1. EPITELSKE ĆELIJE I TKIVA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. EPITELSKE ĆELIJE I TKIVA"

Transcript

1 1. EPITELSKE ĆELIJE I TKIVA Epitelske ćelije predstavljaju onu vrstu ćelija koje se sa punim pravom mogu smatrati nepokretnim ćelijama. Njih, naime, u značajnoj meri odlikuje stalan oblik i polarizovanost epitelske ćelije poseduju osnovicu, bočne strane i vršnu površinu. Svojom osnovom, bazom one uvek leže na specifičnom i visokouređenom vanćelijskom matriksu organizovanom u vrstu pločaste strukture koja se naziva podepitelska lamina. Strukturne komponente ove ploče epitelske ćelije same proizvode, a po njihovom deponovanju u vanćelijsku sredinu ostaju sa njima morfološki povezane. Na vršnoj površini epitelskih ćelija prisutne su raznolike diferencijacije koje se odlikuju prstolikošću, a u čijoj morfološkoj organizaciji učestvuju ćelijska membrana i specifično organizovani elementi unutrašnjeg ćelijskog skeleta. Nepokretnost epitelske ćelije ostvaruje se pričvršćivanjem za podepitelsku laminu i njenom povezanošću sa susednim epitelskim ćelijama. Epitelske ćelije su međusobno spojene nizom međućelijskih veza adhezivnog i komunikacijskog tipa. Upravo zato epitelske ćelije nikada nisu pojedinačne, usamljene već su uvek prisutne u zajednicama, tvore kontinuiranu površinu koja se opštim imenom naziva epitel. Tokom ranog perioda embrionskog razvoja sisara prve morfološke i funkcijske naznake koje karakterišu početak diferenciranja jesu upravo one koje odlikuju epitelske ćelije. Već na stupnju od 16 ćelija zapaža se pojava polarizovanih ćelija koje će se kasnije diferencirati u vanembrionsku tvorevinu trofektoderm. Na tim ćelijama mogu se razlikovati osnovica, bočne strane i vršna površina, a uspostavljaju se prvi adhezivni međućelijski spojevi a pojavljuju se i prve komponente podepitelske lamine. Epitele koji učestvuju u morfološkom konstituisanju odraslog organizma formiraju ćelije koje vode poreklo od sva tri klicina lista. Tako se ćelije ektoderma diferenciraju u ćelije epiderma i njegovih derivata, kao i, na primer, u ćelije rožnjače, adenohipofize, i delova unutrašnjeg uha. Od ćelija neuroektoderma diferenciraju se epitelske ćelije koje obrazuje zid ependimskog kanala i epitel horoidnih pleksusa. Od ćelija mezoderma nastaju epitelske ćelije koje oblažu unutrašnju površinu krvnih sudova kao i epitel koji oblaže telesnu duplju. Od ćelija endoderma diferenciraju se epitelske ćelije crevne cevi i parenhima svih žlezda koje su integralni deo sistema za varenje kao i ćelije epitela disajnih puteva. U velikom broju slučajeva u izgradnji ovih epitela, bez obzira na njihovo embrionsko poreklo, pored diferenciranih ćelija učestvuju i ćelije koje obezbeđuju stalno obnavljanje epitela. O značaju koji polarizovanost i podepitelska lamina imaju za održavanje integriteta epitela svedoči činjenica da se i polarizovanost i kontinuitet lamine gube pri prelasku epitelskih ćelija u tumorske ćelije. Morfološka i funkcijska polarizovanost kao i sposobnost uspostavljanja adhezivnih i komunikacijskih spojeva sa drugim ćelijama odlikuju i mnoge ćelije koje učestvuju u formiranju vezivnih, mišićnih i nervnog tkiva. epitelska ćelija podepitelska lamina lumen Slika Trodimenzioni prikaz prototipa epitela Epitelske ćelije i tkiva 001

2 Nada M. Šerban Epiteli učestvuju u izgradnji brojnih organa i u njima obavljaju i krajnje raznovrsne zadatke. Oni pokrivaju površinu tela, oblažu unutrašnje šupljine, na nekim mestima pored pokrovne imaju i apsorptivnu funkciju, na drugim mestima ćelije koje ih sačinjavaju sintetišu neki specifični proizvod koji predaju organizmu u obliku sekreta, a mogu učestvovati i u sprovođenju tog proizvoda. U trećem slučaju epitelske ćelije su osetljive na neki nadražaj koji dolazi iz spoljašnje ili unutrašnje sredine i tako imaju čulnu funkciju. Velika funkcijska raznolikost epitela istovremeno odražava i veliku morfološku raznovrsnost ćelija koje ih obrazuju. Međutim, i pored te raznovrsnosti moguće je uspostaviti neke osnovne opšte odlike koje karakterišu svaki epitel, bez obzira na njegovo embrionsko poreklo, morfološke i funkcijske specifičnosti, i objediniti ih u prototip epitela. PROTOTIP EPITELA Pod prototipom epitela uobičajeno je podrazumevati kontinuiranu površinu obrazovanu od jednog sloja epitelskih ćelija. Ova površina, koja zatvara cevoliku tvorevinu (Sl. 1-01), može se smatrati vrstom granice između dveju sredina. Ka jednoj od njih okrenute su osnovice epitelskih ćelija dok su ka vršne diferencijacije bočne diferencijacije epitelska ćelija podepitelska lamina podepitelsko vezivo eritrocit kapilar lamina kapilara Slika Histološke komponente epitela drugoj upravljene njihove vršne površine. Osnovicu epitela predstavljaju kako baze epitelskih ćelija tako i podepitelska lamina na kojoj one leže. Osnovica epitela istovremeno i odvaja i spaja epitel i vezivno tkivo koje se ispod njega nalazi (Sl. 1-02). U izgradnji epitela ne učestvuju krvni sudovi. Oni su i sami delom izgrađeni od jedne vrste epitela, a smešteni su u podepitelskom vezivu. Neprisutnost krvnih sudova unutar epitela znači da je metabolizam epitelskih ćelija razmena hranljivih materija i proizvoda razgradnje jedinjenja koja sadrže azot kao i razmena gasova posredan. Sve ono što obuhvata ove procese ulazak amino-kiselina i kiseonika u ćelije a izlazak proizvoda razgradnje i ugljen-dioksida podrazumeva premošćavanje podepitelske lamine, potom prostora između epitela i krvnog suda koji se nalazi u vezivu ispod epitela i, najzad, podepitelske lamine i ćelije koja čini zid krvnog suda (Sl. 1-02). 002 Epitelske ćelije i tkiva

3 Osnovi histologije radna verzija Epitelske ćelije su čvrsto priljubljene jedna uz drugu i nepokretne, a ta nepokretnost na morfološkom nivou izražava se njihovom spoljašnjom i unutrašnjom polarizovanošću. Spoljašnja polarizovanost okarakterisana je postojanjem osnovice, bočnih strana i vršne površine koje se međusobno razlikuju. Unutarćelijska polarizovanost ogleda se u relativno stalnom rasporedu citoplazminih organela. Podepitelska lamina Kada se preparati epitela posmatraju na svetlosnom mikroskopu podepitelska lamina se vidi kao tanka, svetlucava, staklasta kontinuirana struktura. Posmatranje tankih preseka epitela na transmisionom elektronskom mikroskopu pokazuju da je ona izgrađena od dva kontinuirana podsloja, od lamina lucida i lamina densa i od jednog diskontinuiranog podsloja, pars fibroreticularis (Sl. 1-03). Lamina lucida je podsloj koji naleže uz ćelijsku membranu plazmina membrana vrpca ploča ukotvljujući filament lamina lucida, sinonim lamina rara osnovica epitelske ćelije lamina lucida lamina densa pars fibroreticularis Slika Dvodimenzioni prikaz tanke podepitelske lamine epitelske ćelije, slabije se kontrastira solima teških metala i deluje svetlije. Lamina densa je drugi kontinuirani podsloj, okrenut je ka podepitelskom vezivu, tamnije se kontrastira, gušći je i ima izgled fine mrežolike strukture. Treći, diskontinuiran podsloj mestimično prisutan na prelazu između podepitelske lamine i vezivnog tkiva predstavlja pars fibroreticularis. Debljina podepitelske lamine nije ujednačena pa se tako razlikuju tanke podepitelske lamine (Sl. 1-03) i, daleko ređe, debele podepitelske lamine (Sl. 1-05). Debljina kontinuiranih podslojeva varira u relativno širokim granicama i to poglavito zavisno od vrste epitela. Tako lamina lucida može biti debela od 15 do 65 nm dok se debljina lamina densa kreće između 15 i 125 nm. Brojna ispitivanja su pokazala da debljina lamina lucida zavisi od vrste epitela ali i od metoda koji su primenjeni tokom pripreme uzoraka. Ukoliko je materijal fiksiran u glutaraldehidu lamina lucida je znatne debljine, a posle fiksiranja u formaldehidu daleko je tanja. U izgradnji podepitelske lamine učestvuju brojne komponente kolagen tipa IV, laminin, entaktin, nidogen, proteoglikan perlekan, fibronektin kao i ameloid P. Na ultrastrukturnom nivou oni grade vrpčastu trodimenzionu mrežu. Vrpce podsećaju na neprecizno definisane niti debljine 4-5 nm koje anastomoziraju. Svaka vrpca poseduje sopstveni skelet obrazovan od kolagena tipa IV koji je okružen slojem drugih komponenata poput laminina, entaktina i perlekana. Prostori između vrpci su u lamina lucida veći dok su u lamina densa vrpce jedne drugim bliže (Sl. 1-03), na razmaku od 8-14 nm. Laminin i fibronektin kao i entaktin prisutni su u lamina densa dok njihovi produžeci zalaze u lamina lucida. I nidogen pokazuje sličnu lokalizaciju. Treba napomenuti da se često podepitelska lamina označava kao membrana osnovice (basement membrane anglosaksonskih autora) premda u njenoj izgradnji ne učestvuju membranske strukture. neke komponente podepitelske lamine: laminin (MM Da) kolagen tipa IV fibronektin (MM oko Da) entaktin (MM Da) nidogen (MM Da) Epitelske ćelije i tkiva 003

