Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί François Viète ( ) Υπάρχει το πρόβλημα, αναζητήστε τη λύση του, η ορθότητα των προτάσεων είναι αδύνατον να μην μπορεί να ανακαλυφθεί, γιατί στα μαθηματικά δεν υπάρχει ignorabimus Η κοινότητα των Μαθηματικών είναι σύμφυτη με τη φύση αυτής της επιστήμης, γιατί τα μαθηματικά είναι η βάση (το θεμέλιο) όλης της γνώσης των φυσικών φαινομένων Δηλαδή, αυτό μπορεί να εκπληρώσει πλήρως αυτήν την υψηλή αποστολή, μπορεί ο νέος αιώνας να φέρει masters, πολύ ζήλο και ενθουσιασμό σε νέους μαθητές David Hilbert (86-943)

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται όλοι οι ορισμοί, οι ιδιότητες και οι πράξεις που σχετίζονται με την έννοια της συνάρτησης μίας πραγματικής μεταβλητής Παρουσιάζονται ειδικές κατηγορίες πραγματικών συναρτήσεων, όπως είναι οι εκθετικές, οι λογαριθμικές, οι τριγωνομετρικές, οι υπερβολικές καθώς και οι αντίστροφες συναρτήσεις αυτών και αναφέρονται οι σημαντικότερες ιδιότητές τους Συναρτήσεις Ο κόσμος ολόκληρος είναι γεμάτος από σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων και η θεμελιώδης έννοια-εργαλείο για την κατανόηση αυτών των σχέσεων είναι εκείνη της συνάρτησης Στη Μηχανική, λέμε ότι, η ταχύτητα vt (), η επιτάχυνση at () είναι συναρτήσεις του χρόνου t, ή είναι συναρτήσεις της θέσης και γράφουμε v ( ) και a, ( ) αντίστοιχα Στην επεξεργασία σήματος, το πλάτος ενός πραγματικού σήματος t () είναι συνάρτηση του συνεχούς χρόνου t Στα ηλεκτρικά κυκλώματα, λέμε ότι, η τάση του ρεύματος Vt () είναι συνάρτηση του χρόνου, η ένταση του ρεύματος I( R ) είναι συνάρτηση της αντίστασης R Στην Οικονομία, η συνάρτηση της ζήτησης D( p ) και της προσφοράς S( p ) είναι συναρτήσεις της τιμής p του προϊόντος, κλπ Ορισμός Μία συνάρτηση (function) f από ένα μη κενό σύνολο A σε ένα μη κενό σύνολο B είναι ένας κανόνας f, που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του συνόλου A ακριβώς σε ένα και μόνο ένα στοιχείο y του συνόλου B, και συμβολίζεται f : A B Το στοιχείο ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή (independent variable) ή πρότυπο και το στοιχείο y, που αντιστοιχεί στο, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή ή εικόνα του και συμβολίζεται ως f( ) Το σύνολο A όλων των ονομάζεται πεδίο ορισμού (domain of definition) της f και το σύνολο B όλων των εικόνων f( ) πεδίο τιμών (domain of range) της f Το σύνολο τιμών (set of range) της συνάρτησης f : A B είναι το σύνολο { } { } f( A) = y B: υπάρχει A, ώστε y = f( ) = f( ) : A () Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A και πεδίο τιμών το B διαβάζεται «συνάρτηση από το A στο B» Στη συνέχεια, τα σύνολα A, B είναι υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών και γι αυτό θα αναφερόμαστε στην πραγματική συνάρτηση f της πραγματικής μεταβλητής Επιπλέον, αν δεν ενδιαφέρει ο ακριβής υπολογισμός του συνόλου τιμών της f γράφουμε ότι το πεδίο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών Μία συνάρτηση f είναι γνωστή, όταν ο τύπος (κανόνας) που δίνει την εικόνα f( ) είναι γνωστός Πολλές φορές για λόγους απλότητας ταυτίζουμε, στο προφορικό αλλά και στο γραπτό λόγο, την έννοια της συνάρτησης f με τον τύπο της f( ), λέγοντας ότι «δίνεται η συνάρτηση f( )» ενώ το ορθό είναι «δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( )» Επίσης στη βιβλιογραφία, ο όρος συνάρτηση χρησιμοποιείται και ως «απεικόνιση», στη συνέχεια χρησιμοποιείται μόνο ο όρος «συνάρτηση»

3 Παραδείγματα i) Έστω τα σύνολα {,,3} A = και { 3,5,8,} B = Η αντιστοιχία 5, 3, 3 μπορεί να αποτελεί μία συνάρτηση f από το Α στο Β, όπου f() = 5, f() = 3 και f (3) = με πεδίο τιμών το σύνολο Β και σύνολο τιμών το f( A ) = { 3,5,} Ενώ, η αντιστοιχία δεν αποτελεί συνάρτηση, αφού στην πραγματική τιμή αντιστοιχούν δύο διαφορετικές τιμές 3 και 5, δηλαδή, f () = 3 και f () = 5 ii) Αν A = { 3,0,,4} και { 5,,3,6,8} B =, η αντιστοιχία f( 3) = 3, f(0) =, f () = 3 και f (4) = 6, όπως και η αντιστοιχία g( 3) = g(0) = g() = 6 και g (4) = 8 αποτελούν συναρτήσεις από το σύνολο Α στο σύνολο Β Το σύνολο τιμών της f είναι το ( ) {,3,6} f A = και της g είναι το g( A ) = { 6,8}, ενώ το πεδίο τιμών τους είναι το Β iii) Έστω c Η συνάρτηση f : με f( ) = c για κάθε ονομάζεται σταθερή συνάρτηση (constant function) με σύνολο τιμών το μονοσύνολο { c } Στην περίπτωση που f( ) = 0 για κάθε, η σταθερή συνάρτηση ονομάζεται μηδενική iv) Έστω A Η συνάρτηση f : A A με f( ) =, για κάθε A, ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση (identity function) στο σύνολο Α και συμβολίζεται με I A Έτσι, IA( ) =, για κάθε A v) Η συνάρτηση f : με f( ) = έχει σύνολο τιμών τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή το [0, + ) Γενικότερα, μία συνάρτηση f, η οποία ορίζεται με τη βοήθεια ενός πολυωνύμου, δηλαδή, ο τύπος είναι n n f( ) = a n + an + + a + a0, όπου ai, i= 0,,, n, ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση n βαθμού έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών Ειδικότερα, η πρώτου ( n ) βαθμού συνάρτηση f( ) = a + a0, όπου a, a0, ονομάζεται γραμμική 3 Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f( ) = , g ( ) = 3+, h ( ) = 3 5, και 0 z ( ) = = είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις δευτέρου ( n ), τρίτου ( n 3), πρώτου ( n ) και 3 3 μηδενικού ( n 0 ) βαθμού, αντίστοιχα a vi) Έστω a πραγματικός αριθμός με a 0 Η συνάρτηση f : {0} με f( ) = έχει πεδίο ορισμού όλους τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς, ώστε η εικόνα f( ) να ορίζεται, δηλαδή, να είναι πραγματικός αριθμός (βλέπε, Παράδειγμα 4 (iv) ) Γενικότερα, μία συνάρτηση f : A της οποίας ο τύπος δίνεται ως πηλίκο πολυωνύμων, όπου n P( ) = a + a + + a+ a και n n n 0 P ( ) f( ) =, Q ( ) m Q( ) = b + b + + b+ b, με a, b, m m m 0 i= 0,,, n, j = 0,,, m, ονομάζεται ρητή συνάρτηση κι έχει πεδίο ορισμού όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός των ριζών του Q, ( ) δηλαδή { : ( ) 0} A= Q () i j 3

4 Για παράδειγμα, η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A = {0} f( ) = είναι μία ρητή συνάρτηση, οπότε από () είναι φανερό ότι + 4 Επίσης, η ρητή συνάρτηση g ( ) = έχει πεδίο ορισμού A = {,3}, επειδή οι ρίζες του 5+ 6 πολυωνύμου στον παρονομαστή είναι και 3 Εδώ να σημειωθεί ότι το πεδίο ορισμού μπορεί να γραφεί κι ως ένωση διαστημάτων: {,3 } = (,) (,3) (3, + ) vii) Η συνάρτηση f : A με f( ) = έχει πεδίο ορισμού A= { : 0 } = { : } = [, + ), επειδή η τετραγωνική ρίζα (και κάθε άρτιας τάξης ρίζα) έχει νόημα μόνο για μη αρνητικές ποσότητες 3 Η συνάρτηση g: A με g ( ) = ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, δηλαδή, A = + 7 viii) Η συνάρτηση f : A με f( ) = ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για 5+ 6 τους οποίους δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής και έχει νόημα το ριζικό, δηλαδή, A= : 5+ 6 > 0 = : ( )( 3) > 0 =, 3, + { } { } ( ) ( ) 3 4 Η συνάρτηση g: A με g ( ) = ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, δηλαδή, A =, + επειδή ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό (παρατηρήστε ότι το + έχει διακρίνουσα = 3< 0 και η υπόρριζη ποσότητα + είναι πάντοτε θετική, επειδή είναι ομόσημη του συντελεστή του ) i) Η συνάρτηση f : {0,} με, αν f( ) = 0, αν ονομάζεται συνάρτηση Dirichlet, όπου είναι το σύνολο των ρητών αριθμών Ορισμός 3 Μία συνάρτηση f : A ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη ή αμφιμονότιμη (injective), όταν σε διαφορετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής A αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες, δηλαδή, όταν για κάθε, A ισχύει f( ) f( ) Παρατήρηση 4 i) Από τον προτασιακό λογισμό γνωρίζουμε ότι για δύο λογικές προτάσεις pq,, η πρόταση «p q» είναι ισοδύναμη με την πρόταση «όχι q όχι p» Θεωρώντας ως πρόταση p : έστω, A με και πρόταση q : f( ) f( ), η σχέση στον Ορισμό 3 είναι ισοδύναμη με f( ) = f( ) = (3) Επομένως, μία συνάρτηση f : A είναι αμφιμονοσήμαντη όταν για τυχαία, A επαληθεύεται η συνεπαγωγή στην (3) ii) Γεωμετρικά καταλαβαίνουμε ότι μία συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη, όταν οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον '0 τέμνει την καμπύλη της συνάρτησης σε ένα μόνο σημείο Παραδείγματα 5 i) Η συνάρτηση f : με f( ) = + 3 είναι αμφιμονοσήμαντη Πράγματι, αν θεωρήσουμε δύο τυχαία, για τα οποία ισχύει f( ) = f( ), τότε από τον ορισμό 4

5 της συνάρτησης έχουμε f( ) = f( ) + 3= + 3 = το οποίο επαληθεύει την (3) ii) Η συνάρτηση f : με f( ) = δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, επειδή υπάρχουν, τουλάχιστον δύο διαφορετικά = 5 και = 5 με f(5) = 5 = f( 5) κι επομένως δεν ισχύει ο Ορισμός 3 iii) Η συνάρτηση, f( ) = =, < είναι αμφιμονοσήμαντη Πράγματι, αν, με f( ) = f( ), τότε από τον ορισμό της f έχουμε = =, το οποίο επαληθεύει την (3) Αν, < με f( ) = f( ), τότε από τον ορισμό της f έχουμε = =, το οποίο επαληθεύει την (3) Τέλος, αν και <, (άρα, ) είναι φανερό ότι f( ) f( ), το οποίο επαληθεύει τη σχέση στον Ορισμό 3 Επομένως, σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, αποδεικνύεται ότι σε διαφορετικά αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες f( ) Ορισμός 6 Μία συνάρτηση f : A B ονομάζεται επί (surjective) του Β, όταν το σύνολο τιμών της ταυτίζεται με το σύνολο Β, δηλαδή, όταν ισχύει f ( A) = B Ισοδύναμα, μία συνάρτηση f : A B είναι επί του Β, όταν κάθε στοιχείο του συνόλου Β είναι εικόνα ενός τουλάχιστον στοιχείου από το σύνολο Α, δηλαδή, όταν για κάθε y B υπάρχει A, τέτοιο ώστε f( ) = y Παραδείγματα 7 i) Η συνάρτηση f : [0, + ) με f( ) = είναι επί του συνόλου B = [0, ) αριθμός a είναι εικόνα μέσω της f του a, δηλαδή, f ( ) = [0, + ) +, αφού κάθε θετικός Ενώ, αν ο ίδιος τύπος της συνάρτησης f( ) = δίνονταν ως f :, τότε αυτή δεν είναι επί του Πράγματι, ένας οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός, για παράδειγμα ο y = δεν αποτελεί εικόνα κανενός πραγματικού αριθμού μέσω της f( ) =, επομένως στη περίπτωση αυτή f ( ) και η f δεν είναι επί ii) Η συνάρτηση f : με f ( ) = a + b είναι επί του y b y b Πράγματι, για κάθε y υπάρχει =, τέτοιο ώστε f( ) = f = y Έτσι, f ( ) = a a και η συνάρτηση είναι επί του Ορισμός 8 Μία συνάρτηση f : A B, η οποία είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του Β ονομάζεται ένα προς ένα Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι ένα προς ένα γράφουμε ότι η f είναι - (one-to-one) 5

6 Παραδείγματα 9 i) Η συνάρτηση f : με f( ) = + 3 είναι - (βλέπε, Παράδειγμα 5 (i) και Παράδειγμα 7 (ii)) Γενικότερα, κάθε γραμμική συνάρτηση f ( ) = a + b είναι - ii) Έστω η συνάρτηση f :, όπου το σύνολο των ακεραίων αριθμών, το σύνολο των φυσικών αριθμών, και για m η συνάρτηση ορίζεται 0, αν m = 0 f( m) = m, αν m> 0 m +, αν m < 0 Η συνάρτηση f είναι επί του συνόλου, δηλαδή, f ( ) =, επειδή για κάθε έχουμε: αν = n, υπάρχει n έτσι ώστε f( n) = n=, αν = n+, υπάρχει n έτσι ώστε f( n) = n+ = Επειδή η f είναι γραμμική, σύμφωνα με το (i) η f είναι αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση, επομένως είναι μία - συνάρτηση iii) Αν μία συνάρτηση f : A B είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε η συνάρτηση ( ) f : A f A είναι μία - συνάρτηση Στο Παράδειγμα (i) η αντιστοιχία 5, 3, 3, ορίζει μία συνάρτηση f, που είναι μία αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση με f ( A ) = { 5, 3,} Συνεπώς, η συνάρτηση είναι - f :{,,3} { 3,5,} Οι συναρτήσεις μεταξύ δύο συνόλων Α και Β, όταν είναι είτε αμφιμονοσήμαντες είτε επί μας δίνουν τη δυνατότητα να «μετρήσουμε» ποιο από τα δύο σύνολα έχει περισσότερα στοιχεία Το πλήθος στοιχείων ενός συνόλου Α λέγεται πληθικός αριθμός του Α και συμβολίζεται με A Όταν μία συνάρτηση f : A B είναι -, τότε τα σύνολα Α και Β ονομάζονται ισοπληθή και σημειώνεται A = B Στο Παράδειγμα 9 (ii) τα σύνολα των ακέραιων και φυσικών αριθμών είναι ισοπληθή, δηλαδή =, εφόσον υπάρχει μία - συνάρτηση μεταξύ τους Κάθε σύνολο Α το οποίο είναι ισοπληθές με το σύνολο των φυσικών αριθμών λέγεται αριθμήσιμο Από το Παράδειγμα 9 (iii), όταν f : A B A = f A, επομένως, είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε ( ) A = f ( A) B Ενώ, όταν η συνάρτηση f : A B είναι επί του B, τότε A B, εφόσον κάθε στοιχείο του Β είναι η εικόνα τουλάχιστον ενός στοιχείου από το σύνολο Α Ορισμός 0 Για δύο στοιχεία α, b (για παράδειγμα, διατεταγμένο ζεύγος ( ab, ), δηλαδή, ( ab, ) { a, { ab, }} = ab ) ορίζουμε το σύνολο {,{, }} a ab ως το Δηλαδή, το διατεταγμένο ζεύγος ( ab, ) είναι ένα ζεύγος στοιχείων α, b, όπου έχουμε καθορίσει (διατάξει) ποιο στοιχείο θα γραφεί πρώτο και ποιο θα γραφεί δεύτερο Προφανώς, το διατεταγμένο ζεύγος ( ab, ) είναι διαφορετικό από το ( ba, ), επειδή τα σύνολα a, { ab, } και b, { ab, } είναι διαφορετικά μεταξύ τους, (εκτός αν a = b) { } { } 6

7 Ορισμός Έστω Α και Β είναι δύο μη κενά σύνολα Το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών ( ab, ) με a A και b B ονομάζεται καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α και Β και συμβολίζεται με A B Δηλαδή, A B= ab, : a A και b B {( ) } Παράδειγμα Έστω A= { abc,, }, {, } A B {( a,), ( a,), ( b,), ( b,), ( c,), ( c,) } B = Το καρτεσιανό γινόμενο A B είναι = Ενώ, το καρτεσιανό γινόμενο B A είναι B A= {(, a), (, b), (, c), (, a), (, b), (, c) } Εδώ παρατηρήστε ότι, B A A B, δηλαδή, δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο καρτεσιανό γινόμενο κι επομένως, στο καρτεσιανό γινόμενο παίζει καθοριστικό ρόλο ποιο σύνολο γράφεται πρώτο και ποιο δεύτερο Επίσης, μπορούμε να δημιουργήσουμε το καρτεσιανό γινόμενο A A για κάθε μη κενό σύνολο Α Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα ορίζονται τα ακόλουθα καρτεσιανά γινόμενα A A= {( aa, ), ( ab, ), ( ba, ), ( ac, ), ( ca, ), ( bb, ), ( bc, ), ( cb, ), ( cc, )}, B B= {(,), (,), (,), (,)} Επιπλέον, αν A = m και B = n, τότε A B = mn, (βλέπε, Παράδειγμα ), εφόσον τόσοι είναι και οι τρόποι να συνδυαστούν τα m-στοιχεία του Α με τα n-στοιχεία του Β Ορισμός 3 Έστω Α και Β δύο υποσύνολα του και η συνάρτηση f : A B Το σύνολο Gf = {(, f( ) ) : A} A B ονομάζεται γράφημα ή γραφική παράσταση της f Η γραφική παράσταση G της f είναι το σύνολο των σημείων M( y, ) ( f, ( ) ) f = πάνω στο επίπεδο 0y, το οποίο ορίζεται από ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Δηλαδή, το γράφημα της f είναι το σύνολο σημείων M( y, ) του επιπέδου 0 συναποτελούν μία καμπύλη γραμμή επί του επιπέδου G f y που ικανοποιούν την εξίσωση y = f( ) και Παραδείγματα 4 i) Η γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης f ( ) = a + b, ab, είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου, που ικανοποιούν την εξίσωση y = a + b, τα οποία συναποτελούν μία ευθεία γραμμή ε, (βλέπε, Σχήμα ) Η ευθεία ε b τέμνει τον άξονα '0 στο σημείο A,0 a τέμνει τον άξονα y'0y στο σημείο B( 0, b ) Αν M(, y ) και M(, y ) δύο τυχαία σημεία επί της ε, τότε ισχύει y y = a Ο αριθμός α λέγεται κλίση (slope) ή συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε και ταυτίζεται με τον τριγωνομετρικό αριθμό της εφαπτομένης tan( ω ), όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα '0 κατά τη θετική φορά γραφής (δηλαδή, την αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού) 7

8 Αν a = 0, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f( ) = b, της οποίας η γραφική παράσταση είναι μία ευθεία παράλληλη προς τον άξονα '0, με εξίσωση y = b, η οποία τέμνει τον άξονα y'0y στο σημείο (0, b ) Σχήμα : H ευθεία ε είναι η γραφική παράσταση της f ( ) a b ii) Έστω abc,,, με a 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) = a + b + c, για κάθε, είναι μία παραβολή, (βλέπε, Σχήμα - 3) Η παραβολή τέμνει τον άξονα y'0y στο σημείο A( 0, c ) Αν υπάρχουν κοινά σημεία της παραβολής με τον άξονα '0 εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσας = b 4ac b Αν > 0, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα '0 στα σημεία X,0 a και b + X,0 a b Αν = 0, τότε η παραβολή εφάπτεται στον άξονα '0 στο σημείο X,0 a Αν < 0, η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα '0 b Η κορυφή της καμπύλης βρίσκεται στο σημείο C, a 4 a Η κυρτότητα της παραβολής εξαρτάται από το πρόσημο του a Όταν a 0, η παραβολή στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κυρτή), (βλέπε, Σχήμα ), ενώ όταν a 0, η παραβολή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλη), (βλέπε, Σχήμα 3) Η καμπυλότητα της παραβολής εξαρτάται από το πρόσημο και το μέτρο του a Για a 0 και με το μέτρο του a να αυξάνει, οι γραφικές παραστάσεις των παραβολών f( ) =, f ( 4 3 = παρουσιάζονται στο Σχήμα, (για το σχεδιασμό βλέπε function parabola) Για 8

9 a 0 και με το μέτρο του a να αυξάνει, οι γραφικές παραστάσεις των παραβολών g ( ) g ( ) 3 3 = παρουσιάζονται στο Σχήμα 3 = και g( ) =, Σχήμα : Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( ) =, f ( ) ( ) = 4 3 = και f 9

10 Σχήμα 3: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) =, g ( ) = και g ( ) = 3 3 iii) Έστω a πραγματικός αριθμός με a 0 Στο Σχήμα 4 αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της 3 συνάρτησης f ( ) = a, για θετικές και αρνητικές τιμές του a 0 και Στο Σχήμα 4(α) παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Σχήμα 4(b) η γραφική παράσταση της f( ) 3 =, ( 0 f( ) a < ) 3 =, ( 0 a > ), όταν [ 3,3], και στο (α) : για a > 0 (b) για a < 0 Σχήμα 4: H γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 3 = a 0

11 iv) Έστω a πραγματικός αριθμός με a 0 Στο Σχήμα 5 αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της ρητής a συνάρτησης f( ) =, για θετικές και αρνητικές τιμές του a 0 και {0}, (βλέπε, Παράδειγμα (vi)) Η γραφική παράσταση αποτελείται από τους δύο κλάδους ισοσκελούς υπερβολής και εξαρτάται από το 4 a Στο Σχήμα 5(α) παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =, ( a > 0 ), όταν 4 [ 5,5], ενώ στο Σχήμα 5(b) η γραφική παράσταση της f( ) =, ( a < 0 ) (α) : για a > 0 (b) για a < 0 a Σχήμα 5: H γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =

12 Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων Σύνθετη και αντίστροφη συνάρτηση Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε τις πράξεις άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο και σύνθεση μεταξύ συναρτήσεων, με τη βοήθεια των οποίων είτε παράγουμε νέες συναρτήσεις, είτε «αναλύουμε» πολύπλοκες συναρτήσεις σε επιμέρους απλούστερες συναρτήσεις Αρχικά διατυπώνουμε τον ορισμό ισότητας ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις Ορισμός Δύο συναρτήσεις f : A και g: B είναι ίσες αν i) A= B, και ii) f( ) = g ( ), για κάθε A Συμβολίζουμε την ισότητα με f = g Ορισμός Έστω δύο συναρτήσεις f : A C και g: B C με B A Η συνάρτηση f ονομάζεται επέκταση (etension) της g στο Α, ή η συνάρτηση g ονομάζεται περιορισμός (restriction) της f στο B, αν ισχύει f( ) g ( ), για κάθε B και συμβολίζεται f g B Ορισμός 3 Έστω δύο συναρτήσεις f : A και g: B με A B i) Η συνάρτηση h: A B με τύπο h ( ) = f( ) + g ( ), για κάθε A B ονομάζεται άθροισμα των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με f + g ii) Η συνάρτηση h: A B με τύπο h ( ) = f( ) g ( ), για κάθε A B ονομάζεται γινόμενο των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με f g iii) Αν c, η συνάρτηση h: A με τύπο h ( ) = cf( ), για κάθε A ονομάζεται γινόμενο του αριθμού c επί τη συνάρτηση f και συμβολίζεται c f iv) Έστω C { B: g ( ) 0} = και D= A B C Η συνάρτηση h: D, με τύπο κάθε D ονομάζεται πηλίκο των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με f g f( ) h ( ) =, για g ( ) Παραδείγματα 4 i) Έστω οι συναρτήσεις f( ) = 3,, και g ( ) =, [0, + ) Τότε ( f + g) ( ) = 3+ = + 3, για κάθε [0, + ) ii) Έστω οι συναρτήσεις f( ) =,, και g ( ) = 3, Τότε f g ( ) = ( )( 3) = 5+ 6, για κάθε ( ) iii) Έστω οι συναρτήσεις f( ) =, [, + ), και g ( ) = 5, Τότε f ( ) =, για κάθε [, 5) ( 5, + ) g 5 3 iv) Έστω f( ) = , Τότε f ( ) = , για κάθε ( ) 3

13 Παρατηρήσεις 5 i) Οι πράξεις μεταξύ δύο συναρτήσεων f : A και g: B έχουν νόημα μόνο όταν A B, ώστε να μπορούν να ορίζονται και οι δύο σε ένα κοινό σύνολο, το A B (ή σε ένα υποσύνολο της τομής) ii) Όπως ορίζεται το άθροισμα και το γινόμενο μεταξύ δύο συναρτήσεων, με ανάλογο τρόπο ορίζεται και το άθροισμα και το γινόμενο ανάμεσα σε n-συναρτήσεις Έστω fi : Ai, Ai, i=,,, n ως εξής: αν A= A A An, τότε ( f + f + + fn) ( ) = f( ) + f( ) + + fn( ), για κάθε A, ( f f fn) ( ) = f( ) f( ) fn( ), για κάθε A iii) Μία ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων (βλέπε, Παραδείγματα (v) και (vi) ) Ορισμός 6 Έστω οι συναρτήσεις f : A B και g: C D, όπου f( A) C Η συνάρτηση h: A D, για την οποία ισχύει : f g h A f( A) D, έτσι ώστε f g f( ) = y z = g( y) = g( f( ) ) = h( ), ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση ή σύνθεση (composition) των συναρτήσεων f και g και συμβολίζεται με g f, (βλέπε, Σχήμα 6) Η σύνθεση δύο συναρτήσεων αποτελεί μία πράξη μεταξύ τους Η συνθήκη f( A) C δείχνει αναγκαία προκειμένου να γίνει το «πέρασμα» από το σύνολο f( A ) στο σύνολο D μέσω της συνάρτησης g, (βλέπε, Παραδείγματα 7 (i) και (ii) ) Όπως διαπιστώνουμε από το Παράδειγμα 7 (iii), όταν ισχύει η γενικότερη συνθήκη f( A) C, μπορεί να οριστεί η σύνθεση g f των συναρτήσεων f και g, αρκεί από την απαίτηση f( A) Cνα καθοριστεί το πεδίο ορισμού της σύνθετης συνάρτησης, το οποίο είναι γενικά υποσύνολο του Α (του πεδίου ορισμού της f ) Σχήμα 6: H σύνθετη συνάρτηση h g f Τέλος, ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη σειρά γραφής της σύνθεσης των συναρτήσεων, μία και έχει σημασία ποια συνάρτηση γράφουμε πρώτη και ποια δεύτερη, επειδή η πράξη της σύνθεσης συναρτήσεων δεν επαληθεύει την αντιμεταθετική ιδιότητα, όπως επαληθεύεται στο Παράδειγμα 7 (iv) Παραδείγματα 7 D = και οι συναρτήσεις f : A B, με f( ) =, A, και g: C D, με g ( ) = +, C i) Έστω τα σύνολα A = {,,3,4}, B = { 0,,,3, 4,5}, C = { 0,,,3,5, 6} και {,,3, 4,5,0, 6,37, 40} 3

14 Επειδή { } { } { } f( A) C = 0,,,3 0,,,3,5,6 = 0,,,3 C, δημιουργούμε τη σύνθετη συνάρτηση g f : A D με τύπο ii) Έστω οι συναρτήσεις f : ( ) ( ) g f ( ) = g f( ) = g ( ) = ( ) + = +, A, με f ( ) = +, και g :[0, + ), με g ( ) = Επειδή 0 f( ), είναι φανερό ότι f ( ) = [, + ), από όπου προκύπτει f ( ) [0, + ) = [, + ) Η σύνθεση g f των συναρτήσεων f και g ορίζεται για κάθε, ως ακολούθως ( ) f g f g f g ( ) = + ( ) = ( + ) = + Συνεπώς, η σύνθετη συνάρτηση g f : έχει τύπο ( g f ) ( ) = + iii) Έστω οι συναρτήσεις f :, με f( ) =, και g :[0, + ), με g ( ) = Επειδή f ( ) =, είναι φανερό ότι η προϋπόθεση του εγκλεισμού του συνόλου τιμών της f στο πεδίο ορισμού της g, δεν επαληθεύεται Επειδή f( A) [0, + ), για να οριστεί η σύνθεση g f, πρέπει να υπολογιστεί κατάλληλο πεδίο ορισμού Α της f, ώστε f( A) [0, + ) Από την τελευταία απαίτηση έχουμε f( ) = 0, ή ισοδύναμα Επομένως, η σύνθετη συνάρτηση g f ορίζεται μόνο για [, + ), και όχι στο πεδίο ορισμού της f, οπότε έχουμε f g [, + ) [0, + ) Η σύνθεση g f των συναρτήσεων f και g ορίζεται για κάθε [, + ), ως ακολούθως f g f( ) = g( f( )) = g( ) = Συνεπώς, η σύνθετη συνάρτηση g f :[, + ) έχει τύπο ( g f )( ) = Παρατηρήστε ότι, η απαίτηση ορισμού της σύνθετης συνάρτησης g f καθόρισε το πεδίο ορισμού της να είναι το [, + ) iv) Έστω οι πολυωνυμικές συναρτήσεις f( ) =, και g ( ) = + 3 Θα ορίσουμε (αν αυτό είναι δυνατό) τις σύνθετες συναρτήσεις g f, f g και f f Επειδή f : και g :, (ως πολυωνυμικές) για τη σύνθετη συνάρτηση g f έχουμε ( ) ( ) f g f( ) = g( f( )) = g( ) = + 3 = Δηλαδή, g f : g f ( ) = 4 + 3, με ( ) Για τη σύνθετη συνάρτηση f g έχουμε ( ) g f g f g f ( ) = + 3 ( ( )) = ( + 3 ) = + 3 = Δηλαδή, f g: f g ( ) = + 6 3, με ( ) Από τους παραπάνω τύπους των σύνθετων συναρτήσεων g f, f g είναι φανερό ότι ο Ορισμός δεν επαληθεύεται, συνεπώς g f f g, από όπου συμπεραίνεται ότι δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στη σύνθεση συναρτήσεων Για τη σύνθεση συνάρτηση f f, όπου f :, έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) f f ( ) = f f( ) = f = = 4 3,, 3 v) Θεωρώντας τις συναρτήσεις f( ) = + και g ( ) = 3, > 3 μπορεί να οριστεί η σύνθεση g f, για την οποία έχουμε:, επειδή f :, και g :, 4

15 ( ) ( ) f ( ), f( ) 3 +, f( ) 3 ( g f )( ) = g( f( ) ) = = 3 f( ), f( ) > 3 3 +, f( ) > 3 Έτσι για τη σύνθετη συνάρτηση g f μπορούμε να γράψουμε: 4 + 4, , g f ( ) = = 6+, + > 3 6+, > ( ) Ορισμός 8 Έστω f : A B μία - συνάρτηση Η συνάρτηση g: B g( y) A, για την οποία ισχύει =, για κάθε y B f( ) = y, () ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση (inverse function) της f και συμβολίζεται με f Παρατηρήσεις 9 i) Θεωρώντας τις συναρτήσεις f, g του Ορισμού 8 έχουμε να σημειώσουμε ότι η g: B A είναι πράγματι συνάρτηση, γιατί, αν g( y) = και g( y) =, τότε λόγω του ορισμού της f( ) = y = f( ) και εφόσον η f είναι αμφιμονοσήμαντη (ως -) προκύπτει = Η συνθήκη της «επί» συνάρτησης για την f είναι αναγκαία, προκειμένου η «νέα» συνάρτηση g (η αντίστροφη της f ) να ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο B κι όχι σε ένα υποσύνολο του Είναι, λοιπόν, αναγκαία και ικανή η συνθήκη «η f : A B είναι μία - συνάρτηση» για την αντιστροφή της f ii) Θεωρώντας τις συναρτήσεις f : A B και g: B A του Ορισμού 8 ορίζονται οι σύνθετες συναρτήσεις g f : A A και f g: B B Πράγματι, ( g f )( ) = g( f( ) ) = g( y) = = IA( ), για κάθε A, ( f g) ( y) = f ( g( y) ) = f( ) = y = IB ( y), για κάθε y B, όπου IA, I B οι ταυτοτικές συναρτήσεις στα σύνολα Α και Β, αντίστοιχα Έτσι, g f = I A και f g = IB, απ όπου η g αποκτά το όνομά της και το συμβολισμό της (η είναι το ανάλογο του αντίστροφου ενός μη μηδενικού πραγματικού αριθμού) iii) Έστω οι - συναρτήσεις f : A B και g: B C Τότε ισχύουν οι ιδιότητες: ( f ) f και ( g f) f g Παραδείγματα 0 i) Η συνάρτηση f :, με f( ) = + 3 είναι -, (βλέπε, Παράδειγμα 9 (i) ) Επομένως, σύμφωνα με τον Ορισμό 8 υπάρχει η αντίστροφη της f Ακολουθώντας τη μεθοδολογία υπολογισμού του τύπου της αντίστροφης συνάρτησης (βλέπε, Παρατήρηση 9 (v) ) έχουμε y 3 y f( ) 3 Αλλάζοντας στον παραπάνω τύπο τα με y συμπεραίνουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση έχει τύπο 3 f ( ) = Στο Σχήμα 7 αναπαριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης f (μπλε χρώμα) της f (κόκκινο) και η διχοτόμος-ευθεία y = (μαύρο) f 5

16 Σχήμα 7: Γραφικές παραστάσεις γραμμικής συνάρτησης, αντιστρόφου της και της διχοτόμου της πρώτης γωνίας του επιπέδου ii) Έστω A {,,3 }, B { 3,5,} = = και η συνάρτηση f : A B, όπου f( ) = 5, f() = 3 και f (3) = Από τον ορισμό της η f είναι μία - συνάρτηση και η αντίστροφή της είναι η συνάρτηση όπου f ( ) f ( ) 3, 5 = = και ( ) iii) Η συνάρτηση f :[0, + ) [0, + ) με με τύπο f ( ) =, [0, + ) { } { } f : 3,5,,,3, f = 3 f( ) = είναι - συνάρτηση (γιατί;) Η αντίστροφή της ορίζεται iv) Η συνάρτηση f : [0, + ), με f( ) = δεν είναι αντιστρέψιμη, επειδή δεν είναι - Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση είναι επί (βλέπε, Παράδειγμα 7 (i) ) ωστόσο δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, επειδή για δύο διαφορετικά = και = είναι f() = = f( ), επομένως δεν ισχύει ο Ορισμός 3 Παρατήρηση i) Αν ( y, ) είναι οι συντεταγμένες του τυχαίου σημείου της γραφικής παράστασης μίας - συνάρτησης f, τότε είναι φανερό ότι y, = f, ( ) = f ( y), y, δηλαδή, οι γραφικές παραστάσεις της f και ( ) ( ) ( ) f ταυτίζονται, όταν για την μεταβλητή επί του άξονα y'0y Ενώ, αν ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης f f θεωρούμε ανεξάρτητη δίνεται θεωρώντας ως ανεξάρτητη μεταβλητή επί του άξονα '0, οι γραφικές παραστάσεις των f και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y =, διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του επιπέδου 0y, (βλέπε, Σχήμα 7) ii) Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η μεθοδολογία που ακολουθούμε κατά τον υπολογισμό της αντίστροφης συνάρτησης, όταν δίνεται μία συνάρτηση f : A : f f 6

17 Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι αμφιμονοσήμαντη, (βλέπε, Ορισμός 3) Υπολογίζουμε το σύνολο τιμών της f, το οποίο πρέπει να είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης f Υπολογίζουμε τον τύπο της f, ο οποίος προκύπτει από την επίλυση ως προς της y f( ) και αλλάζοντας στον τύπο που παράγεται τα με y όταν η συνάρτηση δίνεται με κλάδους f( ), αν A f( ) f( ), αν A Εξετάζουμε αν οι συναρτήσεις f: A και f : A είναι αμφιμονοσήμαντες, αν τουλάχιστον μία δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, η συνάρτηση f δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, συνεπώς η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται, επειδή μία από τις προϋποθέσεις του Ορισμός 3 δεν ισχύει Βρίσκουμε τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων των κλάδων, f( A ) και f( A ) Αν για τα σύνολα f( A), f( A ) ισχύει f( A) f( A), τότε η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται, επειδή δεν είναι αμφιμονοσήμαντη Αν f( A) f( A), τότε η αντίστροφη συνάρτηση f υπάρχει και ο τύπος της δίνεται f ( ), αν f( A) f ( ) f ( ), αν f( A) όπου οι τύποι των συναρτήσεων f, f υπολογίζονται, όπως αναφέρθηκε προηγούμενα, στην περίπτωση της μίας συνάρτησης Ορισμός Έστω μία συνάρτηση f : A Η συνάρτηση ονομάζεται i) άνω φραγμένη (upper bounded), όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός M, τέτοιος ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) M Ο αριθμός M ονομάζεται άνω φράγμα (upper bound) της f Το ελάχιστο από τα άνω φράγματα της συνάρτησης ονομάζεται άνω πέρας (supremum) και συμβολίζεται sup f A ii) κάτω φραγμένη (lower bounded), όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός m, τέτοιος ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) m Ο αριθμός m ονομάζεται κάτω φράγμα (lower bound) της f Το μέγιστο από τα κάτω φράγματα της συνάρτησης ονομάζεται κάτω πέρας (infimum) και συμβολίζεται inf f A iii) φραγμένη (bounded), όταν η συνάρτηση f είναι άνω και κάτω φραγμένη iv) απόλυτα φραγμένη (absolute bounded), όταν υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) a Ο αριθμός a ονομάζεται απόλυτο φράγμα της f Παρατήρηση 3 Εφαρμόζοντας τη γνωστή ιδιότητα της απόλυτης τιμής, από την οποία ισχύει για κάθε και θ 0, θ θ θ, μπορούμε να αποδείξουμε ότι μία απόλυτα φραγμένη συνάρτηση είναι και φραγμένη, επειδή το απόλυτο φράγμα είναι ένα άνω φράγμα και ο αντίθετος πραγματικός αριθμός του απολύτου φράγματος αποτελεί ένα κάτω φράγμα για τη συνάρτηση Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( ) = sin( ) είναι απόλυτα φραγμένη από το, το οποίο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι η f έχει άνω φράγμα το και κάτω φράγμα το, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (iii)) Συνεπώς, όταν χρειάζεται να «εντοπίσουμε» κάποιο φράγμα (άνω ή κάτω) μίας συνάρτησης, αρχικά μπορούμε να αναζητήσουμε την ύπαρξη ενός απόλυτου φράγματος αυτής 7

18 Αν δεν υπάρχει απόλυτο φράγμα, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν είναι άνω και κάτω φραγμένη από τον ίδιο (κατά απόλυτη τιμή) πραγματικό αριθμό, το οποίο δεν είναι ισοδύναμο με το ότι η συνάρτηση δεν είναι φραγμένη Η συνάρτηση αυτή μπορεί να είναι άνω φραγμένη ή κάτω φραγμένη ή να μην είναι φραγμένη Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( ) είναι κάτω φραγμένη από το μηδέν ή οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό, (βλέπε, Παράδειγμα 7 (i) ) ωστόσο δεν είναι άνω φραγμένη, επομένως δεν μπορεί να είναι απόλυτα φραγμένη 3 H συνάρτηση f( ) δεν είναι φραγμένη (ούτε απόλυτα, ούτε απλά), συνεπώς δεν υπάρχει κάποιο άνω ή κάτω φράγμα της (βλέπε, Παράδειγμα 4 (iii) ) Πρόταση 4 Έστω οι πραγματικοί αριθμοί k, k και οι απόλυτα φραγμένες συναρτήσεις f : A και g: A Η συνάρτηση kf + kg : A είναι απόλυτα φραγμένη Απόδειξη: Αρχικά, το άθροισμα των συναρτήσεων ορίζεται στο Α, επειδή οι f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού, (βλέπε, Ορισμός 3 (i) ) Επειδή οι συναρτήσεις είναι απόλυτα φραγμένες, σύμφωνα με τον Ορισμό (iv), υπάρχουν a, a 0 τέτοιοι ώστε f( ) a και g ( ) a, για κάθε A Επομένως, για κάθε A μπορούμε να γράψουμε: ( kf+ kg)( ) = kf( ) + kg ( ) kf( ) + kg ( ) = k f( ) + k g ( ) ka+ k a () Προφανώς k a + k a είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός, επομένως η () επαληθεύει τον Ορισμό (iv) Ορισμός 5 Έστω μία συνάρτηση f : A Η συνάρτηση ονομάζεται i) άρτια (even function), όταν το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό ως προς την αρχή 0 των αξόνων, δηλαδή, για κάθε A συνεπάγεται A, και ισχύει f( ) f( ) (3) Γεωμετρικά, η γραφική παράσταση κάθε άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'0y ii) περιττή (odd function), όταν το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό ως προς την αρχή 0 των αξόνων, δηλαδή, για κάθε A συνεπάγεται A, και ισχύει f( ) f( ) (4) Γεωμετρικά, η γραφική παράσταση κάθε περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0 των αξόνων Παραδείγματα 6 i) Οι συναρτήσεις f :, με f( ) και g : [0, ), όπου g ( ), είναι άρτιες, επειδή τα πεδία ορισμού τους είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων και επιπλέον ισχύει η (3) Επιπλέον, ο y'0y είναι άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεών τους, (βλέπε, τη G f στο Σχήμα ) Εδώ χρειάζεται να σημειώσουμε ότι μία άρτια συνάρτηση δεν είναι αμφιμονοσήμαντη, (γιατί;) 8

19 ii) Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a με a 0, οι συναρτήσεις f :, με f ( ) 3 a και a g : {0} {0}, όπου g ( ), είναι περιττές, επειδή τα πεδία ορισμού τους είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων και επιπλέον ισχύει η (4) Επιπλέον, η αρχή των αξόνων αποτελεί κέντρο συμμετρίας των γραφικών παραστάσεών τους, (βλέπε, Σχήμα 4 και Σχήμα 5, αντίστοιχα) Ορισμός 7 Έστω μία συνάρτηση f : A, για την οποία υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός T τέτοιος ώστε για κάθε A συνεπάγεται T A, και ισχύει f T f( ), (5) ονομάζεται περιοδική συνάρτηση (periodic function) και ο μικρότερος θετικός αριθμός T, για τον οποίο επαληθεύεται η ισότητα στην (5), λέγεται περίοδος της f Γεωμετρικά, η γραφική παράσταση μίας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο T αποτελείται από ένα τμήμα καμπύλης, το οποίο επαναλαμβάνεται ανά T Παράδειγμα 8 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις sin( ), cos( ) είναι περιοδικές με περίοδο T π, και οι συναρτήσεις tan( ), cot( ) είναι περιοδικές με περίοδο T π, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (ii), Παρατήρηση 56 (ii), Παρατήρηση 50 (ii), Παρατήρηση 5 (ii), αντίστοιχα) 9

20 3 Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε την έννοια της μονοτονίας μίας συνάρτησης, έννοια που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις εφαρμογές, επειδή οι συναρτήσεις που εμφανίζονται σε αυτές είναι μονότονες σε όλο το πεδίο ορισμού τους ή «κατά τμήματα» μονότονες Η δε έννοια της μονοτονίας μπορεί να δώσει πληροφορίες για τις «ακριανές τιμές» της συνάρτησης, για το σύνολο τιμών της, κα Ορισμός 3 Έστω μία συνάρτηση f : A και B A Η συνάρτηση ονομάζεται i) αύξουσα (increasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) f( ) Συμβολικά : f Σχήμα 8 (α) ii) γνήσια αύξουσα (strictly increasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) < f( ) iii) φθίνουσα (decreasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) f( ) Συμβολικά : f iv) γνήσια φθίνουσα (strictly decreasing) στο B, όταν για κάθε, B με < ισχύει f( ) > f( ) Σχήμα 8 (b) v) (γνήσια) μονότονη στο B, όταν η συνάρτηση είναι (γνήσια) αύξουσα ή (γνήσια) φθίνουσα στο B Σχήμα 8: Μονοτονία συναρτήσεων (α) : Η συνάρτηση είναι αύξουσα (b) Η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα Παρατηρήσεις 3 i) Έστω μία συνάρτηση f : A και B A Αν η συνάρτηση είναι ταυτόχρονα αύξουσα και φθίνουσα στο B, τότε αυτή είναι μία σταθερή συνάρτηση στο B ii) Έστω μία συνάρτηση f : A, και, A με Πολλές φορές, προκειμένου να προσδιοριστεί το είδος της μονοτονίας της f αντί για την εφαρμογή του Ορισμού 3, χρησιμοποιείται ο λόγος μεταβολής της f στα, A, ο οποίος ορίζεται να είναι f( ) f( ) f( ) f( ) λ ή ισοδύναμα λ (3) Επειδή στην (3) θεωρήσαμε και σε όλες τις περιπτώσεις του Ορισμού 3 υποθέτουμε < > 0, η αντιστοιχία του λόγου μεταβολής με τον Ορισμό 3 είναι : Αν λ 0, η f είναι αύξουσα 0

21 Αν λ 0, η f είναι γνήσια αύξουσα Αν λ 0, η f είναι φθίνουσα Αν λ 0, η f είναι γνήσια φθίνουσα Αν λ 0, η f είναι σταθερή iii) Χρησιμοποιώντας τον Ορισμό 3 είναι άμεσο να αποδειχθεί ότι μία συνάρτηση f : A γνήσια μονότονη στο κλειστό διάστημα A [ ab, ] είναι φραγμένη iv) Έστω μία συνάρτηση f : A, που είναι γνήσια αύξουσα σε δύο υποσύνολα A, A του πεδίου ορισμού A Δεν είναι αναγκαίο η συνάρτηση f να είναι γνήσια αύξουσα στο A A Ο ίδιος ισχυρισμός αληθεύει αντικαθιστώντας την έννοια γνήσια αύξουσα με γνήσια φθίνουσα, ή με αύξουσα, ή με φθίνουσα Παραδείγματα 33 i) Έστω η γραμμική συνάρτηση f : με f ( ) a b Αν a 0 η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα και αν a 0 η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα Πράγματι, θεωρώντας a 0 και, με <, ο Ορισμός 3 (ii) επαληθεύεται, επειδή f ( ) = a + b < a + b = f ( ), συνεπώς η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα Θεωρώντας a 0 και, με <, ο Ορισμός 3 (iv) επαληθεύεται, επειδή f ( ) = a + b > a + b = f ( ), συνεπώς η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα Επίσης, επειδή η κλίση της ευθείας (βλέπε, Παραδείγματα 4 (i) ) ταυτίζεται με τον λόγο στην Παρατήρηση 3 (ii), η απόδειξη προκύπτει άμεσα από το πρόσημο του λόγου στην (3) ii) Έστω η συνάρτηση f : A, με f( ) 4 4 Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) και γνήσια φθίνουσα στο (,] Θεωρώντας, με, αρχικά υπολογίζεται ο λόγος μεταβολής της f από την (3), που είναι ίσος με f( ) f( ) 4 4 ( 44) λ 4 4 ( )( ) 4( ) 4 Αν, [, ), τότε λ4 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) Αν, (,], τότε λ4 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο (,] Τα παραπάνω αποτελέσματα αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Κεφαλαίου 6 Πρόταση 34 Έστω μία συνάρτηση f : A γνήσια μονότονη στο B A Τότε η συνάρτηση f είναι αμφιμονοσήμαντη Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα στο B, οπότε σύμφωνα με τον Ορισμό 3 (ii) για κάθε, B με < (δηλαδή, ) ισχύει f( ) < f( ), δηλαδή, f( ) f( ) Άρα, τα δύο τυχαία, B με, επαληθεύουν τη συνεπαγωγή στον Ορισμός 3, συνεπώς η συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη Αν η συνάρτηση θεωρηθεί γνήσια φθίνουσα η απόδειξη είναι ανάλογη

22 Εφαρμογή 35 3 Έστω η συνάρτηση f : με f ( ) a, και a 0 i) Αν a 0, η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα Αν a 0, η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα ii) Η συνάρτηση f είναι αμφιμονοσήμαντη στο Απόδειξη: i) Θεωρώντας, με, αρχικά υπολογίζεται ο λόγος μεταβολής της f από την (3), που είναι ίσος με f ( ) f ( ) a a λ a (3) ( )( ) a a( ) Επειδή για κάθε,, η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική, 0, συνεπώς στην (3) το πρόσημο του λ είναι αυτό του a Αν a 0, τότε λ 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο, (βλέπε, τη γραφική παράσταση στο Σχήμα 4(α)) Αν a 0, τότε λ 0 Επομένως, σύμφωνα με την Παρατήρηση 3 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο, (βλέπε, τη γραφική παράσταση στο Σχήμα 4(b)) 3 ii) Όπως προκύπτει από το (i), η συνάρτηση f ( ) a είναι γνήσια μονότονη στο, συνεπώς το συμπέρασμα είναι άμεσο αποτέλεσμα της Πρότασης 34 Η αντίστροφη συνάρτηση μίας συνάρτησης έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με τη συνάρτηση, ιδιότητα που διατυπώνεται στην ακόλουθη πρόταση Πρόταση 36 Έστω μία συνάρτηση f : A γνήσια αύξουσα (αντίστοιχα, φθίνουσα) Η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι γνήσια αύξουσα (αντίστοιχα, φθίνουσα) f Απόδειξη: Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα, δηλαδή, για κάθε, A, με ισχύει f( ) f( ), (βλέπε, Ορισμός 3) Αν η f δεν είναι γνήσια αύξουσα, τότε υπάρχουν y, y f( A), με y y, για τις εικόνες των οποίων ισχύει f ( y) f ( y) (33) Επειδή f ( y), f ( y) A και η f είναι γνήσια αύξουσα, από την (33) έχουμε f f y f f y y y, το οποίο είναι αδύνατο, επειδή υποθέσαμε y y Άρα, η f είναι γνήσια αύξουσα Ανάλογα αποδεικνύεται και η περίπτωση κατά την οποία η f είναι γνήσια φθίνουσα Ορισμός 37 Έστω μία συνάρτηση f : A i) Αν υπάρχει 0 A τέτοιο ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 ολικό μέγιστο (global maimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) ολικού μεγίστου και f( 0) μέγιστη τιμή της f ii) Αν υπάρχει 0 A τέτοιο ώστε για κάθε A να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 ολικό ελάχιστο (global minimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) ολικού

23 ελαχίστου και f( 0) ελάχιστη τιμή της f iii) Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο μίας συνάρτησης f ονομάζονται ολικά ακρότατα (global etrema) της f iv) Αν υπάρχει 0 A και δ 0 τέτοιο ώστε για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ) να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 τοπικό μέγιστο (local maimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) τοπικού μεγίστου και f( 0) τοπικό μέγιστο της f v) Αν υπάρχει 0 A και δ 0 τέτοιο ώστε για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ) να ισχύει f( ) f( 0 ), τότε η συνάρτηση παρουσιάζει στο 0 τοπικό ελάχιστο (local minimum) To 0 ονομάζεται σημείο (ή θέση) τοπικού ελαχίστου και f( 0) τοπικό ελάχιστο της f Παράδειγμα 38 Η συνάρτηση f : A, με f( ) 4 4, έχει ολικό ελάχιστο στο 0 Το ολικό ελάχιστο είναι f () 0 Πράγματι, όπως αποδείχθηκε στο Παράδειγμα 33 (ii), η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ), οπότε για κάθε [, ) ισχύει f( ) f(), (βλέπε, Ορισμό 3 (ii) ) Επειδή f () 0, συμπεραίνουμε ότι f( ) 0, για κάθε [, ) Επιπλέον, η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο (,], οπότε για κάθε (,] ισχύει f( ) f() 0, (βλέπε, Ορισμό 3 (iv)) Συνεπώς, f( ) 0, για κάθε (,] Επομένως, για κάθε, ισχύει f( ) 0, το οποίο επαληθεύει τον Ορισμό 37 (ii) Εδώ να παρατηρήσουμε ότι το σημείο ολικού ελαχίστου της συνάρτησης f ταυτίζεται με την κορυφή της b παραβολής, που αναφέρθηκε στο Παράδειγμα 4 (ii) ως το σημείο C, = (,0) a 4 a 3

24 4 Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις Ορισμός 4 Η συνάρτηση f : (0, ), με f( ) a, για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό a, ονομάζεται εκθετική (eponential) συνάρτηση με βάση τον αριθμό a και συμβολίζεται a Όταν a η εκθετική συνάρτηση γίνεται σταθερή ίση με Μία σημαντική εκθετική συνάρτηση είναι η e (ή συμβολικά, ep( ) ) με βάση το νεπέρειο αριθμό n e lim,78 n n (βλέπε, Ενότητα 6) Παρατηρήσεις 4 i) Επειδή a 0, είναι φανερό ότι, a 0, για κάθε Συνεπώς, η εκθετική συνάρτηση είναι κάτω φραγμένη από το μηδέν (βλέπε, Ορισμός (ii) ), το δε σύνολο τιμών της a είναι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί (0, ) ii) Αποδεικνύεται ότι για κάθε, όταν a, η εκθετική συνάρτηση f( ) a είναι γνήσια αύξουσα (βλέπε, Ορισμός 3), ενώ όταν 0a, η συνάρτηση f( ) a είναι γνήσια φθίνουσα, (βλέπε, Σχήμα 9) Σχήμα 9: H γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = a, με a 0 4

25 iii) Για κάθε a 0 και, συνδυάζοντας την Πρόταση 34 με τη γνήσια μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης, (βλέπε, Παρατήρηση 4 (ii) ), αποδεικνύεται ότι f( ) a είναι αμφιμονοσήμαντη iv) Στο Σχήμα 9 αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης f( ) a, για κάθε Στην πάνω εικόνα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της f( ) a, με a, ενώ στην κάτω εικόνα η γραφική παράσταση με 0a v) Στο Σχήμα 0 παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων εκθετικών συναρτήσεων f ( ) =, ( ) f = e, και f ( ) 3 = 5 Σχήμα 0: Οι γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων f( ) = a, με a Ορισμός 43 Έστω ο θετικός πραγματικός αριθμός a Για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ορίζουμε τον αριθμό log ( y a ) y a (4) Ο αριθμός log a ( ) ονομάζεται λογάριθμος (logarithm) του με βάση τον αριθμό α Αν a 0, ο λογάριθμος log 0( ) λέγεται δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται log( ), ενώ αν a e ο λογάριθμος log e ( ) λέγεται νεπέρειος ή φυσικός λογάριθμος και συμβολίζεται ln Η συνάρτηση f : (0, ), όπου f( ) log ( ), για κάθε (0, ), (4) ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση τον α a Παρατηρήσεις 44 i) Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό a 0, η εκθετική συνάρτηση f( ) a είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του (0, ), (βλέπε, Παρατήρηση 4 (iii) ), ιδιότητες που απαιτούνται ώστε η συνάρτηση 5

26 f( ) a να είναι - στο (0, ), (βλέπε, Ορισμός 8) Τότε, σύμφωνα με τον Ορισμό 8 ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f : (0, ), και από την () μπορούμε να γράψουμε: y f ( ) y f( y) a Συνδυάζοντας την παραπάνω σχέση με την (4) συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση είναι η λογαριθμική συνάρτηση με βάση τον a 0, δηλαδή, η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης a είναι η λογαριθμική log a ( ) Άρα, η σχέση που συνδέει την εκθετική συνάρτηση με τη λογαριθμική συνάρτηση δίνεται από την (4),δηλαδή, log ( y a ) y a (43) Στο Σχήμα αναπαριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) ln και της αντίστροφής της f ( ) e Παρατηρήστε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, τη διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του επιπέδου 0y Σχήμα : H γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) ln και f ( ) e ii) Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη της εκθετικής, όπως αποδείχθηκε στο (i), έχει την ίδια μονοτονία με την εκθετική, (βλέπε, Πρόταση 36) Άρα, για κάθε (0, ), αν a, η λογαριθμική συνάρτηση f( ) log a ( ) είναι γνήσια αύξουσα, (βλέπε, Σχήμα ) αν 0a, η συνάρτηση f( ) log a ( ) είναι γνήσια φθίνουσα Για κάθε (0, ), στο Σχήμα αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) log / ( ), και της αντίστοιχης αντίστροφής της εκθετικής συνάρτησης f ( ) 6

27 Σχήμα : H γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f( ) log / ( ) = και f ( ) / iii) Συνδυάζοντας τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης από το (ii)-παραπάνω με την Πρόταση 34, συμπεραίνουμε ότι για κάθε a 0 και (0, ), η λογαριθμική συνάρτηση f( ) log a ( ) είναι αμφιμονοσήμαντη iv) Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων λογαριθμικών συναρτήσεων : f( ) log ( ), f ( ) log( ), f3( ) log /4 ( ), και f4 ( ) log /0 ( ) 7

28 Σχήμα 3: Οι γραφικές παραστάσεις λογαριθμικών συναρτήσεων f( ) = log ( ) με a 0 a v) Έστω a 0 Οι σημαντικότερες ιδιότητες των λογαρίθμων παρουσιάζονται στον Πίνακα 4 Πίνακας 4: Ιδιότητες λογαριθμικής συνάρτησης με βάση a 0 Πεδίο ορισμού log ( a a ) και log a a, 0 log ( ) log ( y) log ( y) y, 0 a a a k log ( ) klog ( ), k 0 a a log a( ) log a( y) log a( ) y, 0 y log b ( ) log a ( ) b, 0 log ( a) b 8

29 5 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Θεωρώντας γνωστούς τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μίας γωνίας από τα μαθηματικά της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μπορούμε να ορίσουμε τις αντίστοιχες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, να εξετάσουμε την ύπαρξη των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο πεδίο ορισμού τους, ή σε κατάλληλο υποσύνολό του Στη συνέχεια, εκφράζει την τιμή μίας γωνίας σε ακτίνια Ορισμός 5 Η συνάρτηση f :, της γωνίας, με f( ) sin( ), ονομάζεται συνάρτηση ημιτόνου (sine) Η γραφική παράσταση της f αναπαριστάνεται στο Σχήμα 4 Σχήμα 4: H γραφική παράσταση της συνάρτησης ημιτόνου, f( ) = sin( ) Παρατηρήσεις 5 i) Παρατηρώντας στο Σχήμα 4 συμπεραίνουμε ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημιτόνου f( ) sin( ) έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0 των αξόνων, συνεπώς, η συνάρτηση είναι περιττή, δηλαδή, ισχύει sin( ) sin( ), για κάθε, το οποίο αποδεικνύει την ιδιότητα 3, (βλέπε, Πίνακα 5) ii) Από το Σχήμα 4 είναι φανερό ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο f( ) sin( ) αποτελείται από ένα τμήμα καμπύλης, το οποίο επαναλαμβάνεται ανά T π, συνεπώς, η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι περιοδική, με περίοδο T π iii) Σύμφωνα με τον Ορισμό 5 το σύνολο τιμών της συνάρτησης ημιτόνου είναι,, δηλαδή, ένα κάτω φράγμα της είναι η τιμή - και ένα άνω φράγμα η τιμή, συνεπώς η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι φραγμένη, και μάλιστα απόλυτα φραγμένη από την τιμή, επειδή sin( ) sin( ), (βλέπε, Ορισμός (iii), (iv) και Παρατήρηση 3) π π iv) Για κάθε k, σημειώνεται με Ak kπ, kπ ένα διάστημα υποσύνολο του πραγματικού άξονα Παρατηρώντας στο Σχήμα 4, συμπεραίνουμε ότι για κάθε Ak, με k άρτιο αριθμό, η συνάρτηση ημιτόνου f( ) sin( ) είναι γνήσια αύξουσα (βλέπε, Ορισμός 3), ενώ όταν Ak, με k περιττό αριθμό, η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι γνήσια φθίνουσα 9

30 v) Επειδή η συνάρτηση f( ) sin( ) είναι γνήσια μονότονη στο εσωτερικό κάθε διαστήματος π π Ak kπ, kπ, k, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (iv) ), συμπεραίνουμε ότι ( ) sin( ) f είναι π π αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση σε κάθε διάστημα kπ, kπ, k, (βλέπε, Πρόταση 34) π π vi) Θεωρώντας k 0, η συνάρτηση ημιτόνου f( ) sin( ), για κάθε A0, είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του,, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (v) και Ορισμός 5), είναι οι ιδιότητες που απαιτούνται ώστε η συνάρτηση f( ) sin( ) να είναι - στο A 0 Τότε, σύμφωνα με τον Ορισμό π π 8 ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f :,,, και από την () μπορούμε να γράψουμε: π π f ( y),, για κάθε y, f ( ) sin( ) y (5) π π Ορισμός 53 Έστω η - συνάρτηση f :,,, όπου f( ) sin( ) Η αντίστροφη της f π π είναι f :,,, η οποία ονομάζεται τόξο ημιτόνου και συμβολίζεται με sin arc ή sin Η σχέση που συνδέει τις δύο συναρτήσεις διατυπώνεται στην (5), δηλαδή, Για παράδειγμα, arc π, arc sin() sin () sin ( ) sin( ) y y π 4 sin( ) sin ( ) Σχήμα 5: Οι γραφικές παραστάσεις τόξο ημιτόνου f ( ) = arcsin( ) = sin ( ) και ημιτόνου f ( ) sin( ) 30

31 Παρατηρήσεις 54 i) Στo Σχήμα 5 με μπλε χρώμα αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης τόξο ημιτόνου f ( ) = arcsin( ) = sin ( ), και με κόκκινο χρώμα η αντίστροφή της, f ( ) sin( ) Σχεδιασμένη με διακεκομμένη γραμμή είναι η ευθεία y, άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των παραπάνω συναρτήσεων, η συνάρτηση τόξο ημιτόνου f ( ) = arcsin( ) = sin ( ) ορίστηκε ως η ii) Επειδή, για κάθε π π αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου ορισμένο στο,, έχει την ίδια μονοτονία με τη συνάρτηση,, η συνάρτηση του ημιτόνου, (βλέπε, Πρόταση 36) Άρα, για κάθε f ( ) = arcsin( ) = sin ( ) είναι γνήσια αύξουσα, (βλέπε, Σχήμα 5) Ορισμός 55 Η συνάρτηση f :, (cosine) της γωνίας, με f( ) cos( ), ονομάζεται συνάρτηση συνημίτονου Η γραφική παράσταση της f αναπαριστάνεται στο Σχήμα 6 Σχήμα 6: H γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημιτόνου, f( ) = cos( ) Παρατηρήσεις 56 i) Παρατηρώντας στο Σχήμα 6 συμπεραίνουμε ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημιτόνου f( ) cos( ) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'0y, συνεπώς, η συνάρτηση είναι άρτια, δηλαδή, ισχύει cos( ) cos( ), για κάθε, το οποίο αποδεικνύει την ιδιότητα 3, (βλέπε, Πίνακα 5) ii) Από το Σχήμα 6 είναι φανερό ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημίτονο f( ) cos( ) αποτελείται από ένα τμήμα καμπύλης, το οποίο επαναλαμβάνεται ανά T π, συνεπώς, η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι περιοδική, με περίοδο T π iii) Σύμφωνα με τον Ορισμό 55 το σύνολο τιμών της συνάρτησης συνημιτόνου είναι,, δηλαδή, ένα κάτω φράγμα της είναι η τιμή - και ένα άνω φράγμα η τιμή, συνεπώς η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι φραγμένη, (βλέπε, Ορισμός (iii)) 3

32 iv) Παρατηρώντας στο Σχήμα 6 συμπεραίνουμε ότι, για κάθε A kπ, kπ π, k περιττός αριθμός, η συνάρτηση συνημιτόνου f( ) cos( ) είναι γνήσια αύξουσα (βλέπε, Ορισμός 3), ενώ όταν A kπ, kπ π, k άρτιος αριθμός, η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι γνήσια φθίνουσα k v) Επειδή η συνάρτηση f( ) cos( ) είναι γνήσια μονότονη στο εσωτερικό κάθε διαστήματος A kπ, kπ π, k, (βλέπε, Παρατήρηση 5 (iv) ), συμπεραίνουμε ότι f( ) cos( ) είναι k αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση σε κάθε διάστημα kπ, kπ π, k, (βλέπε, Πρόταση 34) vi) Θεωρώντας k 0, η συνάρτηση συνημιτόνου f( ) cos( ) 0 0, είναι αμφιμονοσήμαντη και επί του,, (βλέπε, Παρατήρηση 56 (v) και Ορισμός 55), είναι οι ιδιότητες που απαιτούνται ώστε η συνάρτηση f( ) cos( ) να είναι - στο A 0 Τότε, σύμφωνα με τον Ορισμό 8 ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f :, 0, π, και από την () μπορούμε να γράψουμε:, για κάθε, f ( y) 0, π Ορισμός 57 Έστω η - συνάρτηση : 0,, είναι f :, 0, π k, για κάθε A π y f( ) cos( ) y (5) f π, όπου f( ) cos( ) Η αντίστροφη της f, η οποία ονομάζεται τόξο συνημιτόνου και συμβολίζεται με arc cos ή Η σχέση που συνδέει τις δύο συναρτήσεις διατυπώνεται στην (5), δηλαδή, y y cos ( ) cos( ) cos Για παράδειγμα, arc cos() cos () 0, arc 3 3 π 6 cos( ) cos ( ) Σχήμα 7: Οι γραφικές παραστάσεις τόξο συνημιτόνου f ( ) = arccos( ) = cos ( ) και συνημιτόνου f ( ) cos( ) 3

33 Παρατηρήσεις 58 i) Στο Σχήμα 7 με μπλε χρώμα αναπαριστάνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης τόξο συνημιτόνου f ( ) = arccos( ) = cos ( ), και με κόκκινο χρώμα η αντίστροφή της, f ( ) cos( ) Σχεδιασμένη με διακεκομμένη γραμμή είναι η ευθεία y, άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των παραπάνω συναρτήσεων,, η συνάρτηση τόξο συνημιτόνου f ( ) = arccos( ) = cos ( ) ορίστηκε ως η ii) Επειδή, για κάθε αντίστροφη συνάρτηση του συνημιτόνου ορισμένο στο 0,π, έχει την ίδια μονοτονία με τη συνάρτηση του συνημιτόνου, (βλέπε, Πρόταση 36) Άρα, για κάθε,, η συνάρτηση f ( ) = arccos( ) = cos ( ) είναι γνήσια φθίνουσα, (βλέπε, Σχήμα 7) π Ορισμός 59 Έστω A kπ, k Η συνάρτηση f : A, με ονομάζεται συνάρτηση εφαπτομένης (tangent) της γωνίας A sin( ) f( ) tan( ), cos( ) Η γραφική παράσταση της f αναπαριστάνεται στο Σχήμα 8 Παρατηρήστε ότι στο σχήμα απεικονίζονται π οι κατακόρυφες ευθείες kπ, k, που είναι οι «ασύμπτωτες» της γραφικής παράστασης της f( ) tan( ), καθώς οι συναρτήσεις δεν ορίζονται στα αντίστοιχα, ωστόσο αυτή είναι η αδυναμία των σχεδιαστικών λογισμικών Σχήμα 8: H γραφική παράσταση της συνάρτησης εφαπτομένης f( ) = tan( ) 33

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση. Συγγραφή. Μαρία Αδάμ, Νικόλαος Ασημάκης, Ιωάννης Χατζάρας. Κριτικός αναγνώστης. Νικόλαος Καραμπετάκης. Συντελεστές έκδοσης

Μαθηματική Ανάλυση. Συγγραφή. Μαρία Αδάμ, Νικόλαος Ασημάκης, Ιωάννης Χατζάρας. Κριτικός αναγνώστης. Νικόλαος Καραμπετάκης. Συντελεστές έκδοσης Μαθηματική Ανάλυση Συγγραφή Μαρία Αδάμ, Νικόλαος Ασημάκης, Ιωάννης Χατζάρας Κριτικός αναγνώστης Νικόλαος Καραμπετάκης Συντελεστές έκδοσης ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ευφροσύνη-Άλκηστη Παρασκευοπούλου-Κόλλια, Μαρία

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2 - Σημειώσεις

Διάλεξη 2 - Σημειώσεις Διάλεξη 2 - Σημειώσεις Συναρτήσεις 1. Συνάρτηση: μία συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αναθέτει σε κάθε στοιχείο του συνόλου ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου. Το σύνολο καλείται πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις)

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ΟΡΙΣΜΟΣ (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση -,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ H Έννοια της Συνάρτησης H έννοια του συνόλου Ορισμός: Σύνολο είναι κάθε συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάλυση

Εισαγωγή στην ανάλυση Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3) 4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (os y+ isin y) (0.) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα