DUŠENO NIHANJE IN RESONANCA
|
|
- Ἀζαρίας Παπαϊωάννου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Politehnika Nova Gorica Šola za znanosti o okolju Univerzitetni študijski program OKOLJE Seminarska naloga DUŠENO NIHANJE IN RESONANCA Mentor: Doc.dr. Iztok Arčon Avtor: Nastja Tomšič Razred: 1.letnik Šol.l. 2002/2003 Datum izdelave naloge: Datum oddaje naloge:
2 Kratek povzetek Nihanje je neenakomerno gibanje oz. periodično gibanje telesa.za opis nihanja so pomembne naslednje fizikalne količine: frekvenca, nihajni čas, odmik, amplituda in faza ter kinetična in potencialna energija. Nihala, ki jih opazujemo v vsakdanjem svetu ne nihajo neskončno dolgo. Zaradi trenja, upora zraka in drugih energetskih izgub, ki jih splošno imenujemo dušenje, se amplituda nihanja počasi zmanjšuje in nihalo se končno ustavi. Tako nihanje imenujemo dušeno nihanje. Poleg navedenega dušenega nihanja, naj na kratko povem še nekaj o vsiljenem nihanju. To nihanje lahko vzbudijo in vzdržijo že šibke vzbujevalne sile. Brez dušenja, bi se amplituda povečala v neskončno, kar bi pripeljalo do uničenja nihajnega sistema (resonančna katastrofa).tako se lahko poruši most, po katerem koraka četa vojakov. V resonanci ojačujemo nihanje s primerno oblikovanimi telesi, to so resonatorji. Pri akustičnih instrumentih so to navadna ohišja, v mikrovalovni tehnologiji votle kovinske posode, itd.
3 Dušeno nihanje V resničnih pogojih se nihala prej ali slej ustavijo, ker jih zavirata zračni upor in trenje ter pri tem se amplituda eksponentno zmanjšuje, krožna frekvenca w, je manjša od lastne krožne frekvence w 0 in nihanja ne bo, če je β w 0. Model dušenega nihanja (prikazan na sliki 1.) sestavlja masa m, vzmet z elastično konstanto k in dušilka s koeficientom dušenja β. Predpostavljamo, da je sila upora linearno odvisna od hitrosti gibanja mase (bata v dušilki), torej F d = -βv = -βx. y F el = k(x + x st ) k F v = m a m x β G = m g = k x st F d = β x Slika 1. Negativni predznak smo uporabili zato, ker deluje sila v nasprotni smeri kot je hitrost v gibanju bata v dušilki. Na sliki 1. so prikazane sile, ki delujejo na maso m pri poljubni legi x mase in sicer: sila teže G = mg, sila upora F d = βx, vzpostavljena sila F v = mx, elastična sila v vzmeti F el = k (x + x st ). Zapišemo 2. Newtonov zakon: F i = m x F v + F d + F el + G = m x
4 Od tod dobimo: mx + βx + kx = 0 Rešitev diferencialne enačbe, katere potek je naveden v Dodatku 1, je x = A 0 e -nt sin (w 1 t + α 1 ), kjer amplituda eksponentno pojema A 0 e -nt in spremeni se lastna frekvenca. Ta enačba je rešitev diferencialne enačbe x + 2 nx + w 2 0 x = 0. V njej sta veličini A in α 1 integracijski konstanti, ki sta odvisni od začetnih pogojev nihanja, w 1 je krožna frekvenca (lastnega) dušenega nihanja podana z izrazom w 2 1 = w 2 0 n 2 in je odvisna od krožne frekvence (lastnega) nedušenega nihanja w 0 in od dušilnosti n. Odmik nihala v odvisnosti od časa pri dušenem nihanju zgleda takole: Perioda dušenega nihanja je Slika 2. T 1 = 2π/w 1 = 2π/ w 0 2 n 2. Pri nedušenem nihanju velja T 0 = 2π/w. Vidimo torej, da je T 0 <T 1, kar pomeni, da dušenje nekoliko podaljša nihajni čas. V primeru, ko je dušenje slabo (n<<w 0 ) lahko v zgornji enačbi člen n 2 zanemarimo v primerjavi z w 0 2 in dobimo da je T 0 T 1, kar pomeni, da slabotno dušenje praktično ne vpliva na nihajni čas.
5 Amplitude nihanja: Pri šibkem dušenju, nihalo ne niha vedno s točno določeno frekvenco, saj čas, ki ga potrebuje za en nihaj ostaja vseskozi enak. Amplituda se eksponentno manjša. Pri večjem dušenju amplituda nihanja hitreje zmanjšuje, poveča pa se tudi nihajni čas. Če dušenje dovolj povečamo, nihalo ne niha več, ampak se le še počasi vrača proti ravnovesni legi, gibanje ni več periodično (nihanje) ampak aperiodično. Dušenje, kjer periodično gibanje postane aperiodično imenujemo kritično dušenje, koeficient dušenja β pa je kritični koeficient dušenja β k. Takrat je w 0 = n, je perioda dušenega nihanja po enačbi: T 1 = 2π/w 1 = 2π/ w 0 2 n 2, T 1 =. V primeru, ko je w 0 < n dobimo prav tako aperiodično nihanje. Razmerje med koeficientom dušenja β in kritičnim koeficientom dušenja β k imenujemo faktor dušenja δ. δ = β/β k Za obravnavani model na sliki 1. je kritični koeficient dušenja w 0 = n k/m = β k / 2m β k = 2 m k. To je v praksi zelo pomembno. Tako naj bi na primer avtomobilski amortizerji in mehanizmi zapiranja nihanjih vrat poskrbeli za približno kritično dušenje in s tem preprečili nihanje. Pri analognih instrumentih kot so npr. voltmetri, ampermetri ipd., pa je navadno dušenje malo podkritično, da kazalec sicer zaniha okoli ravnovesne lege, a se hitro ustavi. Če bi bilo dušenje veliko, bi tak instrument ne zaznal hitrih sprememb, majhno dušenje pa bi povzročilo nekontrolirano nihanje kazalca. Pri času t, je amplituda x 1 in jo izračunamo po enačbi x 1 = A 0 e -nt sin (w 1 t + α 1), po času t 2 = t 1 + T 1 je amplituda (pri čemer upoštevamo, da je w 1 T 1 =2π) x 2 = A 0 e -n ( t 1 +T 1 ) sin [w 1 ( t 1 + T 1 ) + α 1 ] = x 1 e -n T 1. Podobno je katerakoli amplituda x n+1 x n+1 = x n e -nt 1. Razmerje amplitud imenujemo dekrement nihanja njegov logaritem pa logaritmični dekrement D = x 2 /x 1 = x n+1 /x n = e -n T 1 D* = ln D = -n T 1. V večji meri dušenje vpliva na amplitudo nihanja, ki se zmanjšujejo v geometričnem zaporedju.
6 Resonanca (vsiljeno nihanje) Zaradi dušenja se vsako nihalo prej ali slej ustavi. Mehanska ura, ki je ne navijemo nam zato prav dolgo ne kaže pravega časa in veje drevesa prenehajo nihati, ko ni več vetra. Kadar želimo, da nihalo niha dalj časa in z ne zmanjšano amplitudo, mu moramo dovajati energijo, ki jo izgublja zaradi dušenja. To storimo tako, da nihalo poganjamo z zunanjo periodično silo. Tako nihanje imenujemo vsiljeno nihanje. k F, m x β Slika 4. Model vsiljenega nihanja je prikazan na sliki 4. Vzbujevalna sila F se spreminja periodično F = F 0 sin Ω t, kjer je F 0 amplituda vzbujevalne sile, Ω pa njena krožna frekvenca.diferencialna enačba (vsiljenega) dušenega nihanja je katere potek je naveden v Dodatku 2. Rešitev diferencialne enačbe je sedaj : mx + βx + kx = F 0 sin Ω t, x = x 1 + x 2 = A 0 e -nt sin (w 1 t + α) + C sin (Ωt - β), pri čemer sta konstanti A 0 in α odvisni od začetnih pogojev nihanja, konstanti C in β pa nista odvisni od začetnih pogojev. Pri vsiljenem dušenem nihanju so oscilacije sestavljene iz lastnih
7 dušenih nihanj sistema in vsiljenih nihanj. Lastna dušena nihanja se v sorazmerno kratkem času zadušijo oz. izgube in jih po določenem času t u (časa ustavljanja) lahko zanemarimo. Po času t masa m niha po zakonu vsiljenega nihanja, torej x = x 2 = C sin (Ωt - β), ki predstavljajo nihanja brez dušenja z amplitudo C po enačbi x 2 = C sin (Ωt - β), frekvenca Ω teh nihanj pa je enaka frekvenci vzbujevalne (vsiljene) sile. Konstanta β je fazna razlika med vsiljenim nihanjem in vzbujevalno silo. Za nadaljno analizo nihanj vpeljemo naslednje označbe: Λ= Ω/w 0 ; ψ = n/w 0 ; x st = f 0 /w 0 2 =F 0 /k, kjer je Λ razmerje frekvenc, ψ količina, ki definira dušenje in x st statični poves vzmeti pod vplivom delovanja amplitude vzbujevalne sile F 0. Z upoštevanjem navedenih izrazov dobita enačbi, s katerima smo izrazili C in β naslednjo obliko zapisa C = x st / ( 1-Λ 2 ) 2 + 4Λ 2 ψ 2 tg β = 2Λψ/ 1-Λ 2. Za različna razmerja Λ in ψ sta c/x st in β podobna na sliki 5. Slika 5.
8 Iz diagrama vidimo, da so pri različnih razmerjih Λ dosežena vsiljena nihanja različnih amplitud. V primeru, ko je dušenje slabo in ko je razmerje Λ blizu 1 lahko smatramo, da je ψ 0. V tem primeru je C = x st / 1 - Λ 2 ; β = 0 (pri Λ<1) in β π (pri Λ>1). V primeru, ko je razmerje Λ majhno (Ω<<w 0 ), je C x st t.j. nihanja se vršijo z amplitudo x st v fazi z vzbujevalno silo (β = 0). Če je razmerje frekvenc Λ zelo veliko (Ω>> w 0 ), postane amplituda nihanja C zelo majhna: V primeru, da je še dušenje slabo, lahko amplitudo nihanja izračunamo po enačbi C x st / Λ 2 = f 0 / Ω 2. V primeru, ko je razmerje Λ blizu 1 amplituda nihanja doseže maksimum. Ta pojav imenujemo resonanca. Iz enačb za C in tg β vidimo, da je C max v primeru, ko je izraz F = [ (1- Λ 2 ) 2 + 4Λ 2 ψ 2 ] minimalen, torej df/dλ = 0 df/dλ = -4Λ + 4Λ 3 + 8Λψ 2 = 0 oziroma 1 + Λ r 2 + 2ψ 2 = 0 Λ r = 1-2ψ 2. Za različna razmerja ψ = n/w 0 je resonančno razmerje frekvenc Λ r različno in je podano z zgornjo enačb, torej nastopi resonanca pri večjem dušenju pri razmerju Λ r <1, pri nedušenem nihanju pa pri Λ r =1. Lahko rečemo, da je resonanca pri Λ r =1 in sta amplituda nihanja in faza C res x st /2ψ ; β res π/2. Od tod vidimo, da je pri slabem dušenju amplituda nihanja velika. Ta velika amplituda nihanja pa ne nastopi v trenutku; manjše ko je dušenje, daljši čas je potreben za dosego resonančnih amplitud. Splošne lastnosti vsiljenih dušenih nihanj: amplituda vsiljenih nihanj ni odvisna od začetnih pogojev nihanja, vsiljena nihanja se pri dušenju sistema v splošnem ne ustavijo, frekvenca vsiljenih nihanj je enaka frekvenci vzbujevalne sile, ki je neodvisna od karakteristike nihajočega sistema, tudi pri majhni amplitudi F 0 vzbujevalne sile se pri slabotnem dušenju sistema lahko pojavijo nihanja z velikimi amplitudami, če je Λ 1 (v resonančnem področju), pri veliki amplitudi F 0 vzbujevalne sile so lahko amplitude nihanja majhne za primer, ko je Λ >>1.
9 Dodatek 1 Vidimo, da je ta enačba podobna enačbi za nedušeno nihanje in označimo: w 0 2 = k/m in 2n = β/m tako dobi enačba mx + βx + kx = 0 obliko x + 2nx + w 0 2 x = 0. Zgornja dobljena enačba je diferencialna enačba lastnih dušenih nihanj. Da bomo poiskali rešitev te enačbe vpeljemo novo spremenljivko x = z e -nt (izraz 1.) potem sta odvoda x = e -nt ( z- nz) (izraz 2.) x = e -nt (z 2 nz + n 2 z). Izraze 1 in 2 vstavimo v enačbo x + 2 nx + w 0 2 x = 0 in po ureditvi dobimo z + (w 0 2 n 2 ) z = 0. Nadalje še označimo w 2 1 = w 2 0 n 2 oz. w 1 = w 2 0 n 2 tako dobimo z + w 2 1 z = 0. Zgornja diferencialna enačba je enaka enačbi x = A 0 sin (w 0 t + α), torej z = C 1 sin w 1 t + C 2 cos w 1 t, x + w 0 2 x = 0, katere rešitev je oziroma z = A 0 sin (w 1 t + α 1 ). Po upoštevanju enačbe x = z e -nt dobimo x = A 0 e -nt sin (w 1 t + α 1 ).
10 Dodatek 2 Zgornjo enačbo delimo z maso m in uporabimo že znane označbe 2n = β/m, w 0 2 = k/m in f 0 = F 0 /m. tako dobi prej navedena enačba naslednjo obliko x+ 2nx + w 0 2 x = f 0 sin Ω t. Rešitev te diferencialne enačbe ima obliko x = x 1 + x 2, kjer je splošni integral homogene enačbe x 1 = A 0 e -nt sin ( w 1 t + α) in partikularni integral nehomogene enačbe (x + 2nx + w 0 2 x = f 0 sin Ω t ) x 2 v obliki x 2 = C sin ( Ωt - β). Konstanti C in β je potrebno izraziti tako, da bo enačba x + 2nx + w 0 2 x = f 0 sin Ωt identično izpolnjena. Odvod x 2 po času t sta: x 2 = C Ω cos (Ωt - β) x 2 = -C Ω 2 sin (Ωt - β). Nadalje označimo ψ = Ωt - β in odvoda vstavimo v enačbo x + 2nx + w 0 2 x = f 0 sin Ωt. C(w 0 2 Ω 2 ) sin ψ + 2nCΩ cos ψ = f 0 (cos β sinψ + sinβ cosψ). Zgornja enačba bo izpolnjena, če bosta koeficienta ob sinψ na levi in desni strani enačbe enaka, torej Iz zgornjih enačb sledita konstanti C in β C( w Ω 2) = f 0 cos β in 2nCΩ f 0 sin β. C = f 0 / ( w Ω 2 ) 2 + 4n 2 Ω 2 tg β = 2n Ω/ w Ω 2.
11 Tri računske naloge 1.Telo mase 50 kg je povezano z vzmetjo z elastično konstanto k =80 N/cm in dušilnim elementom, ki ima koeficient dušenja β =20 N/cm /s. Telo premaknemo iz ravnotežne lege za 20 cm in ga prepustimo lastnemu nihanju.določite krožno frekvenco dušenega nihanja w, nihajni čas T dušenega nihanja in prve tri amplitude A1,A2 in A3 opisanega modela nihanja! 1.) x + β/m x + k/m x = 0 oz. x + 2nx + w 0 2 x = 0 -krožna frekvenca dušenega nihanja: w = w 0 2 n 2 = w (β/2m) 2 = 12, = 12,49 s -1 n = β/2m = 200/2*50 = 2 s -1 -krožna frekvenca nedušenega nihanja, ki jo moramo izračunat, saj nastopi v enačbi za izračun krožne frekvence dušenega nihanja w 0 = k/m = 8000/50 = 12,65 s -1 2.) T = 2π/w = 2π/12,49 = 0,503 s 3.) x = A 0 e nt sin (wt +α 1 ) α 1 = fazni kot, ki ga določimo iz začetnega pogoja pri t = 0 A 0 = x 0 = 20 cm 20 = 20 sin ( 0 + α 1 ) α 1 = π/2 = raztezek vzmeti je: x = 20 e -2t sin (12,49 t + π/2) A 1 = x (T 1 ) = 20 e -2* 0,503 sin(12,49 * 0,503 + π/2) = 7,32 cm t = T 1 A 2 = x (2 T 1 ) = 2,68 cm t = 2T 1 A 3 = x (3 T 1 ) = 0,98 cm t = 3T 1
12 2. Avtomobil mase 1000 kg ima vzmetne blažilce. Med mirovanjem praznega vozila je vsaka vzmet skrčena za 5 cm. Ko v vozilo skoči voznik mase 100 kg se avtomobil rahlo spusti in zaniha. V enem nihajnem času, se amplituda nihanja zmanjša na polovico začetne vrednosti. Kolikšna je konstanta vzmeti blažilcev in kakšen je koeficient dušenja, če predpostavimo, da se obremenitev porazdeli enakomerno po vseh štirih blažilcih! 1.) F = k x k = F/x = m g/x = 1000 kg * 10 ms -2 /5 * 10-2 m = 200 kn/m 2.) x + w 2 x = 0 x + w 2 x + βx = 0 x = x 0 e αt ( e αt )'= α e αt x = x 0 α e αt x = x 0 α 2 e αt (1. odvod) (2. odvod) α 2 e αt + w 2 e αt + βαe αt = 0 e αt α 2 + w 2 +βα = 0 α 1,2 = -β ± β 2 4 w 2 2 α 1,2 = -β/2 ± β 2 /4 w 2 = -β/2 ± i w 2 -β 2 /4 *t x = x 0 e -1/2βt e ± i w t x = x 0 e -1/2β t sin ( w t) - /2 * 2 / w x(t) = x 0 e β π = ½ x 0 -β/2 * 2 / w log e π = log ½ t = 2π, t = 2π/w β/2 * 2π/w = log 2 w πβ = w log 2
13 πβ = w 2 -β 2 /4 * log 2 / 2 π 2 β 2 = ( w 2 - β 2 /4) log 2 2 π 2 β 2 w 2 log β 2 /4 log 2 2 = 0 β 2 (π 2 + ¼ log 2 2) = w log 2 2 β = w log 2 2 /π 2 + log 2 2/4 = k/m log 2 2/ π 2 + log 2 2/4 = 200kN*0,48/1100kg(0,87 + 0,48/4) = 2,97 s Elektromotor s podstavkom mase m 1 =100 kg je postavljen na štiri vzmeti z elastičnimi konstantami k =800 N/cm in na dušilni element s koeficientom dušenja β =6 Ns/ m.elektromotor, ki se vrti s n = 600 vrtljaji /min, ima nameščeno na rotorju ekscentrično maso m 2 = 0,2 kg na ročici r = 0,05 m. Določite amplitudo A tega nihanja ter določite kolikšen bi moral biti koeficient dušenja β, da bi bile amplitude A 1 = 0,5 A! x + βx/m 1 + 4k/m 1 x = F 0 /m 1 sin Ωt F 0 = vztrajnostna sila, ki jo povzroča masa m 2 pri vrtenju (Ω = s -1 ) na ročici r. F 0 = m 2 r Ω 2 = m 2 r (π n / 30) = 0,2 * 0,05(π*600/30) 2 = 39,48 N n= dušilnost dušilnega elementa n = β/2m 1 = 6/200 = 0,03 s -1 w 0 = 4k/m 1 = 4*8000/100 = 56,56 s -1 1.) A = F 0 /m 1 ( w Ω 2 ) 2 +4 n 2 Ω 2 = =39,48/100 (56, ,83 2 ) 2 +4*0,03 2 *62,83 2 = =5,27 * 10-4 m 2.) Koeficient dušenja β = 2066 Ns/m in tako je izpolnjen pogoj pri A 1 = 0,5A.
14 Literatura 1. Stropnik,J. Kinetika,zapiski predavanj.ljubljana.1990.univerza v Ljubljani. Fakulteta za strojništvo.str in str Stropnik,J. Kinetika, zbirka nalog z rešitvami(tretja izdaja).ljubljana Univerza v Ljubljani.Fakulteta za strojništvo.str in str Kuščer,I. Moljk,A. Fizika-2. del: Toplota, nihanje, valovanje in svetloba. Ljubljana.1981.Državna založba Slovenije.str Stanovnik,A. Fizika 1, zapiski predavanj.ljubljana.2001.založba FE in FRI. str Črepinšek,L. Fizika-1.del: Mehanika, nihanje in toplota.maribor Univerza v Mariboru.Tehniška fakulteta VTO strojništvo.str Breuer,H.(prevedel in priredil Janez Strnad).Atlas klasične in moderne Fizike.Ljubljana.1993.Državna založba Slovenije. str.77.
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ NIHANJA. 3. Pospešek nihala na vijačno vzmet je: a. stalen, b. največji v skrajni legi, c. največji v ravnovesni legi, d. nič.
VAJE IZ NIHANJA Izberi pravilen odgovor in fizikalno smiselno utemelji svojo odločitev. I. OPIS NIHANJA 1. Slika kaže nitno nihalo v ravnovesni legi in skrajnih legah. Amplituda je razdalja: a. Od 1 do
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραDomača naloga 6: dušeno nihanje
Domača naloga 6: dušeno nihanje Vaje iz predmeta Numerične metode v fiziki Igor Grešovnik Kazalo: 1 Naloga 6a Nihanje... 1.1 Enačbe nihanja... 1. Numerično reševanje problema... 3 1..1 Reševanje sistema
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNaloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.
1 Rešene naloge Naloge iz vaj: Sistem togih teles 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov in je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. Rešitev: Lok razdelimo na dva loka, glej skico.
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραMatematične metode v fiziki II. B. Golli, PeF
Matematične metode v fiziki II B. Golli, PeF 8. september 2014 2 Kazalo 1 Navadne diferencialne enačbe (NDE) 5 1.1 Uvod.............................................. 5 1.1.1 Diferencialne enačbe v fiziki.............................
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραVaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje
Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραLADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij. Višja dinamika. Rešene naloge iz analitične mehanike. Dr. Janko Slavič. 22.
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo LADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij Višja dinamika Rešene naloge iz analitične mehanike Dr. Janko Slavič 22. avgust 2012 Zadnja različica
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότερα1. Na dve enako dolgi vrvi obesimo dve utezi, tako da dobimo dve enaki nihali. casovni potek nihanja prvega nihala.
1. Na dve enako dolgi vrvi obesimo dve utezi, tako da dobimo dve enaki nihali. Graf prikazuje ˇ casovni potek nihanja prvega nihala. sna je amplituda nihala? Amplitudo nihala odˇcitamo iz slike, kakor
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραDinamika togih teles
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo LADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij Dinamika togih teles 3. letnik, RRP Laboratorijske vaje Luka Knez, Janko Slavič 20. september 2017 1
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA: sinopsis predavanj v šolskem letu 2003/2004
MEHANIKA: sinopsis predavanj v šolskem letu 2003/2004 NTF, Visokošolski strokovni program KINEMATIKA 18. 2. 2004 Osnovne kinematične količine.: položaj r, hitrost, brzina, pospešek. Definicija vektorja
Διαβάστε περισσότεραVALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA
VALOVANJE 10.1. UVOD 10.2. POLARIZACIJA 10.3. STOJEČE VALOVANJE 10.4. ODBOJ, LOM IN UKLON 10.5. INTERFERENCA 10.6. MATEMATIČNA OBDELAVA INTERFERENCE IN STOJEČEGA VALOVANJA 10.1. UVOD Valovanje je širjenje
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA IZ FIZIKE NIHANJE VZMETNO, MATEMATIČNO IN FIZIČNO NIHALO
SEMINARSKA NALOGA IZ FIZIKE NIHANJE VZMETNO, MATEMATIČNO IN FIZIČNO NIHALO Katjuša Reja Mozetič Politehnia Nova Gorica Šola za znanost o oolju, študjsi progra Oolje 1 Nihanje je v naravi zelo pogost pojav.
Διαβάστε περισσότεραČe se telo giblje, definiramo še vektorja hitrosti v in pospeška a:
FIZIKA 1. poglavje: Mehanika - B. Borštnik 1 MEHANIKA(prvi del) Kinematika Obravnavamo gibanje točkastega telesa. Izberemo si pravokotni desni koordinatni sistem (sl. 1), to je takšen, katerega os z kaže
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραUPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU
UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU 1. Hitrost in opravljena pot sonde pri padanju v zraku Za padanje v zraku je odgovorna sila teže. Poleg sile teže na padajoče telo deluje tudi sila vzgona, ki je enaka teži
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραMERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9
.cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότερα1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:
1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: A) Telo miruje ali se giblje enakomerno, če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo enaka nič. B) Če rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo ni
Διαβάστε περισσότερα11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM
. Vaja: BODEJEV DIAGRAM. Bodejev diagram sestavljata dva grafa: a) amplitudno frekvenčni diagram in b) fazno frekvenčni diagram Decibel je enota za razmerje dveh veličin. Definicija: B B 0log0 A A db Bodejeve
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραMehanika. L. D. Landau in E. M. Lifšic Inštitut za fizikalne naloge, Akademija za znanost ZSSR, Moskva Prevod: Rok Žitko, IJS
Mehanika L. D. Landau in E. M. Lifšic Inštitut za fizikalne naloge, Akademija za znanost ZSSR, Moskva Prevod: Rok Žitko, IJS 2. januar 2004 Kazalo 1 Gibalne enačbe 4 1 Posplošene koordinate...............................
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραUVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ
1. UVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ Vosnovnemtečaju mehanike trdnih teles smo izpeljali sistem petnajstih osnovnih enačb, s katerimi lahko načeloma določimo napetosti, deformacije in pomike
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραNihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog
Barbara Rovšek Nihanje in valovanje, zbirka kolokvijskih nalog z rešitvami 1 Nihanje 11 Kinematika (nedušenega) nihanja 1 Nihalo niha z nihajnim časom 4 s V nekem trenutku je njegov odmik od mirovne lege
Διαβάστε περισσότεραLADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij. Tehniška mehanika letnik, PAP. Laboratorijske vaje
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo LADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij Tehniška mehanika 2 2. letnik, PAP Laboratorijske vaje Luka Knez, Janko Slavič 20. september 2017 1 Merjenje
Διαβάστε περισσότερα13. poglavje: Energija
13. poglavje: Energija 1. (Naloga 3) Koliko kilovatna je peč za hišno centralno kurjavo, ki daje 126 MJ toplote na uro? Podatki: Q = 126 MJ, t = 3600 s; P =? Če peč z močjo P enakomerno oddaja toploto,
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko IZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA Seminar pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Maja Mikec Profesor: dr. Grega Bizjak Študijsko leto
Διαβάστε περισσότερα6.1.2 Togostna matrika linijskega elementa z ravno osjo po teoriji II. reda
596 6 Geometrijska nelinearnost nosilcev varnost V E pa z enačbo V E = F E F dej 6.92) Z A x je označena ploščina prečnega prereza nosilca, količina i min je najmanjši vztrajnostni polmer, F dej pa je
Διαβάστε περισσότεραJasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE. za finančno matematiko
Jasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE za finančno matematiko Ljubljana 211 naslov: DIFERENCIALNE ENAČBE ZA FINANČNO MATEMATIKO avtorske pravice: Jasna Prezelj izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Jasna
Διαβάστε περισσότερα11. Valovanje Valovanje. = λν λ [m] - Valovna dolžina. hitrost valovanja na napeti vrvi. frekvence lastnega nihanja strune
11. Valovanje Frekvenca ν = 1 t 0 hitrost valovanja c = λ t 0 = λν λ [m] - Valovna dolžina hitrost valovanja na napeti vrvi frekvence lastnega nihanja strune interferenca valovanj iz dveh enako oddaljenih
Διαβάστε περισσότεραSlika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.
4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραDinamika kapilarnega pomika
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Goran Bezjak SEMINARSKA NALOGA Dinamika kapilarnega pomika Mentor: izr. prof. dr. Gorazd Planinšič Ljubljana, december 2007 1 Povzetek
Διαβάστε περισσότεραBočna zvrnitev upogibno obremenjenih elementov s konstantnim prečnim prerezom
D. Beg, študijsko gradivo za JK, april 006 KK FGG UL Bočna zvrnitev upogibno obremenjenih elementov s konstantnim prečnim prerezom Nosilnost na bočno zvrnitev () Elemente, ki niso bočno podprti in so upogibno
Διαβάστε περισσότεραTRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
Διαβάστε περισσότεραNAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU
NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU Equatio n Section 6Vsebina poglavja: Navor kot vektorski produkt ročice in sile, magnetni moment, navor na magnetni moment, d'arsonvalov ampermeter/galvanometer.
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότεραMehurčki v zvočnem polju: Bjerknesove interakcije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Mehurčki v zvočnem polju: Bjerknesove interakcije Seminar Avtor: Nika Oman Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Ljubljana, september
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραPoglavja: Navor (5. poglavje), Tlak (6. poglavje), Vrtilna količina (10. poglavje), Gibanje tekočin (12. poglavje)
Poglavja: Navor (5. poglavje), Tlak (6. poglavje), Vrtilna količina (10. poglavje), Gibanje tekočin (12. poglavje) V./4. Deska, ki je dolga 4 m, je podprta na sredi. Na koncu deske stoji mož s težo 700
Διαβάστε περισσότεραDELO SILE,KINETIČNA IN POTENCIALNA ENERGIJA ZAKON O OHRANITVI ENERGIJE
Seinarska naloga iz fizike DELO SILE,KINETIČNA IN POTENCIALNA ENERGIJA ZAKON O OHRANITVI ENERGIJE Maja Kretič VSEBINA SEMINARJA: - Delo sile - Kinetična energija - Potencialna energija - Zakon o ohraniti
Διαβάστε περισσότερα7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)
7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Pomik deformabilnega telesa je glede na kartezijski koordinatni sistem
Διαβάστε περισσότεραGovorilne in konzultacijske ure 2014/2015
FIZIKA Govorilne in konzultacijske ure 2014/2015 Tedenske govorilne in konzultacijske ure: Klemen Zidanšek: sreda od 8.00 do 8.45 ure petek od 9.40 do 10.25 ure ali po dogovoru v kabinetu D17 Telefon:
Διαβάστε περισσότερα