ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Κων/νος Κόκκοτας Τμήμα Φυσικής, ΑΠΘ
|
|
- Ζηνόβιος Ελευθερίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Κων/νος Κόκκοτας Τμήμα Φυσικής, ΑΠΘ 18 Μαρτίου 2011
2 ii
3 Περιεχόμενα 0.1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & Mathematica ΑναλυτικήΕπίλυσηΔΕ ΑριθμητικήΕπίλυσηΔΕ ΑΛΥΤΑΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ iii
4 iv ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ
5 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & Mathematica Η Mathematica έχει τη δυνατότητα αριθμητικής αλλά και αναλυτικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Αρχικά θα μελετήσουμε την αναλυτική επίλυση ΔΕ αλλά στη συνέχεια θα επικεντρώσουμε την προσοχή μας στην αριθμητική επίλυση ΔΕ Αναλυτική Επίλυση ΔΕ Ας θεωρήσουμε τη διαφορκή εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή In[1]:= eq1 = y [t] + w0ˆ2 y[t] == 0 με αρχικές συνθήκες In[2]:= initial = {y[0] == A, y [0] == B} προσθέτοντας τις αρχικές συνθήκες στην αρχική ΔΕ δημιουργούμε τη λίστα: In[3]:= eq2 = Append[initial, eq1] η αναλυτική λύση δίνεται με εφαρμογή της εντολής DSolve In[4]:= eq3 { = DSolve[eq2, y[t], t]// Flatten // ExpandAll B sin[t w0] } Out[4]= y[t] A cos[t w0] + w0 η εντολή Flatten εξαλείφει ένα ζεύγος αγκίστρων({}). In[5]:= eq3 /.{Rule Equal} Out[5]= { y[t] == A cos[t w0] + B sin[t w0] } w0 Στην τελευταία εντολή μετατρέψαμε τον κανόνα σε μια εξίσωση με την αντικατάσταση Rule Equal. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3: Βολή σε Σταθερό Βαρυτικό Πεδίο Εστωένασώμαμάζας mσεέναβαρυτικόπεδίο 1. Να λυθούν οι εξισώσεις κίνησης για τροχιές που έχουν την ίδια αρχική και τελική θέση αλλά διαφορετικούς ολικούς χρόνους 2. Δημιουργήστε γραφήματα των διαφορετικών τροχιών 3. Λύστε τις εξιώσεις κίνησης για τροχιές με συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα και γωνία βολής. Να βρεθεί η θέση του μέγιστου ύψους. 4. Δημιούργηστε τα γραφήματα για το προηγούμενο ερώτημα αλλά για διαφορετικές γωνίες. ΛΥΣΗ 1ο ερώτημα In[6]:= Clear[ Global * ] Οι εξισώσεις κίνησης για ένα σωματίδιο με μάζα m είναι:
6 2 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ In[7]:= eq1 = {m x [t] == 0, m z [t] == m g} όπου zείναιηκάθετηαπόσταση(ύψος)και xείναιηοριζόντιααπόσταση.ανηθέσητηχρονικήστιγμή t = 0 είναι {x,y} = {0,0}καιητελικήθέσημετάαποχρόνο t = tfείναι {xf,zf},οιοριακέςσυνθήκεςείναι: In[8]:= initial1 = {x[0] == 0, x[tf] == xf, z[0] == 0, z[tf] == zf} ενώνοντας την eq1 με την initial1 και χρησιμοποιώντας την εντολή DSolve λαμβάνουμε: In[9]:= dsol1 = (DSolve[Join[eq1, initial1],{x[t], z[t]}, Out[9]= { x[t] t xf tf t][[1]]// Simplify), z[t] t (g tf ( t + tf) + 2 zf) 2 tf 2ο ερώτημα Θα εκτυπώσουμε τις τροχιές για τρείς διαφορετικούς τελικούς χρόνους tf={5,10,15} για τις παρακάτω τιμές των παραμέτρων: } In[10]:= values1 = {xf 300, zf 0, g 9.8} Οι συντεταγμένες σαν συναρτήσεις του χρόνου είναι In[11]:= coord1[tf ] = {x[t], z[t]}/. dsol1 /. values1 { 300 t Out[11]=, 4.9 t ( t + tf)} tf Η γραφική παράσταση των τροχιών θα δημιουργηθεί με τη χρήση της εντολής ListPlot. Θα επιλέξουμε χρονικές υποδιαιρέσεις 0.5 sec. In[12]:= Clear[plot1]; plot1[tf ] := ListPlot[ Evaluate[Table[coord1[tf], {t, 0, tf, 0.5}]], PlotStyle PointSize[0.02], PlotLabel (" Same Initial and Final Positions "), GridLines Automatic] In[13]:= plotarray2 = Table[plot1[tf],{tf, 5, 15, 5}]; In[14]:= Show[plotarray2]
7 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA 3 Same Initial and Final Position Out[14]= - Graphics ο ερώτημα Θα λύσουμε τις εξισώσεις κίνησης με αρχική ταχύτητα v0 και αρχική γωνία alpha In[15]:= initial2 = {x[0] == 0, x [0] == v0 Cos[alpha], z[0] == 0, z [0] == v0 Sin[alpha]}; Ηλύσητηςεχ1μετιςπαραπάνωαρχικέςσυνθήκεςείναι: In[16]:= dsol2 = DSolve[Join[eq1, initial2],{x[t], z[t]}, t][[1]] Out[16]= { x[t] t v0 cos[alpha], z[t] 1 2 ( g t2 + 2 t v0 sin[alpha]) } Ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει στο μέγιστο ύψος υπολογίζεται αν πάρουμε τη χρονική παράγωγο της z(t), μηδενίσουμε το αποτέλεσμα και λύσουμε την εξίσωση ως προς το χρόνο t: In[17]:= eq2 = D[z[t]/. dsol2, t] == 0; tsol { = Solve[eq2, t][[1]] v0 sin[alpha] } Out[17]= t g Ηθέσητουμέγιστουύψουςλαμβάνεταιυπολογίζονταςτα x[t max ] y[t max ] In[18]:= {x[t], { z[t]}/. dsol2 /. tsol // Simplify v0 2 cos[alpha] sin[alpha] Out[18]=, v02 sin[alpha] 2 } g 2 g 4ο ερώτημα Θα δημιουργήσουμε τις γραφικές παραστάσεις για alpha = {π/8, 2π/8, 3π/8, χρησιμοποιώντας τις παρακάτω τιμές In[19]:= values2 = {g 9.8, v0 100}; για τις παρακάτω συντεταγμένες της τροχιάς:
8 4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ In[20]:= coord2[alpha ] = {x[t], z[t]}/. dsol2 /. values2 { Out[20]= 100 t cos[alpha], 1 } 2 ( 9.8 t t sin[alpha]) Η γραφική παράσταση θα δημιουργηθεί με τη χρήση της εντολής ListPlot. Θα επιλέξουμε χρόνους απο 0 ως 20 seconds με βήματα 1 sec. Θα προσθέσουμε μερικές επι πλεόν επιλογές στη δημιουργία της γραφικής παράστασης που δεν είναι αναγκαίες αλλά βελτιώνουν τη μορφή του γραφήματος. In[21]:= Clear[plot2]; plot2[alpha ] := ListPlot[ Evaluate[Table[coord2[alpha], {t, 0, 20, 0.5}]], PlotStyle PointSize[0.02], Frame True, PlotLabel (" Different Initial Angle "), GridLines Automatic, FrameLabel {"x[t]", "z[t]", "Distance", "Height"}] η εντολή plot2[alpha] θα δημιουργήσει μια τροχιά. Στη συνέχεια μπορούμε να δημιουργησουμε ένα πίνακα με γραφηματα για δοθείσες τιμές του alpha. In[22]:= plotarray2 = Table[plot2[alpha], {alpha, π/8, 3 π/8, π/8}]; In[23]:= Show[plotarray2, PlotRange {{0, 1000},{0, 500}}, RotateLabel False];
9 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA Different Initial Angle Distance z@td Height x@td Δεναποτελείέκπληξηότιητροχίαγια alpha = π/4θαδώσειτομεγαλύτεροβεληνεκές Αριθμητική Επίλυση ΔΕ Αν δεν είναι δυνατή η αναλυτική επίλυση της ΔΕ τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εντολή NDsolve[eqns, y, x, xmin, xmax]γιατοναριθμητικόυπολογισμότωνλύσεων. ΟπουεχνςείναιτοσύστηματωνΔΕγιατη συνάρτηση ψ με ανεξάρτητη μεταβλητή x στο διάστημα [xmin, xmax]. In[24]:= eq1 = {x [t] == x[t] x[t]y[t]ˆ2, με αρχικές συνθήκες y [t] == y[t] x[t]y[t]ˆ2}; In[25]:= initial = {x[0] == 2, x [0] == 0, y[0] == 1, y [0] == 0}; ηαριθμητικήλύσητουσυστήματοςτωνδεγια t = 1ως t = 20δίνεταιαποτηνεντολή: In[26]:= ndsol = NDsolve[Join[eq1, initial],{x, y}, {t, 0, 20}][[1]] Out[26]= {x InterpolatingFunction[{{0., 20.}}, <>], y InterpolatingFunction[{{0., 20.}},<>]} Τα αριθμητικά δεδομένα δίνονται με τη χρήση της InterpolatingFunction της οποίας οι τιμές θα βρεθούν με interpolation(παρεμβολή). Οι γραφικές παραστάσεις είναι: In[27]:= Plot[Evaluate[{x[t], y[t]}/. ndsol], {t, 0, 20}, PlotStyle {{Dashing[{ }]}, {Dashing[{0.05}]}}]
10 6 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ Out[27]= - Graphics - Ησυνεχήςγραμμήείναιηλύση x[t]καιηδιακεκομένηείναιηy[t]. Στοεπίπεδο x,yηλύσηδίνεταιαπότην εντολή: In[28]:= ParametricPlot[ Evaluate[{x[t], y[t]}/. ndsol],{t, 0, 20}] Out[28]= - Graphics - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Η NDsolveλύνειέναευρύφάσμαΔΕαλλάκαιορισμένεςΔΕΜΠ 2. η NDsolve δίνει αποτελέσματα μέσω της InterpolatingFunction. 3. ΟιπαράγωγοιστιςΔΕπρέπειναορίζονταιως y [x]
11 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA 7 4. Στις κανονικές ΔΕ η συνάρτηση y[x] πρέπει να εξαρτάται μόνο απο μία μεταβλητή. Στις ΔΕΜΠ μπορούν να είναι συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών. 5. Οι ΔΕ πρέπει να περιέχουν ικανές αρχικές και οριακές συνθήκες ωστε να μπορεί να επιλυθεί το πρόβλημα. 6. Οιαρχικέςκαιοιοριακέςσυνθήκεςδίνονταισυνήθωςστημορφή y[x 0 ] == c 0, y [x 0 ] == dc 0,κτλπ.Είναι δυνατή και η χρήση πιο σύνθετων οριακών συνθηκών. 7. Περιοδικέςορικέςσυνθήκεςμπορούνναορισθούνμέσωτηςεξίσωσης y[x 0 ] == y[x 1 ]. 8. Οι ΔΕ στην NDsolve μπορούν να έχουν και μιγαδικές μεταβλητές. 9. Οι παρακάτω επιλογές μπορουν να δοθούν: AccuracyGoal InterpolatingPrecision MaxSteps(χρησιμοποιεί αυτόματα 1000) MaxStepSize Method(για συνήθη ΔΕ χρησιμοποιεί τη μέθοδο Adams. Υπάρχουν και οι επιλογές Gear, Runge- Kutta(4-5ης τάξης Runge-Kutta-Fehlberg)) PrecisionGoal StartingStepSize WorkingPrecision ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4: Συζευγμένοι Αρμονικοί Ταλαντωτές Οι εξισώσεις κίνησιες δύο συζευγμένων αρμονικών ταλαντωτών(δύο εκκρεμή που συνδέονται με ένα ελατήριο) δίνονται απο τις σχέσεις M d2 x dt 2 M d2 y dt 2 = c 1 x+c(y x) = c 2 y c(y x) οισταθερές c 1, c 2 υπολογίζονταιαποταμήκητωνεκκρεμώνκαιτηβαρυτικήέλξη Mgενώ cείναιησταθερά του ελατηρίου. θαυποθέσουμε c 1 = c 2 καιθαεξετάσουμεδύοπεριπτώσειςμίαγιαασθενήσύζευξη(c = c 1 /10)καιμίαγια ισχυρήσύζευξη(c = 10c 1 ). ΛΥΣΗ In[29]:= eq = {M x [t] == C1 x[t] + C(y[t] x[t]), M y [t] == C2 y[t] C(y[t] x[t])};
12 8 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ δίνουμε τις παρακάτω αρχικές τιμές(σε m) In[30]:= initial = {x[0] == 5, x [0] == 0, y[0] == 8, y [0] == 0}; καιδύοζεύγηπαραμέτρων c 1,c 2,cγιαασθενήκαιισχυρήσύζευξη(σεμονάδες Nm 1 ) In[31]:= values1 = {C1 39.5, C2 39.5, C 3.95, M 1}; values2 = {C1 39.5, C2 39.5, C 395, M 1}; In[32]:= eq1 = eq /. values1; eq2 = eq /. values2; In[33]:= ndsol1 = NDsolve[Join[eq1, initial],{x, y}, {t, 0, 5}, MaxSteps 1000][[1]]; ndsol2 = NDsolve[Join[eq2, initial],{x, y}, {t, 0, 5}, MaxSteps 4000][[1]]; In[34]:= Plot[Evaluate[{x[t], y[t]}/. ndsol1], {t, 0, 5}, PlotStyle {{Dashing[{ }]}, {Dashing[{0.01}]}}, PlotLabel > "Weak Coupling"] Plot[Evaluate[{x[t], y[t]}/. ndsol2], {t, 0, 5}, PlotStyle {{Dashing[{ }]}, {Dashing[{0.01}]}}, PlotLabel > "Strong Coupling"]
13 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA 9 Weak Coupling Strong Coupling Out[34]= (- Graphics -) (- Graphics -) In[35]:= ParametricPlot[ Evaluate[{x[t], y[t]}/. ndsol1], {t, 0, 5}, PlotLabel > "Weak Coupling"] ParametricPlot[ Evaluate[{x[t], y[t]}/. ndsol2], {t, 0, 5}, PlotLabel > "Strong Coupling"]
14 10 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ Strong Coupling eigen-oscillation Out[35]= (- Graphics -) (- Graphics -) Αξιζει να δοκιμάσουμε διάφορες ομάδες αρχικών τιμών και παραμέτρων.
15 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA 11 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5: Αρμονικος Ταλαντωτής με Απόσβεση Ας θεωρήσουμε ένα αρμονικό ταλαντωτή με απόσβεση. Η εξίσωση κίνησης θα είναι: x (t)+γx (t)+ω 2 0x(t) = 0 Η απόσβεση είναι ανάλογη της ταχύτητας και χαρακτηρίζεται απο την παράμετρο γ. 1. Ναλυθείηεξίσωσημεαρχικέςσυνθήκες x(0) = x 0και x (0) = u 0. Στησυνέχειαναγίνειτογράφηματης λύσηςσανσυνάρτησητου tκαιτου 2ω = γ 2 4ω Ναγίνειτογράφημαγιατηνφθίνουσαπερίπτωση,(πραγματικό ωήγ 2 > 4ω 2 0). 3. Ναγίνειτογράφημαγιατηνοριακάφθίνουσαπερίπτωση,(ω = 0ήγ 2 = 4ω 2 0). 4. Ναγίνειτογράφημαγιατηνπερίπτωσητηςφθίνουσαςταλάντωσης,(φανταστικό ωή γ 2 < 4ω 2 0).Δημιούργησε διαγράμματα φάσης αλλά και χρόνου-φάσης. 5. Σχεδίασε όλες τις παραπάνω λύσεις σε ένα γράφημα. ΛΥΣΗ 1ο ερώτημα In[36]:= Clear[ Global * ]; Θαθέσουμε ω = wκαι γ = gamοπότεηδεορίζεταιως: In[37]:= eq1 = x [t] + gam x [t] + w0 ˆ2 x[t] == 0; θατηλύσουμεμετηβοήθειατης NDsolve: In[38]:= dsol = DSolve[{eq1, x[0] == x0, x [0] == v0}, x[t], t][[1]]; Πρινπαρουσιάσουμετηλύσηείναιχρήσιμονακάνουμετηναντικατάσταση 2ω = γ 2 /4 ω 2 0 In[39]:= wsub = {(gam ˆ2 4 * w0 ˆ2)ˆ(1/2) (2 w), οπότε οι λύση είναι: 1/(gam ˆ2 4 * w0 ˆ2)ˆ(1/2) 1/(2 w)}; In[40]:= dsol = (dsol // Simplify)//. wsub; x[t ] = x[t]/. dsol Out[40]= 1 ( e 2 1 t (gam +2 w) (2 ( 1 + e 2 t w ) v0 + 4 w ) (( 1 + e 2 t w ) gam +2 (1 + e 2 t w ) w) x0) είναι προφανές απο την παραπάνω λύση ότι έχουμε τρείς διαφορετικές λύσεις ανάλογα με τις τιμές του 2ω = γ2 4ω 2 0,δηλαδήανείναιπραγματική,μηδένήφανταστική. Καιοιτρείςπεριπτώσειςθαμελετηθούνστη συνέχεια.
