Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Transcript

1 Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

2 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε να γρα φημα G(V, E) το οποι ο μπορει να ε χει παρα λληλες ακμε ς η βρο γχους. Περίπατος: Ένας περίπατος μήκους k ει ναι μια ακολουθι α π =< v 0 e 1 v 1... v k 1 e k v k > απο εναλλασσο μενες κορυφε ς και ακμε ς του γραφη ματος G ε τσι ω στε e i = (v i 1, v i ), 1 i k (v 0, v k )-περι πατος, v 0, v k : τερματικε ς κορυφε ς η α κρα του περιπα του v 1 e 1 e 2 e4 v 3 e 7 v 4 e 5 e 9 e 3 e 6 v 2 v 6 e 8 v 5 e 10 e 11 v 1 e 1 v 2 e 2 v 1 e 5 v 4 e 9 v 4 e 8 v 5 Περιήγηση: Ένας περι πατος με ταυτο σημες τερματικε ς κορυφε ς v 6 e 11 v 5 e 10 v 6 e 7 v 3 e 6 v 4 e 8 v 5 e 10 v 6 Μονοκονδυλιά (Trail): Ένας περι πατος χωρι ς επαναλαμβανο μενες ακμε ς Μονοπάτι: Ένας περι πατος χωρι ς επαναλαμβανο μενες κορυφε ς v 1 e 2 v 2 e 4 v 3 e 7 v 6 Κύκλος: Ένα μονοπα τι με ταυτο σημες τερματικε ς κορυφε ς v 1 e 1 v 2 e 2 v 1 e 5 v 4 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

3 Για Απλα Γραφη ματα Περίπατος: Μι α ακολουθι α κορυφω ν π =< v 0 v 1... v k > τε τοια ω στε (v i 1, v i ) E, 1 i k P k το γρα φημα-μονοπα τι με k κορυφε ς P k = ({v 1, v 2,..., v k }, {e i = (v i, v i+1 ) : 1 i < k}) C k το γρα φημα-κυ κλος με k κορυφε ς C k = ({v 1, v 2,..., v k }, {e i = (v i, v i+1 ) : 1 i < k} (v k, v 1 )) Χορδή: Μια ακμη e = (v i, v j ) που ενω νει δυο κορυφε ς ενο ς κυ κλου/μονοπατιου π =< v 0 v 1 v 2... v i... v j... v k >, ο που e / π, η ισοδυ ναμα i / {j 1, j + 1} Άχορδο μονοπα τι/α χορδος κυ κλος Οπή: Ένα επαγο μενο υπογρα φημα ενο ς γραφη ματος το οποι ο [επαγο μενο υπογρα φημα] ει ναι α χορδος κυ κλος Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

4 Ερώτηση 3.1: Έστω ε να γρα φημα G και ε νας κυ κλος του C μη κους k. Ει ναι το επαγο μενο υπογρα φημα απο τις κορυφε ς του C ισομορφικο με το C k? Ερώτηση 3.2: Έστω γρα φημα G με δ(g) 2. Να δειχθει ο τι το G περιε χει κυ κλο. Ερώτηση 3.3: Έστω απλο γρα φημα G με δ(g) 2. Να δειχθει ο τι το G περιε χει κυ κλο μη κους δ(g) + 1. Ισχυ ει για γραφη ματα με βρο γχους/παρα λληλες ακμε ς? Ερώτηση 3.4: Έστω απλο γρα φημα G με δ(g) k. Να δειχθει ο τι το G ε χει ε να μονοπα τι μη κους k. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

5 Λήμμα 3.1: Έστω γρα φημα G και u, v V(G). Το G περιε χει ε ναν (u, v)-περι πατο ανν περιε χει ε να (u, v)-μονοπα τι Απόδειξη : Προφανε ς. Απο τον ορισμο του μονοπατιου Θα δει ξουμε ο τι: Αν το G περιε χει ε να (u, v)-περι πατο W το τε το G περιε χει ε να (u, v)-μονοπα τι το οποι ο αποτελει ται απο κορυφε ς του W Έστω ε νας περι πατος W = [u = v 1,..., v k = v] ελα χιστου μη κους στο G για τον οποι ο η προ ταση δεν ισχυ ει. Η κορυφη v εμφανι ζεται μο νο μι α φορα στο W Εξετα ζουμε τον περι πατο W = [u = v 1,..., v k 1 ] που προκυ πτει απο την αφαι ρεση της κορυφη ς v k απο το W Το W ε χει μη κος < k (u, v k 1 )-μονοπα τι P με κορυφε ς του W και δεν περιλαμβα νει την κορυφη v Το μονοπα τι P ακολουθου μενο απο την ακμη (v k 1, v) ει ναι ε να (u, v)-μονοπα τι αποτελου μενο απο κορυφε ς του W άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

6 Θεώρημα 3.2: Έστω γρα φημα G και ε στω A ο πι νακας γειτνι ασης του. Το τε η τιμη A l [i, j] ει ναι ο αριθμο ς των διαφορετικω ν (v i, v j )-περιπα των μη κους l στο G Απόδειξη [Με επαγωγή στο l]: βα ση: Ισχυ ει για l = 1. A[i, j] = 1 (v i, v j ) E Ε.Υ. (v i, v j )-μονοπα τι μη κους 1 Έστω ο τι ισχυ ει για k = l 1, δηλαδη A l 1 [i, j] ει ναι ο αριθμο ς των διαφορετικω ν (v i, v j )-περιπα των μη κους l 1 Ε.Β. A l = A l 1 A V(G) A l [i, j] = A l 1 [i, k]a[k, j] k=1 Κα θε ε νας απο τους A l 1 [i, k] (v i, v k )-περιπα τους που ακολουθει ται απο την ακμη (v k, v j ) ει ναι ε νας (v i, v j )-περι πατος Ερώτηση 3.5: Ισχυ ει για γραφη ματα με βρο γχους και παρα λληλες ακμε ς? Για πολυγραφη ματα: A[i, j] = { e : e = (v i, v j ) E } Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

7 Απόσταση: Έστω γρα φημα G και u, v V(G). Η απόσταση dist(u, v) ει ναι το μη κος του ελαχι στου (u, v)-μονοπατιου στο G. dist(u, v) = + εα ν δεν υπα ρχει (u, v)-μονοπα τι. Πρόταση 3.3 (Τριγωνική ανισότητα): Έστω γρα φημα G και u, v, w V(G) τρεις κορυφε ς του G. Το τε ισχυ ει: dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w) Απόδειξη : Έστω ο τι dist(u, v) + dist(v, w) +, αλλιω ς ισχυ ει τετριμμε να. dist(u, v) το μη κος του ελα χιστου (u, v)-μονοπατιου P uv dist(v, w) το μη κος του ελα χιστου (v, w)-μονοπατιου P vw Η παρα θεση P uw = P uv P vw δημιουργει (u, w)-μονοπα τι με μη κος απο το ελα χιστο (u, w)-μονοπα τι. dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

8 Λήμμα 3.4: Έστω γρα φημα G. Κα θε περιη γηση περιττου μη κους στο G περιε χει ε ναν περιττο κυ κλο στο G Απόδειξη [με επαγωγή στο μήκος l της περιήγησης]: Έστω W μια περιη γηση περιττου μη κους l. Βα ση: l = 1 Η περιη γηση ει ναι βρο γχος, δηλαδη κυ κλος μη κους 1 Ε.Υ. Έστω ο τι κα θε περιη γηση περιττου μη κους < l περιε χει ε ναν περιττο κυ κλο Ε.Β. Έστω W μια περιη γηση περιττου μη κους l Περίπτωση 1: Η W δεν περιε χει επαναλαμβανο μενες κορυφε ς Το τε η W ει ναι εξ ορισμου [περιττο ς] κυ κλος Περίπτωση 2: Η W περιε χει επαναλαμβανο μενη κορυφη, ε στω u [εκτο ς της κοινη ς τερματικη ς κορυφη ς] Η W μπορει να διαμελιστει σε δυ ο μικρο τερες περιηγη σεις W 1, W 2 Μιας και η W ει ναι περιττου μη κους, μια εκ των W 1, W 2 ει ναι επι σης περιττου μη κους, ε στω η W 1 Απο Ε.Υ. η W 1 περιε χει περιττο κυ κλος, α ρα και η W Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

9 Θεώρημα 3.5: Ένα γρα φημα ει ναι διμερε ς ανν δεν περιε χει κυ κλους περιττου μη κους. Απόδειξη : Έστω διμερε ς γρα φημα G = (A, B, E) Έστω κυ κλος C = [v 1 v 2... v k = v 1 ] και ε στω v 1 A v 2 B, v 3 A, v 4 B,... v 2i 1 A και v 2i B i 1 v k = v 1 A k = 2i 1 για i 1 Ο κυ κλος C ε χει α ρτιο μη κος Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

10 Έστω γρα φημα G που δεν περιε χει περιττου ς κυ κλους. Θα βρου με διαμε ριση A, B του V(G) και θα δει ξουμε ο τι δεν υπα ρχει ακμη e = (u, v) : u, v A η u, v B Έστω κορυφη u και A, B τα συ νολα κορυφω ν που βρι σκονται σε α ρτια και περιττη απο σταση απο την u αντι στοιχα A B = και u A [dist(u, u) = 0] Έστω ακμη e = (x, y) : x, y A [ο μοια εα ν x, y B] Η περιη γηση W = {u... x y... u} άρτιο άρτιο{ 1 { { στο G ει ναι περιττου μη κους Η W περιε χει ε ναν περιττο κυ κλο [απο λη μμα 3.1 σελ. 51] Άτοπο γιατι το G δεν περιε χει περιττου ς κυ κλους. Κα θε ακμη e = (u, v) ε χει u A, v B η u B, v A Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

11 Εκκεντρότητα κορυφής του G [eccentricity]: ecc(v) = max dist(v, u) v V(G) Διάμετρος του G: diam(g) = max ecc(v) v V(G) Ακτίνα του G: rad(g) = min ecc(v) v V(G) Κεντρική κορυφή: Κα θε κορυφη v V(G) : ecc(v) = rad(g) Κέντρο του G: center(g) = {v : v V(G) και ecc(v) = rad(g)} Απόκεντρη κορυφή: Κα θε κορυφη v V(G) : ecc(v) = diam(g) Αντιδιαμετρικές κορυφές x, y V(G): dist(x, y) = diam(g) diam(g) = 6 rad(g) = 3 center(g) = { } far(g) = { } Κέντρο του G: far(g) = {v : v V(G) και ecc(v) = diam(g)} Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

12 Θεώρημα 3.6: Για κα θε γρα φημα G ισχυ ει rad(g) diam(g) 2rad(G) Απόδειξη : i. rad(g) diam(g) α μεσα, απο τους ορισμου ς ii. diam(g) 2rad(G) Έστω 2 αυθαι ρετες κορυφε ς x, y V(G) : dist(x, y) = diam(g) Έστω v V(G) μια κεντρικη κορυφη dist(v, x) ecc(v) = rad(g) dist(v, y) ecc(v) = rad(g) Απο τριγωνικη ανισο τητα: dist(x, y) dist(x, v) + dist(v, y) diam(g) 2rad(G) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

13 Θεώρημα 3.7: Για κα θε γρα φημα G, ει τε center(g) = far(g) η center(g) far(g) = Απόδειξη : Έστω { v center(g) far(g) v center(g) ecc(v) = rad(g) v far(g) ecc(v) = diam(g) } diam(g) = rad(g) (1) u V(G) ισχυ ει: rad(g) ecc(u) diam(g) (2) (1),(2) Όλες οι κορυφε ς ε χουν ι δια εκκεντρο τητα center(g) = far(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

14 Ερώτηση 3.6: Να δειχθει ο τι για κα θε δε νδρο T ισχυ ει ο τι center(t) {1, 2}. Ερώτηση 3.7: Να σχεδιαστει αλγο ριθμο ς που υπολογι ζει το κε ντρο center(t) ενο ς δε νδρου T. Ερώτηση 3.8: Έστω ε να συνδεδεμε νο γρα φημα G. Ει ναι το center(g) πα ντα συνδεδεμε νο? Ερώτηση 3.9: Να υπολογιστου ν τα rad(g), diam(g), center(g), far(g) ο που G το γρα φημα i. M a,b : το πλε γμα διαστα σεων a b ii. Q r : ο υπερκυ βος δια στασης r πο σα ζευ γη αντιδιαμετρικω ν κορυφω ν ε χει ο Q r? Ερώτηση 3.10: Να δειχθει ο τι για κα θε γρα φημα G ισχυ ει diam(g) δ(g). Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

15 Αποσυνθε σεις Απο στασης Αποσύνθεση απόστασης: Έστω γρα φημα G και κορυφη u V(G). Η αποσύνθεση απόστασης του G ως προς την u ει ναι η ακολουθι α συνο λων A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] ο που X i = {v : v V(G) και dist(u, v) = i} X 1 X 2 1 X X 4 X 3 A(1) = { {1}, {2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {10}, {9, 11} } Εναλλακτικός ορισμός: Έστω γρα φημα G και κορυφη u V(G). Η αποσύνθεση απόστασης του G ως προς την u ει ναι η ακολουθι α συνο λων A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] ο που X 0 = {u} i 1 X i = N G (X i 1 )\ X j, j=0 1 i ecc(u) Σημείωση: X i X j = 0 i < j ecc(u) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

16 Λήμμα 3.8: Έστω A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] η αποσυ νθεση απο στασης του G ως προς την u. Το τε 0 i j ecc(u) και x, y V(G) : x X i, y X j, κα θε μονοπα τι P που συνδε ει τις κορυφε ς x και y τε μνει ο λα τα συ νολα X i... X j Απόδειξη : Έστω x = u 0, u 1,..., u q 1, u q = y ε να (x, y)-μονοπα τι. Το μονοπα τι αντιστοιχει στην ακολουθι α a = [a 0, a 1,..., a q] ο που u l X al, 0 l q a 0 = 1, a q = j [ χρη ση κορυφη v X k, 0 k ecc(u) ισχυ ει: εναλλακτικου ορισμου N G (v) X k 1 X k X k+1 [εφο σον ορι ζονται] Στην ακολουθι α a ισχυ ει a k 1 a k 1, 0 < k < q [διαδοχικοι ο ροι απε χουν το πολυ κατα 1] Η a περιλαμβα νει ο λους τους αριθμου ς στο δια στημα i... j Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

17 Λήμμα 3.9: Έστω γρα φημα G και ε στω κορυφη u V(G). Το τε ο αριθμο ς των μονοπατιω ν μη κους l που ε χουν την u ως α κρο τους ει ναι το πολυ d(u)( (G) 1) l 1 Απόδειξη : Έστω P i u, 1 i l το συ νολο των μονοπατιω ν που ε χουν την u ως το ε να α κρο τους και ε χουν μη κος P 1 u = d(u) (3) Κα θε μονοπα τι του Pu i+1, 1 i < l αποτελει επε κταση ενο ς μονοπατιου του P i u Έστω o(p) το α λλο α κρο κα θε μονοπατιου που ξεκινα ει απο την u. P i+1 u d(o(p)) 1 (G) 1 P i u ( (G) 1) P P i u P P i u P i+1 u P i u ( (G) 1) (4) (3),(4) P l u d(u)( (G) 1)l 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

18 Λήμμα 3.10: Έστω γρα φημα G με (G) d. Το τε για κα θε κορυφη u V(G) υπα ρχουν το πολυ 1 + d d 2 ((d 1)l 1) κορυφε ς του G σε απο σταση l απο την u Απόδειξη : Έστω A(u) = [X 0, X 1,..., X l ] η αποσυ νθεση απο στασης του G ως προς την u Εξ ορισμου X i, 0 i l ει ναι το πλη θος των κορυφω ν σε απο σταση i απο την u X i μονοπα τια απο την u προς το X i μη κους i l l l X i 1 + d(u)( (G) 1) i d(d 1) i 1 i=0 i=1 i=1 l 1 = 1 + d (d 1) i = 1 + d d 2 ((d 1)l 1) i=0 [ Άθροισμα S n n ο ρων γεωματρικη ς προο δου S n = 1 + λ + λ λ n 1 = λn 1 λ 1 ] Θεώρημα 3.11: Έστω γρα φημα G με rad(g) r και (G) d. Το τε V(G) 1 + d d 2 ((d 1)r 1) Απόδειξη : Με εφαρμογη του προηγου μενου λη μματος για κα ποια κορυφη u center(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

19 Πλάτος απόστασης του G ως προς την u: πα(u) = max { X i }, X i A G (u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] Πλάτος απόστασης γραφήματος: πα(g) = min u V(G) {πα(u)} Θεώρημα 3.12: Έστω γρα φημα G. Το τε ισχυ ει ο τι πα(g) V(G) 1 diam(g) Απόδειξη : [ ] Έστω u V(G) : πα(u) = πα(g) και ε στω A(u) = X 0, X 1,..., X ecc(u) ecc(u) V(G) 1 + X i 1 + ecc(u)πα(u) 1 + diam(g)πα(g) i=1 πα(g) V(G) 1 diam(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

20 2 6 Περίμετρος γραφήματος G [που περιέχει κύκλο(υς)]: crm(g): μη κος ενο ς με γιστου [μη κους] κυ κλου του G Περιφέρεια γραφήματος G [που περιέχει κύκλο(υς)]: girth(g): μη κος ενο ς ελα χιστου [μη κους] κυ κλου του G crm(g) = 7 κυ κλος: (1, 4, 3, 5, 7, 6, 2, 1) girth(g) = 3 κυ κλος: (5, 6, 7) Θεώρημα 3.13: Έστω απλο γρα φημα G που περιε χει κυ κλο(υς). Το τε δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη : Έστω P = (u 0, u 1,..., u k ) ε να με γιστο μονοπα τι του G Όλες οι κορυφε ς του N G (u) ανη κουν στο μονοπα τι N G (u) δ(g) γει τονες της u ανη κουν στο μονοπα τι κυ κλος μη κους δ(g) + 1 στο G δ(g) crm(g) 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

21 Θεώρημα 3.14: Κα θε γρα φημα G με πυκνο τητα ϵ(g) 1 περιε χει κυ κλο. Απόδειξη [Με επαγωγή στο V(G), ( ϵ(g) = E(G) V(G) ) ]: Ισχυ ει εξ ορισμου για κα θε γρα φημα με βρο γχους η παρα λληλες ακμε ς. Άρα θα το δει ξουμε για απλα γραφη ματα. Βα ση: n = 3 m 3 μοναδικο γρα φημα Ε.Υ. Έστω ο τι κα θε γρα φημα H με ϵ(h) 1 και 3 V(H) < n ε χει κυ κλο Ε.Β. Έστω γρα φημα G με ϵ(g) 1 και 3 < V(G) = n Περίπτωση 1: δ(g) 2 Δημιουργου με τον περι πατο ο που ξεκινω ντας απο μια κορυφη, βγαι νουμε απο αυτη απο διαφορετικη ακμη απο αυτη ν που μπη καμε. Ο περι πατος μπορει να συνεχι ζεται συνε χεια γιατι δ(g) 2. Μετα απο V(G) βη ματα θα επαναληφθει ακμη κυ κλος Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

22 Περίπτωση 2: δ(g) 1 Υπα ρχει κορυφη u με d(u) = 1 G\u ε χει ϵ(g\u) = E(G\u) V(G\u) = E(G) 1 V(G) 1 E(G) V(G) 1 Ε.Υ. = G\u ε χει κυ κλο G ε χει κυ κλο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

23 Θεώρημα 3.15: Έστω γρα φημα G με κυ κλο(υς) και δ(g) d. Το τε ισχυ ει r d (d 1) i girth(g) = 2r + 1 i=0 V(G) r 1 2 (d 1) i girth(g) = 2r i=0 Απόδειξη : Περίπτωση 1: girth(g) = 2r + 1 Έστω X 0, X 1,..., X r τα πρω τα r + 1 συ νολα μιας αποσυ νθεσης απο στασης A(u) ως προς κα ποια κορυφη u V(G) η οποι α ανη κει σε ε ναν κυ κλο μη κους girth(g) v X i, 1 i r η v ε χει ακριβω ς 1 γει τονα στο X i 1 [Διαφορετικα, ε στω ο τι ει χε 2 γει τονες w 1 και w 2 X i 1 μονοπα τια u w 1 και u w 2 ι διου μη κους (i 1) κυ κλος μη κους το πολυ 2i < 2r < girth(g) άτοπο (ορισμο ς girth(g))] X i (d 1) X i 1, 2 i r X 0 = 1, X 1 d r V(G) X i 1 + d + d(d 1) + + d(d 1) r 1 i=0 r 1 = 1 + d (d 1) i i=0 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71

24 Περίπτωση 2: girth(g) = 2r Έστω (u, v) μια αυθαι ρετη ακμη του G που ανη κει σε κυ κλο μη κους girth(g) G = G\(u, v) {(u, w), (w, v)} Έστω X 0, X 1,..., X r τα πρω τα r + 1 συ νολα μιας αποσυ νθεσης απο στασης A(w) y X i, 2 i r η y ε χει ε ναν ακριβω ς γει τονα στο X i 1 [Εα ν y X i, 2 i r με 2 γει τονες στο X i 1 Το τε ε χω στο G κυ κλο μεγε θους 2i Το τε ε χω στο G κυ κλο μεγε θους 2i 1 2r 1 < girth(g) άτοπο] X 0 = 1 X 1 = 2 X i (d 1) X i 1, 2 < i r r 1 r V(G ) X i (d 1) + + 2(d 1) r 1 = (d 1) i (5) i=0 V(G) = V(G ) 1 (6) r 1 (5),(6) V(G) 2 (d 1) i i=0 w X0 u v X1 G Xi 1 Xi y i=0 Xr 1 Xr y Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 71