ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΞΩ ΟΥΣ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΚΟΚΚΩ Η ΥΛΙΚΑ

Transcript

1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΞΩ ΟΥΣ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΚΟΚΚΩ Η ΥΛΙΚΑ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Υποβληθείσα στο Τμήμα Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Υπό Βασίλειου Μιχάλη του Κωνσταντίνου Για την απόκτηση του τίτλου του ιδάκτορα του Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ, 2011

2

3 Ευχαριστίες Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Τμήματος Χημικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών, στο Ερευνητικό Ινστιτούτο Χημικής Μηχανικής και Χημικών ιεργασιών Υψηλής Θερμοκρασίας (ΕΙΧΗΜΥΘ/ΙΤΕ). Θα ήθελα πρωτίστως να ευχαριστήσω τον ρ. Β. Μπουργανό, ιευθυντή Ερευνών του Ε.Ι.ΧΗ.Μ.Υ.Θ., ο οποίος σε καιρούς δύσκολους με υποστήριξε και του οποίου η σταθερή επιστημονική καθοδήγηση επέτρεψε την περάτωση της παρούσας εργασίας. Ευχαριστώ, επίσης, τον αείμνηστο Α. Παγιατάκη, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, πρώην επιβλέποντα καθηγητή και μέλος της τριμελούς επιτροπής για την εμπιστοσύνη του και τις γνώσεις που μου μετέδωσε. Ευχαριστώ τον Πρόεδρο της Εξεταστικής Επιτροπής κ. Ι. Τσαμόπουλο, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, για τις συμβουλές και τη βοήθεια που μου προσέφερε. Ευχαριστώ, επίσης, τους κ.κ. Β. Μαυραντζα, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, Χ. Παρασκευά, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, Π. Κουτσούκο, καθηγητή του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, Χ. Τσακίρογλου, ερευνητή του Ε.Ι.ΧΗ.Μ.Υ.Θ., Ε. Κικκινίδη, καθηγητή του τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών του Πανεπιστημίου υτικής Μακεδονίας, για την προθυμία τους να συμμετέχουν στην Επταμελή Εξεταστική Επιτροπή και τη βοήθεια που μου προσέφεραν. Θα ήθελα ιδιαίτερα να ευχαριστήσω τους ρ. Ευγένιο Σκούρα και ρ. Αλέξανδρο Καλαράκη για τη συνεργασία τους και την υποστήριξη που μου προσέφεραν και τη φιλία τους. Επίσης, ενα μεγάλο ευχαριστώ προς την ρ. Αναστασία Πέτση και τον Παναγιώτη Κροκιδά για τη βοήθεια που μου

4 προσέφεραν, το κλίμα συνεργασίας, αλληλεγγύης, για τις επιστημονικές, και μη, συζητήσεις και τη φιλία τους. Τέλος ιδιαίτερη ευγνωμοσύνη οφείλω στους γονείς μου για τη συνεχή ηθική, και όχι μόνο, υποστήριξή τους και στη σύντροφό μου Κατερίνα Τουμπανάκη για την αγάπη και τη συμπαράστασή της όλα αυτά τα χρόνια. Μιχάλης Βασίλης

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο στόχος της παρούσας εργασίας ήταν η ανάπτυξη μεθοδολογίας για την περαιτέρω κατανόηση και ποσοτική σύνδεση φαινομένων μεταφοράς που λαμβάνουν χώρα σε πορώδη μέσα με τα αντίστοιχα φαινόμενα στην κλίμακα λίγων πόρων. Στη δεύτερη περίπτωση η ανάλυση διευκολύνεται από τις συνήθεις απλουστεύσεις στη γεωμετρία και τη γενικότερη περιγραφή των φαινομένων με βάση εμπεριστατωμένα πρότυπα και εξισώσεις μεταφοράς μάζας και ορμής. Η επέκταση των αποτελεσμάτων στην κλίμακα του πορώδους μέσου δεν είναι προφανής και περιπλέκεται τόσο από τη δαιδαλώδη τοπολογία και μορφολογία της πορώδους δομής όσο και από την εξάρτηση κάποιων συντελεστών μεταφοράς από τις τοπικές συνθήκες, όπως πίεση, συγκέντρωση κλπ. Η τοπολογία και μορφολογία της πορώδους δομής αντιμετωπίζονται εδώ με δίκτυα πόρων, με έμφαση στα φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα στις διασταυρώσεις, αλλά και με ψηφιακές αναπαραστάσεις της δομής με βάση μικροφωτογραφίες δείγματος του υλικού. Συγκεκριμένα, στην παρούσα εργασία εξετάζεται η διασπορά διαλυμένης ουσίας σε δίκτυα πόρων, παρουσιάζεται μία καινούργια τεχνική ανακατασκευής ανομοιογενών πορωδών υλικών και αναπτύσσεται μια μέθοδος προσομοίωσης της ροής αερίων δια μέσου ανακατασκευασμένων πορωδών υλικών στη μεταβατική περιοχή ροής όπου η μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων ενός αερίου είναι συγκρίσιμη με το μέγεθος των πόρων οπότε και παύει να ισχύει η συνήθης παραδοχή του συνεχούς. Η επίδραση της ανάμειξης μέσα σε πόρους ή στις διασταυρώσεις πόρων/ρωγμών στη διασπορά διαλυμένης ουσίας σε πορώδη μέσα ερευνήθηκε μέσα από την ανάπτυξη και χρήση διαφορετικών τεχνικών προσομοίωσης με έμφαση στις λεπτομέρειες της ροής και της μεταφοράς μάζας στην περιοχή της διασταύρωσης. Το πρότυπο δικτύου Boltzmann χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του πεδίου ροής σε μία ορθογώνια διασταύρωση. Οι μοριακές τροχιές υπολογίστηκαν λαμβάνοντας υπ όψη τόσο τη συναγωγή όσο και τη μοριακή διάχυση και προσδιορίστηκαν οι παράλληλοι i

6 και εγκάρσιοι συντελεστές διασποράς σε ένα μεγάλο εύρος τιμών του αριθμού Peclet. Παράλληλα, υπολογίστηκε ο λόγος ανάμειξης στις διασταυρώσεις και χρησιμοποιήθηκε σε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τον προσδιορισμό του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς. Βρέθηκε ότι μία νέα μέθοδος τυχαίου περιπάτου αναπαράγει με καλή ακρίβεια το συντελεστή διασποράς σε χαμηλές και μεσαίες τιμές του Peclet, χάρη στο γεγονός ότι λαμβάνει υπ όψη την ανάντι της ροής κίνηση των σωματιδίων και τους διαφορετικούς χρόνους παραμονής μέσα σε κάθε κλάδο. Παράλληλα αναπτύχθηκε μία καινοτόμος μέθοδος ανακατασκευής πορωδών μέσων. Η τεχνική στηρίζεται στο διφασικό πρότυπο δικτύου Boltzmann, το οποίο περιγράφει την εξέλιξη συστημάτων υγρού-αερίου υπό την επίδραση της διεπιφανειακής τάσης. Ο μηχανισμός αυτός οδηγεί στη δημιουργία συσχετισμένων δομών, όπου τόσο η μορφολογία του πορώδους μέσου όσο και ο βαθμός συσχέτισής του καθορίζονται από τις λειτουργικές παραμέτρους του προτύπου. Έτσι καθίσταται δυνατή η απόδοση ποικιλίας μορφολογικών και τοπολογικών χαρακτηριστικών των οποίων η διαδικασία δημιουργίας τους παρουσιάζει ομοιότητες με διαγενετικές διεργασίες. Η τεχνική είναι ιδιαίτερα συμφέρουσα από άποψη υπολογιστικού κόστους και σε συνδυασμό με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε μπορεί να ανακατασκευάσει τρισδιάστατες ανομοιογενείς δομές. Εφαρμόστηκε σε πραγματικό δείγμα εδάφους με αφετηρία την πληροφορία που δίνεται από μία μικροφωτογραφία μίας στατιστικά χαρακτηριστικής τομής του. Αναπαράχθηκε η κοκκώδης μορφολογία του υλικού καθώς και σημαντικά τοπολογικά του χαρακτηριστικά όπως το πορώδες, ο βαθμός συσχέτισής του, που εκφράζεται μέσω της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, και η μέση τιμή της κατανομής χορδών ανά κλίμακα μεγέθους κόκκων. Υπολογίστηκε, επίσης, η διαχυτότητα Knudsen σε τέτοιες δομές με την τεχνική του υπολογισμού μοριακών τροχιών. Η μελέτη της ροής αερίων σε πορώδη μέσα, των οποίων η μέση διάμετρος των πόρων είναι της ίδιας τάξης με τη μέση ελευθέρα διαδρομή των μορίων του αερίου, είναι ιδιαίτερα δύσκολη εφόσον υπό τις συνθήκες αυτές παύει να ισχύει η υπόθεση του συνεχούς και κατ επέκταση δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι κλασικές φαινομενολογικές εξισώσεις. Η μελέτη της ροής στη μεταβατική αυτή περιοχή ροής έγινε στην παρούσα εργασία με τη ii

7 μεσοσκοπική μέθοδο DSMC. Η αξιοπιστία της μεθόδου και της παρούσας υλοποίησής της έγινε μέσω της μελέτης της ισοθερμοκρασιακής ροής αερίου μεταξύ παραλλήλων πλακών όπου επιβεβαιώθηκε η δυνατότητά της να αποτυπώνει σωστά τα φαινόμενα που συναντώνται στη μεταβατική περιοχή της ροής. Επιπρόσθετα υπολογίστηκε το δυναμικό ιξώδες αερίου σε συνθήκες υψηλής αραίωσης και παρουσιάστηκε η εξάρτησή του από τον αριθμό Knudsen. Βρέθηκε ότι τα αποτελέσματα προσεγγίζονται ικανοποιητικά από μία αναλυτική έκφραση τύπου Bosanquet που συσχετίζει το αποτελεσματικό ιξώδες με την τιμή του στο όριο του συνεχούς και με τον αριθμό Knudsen. Στην εργασία αυτή μελετήθηκε για πρώτη φορά με τη μέθοδο DSMC η ροή αερίων σε υπολογιστικά ανακατασκευασμένες πορώδεις δομές. Επιβεβαιώθηκε το φαινόμενο του Klinkenberg και η γραμμική εξάρτηση του συντελεστή διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση. Τα αποτελέσματα για τον παράγοντα Klinkenberg προσεγγίστηκαν ικανοποιητικά και μέσω του προτύπου Dusty Gas, το οποίο τροποποιήθηκε για την μεταβατική περιοχή της ροής με την ενσωμάτωση της έκφρασης για το αποτελεσματικό ιξώδες και κατάλληλη ολοκλήρωση των εξισώσεων στο εσωτερικό του πορώδους μέσου. Προτείνεται εδώ μια αναλυτική έκφραση για τον υπολογισμό της διαπερατότητας στη μεταβατική περιοχή ροής από τη διαπερατότητα στο όριο του συνεχούς και το συντελεστή διάχυσης Knudsen. Τέλος χρησιμοποιήθηκε μια διαφορετική προσέγγιση στο πρόβλημα υπολογισμού της ροής στη μεταβατική περιοχή, η οποία είναι υπολογιστικά ταχύτερη της DSMC κατά πολλές τάξεις μεγέθους. Η προσέγγιση έγινε μέσω ανάπτυξης προτύπου δικτύου Boltzmann, κατάλληλα τροποποιημένου για ροές σε συνθήκες αραίωσης, μέσω της σύνδεσης της τοπικής σταθεράς χαλάρωσης με το αποτελεσματικό ιξώδες και, παράλληλα με χρήση συνοριακών συνθηκών ολίσθησης. Το πρότυπο δοκιμάστηκε τόσο στην περίπτωση ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών όσο και σε ροή σε πορώδη μέσα όπου η συμφωνία με τη μέθοδο DSMC βρέθηκε πολύ ικανοποιητική. iii

8 iv

9 ABSTRACT The aim of the present study was the further understanding and quantification of transport phenomena in porous media and their connection with the phenomena in the scale of a few pores. The extension of the results from the pore-scale to the scale of the porous medium is not obvious and for this reason the representation of the porous medium was treated both with pore-networks and digital reconstruction. Specifically, in this study the dispersion of molecules of a solute substance in porous networks was examined, a new reconstruction technique was presented for heterogeneous granular materials and also a methodology was developed for the study of gas flow in reconstructed porous media in the transient regime, where the mean free path of the gas molecules is comparable with the characteristic length of the pores and thus the continuum description is no longer valid. The effect of the mixing in the pores or the junctions of the pores on the dispersion of molecules of a solute in porous media was examined through various simulation techniques with emphasis on the details of the flow and mass transport in the area of the junction. It was found that a new randomwalk technique is reproducing with good accuracy the dispersion coefficient for low and average values of the Peclet number, due to the fact that it takes into account the backwards, with respect to the main direction of the flow, movement of the molecules and the different residence time in each branch. Furthermore, a new reconstruction technique was developed for porous media. The technique is based on a 2-phase lattice Boltzmann model, which describes the evolution of a gas-liquid system under the influence of the surface tension. This mechanism leads to the creation of correlated structures, where the morphology of the porous medium and the correlation factor are determined by the operating parameters of the model. The technique was applied successfully for the reconstruction of a real soil sample, starting from the information that is solely given from a microphotograph of a statistically adequate section of the material. v

10 Finally, the gas flow through porous media was examined at moderate Knudsen numbers, where the mean diameter of the pores is of the same order of magnitude with the mean free path of the gas molecules. The study was done mainly with the mesoscopic DSMC technique. The credibility of the technique was examined through the study of the isothermal gas flow through parallel plates. Additionally, the dynamic viscosity of a gas under rarefaction conditions was calculated and its dependence on the Knudsen number was shown. It was found that the results are approximated satisfactorily with an analytical Bosanquet-type equation that relates the effective viscosity with its value at the continuum limit and with the Knudsen number. Furthermore, it was studied for the first time with the DSMC method the gas flow through reconstructed porous media. The Klinkenberg effect was confirmed and the linear dependence of the permeability coefficient on the inverse pressure was shown. Finally an alternative approach was used for the calculation of gas flow though porous media in the transient regime through the development of a lattice Boltzmann model suitably modified for rarefied gas flows. The model was tested for the case of flow through parallel plates as well as for the case of flow through porous media and the agreement with the DSMC method was very satisfactory. vi

11 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... i ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ... xi ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΠΟΡΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ ΓΙΑ ΥΨΗΛΟΥΣ Pe ΣΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΙΚΤΥΑ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΚΚΩ ΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ ΠΟΡΩ ΩΝ ΚΑΙ ΚΟΚΚΩ ΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΠΟΚΤΗΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΤΟ ΙΦΑΣΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΩΣ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟ ΟΥ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΚΟΚΚΩ ΕΣ ΥΛΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΗ ΑΕΡΙΩΝ ΣΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ KNUDSEN ΤΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ vii

12 3.2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΡΟΗΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ KNUDSEN ΡΟΗ ΜΕ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΡΟΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ BOLTZMANN DIRECT SIMULATION MONTE CARLO ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ - ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΒΗΜΑ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ Α ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ Β ΜΟΡΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Γ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Α ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ Β ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ MΕΛΕΤΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο DSMC ΤΗΣ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΗΣ ΙΣΟΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΤΥΠΟΥ 1 (ΣΣ1) ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΤΥΠΟΥ 2 (ΣΣ2) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΣΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΑΕΡΙΟΥ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΙΞΩ ΟΥΣ ΜΕ ΤΗ DSMC ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο DSMC ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΙΩΝ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ DSMC ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ ΙΑΜΕΣΟΥ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΠΟΡΩ ΩΝ ΜΕΣΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ viii

13 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΧΡΟΝΟΣ ΧΑΛΑΡΩΣΗΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ix

14 x

15 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1: Σχηματική αναπαράσταση της διασταύρωσης ορθογώνιων σχισμών με κλίση 45 ο ως προς τη μέση διεύθυνση της ροής (διακεκομμένα βέλη). Εισερχόμενα σωματίδια - γεμάτα βέλη, εξερχόμενα σωματίδια άδεια βέλη Πίνακας 1.1: Συντελεστές κατανομής ισορροπίας για τα πρότυπα D 2 Q 7 και D 2 Q 9 ιδανικού ρευστού Σχήμα 1.2: Τετραγωνικό δίκτυο σχισμών κεκλιμένο σε σχέση με τη μέση διεύθυνση της ροής κατά 45 ο. Σημειώνεται ο λόγος ανάμειξης για την αναλυτική μέθοδο για υψηλά Pe Σχήμα 1.3: Στιγμιότυπο της διασποράς παλμού μορίων διαλυμένης ουσίας σε μία διασταύρωση σε αδιάστατο χρόνο t=0.42. Περίπτωση Pe= Σχήμα 1.4: Στιγμιότυπο της διασποράς παλμού μορίων διαλυμένης ουσίας σε μία διασταύρωση σε αδιάστατο χρόνο t=0.42. Περίπτωση Pe= ιάγραμμα 1.1: Εξάρτηση του λόγου ανάμειξης από τον αριθμό Peclet για διάφορους λόγους πλάτους προς μήκος. Οι υπολογισμοί έχουν γίνει με τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων ιάγραμμα 1.2: Πιθανότητες μετάβασης από τον κλάδο 1 προς τους κλάδους 1-4 για τη διάταξη του Σχήματος ιάγραμμα 1.3: Συγκριτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων για τον αδιάστατο συντελεστή εγκάρσιας διασποράς μέσω της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων, της αναλυτικής σχέσης 1.37 και της τροποποιημένης μεθόδου τυχαίου περιπάτου ιάγραμμα 1.4: Εξάρτηση του παράλληλου και του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς από τον αριθμό Peclet και το λόγο πλάτους προς μήκος ιάγραμμα 1.5: Εξάρτηση του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς από τον αριθμό Peclet για τις περιπτώσεις ροής με συνοριακές συνθήκες μη ολίσθησης και πλήρους ολίσθησης Σχήμα 1.5: Παράδειγμα γραμμών ροής σε μία διασταύρωση σε υψηλό αριθμό Reynolds (Re=116), ενδεικτικό της ύπαρξης εκτενών περιοχών ανακυκλοφορίας. Λόγος πλάτους προς μήκος M w = xi

16 ιάγραμμα 1.6: Εξάρτηση του συντελεστή εγκάρσιας διασποράς από τον αριθμό Reynolds Σχήμα 2.1: Παράδειγμα ψηφιοποιημένου πορώδους μέσου Σχήμα 2.2: Στιγμιότυπα χρονικής εξέλιξης προσομοίωσης διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann. Τα στιγμιότυπα δίνονται υπό τη μορφή κενούστερεού Σχήμα 2.3: Παράδειγμα σταδιακής ανακατασκευής ανομοιογενούς κοκκώδους δομής με τη μέθοδο του διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann Σχήμα 2.4: Φωτογραφία μικροσκοπίας σάρωσης οπισθοσκεδαζόμενων ηλεκτρονίων (Back-Scattered SEM) μίας τομής δείγματος εδάφους ετερογενούς σύστασης και με ευρεία κατανομή διαμέτρων κόκκων (Tsakiroglou et al 2008) Σχήμα 2.5: Υποκατηγορίες του ψηφιοποιημένου υλικού του Σχήματος 2.4 με βάση τη μέση διάμετρο κόκκων. Η τέταρτη υποκατηγορία αφορά όλο το δείγμα ιάγραμμα 2.1: Κατανομές διαμέτρου κόκκων των υποκατηγοριών του Σχήματος ιάγραμμα 2.2: Σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης των ανακατασκευασμένων δομων με τις πραγματικές ανά στάδιο ανακατασκευής Πίνακας 2.1: Aποτελέσματα υπολογισμού του αδιαστατοποιημένου συντελεστή διαχύσεως Knudsen για τη ψηφιοποιημένη μικροφωτογραφία της πραγματικής δομής και την ανακατασκευή της. Σύγκριση ανά στάδιο ανακατασκευής Σχήμα 2.6: Η ανακατασκευασμένη ανομοιογενής κοκκώδη δομή του Σχήματος 2.4 με τη μέθοδο του διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann ιάγραμμα 2.3: Σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης τομής τρισδιάστατης ανακατασκευασμένης δομής με τις πραγματικές ανά στάδιο ανακατασκευής Σχήμα 3.8.1: Σχηματική απεικόνιση των διαφορών μεταξύ των συνοριακών συνθηκών εισόδου ΣΣ1και ΣΣ ιάγραμμα 3.8.1: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο Pr=3, Lr=4, Kn out =0.2 και χαρακτηριστικό μήκος m xii

17 ιάγραμμα 3.8.2: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =3, L r =4, Kn out =0.2 και και χαρακτηριστικό μήκος m ιάγραμμα 3.8.3: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =25 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. Το επιθυμητό Kn out =0.388 και P r =2 αντιστοιχεί στην σημειωμένη περιοχή με L r = ιάγραμμα 3.8.4: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =25 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm ιάγραμμα 3.8.5: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Παράδειγμα εφαρμογής της ΣΣ1.Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =100 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. Το επιθυμητό Kn out =0.388 και P r =2 αντιστοιχεί στην σημειωμένη περιοχή με L r = ιάγραμμα 3.8.6: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =100 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm ιάγραμμα 3.8.7: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Σύγκριση μεταξύ των περιπτώσεων με L r =25 και L r = ιάγραμμα α: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης ως προς τη μέγιστη τιμή, κατά μήκος της διατομής μεταξύ αποτελεσμάτων της παρούσης εργασίας και ανάλογων αποτελεσμάτων των Shen et al (2004) και Arkilik (1997). Περίπτωση Kn out = ιάγραμμα β: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης ως προς τη μέγιστη τιμή, κατά μήκος της διατομής μεταξύ αποτελεσμάτων της παρούσης εργασίας και ανάλογων αποτελεσμάτων των Shen et al (2004) και Arkilik (1997). Περίπτωση Kn out = ιάγραμμα 3.8.9: Μεταβολή του δp κατά μήκος της ροής για διάφορους αριθμούς Knudsen. Αποτελέσματα προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ1. Σε όλες τις περιπτώσεις P r =2, L r = ιάγραμμα : Μεταβολή της ταχύτητας κατά μήκος της διατομής. Σύγκριση μεταξύ προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ1 και ΣΣ2. Η ταχύτητα είναι αδιαστατοποιημένη με την μέση τιμή στη διατομή xiii

18 ιάγραμμα : Σύγκριση αποτελεσμάτων απόκλισης της πτώσης πίεσης από την γραμμικότητα μεταξύ των περιπτώσεων εφαρμογής της ΣΣ1 και ΣΣ2. Σε όλες τις περιπτώσεις L r =20, Kn out = ιάγραμμα : Μαζική παροχή στη διεύθυνση της ροής επιβεβαίωση αρχής διατήρησης της μάζας ιάγραμμα : Μεταβολή της μέσης πιέσης ανά διατομή κατά μήκος της ροής. Προσομοιώσεις για H= m, Kn out =2 για διαφορές τιμές τιμές P r και L r ιάγραμμα : Μεταβολή της μέσης ταχύτητας ανά διατομή κατά μήκος της ροής. Προσομοιώσεις για H=5 10-7m, Knout=2 για διάφορες τιμές τιμές Pr και Lr ιάγραμμα : Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, με προσομοίωση DSMC για ιδιαίτερα χαμηλό αριθμό Knudsen Kn= ιαγράμματα α-δ: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, μεταξύ προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ2 της παρούσας εργασίας και ανάλογων προσομοιώσεων DSMC των Beskok et al (1999). Αποτελέσματα για αριθμούς Knudsen Kn=0.1 έως Kn= ιάγραμμα : Εξάρτηση της κανονικοποιημένης ογκομετρικής παροχής από τον αριθμό Knudsen. Φαινόμενο του ελαχίστου του Knudsen. Σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων DSMC και αποτελεσμάτων των Beskok et al (1999) και Cercignani (1963) ιάγραμμα 4.1: Μεταβολή του αποτελεσματικού ιξώδους συναρτήσει του αριθμού Knudsen. Κάθε χρώμα (ή σχέδιο) αντιστοιχεί σε αποτελέσματα διαφορετικών προσομοιώσεων DSMC ιάγραμμα 4.2: Εξάρτηση του παράγοντα α από τον αριθμό Knudsen. Κάθε χρώμα αντιστοιχεί σε αποτελέσματα διαφορετικών προσομοιώσεων DSMC ιάγραμμα 4.3: Εξάρτηση του αδιαστατοποιημένου με την τιμή του συνεχούς αποτελεσματικού ιξώδους από την απόσταση από το τοίχωμα. Σύγκριση μεταξύ των προβλέψεων της εξ. 4.9 και των αποτελεσμάτων DSMC με μ 0 = Pa s σε Kn= Σχήμα 5.1: Πεδίο ροής σε ανακατασκευασμένο πορώδες μέσο. Ο υπολογισμός της ροής έγινε με τη μέθοδο DSMC και η ανακατασκευή με τη μέθοδο fbm. Πορώδες ε=0.7, Η= xiv

19 ιάγραμμα 5.1: Εξάρτηση της διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση για ανακατασκευασμένες fbm δομές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DSMC. Μεταβολή με το πορώδες ιάγραμμα 5.2: Εξάρτηση της βαθμίδας πίεσης από τη φαινομενική ταχύτητα για ανακατασκευασμένη fbm δομή με πορώδες ε=0.7 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DSMC Σχήμα 6.1: Σχηματική αναπαράσταση της συνοριακής συνθήκης ολίσθησης καθώς και της θεμελιώδους κυψελίδας του δικτύου D 2 Q ιαγράμματα 6.1.α-ε: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας για ροή μεταξύ παράλληλων πλακών, αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, μεταξύ προσομοιώσεων της τροποποιημένης μεθόδου δικτύου Boltzmann και της DSMC. Αποτελέσματα για αριθμούς Knudsen Kn=0.1 έως Kn= ιάγραμμα 6.2: Εξάρτηση της διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση για δύο ανακατασκευασμένες δομές με την τεχνική fbm. Σύγκριση αποτελεσμάτων της μεθόδου DSMC και του τροποποιημένου προτύπου δικτύου Boltzmann για ροές υπό συνθήκες αραίωσης Σχήμα 7.1: ιάγραμμα ροής παραδείγματος αλγόριθμου ανακατασκευής xv

20 xvi

21 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα διατριβή εστιάζει την προσοχή της σε υπολογιστικές μεσοσκοπικές τεχνικές για τη μελέτη φαινομένων μεταφοράς μάζας και ροής μέσα από πορώδη υλικά. Η ποικιλία των φυσικών διεργασιών και τεχνολογικών εφαρμογών σε πορώδη μέσα είναι ιδιαίτερα μεγάλη και οπωσδήποτε η περιγραφή τους δεν είναι δυνατόν να γίνει μέσα από μία συνολική αντιμετώπιση. Κοινός όμως παρανομαστής των διεργασιών αποτελεί η ύπαρξη πορώδους μέσου, η παρουσία του οποίου επηρεάζει σημαντικά τις ιδιότητες μεταφοράς. Η κλίμακα και η μορφολογία του μέσου καθορίζει τον τρόπο υπολογιστικής αναπαράστασής του καθώς και την προσέγγιση της προσομοίωσης της διεργασίας μέσω χρήσης κατάλληλου προτύπου. Η παρούσα εργασία ξεκινάει με μία μελέτη του φαινομένου της διασποράς διαλυμένης ουσίας σε πορώδη μέσα. Η διεργασία αυτή έχει πολλές εφαρμογές τόσο στη βιομηχανία όσο και στο περιβάλλον και ειδικότερα στην εξάπλωση ρυπογόνων ουσιών στο υπέδαφος. Στην πλειονότητα των μελετών διασποράς, η απεικόνιση των πορωδών μέσων γίνεται με δίκτυα πόρων (Berkowitz 2002), εξιδανικευμένης μορφολογίας όπου η προσομοίωση της διεργασίας γίνεται εφικτή με τη χρήση διάφορων απλοποιητικών παραδοχών. Η παρούσα μελέτη εστιάζει το ενδιαφέρον της στην επίδραση τέτοιων παραδοχών σε ανάλογα εξιδανικευμένα δίκτυα και ειδικότερα στην επίδραση του βαθμού ανάμειξης στις διασταυρώσεις σχισμών ή ρωγμών στον συνολικό ρυθμό διασποράς. Η τεχνική της παρακολούθησης σωματιδίων χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του βαθμού ανάμειξης σε κλίμακα διασταύρωσης που ενσωματώνεται σε δύο μεθόδους τυχαίου περιπάτου για τον προσδιορισμό του συντελεστή διασποράς σε κλίμακα δικτύου. Η απλουστευτική προσέγγιση της απεικόνισης των πορωδών μέσων με δίκτυα πόρων δεν είναι πάντα επιθυμητή καθώς συχνά επιζητείται η ακριβής 1

22 επίδραση της μορφολογίας του μέσου στις λειτουργικές του ιδιότητες. Στον αντίποδα των εξιδανικευμένων προσεγγίσεων βρίσκεται η ψηφιακή ανακατασκευή των πορωδών μέσων, όπου η δομή αναπαριστάται υπολογιστικά όσο το δυνατόν πιο πιστά με βάση τις διαθέσιμες πληροφορίες. Ο ακριβής αυτός τρόπος περιγραφής των πορωδών μέσων κερδίζει συνεχώς έδαφος δεδομένης της αύξησης της υπολογιστικής ισχύος αλλά και της ανάπτυξης κατάλληλων τεχνικών ανακατασκευής. Η εργασία που παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 2 αφορά μία καινοτόμο μέθοδο για την ανακατασκευή πορωδών μέσων. Η μέθοδος βασίζεται στο διφασικό πρότυπο δικτύου Boltzmann, όπου με κατάλληλη ρύθμιση της επίδρασης της διεπιφανειακής τάσης καθορίζεται η εξέλιξη του διφασικού συστήματος και επιτρέπεται η ρύθμιση της μορφολογίας της τελικής δομής. Η διαγενετικής υφής αυτή τεχνική παρουσιάζει μειωμένο υπολογιστικό κόστος και αυξημένη δυνατότητα για περιγραφή ποικίλων μορφολογικών χαρακτηριστικών. Η μεθοδολογία που αναπτύχθηκε εστιάζει στην ανακατασκευή ανομοιογενών δομών και εφαρμόζεται επιτυχώς στην ανακατασκευή μίας πραγματικής ανομοιογενούς κοκκώδους δομής με μοναδική αρχική πληροφορία τη μικροφωτογραφία μιας τομής της. Μία από τις λιγότερο μελετημένες περιοχές αποτελεί η ροή αερίων διαμέσου πορωδών υλικών των οποίων η μέση διάμετρος των πόρων είναι της ιδίας τάξης μεγέθους με τη μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων του αερίου, γεγονός που μπορεί να προκύψει είτε για πόρους πολύ μικρής διαμέτρου είτε για χαμηλές τιμές της πίεσης. Το εύρος εφαρμογών είναι τεράστιο καθώς περιλαμβάνονται όχι μόνο διεργασίες σε νανοπορώδη υλικά (μεμβράνες, καταλύτες, κλπ.) αλλά και διεργασίες υψηλού κενού (εξάτμιση από υποστρώματα, παρασκευή υμενίων, κλπ.). Η περιγραφή της ροής στην περίπτωση αυτή, γνωστή υπό τον ευρύ χαρακτηρισμό ως ροή υπό συνθήκες αραίωσης, δεν γίνεται να δοθεί από τις κλασικές μακροσκοπικές εξισώσεις καθώς αίρεται η ισχύς της υπόθεσης του συνεχούς μέσου (Hadjiconstantinou 2000). Η επίδραση στη ροή των συγκρούσεων των μορίων με τα τοιχώματα γίνεται συγκρίσιμη με αυτήν των ενδομοριακών συγκρούσεων και η συμπεριφορά των αερίων αποκλίνει από την αντίστοιχη στο όριο του συνεχούς. Στο Κεφάλαιο 3 δίνεται μία εισαγωγή στη ροή υπό συνθήκες 2

23 αραίωσης, καθώς και στη μέθοδο άμεσης προσομοίωσης Monte Carlo (Direct Simulation Monte Carlo) η οποία προσφέρει τη δυνατότητα προσομοίωσης της ροής σε πολύπλοκες γεωμετρίες στη μεταβατική περιοχή, δηλαδή στην περιοχή μεταξύ του ορίου του συνεχούς και της ελεύθερης μοριακής ροής. Επιπρόσθετα εξετάζεται η αξιοπιστία της μεθόδου μέσα από τη μελέτη της περίπτωσης ισοθερμοκρασιακής ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών υπό πτώση πίεσης. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται μία μελέτη για το δυναμικό ιξώδες, το οποίο στην περίπτωση της ροής αερίου υπό συνθήκες αραίωσης παρουσιάζει εξάρτηση από τον αριθμό Knudsen, που ορίζεται ως ο λόγος της μέσης ελεύθερης διαδρομής των μορίων προς το χαρακτηριστικό μήκος της ροής. Μέσω της μεθόδου DSMC υπολογίζεται άμεσα η διατμητική τάση και κατ επέκταση το αποτελεσματικό ιξώδες. είχνεται ότι τα αποτελέσματα προσεγγίζονται από μία σχέση τύπου Bosanquet, η οποία συνδέει το αποτελεσματικό ιξώδες με την τιμή του στο όριο του συνεχούς και με τον αριθμό Knudsen. Η απλοποιημένη αυτή έκφραση του αποτελεσματικού ιξώδους αναμένεται να διευκολύνει την επέκταση μακροσκοπικών περιγραφών της ροής στη μεταβατική περιοχή. Για πρώτη φορά στη παρούσα εργασία, η μέθοδος DSMC εφαρμόζεται σε ανακατασκευασμένα πορώδη μέσα και μελετάται, στο Κεφάλαιο 5, το φαινόμενο της εξάρτησης του συντελεστή διαπερατότητας του μέσου από την πίεση, γνωστό ως φαινόμενο Klinkenberg. Το φαινόμενο Klinkenberg αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα της ροής αερίων σε πορώδη μέσα σε πεπερασμένους αριθμούς Knudsen. Μέσω της DSMC υπολογίζεται ο συντελεστής διαπερατότητας σε δομές ανακατασκευασμένες με τη μέθοδο της κλασματικής κίνησης κατά Brown (fractional Brownian motion) και επιβεβαιώνεται η γραμμικότητα της εξάρτησης της διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση. Παράλληλα παρουσιάζεται μία επέκταση του προτύπου Dusty Gas για την περίπτωση ροής υπό συνθήκες αραίωσης και συνδέεται ο συντελεστής διαπερατότητας με το ιξώδες και το συντελεστή διαχυτότητας Knudsen. 3

24 Τέλος αναπτύσσεται μία εναλλακτική μέθοδος προσομοίωσης ροής υπό συνθήκες αραίωσης σε πορώδη μέσα, η οποία υπερτερεί σημαντικά έναντι της μεθόδου DSMC από την άποψη του απαιτούμενου υπολογιστικού χρόνου. Η μέθοδος, που παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 6, αποτελεί ένα τροποποιημένο πρότυπο δικτύου Boltzmann κατάλληλα προσαρμοσμένου για πεπερασμένους αριθμούς Knudsen. Η καινοτόμος προσέγγιση βασίζεται στη σύνδεση του χρόνου χαλάρωσης με το αποτελεσματικό ιξώδες σε συνδυασμό με κατάλληλες συνοριακές συνθήκες αλληλεπίδρασης του ρευστού με τα τοιχώματα. Η μέθοδος συγκρίνεται με τη DSMC τόσο στην περίπτωση ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών όσο και στις ανακατασκευασμένες πορώδεις δομές. 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΠΟΡΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μεταφορά μορίων μίας διαλυμένης ουσίας σε πορώδη μέσα είναι το αποτέλεσμα της συνδυασμένης δράσης της συναγωγικής ροής και της μοριακής διάχυσης. Η διαδικασία αυτή είναι μείζονος σημασίας για μια μεγάλη ποικιλία περιβαλλοντικών και βιομηχανικών διεργασιών, όπως είναι η αναμίξιμη εκτόπιση σε βελτιωμένη εξόρυξη πετρελαίου, η εισχώρηση αλατούχου νερού σε παραλιακούς ταμιευτήρες, η ρύπανση υπογείων υδάτων από βιομηχανικά απόβλητα, οι αντιδραστήρες στερεάς κλίνης, η χρωματογραφία κ.α. Η λεπτομερής κατανόηση των φαινομένων της διασποράς είναι, κατ επέκταση, απαραίτητη για την πρόβλεψη των ρυθμών μεταφοράς μάζας στις διεργασίες αυτές υπό διάφορες συνθήκες. Η μελέτη, όμως, του φαινομένου της διασποράς δυσχεραίνεται από την πολυπλοκότητα της δομής των πορωδών μέσων, γεγονός που καθιστά αναγκαία την εισαγωγή γενικευμένων απλουστευτικών παραδοχών. Πολλές μελέτες προσομοίωσης βασίστηκαν στην παραδοχή ότι το πορώδες μέσο μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή διακριτού δικτύου, και η παραδοχή αυτή παραμένει δημοφιλής (Berkowitz 2002) για την περίπτωση ρωγμών ή σχισμών σε βραχώδη εδάφη. Οι σχισμές αναπαριστούν τις προτιμητέες οδούς μέσα από τις οποίες το διάλυμα ή αιώρημα, και συνεπώς και τα αιωρούμενα σωματίδια ή οι διαλυμένες ουσίες, μπορούν να μεταφερθούν γρήγορα στο εσωτερικό γεωλογικών ή συνθετικών σχηματισμών. Προσομοιωτές τύπου δικτύου (Cacas et al 1990, Park et al 2001) της μικροσκοπικής διεργασίας διασποράς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να συσχετίσουν τα φαινόμενα 5

26 μεταφοράς σε κλίμακα σχισμής με τις μακροσκοπικές ιδιότητες μεταφοράς. Ένας μεγάλος αριθμός ξεχωριστών σχισμών μπορεί να ενσωματωθεί σε μία δικτυακή δομή, με τη ροή κα τη μεταφορά της διαλυμένης ουσίας να περιγράφονται σε κλίμακα μίας μόνο σχισμής. εν είναι, όμως, ακόμα επαρκώς ξεκάθαρο πως η μεταφορά στην κλίμακα σχισμής και ειδικότερα στην περιοχή της διασταύρωσης σχισμών, μπορεί να επηρεάσει τον μακροσκοπικό ρυθμό μεταφοράς. Η αναγκαιότητα κατανόησης των φαινομένων μεταφοράς σε κλίμακα μίας διασταύρωσης έχει οδηγήσει στην διεξαγωγή πολλών μελετών (Berkowitz 2002). Οι δύο πιο κοινές παραδοχές που αφορούν την ανάμειξη σε μία διασταύρωση είναι η προσέγγιση της πλήρους ανάμειξης και η προσέγγιση της κίνησης κατά μήκος των γραμμών ροής (streamline routing). Η πρώτη προσέγγιση θεωρεί την πλήρη ομογενοποίηση της τοπικής συγκέντρωσης της εισερχόμενης διαλυμένης ουσίας στην διασταύρωση με αποτέλεσμα οι κλάδοι εξόδου να έχουν την ίδια συγκέντρωση. Αντιθέτως, στην προσέγγιση κίνησης κατά μήκος των γραμμών ροής ο μηχανισμός της διάχυσης παραμελείται και ο διαχωρισμός της μάζας στη διασταύρωση ακολουθεί αυστηρά το τοπικό πεδίο ροής. Η πλειονότητα, βέβαια, των πρακτικών εφαρμογών βρίσκεται μεταξύ των δύο αυτών ακραίων περιπτώσεων και η μεταφορά καθορίζεται από τον συνδυασμό της συναγωγής και της διάχυσης. Ο αριθμός Peclet είναι ενδεικτικός της σχετικής συνεισφοράς της συναγωγής προς τη διάχυση και ορίζεται ως Pe= ul/d m (1.1) όπου είναι u μια χαρακτηριστική ταχύτητα του ρευστού, l είναι ένα χαρακτηριστικό μήκος του μέσου και D m είναι ο συντελεστής μοριακής διάχυσης της διαλυμένης ουσίας. Η κίνηση κατά μήκος των γραμμών ροής ισχύει αυστηρά για Pe, ενώ η πλήρης ανάμειξη για Pe 0. Σημαντικός αριθμός μελετών διασποράς έχουν εστιάσει την προσοχή τους στο φαινόμενο ανάμειξης στις διασταυρώσεις με τον βαθμό ανάμειξης να ποσοτικοποιείται συνήθως μέσω της έννοιας του λόγου ανάμειξης. Στην περίπτωση ορθογώνιας διασταύρωσης δύο κλάδων εισόδου και δύο εξόδου 6

27 (Σχήμα 1.1), ο λόγος ανάμειξης, M r, ορίζεται ως ο λόγος της μαζικής παροχής του κλάδου εξόδου που είναι απέναντι από τον κλάδο εισόδου προς τη συνολική παροχή των δύο εξόδων. Έτσι για την περίπτωση του Σχήματος 1.1, θεωρώντας είσοδο τον κλάδο 1, ο λόγος ανάμειξης είναι M = J /( J + J ) (1.2) r Για ίσες παροχές του ρευστού, όπως στην περίπτωση κλίσης κατά 45 ο ως προς τη μέση διεύθυνση της ροής και ομοιόμορφο μέγεθος πόρων, η εξ. 1.2 μπορεί να γραφεί και ως M = C /( C + C ) (1.3) r όπου C i είναι η συγκέντρωση του κλάδου i, υπολογισμένη επαρκώς μακριά από την διασταύρωση. Οι Berkowitz et al (1994) χρησιμοποίησαν την εξίσωση Stokes για τον υπολογισμό του πεδίου ροής και τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων (particle tracking) για να υπολογίσουν την τιμή του M r σε μία διασταύρωση δύο ορθογώνιων σχισμών με λεία τοιχώματα. Οι υπολογισμοί τους ήταν δισδιάστατοι και τα αποτελέσματά τους έδειξαν ότι η πλήρης ανάμειξη δεν επιτεύχθηκε ακόμα και για αριθμούς Peclet έως Σε μία διαφορετική προσέγγιση, οι Stockman et al (1997) χρησιμοποίησαν τις μεθόδους δικτύου αερίου (lattice gas) και δικτύου Boltzmann (lattice Boltzmann) σε ορθογώνιες διασταυρώσεις για να υπολογίσουν το λόγο ανάμειξης για τιμές του Pe με εύρος από 0 έως Για ορθογώνια διασταύρωση όμοιων σχισμών με ίσες παροχές, βρήκαν ότι ο M r προσεγγίζει την τιμή 0.5 για Pe 1, το οποίο αποτελεί ένδειξη πλήρους ανάμειξης ως αποτέλεσμα της κυριαρχίας της διάχυσης έναντι της συναγωγής. Επιπρόσθετα, σύμφωνα με τις τιμές του M r, που παρουσιάσθηκαν στην εργασία αυτή προκύπτει ότι τα διαλυμένα σωματίδια αποκλίνουν από τις γραμμές ροής ακόμα και σε υψηλούς αριθμούς Peclet, αντίθετα από τα αποτελέσματα των Berkowitz et al (1994), δείχνοντας ότι η διάχυση στις διασταυρώσεις δεν θα πρέπει να παραβλέπεται ακόμα και για υψηλές τιμές του Pe. Οι Park και Lee (1999), πρότειναν απλές αναλυτικές σχέσεις για το διαχωρισμό της διαλυμένης ουσίας σε μια διασταύρωση και τα 7

28 αποτελέσματά τους συμφώνησαν ικανοποιητικά με αυτά των Stockman et al (1997). Ένας γραμμικός συνδυασμός της μηχανικής διασποράς και της μοριακής διάχυσης προτάθηκε από τον Li (2002), ο οποίος χρησιμοποίησε τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων για να υπολογίσει το M r. Συμπέρανε ότι πλήρης ανάμειξη μπορεί να συμβεί για Pe < 1 και ότι η ανάμειξη πρακτικά εξαφανίζεται για Pe > 100. Οι Mourzenko et al (2002) παρουσίασαν μία τρισδιάστατη μελέτη της μεταφοράς διαλυμένης ουσίας σε διασταυρώσεις σχισμών και παρείχαν εκτιμήσεις του M r για διάφορα Pe, με χρήση λείων και τραχιών τοιχωμάτων. Χρησιμοποίησαν την εξίσωση Stokes για να περιγράψουν τη ροή και μία μέθοδο τυχαίου περιπάτου για να προσομοιώσουν τη μεταφορά της διαλυμένης ουσίας. Κατέληξαν ότι ο τοπικός αριθμός Peclet, δηλαδή, με χαρακτηριστική ταχύτητα τη μέση ταχύτητα του ρευστού στους κλάδους εισόδου, θα πρέπει να λαμβάνεται υπ όψη σε προσομοιώσεις μεγάλης κλίμακας. Η τεχνική τυχαίου περιπάτου συνεχούς χρόνου χρησιμοποιήθηκε από τον Grubert (2001), ο οποίος έδειξε ότι η διασπορά εξαρτάται ισχυρά τόσο από τον κανόνα ανάμειξης όσο και από και τη σχετική διεύθυνση της ροής σε σχέση με τον προσανατολισμό του δικτύου. Στη μέθοδό του, στα σωματίδια επιτρέπονταν να κινηθούν σε διαφορετικούς χρόνους σε κάθε κατεύθυνση. Το πρότυπό του λάμβανε υπ όψη τους διαφορετικούς χρόνους ταξιδιού σε κάθε κατεύθυνση και την εξάρτηση των πιθανότητας μετάβασης στις διασταυρώσεις από την διεύθυνση από την οποία τα σωματίδια έφθαναν στη διασταύρωση. Η προσέγγιση, όμως, αυτή, δε λαμβάνει υπ όψη ότι η ταχύτητα των σωματιδίων εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του πεδίου ροής και επίσης αγνοήθηκε η ανάντι της ροής μετακίνηση της διαλυμένης ουσίας. Η ανάλυση τύπου δικτύου με κατανομή μεγέθους πόρων παρέχει χρήσιμες πληροφορίες για το φαινόμενο της διασποράς. Η ομάδα του Sahimi (Sahimi and Imdakm 1988, Sahimi et al 1986) χρησιμοποίησε μια Monte Carlo μέθοδο για την προσομοίωση της διασποράς σε δίκτυα πόρων, δίνοντας έμφαση σε παράγοντες που προκαλούν απόκλιση από το τυπικό πρότυπο συναγωγής-διάχυσης κοντά στο όριο διαπερατότητας των μέσων. 8

29 Χρησιμοποιήθηκε ένας φορμαλισμός τύπου κανόνα του Kirchhoff σε τετραγωνικά και κυβικά δίκτυα με κυλινδρικές συνδέσεις για τον υπολογισμό ης ροής και εξετάστηκαν τα δύο βασικά σενάρια της εμβολικής ροής με πλήρη ανάμειξη και της ροής τύπου Poiseuille με κίνηση της διαλυμένης ουσίας κατά μήκος των γραμμών ροής. Ο στόχος της παρούσας μελέτης είναι η εξέταση του φαινομένου της διασποράς σε δίκτυα σχισμών και ειδικότερα η διερεύνηση του κανόνα ανάμειξης στην κλίμακα μιας διασταύρωσης και της επέκτασής του σε κλίμακα δικτύου για τον υπολογισμό του συντελεστή διασποράς. Χρησιμοποιείται ως βάση αναφοράς η μέθοδος παρακολούθησης σωματιδίων τόσο για τον υπολογισμό των συντελεστών διασποράς όσο και για τον υπολογισμό του λόγου ανάμειξης. Τα αποτελέσματα για τον συντελεστή διασποράς συγκρίνονται με δύο τεχνικές τυχαίων περιπάτων, μίας αναλυτικής που εξετάζει τον εγκάρσιο συντελεστή για υψηλά Pe και ομοιόμορφα δίκτυα, και μίας μεθόδου που κάνει χρήση της πληροφορίας που παρέχει η μέθοδος παρακολούθησης σωματιδίων τόσο για την κατανομή χρόνων παραμονής όσο και για τις πιθανότητες μετάβασης. 1.2 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Μία ορθογώνια διασταύρωση δύο όμοιων σχισμών θεωρείται ότι είναι το μοναδιαίο κελί του δικτύου όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. ψχ1. Οι σχισμές θεωρείται ότι έχουν το σχήμα παραλλήλων πλακών που εκτείνονται αναλλοίωτα στο άπειρο στην τρίτη κατεύθυνση. Το πλάτος των σχισμών θεωρείται ότι είναι επαρκώς μεγάλο ώστε να εξασφαλίζεται η ισχύς της συνεχούς περιγραφής. Ένα ασυμπίεστο Νευτωνικό ρευστό εισέρχεται στη διασταύρωση μέσω των κλάδων 1 και 2 και εξέρχεται από τους κλάδους 3 και 4, μεταφέροντας παράλληλα διαλυμένα σωματίδια χαμηλής συγκέντρωσης. Η ροή θεωρείται έρπουσα με αριθμό Reynolds (που αποτελεί μέτρο των αδρανειακών προς τις ιξώδεις δυνάμεις) Re < 1, εκτός από τις περιπτώσεις 9

30 όπου δηλώνεται ρητά το αντίθετο. Η στοχαστική κίνηση των σωματιδίων είναι τρισδιάστατη παρόλο που η προβολή της στο x-y επίπεδο είναι επαρκής για τον προσδιορισμό των ποσοτήτων που ενδιαφέρουν εδώ. Σχήμα 1.1: Σχηματική αναπαράσταση της διασταύρωσης ορθογώνιων σχισμών με κλίση 45 ο ως προς τη μέση διεύθυνση της ροής (διακεκομμένα βέλη). Εισερχόμενα σωματίδια - γεμάτα βέλη, εξερχόμενα σωματίδια άδεια βέλη ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN Η περιγραφή του πεδίου ροής επιτυγχάνεται μέσω του προτύπου δικτύου Boltzmann. Χρησιμοποιείται το πρότυπο δύο διαστάσεων και εννέα ταχυτήτων (D 2 Q 9 ) με χρήση της BGK προσέγγισης για τον τελεστή συγκρούσεων (Qian et al 1992). Οι συνοριακές συνθήκες μη ολίσθησης στη 10

31 διεπιφάνεια ρευστού-στερεού εφαρμόζονται μέσω του κανόνα αναπήδησης στη διεύθυνση πρόσπτωσης (bounce-back). Συνθήκες ολίσθησης μπορούν να εφαρμοστούν στο πρότυπο μέσω της χρήσης του κανόνα αναπήδησης προς τα εμπρός (bounce-forward) για πλήρη ολίσθηση (Drazer and Koplik 2001). Η ροή επιβάλλεται μέσω σωματιδιακών δυνάμεων και περιοδικές συνθήκες εφαρμόζονται στις επιφάνειες εισόδου και εξόδου. Ειδικότερα το ρευστό που εξέρχεται από τις επιφάνειες 3 και 4 επανεισάγεται από τις 1 και 2 αντιστοίχως. Μια συνοπτική περιγραφή του προτύπου δικτύου Boltzmann στη μορφή που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία δίνεται στη συνέχεια. Το πρότυπο δικτύου Boltzmann (Lattice Boltzmann Method, LBM) αποτελεί μία μεσοσκοπική μέθοδο προσομοίωσης προβλημάτων ρευστομηχανικής η οποία διαφέρει τόσο από τη μοριακή δυναμική όσο και την επίλυση των μακροσκοπικών εξισώσεων ροής. Το πρότυπο LB, το οποίο διαρκώς αναπτύσσεται τα τελευταία είκοσι χρόνια, έχει αναδειχθεί σε ένα ισχυρό εργαλείο για την αντιμετώπιση ποικίλων προβλημάτων, όπως μονοφασικές ροές σε πορώδη μέσα, πολυφασικές ροές, θερμικά προβλήματα κ.α. (Malaspinas et al 2010). Στη συνέχεια θα δοθεί μία συνοπτική παρουσίαση του προτύπου με έμφαση στη μορφή που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία. Το πρότυπο LB, ιστορικά (Wolf-Gladrow 2000), αποτελεί εξέλιξη του προτύπου δικτύου-αερίου (Lattice-Gas, LG) το οποίο με τη σειρά του προέκυψε ως μία ειδική κατηγορία των κυτταρικών αυτομάτων κατά την προσπάθεια να χρησιμοποιηθούν τα κυτταρικά αυτόματα ως μέθοδος προσομοίωσης προβλημάτων ροής (Frisch et al 1986). Εν αντιθέσει με το πρότυπο δικτύου-αερίου το οποίο βασίζεται στη μεταφορά και σύγκρουση σωματιδίων εντός δικτύου του οποίου οι κόμβοι καταλαμβάνονται από διακριτά σωματίδια, το πρότυπο LB παρακολουθεί την εξέλιξη του στατιστικού συνόλου κάνοντας χρήση της συνάρτησης κατανομής ενός σωματιδίου και επιλύοντας την διακριτή εξίσωση Boltzmann σε προκαθορισμένο δίκτυο (η θεωρία της εξίσωσης Boltzmann δεδομένης της στενής της σχέσης με την κινητική θεωρία και τη ροή υπό συνθήκες αραίωσης, παρατίθεται στο κεφάλαιο 3). O νεωτερισμός αυτός πρωτοεισήχθη από τους ΜcNamarra και Zanetti (1988). Η διακριτή εξίσωση Boltzmann περιγράφεται από 11

32 f ( x+ e,t + 1) = f ( x,t ) + Ω ; i = 0,...,b (1.4) i i i i όπου f i είναι η συνάρτηση κατανομής του σωματιδίου στην διεύθυνση i, x η θέση, t το χρονικό βήμα, e i η ανυσματική ταχύτητα του σωματιδίου στην διεύθυνση i, Ω i ο τελεστής συγκρούσεων στην διεύθυνση i, και b ο αριθμός σύνταξης του δικτύου. Η διακριτή εξίσωση Boltzmann αποτελεί ουσιαστικά μεταφορά της εξίσωσης Boltzmann στον διακριτοποιημένο φασικό χώρο και χρόνο. Η απλοποίηση (Higuera et al 1989, Qian et al 1992) του τελεστή συγκρούσεων σύμφωνα με τη προσέγγιση BGK (Bhatnagar et al 1954) οδήγησε στην κυρίαρχη μορφή του προτύπου. Η προσέγγιση ΒGK βασίζεται στην παραδοχή ότι οι ενδομοριακές συγκρούσεις τείνουν να επαναφέρουν το ρευστό σε τοπική κατάσταση ισορροπίας, με το ρυθμό επαναφοράς να αποτελεί μία φθίνουσα εκθετική συνάρτηση του χρόνου. Με χρήση της προσέγγισης ΒGK η διακριτή εξίσωση δικτύου Boltzmann δίνεται από f( x,t) f ( x,t) x e x (1.5) τ eq i i f i( + i,t + 1) = f i(,t ) ; i = 0,...,b όπου f eq i η διακριτή συνάρτηση κατανομής ισορροπίας (ανάπτυγμα) στην κατεύθυνση i και τ η σταθερά χαλάρωσης Το μέτρο του ανύσματος ταχύτητας δίνεται από e i Δx = (1.6) Δt όπου x και t είναι η χωρική και χρονική διακριτοποίηση αντιστοίχως. Οι προσπάθειες να ξεπεραστούν προβλήματα ευστάθειας και ο περιορισμός σε χαμηλές τιμές του αριθμού Mach οδήγησε στην ανάπτυξη μίας ενδιαφέρουσας παραλλαγής (D'Humières et al 2002) του προτύπου δικτύου Boltzmann, το οποίο είναι το πρότυπο πολλαπλών χρόνων χαλάρωσης (multiple-relaxation time, MRT). Το πρότυπο MRT βασίζεται στην έννοια του γενικευμένου πίνακα συγκρούσεων που δρα ως τελεστής στο διάνυσμα των εκτός ισορροπίας συναρτήσεων κατανομών, και που επιτρέπει την ύπαρξη περισσότερων ρυθμιστικών παραμέτρων. εδομένου του ότι στην 12

33 παρούσα εργασία εξετάζονται μόνο ισοθερμοκρασιακές ροές σε χαμηλές τιμές του αριθμού Mach, που ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας προς την ταχύτητα του ήχου στο ρευστό, η περιγραφή θα περιοριστεί στο πρότυπο δικτύου Boltzmann BGK με μία σταθερά χρόνου χαλάρωσης. Η διακριτή συνάρτηση ισορροπίας του προτύπου δικτύου Boltzmann αποτελεί ανάπτυγμα της κατανομής Maxwell-Boltzmann, η οποία σε διακριτή μορφή δίνεται από τη σχέση fi eq ρ = e 2π RT 1 ( ei - u ) 2RT (1.7) όπου ρ είναι η πυκνότητα, R η ειδική σταθερά των αερίων, Τ η θερμοκρασία, e i οι τοπικές σωματιδιακές ταχύτητες και u η μακροσκοπική ταχύτητα. εδομένου ότι η παραπάνω μορφή της κατανομής ισορροπίας δεν είναι εύχρηστη, ακολουθείται η τεχνική ανάπτυξής της κατά Taylor μέχρι δεύτερης τάξης ακρίβεια, δηλαδή ( ) ( ) 2 f = A+ B e u + C e u + Du (1.8) eq 2 i i i όπου A,B,C,D είναι συντελεστές που εξαρτώνται μόνο από την πυκνότητα. Η παραπάνω ανάπτυξη ισχύει μόνο για μικρές ταχύτητες ή μικρές τιμές του αριθμού Mach. Η μορφή της κατανομής ισορροπίας και των συντελεστών της είναι θεμελιώδους σημασίας καθώς επηρεάζουν τις μακροσκοπικές παραμέτρους που άπτονται των μοριακών αλληλεπιδράσεων όπως το ιξώδες, η διεπιφανειακή τάση κ.α. Για τον υπολογισμό των συντελεστών χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των ροπών της συνάρτησης κατανομής ως προς την ταχύτητα, σύμφωνα με την απαίτηση για τον τελεστή συγκρούσεων να ικανοποιείται τοπικά σε κάθε κόμβο η διατήρηση μάζας και ορμής και η επιθυμητή ρεολογική έκφραση για τον τανυστή ειδικής παροχής της γραμμικής ορμής. Ο υπολογισμός αυτός εξαρτάται από το είδος του δικτύου στο οποίο εφαρμόζεται η διακριτή εξίσωση δικτύου Boltzmann καθώς θα πρέπει να διατηρούνται οι συμμετρίες του χώρου (μεταφορά, περιστροφή). Οι μακροσκοπικές εξισώσεις διατήρησης της μάζας, ορμής και ενέργειας ανακτώνται από την διακριτή εξίσωση δικτύου Boltzmann μέσω 13

34 ανάπτυξης κατά Taylor της συνάρτησης κατανομής και με χρήση της μεθόδου Chapman-Enskog (Chapman and Cowling 1970, Hirschfelder et al. 1964) όπου η συνάρτηση κατανομής επίσης αναπτύσσεται με τη βοήθεια μίας μικρής διαταραχής γύρω από την κατανομή ισορροπίας. Αναπτύγματα με χρήση όρων πρώτης τάξης δίνουν την εξίσωση Euler και με δεύτερης τάξης τις εξισώσεις Navier-Stokes. Το είδος του χρησιμοποιούμενου δικτύου για το πρότυπο δικτύου Boltzmann είναι ιδιαίτερα σημαντικό. Το δίκτυο είναι απαραίτητο να είναι ισότροπο και να διατηρεί τις συμμετρίες του χώρου. Τέτοια δίκτυα είναι τα πλέγματα Bravais. Τα ευρύτερα χρησιμοποιούμενα δισδιάστατα δίκτυα είναι το εξαγωνικό και το τετραγωνικό και τα αντίστοιχα δίκτυα LB καλούνται D 2 Q 7 και D 2 Q 9, όπου στον συμβολισμό της μορφής D i Q j, ο δείκτης i αναφέρεται στη διάσταση του δικτύου και ο δείκτης j στο πλήθος των διακριτών ανυσματικών ταχυτήτων (συμπεριλαμβανομένης και της μηδενικής ταχύτητας). Στο δίκτυο D 2 Q 7, οι ανυσματικές ταχύτητες δίνονται από τη σχέση i 1 i 1 e i = cos π,sin π ; i = 1,...,6 (1.9) 3 3 και στο D 2 Q 9 από e e i i i 1 i 1 = cos π,sin π ; i = 1,...,4 2 2 i 5 π i 5 π = 2 cos π +,sin π + ; i = 5,..., (1.10) Οι συντελεστές της κατανομής ισορροπίας υπό μορφή αναπτύγματος παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1 για την περίπτωση ιδανικού ρευστού με καταστατική εξίσωση P = ρrt (1.11) 14

35 Πίνακας 1.1: Συντελεστές κατανομής ισορροπίας για τα πρότυπα D 2 Q 7 και D 2 Q 9 ιδανικού ρευστού. j A j B j C j D j D2Q7 0 ρ/ ρ 1 ρ/12 ρ/3 2ρ/3 -ρ/6 0 4ρ/ ρ/3 D2Q9 1 ρ/9 ρ/3 ρ/2 -ρ/6 2 ρ/36 ρ/12 ρ/8 -ρ/24 Για ισόθερμο μη ιδανικό ρευστό και για μικρές διακυμάνσεις της πυκνότητας η καταστατική εξίσωση δίνεται από p = c ρ (1.12) 2 s όπου c s είναι η ταχύτητα του ήχου c s p = (1.13) ρ Για μη ιδανικό ρευστό για το πρότυπο D 2 Q 7 η κατανομή ισορροπίας περιγράφεται από eq fi = wiρ 1 + ( e 2 i υ ) + ( e 4 i υ ) υ 2 cs 2cs 2cs 1 1 w 0 = ; w i =, i = 1,.., (1.14) και με το κινηματικό ιξώδες και τη θερμοδυναμική πίεση να δίνονται αντιστοίχως από τις σχέσεις 2τ 1 v = (1.15) 8 15

36 p = ρ /4 (1.16) Οι αντίστοιχες σχέσεις για το πρότυπο D 2 Q 9 είναι eq fi = wiρ 1 + ( e 2 i υ ) + ( e 4 i υ ) υ 2 cs 2cs 2cs w 0 = ; w i =,i = 1,..,4 ; w i =,i = 5,.., (1.17) 2τ 1 v = (1.18) 6 p = ρ /3 (1.19) Η τοπική πυκνότητα και ταχύτητα των σωματιδίων LB δίνεται από τις αθροίσεις ρ ( x,t) = f ( x,t) = f ( x,t) (1.20) i i i i eq i ρ υ ( x,t ) = e f ( x,t ) = e f ( x,t ) (1.21) eq i i i i i Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης για τη λεπτομερή περιγραφή της μεθοδολογίας ανάκτησης των μακροσκοπικών εξισώσεων και του υπολογισμού της κατανομής ισορροπίας μπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία (Καλαράκης 2002, Καλαράκης 2003, Wolf-Gladrow 2000). ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΡΟΗΣ Υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι επιβολής ροής στο πρότυπο LB: η επιβολή βαθμίδας πίεσης ή ταχύτητας, η επιβολή σωματιδιακών δυνάμεων και η προσθήκη ορμής. Η βαθμίδα πίεσης ή ταχύτητας επιβάλλεται στους συνοριακούς κόμβους εισόδου και εξόδου. Συνήθως επιβολή βαθμίδας πίεσης αντιστοιχεί σε διαφορά πυκνότητας μεταξύ των άκρων του και ο υπολογισμός των αγνώστων κατανομών γίνεται με χρήση των νόμων τοπικής διατήρησης της μάζας και ορμής και υπό τη συνθήκη μηδενικής ταχύτητας κάθετης προς τη 16

37 διεύθυνση της βαθμίδας. Εναλλακτικά είναι δυνατή η επιβολή συγκεκριμένης κατανομής ταχύτητας στους συνοριακούς κόμβους με τις κατανομές της πυκνότητας να υπολογίζονται από την απαίτηση να ικανοποιείται η δεδομένη κατανομή ταχύτητας στο σύνορο και από την διατήρηση της μάζας. Οι σωματιδιακές δυνάμεις οφείλονται στην ύπαρξη εξωτερικού πεδίου και μπορεί να είναι σταθερές σε όλη την έκταση του ρευστού, όπως στην περίπτωση του βαρυτικού πεδίου, είτε μεταβαλλόμενες. Η παρουσία σωματιδιακών δυνάμεων μεταβάλλει τον όρο συγκρούσεων της διακριτής εξίσωσης δικτύου eq f( i x,t) f i ( x,t) f i( x+ ei,t + 1) f i( x,t ) = + F i ; i = 0,...,b (1.22) τ και επιφέρει μεταβολή των συντελεστών του αναπτύγματος της συνάρτησης κατανομής ισορροπίας σύμφωνα με την απαίτηση ρ υ = e f + kf (1.23) i i i i όπου k είναι μία σταθερή παράμετρος, που προσδιορίζεται ίση με k=1/2. Η επιβολή εξωτερικής δύναμης συνδυάζεται συνήθως με περιοδικές συνθήκες στα σύνορα του δικτύου. Ο τρίτος τρόπος επιβολής ροής είναι η μέθοδος προσθήκης ορμής και ενδείκνυται για προσομοιώσεις κίνησης εμβόλου ή σύνδεσης των συνόρων του χώρου εργασίας με δεξαμενές ή δοχεία παροχής και απομάκρυνσης του ρευστού. Στην απλούστερή της μορφή, οι άγνωστες συναρτήσεις κατανομής δίνονται από της γνωστές γειτονικές προσαυξημένες κατά ένα μικρό ποσό, το οποίο αφαιρείται από τις τοπικές συναρτήσεις των ακίνητων πληθυσμών ώστε να διατηρείται τοπικά η πυκνότητα. ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΣΤΕΡΕΟΥ Οι συνοριακές συνθήκες ρευστού-στερεού όπως για όλες της μεθόδους υπολογιστικής ρευστομηχανικής, είναι θεμελιώδους σημασίας για το πρότυπο δικτύου Boltzmann καθώς καθορίζουν τόσο την αριθμητική ακρίβεια όσο και 17

38 την σταθερότητα. εδομένου ότι στο πρότυπο LB η κύρια μεταβλητή είναι η διακριτοποιημένη συνάρτηση κατανομής f i οι συνοριακές συνθήκες επιβάλλονται άμεσα για την f i και μόνο έμμεσα για τις μακροσκοπικές μεταβλητές ρ, u, Τ. Το πρόβλημα δημιουργείται από το γεγονός ότι δεν είναι γνωστό πώς συμπεριφέρεται η διακριτοποιημένη συνάρτηση κατανομής στο τοίχωμα. Έτσι οι συνοριακές συνθήκες της LB δίνονται από την προσπάθεια να ενσωματωθεί η μακροσκοπική πληροφορία των υδροδυναμικών μεταβλητών στην συμπεριφορά των «μικροσκοπικών» διακριτοποιημένων συναρτήσεων κατανομής, είτε με άμεσο τρόπο (1 ης τάξης ακρίβειας) ή μέσω επίλυσης των μακροσκοπικών εξισώσεων στο σύνορο και ενδεχόμενη προεκβολή (2 ης τάξης ακρίβειας). Μία από τις πιο δημοφιλείς συνοριακές συνθήκες τοιχώματος άμεσης επιβολής, είναι η συνθήκη «αναπήδησης» (bounce-back). Η ιδέα είναι ότι όταν ένα σωματίδιο LB συγκρουστεί με τοίχωμα αντιστρέφεται η ορμή του υπό τη θεώρηση ότι η σύγκρουση λαμβάνει χώρα κατά τη διάρκεια ενός χρονικού βήματος. Η συνοριακή συνθήκη «αναπήδησης» παρά την απλότητά της αναπαράγει με ακρίβεια τη συνθήκη μη ολίσθησης και μπορεί να εμφανιστεί σε διάφορες παραλλαγές, όπως για παράδειγμα με ρύθμιση των συνοριακών συναρτήσεων κατανομής σε ισορροπία σύμφωνα με την επιθυμητή ταχύτητα στο τοίχωμα. Μία ιδιοτυπία αποτελεί το γεγονός ότι η συνοριακή συνθήκη μη ολίσθησης δεν επιβάλλεται ακριβώς επί του στερεού κόμβου αλλά ανάμεσα στον στερεό και τον αμέσως γειτονικό ρευστό κόμβο. Για ροές σε απλές γεωμετρίες, το όριο αυτό είναι γνωστό, ενώ για πιο ακανόνιστες γεωμετρίες το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με τεχνικές παρεμβολής ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ Ο αλγόριθμος παρακολούθησης σωματιδίων (particle tracking, Salles et al 1993) χρησιμοποιείται για την παρακολούθηση των διακριτών τροχιών ενός μεγάλου αριθμού Brownian σωματιδίων καθώς κινούνται μέσα στο 18

39 πορώδες δίκτυο. Η θέση του κάθε σωματιδίου μετά από ένα στοιχειώδες χρονικό βήμα προκύπτει από το ανυσματικό άθροισμα της μετατόπισης λόγω συναγωγής και μίας τυχαίας μετατόπισης λόγω της διάχυσης δ r = υ()t r δ + δξ (1.24) Το μέγεθος και η διεύθυνση του ανύσματος της τοπικής ταχύτητας, u(r), δίνεται από τη μέθοδο δικτύου Boltzmann μέσω παρεμβολής σε κλίμακα κελιού. Το μέγεθος του ανύσματος της τυχαίας μετατόπισης δξ σχετίζεται με το συντελεστή μοριακής διαχύσεως μέσω της εξίσωσης D M 2 δ = ξ (1.25) 6δt και, πρακτικά, αναπαριστά τη μέση μετατόπιση Brownian σωματιδίων μέσα στο χρονικό διάστημα δt. Η εξίσωση ισχύει αυστηρά στο όριο του απείρως μεγάλου χρόνου μετακίνησης, γεγονός που υπονοεί ότι το χρονικό βήμα δt πρέπει είναι επαρκώς μεγάλο σε σχέση με το μέσο χρόνο ενδομοριακών συγκρούσεων. Ταυτόχρονα, το χρονικό βήμα δt θα πρέπει να είναι αρκετά μικρό ώστε να αποφευχθούν μεγάλες μετακινήσεις σε σχέση με τη χαρακτηριστική διάσταση μεταβολής της ροής. Σύμφωνα με τους Salles et al (1993) ένας καλός συμβιβασμός είναι a δ r ~ (1.26) 2 όπου α είναι το μήκος της μοναδιαίας κυψελίδας της διακριτοποίησης του πεδίου ροής. Κατά τη σύγκρουση με τα τοιχώματα, τα σωματίδια εκτελούν τυχαία ανάκλαση (Burganos 1998), η οποία είναι συμβατή με την παραδοχή της ύπαρξης μικροτραχύτητας στις στερεές επιφάνειες. Το χαρακτηριστικό μήκος στον ορισμό του αριθμού Peclet τέθηκε ίσο με το μήκος του κάθε κλάδου της διασταύρωσης, L/2, όπου L είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων δύο γειτονικών διασταυρώσεων. Ως χαρακτηριστική ταχύτητα θεωρήθηκε η μέση ταχύτητα μέσα στη διασταύρωση, u f, και έτσι Pe= u f (L/2)/D m. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο ορισμός του χαρακτηριστικού μήκους ποικίλλει στη βιβλιογραφία και απαιτείται 19

40 προσοχή όταν γίνονται συγκρίσεις αποτελεσμάτων συντελεστών διασποράς αλλά και λόγων ανάμειξης ανάμεσα στις διάφορες εργασίες. Η μέθοδος παρακολούθησης σωματιδίων παρέχει την ακριβή θέση του κάθε σωματιδίου ανά πάσα χρονική στιγμή και, κατ επέκταση, επιτρέπει τον άμεσο προσδιορισμό των συντελεστών διασποράς μέσω της σχέσης D i 2 1 dσ i = lim (1.27) t 2 dt όπου ο δείκτης i = L ή T δηλώνει την παράλληλη ή εγκάρσια, αντιστοίχως, διασπορά σε σχέση με τη μέση διεύθυνση της ροής, και σ i είναι η δεύτερη ροπή της μετατόπισης των σωματιδίων ως προς το κινούμενο κέντρο μάζας 2 2 i i i 2 σ = Δr Δ r (1.28) Ο αριθμός των σωματιδίων που χρησιμοποιήθηκε στις περισσότερες προσομοιώσεις ήταν το λιγότερο 10 4, και βρέθηκε επαρκής για να περιορίσει τη σχετική τυπική απόκλιση κάτω από 1%. Ο απαιτούμενος υπολογιστικός χρόνος για τον προσδιορισμό των συντελεστών διασποράς είναι συνάρτηση της τιμής του Pe. Για παράδειγμα, σε Pe=1000 τα σωματίδια θα πρέπει να διανύσουν τουλάχιστον 200 μήκη σχισμών για να επιτευχθεί σύγκλιση ενώ σε χαμηλά Pe η απόσταση αυτή μπορεί να μειωθεί σε δύο μήκη σχισμών. Σε κάθε περίπτωση, η επιβολή περιοδικών συνοριακών συνθηκών επιτρέπει στα σωματίδια να εκτελέσουν επαρκώς μεγάλες τροχιές, χρησιμοποιώντας μία διασταύρωση μόνο. Ειδικότερα τα σωματίδια που εξέρχονται από τις επιφάνειες 3 και 4, μπορούν να ξαναμπούν από τις 1 και 2. Σε χαμηλές τιμές του αριθμού Peclet, το παραπάνω μπορεί να αντιστραφεί και τα σωματίδια που βγαίνουν από τις επιφάνειες 1 και 2 να ξαναμπούν από τις 3 και ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ ΓΙΑ ΥΨΗΛΟΥΣ Pe ΣΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΙΚΤΥΑ 20

41 Στο παρόν τμήμα αναπτύσσεται μία αυστηρή έκφραση η οποία συσχετίζει τον εγκάρσιο συντελεστή διασποράς σε κλίμακα δικτύου με τον λόγο ανάμειξης που προσδιορίζεται για μία μόνο διασταύρωση. Η σημασία μιας τέτοιας σχέσης είναι προφανής καθώς επιτρέπει τον υπολογισμό μιας μακροσκοπικής ποσότητας κατευθείαν από τον υπολογισμό μιας άλλης σε πολύ μικρότερη κλίμακα και συνεπώς με πολύ μικρότερο υπολογιστικό κόστος. Επιτρέπει επίσης την κατανόηση και ποσοτική εκτίμηση της επίπτωσης της ποσότητας σε κλίμακα μιας διασταύρωσης στη διαμόρφωση της διασποράς σε μεγάλη κλίμακα. Τα μόρια της διαλυμένης ουσίας θεωρούνται ότι κινούνται με τη μέση ταχύτητα του ρευστού μέσα σε κάθε σχισμή. Για επαρκώς μεγάλες τιμές του αριθμού Peclet (Pe~10) γίνεται η υπόθεση ότι μόλις τα σωματίδια φτάσουν σε διασταύρωση, συνεχίζουν την κίνησή τους μόνο σε κάποιον από τους κλάδους εξόδου. Με άλλα λόγια, θεωρείται ότι η διάχυση είναι πολύ αργή για να επιτραπεί κίνηση ανάντι της ροής και επανείσοδος των σωματιδίων στους κλάδους εισόδου. Η απαγόρευση κίνησης ανάντι της ροής αίρεται στη μέθοδο τροποποιημένου τυχαίου περιπάτου που περιγράφεται στο επόμενο τμήμα. Φυσικά, στην οριακή περίπτωση Pe ισχύει αποκλειστικά η κίνηση κατά μήκος των γραμμών ροής (M r 0) με αποτέλεσμα μηδενική διασπορά. Έστω h το μισό μήκος της διαγωνίου του στοιχειώδους κελιού του δικτύου που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2. Τότε h=lcos(π/4). Έστω ξ i η μετατόπιση ενός σωματιδίου στην κάθετη κατεύθυνση προς τη μέση κατεύθυνση της ροής στο διακριτό χρόνο t i, και t 0 ο χρόνος που απαιτείται για να ταξιδέψει ένα σωματίδιο μία σχισμή μήκους L. ιαδοχικές χρονικές στιγμές αντιστοιχούν σε μετατόπιση του σωματιδίου κατά ακέραιο αριθμό σχισμών και εκφράζονται ως t =, 1,2,3,... i 1 t + + i t0 i = (1.29) Για επαρκώς μεγάλα μήκη σχισμών, μπορεί να θεωρηθεί ότι η μέση ταχύτητα σε μία σχισμή είναι v f = L (1.30) t 0 21

42 Τότε η μέση τετραγωνική μετατόπιση των διαλυμένων σωματιδίων είναι ( ) ξ = + = σε t=t 1 (1.31) M rh 1 Mr h h καθώς ένα κλάσμα ίσο με M r θα συνεχίσει να κινείται προς τα εμπρός (μετάβαση από τη θέση Α στη θέση Β, στο Σχήμα 2) και το υπόλοιπο θα γυρίσει προς τον κάθετο κλάδο (μετάβαση από το Α στο C). Ομοίως ( ) ξ 2 = M r (2 h) + Mr 1 Mr (2 h) = 4Mrh σε t=t 2 (1.32) που αντιστοιχεί στην άφιξη των σωματιδίων στις θέσεις D, E, F κατά τη χρονική στιγμή t 2. Η άφιξη βέβαια, στη θέση Ε δεν συνεισφέρει στον υπολογισμό δεδομένου του ότι η εγκάρσια απόσταση από το αρχικό επίπεδο είναι μηδενική. Ο πρώτος όρος στην παραπάνω εξίσωση προκύπτει από την μετατόπιση από το Α στο D (ένα κλάσμα M r θα φτάσει στο Β από το Α και ένα κλάσμα M r αυτού του κλάσματος θα φτάσει στο D από το Β). Ο δεύτερος όρος προκύπτει από τη μετατόπιση από το Α στο F (ένα κλάσμα 1 - M r θα φτάσει στο C από το Α και ένα κλάσμα M r θα φτάσει στο F από το C). Έτσι ξ ( ) ( ) ( ) ( ) = M (3 h) + 2M 1 M h + 3M 1 M h r r r r r r r r + 1 M h + M 1 M (3 h) = (2 M + 1) h σε t = t r 3 (1.33) και ούτω καθ εξής. Έτσι μπορεί να δειχθεί ότι ξ ξ ξ ξ n+ 1 2n 1 2 2n 1 2n 3 2 = 2 ( 2M r 1) + 4M 2 r L n 1 2 r k = 0 ( M ) = 4M 2 1 r 2k L (1.34) Θεωρώντας ότι n για να ικανοποιηθεί η απαίτηση για μεγάλους χρόνους της εξ προκύπτει lim n ξ ξ 2 2 2n+ 1 2n 1 M r 2 L 1 Mr = (1.35) 22

