Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Transcript

1 Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος

2 Ασυνεπές σύνολο Ορισμός: Ένα σύνολο το οποίο περιέχει προτάσεις οι οποίες δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα αληθείς λέγεται ασυνεπές. Παραδείγματα S1 = {z < 3, z >= 3} ασυνεπές S2 = {Η σύζυγος του Γιάννη είναι γιατρός, Ο Γιάννης είναι ανύπαντρος} ασυνεπές

3 Συνεπές σύνολο Ορισμός: Ένα σύνολο προτάσεων λέγεται συνεπές όταν δεν είναι ασυνεπές. Προσοχή!!! Σε ένα συνεπές σύνολο οι προτάσεις δεν είναι πάντα αληθείς, ενδέχεται να είναι αληθείς. S3 = {x > y, y >z} συνεπές Παράδειγμα (Παρόλο που μπορούμε να βρούμε τιμές για x,y, z ώστε τουλάχιστον μία από τις προτάσεις να είναι ψευδής.) π.χ. x = 2, y = 1, z = 4, το 2 > 1 αλλά το 1 δεν είναι μεγαλύτερο του 4

4 Εξαγωγή Συμπερασμάτων Δεδομένου ενός συνόλου προτάσεων {p1,p2,,pn} μπορούμε να εξάγουμε ως συμπερασμα την πρόταση c, αν η c είναι συνέπεια των p1,p2,, pn. 1) p1,p2,...,pn /c Ή Συμβολισμός 2) p1 p2... pn c

5 Εξαγωγή Συμπερασμάτων Ορισμός: Η εξαγωγή συμπεράσματος p1, p2,, pn / c είναι έγκυρη εφόσον δεν είναι δυνατόν για τις p1, p2,, pn να είναι συγχρόνως αληθείς και η c να είναι ψευδής. Είναι ορθή αν είναι έγκυρη και οι p1, p2,, pn, c είναι όλες ταυτόχρονα αληθείς. Για να δηλώσομε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος p1, p2,, pn / c είναι έγκυρη χρησιμοποιούμε το συμβολισμό p1, p2,, pn = c HY

6 Εξαγωγή Συμπερασμάτων Παρατηρείστε ότι όταν προσπαθούμε να εξάγουμε ένα συμπέρασμα από ένα ασυνεπές σύνολο, τότε η εξαγωγή οποιουδήποτε συμπεράσματος θα είναι έγκυρη ανεξαρτήτως των προτάσεων που υπάρχουν μέσα στο σύνολο. Αυτό συμβαίνει γιατί δε γίνεται να είναι όλες οι προτάσεις του συνόλου ταυτόχρονα αληθείς και το οποιοδήποτε συμπέρασμα ψευδές. HY

7 Ισοδυναμία Ορισμός: Αν για δύο προτάσεις Α και Β ισχύει ότι Α = Β και Β = Α, τότε οι προτάσεις Α και Β λέγονται ισοδύναμες. Δύο ισοδύναμες προτάσεις είναι συγχρόνως αληθείς ή συγχρόνως ψευδείς. HY

8 Βασικές ισοδυναμίες Προτασιακού Λογισμού 1 α ) Α Β Β A 1 β ) Α Β Β A 2 α ) Α ( Β C) ( Α Β ) C 2 β ) Α ( Β C) ( Α Β ) C 3 α ) Α Α Α 3 β ) Α Α Α 4 α ) Α ( Β C) ( Α Β) ( A C ) 4 β ) Α ( Β C) ( Α Β) ( A C) 5 α ) Α ( Α Β ) Α 5 β ) Α ( Α Β ) Α (μεταθετικότητα του ) (μεταθετικότητα του ) (προσεταιριστικότητα του ) (προσεταιριστικότητα του ) (αυτοπάθεια του ) (αυτοπάθεια του ) (επιμερισμός του πάνω στο ) (επιμερισμός του πάνω στο ) (απορρόφηση του ) (απορρόφηση του ) HY

9 Κανονικές μορφές -Ορισμοί Ορισμός: Ένα γράμμα είναι οποιαδήποτε πρότυπη μεταβλητή. π.χ. Α,Β Ορισμός: Ένας ελάχιστος όρος είναι ένα γράμμα ή η σύζευξη διακριτών γραμμάτων. Παραδείγματα Το Α είναι γράμμα και συγχρόνως μέγιστος και ελάχιστος όρος. Α Β, Α Β C à ελάχιστοι όροι A A à Δεν θεωρείται ελάχιστος όρος

10 Κανονικές μορφές -Ορισμοί Ορισμός: Ένας μέγιστος όρος είναι ένα γράμμα ή η διάζευξη διακριτών γραμμάτων Παραδείγματα Το Α είναι γράμμα και συγχρόνως μέγιστος και ελάχιστος όρος Α Β, Α Β Cà μέγιστοι όροι A A à Δεν θεωρείται μέγιστος όρος

11 Κανονικές μορφές -Απορρόφηση Ορισμός: Ένας ελάχιστος (μέγιστος) όρος M1 απορροφά έναν άλλο ελάχιστο (μέγιστο) όρο M2 αν κάθε γράμμα του M1 είναι επίσης στο M2 Το Α απορροφά το Α C και το Παράδειγμα Α C Α C Β απορροφά το

12 Κανονικές μορφές -Απορρόφηση Ορισμός: Ένας ελάχιστος (μέγιστος) όρος M1 απορροφά πάντα τον εαυτό του Παράδειγμα Το Α απορροφά το Α Το Α C απορροφά το Α C

13 Κανονικές μορφές CNF-DNF Συζευκτική Κανονική μορφή (CNF) Μια πρόταση είναι σε Συζευκτική Κανονική μορφή αν είναι μια σύζευξη από μέγιστους όρους κανένας από τους οποίους δεν απορροφά κανένα άλλον. HY

14 Κανονικές μορφές CNF DNF Διαζευκτική Κανονική μορφή (DNF) Μια πρόταση είναι σε Διαζευκτική Κανονική μορφή αν είναι μια διάζευξη από ελάχιστους όρους κανένας από τους οποίους δεν απορροφά κανένα άλλον. HY

15 Κανονικές μορφές CNF-DNF Παραδείγματα Α à DNF, CNF B à DNF, CNF (A B C) (Α D) à DNF (A B C) (A C) (A B) à OXI DNF, γιατί? Γίνεται απορρόφηση: (A B C) από το (A C) (A C) (A B) à DNF A B C à DNF, CNF, A B C à DNF, CNF A (B C) à CNF

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Κάνουμε τον πίνακα αληθείας: Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε καμία περίπτωση η Α δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. β) AVB/A Κάνουμε τον πίνακα αληθείας: Α Β ΑVΒ Α α α α α α ψ α α ψ α α ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A είναι ψευδής και η Β αληθής, τότε η πρόταση ΑvΒ είναι αληθής ενώ η Α είναι ψευδής. Άρα η εξαγωγή συμπεράσματος δεν είναι έγκυρη. γ) AV(BΛC)/AVC Κάνουμε τον πίνακα αληθείας: Α Β C BΛC AV(BΛC) ΑVC α α α α α α α α ψ ψ α α α ψ α ψ α α α ψ ψ ψ α α ψ α α α α α Ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ α ψ ψ α Ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση AV(BΛC) είναι αληθής, τότε σε καμία περίπτωση η AVC δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη.

17 δ) AΛB, A B / A Κάνουμε τον πίνακα αληθείας: Α Β ΑΛΒ A B Α α α α ψ α α ψ ψ α α ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν οι προτάσεις A B, A B είναι αληθείς, τότε σε καμία περίπτωση η Α δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. Παρατηρήστε ότι το σύνολο προτάσεων από το οποίο προσπαθούμε να εξάγουμε συμπέρασμα είναι ασυνεπές: δε γίνεται να είναι και οι δύο προτάσεις ταυτόχρονα αληθείς. Στην περίπτωση αυτή, οποιαδήποτε εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη, αφού ποτέ δε θα υπάρχει περίπτωση που οι υποθέσεις είναι ταυτόχρονα αληθείς (και το οποιοδήποτε συμπέρασμα ψευδές). ε) A B, Α/Β Κάνουμε τον πίνακα αληθείας: Α Β ΑΛΒ Β α α α α α ψ ψ ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν οι προτάσεις A B, A είναι αληθείς, τότε σε καμία περίπτωση η B δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη. Παρατηρήστε ότι το σύνολο προτάσεων από το οποίο προσπαθούμε να εξάγουμε συμπέρασμα είναι συνεπές. 2. Χρησιμοποιώντας τις βασικές ισοδυναμίες του προτασιακού λογισμού αποδείξτε τις παρακάτω ισοδυναμίες:

18 Οι λύσεις που δίνονται παραπάνω είναι ενδεικτικές, μπορείτε να καταλήξετε με πολλούς διαφορετικούς τρόπους στα ίδια αποτελέσματα.