ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 25/11/2007. Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος

Transcript

1 Επιχειρησιακή Έρευνα Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων ΕΡΓΟ (πέρα από κάθε μεγάλη τεχνική κατασκευή) θεωρείται η διαδικασία υλοποίησης (πρωτότυπων) «προϊόντων» όπως, ηπαροχήυπηρεσιών, ο σχεδιασμός αναπτυξιακών προγραμμάτων, η ανάπτυξη και το πλασάρισμα ενός νέου προϊόντος ή μιας νέας υπηρεσίας, οι εργασίες συντήρησης μιας κατασκευής, η υλοποίηση ενός επενδυτικού σχεδίου, Κύρια χαρακτηριστικά αυτής της διαδικασίας: έχει αρχή και τέλος, έχει (κάποιου βαθμού) πρωτοτυπία, αναλύεται σε αλληλένδετες και αλληλοεξαρτώμενες επί μέρους εργασίες, γνωστές ως ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ, οι οποίες πρέπει να υλοποιηθούν μέσα σε προκαθορισμένο χρόνο, (μετη χρήση ποικίλων περιορισμένων πόρων). 1

2 ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 1/11/008 Δεν μας ενοχλεί το πλήθος των δραστηριοτήτων ενός έργου, αλλά το γεγονός ότι Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων οι δραστηριότητες δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αντίθετα είναι αλληλοεξαρτώμενες τόσο σε ότι αφορά την αλληλουχία εκτέλεσής τους, αλλά και σε ότι αφορά τη χρήση κοινών πόρων. Η κατασκευή του πρώτου Boeing Jumbo jet ήταν ένα έργο (η σημερινή όμως κατασκευή τους δεν είναι παρά μια διαδικασία ρουτίνας, δεν είναι ένα έργο). Ως έργα μπορούν επίσης να χαρακτηριστούν η κατασκευή του hannel tunnel στη Μάγχη, η κατασκευή του London Eye, ηανάπτυξηενόςνέουφαρμάκου. Παρόλο που η πρωτοτυπία είναι ζητούμενο, ηέμφασηπιαείναι στην διαδικασία υλοποίησης. Απλά καθημερινά- παραδείγματα. Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων Οι τεχνικές που θα αναπτυχθούν αποσκοπούν στον (i) σχεδιασμό, (ii) χρονικό προγραμματισμό και (iii) έλεγχο των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργο, μέσα στα πλαίσια των διαθέσιμων πόρων του, του σχεδιαζόμενου χρόνου παράδοσής του, κ.λπ. Οι τεχνικές αυτές επιδιώκουν την ανάπτυξη ενός λεπτομερούς χρονοδιαγράμματος αλληλουχίας των δραστηριοτήτων. Ιδιαίτερα μας ενδιαφέρει εάν η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι γνωστή (σταθερά) η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι μεταβλητή.

3 Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων οι τεχνικές αυτές έχουν χειριστεί με επιτυχία τον σχεδιασμό, προγραμματισμό και έλεγχο έργων όπως: Ολυμπιακοί Αγώνες, ΠΑΘΕ, Εγνατία Οδός, κατασκευή μεγάλων οικοδομικών έργων, εγκατάσταση και συντήρηση εξοπλισμού εργοστασίων, ανάπτυξη νέων προϊόντων, εισαγωγικές εξετάσεις, φάκελοι υποψηφιότηταςανάληψηςαθλητικώνεκδηλώσεων, κ.λπ. PERT PERT/PM Program Evaluation and Review Technique Developed by U.S. Navy for Polaris missile project Developed to handle uncertain activity times PM ritical Path Method Developed by Du Pont ompany & Remington Rand Univac Developed for industrial projects for which activity times generally were known Τα λογισμικά ενσωματώνουν μια σύνθεση των δύο τεχνικών (με την κοινή ονομασία PERT/PM). Τεχνική Δικτυωτής Ανάλυσης.

4 ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 1/11/008 PERT/PM Με τη βοήθεια των PERT/PM μπορούν να απαντηθούν όλες οι εύλογες ερωτήσεις για την υλοποίηση ενός έργου όπως: Πόσο σύντομα μπορεί να υλοποιηθεί το έργο; Ποιες πρέπει να είναι οι προγραμματισμένες ημερομηνίες έναρξης και λήξης της κάθε δραστηριότητας; Ποιες δραστηριότητες είναι κρίσιμες για την ολοκλήρωση του έργου χωρίς καθυστερήσεις; Ποια είναι τα περιθώρια καθυστέρησης στις μη κρίσιμες δραστηριότητες; Ποια είναι η πιθανότητα υλοποίησης του έργου σε συγκεκριμένο χρόνο; Παράδειγμα: Frank s Fine Floats Η Frank s Fine Floats κατασκευάζει αποκριάτικα άρματα. Ο Frank και η ομάδα του ετοιμάζονται να κατασκευάσουν ένα νέο άρμα και σκέπτονται να χρησιμοποιήσουν την PERT/PM για να διαχειριστούν την όλη διαδικασία.

5 ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 1/11/008 PERT/PM Προχωρούμε σε δομική ανάλυση του έργου, δηλ. επιμερίζουμε το έργο σε διακριτές φάσεις. Στη συνέχεια αναλύουμε κάθε φάση σε αυτοτελείς δραστηριότητες (εργασίες) Δραστηριότητα: το στοιχειώδες δομικό στοιχείο αναφοράς στην ανάλυσή μας συστηματική-κριτική καταγραφή του τρόπου υλοποίησης. εκτιμήσεις για το χρόνο που απαιτεί η ολοκλήρωσή της, καθορισμός σχέσεων προ-απαίτησης (ορίζουν τη σειρά με την οποία πραγματοποιείται η κάθε δραστηριότητα: ποιες δραστηριότητες προ-απαιτούνται για την ολοκλήρωσή της πριν ξεκινήσει η συγκεκριμένη). Παράδειγμα: Frank s Fine Floats Ο πίνακας στην επόμενη διαφάνεια, δείχνει τις δραστηριότητες στις οποίες χωρίστηκε το έργο. Για κάθε δραστηριότητα εκτιμήθηκε ο απαιτούμενος χρόνος για την υλοποίησή της (σε ημέρες) και καταγράφηκε η χρονική αλληλουχία της σε σχέση με τις υπόλοιπες. (προφανώς οι δραστηριότητες πρέπει να καταγράφονται με μια λογική/χρονολογική σειρά). Ο Frank επιθυμεί να προσδιορίσει (i) το λιγότερο δυνατό χρόνο για την ολοκλήρωση του έργου, (ii) ποιες δραστηριότητες είναι κρίσιμες και (iii) ποιες πρέπει να είναι οι ημερομηνίες έναρξης και λήξης εκάστης δραστηριότητας. 5

6 ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 1/11/008 Παράδειγμα: Frank s Fine Floats Αμέσως Προηγ Διάρκεια Δραστηρ Περιγραφή Δραστηριότ (σε ημέρες) A Initial Paperwork --- B Build Body A Build Frame A D Finish Body B E Finish Frame 7 F Final Paperwork B, G Mount Body to Frame D,E 6 8 H Install Skirt on Frame Activities B, must be finished before activity F can start. Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων Η αλληλουχία των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργο αναπαριστάται γραφικά μ ένα δίκτυο στο οποίο οι κόμβοι απεικονίζουν τις δραστηριότητες, τα βέλη απεικονίζουν την αλληλουχία των δραστηριοτήτων. Kομβικά δίκτυα Activity On Node. (αναπαρίστανται και με τα τοξωτά δίκτυα - Activity On Arrow). Για να κατασκευάσουμε το δίκτυο πρέπει να: σχηματίσουμε έναν κόμβο για κάθε δραστηριότητα σχεδιάσουμε ένα βέλος/ακμή από τον κόμβο i προς τον κόμβο j, εάν η δραστηριότητα i πρέπει να έχει ολοκληρωθεί πριν την έναρξη της δραστηριότητας j. 6

7 ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 1/11/008 Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων (ΑΟΝ) Όλες οι ακμές είναι βέλη, προκειμένου να προσδιορίζεται η κατεύθυνση εξέλιξης του έργου. Συνιστάται το έργο να ξεκινά με ένα κόμβο start (αυτή η δραστηριότητα έχει διάρκεια 0). Στη συνέχεια σχεδιάζουμε βέλη προς κάθε δραστηριότητα της οποίας η έναρξη δεν απαιτεί τη λήξη καμίας δραστηριότητας. Όταν δεν υπάρχουν δραστηριότητες που έπονται κάποιων δραστηριοτήτων, συνιστάται (οι τελευταίες) να συνδέονται με έναν κόμβο με το όνομα finish. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα υποθέτουμε ότι δραστηριότητες που δεν συνδέονται με σχέσεις προ-απαίτησης, μπορούν να υλοποιηθούν ταυτόχρονα. Παράδειγμα: Frank s Fine Floats Δίκτυο Αναπαράστασης AON- Start A B D F E 7 G 6 H Finish δραστηριότητα απαιτούμενος χρόνος Ενδείξεις (κόμβοι) Start Finish 7

8 ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 1/11/008 Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων Το ανωτέρω διάγραμμα δεν απαιτείται για τη λύση του προβλήματος από κάποιο λογισμικό. Το διάγραμμα είναι αναγκαίο για τη λύση του προβλήματος από τον άνθρωπο. Όταν έχει προηγηθεί ο σχεδιασμός του διαγράμματος, είναι σχετικά εύκολο θέμα η ανάλυσή του (dynamic programming algorithm). Λύση του (κομβικού) δικτύου 1οβήμα: υπολογίζουμε τον συντομότερο χρόνο έναρξης (ES) και ολοκλήρωσης (EF) κάθε δραστηριότητας. οβήμα: υπολογίζουμε το βραδύτερο χρόνο έναρξης (LS) και ολοκλήρωσης (LF) κάθε δραστηριότητας. συντομότεροι χρόνοι βραδύτεροι χρόνοι οβήμα: υπολογίζουμε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότ οβήμα: υποδεικνύουμε την κρίσιμη διαδρομή και το συνολικό χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Χρονικό περιθώριο ονομάζεται το χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει η υλοποίηση μιας δραστηριότητας χωρίς ανάλογη καθυστέρηση στο συνολικό χρόνο του έργου. Η διαδρομή που αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριο ονομάζεται ΚΡΙΣΙΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ. 8

9 Συντομότερος Χρόνος Έναρξης (ES) & Ολοκλήρωσης (EF) μιας δραστηριότητας Ξεκινήστε ένα forward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβο Start. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε: Earliest Start Time = max {EF(k), k P}, όπου P το σύνολο των δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προ-απαιτούμενες = ο μεγαλύτερος χρόνος ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προαπαιτούμενες. Earliest Finish Time = ES + (χρόνος ολοκλήρωσης της i ). Ο (ελάχιστος) ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ του έργου ισούται με το μεγαλύτερο εκ των ενωρίτερων χρόνων ολοκλήρωσης των κόμβων (δραστηριοτήτων) οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish. Example: Frank s Fine Floats Συντομότεροι χρόνοι Έναρξης και Ολοκλήρωσης Start A 0 B 6 5 D F E G 6 H Finish max{6, 5} κόμβοι οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish οι: F, G και H (ελάχιστος) χρόνος ολοκλήρωσης του έργου = 18 = max{9, 18, 7} 9

10 Example: Frank s Fine Floats Συντομότεροι χρόνοι Έναρξης (ES) και Ολοκλήρωσης (EF) ES A = 0 EF A = ES A + t A = 0 + = ES B = EF A = EF B = ES B + t B = + = 6 ES = EF A = EF = ES + t = + = 5 ES D = EF B = 6 EF D = ES D + t D = 6 + = 9 ES E = EF = 5 EF E = ES E + t E = = 1 ES F = max{ef B, EF } = max{6, 5} = 6 EF F = ES F + t F = 6 + = 9 ES G = max{ef D, EF E } = max{9, 1} = 1 EF G = ES G + t G = 1+6=18 ES H = EF = 5 EF H = ES H + t H = 5 + = 7 ES FINISH = max{ef F, EF G, EF H } = max{9, 18, 7} = 18 ΒραδύτεροςΧρόνοςΈναρξης(LS) και Ολοκλήρωσης (LF) μιας δραστηριότητας Ξεκινήστε ένα backward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβο Finish. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε Latest Finish Time = min {LS(k), k S}, όπου S το σύνολο των δραστηριοτήτων που έπονται της i και συνδέονται άμεσα μαζί της = ο μικρότερος χρόνος έναρξης των δραστηριοτήτων των οποίων είναι άμεσα προαπαιτούμενη. Latest Start Time = LF - (χρόνος ολοκλήρωσης της i). 10

