Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Transcript

1 Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά από το lisariblogspotgr)

2 A Γενικό μέρος των συναρτήσεων Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μία διαδικασία (κανόνα) με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο συμβολίζεται με () Σχόλια -Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή γράφουμε: : A () -Το γράμμα που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ το γράμμα που παριστάνει την τιμή της στο λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή - Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D 2 Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A Είναι δηλαδή: (A) { () για κάποιο A} Το σύνολο τιμών της A στο A συμβολίζεται με ( ) 3 Τι εννοούμε όταν λέμε ότι «Η συνάρτηση είναι ορισμένη σ ένα σύνολο Β»; Εννοούμε ότι το σύνολο Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της το σύνολο τιμών της (B) είναι (B) { () για κάποιο B} 4 Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Γραφική παράσταση της το σύνολο των σημείων M(()) με A με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; λέμε το σύνολο των σημείων M( ) για τα οποία ισχύει () Σχόλια -Η γραφική παράσταση της συμβολίζεται συνήθως με -Η εξίσωση () επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως η () είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της -Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής C δηλαδή παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ 7α) Έτσι ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ 7β) 7 C C Α (a) (β) - Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο (A) των τεταγμένων των σημείων της C γ) Η τιμή της στο (Σχ 8) A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας της C Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 2

3 = 8 C (Α) C ( ) C A( ( )) Α (α) (β) (γ) - Όταν δίνεται η γραφική παράσταση τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων C μιας συνάρτησης μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε α)η γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα της γραφικής παράστασης της γιατί αποτελείται από τα σημεία M ( ()) που είναι συμμετρικά των M(()) ως προς τον άξονα (Σχ 9) β)η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα από τα συμμετρικά ως προς τον άξονα των τμημάτων της που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν (Σχ ) C 9 =() Μ(()) Μ (()) =() = () =() 5 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων α) ( ) α β β) 2 ( ) α α γ) δ) ( ) α α ε) ( ) g( ) Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α) Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) α β 3 ( ) α α a> a< a= β)η πολυωνυμική συνάρτηση 2 ( ) α α 2 α> α< Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 3

4 γ) Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) α 3 α 3 α> α< δ) Η ρητή συνάρτηση ( ) α α 4 α> α< ε) Οι συναρτήσεις ( ) g( ) 5 6 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : α) () () () β) ( ) α α γ) ( ) log α Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α) Οι τριγωνικές συναρτήσεις : ( ) ημ ( ) συν ( ) εφ α 6 π 2π =ημ (α) π 2π =συν (β) π/2 π/2 3π/2 =εφ (γ) Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 4

5 β) Η εκθετική συνάρτηση ( ) α α 7 α α α> (α) <α< (β) γ) Η λογαριθμική συνάρτηση ( ) log α α 8 α α α> (α) <α< (β) 7 Πότε δύο συναρτήσεις g λέγονται ίσες ; Δύο συναρτήσεις g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α για κάθε A ισχύει () g() Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις g είναι ίσες γράφουμε g Σχόλιο: Έστω τώρα g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α Β αντιστοίχως Γ ένα υποσύνολο των Α Β Αν για κάθε g τότε λέμε ότι οι Γ ισχύει ( ) ( ) συναρτήσεις g είναι ίσες στο σύνολο Γ (Σχ 22) Ο Γ B A 22 8 Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης αφαίρεσης γινομένου πηλίκου δύο συναρτήσεων g ; Ορίζουμε ως άθροισμα g διαφορά - g γινόμενο g πηλίκο g δύο συναρτήσεων g τις συναρτήσεις με τύπους ( g)() () g() ( g)() () g() (g)() ()g() () () Το πεδίο g g() ορισμού των g g g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α Β των συναρτήσεων g αντιστοίχως ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g() δηλαδή το σύνολο { A B με g() } 9 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 5

6 Αν g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α Β αντιστοίχως τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g τη συμβολίζουμε με g τη συνάρτηση με τύπο (go)() g(()) A (A) () B g(b) 24 g g g( ()) A Σχόλια α) Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () go ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A () B} Είναι φανερό ότι η ορίζεται αν A δηλαδή αν (A) B β) Αν g είναι δύο συναρτήσεις ορίζονται οι go og τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες γ) Αν g h είναι τρεις συναρτήσεις ορίζεται η ho(go) τότε ορίζεται η (hog)o ισχύει ho(go) (hog)o Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των g h τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ ; Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε Δ με ισχύει: ( ) ( ) Η συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε Δ με ισχύει: ( ) ( ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό τότε θα λέμε απλώς ότι η είναι γνησίως μονότονη Πότε μια συνάρτηση ελάχιστο ; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο το Παρουσιάζει στο με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο o A (ολικό) ελάχιστο το ( ) ( ) όταν () ( ) για κάθε A όταν() ( ) για κάθε A A ολικό μέγιστο πότε ολικό Το (ολικό) μέγιστο το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της 2 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγεται ; Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση όταν για οποιαδήποτε A ισχύει η συνεπαγωγή: 2 Αν 2 τότε ( ) ( ) 2 Σχόλια Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 6

7 α) Μια συνάρτηση :A R συνεπαγωγή: αν ( ) ( ) τότε 2 είναι συνάρτηση αν μόνο αν για οποιαδήποτε 2 2 Είναι φανερό από τον ορισμό της συνάρτησης ότι ισχύει η ισοδυναμία : ( ) ( ) 2 2 A ισχύει η β) Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι αν μόνο αν: - Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση () έχει ακριβώς μια λύση ως προς - Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι συνάρτηση " " Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Παράδειγμα Η συνάρτηση η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη g() (Σχ 34) είναι αλλά =g() 34 3 Πότε μια συνάρτηση Μια συνάρτηση :A R της ( A) με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται πώς ; αντιστρέφεται αν μόνο αν είναι Τότε για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζεται με () () Σχόλια α) Ισχύει ότι : ( ( )) A ( ( )) ( A ) β) Η αντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της ( ) για την οποία ισχύει η ισοδυναμία: (A) γ) Αν ένα σημείο M ( ) ανήκει στη C τότε το σημείο ( ) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C αντιστρόφως Τα σημεία όμως αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γ ωνίες της Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C C - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία τις γωνίες A g()= g Έτσι (A) =() 36a που διχοτομεί B Όρια συναρτήσεων Ποια πρόταση συνδέει το όριο της στο o τα πλευρικά όρια της στο Ισχύει ότι : Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α ) ( β) τότε ισχύει η ισοδυναμία: Τους αριθμούς lim () lim ( ) lim () lim () lim ( ) αριστερό δεξιό όριο της αντίστοιχα τους λέμε πλευρικά όρια της στο συγκεκριμένα o ; Παρατηρήσεις στο όριο Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 7

8 α) Ισχύει ότι : (α) (β) (γ) (δ) lim () lim () lim lim c c β) Για να αναζητήσουμε το όριο της στο lim (() ) lim ( h) h πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο δηλαδή η να είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (α ) ( β) ή (α ) ή ( β) Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ 39 α 39β) ή να μην ανήκει σ αυτό Η τιμή της στο διαφορετική από αυτό όταν υπάρχει μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο () () () 39 (Σχ 39α) ή () () () (a) () (β) (γ) 2 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση έχει κοντά στο Μια συνάρτηση λέμε ότι έχει κοντά στο o μια ιδιότητα Ρ ; μια ιδιότητα Ρ όταν ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: α) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α ) ( β) στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ β) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α ) έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( β) γ) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( β) έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α ) 3 Να γράψετε τις ιδιότητες των ορίων ορίου στο o α) Θεώρημα ο (πρόσημο συναρτήσεων όρια) Αν Αν lim () τότε () κοντά στο lim () τότε () κοντά στο β) Θεώρημα 2ο (διάταξη όρια) Αν οι συναρτήσεις g έχουν όριο στο ισχύει () κοντά στο τότε lim () lim g() g() γ) Θεώρημα 3ο (πράξεις συναρτήσεων όρια) Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων g στο τότε: lim (() g()) lim () lim g() Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 8

9 2 lim (κ()) κ lim () για κάθε σταθερά κ R 3 lim (() g()) lim () lim g() ισχύει για περισσότερες από δυο συναρτήσεις lim () () 4 lim εφόσον g() lim g() lim g() ν lim[ ( )] lim ( ) ν * 5 lim () lim () k 6 lim () k lim () εφόσον () κοντά στο δ) Θεώρημα 4ο Έστω το πολυώνυμο Έστω η ρητή συνάρτηση Q( ) Θα είναι τότε P() α α α α ν ν ν ν R τότε: lim P() P( ) P() () όπου P() Q() πολυώνυμα του Q() P() P( ) όπου Q( ) lim Q() Q( ) R με ε) Θεώρημα 5ο Κριτήριο παρεμβολής Έστω οι συναρτήσεις τότε gh Αν h() () g() κοντά στο lim h() lim g() lim () στ) Ισχύουν: (τριγωνομετρικά όρια) ημ για κάθε R Η ισότητα ισχύει μόνο όταν lim ημ ημ lim συν συν ημ συν lim lim 4 Έστω τώρα το πολυώνυμο Να αποδείξετε ότι: Απόδειξη lim P() P( ) P() α α α α Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων έχουμε: ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν lim P() lim (α α α ) lim (α ) lim (α ) lim α ν ν ν ν ν ν ν ν α lim α lim lim α α α α P( ) ν ν P() 5 Έστω η ρητή συνάρτηση () όπου P() Q() πολυώνυμα του Q() P() P( ) Να δείξετε ότι: lim όπου Q( ) Q() Q( ) με Q( ) Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 9

10 Απόδειξη P() lim P() P( ) lim () lim εφόσον Q() lim Q() Q( ) Q( ) 6 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης lim (g()) Θέτουμε u g() τότε εργαζόμαστε ως εξής: 2 Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το 3 Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το Αν g() u κοντά στο u lim g() lim (u) uu o ; g στο σημείο τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με δηλαδή ισχύει: lim ( g( )) lim ( u ) uu 7 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o δηλαδή το Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι για τα άπειρα όρι α συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής ( ) ( ) ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: α) β) γ) Αν δ) Αν ε) Αν lim () lim () lim () lim () lim () lim () στ) Αν ζ) Αν η) Αν lim () τότε () κοντά στο lim () τότε lim () ή τότε ενώ αν lim ( ()) ενώ αν lim () lim () () κοντά στο ενώ αν τότε lim () () κοντά στο τότε lim () ή τότε lim () τότε lim k lim () () θ) i) lim γενικά lim 2 2 ii) lim N lim 2ν 2 v * lim () τότε () κοντά στο lim () τότε lim () lim () v ι) Για το άθροισμα το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: lim ( ()) ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος) Αν στο το όριο της είναι: α α - - το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: - - ; ; Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ

11 ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινομένου) Αν στο το όριο της είναι: α> α< α> α< το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: ; ; Σχόλιο Οι παρακάτω μορφές λέγονται απροσδιόριστες μορφές: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Να γράψετε τις ιδιότητες για το όριο στο άπειρο α) Για τον υπολογισμό του ορίου στο ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: ν lim lim ν lim ν v * αν ν άρτιος - αν ν περιττός β) Για την πολυωνυμική συνάρτηση lim P() lim ( ) γ) Για τη ρητή συνάρτηση lim () lim lim ν v * P() με lim P() lim ( ) ισχύει: () ισχύει: lim () lim δ) Για το όριο εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης ισχύει ότι Αν (Σχ 6) τότε 6 lim limlog lim lim log =a =log a Αν (Σχ 6) τότε lim limlog lim lim log =a 6 =log a Σχόλια Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( ) Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( ) Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ

12 Για τα όρια στο ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή με την προϋπόθεση ότι: Γ Συνέχεια συνάρτησης Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου ορισμού της; του πεδίου ορισμού της όταν lim () ( ) Σχόλια α) Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο πεδίου ορισμού της όταν: i) Δεν υπάρχει το όριό της στο ii) Υπάρχει το όριό της στο ή αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της ( ) στο σημείο β) Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της θα λέγεται συνεχής συνάρτηση γ) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής αφού για κάθε Κάθε ρητή συνάρτηση P() P( ) lim Q() Q( ) P Q είναι συνεχής αφού για κάθε του ισχύει lim P() P( ) του πεδίου ορισμού της ισχύει Οι συναρτήσεις ( ) ημ g( ) συν είναι συνεχείς αφού για κάθε lim ημ ημ lim συν συν Οι συναρτήσεις ( ) α g( ) log α είναι συνεχείς α ισχύει 2 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια τις πράξεις συναρτήσεων Για τη συνέχεια τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Αν οι συναρτήσεις g είναι συνεχείς στο τότε είναι συνεχείς στο οι συναρτήσεις: g c όπου c g g με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 3 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο η συνάρτηση g είναι συνεχής στο ( ) τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( ) πότε στο κλειστό διάστημα [ ; ] Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 2

13 Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα κάθε σημείο του ( ) Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα κάθε σημείο του ( ) επιπλέον lim () ( ) Σχόλιο Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής ( αβ ) lim () ( ) ( ] όταν είναι συνεχής σε [ αβ ] [ ) όταν είναι συνεχής σε 5 Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα η είναι συνεχής στο ( ) ( ) [ ] τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον επιπλέον ισχύει ( ) τέτοιο ώστε Δηλαδή υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης Γεωμετρική ερμηνεία Αν συνεχής συνάρτησης στο [ ] τα σημεία A( ( )) B( ( )) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα τότε η C τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο Μ( ) με τετμημένη Σχόλια ( ) [ ] ( ) () Αν: στο ανοικτό διάστημα Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ δε μηδενίζεται σ αυτό τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της (β) a β (a) Α(α(α)) ( ) 64 B(β(β)) Θεώρημα 6 Να διατυπώσετε να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ ] Αν: η είναι συνεχής στο ( ) ( ) [ ] τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των ( ) ώστε ( ) ( ) Γεωμετρική ερμηνεία Αν συνεχής συνάρτησης στο [ ] τα σημεία A( ( )) B( ( )) βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας =η τότε η C τέμνει την ευθεία =η σε ένα τουλάχιστον σημείο Μ( η) με τετμημένη ( ) υπάρχει ένας τουλάχιστον ( ) τέτοιος (β) η (a) a Α(α(α)) β 67 B(β(β)) =η Απόδειξη Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 3

14 Ας υποθέσουμε ότι ( ) ( ) Τότε θα ισχύει ( ) ( ) (Σχ 67) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() () [ ] παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο g( )g( ) [ ] aφού g( ) ( ) g( ) ( ) Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει τέτοιο ώστε g( ) ( ) οπότε ( ) ( ) 67 (β) B(β(β)) η =η (a) Α(α(α)) a β Σχόλια α) Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [ ] τότε όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές (β) η (a) 68 =η β) Η εικόνα ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα γ) Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( ) ( ) τότε το όπου lim () B lim () Αν όμως η είναι γνησίως φθίνουσα συνεχής στο ( ) τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (BA) a β 7 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [ ] τότε η παίρνει στο [ ] ελάχιστη τιμή m μια μέγιστη τιμή Μ μια Δηλαδή υπάρχουν [ ] τέτοια ώστε αν m ( ) M ( ) να ισχύει m ( ) M για 2 2 κάθε [ αβ ] Σχόλιο Από το παραπάνω θεώρημα το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το είναι το κλειστό διάστημα [ mm ] όπου m η ελάχιστη τιμή Μ η μέγιστη τιμή της [ ] Δ Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο υπάρχει το του πεδίου ορισμού της αν μόνο αν () ( ) lim είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο συμβολίζεται με ( ) Δηλαδή: Σχόλια () ( ) ( ) lim Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 4

15 α) Αν στην ισότητα Πολλές φορές το συμβολίζεται με () ( ) ( ) lim h ( ) θέσουμε συμβολίζεται με h τότε έχουμε ενώ το οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο Ο συμβολισμός β) Αν το στο ( ) είναι μεταγενέστερος οφείλεται στον Lagrange ( h) ( ) ( ) lim h h ( h) ( ) ( ) ( ) lim με d ( ) d ή d ( ) d είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της τότε η είναι παραγωγίσιμη () ( ) αν μόνο αν υπάρχουν στο τα όρια lim () ( ) lim είναι ίσα 2 Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της A( ( )) ; Έστω μια συνάρτηση A( ( )) ένα σημείο της C Αν υπάρχει το ένας πραγματικός αριθμός λ τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της διέρχεται από το Α έχει συντελεστή διεύθυνσης λ C ( ) ( ) lim είναι στο σημείο της Α την ευθεία ε που Οπότε εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο της A( ( )) είναι: Σχόλιο ( ) ( )( ) με lim ( ) ( ) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της A( ( )) είναι η παράγωγος της στο C Δηλαδή μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο o ( ) ( )( ) οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε γίνεται: β) Την κλίση ( ) της εφαπτομένης ε στο A( ( )) θα τη λέμε κλίση της στο C στο Α ή κλίση της γ) Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης S() t τη χρονική στιγμή t S t t Δηλαδή είναι o o Θεώρημα 3 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό Απόδειξη Για έχουμε () ( ) () ( ) ( ) οπότε θα είναι: () ( ) () ( ) lim [() ( )] lim ( ) lim lim ( ) αφού η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως Σχόλιο ( ) lim () ( ) δηλαδή η είναι συνεχής στο Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 5

16 α) Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει: Η ( ) αυτό αφού: είναι συνεχής στο αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ ( ) () ( ) () lim lim ενώ lim lim β) Ισχύει όμως ότι : Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 4 Ορισμός 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται: α) Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β) Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αβ ) γ) Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ ] αβ Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Θα λέμε ότι: α) H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή απλά παραγωγίσιμη όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο β) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( ) σε κάθε σημείο ( ) αβ A του πεδίου ορισμού της όταν είναι παραγωγίσιμη γ) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ ] του πεδίου ορισμού της όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( ) επιπλέον ισχύει: () ( ) lim () ( ) lim Ορισμός 5 Τι ονομάζουμε πρώτη δεύτερη γενικά νιοστή παράγωγο μίας συνάρτησης ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α A τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι με παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο ( ) ορίζουμε τη συνάρτηση : A R η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της H πρώτη παράγωγος ( ) της συμβολίζεται: ( ( )) Αν υποθέσουμε ότι το d d που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων τότε η παράγωγος της λέγεται δεύτερη παράγωγος της συμβολίζεται με Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της με 3 συμβολίζεται με v v Σχόλιο v 3 αν υπάρχει Δηλαδή Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης με βάση τον ορισμό που δώσαμε δεν είναι πάντα εύκολη Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων (αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά) v 6 Να αποδείξετε ότι : α) Αν () c με c τότε () β) Αν () τότε () γ) Αν () με {} τότε () δ) Αν () τότε () 2 Απόδειξη Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 6

17 α) Αν β) Αν δηλαδή (c) Επομένως γ) Αν τότε για τότε για () ( ) ισχύει: ισχύει ότι : lim lim () ( ) c c () ( ) δηλαδή () Επομένως () ( ) lim τότε για ισχύει: 2 () ( ) ( )( ) 2 () ( ) lim lim( ) Επομένως : δηλαδή δ) Αν ( ) ( ) τότε για ισχύει: 2 ( ) ( ) δηλαδή () ( ) οπότε : () ( ) lim lim 2 (Σημείωση: η () δεν είναι παραγωγίσιμη στο ) Σχόλια Τύποι Έστω συνάρτηση () ημ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει () συν δηλαδή (ημ) συν Έστω η συνάρτηση () συν Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει () ημ δηλαδή (συν) ημ Έστω η συνάρτηση () 2 Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει e (e ) e () e δηλαδή Έστω η συνάρτηση () ln Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ισχύει δηλαδή (ln) () 7 Θεώρημα (Παράγωγος αθροίσματος) Αν οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( g) ( ) ( ) g ( ) Απόδειξη τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ( g)() ( g)( ) () g() ( ) g( ) () ( ) g() g( ) Για ισχύει: Επειδή οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες στο έχουμε: ( g)() ( g)( ) () ( ) g() g( ) lim lim lim ( ) g ( ) Σημείωση δηλαδή ( g) ( ) ( ) g ( ) Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 7

18 Αν οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ τότε για κάθε ( g) ( ) ( ) g( ) ισχύει: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Δηλαδή αν 2 k είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) παραγωγίσιμες στο Δ τότε 2 k 2 k 8 Θεώρημα (Παράγωγος γινομένου) Αν οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( g) ( ) ( )g( ) ( )g ( ) τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Σημείωση a) Αν οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ τότε για κάθε ισχύει: ( g) ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) β) Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Έτσι για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: [( ) ] ( ) ( ) ( ( ) g( ) h( )) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) [ ( ) g( ) ( ) g( )] h( ) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) ( ) g( ) h( ) γ) Αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ παραπάνω θεώρημα έχουμε: (c()) c () 9 Θεώρημα (Παράγωγος πηλίκου) Αν οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες στο παραγωγίσιμη στο ισχύει: g( ) c ( )g( ) ( )g ( ) ( ) 2 g [g( )] επειδή (c) τότε η συνάρτηση σύμφωνα με το g είναι Σημείωση Αν οι συναρτήσεις g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ για κάθε ( ) g( ) ( )g ( ) κάθε έχουμε: ( ) 2 g [ g ( )] ισχύει g() τότε για Έστω η συνάρτηση () δηλαδή ( ) Απόδειξη Πράγματι για κάθε () * Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο * έχουμε: () ( ) ( ) 2 2 ( ) * ισχύει Έστω η συνάρτηση () εφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο { συν } ισχύει () 2 συν δηλαδή (εφ) 2 συν Απόδειξη Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 8

19 Πράγματι για κάθε { συν } έχουμε: 2 2 ημ (ημ) συν ημ(συν) συνσυν ημημ συν ημ (εφ) συν συν συν συν συν Σημείωση Τύπος Έστω η συνάρτηση () σφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο { ημ } ισχύει () δηλαδή (σφ) 2 ημ 2 ημ 2 Θεώρημα Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο είναι παραγωγίσιμη στο η είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει ( g) ( ) (g( )) g ( ) g( ) τότε η συνάρτηση g Σχόλια Γενικά αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ η είναι παραγωγίσιμη στο g( ) τότε η συνάρτηση g Δηλαδή αν u g( ) d d du έχουμε τον τύπο d du d είναι παραγωγίσιμη στο Δ ισχύει ( ( g( ))) ( g( )) g( ) τότε ( ( u )) u( u ) Με το συμβολισμό του Leibniz αν (u) που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας Το σύμβολο d d u g() δεν είναι πηλίκο Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεται ως πηλίκο πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα 3Θεώρημα Να αποδείξετε ότι : α) Η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ισχύει () β) Η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει γ) Η συνάρτηση () ln * είναι παραγωγίσιμη στο Απόδειξη α) Πράγματι αν e ln θέσουμε u ln () ln * ισχύει (ln ) u τότε έχουμε e Επομένως u u ln (e ) e u e ln β) Πράγματι αν e u θέσουμε u ln τότε έχουμε e Επομένως u u ln (e ) e u e ln ln γ) Πράγματι αν τότε αν τότε ln ln( ) (ln ) (ln) ενώ οπότε αν θέσουμε ln( ) u έχουμε Επομένως (lnu) u ( ) άρα (ln ) u Δ 2 Διαφορικός λογισμός (Βασικά θεωρήματα-συνέπειες ΘΜΤ - Μονοτονία) lnu 4 Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους ως προς το μέγεθος για αν () είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση; Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 9

20 Αν δύο μεταβλητά μεγέθη παραγωγίσιμη στο παράγωγο ( ) συνδέονται με τη σχέση () όταν είναι μια συνάρτηση τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο Σχόλια α) Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t o είναι η παράγωγος υ (t o) της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t o Η παράγωγος υ (t o) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t o συμβολίζεται με α(t o) δηλαδή: α(t o)= υ (t o)=s (t o) β) Στην οικονομία το κόστος παραγωγής Κ η είσπραξη Ε το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος Έτσι η παράγωγος Κ ( o) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα όταν = o λέγεται οριακό κόστος στο o Ανάλογα ορίζονται οι έννοιες οριακή είσπραξη στο o οριακό κέρδος στο o την 5 Να διατυπώσετε τι θεώρημα του Rolle να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Μ(ξ(ξ)) Το θεώρημα του Rolle διατυπώνεται ως εξής: Αν μια συνάρτηση είναι: Α(α(α)) συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( ) ( ) ( ) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε ( ) Γεωμετρική ερμηνεία Αν η C είναι μία συνεχής γραμμή από το σημείο A( ( )) στο B( ( )) η είναι παραγωγίσιμη στο ( ) το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι παράλληλο στον άξονα υπάρχει μία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη της C στο σημείο Μ(ξ (ξ)) με τετμημένη ( ) 8 Β(β(β)) α ξ ξ β τότε 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Το θεώρημα της μέσης τιμής διατυπώνεται ως εξής: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( ) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε: ( ) ( ) ( ) Γεωμετρική ερμηνεία Αν η C είναι μία συνεχής γραμμή από το σημείο A( ( )) στο B( ( )) η είναι παραγωγίσιμη στο ( ) τότε υπάρχει μία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη τ ης C στο σημείο Μ(ξ (ξ)) που είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ με ( ) Ο M(ξ(ξ)) A(a(a)) Β(β(β)) a ξ ξ β 2 7 Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η είναι συνεχής στο Δ () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει ( ) ( ) 2 2 Πράγματι Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 2

21 Αν Αν 2 2 Επομένως υπάρχει τότε προφανώς ( ) ( ) 2 τότε στο διάστημα ( ) 2 [ ] 2 τέτοιο ώστε η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής ( ) ( ) 2 ( ) () Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του 2 Δ ισχύει ( ) οπότε λόγω της () είναι ( ) ( ) Αν 2 ( ) ( ) Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις είναι ( ) ( ) τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι 8 θεώρημα Έστω δυο συναρτήσεις g οι g είναι συνεχείς στο Δ ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν () g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε Η συνάρτηση g να ισχύει: () g() c είναι συνεχής στο Δ για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει ( g) () () g () Επομένως σύμφωνα με γνωστό θεώρημα η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Δ Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει () g() c οπότε () g() c Σχόλιο Τα παραπάνω θεωρήματα (3 4) ισχύουν σε διάστημα όχι σε ένωση διαστημάτων =g()+c =g() 22 9Πρόταση (χωρίς απόδειξη) Αν για μια συνάρτηση ισχύει ότι ( ) ( ) για κάθε R τότε () ce για κάθε Σημείωση: Αντί του μπορούμε να έχουμε τυχαίο διάστημα Δ 2 θεώρημα Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι () Έστω με Θα δείξουμε 2 2 ότι ( ) ( ) Πράγματι στο διάστημα [ ] η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως 2 2 υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε 2 ( ) ( ) 2 ( ) οπότε έχουμε ( ) ( ) ( )( ) Επειδή ( ) έχουμε ( ) ( ) οπότε ( ) ( ) Στην περίπτωση που είναι () εργαζόμαστε αναλόγως Σχόλιο Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή αν η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ Δ 3 Διαφορικός λογισμός (ακρότατα- σημεία καμπής ασύμπτωτες- κανόνες de L Hospital) 2 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο ελάχιστο; A τοπικό μέγιστο πότε τοπικό Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 2

22 α) Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο τέτοιο ώστε: () ( ) για κάθε A ( ) Το μεγίστου ενώ το ( ) τοπικό μέγιστο της β) Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο τέτοιο ώστε: () ( ) για κάθε A ( ) Το ελαχίστου ενώ το ( ) τοπικό ελάχιστο της A A τοπικό μέγιστο όταν υπάρχει λέγεται θέση ή σημείο τοπικού τοπικό ελάχιστο όταν υπάρχει λέγεται θέση ή σημείο τοπικού Σχόλιο α) Τα τοπικά μέγιστα τοπικά ελάχιστα της λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής ενώ τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων Το μέγιστο το ελάχιστο της λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής β) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο γ ) Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα ενώ αν παρουσιάζει ελάχιστο τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα δ) Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης Θεώρημα Fermat 22 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό να αποδείξετε ότι: τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο υπάρχει τέτοιο ώστε: ( ) () ( ) για κάθε ( ) () Επειδή επιπλέον η είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει () ( ) () ( ) ( ) lim lim Επομένως () ( ) αν ( ) τότε λόγω της () θα είναι οπότε θα έχουμε αν ( ) τότε λόγω της () θα είναι () ( ) οπότε θα έχουμε Έτσι από τις (2) (3) έχουμε ( ) Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη Γεωμετρική ερμηνεία Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο εφαπτομένη της C στο σημείο Μ( o ( o)) είναι παράλληλη στον άξονα o ( ) () ( ) ( ) lim () ( ) ( ) lim ( ) είναι παραγωγίσιμη στο o τότε η (2) (3) 23 α) Ποια λέγονται κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ; β) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις ακροτάτων μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ α) Κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ λέγονται τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν β) Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται 2 Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) 24 Πώς βρίσκουμε τα ολικά ακρότατα σε μια συνεχή συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα; Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 22

23 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα κλειστό διάστημα [ ] όπως γνωρίζουμε από το Θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής η παρουσιάζει μέγιστο ελάχιστο Για την εύρεση του μέγιστου ελάχιστου της συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της 2 Υπολογίζουμε τις τιμές της στα σημεία αυτά στα άκρα των διαστημάτων 3 Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο η μικρότερη το ελάχιστο της 25 Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( ) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του όμως η είναι συνεχής i) Αν () στο ii) Αν () iii) Aν η () στο ( ) ( ) () () στο στο ( ) ( ) τότε το τότε το διατηρεί πρόσημο στο ( ) ( ) τότε το γνησίως μονότονη στο ( ) (Σχ 35γ) Απόδειξη i) Επειδή () ( ) ( ) ( ) στο οποίο είναι τοπικό μέγιστο της (Σχ 35α) είναι τοπικό ελάχιστο της (Σχ 35β) δεν είναι τοπικό ακρότατο η είναι για κάθε ( ) η είναι συνεχής στο η είναι γνησίως αύξουσα στο ( ] Έτσι έχουμε () ( ) για κάθε συνεχής στο [ ) (2) ( ] η είναι γνησίως φθίνουσα στο () Επειδή () [ ) για κάθε ( ) Έτσι έχουμε: () ( ) για κάθε η είναι > < > < 35a ( ) ( ) a β a β Επομένως λόγω των () (2) ισχύει: () ( ) για κάθε ( ) που σημαίνει ότι το μέγιστο της στο ( ) ii) Εργαζόμαστε αναλόγως άρα τοπικό μέγιστο αυτής ( ) είναι 35β < > < > a β a β iii) Έστω ότι () για κάθε ( ) ( ) > > 35γ > > a β a β Επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα ( ] [ ) Επομένως για ισχύει ( ) ( ) ( ) Άρα το ( ) δεν είναι τοπικό 2 2 Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 23

24 ακρότατο της Θα δείξουμε τώρα ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ( ) Πράγματι έστω ( ) με 2 2 Αν ( ] επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο 2 Αν [ ) επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο 2 ( ] [ ) Τέλος αν τότε όπως είδαμε ( ) ( ) ( ) 2 2 θα ισχύει ( ) ( ) 2 θα ισχύει ( ) ( ) 2 Επομένως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει ( ) ( ) οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ( ) 2 Ομοίως αν () για κάθε ( ) ( ) 26 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ; Η συνάρτηση λέγεται κυρτή ή ότι στρέφει τα κοίλα άνω σ ένα διάστημα Δ όταν είναι συνεχής στο Δ η είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συνάρτηση λέγεται κοίλη ή ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο Δ αν είναι συνεχής στο Δ η είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Σχόλιο α) Για να δηλώσουμε στον πίνακα μεταβολών ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (αντιστοίχως κοίλη χρησιμοποιούμε ) β) Αποδεικνύεται ότι αν μια συνάρτηση είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ ένα διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω (αντιστοίχως πάνω ) από τη γραφική της παράσταση με εξαίρεση το σημείο επαφής τους 27 Να διατυπώσετε το θεώρημα που αφορά τα κοίλα το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της Έστω μια συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ δυο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Αν () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είναι κυρτή στο Δ Αν () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είναι κοίλη στο Δ Σχόλιο Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση 4 3 ( ) (Σχ 42) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο η ( ) () ( ) 4 4 είναι κυρτή στο Εντούτοις η ( ) δεν είναι θετική στο αφού = Πότε το σημείο A( ( )) λέγεται σημείο καμπής μιας συνάρτησης ; Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( ) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Το σημείο A( ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της όταν: η είναι κυρτή στο ( ) κοίλη στο ( ) ή αντιστρόφως η C έχει εφαπτομένη στο σημείο A( ( )) Σχόλιο Όταν το A( ( )) είναι σημείο καμπής της λέγεται θέση σημείου καμπής Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της C τότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο καμπή το C διαπερνά την καμπύλη 29 Ποιο θεώρημα αφορά τα σημεία καμπής μιας δυο φορές παραγωγίσιμης συνάρτησης ; Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 24

25 Αν το A( ( )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη τότε ( ) 3 Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ; i)τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η μηδενίζεται ii)τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η Μέθοδος-Κριτήριο: 3 Πώς καταλήγουμε στο ποιες από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης αποτελούν τελικά σημεία καμπής της; Έστω μια συνάρτηση oρισμένη σ ένα διάστημα ( ) η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ορίζεται εφαπτομένη της C στο A( ( )) τότε το A( ( )) είναι σημείο καμπής της C ( ) Αν 32 Πότε λέμε ότι η ευθεία Η ευθεία είναι ή είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C αν ένα τουλάχιστον από τα όρια C ; lim () lim () 33 Πότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της C στο (αντιστοίχως στο ) Η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της C στο (αντιστοίχως στο ) όταν (αντιστοίχως lim () ) 34Πότε η ευθεία Η ευθεία (αντιστοίχως αν λέγεται ασύμπτωτη της C στο αντιστοίχως στο λέγεται ασύμπτωτη της C στο lim [() ( )] ) (αντιστοίχως στο ) αν ; lim () lim [() ( )] 35 Με ποιες σχέσεις(τύπους) βρίσκουμε τις ασύμπτωτες της μορφής ; Η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο αντιστοίχως στο αν () μόνο αν lim () lim [() ] αντιστοίχως: lim lim [() ] Χρήσιμα σχόλια Αποδεικνύεται ότι: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες Οι ρητές συναρτήσεις P() με βαθμό του αριθμητή P() μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του Q() βαθμού του παρονομαστή δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες 2Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης αναζητούμε: Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται Στα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν είναι συνεχής Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 25

26 Στο ( ) εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( ) αντιστοίχως 36Να διατυπώσετε τους κανόνες de L Hospital oς Κανόνας: Αν lim () υπάρχει το 2oς Κανόνας: Αν lim () υπάρχει το Σχόλια: lim g() { } g'() σε περιοχή του () lim (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε: g () lim g() () lim g () Ο 2ος κανόνας ισχύει για τις μορφές () lim g() { } g'() () lim g () σε περιοχή του () (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε: lim lim g() () g () o με εξαίρεση ίσως το o o με εξαίρεση ίσως το Οι παραπάνω κανόνες ισχύουν για πλευρικά όρια μπορούμε αν χρειάζεται να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους Ε Ολοκληρωτικός λογισμός Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ; Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ ισχύει: F'() () για κάθε o 2 Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ να αποδείξετε ότι: Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() F() c c είναι παράγουσες της στο Δ Κάθε άλλη παράγουσα της στο Δ παίρνει τη μορφή G() F() c c G Κάθε συνάρτηση της μορφής G() F() c όπου c είναι μια παράγουσα της στο Δ αφού G'() (F() c)' F '() () για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε για κάθε ισχύουν οι σχέσεις F () () G () () οπότε: G'() F'() για κάθε Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε G() F() c για κάθε 3 Πίνακας των παραγουσών βασικών συναρτήσεων Α/Α Συνάρτηση Παράγουσες G c c 2 G c c 3 4 a G G ln c c a c c a 5 G c c 6 G c c 7 2 G c c Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 26

27 8 2 e 9 a G c c G e c c a ln a c c G Σχόλια: α) Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του που εμφανίζονται έχουν νόημα β) Αν οι συναρτήσεις F G είναι παράγουσες των g αντιστοίχως ο λ είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε: i) Η συνάρτηση F +G είναι μια παράγουσα της συνάρτησης + g ii) Η συνάρτηση λf είναι μια παράγουσα της συνάρτησης λ 4Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης [ ] σε ένα κλειστό διάστημα Έστω μια συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς στο [ ] Με τα σημεία 2 χωρίζουμε το διάστημα [ ] μήκους σε ν ισομήκη υποδιαστήματα Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα [ ] για κάθε {2 } σχηματίζουμε το άθροισμα S ( ) ( ) ( ) ( ) 2 το οποίο συμβολίζεται σύντομα ως εξής: S ( ) Το όριο του αθροίσματος S δηλαδή το ν lim ( ) ξ Δ υπάρχει στο είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σ ημείων κ ν κ Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης από το α στο β συμβολίζεται με ()d lim ( ) ()d διαβάζεται ολοκλήρωμα της από το α στο β Δηλαδή a= ξ ξ k 2 v- ξ v v=β ξ 2 =() Σχόλιο: Το σύμβολο οφείλεται στον Leibniz ονομάζεται σύμβολο ολοκλήρωσης Αυτό είναι επιμήκυνση του αρχικού γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα) Οι αριθμοί α β ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης Η έννοια όρια εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του 2ου κεφαλαίου Στην έκφραση ( ) d το γράμμα είναι μια μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα Έτσι για παράδειγμα οι εκφράσεις ( ) d () t dt συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα είναι πραγματικός αριθμός σε αντίθεση με το ( ) d που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 27

28 Γεωμετρική ερμηνεία (ορισμένου ολοκληρώματος) Αν ( ) E( ) για κάθε [ ] τότε το ολοκλήρωμα ( ) d δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της τον άξονα τις ευθείες (Σχ ) Δηλαδή =() Ω α β Αν ( ) E τότε ( ) d 4 Να γράψετε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος α) Ισχύει ότι: ()d ()d ()d ()d Αν () για κάθε [ ] τότε ()d β) Έστω g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο ()d ()d [ ] [() g()]d ()d g()d γενικά [ () g()]d ()d g()d γ) Αν η είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ τότε ισχύει ()d ()d ()d Τότε ισχύουν: Σημείωση: Αν ( ) (Σχ 3) η παραπάνω ιδιότητα δηλώνει ότι: ( ) ( ) ( 2) Ω =() Ω2 3 δ) Έστω μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [ ] Αν () για κάθε [ ] η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό τότε ()d α γ β 5 Έστω F() ()d όπου είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα Ποια είναι η σχέση της F με τη συνάρτηση ; Η συνάρτηση F() (t)dt είναι συνεχής είναι μια παράγουσα της στο Δ Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού 6 Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [ ] Αν G είναι μια παράγουσα της στο [ ] να αποδείξετε ότι: (t)dt G( ) G( ) Απόδειξη Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα η συνάρτηση F() (t)dt είναι μια παράγουσα της στο [ ] Επειδή η G είναι μια παράγουσα της στο [ ] θα υπάρχει c τέτοιο ώστε G() F() c () Από την () για έχουμε G( ) F( ) c (t)dt c c οπότε c G( ) Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 28

29 Επομένως G() F() G( ) οπότε για (t)dt G( ) G( ) έχουμε G( ) F( ) G( ) (t)dt G( ) άρα 7 Να γράψετε τους τύπους της παραγοντικής ολοκλήρωσης της αντικατάστασης για το ορισμένο ολοκλήρωμα α) Ισχύει ότι: ()g ()d [()g()] ()g()d όπου g [ ] u είναι συνεχείς συναρτήσεις στο 2 β) Ισχύει ότι: (g())g ()d (u)du όπου g είναι συνεχείς συναρτήσεις u g() u du g ()d u g( ) 2 u g( ) 8 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της τις ευθείες τον άξονα όταν () για κάθε [ ] η συνάρτηση είναι συνεχής Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ ] () για κάθε [ ] τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της τις ευθείες τον άξονα είναι E( ) ()d α =() Ω β 6 9 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των g τις ευθείες όταν () g() για κάθε [ ] οι συναρτήσεις g είναι συνεχείς Έστω δυο συνεχείς συναρτήσεις g στο διάστημα [ ] με ( ) g( ) για κάθε [ ] Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των τις ευθείες 8α) =() =() g 8 (Σχ Ω =g() (α) Ω (β) =g() Ω2 (γ) Παρατηρούμε ότι ( ) ( ) ( 2) ( ) d g( ) d ( ( ) g( )) d Επομένως E( ) ( ( ) g( )) d Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις g είναι () g() για κάθε [ ] τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των g τις ευθείες δίνεται από τον τύπο: E( ) (() g())d Απόδειξη Επειδή οι συναρτήσεις g είναι συνεχείς στο [ ] θα υπάρχει αριθμός c τέτοιος ώστε () c g() c για κάθε [ ] Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω (Σχ 2α) έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 29

30 =()+c 2 =() Ω Ω =g()+c α β α β =g() (α) (β) Επομένως θα έχουμε: ( ) ( ) [(() c) (g() c)]d (() g())d Άρα E( ) (() g())d Να αποδείξετε ότι όταν η διαφορά () g() δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ ] τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των g είναι ίσο με E( ) () g() d Απόδειξη Όταν η διαφορά ( ) g( ) δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ ] όπως στο Σχήμα 23 τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των g τις ευθείες είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων 3 Δηλαδή 2 τις ευθείες ( ) ( ) ( 2) ( 3) ( ( ) g( )) d ( g( ) ( )) d ( ( ) g( )) d α Ω γ =g() Ω 2 δ =() Ω 3 β 23 ( ) ( ) ( ) g( ) d ( ) g( ) d ( ) g( ) d Επομένως E( ) ( ) g( ) d Σχόλιο g d 25 Σύμφωνα με τα παραπάνω το ( ) d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα (Σχ 25) Ο + + β a 2 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g με g() για κάθε [ ] τις ευθείες είναι ίσο με: E( ) g()d Απόδειξη Πράγματι επειδή ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης () έχουμε E( ) (() g())d [ g()]d g()d Επομένως αν για μια συνάρτηση g ισχύει g() για κάθε [ ] τότε: E( ) g()d α Ω β =g() 2 Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης σελ 3