ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
|
|
- Μύρων Αλεξιάδης
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α & Β ΜΑΔΑΣ
2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι συνεχής σε έν σημείο o του πεδίου ορισμού της;. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι συνεχής ; 3. Ν διτυπωθεί το θεώρημ που φορά τη συνέχει κι τις πράξεις μετξύ συνρτήσεων. 4. Τι ισχύει γι τη συνέχει σύνθετης συνάρτησης; 5. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι συνεχής στο νοικτό διάστημ ( ab, ) κι πότε στο κλειστό διάστημ [ ab, ]; 6. Ν διτυπωθεί το Θεώρημ Bolzano. 7. Ν διτυπωθεί κι ν ποδειχθεί το Θεώρημ ενδιάμεσων τιμών. 8. Ν διτυπωθεί το Θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής. 9. Πως ρίσκουμε το σύνολο τιμών μις συνάρτησης; ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], η εξίσωση f () = δεν έχει ρίζ στο (, ) κι υπάρχει ξ Î (, ) ώστε f (ξ) <, τότε θ ισχύει f () < γι κάθε Î (, ). Σ Λ. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ], κι πίρνει δύο διφορετικές τιμές f ( ), f ( ) με, Î [, ], τότε πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f ( ) κι f ( ). Σ Λ 3. Αν γι μι συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( ) = κι f ( ) = 4, τότε υπάρχει Î (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = e. 4. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, ], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (), f ()]. Σ Λ 5. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, ], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (), f ()]. Σ Λ 6. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [, ] με f () ¹ f (), πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των f () κι f (). Σ Λ 7. Aν ( - ) ( + 5) f () (3 + ), τότε η f είνι συνεχής στο. Σ Λ 8. Aν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ), τότε το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( lim f (), + Σ Λ 9. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, ]. Αν η f είνι - στο [, ], τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο [, ]. Σ Λ. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο με f ( ) ¹, τότε κοντά στο οι τιμές της f είνι ομόσημες του f ( ). Σ Λ. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ, τότε η ντίστροφή της είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο f (Δ). Σ Λ. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ είνι συνεχής κι - στο Δ, τότε η συνάρτηση f - είνι συνεχής στο f (Δ). Σ Λ 3. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. 4. Έστω η συνάρτηση f () = ïî ï í ì +, <. Ισχύει ότι η f είνι συνεχής στο R - {}. -, ³ Σ Σ Σ Λ Λ Λ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
3 5. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής στο D f. Σ Λ 6. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g δεν είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. Σ Λ 8. Αν οι συνρτήσεις f, g δεν είνι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. Σ Λ 9. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε κι η f είνι συνεχής στο. Σ Λ Σ Λ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΚΕΝΥ Ν συμπληρώσετε το σύνολο τιμών γι κθεμιά πό τις πρκάτω ισότητες: i. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο [, ] ii. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, ) iii. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο [, ) iv. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, ] v. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο [, ] vi. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο (, ) vii. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο [, ) viii. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο (, ] ( ) f ab, =... ab τότε [ ] ab τότε (( )) ab τότε f ([ ab )) = ab τότε f ( ab ] = ab τότε ([ ]) ab τότε (( )) ab τότε [ ) ab τότε f ( ab ] = f ab, =...,...,... f ab, =... f ab, =... ( ) f ab, =...,... ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ì ï, ¹ 3. Δίνετι η συνάρτηση f () = í - 3. Τότε ισχύει ï î, = 3 Α. η f δεν είνι συνεχής στο 3 B. η f είνι συνεχής στο 3 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
4 Γ. η f γι > 3 είνι γνησίως φθίνουσ Δ. δεν υπάρχει το E. lim f () ¹ f () lim f (). Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R η οποί είνι συνεχής κι -. Τότε η f Α. είνι πάντοτε γνησίως ύξουσ B. δεν μπορεί ν είνι άρτι Γ. είνι πάντοτε περιττή Δ. f () = f (- ) E. είνι στθερή συνάρτηση ìεφ (π) ï, ¹ 3. Αν η συνάρτηση f () = í είνι συνεχής στο, τότε το κ είνι ίσο με ï î κ, = π Α. Β. Γ. π Δ. Ε. - π 4. Δίνοντι οι πρκάτω γρφικές πρστάσεις κάποιων συνρτήσεων f, g, h, φ, t. C f C g () () C h C φ C t (γ) (δ) (ε) Τότε οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Bolzano στο διάστημ [, ] ισχύουν γι την περίπτωση Α. της συνάρτησης f Β. της συνάρτησης g Γ. της συνάρτησης h Δ. της συνάρτησης φ Ε. της συνάρτησης t 5. Στ πρκάτω σχήμτ φίνοντι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f, g, h, φ, t. Γι ποι πό τις συνρτήσεις ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος του Bolzano στο διάστημ [, ]; Α. C f B. C g ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 3 πό 3
5 C φ C h Γ. Δ. Ε. C t 6. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] κι ισχύει f () f () >, τότε πό τις πρκάτω προτάσεις σωστή είνι πάντοτε η Α. f () ³ γι κάθε Î [, ] Β. δεν υπάρχει ξ Î (, ) ώστε f (ξ) = Γ. η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ] Δ. η C f δεν τέμνει ποτέ τον άξον Ε. κμί πό τις προηγούμενες προτάσεις 7. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. περισσότερες πό μί ρίζες Β. κμί ρίζ Γ. μόνο μί ρίζ Δ. δύο ρίζες f() O f() o Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 8. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. δύο ρίζες Β. κμί ρίζ f() O o Γ. περισσότερες πό μί ρίζες Δ. μόνο μί ρίζ f() Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 9. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. (f (), f ()) Β. [f (), f ()] Γ. (f (), f ()) Δ. [f (), f ()] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f() f() O ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 4 πό 3
6 ì - 4 ï, ¹. Έστω συνάρτηση f () = í - κι οι προτάσεις: ï î 6, = Ι. υπάρχει το lim f () ΙΙ. η f ορίζετι στο ΙΙΙ. η f είνι συνεχής στο. Τότε ληθεύουν Α. μόνο η Ι Β. μόνο η ΙΙ Γ. μόνο η Ι ή η ΙΙ Δ. κμί πό τις τρεις Ε. η ΙΙΙ. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. (f (), f ()) Β. [f (), f ()] Γ. (f (), f ()) Δ. [f (), f ()] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f() f() O. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. κμί ρίζ Β. κριώς τρεις ρίζες Γ. μόνο μί ρίζ Δ. το πολύ μί ρίζ Ε. τουλάχιστον τέσσερις ρίζες 3. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f φίνετι στο σχήμ, τότε δεν ισχύει ότι Α. στο διάστημ (, ) η f () > Β. στο διάστημ (, 3 ) η f () < Γ. στο διάστημ ( 3, 4 ) η f () > Δ. στ διστήμτ (-, ) κι ( 4, + ) η f () < f() f() 3 4 Ε. στο διάστημ (, 4 ) η f () = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 4. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f ()] Β. (f ( ε ), f ( μ )) Γ. [f (), f ()] Δ. [f ( ε ), f ( μ )] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f( μ) f() f() f( ε ) μ ε 5. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [, ] κι γνησίως φθίνουσ. Τότε το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f ()] Β. [f (), f ()] Γ. [, ] Δ. (f (), f ()) Ε. το R 6. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι οι προτάσεις: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 5 πό 3
7 Ι. f συνεχής ΙΙ. f άρτι ΙΙΙ. f γνησίως μονότονη Η ντίστροφη της f υπάρχει, ότν ισχύει Α. η Ι Β. η ΙΙ Γ. οι Ι κι ΙΙ Δ. η ΙΙΙ Ε. η Ι ή η ΙΙ 7. Δίνετι η συνάρτηση f με f () = Τότε λάθος είνι Α. f (- ) > Β. f () < Γ. η f είνι συνεχής στο [-, ] Δ. υπάρχει Î (-, ) ώστε f ( ) = Ε. f (- ) f () > 8. Στο διπλνό σχήμ φίνετι η γρφική πράστση μι συνάρτησης f. Τότε ισχύει Α. Β. Γ. lim f () = 8 + lim f () = lim f () = 4 Δ Ε. η f δεν είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της lim f () ¹ 5 5 lim f () - 5 ïì ln (- ), Î(-, ) 9. Δίνετι η συνάρτηση f () = í. Τότε: ïî +, Î[, + ) Α. η f δεν είνι συνεχής στο (-, ) B. η f δεν είνι συνεχής στο (, + ) Γ. η f δεν είνι συνεχής στο Δ. E. lim f () = - lim f () = - + ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Δεν έχει νόημ ν εξετάσουμε ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής ή όχι σε έν σημείο που δεν νήκει στο πεδίο ορισμού της.. Είνι λάθος ν λέμε ότι μι συνάρτηση που είνι συνεχής στο σύνολο Α έχει γρφική πράστση που δεν δικόπτετι. Η συνέχει είνι πό τις σικές ιδιότητες μις συνάρτησης που νφέρετι στ στοιχεί του πεδίου ορισμού της. Πράδειγμ η f ( ) =, είνι συνεχής, ενώ η γρφική της πράστση ποτελείτι πό δυο κλάδους. 3. Μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ότν: Δεν υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της, f ( ), στο σημείο. 4. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, ν κι μόνο ν, lim f ( ) = f ( ) lim f( + h) = f( ) h lim f( h) = f( ) h ή [ f f ] lim ( )- ( ) = ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 6 πό 3
8 5. Αν έστω κι μί πό τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano δεν ισχύουν τότε δεν μπορούμε ν εφρμόσουμε το θεώρημ. Δηλδή ν: f είνι συνεχής στο [,] λλά ισχύει f()f() > τότε η εξίσωση f() = μπορεί ν έχει ή κι ν μην έχει ρίζ στο (,). η f δεν είνι συνεχής στο [,] κι ισχύει f()f() <, τότε δεν είνι έιο ότι θ υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της f() = στο (,). 6. Το ντίστροφο του Θ. Bolzano δεν ισχύει. Π.χ. f( ) =í î ì - ³, 3, <. Γι την f δεν ισχύει το Θ. Bolzano στο [-3,3] όμως η f ( ) = έχει ρίζ στο ( 3,3) 7. Στις σκήσεις που ζητείτι ν ποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( ab, ), εξετάζουμε ν ισχύει το Θ. Bolzano γι την f στο [ ab, ] ή σε κάποιο υποσύνολό του. 8. Ύπρξη μις τουλάχιστον ρίζς στο [ ab.