Ποσοτική Ανάλυση Επιχειρηματικών Αποφάσεων Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων. Μέρος Α
|
|
- Ολυμπία Κεδίκογλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ποσοτική Ανάλυση Επιχειρηματικών Αποφάσεων Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων. Μέρος Α Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη ιοίκηση Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Μακεδονίας, Ακαδημαϊκό έτος Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων ΕΡΓΟ (πέρα από κάθε μεγάλη τεχνική κατασκευή) θεωρείται η διαδικασία υλοποίησης (πρωτότυπων) «προϊόντων» όπως, ηπαροχήυπηρεσιών, ο σχεδιασμός αναπτυξιακών προγραμμάτων, η ανάπτυξη και το πλασάρισμα ενός νέου προϊόντος ή μιας νέας υπηρεσίας, οι εργασίες συντήρησης μιας κατασκευής, η υλοποίηση ενός επενδυτικού σχεδίου, Κύρια χαρακτηριστικά αυτής της διαδικασίας: έχει αρχή και τέλος, έχει (κάποιου βαθμού) πρωτοτυπία, αναλύεται σε αλληλένδετες και αλληλοεξαρτώμενες επί μέρους εργασίες, γνωστές ως ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ, οι οποίες πρέπει να υλοποιηθούν μέσα σε προκαθορισμένο χρόνο, (μετη χρήση ποικίλων περιορισμένων πόρων). 1
2 Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων Δεν μας ενοχλεί το πλήθος των δραστηριοτήτων ενός έργου, αλλά το γεγονός ότι οι δραστηριότητες δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αντίθετα είναι αλληλοεξαρτώμενες τόσο σε ότι αφορά την αλληλουχία εκτέλεσής τους, αλλά και σε ότι αφορά τη χρήση κοινών πόρων. Building the very first Boeing Jumbo jet was a project (building them now is a repetitive/routine process, not a project). Other projects are the building of the Channel tunnel, the building of the London Eye, the developing of a new drug. Παρόλο που η πρωτοτυπία είναι ζητούμενο, ηέμφασηπια είναι στην διαδικασία υλοποίησης. Απλά καθημερινά- παραδείγματα. Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων Οι τεχνικές που θα αναπτυχθούν αποσκοπούν στον (i) σχεδιασμό, (ii) χρονικό προγραμματισμό και (iii) έλεγχο των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργο, μέσα στα πλαίσια των διαθέσιμων πόρων του, του σχεδιαζόμενου χρόνου παράδοσής του, κ.λπ. Οι τεχνικές αυτές επιδιώκουν την ανάπτυξη ενός λεπτομερούς χρονοδιαγράμματος αλληλουχίας των δραστηριοτήτων. Ιδιαίτερα μας ενδιαφέρει εάν η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι γνωστή (σταθερά) η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι μεταβλητή. 4
3 Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων οι τεχνικές αυτές έχουν χειριστεί με επιτυχία τον σχεδιασμό, προγραμματισμό και έλεγχο έργων όπως: Ολυμπιακοί Αγώνες, ΠΑΘΕ, Εγνατία Οδός, κατασκευή μεγάλων οικοδομικών έργων, εγκατάσταση και συντήρηση εξοπλισμού εργοστασίων, ανάπτυξη νέων προϊόντων, εισαγωγικές εξετάσεις, φάκελοι υποψηφιότηταςανάληψηςαθλητικώνεκδηλώσεων, κ.λπ. 5 PERT/CPM PERT Program Evaluation and Review Technique Developed by U.S. Navy for Polaris missile project Developed to handle uncertain activity times CPM Critical Path Method Developed by Du Pont Company & Remington Rand Univac Developed for industrial projects for which activity times generally were known Τα λογισμικά ενσωματώνουν μια σύνθεση των δύο τεχνικών (με την κοινή ονομασία PERT/CPM). Τεχνική Δικτυωτής Ανάλυσης. 6
4 PERT/CPM Με τη βοήθεια των PERT/CPM μπορούν να απαντηθούν όλες οι εύλογες ερωτήσεις για την υλοποίηση ενός έργου όπως: Ποιος είναι ο χρόνος υλοποίησης του έργου; Πόσο σύντομα μπορεί να υλοποιηθεί το έργο; Ποιες πρέπει να είναι οι προγραμματισμένες ημερομηνίες έναρξης και λήξης της κάθε δραστηριότητας; Ποιες δραστηριότητες είναι κρίσιμες για την ολοκλήρωση του έργου χωρίς καθυστερήσεις; Ποια είναι τα περιθώρια καθυστέρησης στις μη κρίσιμες δραστηριότητες; 7 Example: Frank s s Fine Floats Frank s Fine Floats is in the business of building elaborate parade floats. Frank and his crew have a new float to build and want to (use PERT/CPM to help them) manage the project. 8 4
5 PERT/CPM Προχωρούμε σε δομική ανάλυση του έργου, δηλ. επιμερίζουμε το έργο σε διακριτές φάσεις. Στη συνέχεια αναλύουμε κάθε φάση σε αυτοτελείς δραστηριότητες (εργασίες) Δραστηριότητα: το στοιχειώδες δομικό στοιχείο αναφοράς στην ανάλυσή μας συστηματική-κριτική καταγραφή του τρόπου υλοποίησης. εκτιμήσεις για το χρόνο που απαιτεί η ολοκλήρωσή της, καθορισμός σχέσεων προ-απαίτησης (ορίζουν τη σειρά με την οποία πραγματοποιείται η κάθε δραστηριότητα: ποιες δραστηριότητες προ-απαιτούνται για την ολοκλήρωσή της πριν ξεκινήσει η συγκεκριμένη). 9 Example: Frank s s Fine Floats The table on the next slide shows the activities that comprise the project. Each activity s s estimated completion time (in days) and immediate predecessors are listed as well. (obviously someone must lists the activities in a logical/chronological order). Frank wants to know the minimum total time to complete the project, which activities are critical, and the earliest and latest start and finish dates for each activity. 10 5