4 Nada M. Šerban Kao što je već rečeno, treći podsloj podepitelske lamine, pars fibroreticularis, ne predstavlja kontinuiranu komponentu (Sl. 1-03). Obrazovan je od gustog filamentoznog materijala koji formira ploče. Neke od ploča prijanjaju uz površinu lamina densa dok su druge od nje udaljene. Međutim, sve ploče su međusobno povezane poprečno-prugastim ukotvljujućim filamentima koji mogu biti bilateralno simetrični i ponekad znatne dužine ( μm). Imunohistohemijska ispitivanja su pokazala da su i u nivou gustih filamentoznih ploča lokalizovani kolagen tipa IV, laminin i perlekan. U nekim specifičnim slučajevima može se konstatovati postojanje udvostručene podepitelske lamine (Sl. 1-04). Tako u plućnim alveolusima, između alveolusnih ćelija I i kontinuiranih kapilara ili pak u bubrežnim glomerulima, između podocita i diskontinuiranih fenestrovanih kapilara podepitelska lamina je znatno veće debljine. Nastala je pripajanjem dveju lamina lucida externa lamina lucida interna alveolusna ćelija tipa I lamina densa epitel kapilara Slika Udvostručena podepitelska lamina u plućnom alveolusu osnovica epitelske ćelije lamina lucida lamina, jedne, koja po svom poreklu pripada jednom epitelu (epitelu koji obrazuju alveolusne ćelije I ili pak podociti) i druge, koja vodi poreklo od drugog epitela, epitela kapilara. Prilikom tog pripajanja nestale su obe pars fibroreticularis, a dve laminae densae su se ujedinile. Tada lamina lucida okrenuta ka nekapilarnom epitelu nosi naziv externa dok se ona okrenuta ka kapilaru naziva interna. Debele podepitelske lamine su relativno retke. Njihova debljina, koja se kreće između 2 i 6 μm, zasnovana je na većem broju serijski naslaganih lamina densa. Pored vrpčaste trodimenzione mreže ove lamine poseduju i posebne strukturne komponente, bazotubule i dvostruke klinove (Sl. 1-05). plazmina membrana lamina densa bazotubula dvostruki klin Slika Debela podepitelska lamina Bazotubule, tako nazvane budući da su prisutne u bazi epitela, predstavljaju negranate cevaste formacije prečnika od 7 do 10 nm koje su postavljene paralelno međusobno ali i u odnosu na površinu lamine. Dvostruki klinovi su tačkaste strukture malih dimenzija koje su razbacane unutar trodimenzione vrpčaste mreže. U izgradnji obe ove strukturne komponente učestvuje glikoprotein amiloid P. On pokazuje veliki afinitet prema perlekanu i fibro- 004 Epitelske ćelije i tkiva

5 Osnovi histologije radna verzija nektinu pa se smatra da je na taj način ostvarena njihova bliska udruženost sa trodimenzionom vrpčastom mrežom, glavnom ultrastrukturnom komponentom podepitelske lamine. Podepitelska lamina, konstitutivni element svakog epitela, ima nekoliko uloga. Na prvom mestu ona obezbeđuje elastično fizičko povezivanje epitela sa vezivnim tkivom na koje on naleže. Sa druge strane, svojom mrežolikom organizacijom podepitelska lamina omogućava ultrafiltraciju molekula koji se razmenjuju između epitela, vezivnog tkiva i krvnog suda kapilara. Kroz nju prolaze molekuli male molekulske mase dok je nepropustljiva za makromolekule. Ova osobina je posebno izražena u onim slučajevima u kojima je došlo do formiranja udvostručenih podepitelskih lamina. Najzad, ne mali broj eksperimenata ukazuje da podepitelska lamina igra značajnu ulogu u procesima morfogeneze, regeneracije i zarašćivanja. Ona, naime, uspostavlja induktivnu interakciju između ćelijskih membrana epitelskih ćelija i elemenata vezivnog tkiva i tako utiče na rastenje i migraciju ćelija tokom ovih procesa. Prototip epitelske ćelije Kao što je moguće osnovne odlike epitela prikazati na idealizovanom modelu- -prototipu, isto je tako, uz sve ograde zbog nužnog uopštavanja, moguće uspostaviti prototip epitelske ćelije (Sl. 1-06). On u značajnoj meri ukazuje na udeo ćelije u obrazovanju i održavanju osnovnih karakteristika tkiva nepokretnosti i polarizovanosti. I jedna i druga odlika zasnovane su, kao što je već rečeno, na prisustvu podepitelske lamine i povezanosti sa njom, na postojanju međućelijskih spojeva uspostavljenih između susednih epitelskih ćelija, ali i diferencijacija koje postoje na njihovim vršnim površinama. Svaka epitelska ćelija na molekulskom nivou uspostavlja čvrst kontakt sa komponentama podepitelske lamine. Integrini, proteini ćelijske adhezije povezani su sa molekulima laminina. Njihovu stalnu poziciju u tom regionu membrane održavaju snopovi aktinskih filamenata udruženi sa nizom pratećih proteina. Međutim, kod nekih vrsta ćelija na njihovoj osnovici uočavaju se i strukture vidljive na preparatima posmatranim na transmisionom elektronskom mikroskopu koje tu povezanost pojačavaju. Ove strukture, nazvane poludesmosomi (Sl. 1-06). Pored komponenata plazmine membrane i vanćelijskog matriksa, u njihovoj organizaciji učestvuju i citokeratinski filamenti, intermedijerni filamenti koji odlikuju epitelske ćelije. Na bočnim površinama epitelske ćelije prisutni su spojevi adhezivnog tipa čvrste veze, adhezivni pojasni spojevi i desmosomi (Sl. 1-06). U njihovom strukturiranju pored ćelijskih membrana susednih epitelskih ćelija učestvuju i elementi citoskeleta kao i komponente koje bi se mogle smatrati delom vanćelijskog matriksa. Između susednih ćelija mogu biti prisutna sva tri tipa spojeva adhezivne vrste i u brojnim epitelima sisara njihov raspored je ustaljen. Od vrha ćelije ka njenoj osnovici, naime, prvo je prisutna čvrsta veza, zonula occludens, potom adhezivni pojasni spoj, zonula adherens, a zatim diskontinuirani, tačkasti desmosom, macula adherens. Međutim, neka od ovih veza može i izostati. Adhezivni spojevi obezbeđuju mehaničku povezanost susednih epitelskih ćelija a predstavljaju i svojevrsnu metaboličku barijeru. Ova barijera sprečava Lamina odlikuje epitelske ali i mišićne ćelije, adipocite, a delom i površinu Švanovih ćelija prisutnih u nervnom tkivu. O morfološkoj organizaciji međućelijskih spojeva pogledati u knjizi Ćelija strukture i oblici, poglavlje Ćelija i njena okolina. Epitelske ćelije i tkiva 005

6 Nada M. Šerban mešanje sadržaja koji se nalazi u dvema sredinama u tkivnoj, prisutnoj između i ispod epitelskih ćelija, i onoj koja je omeđena vršnim površinama epitelskih ćelija. Spojevi adhezivnog tipa istovremeno razdvajaju dve oblasti treplja čvrsta veza mikroresica pojasni adhezivni spoj desmosom vršni endosom interdigitacija pukotinsta veza bazni endosom poludesmosom podepitelsko vezivo kapilar podepitelska lamina lamina kapilara Slika Morfološke odlike prototipa epitelske ćelije plazmine membrane epitelskih ćelija jednu koja obuhvata baznu i bočne površine ćelije i drugu koja je prisutna na njenoj vršnoj površini. Svaku od ovih oblasti odlikuju specifični membranski proteini i na specifičan način je uključena u procese koji se u ćeliji odigravaju. Zato se može reći kako i plazmina membrana u značajnoj meri doprinosi polarizovanosti epitelske ćelije. Pored morfološki složenih spojeva adhezivnog tipa, u mnogim slučajevima na bočnim površinama epitelskih ćelija uočavaju se i prstoliki ispusti koji zalaze u odgovarajuća ulegnuća na površini susedne ćelije (Sl. 1-06). Nesumnjivo da ove morfološki jednostavne diferencijacije dodatno doprinose većoj ćelijskog adheziji unutar epitelskih tkiva. I pored postojanja spojeva adhezivnog tipa susedne epitelske ćelije međusobno metabolički komuniciraju posredstvom pukotinastih spojeva (Sl. 1-06). Oni omogućavaju razmenu čitavog niza jona i malih molekula. 006 Epitelske ćelije i tkiva

7 Osnovi histologije radna verzija Vršne diferencijacije epitelskih ćelija prstolikog su oblika a međusobno se razlikuju svojom veličinom dužinom i prečnikom. Variraju od relativno kratkih i često brojnih mikroresica, mikrovila, preko treplji, cilija koje mogu biti prisutne u manjem ili većem broju do relativno retko zastupljenih stereocilija i kinocilija koje najčešće odlikuju čulne epitele. U mnogim slučajevima na vršnoj površini su prisutne treplje u zajednici sa mikroresicama (Sl. 1-06). Vršne diferencijacije se međusobno razlikuju i po komponentama citoskeleta koje obrazuju njihov unutrašnji skelet, aksonemu. Povezanost aksonema ovih diferencijacija, posebno kada je reč o mikroresicama, sa unutarćelijskim komponentama adhezivnih međućelijskih spojeva može biti u toj meri izražena da dolazi do obrazovanja vršnog tkanja (Sl. 1-06). Ono predstavlja složenu strukturu rigidne prirode koja odlikuje epitelske ćelije, a na unutarćelijskom nivou ističe njihovu polarizovanost. Polarizovanost epitelske ćelije prisutna je i u nivou rasporeda bar jednog dela citoplazminih organela (Sl. 1-06). U najvećem broju slučajeva granulirani endoplazmin retikulum uz prisustvo manjeg ili većeg broja mitohondrija skoncentrisan je u donjoj, baznoj polovini ćelije, oko i ispod nukleusa. Cisterne granuliranog endoplazminog retikuluma su tako relativno blizu kapilara, drugim rečima blizu mesta na kome amino-kiseline neophodne za sintezu polipeptidnih lanaca ulaze u ćeliju. U gornjoj polovini ćelije, iznad nukleusa, nalaze se diktiosomi Goldžijevog aparata kao i centrosom od koga se često zrakasto šire mikrotubule. Treba, međutim, naglasiti kako ima epitelskih ćelija kod kojih je unutarćelijska polarizovanost nije jasno izražena. Održavanju specifičnosti vršne odnosno bazno-bočnih oblasti plazmine membrane epitelske ćelije doprinosi endosomski sistem. Istraživanja su, naime, pokazala kako se u okviru ranih endosoma razlikuju vršni odnosno bazolateralni rani endosomi (Sl. 1-06). Na održavanje samosvojnosti molekulskog sastava njihovih membrana pa time i na sposobnost unošenja supstancija iz lumena odnosno iz međućelijskog prostora utiče prisustvo čvrste adhezivne međućelijske veze. S druge strane, postojanje dve populacije ranih endosoma ukazuje da i endosomski sistem epitelske ćelije doprinosi njenoj unutarćelijskoj polarizovanosti. Detaljnija strukturna organizacija najčešćih vršnih diferencijacija mikroresica i treplji izložena je u knjizi Ćelija strukture i oblici, u okviru poglavlja Unutrašnji ćelijski skelet. KLASIFIKACIJA EPITELA Premda su, kao što je već naglašeno, konkretni epiteli veoma raznoliki, njihovo klasifikovanje je moguće i može biti zasnovano na tri principa na principu embrionskog porekla, na principu funkcijskih ili pak morfoloških razlika. Ukoliko se pođe od embrionskog porekla epiteli se, budući da potiču od sva tri klicina lista, mogu svrstati na ektodermske, endodermske i mezodermske epitele. U okviru svake od ovih triju grupa epitela moguće je i dalje grupisanje, ali je ono i pored svoje ispravnosti primerenije u okviru razmatranja procesa organogenese. Ukoliko se kao kriterijum odabere funkcija koju ćelije određenog epitela obavljaju, epiteli se mogu grupisati na pokrovne, sprovodne, apsorptivne, Epitelske ćelije i tkiva 007

8 Nada M. Šerban * videti poglavlje Ćelije koje tvore nervno tkivo. žlezdane, čulne. Međutim, postoji ne mali broj epitela koji istovremeno vrše nekoliko funkcija pa je ovakva klasifikacija, ma koliko u osnovi bila logična, često nedovoljno pregledna. Ako se pak za kriterijum uzmu morfološke odlike epitela, takva klasifikacija u znatno većoj meri pruža preglednost i mogućnost lakšeg sagledavanja njihove raznolikosti. Osnovno polazište ovakvog grupisanja epitela zasnovano je na broju ćelijskih slojeva koji učestvuju u njegovoj izgradnji, kao i na odnosu koji osnovice epitelskih ćelija uspostavljaju sa podepitelskom laminom. Ukoliko ga formira jedan sloj ćelija i sve one stupaju u direktni kontakt sa podepitelskom laminom epitel se, bez obzira na bliže morfološke karakteristike ćelija koje ga obrazuju, smatra jednoslojnim epitelom. Ako je pak epitel izgrađen od većeg broja ćelijskih slojeva pa time osnovice svih epitelskih ćelija nisu u dodiru sa podepitelskom laminom, epitel se smatra višeslojnim epitelom. Bliže određenje kako jednoslojnih tako i višeslojnih epitela zavisi od morfoloških odlika ćelija koje učestvuju u njihovom formiranju. Jednoslojni epiteli Prvenstveno na osnovu oblika ćelija, a posredno na osnovu oblika i mesta na kome se nalaze njihovi nukleusi, jednoslojni epiteli mogu se klasifikovati na niskoprizmatične, kockaste, cilindrične i lažno višeslojne (pseudostratifikovane) epitele. Jednoslojne niskoprizmatične epitele (Sl. 1-07) obrazuju epitelske ćelije čija je visina znatno manja od širine. Nukleusi su im spljošteno-jajoliki, a njihova duža osa je paralelna sa podepitelskom laminom. U ekstremnim slučajevima citoplazma je svedena na veoma tanak sloj tako da su na preparatima posmatranim na svetlosnom mikroskopu jedino vidljivi nukleusi koji kao da štrče nad osnovicom epitela. U najvećem broju slučajeva niskoprizmatične epitele obrazuju istovrsne ćelije. Primere ovakvih jednoslojnih epitela pružaju endoteli krvnih i limfnih sudova, mezotel (epitel koji oblaže trbušnu duplju) kao i epitel jednog dela nefronskog kanalića u bubregu (oblast Henlejeve petlje). Jednoslojne kockaste epitele (Sl. 1-07) formiraju ćelije čija je visina približno jednaka širini. Nukleusi su im loptasti, najčešće postavljeni u središtu ćelije. I kockasti jednoslojni epiteli poglavito su organizovani od istovrsnih ćelija. Ovakav tip epitela odlikuje, na primer, izvodne kanaliće mnogih žlezda, izuvijane delove nefronskog kanalića, a kockaste ćelije grade i epitel horoidnih pleksusa*. Jednoslojne cilindrične epitele (Sl. 1-07) obrazuju ćelije čija je visina znatno veća od širine. Nukleusi su najčešće jajolikog oblika, tako postavljeni da je njihova duža osa upravna na podepitelsku laminu. Ćelije cilindričnih epitela često na vršnoj površini poseduju izuzetno dobro razvijene i brojne mikroresice koje formiraju region nazvan četkastom ivicom. Ovaj termin je proizašao iz utiska koji ovi epiteli ostavljaju kada se preparati crevnog epitela, na primer, posmatraju na svetlosnom mikroskopu. Ukoliko ćelije jednoslojnog cilindričnog epitela na svojoj vršnoj površini poseduju treplje uobičajeno je da se razmatraju kao jednoslojni cilindrični trepljasti epiteli. U velikom broju slučajeva jednoslojni cilindrični epiteli izgrađeni su od ćelija koje se međusobno razlikuju po svojim morfološkim odlikama i 008 Epitelske ćelije i tkiva

9 Osnovi histologije radna verzija po funkcijama koje obavljaju. Ćelije su različitog oblika a njihovi nukleusi nemaju istu formu i u ćeliji se nalaze na različitim visinama. Kada se preparati ovih jednoslojnih cilindričnih epitela posmatraju na svetlosnom mikroskopu epitelska ćelija podepitelska lamina jednoslojni niskoprizmatični epitel kapilar jednoslojni kockast epitel jednoslojni cilindričan epitel pseudostratifikovan epitel prelazni epitel podepitelsko vezivo višeslojni pločast epitel Slika Jednoslojni i višeslojni epiteli može se steći utisak da osnovice svih ćelija ne leže na podepitelskoj lamini i da se mogu smatrati višeslojnim epitelima. Međutim, posmatranje preparata ovih epitela na transmisionom elektronskom mikroskopu pokazuje da je utisak lažan, drugim rečima da osnovice svih ćelija, bez obzira na njihovu morfološku različitost, uspostavljaju kontakt sa laminom. Zato su ovakvi jednoslojni cilindrični epiteli obrazovani od morfološki i funkcijski različitih ćelija nazvani lažno višeslojnim, pseudostratifikovanim epitelima (Sl. 1-07). Upravo takav epitel obrazuje, na primer, unutrašnju površinu crevne cevi. Epitelske ćelije i tkiva 009

10 Nada M. Šerban * videti knjigu Ćelija strukture i oblici, poglavlje Faze u životnom ciklusu ćelije. Ukoliko su neke od ćelija koje učestvuju u izgradnji ovakvih epitela snabdevene brojnim i izraženim trepljama, kakav je, na primer, slučaj sa epitelom dušnika, traheje, nazivaju se lažno višeslojnim trepljastim epitelima. Pored morfološki diferenciranih i funkcijski krajnje određenih ćelija koje grade jednoslojne epitele, u njihovoj organizaciji učestvuju i ćelije koje nisu diferencirane, ali su ipak od izuzetnog značaja za održavanje epitela. Životni vek diferenciranih ćelija je ograničen, one pre ili kasnije podležu programiranom ćelijskom umiranju*. U normalnim, nepatološkim uslovima njihovo umiranje ne dovodi, međutim, do narušavanja kontinuiteta epitela na mestu tih ćelija pojavljuju se nove. Te nove ćelije nastaju deobama upravo ovih, premda malobrojnih, nediferenciranih ćelija budući da one tokom čitavog života epitela čuvaju sposobnost ćelijskog deljenja. Nazivaju se izvornim, matičnim epitelskim ćelijama. Izvorne epitelske ćelije su relativno malih dimenzija, nalegle uz podepitelsku laminu. Imaju okruglaste nukleuse i neveliku količinu citoplazme. Dve kćerke-ćelije koje nastaju njihovom deobom nemaju istu sudbinu jedna od njih raste i diferencira se, dok druga ostaje nediferencirana, izvorna ćelija. Treba, međutim, naglasiti kako su istraživanja pokazala da u slučaju mnogih vrsta epitela izvorne ćelije ne predstavljaju homogenu populaciju. Neke od njih su, naime, multipotentne, drugim rečima njihove kćeri-ćelije mogu se diferencirati u različitim pravcima dok su druge unipotentne njihove kćeri- -ćelije mogu se diferencirati samo u jednom pravcu. Višeslojni epiteli Višeslojni epiteli su obrazovani od većeg broja ćelijskih slojeva koji su postavljeni jedan na drugi a samo ćelije najdubljeg sloja uspostavljaju kontakt sa podepitelskom laminom. I u slučaju višeslojnih epitela sve ćelije su nepokretne, ali ta nepokretnost nije u okviru svake pojedinačne ćelije morfološki iskazana i njenom jasnom polarizovanošću. Nepolarizovanost ćelija ne znači da istovremeno sam epitel nije polarizovan. Naprotiv, ova osobina je kod višeslojnih epitela izražena u mnogim odlikama, ali je sa pojedinačnih ćelija preneta na ćelijske slojeve. Osnovicu epitela čini bazni sloj ćelija koji se na neki način može porediti sa baznom polovinom ćelija jednoslojnih epitela dok se površinski sloj ćelija možu smatrati analognim vršnoj polovini ćelija jednoslojnih epitela. Sve ćelije ovih epitela međusobno su povezane adhezivnim međućelijskim spojevima i to pretežno tipa macula adherens. Kod najvećeg broja višeslojnih epitela primećuje se promena oblika ćelija od jednog do drugog sloja. Tako ćelije koje leže na podepitelskoj lamini svojim oblikom podsećaju na cilindrično-jajolike ćelije dok ćelije u slojevima koji na njih naležu postepeno postaju okruglaste, a potom pločaste. Promena oblika ćelija odražava se i na promenu pravca pružanja nukleusa u najdubljem sloju oni su postavljeni upravno na podepitelsku laminu dok se u gornjim slojevima postavljeni paralelno sa laminom. Ovakav opis odgovara najčešćem tipu višeslojnih epitela višeslojnom pločastom epitelu (Sl. 1-07). U okviru ove grupe epitela postoje razlike kako 010 Epitelske ćelije i tkiva

11 Osnovi histologije radna verzija u broju slojeva tako i u sposobnosti odnosno nesposobnosti ćelija da sintetišu keratohijalinske granule. U slučaju kada ih ćelije ne sintetišu govori se o višeslojnim pločastim nekeratinizirajućim epitelima kakvi se, na primer, susreću na unutrašnjoj površini usne duplje ili pak jednjaka. Kada ćelije sintetišu ove granule, govori se o višeslojnim keratinizirajućim epitelima kakav je epiderm kože. Postoje i višeslojni epiteli čije su površinske ćelije cilindričnog oblika pa se ovakvi epiteli nazivaju višeslojnim cilindričnim epitelima. U njihovoj izgradnji učestvuje relativno mali broj ćelijskih slojeva. Višeslojni cilindrični epiteli su retki i pokriva uglavnom male površine. Susreće, na primer, na unutrašnjoj površini uretre ili pak u nekim delovima izvodnih kanala žlezda. Poseban tip epitela prisutan je u nekim delovima mokraćnog sistema poput, na primer, mokraćne bešike. Ukoliko se preparati ovog epitela posmatraju na svetlosnom mikroksopu, on izgleda kao pravi višeslojni epitel organizovan od većeg broja ćelijskih slojeva. Ćelije površinskog sloja razlikuju se od uobičajenih površinskih ćelija višeslojnih epitela svojom veličinom, oblikom i bojenim karakteristikama citoplazme. Ovaj tip epitela nazvan je prelaznim epitelom (Sl. 1-07) budući da se odlikuje sposobnošću promene visine, a naizgled i broja ćelijskih slojeva u zavisnosti od fiziološkog stanja mokraćne bešike. Međutim, kada se preparati prelaznog epitela posmatraju na transmisionom elektronskom mikroskopu može se zapaziti da osnovice svih ćelija, kao kod lažno višeslojnih epitela, uspostavljaju kontakt sa podepitelskom laminom. Ukoliko se kod višeslojnih epitela razmatra diferenciranost ćelija, ona se daleko preciznije sagledava u vertikalnom nego u horizontalnom pravcu. Najdublji sloj ćelija, onaj čije osnovice leže na podepitelskoj lamini, predstavlja sloj obrazovan od nediferenciranih ćelija.one imaju u manjoj ili većoj meri sposobnost mitotičkog deljenja a njihovo potomstvo obnavlja ćelije viših slojeva. Ćelije viših slojeva pak prolaze kroz niz morfoloških i funkcijskih promena koje dovode do njihovog diferenciranja. Ćelije najdubljeg sloja sa punim pravom se mogu smatrati izvornim ćelijama višeslojnih epitela a sloj koji formiraju često se označava kao germinativni sloj. Epiteli, i jednoslojni i višeslojni, mogu biti izloženi mehaničkim povredama koje dovode do oštećenja koja u manjoj ili većoj meri prekidaju kontinuitet epitela uklanjanjem jednog broja ćelija i ogoljavanjem i oštećavanjem podepitelske lamine*. Regeneracija tako narušenog epitela podrazumeva veoma duboke promene u epitelskim ćelijama koje se nalaze oko oštećenog mesta. Ove, do tada nepokretne ćelije menjaju, naime, svoje unutrašnje programe, svoje ponašanje i morfološke karakteristike i postaju prave pokretne ćelije. Počinju da se spljoštavaju i, oslanjajući se na ostatke podepitelske lamine i komponente vezivnog tkiva koje se ispod nje nalaze, menjaju mesto u prostoru. Svojim kretanjem one postepeno prekrivaju oštećeni region epitela i na taj način uspostavljaju kontinuitet epitelske površine. Potom se vraćaju u svoje prethodno, nepokretno stanje postupno stičući morfološke odlike koje se iskazuju njihovom polarizovanošću. Tek potom izvorne ćelije svojim deobama nadoknađuju kako broj epitelskih ćelija u tom regionu tako i visinu epitela. Tokom ovakvih regenerativnih promena često se događa da iz deoba izvornih ćelija proistekne veći broj ćelija u odnosu na onaj prisutan pre oštećivanja, drugim rečima dolazi do obrazovanja neoplazija. * O molekulskim mehanizmima koji omogućavaju regeneraciju višeslojnog epitela pogledati u knjizi Ćelija strukture i oblici poglavlje Ćelija i njena okolina. Epitelske ćelije i tkiva 011

12 Nada M. Šerban NEKE MORFOLOŠKO-FUNKCIJSKE ODLIKE ĆELIJA EPITELA Ma koliko prototip epitelske ćelije odražavao osnovne morfološke odlike ovih ćelija i ukazivao na njihove različite funkcijske mogućnosti, on ni u kom slučaju ne može da u dovoljnoj meri pokaže svu raznolikost konkretnih ćelija koje su prisutne unutar brojnih tipova jednoslojnih i višeslojnih epitela, raznolikost na koju ukazuje već i njihova najopštija klasifikacija. Svaki tip epitela podrazumeva, naime, ćelije koje poseduju neke od odlika opisanih kod prototipske ćelije, ali i odlike koje su za određenu vrstu ćelija karakteristične, a njihovo poznavanje postaje nužno u svetlu funkcijske raznovrsnosti epitela. JEDNOSLOJNI NISKOPRIZMATIČNI EPITELI Endotelske ćelije sintetišu: antikoagulante antitrombogene supstancije protrombogene agense vazokonstriktore vazodilatatore stimulišuće faktore rasta inhibirajuće faktore rasta Epitel kapilara Kapilari su krvni sudovi najtanjih zidova koji su u većoj ili manjoj meri prisutni unutar svih organa. Prečnik im se kreće između 2.5 i 10 μm dok njihova dužina varira od 0.25 do 1 mm. Zid kapilara formiraju endotelske ćelije čiji je pravac pružanja paralelan sa pravcem pružanja kapilara. Nukleus endotelske ćelije, uočljiv na preparatima posmatranim na svetlosnom mikroskopu, elipsoidnog je oblika i svetao, euhromatski. Svojom dužom osom paralelan je sa podepitelskom laminom. Na preparatima posmatranim na transmisionom elektronskom mikroskopu u citoplazmi se uočavaju kratke cisterne granuliranog endoplazminog retikuluma, slobodni ribosomi a u regionu oko nukleusa zapaža se Goldžijev aparat kao i nevelik broj sitnih mitohondrija. Međutim, ono što odlikuje citoplazmu endotelskih ćelija kapilara su brojne vezikule malog prečnika kao i mnogobrojni endocitotski uvrati i kaveoli prisutni u vršnom i baznom regionu ćelije. U izgradnji citoskeleta učestvuju aktinski filamenti prisutni u tankom sloju citoplazme, kao i intermedijerni filamenti. Kod nekih kapilara oni su isključivo desminskog tipa, u drugim vimentinskog, a ima i onih kod kojih su izgrađeni od oba tipa proteina. Slobodni krajevi ćelija međusobno su spojeni adhezivnim vezama i to uglavnom tipa zonula occludens. Svojom osnovicom endotelske ćelije leže na podendotelskoj lamini. Endotelske ćelije kapilara održavaju osnovne metaboličke procese u organizmu budući da na selektivan način obezbeđuju razmenu gasova kao i kontrolisan transport supstancija između krvi, s jedne strane, i ćelija svih tkiva, sa druge. Istovremeno zahvaljujući osobinama endotelskih ćelija, kapilari predstavljaju veoma značajan sintetski i metabolički sistem kao i rezervoar netrombogene krvi. Premda je u svim kapilarima sloj citoplazme endotelske ćelije u toj meri tanak da se često kaže kako je ona razlivena na velikoj površini, kapilari se međusobno morfološki razlikuju prema tome da li je taj sloj kontinuiran ili nije. Tako se kapilari i klasifikuju na kontinuirane, fenestrovane i sinusoidne kapilare. 012 Epitelske ćelije i tkiva

13 Osnovi histologije radna verzija marginalni prevoj Kontinuirani kapilar Zid kontinuiranog kapilara (Sl. 1-08) obrazuju endotelske ćelije i podepitelska lamina, a uz spoljašnju površinu lamine naleže pericit. Sloj citoplazme je osim u oblasti nukleusa, koje štrči u lumen, šupljinu kapilara, veoma tanak njegova debljina se kreće između 0.1 i 0.8 μm. Endotelske ćelije su spojene čvrstom vezom, ali ima primera da u njihovom mehaničkom spajanju učestvuje i po neki desmosom, dok su u nekim slučajevima ćelije međusobno spojene kombinacijom čvrste veze i adhezivnog pojasnog spoja. Takođe je uočeno i prisustvo pukotinaste veze. Na onim mestima na kojima se susreću i spajaju slobodni krajevi ćelije/ćelija, na vršnoj površini se zapažaju citoplazmatski pločasti prevoji (Sl. 1-09) koji se uzdižu iznad regiona spojeva i, natkriljujući podendotelska lamina pericit endocitotsko ulegnuće mikrovezikula endotelska ćelija endotelska ćelija Slika Trodimenzioni prikaz kontinuiranog kapilara podendotelska lamina vanćelijski matriks pericit lamina pericita Slika Morfološke odlike kontinuiranog kapilara ih, štite tu oblast od eventualnih mehaničkih oštećenja. Ovi prevoji se nazivaju marginalnim prevojima. Kao što je već pomenuto, u citoplazmi endotelske ćelije uočava se veoma veliki broj vezikula (Sl. 1-09) koje mnogi autori nazivaju mikrovezikulama njihov prečnik se, naime, kreće između 50 i 70 nm. U mnogim slučajevima može se konstatovati da su ove mikrovezikule svojim pripajanjem obrazovale privremene transendotelske kanale koji spajaju lumensku i baznu površinu ćelije (Sl. 1-15). Kontinuirani kapilari odlikuju mišićna tkiva, pluća i centralni nervni sistem, a prisutni su i u masnom tkivu, limfnim organima i vezivnim tkivima koja učestvuju u strukturiranju potke i kapsula brojnih organa. Fenestrovani kapilari Endotelske ćelije koje obrazuju fenestrovane kapilare po mnogim morfološkim odlikama slične su ćelijama kontinuiranih kapilara leže na podendotelskoj lamini i uz njih mogu biti prisutni periciti (Sl. 1-10). Njihovi spljošteno-jajoliki nukleusi izviruju u lumen kapilara. U citoplazmi se uočava nevelika količina citoplazminih organela uključenih u sintetske procese kao i mikrovezikule, Epitelske ćelije i tkiva 013

14 Nada M. Šerban podendotelska lamina endotelska ćelija pericit sitasto polje Slika Trodimenzioni prikaz fenestrovanog kapilara endocitotska ulegnuća i kaveoli (Sl ). Ćelije su međusobno spojene adhezivnim spojevima pretežno tipa zonula occludens. Ovi kapilari se nazivaju fenestrovanim a ponekad i diskontinuiranim zato što je u pojedinim delovima kontinuitet citoplazme prekinut postojanjem pora, fenestara ( prozorčića ) kružnih struktura prečnika između 50 i 80 nm. Fenestri nisu pojedinačno raspoređeni već se susreću u grupama od 20 do 60 i tako formiraju šupljikave, sitaste ploče (Sl. 1-11). Pore su raspoređene na veoma ujednačenom rastojanju središta susednih pora su jedno od drugog udaljena oko 130 nm. U onim regionima u kojima fenestara nema u citoplazmi su prisutne brojne vezikule malog prečnika. sitasto polje marginalni prevoj endocitotsko ulegnuće fenestar dijafragma mikrovezikula pericit lamina pericita vanćelijski matriks podendotelska lamina endotelska ćelija Slika Morfološke odlike fenestrovanog kapilara centralno zgusnuće plazmina membrana endotelske ćelije fenestar glikokaliks filament Slika Morfološka organizacija dijafragme U najvećem broju slučajeva poru premošćuje dijafragma, struktura čija se debljina kreće između 4 i 6 nm. Dijafragma ne predstavlja mesto slepljivanja vršne i bazne plazmine membrane endotelske ćelije ona je, naime, tanja od membrane, a na preparatima posmatranim na transmisionom elektronskom mikroskopu ne pokazuje troslojnost. Metod zamrzavanja i otkrivanja pokazao je da dijafragmu formira centralno zgusnuće mrežolike strukture od koga se zrakasto širi osam fibrila koji su u kontinuitetu sa glikokaliksom ćelijske membrane koja omeđava fenestar (Sl. 1-12). Fenestrovani kapilari odlikuju mnoge endokrine žlezde ali se susreću i u svim onim organima u kojima se obavlja absorpcija tečnosti i metabolita u crevnoj cevi i zidu žučne kese, u nivou bubrega, ali su prisutni i u sinovijskoj membrani. Fenestri u kapilarima bubrežnih glomerula mogu ali i ne moraju posedovati dijafragmu. Ovakvi fenestrovani kapilari leže na udvostručenoj podepitelskoj lamini. Treba takođe istaći kako broj fenestara i vezikula kao i debljina citoplazme endotelske ćelije u kapilarima crevne cevi, na primer, u mnogome zavisi od toga da li se u datom trenutku obavljaju procesi apsorpcije, ili ne. 014 Epitelske ćelije i tkiva

15 Osnovi histologije radna verzija Sinusoidni kapilar Premda sinusoidni kapilari poseduju mnoge odlike fenestrovanih kapilara, od njih se razlikuju po većem prečniku, nepravilnoj formi i po prisustvu ne samo fenestara nego i otvora čiji se prečnik kreće između 0.5 i 3 μm (Sl i 1-14). Fenestri nisu premošćeni dijafragmom. U citoplazmi se ponekad uočavaju vezikule kao i značajan broj komponenti lizosomskog sistema što ukazuje da ove ćelije povremeno mogu imati i fagocitnu ulogu. Ćelije su spojene čvrstom vezom dok komuniciraju preko pukotinastih spojeva. Na lumenskoj površini endotelskih ćelija, iznad međućelijskih spojeva, zapažaju se marginalni prevoji koji se znatnom površinom uzdižu iznad međućelijskih veza (Sl. 1-14) i nesumnjivo da ih na taj način štite od naleta krvi. U bazi ovog tipa kapilara podepitelske lamine najčešće nema, ili su vidljivi samo njeni veoma redukovani regioni. Ni pericit ne prati endotelske ćelije ovih kapilara, ali su, za uzvrat, uz osnovicu endotela prisutna kolagena i retikularna vlakna (Sl. 1-14). otvor endotelska ćelija sitasto polje Slika Trodimenzioni prikaz sinusoidnog kapilara retikularno vlakno vanćelijski matriks kolageni fibrili endotelska ćelija fenestar preostalo telo otvor hepatocit sitasto polje Slika Morfološke odlike sinusoidnog kapilara u jetri Sinusoidni tip kapilara odlikuje tkivo jetre, slezine, koštane srži, kao i koru nadbubrežnih žlezda. Treba, međutim, istaći kako ovaj tip kapilara pokazuje značajna variranja na nivou oblika endotelskih ćelija, u slezini, na primer, kao i prisustvo specijalizovanih makrofagnih ćelija u tkivu jetre. Kao što je već naglašeno, metaboličke razmene između krvi, s jedne strane, i okolnog tkiva, sa druge, obavljaju se u nivou kapilara. Ove razmene su zasnovane na prisustvu mikrovezikula, kaveola, privremeno formiranih kanala a u slučaju fenestrovanih kapilara i dijafragmi. Transporti u koji su ove strukture uključene može biti neselektivan i selektivan. Neselektivan transport kroz endotel kapilara obavlja se procesom pinocitose a tako unete materije se procesom egzocitose izbacuju u okolnu sredinu. Povremeno se pinocitotske vezikule, posebno u veoma stanjenim delovima citoplazme, međusobno spajaju stvarajući privremene kanale (Sl. 1-15). Selektivan transport, pak, baziran je na transcitosi, procesu u koji su uključene vezikule koje u svojoj membrani poseduju receptore za određen Epitelske ćelije i tkiva 015

16 Nada M. Šerban endocitotsko ulegnuće privremeni kanal molekul a na citoplazminoj površini formiran je klatrinski omotač (Sl. 1-16). Smatra se da ove vezikule potiču od Goldžijevog aparata i da predstavljaju relativno stalnu i stabilnu populaciju vezikula koje se premeštaju sa jedne površine endotela na drugu ne ujedinjujući se trajno sa ćelijskom membranom. Na taj način bila bi obezbeđena relativna stalnost i samosvojnost molekulskog sastava plazmine membrane vršnog odnosno baznog dela endotelske ćelije. lumen kapilara molekul koji se unosi privremena pora endotelska ćelija podendotelska lamina Slika Formiranje privremenih kanala i pora molekul koji se unosi klatrinski omotač endotelska ćelija podendotelska lamina receptor lumen kapilara transportna vezikula egzocitosa Slika Transcitosa posredstvom ogrnutih vezikula Selektivan transport, s druge strane, omogućavaju i kaveoli. Njihova membrana može biti u kontinuitetu sa plazminom membranom endotelske ćelije ali oni se mogu poput drugih endocitotskih vezikula od nje odvojiti i potom privremeno ujediniti sa membranom u bazi endotela (Sl. 1-17). U transport posredovan kaveolima uključen je kaveolin-1. Efikasnosti ovakvog transporta doprinose i privremeno obrazovane tubularne formacije ili pak grozdaste strukture koje nastaju ujedinjavanjem većeg broja kaveola. Treba naglasiti da su istraživanja pokazala kako je za transport nekih supstancija i u slučaju kaveola nužno prisustvo receptora. Kaveoli omogućavaju transport insulina, albumina i nekih kategorija lipoproteina male gustina iz lumena kapilara u okolno tkivo. U slučaju fenestrovanih kapilara klinasti kanali koje omađavaju fibrili dijafragme i glikokaliks membrane koja definiše fenestar omogućavaju prolaz molekula određenih dimenzija (Sl. 1-18). I zaista eksperimenti su pokazali da molekuli prečnika 4.5 nm (veličina molekula peroksidaze rena) kroz njih lako prolaze dok oni veličine feritina (11 nm u prečniku) ne mogu da prođu. Budući da je u oblasti fenestara put koji supstancije pri prolasku kroz endotelsku ćeliju u značajnoj meri skraćen, ubrzane su i razmene između krvi i tkivnih ćelija. Pored toga pokazano je da se za oblast dijafragme posebno čvrsto vezuju katjonski molekuli. 016 Epitelske ćelije i tkiva

17 Osnovi histologije radna verzija Na transport materija kroz endotelsku ćeliju utiču brojni faktori koji, između ostalog, podrazumevaju veličinu molekula koji se između dve sredine razmenjuju kao i njihovo naelektrisanje. Tako se pozitivno naelektrisan feritin vezuje za negativno naelektrisanu ćelijsku membranu i to po svemu sudeći posredstvom specifičnih receptorskih molekula prisutnih u membrani. Anjonski, negativno naelektrisani i neutralni molekuli najverovatnije se u molekul koji se unosi kaveolus lumen kapilara kaveolin-1 endotelska ćelija podendotelska lamina Slika Transport posredstvom kaveola kaveolus u transcitosi egzocitosa lumen kapilara klinasti prolaz fenestar molekul koji se unosi endotelska ćelija podendotelska lamina Slika Transport kroz dijafragmu ćeliju unose nespecifično. Brojni molekuli kroz endotelske ćelije prolaze zahvaljujući specifičnim receptorima prisutnim na membrani ovih ćelija. Treba podsetiti da adhezivne veze tipa zonula occludens uspostavljene između endotelskih ćelijh u određenim okolnostima mogu biti privremeno narušene i na taj način omogućiti dijapedesu ćelija koje se iz krvnog toka premeštaju u okolno vezivno tkivo*. Međutim, neka istraživanja pokazuju da na sličan način i određeni metaboliti mogu napustiti lumen kapilara. No, bez obzira da li endotelske ćelije formiraju kontinuirane, fenestrovane ili sinusoidne kapilare, one uvek čuvaju sposobnost mitotičkog deljenja koja se iskazuje kako tokom rastenja kapilara angiogenese tako i u slučaju kada dođe do oštećenja endotelskog epitela. * O etapama dijapedese videti u okviru poglavlja Ćelijske i vanćelijske komponente vezivnih tkiva. JEDNOSLOJNI KOCKASTI EPITELI Jednoslojni kockasti epiteli obrazuju proksimalne i distalne delove nefronskog kanalića u bubregu, na primer, jedan deo izvodnog kanalića pljuvačnih žlezda kao i epitel horoidnih pleksusa u moždanim ventrikulusima*. Ćelije koje formiraju jednoslojne kockaste epitele poseduju niz zajedničkih morfoloških i funkcijskih odlika, njihove karakteristike će biti pokazane na primeru epitela proksimalnog dela nefronskog kanalića. * O morfološkim odlikama ćelija horoidnog pleksusa videti u okviru poglavlja Ćelije koje tvore nervno tkivo. Epitelske ćelije i tkiva 017

18 Nada M. Šerban bazni lavirint kapilar nefrocit Slika Epitel proksimalnog nefronskog kanalića Epitel proksimalnog regiona nefronskog kanalića Nefronski kanalić predstavlja deo nefrona, jedinice građe bubrega. Ovaj kanalić obuhvata nekoliko segmenata a proksimalni region je njegov početni deo. Epitel nefronskog kanalića, koji formiraju ćelije nazvane nefrocitima, u nivou proksimalnog dela je jednoslojni kockasti epitel. Kada se preparati bubrega posmatraju na svetlosnom mikroskopu zapaža se da nefrociti proksimalnog kanalića izgledaju kao kockaste ćelije, da imaju loptast nukleus koji zauzima središnji položaj u ćeliji i da u vršnom delu ćelije poseduju dobro razvijenu četkastu ivicu. Nefrociti izvijanog dela proksimalnog kanalića uobičajeno se opisuju kao ćelije čija je visina skoro podjednaka širini. Međutim, kada se ove ćelije posmatraju na transmisionom elektronskom mikroskopu, uočava se da su one piramidnog oblika (Sl. 1-20). Nukleus im je okrugao, euhromatski, postavljen manje-više u središtu ćelije. Na vršnoj površini ćelije prisutne su veoma brojne i relativno duge mikroresice (3 do 6 μm). One formiraju četkastu ivicu, uočljivu na preparatima posmatranim na svetlosnom mikroksopu. Mikroresice odlikuje veoma dobro razvijen polisaharidni omotač, glycocalix. mikroresica vršni kanalikul preostalo telo adhezivni spojevi endosom bočni citoplazmatski nastavak bazni lavirint podepitelska lamina nefrocita podepitelska lamina kontinuiranog kapilara endotel kontinuiranog kapilara Slika Morfološke odlike nefrocita proksimalnog kanalića Između mikroresica primećuju se duboki uvrati plazmine membrane koji se ponekad nazivaju vršni kanalikuli. Susedne ćelije su međusobno spojene vezama adhezivnog tipa i to čvrstim vezama, pojasnim adhezivnim spojevima i desmosomima. Ispod zone međućelijskih spojeva primećuju se brojni bočni citoplazmatski prevoji koji su često granati (Sl. 1-20). Zahvaljujući ovim prevojima bočne površine ćelija su znatno uvećane što doprinosi njihovoj većoj širini u donjoj polovini ćelije i njenom piramidnom obliku. Citoplazmatski prevoji se umeću u prostore između citoplazmatskih prevoja susednih nefrocita. U citoplazmi se zapažaju cisterne granuliranog endoplazminog retikuluma, Goldžijev aparat koji je smešten iznad nukleusa kao i elementi lizosomskog sistema uključujući i relativno krupne endolizosome. 018 Epitelske ćelije i tkiva

19 Osnovi histologije radna verzija Nefrocite proksimalnog kanalića odlikuje bazni lavirint koji podrazumeva brojne i duboke uvrate ćelijske membrane u bazi ćelije. U tom regionu uočava se veliki broj krupnih mitohondrija koje su postavljene okomito u odnosu na podepitelsku laminu (Sl. 1-20). Prisustvo mitohondrija se na preparatima posmatranim na svetlosnom mikroskopu ogleda u nešto tamnijoj obojenosti citoplazme u donjoj polovini nefrocita. U samoj bazi uvrata kao i bočnih citoplazmatskih prevoja prisutni su snopovi aktinskih filamenata. Uz osnovicu ćelije skoro je priljubljen kontinuiran kapilar bubrežnog intersticijuma. U nivou bubrežnog telašca, početnog dela nefrona, formira se primarna mokraća koja se sliva u proksimalni region nefronskog kanalića. U tom regionu nefronskog kanalića dolazi do reapsorbovanja vode, jona natrijuma i hlora, bikarbonata, amino-kiselina i monosaharida, kao i proteina koji su prošli kroz filtracionu barijeru glomerula i našli se u primarnoj mokraći. U proces reapsorbovanja vode i jona natrijuma i hlora uključene su Na + - -K + -ATPazne pumpe i kanali za prolaz molekula vode. Pumpe su lokalizovane u plazminoj membrani koja formira bočne citoplazmatske prevoje nefrocita. Kanale za prolaz molekula vode formiraju akvaporini-1. Aktivan transport koji obezbeđuju Na + -K + -ATPazne pumpe usmerava jone natrijuma u međućelijske prostore, a praćen je pasivnom difuzijom jona hlora. Mitohondrije, smeštene između uvrata plazmine membrane obezbeđuju stalno obnavljanje adenozin-trifosfata neophodnog za rad ovih pumpi. Prikupljanje NaCl u prostorima između nefrocita stvara osmotski pritisak koji povlači vodu iz lumena proksimalnog kanalića u međućelijske prostore. Promene u količini vode u međućelijskom prostoru praćene su promenom položaja bočnih citoplazmatskih prevoja i to zahvaljujući aktivnosti aktinskih filamenata prisutnih u njihovoj bazi. Reasorbovanje vode, i to bez utroška energije, iz međućelijskih prostora preko podepitelske lamine proksimalnog kanalića u kontinuiran kapilar intersticijuma omogućavaju akvaporinski kanali. U nivou polisaharidne komponente membrane koja formira mikroresice lokalizovano je više ATPaza, peptidaza kao i visoka koncentracija disaharidaza. Primarna mokraća obuhvata amino-kiseline, monosaharide, ali i male peptide i disaharide koji se adsorbuju na polisaharidnu komponentu membrane mikroresica. Tu, zahvaljujući prisustvu odgovarajućih enzima, ovi molekuli bivaju razgrađeni do nivoa amino-kiselina i monosaharida. Njihovo resorbovanje pak zavisi od aktivnog transporta jona natrijuma. Smatra se da je ovaj mehanizam značajan ne samo za čuvanje amino-kiselina i inaktivaciju toksičnih peptida nego i za regulaciju nivoa malih peptidnih hormona prisutnih u cirkulaciji. Zahvaljujući procesima endocitose oni proteini koji su prošli kroz filtracionu barijeru glomerula, u nivou izuvijanog dela proksimalnog kanalića bivaju endocitotski uneti u citoplazmu nefrocita i unutar komponenata endosomskog i lizosomskog sistema razloženi do amino-kiselina. One potom preko međućelijskih prostora dospevaju u kontinuirane kapilare intersticijuma bubrega. U izuvijanom delu proksimalnog kanalića menja se i ph vrednost primarne mokraće i to zahvaljujući reapsorbovanju bikarbonata kao i izlučivanju organskih kiselina i baza u lumen kanalića. Ove kiseline i baze potiču iz kontinuiranih kapilara intersticijuma. Epitelske ćelije i tkiva 019

20 Nada M. Šerban PRELAZNI EPITEL Ukoliko se pri klasifikovanju epitela na jednoslojne i višeslojne kao kriterijum prihvati da su jednoslojni epiteli oni čije su sve ćelije svojim osnovicama u dodiru sa podepitelskom laminom, prelazni epiteli, bez obzira na privid koji pružaju na preparatima posmatranim na svetlosnom mikroskopu, pripadaju toj kategoriji. Budući da u njihovoj izgradnji učestvuje nekoliko vrsta ćelija koje su u takvim međusobnim odnosima da pružaju utisak višeslojnosti, ne mali broj istraživača ove epitele svrstava u kategoriju višeslojnih epitela. S druge strane, njihov naziv prelazni epiteli vezan je za promenljivost njihove visine. Ona, naime, zavisi od funkcijskog stanja organa čiju unutrašnju površinu oblažu. Prelazni epiteli su lokalizovani isključivo u izvodnim delovima mokraćnog sistema. Epitel mokraćne bešike Prelazni epitel izvodnih delova mokraćnog sistema pa i mokraćne bešike obrazuju tri vrste ćelija površinske, intermedijerne i ćelije baze (Sl. 1-21). sočivasta vezikula snop aktinskih filamenata površinska ćelija interdigitacije intermedijerna ćelija citoplazmatski ispust ćelija baze podepitelska lamina Slika Ćelije epitela mokraćne bešike Površinske ćelije su veoma krupne. One u potpunosti obrazuju površinu prelaznog epitela dok se njihovi, doduše veoma tanki nastavci protežu do podepitelske lamine i o nju oslanjaju. Poseduju krupne nukleuse sa malo periferno postavljenog heterohromatskog materijala. Treba pomenuti kako se ne mali broj ćelija odlikuje dvojedarnošću (Sl. 1-21). 020 Epitelske ćelije i tkiva

21 Osnovi histologije radna verzija U citoplazmi onog dela ćelije koji je smešten između intermedijernih i baznih ćelija uočavaju se cisterne granuliranog endoplazminog retikuluma i mitohondrije kao i slobodni ribosomi i poliribosomi. Uz nukleus se zapažaju dobro razvijeni diktiosomi Goldžijevog aparata kao i brojne komponente lizosomskog sistema. U delu ćelije koji obrazuje vršnu površinu prelaznog epitela zapažaju se lučno postavljeni snopovi aktinskih filamenata koji kao da se protežu čitavom širinom ćelije. U citoplazmi između zone aktinskih filamenata i ćelijske membrane prisutne su malobrojne mitohondrije, po neka cisterna granuliranog endoplazminog retikuluma kao i veoma brojne vezikule diskoidnog ili pak sočivastog izgleda (Sl. 1-21). Duge su od 0.3 do 0.8 μm, a prečnik im se kreće između 0.12 i 0.15 μm. Membrane koje omeđavaju vezikule znatno su deblje od membrana citoplazminih organela njihova debljina iznosi oko 12 nm. površinska ćelija intermedijerna ćelija ćelija baze podepitelska lamina epitel prazne mokraćne bešike epitel pune mokraćne bešike Slika Izgled epitela kada je mokraćna bešika prazna i kada je prazna Sočivaste vezikule se odvajaju od Goldžijevog aparata, a njihova brojnost je promenljiva i zavisi od toga da li je šupljina mokraćne bešike prazna ili ispunjena tečnošću. Izgled vršne površine ovih ćelija kao i izgled čitavog epitela takođe zavisi od trenutnog funkcijskog stanja bešike. Kada je ona prazna apikalna površina ćelija je skoro kupolasta (Sl i 1-22) a ćelijska membrana u tom regionu gradi brojne levkaste uvrate pravih strana. Znatni segmenti ove membrane su deblji (12 nm) od drugih membrana i deluju kruto pa se često nazivaju pločama. Na otiscima dobijenim tehnikom zamrzavanja i otcepljivanja pokazano je da su u oblasti ploča prisutne specifično organizovane visokouređene podstrukture šestougaonog izgleda. Svaka od tih podstruktura obrazovana je od 6 manjih zvezdasto raspoređenih komponenata. Jedan broj aktinskih filamenata usmeren je ka ovim pločama i po svemu sudeći sa tim segmentima membrane uspostavlja kontakt. Kada je mokraćna bešika ispunjena kupolastih ispupčenja nema (Sl. 1-22) a nema ni uvrata membrane. U tom slučaju sloj citoplazme između snopova aktinskih filamenata i ćelijske membrane je veoma tanak, a sočivaste vezikule se više ne uočavaju. One su se, naime, ujedinile sa vršnom ćelijskom membranom i na taj način doprinele povećanju njene površine. Smatra se da snopovi aktinskih filamenata doprinose fleksibilnosti vršnog dela ćelije i procesima ujedinjavanja sočivastih vezikula sa plazminom membranom. Epitelske ćelije i tkiva 021

22 Nada M. Šerban Površinske ćelije su i međusobno i sa intermedijernim ćelijama koje se nalaze dublje u epitelu veoma čvrsto spojene. U zoni snopova aktinskih filamenata između susednih površinskih ćelija uočavaju se veze adhezivnog tipa. Ispod ove zone površinske ćelije su međusobno kao i sa intermedijernim ćelijama spojene brojnim prstolikim uvratima i izvratima (Sl. 1-21). Intermedijerne ćelije oblikom podsećaju na teniski reket (Sl. 1-21). Osnovicom su oslonjene na podepitelsku laminu. Nukleusi su im relativno krupni, elipsoidni, a mogu se zapaziti i dosta duboki uvrati koje formira nukleusni ovoj. U citoplazmi se ističu mitohondrije kao i dobro razvijen Goldžijev aparat. Vršne površine, koje nikada ne dopiru do lumena mokraćne bešike, čvrsto su spojene sa površinskim ćelijama posredstvom dubokih prstolikih izvrata u uvrata (Sl. 1-21). U svom donjem, suženom regionu uspostavljaju sporadične kontakte sa ćelijama baze i to preko kratkih citoplazmatskih ispusta. I ćelije baze, koje osnovicom takođe naležu na podepitelsku laminu, poseduju ovakve citoplazmatske trnolike nastavke. Između njih se, kada je mokraćna bešika prazna, zapaža znatan međućelijski prostor (Sl i 1-22). Ovih praznih prostora, međutim, nema kada je ona ispunjena mokraćom (Sl. 1-22). Podepitelska lamina prati promene koje trpi prelazni epitel. Kada je on, naime, visok ona je valovita (Sl i 1-22). Kada je prelazni epitel smanjene visine i istegnut ona se pruža u vidu ravne ploče (Sl. 1-22). VIŠESLOJNI EPITELI U izgradnji višeslojnih epitela najčešće učestvuju ćelije čiji se oblik, sa izuzetkom onih bližih osnovici epitela, može opisati kao pločast. Otuda se i nazivaju pločastim epitelima. Takvi su oni višeslojni epiteli koji, na primer, pokrivaju površinu usne duplje i jednjaka, ali je takav i epiderm, višeslojni epitel ektodermskog porekla koji prekriva površinu tela. Paul Langerhans (Paul Langerhans, ), nemački anatom i patolog Fridrih Zigmund Merkel (Friedrich Sigmund Merkel, ), nemački anatom i patolog Pokožica Pokožica ili epiderm predstavlja višeslojni pločasti keratinizirajući epitel formiran prvenstveno od keratinocita koji obrazuju veći broj slojeva. Pored keratinocita u izgradnji epiderma učestvuju i melanociti, Langerhansove i Merkelove ćelije (Sl. 1-23). Kod jednoslojnih epitela polarizovanost odlikuje pojedinačne ćelije i može se pratiti u nivou diferencijacija koje odlikuju bočne i vršnu površinu ćelija kao i u unutarćelijskom rasporedu organela. Kod višeslojnih epitela, pa i epiderma, ona se ne ogleda u nivou pojedinačnih ćelija već je preneta na ćelijske slojeve koji se po svojim morfološkim i funkcijskim odlikama međusobno razlikuju. Broj slojeva epiderma zavisi od toga da li se on posmatra u oblasti takozvane tanke kože čija se debljina kreće od 75 do 140 mm ili debele kože čija se debljina kreće između 400 i 600 mm. Ova dva tipa kože razlikuju se i po postojanju odnosno nepostojanju diferenciranih dlaka. U tankoj koži epiderm je izgrađen od četiri sloja dok je u debeloj prisutno pet slojeva. 022 Epitelske ćelije i tkiva

23 Osnovi histologije radna verzija Najdublji sloj, onaj koji leži na podepitelskoj lamini, naziva se stratum basale ili stratum germinativum. Iznad ovog sloja nalazi se stratum spinosum. Stratum basale i stratum spinosum često se označavaju kao stratum Malpighi. Iznad njega se nalaze stratum granulosum, stratum lucidum i, na površini epiderma, stratum corneum. U tankoj koži ne zapaža se stratum lucidum. Stratum basale je obrazovan od jednog sloja ćelija ovalno-cilindrične forme. Svojom osnovicom one naležu na podepitelsku laminu koja se odlikuje znatnom debljinom (Sl. 1-23). Budući da ćelije ovog sloja, poput matičnih međućelijski cement keratohijalinska granula desmosom stratum corneum stratum lucidum stratum granulosum Langerhansova ćelija keratinocit stratum spinosum stratum basale podepitelska lamina poludesmosom melanocit matična ćelija u deobi Merkelova ćelija podepitelsko vezivo Slika Histološka organizacija epiderma debele kože ćelija jednoslojnih epitela, poseduju sposobnost mitotičkog deljenja, stratum basale se naziva i stratum germinativum, sloj u okviru koga se obnavljaju ćelije gornjih regiona epiderma. Na preparatima kože posmatranim na svetlosnom mikroskopu relativno krupni nukleusi ovih ćelija izgledaju ovalno i postavljeni su okomito u odnosu na osnovicu epitela. Tanki preseci posmatrani na transmisionom elektronskom mikroskopu pokazuju da na površini nukleusa, koji su euhromatski, mogu postojati uvrati. U citoplazmi se uočava relativno mali broj mitohondrija i cisterni endoplazminog retikuluma, ali ima dosta slobodnih ribosoma kao i intermedijernih filamenata citokeratinskog tipa koje formira strukturni protein keratin. Keratini predstavljaju porodicu veoma srodnih molekula a citokeratinski filamenti ćelija stratum basale izgrađeni su od keratina označenih skraćenicama K5 i K14. Ćelije su međusobno i sa keratinocitima iz sloja koji na njih naleže povezane brojnim desmosomima lokalizovanim u kratkim citoplazmatskim keratini (MM od i Da) Epitelske ćelije i tkiva 023