(ασκ., ] 4). Αν η f είνι συνεχής στο [,] κι f()f(), τότε υπάρχει τουλάχιστον έν Î [,] τέτοιο ώστε f( ) =. Εξετάζουμε τις δύο περιπτώσεις: Αν f()f() = τότε f()= ή f() =, δηλδή ή είνι ρίζ της εξίσωσης.. Αν f()f() < τότε εφρμόζετι το θεώρημ του Bolzano, οπότε υπάρχει τουλάχιστον μί ρίζ στο (,). Άρ σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον μί ρίζ της εξίσωσης f() = στο [,]. 9. Γι ν ποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει ν τουλάχιστον ρίζες σε έν διάστημ (,), χωρίζουμε το (,) σε ν κτάλληλ υποδιστήμτ, τ οποί ν μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεί κι εφρμόζουμε το Θ. Bolzano γι την f σε κθέν πό τ διστήμτ υτά.. Αν η εξίσωση είνι της μορφής f ( ) = g( ), θεωρούμε την h( ) = f ( ) - g( ).. Αν θέλουμε ν δείξουμε ότι οι γρφικές πρστάσεις των f, g τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο του a b. ( ab, ), ρκεί ν δείξουμε ότι η εξίσωση f ( ) = g( ) έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (, ). Αν δεν δίνετι το διάστημ στο οποίο νήκει η ρίζ, προσπθούμε δίνοντς τιμές ν ρούμε δυο ετερόσημες. 3. Στις σκήσεις που ζητείτι ν ποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει μι μόνο ρίζ στο ( ab,, ) τότε πρώτ θ ποδείξουμε ότι η ( ) μονότονη ή χρησιμοποιούμε πγωγή σε άτοπο. 4. Θ.Bolzano σε συνάρτηση που δεν ορίζετι στ άκρ διστήμτος. (Ασκ. 4). 5. Ότν στο πρόλημ έχουμε τρείς ή περισσότερες τιμές της f(), η ντιμετώπιση γίνετι συνήθως με το Θ.Ε.Μ.Τ. κι στη συνέχει με το Θ.Ε.Τ. 6. Αν f ( ) = g ( ) γι κάθε Î A.Από υτή τη σχέση δεν μπορούμε ν συμπεράνουμε ότι f( ) = g ( ) γι κάθε -. f = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( a, b) κι μετά ή δείχνουμε ότι η f είνι γνησίως Î A ή f( ) =-g ( ) γι κάθε Î A. Το σωστό είνι ( ), ( ) ìï g ÎA f( ) =í ïî -, Î g A. Αν όμως γνωρίζουμε επιπλέον ότι η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο Α τότε προκύπτει ότι f( ) = ( ) κάθε Î A ή f( ) =-g ( ) γι κάθε Î A. Πράδειγμ: f( )= κι g( )= γι τις οποίες ισχύει ίσες ή ντίθετες λλά ισχύει: ( ), [, ) ( ), (,) ìï g Î + f( ) =í ïî - g Î - f ( ) = g ( ) γι κάθε Î. g γι. Όμως δεν είνι ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 7 πό 3
9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ì -, an. Δίνετι η συνάρτηση ï f() = ía +b, an < <, όπου, Î. ï î + ln, an ³ Ν υπολογίσετε τ κι έτσι, ώστε η f ν είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ , 5. Δίνετι η συνάρτηση f() =í ì - + an < <. 5- î( a +b ) ln( e) + ( a+ )e, an ³ 5 lim f() lim f (). i. Ν ρεθούν τ κι ii. Ν ρεθούν τ, Î, ώστε η f ν είνι συνεχής στο = 5. iii. Γι τις τιμές των κι του ερωτήμτος ii) ν ρείτε το lim f () ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f() - e + 3. Δίνετι η συνάρτηση f, συνεχής στο, γι την οποί ισχύει: lim = 5. Ν ρείτε το f(). hm ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δίνετι η συνάρτηση f:, γι την οποί ισχύει: - f() + γι κάθε Î. Ν ποδείξετε ότι: i. f()=, ii. η συνάρτηση f είνι συνεχής στο = ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δίνετι η συνάρτηση f, συνεχής στο =, γι την οποί ισχύει: f() 4 -hm γι κάθε Î. Ν ρείτε το f(). 6. Δίνετι η συνάρτηση f:, γι την οποί ισχύει: 3f() = + hm (f()), Î. Ν ποδείξετε ότι: i. f(), Î ii. η f είνι συνεχής στο =. f :, +, γι την οποί ισχύει: f () = f () + f (), γι κάθε, >. 7. Δίνετι η συνάρτηση ( ) Ν ποδείξετε ότι: i. f()= ii. ν η f είνι συνεχής στο =, τότε η f είνι συνεχής. Î,, ν δείξετε ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον 8. Αν η f είνι συνεχής στο [,] κι είνι < f() < γι κάθε [ ] ξî(,), ώστε ν ισχύει: f (ξ) + f(ξ)=ξ +ξ Ν δείξετε ότι η εξίσωση - + ab + = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (,]. Δίνετι ότι +=.. Έστω f() = 4-3 κι g() = - +. Ν ποδειχθεί ότι οι γρφικές πρστάσεις των f κι g τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο (,).. Έστω f() = 4(+ ) 4 + (++ ) - κι g() = 8(++ ) 3 + (-6+ ) + 3, aî. Ν ποδειχθεί ότι οι γρφικές πρστάσεις των f κι g τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο [-,]. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 8 πό 3
10 + f( a)+f( b) + f( a) -f( b) > ισχύει γι κάθε. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο. Αν η νίσωση ( ) ( ) Î, ν δείξετε ότι η C f της συνάρτησης f τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο. f = Ν ποδείξετε ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον, Î (, ), τέτοιο 3. Δίνετι η συνάρτηση ( ) 5 3 ώστε ν ισχύει: f ( ) = Έστω f συνεχής στο [, ] με f( a ) ¹ f( b) κι κ, λ θετικοί ριθμοί. Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον kf( a ) +lf( b) Î ( a, b), ώστε ν ισχύει: f(ξ) =. k+l 5. Αν γι τον μιγδικό ριθμό z = +i ισχύει: z = z +, ν ποδείξετε ότι: z i. Re(z ) = - ii. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήμτος (i), ν επιπλέον f συνεχής στο [,3], f()=>, f(3)= κι >, ν ποδείξετε ότι: υπάρχει Î (,3) τέτοιο ώστε f( )=. 6. Έστω, Î, με <. Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε γî(,) υπάρχει μονδικό ξ Î(,), ώστε γ = ξ + (-ξ). 7. Ν ποδείξτε ότι : 4 c + c + i. η εξίσωση + = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (-,). c+ c- efc sfc p p ii. η εξίσωση + = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (, ). 6c-p 4c-p Γι μι συνεχή συνάρτηση f στο [,] ισχύει f() = κι f() = 4. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ, ν δείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ που νήκει στο (,) ώστε: æö æö æ3ö æ4ö fç + fç + fç + fç f(ξ) = è ø è ø è ø è ø. 4 Î,4 τέτοιο ώστε: 9. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,4]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει [ ] f () + 3f () + 4f (3) = 9f ( ).. Γι μι συνάρτηση f συνεχή στο, ισχύει ότι: f() lim = 4 κι 4ημ(-) (-)f() - 4 " Î. - Ν δειχθεί ότι η C f τέμνει τη γρφική πράστση της προλής ψ = - + σε σημείο με τετμημένη που νήκει στο διάστημ (,).. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι - στο [, ] τότε ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως μονότονη στο [, ] Ν ποδείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού θμού έχει τουλάχιστον μι πργμτική ρίζ. --- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 9 πό 3
11 e é p ù 3. Ν ελέγξετε ν η συνάρτηση f ( ) = sun + 5hm - πίρνει την τιμή - στο διάστημ, 3 ê ë ú û Έστω συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει f () + = 5 γι κάθε ÎΔ = (,5). i. Ν ποδείξετε ότι η f: Δεν έχει ρίζες στο Δ. Έχει στθερό πρόσημο στο Δ. ii. Ν ρεθεί ο τύπος της f στο Δ, ν επιπλέον είνι γνωστό ότι f() = Ν ρεθούν όλες οι συνεχείς συνρτήσεις f : με την ιδιότητ: f () f ()ημ =, " Î. 6. Ν ρεθούν όλες οι συνεχείς συνρτήσεις f : με την ιδιότητ f () = e f(), " Î. 7. Έστω συνεχής συνάρτηση f : [,] όπου,î με <. Ν δείξετε ότι η f είνι στθερή Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση e = + 8έχει κριώς μι ρίζ στο. 9. Ν ρείτε το πρόσημο των συνρτήσεων: i. f() = ημ + συν, -π π ii. f() = ημ + συν, π π iii. f() = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β 3. Έστω συνεχής συνάρτηση f: με f() ¹ γι κάθε Î, κι f() =- 3. Ν ρείτε το όριο ( ) 3 lim é f() ù + ë û. 3. Δίνοντι οι συνρτήσεις f() = + + γ κι g() = γ με γ ¹. Αν ρ είνι ρίζ της f κι ρ είνι ρίζ της g με ρ <ρ, ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) +g()= έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (ρ, ρ ). 3. Έστω f,g συνρτήσεις με πεδίο ορισμού το Δ. Εάν γι κάθε χîδ η f είνι συνεχής κι f()-g() = c, cî τότε ν δείξετε ότι: Αν ρ, ρ δύο ετερόσημες ρίζες της f() = η εξίσωση g() = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο [ρ, ρ ]. 33. Έστω συνεχής συνάρτηση f στο διάστημ Δ = (,), γνησίως φθίνουσ στο (,γ] κι γνησίως ύξουσ στο [γ,) όπου γî(,).αν f(γ) = - κι limf () = κι limf () = 3, ν ρεθεί: a i. Το σύνολο τιμών της f. ii. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ()=, ÎΔ. 34. Έστω συνεχής συνάρτηση f: με f(4) = 5. Ν δείξετε ότι η f είνι στθερή κι ν ρείτε τον τύπο της. 35. Δίνετι η συνάρτηση f() = e + +. Ν δείξετε ότι: i. η f είνι γνησίως ύξουσ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
12 ii. Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f. iii. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει μι μόνο ρίζ. 36. Έστω συνεχής συνάρτηση f :[-,4] με f() ¹ γι κάθε [,4] πράστση διέρχετι πό το σημείο A( -, - 5). i. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f () 6 f () ii. Ν ρείτε το όριο lim ( f ( ) 3 5 3) - p + -. Î-, της οποίς η γρφική + = - έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,4) 37. Δίνετι η συνάρτηση f() = ln. i. Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Ν μελετήσετε την f ως προς την μονοτονί. iii. Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f ι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο διάστημ [-, ] κι ισχύουν: Η f είνι περιττή, Η g είνι γνησίως φθίνουσ με g() = - κι g(-) =. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν Î (-, ) τέτοιο ώστε: f(g( )) + f ( ) + g( ) =. Σε ποιο σημείο χρησιμοποιήθηκε η υπόθεση ότι η g είνι γνησίως φθίνουσ; 39. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο [, ], με >. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ Î (, ) f ( ) a b τέτοιο ώστε: = + a - b (Ύπρξη μις τουλάχιστον ρίζς στο [ ab.), ] Έστω f: με τύπο f() = κι g: με f() - g() = λ, l Î. () N ποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο [ρ, ρ ], όπου ρ, ρ με ρ < ρ οι ρίζες της f() =. ΛΥΣΗ Από την () έχουμε g() = f() - λ, λî R Η g είνι συνεχής στο [ρ, ρ ] ως άθροισμ συνεχών συνρτήσεων Είνι g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ = - 7λ, φού g(ρ ) = f(ρ ) - λρ = - λρ = - λρ g(ρ )= f(ρ ) - λρ = - λρ = - λρ g a Κι rr = =- 7 Δικρίνουμε τις περιπτώσεις Αν λ ¹, Τότε g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ = - 7λ <, οπότε σύμφων με το θεώρημ Bolzano υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της g() = στο διάστημ (ρ, ρ ). Αν λ =. Τότε g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ =, οπότε g(ρ ) = ή g(ρ ) = κι η g() έχει ρίζες τις ρ ή ρ. Επομένως σε κάθε περίπτωση η εξίσωση g() = έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο [ρ,ρ ]. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
13 4. (Θ.Bolzano σε συνάρτηση που δεν ορίζετι στ άκρ διστήμτος) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ln = έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο (,). ΛΥΣΗ Θεωρούμε την f() = ln , (,] Î. Πρτηρούμε ότι lim f( ) lim ( ln 4 ) Αφού = =- διότι lim ln + lim =-. = - κι ( ) + lim f( ) = -, υπάρχει Î (,) τέτοιο ώστε f( ) < κοντά στο. Επομένως: Η f είνι συνεχής στο [, ] ως πράξεις μετξύ συνεχών συνρτήσεων. Είνι f( ) < κι f () = ln = > δηλδή ισχύει ότι f( ) f() <. πότε σύμφων με το Θ.Bolzano υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της f( ) ln 4 ln 4, Í,. 4. Έστω η συνεχής κι περιττή συνάρτηση f : με lim f ( ) =. Ν δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C f με τετγμένη. = Û = Û = - + στο διάστημ ( ) ( ) 43. i. Ν ρεθούν τ lim + hm κι lim, - k * kî. ì ï hm, an > ï ii. Ν ρεθεί ο kî ώστε η συνάρτηση f() = í k-3, an =, ν είνι συνεχής στο =. ï k ï, an < î 44. i. Έστω f : συνεχής συνάρτηση με f() + f() + f(3) =. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει μι τουλάχιστον ρίζ. f = f. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ii. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο [, ], με ( ) ( ) æ ö f ( ) = f ç + έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο [, ]. è 3ø 45. Έστω συνεχής συνάρτηση f : με f( ) = κι f () =. Αν γι κάθε Î ισχύει ότι f ()f (f ()) =,ν ρείτε τους ριθμούς f(), f () κι f (5). 46. Έστω συνάρτηση f :[,3 ] συνεχής κι γνησίως ύξουσ. Αν <f()<3, ν δείξετε ότι: i. Η ευθεί =- + 3 τέμνει τη γρφική πράστση Cf της συνάρτησης f σε έν κριώς σημείο A(, ), με τετμημένη Î ( ),3. ii. Υπάρχει μονδικός ριθμός (,3) Î έτσι ώστε: f ( ) æö æ3ö æ5ö f ç + f ç + f ç = è ø è ø è ø. 3 f :,4 συνεχής κι γνησίως ύξουσ. Αν f()> κι f () f () f (4) = 8, ν 47. Έστω συνάρτηση [ ] δείξετε ότι υπάρχει [,4] Î έτσι ώστε: f ( ) =. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
14 48. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο (,4). Ν ποδείξετε ότι υπάρχει Î(,4) τέτοιο ώστε: f () + f () + 3f (3) = 6f ( ). 49. Έστω f : z = + f i, Î. συνεχής συνάρτηση κι οι μιγδικοί ριθμοί ( ) i. Αν Im( z ) = γι κάθε Î, ν ρείτε τ ii. Αν lim z - = γι κάθε Î [,], τότε: Ν λύσετε την εξίσωση f( ) =. Ν ρείτε τον τύπο της συνάρτησης f ν ( ) z Im z >. - sun ( ) Rez 5. Έστω συνεχής συνάρτηση f :[,5 ] με f() > κι ο μιγδικός κι lim ( z ) f( 5i ) z= ÎI. Ν ποδειχθεί ότι -f( i ) η εξίσωση f() = έχει μι τουλάχιστον λύση στο διάστημ (,5. ) 5. Δίνετι η συνάρτηση f() = 3 + λ +3, όπου λ στθερός πργμτικός ριθμός με l <- 4. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει 3 ρίζες πργμτικές. 5. Έστω f συνεχής στο (, ], με ( ) 3f() + lim = f = γι την οποί ισχύει: - f() hm, γι κοντά στο. ν δείξετε ότι η C f έχει τουλάχιστον έν κοινό σημείο με τον. Αν Έστω συνεχής συνάρτηση f :, με f ( ) ¹ γι κάθε Î, f ( ) = κι f ( 5) = 3 i. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ ÎR ώστε f(ξ) =. ii. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει [ ], Î ώστε f ( ) f ( ) f ( ) =. iii. Αν γι κάθε Î ισχύει ότι f ()f (f ()) =,ν ρείτε τους ριθμούς f æ ç ö è ø, f () κι f(). ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 3 πό 3
1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.
