Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Transcript

1 Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: (1) (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο 1.36) Web: 1

2 Ανάλυση Ευσταθείας Γραμμικών Κυκλωμάτων

3 Ορισμοί Ευσταθείας (1) Α. Απόκριση Μηδενικής Κατάστασης (ΑΜΚ) / Περιγραφή Συστήματος Εισόδου-Εξόδου : Α1. Κρουστική Απόκριση / Συνάρτηση μεταφοράς Α. Κριτήριο Φραγμένη Είσοδος Φραγμένη Έξοδος (Φ.Ε.Φ.Ε.) Β. Απόκριση Μηδενικής Εισόδου (ΑΜΕ, Ελεύθερη Απόκριση) (Ασυμπτωτική) Ευστάθεια κατά Lyapunov Β1. Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης B. Περιγραφή Εισόδου-Εξόδου 3

4 Ορισμοί Ευσταθείας () Α- Απόκριση Μηδενικής Κατάστασης (ΑΜΚ) (αρχικές συνθήκες = ) Ορισμός Α-1 (κρουστική απόκριση) Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές εαν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί: ht () dt< ή: A < ( A> ): h( t) dt A Παράδειγμα Π-1: RLC κύκλωμα (ης τάξης, με ζ<1) H() s = s s ω ω + ζω + σt ht () = A e sin( ω t+ φ) όπου: σ = ζω και d A ω ζ : συνάρτηση μεταφοράς : κρουστική απόκριση ω = ω = ω ζ 1 = 1 και φ= d E + - R 1 LC ζω R R C = ζ = L L L C + y - 4

5 Ορισμοί Ευσταθείας (3) Παράδειγμα Π-1 (συνέχεια): σt σt A ht () dt= A e sin( ω t+ φ) dt= A e sin( ω t+ φ) dt < d Ο ορισμός (Α-1) της ασυμπωτικής ευσταθείας μέσω της κρουστικής απόκρισης Έστω είσοδος: Τότε: ut () U, t ( φραγμένη είσοδος) t t y( t) = h( τ ) u( t τ) dτ h( τ) u( t τ) dτ συνέλιξη: ht () ut () t U h( τ) dτ U A φραγμένη έξοδος d σ 5

6 Ορισμοί Ευσταθείας (4) Ορισμός Α- (Φ.Ε.Φ.Ε) (BIBO stability) Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές εαν για κάθε φραγμένη είσοδο η έξοδος είναι επίσης φραγμένη. B < : ut ( ) B, t B < : yt ( ) B, t U U Y Y Μη ασυμπτωτικά ευσταθές σύστημα: ht () dt όχι φραγμένο, δηλαδή: T A >, T > ( T < ): h( t) dt> A Αντίστοιχα: υπάρχει u(t) φραγμένο y(t) όχι φραγμένο 6

7 Ορισμοί Ευσταθείας (5) Ορισμός Α-3 (Οριακή ευστάθεια) Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι οριακά ευσταθές εαν Δεν είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, αλλά ωστόσο ισχύει: T AB, < ( AB, > ): ht ( ) dt A+ BT, T> Παράδειγμα: h(t) Π.χ.-1: Ολοκληρωτής () 1 T H s =, ht () = 1 htdt () = T s F m v Τ π.χ.: vs () = 1 (όταν τριβή b=) F() s m s Οριακά ευσταθές! Π.χ.-: Σύστημα ης τάξης χωρίς απόσβεση (undamped), ζ= h(t) H() s = A h() t = ( A )sin( ω t) s ω + ω T A ht () dt ( ) T ω Τ 7

8 Ορισμοί Ευσταθείας (6) Ορισμός Α-4 (Ασταθές) Ένα ΓΧΑ σύστημα είναι ασταθές εαν Δεν είναι ούτε ασυμπτωτικά ευσταθές, ούτε οριακά ευσταθές : Παραδείγματα: 1 θt Π.χ.-1: πόλος p με Re(p)>, π.χ. H() s = + h() t = e + s θ Π.χ.-: δύο ολοκληρωτές εν σειρά H() s = 1 h() t = t s T T T ht () dt= tdt= Ασταθές! h(t) Τ h(t) Τ 8

9 Ορισμοί Ευσταθείας (7) Β- Απόκριση Μηδενικής Εισόδου (ΑΜΕ) (είσοδος = y zi (t) ) Ευστάθεια κατά Lyapunov (1) Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Γενικά για (μη-γραμμικό) χρονικά αμετάβλητο σύστημα: x () t = f ( xu, ) Έστω αυτόνομο σύστημα (δηλ. είσοδος = ): x () t = f ( x) Κατάσταση ισορροπίας x s : f( x s ) = Ορισμός B-1 (Ευστάθεια κατά Lyapunov) Μια κατάσταση ισορροπίας x s (ενός αυτόνομου δυναμικού) συστήματος είναι ευσταθής (κατά Lyapunov) εαν: ε >, δ = δ( ε) > : x() x < δ( ε) x( t) x < ε t> Ερμηνεία: εαν η κατάσταση ισορροπίας διαταραχθεί, η κίνηση του διανύσματος κατάστασης θα παραμείνει μέσα σε μια περιοχή της κατάστασης ισορροπίας (το δε μέγεθος της περιοχής αυτής, την οποία μπορούμε να κάνουμε όσο «μικρή» θέλουμε, εξαρτάται από το μέγεθος της διαταραχής) s s 9

10 Ορισμοί Ευσταθείας (8) Ορισμός B- (Ασυμπτωτική Ευστάθεια κατά Lyapunov) Μια κατάσταση ισορροπίας x s (ενός αυτόνομου δυναμικού) συστήματος είναι ασυμπτωτικά ευσταθής (κατά Lyapunov) εαν: (α) είναι ευσταθής (β) t δ > : x() x < δ x( t) x s s s s Εαν δ s +, τότε «ολική» ασυμπτωτική ευστάθεια (globally asymptotically stable) Θεώρημα: Έστω αυτόνομο σύστημα x () t = f ( x), f () = Εαν υπάρχει συνάρτηση Lyapunov V(x): (i) V : συνεχής i, (ii) V(x)> για x >, και (iii) V(x)=, όταν x = xi τότε η κατάσταση ισορροπίας (x s =) είναι: - ευσταθής εαν V ( x) για περιοχή {x} του χώρου κατάστασης: V(x)<k - ασυμπτ. ευσταθής εαν V ( x ) < (για περιοχή του χώρου κατάστασης ) - ολικά ασυμπτ. ευσταθής εαν V ( x ) < (για όλο το χώρο κατάστασης: x >) 1

11 Ορισμοί Ευσταθείας (9) Εφαρμογή Θεωρήματος ευσταθείας κατά Lyapunov Έστω Γ.Χ.Α σύστημα x = Ax T Ορίζουμε συνάρτηση V( x) = x Q x> (Q: θετικά ορισμένημήτρα n n) ( ) T T T T V ( x) = x Q x+ x Q x = x A Q+ QA x Αποδεικνύεται ότι υπάρχει Q> : A T Q + QA = Ι, και άρα εαν για κάθε λ i ιδιοτιμή της μήτρας Α, ισχύει: Re(λ i )< V <, x 11

12 Ορισμοί Ευσταθείας (1) () Περιγραφή Εισόδου-Εξόδου (για ΓΧΑ σύστημα) ( n) ( m) any () t + + ay 1 () t + ay () t = bmu () t + + bu () t bs () β () s n Y() s = U() s + (όπου ψ () s = an s + + as 1 + a ) ψ() s ψ() s Η(s) Y zs (s) Y zi (s) Ορισμός B-3 (Ευστάθεια κατά Lyapunov, u(t)=, δηλ. ελεύθερη απόκριση) Ασυμπτ. ευσταθές: (Οριακά) ευσταθές: y y y y t = (αρχικές συνθήκες) ( n 1) (), (),, () lim zi ( ) t y y y M > y t < M t> (αρχικές συνθήκες) ( n 1) (), (),, () : zi ( ), ( n 1) Ασταθές: y(), y (),, y () lim yzi ( t) = t (υπάρχουν αρχικές συνθήκες) 1

13 Κριτήρια Ευσταθείας (1) Α.Μ.Κ. Έστω η συνάρτηση μεταφοράς H(s) ενός ΓΧΑ συστήματος bs () { yzs () t} H() s = ψ () s = L L { u() t } και L 1 { H() s } = h() t ht () dt< Α.Μ.Ε. Απόκριση μηδενικής εισόδου (u(t)=, ελέυθερη απόκριση) β () s Yzi () s = L { yzi () t } = ψ () s και L 1 { Y () s } = y () t lim y ( t) = t zi zi zi H(s): έστω deg(b(s)) deg(ψ(s)) και έστω π.χ. p k =σ k +jω k απλοί πόλοι της H(s) (ρίζες της ψ(s)) H 1 () s A A An = A s p s p s p 1 n 1 ht () = Aδ () t + Ae 1 + Ae + + Ae n n n pt n k σkt n Ak h() t dt A + A 1 ke dt A A 1 k e dt A k= = + k= = + < k= 1σ δεδομένου ότι ισχύει: e = e e = e p t σ t jω t σ t k k k k p t p t p t (εαν και μόνο εαν σ k =Re(p k )<, για κάθε k) k 13

14 Κριτήρια Ευσταθείας () Κριτήριο με πόλους Ένα Γ.Χ.Α. Σύστημα με χ.π. ψ(s), και πόλους p k (k=1,,n) (i.e.: ψ(p k )=) Ασυμπτ. Ευσταθές Re(p k )<, για κάθε k (Οριακά) Ευσταθές Re(p k ), για κάθε k και για κάθε πόλο p: Re(p)=, είτε m(p)=1, είτε (εαν m(p)>1) m(p)=γ(p) (όπου: m(.)=αλγεβρική πολλαπλότητα, και γ(p)=γεωμετρική πολλαπλότητα) γ(p): #ανεξ. ιδιοδιανυσμάτων v (της μήτρας Α του συστήματος) ιδιοτιμή p (ήτοι: A.v=p.v) Ασταθές Υπάρχει πόλος p k : Re(p k )> Παράδειγμα (Γ.Χ.Α. Σύστημα ης τάξης) L (.) ( ) y() t + ( a) y () t + ω y() t = u() t 1 a+ s y() + y () Y() s = U() s + s + as+ ω s + as+ ω L ( y) = sy() s sy() y () Η(s) Y zi (s) 14

15 Κριτήρια Ευσταθείας (3) Παράδειγμα (Σύστημα ης τάξης) (συνέχεια...) p = a± a ω 1, : πόλοι H() s = 1 s + as+ ω ( όπου: ζ = ( a ω ) a = ή ζω ) Ασυμπτ. Ευσταθές όταν a>> (ζ>) Οριακά Ευσταθές όταν a== (ζ=) a ω > (i.e. ζ 1) p1, p1,< < a< ω (i.e.< ζ < 1) p Re( p ) < 1, 1, a= (i.e. ζ = ) p I i.e. Re( p ) = 1, 1, Ασταθές όταν a< (ζ<) a< (i.e. ζ < ) p Re( p ) > 1, 1, 15

16 Κριτήρια Ευσταθείας (4) Κριτήριο Ευσταθείας Routh Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος n n 1 ψ () s = a s + a s + + as+ a n n 1 1 Αναγκαία συνθήκη ασυμπτωτικής ευστάθειας (Θεώρημα Stobola): a i > i. Δηλαδή: Εαν σύστημα ασυμπτ. ευσταθές (i.e.: Re(p k )< για κάθε k) a i > για κάθε i Routh (1874) Hurwitz (1895) s n s n-1 s n- s n-3 s s 1 s a n a n-1 b 1 c 1 e 1 f 1 g 1 a n- a n-3 b c e a n-4 a n-5 b 3 c 3 a n-6 a n-7 b 4 c 4 an an an an 4 a a a a b =, b =, n 1 n 3 n 1 n 5 1 an 1 an 1 an 1 an 3 an 1 an 5 b b b b c =, c =, b1 b1 16

17 Κριτήρια Ευσταθείας (5) Κριτήριο Ευσταθείας Routh # αριθμός των ριζών p k : Re(p k )> = #μεταβολών προσήμου στη 1η στήλη Σύστημα ασυμπτωτικά ευσταθές εαν και μόνο εαν όλοι οι συντελεστές a i του πολυωνύμου a i είναι ομόσημοι (π.χ. a i > i) (όχι μηδενικά!) και όλοι οι όροι της 1ης στήλης στη διάταξη Routh είναι «ομόσημοι» (π.χ. a n, a n-1, b 1, c 1,, f 1, g 1 > ) Ειδικές Περιπτώσεις: (1) Ένα στοιχείο της 1ης στήλης μηδενικό συνεχίζουμε την ανάλυση ευσταθείας με κάποιο ε + (ή -) για να αποφανθούμε περί της ύπαρξης ριζών του πολυωνύμου στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο... () Μία ολόκληρη γραμμή (π.χ. η s i+1 ) της διάταξης μηδενίζεται εαν «όχι ασταθές», τότε οριακά ευσταθές («ταλαντωτής»), και η συχνότητα ταλάντωσης υπολογίζεται από το βοηθητικό πολυώνυμο της γραμμής s i