Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό."

Transcript

1 A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της λέξης Nature, που σημαίνει φύση), δηλαδή Ν = {0, 1, 2, 3,...}. 2. Άρτιος (ή ζυγός) λέγεται κάθε φυσικός αριθμός που τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, Περιττός (ή μονός) λέγεται κάθε φυσικός αριθμός που τελειώνει σε 1, 3, 5, 7, Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. Ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς δεν υπάρχει άλλος φυσικός αριθμός. Αφού κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο, οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να συνεχίζονται ατελείωτα και, όπως λέμε, είναι άπειροι. χωρίζονται σε: α) άρτιους ή περιττούς, β) μονοψήφιους (έχουν ένα ψηφίο), διψήφιους (έχουν δύο ψηφία), τριψήφιους (έχουν τρία ψηφία) κτλ. Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Για να γράψουμε ένα φυσικό αριθμό, χρησιμοποιούμε τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O τρόπος με τον οποίο διαβάζουμε, συμβολίζουμε και ονομάζουμε ένα φυσικό αριθμό μάς δίνει το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 11

2 Για να ονομάσουμε ένα φυσικό αριθμό, ακολουθούμε τα εξής βήματα: Χωρίζουμε το φυσικό αριθμό από δεξιά ανά τρία ψηφία. Έτσι, η πρώτη (από δεξιά) τριάδα αποτελεί τις μονάδες, η δεύτερη τις χιλιάδες, η τρίτη τα εκατομμύρια, η τέταρτη τα δισεκατομμύρια κτλ. Για να διαβάσουμε το δοσμένο αριθμό, παίρνουμε κάθε τριάδα από αριστερά προς τα δεξιά και ανάλογα με τη θέση της ενώνουμε το ανάλογο συνθετικό. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α O αριθμός διαβάζεται 1 εκατομμύριο 345 χιλιάδες και 405 μονάδες. Επιπλέον, το πρώτο από δεξιά ψηφίο καλείται ψηφίο των μονάδων, το δεύτερο ψηφίο των δεκάδων, το τρίτο ψηφίο των εκατοντάδων, το τέταρτο ψηφίο των χιλιάδων, το πέμπτο ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων, το έκτο ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων, το έβδομο ψηφίο των εκατομμυρίων κτλ. Σχηματικά έχουμε: Δισεκατομμύρια Eκατομμύρια Xιλιάδες Mονάδες δ δ δ ε ι ι ι κ σ σ σ ε ε ε ε ε ε α ε ε ε κ κ κ κ κ χ χ χ κ τ κ δ κ κ α α δ α α α ι δ ι ι α δ μ ο α ε α α τ τ ε τ τ τ λ ε λ λ τ ε ο ν τ κ τ τ ο ο κ ο ο ο ι κ ι ι ο κ ν τ ο ά ο ο ν μ ά μ μ ν ά ά ά ά ν ά ά ά μ δ μ μ τ μ δ μ μ τ δ δ δ δ τ δ δ δ μ ε μ μ ά ύ ε ύ ύ ά ε ε ε ε ά ε ε ε ύ ς ύ ύ δ ρ ς ρ ρ δ ς ς ς ς δ ς ς ς ρ ρ ρ ε ι ι ι ε ε ι ι ι ς α α α ς ς α α α Oι αριθμοί αυτοί διαβάζονται: ένα εκατομμύριο ογδόντα επτά χιλιάδες πεντακόσιες σαράντα έξι μονάδες ένα δισεκατομμύριο τριάντα επτά εκατομμύρια τετρακόσιες πενήντα χιλιάδες και ενενήντα οκτώ μονάδες 12

3 Διάταξη φυσικών αριθμών OÚÈÛÌfi Σύγκριση δύο αριθμών είναι η διαδικασία που μας δείχνει αν οι αριθμοί είναι ίσοι ή ποιος από τους δύο είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα: το ίσον ( = ) για ίσους αριθμούς, το διάφορο ( ) για άνισους αριθμούς, το μεγαλύτερο από ( > ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μεγαλύτερος, το μικρότερο από ( < ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μικρότερος, το μεγαλύτερο ή ίσο από ( ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μεγαλύτερος ή ίσος, το μικρότερο ή ίσο από ( ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μικρότερος ή ίσος. Π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α 5 = 5, 10 5, 6 < 7, 8 > 4, 4 4, 5 5, 6 5, K α ν ό ν α ς σ ύ γ κ ρ ι σ η ς Για να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς, αρχικά μετράμε τα ψηφία τους. Αν κάποιος έχει περισσότερα ψηφία, είναι ο μεγαλύτερος. Αν έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, τότε συγκρίνουμε τα ψηφία της μεγαλύτερης τάξης (τα πρώτα από αριστερά). Αν κάποιο είναι μεγαλύτερο, τότε ο αριθμός στον οποίο βρίσκεται είναι ο μεγαλύτερος. Αν είναι ίσα, συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με το δεύτερο από αριστερά ψηφίο κτλ. Π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α 56 < 123, > 3.298, > Το γεγονός ότι μπορούμε να συγκρίνουμε τους φυσικούς αριθμούς μάς δίνει τη δυνατότητα να τους διατάξουμε (να τους βάλουμε στη σειρά) από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, δηλαδή 0 < 1 < 2 < 3 < Επιπλέον, μας δίνεται η δυνατότητα να τους παραστήσουμε πάνω σε μια ευθεία γραμμή. Θεωρούμε μια ευθεία O A και επιλέγουμε ένα σημείο O πάνω σε αυτήν και ένα σημείο Α δεξιά του, το οποίο εκφράζει το 1. Τότε, με μονάδα μέτρησης το OΑ βρίσκουμε τους επόμενους φυσικούς αριθμούς. H γραμμή αυτή λέγεται ημιάξονας των αριθμών και το O λέγεται αρχή του ημιάξονα. Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 13

4 Στρογγυλοποίηση OÚÈÛÌfi Στρογγυλοποίηση είναι η διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε τον αριθμό με μια προσέγγισή του, δηλαδή μικραίνουμε ή μεγαλώνουμε τον αριθμό ώστε να γίνει πιο εύχρηστος. Κανόνας στρογγυλοποίησης 1. Αν το ψηφίο της επόμενης τάξης προς τα δεξιά είναι 0, 1, 2, 3, 4 (μικρότερο του 5), αφήνουμε τον αριθμό όπως είναι μέχρι το ψηφίο που κάνουμε στρογγυλοποίηση και βάζουμε τα υπόλοιπα ψηφία προς τα δεξιά ίσα με μηδέν. 2. Αν το ψηφίο της επόμενης τάξης προς τα δεξιά είναι 5, 6, 7, 8, 9 (μεγαλύτερο ή ίσο του 5), αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο της τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση και βάζουμε τα υπόλοιπα ψηφία προς τα δεξιά ίσα με μηδέν. 1 2 Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς Στρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού, αναφέροντας πάντα την τάξη στην οποία γίνεται. Έτσι, μιλούμε για στρογγυλοποίηση στη μονάδα, στη δεκάδα, στην εκατοντάδα κτλ. Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το ψηφίο στρογγυλοποίησης!!! Tο σύμβολο διαβάζεται «περίπου ίσο με» και συχνά χρησιμοποιείται στη στρογγυλοποίηση. Α ΜOΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΦΥΣΙΚOΙ ΑΡΙΘΜOΙ 1 Να ονομάσετε τους φυσικούς αριθμούς: 7.234, , επτά χιλιάδες και διακόσιες τριάντα τέσσερις μονάδες ή επτά χιλιάδες διακόσια τριάντα τέσσερα τριάντα τέσσερις χιλιάδες και έξι μονάδες ή τριάντα τέσσερις χιλιάδες έξι δύο εκατομμύρια τριακόσιες τέσσερις χιλιάδες και επτακόσιες ενενήντα οκτώ μονάδες ή δύο εκατομμύρια τριακόσιες τέσσερις χιλιάδες επτακόσια ενενήντα οκτώ. 14

5 2 Να γράψετε τους ακόλουθους αριθμούς: α) τετρακόσια εξήντα οκτώ, β) δύο χιλιάδες και επτά, γ) τρία εκατομμύρια και διακόσια πενήντα. α) 468, β) 2.007, γ) Να βρείτε την τάξη του υπογραμμισμένου ψηφίου στους παρακάτω φυσικούς αριθμούς: α) 234, β) 6.783, γ) , δ) , ε) α) Δεκάδες, β) χιλιάδες, γ) μονάδες, δ) δεκάδες χιλιάδες, ε) εκατοντάδες. 4 Αν σήμερα είναι Δευτέρα, τι μέρα θα είναι μετά από 17 μέρες; Αφού 17 = , οι 17 μέρες είναι δύο εβδομάδες και 3 μέρες, άρα θα έχουμε Πέμπτη. Κάθε 7 μέρες (1 εβδομάδα) έχουμε την ίδια μέρα. 5 Πόσες είναι οι σελίδες ενός βιβλίου ανάμεσα στη σελίδα 35 και στη σελίδα 41; = 5 (οι 36, 37, 38, 39, 40). ανάμεσα στο α και στο β είναι: β α 1 (β > α). 6 Πόσες είναι οι σελίδες ενός κεφαλαίου που αρχίζει στη σελίδα 35 και τελειώνει στη σελίδα 61; = 27 (οι 35, 36, 37,, 60, 61). από το α μέχρι και το β είναι: β α + 1 (β > α). Β MOΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΣΥΓΚΡΙΣΗ KAI ΔΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 α) Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: 345, 344, 56, 102, 67, 239. β) Να βάλετε σε φθίνουσα σειρά τους αριθμούς: 67, 125, 120, 152, 76, 102. α) 56 < 67 < 102 < 239 < 344 < 345. β) 152 > 125 > 120 > 102 > 76 > 67. Αύξουσα σειρά: από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Φθίνουσα σειρά: από το μεγαλύτερο στο μικρότερο. Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 15

6 8 Να κατασκευάσετε έναν ημιάξονα με μονάδα μέτρησης OΑ ίσο με 3 cm. Να τοποθετήσετε τα σημεία Β, Γ, Δ σε αποστάσεις 6 cm, 9 cm, 15 cm. Ποιοι αριθμοί αντιστοιχούν στα σημεία αυτά; Κατασκευάζουμε τον ημιάξονα και προκύπτει το διπλανό σχήμα. 0 3 cm Επιπλέον, αφού το OΑ εκφράζει τη μονάδα μέτρησης, στο Α αντιστοιχεί O A B το 1, στο Β το 2 (2 3 cm), στο Γ το 3 (3 3 cm) και στο Δ το 5 (5 3 cm). Γ ΜOΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΣΤΡOΓΓΥΛOΠOΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Να στρογγυλοποιήσετε τους ακόλουθους αριθμούς στη δεκάδα: α) 561, β) 1.287, γ) α) Εντοπίζουμε το ψηφίο των δεκάδων του 561, που είναι το 6. Το αμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 1, που ανήκει στην πρώτη ομάδα (0, 1, 2, 3, 4), άρα γίνεται 0 και το 6 παραμένει 6, δηλαδή ο ζητούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμός είναι ο 560. β) Εντοπίζουμε το ψηφίο των δεκάδων του 1.287, που είναι το 8. Το αμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 7, που ανήκει στη δεύτερη ομάδα (5, 6, 7, 8, 9), άρα γίνεται 0 και το 8 γίνεται 9, δηλαδή ο ζητούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμός είναι ο γ) Εντοπίζουμε το ψηφίο των δεκάδων του , που είναι το 9. Το αμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 9, που ανήκει στη δεύτερη ομάδα (5, 6, 7, 8, 9), άρα γίνεται 0 και το 9 γίνεται 10!!! Προφανώς αυτό δεν μπορεί να συμβεί, οπότε το 9 γίνεται 0 και η εκατοντάδα (10 δεκάδες) προστίθεται στις εκατοντάδες και έτσι το 0 γίνεται 1, δηλαδή ο ζητούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμός είναι ο Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό στην εκατοντάδα. Εντοπίζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων του 9.999, που είναι το 9 (9.999). Το αμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 9, που ανήκει στη δεύτερη ομάδα, άρα γίνεται 0 και το 9 γίνεται 10!!! Προφανώς αυτό δεν μπορεί να συμβεί, οπότε προσθέτουμε 1 στη χιλιάδα και έτσι το 9 γίνεται 10!!! Επομένως στο ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων (το 0) προσθέτουμε 1, και το 0 (09.999) γίνεται 1, δηλαδή ο ζητούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμός είναι ο

7 11 Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί που, αν τους στρογγυλοποιήσουμε στην πλησιέστερη δεκάδα, παίρνουμε τον αριθμό 70; Στο 70 το ψηφίο των δεκάδων είναι το 7. Από τους κανόνες στρογγυλοποίησης γνωρίζουμε ότι το ψηφίο στο οποίο στρογγυλοποιούμε είτε παραμένει ίδιο είτε αυξάνεται κατά ένα, δηλαδή το ψηφίο των δεκάδων του αρχικού αριθμού είναι 6 ή 7, άρα οι αριθμοί θα έχουν μορφή: 6_ ή 7_. Αν ο αριθμός είναι ο 6_, για να γίνει 70, θα πρέπει η κενή θέση να είναι 5, 6, 7, 8 ή 9, ώστε με τη στρογγυλοποίηση το 6 να γίνει 7. Συνεπώς οι αριθμοί είναι: 65, 66, 67, 68 ή 69. Αν ο αριθμός είναι ο 7_, για να γίνει 70, θα πρέπει η κενή θέση να είναι 0, 1, 2, 3 ή 4, ώστε με τη στρογγυλοποίηση το 7 να παραμείνει 7. Συνεπώς οι αριθμοί είναι: 70, 71, 72, 73 ή 74. Επομένως οι αριθμοί είναι οι: 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73 ή 74. EPø TH EI NEOY TY OY Nα συμπληρώσετε τα κενά στις ακόλουθες φράσεις. Ειδικά για τις ερωτήσεις 1 και 2 να συμπληρώσετε με <, >, =. 1. Αφού και 15 13, τότε O αριθμός στρογγυλοποιείται στη δεκάδα ως... και στην εκατοντάδα ως Ανάμεσα στο 145 και στο 732 υπάρχουν.. φυσικοί αριθμοί. 5. Αν σε έναν ημιάξονα OΑ = 4 cm και OΒ = 12 cm, το Β εκφράζει τον αριθμό. Α Oμάδα 1. Να ονομάσετε τους φυσικούς αριθμούς: 4.903, , Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 17

8 2. Να γράψετε τους ακόλουθους αριθμούς: α) χίλια οκτακόσια έξι, β) επτακόσια είκοσι πέντε, γ) οκτώ χιλιάδες τριάντα δύο, δ) δύο εκατομμύρια δέκα χιλιάδες και τριακόσια εβδομήντα οκτώ. 3. Να βρείτε την τάξη του υπογραμμισμένου ψηφίου στους παρακάτω φυσικούς αριθμούς: α) 3.124, β) , γ) 316, δ) 892, ε) Nα γράψετε τους άρτιους από το 125 ως το Να γράψετε τους περιττούς αριθμούς από το 562 ως το Αν σήμερα είναι Δευτέρα, τι μέρα θα είναι: α) μετά από 21 μέρες, β) μετά από 30 μέρες, γ) μετά από 234 μέρες; 7. Πόσες διανυκτερεύσεις θα γίνουν σε μια πενθήμερη εκδρομή; 8. Πόσες είναι οι σελίδες ενός βιβλίου ανάμεσα στη σελίδα 178 και στη σελίδα 443; 9. Aπό το βιβλίο των Mαθηματικών δόθηκαν στους μαθητές για το επόμενο μάθημα οι ασκήσεις από την 4 ως και την 8. Πόσες ασκήσεις δόθηκαν; 10. Πόσες είναι οι σελίδες ενός κεφαλαίου που αρχίζει στη σελίδα 96 και τελειώνει στη σελίδα 678; 11. α) Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: 987, 789, 897, 879, 978, 798. β) Να βάλετε σε φθίνουσα σειρά τους αριθμούς: 120, 210, 12, 21, 102, Να κατασκευάσετε έναν ημιάξονα με μονάδα μέτρησης OΑ ίσο με 4 cm. Να τοποθετήσετε τα σημεία Β, Γ, Δ σε αποστάσεις 8 cm, 20 cm, 36 cm. Ποιοι αριθμοί αντιστοιχούν στα σημεία αυτά; 13. Να στρογγυλοποιήσετε τους ακόλουθους αριθμούς στην εκατοντάδα: α) 872, β) , γ) , δ) Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό : α) στη δεκάδα, β) στην εκατοντάδα, γ) στις δεκάδες χιλιάδες, δ) στα εκατομμύρια. 15. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα κάνοντας τις στρογγυλοποιήσεις στο ψηφίο που ζητείται Xιλιάδα Eκατοντάδα Δεκάδα 18

9 B Oμάδα 16. Nα γράψετε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς που έχουν ως ψηφία ένα πεντάρι, ένα δυάρι, ένα οκτάρι και ένα εννιάρι. 17. Να βρείτε πόσοι είναι όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί. 18. Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός διαφορετικός του μηδενός, να γράψετε: α) τον επόμενό του, β) τον προηγούμενό του και γ) τον επόμενο του επομένου του. 19. Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί που, αν τους στρογγυλοποιήσουμε στην πλησιέστερη δεκάδα, παίρνουμε τον αριθμό 250; 20. Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί που, αν τους στρογγυλοποιήσουμε στην πλησιέστερη εκατοντάδα, παίρνουμε τον αριθμό Να βρείτε τους τετραψήφιους αριθμούς που είναι μικρότεροι του και που η στρογγυλοποίησή τους στην πλησιέστερη χιλιάδα είναι Να συμπληρωθεί το κενό με το κατάλληλο ψηφίο, ώστε ο αριθμός 1.7_7, όταν στρογγυλοποιηθεί στην πλησιέστερη δεκάδα, να γίνει Ένας φυσικός αριθμός στρογγυλοποιείται στην πλησιέστερη δεκάδα. Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο, αν με τη στρογγυλοποίηση: α) μικραίνει κατά 2, β) μεγαλώνει κατά Να εξετάσετε σε ποιες περιπτώσεις δε γίνεται στρογγυλοποίηση: α) στον ταχυδρομικό κώδικα μιας περιοχής, β) στον τηλεφωνικό αριθμό του σπιτιού σου, γ) στην τιμή ενός προϊόντος, δ) στον αριθμό της διεύθυνσής σου, ε) στο πλήθος των μαθητών ενός σχολείου. Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 19

10 Y O EI EI A ANTH EI Απαντήσεις συμπλήρωσης: 1. <, >, <, 2. =, , 7.200, , Tέσσερις χιλιάδες και εννιακόσια τρία, δεκατρείς χιλιάδες διακόσια εννέα, εκατόν είκοσι τρία εκατομμύρια τετρακόσιες πενήντα έξι χιλιάδες και επτακόσια ογδόντα εννέα. 2. α) 1.806, β) 725, γ) 8.032, γ) α) Eκατοντάδες, β) χιλιάδες, γ) δεκάδες, δ) μονάδες, ε) δεκάδες εκατομμύρια , 128, 130, 132, 134, 136, 138, , 565, 567, 569, 571, 573, 575, 577, α) Δευτέρα, β) Τετάρτη, γ) Πέμπτη α) 789 < 798 < 879 < 897 < 978 < 987, β) 210 > 201 > 120 > 102 > 21 > Το Β είναι το 2, το Γ είναι το 5 και το Δ είναι το α) 900, β) , γ) , δ) α) , β) , γ) , δ) Xιλιάδα Eκατοντάδα Δεκάδα , 2.598, 2.859, 2.895, 2.958, 2.985, 5.289, 5.298, 5.829, 5.892, 5.982, 5.928, 8.259, 8.295, 8.529, 8.592, 8.925, 8.952, 9.258, 9.285, 9.528, 9.582, 9.825, α) ν + 1, β) ν 1, γ) ν = ν , 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, , 651,, , 9.501,, α) 2, β) α, β, δ. 20

11 A.1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση OÚÈÛÌfi Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, που λέγονται προσθετέοι, βρίσκουμε έναν τρίτο αριθμό γ, που είναι το άθροισμά τους, δηλαδή α + β = γ. Π α ρ α τ ή ρ η σ η Για να προσθέσουμε κάθετα φυσικούς αριθμούς, βάζουμε τις μονάδες κάτω από τις μονάδες, τις δεκάδες κάτω από τις δεκάδες κτλ., ώστε τα ψηφία της κάθε τάξης να είναι στην ίδια στήλη. Αυτό σημαίνει ότι «στοιχίζουμε» τους προσθετέους από δεξιά. Παράδειγμα Ιδιότητες της πρόσθεσης Το 0, όταν προστεθεί σε ένα φυσικό αριθμό, δεν τον μεταβάλλει. Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. α + 0 = 0 + α = α Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο προσθετέων ενός αθροίσματος. Η ιδιότητα αυτή λέγεται αντιμεταθετική ιδιότητα. α + β = β + α Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους ή να αναλύουμε έναν προσθετέο σε άθροισμα. Η ιδιότητα αυτή λέγεται προσεταιριστική ιδιότητα. α + (β + γ) = (α + β) + γ Αφαίρεση OÚÈÛÌfi Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δοθούν δύο αριθμοί, ο μειωτέος (Μ) και ο αφαιρετέος (Α), βρίσκουμε τη διαφορά τους (Δ), δηλαδή Μ Α = Δ, αφού Α + Δ = Μ. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 21

12 1 2 3 Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς Στην αφαίρεση φυσικών αριθμών ο αφαιρετέος (Α) πρέπει να είναι πάντα μικρότερος ή ίσος του μειωτέου (Μ), αλλιώς η πράξη δεν μπορεί να γίνει. Π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α = 24, ενώ = ;;; Για να αφαιρέσουμε κάθετα δύο φυσικούς αριθμούς, βάζουμε επάνω το μειωτέο, από κάτω τον αφαιρετέο και τις μονάδες κάτω από τις μονάδες, τις δεκάδες κάτω από τις δεκάδες κτλ., ώστε τα ψηφία της κάθε τάξης να είναι στην ίδια στήλη. Η αφαίρεση είναι η αντίθετη πράξη της πρόσθεσης και ως εκ τούτου η πρόσθεση είναι η επαλήθευση της αφαίρεσης. Ισχύουν οι σχέσεις: Δ = Μ Α ή Μ = Α + Δ ή Α = Μ Δ Πολλαπλασιασμός OÚÈÛÌfi Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, που λέγονται παράγοντες, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το γινόμενό τους, δηλαδή α β = γ. Π α ρ α τ ή ρ η σ η Το γινόμενο 3 4 διαβάζεται «3 φορές το 4» και γράφουμε: 3 4 = Oμοίως, αν έχουμε μεταβλητές: α + α + α = 3 α = 3α, x + x + x + x + x = 5 x = 5x, β = 1 β, 0 γ = 0. Προσέξτε ότι στο γινόμενο αριθμού με μεταβλητή ή μεταξύ μεταβλητών το επί ( ) μπορεί να παραληφθεί, κάτι το οποίο δεν μπορεί να συμβεί ανάμεσα σε αριθμούς!!! Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού Το 1, όταν πολλαπλασιαστεί με ένα φυσικό αριθμό, δεν τον μεταβάλλει. Το 1 λέγεται ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. α 1 = 1 α = α Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου. Η ιδιότητα αυτή λέγεται αντιμεταθετική ιδιότητα. α β = β α Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους ή να αναλύουμε έναν παράγοντα σε γινόμενο. Η ιδιότητα αυτή λέγεται προσεταιριστική ιδιότητα. α (β γ) = (α β) γ 22

13 Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν κάνει πάντα μηδέν. Το 0 λέγεται απορροφητικό στοιχείο. α 0 = 0 α = 0 Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση: Γεωμετρική απόδειξη Θεωρούμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις ΑΔ = α, ΑΒ = β + γ και εμβαδόν A Ε ΑΒΓΔ = α (β + γ). Παίρνουμε σημείο Κ στην ΑΒ ώστε ΑΚ = β, οπότε ΚΒ = γ, και φέρνουμε ΚΛ // ΑΔ // ΒΓ. Δημιουργούμε έτσι δύο νέα ορθογώνια, + τα ΑΚΛΔ και ΚΒΓΛ, διαστάσεων α, β και α, γ αντίστοιχα, με εμβαδά Ε ΑΚΛΔ = α β και Ε ΚΒΓΛ = α γ. Αφού Ε ΑΒΓΔ = Ε ΑΚΛΔ + Ε ΚΒΓΛ, έχουμε: α (β + γ) = αβ + αγ. Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την αφαίρεση: Γεωμετρική απόδειξη Θεωρούμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις ΑΔ = α, ΑΒ = β γ (β>γ) και εμβαδόν A B K Ε ΑΒΓΔ = α (β γ). Προεκτείνουμε την ΑΒ προς το Β και παίρνουμε σημείο Κ ώστε ΒΚ = γ, οπότε ΑΚ = β γ + γ = β, και φέρνουμε ΚΛ // ΑΔ // ΒΓ. Δημιουργούμε έτσι δύο νέα ορθογώνια, τα ΑΚΛΔ και ΚΒΓΛ, διαστάσεων α, β και α, γ αντίστοιχα, με εμβαδά Ε ΑΚΛΔ = α β και Ε ΚΒΓΛ = α γ. Αφού Ε ΑΒΓΔ = Ε ΑΚΛΔ Ε ΚΒΓΛ, έχουμε: α (β γ) = αβ αγ. Π α ρ α τ ή ρ η σ η Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα φυσικό με 10, 100, κτλ., γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα και τα μηδενικά του παράγοντα 10, 100, 1.000, Π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α = , = , = Προτεραιότητα των πράξεων α (β + γ) = α β + α γ α (β γ) = α β α γ Αν μας ζητούν να βρούμε ένα αριθμητικό αποτέλεσμα, η σειρά με την οποία θα κάνουμε τις πράξεις (που είδαμε μέχρι στιγμής) είναι: 1 Oι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, όπου πρώτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και μετά προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά. 2 Πολλαπλασιασμοί. 3 Προσθέσεις και αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 23 K B

14 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α ( ) = = ( ) = [πολλαπλασιασμοί στις παρενθέσεις] = ( ) = [προσθέσεις και αφαιρέσεις στις παρενθέσεις] = = [πολλαπλασιασμοί] = = = = = 97 5 = 92. [προσθέσεις και αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά] Α ΜOΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1 Να γίνουν οι πράξεις: α) , β) , γ) α) β) γ) x Να συμπληρώσετε τα κενά με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να προκύψουν σωστές πράξεις. α).5 7 β) γ) x α) β) γ) x

15 3 Να κάνετε τις πράξεις: α) , β) , γ) 123 (67 48), δ) 123 ( ), ε) α) = = 104. β) = = 8. γ) 123 (67 48) = = 104. δ) 123 ( ) = = 8. ε) = = = = = = 190. Κάνουμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις και μετά τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά. 4 Να κάνετε με δύο τρόπους τις πράξεις: α) , β) α β γ = α (β + γ). α) 1ος τρόπος: = = ος τρόπος: = 509 ( ) = = 413. β) 1ος τρόπος: = = ος τρόπος: = 967 ( ) = = Να βρείτε τα ακόλουθα αποτελέσματα: Α = , Β = , Γ = 3 ( ) Α = = = [πολλαπλασιασμοί] = = = 19. [προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά] Β = = [πολλαπλασιασμοί] = = [προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά] = = = 217. Γ= 3 ( ) = = 3 ( ) = [πολλαπλασιασμοί στις παρενθέσεις] = 3 (100 45) = [προσθέσεις και αφαιρέσεις στις παρενθέσεις] = = = [πολλαπλασιασμοί] = = 62. [προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά] Β ΜOΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 6 Αν α = 396, β = 597, να υπολογίσετε τα αποτελέσματα: α) α + β, β) β α, γ) α 98 + β, δ) α β. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 25

16 α) α + β = = 993. β) β α = = 201. γ) α 98 + β = = = 895. δ) α β = = = = = Αν α + β = 17 και β + γ = 15, να υπολογίσετε τα αποτελέσματα: α) α + β 11, β) α β, γ) β + α + γ + β, δ) β 13 + γ + 7. α) α + β 11 = = 6. β) α β = α + β + 2 = = 19. γ) β + α + γ + β = α + β + β + γ = = = 32. δ) β 13 + γ + 7 = β + γ = = = = 9. Δεν αντικαθιστούμε συγκεκριμένες τιμές στα α, β, γ. Δε βάζουμε, για παράδειγμα, α = 10, β = 7, γ = 8!!! 8 Να βρεθεί ποιος αριθμός μπορεί να πάρει τη θέση του x, ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: α) x + 49 = 92, β) 627 x = 491. α) Στην ισότητα x + 49 = 92 β) Στην ισότητα 627 x = 491 θεωρούμε Α = x, Δ = 49 θεωρούμε Μ = 627, Α = x και Μ = 92, για να ισχύει και Δ = 491, για να ισχύει Α + Δ = Μ, οπότε, αφού Μ Α = Δ, οπότε, αφού Α = Μ Δ, έχουμε ότι: Α = Μ Δ, έχουμε ότι: x = = 43. x = = 136. Δ = M A ή Μ = Α + Δ ή Α = Μ Δ Γ ΜOΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΕΦΑΡΜOΓΕΣ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗΣ ΙΔΙOΤΗΤΑΣ M ıô Ô Χρησιμοποιούμε τις α (β + γ) = αβ + αγ ξεκινώντας από το μέλος της επιμεριστικής ιδιότητας που μας εξυπηρετεί καλύτερα. 9 Να γράψετε πιο σύντομα τις ακόλουθες παραστάσεις: α) x + x + x + x, β) y + y + 5y 3y, γ) αβ + αβ + αβ + αβ + αβ + αβ. 26

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό. A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος Κεφάλαιο 1o : Οι Φυσικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 1 Υποενότητα 1.1: Φυσικοί Αριθµοί ιάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση Θεµατικές Ενότητες: 1. Φυσικοί Αριθµοί - ιάταξη Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών Μάθημα 5 ο Για να προσθέσω φυσικούς αριθμούς πρέπει να προσθέσω τις μονάδες των αριθμών αυτών, μετά τις δεκάδες των αριθμών, μετά τις εκατοντάδες κλπ. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ονομασία αριθμός ψηφίων αριθμοί έχουν 1 ψηφίο έχουν 2 ψηφία έχουν 3 ψηφία έχουν 4 ψηφία...

ονομασία αριθμός ψηφίων αριθμοί έχουν 1 ψηφίο έχουν 2 ψηφία έχουν 3 ψηφία έχουν 4 ψηφία... Μαθηματικά Κεφάλαιο 1 Φυσικοί αριθμοί Όνομα: Ημερομηνία: / / Θεωρία Φυσικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφεί μόνο με τη βοήθεια των ψηφίων 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9. Οι αριθμοί 0,1,2,3,,9,10,11,,100,101,,

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 1 Α. 1.2. Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 98, 99, 100... 1999, 2000, 2001,... ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Στρογγυλοποίηση. Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού αριθμού - Δεκαδική τάξη ψηφίων 1.1 Δίνεται ο αριθμός 23.586.504.

Στρογγυλοποίηση. Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού αριθμού - Δεκαδική τάξη ψηφίων 1.1 Δίνεται ο αριθμός 23.586.504. 1 1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη Στρογγυλοποίηση Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού αριθμού - Δεκαδική τάξη ψηφίων 1.1 Δίνεται ο αριθμός 23.586.504. α) Τι δηλώνει κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού ανάλογα με τη θέση του;

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Α Περίοδος Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την εκτίμηση υπολογισμών, δηλαδή με την εύρεση ενός αποτελέσματος στο «περίπου» ή «κατ εκτίμηση» ή «πάνω-κάτω» ή «χοντρά-χοντρά»,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

1. Με τα ψηφία 5, 8, 0, 2, 6, 1 δημιουργώ εξαψήφιους αριθμούς και μετά τους διατάσσω από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο αριθμό: ...

1. Με τα ψηφία 5, 8, 0, 2, 6, 1 δημιουργώ εξαψήφιους αριθμούς και μετά τους διατάσσω από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο αριθμό: ... Eλέγχω τις γνώσεις μου Aσκήσεις 1. Με τα ψηφία 5, 8, 0, 2, 6, 1 δημιουργώ εξαψήφιους αριθμούς και μετά τους διατάσσω από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο αριθμό:......

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις

Ασκήσεις Ασκήσεις Μάθημα 1 ο 1. Να κάνεις τις προσθέσεις : 209 101 595 614 185 212 709 221 127 667 + 127 + 111 + 100 + 202 + 103 548 921 916 943 955 345 538 816 248 347 723 707 340 248 394 307 + 249 + 237 + 185

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εξασκηθώ 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200. ... +... =... β) 4.100... +... +... +...

Για να εξασκηθώ 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200. ... +... =... β) 4.100... +... +... +... 2 Διαχειρίζομαι αριθμούς ως το 10. 00 Για να εξασκηθώ 1. Βρίσκω το διπλάσιο των αριθμών όπως στο παράδειγμα. 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200 α) 3.400... +... +... +...... +... =...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Α ΠΕΡΙΟ ΟΣ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Κεφάλαιο 1ο Παιχνίδια στην κατασκήνωση Υπενθύμιση τάξης Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 αντιστοιχούν στις μονάδες, λέμε δηλαδή ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα

Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Α ΠΕΡΙΟ ΟΣ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Κεφάλαιο 1ο Παιχνίδια στην κατασκήνωση Υπενθύμιση τάξης Τι είναι: μονάδα, δεκάδα και εκατοντάδα Τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 αντιστοιχούν στις μονάδες, λέμε δηλαδή ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σε συνέχεια προηγούμενων εισηγήσεών του, το Διοικητικό Συμβούλιο της Εταιρείας με την επωνυμία Ξενοδοχειακαί Τουριστικαί Οικοδομικαί και Λατομικαί Επιχειρήσεις Ο ΚΕΚΡΟΨ Α.Ε. προτείνει την τροποποίηση του

Διαβάστε περισσότερα

Η Γενική Συνέλευση αποφάσισε ομόφωνα / με πλειοψηφία.% :

Η Γενική Συνέλευση αποφάσισε ομόφωνα / με πλειοψηφία.% : ΘΕΜΑ : Αύξηση του μετοχικού κεφαλαίου της Εταιρείας έως του ποσού των τριάντα εκατομμυρίων, πεντακοσίων ογδόντα έξι χιλιάδων οκτακοσίων τριάντα επτά ευρώ και πενήντα λεπτών ( 30.586.837,50) με καταβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Αλγεβρικές Παραστάσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «Το μετοχικό κεφάλαιο της Εταιρείας ανέρχεται σήμερα στο ποσό των ευρώ πέντε εκατομμυρίων εννιακοσίων σαράντα μίας χιλιάδων

Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «Το μετοχικό κεφάλαιο της Εταιρείας ανέρχεται σήμερα στο ποσό των ευρώ πέντε εκατομμυρίων εννιακοσίων σαράντα μίας χιλιάδων Άρθρο 4 ΜΕΤΟΧΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «Το μετοχικό κεφάλαιο της Εταιρείας ανέρχεται σήμερα στο ποσό των ευρώ πέντε εκατομμυρίων εννιακοσίων σαράντα μίας χιλιάδων διακοσίων σαράντα και είκοσι λεπτών του ευρώ ( 5.941.240,20)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Φύλλα εργασίας Μαθηµατικά Τεύχος Α Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα 116 σελίδες Περιεχόµενα 1η ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΤΗΣ ΠΑΡ. 1 ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 5 ΤΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ALPHA TRUST-ΑΝ ΡΟΜΕ Α Α.Ε.Ε.Χ.» (όπως θα προταθεί προς έγκριση στην Τακτική Γενική Συνέλευση των µετόχων της Εταιρίας της 11 ης Απριλίου 2014)

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 5 + 1 4 + 1. Κάνω τις ασκήσεις

3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 5 + 1 4 + 1. Κάνω τις ασκήσεις 3. Παρατηρώ παρακάτω πώς σχηματίζονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10: 9 + 1 7 + 1 8 + 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 1 + 1 0 + 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Κάνω τις ασκήσεις 1. Γράφω με τη σειρά μέσα στα κυκλάκια

Διαβάστε περισσότερα

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς:

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς: Λύνω τις ασκήσεις 1. Γράφω δίπλα με ψηφία τους παρακάτω αριθμούς: Εκατόν ενενήντα εννέα:.. Τριακόσια ένα: Τετρακόσια πενήντα οκτώ:... Πεντακόσια εννέα:.. Οχτακόσια ογδόντα οκτώ:.... Εννιακόσια δύο: Εννιακόσια

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητής = Παρονομαστής

Αριθμητής = Παρονομαστής Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ. ΑΡΘΡΟ 4ο ΔΙΑΡΚΕΙΑ

ΣΧΕΔΙΟ. ΑΡΘΡΟ 4ο ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΧΕΔΙΟ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 4 ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡ. 1 ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 5 ΤΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ALPHA TRUST-ΑΝΔΡΟΜΕΔΑ Α.Ε.Ε.Χ.» (όπως θα προταθεί προς έγκριση στην Έκτακτη Γενική Συνέλευση των μετόχων της Εταιρίας της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 8 Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 8 Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία ενώνουμε δύο ή περισσότερους

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Τεύχος 1οο ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝΙΔΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΑΚΡΙΒΟΠΟΥΛΟΥΥ ΓΕΩΡΓΙΑ Μαθηματικά Ε Μαθηματικά Ε Υπενθύμιση Δ τάξης Ασκήσεις Μάθημα 1 ο 1. Να κάνεις τις προσθέσεις : 209 101 595 614

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Στ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Due 8-22

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Στ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η Due 8-22 ΑΘΗΑΤΙΚΑ Στ - ΝΟΤΗΤΑ 1 η Due 8-22 ΘΑ: Ανάλυση αριθµών, αξία θέσης ψηφίου. ΟΝΟΑ:... Τάξη:...Ηµερ.../.../... ΡΟΣ Α : 1. Ανάλυσε τους αριθµούς χρησιµοποιώντας διάφορους τρόπους. Χιλιάδες Χ 56 248 5 6 24 8

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ : Απαλλαγή του Ορκωτού Ελεγκτή από κάθε ευθύνη αποζημίωσης για τα πεπραγμένα της χρήσης που έληξε την

ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ : Απαλλαγή του Ορκωτού Ελεγκτή από κάθε ευθύνη αποζημίωσης για τα πεπραγμένα της χρήσης που έληξε την ΣΧΕΔΙΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΠΙ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΗΘΕΙΣΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 19.06.2015 ΤΑΚΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΙΑΣ «ΙΑΣΩ ΙΔΙΩΤΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗ, ΜΑΙΕΥΤΙΚΗ - ΓΥΝΑΙΚΟΛΟΓΙΚΗ & ΠΑΙΔΙΑΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Παπαθανασίου Δημήτρης Παπαθανασίου MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ Σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο

Γιάννης Παπαθανασίου Δημήτρης Παπαθανασίου MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ Σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο Γιάννης Παπαθανασίου Δημήτρης Παπαθανασίου MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ Σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο Περιεχόμενα Προλογικό σημείωμα... 9 Ενότητα 1 Κεφάλαιο 1 Υπενθύμιση Α μέρος... 13 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά. 1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 2 Α. 2.1. Όταν ένα μέγεθο ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα (!,!,!,!,! ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας,!!!!! χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες και εφαρμογίδια.

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Η ιδιότητα α+ β = β+ α λέγεται.. 2. Η ιδιότητα α ( β γ) ( ) + + = α+ β + γ λέγεται. 3. Ο αριθμός 0 είναι το..της πρόσθεσης φυσικών αριθμών αφού ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα