Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Transcript

1 Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/

2 Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα, αιτιατά και ΦΕΦΕ ευσταθή: α) β) γ) δ) ( ) ( ) y y y ( ) ( ) ( + ) ( ) 3 ( ) + 9 ( ) ( ) y

3 Λύση α) - Γραμμικό: ΟΧΙ - Χρονικά αμετάβλητο: ΝΑΙ - Αιτιατό: ΝΑΙ (η έξοδος δεν εξαρτάται αό μελλοντικές τιμές της εισόδου) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' y y ʹ

4 Λύση (συνέχεια) α) (συνέχεια) - ΦΕΦΕ ευσταθές: ΝΑΙ β) - Γραμμικό: ΟΧΙ ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) M y M < < ( ) ( ) ( ) + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y

5 Λύση (συνέχεια) β) (συνέχεια) - Χρονικά αμετάβλητο: ΝΑΙ - Αιτιατό: ΟΧΙ (η έξοδος στο χρόνο εξαρτάται αό την είσοδο τη μελλοντική στιγμή +) ( ) ( ) ( ) + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ʹ + y y

6 Λύση (συνέχεια) β) y( ) ( ) ( + ) (συνέχεια) - γ) - - Ευσταθές: ΝΑΙ ( ) < M y( ) ( ) ( + ) M < y ( ) 3 ( ) + 9 Γραμμικό: ΟΧΙ ( ) 0 y( ) 9 0 Χρονικά αμετάβλητο: ΝΑΙ y( 0 ) 3( 0 ) + 9 ' ( ) ( ) yʹ ( ) 3( )

7 Λύση (συνέχεια) γ) y( ) 3 ( ) + 9 (συνέχεια) - - δ) - Αιτιατό: ΝΑΙ (η έξοδος δεν εξαρτάται αό μελλοντικές τιμές της εισόδου) Ευσταθές: ΝΑΙ ( ) < M y( ) 3 ( ) + 9 3M + 9 < 3M + 0 ( ) ( ) y Γραμμικό: ΝΑΙ ( ) α ( ) + β ( ) y( ) a ( ) + β ( ) α y ( ) + y ( ) β

8 Λύση (συνέχεια) δ) y ( ) ( ) (συνέχεια) Χρονικά αμετάβλητο: ΟΧΙ 0 y( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0( 0 ) ' ( ) ( ) yʹ ( ) ( ) Αιτιατό: ΝΑΙ (η έξοδος δεν εξαρτάται αό μελλοντικές τιμές της εισόδου) Ευσταθές: ΟΧΙ ( ) y( ) ( ) 0 0

9 Άσκηση Να ανατύξετε σε εκθετική ή τριγωνομετρική σειρά Fourier το αρακάτω εριοδικό σήμα ( + k ) ( ) k ( ), <, Z Να χρησιμοοιήσετε το θεώρημα Parseval για να υολογίσετε το άθροισμα 4

10 Το σήμα έχει τη μορφή: Λύση () το οοίο είναι άρτια συνάρτηση. Συνεώς, αναμένουμε η τριγωνομετρική της σειρά να εριέχει μόνο όρους συνημιτόνου (a ), δηλαδή b 0,.

11 Λύση (συνέχεια) Η βασική ερίοδος της () είναι, συνεώς η τριγωνομετρική σειρά έχει θεμελιώδη συχνότητα Ω0 T 0 και οι όροι της τριγωνομετρικής σειράς υολογίζονται αό τις σχέσεις: a 0 cos ( ) d, a ( ) ( ) d

12 Λύση (συνέχεια) a 0 d ( ) ( ) cos d cos( ) d si si ( ) ( ) ( ) si si d( ) ( ) cos d ( ) ( ) ( ) cos cos( ) si d d d

13 a a 0 Λύση (συνέχεια)! cos! ( )!!! ( )cos!! ( )!! +! cos(! )!!! 4! (!! )! si( ) 3! ( ) d d!!! " cos( )d!!! # si( ) " d% ( $ '!!!!! 4 (!)! 0 4 (!)

14 Το θεώρημα Parseval λέει ότι Και, αντικαθιστώντας τα αραάνω, αίρνουμε: Λύση (συνέχεια) ( ) ( ) + + d b a a d

15 Άσκηση 3 Δίνεται σήμα διακριτού χρόνου () με μετασχηματισμό Z, X(z), και εριοχή σύγκλισης r 0 < z <r. Να βρείτε το μετασχηματισμό Z (μαζί με την εριοχή σύγκλισης) του σήματος διακριτού χρόνου y () 3 [()+u()] συναρτήσει του X(z).

16 Z Λύση 3 Αό την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Z, { } { ( )} ( ) ( ) Y z Z 3 + Z 3 u Χρησιμοοιώντας τον ορισμό, αίρνουμε ( ) z z 3 z 3 3 { 3 } ( ) ( ) ( ) για να συγκλίνει το άθροισμα αυτό, ρέει το (z/3) να ανήκει στην Π.Σ. του μετασχηματισμού Z, δηλαδή r 0 < z 3 < r

17 Συνεώς, { } Z 3 ( ) Είσης, Z 3 u Συνεώς, Με Π.Σ. Λύση 3 (συνέχεια) (! z # $ ' ) " 3% ( ) *! # z $ " 3 % '( { ( )} z Y z z! 3 ( ) Z 3 ( ) για z > 3 { }+ Z 3 u ma 3r 0,3 { } < z < 3r { ( ) }! z # 3 για " $ % ' + z z ( 3 3r 0 < z < 3r

18 Άσκηση 4 Έστω το αρακάτω σύστημα, ου αοτελείται αό ειμέρους υοσυστήματα z() () y() τα οοία χαρακτηρίζονται αό τις εξής εξισώσεις εισόδου- εξόδου: z " ( )d! y ( )!!3 "!3 ( ) z! ( )d!

19 Άσκηση 4 (συνέχεια) a) Υολογίστε και σχεδιάστε την κρουστική αόκριση του συνολικού συστήματος και την συνάρτηση μεταφοράς, H(Ω). b) Αοφανθείτε αν το σύστημα είναι αιτιατό ή/ και ΦΕΦΕ ευσταθές. c) Έστω ότι η είσοδος του συστήματος είναι " # k!" ( )! (! k6) Να υολογίσετε ή να δώσετε γραφικά την έξοδο του συστήματος.

20 Λύση 4 a) Αό τη σχέση εισόδου εξόδου, αρατηρούμε ότι τα δύο συστήματα είναι ανομοιότυα (δηλαδή έχουν την ίδια συνάρτηση μεταφοράς, h ()). Ειλέον, αρατηρούμε ότι η σχέση εισόδου- εξόδου μορεί να γραφτεί ως: z " ( )d! " (! )d!! (! )d! ( )!!3 #!#!3 "!# " (! )u(!! )d!! (! )u(! 3!! )d!!# # "!#

21 ! z Λύση 4 Η αραάνω είναι η γνωστή σχέση της συνέλιξης της συνάρτησης () με τη συνάρτηση h # $ "# ( )d! ( ) (! ) u( "! ) " u( " 3"! ) ( ) u( )! u (! 3 ) P $! 3 3 # Συνεώς, η συνάρτηση μεταφοράς του καθένα αό τα δύο υοσυστήματα είναι ο μοναδιαίος αλμός στο διάστημα [0,3]. " % '

22 Λύση 4 (συνέχεια) Άρα, η συνολική συνάρτηση μεταφοράς είναι η h()h ()*h (), δηλαδή η συνέλιξη δύο αλμών με εύρος 3, η οοία δίνει ένα τριγωνικό αλμό με βάση 6 και ύψος 3, ως εξής: $ 3 h () h()h ()*h () h ( ) % ' 0, < 0, 0! < 3 6 ", 3 < < 6 0, #

23 Λύση 4 (συνέχεια) Αό τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier βασικών σημάτων, έχουμε P 3 ( )! 3 si # % 3" $ 3" ( ' # ) P 3 * 3 % (! e * $ ' Και αό την ιδιότητα της συνέλιξης, h " ( ) P $! 3 3 # % '* P "! 3 % $ 3 # '( H ) # % 3si 3" $ 3" j3" ( ) e! j3) 9 ( ' " si 3) % $ ' # 9) 4

24 Λύση 4 (συνέχεια) Το λάτος του μετασχηματισμού Fourier υολογίζεται και δίνεται γραφικά αρακάτω H (!) e " j3! 9 9 # si 3! % ( $ ' 9! 4 # si 3! % ( $ ' 9! 4 j3! " e 9 # si 3! % ( $ ' 9! H(Ω)

25 Λύση 4 (συνέχεια) b) Εφόσον η κρουστική αόκριση του συστήματος είναι αιτιατό σήμα (h()0, για <0), συνεώς το σύστημα είναι αιτιατό. Εφόσον η κρουστική αόκριση είναι αολύτως ολοκληρώσιμη (εριορισμένου λάτους και εύρους), συνεώς είναι ΦΕΦΕ ευσταθές. Κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο, αφού κάθε ένα αό τα ειμέρους υοσυστήματα είναι αιτιατό και ΦΕΦΕ ευσταθές.

26 Λύση 4 (συνέχεια) c) Το σήμα εισόδου είναι το αρακάτω και με αλή συνέλιξη με τον τριγωνικό αλμό, έχουμε το αρακάτω σήμα εξόδου (εριοδικός τριγωνικός αλμός) 3 y()... ()

27 Άσκηση 5 Θεωρήστε το αρακάτω ηλεκτρικό κύκλωμα a) Να βρείτε τη διαφορική εξίσωση ανάμεσα στην είσοδο (τάση ()) και την έξοδο (τάση y())

28 Άσκηση 5 (συνέχεια) b) Για RkΩ, C0-5 F, να βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς, H(s) c) Να βρείτε την έξοδο y() για είσοδο ()e - u() και αρχικές συνθήκες v c (0) V, v c/ (0) V

29 Λύση 5 Ξεκινάμε αό τις εξισώσεις του κυκλώματος: y( ) i R ( ) C i! #!" ( ) R C i C! # ( )d! + y!" i( ) i ( ) + i ( ) R C ( )d! ( ) Και στη συνέχεια ααλοίφουμε τα 3 ρεύματα $ % '

30 y( ) i R ( ) C y( ) i R ( ) Λύση 5 (συνέχεια) #!" ( ) R C i C! ( )d! # ( i (! ) + i (! ))d! + y R C!" #!" ( ) R C i C! ( )d! ( ) $ % ( ' # RC i (! ) Rd! + # R C i (! )d! + y C!"!" ( ) $ % ( '

31 ( ) ( ) d( ) d Λύση 5 (συνέχεια) # RC y (! )d! + y!" # RC y (! )d! + 3y!" RC y ( ) + 3 dy ( ) ( ) + y( ) $ ( ) $ Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην αραάνω διαφορική εξίσωση, αίρνουμε d sx s ( )! 0! ( ) RC Y s ( ) + 3sY s ( )! 3y 0! ( )

32 Λύση 5 (συνέχεια) b) Για να υολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς, θεωρούμε ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν, και έτσι η τελευταία εξίσωση γίνεται sx ( s) RC Y ( s ) + 3sY ( s)! srcx s ( ) + 3RCs ( )Y s ( )! RC 0 3!0 "5 0.0sec ( ) Y ( s ) X ( s) src! s + 3RCs "! s ( ) 0.0s s

33 Λύση 5 (συνέχεια) c) Για να βρούμε την έξοδο του συστήματος με είσοδο την ()e - u() και αρχικές συνθήκες v c (0) V, v c/ (0) V, ξεκινάμε και άλι αό τη διαφορική εξίσωση του κυκλώματος και αρατηρούμε ότι, (0 - )v c (0)+v c/ (0)V+V3V. Είσης, y(0 - )v c (0)V. ( ) e! u ( ) " X s ( ) s +, Re s ( ) >! sx ( s)! ( 0! ) RC Y ( s ) + 3sY ( s)! 3y( 0! )

34 Συνεώς, έχουμε Λύση 5 (συνέχεια) s s +! Y ( s ) + 3sY ( s)! 3 " s s + 00Y ( s ) + 3sY ( s)! Y ( s) s ( s +) ( 3s + 00) Το οοίο με ανάλυση σε αλά κλάσματα μας δίνει Y s ( ) 3 s ( s +) ( s ) 3! # " A s + + B $ s %

35 Λύση 5 (συνέχεια) A!00 3!00 3+!00 3! ! B!+ 00 3!3!3+ 00!3 Y ( s) s +! 3 59 Αντιστρέφοντας τους αραάνω μετασχηματισμούς Laplace, αίρνουμε " y( ) e!! e! 3 $ # 97 s % 'u( )

36 Λύση 5 (συνέχεια) Οι γραφικές αραστάσεις των () y() είναι οι εξής: () y() Αξίζει να ροσέξουμε την ασυνέχεια, τόσο στην () (3- >) όσο και στην y() (- >/3) στο 0, το οοίο είναι αοτέλεσμα του βρόγχου υκνωτών

37 Άσκηση 6 Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αιτιατού συστήματος διακριτού χρόνου είναι η αρακάτω H z ( ) z + 4 z z! z + 4 Να υολογίσετε την κρουστική αόκριση του συστήματος. Είναι το σύστημα ΦΕΦΕ- ευσταθές?

38 Άσκηση 6 (συνέχεια) Να υολογίσετε την έξοδο του συστήματος όταν η είσοδος είναι το σήμα e j! 4! cos #! " 4 $ % + jsi! #! " 4 $ %

39 Λύση 6 Εφόσον μας δίνεται ότι το σύστημα είναι αιτιατό, γνωρίζουμε ότι η Π.Σ. του μετασχηματισμού Z είναι το εξωτερικό ενός κύκλου. Υολογίζουμε ρώτα τους όλους της συνάρτησης μεταφοράς H z ( ) z + 4 z z! z + 4 z z + 4 " z! % $ ' #

40 Λύση 6 (συνέχεια) Δηλαδή, το σύστημα έχει ένα διλό όλο στο z/ και η Π.Σ. είναι z >0.5. Για να αντιστρέψουμε τη συνάρτηση μεταφοράς, ροχωρούμε σε ανάτυξη σε αλά κλάσματα H ( z) z z + ( * 4 z * A % * ' z! * ) " $ z! # B + " z! % $ ' # ,

41 Λύση 6 (συνέχεια) Όου τα A και B υολογίζονται κατά τα γνωστά: A! d# z + " 4 dz $ %, B z + 4 z 3 4 z! H ( z) z ) z " + * # z " % ( $ ',.. z. z " z # z " % ( $ '

42 Λύση 6 (συνέχεια) Αντιστρέφοντας τους όρους, αίρνουμε:! h( ) # " $ % u( ) + 3! # "! # + 3 " $! # %" $ % Εφόσον η Π.Σ. εριέχει το μοναδιαίο κύκλο, το σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές. $ % u( ) u( )

43 Λύση 6 (συνέχεια) Εφόσον το σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, ο μετασχηματισμός Fourier, H(e jω ), της κρουστικής αόκρισης υάρχει και δίνεται αό την: H ( e j! ) e j! + 4 e j! e j!! e j! + 4 e j! + e j! 4 " e j!! % $ ' #

44 Λύση 6 (συνέχεια) Το σήμα εισόδου ου δίνεται είναι εκθετικό μιγαδικό, της μορφής e j! cos! ( ) + jsi (! ) για ω/4. Συνεώς, η έξοδος του συστήματος θα είναι y ( ) ( ) e j! H e j! y( ) e j! 4 H! e j! # 4 " για ω/4, δηλαδή $ e j! 4 % e j! + 4 e j! 4 e j! ' e j! " $$$$$$$ # $$$$$$$ % 4! + j 8!9 ".9#! 65.9! ( ) 66! 40