ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη"

Transcript

1 ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 23 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 1/ 43

2 Αντιστοιχία µε ϐιβλιογραφία Cioffi: Barry, Lee & Messerschmitt (3rd ed.): Proakis & Salehi, Communication Systems Engineering (2nd ed.): 7.1, ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 2/ 43

3 Περιεχόµενα σηµερινού µαθήµατος 1 Το κανάλι Προσθετικού Λευκού Γκαουσιανού Θορύβου (AWGN) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 3/ 43

4 Το κανάλι AWGN Ο {n(t)} είναι Λευκός Προσθετικός Γκαουσιανός Θόρυβος µε R n (τ) = N0 δ(τ) και E[n(t)] = 0. Τα δείγµατά του (µετά από ιδανικό ϕίλτρο και δειγµατοληψία) ακολουθούν Γκαουσιανή κατανοµή 2 N (0, N0 2 ). Εάν υποθέσουµε ότι η µετάδοση διαρκεί T s, y(t) = x(t) + n(t), t [0, T]. Υποθέτουµε, επίσης, ότι το µεταδιδόµενο σήµα x(t) ανήκει σε υπόχωρο V του L 2 [0, T] διάστασης N. Αρα, µπορεί να εκφραστεί µε χρήση των συναρτήσεων ϐάσης του V: x(t) = N i=1 x iφ i (t). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 4/ 43

5 Το κανάλι AWGN (2) Ο ϑόρυβος n(t) είναι, στη γενική περίπτωση, άπειρης διάστασης. Εποµένως, οι N συναρτήσεις ϐάσης φ i (t) δεν αρκούν για την πε- ϱιγραφή του: n(t) = N i=1 n iφ i (t) + n (t), όπου n (t) V. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 5/ 43

6 Το διανυσµατικό κανάλι AWGN µετά τον αποδιαµορφωτή y i = T 0 y(τ)φ i (τ)dτ = T 0 (x m(τ) + n(τ))φ i (τ)dτ = x m,i + n i. Το ίδιο αποτέλεσµα, προφανώς, προκύπτει εάν χρησιµοποιήσουµε προσαρµοσµένα ϕίλτρα. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 6/ 43

7 Το διανυσµατικό κανάλι AWGN µετά τον αποδιαµορφωτή (2) n i = T 0 n(τ)φ i (τ)dτ. Η τ.µ. n i είναι Γκαουσιανή (ως γραµµικός συνδυασµός Γκαουσιανών µεταβλητών) µε µέση τιµή 0. Επίσης, όπως ήδη έχουµε δείξει, E[n i n j ] = N0 δ 2 ij = σ 2 δ ij (Στην απόδειξη µεγιστοποίησης του SNR από το προσαρµοσµένο ϕίλτρο ϑεωρήστε τετριµµένο ϕίλτρο µε h(t) = 1). Εποµένως, οι συνιστώσες n i του διανύσµατος ϑορύβου n το οποίο υπερτίθεται στο διάνυσµα x m είναι µεταξύ τους ασυσχέτιστες και, εποµένως, ανεξάρτητες (γιατί;). Σηµείωση: Στην περίπτωση µιγαδικού ϑορύβου (στην οποία δεν έχουµε αναφερθεί ακόµη) για να είναι οι n i ανεξάρτητες πρέπει, ε- πιπλέον, ο (µιγαδικός) ϑόρυβος n(t) να είναι κυκλικώς συµµετρικός (circularly symmetric). Παρατηρήστε ότι οι n i είναι Γκαουσιανές ανεξαρτήτως των συναρτήσεων ϐάσης, φ i (t), που χρησιµοποιούµε για τη διαµόρφωση! ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 7/ 43

8 Το διανυσµατικό κανάλι AWGN µετά τον αποδιαµορφωτή (3) Μπορούµε, εποµένως, να γράψουµε p(y x m ) = N p(y i x m,i ) = i=1 = N i=1 1 2πσ e 1 (2π) N/2 σ N e (yi xm,i ) 2 2σ 2 Ni=1 (yi xm,i ) 2 2σ 2. Υπολογίσαµε, λοιπόν, την p Y X (y x) για το διανυσµατικό µοντέλο του καναλιού AWGN! Το µοντέλο αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να περιγράψει το κανάλι µεταξύ της εισόδου του διαµορφωτή και της εξόδου του αποδιαµορφωτή για οποιεσδήποτε συναρτήσεις ϐάσης φ i (t). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 8/ 43

9 Το διανυσµατικό κανάλι AWGN µετά τον αποδιαµορφωτή (4) Εποµένως, αντί για το Γκαουσιανό κανάλι αριστερά µπορούµε, ι- σοδύναµα, να χρησιµοποιούµε το διανυσµατικό Γκαουσιανό κανάλι δεξιά, όπου το n είναι ένα τυχαίο Γκαουσιανό διάνυσµα N διαστάσεων µε µηδενική µέση τιµή, ασυσχέτιστες µεταξύ τους συνιστώσες n i και κατανοµή p N (n) = = Ni=1 1 ni 2 e N 0 = (πn 0 ) N/2 1 n 2 (2πσ 2 e 2σ ) 2. N/2 1 n 2 e N 0 (πn 0 ) N/2 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 9/ 43

10 Irrelevance του n (t) εν έχουµε, ακόµα, απαντήσει στο εξής ερώτηµα: Η χρήση προσαρµοσµένου ϕίλτρου και, στη συνέχεια, του διανυσµατικού µοντέλου καναλιού για να εκτιµήσουµε το µεταδοθέν µήνυµα στο κανάλι AWGN, είναι ισοδύναµη µε την εκτίµηση του m απευθείας από την y(t) ή κατά τη µετατροπή έχει χαθεί κάποια πληροφορία; Μπορεί να αποδειχθεί ότι E[n (t)y i ] = 0 (π.χ. Proakis Ch.5). Επο- µένως, το n (t) είναι ανεξάρτητο (γιατί;) των συνιστωσών του y και, συνεπώς, δεν προσφέρει καµια πληροφορία για την εκτίµηση του x. Θυµηθείτε και το ϑεώρηµα προβολής: εδοµένου ότι το σήµα x m ανήκει στον υπόχωρο V διάστασης N, για να ελαχιστοποιήσου- µε το µέσο τετραγωνικό σφάλµα εκτίµησης πρέπει να ϐρούµε την προβολή του y στον V. Αυτό ακριβώς κάνουν ο αποδιαµορφωτής προσαρµοσµένων ϕίλτρων και ο αποδιαµορφωτής συσχέτισης. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 10/ 43

11 Irrelevance του n (t) (συνέχεια) Αρα, η χρήση προσαρµοσµένου ϕίλτρου (ή αποδιαµορφωτή συσχέτισης) διατηρεί όλη την πληροφορία που σχετίζεται µε την α- νίχνευση των x m,i. Για την ολοκληρωµένη απόδειξη µε χρήση του ότι το n (t) είναι irrelevant ϐλ. Cioffi Ch. 1. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 11/ 43

12 Είδαµε ότι, για το Γκαουσιανό διανυσµατικό κανάλι, p(y x i ) = 1 y xi 2 (2π) N/2 σ N e 2σ 2. Εποµένως, ο κανόνας ανίχνευσης MAP για το Γκαουσιανό κανάλι µπορεί να γραφτεί ως εξής: ˆm = m i εάν p Y X (y x i )p X (x i ) p Y X (y x j )p X (x j ) j i ˆm = m i εάν 1 y xi 2 1 y x j 2 (2π) N/2 σ N e 2σ 2 p X (x i ) (2π) N/2 σ N e 2σ 2 p X (x j ) j i y xi 2 ˆm = m i εάν e 2σ 2 p X (x i ) e y x j 2 2σ 2 p X (x j ) j i ˆm = m i εάν y x i 2 2σ 2 ln{p X (x i )} y x j 2 2σ 2 ln{p X (x j )} j i ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 12/ 43

13 (2) Κανόνας MAP για το διανυσµατικό κανάλι AWGN ˆm = m i εάν y x i 2 2σ 2 ln{p X (x i )} y x j 2 2σ 2 ln{p X (x j )} j i Κανόνας ML για το διανυσµατικό κανάλι AWGN (γιατί;) ˆm = m i εάν y x i 2 y x j 2 j i Αρα, ο ανιχνευτής ML επιλέγει το διάνυσµα x i µε τη µικρότερη Ευκλείδεια απόσταση από το διάνυσµα y στην έξοδο του αποδιαµορ- ϕωτή προσαρµοσµένου ϕίλτρου. Ο ανιχνευτής MAP χρησιµοποιεί την απόσταση σε συνδυασµό µε µια σταθερά που εξαρτάται από την κατανοµή των x i. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 13/ 43

14 Log-Likelihood Ratio (LLR) Είδαµε ότι ο κανόνας ML για το διανυσµατικό κανάλι AWGN έχει τη µορφή ˆm = m i εάν y x i 2 y x j 2 j i Στην ειδική περίπτωση όπου έχουµε µόνο 2 µηνύµατα, m 1 και m 2, { m1 εάν y x ˆm = 1 2 y x 2 2 m 2 εάν y x 2 2 y x 1 2 Εποµένως, µπορούµε να αποφασίσουµε ποιο µήνυµα µεταδόθηκε από την τιµή του λόγου πιθανοφανειών (Likelihood ratio) LR(y) f (y x { } 1) y f (y x 2 ) = exp x2 2 y x 1 2 2σ 2 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 14/ 43

15 Log-Likelihood Ratio (LLR) (2) Ισοδύναµα, µπορούµε να αποφασίσουµε χρησιµοποιώντας το πρόση- µο του λογαρίθµου του λόγου πιθανοφανειών (Log-Likelihood Ratio - LLR) LLR(y) ln LR(y) = y x 2 2 y x 1 2 2σ 2 Κανόνας ML στη δυαδική περίπτωση { m1 εάν LLR(y) 0 ˆm = m 2 εάν LLR(y) < 0 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 15/ 43

16 Log-Likelihood Ratio (LLR) (3) Ιδοδύναµα, LLR(y) = 1 ( y x2 2 y x 2σ 2 1 2) = 1 ( y, x σ 2 1 x 2 + x ) 2 2 x = 1 ( y, x σ 2 1 x 2 x 1, x 1 x 2 + x 2, x 1 x 2 2 όπου φ x 1. = x 1 x 2 σ 2 = x 1 x 2 σ 2 y, x 1 x 2 x 1 x 2 x 1, ( y, φ x ) 1, φ + x 2, φ, 2 ) x 1 x 2 x 1 x 2 + x 2, 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x1 x2 x το κανονικοποιηµένο διάνυσµα από το x 1 x 2 2 στο ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 16/ 43

17 Log-Likelihood Ratio (LLR) (4) Εποµένως, LLR(y) > 0 y, φ > x 1, φ + x 2, φ 2 Συνεπώς, για την ανίχνευση ML, αρκεί να ελέγξουµε πού ϐρίσκεται η προβολή του ληφθέντος διανύσµατος y σε σχέση µε τη µεσοκάθετο των x 1 και x 2. x 2 φ x 1 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 17/ 43

18 Log-Likelihood Ratio (LLR) (5) Στην περίπτωση που τα µεταδιδόµενα σύµβολα δεν είναι ισοπίθανα, αποδεικνύεται εύκολα ότι, για ανίνευση ΜΑΡ, LLR(y) > 0 y, φ > x 1, φ + x 2, φ 2 σ 2 + x 1 x 2 ln p X(x 2 ) p X (x 1 ). Εποµένως, το όριο µεταξύ των δύο περιοχών απόφασης δεν ταυτίζεται, πλέον, µε τη µεσοκάθετο, αλλά είναι πιο κοντά στο πιο πιθανό (a priori) σύµβολο. Παρατηρήστε ότι, όταν τα µεταδιδόµενα σύµβολα είναι ισοπίθανα, ο κανόνας ML δεν επηρεάζεται από τη διασπορά του ϑορύβου, σ 2. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 18/ 43

19 Sufficient Statistics Είδαµε ότι ένας τρόπος υλοποίησης του αποκωδικοποιητή ML όταν έχουµε 2 πιθανά µεταδιδόµενα σύµβολα είναι µε προβολή στην ευθεία που ενώνει τα δύο σύµβολα και σύγκριση µε ένα όριο. Μπορούµε να δούµε εύκολα ότι, για περισσότερα σύµβολα ποµπού, µπορούµε να επαναλάβουµε έως ότου ϐρούµε το σύµβολο το οποίο ϐρίσκεται πιο κοντά στην προβολή του y. Παρόλο που προβάλαµε το y σε συγκεκριµένες κατευθύνσεις µε αποτέλεσµα να προκληθεί απώλεια πληροφορίας, δε χάσαµε τίποτα όσον αφορά την ποιότητα εκτίµησης του x. Σε περιπτώσεις όπως αυτή που εξετάσαµε, λέµε ότι ο µετασχηµατισµός του ληφθέντος σήµατος, y, είναι ικανή στατιστική (sufficient statistics) όσον αφορά την εκτίµηση του x. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 19/ 43

20 Sufficient Statistics (2) Γενικώς, ο µετασχηµατισµός T(y) της y είναι ικανή στατιστική για την εκτίµηση της x όταν για κάθε Ϲεύγος i j υπάρχει νοµοτελειακή συνάρτηση ζ i,j () τέτοια ώστε να ισχύει f (y x i ) f (y x j ) = ζ i,j (T(y)). Πρακτικά, αυτό σηµαίνει ότι µε χρήση της ικανής στατιστικής T(y) και των νοµοτελειακών συναρτήσεων ζ i,j () προκύπτουν οι ίδιες τιµές LLR µε την περίπωση που χρησιµοποιούµε απευθείας τις f (y x i ). Εποµένως, δεν έχουµε καµία απώλεια στην ποιότητα της εκτίµησης. Στα παραπάνω έχουµε παραλείψει πολλές λεπτοµέρειες σχετικά µε το σωστό µαθηµατικό ορισµό της ικανής στατιστικής. Για περισσότερες λεπτοµέρειες δείτε π.χ. Lapidoth Ch. 20 & 21 ή ϐιβλία Hypothesis Testing. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 20/ 43

21 Ενα τελευταίο σχόλιο Είδαµε ότι, για να αποφασίσουµε ανάµεσα σε δύο σύµβολα, αρκεί να χρησιµοποιήσουµε την προβολή της y στην ευθεία που ενώνει τα δύο σύµβολα Αφού γνωρίζουµε ότι τα σήµατα ϐρίσκονται στον υπόχωρο διάστασης 1 που αναπτύσσεται από τη φ = x1 x2 x 1 x 2, ο εκτιµητής του x που ελαχιστοποιεί τη µέση τετραγωνική απόσταση από το πραγµατικό x είναι η προβολή του y στην κατεύθυνση φ. Ισοδύναµα,σύµφωνα µε την ανισότητα Cauchy-Schwarz, για να µεγιστοποιήσουµε τον SNR πρέπει να προβάλουµε το y = x i φ + n στο διάνυσµα φ. Ωστόσο, δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι έχουµε υποθέσει AWGN. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 21/ 43

22 Ανίχνευση ML µε χρήση συσχέτισης (correlation) Επιστρέφοντας και πάλι στην έκφραση του LLR, LLR(y) = 1 2σ 2 ( y x2 2 y x 1 2) = 1 2σ 2 ({ 2R(y x2 ) + x 2 2} { 2R(y x 1 ) + x 1 2}) Εποµένως, ένας τρόπος να κάνουµε ανίχνευση ML είναι συγκρίνοντας τη συσχέτιση του y µε τα πιθανά σύµβολα πηγής x i. Για τη σύγκριση απαιτείται και µια κανονικοποίηση ίση µε την ενέργεια του κάθε συµβόλου. Εάν, επιπλέον, όλα τα x i έχουν την ίδια ενέργεια, LLR(y) = 1 σ 2 (R(y x 1 ) R(y x 2 )) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 22/ 43

23 ιανυσµατικό Γκαουσιανό κανάλι: y = x + n. Πιθανότητα σφάλµατος P e = M 1 m=0 P e mp m, όπου P e m η πιθανότητα σφάλµατος δεδοµένου ότι µεταδόθηκε το σύµ- ϐολο m του αστερισµού και p m η πιθανότητα µετάδοσης του συµβόλου m P e = 1 M 1 M m=0 P e m όταν όλα τα σύµβολα µεταδίδονται µε την ίδια πιθανότητα. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 23/ 43

24 Περιστροφή και µετατόπιση αστερισµού στο Κανάλι AWGN Περιστροφή αστερισµού: Εάν ο αστερισµός περιστραφεί στον Ευκλείδειο χώρο (σε κανάλια AWGN) η P e δεν αλλάζει, επειδή η κατανοµή του ϑορύβου παραµένει η ίδια και οι ευκλείδειες αποστάσεις τις οποίες χρησιµοποιεί ο ανιχνευτής MAP (και ML) διατη- ϱούνται. Μετατόπιση αστερισµού: Η P e παραµένει αµετάβλητη όταν ο αστε- ϱισµός µετατοπίζεται στον Ευκλείδειο χώρο. Για ένα δεδοµένο αστερισµό, για να ελαχιστοποιήσουµε τη µέση ισχύ του, εάν E[x] 0 τον µετατοπίζουµε ώστε E[x] = 0. Για λεπτοµέρειες/αποδείξεις, ϐλ. π.χ. Cioffi Ch. 1. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 24/ 43

25 P e για δυαδική µετάδοση Εστω ένας αστερισµός στο N διάστατο χώρο µε δύο σύµβολα και κανάλι AWGN. Ο ανιχνευτής ML ϑα επιλέξει το x i µε τη µικρότερη Ευκλείδεια απόσταση από το y. Ισοδύναµα, όπως είδαµε, µπορεί να χρησιµοποιήσει την προβολή του y στην κατεύθυνση x 2 x 1 Εάν προβάλουµε τον Γκαουσιανό ϑόρυβο επάνω στη διεύθυνση x 1 x 2 παραµένει Γκαουσιανός. Εποµένως, δεδοµένου ότι µεταδόθηκε το x 2, σφάλµα ϑα συµβεί όταν n, φ > x1 x2, όπου φ το µοναδιαίο διάνυσµα στην 2 κατεύθυνση x 1 x 2. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 25/ 43

26 P e για δυαδική µετάδοση (2) { } Εποµένως, εάν x 2 x 1 = d, P e = Pr n, φ ñ > d 2. P e x1 = P e x2 = P e = d d 2σ 1 2π e u2 2 du P e = Q η συνάρτηση Q. Υπενθυµίζεται ότι η Q(x) = 1 2 erfc ( 2 fñ(n)dn = d 2 ( d ) 2σ, όπου Q(x) = 1 x 2 ) 1 e n2 2σ 2 dn 2πσ = 2π x e u 2 2 du δεν έχει αναλυτική έκ- ϕραση, αλλά µπορεί να προσεγγιστεί µε ϕράγµατα (ϐλ. π.χ. Cioffi Ch. 1 Appendix B, Lee & Messerschmitt Ch. 1). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 26/ 43

27 P e για δυαδική µετάδοση (3) Για τον υπολογισµό της P e χρησιµοποιήσαµε Γκαουσιανό κανάλι µε 2 µεταδιδόµενα σήµατα: x 1 και x 2. 1 ιανυσµατικό Γκαουσιανό κανάλι: f (y x i ) = i = 1 και 2. y xi 2 (2π) N/2 σ N e 2σ 2, ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 27/ 43

28 P e για δυαδική µετάδοση (4) Εάν εκτιµήσουµε το κανάλι µε κανόνα ML: p(ˆx = x i x i ) = 1 P e = 1 ( ) d Q 2σ. p(ˆx = x2 x 1 ) = p(ˆx = x 1 x 2 ) = P e Το κανάλι από το x στο ˆx όταν χρησιµοποιείται δέκτης ML είναι το δυαδικό συµµετρικό κανάλι (BSC) µε p = P e! Εποµένως, ένα σύστηµα µπορεί να περιγράφεται από διαφορετικά µοντέλα αναλόγως µε την υλοποίηση και τα σήµατα που χρησιµοποιούµε για τη µετάδοση. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 28/ 43

29 Ελάχιστη απόσταση αστερισµού Η ελάχιστη απόσταση αστερισµού ορίζεται ως η ελάχιστη απόσταση µεταξύ οποιωνδήποτε δύο συµβόλων του αστερισµού. Ελάχιστη απόσταση αστερισµού (ορισµός) d min min x i x j. i j Οπως ϑα δούµε σύντοµα, η πιθανότητα σφάλµατος στο δέκτη εξαρτάται σε µεγάλο ϐαθµό από την d min του αστερισµού. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 29/ 43

30 Union Bound Υποθέτουµε ότι έχει µεταδοθεί το x 0. σφάλµατος ισούται µε γιατί; 3 P e 0 = Pr{ˆx = x i x = x 0 } γιατί; < γιατί; < i=1 3 Q i=1 ( dmin 2σ ) = 3Q Εποµένως, η πιθανότητα ( dmin 2σ 3 Q i=1 ). ( d0,i ) 2σ ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 30/ 43

31 Union Bound (2) Οµοίως, για τα υπόλοιπα x i, P e i < ( d 3Q min ) 2σ. Union bound P e < (N 1)Q ( dmin 2σ ), όπου N ο αριθµός των σηµάτων του αστερισµού. Ανω ϕράγµα, αλλά σπανίως ακριβές. Πολλές ϕορές απέχει πολύ από την πραγµατική P e. Καλύτερο ϕράγµα: Nearest Neighbor Union Bound (NNUB). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 31/ 43

32 Nearest Neighbor Union Bound (NNUB) Nearest Neighbor Union bound P e N e Q ( dmin όπου N e = M 1 m=0 N mp m, N m ο αριθµός των συµβόλων του αστερισµού των οποίων οι περιοχές απόφασης εφάπτονται µε αυτή του x m. 2σ ), ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 32/ 43

33 Nearest Neighbor Union Bound (NNUB) (2) Στο σχήµα, εάν ο ϑόρυβος διασχίσει την οριζόντια ή την κάθετη γραµµή ϑα έχουµε σφάλµα µετάδοσης. Εποµένως, γιατί; P e < ( ) d 2Q min 2σ. Παρατηρήστε ότι Ne = 2 (έχουµε υποθέσει ότι τα µεταδιδόµενα σήµατα είναι ισοπίθανα). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 33/ 43

34 Nearest Neighbor Union Bound (NNUB) (3) Συχνά, για τον υπολογισµό του µέσου αριθµού γειτόνων, N e = M 1 m=0 N mp m, χρησιµοποιούνται µόνο οι γείτονες κάθε συµβόλου x m οι οποίοι απέχουν την ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση d min. Στην περίπτωση αυτή το προσεγγιστικό NNUB που προκύπτει ενδέχεται να µην είναι άνω ϕράγµα της P e. Ωστόσο, στην πράξη, αποτελεί συνήθως καλή προσέγγιση της P e µε αποτέλεσµα πολλές ϕορές όταν σχεδιαστές αναφέρονται στο NNUB να εννοούν το προσεγγιστικό NNUB. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 34/ 43

35 P e : Πιθανότητα σφάλµατος ανά διάσταση Η σύγκριση συστηµάτων µε ϐάση την P e δεν είναι πάντα δίκαιη. Για παράδειγµα, σε ένα κανάλι AWGN ένα σύστηµα QPSK υπόκειται σε ϑόρυβο σε δύο διαστάσεις, ενώ ένα σύστηµα BPSK σε ϑόρυβο σε µία διάσταση. Επιπλέον, το σύστηµα BPSK µεταδίδει 1 ψηφίο ανά χρήση του καναλιού, ενώ το σύστηµα QPSK 2 ψηφία ανά χρήση του καναλιού (άρα 1 ψηφίο ανά διάσταση). Εποµένως, ένα πιο δίκαιο µέτρο σύγκρισης είναι η πιθανότητα σφάλ- µατος ανά διάσταση: Pe = Pe N. Εναλλακτικά, µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει την πιθανότητα σφάλ- P µατος ανά αριθµό µεταδιδόµενων ψηφίων: e = Pe b log 2 M. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 35/ 43

36 Ρυθµός Σφάλµατος Ψηφίων (Bit Error Rate -- BER) Οταν µας ενδιαφέρει η πιθανότητα εσφαλµένης µετάδοσης ψηψίων (bits) η P e δεν αρκεί πάντα από µόνη της για την περιγραφή της απόδοσης ενός συστήµατος. Εστω, για παράδειγµα, ένα σύστηµα το οποίο χρησιµοποιεί µόνο 2 σήµατα (π.χ. BPSK) και ένα άλλο το οποίο χρησιµοποιεί 64 πιθανά σήµατα (π.χ. 64-QAM όπως ϑα δούµε αργότερα). Σε ένα σύστηµα BPSK όταν συµβεί σφάλµα στο σήµα που αποκωδικοποιείται προκύπτει αυτόµατα και σφάλµα στο ψηφίο. Ωστόσο, σε ένα καλά σχεδιασµένο σύστηµα 64-QAM ακόµα και αν συµβεί σφάλµα στην ανίχνευση του σήµατος στο δέκτη, κάποια από τα ψηφία ενδέχεται να αποκωδικοποιηθούν σωστά. Υπάρχουν διάφοροι παρόµοιοι ορισµοί για το BER. Εµείς ϑα χρησιµοποιήσουµε BER = Pr{αντιστροφή ψηφίου στο δέκτη} (το οποίο από κάποιους ονοµάζεται πιθανότητα σφάλµατος ψηφίου Pb ). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 36/ 43

37 Παράδειγµα: VDSL2 8-QAM Στο σχήµα, d min = 2. Ο αριθµός σε κάθε σήµα δηλώνει το αντίστοιχο µήνυµα. Για παράδειγµα, το σήµα (+1, +3) αντιστοιχεί στο m 5 ή στην ακολουθία ψηφίων ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 37/ 43

38 Παράδειγµα: VDSL2 8-QAM (2) Μέση ενέργεια του αστερισµού: E x = ( ) m x m 2 p m = 1 4 d2 min + 4 5d2 min = d2 min = 6. Ē x = 3. Εάν ο δέκτης χρησιµοποιεί προσαρµοσµένο ϕίλτρο: SNR = Ex σ = 3d2 2 min 2σ. 2 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 38/ 43

39 Παράδειγµα: VDSL2 8-QAM (3) Union bound: P e < 7Q(d min /2σ) Pe = Pe 2 = 3.5Q(d min/2σ). Nearest neighbors: Ολα τα σήµατα έχουν 4 γείτονες. Τα x 0, x 1, x 2 και x 3 έχουν 3 γείτονες σε απόσταση d min = 2 και 1 γείτονα σε απόσταση 2 2. Τα x 4, x 5, x 6 και x 7 έχουν 1 γείτονα σε απόσταση d min = 2, 1 γείτονα σε απόσταση 2 2 και 2 γείτονες σε απόσταση 2 5. NNUB: P e < 4Q(d min /2σ) Pe < 2Q(d min /2σ). Εάν κρατήσουµε µόνο τους πιο κοντινούς γείτονες κάθε σήµατος: P e 3 1 m=0 8 3Q(d min/2σ)+ 7 1 m=4 8 Q(d min/2σ) = 2Q(d min /2σ) P e Q(d min /2σ). Παρατηρούµε ότι τα εξωτερικά σήµατα του αστερισµού είναι λιγότε- ϱο επιρρεπή σε σφάλµα µετάδοσης από τα εσωτερικά. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 39/ 43

40 Παράδειγµα: VDSL2 8-QAM (4) Εστω ότι µεταδόθηκε το x 0. Θεωρούµε µόνο τους γείτονές του σε απόσταση d min. Εάν αντί για x 0 ο δέκτης αποφασίσει x 1 ή x 2 ϑα εµφανιστεί σφάλµα (αναστροφή) σε 1 από τα 3 ψηφία. Εάν αποφασίσει x 5 ϑα εµφανιστεί σφάλµα σε 2 ψηφία. Εποµένως, ο µέσος αριθµός εσφαλµένων ψηφίων όταν συµβεί σφάλµα κατά την αποκωδικοποίηση του x 0 ισούται προσεγγιστικά µε n b (0) 4 3. Παροµοίως, n b (1) = n b (2) = n b (3) 4. 3 Εστω, τώρα, ότι µεταδίδεται το x 5. Εάν αντί για x 5 ο δέκτης αποφασίσει x 0 ϑα εµφανιστεί σφάλµα (αναστροφή) σε 2 από τα 3 ψηφία. Συνεπώς, n b (5) = n b (6) = n b (7) = n b (8) 2. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 40/ 43

41 Παράδειγµα: VDSL2 8-QAM (5) Μέσος αριθµός εσφαλµένων ψηφίων δεδοµένου ότι συνέβη σφάλ- µα: N b 5 3. Μέσος αριθµός εσφαλµένων ψηφίων: P b ( ) ( ) d N b Q min 2σ 5 3 Q d min 2σ (δεν είναι πιθανότητα ενδέχεται να υπερβαίνει το 1). BER = Pb = P b ( ) 5 b 9 Q d min 2σ. Συνήθως, η ποσότητα που καθορίζει την P e και το BER είναι το όρισµα της Q() η οποία ελαττώνεται (σχεδόν) εκθετικά. Ο αριθµός των γειτόνων ή το N b επιδρά σηµαντικά µόνο όταν έχει µεγάλη τιµή ή σε χαµηλούς SNR. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 41/ 43

42 Πώς συγκρίνουµε διαφορετικές διαµορφώσεις µεταξύ τους; Για να υλοποιήσουµε τις συναρτήσεις ϐάσης οι οποίες χρησιµοποιούνται για τη διαµόρφωση χρησιµοποιούµε τους πόρους του καναλιού: χρόνο, συχνότητα και χώρο (σε συστήµατα πολλαπλών κεραιών). Κάθε µία από τις N διαστάσεις έχει κόστος γιατί απαιτεί χρήση κάποιων από τους πόρους του συστήµατος. Για παράδειγµα, ένα σύστηµα 2 διαστάσεων µπορεί να υλοποιείται µε εναλλάξ µετάδοση στο χρόνο κάθε διάστασης ή µε χρήση δύο περιοχών συχνοτήτων. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 42/ 43

43 Πώς συγκρίνουµε διαφορετικές διαµορφώσεις µεταξύ τους; (συνέχεια) Για δίκαιη σύγκριση συστηµάτων, πρέπει να λαµβάνονται υπόψη όλες οι παρακάτω ποσότητες: 1. Ο ϱυθµός µετάδοσης R. 2. Η χρησιµοποιούµενη ισχύς P x. 3. Το συνολικό εύρος Ϲώνης W που χρησιµοποιεί το σύστηµα. 4. Η περίοδος T s που διαρκεί η µετάδοση κάθε συµβόλου. 5. Το BER ή η P e. Αν οι παραπάνω ποσότητες κανονικοποιηθούν κατάλληλα, 3 ποσότητες αρκούν για σύγκριση συστηµάτων: 1. Ο αριθµός ψηφίων ανά διάσταση b = b 2. Η ενέργεια ανά διάσταση Ēx = Ex N και 3. Η κανονικοποιηµένη πιθανότητα σφάλµατος Pe = Pe N, N. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη 43/ 43

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 15 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 3η και 4η διάλεξη

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 3η και 4η διάλεξη ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 3η και 4η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 6 Απριλίου 2011 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας Εισαγωγή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος Σήµατα Περιεχόµενα διαλέξεων 1ης εβδοµάδας Εισαγωγή Η έννοια της επικοινωνιας Ιστορική αναδροµή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος οµή τηλεπικοινωνιακού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 17 Μαΐου 2011 (2η έκδοση, 21/5/2011) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013)

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013) ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 14 Μαΐου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 6η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 6η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 6η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 24 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων Εξεταστικής Ιανουαρίου 2009 Mάθηµα: «Ψηφιακές Επικοινωνίες» G F = 0.8 T F = 73 0 K

Λύσεις Θεµάτων Εξεταστικής Ιανουαρίου 2009 Mάθηµα: «Ψηφιακές Επικοινωνίες» G F = 0.8 T F = 73 0 K Λύσεις Θεµάτων Εξεταστικής Ιανουαρίου 9 Mάθηµα: «Ψηφιακές Επικοινωνίες» Θέµα 1 ο (3%) A =6 o K P R = 1pWatt SNR IN G LNA =13dB LNA =3 K LNA G F =.8 F = 73 K Φίλτρο G = db F = 8 db Ενισχυτής IF SNR OU 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 7η διάλεξη

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 7η διάλεξη ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 7η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 13 Μαΐου 2011 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 7η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 2 Ιουνίου 2015 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχ. Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Σύνδεση με τα Προηγούμενα Σχεδιάστηκε ο βέλτιστος δέκτης για κανάλι AWGN Επειδή πάντοτε υπάρχει ο θόρυβος, ακόμη κι ο βέλτιστος δέκτης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Wepage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 21 Μαΐου 2015 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη (2η έκδοση, 7/5/2013)

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη (2η έκδοση, 7/5/2013) ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη (2η έκδοση, 7/5/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 23 Απριλίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013)

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 5 Μαρτίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ο Βέλτιστος Φωρατής. Σεραφείµ Καραµπογιάς

Ο Βέλτιστος Φωρατής. Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο Βέλτιστος Φωρατής Ο φωρατής σήµατος, µε τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος, λαµβάνει µία απόφαση ως προς το µεταδιδόµενο σύµβολο, έτσι ώστε να µεγιστοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 2: Παναγιώτης Μαθιόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή (1) Οι Ψηφιακές Επικοινωνίες (Digital Communications) καλύπτουν σήμερα το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 8η διάλεξη

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 8η διάλεξη ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 8η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 27 Απριλίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

( x) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας. Σεραφείµ Καραµπογιάς

( x) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας. Σεραφείµ Καραµπογιάς Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας Σεραφείµ Καραµπογιάς Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής cumulaive diribuio ucio CDF µίας τυχαίας µεταβλητής X ορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 14 Μαΐου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 3η διάλεξη

ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 3η διάλεξη ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 3η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 2 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 3η

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 5: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Πλεονεκτήματα-Μειονεκτήματα ψηφιακών επικοινωνιών, Κριτήρια Αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Εργαστήριο 8 ο. Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Εργαστήριο 8 ο. Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εργαστήριο 8 ο Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα Βασική Θεωρία Σε ένα σύστημα μετάδοσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΉΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 7 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/s5 e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Σύνδεση με τα Προηγούμενα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Εισαγωγή (2) Εισαγωγή. Βέλτιστος Δέκτης. παρουσία AWGN.

Σύνδεση με τα Προηγούμενα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Εισαγωγή (2) Εισαγωγή. Βέλτιστος Δέκτης. παρουσία AWGN. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Βέλτιστος Δέκτης για Ψηφιακά Διαμορφωμένα Σήματα παρουσία AWGN Σύνδεση με τα Προηγούμενα Στις «Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες», αναφερθήκαμε στο βέλτιστο δέκτη ψηφιακά διαμορφωμένων

Διαβάστε περισσότερα

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί

Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί από τον αριθµό µητρώου του. Συγκεκριµένα υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 10: Ψηφιακή Μετάδοση Βασικής Ζώνης Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση των πινάκων αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργαστηριακή Άσκηση

2 η Εργαστηριακή Άσκηση Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ 2 η Εργαστηριακή Άσκηση Σύγκριση Ομόδυνων Ζωνοπερατών Συστημάτων 8-PSK και 8-FSK Στην άσκηση αυτή καλείστε

Διαβάστε περισσότερα

22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση

22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση 22A004 (eclass EE278) Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 11 Δ. Τουμπακάρης 6 Ιουνίου 2013 22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες. 4 ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 15 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών»

Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών» Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών» Άσκηση 1 Πρόκειται να µεταδώσουµε δυαδικά δεδοµένα σε RF κανάλι µε. Αν ο θόρυβος του καναλιού είναι Gaussian - λευκός µε φασµατική πυκνότητα W, να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 2η διάλεξη (3η έκδοση, 11/3)

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 2η διάλεξη (3η έκδοση, 11/3) ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 2η διάλεξη (3η έκδοση, 11/3) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 19 Φεβρουαρίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Εισαγωγή Στα προηγούμενα μελετήσαμε τη διαμόρφωση PAM δυαδικό και Μ-αδικό, βασικής ζώνης και ζωνοπερατό Σε κάθε περίπτωση προέκυπταν μονοδιάστατες

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικά Αντίποδα Σήματα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι. r s n E n. P r s P r s.

Δυαδικά Αντίποδα Σήματα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι. r s n E n. P r s P r s. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Βασικής Ζώνης) : s (t)=-s (t) Παράδειγμα: Δυαδικό PA s (t)=g T (t) (παλμός με ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 8 ο : Προσαρμοσμένα Φίλτρα Βασική

Διαβάστε περισσότερα

Θόρυβος και λάθη στη μετάδοση PCM

Θόρυβος και λάθη στη μετάδοση PCM Θόρυβος και λάθη στη μετάδοση PCM Πότε συμβαίνουν λάθη Για μονοπολική (on-off) σηματοδότηση το σήμα στην έξοδο είναι, όπου α k =0 όταν y( kts) ak n( kts) μεταδίδεται το bit 0 και α k =Α όταν μεταδίδεται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών ΙI

Συστήματα Επικοινωνιών ΙI + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών ΙI M-κά συστήματα διαμόρφωσης: Μ-PSK, M-FSK, M-QAM, DPSK + Ιστοσελίδα nιστοσελίδα του μαθήματος: n https://eclass.uowm.gr/courses/icte302/

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. / 2. Οι όροι Eb. και Ec

1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. / 2. Οι όροι Eb. και Ec Τµήµα Μηχανικών Υπολογιστών, Τηλεπικοινωνιών και ικτύων ΗΥ 44: Ασύρµατες Επικοινωνίες Εαρινό Εξάµηνο -3 ιδάσκων: Λέανδρος Τασιούλας η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Θεωρήστε ένα κυψελωτό σύστηµα, στο οποίο ισχύει το

Διαβάστε περισσότερα

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Ενότητα 8: Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι Καθ. Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Η εξοικείωση του φοιτητή με τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εργαστήριο 9 ο : Διαμόρφωση BPSK & QPSK Βασική Θεωρία Εισαγωγή Κατά την μετάδοση ψηφιακών δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 10 : Κωδικοποίηση καναλιού Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Απόσταση και βάρος Hamming Τεχνικές και κώδικες ανίχνευσης &

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εργαστήριο 6 ο : Διαμόρφωση Θέσης Παλμών Βασική Θεωρία Μ-αδική Διαμόρφωση Παλμών Κατά την μετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 7 ο : Διαμόρφωση BPSK & QPSK

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 5 ο : Προσαρμοσμένα Φίλτρα Βασική

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων

Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ Ενότητα 2 η Φίλτρα Μηδενισμού της ISI Νικόλαος Χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 8 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Χώρου-Χρόνου. Χρόνου

Κωδικοποίηση Χώρου-Χρόνου. Χρόνου Κωδικοποίηση Χώρου-Χρόνου Χρόνου Μέρος Ι: Σχήμα Alamouti Ομάδα Ασύρματων Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μ/Υ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γιώργος Καραγιαννίδης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η & 12η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η & 12η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η & 12η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 13 & 27 Μαΐου 2014 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχ. Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Χωρητικότητα Καναλιού Χωρητικότητα Καναλιού Η θεωρία πληροφορίας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: κωδικοποίηση πηγής κωδικοποίηση καναλιού Κωδικοποίηση πηγής: πόση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων. Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης

Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων. Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 : Θόρυβος Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Είδη θορύβου Περιγραφή θορύβου Θεώρημα Shannon Hartley Απόδοση ισχύος και εύρους

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 7 ο : Διαμόρφωση Θέσης Παλμών

Διαβάστε περισσότερα

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Τα σύγχρονα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: Επικοινωνίες ΙΙ. Εξεταστική Περίοδος: B Θερινή, 14 Σεπτεμβρίου 2009. ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Αναστάσιος Παπατσώρης Θέμα 1 ο (25 μονάδες) Ένα ADSL modem λειτουργεί με ταχύτητα downloading

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς

ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς Για πηγές διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο, των οποίων οι έξοδοι είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζεται µια άλλη ποσότητα που µοιάζει µε την εντροπία και καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη

ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 25 Απριλίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 3: Πιθανότητα σφάλματος στη φώραση σήματος Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Ο Βέλτιστος Φωρατής Σεραφείμ Καραμπογιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 6 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Συναρτήσεις συσχέτισης/αυτοσυσχέτισης Φίλτρα Μετασχηματισμός Hilbert + Περιεχόμενα n Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης n Συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 1: Χωρητικότητα Καναλιών Το θεώρημα Shannon - Hartley Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Δυαδική σηματοδοσία 2. Μορφές δυαδικής σηματοδοσίας 3.

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalma Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ακολουθιακή Επεξεργασία Τα δείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση των Στατιστικών Πολυκαναλικών Επικοινωνιών

Επισκόπηση των Στατιστικών Πολυκαναλικών Επικοινωνιών Επισκόπηση των Στατιστικών Πολυκαναλικών Επικοινωνιών Φυσικός (Bsc), Ραδιοηλεκτρολόγος (Msc, PhD) Εργαστήριο Κινητών Επικοινωνιών, Ινστιτούτο Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, Εθνικό Κέντρο Έρευνας Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DPCM)

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DPCM) EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DCM) Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Προεπισκόπηση Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΜΥ 795: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2010-11 Χειµερινό Εξάµηνο Τελική εξέταση Τρίτη, 21 εκεµβρίου 2010,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή μετάδοση στη βασική ζώνη. Baseband digital transmission

Ψηφιακή μετάδοση στη βασική ζώνη. Baseband digital transmission Ψηφιακή μετάδοση στη βασική ζώνη Baseband digital transmission Ψηφιακά σήματα Ένα ψηφιακό σήμα δεν είναι τίποτα άλλο από μια διατεταγμένη ακολουθία συμβόλων Η πηγή πληροφορίας παράγει σύμβολα από ένα αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα