ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 7ο ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Η λέξη έργο, κατ αυτή την έννοια, αποδίδει πράγµατι την ιδέα της καταβαλλόµενης προσπάθειας και ταυτόχρονα της διανυόµενης διαδροµής Γιατί, δεν θα λέγαµε ότι υπάρχει παραγόµενο έργο αν µια δύναµη ασκείται σε κάποιο ακίνητο σηµείο, ούτε θα χρησιµοποιούσαµε αυτή την έκφραση για µια µετακίνηση χωρίς κατανίκηση κάποιας αντίστασης Αυτό το όνοµα συµβολίζει το συνδυασµό δυο στοιχείων, της δύναµης και του δρόµου Gaspard Gustave Coriolis (9 ος αιώνας) Στην Κλασική Μηχανική, ο όρος έργο παραγόµμενο από ένα πεδίο δυνάµμεων απο- κτά νόηµμα όταν ένα φυσικό υπόθεµμα µμετατοπιστεί κατά µμήκος µμιας διαδροµμής στο χώρο όπου είναι ορισµμένο το πεδίο δυνάµμεων Το έργο, θετικό, αρνητικό ή µμηδέν, λογίζεται λαµμβάνοντας υπόψη το κατά πόσο το πεδίο δυνάµμεων συνεισ- φέρει ή ανθίσταται στη µμετατόπιση του υποθέµματος κατά µμήκος της διαδροµμής, από την αρχική έως την τελική θέση Γενικά, το παραγόµμενο έργο από ένα πεδίο δυνάµμεων εξαρτάται όχι µμόνο από την αρχή και το πέρας της διαδροµμής, αλλά και από όλες τις ενδιάµμεσες θέσεις της στο χώρο Το ερώτηµμα που τίθεται δεν αφορά µμόνο στον υπολογισµμό του παραγόµμενου έργου κατά τη µμετατόπιση του υποθέµματος στο πεδίο δυνάµμεων Αφορά και στο χαρακτηρισµμό εκείνων των πεδίων δυνάµμεων όπου το παραγόµμενο έργο εξαρτάται αποκλειστικά από την αρχή και το πέρας της διαδροµμής και όχι από τα ενδιάµμεσα σηµμεία της Σκοπός µμας είναι να διαπιστώσουµμε ότι τα πεδία δυ- νάµμεων που ορίζονται παντού στον ευκλείδειο χώρο και ανταποκρίνονται σε αυτό το αίτηµμα είναι ακριβώς εκείνα που διαθέτουν συνάρτηση δυναµμικού ορι- σµμένη στον ευκλείδειο χώρο, αλλά και να εξετάσουµμε αυτό που συµμβαίνει αν το χωρίο ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων δεν είναι όλος ο ευκλείδειος χώρος

2 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 7 Ορισμός και υπολογισμός του έργου σε ένα πεδίο δυνάμεων Θεωρούµμε ένα πεδίο δυνάµμεων ορισµμένο στον ευκλείδειο χώρο: F : 3 3, F(x) = f (x), f (x), f3 (x) ( ) Ένας δρόµμος αρχής A 3 και πέρατος B 3 ορίζεται ως συνεχής απεικόνιση ενός διαστήµματος του χρονικού άξονα στον ευκλείδειο χώρο τέτοια ώστε: γ :[t,t ] 3, γ (t ) = A, γ (t ) = B Όταν µμια σηµμειακή µμάζα διανύει τη διαδροµμή που ορίζεται στο χώρο ως εικόνα ενός δρόµμου, δέχεται σε κάθε θέση της την αντίστοιχη δύναµμη που καθορίζεται από το θεωρούµμενο πεδίο δυνάµμεων: F(γ (t)) = f (γ (t)), f (γ (t)), f3 (γ (t)) ( ) Το παραγόµμενο έργο από ένα πεδίο δυνάµμεων κατά µμήκος µμιας διαδροµμής ορί- ζεται από το επικαµμπύλιο ολοκλήρωµμα του πεδίου σε αυτή τη διαδροµμή: t Wγ ( F) := F < F,dγ > = < F(γ (t)), γ (t) > dt γ γ t Διαδροµμές αρχής Α και πέρατος Β στον ευκλείδειο χώρο Η κίνηση της σηµμειακής µμάζας σε µμια διαδροµμή στο χώρο, όπου λογίζεται το έργο του πεδίου δυνάµμεων, δεν επιβάλλεται από το ίδιο το πεδίο αλλά πραγµμα- τοποιείται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάµμεων Όταν το παραγόµμενο έργο είναι θετικό ή αρνητικό, αυτό σηµμαίνει αντίστοιχα ότι το πεδίο δυνάµμεων συν- εισφέρει ή ανθίσταται στη µμετατόπιση της σηµμειακής µμάζας κατά µμήκος αυτής της διαδροµμής, ενώ αν είναι µμηδέν αυτό σηµμαίνει ότι το πεδίο δυνάµμεων ούτε συνεισφέρει ούτε ανθίσταται στη µμετατόπισή της Ενδεχόµμενη αλλαγή της παραµμετροποίησης του δρόµμου δεν επηρεάζει την τιµμή του επικαµμπύλιου ολοκληρώµματος που αποδίδει αριθµμητική τιµμή στο έργο του πεδίου δυνάµμεων στο συγκεκριµμένο δρόµμο Προκειµμένου το επικαµμπύλιο ολοκλήρωµμα να είναι σαφώς ορισµμένο, οι δρόµμοι υποτίθενται τουλάχιστο κατά τµμήµματα παραγωγίσιµμοι µμε συνεχή παράγωγο, δηλαδή µμε ενδεχόµμενη εξαίρεση ενός πεπερασµμένου πλήθους σηµμείων, η καµμπύλη δέχεται εφαπτοµμένη σε όλα τα άλλα σηµμεία της η οποία µμεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

3 ΜΑΘΗΜΑ 7 ο : ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 79 7 Υπολογισμός του έργου στα αστρόβιλα πεδία δυνάμεων ΘΕΩΩΡΗΜΑ Κριτήριο µηδενικού έργου σε κλειστούς δρόµους Θεωρούµε ένα πεδίο δυνάµεων ορισµένο στον ευκλείδειο χώρο : F : 3 3, F(x) = f (x), f (x), f 3 (x) Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναµες: ( ) Ο στροβιλισµός του πεδίου δυνάµεων είναι µηδενικός σε κάθε σηµείο του ευκλείδειου χώρου : curl F(x) =, x 3 Το πεδίο δυνάµεων διαθέτει συνάρτηση δυναµικού ορισµένη στον ευκλείδειο χώρο : U : 3 : F(x) = U(x), x 3 3 Το έργο του πεδίου δυνάµεων κατά µήκος κάθε κλειστού δρόµου είναι µηδενικό : = F γ 4 Το έργο του πεδίου δυνάµεων σε κάθε δρόµο εξαρτάται µόνο από την αρχή και το πέρας του Απόδειξη Το κριτήριο µμηδενικού στροβιλισµμού, που δόθηκε στο προηγούµμενο µμάθηµμα, δηλώνει την ισοδυναµμία των δυο πρώτων συνθηκών Από τη δεύτερη συνθήκη προκύπτει η τρίτη και η τέταρτη και αυτό διαπιστώνεται απευθείας υπολογίζοντας το έργο στους δρόµμους αρχής a = γ(t ) και πέρατος b = γ(t ) : t ( F) = < F(γ(t)), γ(t) > dt = < U(γ(t)), γ(t) > dt = d U = U(a) U(b) t t t Αν το παραγόµμενο έργο σε κάθε δρόµμο εξαρτάται µμόνο από την αρχή και το πέ- ρας της διαδροµμής και όχι από τις ενδιάµμεσες θέσεις της, επιλέγουµμε να µμετα- βούµμε από το αρχικό στο τελικό σηµμείο διανύοντας διαδοχικά τρεις ευθύγραµμ- µμες διαδροµμές παράλληλες αντίστοιχα στους άξονες του ευκλείδειου συστήµμα- τος αναφοράς και έτσι κατασκευάζεται η συνάρτηση δυναµμικού: x U(x) = F (u,x,x 3 )du F (a,u,x 3 )du F 3 (a,a,u 3 )du 3 a που ανταποκρίνεται στην απαίτηση: F(x) = U(x), x 3 x a x 3 a 3 b a Τα πεδία δυνάµμεων που υπεισέρχονται στο θεώρηµμα είναι ορισµμένα µμε συνεχείς µμερικές παραγώ- γους σε όλο τον ευκλείδειο χώρο και το ίδιο ισχύει για τις συναρτήσεις δυναµμικού Σε περίπτωση που ένα πεδίο δυνάµμεων δεν είναι ορισµμένο και διαφορίσιµμο σε όλο τον ευκλείδειο χώρο τότε για να αποφανθούµμε πρέπει να ληφθεί υπόψη η τοπολογική φύση του χωρίου ορισµμού του

4 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 73 Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του 7 ου μαθήματος Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε το παραγόµμενο έργο από πεδία δυνάµμεων όταν µμια σηµμειακή µμάζα µμετατο- πίζεται κατά µμήκος ενός δρόµμου στον ευκλείδειο χώρο Αν το πεδίο δυνάµμεων και ο θεωρούµμενος δρόµμος εκφράζονται ως εξής: τότε: F(x) = ( f (x), f (x), f 3 (x)), γ(t) = ( γ (t), γ (t), γ 3 (t)), ( ) ( F) = f (x)dx + f (x)dx + f 3 (x)dx 3 γ Στα πεδία δυναµμικού διαπιστώσαµμε ότι το παραγόµμενο έργο σε οποιονδήποτε δρόµμο, αρχής a = γ(t ) και πέρατος b = γ(t ), υπολογίζεται ως εξής: ( F) = du = U(a) U(b) Από αυτό το συµμπέρασµμα προκύπτει το ακόλουθο πόρισµμα: a b Πόρισµα Στα πεδία δυναµικού το παραγόµενο έργο σε δρόµους που τα άκρα τους ανήκουν στην ίδια ισοδυναµική επιφάνεια είναι µηδενικό και, ειδικότερα, µηδενικό είναι το έργο τους στους κλειστούς δρόµους στον ευκλείδειο χώρο Ø Παράδειγμα Υπολογισμός έργου σε σταθερά πεδία δυνάμεων Στα σχήµματα που ακολουθούν δίνονται τρεις διαδροµμές στον ευκλείδειο χώρο οι οποίες έχουν ως αρχή το σηµμείο Α(,,) και ως πέρας το σηµμείο Β(,3,) και αντίστοιχα τρία πεδία δυνάµμεων που ορίζονται ως εξής: F(x) = (,, ), F(x) = (,,), F(x) = (,, ) Το παραγόµμενο έργο από αυτά τα πεδία δυνάµμεων κατά µμήκος των αντίστοιχων διαδροµμών µμπορεί να υπολογιστεί πολύ απλά λαµμβάνοντας υπόψη ότι τα στα- θερά αυτά πεδία δυνάµμεων διαθέτουν αντίστοιχα τις συναρτήσεις δυναµμικού: U(x) = x 3, U(x) = x x 3, U(x) = x x 3 Ο υπολογισµμός βασίζεται στην ακόλουθη σχέση : γ(t) = ( γ (t), γ (t), γ 3 (t)) dγ(t) = γ(t)dt = ( x (t)dt, x (t)dt, x 3 (t)dt) = ( dx,dx,dx 3 )

5 ΜΑΘΗΜΑ 7 ο : ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 8 Ø Παράδειγμα Υπολογισμός έργου σε ελικοειδείς δρόμους Στον ευκλείδειο χώρο θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων: F(x) = f (x), f (x), f 3 (x) ( ) και την ελικοειδή διαδροµμή που ορίζεται ως εξής: γ :[,] 3, γ(t) = ( γ (t) = cost, γ (t) = sint, γ 3 (t) = t) Το παραγόµμενο έργο από το πεδίο δυνάµμεων υπολογίζεται ως εξής: ( F) = < F(γ(t)), γ(t) > dt = f i (γ(t)) γ i (t)dt = i=,,3 = f (γ(t))sint dt + f (γ(t))cost dt + f 3 (γ(t))dt Ας εξετάσουµμε δυο περιπτώσεις αστρόβιλων πεδίων δυνάµμεων τα οποία ορί- ζονται αντίστοιχα στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: (i) F(x) = ( x, x, ), (ii) F(x) = ( x, x, ) F(x) = ( x, x, ) F(x) = ( x, x, ) Στην πρώτη περίπτωση προκύπτει: Στη δεύτερη περίπτωση προκύπτει: ( F) = cost sint dt sint cost dt = ( F) = sin t dt cos t dt = Σκεφτείτε ότι θα µμπορούσατε χωρίς υπολογισµμό να προβλέψετε το µμηδενισµμό του έργου αυτών των πεδίων δυνάµμεων κατά µμήκος του δεδοµμένου τµμήµματος της κυκλικής ελικοειδούς διαδροµμής, εξετάζοντας τις ισοδυναµμικές επιφάνειες που ορίζονται από τις αντίστοιχες συναρτήσεις δυναµμικού: (i) U(x) = (x + x ), (ii) U(x) = x x

6 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ø Παράδειγμα 3 Ένας τυπικός υπολογισμός έργου σε πεδίο δυνάμεων Στον ευκλείδειο χώρο θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων: F(x) = ( f (x) = sin x 3, f (x) = cos x 3, f 3 (x) = x 3 ) και τη διαδροµμή που ορίζεται ως εξής: ( ) γ :[,] 3, γ(t) = γ (t) = cos 3 t, γ (t) = sin 3 t, γ 3 (t) = t Το παραγόµμενο έργο κατά µμήκος αυτής της διαδροµμής υπολογίζεται ως εξής: ( F) = < F(γ(t)), γ(t) > dt = f i (γ(t)) γ i (t)dt = i=,,3 = 3 f (γ(t))sint cos t dt + 3 f (γ(t))cost sin t dt + f 3 (γ(t))dt = = 3 sin tcos tdt+ 3 cos tsin tdt+ tdt = Ø Παράδειγμα 4 Υπολογισμός έργου σε κλειστούς δρόμους Στον ευκλείδειο χώρο θεωρούµμε ένα πεδίο δυνάµμεων: F(x) = f (x), f (x), f 3 (x) και τον κυκλικό δρόµμο: ( ) γ :[,] 3, γ(t) = ( γ (t) = cost, γ (t) = sint, γ 3 (t) = ) Το παραγόµμενο έργο κατά µμήκος αυτής της διαδροµμής υπολογίζεται ως εξής: ( F) = < F(γ(t)), γ(t) > dt = f i (γ(t)) γ i (t)dt = i=,,3 = f (γ(t))sint dt + f (γ(t))cost dt

7 ΜΑΘΗΜΑ 7 ο : ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 83 Αν το θεωρούµμενο πεδίο δυνάµμεων είναι αστρόβιλο τότε το έργο κατά µμήκος αυτής της κλειστής διαδροµμής είναι µμηδενικό Ας εξετάσουµμε δυο περιπτώσεις µμη αστρόβιλων πεδίων που ορίζονται αντίστοιχα στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: (i) F(x,x,x 3 ) = ( x,x,), Στην πρώτη περίπτωση προκύπτει: (ii) F(x,x,x 3 ) = (x, x,) ( F) = sin t dt + cos t dt = dt = Στη δεύτερη περίπτωση προκύπτει: ( F) = sin t dt cos t dt = dt = Ακόµμη και αν δεν ξέραµμε ότι πρόκειται για µμη αστρόβιλα πεδία δυνάµμεων θα το συµμπεραίναµμε από το ότι, όπως διαπιστώσαµμε, υπάρχει κλειστός δρόµμος κατά µμήκος του οποίου το έργο είναι µμη µμηδενικό Αυτό δεν αποκλείει την ύπαρξη άλλων κλειστών δρόµμων όπου το έργο είναι µμηδενικό Άλλωστε, στους δρόµμους που συναντούν κάθετα ένα πεδίο δυνάµμεων, αστρόβιλο ή στροβιλό, το έργο είναι πάντα µμηδέν Πχ γ :[,] 3, γ(t) = ( γ (t) =,γ (t) = cost, γ 3 (t) = sint) (i) ( F) = cost sint dt =, (ii) ( F) = cost sint dt = Ø Παράδειγμα 5 Υπολογισμός έργου σε κλειστούς δρόμους Θεωρούµμε το ακόλουθο αστρόβιλο πεδίο δυνάµμεων που το χωρίο ορισµμού του δεν είναι απλά συνεκτικό στον ευκλείδειο χώρο: x F(x) = x + x, x x + x, Το πεδίο αυτό προφανώς δεν είναι ορισµμένο στα σηµμεία του τρίτου άξονα του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς, συνεπώς το χωρίο ορισµμού του είναι µμεν συνεκτικό αλλά όχι απλά συνεκτικό Στην ακόλουθη κλειστή διαδροµμή, η οποία περιβάλλει αυτόν τον άξονα, το έργο δεν είναι µμηδενικό και αυτό οφείλεται στη µμη απλή συνεκτικότητα του χωρίου ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων που καθιστά ανίσχυρο το κριτήριο µμηδενικού στροβιλισµμού: γ :[,] 3, γ(t) = ( γ (t) = cost, γ (t) = sint, γ 3 (t) = ), ( F) sin t = cos t + sin t dt cos t + cos t + sin t dt = dt =

8 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ø Παράδειγμα 6 Υπολογισμός έργου σε ομογενή πεδία δυνάμεων Τα οµμογενή πεδία δυνάµμεων: F(x) = f (x) = c, f (x) = c, f3 (x) = c3, c,c,c3, ( ) διαθέτουν τη συνάρτηση δυναµμικού: U : 3, U(x) = cx c x c3 x3 Συνεπώς, το έργο κατά µμήκος µμιας οποιασδήποτε διαδροµμής εξαρτάται µμόνο από τα άκρα της και υπολογίζεται ως εξής: Wγ ( F) = U(a) U(b) Για παράδειγµμα, στην περίπτωση ευθύγραµμµμης διαδροµμής: γ :[,] 3, γ (t) = ( t) a + t b, a,b 3, το παραγόµμενο έργο: Wγ ( F) = < F(γ (t)), γ (t) > dt = i=,,3 υπολογίζεται απευθείας ως εξής: Wγ ( F) = < F(x), AB > = f i (γ (t)) γ i (t) dt = (bi ai ) fi (γ (t) dt i=,,3 ci (bi ai ) = U(a) U(b) i=,,3 Στο πεδίο βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της Γης: F(x) = f (x) =, f (x) =, f3 (x) = g, ( ) το παραγόµμενο έργο κατά µμήκος µμιας ευθύγραµμµμης διαδροµμής προκύπτει απευ- θείας υπολογίζοντας απλά και µμόνο το εσωτερικό γινόµμενο: Wγ ( F) = < F(x), AB > = g (b3 a3 ) = U(a) U(b) Σε µμια οποιαδήποτε διαδροµμή, αρχής a = γ (t ) και πέρατος b = γ (t ), ισχύει: Wγ ( F) = < F(γ (t)), γ (t) > dt = i=,,3 f i (γ (t)) γ i (t) dt = U(a) U(b) Ευθύγραµμµμος και καµμπυλόγραµμµμος δρόµμος σε οµμογενές πεδίο δυνάµμεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

9 ΜΑΘΗΜΑ 7 ο : ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ερωτήματα, προβληματισμοί, και ασκήσεις του 7 ου μαθήματος Τα ερωτήµματα και οι ασκήσεις που ακολουθούν έχουν σκοπό την εξοικείωση µμε τις έννοιες και τις υπολογιστικές τεχνικές στις οποίες βασίστηκε το µμάθηµμα Για την επεξεργασία τους απαιτείται καλή γνώση βασικών εννοιών και τεχνι- κών του Διανυσµματικού και Ολοκληρωτικού Λογισµμού Στην ακόλουθη εικόνα δίνεται σχηµματικά η κάτοψη τεσσάρων πεδίων δυνά- µμεων Για ποια από αυτά µμπορείτε να πείτε ότι το έργο τους είναι µμηδενικό κα- τά µμήκος του κλειστού κυκλικού δρόµμου που υποδεικνύεται στα σχήµματα; Θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων που ορίζεται ως εξής: όπου F : 3 {} 3, F(x) = ( f (x), f (x), f 3 (x)), f i (x) = k x i x + x ( + x 3 ) 3/, k >, i =,, 3 Ξέρετε ότι πρόκειται για πεδίο δυναµμικού που ορίζεται ως εξής: U : 3 {}, U(x) = k x + x ( + x 3 ) / Ο ευκλείδειος χώρος, εκτός της αρχής του όπου δεν ορίζεται το πεδίο, διαµμε- ρίζεται σε οµμόκεντρες σφαιρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες και το παραγόµμενο έργο κατά µμήκος οποιουδήποτε δρόµμου προκύπτει από τη διαφορά δυναµμικού των αντίστοιχων ισοδυναµμικών επιφανειών στις οποίες ανήκουν τα άκρα του: (F) = U(a) U(b) = k a + a + a 3 ( ) / b + b ( + b 3 ) / Θέλουµμε να συγκρίνετε το έργο που παράγεται από αυτό το πεδίο δυνάµμεων, κατά µμήκος µμιας διαδροµμής στον ευκλείδειο χώρο, µμε το αντίστοιχο έργο που παράγεται από το γραµμµμικό ελκτικό πεδίο δυνάµμεων του οποίου η συνάρτηση δυναµμικού διαµμερίζει επίσης το χώρο σε σφαιρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες: F(x) = k ( x, x, x 3 ), k > Πρόκειται για την καρτεσιανή έκφραση του ελκτικού πεδίου δυνάμεων κάθε ουράνιου σώματος και ορίζεται από το νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα - Βλ Μάθημα 3

10 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 3 Στον ευκλείδειο χώρο θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων: F(x) = ( f (x) = x /, f (x) =, f 3 (x) = sin x ) και ζητάµμε να υπολογίσετε το παραγόµμενο έργο κατά µμήκος του δρόµμου: γ :[,] 3, γ(t) = ( γ (t) = t, γ (t) =, γ 3 (t) = sint) 4 Στον ευκλείδειο χώρο θεωρούµμε τον κλειστό κυκλικό δρόµμο: γ :[,] 3, γ(t) = ( γ (t) = cost, γ (t) = sint, γ 3 (t) = ) Υπολογίστε το έργο που παράγεται σε αυτόν το δρόµμο από τα πεδία δυνάµμεων: () (3) x F(x) = x + x, x x + x, x () F(x) = x + x, x x + x, x F(x) = x + x, x x + x, x (4) F(x) = x + x, x x + x, Υπολογίστε στον ίδιο δρόµμο το έργο που παράγεται από τα πεδία δυνάµμεων: (5) (6) (7) (8) x F(x) = x + x + x, x 3 x + x + x, 3 x F(x) = x + x + x, x 3 x + x + x, 3 x F(x) = x + x + x, x 3 x + x + x, 3 x F(x) = x + x + x, x 3 x + x + x, 3 Προσέξτε την τοπολογική διαφορά των χωρίων ορισµμού των πεδίων δυνάµμεων Στη µμια περίπτωση δεν είναι ορισµμένα στην αρχή του ευκλείδειου χώρου και στην άλλη δεν είναι ορισµμένα σε µμια ολόκληρη ευθεία στον ευκλείδειο χώρο