Εκπαιδευτικό λογισµικό µονοβάθµιου ταλαντωτή Educational Single Degree Of Freedom Software. ESDOFsoftware

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικό λογισµικό µονοβάθµιου ταλαντωτή Educational Single Degree Of Freedom Software. ESDOFsoftware"

Ἁλκυόνη Αντωνοπούλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εκπαιδευτικό λογισµικό µονοβάθµιου ταλαντωτή Educational Single Degree Of Freedom Software ESDOFsoftware Ως οδηγίες χρήσης του λογισµικού ESDOFsoftware δίνονται εδώ οι επιλύσεις µιας σειράς παραδειγµάτων. Μονοβάθµιος ταλαντωτής δυσκαµψίας k=2000 kn/m 2 και µάζας m=10 tn 1) Ο ταλαντωτής, ο οποίος και βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας στο χρόνο µηδέν, υπόκειται σε εξωτερική διέγερση της οποίας η χρονική εξέλιξη δίνεται από το αναλυτική µαθηµατική σχέση, f ext =sin(1.1 ω ο t) kn για χρονικό διάστηµα από t=0 έως t=10 sec. Στη σχέση του εξωτερικού φορτίου ω ο είναι η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Να υπολογιστούν τα δυναµικά χαρακτηριστικά του ταλαντωτή και να δοθούν τα διαγράµµατα χρονικής εξέλιξης της µετακίνησης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο παραπάνω χρονικό διάστηµα. Εκτελώντας το πρόγραµµα ESDOF εµφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή το κυρίως παράθυρο του προγράµµατος όπως φαίνεται και πιο κάτω.

2 εικόνα 1. Το παράθυρο του προγράµµατος χωρίζεται σε πέντε πλαίσια, το ένα κάτω από το άλλο στην αριστερή πλευρά της οθόνης στα οποία και δίνουµε, όπου απαιτείται, τα απαραίτητα στοιχεία. 1. Το πρώτο πάνω αριστερά πλαίσιο ζητάει τα χαρακτηριστικά του µονοβάθµιου ταλαντωτή, και πιο συγκεκριµένα τη δυσκαµψία k τη µάζα m καθώς και το ποσοστό κρίσιµης απόσβεσης ζ (επί της εκατό). 2. Στο δεύτερο πλαίσιο συµπληρώνουµε τις αρχικές συνθήκες µετακίνησης u(0) και ταχύτητας v(0) στο χρόνο µηδέν. 3. Στο τρίτο στη σειρά παράθυρο δίνουµε την χρονικά µεταβαλλόµενη εξωτερική φόρτιση είτε µέσω του µαθηµατικής αναλυτικής σχέσης (µια συνάρτηση δηλαδή της µεταβλητής του χρόνου t), είτε µέσω εξωτερικού αρχείου το οποίο και βρίσκεται αποθηκευµένο κάπου στον υπολογιστή. 4. Στο τέταρτο πλαίσιο δίνεται το βήµα χρονικής ολοκλήρωσης t καθώς και οι παράµετροι (β, γ) του αλγόριθµου που υπολογίζει την απόκριση (µέθοδος χρονικής ολοκλήρωσης β-newmark). Όπως φαίνεται και στην εικόνα οι παράµετροι είναι απενεργοποιηµένοι και για να τις αλλάξει κανείς πρέπει να τσεκάρει πιο πάνω τα Αλγοριθµικά χαρακτηριστικά µεθόδου β-newmark. Αρκούµαστε εδώ να σηµειώσουµε πως δε συντρέχει λόγος να πειραχθούν οι παράµετροι (β, γ), κάτι που άλλωστε µπορεί να οδηγήσει σε «αστάθεια» του αλγόριθµου. Όσο αφορά το βήµα χρονικής διακριτοποίησης αναφέρουµε πως όσο µικρότερο είναι τόσο µεγαλύτερη είναι η ακρίβεια της επίλυσης αλλά ταυτόχρονα αυξάνεται ο χρόνος υπολογισµού. 5. Το τέταρτο στη σειρά πλαίσιο, ουσιαστικά είναι πλαίσιο όπου δε ζητούνται αλλά δίνονται δεδοµένα από το πρόγραµµα. Αυτά είναι η ιδιοπερίοδος και ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή καθώς και ο συντελεστής απόσβεσης c. Για να εµφανιστούν αυτοί οι υπολογισµοί στα αντίστοιχα πεδία πρέπει να πατήσουµε

Enter µέσα σε ένα από τα πεδία δεδοµένων (µάζας ή δυσκαµψίας) του πρώτου λάσιου. Για το παράδειγµα που παρουσιάζουµε εδώ θα πρέπει να συµπληρώσουµε ανάλογα τα αντίστοιχα πεδία.

3 Enter µέσα σε ένα από τα πεδία δεδοµένων (µάζας ή δυσκαµψίας) του πρώτου λάσιου. Για το παράδειγµα που παρουσιάζουµε εδώ θα πρέπει να συµπληρώσουµε ανάλογα τα αντίστοιχα πεδία. Στο πλαίσιο της εξωτερικής φόρτισης επιλέγουµε (αναλυτική έκφραση στο χρόνο f(t)) οπότε και πρέπει να δώσουµε την έκφραση αυτή. Στη σχέση αυτή εµφανίζεται η ιδιοσυχνοτητα του ταλαντωτή ω ο η οποία και υπολογίζεται ω ο =sqrt(k/m)= (το οποίο µπορούµε και να δούµε και στο πέµπτο πλαίσιο του προγράµµατος). Την αναλυτική σχέση του φορτίου µπορούµε να τη δώσουµε ως, f(t)=sin(1.1*14.142*t) ή ακόµα και ως, f(t)=sin(1.1*sqrt(2000./10.)*t). Συµπληρωµένο το παράθυρο του προγράµµατος θα είναι όπως περίπου στη επόµενη εικόνα. εικόνα 2. Τα υπόλοιπα µέρη από τα οποία αποτελείται το πρόγραµµα είναι το πλαίσιο διαγραµµάτων, το πλαίσιο επιλογής αξόνων διαγραµµάτων και τέλος το πλαίσιο εντολών. Στο πλαίσιο εντολών υπάρχουν τα πλήκτρα εντολών, Ανάλυση : Κάνει την ανάλυση του προβλήµατος και τον υπολογισµό της απόκρισης. (συντόµευση F5) Αποθήκευση : Αποθηκεύει σε ένα αρχείο µε όνοµα και θέση στον υπολογιστή τα οποία τα επιλέγει ο χρηστής, τα αποτελέσµατα απόκρισης. Η µορφή των αποτελεσµάτων είναι σε γραµµές εκ των οποίων κάθε µια αποτελείται από αντιστοιχίες χρόνου, εξωτερικής δύναµης, µετακίνησης, ταχύτητας και επιτάχυνσης. (συντόµευση Ctrl+S) Έξοδος : Τερµατίζει τη λειτουργία του προγράµµατος.

Έχοντας συµπληρώσει (όπως στην εικ. 2) τα απαραίτητα πεδία του προγράµµατος και πιέζοντας το πλήκτρο Ανάλυση θα εµφανιστεί στο διάγραµµα η χρονοϊστορία της εξωτερικής φόρτισης. εικόνα 3.

4 Έχοντας συµπληρώσει (όπως στην εικ. 2) τα απαραίτητα πεδία του προγράµµατος και πιέζοντας το πλήκτρο Ανάλυση θα εµφανιστεί στο διάγραµµα η χρονοϊστορία της εξωτερικής φόρτισης. εικόνα 3. Οι επιλογές για του άξονες του διαγράµµατος είναι, χρόνος εξωτερική δύναµη µετακίνηση ταχύτητα επιτάχυνση Μαρκάροντας µια περιοχή του διαγράµµατος µε το ποντίκι κατά τη δεξιά φορά, η περιοχή αυτή µεγεθύνεται ενώ κάνοντας κάπου µέσα στο διάγραµµα το ίδιο µε την αριστερή φορά ξαναπαίρνει το φυσικό µέγεθος. Τέλος µε δεξί κλικ στο διάγραµµα εµφανίζονται οι επιλογές όπως φαίνεται στη εικόνα πιο κάτω.

5 εικόνα 4. Όπως βλέπουµε εµφανίζονται επιλογές µε τι οποίες µπορούµε να διαχειριστούµε τις ιδιότητες της µορφής του διαγράµµατος, να αποθηκεύσουµε το διάγραµµα σε αρχείο εικόνας(*.png) να εκτυπώσουµε το διάγραµµα και τέλος να µεγεθύνουµε ή να σµικρύνουµε σε περιοχές του διαγράµµατος.

2) Για τον ίδιο µονοβάθµιο ταλαντωτή να υπολογιστεί η χρονική εξέλιξη της µετακίνησης, για διέγερση (επιτάχυνση στο χρόνο a(t)) της βάσης του, η οποία δίνεται σε διακριτές τιµές χρόνου ανά διαστήµατα

8 2) Για τον ίδιο µονοβάθµιο ταλαντωτή να υπολογιστεί η χρονική εξέλιξη της µετακίνησης, για διέγερση (επιτάχυνση στο χρόνο a(t)) της βάσης του, η οποία δίνεται σε διακριτές τιµές χρόνου ανά διαστήµατα 0.1 sec. Οι τιµές της επιτάχυνσης της βάσης του ταλαντωτή δίνονται εδώ (σε m/s 2 ). Σε αυτή τη περίπτωση να θεωρηθεί απόσβεση ζ=5%. Το εξωτερικό φορτίο για την επιτάχυνση της βάσης δίνεται ως a(t)*m, όπου a(t) η χρονοϊστορία της επιτάχυνσης της βάσης και m η µάζα του ταλαντωτή. Σε ένα απλό ASCII αρχείο αποθηκεύουµε τις τιµές τις επιτάχυνσης που βρίσκουµε εδώ πολλαπλασιασµένες επί µείον τη µάζα του ταλαντωτή. Έστω λοιπόν το αρχείο φόρτισης mag.dat, στο πλαίσιο του προγράµµατος εξωτερικό φορτίο, επιλέγουµε τιµές από αρχείο και πιέζοντας το πλήκτρο αναζήτηση βρίσκουµε το αρχείο στο σηµείο του υπολογιστή που το έχουµε αποθηκεύσει, πατώντας enter το πρόγραµµα είναι πλέον ενηµερωµένο για το αρχείο εξωτερικής φόρτισης. Οι διακριτές τιµές του φορτίου είναι ανά 0.1 sec, όποτε συµπληρώνουµε και στο πλαίσιο µε τα αλγοριθµικά χαρακτηρίσθηκα ως βήµα χρονικής ολοκλήρωσης το 0.1. Έχοντας συµπληρώσει και τα χαρακτηριστικά του ταλαντωτή (δυσκαµψία, µάζα, ποσοστό κρίσιµης απόσβεσης) και πιέζοντας το πλήκτρο ανάλυση, το παράθυρο του προγράµµατος θα πρέπει να είναι όπως περίπου η επόµενη εικόνα.

9 εικόνα 5. Στην επιλογή αξόνων επιλέγουµε για τον y άξονα µετακίνηση και παίρνουµε το πιο κάτω διάγραµµα που δείχνει την χρονοϊστορία της µετακίνησης.

10 3) Έστω τριγωνική εξωτερική φόρτιση η οποία ξεκινάει στο χρόνο µηδέν (t=0) από τη τιµή 10kN και στο χρόνο t δ =0.2 sec. µηδενίζεται. Η απόσβεση του ταλαντωτή να θεωρηθεί µηδενική καθώς επίσης και ότι βρίσκεται σε κατάσταση αρχικής ηρεµίας. Να υπολογιστεί η απόκριση για συνολικό χρόνο 1sec και να δοθούν οι χρονοϊστορίες της µετακίνησης και της ταχύτητας. Ως βήµα χρονικής διακριτοποίησης να χρησιµοποιηθεί t= Η ανάλυση να γίνει µε το λογισµικό ESDODsoftware µε χρήση της δυνατότητας καθορισµού της εξωτερικής φόρτισης µε αναλυτική σχέση. Σε αυτό το σηµείο είναι χρήσιµο να αναφέρουµε κάποιες από τις συναρτήσεις που υποστηρίζονται στο πρόγραµµα. ηµίτονο συνηµίτονο υπερβολικό ηµίτονο υπερβολικό συνηµίτονο φυσικός λογάριθµος λογάριθµος του δέκα λογάριθµος του δύο εκθετική συναρτήσεις που µπορούν να οριστούν µε συνθήκη απόλυτη τιµή τετραγωνική ρίζα συνάρτηση heaviside sin(t) cos(t) sinh(t) cosh(t) ln(t) log(t) lg(x) exp(t) if(συνθήκη, ορισµός αν η συνθήκη είναι αληθής, ορισµός αν η συνθήκη δεν είναι αληθής) abs(t) sqrt(t) h(t) Πολλές φορές οι κατασκευές δέχονται φορτία τα οποία έχουν ορισµένη διάρκεια στο χρόνο και µετά εξαφανίζονται. Για να ορίσουµε τέτοιες συναρτήσεις στο ESDOF µπορούµε είτε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση υπό συνθήκες [if()] είτε τη συνάρτηση heaviside. Εδώ θα χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση heaviside η οποία και ορίζεται ως: h(t-t 1 ) =1.0, για t t 1 =0.0, για t<t 1 (Για περισσότερα επί της συνάρτησης heaviside µπορεί ο ενδιαφερόµενος/η να ανατρέξει στο βιβλίο του Κ. Αναστασιάδη, υναµική των κατασκευών ΙΙ, σελ.296). Η συνάρτηση heaviside, όπως θα δείξουµε εδώ, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον ορισµό συναρτήσεων ορισµένου χρόνου, έστω η συνάρτηση f(t) η οποία και ενεργεί από το χρόνο t 1 έως το χρόνο t 2, αυτή µπορεί να γραφεί ως: f(t)*( h(t-t 1 ) h(t-t 2 ) ) Στον επόµενο πίνακα δίνονται κάποιες από αυτές τις φορτίσεις και ο τρόπος µε τον οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις τους. σταθερή φόρτιση f0 h(t t 1)

ορθογωνική φόρτιση ( ) f h(t t ) h(t t ) 0 1 2 στατική φόρτιση ( ) ( ) τριγωνική f ( 1 (t t ) / (t t )) ( h(t t ) h(t t )) φόρτιση ηµιτονοειδής (ορισµένης διάρκειας) f (t t ) / (t t ) h(t t ) h(t t )

11 ορθογωνική φόρτιση ( ) f h(t t ) h(t t ) στατική φόρτιση ( ) ( ) τριγωνική f ( 1 (t t ) / (t t )) ( h(t t ) h(t t )) φόρτιση ηµιτονοειδής (ορισµένης διάρκειας) f (t t ) / (t t ) h(t t ) h(t t ) + f h(t t ) ( ) f sin( ω t) h(t t ) h(t t ) πίνακας 1. Η συνάρτηση που δίνεται στο παράδειγµα αυτό είναι µια τριγωνική µε στοιχεία, τα παρακάτω: f o =10, t 1 =0., t 2 =0.2. Οπότε η συνάρτηση που θα δηλώσουµε στο ESDOF θα είναι f(t)=10.0*(1.0- t/0.2)*(h(t)-h(t-0.2)) και η εικόνα (αφού πατήσουµε και το πλήκτρο ανάλυση) θα είναι όπως περίπου η επόµενη. εικόνα 6. Τα διαγράµµατα µετακίνησης και ταχύτητας στο χρόνο δίνονται παρακάτω.

Σχετικά έγγραφα

Εκπαιδευτικό λογισµικό κατασκευής φασµάτων Educational SPECtrum. ESPECsoftware

Εκπαιδευτικό λογισµικό κατασκευής φασµάτων Educational SPECtrum ESPECsoftware Ως οδηγίες χρήσης του λογισµικού ESPECsoftware δίνονται εδώ οι επιλύσεις µιας σειράς παραδειγµάτων. 1) Να κατασκευαστούν τα