ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ. Sagredo : Δ εν υπάρχει αµφιβολία ότι η ορµή ενός σώµατος σε πτώση

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Sagredo : Δ εν υπάρχει αµφιβολία ότι η ορµή ενός σώµατος σε πτώση διπλασιάζεται όταν αυτό πέφτει από διπλάσιο ύψος. Salviati : Είναι πολύ παρήγορο που είχα τέτοιο σύντροφο στην πλάνη, γιατί κάποτε συµµεριζόµουν αυτή την εσφαλµένη αντίληψη. Galileo Galilei (16 ος αιώνας) Ο Γαλιλαίος είχε µμιλήσει για το φυσικό νόηµμα της ορµμής στα κείµμενά του 1 και ο Νεύτωνας, στα κείµμενά του, 2 θεωρούσε την ορµμή και τη στροφορµμή ως βασικά φυσικά και εννοιολογικά χαρακτηριστικά της κίνησης των σωµμάτων στο χώρο. Έναν αιώνα αργότερα, οι µμαθηµματικοί επεδίωξαν την αυστηρή αναδιατύπωση των θεµμελιωδών αρχών που είχε εισάγει ο Νεύτωνας, έχοντας πλέον στη διά- θεσή τους το επιστηµμονικό σκεπτικό που διαµμορφώθηκε µμε τη δηµμιουργία και την εισαγωγή του Μαθηµματικού Λογισµμού. Με την εξέλιξη της επιστηµμονικής γνώσης οι έννοιες της ορµμής και της στρο- φορµμής, αλλά και της ενέργειας, απέκτησαν κεντρικό εννοιολογικό ρόλο στην προσπάθεια ερµμηνείας και κατανόησης της φυσικής πραγµματικότητας. Οι εξε- λίξεις ανέδειξαν τη σπουδαιότητά τους και έγινε αντιληπτό ότι οι αρχές της δι- ατήρησής τους βρίσκονται σε λογική ανταπόκριση αντίστοιχα µμε τη χωρική οµμογένεια, τη χωρική ισοτροπία και τη χρονική οµμογένεια. Αυτός είναι ο βαθύ- τερος λόγος που καθιστά αυτές τις έννοιες θεµμελιακές στην Κλασική Μηχανική. 1 Galileo Galilei : Discorsi e Dimostrazioni Matematica, intorno a due nuove scienze, Isaac ewton, Philosophiæ aturalis Principia Mathematica, 1687

2 138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 5.1. Ο κλασικός ορισμός της ορμής και η αρχή της διατήρησής της. Η ορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας κατά την κίνησή της στο χώρο ορίζεται κάθε χρο- νική στιγµμή ως το γινόµμενο της µμάζας της επί την ταχύτητά της: p(t) = m r Εισάγοντας την έννοια της ορµμής, η εξίσωση της κίνησης µμιας σηµμειακής µμάζας στο χώρο εκφράζεται στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς ως εξής: d p dt = F (Εξίσωση του Νεύτωνα) Η ασκούµμενη δύναµμη προσδίδει στη σηµμειακή µμάζα µμια ώθηση που µμεταξύ δυο χρονικών στιγµμών υπολογίζεται ως εξής: t 2 F(t)dt = p o (t 2 ) p o (t 1 ). t 1 Η ορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας εξαρτάται από το σύστηµμα αναφοράς στο οποίο καταγράφεται η ταχύτητά της. Όταν σηµμειακές µμάζες συγκροτούν ένα ενιαίο σύστηµμα, µμε την έννοια της αµμοιβαίας αλληλεπίδρασής τους, αθροίζοντας τις ορµμές τους ορίζεται κάθε χρο- νική στιγµμή η ολική ορµμή του συστήµματός τους: p(t) = p i (t), p i (t) = m i r i (t), i = 1,...,. Θεώρηµα. Η ορµή κάθε συστήµατος σηµειακών µαζών συµπίπτει µε την ορµή του αδρανειακού του κέντρου όπου εκεί θεωρείται αθροισµένη η µάζα τους και εφαρµόζεται η συνισταµένη των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων : 1 p o (t) = m r o 1 Η απόδειξη αυτής της σηµμαντικής ιδιότητας προκύπτει µμε έναν απλό υπολογισµμό: p(t) = p i (t) = m i r i (t) = d dt m ri i (t) = d mr dt o (t) ( ) = m r o (t) = p o

3 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 139 Η ορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών συµμπίπτει µμε την ορµμή του αδρανειακού του κέντρου. Κατά την κίνηση ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών στο χώρο η πρώτη αξιο- σηµμείωτη παρατήρηση είναι ότι η ορµμή του συµμπίπτει µμε την ορµμή του αδρα- νειακού του κέντρου. Το ουσιαστικό όµμως είναι ότι µμόνο οι εξωτερικές δυνάµμεις έχουν τη δυνατότητα να µμεταβάλουν την ορµμή του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών. Οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης δεν έχουν αυτή τη δυνατότητα γιατί αλληλοαναιρούνται όπως επιβάλλεται από τον τρίτο νόµμο του Νεύτωνα. Με εφαρµμογή του δεύτερου νόµμου του Νεύτωνα στην κίνηση που εκτελεί το αδρανειακό κέντρο, λαµμβάνοντας υπόψη το µμηδενισµμό της συνισταµμένης των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης, προκύπτει το ακόλουθο θεώρηµμα: Θεώρηµα. Η εξίσωση που διέπει την κίνηση του αδρανειακού κέντρου ενός συστήµατος σηµειακών µαζών στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς δηλώνει ότι η χρονική παράγωγος της ορµής του ισούται µε το άθροισµα των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων στις σηµειακές µάζες : 1 dp o dt = F i. Από το θεώρηµμα αυτό προκύπτει απευθείας η κεφαλαιώδους σηµμασίας φυσική αρχή της διατήρησης της ορµμής για τα συστήµματα σηµμειακών µμαζών: Θεώρηµα. Αρχή διατήρησης της ορµής. Αν η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σύστηµα σηµειακών µαζών είναι µηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησής του η ορµή του διατηρείται σταθερή, παρότι οι ορµές των συστατικών του στοιχείων ίσως δεν είναι σταθερές : F i (t) = 0 p(t) = p i (t) σταθερή. 1 Λαµμβάνοντας υπόψη τις εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης που ασκούνται σε κάθε συστατική σηµμειακή µμάζα του συστήµματος και αθροίζοντας στο σύνολο των σηµμειακών µμαζών προκύπτει: dp ι dt = F i + f ij, i = 1,..., j=1 j i dp i = F dt i + f ij ι=1 j=1 j i d p dt i = F i Fi dp dt =.

4 140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Αν η συνισταµμένη των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα ση- µμειακών µμαζών δεν είναι µμηδενική τότε το σύστηµμα αποκτά µμια ώθηση που µμε- ταξύ δυο χρονικών στιγµμών υπολογίζεται ως εξής: t Ν 2 t 2 F i (t) dt = p o (t)dt = p o (t 2 ) p o (t 1 ). t 1 ι=1 t 1 Η αρχή διατήρησης της ορµμής δηλώνει ότι αν η συνισταµμένη των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών είναι µμηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησής του στο χώρο οι τρεις συνιστώσες της ορµμής του διατηρούνται σταθερές. Αλλά, έστω και αν µμια ή δυο από τις συνιστώσες της συνισταµμένης ασκούµμενης δύναµμης είναι µμηδενικές, οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορµμής του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών διατηρούνται σταθερές. Η αρχή διατήρησης της ορµμής ισχύει γιατί έχουµμε αποδεχτεί αξιωµματικά τον τρίτο νόµμο του Νεύτωνα που εξασφαλίζει την αλληλοαναίρεση των εσωτερι- κών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης. Αντίστροφα, αν αποδεχτούµμε αξιωµματικά την αρχή διατήρησης της ορµμής τότε απορρέει ο τρίτος νόµμος του Νεύτωνα. Με την εισαγωγή της έννοιας της ορµμής, οι τρεις νόµμοι του Νεύτωνα αποκτούν µμια µμάλλον ορθολογικά σαφέστερη διατύπωση στο πλαίσιο της οποίας η δύνα- µμη εκφράζεται ως χρονική παράγωγος της ορµμής και ο τρίτος νόµμος υποκαθί- σταται µμε την αξιωµματική αρχή διατήρησης της ορµμής που ερµμηνεύει την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης. 1 ος Νόμος Αν σε µια σηµειακή µάζα η συνισταµένη των ασκούµενων δυνάµεων είναι µηδενική τότε η ορµή της είναι σταθερή. 2 ος Νόμος Αν σε µια σηµειακή µάζα ασκούνται δυνάµεις τότε η χρονική παράγωγος της ορµής της ισούται µε τη συνισταµένη αυτών των δυνάµεων. 3 ος Νόμος Αν η συνισταµένη των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων σε ένα σύστηµα σηµειακών µαζών είναι µηδενική τότε η ορµή του διατηρείται σταθερή. Η αρχή διατήρησης της ορµμής υποδεικνύει ότι ένα σώµμα δεν είναι δυνατό να επιταχυνθεί αυθόρµμητα από µμόνο του προς κάποια κατεύθυνση στο χώρο αν δεν του ασκηθούν εξωτερικές δυνάµμεις. Αν αυτό δεν αλήθευε τότε θα σήµμαινε ότι ο χώρος δεν είναι οµμογενής. Άρα, η αρχή αυτή εκφράζει τη φυσική οµμογέ- νεια του χώρου που δηλώνεται µμε το ότι οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί των χωρικών µμεταφορών αφήνουν αναλλοίωτη την εξίσωση του Νεύτωνα.

5 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Ο κλασικός ορισμός της στροφορμής και η αρχή της διατήρησης της. Η στροφορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας κατά την κίνησή της στο χώρο ορίζεται κάθε χρονική στιγµμή ως το διανυσµματικό γινόµμενο της θέσης µμε την ορµμή της: 1 Ω(t) = r (t) p Όταν µμια σηµμειακή µμάζα κινείται στο χώρο υπό την επίδραση µμιας δύναµμης, ο παρατηρητής υπολογίζει από τη θέση του τη ροπή αυτής της δύναµμης ως εξής: Λ(t) = r (t) F Η εισαγωγή της έννοιας της ροπής της δύναµμης που ασκείται σε µμια σηµμειακή µμάζα αναδεικνύει το φυσικό νόηµμα της χρονικής µμεταβολής της στροφορµμής. Θεώρηµα. Η χρονική παράγωγος της στροφορµής µιας σηµειακής µάζας κατά τη διάρκεια της κίνησής της στο χώρο συµπίπτει µε τη ροπή της ασκούµενης σε αυτή δύναµης : 2 d Ω(t) dt = Λ Πόρισµα. Αν η ροπή της ασκούµενης δύναµης σε µια σηµειακή µάζα είναι µηδενική τότε η στρέψη της τροχιάς της σηµειακής µάζας είναι µηδενική και αυτό σηµαίνει ότι η τροχιά της διαγράφεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο σταθερό διάνυσµα της στροφορµής. Αν η ροπή της ασκούµμενης δύναµμης δεν είναι µμηδενική τότε στη σηµμειακή µμάζα προσδίδεται στροφική ώθηση που µμεταξύ δυο στιγµμών υπολογίζεται ως εξής: t 2 t Λ(t)dt = dω(t) 2 = Ω(t 2 ) Ω(t 1 ). t 1 t 1 Η στροφορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας όπως την υπολογίζει ένας παρατηρητής προσµμετρά την τάση της κίνησής της να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από αυτόν. 1 Η στροφορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας ορίζεται ως προς ένα δεδοµμένο σηµμείο στον ευκλείδειο χώρο, στο οποίο τοποθετούµμε το σύστηµμα αναφοράς, και καλείται επίσης ορµμοροπή ή κινητική ροπή της σηµμειακής µμάζας ως προς αυτό το σηµμείο. 2 Στην απόδειξη υπεισέρχεται η εξίσωση του Νεύτωνα ως εξής: d Ω(t) dt = d dt r (t) p(t) ( ) = r (t) p(t)+ r (t) p(t) = r (t) F(t) = Λ

6 142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο παρατηρητής από το σηµμείο αναφοράς του στο χώρο υπολογίζει τη ροπή της ασκούµμενης δύναµμης στη σηµμειακή µμάζα και βγάζει το συµμπέρασµμά του για το ρυθµμό µμεταβολής της στροφορµμής της. Προφανώς, το συµμπέρασµμά του δεν θα ήταν το ίδιο αν το σύστηµμα αναφοράς του βρισκόταν κάπου αλλού στο χώρο. Η ροπή της ασκούµμενης δύναµμης και η στροφορµμή της σηµμειακής µμάζας, όπως τις αποτιµμά κάθε παρατηρητής, εξαρτώνται λοιπόν από το σύστηµμα αναφοράς ως προς το οποίο λογίζεται η θέση της και η ορµμή της. Πάντως, κατά την κίνηση της σηµμειακής µμάζας στο χώρο το διάνυσµμα της στροφορµμής της, όταν δεν µμη- δενίζεται, είναι διαρκώς κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγµμή από τα διανύσµματα της θέσης της και της ορµμής της. Κάθε παρατηρητής ερµμηνεύει τη στροφορµμή της σηµμειακής µμάζας ως την τάση της να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω του, χωρίς αυτό να σηµμαίνει ότι θα εκ- τελεστεί οπωσδήποτε η στροφική κίνηση. Η στροφική αυτή τάση αποτιµμάται αριθµμητικά κάθε στιγµμή από τον παρατηρητή µμε το γινόµμενο των µμέτρων των διανυσµμάτων της θέσης και της ορµμής της σηµμειακής µμάζας επί το ηµμίτονο της µμικρότερης προσανατολισµμένης γωνίας τους: Ω(t) = r (t) p(t) Ω(t) = r(t) p(t)sinθ H συνεισφορά της ορµμής µμιας σηµμειακής µμάζας στη στροφορµμή της είναι τόσο µμεγαλύτερη όσο µμικρότερο είναι το µμέτρο της προβολής της στον φορέα του διανύσµματος θέσης. Η συνεισφορά αυτή µμηδενίζεται κάθε στιγµμή που τα δια- νύσµματα θέσης και ορµμής γίνονται συγγραµμµμικά και είναι πλήρης αν γίνουν µμε- ταξύ τους ορθογώνια. Αν η κίνηση της σηµμειακής µμάζας είναι ευθύγραµμµμη σε φορέα διερχόµμενο από τη θέση αναφοράς του παρατηρητή τότε η στροφορµμή της είναι µμηδενική, αλλά αν ο φορέας δεν διέρχεται από το σηµμείο αναφοράς τότε ο παρατηρητής εκτιµμά ότι η στροφορµμή της δεν είναι µμηδενική. Η στροφορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών όπως την υπολογίζει ένας παρατηρητής προσµμετρά την τάση της κίνησης του συνόλου των σηµμειακών µμαζών να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από αυτόν, αλλά δεν συµμπίπτει πάντα µμε τη στροφορµμή του αδρανειακού κέντρου..

7 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 143 Όταν σηµμειακές µμάζες συγκροτούν ένα ενιαίο σύστηµμα, αθροίζοντας τις στρο- φορµμές τους ορίζεται κάθε χρονική στιγµμή η στροφορµμή του συστήµματός τους: Ω(t) = Ω i (t) = r i (t) p i Ο παρατηρητής, από το σηµμείο αναφοράς ως προς το οποίο λογίζονται οι θέσεις και οι ορµμές των σηµμειακών µμαζών, ερµμηνεύει τη στροφορµμή του συστήµματός τους ως την τάση του να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από αυτόν, αλλά η τάση αυτή δεν συµμπίπτει µμε τη στροφική τάση του αδρανειακού κέντρου: Ω o (t) = r o (t) p o Αθροίζοντας τις ροπές των εξωτερικών δυνάµμεων που ασκούνται αντίστοιχα στις σηµμειακές µμάζες ως προς το δεδοµμένο σηµμείο αναφοράς, ορίζεται η ολική ή συνισταµμένη ροπή των ασκούµμενων δυνάµμεων: 1 Λ(t) = Λ i (t) = r i (t) F i Θεώρηµα. Η χρονική παράγωγος της στροφορµής ενός συστήµατος σηµειακών µαζών κατά τη διάρκεια της κίνησής τους στο χώρο συµπίπτει µε την ολική ροπή των ασκούµενων σε αυτές εξωτερικών δυνάµεων : 2 d Ω(t) dt = Λ Αν η ολική ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων στις σηµμειακές µμάζες δεν είναι µμηδενική τότε στο σύστηµμά τους προσδίδεται στροφική ώθηση που µμεταξύ δυο χρονικών στιγµμών υπολογίζεται ως εξής: t 2 t Λ(t)dt = dω(t) 2 = Ω(t 2 ) Ω(t 1 ). t 1 t 1 1 Ο ορισµμός αυτός της ολικής ροπής των ασκούµμενων δυνάµμεων είναι συνεπής, αφού από τον τρίτο νόµμο του Νεύτωνα προκύπτει ότι οι εσωτερικές δυνάµμεις δεν προκαλούν ροπή: Λ εσ (t) = r i (t) f i = r i (t) f ij = ( r o (t) + r i (t)) f ij = j=1,..., j i j=1,..., j i = r o (t) f ij + r i (t) f ij = 0. j=1,..., j i j=1,..., j i 2 Στην απόδειξη υπεισέρχεται η εξίσωση του Νεύτωνα: d Ω(t) dt = d ( Ωi (t)) dt = d dt ( ri (t) p i (t) )) = ( r i (t) ( f ij + F i = j=1 j i = r i (t) ( p i (t)) + ( r i (t) p i (t)) = ( )) ( r i (t) f i ) + ( r i (t) F i ) = ( r i (t) F i ) = Λ i (t) = Λ(t).

8 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η ροπή των εξωτερικών δυνάµμεων που ασκούνται σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών εξαρτάται από το σηµμείο όπου την υπολογίζει ο παρατηρητής. Θεώρηµα. Αρχή διατήρησης της στροφορµής. Αν η ολική ροπή των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων σε ένα σύστηµα σηµειακών µαζών ως προς ένα σηµείο του χώρου είναι µηδενική τότε η στροφορµή του συστήµατος ως προς αυτό το σηµείο διατηρείται σταθερή παρότι κατά την κίνηση οι στροφορµές των συστατικών σηµειακών µαζών ίσως δεν είναι σταθερές : Λ(t) = Λ i (t) = 0 Ω(t) = Ω i (t) σταθερή. Η αρχή διατήρησης της στροφορµμής δηλώνει ότι αν η ολική ροπή των ασκού- µμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών ως προς ένα σηµμείο του χώρου είναι µμηδενική, τότε οι συνιστώσες της στροφορµμής του ως προς αυτό το σηµμείο διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Αλλά, ακόµμη και αν µμια ή δυο από τις συνιστώσες της ολικής ροπής των ασκού- µμενων εξωτερικών δυνάµμεων είναι µμηδενικές, οι αντίστοιχες συνιστώσες της στροφορµμής του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών παραµμένουν σταθερές. Η αρχή διατήρησης της στροφορµμής ισχύει γιατί έχουµμε αποδεχτεί αξιωµματικά τον τρίτο νόµμο του Νεύτωνα που εξασφαλίζει αθροιστικά την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης. Ο µμηδενισµμός αυτός οδηγεί τον παρατηρητή να συµμπεράνει ότι οι εσωτερικές δυνάµμεις δεν µμπορούν να προσδώσουν στροφική ώθηση στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών. Η συνισταµμένη ροπή των ασκούµμενων δυνάµμεων στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών προφανώς δεν συµμπίπτει µμε τη ροπή της συνισταµμένης των δυνάµμεων που ασκούνται στο αδρανειακό κέντρο η οποία υπολογίζεται ως εξής: Λ o (t) = r Ν o (t) F i ι=1

9 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Η ιδιοστροφορμή και το ενδογενές νόημά της. Η ιδιοστροφορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών ορίζεται αθροίζοντας τις στροφορµμές των συστατικών του στοιχείων ως προς το αδρανειακό κέντρο: Ω (t) = Ωi (t) = ri (t) p i Η ιδιοστροφορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών προσµμετρά την τάση του να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από το αδρανειακό του κέντρο. Η ιδιοστροφορµμή είναι ενδογενές γνώρισµμα του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών και ερµμηνεύεται ως η τάση του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από το αδρανειακό του κέντρο. Αξιοσηµμείωτο είναι ότι ο παρατηρητής συνάγει την ιδιοστροφορµμή από τον υπολογισµμό δυο εξωγενών γνωρισµμάτων εξαρτώµμενων από τη θέση του, της στροφορµμής του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών και της στροφορµμής του αδρανειακού του κέντρου που συνήθως καλείται τροχιακή στροφορµμή. Ο επιµμερισµμός αυτός της ιδιοστροφορµμής στη στροφορµμή του συστήµματος και την τροχιακή στροφορµμή του έχει εξαιρετική πρακτική σηµμασία. Θεώρηµα Kőnig. Επιµερισµός της στροφορµής ενός συστήµατος σηµειακών µαζών. Η στροφορµή ενός συστήµατος σηµειακών µαζών ως προς ένα σηµείο του χώρου επιµερίζεται στην ιδιοστροφορµή του και στη στροφορµή του αδρανειακού του κέντρου : 1 Ω(t) = Ω (t) + Ω o 1 Η απόδειξη προκύπτει µμε ένα απλό υπολογισµμό: Ω(t) = r i (t) m ( i r i (t)) = ( r o (t) + r (t) ) m i i ( r o (t) + ri (t) ) = ( ) = ( r o (t) m i r o (t)) + ( r o (t) m ri (t) i ) + ri (t) m ( i r o (t)) + ( ri (t) m ri (t) i ) = = r o (t) m r o (t) + ( r o (t) m ri (t) i ) + m ri i (t) ( r o (t)) + ( ri (t) p (t) ) = Ω i o (t) + Ω

10 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Αν το αδρανειακό κέντρο ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών κινείται σε ευθύ- γραµμµμο φορέα διερχόµμενο από τη θέση του παρατηρητή τότε αυτός δηλώνει ότι η τροχιακή στροφορµμή είναι µμηδενική και στην περίπτωση αυτή η στρο- φορµμή του συστήµματος συµμπίπτει µμε την ιδιοστροφορµμή του: Ω o (t) = 0 Ω(t) = Ω Αθροίζοντας τις ροπές των εξωτερικών δυνάµμεων που ασκούνται στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών ως προς το αδρανειακό του κέντρο προκύπτει: Λ (t) = Λi (t) = ri (t) F i Αν η συνισταµμένη αυτή ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων δεν είναι µμηδενική τότε το σύστηµμα αποκτά στροφική ώθηση που µμεταξύ δυο στιγµμών υπολογίζεται ως εξής: t 2 t Λ (t)dt = dω 2 (t) = Ω (t 2 ) Ω (t 1 ). t 1 Θεώρηµα. Επιµερισµός της ροπής των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων. t 1 Η ροπή των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων σε ένα σύστηµα σηµειακών µαζών ως προς ένα σηµείο του χώρου επιµερίζεται ως εξής : 1 Λ(t) = Λ (t) + Λ o Η ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών ως προς ένα τυχαίο σηµμείο αναφοράς και ως προς το αδρανειακό κέντρο του συστήµματος. 2 1 Ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: Λ(t) = r i (t) F i (t) = ( r o (t) + r (t) ) F i i (t) = r o (t) F i (t) + ( ri (t) F i (t)) = Λ o (t) + Λ ( ) 2 Ο επιµμερισµμός της στροφορµμής σε ιδιοστροφορµμή και τροχιακή στροφορµμή και ο αντίστοιχος επιµμερισµμός της ροπής των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων έχουν αναδειχθεί στην πράξη εξαι- ρετικά σηµμαντικοί για την κατανόηση της συµμπεριφοράς των σωµματιδίων γιατί η ιδιοστροφορµμή τους αποτελεί κατά κανόνα αναλλοίωτη ιδιότητά τους.

11 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 147 Θεώρηµα. Η χρονική παράγωγος της ιδιοστροφορµής ενός συστήµατος σηµειακών µαζών κατά τη διάρκεια της κίνησής τους στο χώρο συµπίπτει µε την ολική ροπή των ασκούµενων σε αυτές εξωτερικών δυνάµεων ως προς το αδρανειακό τους κέντρο : 1 dω (t) = Λ dt Θεώρηµα. Αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορµής. Αν η ολική ροπή των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων σε ένα σύστηµα σηµειακών µαζών ως προς το αδρανειακό του κέντρο είναι µηδενική τότε η ιδιοστροφορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή παρότι κατά την κίνηση οι στροφορµές των συστατικών σηµειακών µαζών ίσως δεν είναι σταθερές : Λ (t) = Λi (t) 0 Ω (t) = Ωi (t) σταθερή. Η αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορµμής δηλώνει ότι αν η ολική ροπή των εξω- τερικών δυνάµμεων που ασκούνται σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών ως προς το αδρανειακό του κέντρο είναι µμηδενική τότε οι συνιστώσες της ιδιοστροφορ- µμής του διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Αλλά, ακόµμη και αν µμια ή δυο από τις συνιστώσες της ολικής ροπής των ασκούµμενων εξωτε- ρικών δυνάµμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο είναι µμηδενικές, οι αντίστοιχες συνιστώσες της ιδιοστροφορµμής παραµμένουν σταθερές. Η αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορµμής όπως και αυτή της στροφορµμής ισχύει γιατί έχουµμε αποδεχτεί αξιωµματικά τον τρίτο νόµμο του Νεύτωνα που εξασφαλίζει αθροιστικά την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυ- νάµμεων αλληλεπίδρασης. Ο µμηδενισµμός αυτός οδηγεί στο συµμπέρασµμα ότι οι εσωτερικές δυνάµμεις δεν έχουν τη δυνατότητα να προσδώσουν στροφική ώθη- ση στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών. Ο βαθύτερος λόγος για τον οποίο απο- δίδεται στην αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορµμής ξεχωριστή σπουδαιότητα βρίσκεται στο ότι ερµμηνεύει την ισοτροπία του χώρου, η οποία µμε τη σειρά της εκφράζεται µμέσα από το γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό χωρικής στροφής. Έτσι, ένα σώµμα στο οποίο οι ασκούµμενες εξωτερικές δυνάµμεις δεν έχουν ροπές δεν είναι δυνατό να αλλάξει από µμόνο του τη στροφική του κατάσταση γιατί αυτό θα σήµμαινε ανισοτροπία του χώρου. 1 Το συµμπέρασµμα αυτό προκύπτει ως εξής: d Ω (t) = dt Ω (t) = Ω(t) Ωo (t) d Ω (t) dt = d Ω(t) d( r o (t) p o (t)) dt dt r i (t) F i (t) r o (t) F i (t) = ( r (t) r (t) ) F i o i (t) = ri (t) F i (t) = Λ ( ) ( )

12 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 5.4. Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του 5 ου μαθήματος. Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε τις έννοιες της ορµμής και της στροφορµμής και τις αρχές της διατήρησής τους. Αυτές οι αρχές διατήρησης αναδεικνύουν σταθερές της κίνησης και συνεισφέ- ρουν στην επίλυση της θεµμελιώδους εξίσωσης που διέπει τις κινήσεις στο χώρο. Η αρχή διατήρησης της ορµμής ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών αντικατοπ- τρίζεται στην ευθύγραµμµμη οµμαλή πορεία του αδρανειακού του κέντρου, αφού η ορµμή του συστήµματος συµμπίπτει µμε την ορµμή του αδρανειακού κέντρου και οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλοαναιρούνται όπως υπαγορεύει ο τρίτος νόµμος. Η ουσία βρίσκεται στο ότι ο ρυθµμός µμεταβολής της ορµμής δίνει τη συνισταµμένη των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων και µμπορεί να γίνει αντιληπτό ότι στο βάθος η αρχή διατήρησης της ορµμής αντικατοπτρίζει την οµμογένεια του χώρου. Η αρχή διατήρησης της στροφορµμής ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών δεν αντικατοπτρίζεται απευθείας στην πορεία του αδρανειακού του κέντρου, γιατί η στροφορµμή του συστήµματος δεν συµμπίπτει µμε τη στροφορµμή του αδρανειακού του κέντρου αλλά επιµμερίζεται σε ιδιοστροφορµμή και τροχιακή στροφορµμή: Νόµος Kőnig : Ω(t) = Ω (t) + Ω o Η ουσία βρίσκεται στο ότι ο ρυθµμός µμεταβολής της στροφορµμής δίνει τη συνι- σταµμένη ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων, αφού οι ροπές των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλοαναιρούνται όπως υπαγορεύει ο τρίτος νόµμος και µμπορεί να γίνει αντιληπτό ότι στο βάθος η αρχή διατήρησης της ιδιοστρο- φορµμής αντικατοπτρίζει την ισοτροπία του χώρου Θεωρώντας για κάθε σηµμειακή µμάζα, κάθε στιγµμή της κίνησης, τις καρτεσιανές συντεταγµμένες της θέσης της στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς, η αρχή διατή- ρησης της στροφορµμής υποδεικνύει ότι οι συνιστώσες της στροφορµμής του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών διατηρούνται σταθερές: Λ x (t) = 0 Ω x (t) = c 1 σταθερό m i ( y i (t) z i (t) y i (t) z i (t)) = c 1 σταθερό, Λ y (t) = 0 Ω y (t) = c 2 σταθερό m i ( z i (t) x i (t) z i (t) x i (t)) = c 2 σταθερό, Λ z (t) = 0 Ω z (t) = c 3 σταθερό m i ( x i (t) y i (t) x i (t) y i (t)) = c 3 σταθερό. Το ίδιο ισχύει για την ιδιοστροφορµμή στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου των σηµμειακών µμαζών, όµμως εδώ η υπόθεση αφορά στη ροπή ως προς το αδρανειακό κέντρο των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων. Αν η στροφορµμή του συστήµματος είναι σταθερή αυτό δεν σηµμαίνει ότι οι στροφορµμές των ση- µμειακών µμαζών είναι οπωσδήποτε σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησης.

13 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 149 Όταν εξετάζουµμε την κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας που η στροφορµμή της είναι σταθερή, αυτό σηµμαίνει ότι η τροχιά της διαγράφεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο σταθερό διάνυσµμα της στροφορµμής στον ευκλείδειο χώρο. Στην περίπτω- ση αυτή είναι χρήσιµμο να εφοδιαστεί το συγκεκριµμένο επίπεδο µμε πολικές συν- τεταγµμένες και να εκφραστεί σε αυτές η εξίσωση της κίνησης. Στις κυλινδρικές συντεταγµμένες η στροφορµμή υπολογίζεται ως εξής: Ω(t) = m(r e r + z e z ) ( r e r + r θ e θ + z e z ) = mr z θ e r + m(z r r z) e θ + mr 2 θ e z. Αν η ροπή της ασκούµμενης δύναµμης στη σηµμειακή µμάζα είναι µμηδενική τότε το διάνυσµμα της στροφορµμής της διατηρείται σταθερό κατά τη διάρκεια της κίνη- σής της και αυτό σηµμαίνει ότι η τροχιά της εξελίσσεται εξολοκλήρου στο κάθε- το προς αυτό το διάνυσµμα επίπεδο, ενώ η αρχή διατήρησης δηλώνει ότι: r z θ = σταθερό, z r r z = σταθερό, r 2 θ = σταθερό. Ø Παράδειγμα 1. Η κίνηση ενός ζεύγους σημειακών μαζών στο χώρο. Ένα ζεύγος σηµμειακών µμαζών και m 2 κινείται στο χώρο ως ενιαίο σύστηµμα. Αυτό σηµμαίνει ότι, εκτός από τις εξωτερικές δυνάµμεις που ασκούνται στις ση- µμειακές µμάζες, υφίστανται οι αµμοιβαίες εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης, οι οποίες υπεισέρχονται στις εξισώσεις της κίνησής τους στο χώρο: r 1 (t) = f 12 + F 1 και m 2 r 2 (t) = f 21 + F 2. Στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς, η θέση των σηµμειακών αυτών µμαζών υπο- δεικνύεται κάθε χρονική στιγµμή από τα αντίστοιχα διανύσµματα θέσης και προ- κύπτει η θέση του αδρανειακού τους κέντρου: r o (t) = m r 1 1 (t) + m r2 2 (t). Εντοπισµμός της θέσης του αδρανειακού κέντρου στον ευκλείδειο χώρο.

14 150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η ορµμή του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών, που ορίζεται ως άθροισµμα των ορ- µμών τους, συµμπίπτει µμε την ορµμή του αδρανειακού κέντρου: p o (t) = p 1 (t) + p 2 (t) = r 1 (t) r 2 Η στροφορµμή του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών, που ορίζεται ως άθροισµμα των στροφορµμών τους, δεν συµμπίπτει µμε τη στροφορµμή του αδρανειακού κέν- τρου, αλλά επιµμερίζεται στην ιδιοστροφορµμή και την τροχιακή στροφορµμή: Νόµος Kőnig : Ω(t) = Ω (t) + Ω o Η ιδιοστροφορµμή του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών, ως ενδογενές χαρακτη- ριστικό υπολογίζεται στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου. Είναι ενδιαφέρουσα η θεώρηση µμιας ιδεατής σηµμειακής µμάζας που η θέση της ως προς το αδρανειακό κέντρο υποδεικνύεται κάθε χρονική στιγµμή από τη διανυ- σµματική διαφορά των σχετικών θέσεων των δυο σηµμειακών µμαζών: r2 (t) r 1 (t) = ρ(t) = r 2 (t) r 1 (t) και στην οποία προσαρτάται η ανηγµμένη µμάζα : µ = m 2. Στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου προκύπτει: 1 p1 (t) = µ ρ(t) και p2 (t) = µ ρ(t) που αναδεικνύει την αναµμενόµμενη αλληλοαναίρεση των ορµμών σε αυτό το σύ- στηµμα αναφοράς, και επίσης προκύπτει η έκφραση της ιδιοστροφορµμής: 2 Ω (t) = µ ρ(t) ρ Αν το ζεύγος των σηµμειακών µμαζών είναι κλειστό σύστηµμα, κατά την έννοια ότι δεν ασκούνται σε αυτό εξωτερικές δυνάµμεις, το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευθύγραµμµμη οµμαλή κίνηση ή είναι ακίνητο στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς. Το σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου είναι τότε αδρανειακό, µμε την έννοια ότι ισχύουν σε αυτό οι νόµμοι του Νεύτωνα. Οι εξισώσεις που διέπουν σε 1 Οι ορµμές των σηµμειακών µμαζών ως προς το αδρανειακό κέντρο υπολογίζονται ως εξής: r1 (t) = r 1 (t) r o (t) = m 2 ρ(t) r1 (t) = m 2 ρ(t) p1 (t) = µ ρ(t) r2 (t) = r 2 (t) r o (t) = ρ(t) r2 (t) = ρ(t) p2 (t) = µ ρ(t) 2 Η ιδιοστροφορµμή του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών υπολογίζεται ως εξής: Ω (t) = Ω1 (t) + Ω 2 (t) = r 1 (t) p 1 (t) + r 2 (t) p 2 (t) = µ r 1 (t) ρ(t) + µ r 2 (t) ρ(t) = µ ρ(t) ρ(t)

15 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 151 αυτό το σύστηµμα αναφοράς τις κινήσεις των σηµμειακών µμαζών περιλαµμβάνουν µμόνο τις εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης και εκφράζονται ως εξής: r1 (t) = f 12 και m 2 r2 (t) = f 21. Στην πρώτη έκφραση υπεισέρχεται η εσωτερική δύναµμη που ασκεί η µμάζα m 2 στη µμάζα και στη δεύτερη έκφραση υπεισέρχεται η εσωτερική δύναµμη που ασκεί η µμάζα στη µμάζα m 2. Από το συνδυασµμό των δυο αυτών εκφράσεων, µμε δεδοµμένο τον τρίτο νόµμο, προκύπτουν, στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανει- ακού κέντρου του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών, οι ισοδύναµμες εκφράσεις της εξίσωσης που διέπει την κίνηση της ανηγµμένης µμάζας στο χώρο: 1 µ ρ(t) = f21 ή µ ρ(t) = f12. Από τη λύση αυτής της εξίσωσης, που για δεδοµμένες αρχικές συνθήκες υποδει- κνύει την τροχιά της ανηγµμένης µμάζας, προκύπτουν στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου οι τροχιές των σηµμειακών µμαζών στο χώρο: m r1 (t) = 2 m ρ(t) και r2 (t) = 1 ρ Ø Παράδειγμα 2. Δυο σηµμειακές µμάζες και m 2 κινούνται αντίρροπα η µμια προς την άλλη σε παράλληλους κύκλους στην επιφάνεια µμιας σφαίρας και οι θέσεις τους εντοπίζονται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: r 1 (t) = (cost, sint, h) και r 2 (t) = (cost, sin t, h), h > 0. Οι τροχιές και οι ταχύτητες των δυο σηµμειακών µμαζών στον ευκλείδειο χώρο. 1 Στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου, µμε δεδοµμένο τον τρίτο νόµμο, προκύπτει: ρ(t) = r 2 (t) r f 1 (t) = ( 21 f 12 ) = ( ) f m 2 m 2 m 21 = 1 f 1 µ 21 µ ρ(t) = f21 Αν η µμάζα m1 είναι συγκριτικά πολύ πιο µμεγάλη από τη µμάζα m2, η ανηγµμένη µμάζα τείνει να γίνει ίση µμε τη µμάζα m2 και, στην περίπτωση αυτή, το πρόβληµμα της κίνησης των δυο σωµμάτων ανάγεται στην κίνηση της µμικρής µμάζας υπό την επίδραση της δύναµμης που της ασκεί η µμεγάλη µμάζα: µ = m m m 1 2 = 1 m 2 (1 / ) m. 2

16 152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Οι σηµμειακές αυτές µμάζες κινούνται στο χώρο ως ενιαίο σύστηµμα και αυτό ση- µμαίνει ότι, εκτός από τις εξωτερικές δυνάµμεις, ασκούνται σε αυτές και οι αµμοι- βαίες εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης, οι οποίες υπεισέρχονται στις εξι- σώσεις της κίνησής τους στο χώρο: r 1 (t) = f 12 + F 1 και m 2 r 2 (t) = f 21 + F 2. Οι ταχύτητές τους έχουν σταθερό µμοναδιαίο µμέτρο και οι επιταχύνσεις τους εί- ναι επίσης µμοναδιαίου µμέτρου και αποκλειστικά κεντροµμόλες: r 1 (t) = ( sint, cost, 0) r 1 (t) = ( cost, sint, 0) r 2 (t) = ( sint, cost, 0) r 2 (t) = ( cost, sint, 0) Το αδρανειακό τους κέντρο εντοπίζεται κάθε χρονική στιγµμή ως εξής: 1 r o (t) = m r 1 1 (t) + m r2 2 (t) = (m + m )cost, (m m )sint, (m m )h ( ) και η ορµμή του συµμπίπτει µμε το άθροισµμα των ορµμών τους: p o (t) = ( ) r o (t) = ( ( )sint, ( m 2 )cost, 0) = p 1 (t) + p 2 Η στροφορµμή αυτού του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών ορίζεται ως άθροισµμα των στροφορµμών τους και υπολογίζεται ως εξής: Ω(t) = Ω 1 (t) + Ω 2 (t) = ( h( )cost, h( m 2 )sint, m 2 ). Η στροφορµμή αυτή δεν συµμπίπτει µμε τη στροφορµμή του αδρανειακού κέντρου, αλλά επιµμερίζεται στην ιδιοστροφορµμή και την τροχιακή στροφορµμή: Νόµος Kőnig : Ω(t) = Ω (t) + Ω o Υπολογίζοντας την τροχιακή στροφορµμή, δηλαδή τη στροφορµμή του αδρανεια- κού κέντρου στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς, 2 προκύπτει η ιδιοστροφορµμή: 3 Ω (t) = Ω1 (t) + Ω 2 (t) = 4h m 2 (cost, 0, 0). 1 Στην περίπτωση m1=m2 το αδρανειακό κέντρο εκτελεί παλινδροµμική κίνηση στον πρώτο άξονα του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς: = m 2 r o (t) = (cost, 0, 0). 2 Η στροφορµμή του αδρανειακού κέντρου ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου είναι: Ω o (t) = r o (t) p o (t) = ( h (m 2 )2 cost, h(m + m 2 )sint, m 2 ). 2 3 Στο ίδιο συµμπέρασµμα καταλήγουµμε µμε τη θεώρηση της ανηγµμένης µμάζας: ρ(t) = r 2 (t) r 1 (t) = 2(0, sint, h) Ω (t) = µ ρ(t) ρ(t) = 4hµ(cost, 0, 0).

17 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 153 Στην περίπτωση =m 2, το αδρανειακό κέντρο του ζεύγους των σηµμειακών µμα- ζών εκτελεί ευθύγραµμµμη παλινδροµμική κίνηση µμε φορέα µμια ευθεία διερχόµμενη από την αρχή του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς και αυτό υπαγορεύει ότι η στροφορµμή του, δηλαδή η τροχιακή στροφορµμή του ζεύγους, είναι µμηδενική. Τότε, η στροφορµμή του ζεύγους συµμπίπτει µμε την ιδιοστροφορµμή του, η οποία έχει σταθερή διεύθυνση αλλά µμεταβαλλόµμενο µμέτρο. Παράδειγμα 3. Δυο σηµμειακές µμάζες και m 2 κινούνται αντίστοιχα στον ιση- µμερινό και στο µμεσηµμβρινό µμιας σφαίρας µμοναδιαίας ακτίνας επικεντρωµμένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου και οι θέσεις τους εντοπίζονται κάθε στιγµμή στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς ως εξής: r 1 (t) = (cost, sint, 0), r 2 (t) = (sint, 0, cost). Οι ταχύτητες τους προφανώς έχουν σταθερό µμοναδιαίο µμέτρο και οι επιταχύν- σεις τους είναι επίσης µμοναδιαίου µμέτρου και αποκλειστικά κεντροµμόλες: r 1 (t) = ( sint, cost, 0) r 1 (t) = ( cost, sint, 0), r 2 (t) = (cost, 0, sint) r 2 (t) = ( sint, 0, cost, 0). Το αδρανειακό κέντρο του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών εντοπίζεται στο ευ- κλείδειο σύστηµμα αναφοράς, κάθε χρονική στιγµμή, ως εξής: r o (t) = m r 1 1 (t) + m r2 2 (t) = (m cost +m sint, m sint, m cost) Το άθροισµμα των ορµμών τους συµμπίπτει µμε την ορµμή του αδρανειακού κέντρου: p o (t) = ( ) r o (t) = ( sint cost, cost, m 2 sint) = p 1 (t) + p 2 Οι ορµμές των σηµμειακών µμαζών και η τροχιά του αδρανειακού τους κέντρου. 1 1 Στην περίπτωση m1=m2, η τροχιά του αδρανειακού κέντρου εξελίσσεται στην καµμπύλη που ορί- ζεται από την τοµμή µμιας κυλινδρικής επιφάνειας µμε ένα επίπεδο: x x 3 2 = 1/ 4 και x 2 + x 3 = x 1.

18 154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η στροφορµμή κάθε σηµμειακής µμάζας είναι σταθερή και το άθροισµμά τους ορίζει τη σταθερή στροφορµμή του ζεύγους τους κατά τη διάρκεια της κίνησης: Ω(t) = Ω 1 (t) + Ω 2 (t) = (0,m 2, ) Η στροφορµμή αυτή δεν συµμπίπτει µμε τη στροφορµμή του αδρανειακού κέντρου, αλλά επιµμερίζεται στην ιδιοστροφορµμή και την τροχιακή στροφορµμή: Νόµος Kőnig : Ω(t) = Ω (t) + Ω o Η τροχιακή στροφορµμή είναι επίσης σταθερή: Ω o (t) = r o (t) p o (t) = m 2 ( 1, m 2 /, /m 2 ). Εκτελώντας µμια διανυσµματική αφαίρεση προκύπτει η ιδιοστροφορµμή η οποία, κατά τη διάρκεια της κίνησης των σηµμειακών µμαζών, διατηρείται σταθερή και ως προς τη διεύθυνση και ως προς το µμέτρο: Ω (t) = Ω(t) Ωo (t) = (µ,µ,µ). Στο ίδιο συµμπέρασµμα καταλήγουµμε θεωρώντας από το αδρανειακό κέντρο το διάνυσµμα θέσης της ανηγµμένης µμάζας: ρ(t) = r 2 (t) r 1 (t) = (sint cost, sint, cost) Ω (t) = µ ρ(t) ρ(t) =(µ,µ,µ). Στην περίπτωση =m 2, το αδρανειακό κέντρο µμε µμεταβαλλόµμενη ορµμή εκτελεί περιοδική κίνηση στην τοµμή ενός επιπέδου µμε µμια κυλινδρική επιφάνεια: r o (t) = 1 (cost +sint, sint, cost). 2 Το σταθερό διάνυσµμα της στροφορµμής του αδρανειακού κέντρου είναι κάθετο στο επίπεδο όπου διαγράφεται η τροχιά του και το οποίο ορίζεται ως εξής: x 2 + x 3 = x 1, x x 3 2 = 1/ 4. Οι στροφορµμές των σηµμειακών µμαζών και η στροφορµμή του ζεύγους τους.

19 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Ερωτήματα, προβληματισμοί και ασκήσεις του 5 ου μαθήματος. Τα ερωτήµματα και οι ασκήσεις που ακολουθούν έχουν σκοπό την εξοικείωση µμε τις έννοιες και τις υπολογιστικές τεχνικές στις οποίες βασίστηκε το µμάθηµμα. Για την επεξεργασία τους απαιτείται καλή γνώση Διανυσµματικού Λογισµμού. 1. Αντιλαµμβάνεστε τη σχέση που έχει η αρχή διατήρησης της ορµμής µμε τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς χωρικής µμεταφοράς; Πώς ερµμηνεύετε το ότι η οµμογένεια του χώρου εκφράζεται µμε την αρχή διατήρησης της ορµμής; 2. Αντιλαµμβάνεστε τη σχέση που έχει η αρχή διατήρησης της στροφορµμής µμε τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς χωρικής στροφής; Πώς ερµμηνεύετε το ότι η ισοτροπία του χώρου εκφράζεται µμε την αρχή διατήρησης της στροφορµμής; 3. Αν κάποιος ισχυριζόταν ότι η αρχή διατήρησης της ορµμής δεν είναι αληθής, βλέπετε να υπάρχει αντίφαση µμεταξύ αυτού του ισχυρισµμού και του πρώτου ή του δεύτερου ή του τρίτου νόµμου του Νεύτωνα; Και αν κάποιος αµμφισβητούσε την αλήθεια της αρχής διατήρησης της στροφορµμής, εσείς τι θα λέγατε; 4. Δείξτε µμε απλή συλλογιστική ότι η αρχή διατήρησης της ορµμής ισοδυναµμεί µμε τον τρίτο νόµμο του Νεύτωνα. Θα προτιµμούσατε να τεθεί η αρχή αυτή εννοιο- λογικά ως αξίωµμα αντί του τρίτου νόµμου του Νεύτωνα; 5. Οι παρατηρητές που υπολογίζουν την ορµμή και τη στροφορµμή ενός συστή- µματος σηµμειακών µμαζών από διαφορετικά αδρανειακά συστήµματα αναφοράς καταλήγουν σε ίδια συµμπεράσµματα; Υπάρχει ενδεχόµμενο να διαφωνήσουν ως προς την αλήθεια της αρχής διατήρησης της ορµμής ή της στροφορµμής; 6. Οι αρχές διατήρησης της ορµμής και της στροφορµμής ισχύουν στα µμη αδρα- νειακά συστήµματα αναφοράς; Τι θα λέγατε για την ιδιοστροφορµμή ενός ζεύ- γους σηµμειακών µμαζών στην περίπτωση όπου το σύστηµμα του αδρανειακού κέντρου δεν είναι αδρανειακό; 7. Πότε η ιδιοστροφορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών συµμπίπτει µμε τη στροφορµμή του ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου; Θα µμπορούσε η στρο- φορµμή να µμεταβάλλεται και η ιδιοστροφορµμή να παραµμένει σταθερή; 8. Μια σηµμειακή µμάζα που κινείται σε ευθύγραµμµμη πορεία στο χώρο µμπορεί να µμην έχει µμηδενική στροφορµμή ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου; Τι θα λέγατε αν η κίνηση της σηµμειακής µμάζας ήταν κυκλική; 9. Υπολογίστε τη στροφορµμή ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου και την ιδιοστροφορµμή ενός ζεύγους σηµμειακών µμαζών που κινούνται, οµμόρροπα ή αντίρροπα, σε οµμόκεντρους συνεπίπεδους κύκλους µμε ίδια σταθερή γωνιακή ταχύτητα; Τι θα συµμβεί αν οι γωνιακές τους ταχύτητες έχουν διαφορετικό στα- θερό µμέτρο; Και αν οι κυκλικές τροχιές τους δεν ήταν συνεπίπεδες;

20 156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 10. Δυο όµμοιες σηµμειακές µμάζες κινούνται στο χώρο και κάθε χρονική στιγµμή η θέση τους εντοπίζεται στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς αντίστοιχα ως εξής: r 1 (t) = cost, sint, t r 2 (t) = cos(π + t), sin(π + t), π + t ( ) και ( ). Προσδιορίστε την τροχιά του αδρανειακού κέντρου και αφού υπολογίσετε τη στροφορµμή του και την ιδιοστροφορµμή του ζεύγους των σηµμειακών µμαζών, δώστε το συµμπέρασµμα για τη στροφορµμή του ζεύγους ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου. Τι θα λέγατε για τις ασκούµμενες εξωτερικές δυνάµμεις στις σηµμειακές αυτές µμάζες και για τη ροπή τους ως προς το αδρανειακό κέντρο και την αρχή του ευκλείδειου χώρου; 11. Τρεις όµμοιες σηµμειακές µμάζες κινούνται στο χώρο και θέλουµμε να µμελετή- σουµμε συγκριτικά δυο διαφορετικές εκδοχές ανάλογα µμε την κίνησή τους όπως αυτή καταγράφεται στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς: 1 η εκδοχή 2 η εκδοχή r 1 (t) = ((1/t)cost, (1/t)sint,1/t) r 2 (t) = ((1/t)cost, (1/t)sint, 0) r 3 (t) = ((1/t)cos(π +t), (1/t)sin(π +t), 0) r 1 (t) = (e t cost, e t sint, e t ) r 2 (t) = (e t cost, e t sint, 0) r 3 (t) = (e t cos(π +t), e t sin(π +t), 0) Διαπιστώστε ότι και στις δυο περιπτώσεις η τροχιά της πρώτης σηµμειακής µμά- ζας εξελίσσεται σε κωνική επιφάνεια. Πρόκειται για την ίδια κωνική επιφάνεια; Ποια είναι στην κάθε περίπτωση η καµμπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς και ποια είναι η διαφορά τους; Προσδιορίστε στην κάθε περίπτωση την τροχιά του αδρανειακού κέντρου των τριών µμαζών και υπολογίστε την ιδιοστροφορµμή.