... Δ2.4/2 1.1 Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις 1+1 διαστάσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης και χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές..................... 3 1.2 Μέθοδος Φωκά για γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

This work is licensed under the Creative Commons To view a copy of this license, visit

This work is licensed under the Creative Commons To view a copy of this license, visit Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις... για μηχανικούς Μανόλης Βάβαλης 6 Μαΐου 4 Το κείμενο αυτό μορφοποιήθηκε σε L A TEX. Copyright c,, 4 Μανόλης Βάβαλης This work is licensed under the Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Άσκηση 1 Ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας Τ ενός σώματος είναι ανάλογος της διαφοράς της θερμοκρασίας του σώματος και της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος Τπ. α)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ. PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής

ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ. PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 216 Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 1 Στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης Βασικοί ορισμοί Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα