Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου."

Σάββας Μανιάκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του.. Θεωρήµατα Τετράπλευρο είναι εγγεγραµµένο οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές η πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες εξωτερική γωνία του ισούται µε την απέναντι εσωτερική οι µεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σηµείο 3. φαρµογές Τετράπλευρο είναι περιγράψιµο Το άθροισµα των δύο απέναντι πλευρών ισούται µε το άθροισµα των άλλων δύο Οι διχοτόµοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σηµείο

2 ΣΚΗΣΙΣ. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που ορίζουν i) µία κορυφή, τα ίχνη των υψών που φέρονται από τις δύο άλλες κορυφές και το ορθόκεντρο είναι εγγράψιµο σε κύκλο ii) δύο κορυφές και τα ίχνη των υψών που φέρονται από αυτές είναι εγγράψιµο σε κύκλο Ποια είναι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων; Έστω το τρίγωνο, τα ύψη του,, και το ορθόκεντρό του Η. i) Το τετράπλευρο Η είναι εγγράψιµο, διότι Η + Η = 90 ο + 90 ο = 80 ο φού ii) Η = 90 ο, το κέντρο του κύκλου θα είναι το µέσο της Η. Το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο, διότι = 90 ο = ɵ φού = 90 ο, το κέντρο του κύκλου θα είναι το µέσο της. Η. Σε τρίγωνο φέρουµε τα ύψη και. Να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη στην εφαπτόµενη του περιγεγραµµένου κύκλου στο σηµείο. ɵ = = 90 ο εγγράψιµο λλά = ɵ x = ɵ Άρα ɵ = ɵ x // x x x ' x

3 3 3. ν είναι σηµείο του ύψους τριγώνου και, Η οι προβολές του στις πλευρές, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σηµεία,, Η, είναι οµοκυκλικά + H = 90 ο + 90 ο = 80 ο Η εγγράψιµο ɵ = H () + = 90 ο + 90 ο = 80 ο εγγράψιµο = ɵ () Η πό τις () και () έχουµε = H, άρα το Η είναι εγγράψιµο δηλαδή τα σηµεία,, Η, είναι οµοκυκλικά. 4. πό το µέσο ενός τόξου φέρνουµε τις χορδές και που τέµνουν την στα και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο Η είναι εγγράψιµο σε κύκλο. πό γνωστή εφαρµογή έχουµε ότι ( ( ) + ( ) ) = και επειδή = ( ( ) = ) + ( ) ( ) = Η λλά ( ɵ ( ) ) = Οπότε ɵ =, άρα το τετράπλευρο Η είναι εγγράψιµο σε κύκλο

4 4 5. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου θεωρούµε σηµείο. Έστω το µέσο του τόξου και τυχαίο σηµείο του τόξου. Οι, τέµνονται στο Η και οι, στο. Να αποδείξετε ότι i) Το τετράπλευρο Η είναι εγγράψιµο σε κύκλο ii) Το Η ισαπέχει από το και την i) = = ɵ Άρα το τετράπλευρο Η εγγράψιµο ii) ɵ = 90 ο αφού βαίνει σε ηµικύκλιο λλά από το εγγράψιµο Η είναι Η = ɵ = 90 ο, δηλαδή Η Η απόσταση του Η από την = = ɵ = Η διχοτόµος της το Η ισαπέχει από τις, O Η 6. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούµε µία χορδή και σηµείο της χορδής. πό το φέρνουµε κάθετη στην Ο, η οποία κάθετος τέµνει τις εφαπτόµενες στα και στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = Φέρνουµε τις Ο, Ο, Ο, Ο. Η Ο φαίνεται από τα, µε ίσες γωνίες ορθές Ο εγγράψιµο () Ο ɵ + Ο = 90 ο + 90 ο = 80 ο Ο εγγράψιµο () Τρίγωνο Ο ισοσκελές = (3) πό τις (), (), (3) = = = ɵ O = ɵ τρίγωνο Ο ισοσκελές το ύψος του Ο είναι και διάµεσος

5 5 7. ν ισοσκελές τραπέζιο είναι περιγεγραµµένο σε κύκλο, να αποδείξετε ότι η διάµεσός του είναι ίση µε µία από τις µη παράλληλες πλευρές του. Έστω το παραπάνω ισοσκελές τραπέζιο µε = και ΜΝ η διάµεσός του + ίναι ΜΝ = () πειδή το τραπέζιο είναι περιγεγραµµένο σε κύκλο, ισχύει + = +. Και επειδή = θα έχουµε + = Τότε η () γίνεται ΜΝ = = Μ Ν 8. Σε τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιες είναι κάθετες, να αποδείξετε ότι οι προβολές του σηµείου τοµής των διαγωνίων στις πλευρές του τετραπλεύρου ορίζουν τετράπλευρο εγγράψιµο σε κύκλο. Έστω το δοσµένο τετράπλευρο µε, Κ το σηµείο τοµής των διαγωνίων και ΗΘ το τετράπλευρο που έχει κορυφές τις προβολές του Κ στις πλευρές του. Κ Η + Κ = 90 ο + 90 ο = 80 ο ΚΗ εγγράψιµο. Οµοίως για τα Κ, ΚΘ, ΚΘΗ. Οπότε ΘΗ + Θ ɵ = Η + Η + ɵ + ɵ = ɵ Θ Η = ( ɵ + ) + ( + ) () πό τα ορθογώνια τρίγωνα Κ, Κ είναι ɵ + = 90 ο και + = 90 ο Η () γίνεται Θ Η + Θ ɵ = 80 ο, άρα το ΘΗ είναι εγγράψιµο σε κύκλο. Κ

6 6 9. Θεωρούµε δύο κύκλους κέντρων Ο, Κ αντίστοιχα, οι οποίοι τέµνονται στα σηµεία και. πό σηµείο Ρ του κύκλου Ο φέρνουµε τέµνουσες Ρ, Ρ του κύκλου Κ. Να αποδείξετε ότι ΟΡ Στο Ρ φέρουµε την εφαπτόµενη (ε) του κύκλου Κ και το τµήµα. ίναι ɵ φ = ω () (η µία είναι εγγεγραµµένη και η άλλη υπό χορδής και εφαπτοµένης) εγγεγραµµένο ɵ = ɵ φ () πό τις () και () έχουµε ω = ɵ, άρα (ε) //. Όµως η ακτίνα ΟΡ είναι κάθετη στην εφαπτοµένη (ε) άρα θα είναι κάθετη και στη // (ε) ε A Κ ω O Ρ φ B 0. Θεωρούµε έναν κύκλο κέντρου Ο και δύο σηµεία, αυτού. Έστω ένα εσωτερικό σηµείο του κύκλου. Στα σηµεία, φέρνουµε κάθετες στις, αντίστοιχα, οι οποίες τέµνονται σε σηµείο Ρ και από το Ρ φέρνουµε κάθετη στη, η οποία τέµνει την Ο σε σηµείο. Να αποδείξετε ότι Ο = Ο Στο τετράπλευρο Ρ έχουµε Ρ + Ρ ɵ = 90 ο + 90 ο = 80 ο, οπότε το Ρ είναι εγγράψιµο σε κύκλο κέντρου Κ και διαµέτρου Ρ. Η διάκεντρος ΟΚ των κύκλων είναι κάθετη στην κοινή χορδή. πειδή δε και η Ρ είναι κάθετη στην, θα είναι ΚΟ // Ρ. Στο τρίγωνο Ρ, το Κ είναι µέσο του Ρ και ΚΟ // Ρ, άρα το Ο θα είναι µέσο του, οπότε Ο = Ο Κ Ο Ρ

Σχετικά έγγραφα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι