ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. 9.1 Η εξίσωση της κίνησης φορτισµένου σωµατιδίου

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 9. Η εξίσωση της κίνησης φορτισµένο σωµατιδίο Η εξίσωση της κίνησης ενός σωµατιδίο πάνω στο οποίο εξασκείται µια εξωτερική δύναµη F, σύµφωνα µε το νόµο το Newton της µηχανικής, είναι η dm ( ) F =, (9.) όπο m είναι η µάζα το σωµατιδίο η ταχύτητα το. Αν r () t είναι η επιβατική ακτίνα (διάνσµα θέσης) πο καθορίζει τη θέση το σωµατιδίο τη χρονική στιγµή t, τότε η (9.), επειδή ισχύει η dr = = r, (9.) d γράφεται ως F = ( m r ) (9.3) 489

2 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ P: θέση σωµατιδίο r ϕ ρ Σχήµα 9- Για µη ρελατιβιστικές περιπτώσεις (δηλαδή όταν <<, όπο η ταχύτητα το φωτός) η µάζα m θεωρείται σταθερή, οπότε η (9.3) καταλήγει στη γνωστή µορφή d F = m = m = m r (9.4) Αν, σ ένα καρτεσιανό σύστηµα σντεταγµένων, F, F, F είναι οι σνιστώσες της F,,, της,, της r, η (9.4) µπορεί, επίσης, να γραφεί ως ( ) ( ) F + F + F = m + + = m + + (9.5) Σ ένα σύστηµα κλινδρικών σντεταγµένων (, ρϕ,) όπο οι εκφράσεις των F, r είναι, αντίστοιχα, οι F = Fρρ + Fϕϕ + F, (9.6) = ρ + ϕ + (9.7) ρ ϕ r = ρρ +, (9.8) αν λάβοµε πόψη ότι η ταχύτητα η επιτάχνση δίνονται από τις γνωστές σχέσεις = ρ ρ + ρϕ ϕ + (9.9) 49

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 = ρ ρϕ ρ + ρϕ + ρϕ ϕ + ( ) ( ) d = ( ρ ρω ) ρ + ( ρ ω) ϕ + ρ (9.) όπο ω = ϕ είναι η γωνιακή ταχύτητα, η (9.4) γράφεται d F = Fρρ + Fϕϕ + F = m ( ρ ρω ) ρ + ( ρ ω) ϕ + (9.) ρ Από την (9.), λόγω των (9.7) (9.9), προκύπτει η εξίσωση ( ) F+ = + +, (9.) mρω ρ mρωϕ m ρρ ϕϕ πο περιέχει τον κεντρόφγο όρο mρω ρ τον κοριόλιο όρο m ω ρ ϕ. 9. ύναµη ενέργεια Στην ανάλση πο ακολοθεί θεωρούµε ότι οι κύριες δνάµεις πο ενεργούν πάνω σ' ένα σωµατίδιο είναι η ηλεκτρική η µαγνητική δύναµη. Σύµφωνα µε τις σχέσεις (.3) (6.5) η δύναµη πο ασκείται επί ενός σωµατιδίο πο κινείται σ' ένα ηλεκτροµαγνητικό πεδίο δίνεται από τη σχέση F = q( E+ B) (9.3) Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των (9.4) (9.3) παίρνοµε την µη ρελατιβιστική εξίσωση της κίνησης q( E+ B) = m (9.4) Αν E, E, E είναι οι σνιστώσες της έντασης E B, B, B της µαγνητικής ε- παγωγής B, από τις (9.4) (9.5), προκύπτει η εξίσωση της κίνησης σ' ένα καρτεσιανό σύστηµα σντεταγµένων ( ) ( ) ( ) = m( + + ) = m( + + ) q E B B E B B E B B (9.5) Επίσης, σ' ένα σύστηµα κλινδρικών σντεταγµένων µε σνιστώσες Eρ, Eϕ, E Bρ, Bϕ, B, η εξίσωση της κίνησης σύµφωνα µε τις (9.4) (9.) είναι η 49

4 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ( ρ + ϕ ϕ) ρ + ( ϕ + ρ ρ ) ϕ + ( + ρ ϕ ϕ ρ) q E B B E B B E B B d (9.6) = m ( ρ ρω ) ρ + ( ρ ω) ϕ + ρ Αν θεωρήσοµε ότι η δύναµη F ενεργεί επί ενός φορτισµένο σωµατιδίο το µετακινεί από µια θέση P σε µια άλλη θέση P. Το έργο της δύναµης κατά τη µετακίνηση το σωµατιδίο είναι W P P = F d l (9.7) Αντικατάσταση της (9.4) στην (9.7) δίνει Pd P dl P W = m dl = m d m d P = P P P P = m d( ) = m d( ), P P ή W = m( ), (9.8) όπο, είναι οι τιµές της ταχύτητας στα σηµεία P P, αντίστοιχα. Η εξίσωση (9.8) περιγράφει ότι το έργο των πεδιακών δνάµεων είναι ίσο µε την αύξηση της κινητικής ενέργειας το σωµατιδίο. Ας δούµε, στη σνέχεια, πώς κατανέµεται το έργο W ανάµεσα στο ηλεκτρικό το µαγνητικό πεδίο. Από την αντικατάσταση της (9.3) στην (9.7) έχοµε Η (9.9), όταν λάβοµε πόψη ότι καταλήγει στην P = ( + ) P W q E Bdl (9.9) ( B) dl= dl ( B) = ( dl ) B = ( ) B =, (9.) P P W = q E d l (9.) Στις περιπτώσεις (π.χ. στατικό, µόνιµο, βραδέως µεταβαλλόµενο πεδίο), όπο η ηλεκτρική πεδιακή ένταση µπορεί να γραφεί ως η κλίση ενός βαθµωτού δναµικού φ, δηλαδή E = φ, (9.) 49

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 από την αντικατάσταση της (9.) στην (9.) προκύπτει P = φ = φ φ P W q dl q( ) (9.3) Εξισώνοντας τα δεξιά µέλη των (9.8) (9.3) έχοµε ( ) ( ) m = q φ φ (9.4) Από την (9.4) βλέποµε, ότι ένα ηλεκτρόνιο (q = e ) πο αναχωρεί µε µηδενική αρχική ταχύτητα ( = ) από µια θέση µηδενικού δναµικού ( φ = ), όταν φθάσει σε µια θέση δναµικού φ = V, αποκτά µια ταχύτητα =, πο είναι ίση µε ev = (9.5) m 9.3 Κίνηση ηλεκτρονίο στο πεδίο επίπεδο πκνωτή Έστω ότι τη χρονική στιγµή t =, ένα ηλεκτρόνιο κινούµενο παράλληλα προς τις πλάκες ενός επίπεδο πκνωτή (σχήµα 9-), εισέρχεται στο πεδίο το, (σηµείο Ο), µε ταχύτητα =. Το ηλεκτρόνιο, λόγω της αρχικής ταχύτητας της επίδρασης το ο- µοιόµορφο πεδίο E = V ( / d), διαγράφει παραβολική τροχιά. Πράγµατι, από την (9.5) για E = E = B = B = B =, προκύπτον οι εξισώσεις d m = m =, (9.6) d V = = (9.7) d m m e d m = m = (9.8) Αν ολοκληρώσοµε (δύο φορές) τις (9.6) (9.8) λάβοµε πόψη τις αρχικές σνθήκες: () = () = () = () = () = παίρνοµε τις = t = t (9.9) = (9.3) 493

6 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ δ φ = V P K a S d O M( l /, ) a e P φ = l/ l/ l d δ Σχήµα 9- Εξάλλο, από την ολοκλήρωση της (9.7), όταν εφαρµόσοµε τις αρχικές σνθήκες () = () =, προκύπτει ev = t (9.3) md ev = t (9.3) md Από τις (9.9) (9.3) µε απαλοιφή της χρονικής µεταβλητής t προκύπτει η ζητούµενη τροχιά (παραβολή) το ηλεκτρονίο ev = (9.33) md Μετά την έξοδο το ηλεκτρονίο από το πεδίο το πκνωτή (µετά από χρόνο t = l/ ) στο σηµείο Κ, το ηλεκτρόνιο κινείται εθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα t l v = v ( ), µέχρις ότο σναντήσει το διάφραγµα δδ στο σηµείο Ρ. Η τροχιά ΚΡ διέρχεται από το σηµείο Μ( l /) σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία 494

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 a ( t ) evl l = tan = tan (9.34) ( tl) dm Επίσης, η κατακόρφη απόκλιση S το ηλεκτρονίο επί της οθόνης δδ, είναι evll S = ld tana = (9.35) dm d 9.4 Κίνηση ηλεκτρονίο σε µαγνητικό πεδίο Ας θεωρήσοµε, τώρα, ότι ένα ηλεκτρόνιο κινείται µε µια αρχική ταχύτητα σ' ένα οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο B = B. Αν η ταχύτητα αναλθεί σε δο σνιστώσες r, η δύναµη F πο ασκείται στο ηλεκτρόνιο είναι F = e B = e ( ρ + ) B = e Bϕ (9.36) ( ) r r Έτσι, το ηλεκτρόνιο κατά την κίνησή το διαγράφει µια κκλική ελικοειδή τροχιά. Η δύναµη πο ασκείται στο ηλεκτρόνιο διεθύνεται προς το κέντρο Κ της έλικας (κεντροµόλος δύναµη), είναι, κατά τα γνωστά από τη µηχανική, ίση προς το γινόµενο της µάζας επί την επιτάχνση κατά την ακτινική διεύθνση, δηλαδή F m R r =, (9.37) αρχική θέση ηλεκτρονίο O B F R r K r Σχήµα

8 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ όπο R είναι η ακτίνα της έλικας. Από τις (9.36) (9.37) προκύπτει ότι η ακτίνα R δίνεται από τη σχέση mr R = (9.38) eb Η γωνιακή ταχύτητα ω της κκλικής περιστροφής πολογίζεται από την r ω = (9.39) R την (9.38), είναι ίση µε eb ω = (9.4) m Ας σηµειωθεί ότι το ηλεκτρόνιο κινείται οµαλά (µε σταθερή ταχύτητα ) κατά τη διεύθνση το άξονα, αφού η σνιστώσα F της δύναµης F είναι ίση µε µηδέν. δ l d l/ l P B O S K P a S S R R P R δ a Σχήµα 9-4 C Εξετάζοµε, στη σνέχεια, την κίνηση ενός ηλεκτρονίο (σχήµα 9-4) πο εισέρχεται µε µια αρχική ταχύτητα κάθετα σ' ένα οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο B µετά την 496

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 έξοδο το από το µαγνητικό πεδίο (σηµείο K ) φθάνει σ' ένα διάφραγµα (οθόνη) δδ, ακολοθώντας την εθύγραµµη τροχιά KP. Η ακτίνα R της κκλικής τροχιάς OK, σύµφωνα µε την (9.38), δίνεται από την ενώ η εκτροπή S πάνω στην οθόνη είναι όπο Στην περίπτωση όπο R R m eb =, (9.4) S = S + S, (9.4) l l l l S = (P K) tana = l = l d d / R ( R l ) S R R R ( R l ) (9.43) / = = (9.44) >> l, από την προσεγγιστική σχέση / l ( R l ) R, (9.45) R τις (9.4), (9.43) (9.44) προκύπτει η ll d lleb d S =, (9.46) R m δηλαδή η εκτροπή S είναι ανάλογη της µαγνητικής επαγωγής B αντίστροφα ανάλογη της ταχύτητας. 9.5 Κίνηση φορτισµένο σωµατιδίο σε µαγνητικό ηλεκτρικό πεδίο Ας µελετήσοµε, στη σνέχεια, την τροχιά ενός φορτισµένο σωµατιδίο, πο κινείται µε αρχική ταχύτητα = (σχήµα 9-5), σ' ένα µόνιµο οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο B = B, πο διασταρώνεται µ' ένα επίσης µόνιµο οµοιόµορφο ηλεκτρικό πεδίο E = E. 497

10 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ B Αρχική θέση σωµατιδίο O E Σχήµα 9-5 Αν q m είναι το φορτίο η µάζα το σωµατιδίο, αντίστοιχα, από την εξίσωση (9.5), για B = B = E = E =, προκύπτει η m = m( + + ) = q( B + ( E B) ) (9.47) ή, θέτοντας οι qb ω =, (9.48) m = ω, (9.49) q = E + ω (9.5) m = (9.5) Από την ολοκλήρωση της (9.5), επειδή η σνιστώσα της αρχικής ταχύτητας είναι µηδενική, προκύπτει ότι =. Επίσης, επειδή η κίνηση το σωµατιδίο αρχίζει από την αρχή των αξόνων, µε δεύτερη ολοκλήρωση, προκύπτει ότι κατά µήκος της τροχιάς σε κάθε χρονική στιγµή t ισχύει η δηλαδή η κίνηση γίνεται πάνω στο επίπεδο. t () =, (9.5) 498

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Με παραγώγιση της (9.5) απαλοιφή της, προκύπτει η πο έχει τη γενική λύση =, (9.53) ω = sin ω t + os ω t (9.54) Η σταθερά πρέπει να είναι ίση µε µηδέν ( = ), αφού = για t =. Λαµβάνοντας πόψη ότι = µε αντικατάσταση της (9.54) στην (9.5) προκύπτει η q os = E + ωt (9.55) mω Η σταθερά, αφού = για t =, δίνεται από την q = E + (9.56) mω ή, λόγω της (9.48), από την E = B + (9.57) Έτσι, οι σνιστώσες της ταχύτητας, ανά πάσα χρονική στιγµή t, έχον τις εκφράσεις E E os t B = + B ω (9.58) E = sin ωt B (9.59) Οι σντεταγµένες το σωµατιδίο σε κάθε χρονική στιγµή t, προκύπτον από την ολοκλήρωση των (9.58) (9.59). Προς το σκοπό ατό, ολοκληρώνοντας την (9.58) έχοµε E E t () = t+ sinω t+ B ω B 3 (9.6) Η τιµή, όµως, της σταθεράς 3 είναι ίση µε µηδέν, επειδή για t = το σωµατίδιο βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Έτσι, η (9.6) γράφεται E E t t t () = + sinω B ω B (9.6) 499

12 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Εξάλλο, από την ολοκλήρωση της (9.59), έχοµε E t () = osω t+ ω B 4 Επειδή όµως για t = είναι () =, η σταθερά 4 έχει τιµή E 4 = ω B Αντικατάσταση της (9.63) στην (9.6) δίνει (9.6) (9.63) Ας σηµειωθεί ότι για = E t () = ( os ωt) ω B (9.64), οι (9.6) (9.64) περιγράφον τις παραµετρικές εξισώσεις µιας κκλοειδούς µε παράµετρο τη χρονική µεταβλητή t. Επίσης, όταν = E/ B, έχοµε t () =, δηλαδή η κίνηση γίνεται πάνω στον άξονα. 9.6 Κίνηση φορτισµένο σωµατιδίο σε δίοδο παράλληλων πλακών Έστω η δίοδος το σχήµατος 9-6, πο αποτελείται από δύο παράλληλες πλάκες Κ Ρ, πο έχον διαφορά δναµικού V. Υποθέτοµε ότι τα ηλεκτρόνια απελεθερώνονται µε µηδενική αρχική ταχύτητα από την κάθοδο Κ σλλέγονται από την άνοδο Ρ. K P φ K = φ P =V E J O d Σχήµα 9-6 5

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Αν ( ) φ () είναι, αντίστοιχα, η ταχύτητα το δναµικό ενός ηλεκτρονίο σε µια απόσταση από την κάθοδο, τότε, από την εξίσωση της κινητικής της δναµικής ενέργειας, έχοµε ( ) = ( ) (9.65) m eφ Εξάλλο, αν ρ ( ) είναι η πκνότητα των χωρικών φορτίων, πο δηµιοργείται από την παροσία των ηλεκτρονίων στον µεταξύ των πλακών χώρο, η εξίσωση Poisson (.), για µεταβολές µόνο κατά, γράφεται Η πκνότητα J ( ) το ρεύµατος δίνεται από την d φ ρ() = (9.66) d ε J ( ) = ρ( ) ( ) (9.67) έχει παντού την ίδια τιµή J, σύµφωνα µε την εξίσωση της σνέχειας. ή Από τις εξισώσεις (9.65), (9.66) (9.67) προκύπτει η d φ J J m d e = =, (9.68) ε () ε φ d φ d / = Kφ, (9.69) φ V φ = φ() O d Σχήµα 9-7 5

14 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ όπο J m K = (9.7) ε e Αν ολοκληρώσοµε την (9.69) λάβοµε πόψη την αρχική σνθήκη dφ / d =, για =, προκύπτει ή φ() = d 4/3 V 3/ 4 ε ε, (9.7) 9 m φ() = J, (9.7) ή 3 3/4 / φ () = K (9.73) Από την (9.7) προκύπτει η έκφραση της πκνότητας J το ρεύµατος σναρτήσει το δναµικού φ () της απόστασης, / 3/ 4 e φ() J = ε 9 m, (9.74) πο είναι γνωστή ως εξίσωση (ή νόµος) Child-Langmuir. Η εξίσωση ατή, για = d, γράφεται J / 3/ 4 e V = ε 9 m d (9.75) 9.7 Το αναλλοίωτο της µαγνητικής ροής Κατά την κίνηση ενός φορτισµένο σωµατιδίο σ ένα µαγνητικό πεδίο πο µεταβάλλεται αργά (χρονικά ή χωρικά), η µαγνητική ροπή M παραµένει σταθερή (αναλλοίωτη). Από τη διατήρηση της µαγνητικής ροπής M προκύπτει το σµπέρασµα ότι το φορτισµένο σωµατίδιο κινείται στην παράπλερη επιφάνειαα ενός ροϊκού σωλήνα. Η ροή Φ το µαγνητικού πεδίο, µέσα από το σωλήνα ατό, δίνεται από την πm πm e e B Φ = πrb= M=, (9.76) 5

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 όπο R είναι η ακτίνα της τροχιάς το σωµατιδίο η κάθετη σνιστώσα της ταχύτητας στη διεύθνση το µαγνητικού πεδίο B. Από την (9.68), προκύπτει, ότι η ροή Φ παραµένει αναλλοίωτη µέσα στο σωλήνα. 53

16 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 9.8 Παραδείγµατα 9. Φορτισµένο σωµατίδιο µάζας ηρεµίας m φορτίο e, κινείται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο B = B, πο διασταρώνεται µε ένα, επίσης, οµογενές ηλεκτρικό πεδίο E = E + E, όπο BE,, E σταθερές,, τα µοναδιαία διανύσµατα κατά τος άξονες, αντίστοιχα. Τη χρονική στιγµή t = το σωµατίδιο βρίσκεται στην αρχή των αξόνων έχει ταχύτητα = +, όπο, σταθερές. Να καθοριστούν οι παραµετρικές εκφράσεις: t (), t (), t (), της τροχιάς το σωµατιδίο. Η διαφορική εξίσωση της κίνησης αν d m e( ) = B+ E () = + + () είναι η ταχύτητα το σωµατιδίο, επειδή B = B = E = (3) σύµφωνα µε την (9.5), γράφεται B = B, (4) d d d + + = ( + + ) (5) m e B B E E Από την (5) προκύπτον οι τρεις διαφορικές εξισώσεις της κίνησης d m = eb, (6) d m = e( E B), (7) d m Η (8), µε δύο διαδοχικές ολοκληρώσεις, δίνει = ee (8) 54

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 d ee m = = t +, (9) ee t () = t + t + () m Από τις (9), () τις αρχικές σνθήκες πολογίζονται οι σταθερές οπότε η () γράφεται () =, () () =, () =, (3) =, (4) ee t () = t + t, (5) m Από τις (6) (7) αν για εκολία, θέσοµε eb ω =, (6) m προκύπτον οι d d = ω (7) E B Η (8), µε παραγώγιση ως προς το χρόνο, γράφεται = ω ω (8) d ή, µε αντικατάσταση της (7) στην (9) d = ω, (9) d Η γενική λύση της () είναι της µορφής όπο 3, 4 σταθερές. ω + =. () = ω + ω, () () t 3 os t 4 sin t 55

18 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Από την () την αρχική σνθήκη () =, () προκύπτον οι 3 =, (3) d = = 4 sin ωt (4) d = ω os 4 ωt (5) Αντικατάσταση της (5) στην (8) δίνει d E os = = 4 ωt B (6) Από την (6) την αρχική σνθήκη πολογίζεται η τιµή της σταθεράς 4 () =, (7) οπότε, οι (6) (4) γράφονται E =, (8) B 4 d E E = = os ωt B B (9) d E sin t B = = ω (3) Η ολοκλήρωση των (9) (3) δίνει, αντίστοιχα E E t () = t sinωt+ B ω B 5 E t () = osωt+ ω B 6 (3) (3) Οι τιµές των σταθερών 5 6 πο πολογίζονται από τις αρχικές σνθήκες 56

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 () = (33) είναι () =, (34) 5 = (35) E = ω B 6 (36) Από την αντικατάσταση των (35), (36), (6) στις (3), (3) (5) προκύπτον οι ζητούµενες παραµετρικές εκφράσεις της τροχιάς το σωµατιδίο E m E ebt t () = t sin B eb B m, (37) m E ebt t () = os eb B m, (38) ee = + (39) m t () t t 9. Μία λχνία magnetron αποτελείται από ένα λεπτό µεταλλικό κλινδρικό κέλφος (άνοδος), ακτίνας r, στον άξονα το οποίο βρίσκεται ένα εθύγραµµο µεταλλικό νήµα (κάθοδος) αµελητέας διατοµής. Το νήµα απελεθερώνει απεριόριστο αριθµό ηλεκτρονίων πο σλλέγονται από την άνοδο, όταν µεταξύ ανόδο-καθόδο επιβληθεί σταθερή διαφορά δναµικού V. Να βρεθεί η έκφραση της σνάρτησης δναµικού φ στο εσωτερικό της λχνίας η σχέση πο σνδέει το ρεύµα I της λχνίας µε την επιβαλλόµενη τάση V. Θεωρείστε ότι το µήκος της λχνίας είναι πολύ µεγαλύτερο από την ακτίνα r ότι η κάθοδος είναι γειωµένη ( φ () = ). 57

20 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ r φ =V r E F J l φ = Σχήµα 9-8 Αν ποθέσοµε ότι τα ηλεκτρόνια αποσπώνται από την κάθοδο µε µηδενική αρχική ταχύτητα, τότε, η ταχύτητα () r το δναµικό φ () r, σε µια ακτινική απόσταση r, σχετίζονται, σύµφωνα µε τη σχέση (9.5), µε την ή m r e r () = φ () e / () r = φ m, () όπο m e είναι η µάζα η απόλτη τιµή το φορτίο το ηλεκτρονίο, αντίστοιχα. Επίσης, αν ρ () r είναι η πκνότητα των χωρικών φορτίων µεταξύ καθόδο ανόδο, η εξίσωση Poisson / ρ φ =, () ε σε κλινδρικές σντεταγµένες, λόγω της φιστάµενης κλινδρικής σµµετρίας, γράφεται d φ dφ ρ + = (3) dr r dr ε 58

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η πκνότητα της έντασης το ρεύµατος J () r έχει διεύθνση αντίθετη προς την ταχύτητα των ηλεκτρονίων το µέτρο της σε απόσταση r δίνεται από την I Jr () =, (4) πlr όπο I είναι το σνολικό ρεύµα πο διαβιβάζεται από ένα µήκος l της λχνίας. Από την (4), επειδή η πκνότητα το ρεύµατος J ισούται προς J = ρ, (5) προκύπτει ή, λόγω της (), I ρ = πlr (6) / I m ρ / / πl( e) rφ (7) Αντικατάσταση της (7) στην (3) δίνει όπο / d φ d φ a φ + =, (8) dr r dr r I m a = πε l e / (9) Αν για την επίλση της (8) αναζητηθεί λύση της µορφής n φ () r = r, () όπο n, προσδιοριστέες σταθερές, τότε, µε αντικατάσταση της () στην (8) έχοµε n n n/ nn ( ) r + nr = a r, ή 3/ n n/ n r = ar () Από την () προκύπτει το σύστηµα των εξισώσεων 3/ n = a () 59

22 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ n n = (3) Η επίλση το σστήµατος των εξισώσεων () (3) δίνει n = (4) 3 3 = Με αντικατάσταση των (4), (5) στην () προκύπτει 4/3 a /3 (5) ή, λόγω της (9), 4/3 3 φ() r = a r /3 /3 3 I m φ() r = πε l e 4/3 /3 /3 r /3 (6) (7) Από την (7), επειδή το δναµικό της ανόδο είναι φ ( r) = V, έχοµε V 4/3 /3 /3 3 I m /3 = r πεl e (8) Η κατά µέλη διαίρεση των (7) (8) δίνει r = φ() r V r /3 (9) Τέλος, από την (8) πολογίζεται το ρεύµα I, σναρτήσει το δναµικού V, I 8π e l = ε V () 9 3/ mr Η εξίσωση () πο σνδέει το ρεύµα I µε την τάση V στη magnetron, είναι αντίστοιχη προς την εξίσωση (9.67) των Child-Langmuir στη δίοδο επιπέδων πλακών. 5

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ένα ηλεκτρόνιο κινείται µε αρχική ταχύτητα = εγκάρσια σε οµογενές ηλεκτρικό µαγνητικό πεδίο της ίδιας διεύθνσης ( E = E, B = B ). Σε διαδροµή πο αντιστοιχεί σε µετατόπιση κατά ίση µε l = 5 m το ηλεκτρόνιο αποκλίνει από την αρχική το διεύθνση κατά γωνία 7/ rads προς τις δύο κατεθύνσεις προς τις οποίες εκτρέπεται λόγω της παροσίας των δύο πεδίων. Να πολογιστεί ο λόγος e/ m το φορτίο το ηλεκτρονίο προς την µάζα το η ταχύτητα το, αν B =, 36 mt E = kv/m είναι οι τιµές των εντάσεων των δύο οµογενών πεδίων, αντίστοιχα. E B O τροχιά Σχήµα 9-9 Έστω ότι το ηλεκτρόνιο τη χρονική στιγµή t = βρίσκεται στην αρχή Ο το καρτεσιανού σστήµατος σντεταγµένων το σχήµατος, οπότε αρχίζει να κινείται µε αρχική ταχύτητα =, () παράλληλα προς τον άξονα, κάθετα προς τον άξονα πο έχει την κοινή διεύθνση το µαγνητικού ηλεκτρικού πεδίο. Από την εξίσωση B = B = E = E =, B = B E = E, έχοµε dv m = e B B + E ( ) της κίνησης (9.5), για, () 5

24 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ όπο = + +, (3) είναι η ταχύτητα το σωµατιδίο. Η () οδηγεί στο σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων d = =, (4) m m eb d m m eb Οι αρχικές σνθήκες το προβλήµατος είναι = =, (5) d = = (6) m m ee () = () = () = () = () = (7) () = (8) Έτσι, µε ολοκλήρωση της (6) παίρνοµε ee t = +, (9) m όπο η σταθερά λόγω της (7) έχει τιµή =, οπότε = d ee t = m () Από την ολοκλήρωση της () έχοµε ee = + () m t () t Η σταθερά, λόγω της (7) είναι πάλι ίση µε µηδέν, οπότε ee t () m Αν διαιρέσοµε κατά µέλη τις (4) (5), προκύπτει =, = t () ή + = (3) Η (3), πο γράφεται επίσης, 5

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 δίνει d + =, (4) ( ) + = (5) 3 Η σταθερά 3 λόγω των (7) (8) είναι =, οπότε η (5) γράφεται 3 + = (6) Αν τώρα, παραγωγίσοµε ως προς το χρόνο t τα δύο µέλη της (4), έχοµε = ω, (7) όπο eb ω = (8)+ m Η (7), λόγω των (5) (8), γράφεται Από τη γενική λύση ω + = (9) = ω + ω () 4 sin t 5 os t της (9), την αρχική σνθήκη () =, προκύπτει ότι η σταθερά 5 έχει µηδενική τιµή, οπότε sin = 4 ωt () Αντικατάσταση της () στην (4), δίνει d = ( 4 sin ω t ) = 4 os ω t () ω Από την () την αρχική σνθήκη (8), προκύπτει ότι η σταθερά 4 έχει τιµή =, (3) οπότε οι () () γράφονται, αντίστοιχα, 4 d sin = = ωt (4) d os = = ωt (5) 53

26 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Με ολοκλήρωση των (4) (5) έχοµε = ω + (6) ω t () os t 6 = ω +, (7) ω t () sin t 7 όπο οι σταθερές 6 7, λόγω της (7) έχον τις τιµές 6 = (8) ω 7 = (9) Αντικατάσταση των (8), (8), (9), στις (6), (7) δίνει m ebt t () = os eb m ebt m t () = sin eb m (3) (3) Τέλος, από τις (), (3), (3) τις προκύπτει e m = l = 5 m (3) 7 = =, (33) l l =, 96 C/kg, (34) 7 =, 8 m/s (35) 9 t l =, 79 s (36) 54

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ηλεκτρόνιο µε ενέργεια W = 5 ev αρχίζει να κινείται παράλληλα προς ένα γειωµένο αγώγιµο επίπεδο σε απόσταση h = mm απ' ατό. Ποια είναι η οριζόντια απόσταση l πο διανύει το ηλεκτρόνιο µέχρι να σγκροστεί µε το αγώγιµο επίπεδο; h F -e h +e l Σχήµα 9- Η δύναµη πο ασκείται ανά πάσα χρονική στιγµή στο ηλεκτρόνιο, είναι η δύναµη Coulomb F µεταξύ το ηλεκτρονίο το ειδώλο το ως προς το αγώγιµο επίπεδο. Η δύναµη βαρύτητας θεωρείται πολύ µικρή σε σύγκριση µε τη δύναµη Coulomb για ατό αµελείται. Η F πο είναι κατακόρφη µε κατεύθνση προς τα κάτω, δίνεται από την έχοµε Από την () την e F = () 4 πε ( ) d F = m, () d K =, (3) 55

28 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ όπο K = e 6πε m (4) Η εξίσωση (3), αν τα δύο µέλη της πολλαπλασιαστούν επί d /, γράφεται d d K d = ή d d d K = (5) Από την ολοκλήρωση της (5) έχοµε d K = +, (6) όπο η τιµή της σταθεράς πολογίζεται από τις αρχικές σνθήκες. Πράγµατι, από την (6) επειδή για t =, είναι () = h ( d / ) = =, προκύπτει t οπότε, η (6) γράφεται K =, (7) h d K = h, (8) ή d =± K (9) h Επειδή όµως, είναι d / <, αφού για αύξοντα t έχοµε ελάττωση το, αποκλείεται το θετικό πρόσηµο στην (9), πο έτσι, τελικά γράφεται d = K, () h ή h d = K h () Αν ολοκληρώσοµε τα δύο µέλη της (), κάνοντας χρήση το ολοκληρώµατος p + q = q p + q d p q ( p q)sin () 56

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 για p = q = h, προκύπτει h = + h h ( h ) hsin Kt Η σταθερά, επειδή για t = είναι = h, έχει τιµή = (4) η (3) γράφεται ή, λόγω της (4), h h t = ( h ) + hsin K h 4 πε mh ( ) sin h = + e h t h h Όταν το ηλεκτρόνιο σγκρούεται µε το επίπεδο ( = ), έχει διανύσει απόσταση l. Αν είναι η αρχική ταχύτητα παράλληλη προς το επίπεδο το ηλεκτρονίο, ο χρόνος t στον οποίο διανύει την απόσταση ατή, πο είναι ο χρόνος µέχρι να σγκροστεί µε το επίπεδο, είναι προφανώς Από την (6) όµως για = έχοµε t (3) (5) (6) l = (7) 3/ 4 πεmh ( ) πh t = hsin () = εm (8) e e Αντικατάσταση της (8) στην (7) δίνει 3/ ( πh) l = εm (9) e Η (9), σναρτήσει της ενέργειας W το ηλεκτρονίο, επειδή γράφεται W = m, () ( ) 3/ ε 3,8 l = h W e π = m () 57

30 Fm Fm ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 9.5 Έστω κλινδρική δέσµη ηλεκτρονίων ακτίνας r. Η ενέργεια στο κάθε ηλεκτρόνιο προσδίδεται µε επιβολή τάσης V. Τα ηλεκτρόνια κινούµενα παράλληλα προς τον άξονα της δέσµης δηµιοργούν ένα ρεύµα I. Η δέσµη, εξαιτίας της απωστικής δύναµης µεταξύ των η- λεκτρονίων αρχίζει να διαστέλλεται. Να πολογιστεί η επιτάχνση των περιφερειακών ηλεκτρονίων της δέσµης κατά την αρχή το φαινοµένο. F e F e -e B r I I l Σχήµα 9- Στο τχόν ηλεκτρόνιο πο απέχει απόσταση r από τον άξονα της δέσµης κινείται µε ταχύτητα παράλληλα προς ατόν, ασκείται η ηλεκτρική δύναµη F e πο οφείλεται στο ηλεκτρικό φορτίο της δέσµης, η µαγνητική δύναµη F m πο οφείλεται στο µαγνητικό πεδίο των κινούµενων φορτίων της δέσµης. Αν S είναι η διατοµή ( S = πr ) ρ η πκνότητα των φορτίων της δέσµης, τότε, η ένταση E το ηλεκτρικού πεδίο σε απόσταση r από τον άξονα, σύµφωνα µε το νόµο το Gauss, είναι Q E = r () πε lr όπο Q είναι το φορτίο ενός τµήµατος µήκος l της δέσµης r το µοναδιαίο ακτινικό διάνσµα. Η (), επειδή 58

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 = ρ = ρ = ρπ, () Q V Sl r l γράφεται ρr E = r (3) ε Από την (3), επειδή ισχύον οι σχέσεις (για τις φορές το σχήµατος) J = ρ (4) = = π ρ, (5) I JS r προκύπτει η Έτσι, η δύναµη F e, λόγω της (6) δίνεται από την I E = r, (6) πε r ei Fe = ee = r (7) πε r Η µαγνητική δύναµη F m, επειδή η µαγνητική επαγωγή B είναι µ I πr B =, (8) όπο ϕ το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνσµα, πολογίζεται από τη σχέση Fm = e B = eb( ϕ ) = ebr (9) Αντικατάσταση της (8) στην (9) δίνει µ ei Fm = r () πr Η σνολική δύναµη F, πο ασκείται σ ένα περιφερειακό ηλεκτρόνιο, όπως προκύπτει από τις (7) (), δίνεται από την F ei = F e + F m = µ πr ε r () Σνεπώς, η ζητούµενη επιτάχνση a πολογίζεται από την () την dr όπο m είναι η µάζα το ηλεκτρονίο, έχει την έκφραση F = ma = m r, () 59

32 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ a dr ei = = µ r r (3) πmr ε Η (3), επειδή η ταχύτητα σναρτήσει της τάσης V δίνεται από τη σχέση γράφεται ev =, (4) m a ei I e µ ev = = πmr ε r πr mv ε m r (5) / µ Τέλος, η (5), αν λάβοµε πόψη τη σχέση ε µ = (6) όπο είναι η ταχύτητα το φωτός στον κενό χώρο, γράφεται µε τη µορφή ei / I e ev mr r mv m a = r = r (7) πε π ε 9.6 Σωµατίδιο µάζας m φορτίο q κινείται µέσα σ ένα µαγνητικό πεδίο. Αν είναι η ταχύτητα το σωµατιδίο, να δειχτεί ότι η = = onst, αποτελεί ένα πρώτο ολοκλήρωµα της διαφορικής εξίσωσης της κίνησης. Στη σνέχεια, ζητείται η εξίσωση της κίνησης, σε κλινδρικές σντεταγµένες ρϕ,,, ενός σωµατιδίο πο κινείται στο µαγνητικό πεδίο πο δηµιοργεί εθύγραµµος αγωγός απείρο µήκος τοποθετηµένος στον άξονα διαρρεόµενος από σταθερό ρεύµα I. Να πολογι- στεί, επίσης, η F( ρ) = ( dρ/ ) ρ. ίνονται: α) Αρχικές σνθήκες για t = : =, ρ = a ϕ dϕ/ =, = β) Οι εκφράσεις της ταχύτητας v της επιτάχνσης a σε κλινδρικές σντεταγµένες: ρ ρϕ d d = ρ + ϕ +, a = = ( ) ( ) ρ ρϕ ρ + ρ ρ ϕ ϕ + Από τη γενική εξίσωση της κίνησης (σχέση (9.4)) 5

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 d m q( ) = E+ B, () σ ένα καθαρά µαγνητικό πεδίο, όπο E =, έχοµε d m q = B () Αν τα δύο µέλη της () πολλαπλασιαστούν εσωτερικά µε το διάνσµα της ταχύτητας, προκύπτει d m q ( ) = B (3) Επειδή, όµως, το δεύτερο µέλος της (3) είναι µηδέν (διανύσµατα B κάθετα), έχοµε d d m = m ( ) = (4) Από την (4) προκύπτει αµέσως η ζητούµενη σχέση = = onst (5) Ας περάσοµε, τώρα, στο δεύτερο σκέλος της άσκησης. Επειδή η µαγνητική επαγωγή B πο οφείλεται στο ρεύµα I το εθύγραµµο αγωγού σε κλινδρικές σντεταγµένες δίνεται από την µ I πρ η δύναµη F πο ασκείται σ' ένα φορτισµένο σωµατίδιο q είναι F B = ϕ, (6) µ qi B ϕ (7) πρ = q = Αν η ταχύτητα v εκφραστεί σε κλινδρικές σντεταγµένες η (7) γράφεται F µ qi ρ ρϕ πρ µ qi ( ) πρ = ( ρ + ϕ + ) ϕ = ρ + ρ (8) Η δύναµη F, αν η επιτάχνση a εκφραστεί σε κλινδρικές σντεταγµένες, δίνεται ε- πίσης από την 5

34 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ d F = ma = m ( ρ ρϕ ) ρ + ( ρ ϕ ) ϕ + (9) ρ Εξισώνοντας τα δεξιά µέλη των (8) (9) παίρνοµε την εξίσωση της κίνησης µ qi d ( ρ + ρ ) = ( ρ ρϕ ) ρ + ( ρ ϕ ) ϕ + () πmρ ρ Η (), αν για εκολία γίνει η αντικατάσταση, µ qi K πm δίνει το ακόλοθο σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης Από την ολοκλήρωση των (3) (4) προκύπτει =, () ρ ρϕ = K, () ρ d ( ) ρ ρϕ =, (3) K ρ = (4) ρ ρϕ= (5) = K ln ρ + (6) Από τις αρχικές σνθήκες, πολογίζονται οι τιµές των a = (7) = K lna, (8) οπότε, οι (5) (6) καταλήγον στις ρϕ= a (9) ρ = K ln () a Η σχέση (5), αν η ταχύτητα εκφραστεί σε κλινδρικές σντεταγµένες γράφεται 5

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 = ρ + ρ ϕ + = () Τέλος, η (), λόγω των (), (9), () δίνει a µ qi ρ Fr () = ρ = ln ρ πm a, () πο είναι η ζητούµενη σχέση. 9.7 Υπό την επίδραση περιώδος φωτός ηλεκτρόνια απελεθερώνονται από τον αρνητικό οπλισµό ενός πκνωτή παραλλήλων πλακών οδεύον προς το θετικό οπλισµό. Τα ηλεκτρόνια απελεθερώνονται από την πλάκα µε αµελητέες ταχύτητες. Μεταξύ των πλακών - πάρχει µαγνητικό πεδίο B παράλληλο προς τις πλάκες πο απέχον απόσταση d. Να βρεθεί, ποια πρέπει να είναι η διαφορά δναµικού µεταξύ των πλακών το πκνωτή, ώστε, κανένα ηλεκτρόνιο να µη φθάνει τη θετική πλάκα. ίνεται το φορτίο e η µάζα m το ηλεκτρονίο. U O r P(,) B d Σχήµα 9- Η διαφορική εξίσωση της τροχιάς ενός ηλεκτρονίο πο αποσπάται από το τχόν ση- µείο Ο της αρνητικής πλάκας είναι η 53

36 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ d r d m e r = E+ B, () όπο r είναι το διάνσµα της θέσης το ηλεκτρονίο κατά την τχούσα χρονική στιγµή t, = dr / η ταχύτητα, a = d r/ η επιτάχνση, E η ένταση το ηλεκτρικού πεδίο το πκνωτή B = B η µαγνητική επαγωγή το µαγνητικού πεδίο. Αν U είναι η τάση το πκνωτή, η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E δίνεται από την U E = () d Η (), µε αντικατάσταση της E από την () των dr /, d r / από τις γράφεται dr d d = = + (3) d r d d a = = +, (4) d d eu d d m + = eb + eb d (5) Από την (5), πρoκύπτει το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων d eu eb d md m = (6) d ebd = (7) m Για την επίλση το σστήµατος των εξισώσεων (6) (7), αν παραγωγίσοµε ως προς t την (6) έχοµε ή, λόγω της (7), d Από την (9), µε την αντικατάσταση ebd = (8) m d eb d 3 m = (9) 54

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 d gt () =, () προκύπτει η γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης µε σταθερούς σντελεστές πο έχει ως γενική λύση τη όπο A, A σταθερές dg eb + g =, () m gt () = Asinωt+ Aosωt, () eb ω = (3) m Από τη (), επειδή τη χρονική στιγµή t = η ταχύτητα είναι µηδενική, σνεπώς d = (4) t = d =, (5) t = σµπεραίνοµε ότι η σταθερά A έχει µηδενική τιµή, οπότε d gt () = = A sinωt (6) Η ολοκλήρωση στα δύο µέλη της (6) δίνει όπο A 3 σταθερά. Από την (7), επειδή για t = έχοµε A = ω +, (7) ω t () os t A3 () = (8) προκύπτει η έτσι η (7) γράφεται () = (9) A A ω 3 = () 55

38 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ t A = ω () ω () ( os t) Αν στη σνέχεια, αντικαταστήσοµε την (6) στην (7) λάβοµε πόψη την (3), προκύπτει η ή, µε ολοκλήρωση, η d A ωsin = ωt () d = A os ωt + A4, (3) όπο A 4 σταθερά. Η (3), επειδή από τη σνθήκη (5) έχοµε A = A, (4) 4 γράφεται d = A ( os ωt) (5) Η ολοκλήρωση της (5) δίνει A t () = At sinωt + A5, (6) ω όπο A 5 σταθερά. Από την (6) τη σνθήκη (9) προκύπτει ότι η σταθερά A 5 έχει µηδενική τιµή, οπότε η (6) γράφεται A t () = At sinωt. (7) ω Για τον προσδιορισµό, τέλος, της σταθεράς A, από την αντικατάσταση των (6), (5) στην (6) αφού λάβοµε πόψη τη (3) έχοµε eu Aωos ωt = ωa( os ωt), (8) md δηλαδή, eu U A = mωd = db (9) Έτσι, οι (6), (5), () (7) γράφονται µετά την αντικατάσταση της A από την (9) d U eb = sin t Bd m, (3) 56

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 d U eb = os t Bd m, (3) Um eb t () = os t eb d m (3) U m eb t () = t sin t Bd eb m (33) Οι (3) (33) καθορίζον τη θέση το ηλεκτρονίο σε κάθε χρονική στιγµή ενώ οι (3) (3) την ταχύτητά το. Ένα ηλεκτρόνιο πο εγκαταλείπει την αρνητική πλάκα τη στιγ- µή t =, όταν µετά χρόνο t προσεγγίσει τη θετική πλάκα ( t ( ) d), πρέπει για να µη φθάσει σ' ατήν να έχει µηδενική ταχύτητα κατά τον άξονα, δηλαδή d = = t= t (34) Από την (34) την (3), αν λάβοµε πόψη ότι ο µηδενισµός της ταχύτητας πρέπει να σµβεί για πρώτη φορά, αφού διαφορετικά θα είχαµε αντιστροφή της κίνησης, προκύπτει Επειδή, όµως, για t = t, πρέπει να έχοµε t πm = (35) eb οι (3) (35) δίνον t ( ) d, (36) Um Um d ( osπ) = (37) eb d eb d Από την (37) προκύπτει ότι αν η διαφορά δναµικού U το πκνωτή ικανοποιεί την ανισότητα U e m κανένα ηλεκτρόνιο δε φθάνει στη θετική πλάκα. B d, (38) 57

40 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 9.9 Ασκήσεις 9/ Ηλεκτρόνιο αµελητέας µάζας κινείται σ' ένα οµογενές ηλεκτροµαγνητικό πεδίο E = E B = B. Στην κίνηση το ηλεκτρονίο, αντιτίθεται η δύναµη F = κ όπο κ σταθερά η ταχύτητα το ηλεκτρονίο. Ζητείται να βρεθεί η σταθερή ταχύτητα µε την οποία κινείται το ηλεκτρόνιο µετά παρέλεση ικανού χρόνο. 9/ Σε δύο παράλληλα επίπεδα πο απέχον µεταξύ τος απόσταση l ανοίγονται δύο ο- πές διαµέτρο b, έτσι, ώστε τα κέντρα τος να βρίσκονται στην ίδια κοινή κάθετο των δύο επιπέδων. Από το κέντρο της µιας οπής εκτοξεύονται ηλεκτρόνια µε µέγιστη γωνία απόκλισης α ως προς την κάθετο. Αν τα ηλεκτρόνια έχον την ίδια ταχύτητα, ζητείται η µαγνητική επαγωγή B το µαγνητικού πεδίο πο πρέπει να εφαρµοστεί κάθετα στα επίπεδα, έτσι, ώστε όλα τα ηλεκτρόνια να περάσον από τη δεύτερη (απέναντι) οπή ανεξάρτητα από το µήκος l. B b a b l Σχήµα

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9/3 Σύµφωνα µε το νόµο το Stokes, όταν µια σφαίρα κινείται οµοιόµορφα µε ταχύτητα σ ένα σνεκτικό ρεστό, τότε, αναπτύσσεται πάνω σ' ατήν µια δύναµη R, αντίθετη προς την κίνηση της σφαίρας πο έχει µέτρο R = 6πηr, όπο η είναι ο σντελεστής σνεκτικότητας το ρεστού r η ακτίνα της σφαίρας. Ένα φορτισµένο σφαιρικό σωµατίδιο πο έχει πκνότητα µάζας d εισάγεται σε ένα ηλεκτρικό πεδίο E παρατηρείται ότι πέφτει µε σταθερή ταχύτητα E. Όταν το πεδίο αποµακρύνεται, παρατηρείται ότι πέφτει µε σταθερή ταχύτητα. Να πολογιστεί η ακτίνα r το φορτίο q το σωµατιδίο σναρτήσει των η, d,, E, E της επιτάχνσης g της βαρύτητας. - E l g m, q U + Σχήµα 9-4 9/4 Από µια µικρή οπή P στο λεπτό τοίχωµα ενός κοίλο κλίνδρο εσωτερικής διαµέτρο d, εκτοξεύονται ηλεκτρόνια ενέργειας E (ev) µε κατεύθνση θ ως προς τη γενέτειρα πο διέρχεται από το Ρ, όπως φαίνεται στο σχήµα 9-5. Σε απόσταση l από το Ρ - πάρχει άλλη οπή Ρ, επίσης πολύ µικρή, µετατοπισµένη κατά 9 ως προς το Ρ. Αν στο εσωτερικό το κλίνδρο πάρχει οµοιόµορφο αξονικό µαγνητικό πεδίο µε µαγνητική ε- παγωγή B = B, να βρεθεί η θ η B, ώστε τα ηλεκτρόνια πο εκτοξεύονται από την Ρ να εξέρχονται από την Ρ. Να γίνει αριθµητική εφαρµογή για d = 5 m, l = 7 m, 9 E = 75 ev, e =, 6 Cb, 3 m e = 9,7 Kg. 59

42 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ P B=B P θ l d Σχήµα 9-5 9/5 Φορτισµένο σωµατίδιο µάζας m φορτίο q, κινείται µε σταθερή ταχύτητα v σ ένα χώρο όπο πάρχει µαγνητικό πεδίο επαγωγής B πεδίο βαρύτητας επιτάχνσης g. Να δειχτεί ότι το διάνσµα g είναι κάθετο στα διανύσµατα v B ότι η σνιστώσα v K της ταχύτητας πο είναι κάθετη στη διεύθνση το πεδίο δίνεται από τη σχέση m K = g B qb 9/6 Λχνία magnetron αποτελείται από λεπτό κλινδρικό µεταλλικό κέλφος στον άξονα το οποίο βρίσκεται εθύγραµµο µεταλλικό νήµα (κάθοδος). Μεταξύ κελύφος-νήµατος εφαρµόζεται τάση V. Οµογενές µαγνητικό πεδίο µαγνητικής επαγωγής B εφαρµόζεται παράλληλα προς τον άξονα της λχνίας. Να πολογιστεί η τιµή B ώστε για τάση V < 8, 55 Volts να µην πάρχει ρεύµα µεταξύ νήµατος-κλινδρικού ηλεκτροδίο. Η ακτίνα το κλινδρικού ηλεκτροδίο είναι a =, 84 m. 53

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9/7 Ηλεκτρόνιο κινείται σε κκλική τροχιά ακτίνας a = 5 m σε οµογενές µαγνητικό πεδίο µαγνητικής επαγωγής B =, 4 Τ. Η ένταση το πεδίο αξάνεται αργά µέχρι την τιµή B =, 5 Τ. Να βρεθεί η ακτίνα της κκλικής τροχιάς στην οποία κινείται το ηλεκτρόνιο όταν το πεδίο αποκτήσει την πιο πάνω τιµή. 9/8 Ο φασµατογράφος µαζών είναι µία σσκεή µε την οποία επιτγχάνεται ο διαχωρισµός σωµατιδίων πο έχον το ίδιο φορτίο αλλά διαφορετική µάζα. Όπως φαίνεται στο σχήµα 9-6, τα σωµατίδια εισέρχονται µε γνωστή ταχύτητα εγκάρσια σ' ένα οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο B. Τα σωµατίδια µε διαφορετική µάζα προσκρούον στη φθορίζοσα οθόνη (ή στη φωτογραφική πλάκα) σε διαφορετικές αποστάσεις από το σηµείο εισόδο. Να δειχτεί ότι δύο σωµατίδια µε το ίδιο φορτίο e µάζες m m πο εισέρχονται µε την ίδια ταχύτητα προσκρούον σε δύο διαφορετικά σηµεία της οθόνης πο η απόσταση τος d δίνεται από τη σχέση όπο m > m. d = ( m m ), eb B R R οθόνη d Σχήµα

44 ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 9/9 Επίπεδο ηλεκτρόδιο, τοποθετηµένο στη θέση =, απελεθερώνει απεριόριστο α- ριθµό ηλεκτρονίων. Τα ηλεκτρόνια αποσπώνται από το ηλεκτρόδιο (πλάκα) µε αµελητέα αρχική ταχύτητα, µε την επιβολή ηλεκτρικού πεδίο, επιταχύνονται κατεθνόµενα προς άλλο επίπεδο ηλεκτρόδιο πο είναι παράλληλο προς το πρώτο απέχει από ατό απόσταση α = m. Η επιβαλλόµενη διαφορά δναµικού µεταξύ των πλακών είναι V. Η εκποµπή από το πρώτο ηλεκτρόδιο σνεχίζεται µέχρις ότο το πεδίο το οφειλόµενο στα µεταξύ των πλακών χωρικά φορτία εξοδετερώσει το εξωτερικό πεδίο, έτσι, ώστε στην ε- πιφάνεια το πρώτο ηλεκτροδίο να ισχύει η φ = = Αν το µόνιµο ρεύµα I µεταξύ των ηλεκτροδίων είναι,5 ma, ζητείται (α) Η διαφορά δναµικού V. (β) Το δναµικό φ, για = α /. (γ) Αν η τάση V παραµείνει σταθερή, ποια πρέπει να είναι η απόσταση α ώστε το ρεύ- µα I να τετραπλασιαστεί; φ = φ =V a O Σχήµα