( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.

Transcript

1 Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln a a, με < a ln Έχουμε f ( ) = log =, > ln ln f ( ) = = (ln )' =, > ln ln ln Γενικά ισχύει : ( ) log a =, >, < ln a a Έχουμε f ( ) = ln ( ), (, ] [, + ) τύπος αλλαγής βάσης: log a lnβ β = ln a ( ) ( ) ( ) f ( ) ln( = ) = ln( ) ln( ) = ln( ) = ln( ) =, (, ) (, + ) ln( ) Έχουμε f ( ) e, Έχουμε f ( ) = e = e = e, > = με ( ) ( ) ln ln ( ) = = =, > f e e ( ) f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ( ) ln + ( ln ) = ln + ln ln ( ) ( ) = ln + = ln +, >

2 Άσκηση η :Θεωρούμε την εξίσωση y= +.Να βρεθεί η εξίσωση μεταβολών και να υπολογιστεί πόσο πρέπει να μεταβληθεί το από την τιμή = 4 ώστε η τιμή της συνάρτησης να ελαττωθεί κατά.να επαναληφθεί για την εξίσωση y= ln. Λύση: y f ( ), = = + R Αρχικά, βρίσκουμε την εξίσωση μεταβολών, οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y= f + f = = = + () Για αρχική τιμή = 4, ζητάμε πόσο θα είναι η μεταβολή του (δηλαδή ) ώστε η συνάρτηση να ελαττωθεί κατά,δηλαδή y=.οπότε από την () έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y= + = = με διακρίνουσα 8± 5 = 8 4 ( ) = 6> και με ρίζες τις ( ), = = 4± 5 Για = 4,έχουμε f (4) = 7,άρα το y από 7 γίνεται 6,οπότε έχουμε: + = 4 4 5= 5,απορρίπτεται + = = 5,δεκτή Έχουμε y= f ( ) = ln, > Αρχικά, βρίσκουμε την εξίσωση μεταβολών, οπότε έχουμε: 4+ y= f ( + ) f ( ) = ln( + ) ln = ln 4 y= = = e + = e e = 4 ln 4 4

3 Άρα = 4+ 4= e e Άσκηση 3 η : Να επαληθευτεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης για τις παρακάτω συνθέσεις: Λύση: { f ( ) = ln, g( ) = e } ( ) Βρίσκουμε την f ( g( )) και στη συνέχεια την παράγωγό της, οπότε έχουμε: f ( g( )) = f ( e ) = ln e = ln e= Άρα ( f ( g( ))) = ( ) = ( ) Εφαρμόζουμε τον κανόνα αλυσωτής παραγώγισης,οπότε έχουμε: ( f ( g( ))) = f ( g( )) g ( ) = f ( e ) ( e ) = e = e αφού f ( ) = (ln ) = { z= ln y, y= + } z= z( y) = z( y( )) = z( ) ( ) Βρίσκουμε την z( y( )) και στην συνέχεια υπολογίζουμε την παράγωγό της, οπότε Έχουμε z z y z ( ) = ( ( )) = ( + ) = ln( + ) Άρα dz = (ln( + )) = ( + ) = d + + ( ) Εφαρμόζουμε τον κανόνα αλυσωτής παραγώγισης, οπότε έχουμε: dz = dz dy = = d dy d y + { z= ln y, y=, = t+ } Έχουμε z= z( y) = z( y( )) = z( y( ( t))) = z( t) ( ) Βρίσκουμε την z( y( ( t))) = z( t) και στη συνέχεια υπολογίζουμε την παράγωγό της, οπότε, έχουμε: z( t) = z( y( ( t))) = z( y(t+ )) = z((t+ ) ) = ln(t+ ) 3

4 Άρα dz 4(t+ ) 4 = (ln(t+ ) ) = ((t+ ) ) = (t+ ) (t+ ) = = dt (t+ ) (t+ ) (t+ ) t+ Εφαρμόζουμε τον κανόνα αλυσωτής παραγώγισης, οπότε έχουμε: dz dz dy d = = = = = = dt dy d dt y y t+ αφού dz = dy, = d, = dy y d dt Άσκηση 4 η : Να υπολογιστεί το βήμα ασυνέχειας της παραγώγου για τις συναρτήσεις: Λύση: Έχουμε f ( ) = min {, }, [, + ) min {, },ma{, } ( ) ή οπότε ο τύπος της συνάρτησης f είναι:, < f ( ) =, Η παράγωγος της f είναι: 4

5 Η βηματική ασυνέχεια της παραγώγου είναι:, < f ( ) =, ) f ( ) = f ( ) f ( ) = lim f ( ) lim f ( ) = = + + f ( + οπότε η f εμφανίζει στο = βηματική ασυνέχεια. Έχουμε f ( ) = ma {, }, [, + ) Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο τύπος της f είναι:, < f ( ) =, με, < f ( ) =, Τα γραφήματα των C, C είναι τα ακόλουθα: f ' f Η βηματική ασυνέχεια της παραγώγου είναι: 5

6 + + f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) = lim f ( ) lim f ( ) = = + οπότε η f εμφανίζει στο = βηματική ασυνέχεια. Άσκηση 5 η : Να γίνουν τα γραφήματα των παρακάτω συναρτήσεων στο θετικό διάστημα: Λύση: f ( ) = e, [, + ) e, e, ln, ln, ln + lim f ( ) = f () =,αφού η f είναι συνεχής στο = + ( + ) + lim f ( ) = lim ( e ) = lim = e ( ) lim = lim = lim e = + + e + ( e ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο [,+ ) με f ( ) = ( e ) = e + ( ) e = e ( ), f () = (δηλαδή η κλίση της εφαπτομένης της Cf στο = είναι ή σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 ) ( ) + lim f ( ) = lim (( ) e ) = lim = e ( ) lim = lim + + e = lim ( e ) = + ( e ) Στάσιμο σημείο: e > f ( ) = ( ) e = = = R e > f ( ) > ( ) e > > < R e > f ( ) < ( ) e < < > R 6

7 Έχουμε f ( ) = e, [, + ) f () = lim f ( ) lim ( e ) + + ( + )( + ) = = + Η f είναι παραγωγίσιμη στο [,+ ) με f e e e e ( ) = ( ) = + = ( + ), f () = lim f ( ) lim (( ) e + + ( + )( + ) = + = + Στάσιμο σημείο: e > ( ) ( ) ( ) R f = + e = + = = (δεκτή) ή = (απορ.) ( ) ( ) e > ( ) R f > + e = + > < ή > > ( ) ( ) e > ( ) (, ) R f < + e < + < αδύνατη, αφού οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ), άρα η f παρουσιάζει στη θέση = ολικό ελάχιστο το f () =. 7

8 Έχουμε f ( ) = ln, (, + ) ( ) ln + lim f ( ) lim ( ln ) lim lim = = lim ( ) = = = ( + )( + ) lim f ( ) = lim ( ln ) = Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f ( ) = ( ln ) = ln + = ln +, > lim f ( ) = lim (ln + ) = + + lim f ( ) = lim (ln + ) =+ + + Στάσιμο σημείο: f ( ) = ln + = ln = = e = e f ( ) > ln + > ln > > e f ( ) < ln + < ln < < < e 8

9 Έχουμε f ( ) = ln, (, + ) ( ) ( ) ( ) 3 ln + lim f ( ) = lim ( ln ) = lim = lim = lim ( ) = ( ) ( + )( + ) lim f ( ) = lim ln = Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με ln + ln f ( ) = ( ln ) = ln + = + =, > lim f ( ) lim lim ( ln ) ( )( + ) ln + = = + = ( + ) ( + ) ln + lim f ( ) = lim lim lim + + = = = + + Στάσιμο σημείο: ln + > f ( ) = = ln + = ln = = e ln + > f ( ) > > ln + > ln > > e f ( ) < < < e 9

10 Έχουμε f ( ) = ln + = ln +, (, + ) ( ) + ( + ) lim f ( ) = lim (ln + ) = lim (( ln + ) ) = ( + ) = (*) αφού ( ) ln + lim( ln ) = lim lim lim ( ) = = = Άρα lim ( ln + ) = + = (*) + ( + ) + lim f ( ) = lim (ln + ) = Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )( + ) lim f ( ) = lim + + = lim f ( ) = lim + + = Στάσιμο σημείο:,+ με ( ) ln f = + = =, >

11 f ( ) = = = f ( ) > > > f ( ) < < < < Άσκηση 6 η : Να βρεθούν οι γραμμικές προσεγγίσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο =. Λύση: Έχουμε f () = ( ) =, Η f είναι παραγωγίσιμη στο R-{} με f ( ) = = ( ) Είναι f ()= και f () = ( ) = ( ), Άρα η γραμμική προσέγγιση της f στο =, είναι: f () f ()+ f () ( )=+ Η γραμμική προσέγγιση της f στο D f, είναι: o f () f ( )+ f ( ) ( ) Σημείωση: Γραμμική προσέγγιση καλείται η γραμμική συνάρτηση της εφαπτόμενης ευθείας.

12 Έχουμε f () = (+ ) 3, [, + ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f ( )= (+ ) 3 = 3 (+ ) ( + ) = 3 3 Είναι f ()= ( ) 3 + = και f ()= 3 ( ) 3 +, > ( ) 3 + = 3 Άρα η γραμμική προσέγγιση της f στο =, είναι: f ( ) f ()+ f ()( )=+ 3 Έχουμε f ( )=ln(+ ), R Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( )=( ln(+ )) = + Είναι f ()=ln( + ) = και f ()= + = Άρα η γραμμική προσέγγιση της f στο =, είναι: f () f ()+ f () ( )=, δηλαδή ο άξονας. ( + ) = +, R Έχουμε f () = 3 + +, R 3 Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( )=( + + ) =3 +, R Είναι f ()= 3 ++= και f ()=3 += Άρα η γραμμική προσέγγιση της f στο =, είναι: f () f ()+ f () ( )=+

13 Άσκηση 7 η : Να γίνουν στο θετικό διάστημα τα γραφήματα των συνεχών συναρτήσεων f (), με f ()=, των οποίων οι παράγωγοι f ( ) έχουν τα παρακάτω γραφήματα. Λύση: Παρατηρούμε ότι f ( ) >, [, + ) (αφού η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα ) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) τότε ισχύει f ( ) >, [, + ), δηλαδή η f είναι γνήσια κυρτή στο [, + ). Αφού το γράφημα της f είναι ευθεία, τότε το γράφημα της f θα είναι παραβολή με τις παραπάνω ιδιότητες. Επειδή f ()= τότε η C f αρχίζει από το σημείο Ο(,), έχοντας κάποια κλίση, ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο Ο(,) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω, με εφω=α. Επομένως, έχουμε: 3

14 4

15 Παρατηρούμε ότι f ( )>, [, + ), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). : η f είναι γνησίως, τότε ισχύει f ( ) <, [, ) κοίλη. (η f αυξάνεται με φθίνοντα ρυθμό) f = : η f παρουσιάζει στη θέση =, ελάχιστο οπότε πρέπει ( ) =, δηλαδή η f < <+ : η γνήσια κυρτή στο ( ) C παρουσιάζει στο σημείο (, ( )) f, σημείο καμπής. f είναι γνησίως αύξουσα, τότε ισχύει f ( ) >, (, ), δηλαδή η f είναι γνήσια +, οπότε η f είναι +, δηλαδή η f αυξάνεται με αύξοντα ρυθμό. Επομένως, έχουμε :, 5

16 Παρατηρούμε ότι: : η f είναι σταθερή, αφού f ( )=, [, ] Τότε ισχύει f ( )= c, [, ], c R. Όμως, f ()= οπότε πρέπει c =, άρα f ( )=, [, ] = : η f δεν είναι συνεχής στο =, αφού f ( ) = και f ( + ) =+. (έχουμε άπειρη ασυνέχεια της f στο σημείο =. < <+ : Είναι f ( )<, (, + ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Επίσης η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ), τότε ισχύει f ( )<, (, + ) δηλαδή η f είναι γνήσια κοίλη. 6

17 Άσκηση 8 η : Να βρεθεί με αντίστροφη και με πλεγμένη παραγώγιση η παράγωγος της συνάρτησης y= y( ) που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση 3 y y = + +. Λύση: d Έχουμε ( y ) = y 3 + y+ τότε '( y) = = 3y + dy οπότε από τον τύπο της αντίστροφης παραγώγισης, έχουμε : dy d = = d 3y + dy Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το y ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του, οπότε έχουμε: =y 3 ()+y()+ = 3 y y + y y (3y + ) = y = 3y + Άσκηση 9 η : Για κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις, να βρεθούν πλεγμένα οι παράγωγοι του y ως προς και του ως προς, και να γίνει επαλήθευση. Να βρεθούν και τα γραφήματα Λύση: + 3y= 8 (γραμμική εξίσωση) Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το y ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του : 7

18 + 3 y( ) = 8 τότε + 3 y '( ) = y ' = 3 Επαλήθευση: Λύνουμε ως προς y και στη συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς, οπότε έχουμε: + 3y= 8 3y= y= Άρα y = dy d = 3 Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς y, θεωρώντας το ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του y : ( y) + 3y= 8τότε + ' 3= 3 ' = Επαλήθευση: Λύνουμε την εξίσωση ως προς και στην συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς y, οπότε έχουμε: + 3y= 8 = 3y+ 8 3 d 3 ( y) = y+ 4άρα ' = = dy Γράφημα: 4 y 8 3 8

19 Έχουμε : y= y = Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το y ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του : y ( ) = τότε yy ' = y ' = y dy = y ' = d Επαλήθευση: Λύνουμε την εξίσωση ως προς y και στη συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς, οπότε έχουμε: y= τότε y = ( ) = ( ) = Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς y, θεωρώντας το ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του y : y ( y) = τότε y ' = ' = d = y dy Επαλήθευση: Λύνουμε την εξίσωση ως προς και στη συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς y, οπότε έχουμε: y = ( y) = y + τότε '( y) = d = y dy Γράφημα: Έχουμε y 3 + = ( ) Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το y ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του : 9

20 + y( ) = 3τότε () dy y 3 + y ' = y ' = = = y d Επαλήθευση: Λύνουμε την εξίσωση ως προς y και στην συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς,οπότε έχουμε : 9 + y = 3 y = 3 y= ( 3 ) 3 = = = d = Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς y, θεωρώντας το ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση dy άρα y ' ( 3 )( 3 ) ( 3 ) του y : ( y) + y = 3 τότε d 3 y ' + = ' = = = y dy y y Επαλήθευση: Λύνουμε την εξίσωση ως προς και στη συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς y, οπότε έχουμε: ( ) y 9 + y = 3 = 3 y ( y) = 3 y τότε d ' = = ( 3 y)( 3 y) = ( 3 y) = 3 y dy y y Γράφημα: ( ) 9 y 9

21 Έχουμε ( ) y = 3 + y = 9 () Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το y ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του : 3 + y 3 ( ) = 9 τότε + = = = y 3 3 y y ' 3 y y ' 3 y ' Επαλήθευση: Λύνουμε την εξίσωση ως προς y και στην συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς,οπότε έχουμε : ( ) y = 9 y = 9 y( ) = 9 3 άρα dy ' ( 9 ) ( ) ( ) ( ) 3 y = = 9 = = = = d 3 3 y () 3 3 ( 9 ) ( y ) 3 3 Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς y, θεωρώντας το ως την αντίστοιχη πλεγμένη συνάρτηση του y : 3 3 d y ( y ) + y = 9 τότε 3 ' + 3y = 3 ' = 3 y ' = = dy Επαλήθευση: Λύνουμε την εξίσωση ως προς και στη συνέχεια την παραγωγίζουμε ως προς y, οπότε έχουμε: ( ) y = 9 = 9 y ( y) = 9 y 3, άρα d ' ( 9 ) ( ) ( ) ( ) 3 y y y = = y 9 y = 9 y 3 3y = = = dy 3 3 () 3 3 ( 9 y ) ( ) 3 3 Γράφημα: 3 9 y 3 9

22 Άσκηση η : Να επαληθευτεί ο κανόνας σχετιζόμενων ρυθμών για τις παρακάτω παραμετρικές εξισώσεις: t { = t, y= 4 t}, = t, y=, { = 3 t, y= t t+ } 4 Λύση: = t, y= 4t { } Κανόνας Σχετιζόμενων Ρυθμών: dy dy dt y 4 dy d = = = =, αφού = 4, = d d dt dt dt Επαλήθευση: Έχουμε = t t = t= y= 4 = y= 4t y= 4t y= 4t dy οπότε d = t = t, y= 4 Κανόνας Σχετιζόμενων Ρυθμών: dy dy dt y 4 t = = = = =, αφού d d dt t Επαλήθευση: dy d =, = dt 4 dt t Έχουμε ( ) ( ) ( ) = t t = t= t t t y= =, y= y= y= Άρα { = } 3 t, y= t t+ dy ( ) = = ( )( ) = d 4 4 Κανόνας Σχετιζόμενων Ρυθμών: dy dy dt y t 3 = = = = t= = d d dt

23 Επαλήθευση: Έχουμε 3 t = 3 t= ( ) ( ) = 3 t 3 y= = y= y= t t+ y= t 4 y= ( t ) Άρα dy ( ) = = ( )( ) = d 4 4 3