11 Example: Frank s Fine Floats Βραδύτεροι χρόνοι Έναρξης και Ολοκλήρωσης Start A 0 0 B D F E G 6 H Finish min{9, 15} Example: Frank s Fine Floats Βραδύτεροι χρόνοι Έναρξης (LS) και Ολοκλήρωσης (LF) LF G = 18 LS G = LF G -t G = 18-6 =1 LF H = 18 LS H =LF H -t H = 18 - =16 LF F = 18 LS F = LF F -t F = 18 - = 15 LF D = LS G = 1 LS D = LF D -t D = 1 - = 9 LF E = LS G = 1 LS E = LF E -t E = 1-7 = 5 LF B = min{ls D, LS F } = min{9, 15} = 9 LS B = LF B -t B = 9 - = 6 LF = min{ls F, EF E } = min{15, 5} = 5 LS = LF -t = 5 - = LF A = min{ls B, EF } = min{6, } = LS A = LF A -t A = - = 0 11

12 Determining the ritical Path Υπολογίστε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας (Slack) i = (Latest Start) i - (Earliest Start) i, or = (Latest Finish) i - (Earliest Finish) i. F Example: Frank s Fine Floats Activity Slack Time Activity ES EF LS LF Slack A (crit.) B (crit.) D 9 1 E (crit.) F G (crit.) H

13 ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ 1/11/008 Example: Frank s Fine Floats Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή (δεν είναι κατ ανάγκη μία) Η Κρίσιμη Διαδρομή ξεκινά από τον κόμβο Start και τερματίζει στον κόμβο Finish, και αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριο. For any network there will always be a path of critical activities from the initial node to final node. ritical Path: A E G Project ompletion Time: 18 days ritical Path Example: Frank s Fine Floats Start A 0 0 B D F E G 6 H Finish Οι δραστηριότητες A,, E και G είναι κρίσιμες για την υλοποίηση του έργου χωρίς καθυστερήσεις Οι δραστηριότητες B, D, F και H έχουν, αντίστοιχα, περιθώριο καθυστέρησης,, 9 και 11 ημερών 1

14 Διαγράμματα Gantt Πρόκειται για ένα απλό γραμμικό ημερολόγιο, πάνω στο οποίο σημειώνουμε τους χρόνους έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων Προτάθηκε από τον Henry Gantt, ως μεθοδολογικό εργαλείο για τον προγραμματισμό και έλεγχο της πορείας υλοποίησης μεγάλων βιομηχανικών έργων στις αρχές του περασμένου αιώνα (το 1918). Ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας μέτρησης του χρόνου, ενώ για κάθε δραστηριότητα του έργου σχεδιάζουμε μια οριζόντια ράβδο με μήκος τη χρονική στιγμή ενωρίτερης (βραδύτερης) έναρξης και λήξης. Πλεονέκτημα η απλότητά τους και ο άμεσος απολογισμός. Μειονέκτημα η αδυναμία έκφρασης των σχέσεων εξάρτησης. Example: Frank s s Fine Floats 1

15 Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων Η διάρκεια των δραστηριοτήτων είναι τυχαία μεταβλητή. Γίνονται τρεις εκτιμήσεις της διάρκειας κάθε δραστηριότητας: (i) αισιόδοξη, (ii) απαισιόδοξη και (iii) πλέον πιθανή. Υποθέτουμε ότι η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ακολουθεί την κατανομή Β. Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων ΤΟΤΕ Ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας είναι ίσος με μ = (a + m + b)/6 Η μεταβλητότητα του χρόνου ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητ είναι ίσος με σ = ((b-a)/6) όπου a b = ηαισιόδοξηεκτίμηση = η απαισιόδοξη εκτίμηση m = η πλέον πιθανή εκτίμηση 15

16 Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων Αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή: η διαδρομή που θα ήταν κρίσιμη εάν η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ήταν ίση με την μέση τιμή της. Θεωρώντας ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων στην αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή είναι στατιστικά ανεξάρτητες ΤΟΤΕ Για ικανό αριθμό δραστηριοτήτων η τ.μ. «συνολική διάρκεια του έργου» ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους μ = SUM(μέσων χρόνων του αναμενόμ. κρίσιμου μονοπατιού) σ = SUM(διασπορών χρόνων του αναμ. κρίσιμου μονοπατιού) Θεωρήστε το έργο Example: AB Associates Immed. Optimistic Most Likely Pessimistic Activity Predec. Time (Hr.) Time (Hr.) Time (Hr.) A B A D A 5 6 E A F B, 5 G B, H E,F I E,F 5 8 J D,H K G,I

17 Example: AB Associates Αναμενόμενοι χρόνοι δραστηριοτήτων και διασπορές t = (a + m + b)/6 σ = ((b-a)/6) Activity Expected Time Variance A 6 /9 B /9 0 D 5 1/9 E 1 1/6 F 1/9 G /9 H 6 1/9 I 5 1 J 1/9 K 5 /9 Δίκτυο Αναπαράστασης Example: AB Associates Start A 6 D 5 E 1 B F G H 6 I 5 J K 5 Finish 17

18 Example: AB Associates Υπολογισμοί των χρόνων ES, EF και LS, LF Start A D 5 E 1 B F G H I J K Finish Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου = max{, } = Example: AB Associates Ενωρίτεροι/Βραδύτεροι Χρόνοι and Slack Expected Time Variance Activity ES EF LS LF Slack 6 /9 A * /9 B * 5 1/9 D /6 E /9 F * /9 G /9 H I * 1/9 J /9 K * 18

19 Example: AB Associates Προσδιορισμός της κρίσιμης διαδρομής ritical Path: A F I K Αναμενόμενος Χρόνος Ολοκλήρωσης: ώρες μ = t A + t + t F + t I + t K = = σ = σ A + σ + σ F + σ I + σ K = / / /9 = Συνολική διάρκεια του έργου Ν(, ) ritical Path (A--F-I-K) Example: AB Associates Start A D 5 E 1 B F G H I J K Finish 19

20 Example: AB Associates Συνολική διάρκεια του έργου Ν(, 1.1 ) Example: AB Associates X μ Η τυχαία μεταβλητή Z = ακολουθεί την Ν(0, 1) οπότε σ Πιθανότητα (διάρκεια έργου x) = Probability (Z z x ) 0

21 Example: AB Associates Πιθανότητα ολοκλήρωσης του έργου μέσα σε hrs z = ( - )/σ = (-)/1.1 )/1.1 =.71 P(z <.71) = =.761 Example: AB Associates Αναμεν. διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου με πιθανότητα 95% P(z < (a )/1.1) =.95 (a - )/1. 1 = 1.65 a = 5. hrs 1

22 Example: AB Associates εξασκηθείτε (1) Για την ολοκλήρωση ενός έργου απαιτείται η εκτέλεση ενός αριθμού δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες αυτές, οι διάρκειές τους (ημέρες) και οι περιορισμοί που υπάρχουν στην εκτέλεσή τους, σημειώνονται στο διπλανό πίνακα. Ζητούνται: : (α)( Να διαμορφωθεί το κατάλληλο κομβικό δίκτυο, που θα απεικονίζει γραφικά το έργο, που μας απασχολεί και να βρεθεί ο χρόνος ολοκλήρωσής του.. (β)( Να βρεθούν οι συντομότεροι και οι βραδύτεροι χρόνοι έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων, τα χρονικά περιθώριά τους και η κρίσιμη διαδρομή. ΔΡΑΣΤΗΡ Α B D E F G ΑΜΕΣΑ ΠΡΟΗΓ ΔΡΑΣΤΗΡ A B,D,E ΔΙΑΡΚΕΙΑ 5 1 H F I E 6

23 εξασκηθείτε (1) Κρίσιμη Διαδρομή: E - I εξασκηθείτε () Για την ολοκλήρωση ενός έργου ΑΜ ΑΙΣ ΠΙΘ ΑΠΣ απαιτείται η εκτέλεση ενός αριθμού ΔΡΣΤ ΠΡ ΔΡ ΧΡΝ ΧΡΝ ΧΡΝ δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες αυτές, οι εκτιμήσεις διάρκειάς τους (μήνες) και οι περιορισμοί που υπάρχουν στην εκτέλεσή τους, σημειώνονται στο διπλανό πίνακα. A B Ζητούνται: : (α)( Να διαμορφωθεί το κατάλληλο κομβικό δίκτυο, που θα απεικονίζει γραφικά το έργο, που μας απασχολεί και να βρεθεί ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσής του.. (β)( Να βρεθούν οι συντομότεροι και οι βραδύτεροι χρόνοι έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων, D E - A B τα χρονικά περιθώριά τους και η κρίσιμη διαδρομή. (γ) Ποια είναι η πιθανότητα το έργο να ολοκληρωθεί σε 7 ημέρες; ; (δ)( Ποια είναι η αναμενόμενη διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου με πιθανότητα F G H D,E,F

24 εξασκηθείτε () Κρίσιμη Διαδρομή: F - H Χρόνος Ολοκλήρωσης Ν(0,. ) Prob (X 7) = 0.10 Prob (X a) = 0.90 a =.98 μήνες