16 12 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ In[41]:= values = {x0 1, v0 0, gam 1}; Παρατήρηση: Ηαντικατάσταση ω ω 2 γίνεταιωστετο ωναγίνεταιμιγαδικόοτανθέτουμεαρνητικές τιμές στο w2. Μεταβάλλοντας το w2 απο αρνητικές τιμες στο μηδέν και στη συνέχεια σε θετικές τιμές λαμβάνουμε τα τρία είδη λύσεων που προαναφέραμε. In[42]:= p0 = Plot3D[ Evaluate[ x[t]//. values /. {w Sqrt[w2]}],{w2, 25, 150}, {t, 0, 1}, PlotPoints 25, PlotRange { 1, 2}, BoxRatios {1, 1, 1}, ViewPoint { 4, 3, 2}, AxesLabel {"w2", "t", "x[t]"}] 0 w x@td t Out[42]= - SurfaceGraphics - Είναι προφανές πως όταν το ω2 λαμβάνει μεγάλες αρνητικές τιμές η λύση ξ[τ] παρουσιάζει απόσβεση. ω2=0 αντιστοιχεί στην οριακή περίπτωση και για 0 2ω γαμ η λύση αποσβένυται εκθετικά. Για γαμ 2ω η λύση αυξάνεται εκθετικά. 2ο ερώτημα Γιατηνπερίπτωσηπουτοωείναιπραγματικό γ 2 > 4ω 2 0ηλύσηείναιεκθετικάαύξουσα(2ω > 0)ήφθίνουσα (0 < 2ω < γ),όπωςφαίνεταισταπαρακάτωγραφήματα.
17 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA 13 In[43]:= p1 = Plot[Evaluate[x[t]//. values /.{w 0.6}], {t, 0, 10}] Out[43]= - Graphics - In[44]:= p2 = Plot[Evaluate[x[t]//. values /.{w 0.4}], {t, 0, 10}] Out[44]= - Graphics - 3ο ερώτημα Ηοριακήπερίπτωσηω=0(γ 2 = 4ω 2 0)είναιεξαιρετικάαπλή: In[45]:= Limit[x[t], w 0] Out[45]= 1 gam t e 2 (2 t v0 +2 x0 + gam t x0) 2
18 14 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ In[46]:= p3 = Plot[ Evaluate[Limit[x[t]//. values, w 0]], {t, 0, 10}] Out[46]= - Graphics - 4ο ερώτημα Σεαυτήτηνπερίπτωσητοωείναιφανταστικό(γ 2 < 4ω 2 0). In[47]:= (x[t]// Simplify) Out[47]= 1 ( e 2 1 t (gam +2 w) (2 ( 1 + e 2 t w ) v0 + 4 w ) (( 1 + e 2 t w ) gam +2 (1 + e 2 t w ) w) x0) Ηλύσηπροφανώςείναιμιαταλάντωσημεσυχνότηταωκαιεκθετικήαπόσβεση e γt/2,όπωςφαίνεταιστο παρακάτω γράφημα: In[48]:= p4 = Plot[Evaluate[x[t]//. values /.{w i 10}], {t, 0, 10}]
19 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA Out[48]= - Graphics - Χρήσιμαγιατημελέτημαςείναιτοδιαγράμμαφάσης,αλλάκαιηεξέλιξητηςφάσηςωςσυνάρτησητουχρόνου. Τα παρακάτω γραφήματα εξυπηρετούν αυτό το σκοπό: In[49]:= q = x[t]//. values /.{w i 10} // Simplify ( ) Out[49]= 1 ( 40 e I t 20 I (20 + I) + (20 I) e t) In[50]:= p = x [t]//. values /.{w i 10}// Simplify ( ) Out[50]= 401 ( 80 I e I t 20 I 1 + e t) In[51]:= ParametricPlot[{p, q},{t, 0, 10}, PlotRange All, Axes False, PlotLabel > "Phase Trajectory", Frame True, FrameLabel {"p axis", "q axis"}] q-axis Phase Trajectory p-axis Out[51]= - Graphics -
20 16 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ In[52]:= ParametricPlot3D[{p, q, t},{t, 0, 10}, PlotRange All, Axes False, PlotLabel > "Evolution of Phase", PlotPoints 300, BoxRatios {1, 1, 1}, AxesLabel {"p", "q", "t"}] Evolution of Phase Out[52]= - Graphics3D - 5ο ερώτημα Συνολικά όλες οι λύσεις συγχρονως είναι: In[53]:= Show[p1, p2, p3, p4]
21 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA 17 Out[53]= - Graphics - Πολλές φορές είναι χρήσιμο να υπολογίσουμε τη συχνότητα μια ταλάντωσης και προς τούτο χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Fourier. Παρακάτω φαίνοντα τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε. In[54]:= fdata = Table[p,{t, 0, 40, 0.001}]// N; In[55]:= ffdata = Abs[Fourier[fdata]]; In[56]:= ListPlot[ffData, PlotJoined True, PlotRange > {{0, 120}, All}] Out[56]= - Graphics Στο παραπάνω διάγραμμα παρατηρούμε ότι το μέγιστο είναι για 2πω ΝΑΛΥΣΕΤΕΤΟΠΑΡΑΠΑΝΩΠΡΟΒΛΗΜΑΜΕΤΗΧΡΗΣΗΤΗΣ NDsolve,ΑΥΤΟ ΘΑ ΣΑΣ ΒΟΗΘΗΣΕΙ ΝΑ ΛΥΣΕΤΕ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ
22 18 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6: Το πρόβλημα Kepler Η εξίσωση κίνησης για ένα σωματίδιο που κινείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάμεων μπορεί να γραφεί ώς: u (φ) = u(φ) m l 2 f(1/u(φ)) u(φ) 2 όπου u = 1/r.Υποθέτουμεπωςητροχιάείναιστοισημερινόεπίπεδο(θ = π/2)καιότι u = u(φ). 1. Ναλυθείηπαραπάνωεξίσωσηγιατοβαρυτικόδυναμικό V = k/rμεαρχικέςσυνθήκες u (0) = Να γίνουν γραφήματα των ελλειπτικών και υπερβολικών τροχιών. ΛΥΣΗ 1ο ερώτημα In[57]:= Clear[ Global * ]; In[58]:= Needs["Graphics Graphics "] In[59]:= eq1 = u [φ] == u[φ] m f[1/u[φ]]/(lˆ2 u[φ]ˆ2); Ηδύναμηδίνεταιώςηπαράγωγοςτουδυναμικού f(r) = V (r).στησυνέχειαδημιουργούμεμιαεντολήπου υπολογίζει τη δύναμη ως συνάρτηση του δυναμικού(μπορεί να χρησιμοποιειθεί και για πλεόν σύνθετα δυναμικά). In[60]:= forcerule = {V ( k/#&), f[1/u[φ]] V [r], r 1/u[φ]}; αντικαθιστώ το βαρυτικό δυναμικό στην εχ1: In[61]:= eq2 = eq1 //. forcerule Out[61]= (u [φ] == k m L 2 u[φ] Γιαλόγουςαπλότηταςθαχρησιμοποιήσουμετηναρχικήσυνθήκη u (0) = 0. ΕφαρμόζονταςτηνΔΣολ εστην εχ2 λαμβάνουμε In[62]:= eq3 = DSolve[{eq2, u [0] == 0, u[0] == u0(1 + e)}, { {u[φ]},φ][[1]]// Simplify Out[62]= u[φ] k m + ( k m + (1 + e) L2 u0) cos[φ] } L 2 Ηγενικήμορφήτηςεξίσωσηςτηςτροχιάςμπορείναγραφείως u(φ) = u 0 [1+ecos(φ)].Οταν φ = 0μπορούμε ναλύσουμεγια u0: In[63]:= u0rule = Solve[(u[φ]/. eq3 /.{cos[φ] 0}) == u0, u0][[1]]
23 0.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & MATHEMATICA 19 Out[63]= { u0 k m L 2 } Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην eq3, καταλήγουμε στη λύση: In[64]:= eq4 { = eq3 //. u0rule // Simplify k m (1 + e cos[φ]) } Out[64]= u[φ] L 2 Ηπαράμετρος e(εκκεντρότητα)καθορίζειτατρίαείδητωνκωνικώντομών:(1) e > 1υπερβολικήες,(2) e < 1 ελλειπτικές(e = 0κυκλική)και(3) e = 1,παραβολικές. Συνηθίζεταιναορίζουμετηνποσότητα aπουορίζεταιως l 2 /(km) = a(1 e 2 ),οπότεηu[phi]γράφεται: In[65]:= { eq5 = eq4 //.{L Sqrt[a k m (1 eˆ2)]} Out[65]= u[φ] 1 + e cos[φ] } a (1 e 2 ) 2ο ερώτημα θα χρησιμοποιήσουμε την εντολή PolarPlot για να δημιουργήσουμε τις γραφικές παραστάσεις των ελλεπτικών και υπερβολικών τροχιών In[66]:= Clear[plotOrbit]; plotorbit[aa, ee ] := PolarPlot[ Ελλεπτικές τροχιές In[67]:= Show[ (1/u[φ] //. eq5 //.{a aa, e ee} // Evaluate ),{φ, 0, 4 π}]; Table[plotOrbit[1, ein], {ein, 0.1, 0.9, 0.2}]// Evaluate] Out[67]= - Graphics - Υπερβολικές τροχιές -1
24 20 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ In[68]:= plotorbit[1, 1.1] Out[68]= - Graphics In[69]:= plotorbit[1, 1.7] Out[69]= - Graphics - ΝΑΛΥΣΕΤΕΤΟΠΑΡΑΠΑΝΩΠΡΟΒΛΗΜΑΜΕΤΗΧΡΗΣΗΤΗΣ NDsolve,ΑΥΤΟ ΘΑ ΣΑΣ ΒΟΗΘΗΣΕΙ ΝΑ ΛΥΣΕΤΕ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ -6
25 0.2. ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Επαναλάβετε το λυμένο παράδειγμα με τις βολές προσθέτωντας την αντίσταση του αέρα που θα είναι bu για 0 b Εναβλήμαεκτοξεύεταιμεαρχικήταχύτητα20m/secμεγωνία30 0.Λίγοαργότεραδιασπάταισεδύοτμήματα ένα εκ των οποίων έχει διπλάσια μάζα απο το δεύτερο. Τα δύο βλήματα προσγείωνονται συγχρόνως. Το ελαφρύτερο σε απόσταση 20m απο το σημείο εκτόξευσης προς τη διεύθυνση που εκτοξεύτηκε αρχικά το βλήμα. Που προσγειώνεται το έτερο βλήμα Δημιούργησε τις γραφικές παραστάσεις των δύο τροχιών, αλλά και αυτή του κέντρου μάζης. Δημιούργησε μια συνάρτηση που θα δημιουργεί το γράφημα της κίνησης των δύο τμημάτων και του κέντρου μάζης όταν δίνονται: η αρχική ταχύτητα, η μάζα των τμημάτων και το σημείο πρόσπτωσης τουενόςαπότατμήματα. 3. Στο πρόβλημα των συζευγμένων αρμονικών ταλαντωτών δοκιμάστε για τις ίδιες αρχικές τιμές τις τιμές c 1 = 40Nm 1, c 2 = 30Nm 1 και c = 10Nm 1 4. Θεωρήστε το πρόβλημα του αρμονικού ταλαντωτή με μια εξωτερική δύναμη διέγερσης για τον οποίον η εξίσωση κίνησης γράφεται ως x [t]+γx [t]+ω 2 0x[t] = Q 0 cos(w d t) όπου 4ω 2 0 > γ.ηλύσηθαείναιηυπέρθεσητηςλύσηςτηςομογενούςδεκαιμιαςμερικήςλύσης. (αʹ) Βρείτε τη λύση της ομογενούς ΔΕ. (βʹ) Υποθέστεότιημερικήλύσηείναιτηςμορφής Acos(ω d t+δ f )καιυπολογίστετα Aκαι δ f.γράψτε τη γενική μορφή της λύσης. (γʹ)δημιουργήστεγραφικέςπαραστάσειςτηςλύσηςωςσυνάρτησητου ω 0 καιτου t. Δημιουργήστε γραφικέςπαραστάσειςτου Aωςσυνάρτησητου ω 0 καιτου γ.παρατηρήστετουςσυντονισμούςγια ω 0 = ω d. (δʹ) Δημιουργήστε διαγράμματα φάσης. 5. Θεωρήστε τη μη-γραμμική ΔΕ q (t) aq (t)+bq 3 (t) = 0 υποθέστεότι b > 0και aθετικόήαρνητικό.ηεξίσωσηαυτήείναιγνωστήώςεξίσωση Duffing. (αʹ) ΛύστεαριθμητικάτηνΔΕκαιδημιουργήστετιςγραφικέςπαραστάσειςτων q(t)και q (t). Δώστε αρχικέςτιμέςπ.χ. q(0) = 0και q (0) = Υποθέστεγιατιςπαραμέτρουςταπαρακάτωζεύγη τιμών(b = 0.05, a = 1)(b = 0.05, a = 4). Τι παρατηρείτε για κάθε ένα απο τα ζεύγη των παραμέτρων. (βʹ) Δημιουργήστε διαγράμματα φάσης για κάθε μια απο τις παραπάνω περιπτώσεις. (γʹ) Δημιουργήστε προσομοιώσεις των παραπάνω περιπτώσεων. (δʹ)(προαιρετικό πρόβλημα) Θα μποροούσατε να δημιουργήσετε γραφηματα του δυναμικού για την παραπάνωεξίσωσησανσυνάρτησητου qκαιναεξετάσετετηνεξάρτησηαποτο a
26 22 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 6. Θεωρήστε τη μη-γραμμική ΔΕ q (t) = aq(t) bq 3 (t) γq (t)+q 0 cos(ωt) μεαρχικέςσυνθήκες q(0) = 0 q (0) = Υποθέστε a = 0.4, b = 0.5, γ = 0.2και ω = 1/8και θεωρήστεδύοτροχίεςμίαγια Q 0 = 0καιμιαγια Q 0 = 0.1. (αʹ) Να λύσετε αριθμητικά τις εξισώσεις κίνησης και για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις και να δημιουγήσετεγραφικέςπαραστάσειςγιατα q(t)και q (t). (βʹ) Δημιουργήστε τα διαγράματα φάσης, και χρησιμοποιήστε το μετασχηματισμό Fourier για τον υπολογισμό της συχνότητας. 7. Γενικευμένοπρόβλημα Kepler.Τοδυναμικόδίνεταιαποτησχέση V = k/r b/r 2 (αʹ) Λύστετηνεξίσωση Keplerγια u[φ]καιεκφράστετηλύσηστημορφή u(φ) = u 0 (1+ecos[φ(1 δ)]) όπου u 0 = k m/(l 2 2 b m). (βʹ) Δημιουργήστε γραφικές παραστάσεις και εξετάστε τις ελλειπτικές τροχιές, τι παρατηρήτε (γʹ)συγκρίνετετιςτροχιέςτωνδυναμικών V = k/r b/r 3 και V = k/r +b/r 3. (δʹ)συγκρίνετετιςτροχιέςτωνδυναμικών V = k/r 1.1 και V = k/r Ξρησιμοποιείστε τη μέθοδο Runge -Kutta-Felberg για την αριθμητική επίλυση των παρακάτω διαφορικών εξισώσεων και συγκρίνετε με τις ακριβείς τιμές: ( (αʹ) y = xy 1/3,με y(1) = 1(ακριβής y = (βʹ) y = xy 2 με y(1) = 2(ακριβής y = 2 x 2 ) (γʹ) y = 2xyμε y(0) = 1(ακριβής y = e x2 ) ) 3/2). x Υπόδειξη:ολοκληρώστεαπό x = 1ως x = 2 Υπόδειξη:ολοκληρώστεαπό x = 1ως x = 2 Υπόδειξη:ολοκληρώστεαπό x = 0ως x = 1 (δʹ) με y(1) = 1. y = y( 1 x 2 y 4) x(1+x 2 y 4 ) Υπόδειξη:ολοκληρώστεαπό x = 1ως x = 2 (εʹ) με y(0) = 0.Βρείτετο y(1). y = x ex y +e y
27 0.2. ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να λυθεί αριθμητικά το σύστημα διαφορικών εξισώσεων x = 1195x 1995y x(0) = 2 y = 1197x 1997y y(0) = 2 Ναβρεθούν:οιτιμές y(1), x(1)καιοιτιμές y( 1), x( 1)Τιπαρατηρείτε ανηακριβήςλύσηείναι: x(t) = 10e 2t 8e 800t,y(t) = 6e 2t 8e 800t Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gear στην NDsolve, και συγκρίνετε με την μέθοδο Runge- Kutta και Adams τι παρατηρείτε. 10. Να λυθούν τα συστήματα: και y = yz +x y(0) = 0 z = y x z(0) = 0 y = z y(0) = 0 z = y z(0) = 1
2.3 Επιπλέον συναρτήσεις για δισδιάστατα γραφικά
2.3 Επιπλέον συναρτήσεις για δισδιάστατα γραφικά 2.3.1 Γραφική παράσταση καμπύλης που ορίζεται με παραμετρικές εξισώσεις Μερικές φορές, οι καμπύλες ορίζονται παραμετρικά, για παράδειγμα μπορεί οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση του Mathematica
Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Λίστες - Πίνακες Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για να ορίσουμε τη λίστα χρησιμοποιούμε άγκιστρα {}, μέσα στα οποία βάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3,
Εργαστήριο 4 Χημικοί Άóêçóç. In[]:= Plot Sec x, x, π, π 6 4 Out[]= -6-4 - 4 6 - -4-6 Άóêçóç. In[]:= p Plot Abs Abs x, x, 3, 3.0.5 Out[]= -3 - - 3 In[3]:= f x_ : π x p Plot f x, x, 3, 3 0.4 0.3 Out[4]=
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 10 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Προσομοίωση απόκρισης συστήματος στο MATLAB μέσω της συνάρτησης ode45 (Runge-Kutta) Προσομοίωση απόκρισης
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να
Διαβάστε περισσότεραΤο ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο
Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης
ΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης 1. Μια µάζα m είναι εξαρτηµένη από το άκρο ενός ελατηρίου µε φυσική συχνότητα ω. Η µάζα αφήνεται να κινηθεί από την κατάσταση
Διαβάστε περισσότερα1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων
1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων
Διαβάστε περισσότεραE = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,
Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία η ιουργία γραφικών αραστάσεων ε την
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία η ιουργία γραφικών αραστάσεων ε την 1 1 Λίστες Πίνακες Λίστες αντικειμένων Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για
Διαβάστε περισσότεραΠροσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 Εκφώνηση άσκησης 6. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα
Διαβάστε περισσότεραβ. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2
1) Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 3 ημ [(2 π) t] και x 2 = 4 ημ [(2 π) t + φ], (S.I.).
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ γ τάξη ενιαίου λυκείου (εξεταστέα ύλη: κρούσεις, ταλαντώσεις, εξίσωση κύματος) διάρκεια εξέτασης: 1.8sec ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ: ΤΜΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να επιλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραα. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0.
ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΓΓ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ ΚΚυυρρι ιιαακκήή 1133 ΙΙααννοουυααρρί ίίοουυ 001133 Θέμα 1 ο (Μονάδες 5) 1. Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία
Διαβάστε περισσότεραΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά και μη γραμμικά συστήματα Αριθμητική προσέγγιση
Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα Αριθμητική προσέγγιση k m F(t)=F o cos(ωt) K=σταθερά ή όχι c Θέση ισορροπίας Ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω 0 x Συχνότητα εξωτερικής διέγερσης Ω Παραδείγματα (γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.
ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραΦάσμα. Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.
σύγχρονο Φάσμα Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. μαθητικό φροντιστήριο Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ 50.51.557 50.56.296 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 50.27.990 50.20.990 25ης Μαρτίου 74 Πλ.ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ 50.50.658
Διαβάστε περισσότεραΝα γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση
Ταλαντώσεις Θέμα Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Α1. Αν μεταβληθεί η ολική ενέργεια της ταλάντωσης
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο
Διαβάστε περισσότεραΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις 1 9 να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
ΜΑΘΗΜΑ / Προσανατολισμός / ΤΑΞΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΜΗΜΑ : ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΦΥΣΙΚΗ/ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ) ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση Ένα σώμα εκτελεί απλή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας
ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότερα0,4 2 t (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφεται (στο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink
Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΦυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Φυσική (Ε) Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1.
Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση Περιέχει: 1. Αναλυτική Θεωρία 2. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 4.
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 27/03/2015 1
Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 7/3/5 Σκοπός αυτού του εργαστηρίου είναι να δούμε πως μπορούμε να επιλύσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων, με την χρήση του Matlab. Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλού τύπου 1-7, να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και στο απαντητικό σας φύλλο να μεταφέρετε τον αριθμό και το γράμμα της
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότερα1. Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα.
Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα α Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012
ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων
Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων. Φαινομενολογικός ορισμός ταλαντώσεων Μεταβολές σε φυσικά φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από μια κανονική επανάληψη κατά ορισμένα
Διαβάστε περισσότεραΣχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s,
Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου 9-1 ιάρκεια εξέτασης :3 5//1 Ι. Σ. Ράπτης Ε. Φωκίτης Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση (µάζα m σταθερά ελατηρίου
Διαβάστε περισσότεραδ. Ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι Τ =
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01/11/2015 ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στο τετραδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Mathematica
Εισαγωγή στο Mathematica Συντακτικοί κανόνες, βασικές συναρτήσεις και σύμβολα Το Mathematica είναι ένα λογισμικό το οποίο εγκαθιστά στον υπολογιστή ένα διαδραστικό μαθηματικό περιβάλλον. Το περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ:
Διαβάστε περισσότερα5. Ένα σώµα ταλαντώνεται µεταξύ των σηµείων Α και Ε. Στο σχήµα φαίνονται πέντε θέσεις Α,Β,Γ, και Ε, οι οποίες ισαπέχουν µεταξύ 1
1. Σώµα 10g εκτελεί α.α.τ. γύρω από σηµείο Ο και η αποµάκρυνση δίνεται από τη σχέση: x=10ηµπt (cm), ζητούνται: i) Πόσο χρόνο χρειάζεται για να πάει από το Ο σε σηµείο Μ όπου x=5cm ii) Ποια η ταχύτητά του
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΓ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
1 Ονοματεπώνυμο.. Υπεύθυνος Καθηγητής: Γκαραγκουνούλης Ιωάννης Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ > Τρίτη 3-1-2012 2 ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραb. η ταλάντωση του σώματος παρουσιάζει διακρότημα.
ΘΕΜΑ 1 Ο 1) Το σώμα μάζας m του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσα σε ρευστό από το οποίο δέχεται δύναμη της μορφής με =σταθ. Ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα f. Αν η σταθερά του ελατηρίου
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ
ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης mfak@taff.teicrete.gr Χειµερινό Οκτώβριος εξάµηνο 2010-11 2017 Σύστηµα Μάζας-Ελατηρίου-Αποσβεστήρα
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ 1. Η σταθερά απόσβεσης σε μια μηχανική ταλάντωση που γίνεται μέσα σε κάποιο μέσο είναι: α) ανεξάρτητη των ιδιοτήτων του μέσου β) ανεξάρτητη
Διαβάστε περισσότεραm αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Ερώτηση. ΘΕΜΑ Β Δύο σώματα με μάζες m m και m m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ.
Διαβάστε περισσότεραGMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, 9 Μαΐου 01 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία bonus ερωτήματα Ονοματεπώνυμο:,
Διαβάστε περισσότεραΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014
ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης
Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;
Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,
ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, 77 98 044, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC,
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Κινητική
Γενική Φυσική Ενότητα: Κινητική Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ασκήσεις κινητικής... 4 1.1 Άσκηση 1... 4 1.2 Άσκηση 2... 4 1.3 Άσκηση 3... 4 1.4 Άσκηση 4... 4 1.5 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις
Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,
Διαβάστε περισσότεραIntroduction Ν. Παπαδάκης 21 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47
Introduction Ν. Παπαδάκης 21 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου 2015 1 / 47 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Ποβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 02 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 02 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ A Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΛΟΓΩ ΔΙΝΩΝ Γ. Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦYΛΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ Διατύπωση των εξισώσεων Θεωρούμε κύλινδρο διαμέτρου D, μήκους l, και μάζας m. Ο κύλινδρος συγκρατειται
Διαβάστε περισσότεραy = u i t 1 2 gt2 y = m y = 0.2 m
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ) Το χαρτονόµισµα ξεκινά από ηρεµία, u i = 0, και
Διαβάστε περισσότεραΤαλαντώσεις. q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange
ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 1 q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange q Ταλαντωτής αποτελεί ένα σύστημα του οποίου μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις κίνησης Ø σε κάποιο γενικό σύστημα οι εξισώσεις κίνησης
Διαβάστε περισσότερα4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014
4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα ωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου
Εργαστηριακή Άσκηση 6 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου, k. Πειραματική διάταξη: Κατακόρυφο ελατήριο, σειρά πλακιδίων μάζας m. Μέθοδος: α) Εφαρμογή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων
Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Αδιαστατοποίησης - Δυναμικής Πληθυσμών Άσκηση 3.3, σελίδα 32 από
Διαβάστε περισσότερα4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014
4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα Γωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘEMA 1 Να γράψετε στη κόλλα σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.1 Το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο αρμονικών
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : OKTΩΒΡΙΟΣ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7
ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : OKTΩΒΡΙΟΣ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ακρότατα συνάρτησης FindMinimum[f,{x, x 0 }] :βρίσκει ένα τοπικό ελάχιστο της f, ξεκινώντας από το σημείο x=x 0. FindMinimum[f,{x, x0}, {y, y 0 }], ] : τοπικό
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8
ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10
ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10 1. Τρια αντικείµενα Α, Β και C µε µάζα m, 2m και 8m αντίστοιχα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και στις θέσεις που φαίνονται στο σχήµα. Σε ποια θέση (x,y) πρέπει να τοποθετεί ένα τέταρτο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές
Διαβάστε περισσότερα