Παρατηρήσεις για το µετασχηµατισµό Laplace

Transcript

1 Παρατηρήσεις για το µετασχηµατισµό plce Η συνάρτηση µεταφοράς, H, ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι µία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, µπορείναεκφραστείςλόγοςδύοπολυνύµντηςµεταβλητής. D N H Για να είναι ένα σύστηµα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου µε σύνορο τη γραµµή που είναι κάθετη στον πραγµατικόάξοναστηθέση e{ } mx. Αν ο βαθµός του πολυνύµου του N είναι µεγαλύτερος ή ίσος από το βαθµό του πολυνύµου D, τότε, πριν αναλύσουµε σε απλά κλάσµατα, πρέπει να κάνουµε τη διαίρεση N / D. D N c D N H u x { } { } { } c c c X H y δ c c y δ c H Για να είναι ένα σύστηµα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει ο βαθµός του πολυνύµου N να είναιµικρότεροςαπότοβαθµότουπολυνύµου D. Μετασχηµατισµός plce 6-

2 Ένα ΓΧΑ σύστηµα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, αν η κρουστική απόκρισή του είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη, δηλαδή, αν h Στην περίπτση αυτή υπάρχει ο MF και αυτό πραγµατοποιείται όταν το πεδίο σύγκλισης του M περιέχει το φανταστικό άξονα. F H θέση τν πόλν ενός σήµατος στο µιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει τη συµπεριφορά τουσήµατος. d < { x } X j Για να είναι ένα σύστηµα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει o φανταστικός άξονας να περιέχεται στοπεδίοσύγκλισηςτουµετασχηµατισµού plce. Για να είναι ένα σύστηµα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει ο βαθµός του πολυνύµου N να είναιµικρότεροςαπότοβαθµότουπολυνύµου D. Για να είναι ένα σύστηµα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου µε σύνορο τη γραµµή που είναι κάθετη στον πραγµατικόάξοναστηθέση e{ } mx. Μετασχηµατισµός plce 6-

3 H θέση τν πόλν ενός σήµατος στο µιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει τη συµπεριφορά τουσήµατος. Παρατηρήσεις για την περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού plce j x x x σ x co e x e co co u u u e u X X X Im Im Im Im j j j x x Ευσταθές Ασταθές j j j e e e e Μετασχηµατισµός plce 6-

4 Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήµατος το οποίο έχει συνάρτηση µεταφοράς Απάντηση: e{ } > Im Αιτιατό σύστηµα H e [ ] h e e u { } <e < Im Ευσταθές σύστηµα h e u e e u e { } < Im Μη αιτιατό µη ευσταθές σύστηµα h e u e e Μετασχηµατισµός plce 6- u

5 Βαθυπερατά συστήµατα πρώτης τάξης. Τα βαθυπερατά ΓΧΑ σύστηµα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσση dy d y b x Η συνάρτηση µεταφοράς τν βαθυπερατών ΓΧΑ συστηµάτν πρώτης τάξης έχει τη µορφή H b H b H j j c Η απόκριση συχνότητας τν βαθυπερατών ΓΧΑ συστηµάτν πρώτης τάξης έχει τη µορφή j c c Απόκριση πλάτους βαθυπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Μετασχηµατισµός plce 6-4

6 Υψιπερατά συστήµατα πρώτης τάξης. Τα υψιπερατά ΓΧΑ σύστηµα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσση d y d x y b d d Η συνάρτηση µεταφοράς τν υψιπερατών ΓΧΑ συστηµάτν πρώτης τάξης έχει τη µορφή H b b H j j Η απόκριση συχνότητας τν υψιπερατών ΓΧΑ συστηµάτν πρώτης τάξης έχει τη µορφή H c c j c Απόκριση πλάτους υψιπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Μετασχηµατισµός plce 6-5

7 α Το µικό στοιχείο εµφανίζει αντίσταση και η ένταση ρεύµατος που τη διαρρέει βρίσκεται σεσυµφνίαφάσηςµετηντάσησταάκρατης. υ υ i i υ i β Το πηνίο εµφανίζει επαγγική αντίσταση και η ένταση του ρεύµατος που το διαρρέει βρίσκεταισεδιαφοράφάσηςπ/ µετηντάσησταάκρατου Z j. υ υ i i i υ Z γ Ο πυκντής εµφανίζει χρητική αντίσταση / και η ένταση του ρεύµατος που το διαρρέειβρίσκεταισεδιαφοράφάσης π/ µετηντάσησταάκρατου Z / j. υ υ i i i Μετασχηµατισµός plce 6-6 υ Z

8 Μετασχηµατισµός plce 6-7 U in I H j j H Z Z i υ in δ ΗσύνθετηαντίστασηκυκλώµατοςείναιΖ U / Ι. Άσκηση Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος σε σειρά j j j j j j

9 Το κυκλµατικό σύµβολο το οποίο χρησιµοποιούµε για την αναπαράσταση του τελεστικού ενισχυτή είναι Σύµβολο τελεστικού ενισχυτή Ο τελεστικός ενισχυτής είναι φτιαγµένος για να αισθάνεται τη διαφορά δυναµικού µεταξύ τν σηµάτν τάσης που εφαρµόζονταιστουςακροδέκτεςεισόδουτουυ υ και εµφανίζει τη διαφορά πολλαπλασιασµένη επί Α στην έξοδό Όταν αναφερόµαστε για τάση σε κάποιο ακροδέκτη εννοούµε τη διαφορά δυναµικού µεταξύ του ακροδέκτη και της γης. 4 5 Τροφοδοσία τελεστικού ενισχυτή 4 5 Τελεστικός ενισχυτής A υ υ A υ υ υo Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ενισχυτής διαφορικής εισόδου µονής εξόδου differenil inpu ingle oupu. Το κέδρος Α ονοµάζεται διαφορικό κέρδος ή κέρδος ανοικτού κυκλώµατος Μετασχηµατισµός plce 6-8

10 Εφαρµογές Αντιστρεπτός ενισχυτής τάσης Invering mplifier υ I G υo υ I υ O A A A A Ω Ω A A A A Στο παράδειγµα αρνητικής ανάδρασης αρχίσαµε µε ένα τελεστικό ενισχυτή που έχει πολύ µεγάλο κέρδος Α και εφαρµόζοντας αρνητική ανάδραση αποκτήσαµε ένα κέρδος κλειστού βρόχου / που είναι σταθερό, προβλέψιµο και µε όση ακρίβεια θέλουµε, επιλέγοντας παθητικά στοιχεία ανάλογης ακρίβειας. Προσφορά κέρδους και αύξηση ακρίβειας. Μετασχηµατισµός plce 6-9

11 Εφαρµογές Αντιστρεπτός ολοκληρτής I i i Z Z O Η αναστρέφουσα συνδεσµολογία µε γενικευµένες σύνθετες αντιστάσεις στην ανάδραση και την είσοδο. υ I i i υ Αναστρέφν ολοκληρτής Miller. υ O Τοκέρδοςκλειστούβρόχου, ηποιοσστά, η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου, είναι O I Z Z Γιατηνιδικήπερίπτσηόπου Z και Z /, η συνάρτηση µεταφοράς είναι O i και η απόκριση συχνότητας είναι O i j Ητάσηεξόδουυ Ο είναιτοολοκλήρµατης υ I, δηλαδή, υo υi ξ dξ Μετασχηµατισµός plce 6-4

12 Εφαρµογές Αντιστρεπτός διαφοριστής I i i Z Z O Η αναστρέφουσα συνδεσµολογία µε γενικευµένες σύνθετες αντιστάσεις στην ανάδραση και την είσοδο. υ I i i υ Αναστρέφν διαφοριστής. υ O Τοκέρδοςκλειστούβρόχου, ηποιοσστά, η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου, είναι O I Z Z Γιατηνιδικήπερίπτσηόπου Z και Z /, η συνάρτηση µεταφοράς είναι O i και η απόκριση συχνότητας είναι O i j Ητάσηεξόδουυ Ο είναιτοολοκλήρµατης υ I, δηλαδή, υ O dυi d Μετασχηµατισµός plce 6-4

13 Εφαρµογές Αθροιστής µε βάρη υ υ υ n i i i n n i i f υ O Ητάσηεξόδουυ Ο είναι f f υ O υ υ,..., f n υ n Αθροιστής µε βάρη. Παρατηρούµεότιητάσηεξόδουείναιίσηµετοσταθµισµένοάθροισµατντάσενεισόδου, µεβάρηίσαµετολόγο f /,,,, n. Μετασχηµατισµός plce 6-4

14 Βασικά στοιχεία υλοποίησης συστηµάτν αναλογικού χρόνου x x x x x x y Αθροιστής x x x y Πολλαπλασιαστής x x ξ dξ x y Ολοκληρτής Μετασχηµατισµός plce 6-4

15 Σύστηµα πρώτης τάξης µε πόλους και µηδενικά Η διαφορική εξίσση και η συνάρτηση µεταφοράς για σύστηµα πρώτης τάξης µε πόλους και µηδενικά είναι b b d y y b x b d η διαφορική εξίσση γράφεται ς έτσι έχουµε την υλοποίηση x y y τ dτ b x τ dτ b b x b dx d H b x τ dτ b x x y τ dτ b x τ dτ b x y Άµεσο σχήµα I b - x τ dτ b x τ dτ y τ dτ y τ dτ Μετασχηµατισµός plce 6-44

16 x b b H - H y Άµεσο σχήµα I Λόγ της αντιµεταθετικής ιδιότητας της συνέλιξης µπορούµε να εναλλάξουµε τη σειρά σύνδεσης τν συστηµάτν και έτσι έχουµε τη συνδεσµολογία x - H b b H y από την οποία έχουµε υλοποίηση x b y Άµεσο σχήµα I I - b Μετασχηµατισµός plce 6-45

17 dy d y dx y b x b b d d d d x d H b b b x H b H y b - b - Άµεσο σχήµα I x H H b y - b Άµεσο σχήµα II - b Μετασχηµατισµός plce 6-46