6 Example: Frank s Fine Floats Immediate Completion Activity Description Predecessors Time (days) A Initial Paperwork --- B Build Body A C Build Frame A D Finish Body B E Finish Frame C 7 F Final Paperwork B,C G Mount Body to Frame D,E 6 8 H Install Skirt on Frame C Activities B, C must be finished before activity F can start. 11 Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων Η αλληλουχία των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργο αναπαριστάται γραφικά μ ένα δίκτυο στο οποίο οι κόμβοι απεικονίζουν τις δραστηριότητες, τα βέλη απεικονίζουν την αλληλουχία των δραστηριοτήτων. Kομβικά δίκτυα Activity On Node. (αναπαρίστανται και με τα τοξωτά δίκτυα - Activity On Arrow). In constructing this network we: draw a node for each activity add an arrow from (activity) node i to (activity) node j, if activity i must be finished before activity j can start (activity i precedes activity j). 1 6
7 Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων (ΑΟΝ) All arcs have arrows attached to them, indicating the direction the project is flowing in. It is recommended (but not necessary) to start with a node named start (this activity has a duration 0). Then we draw each activity that does not have a predecessor activity and connect them with an arrow. When there are no activities that come after some activities, it is recommended (but again not necessary) to connect them to a node labeled finish. Such a diagram assumes that activities not linked by precedence relationships can take place simultaneously. 1 Example: Frank s Fine Floats Δίκτυο Αναπαράστασης AON- Start A B C D F E 7 G 6 H Finish δραστηριότητα απαιτούμενος χρόνος Ενδείξεις (κόμβοι) Start Finish 14 7
8 Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων The above diagram is not needed for a computer. A computer can cope very well with just the lists of activities and their precedence relationships. The diagram is intended for people: in a large project, with many thousands of activities, it is not possible to list those and their associated precedence relationships without making any errors. How can we spot errors? Looking at long lists is hopeless. (with a little practice it becomes easy to) Look at diagrams, interpret them and spot errors in the specification of the activities and their associated precedence relationships. Once having drawn the network it is relatively easy matter to analyze it (using a dynamic programming algorithm). 15 Λύση του (κομβικού) δικτύου 1οβήμα: υπολογίζουμε τον συντομότερο χρόνο έναρξης (ES) και ολοκλήρωσης (EF) κάθε δραστηριότητας. οβήμα: υπολογίζουμε το βραδύτερο χρόνο έναρξης (LS) και ολοκλήρωσης (LF) κάθε δραστηριότητας. συντομότεροι χρόνοι βραδύτεροι χρόνοι οβήμα: υπολογίζουμε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότ 4οβήμα: υποδεικνύουμε την κρίσιμη διαδρομή και το συνολικό χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Χρονικό περιθώριο ονομάζεται το χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει η υλοποίηση μιας δραστηριότητας χωρίς ανάλογη καθυστέρηση στο συνολικό χρόνο του έργου. Η διαδρομή που αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριο ονομάζεται ΚΡΙΣΙΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ. 16 8
9 Συντομότερος Χρόνος Έναρξης (ES) & Ολοκλήρωσης (EF) μιας δραστηριότητας Ξεκινήστε ένα forward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβο Start. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε: Earliest Start Time = max {EF(k), k P}, όπου P το σύνολο των δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προ-απαιτούμενες = ο μεγαλύτερος χρόνος ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προαπαιτούμενες. Earliest Finish Time = ES + (χρόνος ολοκλήρωσης της i ). Ο (ελάχιστος) ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ του έργου ισούται με το μεγαλύτερο εκ των ενωρίτερων χρόνων ολοκλήρωσης των κόμβων (δραστηριοτήτων) οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish. 17 Example: Frank s Fine Floats Συντομότεροι χρόνοι Έναρξης και Ολοκλήρωσης Start A 0 B C 6 5 D F E G 6 H Finish max{6, 5} κόμβοι οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish οι: F, G και H (ελάχιστος) χρόνος ολοκλήρωσης του έργου = 18 = max{9, 18, 7} 18 9
10 Example: Frank s Fine Floats Συντομότεροι χρόνοι Έναρξης (ES) και Ολοκλήρωσης (EF) ES A = 0 EF A = ES A + t A = 0 + = ES B = EF A = EF B = ES B + t B = + = 6 ES C = EF A = EF C = ES C + t C = + = 5 ES D = EF B = 6 EF D = ES D + t D = 6 + = 9 ES E = EF C = 5 EF E = ES E + t E = = 1 ES F = max{ef B, EF C } = max{6, 5} = 6 EF F = ES F + t F = 6 + = 9 ES G = max{ef D, EF E } = max{9, 1} = 1 EF G = ES G + t G = 1+6=18 ES H = EF C = 5 EF H = ES H + t H = 5 + = 7 ES FINISH = max{ef F, EF G, EF H } = max{9, 18, 7} = ΒραδύτεροςΧρόνοςΈναρξης(LS) και Ολοκλήρωσης (LF) μιας δραστηριότητας Ξεκινήστε ένα backward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβο Finish. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε Latest Finish Time = min {LS(k), k S}, όπου S το σύνολο των δραστηριοτήτων που έπονται της i και συνδέονται άμεσα μαζί της = ο μικρότερος χρόνος έναρξης των δραστηριοτήτων των οποίων είναι άμεσα προαπαιτούμενη. Latest Start Time = LF - (χρόνος ολοκλήρωσης της i). 0 10
11 ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 4/6/009 Example: Frank s Fine Floats Βραδύτεροι χρόνοι Έναρξης και Ολοκλήρωσης Start A 0 0 B C D F E G 6 H Finish min{9, 15} 1 Example: Frank s Fine Floats Βραδύτεροι χρόνοι Έναρξης (LS) και Ολοκλήρωσης (LF) LF G = 18 LS G = LF G -t G = 18-6 =1 LF H = 18 LS H =LF H -t H = 18 - =16 LF F = 18 LS F = LF F -t F = 18 - = 15 LF D = LS G = 1 LS D = LF D -t D = 1 - = 9 LF E = LS G = 1 LS E = LF E -t E = 1-7 = 5 LF B = min{ls D, LS F } = min{9, 15} = 9 LS B = LF B -t B = 9 - = 6 LF C = min{ls F, LS E, LS H } = = min{15, 5, 16} = 5 LS C = LF C -t C = 5 - = LF A = min{ls B, LF C } = min{6, } = LS A = LF A -t A = - = 0 11
12 Determining the Critical Path Υπολογίστε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας (Slack) i = (Latest Start) i - (Earliest Start) i, or = (Latest Finish) i - (Earliest Finish) i. F Example: Frank s Fine Floats Activity Slack Time Activity ES EF LS LF Slack A (crit.) B C (crit.) D E (crit.) F G (crit.) H
13 Example: Frank s Fine Floats Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή (δεν είναι κατ ανάγκη μία) Η Κρίσιμη Διαδρομή ξεκινά από τον κόμβο Start και τερματίζει στον κόμβο Finish, και αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριο. For any network there will always be a path of critical activities from the initial node to final node. Critical Path: A C E G Project Completion Time: 18 days Note here that, we have (implicitly) assumed in calculating this figure of 18 days that we have sufficient resources to carried out the various 5 activities. Critical Path Example: Frank s Fine Floats Start A 0 0 B C D F E G 6 H Finish Οι δραστηριότητες A, C, E και G είναι κρίσιμες για την υλοποίηση του έργου χωρίς καθυστερήσεις Οι δραστηριότητες B, D, F και H έχουν, αντίστοιχα, περιθώριο καθυστέρησης,, 9 και 11 ημερών 6 1
14 Example: Frank s s Fine Floats (winqsb( winqsb) 7 Διαγράμματα Gantt Πρόκειται για ένα απλό γραμμικό ημερολόγιο, πάνω στο οποίο σημειώνουμε τους χρόνους έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων Προτάθηκε από τον Henry Gantt, ως μεθοδολογικό εργαλείο για τον προγραμματισμό και έλεγχο της πορείας υλοποίησης μεγάλων βιομηχανικών έργων στις αρχές του περασμένου αιώνα (το 1918). Ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας μέτρησης του χρόνου, ενώ για κάθε δραστηριότητα του έργου σχεδιάζουμε μια οριζόντια ράβδο με μήκος τη χρονική στιγμή ενωρίτερης (βραδύτερης) έναρξης και λήξης. Πλεονέκτημα η απλότητά τους και ο άμεσος απολογισμός. Μειονέκτημα η αδυναμία έκφρασης των σχέσεων εξάρτησης. 8 14
15 Example: Frank s s Fine Floats (winqsb( winqsb) 9 Non-Critical Activities One thing which will become crucial if we go deeper into network analysis is the non-critical activities. In the previous Gantt chart we can see that we have a choice to when non critical activities start. For example, there is a time window [5, 15] within which activity H can be started without affecting the overall project completion time As we have a choice to when in this time window we start activity H then we have a DECISION to be made. Making appropriate decisions to precisely when to start noncritical activities is a key feature of network analysis/project management. 0 15
16 Project Completion Analysis in Frank s s Fine Floats (winqsb) Results Project Completion Analysis Doing that analysis after 9 days (say) gives: activities A, B, C have been completed activity E will have been 57.14% completed the remaining activities not yet started This analysis assumes: all activities are started at their earliest start times, all activities take exactly as long as planned. 1 (θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο Έστω ένα δίκτυο ΑΟΝ με m κόμβους (δραστηριότητες): μεταβλητή x i : η συντομότερη χρονική στιγμή έναρξης (ES) της δραστηριότητας που παριστάνεται από τον κόμβο i. αντικειμενική συνάρτηση: min x FINISH (ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου). περιορισμοί: η (συντομότερη) χρονική στιγμή έναρξης x i μιας δραστηριότητας i μπορεί να γίνει αφού όλες οι προαπαιτούμενες δραστηριότητές της j ολοκληρωθούν: x i x j + t j. Μια δραστηριότητα j ολοκληρώνεται σε χρονική στιγμή ίση με το χρόνο έναρξής της συν το χρόνο που απαιτείται για την υλοποίησή της (EF j = ES j + t j ). 16
17 Example: Frank s s Fine Floats ACTIV A IMMED PREDEC COMPL TIME B: x B x A + t Α -x A + x B C: x C x A + t Α -x A + x C D: x D x B + t Β -x B + x D B C D A A B E: x E x C + t C -x C + x E F: x F x B + t B -x B + x F x F x C + t C -x C + x F G: x G x D + t D -x D + x G E C 7 x G x E + t E -x E + x G 7 F G H B, C D, E C 6 H: x H x C + t C -x C + x H FIN: x FN x F + t F -x F + x FN x FN x G + t G -x G + x FN 6 x FN x H + t H -x H + x FN FN F,G,H 0 All X s 0 Example: Frank s s Fine Floats 4 17
18 (θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο ο ελάχιστος χρόνος υλοποίησης του έργου είναι 18 ημέρες, όπως και υποδείχτηκε προηγούμενα. οι συντομότεροι χρόνοι έναρξης των κρίσιμων δραστηριοτήτων ταυτίζονται με αυτές που βρέθηκαν προηγούμενα. οι συντομότεροι χρόνοι έναρξης των μη κρίσιμων δραστηριοτ. βρίσκονται μέσα στο παράθυρο χρόνου έναρξής τους και δεν ταυτίζονται κατ ανάγκη με αυτές που βρέθηκαν προηγούμενα. 5 (θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο δεν υπάρχει ένδειξη για το ποιες εκ των δραστηριοτήτων είναι κρίσιμες. Μπορούν όμως να βρεθούν εάν επιλυθούν για εκάστη εκ των δραστηριοτήτων i τα εξής δύο π.γ.π. min x i s.t. the constraints given before x FN = 18 max x i s.t. the constraints given before x FN = 18 για τη δραστηριότητα Ε η μικρότερη τιμή για την x Ε είναι 5, ενώ ημέγιστη5. Συνεπώς η δραστηριότητα Ε πρέπει να ξεκινήσει τη χρονική στιγμή 5 προκειμένουτοέργοναολοκληρωθείστις18 ημέρες. για τη δραστηριότητα F η μικρότερη τιμή για την x F είναι 6, ενώ ημέγιστη15. Συνεπώς η δραστηριότητα F μπορεί να ξεκινήσει οποιαδήποτε χρονική στιγμή μεταξύ της 6 και 15 προκειμένου το έργοναολοκληρωθεί στις 18 ημέρες. 6 18
19 (θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο So far we have duplicated via l.p. what we could already do via dynamic programming (PERT/CPM). The real benefit of using l.p. comes if we add additional constraints into the problem, i.e. there must be a time lag of exactly T between the end of A (completion time a) and the start of B: x A + a + T = x B. there must be a time lag of exactly T between the end of A (completion time a) and the end of B (completion time b): x A + a + T = x B + b. activities A and B must start at the same time: x A = x B. activities A and B must start at roughly the same time: x A x B 1. 7 εκτίμηση του χρόνου που απαιτείται για την ολοκλήρωση κάθε μιας εκ των δραστηριοτήτων 8 19
20 Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων Η διάρκεια των δραστηριοτήτων είναι τυχαία μεταβλητή. Γίνονται τρεις εκτιμήσεις της διάρκειας κάθε δραστηριότητας: (i) αισιόδοξη, (ii) απαισιόδοξη και (iii) πλέον πιθανή. Υποθέτουμε ότι η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ακολουθεί την κατανομή Β. 9 Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων ΤΟΤΕ Ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας είναι ίσος με μ = (a + 4m + b)/6 Η μεταβλητότητα του χρόνου ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητ είναι ίσος με σ = ((b-a)/6) όπου a b = ηαισιόδοξηεκτίμηση = η απαισιόδοξη εκτίμηση m = η πλέον πιθανή εκτίμηση 40 0
21 Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων Αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή: η διαδρομή που θα ήταν κρίσιμη εάν η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ήταν ίση με την μέση τιμή της. Θεωρώντας ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων στην αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή είναι στατιστικά ανεξάρτητες ΤΟΤΕ Για ικανό αριθμό δραστηριοτήτων η τ.μ. «συνολική διάρκεια του έργου» ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους μ = SUM(μέσων χρόνων του αναμενόμ. κρίσιμου μονοπατιού) σ = SUM(διασπορών χρόνων του αναμ. κρίσιμου μονοπατιού) 41 Θεωρήστε το έργο Example: ABC Associates Immed. Optimistic Most Likely Pessimistic Activity Predec. Time (Hr.) Time (Hr.) Time (Hr.) A B C A D A E A F B,C 4 5 G B,C H E,F I E,F 5 8 J D,H K G,I
22 Example: ABC Associates Αναμενόμενοι χρόνοι δραστηριοτήτων και διασπορές t = (a + 4m + b)/6 σ = ((b-a)/6) Activity Expected Time Variance A 6 4/9 B 4 4/9 C 0 D 5 1/9 E 1 1/6 F 4 1/9 G 4/9 H 6 1/9 I 5 1 J 1/9 K 5 4/9 4 Δίκτυο Αναπαράστασης Example: ABC Associates Start A 6 D 5 E 1 C B 4 F 4 G H 6 I 5 J K 5 Finish 44
23 Example: ABC Associates Υπολογισμοί των χρόνων ES, EF και LS, LF Start A D 5 E 1 C B F G H I J K Finish Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου = max{, } = 45 Example: ABC Associates Ενωρίτεροι/Βραδύτεροι Χρόνοι and Slack Expected Time Variance Activity ES EF LS LF Slack 6 4/9 A * 4 4/9 B C * 5 1/9 D /6 E /9 F * 4/9 G /9 H I * 1/9 J /9 K * 46
24 Example: ABC Associates Προσδιορισμός της κρίσιμης διαδρομής Critical Path: A C F I K Αναμενόμενος Χρόνος Ολοκλήρωσης: ώρες μ = t A + t C + t F + t I + t K = = σ = σ A + σ C + σ F + σ I + σ K = 4/ / /9 = Συνολική διάρκεια του έργου Ν(, ) 47 Critical Path (A-C-F-I-K) Example: ABC Associates Start A D 5 E 1 C B F G H I J K Finish 48 4
25 Example: ABC Associates Συνολική διάρκεια του έργου Ν(, ) Example: ABC Associates X μ Η τυχαία μεταβλητή Z = ακολουθεί την Ν(0, 1) οπότε σ Πιθανότητα (διάρκεια έργου x) = Probability (Z z x ) 50 5
26 Example: ABC Associates Πιθανότητα ολοκλήρωσης του έργου μέσα σε 4 hrs z 4 = (4 - )/σ = (4-)/1.414 =.71 P(z <.71) = = Example: ABC Associates Αναμεν. διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου με πιθανότητα 95% P(z < (a )/1.414) =.95 (a - )/ = a = 5. hrs 5 6
27 Example: ABC Associates 5 Example: ABC Associates 54 7
28 εξασκηθείτε (1) Για την ολοκλήρωση ενός έργου απαιτείται η εκτέλεση ενός αριθμού δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες αυτές, οι διάρκειές τους (ημέρες) και οι περιορισμοί που υπάρχουν στην εκτέλεσή τους, σημειώνονται στο διπλανό πίνακα. Ζητούνται: : (α)( Να διαμορφωθεί το κατάλληλο κομβικό δίκτυο, που θα απεικονίζει γραφικά το έργο, που μας απασχολεί και να βρεθεί ο χρόνος ολοκλήρωσής του.. (β)( Να βρεθούν οι συντομότεροι και οι βραδύτεροι χρόνοι έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων, τα χρονικά περιθώριά τους και η κρίσιμη διαδρομή. ΔΡΑΣΤΗΡ Α B C D E F G ΑΜΕΣΑ ΠΡΟΗΓ ΔΡΑΣΤΗΡ C C A B,D,E ΔΙΑΡΚΕΙΑ H F I E 6 55 εξασκηθείτε (1) Κρίσιμη Διαδρομή: C E - I 56 8
29 εξασκηθείτε () ΑΙΣ ΠΙΘ ΑΠΣ ΧΡΝ Για την ολοκλήρωση ενός έργου ΑΜ ΑΙΣ ΠΙΘ απαιτείται η εκτέλεση ενός αριθμού ΔΡΣΤ ΠΡ ΔΡ ΧΡΝ ΧΡΝ δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες αυτές, οι εκτιμήσεις διάρκειάς τους (μήνες) A - 4 και οι περιορισμοί που υπάρχουν στην εκτέλεσή τους, σημειώνονται στο διπλανό πίνακα. B Ζητούνται: : (α)( Να διαμορφωθεί το κατάλληλο κομβικό δίκτυο, που θα C απεικονίζει γραφικά το έργο, που μας απασχολεί και να βρεθεί ο μέσος χρόνος D A ολοκλήρωσής του.. (β)( Να βρεθούν οι συντομότεροι και οι βραδύτεροι χρόνοι έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων, E B 4 11 τα χρονικά περιθώριά τους και η κρίσιμη διαδρομή. (γ) Ποια είναι η πιθανότητα το F C έργο να ολοκληρωθεί σε 7 ημέρες; ; (δ)( Ποια είναι η αναμενόμενη διάρκεια G C ολοκλήρωσης του έργου με πιθανότητα 90%; H D,E,F ΑΜ εξασκηθείτε () Κρίσιμη Διαδρομή: C F - H Χρόνος Ολοκλήρωσης Ν(0,. ) Prob (X 7) = 0.10 Prob (X a) = 0.90 a =.98 μήνες 58 9
ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 25/11/2007. Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος
Επιχειρησιακή Έρευνα Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος 007-08 Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων ΕΡΓΟ (πέρα από κάθε μεγάλη τεχνική κατασκευή)
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης
Αριθμητικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Έργων Πληροφορικής
Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Διάλεξη 4 η Ανάλυση Δικτύου, Υπολογισμός Κρίσιμης Διαδρομής (CPM) M. Τσικνάκης Ρ. Χατζάκη Ε. Μανιαδή & Ά. Μαριδάκη 1 Εξαρτήσεις δραστηριοτήτων Finish-to-start (FS): The predecessor
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτική Ανάλυση Επιχειρηματικών Αποφάσεων Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων. Μέρος B
Ποσοτική Ανάλυση Επιχειρηματικών Αποφάσεων Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων. Μέρος B Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη ιοίκηση Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Μακεδονίας, Ακαδημαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 4: Διαχείριση Έργων
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 4: Διαχείριση Έργων Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Έργων Πληροφορικής
Διαχείριση Έργων Πληροφορικής WBS and CPA Μ. Τσικνάκης Βασικές έννοιες Δραστηριότητα: απλή επιμέρους εργασία του όλου έργου, για την εκτέλεση της οποίας απαιτείται κάποιος χρόνος και κάποιοι πόροι. Παράλληλες
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 9: Διαχείριση Έργων (1ο Μέρος)
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 9: Διαχείριση Έργων (1ο Μέρος) Γρηγόριος Μπεληγιάννης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων και Τροφίμων Σκοποί
Διαβάστε περισσότερα1 η Άσκηση στο Χρονοπρογραμματισμό Έργων
1 η Άσκηση στο Χρονοπρογραμματισμό Έργων Θεωρείστε ένα έργο που απαιτεί τις δραστηριότητες του Πίνακα 1. Για κάθε δραστηριότητα αναγράφονται οι προαπαιτούμενες δραστηριότητες αν υπάρχουν, και οι εκτιμήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ. Διοίκηση και Προγραμματισμός Έργων
ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ Διοίκηση και Προγραμματισμός Έργων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Βασικές έννοιες 2. Ανάλυση του έργου και διαμόρφωση του δικτύου 3. Επίλυση δικτύου 1 1. Βασικές έννοιες Με τον όρο έργο, εκτός από
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Έργων Πληροφορικής Εργαστήριο 2. Μακρή Ελένη-Λασκαρίνα
Διοίκηση Έργων Πληροφορικής Εργαστήριο 2 Μακρή Ελένη-Λασκαρίνα elmak@unipi.gr Περιεχόμενα Προγραμματισμός Έργων Δομή Ανάλυσης Εργασιών - Work breakdown structure (WBS) Χρονοπρογραμματισμός Έργων Διάγραμμα
Διαβάστε περισσότεραΣτον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι διάφορες δραστηριότητες που απαιτούνται στο πλαίσιο υλοποίησης ενός μικρού έργου:
Εκφώνηση Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι διάφορες δραστηριότητες που απαιτούνται στο πλαίσιο υλοποίησης ενός μικρού έργου: Οι άμεσες σχέσεις προτεραιότητας είναι: Activity Number Activity Completion
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Λειτουργιών. Διοίκηση Έργων II (Δίκτυα Έργων & Χρονοπρογραμματισμός) - 6 ο μάθημα -
Διοίκηση Λειτουργιών Διοίκηση Έργων II (Δίκτυα Έργων & Χρονοπρογραμματισμός) - 6 ο μάθημα - Θεματολογία Μορφές δικτύων έργων Χρονικός προγραμματισμός έργων Ανδρέας Νεάρχου Συμβολισμοί για δίκτυα έργων
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Οικονοµικές, Εµπορικές και Παραγωγικές Λειτουργίες
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 40 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ
ΔΕΟ 40 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ Έργο είναι μια ακολουθία μοναδικών, σύνθετων και αλληλοσυσχετιζόμενων δραστηριοτήτων που αποσκοπούν στην επίτευξη κάποιου συγκεκριμένου
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους
ΠΜΣ: «Παραγωγή και ιαχείριση Ενέργειας» ιαχείριση Ενέργειας και ιοίκηση Έργων Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους Επ. Καθηγητής Χάρης ούκας, Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & ιοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοικητική Επιστήμη
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Προγράμματα Εκπαίδευσης με τη χρήση καινοτόμων μεθόδων εξ αποστάσεως εκπαίδευσης Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοικητική Επιστήμη Χρονικός προγραμματισμός έργων με
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ.
ΔΙΙΔΡΥΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ» Τίτλος Μαθήματος: Διοίκηση έργου Ονοματεπώνυμο Σπουδαστή: Αργύριος Κρουστάλλης Ονοματεπώνυμο Υπεύθυνου Καθηγητή:
Διαβάστε περισσότεραRight Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door
Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents
Διαβάστε περισσότεραΗ πολυπλοκότητα και η αβεβαιότητα ως διαστάσεις ενός έργου
Διοίκηση Έργων Τι είναι έργο Με τον όρο έργο, εκτός από κάθε μεγάλη και μοναδική τεχνική κατασκευή, εννοούμε προϊόντα συστημάτων παραγωγής, που δεν έχουν όλα αυτά τα βασικά χαρακτηριστικά των τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραΟι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού)
Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Ενδεικτικές δραστηριότητες
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότερα5.4 The Poisson Distribution.
The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable
Διαβάστε περισσότερα«Διαχείριση Έργων στη Δημόσια Διοίκηση» Ενότητα 6: Τεχνικές παρακολούθησης (μέρος 1ο) ΕΙΔΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ ΣΠΟΥΔΩΝ 24η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ «Διαχείριση Έργων στη Δημόσια Διοίκηση» Ενότητα 6: Τεχνικές παρακολούθησης (μέρος 1ο) ΕΙΔΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ ΣΠΟΥΔΩΝ 24η ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ
Διαβάστε περισσότεραSection 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016
Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραΕγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade
Για να ελέγξετε το λογισμικό που έχει τώρα η συσκευή κάντε κλικ Menu > Options > Device > About Device Versions. Στο πιο κάτω παράδειγμα η συσκευή έχει έκδοση λογισμικού 6.0.0.546 με πλατφόρμα 6.6.0.207.
Διαβάστε περισσότεραΔημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony
Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony Ελληνικά Ι English 1/7 Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Επιχειρηματικής Τηλεφωνίας μέσω της ιστοσελίδας
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραExample of the Baum-Welch Algorithm
Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων. Ανδρέας Νεάρχου 2
ιοίκηση Λειτουργιών ιοίκηση Έργων IΙΙ (Χρονοπρογραµµατισµός συνέχεια) - 7 ο µάθηµα - Άσκηση επανάληψης CPM Θεωρείστε το έργο που φαίνεται στον επόµενο πίνακα. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της κρίσιµης διαδροµής
Διαβάστε περισσότεραΧρονικός Προγραμματισμός Έργων Project Scheduling. Κέντρο Εκπαίδευσης ΕΤΕΚ 69 Δρ. Σ. Χριστοδούλου και Δρ. Α. Ρουμπούτσου
Χρονικός Προγραμματισμός Έργων Project Scheduling Κέντρο Εκπαίδευσης ΕΤΕΚ 69 Δρ. Σ. Χριστοδούλου και Δρ. Α. Ρουμπούτσου Χρονοδιαγράμματα Έργων Διαδικασία Κτίζοντας το Πρόγραμμα Έργου 1. Κατανόηση έργου/προδιαγραφών
Διαβάστε περισσότερα7 Present PERFECT Simple. 8 Present PERFECT Continuous. 9 Past PERFECT Simple. 10 Past PERFECT Continuous. 11 Future PERFECT Simple
A/ Ονόματα και ένα παράδειγμα 1 Present Simple 7 Present PERFECT Simple 2 Present Continuous 8 Present PERFECT Continuous 3 Past Simple (+ used to) 9 Past PERFECT Simple she eats she is eating she ate
Διαβάστε περισσότεραΣτο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά.
Διαστημικό εστιατόριο του (Μ)ΑστροΈκτορα Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Μόλις μια παρέα πελατών κάτσει σε ένα
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραBusiness English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Business English Ενότητα # 9: Financial Planning Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΡΚΕΙΑ (εβδομάδες) A -- 6 B -- 2 C A 3 D B 2 E C 4 F D 1 G E,F 1 H G 6 I H 3 J H 1 K I,J 1 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
ΑΣΚΗΣΗ 1 Για την ολοκλήρωση ενός έργου απαιτείται η εκτέλεση ενός αριθμού δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες αυτές, οι διάρκειές τους και οι περιορισμοί που υπάρχουν για την εκτέλεσή τους δίνονται στον
Διαβάστε περισσότεραΣτον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι δραστηριότητες που απατούνται για την υλοποίηση ενός μικρού έργου και η διάρκεια αυτών σε εβδομάδες.
Εκφώνηση Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι δραστηριότητες που απατούνται για την υλοποίηση ενός μικρού έργου και η διάρκεια αυτών σε εβδομάδες. Activity Completion time (weeks) 1 5 2 7 3 6 4 3 5 4
Διαβάστε περισσότεραSolutions to the Schrodinger equation atomic orbitals. Ψ 1 s Ψ 2 s Ψ 2 px Ψ 2 py Ψ 2 pz
Solutions to the Schrodinger equation atomic orbitals Ψ 1 s Ψ 2 s Ψ 2 px Ψ 2 py Ψ 2 pz ybridization Valence Bond Approach to bonding sp 3 (Ψ 2 s + Ψ 2 px + Ψ 2 py + Ψ 2 pz) sp 2 (Ψ 2 s + Ψ 2 px + Ψ 2 py)
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση BP με το Bizagi Modeler
Προσομοίωση BP με το Bizagi Modeler Α. Τσαλγατίδου - Γ.-Δ. Κάπος Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τεχνολογία Διοίκησης Επιχειρησιακών Διαδικασιών 2017-2018 BPMN Simulation with Bizagi Modeler: 4 Levels
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες Αγοράς Ηλεκτρονικού Βιβλίου Instructions for Buying an ebook
Οδηγίες Αγοράς Ηλεκτρονικού Βιβλίου Instructions for Buying an ebook Βήμα 1: Step 1: Βρείτε το βιβλίο που θα θέλατε να αγοράσετε και πατήστε Add to Cart, για να το προσθέσετε στο καλάθι σας. Αυτόματα θα
Διαβάστε περισσότεραNetwork Analysis, CPM and PERT Assignment 2 - Λύσεις
Network Analysis, CPM and PERT Assignment 2 - Λύσεις Άσκηση 1 - CPM Μια εταιρία έχει αναλάβει την ανάπτυξη ενός μεγάλου πληροφοριακού συστήματος. Το όλο έργο απαιτεί για την ολοκλήρωσή του την υλοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Έργων Πληροφορικής - Τηλεπικοινωνιών
Διοίκηση Έργων Πληροφορικής - Τηλεπικοινωνιών ΔΗΜΗΤΡΑ ΤΖΙΓΚΟΥ Λ Ε Υ Κ Α Δ Α 2 0 1 2 (1/2) Ένα έργο (project) Πληροφορικής είναι ένα σύνολο από δραστηριότητες, δηλαδή εργασίες που η υλοποίηση τους απαιτεί
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Έργων - Project Management
Πανεπιστήμιο Αιγαίου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Διοίκηση Έργων - Project Management ΔΙΑΛΕΞΗ 4 η : Φάση 2 Σχεδιασμός χρόνου Δρ. Β. Ζεϊμπέκης Επίκουρος Καθηγητής vzeimp@fme.aegean.gr
Διαβάστε περισσότεραDESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.
DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec
Διαβάστε περισσότερα1 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ
Διαχείριση Τεχνικών Έργων 1 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Βασικές αρχές τεχνικού έργου Σειρά
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος)
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Γρηγόριος Μπεληγιάννης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων και Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραdepartment listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι
She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee
Διαβάστε περισσότερα1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model
1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model Let xi = the amount of money invested in each of the potential investments in, where (i=1,2, ) x1 = the amount of money invested in Savings Account
Διαβάστε περισσότεραAssalamu `alaikum wr. wb.
LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου
ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Χρονικός προγραμματισμός κατασκευής τεχνικών έργων. Μέθοδος Gantt, Μέθοδος κρίσιμης όδευσης (CPM). Επίλυση ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ
(Project Management) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl 1 Ορισμοί Έργου Έργο είναι μια σειρά από δραστηριότητες που διευθύνονται για την επίτευξη ενός επιθυμητού
Διαβάστε περισσότεραΚΩΣΤΑΣ ΣΤΑΜΚΟΣ Project Management
Project Management ΚΩΣΤΑΣ ΣΤΑΜΚΟΣ Project Management Αγαπητοί φίλοι, με το σημερινό μας άρθρο ξεκινούμε την αναφορά μας σε ένα από τα προκλητικότερα θέματα που καλείται να διεκπεραιώσει ένα σημερινό διοικητικό
Διαβάστε περισσότεραΔικτυακή Αναπαράσταση Έργων (Δίκτυα ΑΟΑ και ΑΟΝ) & η Μέθοδος CPM. Λυμένες Ασκήσεις & Παραδείγματα
Δικτυακή Αναπαράσταση Έργων (Δίκτυα ΑΟΑ και ΑΟΝ) & η Μέθοδος PM Λυμένες Ασκήσεις & Παραδείγματα Άσκηση σχεδίασης έργου με δίκτυο ΑΟΑ Σχεδιάστε το δίκτυο ΑΟΑ που ικανοποιεί του ακόλουθους περιορισμούς:
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 2 Εργαλεία για την αναζήτηση εργασίας: Το Βιογραφικό Σημείωμα
CURRICULUM VITAE Ενότητα 2 Εργαλεία για την αναζήτηση εργασίας: Το Βιογραφικό Σημείωμα 1.What is it? Τι είναι αυτό 2.Chronological example of a CV Χρονολογικό Παράδειγμα Βιογραφικού 3.Steps to send your
Διαβάστε περισσότερα( ) 2 and compare to M.
Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8
Διαβάστε περισσότεραΔομική Ανάλυση Έργων Χρονικός Προγραμματισμός Έργων. Σύνταξη-επιμέλεια παρουσίασης: Αθανάσιος Χασιακός, Στέφανος Τσινόπουλος
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Δομική Ανάλυση Έργων Χρονικός Προγραμματισμός Έργων Σύνταξη-επιμέλεια παρουσίασης: Αθανάσιος Χασιακός, Στέφανος Τσινόπουλος 1 Μέρος 1 ο : Ανάλυση δομής έργου Εισαγωγικές έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Έργων. Ενότητα 10: Χρονοπρογραμματισμός έργων (υπό συνθήκες αβεβαιότητας)
Διαχείριση Έργων Ενότητα 10: Χρονοπρογραμματισμός έργων (υπό συνθήκες αβεβαιότητας) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &
Διαβάστε περισσότεραTMA4115 Matematikk 3
TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet
Διαβάστε περισσότεραthe total number of electrons passing through the lamp.
1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy
Διαβάστε περισσότερα(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)
Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
Διαβάστε περισσότεραThe Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 7: The Janson Inequality Sotiris Nikoletseas Associate Professor Computer Engineering and Informatics Department 2014-2015 Sotiris Nikoletseas,
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΖΕΙ Η ΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΙΣ ΑΠΟΔΟΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΡΙΣΗ
Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Κρίστια Κυριάκου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΜΠΟΡΙΟΥ,ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ Της Κρίστιας Κυριάκου ii Έντυπο έγκρισης Παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools
Διαβάστε περισσότεραInstruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραEcon 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
Διαβάστε περισσότερα«ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE
«ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE We would like to invite you to participate in GAMIAN- Europe research project. You should only participate if you want to and choosing
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων
Υπολογιστική Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Όρια Πιστότητας (Confidence Limits) 2/4/2014 Υπολογ.Φυσική ΣΣ 1 Τα όρια πιστότητας -Confidence Limits (CL) Tα όρια πιστότητας μιας μέτρησης Μπορεί να αναφέρονται
Διαβάστε περισσότεραPartial Trace and Partial Transpose
Partial Trace and Partial Transpose by José Luis Gómez-Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/ jose.luis.gomez@itesm.mx This document is based on suggestions by Anirban Das Introduction This
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραBlock Ciphers Modes. Ramki Thurimella
Block Ciphers Modes Ramki Thurimella Only Encryption I.e. messages could be modified Should not assume that nonsensical messages do no harm Always must be combined with authentication 2 Padding Must be
Διαβάστε περισσότεραΡηματική άποψη. (Aspect of the verb) Α. Θέματα και άποψη του ρήματος (Verb stems and aspect)
15 Ρηματική άποψη (Aspect of the verb) Α. Θέματα και άποψη του ρήματος (Verb stems and aspect) imperfective perfective Verb forms in Modern Greek are based either on the imperfective or the perfective
Διαβάστε περισσότεραEvery set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Διαβάστε περισσότεραSrednicki Chapter 55
Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third
Διαβάστε περισσότερα