1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Το οµοιόθετο γωνίας : Είναι γωνία ίση µε την αρχική

Transcript

1 1 1.4 ΜΙΘΣΙ ΘΩΡΙ 1. Το οµοιόθετο ευθυγράµµου τµήµατος ίναι ευθύγραµµο τµήµα // AB και τέτοιο ώστε = λ, όπου λ ο λόγος οµοιοθεσίας (το κέντρο οµοιοθεσίας να µην ανήκει στν ευθεία ). Το οµοιόθετο γωνίας : ίναι γωνία ίση µε την αρχική 3. Το oµοιόθετο πολυγώνου Όταν λ > 1, το οµοιόθετο είναι µεγέθυνση Όταν 0 < λ < 1, το οµοιόθετο είναι σµίκρυνση Όταν λ = 1, το οµοιόθετο είναι ίσο µε το αρχικό Τα οµοιόθετα πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες 4. Το οµοιόθετο του κύκλου (, ρ) : ίναι κύκλος µε κέντρο το οµοιόθετο του και ακτίνα ρ = λ ρ όπου λ ο λόγος της οµοιοθεσίας ΣΗΣΙΣ 1. Να βρείτε το οµοιόθετο ενός ορθογωνίου τριγώνου µε κέντρο οµοιοθεσίας την κορυφή της ορθής γωνίας και λόγο λ =. Να γράψετε την αναλογία των οµολόγων πλευρών των δύο τριγώνων Το οµοιόθετο του είναι το Στην ηµιευθεία θεωρούµε σηµείο έτσι ώστε = και οµοίως στην σηµείο έτσι ώστε = Τότε το είναι το οµοιόθετο του Η αναλογία : = = =

2 . Να βρείτε το οµοιόθετο του κύκλου (, ρ) στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ =. Ποιος είναι ο λόγος των εµβαδών και ο λόγος των µηκών του αρχικού κύκλου προς τον οµοιόθετο του ; Στην προέκταση µιας ακτίνας θεωρούµε σηµείο έτσι ώστε = = ρ. κύκλος (, ) = (, ρ) είναι το ζητούµενο οµοιόθετο. Το εµβαδόν και το µήκος L του κύκλου (, ρ) είναι = πρ και L = πρ και του κύκλου (, ρ) είναι = π(ρ) = 4πρ και L = π(ρ) = 4πρ ποµένως = πρ 4πρ = 1 4 και L L = πρ 4πρ = 1 3. Στις πλευρές και τριγώνου παίρνουµε σηµεία και αντίστοιχα έτσι ώστε = 1 4 και = 1. Να εξηγήσετε γιατί // και γιατί 4 = 1 4 Το σχήµα του προβλήµατος φαίνεται δίπλα φού = 1 4 και = 1 4, τα και είναι τα οµοιόθετα των σηµείων και αντίστοιχα στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ = 1. Άρα το τµήµα είναι το οµοιόθετο του οπότε ισχύει ότι 4 // και = 1 4

3 3 4. Στο τρίγωνο, τα, Λ, Ρ είναι µέσα των, και αντίστοιχα. Συµπληρώστε τον πίνακα υθύγραµµο Λόγος έντρο οµοιοθεσίας µοιόθετο τµήµα µοιοθεσίας Λ 1 Ρ Ρ Ρ Λ πειδή = και = Λ, τα και είναι οµοιόθετα των και Λ στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ =. πότε και το είναι το οµοιόθετο του Λ πειδή = 1 και Ρ = 1, τα και Ρ είναι οµοιόθετα των και στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ = 1. πότε και το Ρ είναι το οµοιόθετο του φού = Ρ, το είναι το οµοιόθετο του Ρ στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ = Συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω 5. Να βρείτε το οµοιόθετο του διπλανού ορθογωνίου τριγώνου στην οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ = 1. Μ Να υπολογίσετε τις πλευρές του νέου τριγώνου 5 6 φού Μ είναι το µέσο της, είναι Μ= 1 πότε το Μ είναι το οµοιόθετο του στην παραπάνω οµοιοθεσία. ν Ν είναι το µέσο του, τότε Ν = 1 και συνεπώς το Ν είναι το οµοιόθετο του στην ίδια οµοιοθεσία. Το τρίγωνο ΜΝ είναι το ζητούµενο ι πλευρές του νέου τριγώνου είναι το 1 των πλευρών του αρχικού. Ξέρουµε ότι = Μ, άρα = 10 πό το Πυθαγόρειο στο εύκολα βρίσκουµε ότι = 8. Συνεπώς οι πλευρές του νέου τριγώνου είναι Μ = 5, Ν = 3 και ΜΝ = 4 Ν

4 4 6. Να βρείτε το οµοιόθετο του κύκλου (, ρ) στην οµοιοθέσία µε κέντρο το µέσο της ακτίνας και λόγο λ = Στην ηµιευθεία παίρνουµε σηµείο τέτοιο ώστε =. κύκλος (, ρ) είναι ο ζητούµενος ρ 7. Στο διπλανό σχήµα και σε οµοιοθεσία µε κέντρο το και λόγο λ να βρείτε α) το οµοιόθετο του όταν λ = 3 β) το οµοιόθετο του όταν λ = 1 Ζ γ) το οµοιόθετο του όταν λ = 1 6 δ) το οµοιόθετο του όταν λ = 4 5 α) πειδή = 3 το ζητούµενο σηµείο είναι το β) = 1 το ζητούµενο σηµείο είναι το γ) Ζ = 1 το ζητούµενο σηµείο είναι το Ζ 6 δ) = 4 το ζητούµενο σηµείο είναι το 5

5 5 8. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες α) Το οµοιόθετο ενός ευθυγράµµου τµήµατος είναι πάντα τµήµα παράλληλο στο β) Το οµοιόθετο της γωνίας ω = 5 ο στην οµοιοθεσία µε λόγο είναι γωνία ω = 50 ο γ) Το οµοιόθετο τετραγώνου δεν είναι πάντα τετράγωνο δ) ν ο κύκλος (, ρ ) είναι οµοιόθετος του (, ρ) µε λόγο λ, τότε ο λόγος του µήκους του (, ρ ) προς το µήκος του (, ρ) είναι ίσος µε λ. α) Όχι διότι αν το κέντρο οµοιοθεσίας είναι πάνω στον φορέα του τµήµατος τότε το οµοιόθετο είναι στον ίδιο φορέα. Άρα πρόταση Λ β) Όχι διότι το οµοιόθετο γωνίας είναι γωνία ίση µε την δοθείσα. Άρα πρόταση Λ γ) Όχι διότι το οµοιόθετο πολυγώνου είναι σµίκρυνση ή µεγέθυνση ή το ίδιο το πολύγωνο µε το δοθέν. Άρα πρόταση Λ δ) Ναι διότι L π(λρ) = = λ. Άρα πρόταση Σ L πρ