Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη"

Transcript

1 Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

2 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε να γρα φημα G(V, E) το οποι ο μπορει να ε χει παρα λληλες ακμε ς η βρο γχους. Περίπατος: Ένας περίπατος μήκους k ει ναι μια ακολουθι α π =< v 0 e 1 v 1... v k 1 e k v k > απο εναλλασσο μενες κορυφε ς και ακμε ς του γραφη ματος G ε τσι ω στε e i = (v i 1, v i ), 1 i k (v 0, v k )-περι πατος, v 0, v k : τερματικε ς κορυφε ς η α κρα του περιπα του v 1 e 1 e 2 e4 v 3 e 7 v 4 e 5 e 9 e 3 e 6 v 2 v 6 e 8 v 5 e 10 e 11 v 1 e 1 v 2 e 2 v 1 e 5 v 4 e 9 v 4 e 8 v 5 Περιήγηση: Ένας περι πατος με ταυτο σημες τερματικε ς κορυφε ς v 6 e 11 v 5 e 10 v 6 e 7 v 3 e 6 v 4 e 8 v 5 e 10 v 6 Μονοκονδυλιά (Trail): Ένας περι πατος χωρι ς επαναλαμβανο μενες ακμε ς Μονοπάτι: Ένας περι πατος χωρι ς επαναλαμβανο μενες κορυφε ς v 1 e 2 v 2 e 4 v 3 e 7 v 6 Κύκλος: Ένα μονοπα τι με ταυτο σημες τερματικε ς κορυφε ς v 1 e 1 v 2 e 2 v 1 e 5 v 4 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

3 Για Απλα Γραφη ματα Περίπατος: Μι α ακολουθι α κορυφω ν π =< v 0 v 1... v k > τε τοια ω στε (v i 1, v i ) E, 1 i k P k το γρα φημα-μονοπα τι με k κορυφε ς P k = ({v 1, v 2,..., v k }, {e i = (v i, v i+1 ) : 1 i < k}) C k το γρα φημα-κυ κλος με k κορυφε ς C k = ({v 1, v 2,..., v k }, {e i = (v i, v i+1 ) : 1 i < k} (v k, v 1 )) Χορδή: Μια ακμη e = (v i, v j ) που ενω νει δυο κορυφε ς ενο ς κυ κλου/μονοπατιου π =< v 0 v 1 v 2... v i... v j... v k >, ο που e / π, η ισοδυ ναμα i / {j 1, j + 1} Άχορδο μονοπα τι/α χορδος κυ κλος Οπή: Ένα επαγο μενο υπογρα φημα ενο ς γραφη ματος το οποι ο [επαγο μενο υπογρα φημα] ει ναι α χορδος κυ κλος Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

4 Ερώτηση 3.1: Έστω ε να γρα φημα G και ε νας κυ κλος του C μη κους k. Ει ναι το επαγο μενο υπογρα φημα απο τις κορυφε ς του C ισομορφικο με το C k? Ερώτηση 3.2: Έστω γρα φημα G με δ(g) 2. Να δειχθει ο τι το G περιε χει κυ κλο. Ερώτηση 3.3: Έστω απλο γρα φημα G με δ(g) 2. Να δειχθει ο τι το G περιε χει κυ κλο μη κους δ(g) + 1. Ισχυ ει για γραφη ματα με βρο γχους/παρα λληλες ακμε ς? Ερώτηση 3.4: Έστω απλο γρα φημα G με δ(g) k. Να δειχθει ο τι το G ε χει ε να μονοπα τι μη κους k. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

5 Λήμμα 3.1: Έστω γρα φημα G και u, v V(G). Το G περιε χει ε ναν (u, v)-περι πατο ανν περιε χει ε να (u, v)-μονοπα τι Απόδειξη : Προφανε ς. Απο τον ορισμο του μονοπατιου Θα δει ξουμε ο τι: Αν το G περιε χει ε να (u, v)-περι πατο W το τε το G περιε χει ε να (u, v)-μονοπα τι το οποι ο αποτελει ται απο κορυφε ς του W Έστω ε νας περι πατος W = [u = v 1,..., v k = v] ελα χιστου μη κους στο G για τον οποι ο η προ ταση δεν ισχυ ει. Η κορυφη v εμφανι ζεται μο νο μι α φορα στο W Εξετα ζουμε τον περι πατο W = [u = v 1,..., v k 1 ] που προκυ πτει απο την αφαι ρεση της κορυφη ς v k απο το W Το W ε χει μη κος < k (u, v k 1 )-μονοπα τι P με κορυφε ς του W και δεν περιλαμβα νει την κορυφη v Το μονοπα τι P ακολουθου μενο απο την ακμη (v k 1, v) ει ναι ε να (u, v)-μονοπα τι αποτελου μενο απο κορυφε ς του W άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

6 Θεώρημα 3.2: Έστω γρα φημα G και ε στω A ο πι νακας γειτνι ασης του. Το τε η τιμη A l [i, j] ει ναι ο αριθμο ς των διαφορετικω ν (v i, v j )-περιπα των μη κους l στο G Απόδειξη [Με επαγωγή στο l]: βα ση: Ισχυ ει για l = 1. A[i, j] = 1 (v i, v j ) E Ε.Υ. (v i, v j )-μονοπα τι μη κους 1 Έστω ο τι ισχυ ει για k = l 1, δηλαδη A l 1 [i, j] ει ναι ο αριθμο ς των διαφορετικω ν (v i, v j )-περιπα των μη κους l 1 Ε.Β. A l = A l 1 A V(G) A l [i, j] = A l 1 [i, k]a[k, j] k=1 Κα θε ε νας απο τους A l 1 [i, k] (v i, v k )-περιπα τους που ακολουθει ται απο την ακμη (v k, v j ) ει ναι ε νας (v i, v j )-περι πατος Ερώτηση 3.5: Ισχυ ει για γραφη ματα με βρο γχους και παρα λληλες ακμε ς? Για πολυγραφη ματα: A[i, j] = { e : e = (v i, v j ) E } Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

7 Απόσταση: Έστω γρα φημα G και u, v V(G). Η απόσταση dist(u, v) ει ναι το μη κος του ελαχι στου (u, v)-μονοπατιου στο G. dist(u, v) = + εα ν δεν υπα ρχει (u, v)-μονοπα τι. Πρόταση 3.3 (Τριγωνική ανισότητα): Έστω γρα φημα G και u, v, w V(G) τρεις κορυφε ς του G. Το τε ισχυ ει: dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w) Απόδειξη : Έστω ο τι dist(u, v) + dist(v, w) +, αλλιω ς ισχυ ει τετριμμε να. dist(u, v) το μη κος του ελα χιστου (u, v)-μονοπατιου P uv dist(v, w) το μη κος του ελα χιστου (v, w)-μονοπατιου P vw Η παρα θεση P uw = P uv P vw δημιουργει (u, w)-μονοπα τι με μη κος απο το ελα χιστο (u, w)-μονοπα τι. dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

8 Λήμμα 3.4: Έστω γρα φημα G. Κα θε περιη γηση περιττου μη κους στο G περιε χει ε ναν περιττο κυ κλο στο G Απόδειξη [με επαγωγή στο μήκος l της περιήγησης]: Έστω W μια περιη γηση περιττου μη κους l. Βα ση: l = 1 Η περιη γηση ει ναι βρο γχος, δηλαδη κυ κλος μη κους 1 Ε.Υ. Έστω ο τι κα θε περιη γηση περιττου μη κους < l περιε χει ε ναν περιττο κυ κλο Ε.Β. Έστω W μια περιη γηση περιττου μη κους l Περίπτωση 1: Η W δεν περιε χει επαναλαμβανο μενες κορυφε ς Το τε η W ει ναι εξ ορισμου [περιττο ς] κυ κλος Περίπτωση 2: Η W περιε χει επαναλαμβανο μενη κορυφη, ε στω u [εκτο ς της κοινη ς τερματικη ς κορυφη ς] Η W μπορει να διαμελιστει σε δυ ο μικρο τερες περιηγη σεις W 1, W 2 Μιας και η W ει ναι περιττου μη κους, μια εκ των W 1, W 2 ει ναι επι σης περιττου μη κους, ε στω η W 1 Απο Ε.Υ. η W 1 περιε χει περιττο κυ κλος, α ρα και η W Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

9 Θεώρημα 3.5: Ένα γρα φημα ει ναι διμερε ς ανν δεν περιε χει κυ κλους περιττου μη κους. Απόδειξη : Έστω διμερε ς γρα φημα G = (A, B, E) Έστω κυ κλος C = [v 1 v 2... v k = v 1 ] και ε στω v 1 A v 2 B, v 3 A, v 4 B,... v 2i 1 A και v 2i B i 1 v k = v 1 A k = 2i 1 για i 1 Ο κυ κλος C ε χει α ρτιο μη κος Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

10 Έστω γρα φημα G που δεν περιε χει περιττου ς κυ κλους. Θα βρου με διαμε ριση A, B του V(G) και θα δει ξουμε ο τι δεν υπα ρχει ακμη e = (u, v) : u, v A η u, v B Έστω κορυφη u και A, B τα συ νολα κορυφω ν που βρι σκονται σε α ρτια και περιττη απο σταση απο την u αντι στοιχα A B = και u A [dist(u, u) = 0] Έστω ακμη e = (x, y) : x, y A [ο μοια εα ν x, y B] Η περιη γηση W = {u... x y... u} άρτιο άρτιο{ 1 { { στο G ει ναι περιττου μη κους Η W περιε χει ε ναν περιττο κυ κλο [απο λη μμα 3.1 σελ. 51] Άτοπο γιατι το G δεν περιε χει περιττου ς κυ κλους. Κα θε ακμη e = (u, v) ε χει u A, v B η u B, v A Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

11 Εκκεντρότητα κορυφής του G [eccentricity]: ecc(v) = max dist(v, u) v V(G) Διάμετρος του G: diam(g) = max ecc(v) v V(G) Ακτίνα του G: rad(g) = min ecc(v) v V(G) Κεντρική κορυφή: Κα θε κορυφη v V(G) : ecc(v) = rad(g) Κέντρο του G: center(g) = {v : v V(G) και ecc(v) = rad(g)} Απόκεντρη κορυφή: Κα θε κορυφη v V(G) : ecc(v) = diam(g) Αντιδιαμετρικές κορυφές x, y V(G): dist(x, y) = diam(g) diam(g) = 6 rad(g) = 3 center(g) = { } far(g) = { } Κέντρο του G: far(g) = {v : v V(G) και ecc(v) = diam(g)} Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

12 Θεώρημα 3.6: Για κα θε γρα φημα G ισχυ ει rad(g) diam(g) 2rad(G) Απόδειξη : i. rad(g) diam(g) α μεσα, απο τους ορισμου ς ii. diam(g) 2rad(G) Έστω 2 αυθαι ρετες κορυφε ς x, y V(G) : dist(x, y) = diam(g) Έστω v V(G) μια κεντρικη κορυφη dist(v, x) ecc(v) = rad(g) dist(v, y) ecc(v) = rad(g) Απο τριγωνικη ανισο τητα: dist(x, y) dist(x, v) + dist(v, y) diam(g) 2rad(G) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

13 Θεώρημα 3.7: Για κα θε γρα φημα G, ει τε center(g) = far(g) η center(g) far(g) = Απόδειξη : Έστω { v center(g) far(g) v center(g) ecc(v) = rad(g) v far(g) ecc(v) = diam(g) } diam(g) = rad(g) (1) u V(G) ισχυ ει: rad(g) ecc(u) diam(g) (2) (1),(2) Όλες οι κορυφε ς ε χουν ι δια εκκεντρο τητα center(g) = far(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

14 Ερώτηση 3.6: Να δειχθει ο τι για κα θε δε νδρο T ισχυ ει ο τι center(t) {1, 2}. Ερώτηση 3.7: Να σχεδιαστει αλγο ριθμο ς που υπολογι ζει το κε ντρο center(t) ενο ς δε νδρου T. Ερώτηση 3.8: Έστω ε να συνδεδεμε νο γρα φημα G. Ει ναι το center(g) πα ντα συνδεδεμε νο? Ερώτηση 3.9: Να υπολογιστου ν τα rad(g), diam(g), center(g), far(g) ο που G το γρα φημα i. M a,b : το πλε γμα διαστα σεων a b ii. Q r : ο υπερκυ βος δια στασης r πο σα ζευ γη αντιδιαμετρικω ν κορυφω ν ε χει ο Q r? Ερώτηση 3.10: Να δειχθει ο τι για κα θε γρα φημα G ισχυ ει diam(g) δ(g). Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

15 Αποσυνθε σεις Απο στασης Αποσύνθεση απόστασης: Έστω γρα φημα G και κορυφη u V(G). Η αποσύνθεση απόστασης του G ως προς την u ει ναι η ακολουθι α συνο λων A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] ο που X i = {v : v V(G) και dist(u, v) = i} X 1 X 2 1 X X 4 X 3 A(1) = { {1}, {2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {10}, {9, 11} } Εναλλακτικός ορισμός: Έστω γρα φημα G και κορυφη u V(G). Η αποσύνθεση απόστασης του G ως προς την u ει ναι η ακολουθι α συνο λων A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] ο που X 0 = {u} i 1 X i = N G (X i 1 )\ X j, j=0 1 i ecc(u) Σημείωση: X i X j = 0 i < j ecc(u) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

16 Λήμμα 3.8: Έστω A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] η αποσυ νθεση απο στασης του G ως προς την u. Το τε 0 i j ecc(u) και x, y V(G) : x X i, y X j, κα θε μονοπα τι P που συνδε ει τις κορυφε ς x και y τε μνει ο λα τα συ νολα X i... X j Απόδειξη : Έστω x = u 0, u 1,..., u q 1, u q = y ε να (x, y)-μονοπα τι. Το μονοπα τι αντιστοιχει στην ακολουθι α a = [a 0, a 1,..., a q] ο που u l X al, 0 l q a 0 = 1, a q = j [ χρη ση κορυφη v X k, 0 k ecc(u) ισχυ ει: εναλλακτικου ορισμου N G (v) X k 1 X k X k+1 [εφο σον ορι ζονται] Στην ακολουθι α a ισχυ ει a k 1 a k 1, 0 < k < q [διαδοχικοι ο ροι απε χουν το πολυ κατα 1] Η a περιλαμβα νει ο λους τους αριθμου ς στο δια στημα i... j Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

17 Λήμμα 3.9: Έστω γρα φημα G και ε στω κορυφη u V(G). Το τε ο αριθμο ς των μονοπατιω ν μη κους l που ε χουν την u ως α κρο τους ει ναι το πολυ d(u)( (G) 1) l 1 Απόδειξη : Έστω P i u, 1 i l το συ νολο των μονοπατιω ν που ε χουν την u ως το ε να α κρο τους και ε χουν μη κος P 1 u = d(u) (3) Κα θε μονοπα τι του Pu i+1, 1 i < l αποτελει επε κταση ενο ς μονοπατιου του P i u Έστω o(p) το α λλο α κρο κα θε μονοπατιου που ξεκινα ει απο την u. P i+1 u d(o(p)) 1 (G) 1 P i u ( (G) 1) P P i u P P i u P i+1 u P i u ( (G) 1) (4) (3),(4) P l u d(u)( (G) 1)l 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

18 Λήμμα 3.10: Έστω γρα φημα G με (G) d. Το τε για κα θε κορυφη u V(G) υπα ρχουν το πολυ 1 + d d 2 ((d 1)l 1) κορυφε ς του G σε απο σταση l απο την u Απόδειξη : Έστω A(u) = [X 0, X 1,..., X l ] η αποσυ νθεση απο στασης του G ως προς την u Εξ ορισμου X i, 0 i l ει ναι το πλη θος των κορυφω ν σε απο σταση i απο την u X i μονοπα τια απο την u προς το X i μη κους i l l l X i 1 + d(u)( (G) 1) i d(d 1) i 1 i=0 i=1 i=1 l 1 = 1 + d (d 1) i = 1 + d d 2 ((d 1)l 1) i=0 [ Άθροισμα S n n ο ρων γεωματρικη ς προο δου S n = 1 + λ + λ λ n 1 = λn 1 λ 1 ] Θεώρημα 3.11: Έστω γρα φημα G με rad(g) r και (G) d. Το τε V(G) 1 + d d 2 ((d 1)r 1) Απόδειξη : Με εφαρμογη του προηγου μενου λη μματος για κα ποια κορυφη u center(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

19 Πλάτος απόστασης του G ως προς την u: πα(u) = max { X i }, X i A G (u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] Πλάτος απόστασης γραφήματος: πα(g) = min u V(G) {πα(u)} Θεώρημα 3.12: Έστω γρα φημα G. Το τε ισχυ ει ο τι πα(g) V(G) 1 diam(g) Απόδειξη : [ ] Έστω u V(G) : πα(u) = πα(g) και ε στω A(u) = X 0, X 1,..., X ecc(u) ecc(u) V(G) 1 + X i 1 + ecc(u)πα(u) 1 + diam(g)πα(g) i=1 πα(g) V(G) 1 diam(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

20 2 6 Περίμετρος γραφήματος G [που περιέχει κύκλο(υς)]: crm(g): μη κος ενο ς με γιστου [μη κους] κυ κλου του G Περιφέρεια γραφήματος G [που περιέχει κύκλο(υς)]: girth(g): μη κος ενο ς ελα χιστου [μη κους] κυ κλου του G crm(g) = 7 κυ κλος: (1, 4, 3, 5, 7, 6, 2, 1) girth(g) = 3 κυ κλος: (5, 6, 7) Θεώρημα 3.13: Έστω απλο γρα φημα G που περιε χει κυ κλο(υς). Το τε δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη : Έστω P = (u 0, u 1,..., u k ) ε να με γιστο μονοπα τι του G Όλες οι κορυφε ς του N G (u) ανη κουν στο μονοπα τι N G (u) δ(g) γει τονες της u ανη κουν στο μονοπα τι κυ κλος μη κους δ(g) + 1 στο G δ(g) crm(g) 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

21 Θεώρημα 3.14: Κα θε γρα φημα G με πυκνο τητα ϵ(g) 1 περιε χει κυ κλο. Απόδειξη [Με επαγωγή στο V(G), ( ϵ(g) = E(G) V(G) ) ]: Ισχυ ει εξ ορισμου για κα θε γρα φημα με βρο γχους η παρα λληλες ακμε ς. Άρα θα το δει ξουμε για απλα γραφη ματα. Βα ση: n = 3 m 3 μοναδικο γρα φημα Ε.Υ. Έστω ο τι κα θε γρα φημα H με ϵ(h) 1 και 3 V(H) < n ε χει κυ κλο Ε.Β. Έστω γρα φημα G με ϵ(g) 1 και 3 < V(G) = n Περίπτωση 1: δ(g) 2 Δημιουργου με τον περι πατο ο που ξεκινω ντας απο μια κορυφη, βγαι νουμε απο αυτη απο διαφορετικη ακμη απο αυτη ν που μπη καμε. Ο περι πατος μπορει να συνεχι ζεται συνε χεια γιατι δ(g) 2. Μετα απο V(G) βη ματα θα επαναληφθει ακμη κυ κλος Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

22 Περίπτωση 2: δ(g) 1 Υπα ρχει κορυφη u με d(u) = 1 G\u ε χει ϵ(g\u) = E(G\u) V(G\u) = E(G) 1 V(G) 1 E(G) V(G) 1 Ε.Υ. = G\u ε χει κυ κλο G ε χει κυ κλο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

23 Θεώρημα 3.15: Έστω γρα φημα G με κυ κλο(υς) και δ(g) d. Το τε ισχυ ει r d (d 1) i girth(g) = 2r + 1 i=0 V(G) r 1 2 (d 1) i girth(g) = 2r i=0 Απόδειξη : Περίπτωση 1: girth(g) = 2r + 1 Έστω X 0, X 1,..., X r τα πρω τα r + 1 συ νολα μιας αποσυ νθεσης απο στασης A(u) ως προς κα ποια κορυφη u V(G) η οποι α ανη κει σε ε ναν κυ κλο μη κους girth(g) v X i, 1 i r η v ε χει ακριβω ς 1 γει τονα στο X i 1 [Διαφορετικα, ε στω ο τι ει χε 2 γει τονες w 1 και w 2 X i 1 μονοπα τια u w 1 και u w 2 ι διου μη κους (i 1) κυ κλος μη κους το πολυ 2i < 2r < girth(g) άτοπο (ορισμο ς girth(g))] X i (d 1) X i 1, 2 i r X 0 = 1, X 1 d r V(G) X i 1 + d + d(d 1) + + d(d 1) r 1 i=0 r 1 = 1 + d (d 1) i i=0 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

24 Περίπτωση 2: girth(g) = 2r Έστω (u, v) μια αυθαι ρετη ακμη του G που ανη κει σε κυ κλο μη κους girth(g) G = G\(u, v) {(u, w), (w, v)} Έστω X 0, X 1,..., X r τα πρω τα r + 1 συ νολα μιας αποσυ νθεσης απο στασης A(w) y X i, 2 i r η y ε χει ε ναν ακριβω ς γει τονα στο X i 1 [Εα ν y X i, 2 i r με 2 γει τονες στο X i 1 Το τε ε χω στο G κυ κλο μεγε θους 2i Το τε ε χω στο G κυ κλο μεγε θους 2i 1 2r 1 < girth(g) άτοπο] X 0 = 1 X 1 = 2 X i (d 1) X i 1, 2 < i r r 1 r V(G ) X i (d 1) + + 2(d 1) r 1 = (d 1) i (5) i=0 V(G) = V(G ) 1 (6) r 1 (5),(6) V(G) 2 (d 1) i i=0 w X0 u v X1 G Xi 1 Xi y i=0 Xr 1 Xr y Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων

Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου 2016 1 Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα

Διαβάστε περισσότερα

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 8: Markov Chains Sotiris Nikoletseas Chistoforos Raptopoulos Computer Engineering and Informatics Department 205-206 Chistoforos Raptopoulos

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17

Διαβάστε περισσότερα

Αποτελεσματικός Προπονητής

Αποτελεσματικός Προπονητής ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ ΕΠΙΛΟΓΕΣ Κατασκευα στε υποπρο γραμμα το οποί ο να ελε γχεί αν ε νας πί νακας εί ναί ταξίνομημε νος σε αυ ξουσα σείρα.

ΑΕΠΠ ΕΠΙΛΟΓΕΣ Κατασκευα στε υποπρο γραμμα το οποί ο να ελε γχεί αν ε νας πί νακας εί ναί ταξίνομημε νος σε αυ ξουσα σείρα. ΑΕΠΠ ΕΠΙΛΟΓΕΣ Κατασκευα στε υποπρο γραμμα το οποί ο να ελε γχεί αν ε νας πί νακας εί ναί ταξίνομημε νος σε αυ ξουσα σείρα. ΔΣ6. Δίνονταί οί πίνακες Σ1(Κ, Κ) καί Π1(Κ, Κ) που περίέχουν τα αποτελέσματα των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ, Ν.Π.Δ.Δ. ΚΑΙ O.Τ.Α. Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ Ε ΛΗ ΦΘΗ ΣΑΝ Υ ΠO ΨΗ 1. H 15/1981

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 8: Random Walks

Lecture 8: Random Walks Randomized Algorithms Lecture 8: Random Walks Sotiris Nikoletseas Associate Professor CEID - ETY Course 2016-2017 Sotiris Nikoletseas, Associate Professor Randomized Algorithms - Lecture 8 1 / 33 Overview

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α Άρης Διαμαντόπουλος, Διδάκτορας Φιλοσοφίας - Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Α ξί α Οι κο γέ νειας Ό,τι εί ναι το κύτ τα ρο

Διαβάστε περισσότερα

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ. σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ 12 Το γε γο νός ό τι δια βά ζεις αυ τό το βι βλί ο ση μαί νει ό τι έ χεις μολυν θεί α πό έ να μι κρόβιο το μι κρό βιο του πο δο σφαί ρου και σίγου

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ ΤΥΙΚΑ & ΜΑΚΑΡΙΣΜΟΙ Ἦχος Νη Μ Α Ν µην Ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ του Ευ λο γει η ψυ

Διαβάστε περισσότερα

των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09

των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09 των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΦOΡ ΤO ΕΚ ΦOΡ ΤΩΩ ΤΩΩΝ ΠΡΑ ΚΤO ΡΕΙ ΩΩΝ ΜΕ ΤΑ ΦO ΡΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α.

Διαβάστε περισσότερα

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι Φ Λ Ι Ι ι αγωγτ ρι μ Π λλι πρα τν πρ βλτ ματα χαι χαταστι αει τη αθημ ριν ζω μπ ρ ι ν να περιγραφ ν με τη β θεια ν διαγρι μματ ζ απ τελ μεν υ απ να ι ν λ ημε ων αι να ν λ γραμμι ν π υ να ενι ν υν υγ ε

Διαβάστε περισσότερα

Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση

Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση Εισαγωγή Η επι λο γή ενό ς co m p a ct συ στή µ α το ς β ι ολο γι κο ύ κα θ α ρι σµ ο ύ θ α πρέπει να πραγµ α τοπο ι είτα ι β ά σει τη ς α

Διαβάστε περισσότερα

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ Ο Ό μη ρος και ο Η σί ο δος έ χουν δη μιουρ γή σει κα τά τον Η ρό δο το 1, τους ελ λη νι κούς θε ούς. Ο Ό μη ρος στη θε ο γο νί α του έ χει ιε ραρ

Διαβάστε περισσότερα

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Ιο νιο Πανεπιστη μιο, Κε ρκυρα 17-5-2012 Παύλος Σταμπουλι δης, Με λος ΔΣ Hellenic Startup

Διαβάστε περισσότερα

Πρός τούς ἀδελφούς μου

Πρός τούς ἀδελφούς μου Πρός τούς ἀδελφούς μου Συμεων μητροπολιτου νεασ ΣμυρνηΣ Πρός τούς ἀδελφούς μου EOρτια ΠοιμαντικA μηνyματα Ἐπιμέλεια ἔκδοσης: Βασίλης Ἀργυριάδης Ἐκδόσεις κολοκοτρώνη 49, Ἀθήνα 105 60 τηλ.: 210 3226343

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ)

ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ) ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ) ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: ΛΕΙV Πα να γιώ της Πα σπά της Mα θη τής Γυ μνα σί ου α ντι δρού σε στις ι τα λι κές διατα γές και α πα γο ρεύ σεις. Σε μια ε πέ τειο της 25 ης Μαρ τί ου

Διαβάστε περισσότερα

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά Πρώϊος Μιλτιάδης Αθαναηλίδης Γιάννης Ηθική στα Σπορ Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 1 ΗΘΙΚΗ ΣΤΑ ΣΠΟΡ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΗΘΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π.

Διαβάστε περισσότερα

Joseph A. Luxbacher. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας. ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία

Joseph A. Luxbacher. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας. ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ Βήματα για την επιτυχία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία. Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

Κα θη γη τών Ι δι ω τι κών εκ παι δευ τη ρίων σχολικών µονάδων τεχνικής & επαγγελµατικής εκπαίδευσης O17R10

Κα θη γη τών Ι δι ω τι κών εκ παι δευ τη ρίων σχολικών µονάδων τεχνικής & επαγγελµατικής εκπαίδευσης O17R10 Κα θη γη τών Ι δι ω τι κών εκ παι δευ τη ρίων σχολικών µονάδων τεχνικής & επαγγελµατικής εκπαίδευσης O17R10 KΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚΑ ΘΗ ΓΗ ΤΩΩΝ Ι Δ Ι ΩΩ ΤΙ ΚΩΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ

ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΚΕΙ ΜΕ ΝΟ-ΦΩ ΤΟΓΡΑ ΦΙΕΣ: Υ πτγος ε.α. Ορ θό δο ξος Ζω τιά δης ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ Το Με τάλ λιο Ε ξαι

Διαβάστε περισσότερα

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κ Ε ΦΑ ΛΑΙΟ 1 Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κά θε μέ ρα ε πι σκε πτό μα στε διά φο ρους ορ γα νισμούς με γά λους ή μι κρούς και ερ χό μα στε σε επα φή με τους υ παλ λή λους και τους μά να τζερ ς. Α νά λο γα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Οδηγός χρησιμοποίησης του βιβλίου και των τριών ψηφιακών δίσκων (DVD)...11 Σκο πός του βι βλί ου και των 3 ψηφιακών δί σκων...15 Λί γα λό για α πό το Σχο λι κό Σύμ βου λο Φυ σι κής Α γω γής...17

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ: Ευ γέ νιος Αρ. Για ρέ νης, Α ντει σαγ γε λέ ας Στρα το δι κεί ου Ιω αν νί νων, Δι δά κτο ρας στο Πά ντειο Πα νε πι στή μιο Α πό την κλα σι κή φά λαγ γα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ

ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ταξχος ε.α. Κων στα ντί νος Τέ φας H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ Α πό τους πρώ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ ΟΙ ΒΑ ΣΙ ΚΕΣ ΑΡ ΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙ ΛΟ ΣΟ ΦΙΑΣ ΤΟΥ, Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΟΥ Α ΡΙ ΣΤΟ- ΤΕ ΛΗ ΣΤΗ ΔΙΑ ΔΟ ΣΗ ΤΩΝ ΘΕ ΣΕ ΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ Η Υ ΠΟ ΔΟ ΧΗ ΤΩΝ ΦΙ- ΛΟ ΣΟ ΦΙ ΚΩΝ ΤΟΥ ΘΕ ΣΕ- ΩΝ ΣΤΗΝ Ε ΠΟ ΧΗ ΤΟΥ ΚΙΚΕ ΡΩ ΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε Ἡ τάξις τοῦ ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου ᾶσα νοὴ Αἰνεσάτω ὁ ιάκονος: Τοῦ Κυρίου δεηθῶµεν Κυ ρι ε ε λε η σον ὁ Ἱερεύς: Ὅτι Ἅγιος εἶ ὁ Θεὸς ἡµῶν, Ἦχος η α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ ρι ον Αι νε σα α τω πνο η πα

Διαβάστε περισσότερα

εξειδίκευση στη γνώση

εξειδίκευση στη γνώση εξειδίκευση στη γνώση Εκηβόλος Ετήσια έκδοση της Ελληνικής Ακαδημίας Φυσικής Αγωγής Τεύχος 7, Φεβρουάριος 2010 Το πε ριο δι κό διευ θύ νε ται α πό συ ντα κτι κή ε πι τρο πή Υ πεύ θυ νος σύ ντα ξης: Ευάγγελος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική Βιομηχανία...15 1.1 Εισαγωγή...15 1.2 Ορισμός του Όρου Βιομηχανία...16 1.3 Ένα Μοντέλο Περιγραφής της Αθλητικής Βιομηχανίας...17 1.3.1 Τμήμα Παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

καιρο, αυτο ς πε θανε απ ο,τι φαι νεται πολυ αργο τερα. Για ποιον λο γο συνε βη αυτο, Φαι δωνα;

καιρο, αυτο ς πε θανε απ ο,τι φαι νεται πολυ αργο τερα. Για ποιον λο γο συνε βη αυτο, Φαι δωνα; ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΦΑΙΔΩΝ ΕΧΕΚΡΑΤΗΣ: Εσυ ο ι διος, Φαι δωνα, βρε θηκες στο πλευρο του Σωκρα τη εκει νη την ημε ρα, που η πιε το δηλητη ριο στη φυλακη, η τα α κουσες απο κα ποιον α λλο; ΦΑΙΔΩΝ: Η μουν ο ι διος εκει,

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ Στην πε διά δα της Ισ σού, τον Νο έμ βριο του έτους 333 π.χ., έ λα βε χώ ρα μία από τις ση μα ντι κό τε ρες μά χες του έν δο ξου Έλληνα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής Κωνσταντίνος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής β βελτιωμένη έκδοση ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

8 ) / 9! # % & ( ) + )! # 2. / / # % 0 &. # 1& / %. 3 % +45 # % ) 6 + : 9 ;< = > +? = < + Α ; Γ Δ ΓΧ Η ; < Β Χ Δ Ε Φ 9 < Ε & : Γ Ι Ι & Χ : < Η Χ ϑ. Γ = Φ = ; Γ Ν Ι Μ Κ Λ Γ< Γ Χ Λ =

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ CIMIC CIMIC CIMIC ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπλγος (ΜΧ) Ευ ρι πί δης Κ. Χα νιάς ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση CIMIC εί ναι τα αρ χι κά των λέ ξε ων Civil Military Co-operation

Διαβάστε περισσότερα

teliki maketa ΚΕΧΑΡΙΤΩΜΕΝΗ.qxp_Layout 1 19/2/16 1:58 μ.μ. Page 3 Ἡ Κεχαριτωμένη

teliki maketa ΚΕΧΑΡΙΤΩΜΕΝΗ.qxp_Layout 1 19/2/16 1:58 μ.μ. Page 3 Ἡ Κεχαριτωμένη Ἡ Κεχαριτωμένη Συμεων μητροπολιτου νεασ ΣμυρνηΣ Ἡ Κεχαριτωμένη ΛΟΓΟΙ ΣΤΙΣ ΘΕΟΜΗΤΟΡΙΚΕΣ ΕΟΡΤΕΣ Ἐπιμέλεια ἔκδοσης Βασίλης Ἀργυριάδης Ἐκδόσεις Κολοκοτρώνη 49, Ἀθήνα 105 60 τηλ.: 210 3226343 - Fax: 210 3221238

Διαβάστε περισσότερα

Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας

Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας Είναι αλή θεια ό τι, ό ταν έχεις πίσω σου σαρά ντα χρό νια αδιά κοπης και αξιό λογης καλλιτεχνικής παραγωγής, πρέπει να μπορείς κά θε φορά να διαχειρίζεσαι τον

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδία στ' ανοιχτά της Αίγινας

Σχεδία στ' ανοιχτά της Αίγινας Σχεδία στ' ανοιχτά της Αίγινας Tεύχος 3, Οκτώβριος 2003, Αίγινα ΤΟΠΙΚΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ έκδοση της Πρωτοβουλίας Πολιτών Αίγινας Για επικοινωνία: Κυριακού Γιώργος β Πάροδος Αφαίας 131, Αίγινα 180

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Αθήνα 2008 Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Ο ΣΕΒ σύνδεσμος επιχειρήσεων και βιομηχανιών ευχαριστεί τις Εταιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Α

ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Α Ε κα το ντα ε τής ε πέτειος α πό την ε πί ση μη έναρ ξη της έ νο πλης φάσης του Μα κε δο νι κού Α γώνα στο Βέρ μιο ό ρος και στην ε παρ χία Βεροίας (1905-2005) (Η Συμ βο λή Των Κα τοίκων της Πε ριο χής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιφέρεια Στερεάς Ελλάδας, 23 Απριλίου 2013

Περιφέρεια Στερεάς Ελλάδας, 23 Απριλίου 2013 ΔΙΚΤΥΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ LOGISTICS: ΜΟΧΛΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΑΝΤΙΠΡΟΕΔΡΟΣ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΕΛΛΗΝΩΝ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΩΝ Περιφέρεια Στερεάς Ελλάδας, 23 Απριλίου 2013 Σύνοψη 2 Στόχοι της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Αʹ. Πίνακες πρότυπων διατομών

Παράρτημα Αʹ. Πίνακες πρότυπων διατομών Παράρτημα Αʹ Πίνακες πρότυπων διατομών 1 2 15 Οκτωβρίου 2016- Μηνάς Λεμονής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ IPE υψίκορμα διπλά ταυ διαστάσεις κατά ΕU 19-57 A επιφα νεια διατομη ς G βα ρος διατομη

Διαβάστε περισσότερα

Ενημερωτικό Σημείωμα προς τους συναδέλφους για την. αλλαγή στην εξαγορά για την αναγνώριση πλασματικών χρόνων

Ενημερωτικό Σημείωμα προς τους συναδέλφους για την. αλλαγή στην εξαγορά για την αναγνώριση πλασματικών χρόνων Ενημερωτικό Σημείωμα προς τους συναδέλφους για την αλλαγή στην εξαγορά για την αναγνώριση πλασματικών χρόνων του Μιχάλη Π. Φιλιππίδη Νομικού Συμβούλου της ΟΛΜΕ Η αίτηση αναγνω ρισης πλασματικω ν χρο νων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Φίλων Περιθαλπομένων Νοσοκομείου Η ΣΩΤ ΗΡ ΙΑ

Σύλλογος Φίλων Περιθαλπομένων Νοσοκομείου Η ΣΩΤ ΗΡ ΙΑ ΜΗΝΙΑIΑ ΕΦΗΜΕΡIΔΑ ΚΩΔΙΚΟΣ 7812 Φεβρουάριος 2016 11 ο Έτος Φύλλο 119 ο Tηλ.: 2107763638 Fax: 2107707211 E-mail: info@sylfilon.gr Web Site: www.sylfilon.gr Το προσωπικό και κοινωνικό ασυνείδητο Σύλλογος

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητα:... Νέα Συνδρομή Ανανέωση Συνδρομής

Ιδιότητα:... Νέα Συνδρομή Ανανέωση Συνδρομής ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 1/2012 (ΙΑΝ.-ΦΕΒ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΡΜΑΤΗ. ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑ 2,4GHz. ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ανθστης (ΠΖ) Κωνσταντίνος Δεμερτζής Σ Τ ΡΑΤ Ι ΩΤ Ι Κ Η Ε Π Ι Θ Ε Ω Ρ Η Σ Η ΝΟΕ. - ΔΕΚ.

ΑΣΥΡΜΑΤΗ. ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑ 2,4GHz. ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ανθστης (ΠΖ) Κωνσταντίνος Δεμερτζής Σ Τ ΡΑΤ Ι ΩΤ Ι Κ Η Ε Π Ι Θ Ε Ω Ρ Η Σ Η ΝΟΕ. - ΔΕΚ. ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑ 2,4GHz ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ανθστης (ΠΖ) Κωνσταντίνος Δεμερτζής 40 40 Σ Τ ΡΑΤ Ι ΩΤ Ι Κ Η Ε Π Ι Θ Ε Ω Ρ Η Σ Η ΝΟΕ. - ΔΕΚ. 2009 ΤΑ ΔΙ ΚΤΥΑ ΣΗΜΕ ΡΑ Εί ναι προ φα νές ό τι ο τε χνο

Διαβάστε περισσότερα

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα)

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα) Στρα τιω τι κή Ορ χή στρα Πνευ στών (Μπά ντα) KΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Λγός (ΜΣ) Κων στα ντί νος Κε ρε ζί δης Πώς γεν νή θη κε η μπά ντα Τον χει ρι σμό των πνευ στών ορ γά νων τον συ να ντού με στην ι στο

Διαβάστε περισσότερα

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε Anderson s Ltd Εφαρμογές Υψηλής Τεχνολογίας - Εκδόσεις : Γ Σεπτεμβρίου 103 Αθήνα 10434 Τ: 210-88 21 109 F: 210-88 21 718 W: www.odp.gr E: web@odp.gr 42 Γρήγορο Εγχειρίδιο για τον Διαχειριστή 24 Πλημμυρισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (EEY) ESCO s και ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (ΣΕΑ)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (EEY) ESCO s και ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (ΣΕΑ) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ (EEY) ESCO s και ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (ΣΕΑ) Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεσσαλονίκη, 9 Σεπτεμβρίου 2014 Κώστας ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Δρ. Μηχανολόγος Μηχανικός Διευθυντής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ: Ευ γέ νιος Αρ. Για ρέ νης, Α ντει σαγ γε λέ ας Στρα το δι κεί ου Ιω αν νί νων, Δι δά κτο ρας στο Πά ντειο Πα νε πι στή μιο Α πό την κλα σι κή φά λαγ γα

Διαβάστε περισσότερα

áåé þñïò ÌÁÚÏÓ 2004 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3

áåé þñïò ÌÁÚÏÓ 2004 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3 áåé þñïò ÊÅÉÌ ÅÍÁ ÐÏ ËÅÏÄÏÌÉÁÓ, ÙÑ ÏÔÁÎ ÉÁÓ Ê ÁÉ Á ÍÁÐÔÕÎ ÇÓ ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÌÁÚÏÓ 2004 ÌÁY 2004 ΣΥΝΤΑΚΤΙΚH ΕΠΙΤΡΟΠH - Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ΚΟΚΚΩΣΗΣ ΧΑΡΗΣ ΜΠΕΡΙΑΤΟΣ ΗΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Χη μι κός Πό λε μος. Μία ι στο ρι κή α να δρο μή στο πό τε, που και πως άρ χι σε για πρώ τη φο ρά η χρή ση χη μι κών ου σιών για πο λε μι κούς σκοπούς

Χη μι κός Πό λε μος. Μία ι στο ρι κή α να δρο μή στο πό τε, που και πως άρ χι σε για πρώ τη φο ρά η χρή ση χη μι κών ου σιών για πο λε μι κούς σκοπούς Χη μι κός Πό λε μος Μία ι στο ρι κή α να δρο μή στο πό τε, που και πως άρ χι σε για πρώ τη φο ρά η χρή ση χη μι κών ου σιών για πο λε μι κούς σκοπούς ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Σμχος ε.α. Η λί ας Σβάρ νας Τα

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΓΙΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΠΑΛΑΜΑΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΗΣ Θ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΟΥ

Ο ΑΓΙΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΠΑΛΑΜΑΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΗΣ Θ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΟΥ Πρωτ. Γε ωρ γί ου Με ταλ λη νοῦ Ὁμοτίμου Καθηγητοῦ Θεολογικῆς Σχολῆς Ἀθηνῶν Ο ΑΓΙΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΠΑΛΑΜΑΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΗΣ Θ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΟΥ Ἔκδοση: Ἱερά Μονή Μεγάλου Μετεώρου Ἰïýëéïò 2009 Ἅγια Μετέωρα Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

www.printo.it/pediatric-rheumatology/gr/intro Νόσος Behcet Έκδοση από 2016 1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ BEHCET 1.1. Τι είναι; Το συ νδρομο Behcȩt η η νο σος Behcȩt (ΝΒ) ει ναι μιά συστημικη αγγειι τιδα (φλεγμονή των αγγείων

Διαβάστε περισσότερα

Η Ι ΣΤΟ ΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛ. Υ.Κ.

Η Ι ΣΤΟ ΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛ. Υ.Κ. Η Ι ΣΤΟ ΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛ. Υ.Κ. ΚΕΙΜΕΝΟ: ΕΛ.ΔΥ.Κ. Το Φε βρουά ριο του 1959, υ πε γρά φη σαν στο Λον δί νο και Ζυ ρί χη οι συμ φω νί ες, με τα ξύ Η νω μέ νου Βα σι λεί ου - Ελλά δας - Τουρ κί ας - Ελ λη νο κυ

Διαβάστε περισσότερα

Μ ε τ έ ω ρ α. τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων

Μ ε τ έ ω ρ α. τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων Μ ε τ έ ω ρ α τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων Τα Με τέ ω ρα, το ση μα ντι κό τε ρο μνημεια κό σύ νο λο του Θεσ σα λι κού κά μπου, βρίσκο νται α νά με σα στην ο ρο σει ρά της Πίν δου και στα Α ντι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥ ΓΚΡΙ ΣΗ ΠΟ ΛΕ ΜΟΥ ΤΗΣ ΑΡ ΧΑΙΑΣ Ε ΠΟ ΧΗΣ ΜΕ ΤΗ ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΗ ΚΑΙ Η Α ΝΑ- ΓΚΑΙΟ ΤΗ ΤΑ ΜΕ ΛΕ ΤΗΣ ΤΗΣ Ι ΣΤΟ ΡΙΑΣ

ΣΥ ΓΚΡΙ ΣΗ ΠΟ ΛΕ ΜΟΥ ΤΗΣ ΑΡ ΧΑΙΑΣ Ε ΠΟ ΧΗΣ ΜΕ ΤΗ ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΗ ΚΑΙ Η Α ΝΑ- ΓΚΑΙΟ ΤΗ ΤΑ ΜΕ ΛΕ ΤΗΣ ΤΗΣ Ι ΣΤΟ ΡΙΑΣ ΣΥ ΓΚΡΙ ΣΗ ΠΟ ΛΕ ΜΟΥ ΤΗΣ ΑΡ ΧΑΙΑΣ Ε ΠΟ ΧΗΣ ΜΕ ΤΗ ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΗ ΚΑΙ Η Α ΝΑ- ΓΚΑΙΟ ΤΗ ΤΑ ΜΕ ΛΕ ΤΗΣ ΤΗΣ Ι ΣΤΟ ΡΙΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Αν θλγος (ΕΜ) Νι κό λα ος Τσα ντί δης ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση

Διαβάστε περισσότερα

Αχ τριανταφυλλιά μου. εγελάστηκα Πάνω στα γλυκά σου αγκάθκια σαν πουλλίν επιάστηκα Που της μοίρας τα σημάθκια εμοιράστηκα

Αχ τριανταφυλλιά μου. εγελάστηκα Πάνω στα γλυκά σου αγκάθκια σαν πουλλίν επιάστηκα Που της μοίρας τα σημάθκια εμοιράστηκα τριαντα σική ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΚΟΓΙΑΝΝΗΣ στίχοι ΠΑΜΠΟΣ ΚΟΥΖΑΛΗΣ (από «Τα Ρόδα Οργής») τριαντα εγελά Πάνω στα γλυκά σου αγκά σαν πουλλίν επιά μοί τα σημά εμοιρά Χτύ δυτά Ξύπ τη ζωή που χάσα τα όνειρά ς που χαλάσα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ (01/12/2012) ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΦΟΡΟΛΟΓΟΥΜΕΝΩΝ ΜΗΝOΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ (01/12/2012) ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΦΟΡΟΛΟΓΟΥΜΕΝΩΝ ΜΗΝOΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ (01/12/2012) ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΦΟΡΟΛΟΓΟΥΜΕΝΩΝ ΜΗΝOΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012. Θέμα (Αλφαβητικά) Προθεσμίες σε ειδικές υποχρεώσεις Α.Π.Δ., υποβολή Προθεσμία καταβολής εισφορών Με το Γ99/1/118/15.06.2012

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ

Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Γε ώρ γιος Βα σι λεί ου Ο Μέ γας Α λέ ξαν δρος, ο τέ λειος αυ τός εκ πρό σω πος του με γα λείου του ελ λη νι κού κό σμου, εί ναι α σφα λώς μί

Διαβάστε περισσότερα

των O δη γών Του ρι στι κών Λε ω φο ρεί ων Κρή της Ερµής Ot05R15

των O δη γών Του ρι στι κών Λε ω φο ρεί ων Κρή της Ερµής Ot05R15 των O δη γών Του ρι στι κών Λε ω φο ρεί ων Κρή της Ερµής Ot05R15 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ O Δ Η ΓΩΩΝ ΤOY ΡΙ ΣΤΙ ΚΩΩΝ ΛΕ ΩΩ ΦO ΡΕΙ ΩΩΝ ΚΡΗ ΤΗΣ Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΩΝ ΔΩΡΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

ΜΟΥΣΩΝ ΔΩΡΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΟΥΣΩΝ ΔΩΡΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΛΗΡΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΟΥΣΕΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

- Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. - Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης (ΑΠΘ)

- Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. - Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης (ΑΠΘ) ει α αειχώρος χ ώρ ο ς ΣΥΝΤΑΚΤΙΚH ΕΠΙΤΡΟΠH ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΚΑΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΓΟΣΠΟΔΙΝΗ ΑΣΠΑ ΔΕΦΝΕΡ ΑΛΕΞΗΣ ΧΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΟΛΓΑ ΨΥΧΑΡΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΑΘΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΥΜ ΒΟΥ ΛΟΙ ΣΥ ΝΤΑ ΞΗΣ Α ρα βα ντι νός

Διαβάστε περισσότερα