e s C v C (t) i i L (t) i C (t)

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γίλεηαη ην θύθισκα ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο κε διεγέρζεις e s (t) = δ(t) [V] (θξνπζηηθή) θαη e s (t) = u(t) [V] (βεκαηηθή), θαη απόκριζη (t). Η αξρηθή θαηάζηαζε είλαη ( - ) = [V] θαη i ( - ) = [A]. Οη ηηκέο είλαη: R = 4 [Ω], R = [Ω], = [H], = [F]. R i i (t) i (t) R (t) e s (t) R (t) Α) Πξνζδηνξίζηε ηε δηαθνξηθή εμίζσζε γηα ηελ απόθξηζε (t). Β) Υπνινγίζηε ηελ πιήξε απόθξηζε γηα ηηο δνζείζεο δηεγέξζεηο θαη αξρηθή θαηάζηαζε. ΜΔΡΟ ο ΓΙΑΦΟΡΙΚΗ ΔΞΙΩΗ ΣΟΤ ΚΤΚΛΩΜΑΣΟ Με ηνλ «θιαζζηθό» ηξόπν, παξαηεξνύκε όηη R (δειαδή ζπλέδεζα ηελ απόθξηζε κε έλα «ζεκαληηθό» κέγεζνο ηνπ θπθιώκαηνο, θάηη πνπ αλαθέξεηαη ζε ζηνηρείν πνπ απνζεθεύεη ελέξγεηα) θαη από ηνπο λόκνπο ηνύ Kirchhoff έρσ: KV: R e s () i i ir i () R K: d Σηελ () πξέπεη λα εθθξάζσ ηνπο όξνπο ηεο ζαλ ζπλαξηήζεηο ηνύ. Απηό γίλεηαη κέζσ ηνπ ξεύκαηνο i θαη ηεο (). Έρσ όηη di R i e s θαη αληηθαζηζηώληαο γηα ην i από ηελ () παίξλσ ΝΤΚ4

2 d d d R es R R Αλαπηύζζνληαο θαη κε ιίγεο απιέο πξάμεηο έρσ d R d d R e s R R d d R R es R R () θαη αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο γηα ηα ζηνηρεία d d e s Δναλλακηικά, κε κέζνδν θνκβηθώλ ηάζεσλ (ιόγσ ηνπ κνλαδηθνύ βαζηθνύ θόκβνπ) θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηειεζηέο δεθηηθόηεηαο ζα πάξνπκε: e R D R s θαη κεηά από ιίγε άιγεβξα D e D R D R R D s R D D R D e s R R D R D e s R R δειαδή θηάζακε μαλά ζηελ (). ΜΔΡΟ ο ΑΠΟΚΡΙΗ Δ ΚΡΟΤΣΙΚΗ (Φπζηθά κπνξνύκε λα βξνύκε πξώηα ηελ απόθξηζε κεδεληθήο θαηάζηαζεο ζε βεκαηηθή θαη λα δηαθνξίζνπκε αιιά μεθηλάκε αλάπνδα γηα λα γίλεη θαηαλνεηή θαη απηή ε κέζνδνο. Βι. παξαηήξεζε ζην ηέινο ηνπ θεηκέλνπ) Τν πξόβιεκα γηα ηελ απόθξηζε ζε θξνπζηηθή, όπσο έρεη δνζεί εδώ, είλαη ηδηαίηεξα δύζθνιν ιόγσ ηεο ύπαξμεο κε κεδεληθώλ αξρηθώλ ζπλζεθώλ. Υπάξρεη ιύζε, αιιά ην ζέκα απηό είλαη κάιινλ κεηαπηπρηαθνύ επηπέδνπ θαη αθαδεκατθνύ ελδηαθέξνληνο νπζηαζηηθά. ΝΤΚ4

3 Θεσξνύκε ινηπόλ όηη νη δνζείζεο αξρηθέο ζπλζήθεο ΓΔΝ ΙΣΦΥΟΥΝ θαζόζνλ γηα ηελ θξνπζηηθή απόθξηζε κπνξνύκε λα ππνζέηνπκε εθ πξννηκίνπ όηη ην θύθισκα βξίζθεηαη ζε εξεκία θαη ε πιήξεο απόθξηζε αληηθαζίζηαηαη από απόθξηζε κεδεληθήο θαηάζηαζεο. Έηζη, πξέπεη λα βξνύκε ηε ιύζε ηήο d d d t ( ),, Αο επηιέμνπκε από ηηο δηαζέζηκεο πξνζεγγίζεηο ηελ νινθιήξσζε από ζε +. d d Οπόηε, δηαζπώληαο ην νινθιήξσκα, d ( t) ( t) d d ( t) Από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο όινη νη ελδηάκεζνη όξνη είλαη κεδέλ ελώ θαη ην νινθιήξσκα είλαη κεδέλ γηαηί ε ηάζε ηνπ ππθλσηή δελ κπνξεί λα θάλεη άικαηα νπόηε ην νινθιήξσκα κηαο ζπλάξηεζεο γηα έλα ζεκείν δελ κπνξεί παξά λα είλαη κεδέλ. Τειηθά ζα έρνπκε d Μεηά από ηα παξαπάλσ, ε (4) κεηαηξέπεηαη ζην πξόβιεκα απόθξηζεο κεδεληθήο δηέγεξζεο (ΑΜΓ) d d d,, Καηά ηα γλσζηά, από ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν νπόηε s s s s,8,6 h( t) A e A e u( t ),8t θαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο A A A,47,8A,6A A,47 (4) (5) ΝΤΚ4

4 ,8,6 ( ),47 t t h t e,47 e u( t ) [V] (ην u(t) είλαη ζπληνκνγξαθία ηνπ t ) Πξηλ πξνρσξήζνπκε ζην επόκελν εξώηεκα, γηα ιόγνπο πάιη επίδεημεο ησλ κεζόδσλ θαη ηνπ ηξόπνπ εξγαζίαο, αο θνηηάμνπκε ηηο απνθξίζεηο κεδεληθήο δηέγεξζεο θαη ηελ απόθξηζε κεδεληθήο θαηάζηαζεο (πνπ ζα δηαθνξίζνπκε γηα λα επηβεβαηώζνπκε ηελ θξνπζηηθή απόθξηζε). Απόκριζη μηδενικής διέγερζης (ΑΜΓ): δίλεηαη από ηελ εμίζσζε d d d,,??? θαη πξέπεη λα πξνζδηνξίζνπκε ηνλ όξν d ζπλδένληαο ηνλ κε ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Απηό κπνξεί λα επηηεπρζεί ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ βαζηθό θόκβν ηνπ θπθιώκαηνο θαη γξάθνληαο ηνλ λόκν ξεπκάησλ ηνπ Kirchhoff [αλ έρνπκε επηιέμεη ηελ «θιαζζηθή» πξνζέγγηζε, απιά ρξεζηκνπνηνύκε ηελ εμίζσζε ()]. Έηζη παίξλνπκε d d i i R R Οπόηε έρνπκε λα ιύζνπκε ηελ d d d,, Καηά ηα γλσζηά, από ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν νπόηε s s s s,8,6 ( t) B e B e u( t ) AM,8t θαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο B B B,565,8B,6B B,565 t e e u t AMΔ,8t ( ),565,565 ( ) [V] Απόκριζη μηδενικής καηάζηαζης (ΑΜΚ): δίλεηαη από ηελ εμίζσζε d d d u t () ( ), (), ηεο νπνίαο ε ιύζε ιόγσ ηεο δηέγεξζεο πξέπεη λα πεξηέρεη θαη κεξηθή ιύζε. Η κεξηθή απηή ιύζε δίλεηαη από ηε κόληκε θαηάζηαζε ηνύ θπθιώκαηνο πνπ ζα ζπλίζηαηαη από έλα δηαηξέηε ηάζεο από ηνπο R θαη R. Έηζη, ε ζα είλαη ίζε κε [V] [V] ή κε δηαθνξεηηθό ηξόπν, 4 [A] [ ] [V]. Η ιύζε ινηπόλ ζα δνζεί (αθξηβώο όπσο θαη πξηλ γηα ηελ νκνγελή δελ 4 μαλαιύλνπκε ηε ραξαθηεξηζηηθή!!) από ηελ ΝΤΚ4 4

5 AMK,8t ( t) Ge Ge u( t ) θαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ζα πάξνπκε όηη πξέπεη λα ηζρύεη G G,8G, 6G G G, 47, 8 t e e u t AMK,8t ( ), 47,8, ( ) [V] ΔΠΑΛΗΘΔΤΗ ΚΡΟΤΣΙΚΗ d ( t ),8, 47 e,6,8 e,8t, 455e, 46e AMK,8t πνπ επηβεβαηώλεη ην πξνεγνύκελν απνηέιεζκα κε νξζόηεηα δπν δεθαδηθώλ ςεθίσλ....καη βέβαηα θαιά ζα θάλεη ε πιήξεο απόθξηζε λα είλαη ίζε κε ΑΜΓ+ΑΜΚ, δειαδή ΠA,8t ( t),565, 47 e,565,8 e, u( t) [V] ΜΔΡΟ ο ΠΛΗΡΗ ΑΠΟΚΡΙΗ Δ ΒΗΜΑΣΙΚΗ Η δηέγεξζε είλαη βεκαηηθή θαη ππάξρνπλ αξρηθέο ζπλζήθεο ζην θύθισκα. Σπλεπώο, πξόθεηηαη γηα πιήξε απόθξηζε. Η δηαθνξηθή εμίζσζε δελ αιιάδεη, απιά ην πξόβιεκα γίλεηαη ηώξα: d d d u t ( ),,??? θαη πξέπεη λα πξνζδηνξίζνπκε ηνλ όξν d. Η ηηκή ηνπ όξνπ απηνύ ζα πξνθύςεη ζπλδένληάο ηνλ κε ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Απηό κπνξεί λα γίλεη ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ βαζηθό θόκβν ηνπ θπθιώκαηνο θαη γξάθνληαο ηνλ λόκν ξεπκάησλ ηνπ Kirchhoff [αλ είρακε επηιέμεη ηελ «θιαζζηθή» πξνζέγγηζε, απιά ζα ρξεζηκνπνηνύζακε ηελ εμίζσζε ()]. Έηζη παίξλνπκε d d i i R R Οπόηε έρνπκε λα ιύζνπκε ηελ ΝΤΚ4 5

6 d d d u t () ( ), (), Καηά ηα γλσζηά, από ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν s s s,8 s,6 Η ιύζε ηεο δηαθνξηθήο ιόγσ ηνπ κε κεδεληθνύ δεμηνύ κέξνπο (δηέγεξζε) πξέπεη λα πεξηέρεη θαη κεξηθή ιύζε. Η κεξηθή απηή ιύζε δίλεηαη από ηελ κόληκε θαηάζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο πνπ ζα ζπλίζηαηαη από έλα δηαηξέηε ηάζεο αλάκεζα ζηνπο R θαη R. Έηζη, ε ζα είλαη ίζε κε [V] [V] ή κε δηαθνξεηηθό ηξόπν, 4 [A] [ ] [V] 4 πάξεη ηε κνξθή (βι. θαη Μάξγαξε, Τόκν Β,.-, ζει. -),8t ( t) Je J e u( t ) θαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο J J, J,54,8J,6J J, 4688 t e e u t. Η ιύζε ινηπόλ ζα,8t ( ),54, 4688, ( ) [V] Ίδηα κε ηελ ΑΜΓ+ΑΜΚ...! ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Η δηαθόξηζε ηήο () t ΓΔΝ ζα καο δώζεη ηελ θξνπζηηθή απόθξηζε. Ο ιόγνο είλαη όηη ε θξνπζηηθή απόθξηζε αληηζηνηρεί ζε κεδεληθέο αξρηθέο ζπλζήθεο, άξα πξνθύπηεη ΜΟΝΟ από ηελ απόθξηζε κεδεληθήο θαηάζηαζεο. Απηό ζεκαίλεη όηη από άπνςε ζηξαηεγηθήο γηα ηε ιύζε ηνύ παξόληνο πξνβιήκαηνο, ε πην ζσζηή «δηαδξνκή» ζα ήηαλ. Δύξεζε απόθξηζεο κεδεληθήο θαηάζηαζεο ζε βεκαηηθή. Γηαθόξηζε ΑΜΚ Απόθξηζε ζε θξνπζηηθή. Δύξεζε απόθξηζεο κεδεληθήο δηέγεξζεο ζε βεκαηηθή 4. Πξόζζεζε απόθξηζεο κεδεληθήο δηέγεξζεο από ην () θαη απόθξηζεο κεδεληθήο θαηάζηαζεο από ην () Πιήξεο απόθξηζε ζε βεκαηηθή ΝΤΚ4 6

7 ΔΝΓΙΑΦΔΡΟΤΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Λύζηε ην παξαθάησ πνιύ παξόκνην αιιά πνιύ πην εύθνιν πξόβιεκα: Γίλεηαη ην θύθισκα ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο κε διέγερζη i s (t) = u(t) [V] (βεκαηηθή), θαη απόκριζη (t). Η αξρηθή θαηάζηαζε είλαη ( - ) = [V] θαη i ( - ) = [A]. Οη ηηκέο είλαη: R = 4 [Ω], R = [Ω], = [H], = [F]. R i (t) i (t) i R (t) i s R (t) (t) Α) Πξνζδηνξίζηε ηε δηαθνξηθή εμίζσζε γηα ηελ απόθξηζε (t). Β) Υπνινγίζηε ηελ πιήξε απόθξηζε. AMΔ,5t AMK,5t ΛΥΣΗ: ( t) e u( t ) [V], ( t) e u( t ) [V] t e u t,5t ( ) ( ) [V] ΝΤΚ4 7