Διαβάστε περισσότεραΦ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,
Διαβάστε περισσότεραμε x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,
Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)
Διαβάστε περισσότερα3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραjust ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον
just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x
Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί
Διαβάστε περισσότερα1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ
0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ
ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό
Διαβάστε περισσότερα4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότεραΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους
Λύσεις Θέμ Α Α. Σχοικό ιίο σείδ. Α. Σχοικό ιίο σείδ 9. Α. ) () κάτω, () το σημείο επφής τους ) () Α4. ) Σωστό ) Λάθος γ) Λάθος Θέμ Β ν ( ν κ= f(ξ κ )Δ ), f()d Β. Επειδή τ σημεί Α(,), Β(,) νήκουν στη γρφική
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΤετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τετάρτη, Μ ου 9 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι
Διαβάστε περισσότεραΕκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση
Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,
Διαβάστε περισσότερα4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
Διαβάστε περισσότερα( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:
Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια της συνάρτησης
Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν
Διαβάστε περισσότεραα) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Διαβάστε περισσότερα2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις
ο Διγώνισμ 08-9 Ύλη: Συνρτήσεις Θέμ Α Α Θεωρήστε τον πρκάτω ισχυρισμό: «Oι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες κι ) Ν χρκτηρίσετε τον
Διαβάστε περισσότερα) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt
ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()
Διαβάστε περισσότεραΟ Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές
Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 13 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ A Α Λάθος β Σωστό γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό Α Έστω ότι υπάρχουν Τότε ισχύουν: ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΙR τέτοι ώστε ) κι g ) g ) ) + ln +
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}
1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι
Διαβάστε περισσότεραΣάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:
Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε
Διαβάστε περισσότερα1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι
Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανές Συντεταγµένες
Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων
Διαβάστε περισσότεραE f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.
ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3
Διαβάστε περισσότεραΧαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων
Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ. BOLZANO - Θ. ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ. , ώστε η συνάρτηση. æ η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Mç
Να βρεθούν τα α και β Î R, ώστε η συνάρτηση ì 4 ημ - + = í - î α + β < ³ να είναι συνεχής και æ η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Mç è,- ö ø Να βρείτε τα α, β, γ Î R, ώστε να είναι συνεχής
Διαβάστε περισσότερα( 0) = lim. g x - 1 -
ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΠροτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1
Προτάσεις που χρησιμοποιούντι στη λύση σκήσεων κι χρειάζοντι πόδειξη Πρότση 1 Έστω η συνάρτηση f: A R η οποί είνι γνησίως ύξουσ Ν δείξετε ότι ) η f ντιστρέφετι ) η f -1 είνι γνησίως ύξουσ στο f(α) γ) Οι
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ
ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΎΠΟΥ Θέμ ο 6 Αν υπάρχουν,β R ώστε οι εξισώσεις: ( + ) β = 4( ) κι + 4 3 + β( + ) = ( + 3) ν έχουν κοινή λύση τότε ν ποδειχθεί ότι η εικόν του + z = + βi στο μιγδικό επίπεδο νήκει σε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2
- 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι
Διαβάστε περισσότερα1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.
995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ
Διαβάστε περισσότεραΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ
Διαβάστε περισσότερα1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G
Διαβάστε περισσότερα, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α
YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx ή f(x) dx f(x) dx
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο
Διαβάστε περισσότεραΘέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα
Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραείναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει , z 2 Μονάδες 2 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΦ3: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ
Φ: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραµε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x
998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0
Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η
Διαβάστε περισσότεραΓ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.
Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες.
I Βσικά συμπεράσμτ Στις σκσεις που κολουθούν θ χρησιμοποισουμε τ επόμεν βσικά συμπεράσμτ Α, Β κι Γ: Α Έστω R κι :[,+)R συνάρτηση τέτοι, ώστε συνεχς στο [,+), πργωγίσιμη στο (,+) κι () = Ν ποδειχθεί ότι:
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότερα