Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο

Transcript

1 ΨΣΕ 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Γραµµικοποιήση µε ανατροφοδότηση εξόδου και έλεγχος Κινούµενου Ανεστραµµένου Εκκρεµούς Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο Y θ = x l cosθ l θ = x m mg M u O x x + l sinθ X Σχ. Σύστηµα ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος θ = ml sin( θ ) + cos( θ ) θ ( m + M ) g sin( θ ) + ml cos ( θ ) ( m + M ) l ml cos cos( θ ) u ( θ ) ( m + M ) l f ( x ) = g ( x ) = ml sin( θ ) + cos( θ ) θ ( m + M ) g sin( θ ) ml cos ( θ ) ( m + M ) l cos( θ ) ml cos ( θ ) ( m + M ) l όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει το εκκρεµές µε τον κατακόρυφο άξονα και u είναι η δύναµη που ασκείται στο όχηµα. ) είξτε ότι το σύστηµα µπορεί να γραφεί στη µορφή x x = + ( f ( x ) + g ( x ) u ) x x

2 όπου x = θ και x = θ ) Θεωρείστε ότι η γωνία x (t) =θ (t) και η γωνιακή ταχύτητα x ( t ) = θ ( t ) είναι µετρήσιµες σε κάθε χρονική στιγµή t Χρησιµοποιείστε τον νόµο ελέγχου u(t) = [ x, (t) f (x) k p (x (t) x, (t)) k (x (t) x, (t ))] g ( x ) όπου x, (t) = θ (t) είναι η επιθυµητή γωνία του εκκρεµούς και x, (t) = θ ( t) είναι η επιθυµητή γωνιακή ταχύτητα. Βρείτε τα κέρδη k και k του PD ελεγκτή ανατροφοδότησης ώστε η γωνία του εκκρεµούς να πηγαίνει στη θέση θ = o ( x, = και x, = ra / sec ) και να έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (i) υπερύψωση h %, (ii) χρόνος αποκατάστασης Τ s 8 sc. Θεωρείστε M = kg, m = kg, l =.3m, g = m / sec. Οι αρχικές. συνθήκες είναι θ () = ra και θ () = 5 ra / sec. Ο ελεγκτής να υλοποιηθεί στο συνεχή αλλά και στο διακριτό χρόνο με περίοδο ε τ ί Τs =. sec. p o Controller Cart-Pole y ( t ) + Σ G c ( s ) G ( s ) y ( t ) Σχ. Βρόχος ελέγχου ιερευνείστε την απόκριση του συστήματος για δια ορετικ ς περιόδους δειγματολη ίας Ts =.. και sec. Για το µοντέλο του συστήµατος εκκρεµές-όχηµα που προκύπτει µετά τη γραµµικοποίηση γ ρ από την πάν θ ση ισορροπίας, να σχεδιάσετε το γεωµετρικό τόπο των ριζών και τα διαγράµµα Boe µέτρου και φάσης για το σ στημα ανοιχτο ρόχου. Να βρεθούν τα περιθώρια κέρδους και φάσης.

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Γραµµικοποιήση µε ανατροφοδότηση εξόδου ( ) = + ( n) Έστω το µη γραµµικό σύστηµα y n f ( x, t ) g ( x, t ) u όπου y είναι η n -στή παράγωγος της εξόδου. Τότε ο νόµος ελέγχου u = ( n) [ y g ( x, t ) f ( x, t ) K T e ] όπου ( n) y είναι η n -στή παράγωγος του σήµατος αναφοράς (set-point) [, e, e,..., e ( n ) T e = e ] είναι το διάνυσµα του σφάλµατος e ( t ) = y y και των παραγώγων αυτού K T = [ k n, k n,..., k ] είναι το διάνυσµα κερδών δηµιουργεί το κλειστό γραµµικό σύστηµα: ( n ) + k ( ) e n k n e + k n e = e Η κατάλληλη επιλογή του διανύσµατος κέρδους K µπορεί να εξασφαλίσει ότι οι πόλοι του κλειστού συστήµατος βρίσκονται στο Α.Μ.Η. και άρα lim e ( t ) = lim ( y y ) = t t. Παράµετροι της βηµατικής απόκρισης γραµµικού συστήµατος Υπερύψωση h : καλείται η διαφορά της µέγιστης τιµής της βηµατικής απόκρισης από τη µόνιµη τιµή της. Η υπερύψωση εκφράζεται ως ένα εκατοστιαίο ποσοστό της µόνιµης τιµής y µον, δηλαδή ως y max y µον h = % όπου y max είναι η µέγιστη y µον τιµή της βηµατικής απόκρισης. Στην πράξη, τιµές µεταξύ και 3% είναι ανεκτές. Χρόνος καθυστέρησης t καθ : καλείται ο χρόνος ο οποίος περνάει µέχρι να φτάσει η βηµατική απόκριση στο µισό (5%) της µόνιµης τιµής της. Χρόνος ανύψωσης t αν : καλείται ο χρόνος ο οποίος απαιτείται για να ανέλθει η βηµατική απόκριση από το % στο 9% της µόνιµης τιµής της 3

4 Χρόνος αποκατάστασης Τ s : καλείται ο ελάχιστος χρόνος ο οποίος απαιτείται να περάσει για να κυµαίνεται η βηµατική απόκριση σε ορισµένα όρια ( ± % ) µέχρι ( ± 5 % ) της µόνιµης τιµής της. Χρόνος απόκρισης t απ : καλείται ο χρόνος ο οποίος αντιστοιχεί στην πρώτη τοµή (µετά τη µέγιστη τιµή) της βηµατικής απόκρισης µε τη µόνιµη τιµή της Επικρατούσα σταθερά χρόνου τ επ : καλείται ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει η περιβάλλουσα εκθετική συνάρτηση στο 63% της µόνιµης τιµής της. Έτσι για να σύστηµα που εκτελεί φθίνουσα ελεύθερη ταλάντωση η απόκριση είναι της µορφής y( t) = Ce at cos( ω t + φ ), a >. Η σταθερά χρόνου ορίζεται ως ο χρόνος για τον e at = οποίο at = δηλ. e = / e.37 = PID control 3.5 y max 3 y ( t ) output y.5 h η.5.5 τ aν τ a π τ επ T s time Σχ. 3 Παράµετροι της βηµατικής απόκρισης ενός γραµµικού συστήµατος 3. Προδιαγραφές µεταβατικής απόκρισης συστηµάτων. Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά της µεταβατικής συµπεριφοράς ενός συστήµατος είναι το ποσοστό υπερύψωσης h, που εξαρτάται κυρίως από το συντελεστή απόσβεσης ζ. Για την περίπτωση ενός συστήµατος ης τάξης χωρίς µηδενικά, δηλ.ενός συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς ω H ( s ) = s + ζω + ω ισχύει προσεγγιστικά ότι : ζπ ζ ζ Ποσοστό υπερύψωσης = h e ( ).. 6 Εποµένως για κάποιο συγκεκριµένο επιθυµητό ποσοστό υπερύψωσης ο συντελεστής απόσβεσης θα είναι 4

5 h ζ. 6. Χρόνος ανύψωσης taν. Για διάφορες τιµές του ζ στην περιοχή. 5 ο χρόνος ανύψωσης δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση t αν. 8 / ω, όπου ω είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος Χρόνος αποκατάστασης t aπ, ο οποίος δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση β t απ =, όπου β είναι µια σταθερά. Για ανοχή σφάλµατος γύρω στο ζω % το β = 4 και για την περίπτωση ανοχής σφάλµατος γύρω στο % το β = Αν επιθυµούµε χρόνο αποκατάστασης µικρότερο από κάποια συγκεκριµένη τιµή και για ανοχή σφάλµατος γύρω στο % θα πρέπει ζω 4. 6 / ts. 4. ιακριτοποίηση συστηµάτων συνεχούς χρόνου µε το µετασχηµατισµό Τustin Ο µετασχηµατισµός Tustin δίνει το εξής αποτέλεσµα διακριτοποίησης µιας συνάρτησης µεταφοράς G ( s ) : G ( z ) = G ( s ) z s= T + z Aν η περιγραφή του συστήµατος στο χώρο κατάστασης συνεχούς χρόνου είναι x( t) = Ax( t) + Bu( t), y( t) = CT x( t) τότε η εφαρµογή του µετασχηµατισµού Tustin δίνει την ακολούθη περιγραφή του συστήµατος στο χώρο κατάστασης διακριτού χρόνου x ( k + ) = A x ( k ) + B u ( k ), T y ( k ) = C x ( k ) T T όπου = ( + )( ) T A I A I A, B T ( I A ) T = B και C = C ( I A ) Χρησιµοποιούµε την περιγραφή στο χώρο κατάστασης διακριτού χρόνου για να κάνουµε αριθµητική επίλυση του µοντέλου του συστήµατος. 5

6 5. Γεωµετρικός τόπος των ριζών G ( s ) Για το κλειστό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς H ( s ) = η + G ( s ) F ( s ) χαρακτηριστική εξίσωση είναι + G ( s ) F ( s ) =. Έστω ότι η συνάρτηση µεταφοράς του ανοικτού βρόχου έχει τη µορφή G ( s ) F ( s ) = K n ( s + µ ) i= n i= i ( s + p ) i Τότε η κατάλληλη τιµή της παραµέτρου K επιλέγεται µε βάση το γ.τ.ρ. της G ( s ) F ( s ). Ο γεωµετρικός τόπος των ριζών µπορεί να κατασκευαστεί εύκολα για διάφορες τιµές του χρόνου δειγµατοληψίας T. Οι κανόνες για την κατασκευή του γ.τ.ρ. του συστήµατος διακριτού χρόνου είναι ίδιοι µε αυτούς που ισχύουν για την κατασκευή του γ.τ.ρ. συνεχούς χρόνου. 6. ιαγράµµατα Βοe. Βρίσκουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος, δηλ. G (s ). Θέτουµε s = j ω στην G (s ) και κατασκευάζουµε τα διαγράµµατα πλάτους και φάσης Βοe της G ( j ω). 6

7 7