1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ"

Transcript

1 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001, Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο και έναν επόµενο. Το 0 έχει µόνο επόµενο. 3. Άρτιοι φυσικοί (ζυγοί): Είναι αυτοί που διαιρούνται µε το Περιττοί φυσικοί (µονοί) : Είναι αυτοί που δεν διαιρούνται µε το εκαδικό σύστηµα : Είναι το σύστηµα στο οποίο ο οποιοσδήποτε φυσικός αριθµός γράφεται µε την χρήση µόνο των ψηφίων 0, 1, 2, 3,, 8, και Τάξη ψηφίου : Το τελευταίο ψηφίο ενός αριθµού κατέχει την τάξη των µονάδων, το αµέσως προηγούµενο την τάξη των δεκάδων, το προηγούµενο αυτού την τάξη των εκατοντάδων, το προηγούµενο την τάξη των χιλιάδων κ. λ. π. 7. ιάταξη φυσικών : ύο οποιοιδήποτε φυσικοί συνδέονται µε κάποιο από τα σύµβολα : ίσος = µικρότερος < µεγαλύτερος > 8. Αύξουσα σειρά- φθίνουσα σειρά : Τοποθετούµε τους φυσικούς τον ένα µετά τον άλλον από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο ή από τον µεγαλύτερο προς τον µικρότερο αντίστοιχα

2 2 9. Η ευθεία των φυσικών : Είναι µία ευθεία σε σηµεία της οποίας αντιστοιχούµε τους φυσικούς αριθµούς 10. Στρογγυλοποίηση : Είναι η αντικατάσταση ενός φυσικού µε κάποιον άλλο λίγο µικρότερο ή λίγο µεγαλύτερο για λόγους απλούστευσης ΣΧΟΛΙΑ 1. Σχετικά µε την σύγκριση των φυσικών Αν δύο φυσικοί αριθµοί έχουν ακριβώς τα ίδια ψηφία στην ίδια θέση, τότε οι αριθµοί είναι ίσοι και συνδέοντα µε το σύµβολο = Αν δύο φυσικοί αριθµοί δεν έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, µεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει τα περισσότερα ψηφία. Αν δύο φυσικοί αριθµοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, µεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει µεγαλύτερο ψηφίο στη θέση της µεγαλύτερης τάξης. Αν τα ψηφία της µεγαλύτερης τάξης είναι ίδια, συγκρίνουµε τα ψηφία της αµέσως µικρότερης τάξης κ. λ. π Σηµείωση : Το 0 σαν πρώτο ψηφίο παραλείπεται. 2. Χρήσιµη πρόταση Άρτιοι φυσικοί αριθµοί είναι όσοι τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6, 8 Ενώ περιττοί είναι όσοι τελειώνουν σε 1, 3, 5, 7, 9 3. Εναλλαγή άρτιων περιττών: Αν ένας φυσικός αριθµός, εκτός από το 0, είναι άρτιος, τότε ο προηγούµενος και ο επόµενος αυτού είναι περιττοί. Αν ένα φυσικός αριθµός είναι περιττός, τότε ο προηγούµενος και ο επόµενος αυτού είναι άρτιοι. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί εναλλάσσονται µε τη σειρά : άρτιος περιττός άρτιος περιττός κλπ η περιττός άρτιος περιττός άρτιος κλπ

3 3 4. Χρήσιµη διαδικασία Για να τοποθετήσουµε τους φυσικούς αριθµούς πάνω σε ευθεία (ε) ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα. 1) Αυθαίρετα επιλέγουµε ένα σηµείο Ο της ευθείας. 2) Παραδεχόµαστε ότι η θέση του Ο είναι και θέση του αριθµού 0 3) Αυθαίρετα επιλέγουµε ένα άλλο σηµείο Α της ευθείας, συνήθως δεξιά του Ο 4) Παραδεχόµαστε ότι η θέση του Α είναι και θέση του αριθµού 1 5) Θεωρούµε σηµείο Β της (ε) τέτοιο ώστε ΟΒ = 2 ΟΑ 6) Παραδεχόµαστε ότι η θέση του Β είναι και θέση του αριθµού 2 7) ΟΓ = 3 ΟΑ κ. λ. π Ο A B Γ (ε) 5. Σχετικά µε τη στρογγυλοποίηση : Πρώτα επιλέγουµε την τάξη (µονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κλπ) στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. Αν το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης είναι µικρότερο του 5, τότε αυτό και όλα τα επόµενά του γίνονται 0. Αν το ψηφίο της αµέσως µικρότερης τάξης είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 5, τότε αυτό και όλα τα επόµενά του γίνονται 0 µε ταυτόχρονη όµως αύξηση κατά 1 του ψηφίου της τάξης στην οποία γίνεται η στρογγυλοποίηση. Αν σε αυτή την περίπτωση το ψηφίο στρογγυλοποίησης είναι το 9, τότε αυτό γίνεται 0 µε ταυτόχρονη αύξηση του αριστερά ψηφίου κατά 1. 6 Πλήθος φυσικών αριθµών : Όλοι οι φυσικοί αριθµοί από το 1 έως και τον ν, είναι ν το πλήθος αν το ν είναι άρτιος, τότε οι µισοί είναι άρτιοι και οι άλλοι µισοί περιττοί αν το ν είναι περιττός τότε οι άρτιοι είναι οι µισοί από τους ν 1, και οι περιττοί είναι οι µισοί από τους ν 1 συν ένας ακόµα.

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθµούς που µπορεί να προκύψουν από τα ψηφία 3, 5, 9 όταν το κάθε ψηφίο χρησιµοποιείται µία µόνο φορά. Στη συνέχεια να τους διατάξετε σε αύξουσα σειρά. Οι ζητούµενοι φυσικοί αριθµοί είναι οι : Σχόλιο 1 Θεωρία 8 359, 395, 539, 593, 935, 953, Η διάταξη σε αύξουσα σειρά είναι : 359 < 395 < 539< 595 < 935 < Να βρείτε τους τρείς αµέσως µεγαλύτερους άρτιους και τους δύο αµέσως µικρότερους περιττούς φυσικούς του αριθµού 573 Οι τρεις αµέσως µεγαλύτεροι άρτιοι είναι οι : Σχόλια 1, 2, 3 574, 576, 578 και οι δύο αµέσως µικρότεροι περιττοί οι : 571, Να βρείτε το πλήθος των φυσικών αριθµών από το 1 έως και το 100. Πόσοι από αυτούς είναι άρτιοι και πόσοι περιττοί; Σχόλιο 6 Όλοι οι φυσικοί αριθµοί από το 1 έως το 100 είναι 100 στο πλήθος. Από αυτούς οι µισοί δηλαδή πενήντα είναι άρτιοι και οι υπόλοιποι 50 περιττοί 4. Να βρείτε το πλήθος των φυσικών αριθµών από το 0 έως και το 101. Πόσοι από αυτούς είναι άρτιοι και πόσοι περιττοί; Σχόλιο 6 Οι φυσικοί από το 1 έως και το 101 είναι 101 στο πλήθος. Επειδή εµείς ξεκινάµε από το 0, το ζητούµενο πλήθος είναι 102 Το πλήθος των αρτίων από το 1 έως και το 101 είναι 50. Επειδή και το 0 είναι άρτιος όλοι οι άρτιοι είναι 51. Το πλήθος των περιττών από το 1 έως και το 101 είναι 51

5 5 5. Έστω ο αριθµός α) Να καθορίσετε την τάξη των ψηφίων 6, 2, 9, 4 β) Να γίνει στρογγυλοποίηση στις πλησιέστερες : εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες α) Το 6 είναι το ψηφίο των δεκάδων Το 2 είναι το ψηφίο των εκατοντάδων Το 9 είναι το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων Το 4 είναι το ψηφίο των εκατοµµυρίων β) Στρογγυλοποίηση στις εκατοντάδες : Ψηφίο εκατοντάδων το 2 και δεκάδων το 6 µε 6 > 5. Ο αριθµός στρογγυλοποιείται στον Στρογγυλοποίηση στις χιλιάδες : Ψηφίο χιλιάδων το 5 και εκατοντάδων το 2 µε 2 < 5. Ο αριθµός στρογγυλοποιείται στον Στρογγυλοποίηση στις δεκάδες χιλιάδες : ψηφίο δεκάδων χιλιάδων το 9 και χιλιάδων το 5 µε 5 = 5. Ο αριθµός στρογγυλοποιείται στον Θεωρία 6 Σχόλιο 5 6. Να βρείτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθµούς που µπορεί να προκύψουν από τα ψηφία 2, 0, 4, όταν το κάθε ένα χρησιµοποιείται µία µόνο φορά. Στη συνέχεια να τους διατάξετε σε φθίνουσα σειρά. 204, 240, 420, 402 µε 420 > 402 > 240 > 204 Σχόλιο 1 Θεωρία 6 7. Τοποθέτησε σε άξονα µε κατάλληλη µονάδα τους φυσικούς αριθµούς : 3, 6, 9, 30 Η θέση των φυσικών φαίνεται παρακάτω Σχόλιο 4 0 Ο 1 Α 3 Β 6 Γ Ε Κ

6 6 8. Να βρεις τους φυσικούς αριθµούς που αντιστοιχούν στα σηµεία Β, Γ,, Ε,Κ, Ρ του παρακάτω άξονα Ο Α Γ Ε Β Κ Ρ ΟΓ = 6 ΟΑ, Άρα στο Γ αντιστοιχεί το 1200 ΟΕ = 8 ΟΑ, Άρα στο Ε αντιστοιχεί το 1600 Οµοίως, στο Β το 2400 στο Κ το 3200 στο το 3800 στο Ρ το 6000 Σχόλιο 4 9. Για κάθε αριθµό της πρώτης στήλης να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Φυσικός αριθµός Απάντηση Φαίνεται παραπάνω Προηγούµενος Επόµενος Προηγούµενος φυσικός φυσικός άρτιος 0 εν υπάρχει 1 εν υπάρχει Επόµενος Περιττός 10. Αν ο αριθµός στρογγυλοποιηθεί στην πλησιέστερη εκατοντάδα γίνεται , και ο αριθµός 5 73 στην πλησιέστερη χιλιάδα γίνεται Να βρείτε τους αριθµούς πριν την στρογγυλοποίηση Σχόλιο 4 Επειδή έχει αυξηθεί το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων κατά 1 αυτό σηµαίνει ότι το ψηφίο των χιλιάδων ήταν 9 και το ψηφίο των εκατοντάδων επίσης 9. ηλαδή ο αριθµός πριν την στρογγυλοποίηση ήταν ο Το ψηφίο των χιλιάδων πριν την στρογγυλοποίηση µπορεί να ήταν 9 ή µπορεί να ήταν 8. Αν ήταν 9 τότε το ψηφίο των εκατοντάδων θα ήταν ένα από τα 0, 1, 2, 3, 4. Ενώ αν ήταν 8, τότε το ψηφίο των εκατοντάδων θα ήταν ένα από τα 5, 6, 7, 8, 9. Εποµένως ο αριθµός µπορεί να ήταν κάποιος από τους 59073, 59173, 59273, 59373, ή 58573, 58673, 58773, 58873, 58973

7 7 11 Γράψε µε ψηφία τους αριθµούς που δίνονται παρακάτω σε φυσική γλώσσα : (α) πεντακόσια δύο, (β) οκτακόσια τριάντα επτά (γ) τριάντα χιλιάδες ένα. Απάντηση (α) 502 (β) 837 (γ) Γράψε σε φυσική γλώσσα τους αριθµούς : (α) , (β) , (γ) Απάντηση (α) Σαράντα τρεις χιλιάδες εννιακόσια πενήντα τέσσερα (β) ύο εκατοµµύρια τριακόσια δέκα πέντε (γ) Εξακόσιες είκοσι χιλιάδες δύο 13. Τοποθετήστε το κατάλληλο σύµβολο : <, =, >, στο κενό µεταξύ των ακόλουθων αριθµών (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (α) 54 = 54, (β) 48 > 46, (γ) 536 < 563, (δ) < (ε) > (στ) 3450 < Σχόλιο 1

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Στρογγυλοποίηση. Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού αριθμού - Δεκαδική τάξη ψηφίων 1.1 Δίνεται ο αριθμός 23.586.504.

Στρογγυλοποίηση. Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού αριθμού - Δεκαδική τάξη ψηφίων 1.1 Δίνεται ο αριθμός 23.586.504. 1 1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη Στρογγυλοποίηση Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού αριθμού - Δεκαδική τάξη ψηφίων 1.1 Δίνεται ο αριθμός 23.586.504. α) Τι δηλώνει κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού ανάλογα με τη θέση του;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Α Περίοδος Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την εκτίμηση υπολογισμών, δηλαδή με την εύρεση ενός αποτελέσματος στο «περίπου» ή «κατ εκτίμηση» ή «πάνω-κάτω» ή «χοντρά-χοντρά»,

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ

7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ 1 7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Απόλυτη τιµή ρητού: Έστω ένας ρητός αριθµός α. Η απόλυτη τιµή του αριθµού α συµβολίζεται µε α και εκφράζει την απόσταση του σηµείου µε τετµηµένη α από την αρχή Ο του

Διαβάστε περισσότερα

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Είναι απαραίτητο να πούμε μερικά πράγματα για μια επαναλαμβανόμενη πηγή προβλημάτων και δυσκολιών: τα σημαντικά ψηφία. Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όπου οι αριθμοί και οι σχέσεις μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Για να εξασκηθώ 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200. ... +... =... β) 4.100... +... +... +...

Για να εξασκηθώ 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200. ... +... =... β) 4.100... +... +... +... 2 Διαχειρίζομαι αριθμούς ως το 10. 00 Για να εξασκηθώ 1. Βρίσκω το διπλάσιο των αριθμών όπως στο παράδειγμα. 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200 α) 3.400... +... +... +...... +... =...

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá 2: -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Φύλλα εργασίας Μαθηµατικά Τεύχος Α Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα 116 σελίδες Περιεχόµενα 1η ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση TextNumber.

Η συνάρτηση TextNumber. Η συνάρτηση TextNumber. Για excel 2000 και άνω. Ιωάννης Χ. Βαρλάμης 2005-2011 (Από το Excel Λύσεις http://varlamis.wordpress.com/ ) Η συνάρτηση TextNumber μετατρέπει έναν αριθμό σε κείμενο (ολογράφως)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Δεκαδικοί Αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δεκαδικό κλάσμα λέγεται... Βάλε σε κύκλο τα κλάσματα που είναι δεκαδικά 3 7 13

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις

Ασκήσεις Ασκήσεις Μάθημα 1 ο 1. Να κάνεις τις προσθέσεις : 209 101 595 614 185 212 709 221 127 667 + 127 + 111 + 100 + 202 + 103 548 921 916 943 955 345 538 816 248 347 723 707 340 248 394 307 + 249 + 237 + 185

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σε συνέχεια προηγούμενων εισηγήσεών του, το Διοικητικό Συμβούλιο της Εταιρείας με την επωνυμία Ξενοδοχειακαί Τουριστικαί Οικοδομικαί και Λατομικαί Επιχειρήσεις Ο ΚΕΚΡΟΨ Α.Ε. προτείνει την τροποποίηση του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «Το μετοχικό κεφάλαιο της Εταιρείας ανέρχεται σήμερα στο ποσό των ευρώ πέντε εκατομμυρίων εννιακοσίων σαράντα μίας χιλιάδων

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «Το μετοχικό κεφάλαιο της Εταιρείας ανέρχεται σήμερα στο ποσό των ευρώ πέντε εκατομμυρίων εννιακοσίων σαράντα μίας χιλιάδων Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «Το μετοχικό κεφάλαιο της Εταιρείας ανέρχεται σήμερα στο ποσό των ευρώ πέντε εκατομμυρίων εννιακοσίων σαράντα μίας χιλιάδων διακοσίων σαράντα και είκοσι λεπτών του ευρώ ( 5.941.240,20)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Οι Έλληνες της διασποράς. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Οι Έλληνες της διασποράς. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Οι αριθµοί µέχρι το 1..000..000..000 Οι Έλληνες της διασποράς Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να γράφουµε µεγάλους αριθµούς µε λέξεις, µε ψηφία και µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ. ΑΡΘΡΟ 4ο ΔΙΑΡΚΕΙΑ

ΣΧΕΔΙΟ. ΑΡΘΡΟ 4ο ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΧΕΔΙΟ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 4 ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡ. 1 ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 5 ΤΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ALPHA TRUST-ΑΝΔΡΟΜΕΔΑ Α.Ε.Ε.Χ.» (όπως θα προταθεί προς έγκριση στην Έκτακτη Γενική Συνέλευση των μετόχων της Εταιρίας της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΤΗΣ ΠΑΡ. 1 ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 5 ΤΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ALPHA TRUST-ΑΝ ΡΟΜΕ Α Α.Ε.Ε.Χ.» (όπως θα προταθεί προς έγκριση στην Τακτική Γενική Συνέλευση των µετόχων της Εταιρίας της 11 ης Απριλίου 2014)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για τη λύση του προβλήµατος : ιαβάζουµε µε µεγάλη προσοχή το πρόβληµα Ξεχωρίζουµε τα δεδοµένα από τα ζητούµενα Συµβολίζουµε τον άγνωστο µε µία µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

«Άρθρο 5 Μετοχικό Κεφάλαιο

«Άρθρο 5 Μετοχικό Κεφάλαιο ΜΥΤΙΛΗΝΑΙΟΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΟΜΙΛΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ» Αρ.Μ.Α.Ε.: 23103/06/Β/90/26 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Η «ΜΥΤΙΛΗΝΑΙΟΣ ΑΕ ΟΜΙΛΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ» ανακοινώνει σύµφωνα µε το άρθρο 19 παρ. 2 του ν. 3556/2007 ότι κατά την Β

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Γενική Συνέλευση αποφάσισε ομόφωνα / με πλειοψηφία.% :

Η Γενική Συνέλευση αποφάσισε ομόφωνα / με πλειοψηφία.% : ΘΕΜΑ : Αύξηση του μετοχικού κεφαλαίου της Εταιρείας έως του ποσού των τριάντα εκατομμυρίων, πεντακοσίων ογδόντα έξι χιλιάδων οκτακοσίων τριάντα επτά ευρώ και πενήντα λεπτών ( 30.586.837,50) με καταβολή

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

«F.H.L. Η. ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ ΜΑΡΜΑΡΑ - ΓΡΑΝΙΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» ΑΡ. Μ.Α.Ε /06/Β/91/06 ΑΡ. Γ.Ε.ΜΗ.

«F.H.L. Η. ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ ΜΑΡΜΑΡΑ - ΓΡΑΝΙΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» ΑΡ. Μ.Α.Ε /06/Β/91/06 ΑΡ. Γ.Ε.ΜΗ. «F.H.L. Η. ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ ΜΑΡΜΑΡΑ - ΓΡΑΝΙΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» ΑΡ. Μ.Α.Ε. 25177/06/Β/91/06 ΑΡ. Γ.Ε.ΜΗ. 51231919000 Γνωστοποιείται ότι η Έκτακτη Γενική Συνέλευση των μετόχων της εταιρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΙΣΑΗΛΙΔΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΙΣΑΗΛΙΔΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ C ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΙΣΑΗΛΙΔΟΥ Χριστίνα Μισαηλίδου C.Misailidou@primedu.uoa.gr Γραφείο: Ιπποκράτους 20, 3 ος όροφος Ώρες Γραφείου: Τρίτη 13.00-15.30 Παρασκευή 10-12 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΟ.Σ. Νο 418 2) ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 5 ΤΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ

ΠΡΑΚΤΙΚΟ.Σ. Νο 418 2) ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 5 ΤΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ 1705 ΠΡΑΚΤΙΚΟ.Σ. Νο 418 Στην Παιανία, σήµερα την 30 η Οκτωβρίου 2015 ηµέρα Παρασκευή και ώρα 09:00 πρωινή, συνήλθε στα γραφεία της εταιρείας στην Παιανία (οδός Αγίου Λουκά), µετά από πρόσκληση του Προέδρου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΑΕ ΕΚΤΑΚΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ 9 ης ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

Η ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΑΕ ΕΚΤΑΚΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ 9 ης ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Η ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΑΕ ΕΚΤΑΚΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ 9 ης ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Σχέδια Αποφάσεων/Σχόλια ιοικητικού Συµβουλίου επί θεµάτων ηµερήσιας διάταξης της Έκτακτης Γενικής Συνέλευσης ΘΕΜΑ 1 ο : Aύξηση της ονοµαστικής

Διαβάστε περισσότερα

1. Με τα ψηφία 5, 8, 0, 2, 6, 1 δημιουργώ εξαψήφιους αριθμούς και μετά τους διατάσσω από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο αριθμό: ...

1. Με τα ψηφία 5, 8, 0, 2, 6, 1 δημιουργώ εξαψήφιους αριθμούς και μετά τους διατάσσω από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο αριθμό: ... Eλέγχω τις γνώσεις μου Aσκήσεις 1. Με τα ψηφία 5, 8, 0, 2, 6, 1 δημιουργώ εξαψήφιους αριθμούς και μετά τους διατάσσω από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο αριθμό:......

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ του Διοικητικού Συμβουλίου της Ανώνυμης Εταιρείας με την επωνυμία «INTERFISH ΙΧΘΥΟΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» και δ.τ.

ΕΚΘΕΣΗ του Διοικητικού Συμβουλίου της Ανώνυμης Εταιρείας με την επωνυμία «INTERFISH ΙΧΘΥΟΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» και δ.τ. ΕΚΘΕΣΗ του Διοικητικού Συμβουλίου της Ανώνυμης Εταιρείας με την επωνυμία «INTERFISH ΙΧΘΥΟΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» και δ.τ. «INTERFISH ΑΕ», Προς την Έκτακτη Γενική Συνέλευση των Μετόχων της 10ης Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

COFFEE CONNECTION ABEE ΠΡΑΚΤΙΚΟ.Σ. 424 Α

COFFEE CONNECTION ABEE ΠΡΑΚΤΙΚΟ.Σ. 424 Α ΠΡΑΚΤΙΚΟ.Σ. 424 Α Στην Παιανία, σήµερα τη 14 η Μαρτίου 2016 ηµέρα ευτέρα και ώρα 11:00 πρωινή, συνήλθε στα γραφεία της εταιρείας στην Παιανία (οδός Αγίου Λουκά), µετά από πρόσκληση του Προέδρου κ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 3: Τροποποίηση του άρθρου 3 παρ. 1 του Καταστατικού της Εταιρίας και κωδικοποίηση αυτού σε ενιαίο κείμενο.

ΘΕΜΑ 3: Τροποποίηση του άρθρου 3 παρ. 1 του Καταστατικού της Εταιρίας και κωδικοποίηση αυτού σε ενιαίο κείμενο. ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΕΠΙ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΗΣ ΕΚΤΑΚΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΣΤΙΣ 14/03/2014 ΤΗΣ ΑΝΩΝΥΜΗΣ ΕΤΑΙΡEΙΑΣ «ΑΕΡΟΠΟΡΙΑ ΑΙΓΑΙΟΥ ΑΝΩΝΥΜΗ ΑΕΡΟΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» («AEGEAN AIRLINES

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-361774 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑ ΑΣ 2 ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά. «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2010 Α Γυμνασίου ΘΕΜΑ 1 ο Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 σχηματίζουμ

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,,,τότε : ( ) : Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε,στη δύναμη f: με f () η οποία στην περίπτωση που είναι 0

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ 1, Λ 2 επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις. Σε περίπτωση που μια σχέση ισχύει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1 Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

συµφωνήθηκε η συγχώνευση της «ATTICA ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΤΑΙΡΙΑ ΣΥΜΜΕΤΟΧΩΝ» µε απορρόφηση, από κοινού και εκ παραλλήλου, στο πλαίσιο ενιαίας διαδικασίας, της

συµφωνήθηκε η συγχώνευση της «ATTICA ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΤΑΙΡΙΑ ΣΥΜΜΕΤΟΧΩΝ» µε απορρόφηση, από κοινού και εκ παραλλήλου, στο πλαίσιο ενιαίας διαδικασίας, της ΣΧΕ ΙΟ ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗΣ της «ATTICA ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΤΑΙΡΙΑ ΣΥΜΜΕΤΟΧΩΝ» ΜΕ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΤΩΝ α) «BLUE STAR ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΗ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» και β) «SUPERFAST FERRIES ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΗ ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑ» Στην Αθήνα, σήµερα,

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα συντίθεται από λογικές πύλες, δέχεται εισόδους και παράγει μία ή περισσότερες εξόδους. Στα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα οι έξοδοι σε κάθε χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Υπενθύµιση Τάξης ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς πώς αντιµετωπίζουµε προβλήµατα της καθηµερινής µας ζωής µε τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2! HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = x

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = x 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ () = α ΘΕΩΡΙΑ. Μορφή της συνάρτησης (Ισοσκελής υπερβολή) Ιδιότητες Πεδίο ορισµού g() = R = (, 0) (0, + ) Είναι περιττή, άρα συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Είναι γν.φθίνουσα

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τα πρόσηµα : Τα µαθηµατικά σύµβολα + και τα ονοµάζουµε πρόσηµα. 2. Θετικοί αρνητικοί αριθµοί : Όλοι οι αριθµοί που µπροστά τους έχουν το πρόσηµο + ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά Ε ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά Ε ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Φύλλα εργασίας Μαθηµατικά Τεύχος Α Για παιδιά Ε ΗΜΟΤΙΚΟΥ Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα 100 σελίδες Περιεχόµενα 1η ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμ.Πρωτ.: Κ * ΛΟΙΠΕΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΕΣ * Νο. 10

Αριθμ.Πρωτ.: Κ * ΛΟΙΠΕΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΕΣ * Νο. 10 - 215 - * ΛΟΙΠΕΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΕΣ * Νο. 10 EΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΕΣΩΤ. ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΕ & ΠΙΣΤΕΩΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αθήνα, 22 Ιανουαρίου 2001 Αριθμ.Πρωτ.:

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Μέρος 1: Βασικές έννοιες Πληροφορικής και επικοινωνιών Μέρος 2: Χρήση υπολογιστή και διαχείριση αρχείων Πρόλογος...

Περιεχόμενα. Μέρος 1: Βασικές έννοιες Πληροφορικής και επικοινωνιών Μέρος 2: Χρήση υπολογιστή και διαχείριση αρχείων Πρόλογος... Περιεχόμενα Πρόλογος...11 Μέρος 1: Βασικές έννοιες Πληροφορικής και επικοινωνιών... 13 1.1 Εισαγωγή στους υπολογιστές... 15 1.2 Μονάδες μέτρησης... 27 1.3 Οι βασικές λειτουργίες ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ : Απαλλαγή του Ορκωτού Ελεγκτή από κάθε ευθύνη αποζημίωσης για τα πεπραγμένα της χρήσης που έληξε την

ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ : Απαλλαγή του Ορκωτού Ελεγκτή από κάθε ευθύνη αποζημίωσης για τα πεπραγμένα της χρήσης που έληξε την ΣΧΕΔΙΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΠΙ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΗΘΕΙΣΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 19.06.2015 ΤΑΚΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ΙΑΣΩ ΙΔΙΩΤΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗ, ΜΑΙΕΥΤΙΚΗ - ΓΥΝΑΙΚΟΛΟΓΙΚΗ & ΠΑΙΔΙΑΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

PROFILE ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

PROFILE ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROFILE ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Σχέδιο προτεινομένων αποφάσεων επί των θεμάτων της ημερησίας διατάξεως της Έκτακτης Γενικής Συνέλευσης των μετόχων της 30 ης Δεκεμβρίου 2014,

Διαβάστε περισσότερα

5. Εγκρίθηκαν ομόφωνα και παμψηφεί οι ακόλουθες συμβάσεις, κατ άρθρο 23α του κ.ν. 2190/1920:

5. Εγκρίθηκαν ομόφωνα και παμψηφεί οι ακόλουθες συμβάσεις, κατ άρθρο 23α του κ.ν. 2190/1920: ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΠΟ 30.06.2015 ΤΑΚΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΑΠΟΥΤΣΑΝΗΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΩΝ ΑΓΑΘΩΝ Η εταιρεία με την επωνυμία "ΠΑΠΟΥΤΣΑΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΒΕ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΗΣ ΤΑΚΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ 19.06.2013

ΕΛΒΕ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΗΣ ΤΑΚΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ 19.06.2013 ΕΛΒΕ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΗΣ ΤΑΚΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ 19.06.2013 ΘΕΜΑ 1 Ο : Υποβολή και έγκριση των Οικονοµικών Καταστάσεων της εταιρικής χρήσης 01/01/2012

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

8. Περαιτέρω το µετοχικό κεφάλαιο της Τράπεζας αυξήθηκε σύµφωνα µε την

8. Περαιτέρω το µετοχικό κεφάλαιο της Τράπεζας αυξήθηκε σύµφωνα µε την Άρθρο 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το αρχικό µετοχικό κεφάλαιο της Τράπεζας συγκροτήθηκε σύµφωνα µε τα οριζόµενα στην παρ. 2 του άρθρου 26 του Ν. 1914/1990 και ανήλθε σε δραχµές εκατόν σαράντα έξι δισεκατοµµύρια διακόσια

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισµικό Μαθηµατικών ΣΤ τάξης 1. Κεφάλαιο 1 ο Φυσικοί αριθµοί : «Φυσικοί αριθµοί Μεγάλοι Φυσικοί αριθµοί Ποιος είναι ο αριθµός»

Εκπαιδευτικό λογισµικό Μαθηµατικών ΣΤ τάξης 1. Κεφάλαιο 1 ο Φυσικοί αριθµοί : «Φυσικοί αριθµοί Μεγάλοι Φυσικοί αριθµοί Ποιος είναι ο αριθµός» Εκπαιδευτικό λογισµικό Μαθηµατικών ΣΤ τάξης 1 Κεφάλαιο 1 ο Φυσικοί αριθµοί : «Φυσικοί αριθµοί Μεγάλοι Φυσικοί αριθµοί Ποιος είναι ο αριθµός» Εκπαιδευτικό λογισµικό Μαθηµατικών ΣΤ τάξης 2 Εκπαιδευτικό λογισµικό

Διαβάστε περισσότερα