TEMELJI MEHANIKE FLUIDA

Transcript

1 ŽELJKO ANDREIĆ TEMELJI MEHANIKE FLUIDA RUDARSKO-GEOLOŠKO-NAFTNI FAKULTET ZAGREB 2014.

2 SVEUČILIŠNI E-UDŽBENIK MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS i

3 ii Izdavač: Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni fakultet Urednik: Vesnica Garašić Recenzenti: prof. dr. sc. Ranko Žugaj, dipl. in. grad. prof. dr. sc. Nevenka Ožanić, dipl. in. grad. doc. dr. sc. Antonija Jaguljnjak Lazarević, dipl. in. grad. Lektor: prof. Ranko Žugaj Naslovna stranica: Željko Andreić Dio cjevovoda u tvornici vode, Botonega Računalna obrada teksta: Željko Andreić Grafičko uredenje, prijelom i e-tisak: Željko Andreić Naklada: e-izdanje ISBN: c Sva prava pridržava autor Datum zadnje promjene: siječanj 22, Odlukom Senata Sveučilišta u Zagrebu, klasa /09-01/09, Urbroj / od 16. listopada godine odobrava se udžbeniku pod naslovom Temelji mehanike fluida autora dr. sc. Željka Andreića korištenje naziva sveučilišni e-udžbenik (Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis).

4 Kazalo Kazalo Popis slika Popis tabela Popis simbola vi x xi xiii Predgovor 1 1 Uvod Osnovna svojstva fluida Gustoća Viskoznost Stlačivost fluida Tlak para tekućine Površinska napetost tekućine Kapilarnost tekućine Anomalije vode Fluid u gibanju Model kontinuuma i čestice fluida Sile koje djeluju na česticu fluida u gibanju Eulerova jednadžba Eulerova jednadžba u kvazi-jednodimenzionalnom slučaju Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadžba za fluid u polju sile teže 18 3 Statika fluida Statička Eulerova jednadžba za polje sile teže Pascalov zakon Mjerenje tlaka Sile hidrostatskoga tlaka Hidrostatska sila na dno posude Hidrostatska sila na ravne stijenke Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke Hidrostatska sila na stijenku cijevi Plutanje i ravnoteža plutajućih tijela Uzgon iii

5 iv KAZALO Plutanje Translacija i rotacija tekućine kao cjeline Horizontalno ubrzanje Vertikalno ubrzanje Koso ubrzanje Rotacija tekućine u otvorenoj posudi Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu Kinematika fluida Lagrangeov (supstancijalni) pristup Eulerov (lokalni) pristup Prikazivanje (vizualizacija) tečenja Strujna cijev i strujno vlakno Izvori i ponori Potencijalno strujanje Strujanja u dvije dimenzije (2D) Osnovna potencijalna strujanja u 2D Zakon neprekidnosti (kontinuiteta) Posebni oblici jednadžbe neprekidnosti Stacionarno strujanje Tekućine Kvazi-jednodimenzionalni slučaj Dimenzionalna analiza Mali broj fizikalnih varijabli Primjer: brzina zvuka Veliki broj fizikalnih varijabli Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz fluid Stacionarno tečenje idealnoga fluida Ravnoteža u smjeru okomitom na strujnicu Bernoullijeva jednadžba za idealne tekućine Stacionarno tečenje realnoga fluida Bernoullijeva jednadžba za realne tekućine Odredivanje gubitaka Tečenje kroz cijevi Reynoldsov pokus Gubici u cjevovodu Laminarno tečenje kroz cijevi Duljina formiranja laminarnoga toka Vrtložno (turbulentno) tečenje kroz cijevi Profil brzine kod vrtložnog toka Hidraulička hrapavost i hidraulička glatkost Koeficijent trenja hrapavih cijevi

6 KAZALO v 9.8 Lokalni gubici Ulazni otvori Dijafragme i sapnice Suženja Proširenja Venturijeva cijev Ventili Koljena i lukovi Filteri i rešetke Račve i spojnice Izlazni otvori Izlazna energija Zbrajanje otpora Proračun jednostavnoga cjevovoda Poznato je v i d Poznato je Q i d Poznato je Q i v Poznato je d i h g Poznato je d i h g Poznato je Q i h g Prikazivanje energetske i piezometarske linije Pumpe Istjecanje Istjecanje kroz mali otvor Istjecanje kroz mali otvor ispod površine tekućine Istjecanje iz posude pod tlakom Istjecanje kroz veliki otvor Istjecanje kroz otvor ispred kojega tekućina ne miruje Nestacionarno istjecanje Mlazovi Horizontalni mlaz Vertikalni mlaz prema dolje Vertikalni mlaz prema gore Tečenje u otvorenim koritima Jednoliko tečenje Veza koeficijenata trenja za cijev i za otvoreni tok Protočna krivulja Nejednoliko tečenje Specifična energija presjeka Preljevi Preljev sa širokim pragom Preljev praktičnoga profila Slapište i vodni skok Literatura 157

7 vi KAZALO Indeks 158

8 Popis slika 1.1 Definicija gustoće homogene tvari (lijevo) i nehomogene tvari (desno) Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile Dokazivanje tlaka pare tekućine Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi Površinska napetost tekućine Vaga za mjerenje površinske napetosti tekućine Kapilarnost tekućine Shematski prikaz molekule vode Gustoća vode u ovisnosti o temperaturi Definicija čestice fluida Definicija elementa puta (lijevo), površine (sredina) i volumena (desno) Elementarna čestica fluida nošena tokom fluida kroz prostor izvod Eulerove jednadžbe Kvazi 1-D Eulerova jednadžba Kvazi 1-D Eulerova jednadžva uz silu težu Osnovni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici Nestandardni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici Standardni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici Ilustracija Pascalovoga zakona Princip rada barometra Princip rada piezometra Princip rada manometra Manometar sa dvije tekućine Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrži tekućinu Ilustracija hidrostatskog paradoksa Hidrostatska sila na dno zatvorene posude Hidrostatska sila na ravnu bočnu stijenku Komponente hidrostatske sile na ravnu bočnu stijenku Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu Hidrostatska sila na stijenku cijevi Sila na tijelo uronjeno u fluid Uzgon kod plutanja Ravnoteža tijela koje pluta Ravnoteža broda Prevrtanje broda Translacija tekućine kad je ubrzanje horizontalno vii

9 viii POPIS SLIKA 3.22 Mjerenje dubine kod horizontalnoga ubrzanja tekućine Translacija tekućine kad je ubrzanje vertikalno Translacija tekućine kad je ubrzanje koso Rotacija tekućine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekućine Oblik površine tekućine kod rotacije oko vertikalne osi Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi Porast tlaka kod promjene smjera tečenja Lagrangeov pristup Eulerov pristup Relativnost stacionarnosti Relativnost stacionarnosti Staza čestice fluida Pojam strujnice Geometrijska konstrukcija strujnice Strujna cijev Strujno vlakno Grafičko prikazivanje tečenja Profil brzine kod laminarnog tečenja Elementarni izvor Elementarni ponor Slaganje osnovnih strujanja Zakon neprekidnosti (izvod) Ravnoteža toka okomito na strujnicu Bernoullijeva jednadžba za idealne tekućine Praktični oblik Beornoullijeve j. za idealne tekučine Praktični oblik Bernoullijeve jednadžbe za realne tekućine Reynoldsov pokus Reynoldsov pokus - male brzine Reynoldsov pokus - srednje brzine Reynoldsov pokus - srednje brzine Reynoldsov pokus - velike brzine Reynoldsov pokus - velike brzine Hidraulički radijus cijevi Analiza viskoznih gubitaka u cijevi Viskozni gubici kod laminarnoga tečenja kroz cijev Promjena koordinatnog sustava Profil brzine kod laminarnoga tečenja kroz cilindričnu cijev Opći koeficijent laminarnog trenja Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev Brzina vrtložnog toka Profil brzine vrtložnog toka Komponente brzine vrtložnog toka

10 POPIS SLIKA ix 9.17 Brzna vrtložnog toka uz stijenku Karmanov 1/7-ki profil brzine Hidraulički glatka stijenka Hidraulički hrapava stijenka Moodyev dijagram Lokalni gubitak Ulazni gubitak Ulazni gubitak Ulazni gubitak Dijafragma Sapnica Naglo suženje Konfuzor Naglo proširenje Difuzor Venturijeva cijev Koljena Izlazni otvori Izlazni otvori Izlazni gubitak horizontalne cijevi Zbrajanje otpora Kirchofov zakon Zbrajanje otpora Početak crtanja energetske i piezometarske linije Završetak crtanja energetske i piezometarske linije Završetak crtanja energetske i piezometarske linije Crtanje EL i PL kad se cjevovod izdiže iznad početne kote Crtanje EL i PL za vertikalnu cijev Idealna pumpa Realna pumpa Pumpa u situaciji kad podiže (usisava) vodu iz spremnika Istjecanje kroz mali otvor Kontrakcija mlaza kod istjecanja Istjecanje kroz mali otvor ispod površine Istjecanje iz posude pod tlakom Istjecanje kroz veliki otvor Istjecanje kad tekućina ne miruje Nestacionarno istjecanje Geometrija mlaza tekućine Horizontalni mlaz Vertikalni mlaz prema dolje Vertikalni mlaz prema gore Bernoullijeva jednadžba za otvoreni tok Odredivanje hidrauličkog radijusa za otvoreni tok Oblici slobodne površine kod nejednolikoga tečenja

11 x POPIS SLIKA 12.4 Opći izgled grafikona specifične energije presjeka Račun specifične energije presjeka Oštrobridni preljev Potopljeni oštrobridni preljev Spuštanje razine tekućine na preljevu Preljev sa širokim pragom Preljev praktičnoga profila Slapište i vodni skok

12 Popis tabela 1 Simboli fizikalnih veličina i konstanti xiii 9.1 Opći koeficijent laminarnog trenja Hrapavost stijenke različitih vrsta cijevi (nove cijevi) Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima Koeficijenti ulaznoga otpora za različite oblike ulaznih otvora Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu Koeficijenti gubitaka za naglo suženje Koeficijenti gubitaka za konfuzor Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila Tipični koeficijenti otpora za razne vrste filtera Tipične vrijednosti Manningovoga odn. Stricklerovoga koeficijenta za kanale. 146 xi

13 xii POPIS TABELA

14 Popis simbola Tablica 1: Simboli fizikalnih veličina i konstanti korišteni u ovoj knjizi. Treba obratiti pažnju na to da, ovisno o kontekstu, isti simboli mogu imati različito značenje. simbol dimenzija opis. a, a ms 2 ubrzanje A m 2 površina C b m širina c 1 koeficijent kontrakcije mlaza Newton-ov koeficijent otpora C m 1/2 s 1 Chezy-ev koeficijent C p Jmol 1 K 1 molarni toplinski kapacitet plina (p=konst.) C V Jmol 1 K 1 molarni toplinski kapacitet plina (V=konst.) C xy kgm 2 centrifugalni moment inercije CM d m promjer centar mase (oznaka) e 1 prirodni broj, 2, e m apsolutna hrapavosti stijenke cijevi E Pa volumni modul elastičnosti E k J kinetička energija F R F, F N sila Freude-ov broj g, g ms 2 9,80665 ms 2, ubrzanje sile teže G, G N težina h m dubina ( u tekućini) H m tlačna skala visine (atmosferska fizika) H Hvatište sile (oznaka) xiii

15 simbol dimenzija opis. H s m specifična energija presjeka i, I 1 nagib (pad) dna korita I e 1 pad energetske linije (energetski gradijent) I 1 pad vodnog lica I p 1 piezometarski gradijent k s 1 m 1/3 Stricker-ov koeficijent glatkosti k m 3 s 1 modul protoka l, L m duljina, udaljenost m kg masa m 1 koeficijent prelijevanja M, M Nm moment sile M kg mol 1 molarna masa n vektor normale plohe n sm 1/3 Manning-ov koeficijent hrapavosti O m opseg p Nm 2 tlak p a, p at Nm 2 atmosferski tlak, Pa Q m 3 s 1 volumni protok Q M kgs 1 maseni protok r, R m polumjer r, r m radijus-vektor, položaj R Jmol 1 K 1 univerzalna plinska konstanta R e 1 Reynolds-ov broj R h m hidraulički radijus xiv

16 simbol dimenzija opis. T K, C temperatura t s vrijeme T hvatište tlačne sile (oznaka) v, v ms 1 brzina v o ms 1 brzina zvuka v tg ms 1 brzina tangencijalnog naprezanja v torr ms 1 Torricelli-jeva brzina (istjecanja) V m 3 volumen x, y, z m Kartezijeve koordinate α 1 Corioliss-ov koeficijent β 1 koeficijent brzine γ 1 C p /C V ζ, ξ 1 bezdimenzionalni koeficijent lokalnog gubitka η 1 efikasnost θ rad kut močenja λ 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja cijevi λ g 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja hidraulički glatkih cijevi λ h 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja hidraulički hrapavih cijevi λ lam 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja cijevi za laminarno tečenje µ Nm 2 s, Pa s apsolutni (dinamički) koef. viskoznosti µ 1 koeficijent istjecanja (ϕ c) ν m 2 s 1 kinematički koef. viskoznosti π 1 pi, 3, ρ kgm 3 gustoća tvari σ Jm 2, Nm 1 površinska napetost σ Nm 2 naprezanje u materijalu τ Nm 2 smično naprezanje ϕ 1 koeficijent oblika presjeka (laminarno tečenje) ϕ 1 koeficijent smanjenja brzine (istjecanje) ω rads 1 kutna brzina xv

17 Predgovor Ova knjiga pokriva osnove mehanike fluida u opsegu u kojem se one iznose u istoimenom kolegiju na Rudarsko-geološko-naftnom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu a pokrivaju i gradivo kolegija Hidraulika koji se predaje na Geotehničkom fakultetu istog sveučilišta. Knjiga je strogo usmjerena na spomenute kolegije i potrebe tehničkih struka koje taj kolegij koriste pa je težište stavljeno na preglednost i razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih jednadžbi mehanike fluida. Na isti je način pristupljeno empirijskim jednadžbama kojima ova disciplina obiluje. Smatram da je tako dobiven tekst koji će studentima biti pregledniji i lakši za upotrebu. Nije mi bio cilj napisati sveobuhvatni pregled cijele discipline pa sve one kojima je on potreban upućujem na dodatnu literaturu spomenutu na kraju knjige, a posebno na novu knjigu prof. Jovića. Veliku zahvalnost dugujem prof. Ranku Žugaju, na njegovom strpljenju, predanosti nastavi i dugim diskusijama koje smo vodili o mnogim dijelovima ove knjige. 1

18 2 POPIS TABELA

19 Glava 1 Uvod Mehanika fluida bavi se problemima fizike plinova i tekućina. Naziv dolazi od engleske riječi fluid koja u originalnom značenju obuhvaća tekućine i plinove, a u fizici se odnosi na sve što teče (u engl. literaturi za tekućinu se koristi riječ liquid a za plin gas ). Fluid dakle može biti i tekućina i plin, ali i njihova smjesa, i zrnata tvar kad se pri tečenju ponaša na isti način kao i ostali fluidi i sl. Krute tvari su sve tvari koje imaju vlastiti, praktički nepromjenjivi oblik, bez obzira na njihovu okolinu. Čestice krute tvari omedene su pravilnim ili nepravilnim plohama. Pod djelovanjem vanjskih sila oblik krutih tijela vrlo malo se mijenja (te se promjene vrlo često može potpuno zanemariti). Pod pojmom tekućina podrazumijevaju se tvari koje zauzimaju definirani volumen i koje mogu imati slobodne površine. Za razliku od krutih tijela tekućine reagiraju na svaku, pa i najmanju vansku silu i vrlo lako mijenjaju svoj oblik. Glavna sila koja na tekućine djeluje na Zemlji je sila teža, pod čijim djelovanjem tekućina uvijek zauzima najniži dio posude (to može biti i morsko dno!) u kojoj se nalazi. Tekućine su praktički nestlačive. Nasuprot tome, plinovi su tvari koje se šire sve dok ne zauzmu sav raspoloživi volumen. Plinovi su za razliku od tekućina lako stlačljivi i ne mogu imati slobodne površine. Pojam zrnate tvari relativno je nov i obuhvaća mnoštvo čestica krute tvari različitih veličina (od sub-mikronskih dimenzija pa do dimenzija od par metara) u situacijama u kojima se te čestice zajedno gibaju slično tekućini. Pojam smjesa opisuje sve mješavine dviju ili više gore opisanih tvari. U većini se slučajeva fluid giba kroz prostor. To se gibanje naziva tečenje ili strujanje (fluida). Općenito se dijeli na dvije osnovne grupe: protjecanje je strujanje fluida izmedu krutih stijenki okolne tvari (cijevi, kanali i sl.) ili u slobodnom prostoru (vjetar, vodeni mlaz i sl.). Kod protjecanja fluid se fizički pomiće kroz prostor. optjecanje je situacija u kojoj fluid miruje a kroz njega se giba neko tijelo koje je potpuno ili djelomično uronjeno u fluid (plovidba broda, let aviona, stup mosta i sl.). kombinacija protjecanja i optjecanja je najsloženija situacija u kojoj se giba i fluid i objekti u njemu (strujanje fluida kroz pokretne dijelove strojeva, primjerice vjetrenjača ili turbina). 3

20 4 GLAVA 1: UVOD 1.1 Osnovna svojstva fluida Gustoća Slika 1.1: Definicija gustoće homogene tvari (lijevo) i nehomogene tvari (desno). Gustoća tvari definira se kao masa tvari koja zauzima jedinični volumen. Ako se pretpostavlja da je fluid nestlačiv, gustoću se nalazi jednostavnim dijeljenjem ukupne mase fluida s ukupnim volumenom koju fluid zauzima (slika 1.1, lijevo). U slučaju kada je fluid nehomogen, gustoća je funkcija položaja u prostoru (unutar volumena koji se razmatra) i dobiva se kao granična vrijednost omjera mase sadržane u nekom malenom dijelu volumena V i toga volumena, kada se matematički pusti da se V beskonačno smanjuje (slika 1.1, desno). Općenito za tekućine možemo uzeti da su nestlačive, pa im je gustoća konstantna u cijelom prostoru (male promjene zbog promjena temperature se obično takoder zanemaruju), dok za plinove moramo uzeti u obzir mogućnost da im se gustoća u vremenu i prostoru mijenja. U najjednostavnijem slučaju, gustoću plina može se opisati pomoću jednadžbe idealnog plina: ρ = p RT M o (1.1) gdje je p tlak, T apsolutna temperatura, R univerzalna plinska konstanta i M o molarna masa plina. Osnovna SI jedinica za gustoću je kg/m 3, no u praksi se koristi i stara jedinica g/cm 3, a u zemljama engleskoga govornog područja još uvijek se često koriste različite stare anglosaksonske jedinice. Kao simbol za gustoću u računima i formulama se gotovo standardno koristi grčko slovo ρ. U tehničkim znanostima se je do pojave SI sustava mjera umjesto gustoće koristilo specifičnu težinu tvari, koja je definirana kao težina jediničnog volumena te tvari. U posljednje vrijeme njena upotreba je napuštena jer njen točan iznos ovisi o lokalnom ubrzanju sile teže. Odnos gustoće i specifične težine dan je kao γ = G V = mg V = ρg (1.2)

21 1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 5 pri čemu je za specifičnu težinu korišten ustaljeni simbol γ Viskoznost y v=v o d v(y) v=0 Slika 1.2: Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile. Kod gibanja se izmedu molekula fluida javljaju sile otpora koje su po svojoj prirodi slične sili trenja. No, za razliku od sile trenja koja se javlja na dodirnoj plohi dvaju tijela koja se medusobno gibaju, kod fluida se sila otpora javlja i u njegovoj unutrašnjosti, pa se zato neki puta naziva i unutarnje trenje. Ono je toliko važno za gibanje fluida da je dobilo i svoje posebno ime: viskoznost. Osnovna svojstva viskoznosti mogu se ustanoviti jednostavnim pokusom (slika 1.2) kod kojega se izmedu dvije ploče ulije tanki sloj tekućine. U pokusu se mjeri sila potrebna da se gornja ploča pomiče konstantnom brzinom (donja ploča miruje). Za gibanje gornje ploče stalnom brzinom v o potrebna je sila F. Rezultati mnoštva pokusa napravljenih na ovaj način pokazuju da je sila F proporcionalna površini ploče A i gradijentu brzine, dv/dy: F = µa dv (1.3) dy gdje je µ konstanta proporcionalnosti koju se naziva apsolutni ili dinamički koeficijent viskoznosti. Dimenzija dinamičkog koeficijenta viskoznosti je N m 2 ms 1 m = Ns = Pa s (1.4) m2 Nadalje, kao i u mehanici krutih tijela definirano je smično naprezanje, τ, kao smična sila po jedinici površine ploče: τ = F A (1.5) pa se dolazi do relacije

22 6 GLAVA 1: UVOD τ = µ dv dy (1.6) Izmjeri li se sila potrebna za vučenje ploče konstantnom brzinom v o, može se odrediti dinamički koeficijent viskoznosti: µ = τ dv dy (1.7) Problem ovdje predstavlja odredivanje gradijenta brzine. No, ako je sloj tekućine tanak, a brzina gibanja nije prevelika, možemo si pomoći pretpostavkom da je raspodjela brzine unutar tekućine jednolika. Drugim riječima, graf ovisnosti brzine v(y) o udaljenosti od donje ploče y je pravac, pa gradijent brzine postaje: dv dy = v o d a izraz za koeficijent viskoznosti se pojednostavi na: (1.8) µ = F A v d (1.9) Sve veličine koje ulaze u ovu formulu su lako mjerljive pa je ovo jedan od načina na koji se pokusom može odrediti koeficijent viskoznosti neke tekućine. U računima se, po potrebi, koristi i kinematički koeficijent viskoznosti ν: ν = µ ρ [m 2 s 1 ] (1.10) koji je ime dobio po tome što u njegovu dimenziju ulaze samo osnovne kinematičke veličine (udaljenost i vrijeme). Viskoznost fluida ovisi o temperaturi (kod plinova i o tlaku!) i redovito se s porastom temperature smanjuje Stlačivost fluida Za opisivanje stlačivosti fluida koristi se volumni modul stlačivosti, koji prestavlja omjer promjene tlaka i time izazvane relativne promjene volumena fluida (promjena volumena izražena po jedinici volumena): B = dp ( dv V ) (1.11) Negativni predznak uzima u obzir činjenicu da se povećanjem tlaka volumen fluida smanjuje. Okrene li se ovu definiciju, promjena tlaka dp izaziva sljedeću promjenu volumena: dv V = dp (1.12) B Ako su promjene tlaka malene, a volumni modul stlačivosti velik, može se rezultirajuća promjena volumena zanemariti. To je slučaj kod tekućina. Za plinove je volumni modul stlačivosti znatno manji i uz to ovisi o termodnamičkom procesu kojem je plin podvrgnut, pa se općenito ne može zanemariti. Primjerice u izotermnom procesu je:

23 1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 7 a u adijabatskom (γ je omjer toplinskih kapaciteta plina): B = γp B = p (1.13) γ = C p C V (1.14) volumni modul stlačivosti tekućina obično se odreduje iz brzine širenja zvuka u tekućini: B = v2 o ρ (1.15) Tlak para tekućine p at T pumpa p p > 0 Slika 1.3: Dokazivanje tlaka pare tekućine. Stavi li se tekućinu u nepropusnu posudu i iz nje pumpom odstrani sav zrak, ustanovit će se da tlak u posudi nije nula, već da zauzima neku minimalnu vrijednost koja ovisi o temperaturi i vrsti tekućine u posudi. Proučavanjem plina koji taj tlak stvara ustanovilo se da se radi o parama tekućine koja se u posudi nalazi, pa se zato ovaj tlak naziva tlak para. S porastom temperature tlak para naglo raste (slika 1.4). Kada tlak para postane jednak okolnom tlaku, tekućina počinje vrijeti. Ovo objašnjava odavno poznatu činjenicu da voda na visokim planinama (atmosferski tlak je znatno niži nego u nizinima) vrije na temperaturi znatno nižoj od 100 o C.

24 8 GLAVA 1: UVOD Tlak (mbar) Temperatura ( o C) Slika 1.4: Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi Površinska napetost tekućine A B Slika 1.5: Objašnjenje površinske napetosti tekućine. Molekulu A koja se nalazi na površini tekućine susjedne molekule tekućine vuku prema dolje. Sile na molekulu B, koja se nalazi unutar tekućine, se medusobno poništavaju. Molekule se u tekućini medusobno privlače slabim silama, koje su dovoljne da molekule tekućine drže na okupu, ali ne i dovoljne da bi dovele do prelaska u kruto stanje. Pogleda li se neka nasunce izabrana molekula u tekućini (slika 1.5), može se zaključiti da je rezultantna sila, kojom sve okolne molekule djeluju na nju, jednaka nuli. No, za molekulu koja se nalazi na površini tekućine, situacija je drugačija. Kako iznad nje nema drugih molekula, koje bi ju privlačile, ostaje samo djelovanje molekula oko i ispod nje, pa je rezultantna sila na nju usmjerena u unutrašnjost tekućine. Posljedica ove pojave je da tekućina uvijek zauzima oblik sa najmanjom mogućom površinom. Za tekućine u posudama, rezervoarima i sl. ta je površina (koja se naziva i slobodna površina) ravna, a ako je tekućina slobodna u prostoru (npr. kapljica kiše u zraku), skuplja se u kuglu (uz zanemarivanje ostalih sila koje na nju

25 1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 9 djeluju), jer kugla za dani volumen tekućine ima najmanju moguću površinu. Težnja tekućina da maksimalno smanje graničnu površinu prema okolini naziva se površinska napetost. Za opisivanje površinske napetosti koristi se koeficijent površinske napetosti definiran kao omjer rada W potrebnoga da bi se površina tekućine povećala za A: σ = W A [J/m2 ] (1.16) L F F=mg Slika 1.6: Vaga za mjerenje površinske napetosti tekućine. Površinska napetost najčešće se odreduje posebnom vagom (slika 1.6). Dizanjem žičanoga okvira iz tekućine za malu veličinu x, povećava se površina tekućine unutar okvira za: A = 2 xl (1.17) Faktor 2 u formuli 1.17 dolazi od toga što sloj tekućine u okviru ima dvije strane. Vagom se mjeri silu F potrebnu da okvir bude u ravnoteži. Rad koji bi ta sila učinila da se okvir pomakne za x je: W = F x (1.18) pa se, iz poznate sile i dimenzija okvira, može izračunati površinsku napetost tekućine: σ = W A = F x 2L x = F [N/m] (1.19) 2L Iako na prvi pogled ovako dobivena dimenzija koeficijenta površinske napetosti može zbuniti, sve je u najboljem redu jer je [N]=[J/m] što nas vodi na ispravnu dimenziju koeficijenta površinske napetosti [J/m 2 ] Kapilarnost tekućine Uroni li se u vodu tanku staklenu cjevčicu (promjera nekoliko milimetara ili manje), primijeti će se da u njoj voda uzdiže iznad okolne površine tekućine. Ova pojava, koja se naziva kapilarnost primjećuje se uvijek kad se tekućina nalazi u uskom prostoru, bez obzira na njegov oblik. Radi se o ravnoteži sila adhezije i površinske napetosti (adhezija je naziv

26 10 GLAVA 1: UVOD ϑ 2r h ϑ h moči ne moči Slika 1.7: Ponašanje tekućine u uskim cjevćicama (kapilarama). za medusobno privlačenje molekula tekućine i molekula stijenke tvari od koje je načinjena cjevčica u opisanom pokusu). Kapilarnost se može i teoretski proračunati, pa je tako za cjevčicu okrugloga presjeka visina dizanja tekućine u kapilari dana slijedećim izrazom: h = 2σ cos ϑ ρgr (1.20) Kut ϑ naziva se kut moćenja. On je svojstvo para tvari koje čine kapilaru i tekućinu. Tako je za par tvari staklo-voda ϑ = 0 o, a za par staklo-živa ϑ = 140 o. Ako je kut močenja manji od 90 o, tekućina u kapilari se diže. Kaže se da takva tekućina moči stijenku kapilare. Tako voda moči vrlo mnogo tvari iz naše okolice. Ako je kut moćenja veći od 90 o, razina tekućine u kapilari se spušta pa tekućina ne moči stijenku kapilare. Živa je primjer tekućine koja ne moči većinu tvari. Ako je presjek kapilare kružan, oblik slobodne plohe tekućine u njoj dio je kugline plohe. Kod drugih oblika presjeka kapilare mijenja se i oblik slobodne plohe i visina dizanja, ali funkcionalna ovisnost opisana jednadžbom 1.20 ostaje sačuvana, tako dugo dok se presjek kapilare po visini ne mijenja Anomalije vode Molekula vode po mnogo čemu je izuzetna i pokazuje kemijska i fizikalna svojstva koja su na prvi pogled u suprotnosti sa jednostavnim kemijskim i fizikalnim zakonitostima. Odstupanja svojstava vode od uobičajenih pravila nazivaju se anomalije vode. Ovdje će se navesti neke najvažnije: Atom kisika je izuzetno elektronegativan, pa se elektroni koji tvore kemijske veze izmedu njega i vodikovih atoma zadržavaju u njegovoj blizini. Time molekula postaje polarna, tj. ima značajan električki dipolni moment. Molekule vode medusobno se povezuju natprosječno jakim vodikovim vezama koje bitno utječu na svojstva vode.

27 1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 11 O H H + + Slika 1.8: Shematski prikaz molekule vode. Talište i vrelište vode izuzetno je visoko, što je posljedica jakih vodikovih veza izmedu molekula vode. Jednostavni kemijski račun koji te veze zanemaruje predvida vrelište na -80 o C! Voda je izuzetno dobro otapalo. U njoj se u većoj ili manjoj mjeri otapaju najrazličitije tvari. Toplinski kapacitet vode je izuzetno visok, čak 4175 J/kgK. Prilikom smrzavanja volumen vode se povećava. Zato led pliva na vodi, rijeka i jezera zamrzavaju se odozgo prema dolje pa voda u dubini ostaje tekuća. To omogućava preživljavanje vodenih organizama i kad je površina zamrznuta. Gustoća vode najveća je na 4 o C a daljnjim hladenjem voda se rasteže (slika 1.9). Gustoća (kgm -3 ) Temperatura ( o C) Slika 1.9: Gustoća vode u ovisnosti o temperaturi.

28 12 GLAVA 1: UVOD

29 Glava 2 Fluid u gibanju 2.1 Model kontinuuma i čestice fluida Prije nego što se krene sa proučavanjem ponašanja fluida u realnim uvjetima, podsjetit će se na najosnovnije idealizacije i pojednostavljenja koja se koriste da bi se lakše razumjelo kako se fluid ponaša. To je u prvom redu model kontinuuma na kojem se zasniva mehanika kontinuuma. Pojam kontinuuma zasniva se na ideji da se tvar može dijeliti na sve manje i dijelove, a da pritom svojstva tvari ostaju nepromijenjena. Mi danas znamo da je to netočno jer se svaka tvar sastoji od atoma i molekula koje pretstavljaju najmanju moguću česticu te tvari. Pritom molekula (u rjedem slučaju atom) pokazuje ista kemijska svojstva kao i veća količina te tvari. Nažalost, moderna fizika je pokusima pokazala, a teorijom i u dobrom dijelu objasnila, da to ne vrijedi za fizikalna svojstva te iste tvari. Naime, kad veličina čestice tvari postane manja od mikrometra počinju se pokazivati efekti i pojave koje veće čestice ne pokazuju. Ovo moderno područje naziva se različitim imenima (mezofizika, nanofizika i sl.) a bavi se svojstvima čestica čije veličine se kreću od nekoliko molekula do otprilike jednoga mikrometra. m m m Slika 2.1: Čestica fluida je vrlo mala a njezin oblik ne mora biti stalan, ali masa te čestice mora biti sačuvana (nepromjenjiva). Što se tiče mehanike fluida, dimenzije čestica i pojava sa kojima se ona bavi su mnogostruko veće od gore spomenutih, pa se efekti atomske strukture tvari mogu zanemariti. To omogućava da se fluid promatra kao kontinuum, što poprilično pojednostavljuje matematički alat koji je potreban za opis njegova ponašanja. Pritom se ipak ne smije zaboraviti da veličine 13

30 14 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU objekata i duljine preko kojih dolazi do primjetne promjene fizikalnih varijabli kojima se opisuje odredeni problem moraju biti znatno veće od dimenzija molekula koje proučavani fluid tvore, odnosno veće od mikrometra u općem slučaju. U pojednostavljenju mehanike kontinuuma definira se česticu fluida kao vrlo malu česticu, čiji oblik ne mora biti stalan, ali se zahtijeva da masa takove čestice bude konstantna (nepromjenjiva). dx dy ds dy da dz dv dx Slika 2.2: Definicija elementa puta (lijevo), površine (sredina) i volumena (desno). Isto tako se koristi infinitezimalno male dužine, površine ili volumene, koje nazivamo i elementima dužine (površine ili volumena), a definira ih se kao infinitezimalno malu dužinu, površinu ili volumen. Kod dužine se koristi oznaku ds jer vrlo često probleme na dvodimenzionalnim ili trodimenzionalnim krivuljama promatramo kao jednodimenzionalni problem, a u tom slučaju element dužine najčešće nije u smjeru x-osi. Za razliku od toga element površine obično se definira tako da mu stranice leže u smjeru koordinatnih osi, pa tu koristimo uobičajene oznake dx i dy, a na isti se način onda definira i element volumena. Osim matematičke jednostavnosti, prednost definiranja elemenata površine odn. volumena tako da su im stranice paralelne koordinatnim osima je da je onda površina (volumen) takvoga elementa jednostavno: odnosno: da = dx dy (2.1) dv = dx dy dz = da dz (2.2) 2.2 Sile koje djeluju na česticu fluida u gibanju Na slici 2.3 je prikazana elementarna čestica fluida koju tok fluida nosi kroz prostor. Pritom je brzina gibanja čestice opisana funkcijom v(x, y, z, t), a gibanje se odvija po putu s. U analizi njenoga gibanja polazi se od drugoga Newtonovog aksioma: F = m a = m d v (2.3) dt Aksiom 2.3 primijeni se na elementarnu česticu, a analiza se radi tako da masu te čestice držimo konstantnom. Ako je masa elementarne čestice označena sa dm, može se pisati:

31 2.3: EULEROVA JEDNADŽBA 15 z v dy dx dz s y x Slika 2.3: Elementarna čestica fluida nošena tokom fluida kroz prostor. df = dm d v (2.4) dt gdje je d v/dt ukupno ubrzanje čestice. Ono se u mehanici fluida naziva i materijalno ili supstancijalno ubrzanje. Kako se kod ukupnoga ubrzanja radi o potpunom diferencijalu, može ga se razdvojiti na prostorni i vremenski dio: d v dt = v t + v r (2.5) r t Prvi član desne strane jednadžbe 2.5 naziva se lokalno ubrzanje. On opisuje ubrzanje koje čestica fluida dobija relativno prema okolnim česticama. Postoji li ovaj član, radi se o nestacionarnom tečenju. Drugi se član naziva konvektivno ubrzanje. On opisuje ubrzanje koje čestica dobija zbog strujanja fluida kao cjeline. 2.3 Eulerova jednadžba Gibanje fluida posljedica je raznih sila koje na fluid djeluju. Te sile su najčešće: sile tlaka. Tlak u fluidu nastaje usljed njegove vlastite težine ili vanjskih sila, a karakteristično za njega je da djeluje uvijek okomito na plohu na kojoj ga se promatra. masene sile. Masene sile su one sile koje su proporcionalne masi na koju djeluju. U masene sile se ubrajaju sila teža odn. gravitacija i inercijske sile (centrifugalna sila, Coriolisova sila i sl.). viskozne sile ili sile unutarnjega trenja u fluidu. elastične sile koje dolaze od kompresibilnosti fluida i uglavnom su važne samo kod kompresibilnih fluida (plinovi).

32 16 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU Ove sile djeluju na cijeli fluid, no da bismo mogli donijeti barem najosnovnije zaključke o rezultatima tog djelovanja moramo se za početak ograničiti na malenu česticu fluida. Neka ona ima oblik kvadra stranica dx, dy i dz, koje ćemo radi jednostavnosti smjestiti u smjerove koordinatnih osi (slika 2.4). Masa razmatrane čestice fluida je: dm = ρdxdydz (2.6) i nju će se u daljnjem razmatranju držati konstantnom. Na nju djeluju tlačne sile (uvijek okomito na odgovarajuće plohe kvadra) i sile mase, sa hvatištem u središtu kvadra. Masene sile opisuje se ubrzanjem koje one proizvode, pa je: a m = F m (2.7) gdje je F ukupna sila koja djeluje na kvadar. Kako je masena sila po definiciji proporcionalna masi, u gornjoj definiciji ostaje samo ubrzanje koja ona proizvodi, bez potrebe da uopće bude poznata masa kvadra. Naprimjer, za silu težu je: pa je za nju: F = mg k (2.8) a m = mg k m = g k (2.9) p 2 z dx 2 dy dz 1 F x x p 1 F y Slika 2.4: Sile koje u x-smjeru djeluju na elementarni volumen fluida. Pogledajmo sada ravnotežu sila za našu česticu fluida. Sile koje na nju djeluju pritom se rastavlja na komponente pa gleda ravnotežu za svaku komponentu posebno. Za x smjer tako nalazimo (slika 2.4):

33 2.3: EULEROVA JEDNADŽBA 17 ma x = p 2 dydz + F x p 1 dydz (2.10) no, masa razmatrane čestice dana je jedn. 2.6, a masena sila u jedn Uz to, tlak treba razviti u Taylorov red i zadržati samo prvi član: p 2 = p 1 + p dx (2.11) x Uvrštavanjem u jedn i sredivanjem dobije se: a mx ρdxdydz p x dxdydz ρdxdydza x = 0 (2.12) gdje je a mx ubrzanje koje izaziva masena sila, a a x ukupno ubrzanje čestice fluida. Daljnjim kračenjem i preslagivanjem uz činjenicu da je: a x = dv x dt dobije se na kraju x-komponenta Eulerove jednadžbe: 1 p ρ x = a mx dv x dt a na isti način dobije se i ostale dvije komponente (y,z): 1 p ρ y = a my dv y dt 1 p ρ z = a mz dv z dt Konačno, ove tri jednadžbe može se objediniti u vektorskom zapisu kao: (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) ili 1 grad(p) ρ = a m v dt 1 ρ (p) = a m v dt (2.17) (2.18) Eulerova jednadžba u kvazi-jednodimenzionalnom slučaju Čestica fluida na svom putu kroz prostor opisuje putanju koja se može prikazati kontinuiranom krivuljom. Znade li se kako ta krivulja izgleda, može se položaj čestice fluida na njoj opisati samo s jednom varijablom, koja pretstavlja put prevaljen po toj krivulji kao fumkciju vremena. Zato se ovakav slučaj naziva kvazi-jednodimenzionalnim. U jednoj dimenziji Eulerova jednadžba postaje 1 dp ρ ds = a m dv (2.19) dt U kvazi-jednodimenzionalnom slučaju mora se biti oprezan jer ubrzanje ne mora biti u smjeru putanje čestice. Prema tome, u ovom slučaju a m je komponenta ubrzanja masene sile u smjeru putanje čestice fluida.

34 18 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU z s ds a s a o a x Slika 2.5: Čestica fluida zamrznuta u jednom vremenskom trenutku. Krivulja s pretstavlja put te čestice u prostoru. Radi jednostavnosti je prikazan dvodimenzionalan slučaj gibanja čestice Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadžba za fluid u polju sile teže U slučaju sile teže, ubrzanje je konstantno (g=9,81 ms 1 ) i usmjereno vertikalno prema dolje. Ako je α kut koji tangenta na krivulju, po kojoj se čestica giba, zatvara s vertikalom, komponenta ubrzanja u smjeru krivulje je g cos α. Pritom treba paziti da li se čestica ubrzava (komponenta je u smjeru gibanja čestice) ili se usporava (komponenta ubrzanja je suprotna smjeru gibanja čestice). U situaciji sa slike 2.6, sila teža usporava česticu fluida, pa je: i Eulerova jednadžba postaje: a m = g cos α (2.20) 1 dp ρ ds = g cos α dv dt Diferencijal brzine može se rastaviti na lokalni i konvektivni dio: d v dt = v t + v s s t što, uz uvažavanje činjenice da je s/ t = v, daje: Primijeti li se sada još da je: 1 dp ρ ds = g cos α cos α = dz ds ( v t + v v ) s (2.21) (2.22) (2.23) (2.24)

35 2.3: EULEROVA JEDNADŽBA 19 z s ds gcosα α g x Slika 2.6: Gibanje čestice fluida po krivulji s uz djelovanje ubrzanja sile teže, g. Po dogovoru smjer sile teže definiran je kao smjer -z osi pa se zato na ovom dvodimenzionalnom prikazu koriste osi z i x. pa se, uz prebacivanje svih članova na lijevu stranu i množenje sa ds dolazi do kvazijednodimenzionalne Eulerove jednadžbe za fluid u polju sile teže: 1 v dp + gdz + ds + vdv = 0 (2.25) ρ t Integracijom se može dobiti i integralni oblik jednadžbe 2.25: v dp ρ + gz + v ds = konst. (2.26) t

36 20 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU

37 Glava 3 Statika fluida Statika je u fizici disciplina koja se bavi proučavanjem tijela u stanju mirovanja. To znači da brzine i ubrzanja ne postoje, što je matematički formulirano kao: v = 0 a = 0 (3.1) Uvrsti li se ovaj uvjet u Eulerovu jednadžbu 2.18, dobije se Eulerova jednadžba za fluid u mirovanju: Ili pisano po komponentama: (p) = ρ a m (3.2) p x = ρa mx (3.3) p y = ρa my (3.4) p z = ρa mz (3.5) 3.1 Statička Eulerova jednadžba za polje sile teže U realnim situacijama najčešće je jedina masena sila koja djeluje na fluid, sila teža. Dogovorno je u takovim problemima Kartezijev koordinatni sustav postavljen tako da je xy ravnina horizontalna a +z os pokazuje prema gore (vertikalno), suprotno smjeru djelovanja sile teže. To znači da je: odnosno: a m = g k (3.6) a mx = a my = 0 a mz = g (3.7) pa je uvrštavanjem u skalarni oblik Eulerove jednadžbe za fluid u mirovanju: p x = p y = 0 (3.8) 21

38 22 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA i: p z = ρg (3.9) To znači da je tlak u fluidu koji miruje konstantan na vodoravnoj (xy) ravnini. Isto tako, kako se tlak mijenja samo u z smjeru (jednadžba 3.9!) parcijalna derivacija po z postaje jednaka punoj derivaciji pa se jednadžbu 3.9 može prepisati kao: dp = ρg (3.10) dz Nakon množenja sa dz i formalne integracije dobije se jednadžba statičke ravnoteže za fluid: p = ρgdz (3.11) Ova jednadžba je rješiva ako je poznato kako gustoća ovisi o z. Za slučaj tekućine (uz pretpostavku potpune nestlačivosti) ρ je konstantan, pa se dobije poznata jednadžba hidrostatičke ravnoteže za tekućinu: p = ρgz (3.12) Konstanta integracije je odabrana tako da z=0 odgovara slobodnoj površini tekućine (slika 3.1). +z 0 x g -z Slika 3.1: Kartezijev koordinatni sustav sa položajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja sile teže je naznačen vektorom g. Da se izbjegne negativan predznak (koji dolazi od toga da je ubrzanje sile teže usmjereno u -z smjeru), u praksi se ponekad koristi dubina h, koja se mjeri od najviše točke koja nas u nekom problemu zanima (obično površina tekućine) prema dolje (h = z) pa jednadžba hidrostatske ravnoteže za tekućinu postaje

39 3.1: STATIČKA EULEROVA JEDNADŽBA ZA POLJE SILE TEŽE 23 -h x 0 0 g +h Slika 3.2: Nestandardni Kartezijev koordinatni sustav koji umjesto visine z koristi dubinu h, s položajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja sile teže je naznačen vektorom g. p = ρgh (3.13) Horizontalna (xy) ravnina u kojoj leži ishodište tako postavljenoga koordinatnog sustava naziva se referentna ravnina i na skicama se označava sa 0 0 (slika 3.2), i najčešće se podudara sa slobodnom površinom tekućine. z g 0 0 x Slika 3.3: Najčešće korišten Kartezijev koordinatni sustav koji referentnu ravninu postavlja u najnižu točku problema. Smjer ubrzanja sile teže je naznačen vektorom g. Zbog praktičnosti u računanju ovaj se koordinatni sustav najčešće koristi. U praksi se medutim uglavnom koristi bolji način izbjegavanja negativnoga predznaka, a to je, da se referentna ravnina postavi u ili ispod najniže točke analiziranoga sistema. Kod manjih proračuna referetna ravnina stavlja se u najnižu točku problema (slika 3.3), a kod većih, pogotovo ako su u cjelo razmatranje uključene i druge struke, kao z koordinata koristi

40 24 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA se nadmorska visina. U tom slučaju z koordinata poprima samo pozitivne vrijednosti (iako se kod korištenja nadmorske visine mogu pojaviti negativne vrijednosti, primjerice ako se radi o depresijama, bušotinama ili objektima ispod razine morske površine. 3.2 Pascalov zakon Zamislimo si da imamo neku tekućinu u stanju mirovanja (slika 3.4). U njoj se proizvoljno odaberu dvije točke, T 1 i T 2. Ukupni hidrostatski tlakovi u njima su: Njihova razlika je: p 1 = p a + ρgh 1 i p 2 = p a + ρgh 2 (3.14) p = p 2 p 1 = ρg(h 2 h 1 ) (3.15) p a 0 0 g h 1 h 2 T 1 T2 h x Slika 3.4: Ilustracija Pascalovoga zakona. Dode li do bilo kakve promjene tlaka u proizvoljnoj točci T 1, mora se i u svakoj drugoj proizvoljnoj točci T 2 tlak promijeniti za isti iznos da bi ravnoteža ostala sačuvana. U protivnom bi došlo do pomicanja (tečenja) tekućine, što se kosi sa pretpostavkom da je ona u stanju mirovanja. Ako se sad, iz bilo kojega razloga, tlak u točki T 1 promijeni za neki iznos p T 1, a tlak u točki T 2 za p T 2, a želimo da tekućina ostane u stanju mirovanja, razlika tlakova p se ne smije promijeniti (u protivnom Eulerova jednadžba hidrostatike više nije zadovoljena)!. Neka su novi tlakovi: Njihova je razlika sad: p 1 = p v + ρgh 1 + p T 1 i p 2 = p v + ρgh 2 + p T 2 (3.16) p = p 2 p 1 = ρg(h 2 h 1 ) + ( p T 2 p T 1 ) (3.17)

41 3.3: MJERENJE TLAKA 25 Ako se ta razlika ne smije promijeniti, mora biti: ( p T 2 p T 1 ) = 0 odnosno p T 2 = p T 1 (3.18) Drugim riječima, svaka promjena tlaka u nekoj točki tekućine se u istom iznosu prenosi kroz cijeli volumen te tekućine. Ova činjenica se naziva Pascal-ov zakon i ima vrlo veliku primjenu u svim vrstama hidrauličkih strojeva. 3.3 Mjerenje tlaka p a h p a Slika 3.5: Princip rada barometra. Najjednostavniji uredaj za mjerenja atmosferskog tlaka je barometar. On se sastoji od staklene cijevi koja je s gornje strane zatvorena. Cijev se potpuno napuni tekućinom i privremeno zatvori. Nakon toga se okrene, uroni u posudu koja je napunjena istom tekućinom i čep se ukloni. Kod toga se tekućina u cijevi spusti, a iznad nje ostaje prazan prostor (vakuum). Nakon uspostavljanja ravnoteže stupac tekućine u cijevi je u ravnoteži sa atmosferskim tlakom p a. Kako je tlak u praznom prostoru u cijevi iznad tekućine 0 (uz zanemarivanje tlaka para tekućine!), jednadžba ravnoteže glasi: p a = ρgh (3.19) Kako su ubrzanje sile teže i gustoća tekućine poznati, mjerenjem visine stupca tekućine u cijevi može se izravno odrediti atmosferski tlak p a. Kao tekućina se najčešće koristi živa jer je zbog njezine visoke gustoće stupac tekućine razumne visine od oko 760 mm. Uz to je tlak para žive na temperaturama koje se pojavljuju u prirodi zanemariv. Postoje i primjeri korištenja drugih tekućina, najčešće vode, no takovi barometri su nezgrapni zbog velike visine (oko 10 m) i potrebe za korekcijama zbog tlaka para tekućine koje ovise o vanjskoj temperaturi.

42 26 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA Ovaj je instrument davne godine predložio talijanski znanstvenik Evangelista Torricelli, pa se on po njemu često puta naziva i Torricellijev barometar, a do nedavno je u upotrebi bila i jedinica za tlak koja se nazivala 1 Torr. Ona je bila jednaka tlaku kojeg stvara stupac žive visine 760 mm. Danas se umjesto ove jedinice koristi jedinica Bar, pri čemu vrijede ove relacije: 1 Bar = 10 5 Pa 1 mbar = 100 Pa U meteorologiji se koristi i tzv. standardna atmosfera srednji atmosferski tlak na morskoj površini uz temperaturu od 0 C. Standardna atmosfera jednaka je tlaku od Pa. Atmosferski tlak mijenja se iz trenutka u trenutak i ovisi o mnogim faktorima: nadmorskoj visini, temperaturi, vlažnosti, meteorološkim uvjetima i dr. Najizraženije je opadanje tlaka s nadmorskom visinom. U najjednostavnijem modelu (izotermna atmosfera) atmosferski tlak eksponencijalno opada s nadmorskom visinom: p(z) = p(0)e z H (3.20) Konstanta H naziva se tlačna skala visine i iznosi 7,4 km. Ako je nadmorska visina mala (z H) jednadžba (3.20) se može pojednostaviti: p(z) = p(0)(1 z H ) (3.21) Odnosno, atmosferski tlak se smanjuje za 1 mbar svakih 7,4 metra visine. Na osnovi ovoga zakona nekad su se odredivale visine planinskih vrhunaca, a i danas ga koriste amaterski visinomjeri koji rade na principu mjerenja tlaka. p a p a h h p Slika 3.6: Princip rada piezometra. Kod piezometra je nužno da je cijev piezometra okomita na cijev u kojoj se tlak mjeri, te da cijev piezometra NE ulazi u tu cijev. Piezometarski tlak uvijek se mjeri od osi cijevi. Za mjerenja malih tlakova koristi se piezometar. Radi se o cijevi promjera većega od 1 cm (da se izbjegnu problemi s kapilarnim dizanjem razine tekućine!) okomito montiranoj na cijev ili rezervoar u kojem se mjeri tlak. Okomitost piezometra posebno je bitna ako se tekućina u cijevi giba jer kod koso postavljenoga piezometra dolazi do krivih očitanja

43 3.3: MJERENJE TLAKA 27 zbog doprinosa dinamičkoga tlaka. Tekućina iz cijevi ujedno služi i kao mjerna tekućina. Piezometarska cijev je često puta prozirna radi lakšega očitanja visine stupca tekućine, koji se uvijek mjeri prema osi (sredini) cijevi. Kako je gornji kraj piezometarske cijevi otvoren, piezometar mjeri relativni tlak tekućine u cijevi prema atmosferskom tlaku. Znade li se visina stupca tekućine z, piezometarski tlak je dan izrazom: p = ρgh (3.22) Ne zaboravimo da je piezometarski tlak relativan. Apsolutni tlak u cijevi je naravno p aps = ρgh + p a (3.23) p a p h Slika 3.7: Manometar je varijacija piezometra. Često se koristi kad je potrebno mjeriti tlak plina. I ovdje je nužno da je cijev manometra bude okomita na cijev u kojoj se tlak mjeri. Varijacija piezometra kod koje je mjerna cijev montirana bočno na cijev u kojoj se mjeri tlak naziva se manometar. Manometar omogućava i mjerenje tlakova plinova i podtlaka (tlak niži od atmosferskoga naziva se podtlak) u cijevi.

44 28 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA p a p h 2 h 1 Slika 3.8: Manometar sa dvije tekućine. Ako je u cijevi manometra gušća tekućina (npr. živa ili sl. ), mogu se mjeriti veći tlakovi. Ukoliko se u cijev manometra ulije tekućina velike gustoće (živa ili sl.), moguće je mjeriti i veće tlakove (do oko 1 bara). Račun tlaka nešto je složeniji jer imamo posla sa stupcima dvije različite tekućine: p = ρ 2 gh 2 ρ 1 gh 1 (3.24) gdje je ρ 1 gustoća fluida u cijevi, a ρ 2 gustoća mjerne tekućine. Za tlakove veće od oko 1 bara koriste se mehanički ili elektronički tlakomjeri. 3.4 Sile hidrostatskoga tlaka Silama hidrostatskoga tlaka nazivaju se sile koje su posljedica djelovanja statičkoga tlaka fluida na tijela u i oko fluida. Kod plinova je zbog malene gustoće doprinos hidrostatskoga tlaka zanemariv pa je tlak u otvorenoj posudi ispunjenoj plinom jednak tlaku okolne atmosfere, a tlak u zatvorenoj posudi u svim njezinim točkama jednak Hidrostatska sila na dno posude Zamislimo si posudu ravnoga dna u kojoj se nalazi tekućina dubine h. Kako je posuda s gornje strane otvorena, na površini tekućine tlak je jednak atmosferskom tlaku p a, a relativni hidrostatski tlak na dnu posude je: p = ρgh (3.25) gdje je ρ gustoća tekućine a h njezina dubina. Nadalje, ako je ukupna površina dna posude A, sila koja djeluje na dno je jednostavno umnožak tlaka i površine: F = pa = ρgha (3.26)

45 3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 29 p a h A F p a Slika 3.9: Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrži tekućinu. a sila je u smjeru vanjske normale na dno. Ova sila uopće ne ovisi o količini tekućine u posudi, već samo o njenoj dubini. Imaju li posude različitih oblika istu površinu dna, i ako su napunjene tekućinom do iste dubine, sila na dno će u svakoj posudi biti ista. Ovo je na prvi pogled zbunjujuće jer je očito težina tekućine u svakoj posudi drugačija, pa će medusobno vaganje bilo koje dvije različite posude očito pokazati neravnotežu! Ovaj pokus naziva se hidrostatski paradoks, a objašnjenje mu je skriveno u silama koje se kroz stijenke posuda prenose u smjeru u kojem se stijenka proteže. Stijenke posuda su krute pa mogu prenositi takve sile. Ukupni zbroj (tj. integral) komponente sile na stijenke posude prema dolje uvijek je jednak težini tekućine u posudi, a horizontalna komponenta je uvijek 0! m 1 m h 2 A F 1 F 2 m 1 =m 2! Slika 3.10: Ilustracija hidrostatskog paradoksa.

46 30 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA p u h A p a F Slika 3.11: Hidrostatska sila na dno zatvorene posude. Ako je posuda zatvorena, rezultantnu silu na dno mora se računati uz pomoć razlike apsolutnih tlakova jer vanjski tlak (atmosferski) i unutarnji tlak (tlak plina iznad tekućine) ne moraju biti jednaki. S unutarnje strane na dno posude djeluje tlak p o : p o = ρgh + p u (3.27) a s donje strane na dno posude izvana djeluje atmosferski tlak p a. Njihova razlika je (ovi tlakovi djeluju u medusobno suprotnim smjerovima!): pa je rezultantna sila na dno zatvorene posude: p = ρgh + p o p a (3.28) F = pa = (ρgh + p o p a )A (3.29)

47 3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA Hidrostatska sila na ravne stijenke p a x h y p a da=dxdy M df α F Slika 3.12: Hidrostatska sila na ravnu bočnu stijenku. I ovdje ćemo se baviti relativnim tlakom, jer jednaki atmosferski tlak djeluje na slobodnu površinu tekućine i na vanjsku plohu stijenke. Prije početka samog računa postavimo si koordinatni sustav. To se učini tako da se koordinatni sustav stavi u ravninu stijenke. x-os neka ide u horizontalnom smjeru, a y-os neka ide prema dolje po plohi jer se tako izbjegava predznak - u računu hidrostatskoga tlaka. I na kraju, ishodište se postavi tako da se nalazi na slobodnoj površini tekućine. Pogledajmo sad neki proizvoljni element površine stijenke da = dxdy, koji se nalazi na dubini h. Sila koja djeluje na taj element površine je: df = pda = ρghdxdy (3.30) Smjer djelovanja sile je u smjeru normale na stijenku prema van, a kako se radi o ravnoj plohi taj je smjer za sve dijelove plohe isti, pa se ukupnu silu može naći zbrajanjem sila koje djeluju na sve elemente plohe: F = A ρghdxdy = x2 ymax x1 0 ρghdxdy (3.31) Da se ovaj dvostruki integral može riješiti, mora se povezati dubina u tekućini s koordinatom y na stijenci. Iz slike 3.12 vidi se da je: pa nalazimo: F = A ρghdxdy = h = y sin(α) (3.32) x2 ymax x1 0 ρgy sin(α)dxdy (3.33)

48 32 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA Pogledajmo prvo jednostavniji slučaj kad je bočna stijenka pravokutnoga oblika. U tom slučaju integral po osi x daje jednostavno ukupnu širinu plohe koju ćemo označiti sa l pa imamo: što lako riješimo do kraja: ymax F = ρgl sin(α) ydy (3.34) 0 F = ρgl sin(α) y2 max (3.35) 2 Da ponovimo, l je ovdje širina plohe u horizontalnom smjeru a y max je visina plohe pod tekućinom (mjereno po plohi, dakle koso!). Kako je površina plohe jednaka umnošku ly max, i kako je y koordinata geometrijskoga težišta plohe y T = y max /2 jednadžba (3.34) postaje: F = ρg sin(α)ay T (3.36) y T sin(α) = h T je dubina na kojoj se ispod površine tekućine nalazi težište plohe, pa se na kraju dolazi do jednadžbe: F = ρgh T A (3.37) Sila na kosu plohu ne ovisi o kutu pod kojim ona stoji, uz uvjet da je njezino težište uvijek na istoj dubini. y x M α F h F α F v Slika 3.13: Komponente hidrostatske sile na ravnu bočnu stijenku. Preostaje još odrediti hvatište ove sile te njenu horizontalnu odn. vertikalnu komponentu. Hvatište se nalazi u točci u kojoj su zadovoljeni uvjeti ravnoteže sila, što znači da u toj točci ukupni moment tlačne sile preko cijele plohe mora isčezavati. Što se tiče horizontalnoga smjera, situacija je jednostavna: kako tlačne sile ovise samo o y-koordinati (dubini), hvatište je na y-simetrali plohe: H x = l 2 (3.38)

49 3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 33 Da bismo našli y-koordinatu hvatišta, polazimo od uvjeta ravnoteže momenta u y-smjeru. Pri tome se treba sjetiti da je moment sile umnožak okomite komponente sile i njezine udaljenosti od točke za koju se moment računa, u ovom slučaju dakle od hvatišta sile: dm = df (y H y )dy (3.39) Iz gornje diskusije jasno je da ukupni moment računat preko cijele plohe mora isčezavati pa je: ymax df (y H y )dy = 0 (3.40) 0 uz df = ρg sin αday i kračenje konstanti ostaje: ymax y(y H y )dy = 0 (3.41) s rješenjem: 0 H y = 2 3 y max (3.42) Hvatište tlačne sile nije u težištu plohe, već se nalazi ispod njega! Tlačna sila okomita je na plohu, pa se njene komponente lako nadu (slika 3.13): F v = F cos α = ρgh t A cos α (3.43) gdje je h t dubina na kojoj se nalazi težište plohe. Kako je h t A cos α ukupni volumen stupca tekućine koji se nalazi iznad plohe, vertikalna komponenta tlačne sile jednaka je težini tekućine iznad plohe. F h = F sin α = ρgh t A sin α (3.44) Kako je A sin α površina projekcije plohe na vertikalnu ravninu, horizontalna komponenta tlačne sile jednaka je umnošku tlačne sile i površine vertikalne projekcije plohe. Ako je ravna ploha proizvoljnoga oblika pokazuje se da svi gornji zaključci i dalje vrijede. Koordinate hvatišta sile i u ovom slučaju nalazimo integracijom preko plohe (sad su ti integrali naravno nešto složeniji zbog proizvoljnoga oblika plohe): H x = C xy (3.45) Ay t gdje je C xy centripetalni moment s obzirom na osi x i y: C xy = xydxdy (3.46) i A H y = I x + y t Ay t (3.47) gdje je I x moment tromosti plohe za x-os: I x = y 2 dxdy (3.48) A za najčešće oblike ploha obje ove veličine su sabrane u raznim priručnicima (mehanika, strojarstvo i sl.).

50 34 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke p da da n Slika 3.14: Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu. Tekućina se nalazi u spremniku nepravilnoga oblika, prikazanome u presjeku (lijevo). Element površine spremnika sa smjerom vanjske normale prikazan je na desnoj strani. Zakrivljene stijenke mora se podijeliti na elementarne površine, pa vektorski zbrojiti sile koje na njih djeluju. Sila na jednu elementarnu površinu je: df = pda n (3.49) gdje je n jedinični vektor okomit na jediničnu plohu da. U dijelu literature takva orijentirana ploha se označava vektorskim simbolom da a pritom je da = da n. Ako jedinični vektor n s koordinatnim osima zatvara kuteve (n,x), (n,y) i (n,z) jediničnu silu df može se raspisati po komponentama kao: df x = ρghda cos (n, x) df y = ρghda cos (n, y) df z = ρghda cos (n, z) (3.50) je: Medutim, da cos (n, x) = da x je projekcija elementarne površine da na yz ravninu, pa df x = ρghda x df y = ρghda y (3.51) df z = ρghda z odnosno:

51 3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 35 F x = ρg hda x Rješenja integrala za horizontalne komponente tlačne sile su F y = ρg hda y (3.52) F z = ρg hda z F x = ρgh T x A x F y = ρgh T y A y (3.53) gdje su h T x i h T y koordinate težišta projekcije plohe A na yz odn. xz ravninu, a A x i A y su površine odgovarajuće projekcije. Ovo znači da je horizontalna tlačna sila na zakrivljenu površinu jednaka tlačnoj sili koja bi djelovala na projekciju te površine na vertikalnu ravninu koja je okomita na smjer djelovanja tlačne sile. Isti ovaj zaključak dobije se kod analize sila na ravnu plohu, što još jednom potvrduje ispravnost ovoga računa jer je ravna ploha specijalni slučaj zakrivljene plohe. Posvetimo sad malo pažnje vertikalnoj komponenti tlačne sile: F z = ρg hda z (3.54) hda z je volumen stupca tekućine iznad elementarne površine da, pa integral ove veličine predstavlja volumen tekućine koja se nalazi iznad plohe A. Prema tome, vertikalna komponenta tlačne sile jednaka je težini tekućine koja se nalazi iznad te plohe: F z = ρgv (3.55) Hidrostatska sila na stijenku cijevi p dz dz T T s φd s Slika 3.15: Hidrostatska sila na stijenku cijevi.

52 36 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA Tlak fluida djeluje okomito na stijenku cijevi. Ako si zamislimo da smo cijev uzdužno prerezali na dvije jednake polovice, tlačna sila će te dvije polovice htjeti razmaknuti. Ako promatramo prsten malene visine dz, onda je ukupna tlačna sila na jednu njegovu polovicu jednaka umnošku tlaka i površine umočenog presjeka plohe kojom je cijev presječena: df x = pdzd (3.56) Tom razmicanju odupire se napetost u stijenci cijevi, koja je jednaka: dt = sσdz (3.57) gdje je σ naprezanje materijala stijenke. Kako se poluprstenovi spajaju na dva mjesta, mora biti: Izjednačavanjem se dobije: df x = 2dT (3.58) σ = pd 2s (3.59) Ako je najveće dopušteno naprezanje materijala stijenke σ dop, onda za dani tlak p minimalna debljina stijenke cijevi s mora biti: s = pd 2σ dop (3.60) Ovo je Mariott-ova formula za debljinu stijenke cijevi. Formula vrijedi za cijevi s tankom stijenkom (ako je s < 0, 1D). Za dugu cijev koja je zatvorena na krajevima, sličnim postupkom se nalazi da je uzdužno naprezanje materijala stijenke: σ u = 0, 5σ (3.61) 3.5 Plutanje i ravnoteža plutajućih tijela Uzgon Neka je unutar fluida ocrtana zatvorena ploha proizvoljna oblika. Ta je ploha ispunjena fluidom pa se može govoriti o nekom tijelu omedenom tom plohom. To se tijelo očito nalazi u ravnoteži. Stoga je ukupna tlačna sila koja djeluje na bilo koji vertikalni presjek toga tijela jednaka nuli. Isto tako, zbog uvjeta ravnoteže vertikalne sile koje djeluju na to tijelo moraju se poništiti. No, u vertikanom smjeru na zamišljeno tijelo djeluju dvije sile: težina tijela koja ga vuče prema dolje i rezultantna vertikalna komponenta tlačne sile koja djeluje prema gore. Te se dvije sile moraju poništiti, pa je očito: gdje je ρ gustoća fluida, a V volumen zamišljenoga tijela. A p da = ρv g (3.62)

53 3.5: PLUTANJE I RAVNOTEŽA PLUTAJUĆIH TIJELA 37 F u G Slika 3.16: Sila na tijelo uronjeno u fluid. Ako se sad iz unutrašnjosti te plohe izvadi fluid, pa se nastali volumen ispuni nekom drugom tvari gustoće ρ T, situacija u okolnom fluidu neće se promijeniti. To znači da će na tijelo i dalje djelovati vertikalna komponenta tlačne sile u istom iznosu kao i ranije, dakle: F u = ρv g (3.63) Ova sila naziva se uzgon, a pravilo da je uzgon jednak težini istisnute tekućine se po njegovom otkrivaču naziva Arhimed-ov zakon. No, iako se uzgon nije promijenio, težina tijela se promijenila jer je ona sad: G T = ρ T V g (3.64) pa na tjelo u vertikalnom smjeru djeluje ukupna rezultantna sila: R = F u G = gv (ρ ρ T ) (3.65) Ako je gustoća tijela veća od gustoće fluida, ukupna sila je negativna (djeluje prema dolje) i tijelo tone. Ako je pak gustoća tijela manja od gustoće fluida, ukupna sila je pozitivna (djeluje prema gore) i tijelo izranja. Tijelo je u ravnoteži sa okolnim fluidom samo ako je ukupna sila jednaka nuli, tj. ako je ρ = ρ T. Recimo još na kraju samo to da kod tijela koja plivaju na površini tekućine (tzv. djelomično uronjena tijela) uzgon i dalje proizvodi volumen istisnute tekućine, što znači da uzgon dolazi samo od onoga dijela tijela koji je uronjen u tekućinu Plutanje Kod tijela čija srednja gustoća je manja od gustoće fluida u koji su uronjena, sila uzgona veća je od njihove težine pa se tijelo diže prema gore. Ako je tijelo u zraku (baloni i sl.) dizat će se sve dok se uzgon, koji s visinom opada zbog smanjenja gustoće zraka, ne izjednači s težinom tijela. Ako je tijelo uronjeno u tekućinu (plovila, led, drvo i sl.), dići će se sve do

54 38 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA V i V u ρ t ρ Slika 3.17: Uzgon kod plutanja. Sili uzgona doprinosi samo dio tijela koji je uronjen u tekućinu (V u ), dok težina tijela ostaje nepromijenjena. njegove površine tako da dio tijela izviri iznad nje. Kako uzgon ovisi o volumenu istisnute tekućine, njega proizvodi samo dio volumena tijela koji je ispod površine tekućine pa se na taj način uspostavlja ravnoteža uzgona i težine tijela. Kaže se da tijelo pluta na površini tekućine. Jednadžba ravnoteže u tom slučaju glasi: G = U G = ρ t V g U = ρv u g (3.66) U G U U G G Slika 3.18: Ravnoteža tijela koje pluta: lijevo labilna ravnoteža, sredina stabilna ravnoteža i desno indiferentna ravnoteža. Ravnoteža tijela koje pluta zaseban je problem. Ako se hvatište težine tijela nalazi iznad hvatišta sile uzgona, tijelo je u labilnoj ravnoteži. I najmanje naginjanje tijela iz

55 3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 39 ravnotežnoga položaja dovodi do prevrtanja tijela. Ako se pak, hvatište težine tijela nalazi ispod hvatišta sile uzgona, tijelo je u stabilnoj ravnoteži. Kod naginjanja tijela iz ravnotežnoga položaja stvoreni moment sile (najbolje je gledati moment koji stvara sila uzgona oko težišta tijela) vraća tijelo u ravnotežni položaj. Ako se hvatište tlačne sile poklopi s težištem tijela, dolazi do stanja tzv. labilne ravnoteže. Bez obzira kako se tijelo postavi ono je uvijek u ravnoteži! Problem ravnoteže plutajućih tijela dodatno je zakompliciran time, što se kod zakretanja tijela mijenja oblik uronjenoga volumena pa se time pomiče hvatište sile uzgona. Tako je moguće da tijelo bude u stabilnoj ravnoteži čak i ako je težište iznad hvatišta sile uzgona. Ova je situacija ilustrirana na slici 3.19 za slučaj tijela (npr. broda) pravokutnoga poprečnog presjeka. Kod naginjanja broda na desnu stranu, pomiče se težište istisnute vode (tj. hvatište sile uzgona!) udesno i prema dolje. Istovremeno težište se pomiče lagano ulijevo, pa nastali moment sila ispravlja brod. Ovo je poželjna situacija i obično je zadovoljena kada je brod pravilno opterećen (natovaren). G U Slika 3.19: Ravnoteža broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila vraća brod u ravnotežni položaj iako je težište iznad hvatišta sile uzgona. To je posljedica premještanja hvatišta sile uzgona kod naginjanja u desnu stranu dok istovremeno težište biva lagano pomaknuto ulijevo. Kad je brod prazan, izdiže se iz vode i težište mu postaje previsoko (slika 3.20). Kod naginjanja broda na desnu stranu, pomicanje hvatišta sile uzgona udesno je znatno manje, a istovremeno se težište broda znatno pomiče ulijevo. U ovom slučaju nastali moment sila prevrće brod. Situacija je tipična za nenatovarene teretne brodove i tankere. Da bi se izbjegla nestabilnost praznoga broda, često puta se on opterećuje upumpavanjem vode u prazne tankove (tzv. balastna voda) čime se spušta težište broda. Slična se situacija može dogoditi i kod natovarenog broda ako teret sklizne u stranu naginjanja broda. Pravilna konstrukcija i upotreba brodova znanost je za sebe! 3.6 Translacija i rotacija tekućine kao cjeline Translacija i rotacija tekućine kao cjeline takvo je gibanje tekućine kod kojega nema relativnoga pomaka izmedu čestica tekućine, tj. cijeli se volumen tekućine giba kao kruto tijelo.

56 40 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA G U Slika 3.20: Prevrtanje broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila prevrće brod. Situacija je tipična za nenatovarene teretne brodove i tankere. Ovo je tipična situacija za tekućine koje se prenose u rezervoarima, bocama i sl. U ovakvim situacijama i dalje su primjenjivi zakoni statike. Ukoliko se tekućina giba jednolikom brzinom (jednolika translacija), nema ubrzanja, pa se tekućina ponaša isto kao da miruje. Ako postoji vanjsko ubrzanje tekućina osjeća inercijsku silu koja je reakcija na to ubrzanje. Ubrzanje inercijske sile (III Newton-ov aksiom) je iste veličine, ali suprotnoga smjera od ubrzanja sile koja ju izaziva. Ubrzanje inercijske sile se vektorski zbraja s g i tekućina kao cjelina prelazi u novo stanje ravnoteže za koje i dalje vrijede zakoni statike Horizontalno ubrzanje a i =-a a ϕ ϕ r g r Slika 3.21: Translacija tekućine kad je ubrzanje horizontalno. Ako se tekućina ubrzava horizontalno (slika 3.21), ubrzanje inercijske sile takoder je horizontalno, ali u suprotnom smjeru. Kada se ono zbroji s ubrzanjem sile teže, rezultatantno ubrzanje tekućine usmjereno je koso prema dolje:

57 3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 41 r = a i + g r = a 2 i + g 2 (3.67) Površina tekućine se postavlja okomito na smjer tog ubrzanja. Kut prema horizontali pod kojim površina stoji lako nademo iz grafikona sila: tan ϕ = a i g (3.68) Zakon hidrostatskoga tlaka vrijedi i ovdje, ali se u njemu umjesto ubrzanja sile teže javlja rezultantno ubrzanje, r, a dubina d se mjeri u smjeru okomice na površinu (slika 3.22): p = ρrd (3.69) ϕ d Slika 3.22: Mjerenje dubine kod horizontalnoga ubrzanja tekućine Vertikalno ubrzanje Kada se tekućina ubrzava u vertikalnom smjeru (slika 3.23), ubrzanje inercijske sile takoder je vertikalno i može se skalarno zbrojiti sa ubrzanjem sile teže (paziti na smjer inercijskoga ubrzanja i odgovarajući predznak!). Rezultantno ubrzanje koje tekućina osjeća ostaje u vertikalnom smjeru a površina tekućine i dalje je horizontalna. Za ovaj je slučaj: r = g + a i (3.70) Koso ubrzanje p = ρrh (3.71) Kod ubrzanja u proizvoljnom (kosom) smjeru prvo se postavimo u vertikalnu ravninu u kojoj je vektor ubrzanja. U njoj se inercijsko ubrzanje rastavlja na vertikalnu i horizontalnu komponentu (slika 3.24) i primjenjuje se malo prije izvedene zaključke. Prvo vertikalnu

58 42 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA g h r a a i Slika 3.23: Translacija tekućine kad je ubrzanje vertikalno. a o a o a p a i ϕ ϕ r g+a p r Slika 3.24: Translacija tekućine kad je ubrzanje koso. komponentu inercijskoga ubrzanja zbrojimo sa g, a onda se preko grafikona sila odredi smjer ukupnog ubrzanja i nagib plohe fluida: r = a 2 o + (g + a p ) 2 tan ϕ = a o g + a p (3.72) Rotacija tekućine u otvorenoj posudi Rotacija tekućine u posudi može se obuhvatiti zakonima statike, ako je rotacija jednolika (kutna brzina rotacije je konstantna). U tom se slučaju nakon nekoga vremena uspostavi ravnotežno stanje u kojem cijeli volumen tekućine rotira zajedno s posudom. Kod toga površina tekućine zauzima parabolični oblik, koji je posljedica djelovanja centrifugalne sile koju ima tekućina zbog rotacije (slika 3.25). Radi jednostavnosti ovdje se proučava samo slučaj kada se rotacija odvija oko vertikalne osi koja se podudara s osi cilindrične posuda u kojoj se fluid nalazi. Ubrzanje centrifugalne sile dano je poznatim izrazom:

59 3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 43 z x y 0 0 ω=konst. Slika 3.25: Rotacija tekućine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi. a cs = rω 2 (3.73) Da bi se moglo račun napraviti u Kartezijevom koordinatnom sustavu, mora se to ubrzanje rastaviti na komponente (slika 3.26) i dodati ga ubrzanju sile teže. Komponente ubrzanja tekućine su sada: a x = xω 2 a y = yω 2 a z = g (3.74) Polazi se od statičke Eulerove jednadžbe ( ) čije se tri komponente prvo zbroje: dp = ρ(a x dx + a y dy + a z dz) (3.75) Sada se uvrsti komponente ubrzanja koje dolaze od rotacije i od sile teže: dp = ρ(ω 2 xdx + ω 2 ydy gdz) (3.76) Ovu jednadžbu može se formalno integrirati da se odredi tlak: p = ρω 2 x2 2 Ovaj rezultat malo uredimo: + ρω2 y2 2 ρgz + c (3.77) p = ρ ω2 2 (x2 + y 2 ) ρgz + c (3.78) Konstantu c nademo iz činjenice da u ishodištu tlak mora biti jednak atmosferskom (p = p a ):

60 44 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA O y r a y rω 2 x a x Slika 3.26: Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekućine oko vertikalne osi. Slika shematski prikazuje pogled na rotirajuću tekućinu odozgo. c = p a (3.79) Nadalje, i na cijeloj slobodnoj plohi je tlak jednak atmosferskom, što daje sljedeću relaciju: p a = ρ ω2 2 (x2 + y 2 ) ρgz + p a (3.80) odakle se sredivanjem dolazi do jednadžbe slobodne plohe: z = ω2 2g (x2 + y 2 ) = ω2 2g r2 (3.81) Ovo je jednadžba rotacijskoga paraboloida, s vertikalnom osi i tjemenom u ishodištu! U presjeku (slika 3.27) vidi se parabola, i definira se visina spuštanje nivoa tekućine na osi rotacije (=sredina posude!), h C i visinu podizanja tekućine na rubu posude, h R. Njih se nalazi iz uvjeta sačuvanja ukupnoga volumena tekućine (volumen dijela tekućine koji se izdigao iznad nivoa tekućine u situaciji kad ona ne rotira, mora biti jednak volumenu prostora koji tekućina u rotaciji oslobodi uz os posude): R 2 πh = R 2 π(h h C ) + R 2 π(h R + h C ) 1 2 R2 π(h R + h C ) (3.82) Tu se skoristi činjenica da je volumen rotacijskoga paraboloida jednak polovici volumena opisanoga valjka: pa je na kraju: V par = 1 2 V cil = 1 2 hr2 (3.83)

61 3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 45 h R h C h 0 (visina bez rotacije) Slika 3.27: Oblik površine tekućine kod rotacije oko vertikalne osi. R Kako je: h R = h C (3.84) z max = h R + h C (3.85) može se postaviti i sljedeću relaciju (z max smo mjerili od tjemena rotacionog paraboloida a ne od razine tekućine u posudi bez rotacije!): h R = h C = 1 2 z max (3.86) Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi Ako je posuda zatvorena i u cijelosti ispunjena tekućinom, nema mjesta za promjenu oblika dodirne plohe tekućine i okoline. No, i u ovom slučaju, zbog rotacije, dolazi do porasta tlaka zbog djelovanja centrifugalne sile, a analognim izvodom se dobije da je (vidi sliku 3.28) on opisan slijedećim jednadžbama: p hr = p h + ρ ω2 r 2 2g p = ρ ω2 r 2 2g (3.87) (3.88) Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu U svim situacijama kod koje dolazi do promjene smjera toka fluida, javljaju se porasti tlakova u fluidu slični onima kod rotacije fluida. Primjerice u cjevovodu se opaža porast tlaka na vanjskoj stijenci lukova, koljena i drugih elemenata koji mijenjaju smjer toka fluida.

62 46 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA p h r p hr ω=konst. Slika 3.28: Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi. Kako se svakoj takvoj promjeni smjera može pridružiti lokalni polumjer zakrivljenosti staze čestica fluida, jasno je da se ovakvim problemima može pristupiti na način koji se koristi kod opisivanja efekata rotacije tekućine u posudi.

63 3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 47 Slika 3.29: Porast tlaka kod promjene smjera tečenja može se objasniti silama kod rotacije tekućine.

64 48 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA

65 Glava 4 Kinematika fluida Kinematika fluida dio je kinematike koji se bavi gibanjima fluida. Kinematika pri tom samo proučava gibanje, a ne ulazi u njegove uzroke, i bavi se zakonitostima tog gibanja. Fluid se smatra kontinuumom i koristi se pojam čestice fluida, koja je definirana kao maleni volumen fluida konstantne mase. Postoje dva pristupa opisivanju gibanja fluida: Lagrangeov (ili supstancijalni) pristup te Eulerov (ili lokalni) pristup. Kod Lagrangeovog pristupa gibanje se proučava vežući se za česticu fluida, a kod Eulerovoga pristupa gibanje je promatrano iz neke fiksne točke u prostoru. 4.1 Lagrangeov (supstancijalni) pristup z x y R(t 1 ) R(t 3 ) R(t 2 ) v v v Slika 4.1: Kod Lagrangeovoga pristupa problemima gibanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu česticu fluida i s njom putujemo kroz prostor. Kod Lagrangeovog pristupa problemima gibanja fluida veže se na neku proizvoljnu česticu fluida i prati se njeno gibanje kroz prostor. Sama čestica pri tome je odredena svojim položajem u nekom početnom vremenu t o : R(t) = f( R(t ), t) (4.1) 49

66 50 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih veličina na mjestu na kojem se u tom trenutku čestica nalazi. Drugim riječima, putuje se kroz prostor zajedno s tom česticom fluida. Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje onda je neka funkcija trenutnog položaja čestice i vremena. Primjerice brzinu se može izraziti kao vektorsku funkciju oblika: v = g( R( R(t ), t)) (4.2) Ovaj kompleksni općeniti izraz za brzinu daje za naslutiti veliki nedostatak Lagrangeovoga pristupa: veliku matematičku kompleksnost formulacije problema. Ne samo da je v funkcija 4 varijable (3 položajne i vremena) nego je vremenski promjenjivi radijus-vektor čestice u argumentu te funkcije. Kako se trenutni položaj nekoga tijela nalazi integracijom brzine po vremenu, bit će sasvim jasno koliko kompleksno može biti rješavanje problema u ovoj formulaciji. Iz ovog razloga će se u ovom tekstu koristiti isključivo Eulerov pristup problemu gibanja fluida. 4.2 Eulerov (lokalni) pristup z y x R M M v Slika 4.2: Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu točku prostora i promatramo kako se fluid kroz nju giba. Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida veže se na neku proizvoljnu, nepomičnu točku prostora i promatra se kako se fluid kroz nju giba. Matematički je problem sad znatno jednostavniji jer je položaj te točke konstanta (doduše vektorska): R M (t) = R M (t o ) = R M (4.3) Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih veličina na mjestu točke M. Drugim riječima, promatra se kako fluid struji kroz tu nepomičnu točku. Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje u ovom je slučaju funkcija radijus-vektora te točke i vremena. Primerice brzinu se može izraziti kao vektorsku funkciju oblika: v = f( R M, t) (4.4)

67 4.2: EULEROV (LOKALNI) PRISTUP 51 Kako je R M konstantan u vremenu, ovo je u stvari eksplicitna funkcija vremena, s kojom je matematički mnogo lakše raditi nego sa implicitnim funkcijama karakterističnim za Lagrange-ov pristup. Ako dozvolimo da je položaj točke R M u prostoru proizvoljan, i radi preglednosti ga opišemo radijus-vektorom R, fizikalne varijable postaju funkcije 3 koordinate i vremena, primerice: v = v(x, y, z, t) (4.5) v x = v x (x, y, z, t) v y = v y (x, y, z, t) v z = v z (x, y, z, t) (4.6) Trenutni iznos brzine i njezin smjer nalazimo upotrebom poznatih relacija vektorske matematike: v = v 2 x + v 2 y + v 2 z (4.7) v = v x v i + v y v j + v z v k (4.8) R(t) Slika 4.3: Za opažača na obali optjecanje vode oko trupa broda je nestacionarno jer se slika koju vidi s vremenom mijenja (brod mijenja svoj položaj u prostoru). Ukoliko se trenutni iznos brzine ili njezin smjer u danoj točki prostora s vremenom mijenjaju, kaže se da je takvo tečenje nestacionarno. U suprotnom slučaju tečenje je stacionarno. Stacionarnost/nestacionarnost nekoga problema nije apsolutno, nego može ovisiti o izboru koordinatnoga sustava u kojem se dani problem proučava. Ako je moguće, koordinatni sustav bira se tako da je u njemu problem stacionaran (v. slike 4.3 i 4.4).

68 52 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA Slika 4.4: Za opažača na pramcu broda optjecanje vode oko trupa broda je stacionarno jer se slika koju vidi s vremenom ne mijenja (slika strujanja oko pramca broda uvijek je ista). 4.3 Prikazivanje (vizualizacija) tečenja t=t 1 t=t 2 t=t 3 t=t 4 t=t 5 itd... Slika 4.5: Ako se zabilježi putanja koju neka odredena čestica fluida opiše prilikom svoga gibanja kroz prostor dobit će se glatka krivulja koju nazivamo staza čestice fluida. Zamislimo si da smo na neki način obilježili jednu odabranu česticu fluida. Ako bilježimo njen položaj kao funkciju vremena, dobit ćemo prostornu krivulju koja se naziva staza (putanja) čestice u prostoru (vidi sliku 4.5). S druge strane, ako u neku točku toka ubacujemo obilježivač (marker), pa u nekom vremenskom trenutku zabilježimo trag koji taj obilježivač ostavlja, opet će se dobiti neka glatka prostorna krivulja (vidi sliku 4.6). U praksi se u tok tekućine ubacuje boja ili sitne čestice neke krute tvari, a u tok plina dim ili vodena para. Ovako dobivena krivulja naziva se strujnica i ona prikazuje smjer gibanja mnoštva čestica u jednom odredenom vremenskom trenutku. Pritom je svaka sljedeća čestica na vektoru brzine one prethodne (vidi sliku 4.7).

69 4.3: PRIKAZIVANJE (VIZUALIZACIJA) TEČENJA 53 Promjenom točke u koju ubacujemo marker, mijenja se i strujnica i njezin oblik, u toku dakle postoji mnoštvo (matematički gledano, beskonačno mnoštvo) strujnica. čestica A B C D E itd... Slika 4.6: Ako se u jednom trenutku obilježi položaje mnogo čestica fluida, a pri tom je svaka slijedeća čestica u smjeru vektora brzine one prethodne, dobit će se glatka krivulja koju nazivamo strujnica. Slika 4.7: Zamišljeni postupak konstrukcije strujnice. Sljedeća čestica fluida koja pripada strujnici je na vektoru brzine prethodne čestice. Iz same definicije strujnice, ali i iz praktičnih pokusa koji ocrtavaju njezin oblik jasno je da je trenutna brzina neke čestice na strujnici u smjeru tangente na tu strujnicu u točki u kojoj se u taj tren čestica nalazi. Nadalje, pokusi pokazuju da kod nestacionarnoga tečenja strujnice stalno mijenjaju svoj položaj i oblik, dok su kod stacionarnoga toka uvijek iste i nepomične. Matematički se može pokazati da se u slučaju stacionarnoga toka strujnice i staze čestica medusobno podudaraju. Kod nestacionarnoga tečenja one su uvijek različite. Koncept strujnice izuzetno je važan jer omogućava vizualizaciju jednoga od glavnih parametara toka: smjera lokalne brzine. Ako je to potrebno, i iznos brzine može se prikazati

70 54 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA na istoj slici tzv. ekvipotencijalnim plohama o kojima će više riječi biti kod potencijalne teorije tečenja Strujna cijev i strujno vlakno A A' Slika 4.8: Kod stacionarnoga toka sve strujnice koje prolaze kroz neku plohu A, prolaze i kroz plohu A i u prostoru zauzimaju cjevasti volumen koji se naziva strujna cijev. Kod laminarnoga toka se vidjelo, a kasnije i teoretski provjerilo za sve stacionarne tokove, da sve strujnice koje prolaze kroz neku površinu ostaju udružene, i da je njihov presjek u bilo kojoj točki niz tok takoder neprekinuta površina. To je dovelo do definicije strujne cijevi: strujna cijev je cjevasti oblik koji tvore sve strujnice koje prolaze kroz neku plohu A. Pokazuje se da sve te strujnice prolaze kroz plohu A koja se može nalaziti bilo gdje niz tok od plohe A. Ta ploha može imati različitu površinu i oblik od plohe A, ali i dalje kroz nju prolaze sve (i samo te!) strujnice koje prolaze kroz plohu A. Strujnica koja prolazi kroz sredinu (matematičko težište) plohe A naziva se os strujne cijevi. U teoretskim računima se koristi i koncept strujnoga vlakna. Radi se o strujnoj cijevi kod koje je površina A infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike površine A, obično i označava s da. Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih veličina kojima se dani tok opisuje na infinitezimalno maloj površini da konstantne, što omogućava izvodenje teorijskih proračuna. 4.4 Izvori i ponori Po jednadžbi kontinuiteta masa fluida je sačuvana, tj. ne može niti nastati, ni nestati. Iako je to strogo gledano točno, neki puta je jednostavnije u teorijsko razmatranje uključiti i mogućnost da masa fluida nastaje ili nestaje iz sustava koji se analizira. U tim slučajevima ne radi se o stvarnom kreiranju ili uništavanju fluida, već o tome da fluid na nekom mjestu može ulaziti u sustav koji se proučava, a na drugom iz njega izlaziti. Primjerice, ako se proračunava neki cjevovod, nije važno kako i odakle dolazi tekućina koja u cjevovod ulazi, kao ni to kamo ona odlazi kada na drugom kraju cjevovoda iz njega izade. Mjesta na kojima fluid ulazi u sustav nazivaju se zajedničkim imenom izvori a mjesta na kojima fluid sustav

71 4.5: POTENCIJALNO STRUJANJE 55 da da' Slika 4.9: Ako se presjek strujne cijevi smanji na infinitezimalno malu površinu da, dobit će se tzv. strujno vlakno. napušta ponori. U teoriji se najčešće koriste elementarni (točkasti) izvori, tj. izvori u kojima fluid izlazi iz jedne točke u prostoru. Iako je fizikalno ovo nerealno, matematički je puno lakše raditi sa takvim elementarnim izvorima, a stvarne izvore se onda slaže od beskonačnoga broja elementarnih izvora rasporedenih tako da oponašaju realni izvor. Elementarni izvor je tzv. singularna točka (zbog nepostojanja konačne površine takvoga izvora, brzina istjecanja je u njemu beskonačna, zato naziv singularitet) i za njega jednadžba kontinuiteta ne vrijedi, odn. mora ju se modificirati da bi uključila i točke prostora u kojima postoje izvori ili ponori. Volumen fluida koji u jedinici vremena izade iz izvora naziva se izdašnost izvora, Q: slično, masena izdašnost izvora je: Q = dv fluid dt (4.9) Q M = ρqdt (4.10) da bi se novostvorenu masu moglo uzeti u obzir u jednadžbi kontinuiteta, mora se njenoj desnoj strani (koja je u slučaju striknog očuvanja mase jednaka nuli) dodati gustoću novostvorene mase (masu stvorenu po jedinici volumena i u jedinici vremena). Ona je jednaka: dm dv dt = Q M dv = ρq dv pa modificirana jednadžba kontinuiteta sad ovako izgleda: ρ t + (ρ v) = ρq dv (4.11) (4.12) 4.5 Potencijalno strujanje Strujanje fluida za koje se brzina može prikazati kao gradijent neke skalarne funkcije naziva se potencijalno strujanje, a skalarna funkcija iz koje se brzina izvodi naziva se potencijalna funkcija: v( r) = [U( r)] (4.13)

72 56 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA Ovakva strujanja mnogo se lakše analiziraju jer se umjesto vektorske funkcije u rješavanju problema traži skalarna funkcija, što je mnogo jednostavnije. Kad se nade potencijalna funkcija, brzina se iz nje lako nade preko gornje formule. Srećom se mnoga strujanja u prirodi barem u nekim svojim dijelovima mogu opisati kao potencijalna strujanja. 4.6 Strujanja u dvije dimenzije (2D) Već je napomenuto da je rješavanje problema u dvije dimenzije mnogo jednostavnije od rješavanja problema u tri dimenzije, pa se mnoga stvarna strujanja aproksimiraju sličnim strujanjima u dvije dimenzije. Teorijska razmatranja pokazuju da je to moguće ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti: fluid je neviskozan. fluid je nestlačiv. strujanje je stacionarno. strujanje je potencijalno. 2D strujanja imaju i tu prednost da se grafički lako mogu prikazati. U tu svrhu koriste se strujnice i ekvipotencijalne plohe, a smjer strujanja nalazi se u ravnini papira (crteža). Ekvipotencijalne plohe su (kao i kod elektriciteta ili gravitacije) plohe koje spajaju sve točke istog potencijala, i uvijek su okomite na strujnice (slika 4.10). strujnice ekvipotencijalne plohe Slika 4.10: Grafičko prikazivanje strujnica (pune linije) i ekvipotencijalnih ploha (crtkane linije) za 2D tok. Strujanje se uvijek odvija u ravnini skice.

73 4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D) Osnovna potencijalna strujanja u 2D Najjednostavnije potencijalno strujanje je jednoliko strujanje. Kod njega je brzina konstantna u svim točkama prostora: v r = 0 (4.14) No, to ujedno znači da je tok beskonačno velik, pa samo za sebe jednoliko strujanje nema veći značaj. Koristi se medutim kod problema optjecanja, gdje se radi pojednostavljenja uzima da objekt miruje, a fluid struji oko njega. Jednoliko protjecanje onda prikazuje polje brzina na vrlo velikim udaljenostima od objekta. Jednoliko strujanje prikazuje se paralelnim strujnicama istog razmaka. U stvarnosti zbog viskoznosti i s njome povezanoga otpora strujanju, u blizini rubova toka uvijek postoji raspodjela brzina. Kod te raspodjele je brzina na granici fluida i okolnog (krutoga) sretstva uvijek 0, a prema sredini toka raste na jednostavniji ili složeniji način (npr. v. sliku 4.11.). v Slika 4.11: Brzine laminarnog toka u cijevi imaju parabolični profil. U 2D slučaju cijev se zamjenjenjuje paralelnim pločama koje stoje okomito na ravninu toka. Elementarni izvor u 2D slučaju u stvari je linija okomita na ravninu toka (koja je po dogovoru x-y ravnina). Izdašnost izvora daje se po jedinici duljine te linije, pa je 2D dimenzija izdašnosti m 3 s 1 /m = m 2 s 1 o čemu treba voditi računa kod korištenja 2D modela. U blizini samog elementarnog izvora brzina je radijalna i u svim smjerovima jednaka (simetrija!). Za brzinu toka na udaljenosti r od izvora uz pomoć jednadžbe kontinuiteta daje se sljedeći izraz: v(r) = Q L 2rπ (4.15) Brzina u blizini izvora opada linearno sa udaljenošću od izvora (u 3D slučaju je ovisnost kvadratična!). Strujnice izvora izlaze iz izvora i radijalno se šire u svim smjerovima (slika 4.12.). U slučaju ponora fluid se giba prema njemu, strujnice ulaze u njega a izdašnost je negativna i opisuje koliko fluida u jedinici vremena ponor proguta. Brzina je: v(r) = Q L 2rπ (4.16)

74 58 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA v v Slika 4.12: U blizini elementarnoga izvora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka i usmjerena je radijalno od točke izviranja. usmjerena prema ponoru. Strujnice ponora ulaze u njega iz svih smjerova (slika 4.13.). Kako je brzina prikazana vektorskim poljem, razna se strujanja mogu vektorski zbrajati ili oduzimati. Mnoge matematički vrlo kompleksne probleme moguće je tako u 2D slučaju riješiti grafičkim metodama koje se oslanjaju na pravila vektorske algebre (v. sliku 4.14.).

75 4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D) 59 v v Slika 4.13: Kod elementarnoga ponora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka, ali je usmjerena radijalno prema točki poniranja. Slika 4.14: Vektorska se polja mogu zbrajati po pravilima vektorskoga računa, pa se osnovna strujanja koriste za prikazivanje mnogih složenih strujanja u stvarnosti. Pritom se stvarno strujanje (u ovom slučaju prikazano vektorima brzine strujanja) prikazuje kao vektorski zbroj nekoliko osnovnih strujanja.

76 60 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA

77 Glava 5 Zakon neprekidnosti (kontinuiteta) Promatra se neki fluid u gibanju. Negdje unutar toga fluida zamisli se infinitezimalo maleni volumen u obliku kvadra koji nepomično stoji u toku fluida (slika 5.1). Stranice toga malenog volumena postavit će se u smjeru koordinatnih osi i označiti ih sa dx, dy i dz. z dx 2 dy v 2x v = v(x,y,z) dz 1 ρ = ρ(x,y,z) v 1x y x Slika 5.1: Maleni volumen u toku fluida. Brzina strujanja opisana je vektorom v a gustoća fluida funkcijom ρ. Brzinu fluida opisat će se sa vektorskom funkcijom v(x, y, z), a lokalnu gustoću fluida funkcijom ρ(x,y,z), pri čemu treba imati na umu da ta gustoća ne mora biti konstantna. U prvom koraku brzina v će se rastaviti na njezine komponente v x, v y i v z. Nakon toga treba pogledati što se dogada sa x-komponentom brzine, v x. Ona je okomita na prednju (1) i stražnju plohu (2) razmatronoga volumena. Veličinu x-komponente brzine na plohi 1 označit će se s v 1x a njenu veličinu na plohi 2 s v 2x. Ako je razmak izmedu te dvije plohe (= dx!) malen, može se x komponenta brzine razviti u Taylorov red pa odbaciti više članove: v 2x = v 1x + v x dx (5.1) x pri čemu se koristi činjenica da je: 61

78 62 GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA) Na isti se način nalazi i gustoća fluida: v x = v x i (5.2) ρ 2 = ρ 1 + ρ dx (5.3) x Brzina toka nosi fluid kroz taj nepomični volumen. U nekom infinitezimalnom malenom vremenu dt kroz prednju plohu (1) u elementarni volumen ude volumen fluida koji je jednak umnošku površine prednje plohe, x komponente brzine toka na njoj i proteklog vremena: V 1 = dav 1x dt = dydzv 1x dt (5.4) y i z komponente brzine su paralelne sa spomenutom plohom pa ne doprinose toku fluida kroz plohu 1! Sada se uz pomoć gustoće odredi masa fluida koja je kroz plohu 1 ušla u elementarni volumen: m 1x = ρ 1 V 1 = ρ 1 dydzv 1x dt (5.5) Istovremeno je kroz plohu 2 iz volumena izašla masa fluida: m 2x = ρ 2 V 2 = ρ 2 dydzv 2x dt (5.6) Razlika ove dvije jednadžbe predstavlja masu fluida koja je u x-smjeru izašla iz elementarnoga volumena: dm x = m 2x m 1x = ρ 2 dydzv 2x dt ρ 1 dydzv 1x dt (5.7) sredivanjem i uvrštavanjem jednadžbi 5.1 i 5.3 dobija se sljedeći izraz: ( ) ρ dm x = v x x + ρ v x dv dt (5.8) x Na isti način je gubitak mase u y i z smjerovima opisan izrazima: i ( ) ρ dm y = v y y + ρ v y dv dt (5.9) y dm z = ( ρ v z z + ρ v z z ) dv dt (5.10) Ukupni gubitak mase iz elementarnoga volumena dv zbroj je gubitaka po pojedinim smjerovima: dm = dm x + dm y + dm z (5.11) Medutim, ako se u vremenu dt masa fluida unutar elementarnog volumena promijeni za dm, to se mora odraziti u smanjenju gustoće fluida u elementarnom volumenu dv jer je masa fluida sačuvana: dm = ρ dv dt (5.12) t

79 5.1: POSEBNI OBLICI JEDNADŽBE NEPREKIDNOSTI 63 Izjednačavanjem jednadžbi 5.11 i 5.12 i sredivanjem izlazi: ( ρ v x x + v ρ y y + v ρ z z + ρ vx x + v y y + v ) z = ρ z t (5.13) Izraz na lijevoj strani gornje jednadžbe pretstavlja masu fluida koja je izašla iz jediničnog volumena u jedinici vremena i naziva se divergencija toka mase. Jednadžbu 5.13 možemo mnogo jednostavnije zapisati u vektorskom obliku kao ρ + div(ρ v) = 0 (5.14) t što se neki puta piše i na ovaj način: ρ t + (ρ v) = 0 (5.15) Simbol naziva se nabla i pretstavlja tzv. diferencijalni vektorski operator = x i + y j + z k (5.16) Jednadžba 5.13 (5.14 odn. 5.15) je opća jednadžba kontinuiteta (sačuvanja mase). 5.1 Posebni oblici jednadžbe neprekidnosti Stacionarno strujanje U stacionarnim situacijama vremenske promjene fizikalnih parametara (u ovom slučaju gustoće) isčezavaju pa se jednadžba neprekidnosti pojednostavi: Tekućine div(ρ v) = 0 (5.17) Gustoća tekućina je praktički konstantna pa se njene malene promjene u realnim stuacijama potpuno zanemaruju. Uz ovo pojednostavljenje (ρ=konst.!), jednadžba neprekidnosti postaje div( v) = 0 (5.18) i ona u ovom obliku vrijedi i za nestacionarna (jer je gustoća i u vremenu konstantna!) i stacionarna strujanja Kvazi-jednodimenzionalni slučaj U jednodimenzionalnom ograničenju element volumena prelazi u element dužine, a element površine isčezava. Jednadžba 5.14 postaje ρ v x + v ρ x = 0 (5.19)

80 64 GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA) U slučaju tekućine jednadžba (5.19) prelazi u: ρ v x = 0 (5.20) s implikacijom da je v =konst. Ovo ne odgovara niti jednom realnom slučaju, pa kada se govori o jednodimenzionalnom (1D) strujanju u stvari se misli na strujanje koje se odvija samo u smjeru x-osi. To znači da v y i v z komponente brzine isčezavaju u cijelom prostoru. U tom slučaju elementarna površina da = dydz je uvijek okomita na brzinu a u vremenu dt kroz nju protekne masa fluida: dm = davρdt (5.21) Podijeli li se jednadžbu (5.12) sa dt dobije se tzv. maseni protok fluida: Q M = dm = davρ (5.22) dt Kako je da maleno, brzina i gustoća fluida na cijeloj toj površini su praktički konstantni, pa se može reći da je: Kod toga se često umnožak: Q M = konst. (5.23) dav = da dx dt = dv dt = Q (5.24) naziva volumnim protokom fluida, Q. Tako dugo dok je da maleno, izvedeni zaključci su ispravni i govori se o toku u strujnom vlaknu. Medutim, ako se gleda tok konačnih poprečnih dimenzija, gustoća i brzina preko poprečnoga presjeka toka A ne moraju biti konstantni. Situacija se rješava tako da se brzinu i gustoću stvarnog toka usrednjava preko površine A i tako dobivene srednje vrijednosti uvrštava u jedn Ona u tom slučaju prelazi u: Q M = dm dt A = vρda = v ρa = konst. (5.25) gdje su v i ρ srednje vrijednosti brzine i gustoće preko površine A. Jednadžba (5.25) pokazuje da je u 1D slučaju maseni protok konstantan po cijelom toku. Kao što je to prije napomenuto, ovdje se u stvari radi o kvazi-jednodimenzionalnom toku, dakle o toku koji se odvija u smjeru neke krivulje pa je za njegov opis dovoljna jedna koordinata (obično put prevaljen po krivulji) pri čemu sama krivulja može opisivati vrlo zamršeni put u stvarnom prostoru. Primjer upotrebe ove aproksimacije je tečenje kroz cjevovode koje tretiramo upravo na ovaj način. Kod toga se jednadžba (5.25) raspisuje za dva mjesta u toku, koja se označavaju brojevima 1 i 2, a znak srednje vrijednosti iznad simbola brzine i gustoće se ispušta: Q M = A 1 v 1 ρ 1 = A 2 v 2 ρ 2 (5.26) Treba zapamtiti da u gornjem slučaju v i ρ pretstavljaju srednje vrijednosti odgovarajućih fizikalnih veličina!

81 5.1: POSEBNI OBLICI JEDNADŽBE NEPREKIDNOSTI 65 U slučaju tekućine jedn. (5.26) se dodatno pojednostavi na: A 1 v 1 = A 2 v 2 = Q = konst. (5.27) pa je dakle i volumni protok konstantan, a maseni i volumni protok medusobno su proporcionalni: Q M = ρq (5.28)

82 66 GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA)

83 Glava 6 Dimenzionalna analiza Dimenzionalna analiza fizikalna je metoda za pronalaženje funkcionalnoga oblika raznih fizikalnih zakona korištenjem analize dimenzije fizikalne veličine koja se tim zakonom opisuje. Ona se zasniva na principu homogenosti. Taj princip govori da svi članovi jednadžbe koja opisuje neku fizikalnu pojavu moraju imati iste dimenzije. Uz princip homogenosti dimenzionalna analiza oslanja se i na princip analitičnosti prema kojem se svaka pojava može opisati nekom analitičkom funkcijom oblika: f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 (6.1) x 1, x 2,..., x n su fizikalne veličine o kojima ta pojava ovisi. Prednost dimenzionalne analize je da se relativno jednostavnim postupkom nalazi rješenje vrlo kompleksnih fizikalnih odnosa. Nedostatak joj je da ne može dati iznos konstante proporcionalnosti u jednadžbi koja opisuje analiziranu pojavu (množenje gornje jednadžbe bilo kojom konstantom ne mijenja je!). Nadalje, dimenzionalna analiza zahtijeva dobro poznavanje pojave koja se analizira i veličina o kojima ona ovisi. U protivnom je dobiveni izraz neupotrebiv. Ovisno o broju fizikalnih veličina x i o kojima ovisi analizirana pojava, postoje dva pristupa rješavanju problema dimenzionalnom analizom. Ako je broj tih veličina malen (najviše 3-4), jednadžbu (6.1) se rješava izravno, a ako je broj varijabli veći koristimo se tzv. π- teoremom o kojemu će biti više riječi kasnije. 6.1 Mali broj fizikalnih varijabli Jednadžbu (6.1) prvo se prepiše u eksplicitni oblik, npr. za slučaj 4 fizikalne varijable: x 4 = f(x 1, x 2, x 3 ) (6.2) x 4 je ovdje zavisna fizikana varijabla koja ovisi o tri nezavisne varijable x 1, x 2 i x 3! Poznato je (princip homogenosti) da dimenzije lijeve i desne strane ove jednadžbe moraju biti jednake, pa se u sljedećem koraku umjesto same veličine x 4 u lijevu stranu jednadžbe uvrštava njena fizikalna dimenzija, [x 4 ], a u desnu stranu dimenzije varijabli x 1, x 2 i x 3, ali potencirane na neke zasad nepoznate potencije a, b i c: [x 4 ] = [x 1 ] a [x 2 ] b [x 3 ] c (6.3) 67

84 68 GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA Primjer: brzina zvuka Zvuk je mehanički poremečaj (titranje) koji se širi kroz tvar. Poznato je da su promjene tlaka kod zvuka malene i da se zvuk kroz homogenu tvar širi konstantnom brzinom. Iz teorije titranja takoder se može vidjeti da je brzina reakcije tvari na neki poremečaj proporcionalna modulu elastičnosti (Youngov modul, E). S druge strane, tromost pomaknutoga dijela tvari proporcionalna je njezinoj gustoći, ρ. Koristeći ove podatke, slaže se pretpostavljena jednadžba za brzinu zvuka: v 0 = BE x ρ y (6.4) Tu je B bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti, koju dimenzionalna analiza ne može odrediti. x i y su racionalni brojevi. U idućem se koraku u ovu jednadžbu na mjesto fizikalnih veličina uvrštavaju njihove dimenzije: [v 0 ] = lt 1 [ρ] = ml 3 [E] = ml 1 t 2 (6.5) Ovdje m označava masu, l dužinu a t vrijeme. Nakon tog uvrštavanja dobije se dimenziona jednadžba: lt 1 = (ml 3 ) x (ml 1 t 2 ) y (6.6) nju se prvo sredi tako da se grupiraju eksponenti pojedinih osnovnih veličina: lt 1 = m x+y l (x+3y) t 2x (6.7) Sad se upotrijebi princip homogenosti: eksponenti osnovnih fizikalnih veličina moraju na obje strane jednadžbe biti jednaki. To sad daje odvojene jednadžbe za eksponente x i y: S rješenjem: x + y = 0 x 3y = 1 2x = 1 (6.8) x = 1 2 y = 1 2 (6.9) Činjenica da je rješenje jednoznačno, ukazuje da je dimenzionalna jednadžba formalno dobro postavljena (nije zaboravljena neka bitna fizikalna veličina, a nije ni uvrštena neka nebitna). U zadnjem koraku ovako dobivene koeficijente vraća se u početnu jednadžbu (6.4) čime se dobije općeniti izraz za brzinu zvuka: v 0 = B E ρ (6.10) Točnost ovako izvedena zakona i vrijednost konstante B mora se odrediti pokusima. Za tekućine se tako nalazi da je B = 1 a za plinove B = γ (omjer toplinskih kapaciteta plina, C p /C V ). Kod ovoga postupka postoji mogućnost da rješenje eksponenata nije jednoznačno. U slučaju da jednadžbe dadu manji broj rješenja, može se probati složiti jednadžba u kojoj članovi imaju sve dozvoljene (iste dimenzije!) kombinacije eksponenata, npr. : v 0 = i B i E x i ρ y i (6.11)

85 6.2: VELIKI BROJ FIZIKALNIH VARIJABLI 69 Neki od članova mogu se ukloniti uz pomoć fizikalnih argumenata, za što je potrebno mnogo iskustva i znanja. Ako se pak kao rješenje dobije cijela familija raznih eksponenata, to znači da početna jednadžba nije dobro postavljena, tj. da u njoj nedostaje neka bitna fizikalna veličina. 6.2 Veliki broj fizikalnih varijabli U slučaju većeg broja fizikalnih velična potrebnih za opisivanje neke fizikalne pojave koriste se tzv. π teorem (Vaschy-Buckinghamov teorem) kojeg ovdje nećemo dokazivati: π teorem: Izraz f(x i ) = 0 ne smije ovisiti o sustavu mjernih jedinica. riječima f je bezdimenzionalna funkcija! Drugim Odatle slijedi da se f može napisati kao: Φ(π 1, π 2,..., π n ) = 0 (6.12) gdje su π i bezdimenzionalni monomi složeni od varijabli x i. Uvodenje ovakvih monoma smanjuje broj argumenata funkcije Φ za broj osnovnih fizikalnih veličina koje su potrebne za opisivanje danog problema (obično 2-3, neki puta i više!). S druge strane, postupak je osjetljiv i često puta nepregledan pa ga je bolje prepustiti stručnjacima koji se bave ovim područjem, te prihvatiti zaključke do kojih su oni došli (npr. sljedeći primjer) Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz fluid Ovo je vrlo složen fizikalni problem koji teorijski ni izdaleka nije riješen. Zbog toga se i danas koeficijenti otpora odreduju eksperimentalno, a opći oblik zakona otpora dobiven dimenzionalnom analizom koristi se kao podloga za funkcionalni oblik eksperimentalno dobivenih podataka. Mnoštvo pokusa pokazuje slijedeće opće činjenice: otpor koji tijelo osjeća pri gibanju kroz fluid ovisi o gustoći fluida, ρ, brzini gibanja tijela, v i nekoj karakterističnoj dimenziji tijela, l. Nadalje je jasno da otpor ovisi i o viskoznosti fluida, µ. Otpor ćemo pretstaviti silom F koju tijelo osjeća pri gibanju kroz fluid. Funkcija f je dakle oblika: f(f, ρ, l, v, µ) = 0 (6.13) Vidi se da funkcija f ima 5 argumenata, od kojih su tri (ρ, l i v) osnovne fizikalne veličine, a dvije (F i µ) izvedene. Prema π teoremu je u funkciji Φ 5-3=2 monoma: Φ(π 1, π 2 ) = 0 (6.14) Svaki od ta dva monoma slaže se od jedne izvedene veličine i kombinacije svih osnovnih (u ovo slučaju 3) veličina: π 1 = F ρ x 1 l y 1 v z 1 π 2 = µρ x 2 l y 2 v z 2 (6.15) U slijedećem koraku radi se zasebna dimenzionalna analiza za svaki od ovih monoma: m 0 l 0 t 0 = (mlt 2 )(ml 3 ) x 1 ly 1 (lt 1 ) z 1 (6.16)

86 70 GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA m 0 l 0 t 0 = (l 2 t 1 )(ml 3 ) x 2 ly 2 (lt 1 ) z 2 (6.17) rješenje prvoga monoma je x 1 = 1, y 1 = 2 i z 1 = 2, pa je: π 1 = F ρl 2 v 2 = F ρav 2 (6.18) slično, rješenje drugoga monoma je x 2 = 0, y 2 = 1 i z 2 = 1, pa je: Funkcija Φ je ovoga oblika: Pa izraz za silu (traženi izraz za otpor tijela!) ima oblik: π 2 = µ lv = 1 R e (6.19) F Φ( ρav, 1 ) = 0 (6.20) 2 R e F = ρav 2 f(r e ) (6.21) Ako se stavi da je C(R e ) = 2f(R e ), dobija se poznata Newtonova formula za otpor tijela: F = 1 2 CρAv2 (6.22) Koeficijent C ovisi o R e i obliku tijela i odreduje se eksperimetalno.

87 Glava 7 Stacionarno tečenje idealnoga fluida Idealni fluid je svaki fluid koji ne pruža nikakav otpor tečenju. Viskoznost takvoga fluida ne postoji, a ova se idealizacija često puta koristi u jednostavnim računima i u situacijama kada gubici zbog unutarnjega trenja tekućine nisu veliki. Za idealni fluid vrijedi Eulerova jednadžba koju je mnogo lakše riješiti od jednadžbi za realne tekućine (tzv. Navier-Stokesove jednadžbe) Uz to u najvećem dijelu problema iz prakse, fluid teče stacionarno u polju sile teže. Zato se analizu počinje sa Eulerovom jednadžbom za polje sile teže (kvazi-1d oblik): v dp ρ + gz + v ds = konst. (7.1) t Kad je tečenje stacionarno, zadnji član lijeve strane otpada (jednak je nuli), pa se dolazi do kvazi1d Euler-ove jednadžbe za stacionarno tečenje: v 2 dp gz = konst. (7.2) ρ Nadalje, ako se zanemari stlačljivost fluida (uglavnom tekućine, i plinovi ako su promjene tlaka i temperature malene), gustoća je konstantna što omogućava formalnu integraciju gornje jednadžbe, s rezultatom: v p + gz = konst. (7.3) ρ Ova jednadžba naziva se Bernoullijeva jednadžba. Ona vrijedi za stacionarno strujanje nestlačivoga fluida i jedna je od najviše korištenih jednadžbi mehanike fluida. Ona rješava slučajeve u mehanici fluida kada se strujanje fluida može tretirati kao kvazi-jednodimenzionalno. Pogledajmo stoga malo detaljnije značenje pojedinih članova ove jednadžbe. Prvi član je: v 2 (7.4) 2 a ako njegova dimenzija u stvari odgovara dimenziji gustoće energije i predstavlja energiju jedinične mase fluida: m 2 s 2 = m 2 2 kg s kg = Nm kg = J kg (7.5) Kako se ova gustoća izvodi iz brzine, radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog brzine kojom se giba (kinetička energija). Drugi član Bernoullijeve jednadžbe je: 71

88 72 GLAVA 7: STACIONARNO TEČENJE IDEALNOGA FLUIDA koji po principu homogenosti takoder mora imati dimenzije gustoće energije: Pa kgm p ρ Nm 3 = kgm kg = J kg 3 = Nm 2 pri čemu je upotrebljena osnovna dimenzija Newtona kao jedinice za silu: (7.6) (7.7) N = kgms 2 (7.8) Ovaj dio energije dolazi od tlaka u fluidu, pa pretstavlja tzv. unutarnju energiju fluida. I na kraju, treći član je: gz (7.9) Dimenzija ovog člana je m 2 s 2 kao i dimenzija prvoga člana pa se i kod njega očigledno radi o gustoći energije. U ovom slučaju radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog svojega položaja u polju sile teže (tzv. potencijalna energija). Pogledajmo sad cijelu Bernoullijevu jednažbu. Njezina lijeva strana zbroj je tri gustoće različitih vrsta energije (kinetičke, unutarnje i potencijalne) a desna strana je konstana. Ova konstanta je ukupna gustoća energije fluida, što znaći da je gustoća ukupne enrgije fluida konstantna. Bernoullijeva jednadžba izriče zakon sačuvanja energije za nestlačivi fluid! 7.1 Ravnoteža u smjeru okomitom na strujnicu r da p α v Kod sta- Slika 7.1: Sile koje djeluju na česticu fluida u smjeru okomitom na strujnicu. cionarnog tečenja ove sile se moraju medusobno uravnotežiti. Kod stacionarnoga tečenja sile koje djeluju na česticu fluida okomito na strujnicu se moraju medusobno uravnotežiti jer se strujnica u vremenu ne mijenja. Radi jednostavnosti

89 7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA IDEALNE TEKUĆINE 73 je na slici 7.1 pretpostavljeno strujno vlakno kvadratičnoga presjeka i strujna čestica u obliku malena kvadra. Na bočne plohe strujne čestice djeluje tlak, centrifugalna sila i komponenta sile teže u smjeru normale odgovarajuće plohe. Ako je tlak na donju plohu p, onda je tlak na gornju plohu: p + p dn (7.10) n Komponenta sile teže u smjeru normale plohe je dmg cos α, pa je ravnoteža sila za gornju i donju plohu opisana sljedećim izrazom: pda ( p + p n dn ) da + dm v2 r Kako je masa čestice fluida dm = ρdadn izraz prelazi u: + dmg cos α = 0 (7.11) p z dnda + dadnρv2 dadnρg n r n = 0 (7.12) a nakon sredivanja ostaje: dp n = ρ v2 dn ρgdz (7.13) r Ukupna promjena tlaka okomito na smjer strujanja sastoji se od dva dijela (dva člana desne strane jednadžbe), od kojih se prvi naziva dinamički doprinos, a drugi statički. Dinamički doprinos promjeni tlaka dolazi od zakrivljenosti strujnice i s time povezane inercijske centrifugalne sile. Statički doprinos je jednostavno promjena hidrostatičkoga tlaka zbog promjene dubine u fluidu (dz). Kad strujanja nema, ili je strujnica ravna (r = ) dobije se od prije poznata jednadžba hidrostatičke ravnoteže: dp n = ρgdz (7.14) S druge strane, ako se strujanje odvija u horizontalnoj ravnini, nema promjene hidrostatskoga tlaka pa drugi član isčezava: dp n = ρ v2 dn (7.15) r Ova jednadžba naziva se jednadžba radijalne ravnoteže toka i od velike ja važnosti u 2D proračunima tečenja. U slučajevima kad strujnice postanu koncentrične kružnice (vrtlozi) ova jednadžba dodatno se pojednostavi: dp n = ρ v2 dr (7.16) r 7.2 Bernoullijeva jednadžba za idealne tekućine Bernoullijeva jednadžbu za nestlačivi fluid pomnoži se s g: v 2 2g + p ρg + z = z (m) (7.17)

90 74 GLAVA 7: STACIONARNO TEČENJE IDEALNOGA FLUIDA Lako se provjeri da svi članovi sad imaju dimenzije duljine. Shodno tome oni se nazivaju visine: v 2 /2g je brzinska visina p/ρg je tlačna visina z je geodetska visina z je visina energetskog horizonta (visina energetske linije) Drugim riječima, zbroj brzinske visine, tlače visine i geodetske visine jednak je (konstantnoj) visini energetskog horizonta. Nadalje, zbroj tlačne i geodetske visine naziva se piezometarska visina. To je visina do koje se podiže tekućina u piezometru, pa ovaj pojam ima veliko praktično značenje, jer se piezometarska visina može izravno mjeriti. I ovaj oblik Bernoullijeve jednadžbe opisuje sačuvanje ukupne energije tekućine, iako je on skriven (svi članovi imaju dimenziju dužine). No, spretnim raspisivanjem te dimenzije nalazi se: m = m N N = J N = J G G = kg 1 g (7.18) Pojedini članovi predstavljaju dakle odgovarajuće energije izražene po težini jedinične mase tekućine. Ovaj se oblik Bernoullijeve jednadžbe u praksi najčešće koristi jer se piezometarska visina može jednostavno i izravno mjeriti, a slično je i sa ostalim visinama koje ulaze u ovaj oblik Bernoullijeve jednadžbe. Kod korištenja Bernoullijeve jednadžbe za rješavanje problema u praksi promatraju se dvije pogodno odabrane točke na strujnici. Kako je i gustoća tekućine i energetska vsina konstantna, raspisivanje Bernoullijeve jednadžbe za te dvije točke i izjednačavanje lijevih strana daje praktični oblik Bernoullijeve jednadžbe: v 2 1 2g + p 1 ρg + z 1 = v2 2 2g + p 2 ρg + z 2 (7.19) 1 i 2 su bilo koje dvije točke na (istoj!) strujnici. U ovoj činjenici je sakriven i najveći problem Bernoullijeve jednadžbe: ona vrijedi samo za jednu točno odredenu strujnicu, a najčešće se ne zna točan tok te strujnice kroz prostor! Ovaj se problem u praksi zanemaruje (inače se ne bi mogla koristiti Bernoullijeva jednadžba) a račun se radi sa srednjim vrijednostima veličina koje u Bernoullijevu jednadžbu ulaze. Mnoštvo teoretskih i eksperimentalnih istraživanja pogreške koja se takovim načinom računanja radi pokazalo je da najveću pogrešku unosi upotreba srednje vrijednosti brzine. Zato treba doći do približne ocjene veličine te pogreške. Pritom se kreće od toka kinetičke energije kroz strujno vlakno: pri čemu je protok mase opisan sa: de k dt = dm v2 2 dt 2 (7.20) dm dt = ρdv dt = ρdav dt spajanjem ove dvije jednadžbe izlazi: (7.21) de k dt = ρ 2 v3 da (7.22)

91 7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA IDEALNE TEKUĆINE 75 Za cijeli presjek toka ovaj izraz mora se integrirati preko površine presjeka toga toka: d dt (E k) = ρ v 3 da (7.23) 2 A Provede li se li ovu integraciju sa srednjom vrijednosti brzine (koja je konstanta!) dobije se: d dt (Ēk) = ρ 2 v3 A (7.24) matematički se može pokazati da je integral sa pravom vrijednošću brzine uvijek veći od rezultata dobivenoga srednjom vrijednosti brzine: a omjer koji opisuje razliku ova dva rezultata: A α = v 3 da > v 3 A (7.25) A v3 da v 3 A > 1 (7.26) naziva se Coriolissov koeficijent. Želi li se izbjeći pogreške nastale upotrebom srednjih vrijednosti u Bernoullijevoj jednadžbi mora se njezine brzinske članove popraviti upotrebom ovoga koeficijenta: odnosno, u praktičnom obliku: α v2 2g + p ρg + z = z (7.27) α 1 v 2 1 2g + p 1 ρg + z 1 = α 2 v 2 2 2g + p 2 ρg + z 2 (7.28) što naravno pretpostavlja da je njegova vrijednost barem približno poznata. Ako nije, ostaje da se pretpostavi δ = 1 i na neki drugi način pokuša ocijeniti učinjenu pogrešku. U slučaju kad se strujanje zaustavi Bernoullijeva jednadžba prelazi u jednadžbu hidrostatske ravnoteže: p = ρg(z z) (7.29) Slika 7.2 zorno prikazuje značenje pojedinih članova Bernoullijeve jednadžbe za idealne tekućine. I energetska i geodetska visina mjere se od tzv. referentne ravnine koja se obično postavlja kroz ili ispod najniže točke. Time je osigurano da su te visine u svim točkama problema pozitivne. Standardna referentna ravnina je ploha geoida koja predstavlja zamišljen srednju razinu morske površine, a visine mjerene prema njoj nazivaju se nadmorske visine. Kako je za idealnu tekućinu ukupna energija sačuvana, energetska linija je horizontalna, na visini z o, sa koje počinje tok tekućine. Kao što je to već napomenuto, za račun se uzima srednje vrijednosti veličina za os strujne cijevi za koju se rješava Bernoullijeva jednadžba. Kako se hidrostatski tlak pojavljuje na obje strane praktične Bernoullijeve jednadžbe, može ga se izražavati kao apsolutni ili kao relativni tlak, jer se konstatna razlika medu njima krati, ali u tome se treba biti konzistentan. Za rješavanje praktičnih problema koristi se praktični oblik Bernoullijeve jednadžbe za dvije pogodno odabrane točke na osi strujne cijevi (slika 7.3). Prva se točka obično bira tako da se

92 76 GLAVA 7: STACIONARNO TEČENJE IDEALNOGA FLUIDA energetska linija piezometarska linija z o 0 0 Slika 7.2: Grafički prikaz Bernoullijeve jednadžbe za idealne tekućine. Sve visine vežu se za os strujne cijevi. z 1 2 z o z Slika 7.3: Grafički prikaz praktičnoga oblika Bernoullijeve jednadžbe za idealne tekućine. Jednadžbu se postavlja za dvije točke (1 i 2) na osi strujne cijevi, odn. za odgovarajuće ravnine presjeka toka, ravninama kroz te dvije točke. z 2 za nju znaju vrijednosti svih relevantnih visina, pa se onda uz pomoć praktične Bernoullijeve jednadžbe nalaze vrijednosti tih veličina u drugoj točki. Tu je često puta uz Bernoullijevu jednadžbu potrebno koristiti i jednadžbu kontinuiteta, radi odredivanja srednje brzine toka u drugoj točki. Cijeli se postupak u toku rješavanja postavljenoga problema često ponavlja mnogo puta za različite točke toka.

93 Glava 8 Stacionarno tečenje realnoga fluida U mnogim realnim situacijama nije moguće zanemariti viskoznost fluida koji teče. Zbog viskoznosti dolazi do trenja izmedu čestica fluida i okolnih objekata, kao i izmedu pojedinih čestica fluida, što kao i kod trenja krutih objekata rezultira stvaranjem topline i gubitkom dijela energije fluida. Mnogobrojni pokusi, uglavnom bazirani na originalnom Newton-ovom pokusu pokazali su da se viskozna sila može prikazati kao umnožak tangencijalnoga naprezanja i (tangencijalne) površine na koju to naprezanje djeluje: F vis = τa (8.1) U slučaju da se radi o čestici fluida, viskozna slika djeluje na njeno bočno oplošje da = dods pa je viskozna sila opisana sa: df vis = τdods (8.2) da bi gubitak energije zbog ove viskozne sile pretvorio u gubitak energetske visine, mora se rad koji ta sila učini na putu ds podijeliti s težinom čestice ρgdv : dh vis = df visds ρgdads = df vis ρgda (8.3) Prema tome, posljedica viskoznosti fluida je gubitak energije fluida. Ovaj gubitak odvija se u smjeru tečenja pa se energija realne tekućine uvijek smanjuje u smjeru u kojem se tok odvija. 8.1 Bernoullijeva jednadžba za realne tekućine Viskozne gubitke energije kod tečenja realnih tekućina najčešće se opisuje ukupnim gubitkom nastalim izmedu dva presjeka toka, koji se, izražen kao gubitak energetske visine, dodaje desnoj strani praktičnoga oblika Bernoullijeve jednadžbe: v 2 1 2g + p 1 ρg + z 1 = v2 2 2g + p 2 ρg + z 2 + H (8.4) Ovaj gubitak uvijek je veći od nule (trenje uvijek pretvara dio raspoložive energije u toplinu) pa je u presjeku 2 ukupna energetska visina tekućine smanjena za iznos gubitaka H. kod realnih tekućina ukupna energija tekućine se u smjeru toka stalno 77

94 78 GLAVA 8: STACIONARNO TEČENJE REALNOGA FLUIDA 1 2 H z o E z z z 2 Slika 8.1: Grafički prikaz praktičnoga oblika Bernoullijeve jednadžbe za realne tekućine. Ukupni gubici energije nastali izmedu presjeka 1 i 2 opisuju se smanjenjem energetske visine za visinu gubitaka H. smanjuje!. Gore navedeni oblik Bernoullijeve jednadžbe naziva se Bernoullijeva jednadžba za realne tekućine Odredivanje gubitaka Bernoullijeva jednadžba za realne tekućine omogućava nam i praktično odredivanje gubitaka. Pritom se mora osigurati da je tečenje stacionarno (=konstantan protok kroz cjevovod). Na mjestima 1 i 2 se prvo izmjeri piezometarske visine h p : ( h p = z + p ) ρg (8.5) Nakon toga se pomoću jednadžbe kontinuiteta odredi srednje brzine toka na tim mjestima (uz pretpostavku da je poznat protok kroz cjevovod, a koji se lako može izmjeriti): v 1 A 1 = v 2 A 2 = Q (8.6) a onda se, uz pomoć Bernoullijeve jednadžbe za realne tekućine, odredi gubitak energetske visine: H = ( v 2 1 2g + p ) ( 1 v 2 ρg + z 1 2 2g + p ) 2 ρg + z 2 jednadžbu (8.7)može se pojednostaviti uvrštavanjem izmjerenih piezometarskih visina: H = ( ) ( ) v 2 1 v 2 2g + h p1 2 2g + h p2 (8.7) (8.8) Kod stvarnih mjerenja ove vrste najčešće se koriste cijevi konstantnoga presjeka, jer je u tom slučaju srednja brzina toka svugdje jednaka, a gubici se nalaze vrlo jednostavno kao razlika izmjerenih piezometarskih visina:

95 8.1: BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA REALNE TEKUĆINE 79 H = h p1 h p2 (8.9) Gubitak energetske visine izražen po jedinici duljine toka naziva se energetski gradijent ili energetski pad: I e = H l (8.10) gdje je l dužina toka na kojoj nastaje gubitak h 1,2. Slično, gubitak piezometarske visine izražen po jedinici duljine toka naziva se piezometarski gradijent (pad) ili hidraulički gradijent: I p = h p1 h p2 = tan α (8.11) l koji se često puta izražava i kao tangens kuta nagiba piezometarske linije prema horizontali (α).

96 80 GLAVA 8: STACIONARNO TEČENJE REALNOGA FLUIDA

97 Glava 9 Tečenje kroz cijevi 9.1 Reynoldsov pokus v Slika 9.1: Reynoldsov pokus. U tok tekućine (plavo) u horizontalnoj cijevi ubacuje se tanka struja obojene tekućine (crveno). Položaj mjesta ubacivanja na presjeku cijevi može se mijenjati pomicanjem sustava za ubacivanje. Brzina tečenja regulira se otvaranjem ili zatvaranjem ventila na kraju cijevi. Teorijsko proračunavanje viskoznih gubitaka se pokazalo izuzetno kompleksnim, i mnogi problemi ni do danas nisu riješeni na zadovoljavajući način. Zbog toga se ovaj dio mehanike fluida i danas oslanja na rezultate iscrpnih pokusa i empirijske jednadžbe izvedene na osnovi njih. Praktične probleme tečenja realnih tekućina i danas najbolje ilustrira Reynoldsov pokus koji je prvi ukazao na promjenjivu prirodu tečenja, u ovisnosti o njegovoj brzini. Pokus je u osnovi vrlo jednostavan (v. sliku 9.1). U tok tekućine u dugoj, horizontalnoj i, radi mogućnosti opažanja, prozirnoj cijevi na njegovom se početku ubacuje tanki mlaz obojene tekućine. Protok se regulira otvaranjem i zatvaranjem ventila na kraju cijevi, a konstantni ulazni tlak osigurava se održavanjem konstantne razine tekućine u rezervoaru. Tanki mlaz obojene tekućine slijedi strujnicu na koju je ubačen i omogućava praćenje njezinoga oblika po dužini cijevi. 81

98 82 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI Kod malih brzina tečenja pokus je dao očekivani rezultat: strujnica je ravna i paralelna s osi cijevi. Njezin oblik ne ovisi o položaju strujnice unutar presjeka cijevi (slika 9.2). v Slika 9.2: Kod malih brzina tečenja Reynoldsov pokus pokus pokazuje da je strujnica ravna i paralelna s osi cijevi. Njen oblik ne ovisi o položaju strujnice unutar presjeka cijevi. Slika strujnica nadalje pokazuje da se čestice tekućine medusobno ne miješaju već teku jedna pored druge. Preslikano na kružni presjek cijevi, tekućina teče u slojevima (lamelama), pa se ovakav tok naziva laminarni tok. No, već i sa malim povećanjem brzine toka strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilna i počinje titrati, tj. mijenjati svoj položaj u vremenu (v. sliku 9.3). Pri tome slika strujanja u blizini stijenke cijevi i dalje ostaje nepromijenjena, tj. laminarna (v. sliku 9.4). Vremenska promjenjivost strujnice ukazuje na to da tok više nije stacionaran, o čemu će kasnije biti više riječi. Ovaj način tečenja naziva se prijelazni režin (prijelazni tok). v Slika 9.3: Kod nešto većih brzina tečenja strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilna i počinje mijenjati svoj oblik i položaj unutar toka.

99 9.1: REYNOLDSOV POKUS 83 v Slika 9.4: Istovremeno, strujnice u blizini stijenke cijevi i dalje ostaju nepromijenjene. Daljnje povećavanje brzine izaziva sve brže promjene oblika strujnice i to u cijelom presjeku toka (v. slike 9.5 i 9.6). Vrlo brzo, u smjeru toka, strujnica se gubi i tekućina je jednoliko obojena što nam govori da dolazi do medusobnog miješanja čestica tekućine. Detaljniji pokusi, uz upotrebu brzih kamera i posebnih tehnika praćenja čestica tekućine, pokazuju da u toku postoje jaka vrtloženja, pa se ovaj način tečenja naziva vrtložni ili turbulentni tok. v Slika 9.5: Kod još većih brzina strujanja dolazi do jakoga i brzog promjena oblika strujnice i vrlo brzo i do potpunoga miješanja tekućine. Na osnovi mnogo pokusa sa cijevima različitih promjera i uz različite brzine tečenja, Reynolds je empirijski ustanovio da je slika tečenja dva različita toka praktički ista, ako je omjer umnoška brzine i promjera cijevi sa koeficijentom viskoznosti tekućine za oba toka isti. Taj se omjer danas naziva Reynoldsov broj i definiran je kao:

100 84 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI v Slika 9.6: Slika miješanja je kod većih brzina ista u cijelom presjeku cijevi, sve do njezine stijenke. R e = vd (9.1) ν Rezultati pokusa su nadalje pokazali da je tok laminaran ako je R e < 2320, da je u prijelaznom režimu ako je R e 2320, te da je vrtložan ako je R e veći od Za cijevi čiji presjek nije okrugao, koristi se tzv. hidraulički radijus koji je definiran kao omjer presjeka toka i opsega tog presjeka (v. sliku 9.7): A O Slika 9.7: Hidraulički radijus cijevi proizvoljnoga oblika presjeka omjer je površine presjeka unutarnjeg otvora cijevi i njegovoga opsega. R h = A O (9.2)

101 9.2: GUBICI U CJEVOVODU 85 Za okruglu cijev je hidraulički radijus jednak polovici fizičkoga polumjera cijevi, o čemu itekako treba voditi računa! Ova nespretna razlika posljedica je povijesnog razvoja struke i danas ju je praktički nemoguće ispraviti. Kod upotrebe stručne literature treba pripaziti jer manji broj autora Reynoldsov broj nestandardno definira tako da hidraulički radijus okrugle cijevi bude jednak njenom fizičkom polumjeru. U ovom tekstu koristi se isključivo standardna definicija Reynoldsovog broja i hidrauličkog polumjera. R h = R2 π 2Rπ = R 2 (9.3) 9.2 Gubici u cjevovodu Cjevovod je sklop cijevi, ventila, račvi i ostalih elemenata cijevne armature kroz koji teče tekućina. I nadalje ćemo se držati zahtjeva da je tok kroz cjevovod stacionaran a tekućina nestlačiva. Prvi korak u teoretskoj analizi gubitaka u cjevovodu bit će analiza jednadžbe za gubitke izvedene iz Bernoullijeve jednadžbe: H = α 1v 2 1 α 2 v 2 2 2g + p 1 p 2 ρg + (z 1 z 2 ) (9.4) Ako Coriollisov koeficijent ne ovisi o brzini, što je ispunjeno u najvećem broju stvarnih situacija, prvi je član ove jednadžbe u potpunosti odreden geometrijom cjevovoda (preko jednadžbe kontinuiteta!), pa on ne može biti izvor gubitaka. Gubici se dakle moraju manifestirati u smanjenju sume zadnja dva člana, tj. u smanjenju piezometarske visine. To postaje još očitije ako se ograničimo na analizu cijevi konstantnoga promjera. Brzine su tada svugdje iste, pa se jednadžba gubitaka pojednostavi na: H = p 1 p 2 ρg + (z 1 z 2 ) = h p1 h p2 (9.5) Kod mjerenja otpora u cijevima, one se najčešće postavljaju vodoravno, pa i zadnji član otpada: H = p 1 p 2 ρg (9.6) Gubici zbog viskoznosti strujanja u cjevovodu dovode do pada hidrostatskoga tlaka u smjeru strujanja. Vidjet ćemo kasnije da osiguravanje dovoljnoga tlaka na izlasku iz cjevovoda (kod zadanoga maksimalnog protoka) jedan od najvažnijih zadataka konstruktora cjevovoda, koji u najvećom mjeri odreduje dimenzije cijevnih elemenata. Pogledajmo sad malo detaljnije tok u nekom malom dijelu horizontalne cijevi (v. sliku 9.8). Za česticu tekućine odabran je volumen omeden dvjema bliskim poprečnim presjecima cijevi, razmaknutima za dl. Na česticu djeluju tlačne sile i sila viskoznoga trenja na stijenci cijevi, pa je jednadžba ravnoteže sila: pa = τodl + (p + dp)a (9.7) što nakon sredivanja prelazi u izraz za smanjenje tlaka u cijevi: dp = τdl O A = τ R h dl (9.8)

102 86 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI τ v p p+dp τ dl Slika 9.8: Odabir čestice fluida za analizu viskoznih gubitaka u cijevi i sile koje na tu česticu djeluju. Kad bi se moglo odrediti iznos smičnoga naprezanja na stijenci cijevi τ, mogla bi se riješiti jednadžbu (9.8). Pokazalo se da to uopće nije trivijalno, pa ćemo se poslužiti dimenzionalnom analizom. Pretpostavi li se da je: na osnovi čega se dalje pretpostavi da je: τ = f(ν, ρ, v, R h ) (9.9) τ = kνρ x v y R z h (9.10) Ovdje se dodatno pretpostavlja da je smično naprezanje proporcionalno koeficijentu viskoznosti, inače bi se dobile tri dimenzione jednadžbe za četiri nepoznanice, što se ne može jednoznačno riješiti. Raspisivanje dimenzionalne jednadžbe daje: a nakon sredivanja: Odatle se nalazi: i ML 1 T 2 = (L 2 T 1 )(ML 3 ) x (LT 1 ) z (9.11) ML 1 T 2 = M x L 2 3x+y+z T 1 y (LT 1 ) z (9.12) x = 1 y = 1 z = 1 (9.13) τ = k νρv R h (9.14) Uz upotrebu hidrauličkog radijusa i Reynoldsovoga broja, odn. njihove veze ν R h = 4v R e (9.15)

103 9.2: GUBICI U CJEVOVODU 87 jedn. (9.14) postaje: τ = k 4 ρv 2 = 8k ρv 2 R e R e 2 Ovo se uvrsti u jednadžbu za pad tlaka (9.8), kojoj se promijeni predznak: (9.16) dp = τ dl = 8k ρv 2 dl (9.17) R h R h R e 2 Integracijom ovoga izraza po duljini cijevi dolazi se do izraza za ukupni pad tlaka na toj duljini: Ovdje se uvede konstanta: p = λ l ρv 2 4R h 2 (9.18) λ = 32k R e (9.19) koja se naziva bezdimenzionalni koeficijent trenja (koeficijent otpora strujanju) u ravnoj cijevi. Ako se ograničimo na okrugle cijevi, 4R h = d, gdje je d fizički promjer cijevi, pa jednadžba 9.8 postaje: p = λ l ρv 2 d 2 ili, izraženo u energetskim visinama: (9.20) v 2 H = λ l d 2g (9.21) ovo je Darcy-Wiessbachova formula za gubitke u cijevima. Po analogiji sa njom, i svi drugi gubici u dijelovima cjevovoda se prikazuju kao: H = ζ v2 2g (9.22) gdje je ζ bezdimenzionalni koeficijent otpora (koeficijent gubitka energije) za odgovarajući dio cjevovoda.

104 88 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI 9.3 Laminarno tečenje kroz cijevi Laminarno tečenje u stvarnosti se javlja samo kod vrlo malih brzina strujanja (gravitacijski pobudena strujanja, ako brzina nije prevelika), strujanja u kapilarama, kroz tkanine i filtere, kod procjedivanja podzemnih voda i kod tečenja viskoznih tekućina (med, lava, katran i smole). U svim drugim slučajevima realni fluidi teku vrtložno. Problem laminarnoga tečenja jedini se dade matematički u cijelosti točno opisati, pa se rješenja problema za laminarno strujanje često koriste kao predlošci za rješavanje problema u turbulentnom režimu. I ovdje će se analizu započeti od strujanja u cilindričnoj cijevi, ali će se drugačije odabrati česticu fluida: uzet će se da ona ima oblik cilindra, koaksijalnoga s osi cijevi i dužine l jednake razmaku dviju ravnina presjeka toka izmedu kojih se računaju gubici (slika 9.9). τ v p 1 p 2 τ l 1 2 Slika 9.9: Odabir čestice fluida za analizu viskoznih gubitaka kod laminarnoga tečenja kroz cijev. Tangencijalno naprezanje na bočnoj plohi čestice odredujemo uz pomoć Newtonovog zakona za tangencijalno naprezanje: τ = ρν dv dy (9.23) Kako analizirani problem ima rotacionu simetriju s obzirom na os cijevi, naprezanje je isto u svim točkama oboda cilindra koji predstavlja razmatranu česticu, pa je ukupna viskozna sila na česticu: F t = τa = 2πrlτ (9.24) kao i prije, viskozna sila je u ravnoteži sa razlikom tlačnih sila na baze čestice: pri čemu je razlika tlačnih sila: F t = F p (9.25) F p = (p 1 p 2 )A B = pr 2 π (9.26)

105 9.3: LAMINARNO TEČENJE KROZ CIJEVI 89 Izjednačavanje slika daje sljedeći izraz: koji nakon sredivanja postaje pr 2 π = 2πrlµ dv dy pr = lµ dv dy (9.27) (9.28) y r R Slika 9.10: Promjena koordinatnog sustava koja olakšava korištenje rotacione simetrije. Da bi se olakšao daljnji račun, promijeniti će se koordinatni sustav, i to tako da se ishodište spusti na donju stijenku cijevi. Kod toga x-koordinata ostaje nepromjenjena, a veza izmedu nove y-koordinate i udaljenosti od osi cijevi je: Ovom promjenom koordinata izraz (9.28) postaje: y = R r dy = dr (9.29) pr = 2lµ dv (9.30) dr Njega će se upotrijebiti da se nade brzinu strujanja u ovisnosti o koordinati y, a da se to postigne, prvo ga treba presložiti tako da se dobije izraz za derivaciju brzine: dv dr = pr 2lµ (9.31) koji se onda integrira preko površine presjeka toka, pri čemu se ne smije zaboraviti da je brzina ista u svim točkama jednako udaljenim od osi cijevi (simetrija!): v = p R r rdr = p 2lµ R 4lµ (R2 r 2 ) (9.32) Ovo je Hagen-Poiseullov zakon raspodjele brzine za laminarno strujanje. Maksimalna brzina je na osi cijevi (r = 0) i iznosi:

106 90 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI v max = p R 2 l 4µ a odnos brzine na polumjeru r prema maksimalnoj brzini je kvadratičan: (9.33) ( ) v r 2 = 1 (9.34) v max R v v max -R R r Slika 9.11: Profil brzine kod laminarnoga tečenja kroz cilindričnu cijev. Profil brzine je paraboličnoga oblika i prikazan je na slici Kako je brzina u svim točkama presjeka toka ovime poznata, može se naći i ukupni protok tekućine kroz cijev: odnosno: Q = R 0 Q = R 2 π Ranije se protok vezao za srednju brzinu: pa se izjednačavanjem nalazi: 2πrvdr (9.35) ( R 2 ) p 8µl (9.36) Q = R 2 π v (9.37) ili, jednostavnije: v = Q R 2 π = p R 2 l 8µ v = v max 2 (9.38) (9.39)

107 9.3: LAMINARNO TEČENJE KROZ CIJEVI 91 δ: Omjer srednje i maksimalne brzine naziva se koeficijent brzine β: β = v v max = 0, 5 (9.40) i za laminarno tečenje β = 0, 5. Iz brzine možemo točno odrediti i Coriollisov koeficijent α = A v3 da v 3 A = 2 (9.41) i očigledno je da se on kod laminarnoga strujanja ne smije zanemariti. okretanjem izraza za srednju brzinu nalazi i viskozni gubitak: p = ili, izražen kao gubitak energetske visine: Na kraju se l 8µ v (9.42) R2 h = l R 2 8ν v g (9.43) Usporedivanjem ovog izraza s općim izrazom za viskozne gubitke u cijevima (9.20) dolazi se do izraza za bezdimenzionalni koeficijet trenja za laminarno tečenje u cijevima: λ lam = 64 R e (9.44) U slučaju proizvoljnog oblika presjeka cijevi dolazi se do sličnih relacija, a opći laminarni koeficijent trenja može se izraziti kao: λ lam = ϕλ lam,cijev (9.45) gdje konstanta ϕ ovisi o geometrijskom obliku presjeka cijevi. Primjerice za cijevi pravokutnoga presjeka koeficijent ϕ prikazan je na slici 9.12, koeficijenti za neke posebne slučajeve tabelirani su u tablici 9.1. Tablica 9.1: Konstanta ϕ općega laminarnog koeficijenta trenja za razne oblike pravokutnoga presjeka cijevi. slučaj ϕ kružni presjek 1 paralelne ploče 1,5 kvadratni presjek 0,89 pravokutni presjek 1:0,44 1,00

108 92 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI 1,6 1,5 1,4 1,3 ϕ 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 b/a Slika 9.12: Konstanta ϕ općega laminarnog koeficijenta trenja za različite oblike pravokutnoga presjeka cijevi. a i b su stranice presjeka, a konstanta općega laminarnog koeficijenta trenja ovisi samo o njihovom omjeru, a/b. L lam Slika 9.13: Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev Duljina formiranja laminarnoga toka Laminarni (parabolični) profil brzine ne uspostavlja se odmah na mjestu ulaska tekućine u cijev, već je za njegovo formiranje potrebna odredena dužina toka. Pokusima je odredeno da je ta dužina približno: L lam = 0, 065dR e (9.46)

109 9.4: VRTLOŽNO (TURBULENTNO) TEČENJE KROZ CIJEVI Vrtložno (turbulentno) tečenje kroz cijevi v v t Slika 9.14: Kod vrtložnog toka brzina se u svakoj točki toka nepravilno mijenja i po iznosu i po smjeru. Zato se umjesto trenutne brzine v, koristi njena srednja vrjednost u vremenu, v. Vrtložni je tok u svojoj biti nestacionaran. Tečenje u prirodi obično se odvija s tako velikim brzinama da je tok uglavnom vrtložan. Primjerice za vodu koja teče kroz vodovodne cijevi, prijelaz iz laminarnoga u vrtložni režim toka dogada se već kod brzina od oko 0,1 cms 1 (cijev promjera 25 mm). Veliki problem pri analizi vrtložnoga režima tečenja predstavlja nepostojanje stalnih strujnica, što zorno pokazuje i ranije opisani Reynoldsov pokus. Strujnice kod vrtložnoga toka su nepravilne, vremenski promjenjive, te medusobno izmiješane i zapetljane. To praktički onemogućava analitičko rješavanje jednadžbi koje opisuju vrtložni režim toka. Da bi se ipak moglo doći do kakvih-takvih zaključaka o ponašanju fluida u ovom režimu, koristi se vremensko usrednjavanje fizikalnih veličina koje taj tok opisuju. Tako se umjesto trenutne vrijednosti brzine u nekoj točki toka (slika 9.14) koristi vremenski usrednjena brzina: odnosno, po komponentama: v = 1 T T 0 vdt (9.47) v x = 1 T v y = 1 T v z = 1 T T 0 T 0 T 0 v xdt v ydt v zdt (9.48) Usrednjavanje po vremenu uklanja vremensku ovisnost usrednjene veličine, (srednja vrijednost ne ovisi o vremenu!) pa tako nestacionarni problem prelazi u stacionarni (slika 9.15). Naravno, kod korištenja srednjih vrijednosti gubi se informacija o trenutnim vremenskim (ili prostornim vrijednostima, ako se usrednjavanje vrši preko prostornih dimenzija) vrijednostima usrednjene veličine, što uglavnom nije od presudne važnosti. Kod proračuna nekoga cjevoda uglavnom nas zanima protok koji taj cjevovod mora omogućiti, za što su dovoljne srednje vrijednosti brzine, a trenutne brzine toka u pojedinim točkama toka nisu bitne.

110 94 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI v x v x v x t=t 1 t=t 2 usrednjeno Slika 9.15: Trenutni profil brzine po presjeku toka (radi jednostavnosti prikazana je samo x-komponenta brzine) vremenski je promjenjiv. Usrednjavanjem se dolazi do srednje vrijednosti brzine, a kaže se da je vrtložni tok stacionaran ako je profil te srednje vrijednosti konstantan. Problem vrtložnoga tečenja svodi se dakle na potrebu da se pronade raspodjela srednje vrijednosti brzine na površini presjeka toka. Pogledajmo stoga jednu česticu fluida u blizini stijenke cijevi (slika 9.16). y 2 v x (y 2 ) v x (y 1 ) y x y 1 v x (y 1 ) Slika 9.16: U vrtložnom toku čestica fluida ima i komponente brzine okomite na smjer toka. Na slici je prikazana jedna čestica u trenutku kad ju vrtloženje nosi od stijenke cijevi prema njezinoj sredini. Kao prvo, postavit će se koordinanti sustav tako da mu x-os pokazuje u smjer toka, paralelno sa stijenkom cijevi, te da y-os pokazuje prema osi cijevi. Ishodište će se staviti na samu stijenku cijevi. Nakon toga odabere se neka proizvoljna čestica fluida u blizini stijenke cijevi, na udaljenosti y 1 od nje. Neka ta čestica ima x-komponentu brzine v x (y 1 ). Vrtlog će nakon nekoga vremena tu česticu odnijeti na udaljenost y 2 od stijenke cijevi. Brzina toka na toj udaljenosti od stijenke cijevi veća je jer se čestica sad nalazi bliže osi cijevi. Uz pomoć razvoja u red brzinu na ovom mjestu povezujemo sa brzinom na mjestu sa kojeg je čestica krenula: v x (y 2 ) = v x (y 1 ) + y d v x dy (9.49)

111 9.4: VRTLOŽNO (TURBULENTNO) TEČENJE KROZ CIJEVI 95 gdje je: y = y 2 y 1 (9.50) Zbog inercije čestica teži zadržavanju svoje početne brzine, pa je sporija od okolnoga fluida. Naravno da će se razlika brzine poništiti zbog djelovanja viskoznih sila, pa će čestica biti ubrzana na brzinu okolnog fluida. Pri tome okolni fluid to ubrzanje osjeća kao silu koja se odupire njegovom toku. U idućem će se koraku pokušati odrediti iznos te sile. Neka je y-komponenta brzine koja promatranu česticu nosi prema sredini toka v y. Ako na mjestu gdje se čestica nalazi tok se presiječe ravninom okomitom na y-os, čestica će zbog postojanja y-komponente brzine proći kroz tu ravninu. Ako na taj način u nekom kratkom vremenu dt kroz tu ravninu prema osi cijevi prode masa fluida dm y, maseni protok kroz tu ravninu (dakle protok u y-smjeru) će biti: dq M = dm y dt = da v y ρ (9.51) Zbog ubrzavanja na brzinu v x (y 2 ) dolazi do promjene količine gibanja: d(mv) dt = df = dm y dt [ v x(y 2 ) v x (y 1 )] (9.52) No, iz jednadžbe (9.49) se vidi da je razlika brzina na desnoj strani upravo jednaka: pa je nastala sila jednaka: v x (y 2 ) v x (y 1 ) = y d v x dy (9.53) df = da v y ρ y d v x dy (9.54) Tangencijalno naprezanje koje zbog ove sile nastaje odreduje se dijeljenjem sile sa površinom na kojoj ona djeluje: τ turb = df da = v yρ y d v x dy (9.55) Nadalje, zbog zakona kontinuiteta (sačuvanja mase), mora ukupni tok u y-smjeru isčeznuti, što znači da se na nekim mjestima u toku fluid u y-smjeru giba i od osi cijevi prema stijenci. Rezultati mnoštva pokusa pokazuju da su kod vrtložnih gibanja putanje čestica fluida približno kružne, pa tako istovremeno na jednom mjestu vrtloga neka masa fluida ide prema stijenci, a na drugoj strani vrtloga ista masa fluida se udaljava od nje. Ako je gibanje kružno, srednje vrijednosti x i y komponenti brzine su jednake (radi se sa apsolutnim vrijednostima komponenti), pa se pretpostavi da to približno vrijedi i za općenitiji slučaj. Ova pretpostavka omogućava da se nade srednja vrijednost brzine v y. Da bi se vidjelo kruženje čestice u vrtloženju, mora se gibati zajedno sa fluidom, dakle brzinom v x (y 1 ). To znači da je srednja vrijednost x-komponente brzine kruženja jednaka v x (y 2 ) v x (y 1 ), a po prethodnim zaključcima je ona jednaka srednjoj vrijednosti y-komponente brzine: v y = v x (y 2 ) v x (y 1 ) = y d v x dy (9.56)

112 96 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI S pomoću ovog izraza može se eliminirati y-komponentu brzine iz razmatranja, pa izraz za tangencijalno naprezanje postaje: ( ) 2 d τ turb = ρ( y) 2 vx (9.57) dy Kako će se od sada pa do kraja ovog računa upotrebljavati isključivo srednje vrijednosti brzina, ispustit će se oznaku za usrednjavanje da bi jednadžbe bile preglednije. Drugim riječima, simbol v će od sada označavati srednju brzinu (vremenski usrednjenu, a ona se i dalje može mijenjati preko presjeka toka). Razmatranje se nastavlja uzimajući u obzir gornju napomenu. Kao prvo, umnožak: y ( ) dvx = v tg (9.58) dy ima dimenziju brzine i naziva se prividna brzina tangencijalnoga naprezanja. Prividna zato, što se ne radi o nekoj izravno mjerljivoj brzini, već o matematičkoj konstrukciji koja ima dimenziju (a donekle i ulogu) brzine kod razmatranja tangencijalnoga naprezanja u slučaju vrtložnoga toka. Izraz za tangencijalno naprezanje postaje: τ turb = ρv 2 tg (9.59) Iako izgleda da se riješio problem tangencijalnoga naprezanja, to je samo na prvi pogled tako. Još uvijek se naime ne zna vrijednost y koja odreduje iznos prividne brzine tangencijalnoga naprezanja. Teoretski se ovu veličinu nije uspjelo odrediti, pa se mora posegnuti za rezultatima pokusa, koji se obično izražavaju u obliku tzv. iskustvenih (empirijskih) formula. Iskustvene formule su funkcionalne ovisnosti fizikalnih veličina dobivene traženjem funkcija i njihovih koeficijenata koje najbolje odgovaraju eksperimentalno dobivenim podacima. One dobro opisuju opaženo, ali nemaju teorijske podloge pa se ne zna sve fizikalne zakonitosti i procese koji do njih dovode. No, za praktičnu upotrebu, posebno u tehničkim znanostima, iskustvene formule su vrlo korisne i često puta nezaobilazne. Da se vratimo našem problemu, jedna od najčešće korištenih iskustvenih relacija za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja je Prandtlova relacija: y = ky (9.60) pri čemu je pokusima utvrdeno da se k uglavnom kreće izmedu 0,36 i 0,42. U teorijskim računima stoga se uglavnom koristi vrijednost k = 0, 40 (1/k = 2, 5) pa će se i ovdje koristiti tu vrijednost. 9.5 Profil brzine kod vrtložnog toka Kombiniranjem Prandtlove relacije (9.60) i izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja (9.58) dobije se: v tg = ky dv (9.61) dy što preslagivanjem i upotrebom vrijednosti k = 0, 40 daje: dv dy = 2, 5v tg (9.62)

113 9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLOŽNOG TOKA 97 odnosno, nakon integracije: v v tg = 2, 5 ln y + C (9.63) Nažalost, detaljnija analiza gornje jednadžbe pokazuje da ona ne može biti točna. Naime za stijenku cijevi (y=0!) gdje brzina toka mora biti jednaka nuli, gornji izraz daje beskonačnu brzinu i to u negativnom smjeru! Problem je u tome da se tijekom dosadašnjege razmatranja radilo kao da turbulentni tok postoji sve do same stijenke. I pokusi i fizikalni argumenti govore nam da to ne može biti točno. Naime zbog viskoziteta se fluid na stijenci lijepi za nju, pa uz samu stijenku brzina toka mora biti jako mala, što znači da će tečenje uz stijenku biti laminarno (Reynoldsov broj je uz stijenku vrlo malen). Tek sa udaljavanjem od stijenke može se očekivati da će povećanje brzine dovesti do postupnog razvoja vrtložnoga toka, što se detaljnim pokusima zaista i potvrdilo. Stvarna je situacija ilustrirana na slici v vrtložni tok zona miješanja C vrtložni profil laminarni profil B A granični laminarni sloj y o y Slika 9.17: Odredivanje brzine vrtložnoga toka u blizini stijenke cijevi. Uz samu stijenku, prema tome, uvijek postoji sloj fluida koji teče laminarno. Taj sloj naziva se granični laminarni sloj. Izvan tog sloja strujanje lagano prelazi u vrtložno, unutar sloja koji se naziva zona miješanja, a tek izvan nje postoji potpuno formiran vrtložni tok. U laminarnom graničnom sloju profil brzine je paraboličan, ali se može aproksimirati pravcem, jer je debljina graničnog sloja daleko manja od polumjera cijevi. S druge strane, u vrtložnom dijelu toka profil brzine je logaritamski. Taj profil u blizini stijenke siječe y-os u točki y o u kojoj vrtložna brzina isčezava. Rješenje problema sa negativnim vrijednostima koje uz stijenku daje izraz (9.63) je da od stijenke do točke B, u kojoj se ova dva profila brzine sijeku, koristi laminarni profil brzine, a od točke B pa sve do osi cijevi vrtložni. U stvarnosti je taj prijelaz postupan (nema loma u profilu brzine koji u ovom modelu imamo u točki B) i prikazan je crtkanom krivuljom koja ide od točke A do točke C. Za račun je pretpostavka ipak dovoljno dobra, pe se neće ići u dodatnu komplikaciju konstrukcije glatke krivulje koja povezuje točke A i C. Iz činjenice da izraz (9.63) isčezava u točki y o odredi se konstanta integracije: C = 2, 5 ln y (9.64)

114 98 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI pa je: v v tg = 2, 5 ln y y (9.65) Ni točku y o nije moguće odrediti teorijski, pa se opet mora upotrijebiti iskustveni izraz za nju. Tako je za cijevi s glatkim stijenkama (stijenke se smatra glatkima ako je njihova hrapavost toliko mala da ne utječe na tok u cijevi, o čemu će biti više riječi nešto kasnije) y o dan približnim izrazom (autor: Nikuradze): y 0, 108ν v tg (9.66) Tu je ν kinematički koeficijent viskozosti fluida. Izraz za brzinu time postaje: v = 2, 5 ln yv tg v tg ν + 5, 56 (9.67) a nepoznata je još brzina tangencijalnoga naprezanja. Da se nekako dode do nje, označi se prvo maksimalna brzina toka sa v max. Kako se zna da je brzina toka maksimalna u osi cijevi (tj. za y = R, gdje je R polumjer cijevi) može se iz izraza (9.67) napisati: v max = v tg ( 2, 5 ln Rv tg ν ) + 5, 56 v = v tg ( 2, 5 ln yv tg ν + 5, 56 ) (9.68) (9.69) Oduzimanjem (9.69) od (9.68) dolazi se konačno do formalnog izraza za profil brzine (u kojem je v tg još nepoznat): v = v max 2, 5v tg ln R y (9.70) I ovaj izraz ima problem da uz stijenku cijevi brzina ide u minus beskonačno. No, kako je točka (y o ) u kojoj brzina vrtložnoga strujanja postaje nula vrlo blizu stijenci cijevi, to će se u idućem koraku zanemariti. Uz pomoć ovog izraza za brzinu formalno će se izračunati protok kroz cijev, pri čemu se treba ograničiti na cijev kružnoga presjeka. U tom je slučaju protok kroz cijev: R Q = 2π v(r y)dy (9.71) 0 Uvrštavanjem izraza za brzinu (9.70) i integracijom konačno je: ( Q = πr 2 v m ax 15v ) tg 4 (9.72) Srednja brzina tečenja (u ovom slučaju brzina toka usrednjena preko površine presjeka cijevi!) nalazi se iz definicije protoka: v = Q A = v max 3, 75v tg (9.73) Gubici i koeficijent trenja cijevi vezani su izrazom (jedn. 9.18):

115 9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLOŽNOG TOKA 99 p = λ l ρv 2 4R h 2 (9.74) No s druge strane, gubici i smično naprezanje na stijenci takoder su u vezi preko (9.8): dp = τdl O A = τ R h dl (9.75) pa uz ograničenje za okrugli presjek cijevi (uz pomoć kojega se došlo i do izraza za srednju brzinu!) je : λ = 8 τ ρ v 2 (9.76) Ukupno naprezanje na stijenci cijevi, τ, zbroj je naprezanja u laminarnom sloju i naprezanja u vrtložnom dijelu toka. No, kako je laminarni sloj vrlo tanak, a brzine u njemu male, može se doprinos laminarnoga naprezanja zanemariti i ukupno naprezanje izjednačiti s vrtložnim naprezanjem. Uz ovu pretpostavku i definiciju prividne brzine tangencijalnoga naprezanja (9.58) dolazi se konačno i do izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja: v tg = 0, 353 v λ (9.77) Pomoću ovoga izraza relacije konačno se može naći veza izmedu srednje i maksimalne brzine: te koeficijent brzine: Coriollisov koeficijent: β = v = v max 1 + 1, 326 λ v v max = , 326 λ (9.78) (9.79) a na kraju i profil brzine kod vrtložnoga strujanja kroz cijev: α = 1 + 2, 7λ (9.80) [ v = v 1 + ( λ 1, , 04 log y )] (9.81) R Provjera pokusima pokazuje da ovaj teorijski profil odgovara onom koji se opaža u stvarnosti, a uz manje promjene koeficijenata slaganje je još bolje: [ v = v 1 + ( λ 1, , 15 log y )] (9.82) R Napominje se da male korekcije koeficijenata popravljaju netočnosti koje su se u teoretskom računu napravile zanemarivanjem malih doprinosa i aproksimacijama pojedinih izraza iskustvenim formulama. Preko raspodjele brzine, protoka i veze prosječne i maksimalne brzine vrtložnoga toka dolazi se i do izraza za koeficijent trenja glatke cijevi (glatkoća stijenke je bila jedna od pretpostavki pod kojima su se izvele sve dosadašnje formule!):

116 100 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI λg 1 = 2 log R e λg 2, 51 (9.83) Ovo je tzv. Prandtl-Karmanova formula. Njezin veliki nedostatak je da se mora rješavati iterativno, pa se u praksi često puta zamjenjuje jednostavnijom Blasiusovom formulom: λ g = 0, 3164R 1 4 e (9.84) koja vrijedi ako je R e < Uvrstimo li Blasiusovu formulu u izraz za profil brzine (9.81), dobija se vrlo jednostavan izraz za profil brzine: v = v max ( y R ) 1 7 (9.85) v v max -R R r Slika 9.18: Karmanov 1/7-ki profil brzine. Za usporedbu je crtkan naznačen i parabolični profil laminarnoga strujanja. Ovaj izraz za profil brzine naziva se i Karmanov 1/7-ki zakon. On je prikazan na slici (9.18). U usporedbi s laminarnim tokom, može se odmah zaključiti da je profil brzine vrtložnoga toka znatno ravniji, tj. u najvećem dijelu presjeka brzina toka vrlo malo odstupa od maksimalne, a naglo se smanjuje tek u blizini stijenke cijevi. Upotrebom Karmanova zakona može se dobiti i jednostavnije izraze za koeficijent brzine i Coriolissov koeficijent: β g 0, 84 ± 0, 04 α g 1 (9.86) Prema tome kod vrtložnog toka Coriolissov koeficijent u Bernoullijevoj jednadžbi slobodno se može zanemariti. Napominje se da je za formiranje vrtložnog toka, slično kao i kod laminarnog toka, potrebna odredena dužina toka. Za vrtložni tok pokusima je ustanovljeno da je ona obično 25 do 40 promjera cijevi kroz koju se tok odvija: L turb 25d 40d (9.87)

117 9.6: HIDRAULIČKA HRAPAVOST I HIDRAULIČKA GLATKOST Hidraulička hrapavost i hidraulička glatkost e l lam Slika 9.19: Kod hidraulički glatke cijevi neravnine (hrapavost) stijenke (e) znatno su manje od debljine graničnoga laminarnog sloja (l lam ). Stijenka cijevi nikada nije idealno glatka, već posjeduje manju ili veću hrapavost. Ova hrapavost posljedica je načina izrade cijevi a najviše ovisi o materijalu stijenke. Kod cijevi koje su dugo u upotrebi korozija i abrazija stijenke može znatno promijeniti hrapavost stijenke. Ako je debljina graničnoga laminarnog sloja dovoljno velika, turbulenta jezgra toka neće osjetiti posljedice te hrapavosti. U takvom slučaju kaže se da je cijev hidraulički glatka (slika 9.19). Pokusi pokazuju da debljina graničnoga laminarnog sloja ovisi o Reynoldsovom broju i redovito se smanjuje s njegovim povećanjem. Tako je pokusima na glatkim cijevima ustanovljeno da je debljina graničnog laminarnog sloja približno dana sljedećim izrazom: l lam = 6, 3 d (9.88) R 7 8 e gdje je d promjer cijevi. Tipična veličina hrapavosti stijenke različitih vrsta cijevi dana je u tablici 9.4. Pokusi s hrapavim cijevima znatno su teži jer hrapavost stijenke može imati različite oblike. Zbog toga se čak i kod iste visine neravnina stijenke rezultati mogu znatno razlikovati, ovisno o tome kako te neravnine izgledaju, te kako su rasporedene po stijenci cijevi. No opći je zaključak vidljiv i iz formule (9.88): s povećanjem Reynoldsovog broja (što za danu cijev znači povećanje brzine toka), debljina graničnoga laminarnog sloja se smanjuje. To znači da će se kod neke brzine debljina graničnoga laminarnog sloja toliko smanjiti da će najveće neravnine stijenke početi izvirivati iz njega i tako utjecati na turbulentnu jezgru toka. Općenito se smatra da se cijev može smatrati hidraulički glatkom, ako je visina neravnina manja od jedne četvrtine debljine graničnoga laminarnog sloja: l lam > 4e (9.89) Ako je pak visina neravnina stijenke veća od dvije debljine graničnoga laminarnog sloja, cijev se naziva hidraulički hrapavom (slika 9.20):

118 102 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI Tablica 9.2: Hrapavost stijenke različitih vrsta cijevi (nove cijevi). vrsta cijevi e (mm) staklene <0,001 bakrene, plastične 0,01 čelične valjane 0,1 čelične lijevane 0,5 betonske 2 l lam < e 2 (9.90) Slika 9.20: Kod hidraulički hrapave stijenke debljina graničnoga laminarnog sloja znatno je manja od visine neravnina stijenke. Nalazi li se odnos debljine graničnoga laminarnog sloja i visine neravnina stijenke izmedu ova dva granična slučaja, govori se o tzv. prijelaznom području (režimu). 9.7 Koeficijent trenja hrapavih cijevi Za hidraulički hrapave cijevi pokusi i teorija daju slične rezultate. Kao prvo, pokazuje se da koeficijent trenja ovisi samo o omjeru e/d, tj. o tzv. relativnoj hrapavosti. Sam koeficijet trenja opisuje se Nikuradzeovom formulom: ( 1 = 2 log 3, 715 d ) λh e (9.91)

119 9.7: KOEFICIJENT TRENJA HRAPAVIH CIJEVI 103 Tablica 9.3: Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima. vrsta toka kriterij laminarni R e < 2300 turbuletni, glatki 2300 < R e < 1 d 2 e 1 d turbuletni, prijelazni < R 2 e e < 500 d e turbuletni, hrapavi R e > 500 d e odnosno λ h = 1 4 [ log ( 3, 175 d e )] (9.92) koja vrijedi ako je e > 6l. Nikuradzeova formula pokazuje da je za danu cijev (e/d je konstantan) u hrapavom režimu koeficijent trenja konstantan, a ukupni gubici proporcionalni su kvadratu srednje brzine toka: v 2 l h h = λ h d 2g (9.93) U prijelaznom području situacija je znatno složenija jer koeficijent trenja ovisi i o Reynoldsovom broju i o relativnoj hrapavosti, pa se za izračun koeficijenta trenja koriste iskustvene formule, od kojih je najpoznatija Colebrook-Whiteova formula: ( ) 1 2, 51 e = 2 log + λh R e λ 3, 715d (9.94) Njezina velika prednost je ta da ona vrijedi za sve režime turbulentnog toka, a odstupanja od eksperimentalnih mjerenja su manja od nekoliko postotaka. Nažalost, ona je iterativna, pa se umjesto nje vrlo često koriste razne pojednostavljene formule ili Moodyev dijagram u kojem su grafički prikazani koefcijenti trenja izračunati na osnovi analize tada dostupnih podataka koju je izveo Moody. Da bi se jednim grafikonom prikazalo cijelo područje Reynoldsovih brojeva koje se pojavljuje u praksi, Moodyev dijagram je crtan u log-log skali. U grafikon je ucrtana familija krivulja čiji parametar je relativna hrapavost, e/d. Kod odredivanja koeficijenta trenja uz pomoć ovog grafikona potrebno je prvo odrediti Reynolds-ov broj za dani slučaj. Nakon toga se odabire krivulja koja odgovara relativnoj hrapavosti cijevi za koju se traži koeficijent trenja, i s nje se, za odredenu vrijednost Reynoldsovoga broja sa osi ordinata očitava pripadajuća vrijednost koeficijenta trenja. Preostalo je još samo da se postavi kriterije za odredivanje o kojoj vrsti tečenja se u danom slučaju radi. Onaj za laminarno tečenje poznat je od ranije, a ostali su postavljeni na osnovi usporedbe debljine graničnoga laminarnog sloja i relativne hrapavosti cijevi. Rezultati su sažeti u tablici 9.3.

120 104 GLAVA 9: TEC ENJE KROZ CIJEVI Slika 9.21: Moodyev dijagram (preuzeto od R. Z ugaj, Hidrologija). Na apscisi je nanesen Reynoldsov broj, a na ordinati koeficijent trenja. Parametar krivulja u grafu je relativna hrapavost, e/d, na ovom dijagramu oznac ena kao /D.