E2. Električni titrajni krug

Transcript

1 Električni titrajni krug 1 E. Električni titrajni krug 1. Ključni pojmovi Impedancija, rezonancija, faktor dobrote, LC titrajni krug. Teorijski uvod a) Slobodne oscilacije Serijski titrajni krug zamišljamo kao serijski spoj idealnog otpornika ( ), idealne zavojnice ( L ) i idealnog kondenzatora ( C ). Ako načinimo sklop kao na slici 1, možemo ostvariti slobodne oscilacije. Slika 1. Sklop za slobodne električne oscilacije Ako nabijemo kondenzator i zatim zatvorimo prekidač, dolazi do slobodnih električnih titraja. U početnom trenutku nabijeni kondenzator sadržava električnu energiju. Njegovim izbijanjem nastaje struja koja u zavojnici stvara magnetsku energiju. U daljnjem koraku struja nabija kondenzator suprotnim nabojima od početnih. Tako se magnetska energija pretvara opet u električnu i cjelokupni se proces ponavlja. Ovo titranje analogno je mehaničkom harmonijskom oscilatoru u kojem se u početnom trenutku uspostavi otklon iz položaja ravnoteže i zatim ga se pusti da slobodno titra. Pritom se početna potencijalna energija pretvara u kinetičku i zatim obrnuto te nastaje titranje. Ovakve smo pojave proučavali u početnom praktikumu. b) Prisilne oscilacije

2 Električni titrajni krug U ovoj vježbi nećemo proučavati slobodne električne oscilacije, nego samo prisilne električne oscilacije analogne prisilnim mehaničkim oscilacijama. U tu je svrhu potrebno iz nekog izvora elektromotorne sile dovesti sinusoidalan napon V ( t) = V cosω t (1) na serijski LC spoj (slika ). Slika. Sklop za prisilne električne titraje Uočite da se shema na slici u ovoj vježbi razlikuje od sheme na vježbi osciloskop i C krug samo u postojanju samoindukcije L. Za strujni krug na slici vrijedi drugi Kirchoffov zakon di Q V ( t) I L =. dt C () Struja I dovodi do promjene naboja Q na kondenzatoru pa imamo dq I =. dt (3) Struju i napon iz izvora možemo pisati u obliku iωt I ( t) = I e, (4) iωt V ( t) = Ve. (5) Fizikalno mjerljive veličine samo su realni dijelovi uvedenih kompleksnih veličina. Potonje uvodimo radi elegantnijega matematičkog računa i zornog prikaza faznih odnosa. Veličine I i V predstavljaju kompleksnu struju i napon u t =. Znamo da je važan samo relativan fazni odnos između struje i napona jer se on zadržava i tijekom rotacije vektora u kompleksnoj ravnini. Stoga možemo odabrati jednu od tih veličina realnom, dok druga onda mora biti kompleksna. U serijskom spoju obično se uzima da I bude realna veličina. Ako deriviramo jednadžbu (), dobivamo diferencijalnu jednadžbu za struju

3 Električni titrajni krug 3 d I di 1 L dt dt C S pomoću jednadžbe (4) možemo derivirati struje pa jednadžba (6) postaje iω t + + I = iωv e. (6) ω I = iωv, (7) C gdje je ujedno izvedena pokrata zajedničkog faktora exp ( iωt) u svim članovima. Iz te jednadžbe dobivamo 1 V = + iω L i I. (8) Izraz u zagradi nazivamo kompleksnom impedancijom serijskog LC kruga 1 Z = + i ωl. (9) Kompleksna impedancija određuje relativnu razliku faza između i I. Ako 1 LI + iω I + V uzmemo da je I realna veličina, onda V, koji dobivamo množenjem I sa Z, ima fazu kao i Z (slika 3). a) b) Slika 3. Kompleksna impedancija (a) i kompleksni prikaz struje i napona (b) za serijski LC krug

4 Električni titrajni krug 4 Vidimo da je faza ϕ određena relacijom 1 ωl - tgϕ = ωc. (1) Za t >, naponski vektori na slici 3b rotiraju, a fizikalno značenje imaju samo njihove realne vrijednosti u danome trenutku. Očito je da pojedini naponi dosežu svoje maksimalne vrijednosti u različitim trenucima, što je smisao faznih odnosa na slici 3b. Postavlja se pitanje što se zbiva kada mijenjamo frekvenciju ω napona koji dovodimo iz izvora. Kompleksna impedancija (9) mijenja svoj imaginarni dio. On iščezava na rezonantnoj frekvenciji 1 ω =. (11) LC Slika 4 prikazuje kompleksnu impedanciju za slučaj ω < ω, ω = ω i ω > ω. Kako frekvencija raste, smanjuje se niske frekvencije ϕ π frekvencije ϕ raste prema π Najmanji joj je iznos u rezonanciji. 1, a povećava ω L. Stoga je za vrlo ωc ϕ =, dok za više, u rezonanciji postaje. Impedancija se također mijenja po iznosu. Slika 4. Kompleksna impedancija za serijski LC krug u slučajevima ω < ω, ω = ω i ω > ω

5 Električni titrajni krug 5 Pogledajmo sada odnos između struje i napona. Jednadžba (8) kazuje da struju I množimo impedancijom Z i dobivamo napon. Kada bi izvor uvijek davao istu amplitudu struje I (strujni izvor), mijenjao bi se napon V s frekvencijom kao i impedancija Z (slika 4). Najčešće je izvor građen tako da daje stalnu amplitudu napona (naponski izvor), što znači da se amplituda struje mora mijenjati s frekvencijom. Iz jednadžbe (8) slijedi da je V I =. (1) 1 + ωl Slika 5 prikazuje napone za slučaj ω < ω, ω = ω i ω > ω, s time da je iznos napona V konstantan. I V V Slika 5. Naponi u serijskom LC krugu u slučajevima ω < ω, ω = ω i ω > ω uz konstantan iznos napona V iz izvora V Napon je maksimalan u rezonanciji zato što je i struja I maksimalna, kako to pokazuje jednadžba (1). Prema tomu, pojavu rezonancije možemo zgodno pratiti ako opažamo napon prilikom promjene frekvencije. U rezonanciji V V doseže maksimum. Drugi način opažanja rezonancije je putem faznih razlika. Ako s pomoću osciloskopa promatramo istodobno napone V i V, možemo uočiti razliku faza ϕ među njima. Promjenom frekvencije mijenja se ϕ od negativne

6 Električni titrajni krug 6 veličine ( V kasni za V ) preko ϕ = u rezonanciji do ϕ > ( rani ispred V ). Treći način opažanja rezonancije postižemo ako na osciloskop dovedemo ukupni pad napona na zavojnici i kondenzatoru. Zbog protufaznog odnosa napona V i V, ukupni napon iščezava u rezonanciji iako svaki od pojedinih L napona može biti znatan. C V 3. Eksperimentalni uređaj Na raspolaganju imamo izvor audiofrekventnog signala ( 1 Hz <ν < 1 khz ), osciloskop, zavojnicu samoindukcije L = mh, otpornik otpora = 5 Ω, kondenzator nepoznatog kapaciteta i priključne kabele (slika 6). v Slika 6. Mjerni postav za LC krug Serijski spoj LC lako je ostvariti s danim elementima. Međutim, moramo biti oprezni s točkom uzemljenja. Izvor elektromotorne sile koji daje napon V (t) ima koaksijalnu priključnicu kojoj je jedan kraj uzemljen. Isto vrijedi i za osciloskop kojim promatramo napone. U zatvorenome strujnom krugu smijemo

7 Električni titrajni krug 7 uzemljiti samo jednu točku. Stoga moramo napraviti raspored elemenata u skladu sa željenim mjerenjem. Ako želimo s pomoću osciloskopa promatrati napon V, moramo ostvariti sklop prema shemi na slici 7. Osciloskopom možemo mjeriti napon između točke O i bilo koje druge točke, s time da pazimo da uzemljenje osciloskopa dovedemo na točku O. Pozor! Pazite da zabunom ne spojite uzemljeni vod iz osciloskopa na točku F. Naime, točka O je već uzemljena na izvoru signala pa bi uzemljivanje još i točke F značilo kratak spoj izvora, čime ga se može uništiti. Sklopom na slici 7 možemo mjeriti napon između točaka G i O te ukupni napon V između točaka F i O. Međutim, nije moguće mjeriti napon između točaka F i G jer bi se tada uzemljenje osciloskopa prenijelo na točku G. Time bi se strujni krug reducirao jer bi iz njega bio isključen otpor, a time se promijeni i prvotni napon između točaka F i G. Pri spajanju uređaja treba voditi računa o građi koaksijalnih kabela kao u prošloj vježbi. ealna zavojnica ima uvijek neki otpor ', koji u seriji s vanjskim otporom daje ukupan otpor V = + v '. (13) v v Slika 7. Shema sklopa za mjerenje napona V Ukupni otpor ulazi u jednadžbu (8). Međutim, eksperimentalno ne možemo mjeriti napon V, nego samo njegov dio na vanjskom otporu, tj. između točaka G i O na slici 7. Možemo osciloskopom pratiti napone V i V te određivati fazni kut ϕ među njima i amplitudu napona v GO V GO kada se mijenja

8 Električni titrajni krug 8 frekvencija. Fazni kut ϕ dan je relacijom (1), a zorno je prikazan na slici 4. Amplitudu V GO možemo izračunati s pomoću jednadžbe (1) v VGO = v I = V. (14) 1 ωl + v Napon VGO je maksimalan u rezonanciji i iznosi VGO = V. Može se analizirati širina rezonantne linije na polovici njezine visine. Amplituda napona V ima polovicu svoje maksimalne vrijednosti na frekvenciji ω koja u GO nazivniku jednadžbe (14) daje 1 ω p L + =. (15) pc ω Ova jednadžba posjeduje dva rješenja 1 3 ω p 3 4 ± = + ω ±. (16) L L Širina rezonantne linije na polovici visine iznosi Δω pp = 3, (17) L dakle proporcionalna je otporu u kojem se stvaraju gubici. Faktor dobrote (Q-faktor) titrajnog kruga definira se kao omjer prosječne pohranjene snage u oscilatoru i utrošene snage u jednom periodu. Može se pokazati (vidi "Udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu" - Svezak II, str. 177) da faktor dobrote iznosi ω L Q =, (18) tj. obrnuto je proporcionalan otporu u kojem se troši snaga. p

9 Električni titrajni krug 9 Slika 8. Shema sklopa za mjerenje napona VC Ako želimo promatrati druge napone, moramo složiti elemente prema shemi na slici 8. Napon između točaka H i O dobivamo množenjem impedancije tog dijela strujnog kruga sa strujom 1 V HO = ' + iω L i I, (19) gdje je ' omski otpor zavojnice koja u praksi nije idealna. Promjenom frekvencije mijenja se amplituda ovog signala 1 V V HO = ' + ω L. () 1 + ωl U rezonanciji je napon u fazi s naponom V, a njegova je amplituda VHO minimalna i iznosi ' V HO = V. (1) Kada bi zavojnica bila idealna ( '= ), imali bismo iščezavanje napona u rezonanciji. Jako daleko od rezonancije, tj. za V HO ωl 1 ωc >>, imamo 1 V HO V. Širinu krivulje rezonancije dobivamo iz uvjeta VHO = V. Ako u jednadžbi () zanemarimo ', traženi se uvjet svodi na jednadžbu

10 Električni titrajni krug 1 koja ima dva rješenja 1 ω q L =, () qc ω ω q± = + 4ω ±. (3) 3L 3 L Širina rezonantne linije na polovici visine iznosi 1 Δω qq =. (4) 3 L Vidimo da je proporcionalnost s otporom ista kao u jednadžbi (17), no širina linije dobivene promatranjem napona V trostruko je manja od širine linije dobivene promatranjem napona Iako je u rezonanciji ukupni napon V GO. V HO HO na kondenzatoru i zavojnici minimalan (a u slučaju idealne zavojnice iščezava), naponi na pojedinim elementima mogu biti znatni. Sklop na slici 8 omogućuje i promatranje napona na kondenzatoru, tj. između točaka K i O. Zamijenimo li mjesta zavojnice i kondenzatora, možemo promatrati napon na zavojnici. 4. Zadaci 1. Složite aparaturu kao na slici 6. Priključite na jedan kanal osciloskopa ukupni napon V FO = V koji daje izvor, a na drugi kanal napon V GO. Vodite računa o građi koaksijalnog kabla i ispravnom uzemljenju. Mijenjajte frekvenciju signala i uočite pojavu rezonancije. Odredite amplitudu za niz frekvencija i nacrtajte graf ovisnosti V GO o frekvenciji.. Odredite rezonantnu frekvenciju ω = πν (generator signala pokazuje ν, a ne ω ). Uz poznati L i ω, odredite nepoznati C prema relaciji (11). 3. elacija (14) pokazuje da u rezonanciji imamo VGO = ( v ) V. Budući da V i V GO možete očitati na prvom i drugom kanalu osciloskopa, izračunajte omjer v. Kakav je odnos ' prema v? 4. Složite aparaturu prema shemi na slici 7 i promatrajte s pomoću osciloskopa napone V FO = V koji daje izvor i V HO. Mijenjajte frekvenciju signala i uočite pojavu rezonancije. Nacrtajte graf ovisnosti amplitude V HO o

11 Električni titrajni krug 11 frekvenciji. Odredite rezonantnu frekvenciju i usporedite rezultat s onime u zadatku. Odredite u rezonanciji omjer ' s pomoću relacije (1) i usporedite rezultat sa zadatkom 3. Odredite širinu rezonancije Δ ω qq i prema relaciji (4) odredite omjer L te usporedite sa zadatkom Postavite frekvenciju tako da se postigne rezonancija. Zatim premjestite priključak osciloskopa na točku K, tako da promatrate napon V na kondenzatoru. Zabilježite amplitudu i fazu u odnosu prema V. Kakav je odnos napona V KO prema naponu V HO koji je u minimumu? Zamijenite mjesta zavojnice i kondenzatora te usporedite napon na zavojnici s prije određenim naponom na kondenzatoru i s naponom V. Objasnite rezultate. 6. Spojite sklop kao na slici. HO KO Osciloskopom mjerite napon na kondenzatoru. Odredite period i frekvenciju prigušenog titranja za 3 različita otpora. Prigušeno titranje na osciloskopu možete vidjeti ako je frekvencija titranja izvora mala, ako za oblik signala uzmete pravokutni i ako je otpor gušenja reda veličine 1 Ω. 7. Izmjerite amplitude za deset uzastopnih titraja (uvijek s iste strane, odnosno s istim predznakom). Ponoviti postupak za tri različita otpornika. Iz Vn αt jednadžbe = e, gdje je α = faktor gušenja, prikažite V n kao Vn+ 1 L funkciju od V. Transformirati dobivenu ovisnost tako da bude pogodna za crtanje linearnog grafa. Iz nagiba pravca odredite logaritamski dekrement za 3 različita otpora (sva tri pravca prikazati na

12 Električni titrajni krug 1 Vn istom grafu). Logaritamski dekrement je definiran kao: λ = ln. V n+ 1