ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην

Transcript

1 ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο λήκαηνο κήθνπο,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο ην εθθξεκέο, απηό εθηειεί παιηλδξνκηθή θίλεζε (ηαιάληωζε). Ο ζεκειηώδεο λόκνο ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο δίλεη: η = Ι. α γωλ. ή

2 -m..sinζ. = m.. α γωλ. ή...sin.. d m m dt ή d.sin dt (Yπνζέηνληαο όηη δελ ππάξρνπλ ηξηβέο ή αληηζηάζεηο ζηελ θίλεζε ηνπ ζώκαηνο.) Γηα κηθξέο γωλίεο εθηξνπήο (π.ρ. κηθξόηεξεο από 5 ) ηζρύεη όηη: sin (Με ηελ πξνππόζεζε όηη ε γωλία ζ κεηξηέηαη ζε rad), νπόηε ε εμίζωζε ηεο θίλεζεο γίλεηαη: d. dt Η παξαπάλω δηαθνξηθή εμίζωζε έρεη ηε γεληθή ιύζε:

3 A.cos(. t) B.sin(. t) Όπνπ νη ζηαζεξέο Α θαη Β πξνζδηνξίδνληαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Έηζη, αλ γηα παξάδεηγκα ηε ρξνληθή ζηηγκή t= ε αξρηθή γωλία είλαη ζ θαη ε ηαρύηεηα είλαη κεδέλ,ηόηε ε ιύζε απινπζηεύεηαη ζηελ:.cos(. ) t ηελ πεξίπηωζε απηή ην εθθξεκέο εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάληωζε θαη ε πεξίνδόο ηνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε: T.. Αλ ηώξα ε αξρηθή γωλία δελ είλαη πνιύ κηθξή (ζ >.1 rad,ή ζν>6 ), ηόηε απνδεηθλύεηαη όηη ε πεξίνδνο ηνπ εθθξεκνύο δίλεηαη από ηε ζρέζε: T 4.. d 1 k sin Όπνπ: k sin( )

4 εκεηώζηε όηη ε παξαπάλω εμίζωζε γηα κηθξή αξρηθή γωλία νδεγεί ζηε γλωζηή καο απιή ζρέζε γηα ηελ πεξίνδν ηνπ εθθξεκνύο.πξάγκαηη γηα πνιύ κηθξέο ηαιαληώζεηο ην θ είλαη πνιύ θνληά ζην κεδέλ,θαη ε πεξίνδνο γίλεηαη: T 4.. d Αλ ηώξα ε ηαιάληωζε γίλεηαη κε κεγαιύηεξν πιάηνο ηόηε αλαπόθεπθηα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην νινθιήξωκα, ην νπνίν είλαη έλα ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδουςπνπ δελ κπνξεί λα εθθξαζζεί ζπλαξηήζεη ζηνηρεηωδώλ ζπλαξηήζεωλ. Μπνξεί όκωο λα εθθξαζζεί ζπλαξηήζεη ελλειπτικών συναρτήσεων πνπ απνηεινύλ γελίθεπζε ηωλ ηξηγωλνκεηξηθώλ ζπλαξηήζεωλ. Όπωο ινηπόλ απνδεηθλύεηαη ε ιύζε κπνξεί λα πάξεη ηε κνξθή: T k k k ( ) ( ) ( )... όπνπ: k sin( ) (Σην ηέινο δίλεηαη ε πιήξεο κειέηε γηα όπνηνλ ζάζειε λα ηελ δεη.) Δελ ρξεηάδεηαη όκωο λα αλεζπρνύκε. Η απιή ιύζε καο θαιύπηεη κε αξθεηά ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε αθόκε θαη γηα κεγαιύηεξεο ηωλ 5 γωλίεο. ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί θαίλεηαη ε απόθιηζε ηεο πιήξνπο ιύζεο από ηελ πξνζεγγηζηηθή,θαζώο θαη ην αληίζηνηρν ζθάικα επί ηνηο εθαηό.

5 Αξρηθή γωλία Πεξίνδνο ζ% (κνίξεο) (s) Σ, 5 Σ.1,5,5 1 Σ.1,19,19 15 Σ.1,43,43 Σ.1,77,77 3 Σ.1,174 1,74 45 Σ.1,396 3,96 6 Σ.1,719 7,19 Αθόκα θαη γηα πνιύ κεγάιεο γωλίεο ν ηύπνο : T.. καο παξέρεη ηελ πεξίνδν ηνπ απινύ εθθξεκνύο κε ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε. Μπνξνύκε ινηπόλ λα ιέκε όηη γηα θάζε πξαθηηθή αλάγθε ε πεξίνδνο ηνπ απινύ εθθξεκνύο είλαη αλεμάξηεηε ηνπ πιάηνπο ηαιάληωζεο. Απηό ζεκαίλεη όηη ην απιό εθθξεκέο απνηειεί έλα ηθαλνπνεηηθήο αθξίβεηαο ρξνλόκεηξν. ΤΠΟΗΜΕΙΩΗ: Άο δνύκε ηώξα πωο θηάλνπκε ζηε ζρέζε: T 4.. d 1 k sin Όπνπ:

6 k sin( ) Η εμίζωζε ηεο θίλεζεο ηνπ απινύ εθθξεκνύο είλαη: d.sin (1) dt Βάδνπκε: d u dt Τόηε: d du du d du u dt dt d dt d Οπόηε ε (1) γίλεηαη: du u sin d () Με νινθιήξωζε παίξλνπκε: u cos c (3) Τώξα αλ ζ=ζ, u= είλαη: c cos θαη ε (3) γξάθεηαη:

7 u (cos cos ) ή d (cos cos (4) dt Εζηηάδνληαο ηελ πξνζνρή καο ζην ηκήκα ηεο θίλεζεο από ζ=ζ ζε ζ=,πνπ αληηζηνηρεί ζην έλα ηέηεξην ηεο πεξηόδνπ,πξέπεη λά πάξνπκε ην αξλεηηθό πξόζεκν θαη ε (4) μαλαγξάθεηαη: d (cos cos dt Με ρωξηζκό ηωλ κεηαβιεηώλ θαη νινθιήξωζε έρνπκε: t d cos cos Αθνύ t= ζηε ζέζε ζ=ζ θαη t=τ/4 ζηε ζέζε ζ=,έρνπκε: t d 4 cos cos (5) Χξεζηκνπνηώληαο ηελ ηξηγωλνκεηξηθή ηαπηόηεηα: cos sin ( ) 1

8 θαη αληηθαζηζηώληαο ην ζ κε ην ζ ε (5) γξάθεηαη: t d (6) sin ( ) sin ( ) Έζηω ηώξα όηη: (7) sin( ) sin( )sin Τόηε κε δηαθόξηζε θαη ηωλ δύν πιεπξώλ παίξλνπκε: d 1 cos( ) sin( d )cos. Καη βάδνληαο : Έρνπκε: k sin( ) d d 1 k sin sin( ) cos. Από ηελ (7) βιέπνπκε όηη: όηαλ ζ= είλαη θαη θ= θαη όηαλ ζ=ζ ηόηε θ=π/ Έηζη ε (6) θαηαιήγεη ζηελ:

9 T 4.. d 1 k sin Τν δηώλπκν ηνπ Νεύηωλα καο ιέεη όηη: Αλ : x 1 ηόηε: p p( p 1) p( p 1)( p ) (1 x) 1 px x x... Αλ p 1 Τν δηώλπκν γξάθεηαη: 1 3 (1 x) 1 x x x Θέηνληαο : x k sin Καη νινθιεξώλνληαο από έωο π/, βξίζθνπκε:

10 T 4.. d 1 k sin sin sin.... k k d ( ) k ( ) k ( ) k... Όπνπ θάλνπκε ρξήζε ηνπ νινθιεξώκαηνο: n sin (n 1) d ( n) Η νινθιήξωζε ηωλ επί κέξνπο όξωλ είλαη δπλαηή θαζόζνλ: k 1 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