24 Nada M. Šerban Pored desmoplakina, u izgradnji desmosomskih ploča učestvuje i protein desmojokin koji u tom nivou uspostavlja kontakt sa komponentama ćelijske membrane. Pretpostavlja se da ova komponenta desmosoma doprinosi većoj adheziji susednih ćelija. produžecima (Sl. 1-23). U bazi ovih ćelija primećuju se i poludesmosomi koji osnovicu ćelija čvrsto povezuju sa podepitelskom laminom. Tri do pet slojeva keratinocita obrazuju stratum spinosum. Sa površine keratinocita polaze trnoliki ćelijski ispusti unutar kojih zalaze snopovi citokeratinskih filamenata (Sl i 1-24). Posredstvom ovih nastavaka na čijim završecima su prisutni desmosomi, ćelije su međusobno veoma čvrsto spojene. Zbog svog oblika keratinociti stratum spinosum-a često se nazivaju rogljastim ili trnolikim ćelijama pa se na osnovu toga ovaj region epiderma označava kao rogljasti sloj. Kao i u citoplazmi ćelija koje obrazuju stratum sekretna granula trnoliki ćelijski ispust citokeratinski filamenti desmosom Slika Morfološke odlike keratinocita stratum spinosum neki od složenih lipida u sekretnim granulama: glikosfingolipidi fosgfolipidi ceramidi neki od omotavajućih proteina: lorikrin involukrin elafin SPR proteini (prema anglosaksonskom izrazu Small Prolin-Rich, mali proteini bogati prolinom) basale oko nukleusa se zapaža prisustvo citokeratinskih filamenata izgrađenih od keratina K5 i K14, ali i od K1 i K10. Ovi intermedijerni filamenti formiraju brojne snopove. Keratinocite stratum spinosum odlikuje i prisustvo sekretnih granula omeđenih membranom prečnika između 0.1 i 0.3 µm. Njihov oblik može biti ovalan ili sličan stonoteniskom reketu, a u njihovoj unutrašnjosti, koja ima lamelarni izgled (Sl. 1-24), nalazi se niz složenih lipida. Pored toga, keratinociti ovog regiona epiderma sintetišu i omotavajuće proteine. Oblik keratinocita koji obrazuju stratum spinosum postupno se iz sloja u sloj transformiše ka ovalnom i ovalno-pločastom. Jedan do tri sloja keratinocita pločastog oblika najčešće obrazuje stratum granulosum (Sl i 1-25). Nukleusi, koji su u keratinocitima stratum spinosum okruglasti, euhromatski, sa istaknutim uvratima, postupno postaju ovalno-spljošteni i paralelni sa osnovicom epiderma. Sinteza keratinskih proteina u ovom regionu prestaje, ali se sintetišu proteini koji učestvuju u formiranju keratohijalinskih granula, jedne od veoma retkih kategorija granula koje nisu omeđene membranom (Sl. 1-25). Prisustvo ovih granula, koje se na preparatima bojenim hematoksilinom pokazuju hematoksilin-pozitivnim, dovelo je do toga da se sloj nazove granulisanim. Na osnovu proteinskog sastava moguće je razlikovati tri tipa keratohijalinskih granula F-granule, L-granule i S-granule (Sl. 1-25). F-granule su 024 Epitelske ćelije i tkiva

25 Osnovi histologije radna verzija krupne, nepravilnog oblika i u njima je prisutan protein filagrin. Nepravilna forma ovih granula jednim delom potiče od toga što u njih uranjaju citokeratinski filamenti. L-granule su manjih dimenzija, okruglaste i u njima se pretežno nalazi protein lorikrin. Treća kategorija granula su složene granule obrazovane od krupnih F-granula u koje su uronjene L-granule. U keratinocitima stratum granulosum dolazi do postepenog izbacivanja sadržaja iz sekretnih granula lamelarnog izgleda u međućelijski prostor. Na taj način obrazuje se jedna vrsta međućelijskog cementa koji predstavlja svojevrsnu barijeru. Ona, s jedne strane, umnogome sprečava prodiranje patogenih supstancija u epiderm, a sa druge, sprečava gubitak vode iz derma, vezivnog tkiva koje se nalazi ispod epiderma. Formiranju ove epidermske vodene barijere značajno doprinosi i uspostavljanje unutrašnjeg omotača koji naleže uz citoplazminu površinu ćelijske membrane. U organizovanju ovog omotača učestvuje niz omotavajućih proteina. U ovaj sloj uranjaju keratinski Održavanju epidermske vodene barijere doprinose i međućelijske veze. Keratinociti u stratum granulosum međusobno su spojeni i čvrstim vezama. Imunocitohemijska ispitivanja su pokazala da su proteini čvrste veze okludin i ZO-1 prisutni u membrani keratinocita ovog sloja lokalizovani iznad desmosoma. međućelijski cement sekretna granula unutarćelijski omotač desmosom F-keratohijalinska granula citokeratinski filamenti L-keratohijalinska granula Slika Morfološke odlike keratinocita stratum granulosum filamenti na koje naležu molekuli filagrina. U izgradnji unutrašnjeg omotača, koji se često označava kao kapsula i ima debljinu od oko 15 nm učestvuju i drugi strukturni proteini poput desmoplakina, envoplakina, cistatina. Stratum lucidum, ukoliko je prisutan, izgrađen je od jednog sloja keratinocita pločastog oblika međusobno povezanih desmosomima. Odlikuje ih prisustvo citokeratinskih filamenata uronjenih u keratohijalinske granule. Ćelijske organele se veoma teško uočavaju, a nukleusi, ukoliko su još vidljivi, postavljeni su paralelno sa osnovicom epitela. U njima se ne zapažaju euhromatski regioni niti nukleolus. Keratinociti koji obrazuju nekoliko slojeva površinskog regiona epiderma, stratum corneum-a, mogu se smatrati u potpunosti zrelim i pri tom mrtvim ćelijama. Često se nazivaju korneocitima, rožnim ćelijama. U njihovoj unutrašnjosti nukleus i citoplazmine organele su u potpunosti degenerisali a ćelije su ispunjene ujednačenom masom koju obrazuju keratohijalinske granule u koje su utopljeni snopovi citokeratinskih filamenata (Sl. 1-23), masom koja pokazuje osobinu dvojnog prelamanja svetlosti. Između ćelija se više ne konstatuje prisustvo desmosoma, a u gornjim slojevima između ćelija mogu se zapaziti oblasti u kojima su one jedne od drugih odvojene. Na taj način je olakšano perutanje, proces kojim se uklanjaju površinski slojevi mrtvih ćelija stratum corneum-a. Novi keratinociti koji nastaju ćelijskim deobama u stratum basale potiskuju slojeve koji se nalaze iznad njih. Ovo predstavlja Epitelske ćelije i tkiva 025

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Epitelno tkivo. Vezivno tkivo. Mišićno tkivo. Nervno tkivo

Epitelno tkivo. Vezivno tkivo. Mišićno tkivo. Nervno tkivo Biologija tkiva Epitelno tkivo Vezivno tkivo Mišićno tkivo Nervno tkivo EPITELNO TKIVO Osnovne odlike epitelnih tkiva Pokrivaju površinu tela, telesnih šupljina i šupljih organa, izgrađuju žlezde POKROVNI

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

CITO T SKE K L E ET E

CITO T SKE K L E ET E CITOSKELET ULOGE CITOSKELETNIH ELEMENATA ćelije gajene u kulturi aktinski filamenti mikrotubule intermedijarni filamenti enterocit specifičnost organizacija STRUKTURA -PRATEĆI PROTEINI FUNKCIJA debljina

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4. MASNO TKIVO BELO, UNILOKULUSNO MASNO TKIVO

4. MASNO TKIVO BELO, UNILOKULUSNO MASNO TKIVO 4. MASNO TKIVO Masno tkivo se klasifikuje u specijalizovana vezivna tkiva premda bi se na prvi pogled moglo reći kako ono ne ispunjava neke od kriterijuma koji određuju vezivna tkiva. Naime, adipociti,

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

STRUKTURNI ELEMENTI KRVI

STRUKTURNI ELEMENTI KRVI 3. K R V I H E M A T O P O J E S A STRUKTURNI ELEMENTI KRVI Krv predstavlja jedno od specijalizovanih vezivnih tkiva. Ona je jedino tečno vezivno tkivo a istovremeno i jedino vezivno tkivo u čijoj izgradnji

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA

PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA Prostiranje toplote Konvekcija Pri konvekciji toplota se prostire kretanjem samog fluida (tečnosti ili gasa): kroz fluid ili sa fluida na čvrstu površinu ili sa čvrste površine

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

6. MIŠIĆNE ĆELIJE I TKIVA

6. MIŠIĆNE ĆELIJE I TKIVA 6. MIŠIĆNE ĆELIJE I TKIVA Mišićne ćelije jesu visokospecijalizovane ćelije sposobne da se kontrahuju, grče i da se relaksiraju, opružaju. Zahvaljujući ovim procesima one učestvuju u pokretanju delova tela

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O. Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα