6 kω. 2 kω. 1,4 kω Α. 2 kω 80 V. 1,4 kω. 2 kω. 8 kω

Transcript

1 ΗΛΔΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ-ΝΛΥΣΗ ΚΙ ΣΦΔΓΙΣΜΟΣ Ι, ΦΔΡΟΥΡΙΟΣ 25 ΘΕΜ. [%] Σην πην θάησ θύθισκα ε κεηαβιεηή αληίζηαζε ξπζκίδεηαη γηα κέγηζηε κεηαθνξά ηζρύνο ζηνλ αληηζηάηε R L. Πξνζδηνξίζηε ηελ ηηκή ηεο αληίζηαζεο ηνπ R L θαζώο θαη ηε κέγηζηε δπλαηή ηζρύ πνπ κπνξεί λα απνδνζεί ζηνλ R L. 2 ma 6 kω ΠΝΣΗΗ Πξέπεη λα ζπκεζνύκε όηη ε κέγηζηε ηζρύο απνδίδεηαη όηαλ ε αληίζηαζε θνξηίνπ ηζνύηαη κε ηελ αληίζηαζε ηνπ ηζνδύλακνπ Thevenin ηνπ θπθιώκαηνο πνπ «βιέπεη» ε αληίζηαζε θνξηίνπ. Ωο εθ ηνύηνπ, πξέπεη λα πξνζδηνξίζνπκε ην ηζνδύλακν Thevenin ηνπ θπθιώκαηνο πνπ δελ πεξηιακβάλεη ηνλ αληηζηάηε R L. Μάιηζηα, αλ δελ καο ξσηνύζαλ γηα ηελ ηηκή ηεο απνδηδόκελεο ηζρύνο, ζα ρξεηαδόηαλ κόλν ε ηηκή ηεο αληίζηαζεο Thevenin θαη όρη ε ηάζε. Δδώ όκσο πξέπεη λα βξνύκε θαη ηα δπν κεγέζε. Έρνπκε ινηπόλ ην παξαθάησ θύθισκα θαη ζέινπκε ην ηζνδύλακν Thevenin από ηα ζεκεία θαη. 2 ma 6 kω 8 V 8 V R L Δμνπδεηεξώλνληαο ηηο πεγέο παίξλνπκε δηαδνρηθά 6 kω 8 kω,6 kω 3 kω Οπόηε R Th = 3 kω Τώξα, γηα ηελ ηάζε V Th ηζρύεη όηη V Th = V AB θαη γηα λα ηελ βξνύκε κε ηε ιηγόηεξε δπλαηή εξγαζία (γηαηί κπνξεί λα βξεζεί κε δηάθνξνπο ηξόπνπο) αξθεί λα θάλνπκε έλα κεηαζρεκαηηζκό πεγώλ πνπ ζα καο δώζεη θύθισκα κε έλα κόλν θόκβν. Έηζη αιιάδνληαο ηελ πεγή ξεύκαηνο έρνπκε 6 kω 4 V 8 V VTh 8 VTh 4 2 8,5,25 V 45 Th V Th = 72 V kω VR L 36 Ιζοδύναμο Ιζρύο ζην θνξηίν =,432 W Thevenin RL 3 72 V 3 kω όπνπ ε ηάζε 36 V πξνθύπηεη από ηνλ δηαηξέηε ηάζεο.

2 ΗΛΔΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ-ΝΛΥΣΗ ΚΙ ΣΦΔΓΙΣΜΟΣ Ι, ΦΔΡΟΥΡΙΟΣ 25 ΘΕΜ 2. [2%] Σην πην θάησ θύθισκα, πνπ ιεηηνπξγεί ζε κόληκε θαηάζηαζε, λα βξεζεί ε ηάζε v (t) αλ γηα ηηο πεγέο ηάζεο ηζρύεη E ( t) cos(5t 53,3 ) V E ( t) 8sin(3 t) V 2 E,4 mh 5 μf v (t) E 2 ΠΝΣΗΗ Δμαηηίαο ηεο ύπαξμεο δπν πεγώλ κε δηαθνξεηηθή ζπρλόηεηα, είκαζηε αλαγθαζκέλνη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε επαλληλία. Πξέπεη ινηπόλ λα ιύζνπκε ην θύθισκα δπν θνξέο. Ι. Σπρλόηεηα 5 rad/s (E 2 εμνπδεηεξσκέλε): Γεδνκέλεο ηεο κόληκεο εκηηνλνεηδνύο θαηάζηαζεο, κπνξνύκε λα πεξάζνπκε ζε θαζνξηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο (εηθ. δεμηά). Γηα λα βξνύκε εύθνια ηελ ηάζε V (θάζνξα ηεο v ) κπνξνύκε είηε λα εθαξκόζνπκε κέζνδν θνκβηθώλ ηάζεσλ (έλαο θόκβνο κόλν) ή λα ζεσξήζνπκε ηνλ δηαηξέηε ηάζεο. Με ηελ πξώηε ελαιιαθηηθή ιύζε παίξλνπκε ( 53,3 ν = 6 j8): V V V 6 j8 6 j4 j2,67v j, 25V j,5v j3 4 V 5 4 j3,67 j, 25 V 5, 69 j5,54 6, 649, 44 ΙΙ. Σπρλόηεηα 3 rad/s (E εμνπδεηεξσκέλε): Όπσο θαη πξηλ, θαηαζθεπάδνπκε ηε θαζνξηθή κνξθή (κε λέεο ηηκέο ησλ ζηνηρείσλ αθνύ άιιαμε ε ζπρλόηεηα ιεηηνπξγίαο). Πξνζνρή ζηελ πεγή Δ 2 πνπ είλαη ζπλδεκέλε «αλάπνδα». λ θαη δελ είλαη απαξαίηεην, κπνξνύκε λα αληηζηξέςνπκε ηελ πνιηθόηεηα ηεο πεγήο κόλν πνπ πξέπεη λα είκαζηε πξνζεθηηθνί: ε αληηζηξνθή ηεο ηάζεο ζε κηα εκηηνλνεηδή πεγή ζεκαίλεη νπζηαζηηθά εηζαγσγή κηαο δηαθνξάο θάζεο 8 ν. Έηζη, ελώ ε δνζείζα πεγή έρεη θαζνξηθή αλαπαξάζηαζε 89 ν = j8 (ιόγσ ηνπ εκηηόλνπ) κε ηε λέα ζπλδεζκνινγία γίλεηαη j8 = 827 ν ή 89 ν. 53,3 ο j,2 Ω j,2 Ω j2 Ω j6,67 Ω v (t) j4 Ω v (t) 8 9 ο j6,67 Ω v (t) 8 9 ο 2

3 ΗΛΔΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ-ΝΛΥΣΗ ΚΙ ΣΦΔΓΙΣΜΟΣ Ι, ΦΔΡΟΥΡΙΟΣ 25 Με παξόκνην ζπιινγηζκό όπσο ζηελ πξνεγνύκελε πεξίπησζε, αιιά επηιέγνληαο ηώξα ηε ιύζε ηνπ δηαηξέηε ηάζεο, παίξλνπκε: Παξάιιεινο ζπλδπαζκόο επαγσγνύ θαη αληηζηάηε: j,2 6 7,29 Z RL,8 78, 7, 23 j,6 6 j, 2 6,2,3 Οιηθή ζύλζεηε αληίζηαζε: Z, 23 j,6 j6,67, 23 j5,5 5,5 87,6 νπόηε 3 ZRL V 89 Z,878, ,5 87, 6, 2466,3 89, 72256,3 Έηζη ηειηθά, από ηελ επαιιειία ζα έρνπκε v ( t) Re V e V e 5 j5t 3 j3t Re 6, 649, 44e, 72256,3e j5t j3t v ( t ) 6,64cos 5 t 9,44,72cos 3 t 256,3 ΠΡΟΟΧΗ: Τν άζξνηζκα V V δελ έρεη θαλέλα (ειεθηξνινγηθό) λόεκα! 5 3 3

4 ΗΛΔΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ-ΝΛΥΣΗ ΚΙ ΣΦΔΓΙΣΜΟΣ Ι, ΦΔΡΟΥΡΙΟΣ 25 ΘΕΜ 3. [35%] Σην πην θάησ θύθισκα ν δηαθόπηεο βξίζθεηαη ζηε ζέζε γηα πνιύ ρξόλν. Σηε ρξνληθή ζηηγκή t = ν δηαθόπηεο κεηαβαίλεη ζηηγκηαία ζηε ζέζε θαη παξακέλεη εθεί. Να βξεζνύλ:. Η ηάζε ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή πξηλ ηε κεηαγσγή ηνπ δηαθόπηε 2. Η ηάζε v ( ) dv 3. Η πνζόηεηα dt t 4. Η ηάζε v (t), t >. Ω 3 V t = 2 μf 2 Ω v 5 H ΠΝΣΗΗ. εβαίσο ν ππθλσηήο ζα έρεη πάξεη ηελ ηάζε ηεο πεγήο. Έηζη v C ( ) 3 V 2. Τν λέν θύθισκα είλαη 2 μf 3 V Θα ηζρύεη βέβαηα όηη vc( ) vc( ) 3 V αιιά επίζεο όηη il( ) il( ) A Δπεηδή ην ξεύκα ηνπ επαγσγνύ είλαη ην ξεύκα πνπ ζα θπθινθνξήζεη ζηνλ βξόρν, ε ηειεπηαία ζρέζε καο δείρλεη όηη ζηνπο δπν αληηζηάηεο δελ ππάξρεη πηώζε ηάζεο, άξα v ( ) v C ( ) 3 V 3. θνινπζώληαο ηε ζπλεζηζκέλε ζύκβαζε γηα ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο ζύκθσλα κε ηελ ηάζε ηνπ ππθλσηή, ζα έρνπκε γηα ηα ζηνηρεία αξηζηεξά από ηελ ηάζε v (t): t v ( t) 2 i( t) 3 i( ) d 6 2 dv () t di() t it ( ) dt dt Δπίζεο πξνθύπηεη όηη dv () t di( t) 4 di( t) 2 5 i( ) 2 dt t dt t dt πό ηε δεμηά πιεπξά ηεο ηάζεο v (t) ζα πάξνπκε: 2 Ω i(t) v (t) t 5 H 4

5 ΗΛΔΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ-ΝΛΥΣΗ ΚΙ ΣΦΔΓΙΣΜΟΣ Ι, ΦΔΡΟΥΡΙΟΣ 25 di( t) di( t) di( t) 3 6 i( ) A/s dt t dt t dt t Οπόηε ηειηθά ζα είλαη dv () t di() t 2 2 ( 6) 2 V/s dt dt t t 4. Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο ηάζεο v (t) ζα πξέπεη λα ιύζνπκε ηε ζρεηηθή δηαθνξηθή εμίζσζε δεπηέξνπ βαζκνύ γηα ζεηξηαθό RLC. Σρεκαηίδνπκε ηελ εμίζσζε ππνινγίδνληαο ηηο παξακέηξνπο R nepers 2L 2 4 rad/s 6 LC 52 Οη ξίδεο ζα είλαη s 2 2 4, j6 νπόηε ζα έρνπκε ηειηθά 8 8 ( ) t t v t Ae cos6t A2e sin 6t Με αξρηθέο ζπλζήθεο v ( ) 3 dv () t 2 dt t θαη ππνινγίδνληαο ηελ παξάγσγν ηεο ηάζεο v (t) dv () t 8t 8t 8t 8t 8Ae cos 6t 6Ae sin 6t 8A2e sin 6t 6A2e cos 6t dt ζα πάξνπκε ην ζύζηεκα v( t) v ( ) t A 3 dv( t) dv( ) 8A 6A2 2 dt t dt πνπ δίλεη = 3 θαη 2 = 2, άξα ηειηθά 8t 8t v ( t) 3e cos6t 2e sin6 t V Άιια κεγέζε (γηα πηζαλή επηβεβαίσζε, θιπ.): 8t i( t) e sin 6t dvc () t i( ) dt C t v t e t e t 8t 8t C ( ) 3 cos 6 4 sin 6 5

6 ΗΛΔΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ-ΝΛΥΣΗ ΚΙ ΣΦΔΓΙΣΜΟΣ Ι, ΦΔΡΟΥΡΙΟΣ 25 ΘΕΜ 4. [2%] Σην πην θάησ θύθισκα, πνπ ιεηηνπξγνύζε γηα πνιύ ρξόλν, ηε ρξνληθή ζηηγκή t = ν δηαθόπηεο θιείλεη. Πξνζδηνξίζηε ηα. i ( ) 2. i ( ) 3. i (t), t 4. Πόζα κs κεηά ην θιείζηκν ηνπ δηαθόπηε ην ξεύκα i ζα είλαη ίζν κε 3,5 ; 2 Ω 8 V i t = 2 mh 4 Ω 8 Ω ΠΝΣΗΗ. Καηάζηαζε πξηλ ην γεγνλόο (θιείζηκν ηνπ δηαθόπηε): ν επαγσγόο έρεη γίλεη βξαρπθύθισκα θαη δηαξξέεηαη από ξεύκα 8/(6284) = 8/4 = 2. Μόιηο θιείζεη ν δηαθόπηεο, δεκηνπξγείηαη δξόκνο γηα λα πεξάζεη ξεύκα. Οη αληηζηάηεο θαη 4 Ω αληηδξνύλ ζηηγκηαία θαη άγνπλ δηα κέζνπ ηνπ λένπ δξόκνπ νπόηε ακέζσο θπθινθνξεί έλα ξεύκα 8/(64) = 8/2 = 4. Γεδνκέλνπ όκσο όηη ν επαγσγόο ζα δηαηεξήζεη αθέξαην ην ξεύκα ηνπ γηα ηελ ρξνληθή ζηηγκή ακέζσο κεηά ην γεγνλόο. Άξα ζα θπθινθνξήζεη θαη έλα ξεύκα 2 ζηνλ θιάδν ηνπ επαγσγνύ. πό ηνλ λόκν ξεπκάησλ ηνπ Kirchhoff πξνθύπηεη όηη i ( ) = 4 2 = 2 A. 2. Δμαηηίαο ηεο βξαρπθύθισζεο, νη αληηζηάηεο ησλ 2 Ω θαη 8 Ω θαζώο θαη ν επαγσγόο, ηειηθά (αθνύ παξέιζεη πνιύο ρξόλνο κεηά ην θιείζηκν ηνπ δηαθόπηε) δελ ζα παίδνπλ θαλέλα ξόιν. Οπόηε, i () = 8/(64) = 4 A. 3. πό ηελ εθθόξηηζε ηνπ επαγσγνύ έρνπκε όηη ην ξεύκα πνπ ζα «πξνθαιέζεη» είλαη i L (t) = 2 e t/η όπνπ η = L/R = (2 3 )/2 =, s, νπόηε i L (t) = 2 e t θαη ηειηθά i (t) = 4 2 e t 4. πό ηελ απάληεζε ζην εξώηεκα 3, 4 2 e x = 3,5 νπόηε 2 e x =,5 x = ln,25 x =,386 3 s θαη ηειηθά ην ξεύκα ζα είλαη 3,5 κεηά από 386 κs. 8 V 8 V t = 2 Ω 4 A 2 A i ( ) 4 Ω 8 Ω 2 Ω 4 A i L (t) i (t) 4 Ω 8 Ω 2 mh 6

7 ΗΛΔΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ-ΝΛΥΣΗ ΚΙ ΣΦΔΓΙΣΜΟΣ Ι, ΦΔΡΟΥΡΙΟΣ 25 ΘΕΜ 5. [5%] Γηα ην πην θάησ θύθισκα (ζην νπνίν δελ ππάξρεη αξρηθά απνζεθεπκέλε ελέξγεηα) θαηαζηξώζηε ζε κνξθή πίλαθα. ηηο εμηζώζεηο θνκβηθώλ ηάζεσλ 2. ηηο εμηζώζεηο βξνρηθώλ εληάζεσλ πλά καηαζηπώζηε ηιρ εξιζώζειρ ζε μοπθή γπαμμικού ζςζηήμαηορ και μη δοκιμάζεηε να ηιρ λύζεηε. kω v s (t) 7 mh 5 Ω 3 mf ΠΝΣΗΗ Γηα λα εθαξκόζνπκε ηε κέζνδν θνκβηθώλ ηάζεσλ κε ηνλ «απηόκαην» ηξόπν, πξέπεη ην θύθισκά καο λα είλαη ζηελ θαηάιιειε κνξθή, δειαδή λα κελ πεξηέρεη πεγέο ηάζεο αιιά κόλν πεγέο ξεύκαηνο. Με έλαλ απιό κεηαζρεκαηηζκό πεγώλ, κπνξνύκε λα πάξνπκε 2 v s (t)/ kω 7 mh 5 Ω 3 mf Τώξα, κε απιή επηζθόπεζε, γηα ηηο θνκβηθέο ηάζεηο: v 3 3 s 7 D 7 D V 3 V2 3 D D 7 D 5 Με απιή επηζθόπεζε (ζην αξρηθό θύθισκα), γηα ηηο βξνρηθέο εληάζεηο: D 5 I vs 5 5 I D 7