43 Σχήμα 1.2: Τετραγωνικό δίκτυο σχισμών κεκλιμένο σε σχέση με τη μέση διεύθυνση της ροής κατά 45 ο. Σημειώνεται ο λόγος ανάμειξης για την αναλυτική μέθοδο για υψηλά Pe. Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει και για μονούς αριθμούς των στοιχειωδών βημάτων. Χρησιμοποιώντας την εξ και το γεγονός ότι <ξ i > = 0 για λόγους συμμετρίας στην κάθετη προς μέση κατεύθυνση της ροής προκύπτει D T ( ) δσ ( ) dσt t 1 T t = lim lim 2 t dt 2 t δt n+ 1 2n 1 2n+ 1 2n 1 1 ξ ξ ξ ξ = lim[ ] 2 n 2t 2t 1 ξ ξ = lim 2 n 2t 1 M r = 41 M 2 2 2n+ 1 2n 1 r Lu f u f (1.36) Τέλος, χρησιμοποιώντας τον ορισμό του Pe, καταλήγουμε σε 23

44 DT 1 Mr = Pe D 21 M m r (1.37) Η παραπάνω εξίσωση συσχετίζει τον εγκάρσιο συντελεστή διασποράς στην κλίμακα δικτύου με το λόγο ανάμειξης στη διασταύρωση για ένα τετραγωνικό δίκτυο όμοιων σχισμών, που σχηματίζουν γωνία 45 ο με τη μέση διεύθυνση της ροής. Οι Park et al (2001) παρατήρησαν ότι αυτή η εξίσωση ικανοποιεί τους αριθμητικούς τους υπολογισμούς για περιορισμένο χρόνο ταξιδιού. Όπως δείχνεται εδώ, η έκφραση αυτή είναι ένα αυστηρό αποτέλεσμα για τετραγωνικά δίκτυα. Υπό τις παρούσες παραδοχές, δεν μπορεί να αναπτυχθεί παράλληλη διασπορά στην περίπτωση των 45 ο καθώς όλα τα σωματίδια θα μετακινούνται με την ίδια ταχύτητα στην διεύθυνση της ροής ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ Η εξίσωση 1.37 αναμένεται να παρέχει ικανοποιητικές εκτιμήσεις του συντελεστή εγκάρσιας διασποράς για επαρκώς μακριές σχισμές, ώστε να περιορίζεται η επίδραση της ιστορίας των εισερχομένων μορίων, και για ροές επαρκώς γρήγορες, ώστε να εμποδίζεται η ανάντι της ροής μετακίνηση των σωματιδίων. Η πιθανότητα όμως αυτή είναι μη αμελητέα για μικρούς αριθμούς Peclet και θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μία τροποποιημένη μέθοδος τυχαίου περιπάτου. Συγκεκριμένα θα πρέπει να καθοριστούν 4 πιθανότητες μετάβασης για κάθε κλάδο εισόδου, καθώς το σωματίδιο εξερχόμενο από τη διασταύρωση μπορεί να επιλέξει οποιονδήποτε από τους 4 κλάδους για να συνεχίσει την κίνησή του. Οι 4 αυτές πιθανότητες εξαρτώνται από την επιλογή του κλάδου εισόδου, γεγονός που ανεβάζει τον συνολικό αριθμό των πιθανοτήτων μετάβασης στους 16. Λόγω ύπαρξης συμμετρίας στην περίπτωση γωνίας 45 ο της μέσης κατεύθυνσης της ροής με τον προσανατολισμό των σχισμών, χρειάζεται να υπολογιστούν μόνο 8 πιθανότητες. 24

45 Ο προσδιορισμός των πιθανοτήτων γίνεται ως ακολούθως. Με δεδομένο τον προσδιορισμό του πεδίου ροής από τη μέθοδο LB, τα σωματίδια εισάγονται σε έναν κλάδο εισόδου. Οι τροχιές τους ακολουθούνται μέσω της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων μέχρι να εξέλθουν από κάποιον κλάδο και οι σχετικοί πληθυσμοί καταγράφονται. Για να εξασφαλιστεί ότι η επιλογή του δεδομένου κλάδου εξόδου είναι οριστική, η τροχιά παρακολουθείται έως ότου το σωματίδιο φτάσει στην είσοδο μίας γειτονικής διασταύρωσης. Θα πρέπει να αναφερθεί ότι η επιλογή της αρχικής θέσης των σωματιδίων δύναται να επηρεάσει τις πιθανότητες μετάβασης ιδίως για μέτριους Pe, αφού σε χαμηλούς Pe η πλήρης ανάμειξη υπερισχύει ενώ σε πολύ υψηλούς Pe η κίνηση γίνεται κατά κύριο λόγο κατά μήκος των γραμμών ροής. Για να είναι τα αποτελέσματα αυτοσυνεπή, επιλέχθηκε η αρχική θέση των σωματιδίων να βρίσκεται ακριβώς στην είσοδο της διασταύρωσης (Σχήμα 1.1). Η θεώρηση της ανάντι της ροής μετακίνησης των σωματιδίων εισάγει επιπρόσθετα την εξάρτηση του χρόνου μετακίνησης σε κάθε κλάδο από την κατεύθυνσή του, ο οποίος, πλέον, δεν μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφος σε κάθε κλάδο. Η κατανομή του χρόνου παραμονής σε κάθε κλάδο σε συνδυασμό με την εξαρτώμενη από την κατεύθυνση πιθανότητα μετάβασης, δεν επιτρέπει να εξαχθεί μία απλή αναλυτική σχέση όπως έγινε πιο πάνω. Αναπτύχθηκε, λοιπόν, μία τροποποιημένη μέθοδος τυχαίου περιπάτου η οποία παρακολουθεί την κίνηση των σωματιδίων σε επίπεδο δικτύου, χρησιμοποιώντας τις προαναφερθείσες πιθανότητες μετάβασης καθώς και τους αντίστοιχους χρόνους. Οι παραπάνω ποσότητες υπολογίζονται μέσω της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων σε κλίμακα διασταύρωσης. Πιο συγκεκριμένα, το κάθε σωματίδιο μόλις μπει στη διασταύρωση επιλέγει έναν κλάδο με βάση 4 πιθανότητες μετάβασης που αντιστοιχούν στον κλάδο από τον οποίο προήρθε και μετακινείται στην επόμενη διασταύρωση σε χρόνο ίσο με το μέσο χρόνο μετακίνησης στον συγκεκριμένο κλάδο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να παρέλθει ένας επαρκής χρόνος, κοινός για όλα τα σωματίδια, και ο συντελεστής διασποράς υπολογίζεται από την εξ Η τροποποιημένη μέθοδος τυχαίου περιπάτου υπερέχει της τεχνικής παρακολούθησης σωματιδίων, από την άποψη του απαιτούμενου 25

46 υπολογιστικού χρόνου, αλλά, ασφαλώς, δεν είναι το ίδιο αυστηρή. Η πληροφορία που χάνεται προέρχεται από την παραδοχή ότι τα σωματίδια κινούνται με έναν μέσο χρόνο διέλευσης σε κάθε κλάδο καθώς και από το γεγονός ότι κατά τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων μετάβασης τα σωματίδια τοποθετούνται στις αρχικές τους θέσεις αγνοώντας την μέχρι τότε ιστορία τους. 1.3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Εξετάστηκαν τρεις δομές σχισμών με διαφορετικό λόγο πλάτους προς μήκος, M w, με τιμές M w = 0.05, 0.1 και 0.3. Για να μελετηθεί η επίδραση του αριθμού Peclet στη διασπορά, διατηρήθηκε σταθερή η ταχύτητα του ρευστού (Re = 0.1) και μεταβλήθηκε η τιμή του συντελεστή διάχυσης. Ο χρόνος χαλάρωσης στις προσομοιώσεις LB είχε την τιμή τ=1.1. Ένα παράδειγμα της επίδρασης του αριθμού Peclet στη διασπορά της διαλυμένης ουσίας για τη διάταξη του Σχήματος 1.1 δίνεται μέσω των Σχημάτων 1.3 και 1.4 όπου παρουσιάζονται οι θέσεις των σωματιδίων ενός παλμού της συγκέντρωσης για τις περιπτώσεις Pe=10 και Pe=100 μετά την πάροδο ενός χρονικού διαστήματος κοινού και για τις δύο περιπτώσεις. Για Pe=10 η συνεισφορά της διάχυσης στο συνολικό μηχανισμό της ροής είναι πιο ενισχυμένη από την περίπτωση Pe=100, επιτρέποντας στα μόρια να διασχίζουν πιο γρήγορα τις γραμμές ροής ακόμα και να κινούνται ανάντι της ροής. Οι τιμές του λόγου ανάμειξης για τους τρεις διαφορετικούς λόγους πλάτους προς μήκος συναρτήσει του Pe, παρουσιάζονται στο διάγραμμα 1.1. Για τη κυριαρχούμενη από τη διάχυση μεταφορά, που αντιστοιχεί σε Pe < 0.1, τα σωματίδια χωρίζονται ομοιόμορφα μεταξύ των κλάδων εξόδου και έτσι η τιμή του M r τείνει στο 0.5 όπως αναμένεται. Στο άλλο όριο, για Pe > 10 4, η μεταφορά ελέγχεται από τη συναγωγή και το M r τείνει στο 0, καθώς, πρακτικά, κανένα σωματίδιο δεν καταφέρνει να περάσει τη διαγώνια διαχωριστική γραμμή ροής. Η συμπεριφορά αυτή δείχνει ότι η προσέγγιση της κίνησης κατά μήκος γραμμών ροής είναι ικανοποιητική για Pe > Στην ενδιάμεση 26

47 Σχήμα 1.3: Στιγμιότυπο της διασποράς παλμού μορίων διαλυμένης ουσίας σε μία διασταύρωση σε αδιάστατο χρόνο t=0.42. Περίπτωση Pe=10. 27

48 Σχήμα 1.4: Στιγμιότυπο της διασποράς παλμού μορίων διαλυμένης ουσίας σε μία διασταύρωση σε αδιάστατο χρόνο t=0.42. Περίπτωση Pe=

49 περιοχή η μεταφορά καθορίζεται τόσο από τη διάχυση όσο και από τη συναγωγή. Αξίζει να παρατηρηθεί, αντίθετα απ ότι διαισθητικά αναμένεται, ότι καθώς οι σχισμές πλαταίνουν, η πιθανότητα του σωματιδίου να εξέλθει από τον απέναντι κλάδο μειώνεται. 0.5 Λόγος ανάμειξης, M r M w =0.05 M w =0.1 M w = Pe ιάγραμμα 1.1: Εξάρτηση του λόγου ανάμειξης από τον αριθμό Peclet για διάφορους λόγους πλάτους προς μήκος. Οι υπολογισμοί έχουν γίνει με τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων. Τα κλάσματα των σωματιδίων που εξέρχονται από τον κάθε κλάδο προερχόμενα από τον κλάδο 1 για την περίπτωση M w = 0.1 παρουσιάζονται στο διάγραμμα 1.2. Είναι εμφανές ότι το κλάσμα των σωματιδίων που κινείται ανάντι της ροής είναι σημαντικό για Pe < 2 και δεν θα πρέπει να αμελείται. Θα πρέπει να τονιστεί ότι οι πιθανότητες μετάβασης όπως και ο λόγος ανάμειξης εξαρτώνται από την αρχική θέση των σωματιδίων κατά τον υπολογισμό τους, γεγονός που μπορεί να αποτελεί την αιτία των διαφορών στις τιμές που αναφέρονται στη βιβλιογραφία. Στην παρούσα εργασία, τα σωματίδια τοποθετούνται ακριβώς πριν τη διασταύρωση (την έξοδο του κλάδου εισόδου) 29

50 και θεωρείται ότι έχουν μεταφερθεί πλήρως όταν φτάσουν στην είσοδο της επόμενης διασταύρωσης. Στο διάγραμμα 1.3 παρουσιάζεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων για τον εγκάρσιο συντελεστή διάχυσης μεταξύ των 3 μεθόδων, δηλαδή, της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων, της σχέσης 1.37 και της τροποποιημένης μεθόδου τυχαίου περιπάτου Πιθανότητες μετάβασης M w =0.1 M r κλάδος 1 κλάδος 2 κλάδος 3 κλάδος Pe ιάγραμμα 1.2: Πιθανότητες μετάβασης από τον κλάδο 1 προς τους κλάδους 1-4 για τη διάταξη του Σχήματος 1.1. Η απλή προσέγγιση με βάση το λόγο ανάμειξης που εκφράζεται από την εξ εμφανίζεται να υποτιμά το συντελεστή διασποράς στη χαμηλή περιοχή Pe (βλ. ένθετο), προφανώς λόγω του γεγονότος ότι αμελεί την μεταφορά ανάντι της ροής. Αντιθέτως η τροποποιημένη μέθοδος τυχαίου περιπάτου δίνει καλά αποτελέσματα τόσο στην περιοχή των χαμηλών Pe όσο και στην ενδιάμεση περιοχή. Αυτό σημαίνει ότι η υπολογιστικά ακριβή τεχνική της παρακολούθησης σωματιδίων μπορεί να αντικατασταθεί από την τροποποιημένη μέθοδο τυχαίου περιπάτου, που αναπτύχθηκε για τον 30

51 υπολογισμό του συντελεστή διασποράς σε κλίμακα δικτύου, έως και μέσες τιμές του αριθμού Peclet όπου η συνεισφορά της διάχυσης στο μηχανισμό μεταφοράς παραμένει σημαντική. Στο όριο του Pe 0 ο συντελεστής διασποράς που υπολογίζεται αντιστοιχεί στον αδιάστατο αποτελεσματικό συντελεστή διάχυσης, που μπορεί να υπολογιστεί ανεξάρτητα με την τεχνική της μέσης τετραγωνικής μετατόπισης (Burganos 1998) M w =0.3 Μέθοδος παρακολούθησης σωματιδίων Μέθοδος εξ. (1.37) Τροποποιημένη μέθοδος τυχαίου περιπάτου D T /D M (log-log) Pe (log-lin) ιάγραμμα 1.3: Συγκριτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων για τον αδιάστατο συντελεστή εγκάρσιας διασποράς μέσω της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων, της αναλυτικής σχέσης 1.37 και της τροποποιημένης μεθόδου τυχαίου περιπάτου. Για Pe > 100 και οι δύο τεχνικές τυχαίου περιπάτου οδηγούν σε υπερεκτίμηση του συντελεστή διασποράς. Η απόκλιση αυτή αποδίδεται στο γεγονός ότι οι υπολογισμοί του λόγου ανάμειξης και εν γένει των πιθανοτήτων μετάβασης, περιορίζονται σε μία μόνο διασταύρωση και κατ επέκταση αγνοούν την ιστορία της κίνησης των σωματιδίων. Επί της ουσίας, αυτό αντιστοιχεί στην υπόθεση της πλήρους ανάμειξης μέσα στους κλάδους ενδιάμεσα των διασταυρώσεων, που αποτελεί φτωχή προσέγγιση για την περίπτωση 31

52 μεταφοράς που ελέγχεται από τη συναγωγή. Μία επιπρόσθετη αιτία της απόκλισης είναι η χρήση του μέσου χρόνου παραμονής σε κάθε κλάδο εν αντιθέσει με τον ακριβή προσδιορισμό χωρικά και χρονικά των τροχιών με τη μέθοδο παρακολούθησης σωματιδίων, η οποία κατά τον υπολογισμό του συντελεστή διασποράς λαμβάνει υπ όψη της ολόκληρη την ιστορία της μετακίνησης της διαλυμένης ουσίας ή των αιωρούμενων σωματιδίων. Υπολογισμοί του παράλληλου συντελεστή διασποράς μέσω της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων συγκρίνονται με τον εγκάρσιο στο διάγραμμα 1.4. Παρουσιάζεται η εξάρτηση από τον Pe για δύο τιμές του M w. Σε χαμηλά Pe όπου κυριαρχεί η διάχυση στο μηχανισμό μεταφοράς, τα μεγέθη του παράλληλου και του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς πρακτικά ταυτίζονται με τις αντίστοιχες τιμές του αποτελεσματικού συντελεστή διάχυσης, που είναι όμοιες μεταξύ τους για ισότροπα και ομοιόμορφα δίκτυα. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι στην ενδιάμεση περιοχή του Pe ο εγκάρσιος D T, M W =0.1 D T, M W =0.3 D L, M W =0.1 D L, M W =0.3 D i /D M Pe ιάγραμμα 1.4: Εξάρτηση του παράλληλου και του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς από τον αριθμό Peclet και το λόγο πλάτους προς μήκος. 32

53 συντελεστής διασποράς είναι μεγαλύτερος του παράλληλου και για τις δύο τιμές του M w. Το αποτέλεσμα αυτό παρουσιάζει ενδιαφέρον δεδομένου ότι η περιοχή αυτή του Pe σχετίζεται με τις διεργασίες ρύπανσης υπογείων υδάτων (Fiori and Dagan 2000). Σε υψηλότερους αριθμούς Peclet, ο παράλληλος συντελεστής διασποράς γίνεται μεγαλύτερος του εγκάρσιου. Η σχέση, βέβαια, μεταξύ του D L και του D T είναι, επίσης, συνάρτηση της γωνίας μεταξύ της μέσης διεύθυνσης της ροής και των αξόνων του δικτύου. Στην περίπτωση μηδενικής γωνίας, όπου η ροή είναι παράλληλη με έναν από τους άξονες του δικτύου, το D L είναι πάντα μεγαλύτερο από το D T. Καθώς η γωνία αυξάνεται η εγκάρσια διασπορά γίνεται πιο σημαντική, φτάνοντας τη μέγιστη τιμή της στις 45 ο. Καθώς απομακρυνόμαστε από την κλίση των 45 ο η μέση διεύθυνση της ροής σταδιακά ευθυγραμμίζεται όλο και περισσότερο με τον κύριο άξονα του δικτύου και έτσι ο εγκάρσιος συντελεστής σταδιακά μειώνεται προς το μηδέν. εδομένου του γεγονότος ότι η διασπορά εξαρτάται από το τοπικό πεδίο ροής, παρουσιάζει ενδιαφέρον η επίδραση στη διασπορά της 100 D L μη ολίσθηση (παραβολική κατανομη) D T μη ολίσθηση (παραβολική κατανομη) D L ολίσθηση (έμβολική ροή) D T ολίσθηση (έμβολική ροή) D i /D M Pe ιάγραμμα 1.5: Εξάρτηση του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς από τον αριθμό Peclet για τις περιπτώσεις ροής με συνοριακές συνθήκες μη ολίσθησης και πλήρους ολίσθησης. 33

54 αλληλεπίδρασης ρευστού-στερεού. Για παράδειγμα η παρουσία ενός λεπτού στρώματος διαβροχής στην περίπτωση διφασικών ροών (Constantinides and Payatakes 2000) μπορεί να μεταβάλει σημαντικά την ταχύτητα ολίσθησης στα τοιχώματα των σχισμών. Εξετάστηκε, λοιπόν, η περίπτωση όπου η συνοριακή συνθήκη μη ολίσθησης αντικαθίσταται από την συνθήκη πλήρους ολίσθησης, με αντικατάσταση στο πρότυπο δικτύου Boltzmann του κανόνα αναπήδησης προς τα πίσω (bounce-back) με τον κανόνα αναπήδησης προς τα εμπρός (bounce forward). Η επίδραση της ολίσθησης στους συντελεστές διασποράς παρουσιάζεται στο διάγραμμα 1.5. Ο παράλληλος συντελεστής διασποράς μειώνεται ως αποτέλεσμα της ομογενοποίησης της ροής μέσα στις σχισμές. Αντιθέτως ο εγκάρσιος συντελεστής δεν εμφανίζεται να επηρεάζεται ιδιαίτερα από το είδος της συνοριακής συνθήκης σε μεγάλο εύρος τιμών του Pe. Για Pe > 100, η ολίσθηση εμφανίζεται να ενισχύει την εγκάρσια διασπορά, πιθανώς λόγω της ανάπτυξης σημαντικών ταχυτήτων κοντά στα τοιχώματα που επιτρέπουν στα σωματίδια να διασχίζουν τις διαχωριστικές γραμμές ροές σε υψηλότερους ρυθμούς σε σχέση με την περίπτωση μη ολίσθησης. Ο αριθμός Peclet δύναται ασφαλώς να μεταβληθεί και μέσω της μεταβολής της μέσης χαρακτηριστικής ταχύτητας της ροής. Στην περίπτωση αυτή καθώς μεγαλώνει ο αριθμός Reynolds η ροή παύει να είναι στρωτή με αποτέλεσμα το φαινόμενο της διασποράς να περιπλέκεται. Ένα παράδειγμα δίνεται στο Σχήμα 1.5 όπου παρουσιάζονται οι γραμμές ροής σε διασταύρωση με λόγο πλάτους προς μήκος M w =0.3 και για Re=116. Η ύπαρξη περιοχών ανακυκλοφορίας της ροής επηρεάζει τη διασπορά και συγκεκριμένα την περιορίζει, όπως φαίνεται και από τους υπολογισμούς του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς μέσω της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων που παρουσιάζονται στο διάγραμμα 1.6. Οι περιοχές ανακυκλοφορίας είναι δυνατό να εγκλωβίσουν τα σωματίδια με αποτέλεσμα τη μείωση του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς καθώς αυξάνεται ο αριθμός Reynolds. 34

55 Σχήμα 1.5: Παράδειγμα γραμμών ροής σε μία διασταύρωση σε υψηλό αριθμό Reynolds (Re=116), ενδεικτικό της ύπαρξης εκτενών περιοχών ανακυκλοφορίας. Λόγος πλάτους προς μήκος M w =

56 Re=0.01 Re=71 Re=116 Re=178 D T /D M Pe ιάγραμμα 1.6: Εξάρτηση του συντελεστή εγκάρσιας διασποράς από τον αριθμό Reynolds. 1.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάστηκε μια μελέτη της επίδρασης των παραδοχών δύο μεθόδων υπολογισμού των συντελεστών διασποράς που κάνουν χρήση κανόνων ανάμειξης στις διασταυρώσεις του δικτύου. Η μέθοδος παρακολούθησης σωματιδίων χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του εγκάρσιου και παράλληλου συντελεστή διασποράς σε ομοιόμορφα τετραγωνικά δίκτυα, καθώς και για τον προσδιορισμό του λόγου ανάμειξης μέσα σε μία διασταύρωση. Με βάση το λόγο ανάμειξης αναπτύχθηκαν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις τυχαίων περιπάτων για τον υπολογισμό του εγκάρσιου συντελεστή διασποράς. Η πρώτη χρησιμοποιεί μία απλή έκφραση που συσχετίζει τον εγκάρσιο συντελεστή με το λόγο ανάμειξης υποθέτοντας 36

57 ότι όλα τα σωματίδια κινούνται με την ίδια ταχύτητα και αμελώντας την ανάντι της ροής μετακίνησή τους. Η δεύτερη προσέγγιση αποτελεί μία τροποποιημένη μέθοδο τυχαίου περιπάτου όπου τα σωματίδια μετακινούνται από διασταύρωση σε διασταύρωση με πιθανότητες μετάβασης που εξαρτώνται από την κατεύθυνση από την οποία προέρχονται και με χρήση του μέσου χρόνου παραμονής που αντιστοιχεί στον κάθε κλάδο. Τα αποτελέσματα έδειξαν πως για χαμηλές τιμές του αριθμού Peclet, όπου η διάχυση κυριαρχεί στον μηχανισμό μεταφοράς, είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπ όψη η ανάντι της ροής κίνηση των μορίων της διαλυμένης ουσίας. Η τροποποιημένη μέθοδος τυχαίου περιπάτου μέχρι και για ενδιάμεσες τιμές του Pe αναπαράγει με ακρίβεια τα αποτελέσματα της μεθόδου παρακολούθησης σωματιδίων και με έντονα μειωμένο υπολογιστικό κόστος. Στην περίπτωση των υψηλών Pe και οι δύο μέθοδοι τυχαίων περιπάτων υπερεκτιμούν τον εγκάρσιο συντελεστή διασποράς, γεγονός που οφείλεται στην απώλεια πληροφορίας της ιστορίας της κίνησης των σωματιδίων, πληροφορία που είναι απαραίτητη στην περιοχή όπου η μηχανισμός της διασποράς είναι κυρίως συναγωγικός. Επιπρόσθετα δείχθηκε ότι στην ενδιάμεση περιοχή του αριθμού Peclet, η εγκάρσια διασπορά δεν θα πρέπει να αμελείται καθώς υπερισχύει της παράλληλης, Η περιοχή αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική στις περιπτώσεις ρύπανσης των υπόγειων υδάτων. Εξετάστηκε, επίσης, ο ρόλος της αλληλεπίδρασης ρευστού-στερεού στη διασπορά συγκρίνοντας τις περιπτώσεις χρήσης συνοριακών συνθηκών μη ολίσθησης και πλήρους ολίσθησης. Η ολίσθηση εμφανίζεται να ενισχύει την παράλληλη διασπορά αλλά να επιδρά ελάχιστα στην εγκάρσια. Τέλος, δόθηκε ένα παράδειγμα απομάκρυνσης από τη στρωτή ροή. Σε υψηλούς αριθμούς Reynolds είναι δυνατή η εμφάνιση περιοχών ανακυκλοφορίας που εγκλωβίζουν τα σωματίδια και οδηγούν σε περιορισμό των συντελεστών διασποράς. 37

58 38

59 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΚΚΩ ΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η υπολογιστική ανακατασκευή ενός μέσου ή υλικού σε τρεις διαστάσεις (3D reconstruction) αποτελεί ένα πολύ σημαντικό επιστημονικό εργαλείο του οποίου η αξία διαρκώς αυξάνεται δεδομένης της συνεχούς βελτίωσής του και της επέκτασης των τεχνολογικών εφαρμογών του. Αποτελεί ουσιαστικά την ψηφιακή αναπαράσταση του μέσου η οποία επιτρέπει την μελέτη των χαρακτηριστικών και ιδιοτήτων του και αποτελεί την βάση για υπολογιστικές προσομοιώσεις (Garboczi et al 1999). Μέσω της ψηφιακής ανακατασκευής μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες τόσο για την μορφολογία όσο και για την δομή του μέσου αλλά και να προσδιορίσουμε ιδιότητες κρίσιμες για την τεχνολογική του χρήση, όπως είναι η διαπερατότητα, ο συντελεστής διάχυσης, η σταθερά ηλεκτρικής αγωγιμότητας, οι ελαστικές σταθερές κ.α. Σε πολλές περιπτώσεις τέτοιου είδους πληροφορίες είναι δύσκολο έως και αδύνατο να αποκτηθούν μέσω πειραματικών τεχνικών ενώ επιπρόσθετα η μελέτη ανακατασκευασμένων μέσων πλεονεκτεί από οικονομικής απόψεως και συχνά στηρίζεται σε πρωτογενή δεδομένα από μη καταστροφικές πειραματικές τεχνικές για το υπό εξέταση δείγμα. Η ανακατασκευή ως τεχνική συναντάται σε πλήθος τεχνολογικών εφαρμογών που εκτείνονται από ιατρικές αναλύσεις έως την ανάπτυξη νέων υλικών και τη βελτιστοποίηση ποικίλων εφαρμογών. Την συναντούμε στον εντοπισμό βλαβών στον ανθρώπινο οργανισμό, στη μελέτη καταλυτών και φίλτρων, στην ανάλυση ιδιοτήτων εδαφών, κεραμικών, χαρτιού, τσιμέντου κ.α. 39

60 Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα αποτελεί η ανάπτυξη ιστών πάνω σε ανόργανα υποστρώματα-καλούπια όπου το καλούπι καθορίζει την μορφολογία των αναπτυσσόμενων ιστών αλλά και την κινητική της ανάπτυξης των κυττάρων καθώς επηρεάζει την ροή των θρεπτικών συστατικών και βιολογικών προϊόντων και παραπροϊόντων της διεργασίας. Σχήμα 2.1: Παράδειγμα ψηφιοποιημένου πορώδους μέσου. Ένα σημαντικό τμήμα της προσπάθειας ανάπτυξης μεθόδων ανακατασκευής εστιάζεται στα πορώδη και κοκκώδη υλικά αφ ενός λόγω της τεχνολογικής τους σπουδαιότητας, αφ ετέρου λόγω της μορφολογικής τους ιδιαιτερότητας. Η ποικιλία και πολυπλοκότητα των μορφών των μέσων αυτών καθιστά αναγκαστική την περιγραφή τους μέσω στατιστικών μεγεθών, γεγονός που επηρεάζει και τις μεθόδους ανακατασκευής τους, που είναι γνωστές ως στοχαστικές μέθοδοι ανακατασκευής. 40

61 Στο παρόν κεφάλαιο αναπτύσσεται μία πρωτότυπη μέθοδος ανακατασκευής πορωδών μέσων. Η μέθοδος στηρίζεται στο διφασικό πρότυπο δικτύου Boltzmann υπό την οπτική γωνία της προσομοίωσης μίας διαγενετικής διεργασίας. Η τεχνική αφορά την ανακατασκευή ανομοιογενών κοκκωδών υλικών και εφαρμόζεται σε πραγματικό δείγμα εδάφους, η πληροφορία για το οποίο προέρχεται από μία μόνο φωτογραφία. Στο επόμενο τμήμα θα δοθούν οι βασικές ποσότητες χαρακτηρισμού των πορωδών μέσων, θα κατονομαστούν οι τεχνικές απόκτησης δεδομένων και θα παρουσιαστούν οι πιο βασικές τεχνικές ανακατασκευής τους. Εν συνεχεία θα περιγραφεί η μέθοδος ανακατασκευής που αναπτύχθηκε και θα δοθεί ένα παράδειγμα εφαρμογής της ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ ΠΟΡΩ ΩΝ ΚΑΙ ΚΟΚΚΩ ΩΝ ΜΕΣΩΝ Μία ψηφιοποιημένη δομή μπορεί να αποδοθεί πλήρως μέσω της φασικής συνάρτησης, η οποία για ένα απλό διφασικό μέσο (όπου ο κενός χώρος αποτελεί την μία φάση και το υλικό αυτό καθ εαυτό την άλλη φάση) δίνεται από την σχέση 1 εάν το x ανήκει στον κενό χώρο Z( x) = (2.1) 0 αλλιώς Οι ροπές της φασικής συνάρτησης δίνουν σημαντικές πληροφορίες για τη δομή με βασικότερες τις ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης καθώς ροπές μεγαλύτερης τάξης υπολογίζονται πιο δύσκολα και σπάνια χρησιμοποιούνται. Η μηδενικής τάξης ροπή δίνει το ποσοστό του συνόλου που καταλαμβάνει η μία φάση. Έτσι, με βάση τον παραπάνω ορισμό της φασικής συνάρτησης 41

62 ε = Z( x) (2.2) η μηδενικής τάξης ροπή δίνει το κλάσμα του κενού χώρου, δηλαδή το πορώδες ε. Η πρώτης τάξης ροπή ορίζεται με ανάλογο τρόπο και σε κανονικοποιημένη μορφή ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δύο στοιχείων R ( x) = z ( Z( x) ε )( Z( x+ u) ε ) 2 ε ε (2.3) Περιγράφει την πιθανότητα δύο στοιχείων με μεταξύ τους απόσταση u να ανήκουν στην ίδια φάση και κατ επέκταση παρέχει πληροφορία για τον βαθμό οργάνωσης της φάσης. Ένα άλλο μέγεθος ενδιαφέροντος είναι η ειδική επιφάνεια (S) η οποία ορίζεται ως το εμβαδόν της διεπιφάνειας μεταξύ των δύο φάσεων προς τον συνολικό όγκο (ή μάζα). Για ψηφιοποιημένα μέσα, η ειδική επιφάνεια συνδέεται με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μέσω της σχέσης d S = 2 dε(1 ε ) Rz ( x) (2.4) x= 0 dx όπου d είναι η διάσταση του μέσου. Άλλα μεγέθη που συναντώνται συχνά στην βιβλιογραφία είναι η συνάρτηση γραμμικής διαδρομής, η κατανομή μήκους χορδών, η κατανομή μεγέθους πόρων και η τραχύτητα. Η συνάρτηση γραμμικής διαδρομής είναι η πιθανότητα ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους x να ανήκει σε μία φάση μόνο. Πιο συχνά χρησιμοποιείται η κατανομή μήκους χορδών, όπου ως χορδές ορίζονται εκείνα τα ευθύγραμμα τμήματα που ανήκουν σε μία μόνο φάση και των οποίων τα άκρα ανήκουν σε διεπιφάνεια μεταξύ των φάσεων. Τέλος, η τραχύτητα χρησιμοποιείται σε ειδικές περιπτώσεις και ορίζεται συνήθως ως η διακύμανση του τοπικού όγκου ως προς ένα επίπεδο αναφοράς. 42

63 2.1.2 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΠΟΚΤΗΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Επιγραμματικά οι τεχνικές αυτές είναι: Μικροσκοπία (ηλεκτρονικής σάρωσης SEM ή εκπομπής ηλεκτρονίων TEM). Ανάλυση ρόφησης-εκρόφησης αζώτου. Ανάλυση είσδυσης-απομάκρυνσης υδραργύρου. Μικροτομογραφία ακτίνων Χ (μέγιστη ανάλυση εμπορικών συσκευών 2-5μm, συγχρότρου περί τα 350 nm). Συνεστιακή μικροσκοπία (Confocal laser scanning microscopy). SAS/SANS Μικρής γωνίας σκέδαση (νετρονίων). Απεικόνιση Μαγνητικού Συντονισμού, NMR. Φασματομετρία υπερήχων ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Εδώ θα αναφερθούμε σε κάποιες κύριες μεθόδους ανακατασκευής πορωδών και κοκκωδών υλικών που επικρατούν στο χώρο της ανακατασκευής, τονίζοντας παράλληλα τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους. Η πλέον σημαντική μέθοδος είναι η μικροτομογραφία ακτίνων Χ (Sakellariou et al 2007). Ήδη διαδεδομένη στον χώρο της ιατρικής, η μικροτομογραφία χρησιμοποιεί διαδοχικές φωτογραφίες ακτίνων Χ σε συνδυασμό με σύγχρονες τεχνικές επεξεργασίας εικόνας για να δημιουργήσει μία πλήρη τρισδιάστατη απεικόνιση του υπό εξέταση δείγματος. Θα 43

64 μπορούσαμε να την χαρακτηρίσουμε ως την απόλυτη μέθοδο ανακατασκευής δεδομένου ότι προσφέρει κατ ουσία μία τρισδιάστατη φωτογραφία του δείγματος χωρίς να κάνει χρήση αυθαίρετων παραδοχών και υπεραπλουστεύσεων. Το βασικό της, όμως, μειονέκτημα είναι ότι η διακριτική της ικανότητα είναι συνάρτηση της εντάσεως των ακτίνων Χ. Οι εμπορικές συσκευές επιτυγχάνουν ανάλυση της τάξης των 2-5μm η οποία δεν είναι πάντα επαρκής για πορώδη και κοκκώδη υλικά των οποίων οι πόροι εμπίπτουν στην κατηγορία του μεσοπορώδους, δηλαδή με μέση διάμετρο πόρων μικρότερη των 50 nm. Συσκευές που κάνουν χρήση ακτινοβολίας συγχρότρου φτάνουν σε ανάλυση των 350 nm, αλλά στην περίπτωση αυτή το μειονέκτημα είναι η έλλειψη διαθεσιμότητας και εύκολης προσβασιμότητας σε τέτοιου είδους εγκαταστάσεις. Εξαιτίας αυτών των μειονεκτημάτων άλλες τεχνικές ανακατασκευής συνεχίζουν να ερευνώνται και να αναπτύσσονται. Μία διαφορετική τεχνική είναι η σειριακή τομογραφία όπου διαδοχικές τομές του δείγματος φωτογραφίζονται μέσω μικροσκοπίου και εν συνεχεία τα κενά μεταξύ των τομών ανακατασκευάζονται με χρήση κατάλληλου αλγόριθμου (Ye et al 2003). Αποτελεί φυσικά μια καταστροφική για το δείγμα τεχνική, η οποία δεν είναι ιδιαίτερα εύχρηστη ούτε πάντα εφαρμόσιμη δεδομένης της δυσκολίας απόκτησης διαδοχικών τομών χωρίς να παραμορφωθεί η εσωτερική δομή του δείγματος. Οι παραπάνω μέθοδοι ανακατασκευής είναι ενδεικτικές των σύγχρονων τεχνικών ανακατασκευής όσον αφορά την ανάλυση που επιτυγχάνουν και τις τεχνικές δυσκολίες που συναντούν. Ο απλούστερος τρόπος απόκτησης δεδομένων υψηλής ανάλυσης αποτελεί η μικροσκοπία δεδομένου μάλιστα ότι η πλειονότητα των ακαδημαϊκών και εταιρικών ερευνητικών κέντρων έχει πλέον πρόσβαση σε αυτήν. Θα αποτελούσε ιδανικό, από άποψη ευκολίας και ταχύτητας ανάλυσης, μέσω μίας απλής φωτογραφίας να μπορούσαμε να έχουμε μία πλήρη ψηφιακή ανακατασκευή του δείγματός μας. Το πρόβλημα έγκειται στο γεγονός ότι η μετάβαση από την δισδιάστη πληροφορία στην τρισδιάστατη δεν είναι απλή και αναπόφευκτα στην διαδικασία υπεισέρχονται παραδοχές και απλουστεύσεις. Έτσι ο τομέας αυτός της ανακατασκευής αποτελεί ανοικτό πεδίο έρευνας. 44

65 Εκτεταμένη χρήση έχουν τύχει στην βιβλιογραφία μοντέλα όπου το μέσο είναι κατασκευασμένο από τη διαδοχική διάταξη ή υπέρθεση απλών γεωμετρικών σχημάτων όπως σφαιρών, κυλίνδρων κ.α. (Coker et al 1995, Coelho et al 1997, Kainourgiakis et al 2000). Για παράδειγμα, για τα κοκκώδη υλικά υπάρχει η τεχνική της βαλλιστικής εναπόθεσης όπου σφαίρες διαφόρων κατανομών μεγέθους τοποθετούνται υπό την επίδραση της βαρύτητας ή ενός κέντρου έλξης. Η απλότητα και οι χαμηλές υπολογιστικές απαιτήσεις αλλά και το γεγονός ότι πολλάκις προσφέρουν μία αποδεκτή και ρεαλιστική προσέγγιση της δομής, εξηγούν γιατί τέτοιες τεχνικές είναι δημοφιλείς. Για πολυπλοκότερες, όμως, ή έντονα ανομοιογενείς μορφολογικά δομές απαιτούνται διαφορετικές τεχνικές ανακατασκευής. Μία ενδιαφέρουσα στατιστική τεχνική αναπτύχθηκε από τον Adler και τους συνεργάτες του (Adler et al 1990). Ως δεδομένα εισόδου χρησιμοποιούνται η πρώτη και δεύτερη ροπή της φασικής συνάρτησης. Εν συντομία το αρχικό τυχαίο πεδίο που εμπεριέχει την πληροφορία του πορώδους υφίσταται επεξεργασία μέσω ενός γραμμικού φίλτρου προσθέτοντας την πληροφορία για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και τελικά ένα μη γραμμικό φίλτρο κάνει την τελική διακριτοποίηση του πεδίου. Η τεχνική αυτή έδωσε κάποια ενθαρρυντικά αποτελέσματα για μη κοκκώδη πορώδη μέσα αλλά εν γένει η χρήση περιορίζεται από το γεγονός ότι ενσωματώνει μόνο την πληροφορία του πορώδους και της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Μια ιδιαίτερα αποτελεσματική μέθοδος είναι η τεχνική της προσομοιωμένης ανόπτησης (Makrodimitris et al 2002, Talukdar et al 2002, Politis et al 2008), η οποία χρησιμοποιήθηκε με επιτυχία για την ανακατασκευή πορωδών μέσων. Κατά την τεχνική αυτή, ένα σύστημα οδηγείται προς την κατάσταση ελάχιστης ενέργειας μέσω τυχαίων αλλαγών. Στην περίπτωση της ανακατασκευής οι αλλαγές αυτές συνίστανται στην εναλλαγή φάσης (κενού-στερεού) δύο τυχαίων κελιών ενώ η ενέργεια του συστήματος ορίζεται ως μία συνάρτηση που περιέχει ποσότητες χαρακτηρισμού του μέσου με ελάχιστη τιμή αυτή του προτύπου δείγματος. Κάθε βήμα γίνεται αποδεκτό ή μη σύμφωνα με τη μέθοδο Metropolis. Η δύναμη της τεχνικής της προσομοιωμένης ανόπτησης είναι η δυνατότητα ορισμού της αντικειμενικής συνάρτησης του συστήματος ως ενός συνδυασμού 45

66 διαφόρων ποσοτήτων χαρακτηρισμού, όπως της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, της συνάρτησης γραμμικής διαδρομής, της κατανομής μήκους χορδών κ.α. Βασικό μειονέκτημά της, όμως, είναι οι ιδιαίτερα υψηλές υπολογιστικές απαιτήσεις που προκύπτουν από την ανάγκη για υπολογισμό των παραπάνω ποσοτήτων σε κάθε βήμα, καθώς και η πιθανότητα εγκλωβισμού του συστήματος σε κάποιο τοπικό ελάχιστο. Μια διαφορετική στοχαστική μέθοδος προτάθηκε από τους Kikkinides και Burganos (1999, 2000). Η μέθοδος δημιουργεί δομές με συσχέτιση που υπακούει στην στατιστική της κλασματικής κίνησης κατά Brown (fractional Brownian motion, fbm). Η στοχαστική αυτή διαδικασία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες B H ( x) B ( x ) = 0 H [ B B ] H 0 2 2H H 0 0 ( x) ( x ) ~ x-x (2.5) όπου Η είναι o εκθετικός παράγοντας Hurst. Για Η=0.5 ανακτάται η κλασική κίνηση κατά Brown. Η τεχνική χρησιμοποιεί τη μέθοδο μετατόπισης μέσου σημείου και της πρόσθεσης τυχαίων στοιχείων. Συνοπτικά, σε ένα αρχικό δίκτυο, του οποίου οι κόμβοι έχουν τυχαίες τιμές στο διάστημα (0,1), προστίθενται σταδιακά κόμβοι των οποίων η τιμή σε κάθε βήμα n+1 προκύπτει από τον μέσο όρο των γειτoνικών κόμβων με μια απόκλιση που υπακούει στη σχέση σ 2H n+ 1 σ n = 2 (2.6) όπου n είναι ο αύξων αριθμός του βήματος εμπλουτισμού με νέους κόμβους. Η παραπάνω διαδικασία οδηγεί στη δημιουργία δισδιάστατων ή τρισδιάστατων δικτύων με τιμές κόμβων που υπακούν στη στατιστική fbm. Οι τιμές των κόμβων του τελικού δικτύου μετατρέπονται στις τιμές 0 ή 1 σύμφωνα έτσι ώστε να επιτευχθεί το επιθυμητό πορώδες. Ο βαθμός συσχέτισης του μέσου καθορίζεται από τον εκθέτη H ενώ το μήκος συσχέτισης μπορεί να μεταβληθεί με τη διαίρεση του δικτύου σε υποδίκτυα (πολυκυτταρική δομή fbm). Η τεχνική έχει εφαρμοστεί (Kikkinides et al 2004) 46

67 στην ανακατασκευή πολυστρωματικής μεμβράνης α-αλούμινας. Προέκυψε ότι οι πειραματικές τιμές του συντελεστή διαπερατότητας και διάχυσης παρουσίασαν πολύ ικανοποιητική συμφωνία με τις προβλέψεις προσομοιώσεων στην ανακατασκευασμένη δομή. 2.2 ΤΟ ΙΦΑΣΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΩΣ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανακατασκευή ανομοιογενών κοκκωδών υλικών μέσω μίας εναλλακτικής τεχνικής και συγκεκριμένα μέσω της χρήσης ενός διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann. Η τεχνική παρουσιάζει μειωμένο υπολογιστικό κόστος και αυξημένη δυνατότητα για περιγραφή ποικίλων μορφολογικών χαρακτηριστικών. Το διφασικό πρότυπο δικτύου Boltzmann επιτρέπει σε δύο φάσεις πλήρως αναμεμειγμένες να διαχωριστούν, με επανένωση των τμημάτων της ίδιας φάσης υπό την επίδραση της επιφανειακής τάσης. Η διαδικασία αυτή, όπως αποκαλύπτεται από τα ενδιάμεσα στιγμιότυπά της, παρουσιάζει μία ενδιαφέρουσα ομοιότητα προς διαγενετική διεργασία. Θα πρέπει, ασφαλώς, να τονιστεί ότι η δεδομένη προσέγγιση ανακατασκευής είναι καθαρά ευριστική. Η διαγένεση, όρος της επιστήμης της γεωλογίας, είναι η διεργασία μεταμόρφωσης των ιζημάτων σε πετρώματα. Ο όρος είναι γενικός καθώς η φυσικοχημική διαδικασία απολίθωσης ενός ιζήματος εξαρτάται από ποικιλία παραμέτρων. Στα πλαίσια της ανακατασκευής μπορούμε να τον μεταθέσουμε στην ευρύτερη έννοια της δημιουργίας ενός υλικού του οποίου τα επιμέρους τμήματα είναι συσχετισμένα με τρόπο που αντανακλά το μηχανισμό δημιουργίας του. Η παρούσα ευριστική προσέγγιση δεν ακολουθεί τον μηχανισμό της διαγένεσης από φυσική άποψη αλλά μέσω της τάσης του προσομοιωτή δικτύου Boltzmann να παρέχει μορφολογικούς συσχετισμούς με κύριο κριτήριο την ελάττωση της ενέργειας του συστήματος. 47

68 Σχήμα 2.2: Στιγμιότυπα χρονικής εξέλιξης προσομοίωσης διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann. Τα στιγμιότυπα δίνονται υπό τη μορφή κενούστερεού. Ένα παράδειγμα της εξέλιξης ενός διφασικού συστήματος δίνεται στο Σχήμα 2.2. Το πρώτο στιγμιότυπο αντιστοιχεί στην χρονική στιγμή μηδέν όπου οι δύο φάσεις βρίσκονται τυχαία κατανεμημένες στο χώρο. Με την πάροδο του χρόνου προσομοίωσης οι δύο φάσεις αρχίζουν να αυτοοργανώνονται και επέρχεται σταδιακή συνένωση των στοιχείων της ίδιας φάσης μεταβάλλοντας κατ αυτόν τον τρόπο τη μορφολογία του κάθε στιγμιότυπου. Με έλεγχο τον αρχικών κατανομών και του ρυθμού συνένωσης μπορεί να προκύψει μία ποικιλία μορφολογικών χαρακτηριστικών, και σε συνδυασμό με τη μεθοδολογία, που θα περιγραφεί στη συνέχεια, είναι 48

69 δυνατόν να ανακατασκευαστούν ανομοιογενείς πορώδεις δομές που να σέβονται τόσο τα ποσοτικά όσο και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του μέσου ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ Η ευελιξία του προτύπου δικτύου Boltzmann στην αντιμετώπιση περίπλοκων και συχνά χρονομεταβαλλόμενων συνοριακών συνθηκών, το καθιστούν ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο στην προσομοίωση διφασικών συστημάτων. Το πρότυπο που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία αναπτύχθηκε από τους Kalarakis et al (2002, 2003). Η διεπιφάνεια αντιμετωπίζεται με θερμοδυναμικό τρόπο εισάγοντας την θεωρία ελεύθερης ενέργειας του van der Waals (Rowlinson and Widom 1982, Swift et al 1995). Η ελεύθερη ενέργεια ενός μη ομογενούς συστήματος δίνεται από το ακόλουθο συναρτησιακό F ( ) 1 m( ) 2 = ψ ρ + ρ + dv 2 (2.7) V όπου ρ η τοπική πυκνότητα, ψ(ρ) είναι η πυκνότητα ελεύθερης ενέργειας ομογενούς συστήματος και m η δεύτερη ροπή διαμοριακού δυναμικού και σχετίζεται με την διεπιφανειακή τάση σ για επίπεδη διεπιφάνεια μέσω της σχέσης ( ρ ( z) ) 2 σ = m dz z (2.8) Ο υπολογισμός της κατανομής της πυκνότητας γίνεται με ελαχιστοποίηση του συναρτησιακού της ελεύθερης ενέργειας. Ο τανυστής της πίεσης του συστήματος δίνεται από την σχέση 1 ρ ρ ( ρ) 2 = δ + ρ ρ 2 2 P p0 m m m (2.9) 49

70 όπου p 0 είναι η πίεση που δίνεται από την καταστατική εξίσωση του ρευστού p0 = μ( ρρ ) ψρ ( ) (2.10) Το πρότυπο χρησιμοποιείται για τη μελέτη συστημάτων υγρού-αερίου, τόσο σε συνθήκες ισορροπίας όσο και σε συνθήκες διφασικής ροής. Θα πρέπει να τονιστεί ότι εδώ το παρόν πρότυπο δεν χρησιμοποιείται για την προσομοίωση ενός διφασικού συστήματος υγρού-αερίου αλλά για την ανακατασκευή δισδιάστατων και τρισδιάστατων πορωδών μέσων. Χωρίς να επιζητείται ακρίβεια από φυσικής άποψης, γίνεται εκμετάλλευση των λειτουργικών παραμέτρων του προτύπου ώστε να ρυθμίσουμε το σύστημα να αποδώσει την επιθυμητή μορφολογία. Οι ρυθμιστικές αυτές μεταβλητές είναι το κινηματικό ιξώδες και η πυκνότητα της υγρής και της αέριας φάσης, η θερμοδυναμική παράμετρος m, το πάχος της διεπιφάνειας ρευστού-αερίου και ο χρόνος προσομοίωσης. Με ρύθμιση των παραπάνω μεταβλητών μπορεί να επιτευχθεί μεγάλη ποικιλία μορφολογικών χαρακτηριστικών, γεγονός που σε συνδυασμό με τη μεθοδολογία που περιγράφεται ακολούθως, μπορεί να οδηγήσει στην ανακατασκευή των επιθυμητών δομών ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Ο στόχος της μεθόδου είναι η ανακατασκευή ανομοιογενούς υλικού με βάση την πληροφορία που μπορεί να προέλθει από τη μικροφωτογραφία μιας τομής του πραγματικού μέσου. Η πληροφορία που ενσωματώνεται στη μέθοδο είναι το πορώδες, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, η μέση διάμετρος, για την περίπτωση κοκκωδών υλικών, και τα μορφολογικά χαρακτηριστικά. Η δυσκολότερη πληροφορία που μπορεί να αναπαραχθεί σε μία τεχνική ανακατασκευής είναι αυτή της μορφολογίας. Συχνά, οι διάφορες μέθοδοι ανακατασκευής αναπαράγουν το επιθυμητό πορώδες και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης αλλά η μορφολογία της ανακατασκευασμένης δομής αποκλίνει από αυτήν του πραγματικού υλικού. Το κριτήριο της 50

71 μορφολογίας αποτελεί τη βάση της παρούσας μεθόδου και ικανοποιείται εποπτικά καθορίζοντας προσεγγιστικά τις αρχικές τιμές των ρυθμιζόμενων μεταβλητών. εδομένης της ταχύτητας μεθόδου, η εύρεση ενός συνόλου τιμών των μεταβλητών αποτελεί μία εύκολη και γρήγορη διαδικασία. Στο παράδειγμα του Σχήματος 2.2 το σύστημα έχει ρυθμιστεί για την απόδοση δομών με κοκκώδη μορφολογία. Η πληροφορία του πορώδους, ε, μπορεί να εισαχθεί από την αρχική κατανομή πυκνοτήτων της υγρής και της αέριας φάσης. Η μετάβαση σε ένα δυαδικό σύστημα μπορεί να γίνει με τη χρήση ενός ορίου ίσου με τη μέση τιμή των πυκνοτήτων «υγρού»-«αερίου» στη συγκεκριμένη μέθοδο αποδίδοντας στους κόμβους του δικτύου με τιμές πυκνότητας κάτω του ορίου αυτού την τιμή 1 και στους υπόλοιπους την τιμή 0 ή και αντίστροφα. εδομένου ότι η εξέλιξη του συστήματος δεν είναι τυχαία αλλά καθορίζεται από την τάση ελαχιστοποίησης της επιφανειακής τάσης, ο βαθμός συσχέτισης των δύο φάσεων, ο οποίος αντανακλάται από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, εξαρτάται από το χρόνο προσομοίωσης. Υπολογίζοντας τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σε τακτά χρονικά διαστήματα είναι δυνατή η εύρεση του στιγμιότυπου εκείνου με τη μικρότερη απόκλιση από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της πραγματικής δομής. Το χρονικό βήμα υπολογισμού μπορεί να μειωθεί σημαντικά, με επακόλουθη μείωση του απαιτούμενου χρόνου προσομοίωσης, μέσω ρύθμισης του μέτρου της διεπιφανειακής τάσης. Όσο μικρότερη είναι η τιμή της διεπιφανειακής τάσης, τόσο ταχύτερη είναι η εξέλιξη της αυτό-οργάνωσης των δύο φάσεων και, συνεπώς, και της αναπαραγωγής της δομής με τα επιθυμητά χαρακτηριστικά. Στην περίπτωση κοκκωδών υλικών με ευρεία κατανομή διαμέτρων, δηλαδή για έντονα ανομοιογενείς δομές, η ανακατασκευή γίνεται σε περισσότερα του ενός στάδια. Η ανάγκη αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι ανά στάδιο, η τυπική απόκλιση των διαμέτρων των παραγόμενων κόκκων από τη μέση τιμή δε μπορεί να πάρει μεγάλες τιμές λόγω της συνεχούς συνένωσης τους, οπότε η πορώδης δομή του κάθε σταδίου είναι περίπου ομοιογενής. Η διαδικασία που ακολουθείται στην περίπτωση αυτή είναι ο χωρισμός του πορώδους μέσου σε υποκατηγορίες με μικρότερη τυπική απόκλιση διαμέτρων 51

72 Σχήμα 2.3: Παράδειγμα σταδιακής ανακατασκευής ανομοιογενούς κοκκώδους δομής με τη μέθοδο του διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann. 52

73 και ανακατασκευή των επιμέρους υποκατηγοριών. Το πρόβλημα της αλληλοεπικάλυψης των παραγόμενων κόκκων, που θα προέκυπτε από την άμεση σύνθεση-υπέρθεση των ανακατασκευασμένων υποκατηγοριών, ξεπερνιέται με τον ακόλουθο τρόπο. Το κάθε στάδιο ανακατασκευής αντιμετωπίζεται σειριακά, με αρχή το στάδιο με τη μεγαλύτερη μέση διάμετρο, με τα προηγούμενα στάδια να συνυπάρχουν στο χώρο προσομοίωσης, αλλά έχοντας χαρακτηριστεί ως στερεό που δεν αλληλεπιδρά με το σύστημα υγρούαερίου, και επιτρέποντας με τον τρόπο αυτό στους κόκκους διαφορετικών σταδίων να εφάπτονται αλλά όχι να συνενώνονται. Ένα παράδειγμα της τεχνικής αυτής παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.3. Το δεύτερο στιγμιότυπο έχει προκύψει από την εξέλιξη του συστήματος υγρού-αερίου μέσα στη στερεή δομή του πρώτου στιγμιότυπου, το τρίτο μέσα στη στερεή δομή του πρώτου και του δευτέρου κ.ο.κ. Αξίζει να σημειωθεί ότι η τεχνική αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανακατασκευή ανομοιόμορφων δομών με χρήση διαφορετικών συνόλων τιμών των ρυθμιζόμενων μεταβλητών ανά στάδιο. Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η περίπτωση δομών με κοκκώδη μορφολογία και στο ακόλουθο τμήμα θα παρουσιαστεί ένα παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου για την ανακατασκευή ενός πραγματικού ανομοιογενούς κοκκώδους υλικού ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟ ΟΥ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΚΟΚΚΩ ΕΣ ΥΛΙΚΟ Η δομή που αποτελεί τον στόχο της ανακατασκευής παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.4. Η διαθέσιμη πληροφορία προέρχεται από τη φωτογραφία μέσω ηλεκτρονικής μικροσκοπίας σάρωσης (SEM) μίας τομής ενός δείγματος εδάφους με κοκκώδη μορφολογία και ευρεία κατανομή διαμέτρου κόκκων. Η ωτογραφία ψηφιοποιήθηκε και η αρχική δομή χωρίστηκε σε 4 υποκατηγορίες, με βάση τη διάμετρο των κόκκων, οι οποίες παρουσιάζονται στο Σχήμα 2.5. Η διάμετρος των κόκκων μπορεί να υπολογιστεί είτε με χρήση της διαμέτρου Feret που ορίζεται ως η μέγιστη απόσταση μεταξύ των 53

74 Σχήμα 2.4: Φωτογραφία μικροσκοπίας σάρωσης οπισθοσκεδαζόμενων ηλεκτρονίων (Back-Scattered SEM) μίας τομής δείγματος εδάφους ετερογενούς σύστασης και με ευρεία κατανομή διαμέτρων κόκκων (Tsakiroglou et al 2008). εξωτερικά του αντικειμένου εφαπτόμενων ευθειών παραλλήλων προς έναν άξονα αναφοράς, είτε με την ισοδύναμη διάμετρο δηλαδή τη διάμετρο σφαίρας του ιδίου εμβαδού ή όγκου με το υπό εξέταση αντικείμενο. Στην προκειμένη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ο πρώτος ορισμός και ο υπολογισμός έγινε μέσω εμπορικού λογισμικού και οι κατανομές παρουσιάζονται στο διάγραμμα 2.1. Σε κάθε υποκατηγορία υπολογίστηκε, επίσης, το πορώδες, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, καθώς και ο συντελεστής διάχυσης με βάση τη μέθοδο της μέσης τετραγωνικής μετατόπισης (Burganos 1998), εκτός από την περίπτωση του τέταρτου σταδίου που δεν εμφανίζει διαπερατότητα (percolation). Το τέταρτο στάδιο αποτελεί ουσιαστικά ολόκληρη τη δομή συμπεριλαμβανομένης της λεπτομερώς κατατετμημένης ύλης της τάξης μεγέθους του ενός στοιχείου διακριτοποίησης (pixel). 54

75 55

76 Σχήμα 2.5: Υποκατηγορίες του ψηφιοποιημένου υλικού του Σχήματος 2.4 με βάση τη μέση διάμετρο κόκκων. Η τέταρτη υποκατηγορία αφορά όλο το δείγμα. 20 Στάδιο 1 15 COUNT ιάμετρος (μονάδες pixel) Στάδιο 2 30 COUNT ιάμετρος (μονάδες pixel) Στάδιο 3 80 COUNT ιάμετρος (μονάδες pixel) ιάγραμμα 2.1: Κατανομές διαμέτρου κόκκων των υποκατηγοριών του Σχήματος

77 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R z (u) Στάδιο 1 Ανακατασκευή Αδιάστατη απόσταση, u Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R z (u) Στάδιο 2 Ανακατασκευή Αδιάστατη απόσταση, u Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R z (u) Στάδιο 3 Ανακατασκευή Αδιάστατη απόσταση, u Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R z (u) Στάδιο 4 Ανακατασκευή Αδιάστατη απόσταση, u ιάγραμμα 2.2: Σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης των ανακατασκευασμένων δομων με τις πραγματικές ανά στάδιο ανακατασκευής. 57

78 Το κάθε στάδιο ανακατασκευάστηκε με τη μέθοδο που περιγράφηκε ανωτέρω, ικανοποιώντας την κατανομή διαμέτρων, το πορώδες και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.6. Στο διάγραμμα 2.2 γίνεται η σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης των επιμέρους σταδίων μεταξύ της ανακατασκευής και του πραγματικού υλικού και η σύμπτωσή τους είναι ικανοποιητική. Ικανοποιητική είναι, επίσης, η συμφωνία των συντελεστών διάχυσης Knudsen, που υπολογίστηκαν για κάθε στάδιο με την τεχνική των μοριακών τροχιών (Burganos 1998), όπως φαίνεται στον Πίνακα 2.1. Ο συντελεστής διάχυσης κατά Knudsen είναι ιδιαίτερα ενδεικτικός της επίδρασης των μορφολογικών και τοπολογικών χαρακτηριστικών της δομής στο συντελεστή μεταφοράς καθώς τα μόρια συγκρούονται αποκλειστικά με τα στερεά τοιχώματα. Τα αποτελέσματα δίνονται σε αδιαστατοποιημένη μορφή με βάση την τιμή της διαχυτότητας Knudsen για απείρου μήκους σωλήνες με διάμετρο ίση με τη μέση διάμετρο των πόρων. Η διαχυτότητα Knudsen δεν γίνεται να υπολογιστεί στο στάδιο 4 καθώς το στάδιο αυτό δεν εμφανίζει διαπερατότητα. Το σχετικό σφάλμα για τη διαχυτότητα Knudsen σε τομές της τρσδιάστατης ανακατασκευής κυμαίνοταν και αυτό από 5-10%. Πίνακας 2.1: Aποτελέσματα υπολογισμού του αδιαστατοποιημένου συντελεστή διαχύσεως Knudsen για τη ψηφιοποιημένη μικροφωτογραφία της πραγματικής δομής και την ανακατασκευή της. Σύγκριση ανά στάδιο ανακατασκευής. Στάδιο D K πραγματικής D K ανακατασκευής Σχετικό σφάλμα (%)

79 Σχήμα 2.6: Η ανακατασκευασμένη ανομοιογενής κοκκώδη δομή του Σχήματος 2.4 με τη μέθοδο του διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann. Η χρήση του διφασικού προτύπου δικτύου Boltzmann επιτρέπει την τρισδιάστατη κατασκευή πορωδών μέσων. εδομένου ότι η πληροφορία για τα ποσοτικά χαρακτηριστικά της πραγματικής δομής προέρχεται από τη δισδιάστατη απεικόνιση μίας τομής της, η τρισδιάστατη ανακατασκευή στηρίζεται στην παραδοχή ότι η τομή είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του υλικού. Υπό την προϋπόθεση αυτή, τα ποσοτικά χαρακτηριστικά της τομής μπορούν να συγκριθούν με τα αντίστοιχα τομών της τρισδιάστατης ανακατασκευής. Σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του πραγματικού υλικού και τομών τρισδιάστατης ανακατασκευής παρουσιάζεται στο διάγραμμα 2.3. Το πλεονέκτημα που παρέχει η τρισδιάστατη ανακατασκευή 59

80 είναι ότι επιτρέπει προσδιορισμό χρήσιμων ιδιοτήτων του μέσου, όπως π.χ. του συντελεστή διαπερατότητας, που είναι άμεσα συγκρίσιμες με τις πειραματικά προσδιορισμένες τιμές τους. Η σύγκριση αυτή δεν είναι πάντα δυνατή στην περίπτωση δισδιάστατων προσομοιώσεων καθώς η ύπαρξη τρίτης διάστασης μεταβάλλει τις ιδιότητές του μέσου. Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R z (u) Στάδιο 1 Στάδιο 2 Στάδιο 3 Στάδιο 4 Ανακατασκευή 1 Ανακατασκευή 2 Ανακατασκευή 3 Ανακατασκευή Αδιάστατη απόσταση, u ιάγραμμα 2.3: Σύγκριση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης τομής τρισδιάστατης ανακατασκευασμένης δομής με τις πραγματικές ανά στάδιο ανακατασκευής. 2.3 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μια εναλλακτική μέθοδος ανακατασκευής κοκκωδών υλικών αναπτύχθηκε στο κεφάλαιο αυτό η οποία στηρίζεται στο διφασικό πρότυπο δικτύου Boltzmann. Παρότι το πρότυπο αυτό προσφέρεται γενικώς για την προσομοίωση διφασικής ροής και ισορροπίας διφασικών συστημάτων, η πολυμορφία την οποία προσφέρει στην κατανομή των δύο φάσεων κατά τη διεργασία της αυτό-οργάνωσής τους υπό την επίδραση της διεπιφανειακής τάσης αξιοποιήθηκε για την ανακατασκευή κοκκωδών υλικών με επιλεκτική 60

81 αναστολή της συνένωσης των δύο φάσεων, ανακατανομή φάσεων και συνέχιση της αυτό-οργάνωσης μέχρι να επιτευχθεί η επιθυμητή δομή. Ανάμεσα στα κριτήρια επιτυχούς ανακατασκευής κοκκωδών υλικών συγκαταλέγονται η επίτευξη του επιθυμητού πορώδους, της επιθυμητής κατανομής μεγέθους κόκκων, της επιθυμητής μέσης χορδής και λοιπών γεωμετρικών και στατιστικών χαρακτηριστικών της δομής. Το πλέον άμεσα χρήσιμο κριτήριο βέβαια είναι η επιτυχής αναπαραγωγή συντελεστών μεταφοράς, όπως έγινε εδώ με το συντελεστή διάχυσης Knudsen, ο οποίος βρέθηκε ότι είναι σε πολύ ικανοποιητική συμφωνία με την αντίστοιχή τιμή στο πραγματικό δείγμα. Το πλεονέκτημα που προσφέρει η συγκεκριμένη τεχνική έγκειται τόσο στην οιονεί προσομοίωση μιας διαγενετικής διεργασίας δημιουργίας της δομής όσο και στην ευελιξία που έχει ο χρήστης στην διακοπή και συνέχιση της αυτό-οργάνωσης ώστε να επιτρέψει και περαιτέρω εξέλιξη της δομής προκειμένου να παρακολουθήσει διεργασίες ιξώδους συσσωμάτωσης με μετακίνηση της κατανομής μεγέθους των κόκκων προς μεγαλύτερα μεγέθη, όπως άλλωστε γίνεται και στην πράξη. Ο μηχανισμός που υπαγορεύει την ιξώδη συσσωμάτωση οδηγεί στη δημιουργία συσχετισμένων δομών, όπου τόσο η μορφολογία του πορώδους μέσου όσο και ο βαθμός συσχέτισής του καθορίζονται από τις λειτουργικές παραμέτρους του προτύπου. Έτσι καθίσταται δυνατή η απόδοση ποικιλίας μορφολογικών και τοπολογικών χαρακτηριστικών των οποίων η διαδικασία δημιουργίας παρουσιάζει ομοιότητες με διαγενετική διεργασία. Η τεχνική εφαρμόστηκε σε πραγματικό δείγμα εδάφους με μοναδικό δεδομένο τη μικροφωτογραφία μίας στατιστικά χαρακτηριστικής τομής του. Αναπαράχθηκε η κοκκώδης μορφολογία του υλικού καθώς και σημαντικά τοπολογικά του χαρακτηριστικά όπως το πορώδες, ο βαθμός συσχέτισής της δομής που εκφράζεται από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, και η μέση τιμή της κατανομής χορδών σε κάθε διακριτή κλίμακα μεγέθους κόκκων. 61

82 62

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΗ ΑΕΡΙΩΝ ΣΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ KNUDSEN 3.1 ΤΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ Η περιγραφή της κίνησης των ρευστών (αερίων και υγρών) αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους επιστημονικούς κλάδους, γνωστό με το όνομα ρευστομηχανική. Εκ των δύο θεμελιωδών προσεγγίσεων που μπορούν να γίνουν για την περιγραφή του ρευστού, δηλαδή της μικροσκοπικής και της μακροσκοπικής, η μακροσκοπική παραδοσιακά θεωρείται βασικότερη καθώς έχει αντιμετωπίσει επιτυχώς πληθώρα τεχνολογικών προβλημάτων. Αντίθετα από την μικροσκοπική περιγραφή που εστιάζει στο τι γίνεται σε μοριακό επίπεδο, η μακροσκοπική θεωρεί το ρευστό ως ένα συνεχές μέσο χρησιμοποιώντας συνεχείς συναρτήσεις στο χώρο για να περιγράψει την πυκνότητα, την ταχύτητα, την πίεση και την θερμοκρασία, στηριζόμενη σε τέσσερις θεμελιώδεις νόμους της φυσικής που είναι η αρχή της συνέχειας (διατήρηση της μάζας), η αρχή διατήρησης της γραμμικής ορμής, η αρχή διατήρησης της στροφορμής και η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Οι τέσσερις αυτές αρχές εκφρασμένες υπό την μορφή μακροσκοπικών εξισώσεων (που υπό ορισμένες συνθήκες είναι γνωστές με το όνομα Navier- Stokes) και με τη βοήθεια των κατάλληλων καταστατικών εξισώσεων και συνοριακών συνθηκών, αποτελούν ένα ισχυρότατο εργαλείο στα χέρια των μηχανικών για την αντιμετώπιση πάρα πολλών προβλημάτων. Όπως αναφέρθηκε η μακροσκοπική προσέγγιση της ρευστομηχανικής στηρίζεται στην αντιμετώπιση του ρευστού ως συνεχούς μέσου, γνωστή ως υπόθεση του συνεχούς. Σύμφωνα με την υπόθεση του συνεχούς, μέσα σε ένα 63

84 στοιχειώδη όγκο ελέγχου δv ( ο ορισμός του οποίου είναι απαραίτητος για την κατάστρωση των μακροσκοπικών εξισώσεων) υπάρχει ικανός αριθμός μορίων που είναι στατιστικά αντιπροσωπευτικός για το σημείο του χώρου με τις διακυμάνσεις των ρεολογικών μεταβλητών στο εσωτερικό του να είναι αμελητέες. Από φυσικής απόψεως, οι διαστάσεις του στοιχειώδους όγκου ελέγχου υφίστανται σε περιορισμούς. Για υγρά (Παγιατάκης 2004) δv=0(σ 3 ), όπου σ είναι η μοριακή διάμετρος, ενώ για αέρια δv=0(λ 3 ), όπου λ είναι η μέση ελεύθερη διαδρομή των αερίων, δηλαδή η μέση τιμή της απόστασης που ένα μόριο διανύει χωρίς να συγκρουστεί. Επιπρόσθετα, για να είναι η δειγματοληψία στατιστικά επαρκής θα πρέπει το (δv) 1/3 να είναι κατά πολύ μικρότερο της χαρακτηριστικής διαστάσεως του δοχείου L (ή υπό μία ευρύτερη έννοια της χαρακτηριστικής διαστάσεως του υπό εξέταση ρεολογικού προβλήματος), δηλαδή 0(σ)= (δv) 1/3 << L για τα υγρά και 0(λ)= (δv) 1/3 <<L για τα αέρια. Για τα υγρά η παραπάνω συνθήκη ικανοποιείται σχεδόν πάντα, γεγονός όμως που δεν ισχύει σε πολλές περιπτώσεις ροής αερίων. Συγκεκριμένα, σε πολλές σημαντικές τεχνολογικές εφαρμογές της ροής αερίων, στις οποίες αναφορά θα γίνει παρακάτω, η μέση ελεύθερη διαδρομή λ του αερίου είναι της ίδιας τάξης με το χαρακτηριστικό μήκος L, γεγονός που οδηγεί στην άρση της ισχύος της υπόθεσης του συνεχούς μέσου και στην ανάγκη να χρησιμοποιηθούν άλλες προσεγγίσεις καθώς οι μακροσκοπικές εξισώσεις αδυνατούν να περιγράψουν την ροή. Καθώς παραδοσιακά τέτοιες περιπτώσεις ροής αερίων συναντώνται υπό συνθήκες αραίωσης έχει επικρατήσει να περιγράφονται με τον όρο «ροή υπό συνθήκες αραίωσης», αν και είναι δυνατό να μην ισχύει η υπόθεση του συνεχούς με την πυκνότητα του αερίου να είναι αρκετά υψηλή. 3.2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΑΙΩΣΗΣ Μία από τις σπουδαιότερες περιοχές ενδιαφέροντος για τη ροή αερίου υπό συνθήκες αραίωσης αποτελεί η αεροδυναμική σε μεγάλα υψόμετρα. Με δεδομένη την πτώση της πυκνότητας του αέρα καθώς αυξάνεται το υψόμετρο, στις πτήσεις στα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας, η μέση ελεύθερη 64

85 διαδρομή λ είναι της ίδιας τάξης με τα μέρη των διαστημικών οχημάτων. Σε υψόμετρο π.χ. 120 km είναι λ=0.3m επομένως το αέριο δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί ως συνεχές μέσο. Η αμερικανική υπηρεσία διαστήματος (NASA) κατέφυγε σε μεσοσκοπικές προσεγγίσεις για την ανάλυση δεδομένων διαστημικών πτήσεων (LeBeau, Lumkin, 2001). Ένας άλλος τομέας που παραδοσιακά αντιμετωπίζει το ίδιο πρόβλημα αποτελεί η τεχνολογία κενού. Ζητήματα σχεδιασμού αντλιών και σωληνώσεων αντιμετωπίστηκαν κυρίως μέσω της κινητικής θεωρίας των αερίων στις περιοχές που η τελευταία είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί (Steckelmacher 1986). Στην τεχνολογία χημικής εναπόθεσης ατμού υπό χαμηλή πίεση, επίσης η μέση ελεύθερη διαδρομή είναι της τάξης της διάστασης της συσκευής. Η ροή του αερίου προς το υπόστρωμα παίζει καθοριστικό ρόλο τόσο στους ρυθμούς των αέριων αντιδράσεων όσο και στους ρυθμούς εναπόθεσης στο στερεό υπόστρωμα και κατ επέκταση στην σύσταση και ομοιομορφία του. Οι απλουστευτικές παραδοχές που συχνά χρησιμοποιούνται κατά την προσομοίωση τέτοιων διεργασιών αδυνατούν να δώσουν πλήρη περιγραφή ρεαλιστικών προβλημάτων όπου η πολύπλοκη γεωμετρία του αντιδραστήρα, οι υψηλές θερμοκρασιακές βαθμίδες και η ποικιλία των αέριων ειδών καθιστούν δύσκολη την περιγραφή των φαινομένων μεταφοράς (Choy 2001). Στην τεχνολογία διαχωρισμού αερίων μέσω μεμβρανών όπως και στην ετερογενή κατάλυση σε πολλές περιπτώσεις οι πόροι του μέσου είναι της ίδιας τάξης με τη μέση ελεύθερη διαδρομή του αερίου. Ο επιτυχής σχεδιασμός αυτών των διεργασιών αναπόφευκτα απαιτεί την περιγραφή της ροής του αερίου διαμέσου των πόρων και την ανάπτυξη των κατάλληλων θεωρητικών και υπολογιστικών εργαλείων. (Sotirchos and Burganos 1999). Ένας ραγδαία αναπτυσσόμενος τομέας είναι ο σχεδιασμός και χρήση μικρο-ηλεκτρο-μηχανικών συσκευών (MEMS). Μέσω της βελτίωσης των κατασκευαστικών τεχνικών έχει καταστεί δυνατή η ανάπτυξη συσκευών της τάξης του μικρομέτρου με πληθώρα εφαρμογών, Για παράδειγμα, μετρητές επιτάχυνσης της τάξης των μικρομέτρων χρησιμοποιούνται στους αερόσακους των αυτοκινήτων, μικροσκοπικοί αισθητήρες πίεσης στις άκρες 65

86 καθετήρων, μικροκινητήρες ελέγχουν την κίνηση της μύτης των ηλεκτρονικών μικροσκοπιών σάρωσης, συστοιχίες δικτύων βιολογικών συσκευών περιλαμβάνουν μικροροές κτλ. Και εδώ το μικρό μέγεθος των συσκευών δημιουργεί σωρεία νέων προβλημάτων, πολλά εκ των οποίων αφορούν τη ροή διαμέσου των διαφόρων τμημάτων των MEMS (Karniadakis et al 2005, Evans et al 2009). 3.3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΡΟΗΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ KNUDSEN O βαθμός αραίωσης εκφράζεται από τον αριθμό Knudsen (Kn), ο οποίος ορίζεται ως ο λόγος της μέσης ελεύθερης διαδρομής λ προς ένα χαρακτηριστικό μήκος L. Kn λ = (3.1) L Σε ορισμένες περιπτώσεις ο Kn μπορεί να είναι παραπλανητικός όταν υπάρχουν μεγάλες βαθμίδες των μακροσκοπικών μεταβλητών. Στις περιπτώσεις αυτές μπορεί να οριστεί ο τοπικός αριθμός Knudsen όπου το L ορίζεται ως το χαρακτηριστικό μήκος της μακροσκοπικής βαθμίδας, π.χ. A L = (3.2) da / dx όπου Α η μακροσκοπική μεταβλητή ενδιαφέροντος (ρ, v, P, T). Υπό μία συμπληρωματική θεώρηση απαραίτητη προϋπόθεση για τον χαρακτηρισμό ενός αερίου ως αραιού είναι η ύπαρξη μόνο δυαδικών συγκρούσεων μεταξύ των μορίων του αερίου. Το κλάσμα του χώρου που καταλαμβάνει ένα αέριο και πραγματικά περιέχει ένα μόριο είναι της τάξης του (σ/δ) 3 όπου δ είναι η μέση απόσταση μεταξύ των μορίων και δίνεται από την σχέση 66

87 δ 1/3 = n (3.3) όπου n είναι η αριθμητική πυκνότητα του αερίου, δηλαδή ο αριθμός μορίων ανά μονάδα όγκου. Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι για αρκετά χαμηλή πυκνότητα, τα μόρια κινούνται εκτός της ακτίνας επιρροής των γειτόνων τους, ενώ στην περίπτωση σύγκρουσης, με ιδιαίτερα αυξημένη πιθανότητα, η σύγκρουση αυτή θα είναι δυαδική. Η παραπάνω περίπτωση χαρακτηρίζεται από την συνθήκη δ >> σ (3.4) η οποία ορίζει το αραιό αέριο και με την τιμή δ/σ=7 να έχει επιλεγεί ως όριο (Bird 1994). Με βάση τον αριθμό Knudsen μπορούμε να διακρίνουμε τέσσερις περιοχές ροής (Barber and Emerson 2006). Για αριθμούς Knudsen μικρότερους του 10-2 είμαστε στην περιοχή του συνεχούς, όπου ισχύουν οι μακροσκοπικές εξισώσεις. Για 10-2 <Κn<10-1 η ισχύς αυτή επεκτείνεται με χρήση συνοριακών συνθηκών ολίσθησης και έχουμε τη δεύτερη περιοχή της ροής με ολίσθηση. Η τρίτη περιοχή για αριθμούς Knudsen μεταξύ 10-1 και 10 1 ονομάζεται μεταβατική περιοχή όπου η περιγραφή της είναι η πλέον προβληματική, ενώ για Κn>10 1 έχουμε την περιοχή της ελεύθερης μοριακής ροής (γνωστή και ως ροή Knudsen) όπου κυριαρχούν οι συγκρούσεις με τα τοιχώματα και την οποία η κινητική θεωρία περιγράφει ικανοποιητικά. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα παραπάνω όρια είναι κυρίως εμπειρικά και όχι απόλυτα και άρα θα πρέπει να χρησιμοποιούνται με προσοχή. 3.4 ΡΟΗ ΜΕ ΟΛΙΣΘΗΣΗ Στην περιοχή της ροής με ολίσθηση έχουν γίνει πολλές μελέτες με στόχο να επεκταθεί η θεωρία της ιξώδους ροής με τη χρήση κατάλληλων συνοριακών συνθηκών (Barber and Emerson 2006). Ενώ στην περιοχή 67

88 Kn<10-2 ο μηδενισμός της εφαπτομενικής ταχύτητας πάνω στον τοίχο αποτελεί την ικανή συνθήκη για επιτυχή περιγραφή της ροής, στην περιοχή 10-2 <Κn<10-1 παρατηρείται μη μηδενική εφαπτομενική ταχύτητα. Από μοριακής απόψεως η συνθήκη μη ολίσθησης μπορεί να αποδοθεί στην στιγμιαία ρόφηση των μορίων στο τοίχωμα, στην μικροτραχύτητα του τοιχώματος η οποία αναγκάζει τα μόρια να ξεχάσουν την κατεύθυνση από την οποία προήλθαν και να ανακλαστούν τυχαία ή και εν γένει στο αμελητέο πάχος του οριακού στρώματος (στρώμα Knudsen) πάνω στο τοίχωμα. Η εμφάνιση εφαπτομενικής ταχύτητας ολίσθησης αποδίδεται στην μερική ή ολική κατοπτρική ανάκλαση των μορίων που είναι δυνατό να συμβεί σε λείες επιφάνειες ή στην έλλειψη ικανού αριθμού μοριακών συγκρούσεων στην περιοχή του οριακού στρώματος ώστε να αποκατασταθεί η τοπική θερμοδυναμική ισορροπία. Στο εσωτερικό του οριακού στρώματος, που είναι της τάξης της μέσης ελεύθερης διαδρομής λ, οι κατανομές ταχυτήτων των μορίων που πλησιάζουν και απομακρύνονται από το τοίχωμα δεν αναπαράγουν στατιστικά την σωστή κατανομή ισορροπίας. Το πρόβλημα, βέβαια, της ολίσθησης αντιμετωπίστηκε κυρίως φαινομενολογικά στην προσπάθεια να επεκταθεί η ισχύς των μακροσκοπικών εξισώσεων που περιγράφουν την ιξώδη ροή. Πρώτος ο Maxwell έδειξε πως η εφαπτομενική ταχύτητα ολίσθησης μπορεί να δοθεί από τη σχέση u slip 2 σ a u 3 μ T uwall = λ + σ y 4 ρt x a wall wall (3.5) όπου u η ταχύτητα, x και y οι συντεταγμένες κατά την διεύθυνση και κάθετα προς τη ροή, μ το δυναμικό ιξώδες, ρ και Τ η μαζική πυκνότητα και η θερμοκρασία του αερίου στον τοίχο και σ α ο εφαπτομενικός συντελεστής προσαρμογής της ορμής (tangential momentum accommodation coefficient, TMAC). Ο δεύτερος όρος της παραπάνω σχέσης εκφράζει τον θερμικό ερπυσμό, ο οποίος δημιουργεί μία ταχύτητα ολίσθησης στην κατεύθυνση της αυξανόμενης θερμοκρασίας. Για ισοθερμοκρασιακά τοιχώματα ο όρος αυτός μηδενίζεται και η σχέση γίνεται μία πρώτης τάξης συνοριακή συνθήκη ολίσθησης όπου η ταχύτητα ολίσθησης είναι ανάλογη της βαθμίδας της ταχύτητας στον τοίχο. 68

89 Ο συντελεστής σ α αντανακλά τη μέση κατά τη διεύθυνση της ροής ανταλλαγή ορμής των μορίων του αερίου με τον τοίχο. Έτσι για την περίπτωση της κατοπτρικής ανάκλασης (specular reflection) που οδηγεί σε πλήρη ολίσθηση είναι σ α 0, ενώ για την τυχαία ανάκλαση (diffuse reflection) που οδηγεί σε μη ολίσθηση ο ΤΜΑC παίρνει την τιμή σ α =1. Σε πραγματικά τοιχώματα όπου η ο ολίσθηση είναι μερική, μπορεί να θεωρηθεί πως ο ΤΜΑC εκφράζει το ποσοστό των μορίων που αντανακλώνται τυχαία. Πειραματικές μετρήσεις έχουν δείξει ότι οι τιμές του ΤΜΑC κυμαίνονται μεταξύ 0.2 και 1 αν και σε προβλήματα που είναι πιο κοντά σε τεχνολογικές εφαρμογές οι τιμές κυμαίνονται μεταξύ 0.8 και 1 (Barber and Emerson 2006). Τα πειράματα υποδεικνύουν πως ο ΤΜΑC είναι συνάρτηση του μοριακού βάρους του αερίου, της ενέργειας των προσπιπτόντων μορίων και του τοιχώματος. Να σημειώσουμε πως ανάλογη σχέση δόθηκε από τον Smoluchowski για την περιγραφή της θερμοκρασιακής ασυνέχειας στο τοίχωμα T slip 2 σ at 2γ λ T Twall = σat ( γ + 1) Pr y wall (3.6) όπου γ ο λόγος των ειδικών θερμοχωρητικοτήτων, Pr ο αριθμός Prandtl και σ ατ ο θερμικός συντελεστής προσαρμογής της ορμής. Παρόλη τη δεδομένη ανάγκη για πειραματικό υπολογισμό του ΤΜΑC, αρκετές μελέτες (Arkilik et al 1997, 2001) έδειξαν πως η προσέγγιση της επέκτασης των μακροσκοπικών εξισώσεων της ιξώδους ροής μέσω των πρώτης τάξης συνοριακής συνθήκης ολίσθησης είναι επιτυχής για τιμές του αριθμού Knudsen μέχρι περίπου 0.1. Η επιτυχία αυτή οδήγησε σε προσπάθειες επέκτασης της προσέγγισης αυτής σε υψηλότερους αριθμούς Knudsen μέσω συνοριακών συνθηκών δεύτερης τάξης της γενικής μορφής u u u = A + A slip wall u 2 2 1λ 2λ 2 y y wall wall (3.7) με δύο πλέον συντελεστές Α 1 και Α 2. Στην βιβλιογραφική τους ανασκόπηση, οι Barber και Emerson (2006) παρουσίασαν την έλλειψη συμφωνίας των 69

90 αποτελεσμάτων διαφόρων εργασιών, γεγονός που καθιστά προβληματική τη χρήση τους. 3.5 ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΡΟΗΣ Πολλές εργασίες έχουν προσπαθήσει να προσεγγίσουν τα υδροδυναμικά φαινόμενα που βρίσκονται πέρα από τη δυνατότητα ανάλυσης της μακροσκοπικής θεωρίας της ιξώδους ροής, μέσω της κινητικής θεωρίας των αερίων και μέσω απλοποιημένων μορφών της εξίσωσης Boltzmann. Τα πειραματικά δεδομένα που είναι απαραίτητα για να στηρίξουν τα αναλυτικά πρότυπα της μεταβατικής περιοχής περιορίζονται σε πολύ λίγες γεωμετρικές διατάξεις με κυριότερη την περίπτωση ροής εντός κυλινδρικού σωλήνα (ροή Poiseuille). Η κινητική θεωρία προβλέπει για την παροχή μάζας ανά μονάδα χρόνου για ελεύθερη μοριακή ροή σε κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας α και άπειρου μήκους με τυχαία ανάκλαση στα τοιχώματα (Present 1958) Q mol 3 = 16a dp 3u dx (3.8) ενώ στην περιοχή του συνεχούς είναι 4 3 πa ΔP 2π πa a ΔP Qvis = P = (3.9) 8μ L 16 ρ λ L Ο λόγος της ιξώδους παροχής προς τη μοριακή είναι Q vis / Q mol 3π a = (3.10) 64 λ Η εξίσωση της μοριακής ροής προβλέπει σταθερή παροχή καθώς ο αριθμός Knudsen αυξάνεται ενώ η παροχή της ιξώδους ροής είναι αντιστρόφως ανάλογη του Kn. Τα πειραματικά αποτελέσματα δείχνουν ότι η παροχή στην 70

91 μεταβατική περιοχή δεν αποτελεί ένα απλό συνδυασμό των ανωτέρω προσεγγίσεων, παρουσιάζοντας σε κανονικοποιημένη μορφή ένα ελάχιστο για 0.5<Κn<2. Το ελάχιστο αυτό παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από τον Knudsen και η ιδιαιτερότητα αυτή ονομάζεται «ελάχιστο Knudsen». ύο ενδιαφέρουσες προσεγγίσεις για πλήρη προσδιορισμό της ροής σε όλες τις περιοχές για ροή μέσα σε κυλινδρικό σωλήνα άπειρου μήκους δόθηκαν από την επέκταση της εμπειρικής μεθόδου του Brown από τον Weber και από την αναλυτική μέθοδο των Scott και Dullien. Ο Weber συνδύασε τη σχέση του Brown για την περιοχή ολίσθησης και τη σχέση του Knudsen για την μοριακή ροή, αφού πρώτα τις μετέτρεψε κατά τρόπο τέτοιο ώστε η συνεισφορά τους να είναι αμελητέα εκτός της περιοχής ισχύος τους. Η παροχή μπορεί να δοθεί από τη σχέση 4 π a dp 2 λ Q= P μ dx σa a (3.11) επεκτείνοντας τη σχέση Poiseuille με τη χρήση πρώτης τάξης ολίσθηση σύμφωνα με τη θεώρηση Maxwell. Θέτοντας P1+ P2 π 1 μ P = και λ = (3.12) 2 2 ρ P προκύπτει 4 πa π 2 μ 1 Q= ( P1 P2 ) μL a 2 σa P ρ (3.13) Στην ιξώδη περιοχή κυριαρχούν οι διαμοριακές συγκρούσεις εν αντιθέσει με την ελεύθερη μοριακή ροή όπου λαμβάνουν χώρα κυρίως συγκρούσεις με τα τοιχώματα. Η συχνότητα συγκρούσεων με τα τοιχώματα και η συχνότητα διαμοριακών συγκρούσεων δίνονται αντιστοίχως από τις σχέσεις 1 u = π και = π (3.14) 4 λ 2 vw nu2 adx vg n a dx Ο λόγος, κατ επέκταση, των διαμοριακών συγκρούσεων προς τις ολικές είναι 71

92 vg 1 1 = = v + v 1 + λ /2a 1+ Kn g w (3.15) Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση 3.13 με τον παραπάνω όρο η συνεισφορά της ολίσθησης στην τελική εξίσωση εξαφανίζεται στην περιοχή της μοριακής ροής. Η μοριακή παροχή ανά μονάδα επιφάνειας σύμφωνα με την εξίσωση του Knudsen (η οποία να σημειωθεί ότι διαφέρει κατά τον παράγοντα 8/3π από την πιο έγκριτη σχέση 3.8) δίνεται από την ακόλουθη σχέση 2ua dn Γ= (3.16) 3 dx Θεωρώντας την ελεύθερη μοριακή ροή ως διαδικασία διάχυσης, ο συντελεστής διάχυσης είναι D = 2 ua /3. Ο συντελεστής διάχυσης στο όριο w του συνεχούς δίνεται από τη σχέση (Pollard and Present, 1948) D = uλ /3. Από τη σχέση Bosanquet για το συντελεστή αυτοδιάχυσης έχουμε και κατ επέκταση = + (3.17) D D D w g w 2 1 D= ua / Kn (3.18) Η παροχή της ελεύθερης μοριακής ροής είναι π au ΔP Q= ktπ a Γ= / Kn L (3.19) Προσθέτοντας την εξίσωση για τη ελεύθερη μοριακή ροή με την εξίσωση για τη ροή με ολίσθηση πολλαπλασιασμένη με τη σχέση 3.15 προκύπτει 2 ΔP 3π 1 3π 2 1 Kn 2 Q= π a u L 128 Kn 16 σ a 1+ Kn 1+ Kn (3.20) Οι Scott and Dullien επίσης μετέτρεψαν τις σχέσεις για τη μοριακή και τη ροή με ολίσθηση λαμβάνοντας υπόψη τις σχετικές πιθανότητες 72

93 διαμοριακών ή συγκρούσεων με τα τοιχώματα. Εάν F(a/λ) είναι το κλάσμα των μορίων που δεν συγκρούονται με άλλα μόρια μεταξύ δύο διαδοχικών συγκρούσεων με το τοίχωμα, θεώρησαν ότι η συνολική ροή δίνεται από τη σχέση και υπολόγισαν πως [ λ ] Q= F( a/ λ) Q + 1 F( a/ ) Q (3.21) mol visc 1 2a Fa ( / λ) = exp sinh λ (3.22) Η συμφωνία των δύο μεθόδων μεταξύ τους και με πειραματικά δεδομένα παρουσιάζεται στο Σχήμα 1 του άρθρου των Thomson και Owen 1975). 3.6 ΕΞΙΣΩΣΗ BOLTZMANN Μία σημαντική προσέγγιση του προβλήματος ροής στη μεταβατική περιοχή γίνεται μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Boltzmann, η οποία αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα της κινητικής θεωρίας των αερίων. Η κατάσταση ενός αερίου μπορεί να περιγραφεί από την συνάρτηση κατανομής ενός σωματιδίου f=f(r,c,t) (συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με r το διάνυσμα θέσης, c την ταχύτητα και t το χρόνο), η οποία εκφράζει την πιθανότητα ενός μορίου να βρίσκεται την χρονική στιγμή t σε στοιχειώδη όγκο dr 3 γύρω από την θέση r και με ταχύτητα μέσα στην περιοχή ταχυτήτων dc 3 γύρω από την τιμή ταχύτητας c. Οι μακροσκοπικές ποσότητες ορίζονται μέσω των ροπών της κατανομής. Για παράδειγμα (για χάριν συντομίας θέτουμε f(r,c,t)=f), η πυκνότητα, η μαζική ταχύτητα και η θερμοκρασία δίνονται από ρ (,) rt = mnf(,,) rctdc (3.23) 73

94 co 1 = mncfdc ρ(,) rt (3.24) Trt (,) 1 '2 = mnc fdc 3nk B (3.25) όπου c είναι η θερμική ταχύτητα του μορίου, η οποία συνδέεται με την ταχύτητα του μορίου c και με την μέση ταχύτητα του ρευστού c o μέσω της σχέσης ' c = c c o (3.26) Η εξέλιξη της συνάρτησης κατανομής ενός σωματιδίου περιγράφεται από την εξίσωση Boltzmann ( nf ) ( nf ) ( nf ) ( nf ) + c + a = t r c t (3.27) όπου α είναι η επιτάχυνση λόγω εξωτερικών δυνάμεων. Το αριστερό μέλος της εξίσωσης δίνει την μεταβολή της f λόγω συναγωγής ενώ το δεξί μέλος, το οποίο ονομάζεται όρος συγκρούσεων, εκφράζει την μεταβολή της f λόγω των διαμοριακών συγκρούσεων. Υπό μία ευρύτερη έννοια η εξίσωση Boltzmann αποτελεί μία απλοποιημένη μορφή της εξίσωσης Liouville. Η εξίσωση Liouville αποτελεί την βασική εξίσωση της στατιστικής μηχανικής εκφράζοντας τη διατήρηση της συνάρτησης κατανομής Ν σωματιδίων f N στον 6Ν-διάστατο φασικό χώρο (η κατάσταση των Ν σωματιδίων στον 6Ν φασικό χώρο δίνεται από ένα σημείο). Η εξίσωση, όμως, αυτή δεν είναι άμεσα χρήσιμη γιατί η περιγραφή της ροής ενός πραγματικού αερίου με όρους της f N είναι ουσιαστικά αδύνατη. Με διαδοχικές ολοκληρώσεις της εξίσωσης Liouville αποκτάται η ιεραρχία των εξισώσεων BBGKY που κάνουν χρήση ανηγμένων συναρτήσεων κατανομής f R με R<N. Τελευταία στην ιεραρχία αυτή είναι η εξίσωση Boltzmann, που χρησιμοποιεί την συνάρτηση κατανομής ενός σωματιδίου f 1 και η οποία είναι από πρακτική σκοπιά η μόνη που μπορεί να επιδεχθεί επίλυσης. Ο όρος των συγκρούσεων της εξίσωσης Boltzmann περιλαμβάνει στην ουσία και την συνάρτηση κατανομής δύο σωματιδίων f 2, που όμως υπό την 74 coll

95 υπόθεση του μοριακού χάους μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο των f 1. Υπό το πρίσμα απλοποιητικών παραδοχών ο όρος των συγκρούσεων μπορεί να υπολογιστεί, και για ένα απλό αραιό αέριο η εξίσωση Boltzmann δίνεται από τη σχέση 4π 2 * * c a n ( f f1 ff1) c r σ d dc1 0 ( nf ) ( nf ) ( nf ) + + = Ω t r c (3.28) όπου c r είναι η σχετική ταχύτητα των προς σύγκρουση μορίων των τάξεων ταχυτήτων c και c 1, με f και f 1 τις αντίστοιχες κατανομές και f * να δηλώνει την κατανομή μετά την σύγκρουση. Οι παραδοχές που έχουν χρησιμοποιηθεί θεωρούν ότι το αέριο είναι αρκετά αραιό ώστε να λαμβάνονται υπόψη μόνο δυαδικές συγκρούσεις και ότι τα μόρια υπακούν στους νόμους που διέπουν την κίνηση σκληρών ελαστικών σφαιρών. Η εξέταση αποκλειστικά δυαδικών συγκρούσεων αυστηρά ισχύει στο λεγόμενο όριο Boltzmann-Grad με Ν, σ 0 και Νσ 2 πεπερασμένο (Cercignani 2000). Παράλληλα, σημαντική είναι η παραδοχή του μοριακού χάους βάσει της οποίας θεωρείται ασυσχέτιστη η θέση και η ταχύτητα των μορίων που επίκειται να συγκρουστούν. Από την εξίσωση Boltzmann μπορούν να προκύψουν οι μακροσκοπικές εξισώσεις συνέχειας, ορμής και ενέργειας. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση Boltzmann με μία μακροσκοπική ποσότητα Q η οποία είναι είτε σταθερή είτε εξαρτάται μόνον από τις μοριακές ταχύτητες οδηγούμαστε (Bird 1994, Present 1958) στην εξίσωση μεταβολής ή μεταφοράς του Maxwell ( nq) ( nq) ( nq) + c + a =ΔQ (3.29) t r c όπου το δεξί σκέλος συμβολίζει τη μεταβολή της ποσότητας Q λόγω των συγκρούσεων. Υπάρχει μία κατηγορία ποσοτήτων Q οι οποίες διατηρούνται κατά τις μοριακές συγκρούσεις και κατ επέκταση για αυτές το δεξί μέλος μηδενίζεται. Μία από τέτοιες συγκρουσιακά αναλλοίωτες ποσότητες είναι η μοριακή μάζα και θέτοντας Q=m προκύπτει η εξίσωση της συνέχειας ρ + ρc o = 0 t (3.30) 75

96 Συγκρουσιακά αναλλοίωτες ποσότητες οι οποίες να εξαρτώνται από την ταχύτητα υπάρχουν μόνο τέσσερις και είναι οι τρεις συνιστώσες της γραμμικής ορμής και η κινητική ενέργεια. Θέτοντας Q=mc προκύπτει η μακροσκοπική εξίσωση της ορμής c o 1 + ( co co) = Π+ ρa t ρ (3.31) με τη βοήθεια του ολικού τανυστή των τάσεων Π. Η μακροσκοπική εξίσωση ενέργειας προκύπτει θέτοντας Q=1/2mc 2 και δίνεται από τη σχέση ρk t + ( ρkc ) + q+π : c + ρ a c o o ( ) (3.32) Άξιο αναφοράς είναι το Η-θεώρημα του Boltzmann ο οποίος ορίζοντας ως H = f ln ( nf ) dc (3.33) απέδειξε ότι για οποιαδήποτε διεργασία το Η μειώνεται μονοτονικά προς ένα κατώτερο όριο. Το θεώρημα αυτό οδηγεί στον προσδιορισμό της συνάρτησης κατανομής ισορροπίας, γνωστής και ως κατανομή Maxwell, η οποία δίνεται από τη σχέση f 3 3/2 2 2 = ( β / π )exp( β c ' ) (3.34) όπου β είναι β 1 = (2 RT) = m/(2 kt) (3.35) Στην παραπάνω μορφή η εξίσωση Boltzmann είναι μια ολοκληροδιαφορική εξίσωση στην οποία το ολοκλήρωμα των συγκρούσεων θέτει μεγάλες δυσκολίες στην επίλυση της. Το γεγονός αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη του μοντέλου BGK (Bhatnagar et al 1954) το οποίο απλοποιεί τον όρο συγκρούσεων αντικαθιστώντας τον με τον απλούστερο ( f f )/ τ, με fo την τοπική κατά Maxwell συνάρτηση ισορροπίας και τ την λεγόμενη σταθερά χαλάρωσης, η οποία είναι αντιστρόφως ανάλογη της συχνότητας 76 o

97 συγκρούσεων και ανεξάρτητη της ταχύτητας. Ένα από τα σημαντικά μειονεκτήματα αυτής της προσέγγισης είναι η πρόβλεψη της τιμής του αριθμού Prandtl (που εκφράζει τον λόγο του ιξώδους προς τη θερμική αγωγιμότητα) Pr=1 ενώ η τιμή αυτή είναι πλησιέστερα στο 2/3 για πραγματικά μονατομικά αέρια. Αυτό σημαίνει ότι το πρότυπο BGK θα πρέπει να αντιμετωπίζεται με προσοχή σε προβλήματα που περιλαμβάνουν μεταφορά θερμότητας. Ακόμα και σε απλοποιημένη μορφή η επίλυση της εξίσωσης Boltzmann περιορίζεται σε μονοδιάστατα προβλήματα ή σε απλές γεωμετρίες όπως είναι η ροή διαμέσου παράλληλων πλακών απείρου μήκους (Cercignani 2000). Για περίπλοκες, όμως γεωμετρίες έντονου τεχνολογικού ενδιαφέροντος η πρακτική χρησιμότητά της είναι εξαιρετικά μικρή. 3.7 DIRECT SIMULATION MONTE CARLO Η μέθοδος άμεσης προσομοίωσης Monte Carlo (Direct Simulation Monte Carlo), γνωστή ευρύτερα με τον όρο DSMC (ο οποίος θα χρησιμοποιηθεί και στο κείμενο αυτό), αποτελεί μια εναλλακτική προσέγγιση για την προσομοίωση ροής αραιών αερίων που λόγω της επιτυχούς χρησιμοποίησής της σε πληθώρα προβλημάτων έχει αναδειχθεί στο κυρίαρχο εργαλείο προσομοίωσης στον χώρο. Η μέθοδος οφείλει την ύπαρξή της στον G.A. Bird (Bird 1994, Bird 1998) ο οποίος την πρωτοανέπτυξε την δεκαετία του 60 αλλά έτυχε ευρύτερης αποδοχής μετά τα μέσα της δεκαετίας του 80. Η DSMC αποτελεί μία μεσοσκοπική τεχνική προσομοίωσης ροής αερίων σε συνθήκες αραίωσης την οποία θα μπορούσαμε να παρομοιάσουμε με ένα είδος «έξυπνης» μοριακής δυναμικής. Επιδεικνύει μεγάλη ευελιξία στην περιγραφή της γεωμετρίας της ροής καθώς και στο χειρισμό της αλληλεπίδρασης αερίου- 77

98 τοιχώματος, και είναι εν γένει μια πολύ ενδιαφέρουσα τεχνική προσομοίωσης ροής αερίων στην μεταβατική περιοχή ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ - ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ Στη μέθοδο DSMC η περιγραφή του συστήματος δίνεται μέσω των θέσεων και των ταχυτήτων των μορίων. Οι κινήσεις των μορίων παρακολουθούνται και καταγράφονται και οι μακροσκοπικές ιδιότητες του ρευστού προκύπτουν μέσω δειγματοληψίας από τις μέσες τιμές των ιδιοτήτων των μορίων. Οι συγκρούσεις αντιμετωπίζονται στοχαστικά ενώ ο αριθμός των μορίων που παρακολουθείται είναι πολλές τάξεις μικρότερος του πραγματικού αριθμού μορίων του συστήματος. Υπό κανονικές συνθήκες σε έναν όγκο 10 3 μm 3 περιέχεται αριθμός μορίων της τάξης του Μοριακού τύπου προσομοιώσεις που να λαμβάνουν υπόψη ένα ολόκληρο τέτοιο πλήθος μορίων είναι αδύνατες με βάση τις σύγχρονες υπολογιστικές δυνατότητες. Η μέθοδος DSMC βασίζεται στην υπόθεση ότι ένα μικρό αντιπροσωπευτικό πλήθος μορίων μπορεί να αποδώσει τη δυναμική και θερμοδυναμική συμπεριφορά ολόκληρου του συστήματος του αερίου. Έτσι, αντί για παράδειγμα να παρακολουθούνται οι τροχιές μορίων, χρησιμοποιείται ένας μικρότερος αριθμός της τάξης των εκατοντάδων χιλιάδων ή και εκατομμυρίων μορίων, καθένα από τα οποία αντιπροσωπεύει F N μόρια του αρχικού συνόλου. Η υπόθεση αυτή αποδεικνύεται εμπειρικά ότι είναι επαρκής για αραιά αέρια με ένα ελάχιστο όριο των 20 μορίων ανά κυβικό μήκος ίσο με την μέση ελευθέρα διαδρομή. Τα «αντιπροσωπευτικά» μόρια (που κατά τόπους θα αναφέρονται στο κείμενο ως μόρια DSMC) υπακούν στους ίδιους νόμους και συμπεριφέρονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και τα πραγματικά μόρια, με τον διορθωτικό παράγοντα F N να υπεισέρχεται στις κατάλληλες σχέσεις. 78

99 εύτερη παραδοχή της μεθόδου DSMC είναι η αποσύζευξη της μοριακής κίνησης από τις μοριακές συγκρούσεις ανά χρονικό διάστημα t μέσω της εξής επαναλαμβανόμενης διαδικασίας: (i) όλα τα μόρια μετακινούνται (εκτελώντας πλήρη τρισδιάστατη κίνηση) κατά αποστάσεις ανάλογες της ταχύτητάς τους και του χρονικού βήματος t. (ii) ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα συγκρούσεων, ανάλογο του t υπολογίζεται ανάμεσα στα μόρια και οι πριν από την σύγκρουση ταχύτητές τους αντικαθίστανται με τις μετά την σύγκρουση τιμές τους. Έτσι οι συγκρούσεις γίνονται μόνο κατά ακέραια πολλαπλάσια του χρονικού βήματος t κατά τη διάρκεια των οποίων τα μόρια εκτελούν βαλλιστική κίνηση, καθώς σύμφωνα με την παραδοχή του αραιού αερίου τα μόρια κινούνται ελεύθερα έξω από το πεδίο επιρροής των υπολοίπων μορίων. Απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι αυτή η αποσύζευξη επιτυχής αποτελεί ο περιορισμός που επιβάλλεται στο μέτρο του χρονικού βήματος t, το οποίο θα πρέπει να είναι τόσο μικρό ώστε να μην ξεπερνά τον μέσο χρόνο μεταξύ διαδοχικών συγκρούσεων. Ο μέσος ρυθμός σύγκρουσης δίνεται από τη σχέση ν = nσ c (3.36) T r όπου σ Τ είναι η διατομή σύγκρουσης και c r η σχετική ταχύτητα. Για το μοντέλο των σκληρών σφαιρών έχουμε ν = nσ c = nπd c (3.37) 2 T r r Άρα πρέπει Δ 1 1 t <Δ t = coll ν = π (3.38) 2 n d cr Εμπειρικά έχει βρεθεί ότι είναι επαρκές να χρησιμοποιείται Δ t = (1/ 5) Δ tcoll ΒΗΜΑ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ 79

100 Εν συνεχεία θα εξετασθεί αναλυτικότερα το βήμα των συγκρούσεων το οποίο εν γένει εξαρτάται από το είδος του μοριακού μοντέλου που χρησιμοποιείται και από την διακριτοποίηση του χώρου σε κελιά, καθώς η στοχαστική αντιμετώπιση των συγκρούσεων με βάση το κελί είναι θεμελιώδης για τη μέθοδο DSMC Α ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ Κατά τις συγκρούσεις θα πρέπει να διατηρείται η γραμμική ορμή και η ενέργεια, οπότε για μία σύγκρουση μεταξύ δύο μορίων με μάζες m 1 και m 2 πρέπει να ισχύει * * * * mc 1 1+ mc 2 2 = mc mc 2 2 = ( m1+ m2) c m (3.39) και mc + mc = mc + mc (3.40) 2 2 *2 * όπου c m είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του ζεύγους των μορίων. Οι πριν και μετά την σύγκρουση σχετικές ταχύτητες είναι c = c c και c = c c r * * * 1 2 r 1 2 (3.41) και συνδυάζοντας με τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει m m c = c + c c = c c m r 2 m r m1+ m2 m1+ m2 m m c = c + c c = c c * 2 * * 1 * 1 m r 2 m r m1+ m2 m1+ m2 (3.42) Από τις παρπάνω σχέσεις προκύπτει ότι mc + mc = ( m + m ) c + mc m r r mc + mc = ( m + m) c + mc *2 *2 2 * m r r (3.43) 80

101 όπου m r είναι η ανηγμένη μάζα και δίνεται από τη σχέση = mm 1 2 mr m 1+ m 2 (3.44) Είναι προφανές από τη σχέση διατήρησης της ενέργειας ότι c * r = c (3.45) r και κατ επέκταση το πρόβλημα του υπολογισμού των μετά την σύγκρουση ταχυτήτων ανάγεται στον υπολογισμό της αλλαγής της διεύθυνσης του ανύσματος της σχετικής ταχύτητας. Εκτός από τις ταχύτητες για να οριστεί πλήρως μία δυαδική ελαστική σύγκρουση μεταξύ σφαιρικών μορίων απαιτείται η γνώση των δύο παραμέτρων της σύγκρουσης. Η πρώτη παράμετρος είναι η απόσταση της ελάχιστης προσέγγισης b των αδιατάρακτων τροχιών ως προς το σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας (καθώς η περιγραφή των δύο τροχιών απλοποιείται σε αυτό το σύστημα). Το επίπεδο που ορίζουν οι δύο τροχιές στο σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας καλείται επίπεδο σύγκρουσης και η γωνία ε που σχηματίζει το επίπεδο σύγκρουσης με ένα επίπεδο αναφοράς αποτελεί τη δεύτερη παράμετρο σύγκρουσης. Χωρίς να υπεισέλθουμε σε λεπτομερή περιγραφή της δυναμικής των συγκρούσεων, θα πρέπει να αναφερθεί ότι με βάση τις παραμέτρους σύγκρουσης και το διαμοριακό δυναμικό φ του εκάστοτε μοριακού μοντέλου γίνεται ο υπολογισμός της ενεργού διατομής σύγκρουσης και της γωνίας χ μεταξύ των πριν και μετά την σύγκρουση σχετικών ταχυτήτων. Η διατομή σύγκρουσης απαιτείται για τον υπολογισμό της συχνότητας συγκρούσεων, ενώ η γωνία χ για τον υπολογισμό των μετά την σύγκρουση ταχυτήτων Β ΜΟΡΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 81

102 Ένα βασικό μοριακό πρότυπο είναι το πρότυπο του νόμου της αντίστροφης δύναμης (inverse power law). Το πρότυπο αυτό λαμβάνει υπόψη του τις δυνάμεις απώθησης με δυναμικό το οποίο δίνεται από τη σχέση φ = κ / ( n 1) r n 1 (3.46) Αδυναμία του προτύπου αποτελεί το γεγονός ότι για οποιαδήποτε τιμή του εκθετικού παράγοντα η-1, το πεδίο δυνάμεων εκτείνεται στο άπειρο και για να οριστεί σαφώς το σ Τ απαιτείται μία πεπερασμένη αποκοπή του, γεγονός που δημιουργεί προβλήματα, όπως και ο αυθαίρετος ορισμός της πρώτης παραμέτρου σύγκρουσης. Για τιμή n=5 το πρότυπο ονομάζεται πρότυπο Maxwell. Η συχνότητα σύγκρουσης όμως που προβλέπει το εν λόγω πρότυπο είναι ανεξάρτητη της σχετικής ταχύτητας και παρόλο που κάτι τέτοιο δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα έχει κατά το παρελθόν χρησιμοποιηθεί σε αναλυτικές μελέτες λόγω της απλοποίησης που προσφέρει. Πρότυπο σκληρών σφαιρών Ένα από τα ευρύτερα διαδεδομένα πρότυπα αποτελεί αυτό των σκληρών σφαιρών. Για το πρότυπο των σκληρών σφαιρών ισχύει 2 σ = π d 12 (3.47) όπου d d + d = (3.48) με d 1 και d 2 τις διαμέτρους των συγκρουόμενων μορίων. Είναι εμφανές ότι το σ είναι ανεξάρτητο της γωνίας χ, το συνημίτονο της οποίας υπακούει στην ομοιόμορφη κατανομή καθώς η σκέδαση στο πρότυπο των σκληρών σφαιρών είναι ισότροπη. Αξίζει να σημειωθεί πως για υπολογισμούς ιδιοτήτων μεταφοράς, όπως ο συντελεστής ιξώδους και διάχυσης, χρειάζεται η διαφορική μόνο μορφή της 82

103 διατομής σύγκρουσης αντί για την ολική. Μία ονομαστική, λοιπόν, τιμή της διατομής σύγκρουσης μπορεί να οριστεί με τιμή τέτοια ώστε να οδηγεί στο συντελεστή μεταφοράς του αντίστοιχου μοντέλου. Έτσι μπορούν να οριστούν η διατομή σύγκρουσης ιξώδους σ μ και ορμής σ Μ (που καλείται και διάχυσης καθώς εμφανίζεται στη θεωρία Chapman-Enskog για τον υπολογισμό του συντελεστή διάχυσης). Για το πρότυπο των σκληρών σφαιρών είναι 2 σ μ = σ και σm = σ (3.49) 3 Πρότυπο μεταβλητών σκληρών σφαιρών Παρόλη τη μεγάλη ευκολία που το πρότυπο των σκληρών σφαιρών προσφέρει στους υπολογισμούς της δυναμικής των συγκρούσεων, παρουσιάζει κάποια μειονεκτήματα που υπό συγκεκριμένες συνθήκες δεν μπορούν να παραβλεφθούν. Ο ισότροπος κανόνας σκέδασης στο εν λόγω πρότυπο δεν ανταποκρίνεται στην συμπεριφορά των περισσότερων πραγματικών αερίων. Επίσης, η διατομή σύγκρουσης σ είναι ανεξάρτητη της 2 σχετικής κινητικής ενέργειας E = (1/ 2) mc r r της σύγκρουσης. Εκτός από την περιοχή της πολύ χαμηλής θερμοκρασίας, η αποτελεσματική διατομή σύγκρουσης των πραγματικών μορίων μειώνεται καθώς η σχετική ταχύτητα και η κινητική ενέργεια αυξάνονται. Ο ρυθμός αυτός μείωσης είναι ανάλογος της εξάρτησης του συντελεστή ιξώδους από τη θερμοκρασία, με το πρότυπο το σκληρών σφαιρών να προβλέπει εξάρτηση από τη θερμοκρασία στη δύναμη του ½ ενώ η τιμή αυτή είναι πλησιέστερα στο ¾ για πραγματικά αέρια. εδομένης της ισχυρής εξάρτησης της συμπεριφοράς του αερίου από τη διατομή σύγκρουσης, προτάθηκε από τον Bird (1981) το πρότυπο των μεταβλητών σκληρών σφαιρών (variable hard sphere, VHS) όπου η διάμετρος σύγκρουσης δίνεται από τη σχέση d = d ( c / c ) ω (3.50) ref r, ref r όπου ο δείκτης ref δηλώνει τιμές αναφοράς. Το πρότυπο αυτό είναι κατ ουσία φαινομενολογικό και προσπαθεί να διορθώσει την αποτελεσματική διατομή 83

104 σύγκρουσης μέσω μιας τεχνητής εξάρτησής της από τη σχετική ταχύτητα και κατ επέκταση από τη θερμοκρασία με τη βοήθεια τιμών αναφοράς, τέτοιων ώστε να προκύπτει η σωστή τιμή του συντελεστή ιξώδους. Ο νόμος της γωνίας σκέδασης παραμένει ο ίδιος με το πρότυπο των σκληρών σφαιρών. Πίνακας τιμών για τον εκθετικό παράγοντα και τις τιμές αναφοράς για πληθώρα αερίων δίνεται στο (Bird 1994). Πρότυπο μεταβλητών μαλακών σφαιρών Το φαινομενολογικό πρότυπο VHS δίνει την σωστή εξάρτηση του συντελεστή ιξώδους από τη θερμοκρασία αλλά ο λόγος της διατομής μεταφοράς ορμής προς τη διατομή σύγκρουσης-ιξώδους εξακολουθεί να έχει την μη ρεαλιστική τιμή του προτύπου των σκληρών σφαιρών. Για να διορθώσουν το μειονέκτημα αυτό, οι Koura και Matsumoto (1991 και 1992) πρότειναν το μοντέλο των μεταβλητών μαλακών σφαιρών (variable soft sphere, VSS). Κατά το πρότυπο αυτό, η διατομή σύγκρουσης μεταβάλλεται με τον ίδιο τρόπο όπως στο VHS πρότυπο αλλά επιπρόσθετα μεταβάλλεται και η γωνία σκέδασης σύμφωνα με τη σχέση χ = ( b d) 1/ 1 2cos a / (3.51) Έτσι οι διατομές σύγκρουσης ιξώδους και ορμής δίνονται πλέον αντιστοίχως από τις σχέσεις 4a 2 σ μ = σ και σ = σ ( a+ 1)( a+ 2) M ( a+ 1) (3.52) όπου υπάρχει ισχυρή εξάρτηση του σ Μ από τον εκθετικό παράγοντα α. Στην παρούσα εργασία, καθώς το σύνολο των περιπτώσεων που εξετάζονται αφορούν ισοθερμοκρασιακές ροές ευγενών αερίων κρίθηκε επαρκής η χρησιμοποίηση του προτύπου των σκληρών σφαιρών, το οποίο είναι και το ευρύτερα χρησιμοποιούμενο στην πλειονότητα των μελετών που κάνουν χρήση της μεθόδου DSMC. 84

105 3.7.2.Γ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΩΝ Η έννοια του κελίου παίζει βασικό ρόλο στην στοχαστική αντιμετώπιση των συγκρούσεων από τη μέθοδο DSMC. Αφού έχουν μετακινηθεί όλα τα μόρια, ένας δεδομένος αριθμός τους επιλέγεται τυχαία προς σύγκρουση. εδομένου ότι είναι πιο πιθανό να συγκρουστούν μόρια που είναι πιο κοντά το ένα στο άλλο, έχοντας χωρίσει τον χώρο σε κελιά, η χωρική γειτνίαση των μορίων που δύναται να επιλεχθούν για σύγκρουση οριοθετείται από τα κελιά. Έτσι γίνεται η παραδοχή ότι ένα μόριο δεν αλληλεπιδρά με άλλα μόρια που βρίσκονται σε διαφορετικά κελιά και ότι τα υποψήφια ζεύγη μορίων προς σύγκρουση ανήκουν μόνο στο ίδιο κελί. Η εγκυρότητα της παραδοχής αυτής προϋποθέτει το μήκος του κελιού να μην ξεπερνά το μήκος της μέσης ελεύθερης διαδρομής. Μέσα σε κάθε κελί ένας αντιπροσωπευτικός αριθμός συγκρούσεων λαμβάνει χώρα σε κάθε χρονικό βήμα t. Μια επιπρόσθετη παραδοχήαπλοποίηση που εισάγει η μέθοδος είναι ότι όλα τα ζεύγη μορίων μέσα σε ένα κελί είναι υποψήφια προς σύγκρουση ανεξαρτήτως της θέσης τους και της φοράς των ταχυτήτων τους. Έτσι δύναται να συγκρουστούν ακόμα και μόρια που κινούνται το ένα μακριά από το άλλο καθώς μόνο το μέγεθος της σχετικής τους ταχύτητας θα καθορίσει την πιθανότητα σύγκρουσης. Ουσιαστικά στη μέθοδο DSMC το κελί αποτελεί τη βασική μονάδα εντός της οποίας το σύστημα εκδηλώνει την τάση του να κινηθεί προς την κατάσταση ισορροπίας μέσω των συγκρούσεων. Η επιλογή να αγνοηθούν οι σχετικές θέσεις των μορίων εντός του κελιού ενισχύεται από το γεγονός ότι για μικρά μήκη κελιού η μεταβολή των ιδιοτήτων της ροής είναι μικρή οπότε όλα τα μόρια εντός του μπορούν να θεωρηθούν στατιστικώς ισοδύναμα. Από την άλλη πλευρά είναι σαφές ότι λόγω των συγκρούσεων υπάρχει η τάση για εξαφάνιση των βαθμίδων των μακροσκοπικών ιδιοτήτων εντός του κελιού, γεγονός που εισάγει περιορισμό στο πόσο μεγάλο μπορεί να είναι ένα κελί ώστε να μην χαθεί πολλή πληροφορία για το υπό εξέταση σύστημα. Εμπειρικά έχει αποδειχθεί πως είναι επαρκές το μήκος του κελιού να είναι Δ x < λ /3. Εν αντιθέσει με την από φυσικής απόψεως πιο συνεπή αλλά και υπολογιστικά 85 cell

106 ακριβή (έως και αδύνατη για τα συστήματα ενδιαφέροντος) αντιμετώπιση της μοριακής δυναμικής του πλήρους υπολογισμού των τροχιών των μορίων, η μέθοδος DSMC αποσκοπεί στο να αντιμετωπίσει τις συγκρούσεις στοχαστικά και να είναι στατιστικά ακριβής. εδομένου ότι εξετάζονται μόνο δυαδικές συγκρούσεις με βάση την παραδοχή του αραιού αερίου, για ένα ζεύγος σκληρών σφαιρών η πιθανότητα σύγκρουσης είναι ανάλογη της σχετικής τους ταχύτητας P (, i j) = c coll Nc m 1 i m= 1 n= 1 c c m j c m (3.53) όπου Ν c είναι ο αριθμός των μορίων στο κελί και με τον παρανομαστή να κανονικοποιεί την διακριτή αυτή κατανομή πιθανότητας. Για να αποφευχθεί ο άμεσος υπολογισμός του παρανομαστή που είναι ασύμφορος ακολουθείται μία διαδικασία αποδοχής-απόρριψης, η οποία έχει ως εξής: (1) Ένα υποψήφιο προς σύγκρουση ζεύγος μορίων επιλέγεται τυχαία εντός του κελιού. (2) Το ζεύγος αυτό γίνεται αποδεκτό για σύγκρουση εάν c i c c j r,max < r (3.54) όπου c r,max είναι η μέγιστη σχετική ταχύτητα μέσα σε κάθε κελί και r είναι ένας τυχαίος αριθμός που υπακούει στην ομοιόμορφη κατανομή μεταξύ των τιμών (0-1). (3) Αν το ζεύγος συγκρουστεί υπολογίζονται οι μετά την σύγκρουση ταχύτητες των μορίων (4) Η διαδικασία επαναλαμβάνεται τόσες φορές όσες ο απαιτούμενος αριθμός N cand των υποψηφίων προς σύγκρουση μορίων. Ο αριθμός των συγκρούσεων που πρέπει να γίνουν σε ένα κελί κατά το χρονικό διάστημα t είναι 86

107 Ncσ crδtfn Ncoll = nνδ tvc = n σcrδ tvc = (3.55) 2 2 2V c που για σκληρές σφαίρες γράφεται N coll 2 2 Ncπ d cr ΔtFN = (3.56) 2V c Επειδή όμως ο υπολογισμός της μέσης τιμής της σχετικής ταχύτητας σε κάθε κελί είναι υπολογιστικά ακριβός, στην παρούσα της μορφή η μέθοδος DSMC ακολουθεί μία διαφορετική προσέγγιση (no-time counter) από τον πλήρη υπολογισμό του αριθμού συγκρούσεων για κάθε κελί σε κάθε χρονικό βήμα. Ο λόγος του πλήρη αριθμού συγκρούσεων προς τον αριθμό των υποψήφιων προς σύγκρουση ζευγών μορίων στη διαδικασία αποδοχής απόρριψης δίνεται από τη σχέση N N coll cand c r = (3.57) c r,max επειδή η πιθανότητα να γίνει αποδεκτό ένα υποψήφιο ζεύγος είναι ανάλογη της σχετικής ταχύτητας των μορίων που το απαρτίζουν. Έτσι έχουμε ότι N cand 2 2 Ncπ d cr,maxδtfn = (3.58) 2V c που είναι ο αριθμός των αριθμός των υποψηφίων ζευγών που θα πρέπει να επιλέξουμε και του οποίου ο υπολογισμός γίνεται με έναν μόνο υπολογισμό ανά κελί ανά χρονικό βήμα. Με τον τρόπο αυτό αναπαράγεται κατά μέσο όρο ο σωστός αριθμός συγκρούσεων ανά κελί, δηλαδή η σωστή μέση τιμή της συχνότητας συγκρούσεων. Να σημειωθεί ότι ακόμα και αν υπερεκτιμήσουμε την c r,max πάλι οδηγούμαστε στον σωστό αριθμό συγκρούσεων μόνο που η διαδικασία γίνεται λιγότερο αποτελεσματική καθώς θα απορρίπτεται μεγαλύτερος αριθμός υποψήφιων ζευγών. 87

108 3.7.3 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Όπως ισχύει για οποιαδήποτε τεχνική προσομοίωσης έτσι και για τη μέθοδο DSMC οι συνοριακές συνθήκες κατέχουν καταλυτικό ρόλο για την επίλυση του εκάστοτε προβλήματος. Εν αντιθέσει με τις τεχνικές του συνεχούς όπου καθορίζονται στα σύνορα οι μακροσκοπικές μεταβλητές (πίεση, θερμοκρασία, ταχύτητα) ή οι βαθμίδες τους, σε μία σωματιδιακή τεχνική όπως η DSMC είναι απαραίτητο να δοθεί μικροσκοπική περιγραφή, δηλαδή να καθοριστούν οι κανόνες συμπεριφοράς των μορίων στα σύνορα. Οι συνοριακές συνθήκες μπορούν να διακριθούν κατά πρώτο στην αλληλεπίδραση των μορίων με τα τοιχώματα και κατά δεύτερο στον τρόπο αντιμετώπισης των ανοικτών συνόρων του συστήματος όπου λαμβάνει χώρα είσοδος και έξοδος των μορίων Α ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ Η αλληλεπίδραση των μορίων με τα τοιχώματα του συστήματος γίνεται κατά το συναγωγικό βήμα μετακίνησης. Οι δύο βασικοί τύποι αλληλεπίδρασης είναι η κατοπτρική ανάκλαση και η τυχαία ανάκλαση. Στην περίπτωση της κατοπτρικής ανάκλασης η γωνία πρόσπτωσης ισούται με την γωνία ανάκλασης γεγονός που αντιστοιχεί σε απόλυτα λεία τοιχώματα. Ο τύπος αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως συνοριακή συνθήκη για επίπεδα συμμετρίας c' = c 2 n( n c) (3.59) όπου n το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο ανάκλασης. Στην περίπτωσης της τυχαίας ανάκλασης σε θερμικά τοιχώματα η ταχύτητα κάθε μορίου μετά τη σύγκρουση είναι ανεξάρτητη από την αρχική 88

109 ταχύτητα. Οι συνιστώσες κατανομή Maxwell για τον ημιχώρο u i της ανακλώμενης ταχύτητας υπακούν στην m Pu u mu kt 2 i( i) i exp( i /2 w) ktw = (3.60) Οι δύο αυτοί βασικοί τύποι ανταποκρίνονται στο όριο του συνεχούς στις συνθήκες πλήρους ολίσθησης και μη-ολίσθησης στο τοίχωμα, αντιστοίχως. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στις περιοχές ροής όπου πλέον δεν ισχύει η υπόθεση του συνεχούς, η τυχαία ανάκλαση είναι ικανή να δώσει μη μηδενική ταχύτητα ολίσθησης και δεδομένου ότι έχει βρεθεί πως τα περισσότερα υλικά τεχνολογικής σημασίας ανταποκρίνονται σε αυτόν τον τύπο αλληλεπίδρασης, χρησιμοποιείται και στην παρούσα εργασία. Εν γένει πάντως δεν υπάρχει κανένα πρότυπο αλληλεπίδρασης αερίου τοιχώματος με οικουμενική ισχύ, να είναι, δηλαδή, επαρκές για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς αερίων και τοιχωμάτων Β ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ Τα μόρια επιτρέπεται να εξέλθουν ελεύθερα από τα ανοικτά όρια του συστήματος. Τα μόρια που περνούν τα σύνορα και εξέρχονται από το χώρο προσομοίωσης θεωρούνται εκτός συστήματος και διαγράφονται από τη μνήμη. Οι επιθυμητές συνοριακές συνθήκες επιβάλλονται με την εισαγωγή νέων μορίων καθορίζοντας τον αριθμό των μορίων που εισέρχεται σε κάθε χρονικό βήμα και την ταχύτητά τους. Οι δύο συνοριακές συνθήκες που είναι καλά ορισμένες είναι του ελεύθερου ρεύματος και του κενού. Στην περίπτωση του ελεύθερου ρεύματος γνωρίζοντας την αριθμητική του πυκνότητα (n) και την μέση μακροσκοπική του ταχύτητα (c o ), η αριθμητική παροχή ( N i ) ανά μονάδα επιφάνειας των μορίων που διαπερνούν μία επιφάνεια προς μία κατεύθυνση και που βρίσκονται τοπικά σε θερμοδυναμική ισορροπία με κατανομή f δίνεται από τη σχέση 89

110 + + + N = n ufdudvdw (3.61) i 0 Θεωρώντας ότι οι θερμικές ταχύτητες των μορίων υπακούν στην κατανομή Maxwell fo ( β 3 / π 3/2 ) exp( β 2 c '2 ) = (3.62) όπου ( 2 RT ) 1/2 { m /( 2kT )} 1/2 β = = (3.63) και k η σταθερά Boltzmann, η οποία συνδέεται με την σταθερά των αερίων R μέσω της σταθεράς Avogadro Ν Α k = N R (3.64) A η σχέση 3.61 γίνεται 2 2 1/2 1/2 i/ = exp( cos ) + cos { 1 + ( cos )} /(2 ) β N n s θ π s θ erf s θ π (3.65) όπου s ο αναφερόμενος ως λόγος μοριακών ταχυτήτων και δίνεται από τη σχέση ' o o / m o / 2 ( ) 1/2 s = c β = c c = c RT (3.66) και θ είναι η γωνία μεταξύ της ταχύτητας και του ορθού προς την επιφάνεια μοναδιαίου ανύσματος. Για στάσιμο αέριο είναι c o =0 και η σχέση 3.65 δίνει 1/2 i/ 1/(2 π ) β N n= (3.67) i N = nc'/4 (3.68) Η πλέον πιθανή μοριακή ταχύτητα c m είναι 90

111 c ' m = 1/ β (3.69) και συνδέεται με τη μέση θερμική ταχύτητα μέσω της σχέσης c ( π β) ( π ) = = c (3.70) ' 2/ 1/2 2/ 1/2 ' m ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Η μέθοδος DSMC προσομοιώνει τη δυναμική συμπεριφορά του αερίου που σημαίνει ότι παρακολουθεί την εξέλιξη της κατάστασης του αερίου σε πραγματικό χρόνο. Οι συντεταγμένες θέσης, οι συνιστώσες της ταχύτητας και η εσωτερική κατάσταση κάθε μορίου αποθηκεύονται στη μνήμη του υπολογιστή και μεταβάλλονται με το χρόνο καθώς τα μόρια μετακινούνται, συγκρούονται και αλληλεπιδρούν με τα σύνορα του προσομοιωμένου φυσικού χώρου. Ο χρόνος της προσομοίωσης ταυτίζεται με τον φυσικό χρόνο της πραγματικής ροής και η προσομοιωμένη ροή είναι ασταθής παρόλο που με το πέρασμα αρκετού χρόνου είναι δυνατό να επιτευχθεί μόνιμη κατάσταση. Επειδή η ροή εξελίσσεται με φυσικό τρόπο δεν είναι απαραίτητες τεχνητές συνοριακές συνθήκες ούτε κάποιος επαναληπτικός αλγόριθμος σύγκλισης. Λόγω όμως του πεπερασμένου αριθμού των μορίων που χρησιμοποιούνται καθώς και του στοχαστικού τρόπου με τον οποίο αντιμετωπίζονται οι συγκρούσεις, οι μακροσκοπικές ποσότητες που απαιτούνται για την περιγραφή του αερίου μπορούν να προκύψουν είτε ως μέσες χρονικά τιμές των μικροσκοπικών ιδιοτήτων εάν το σύστημα έχει φτάσει σε μόνιμη κατάσταση, είτε εάν το σύστημα βρίσκεται σε χρονομεταβαλλόμενη κατάσταση μέσω μέσων τιμών στατιστικά ισοδύναμων συνόλων (ensemble averaging), με βάση την εργοδική υπόθεση. Έτσι οι μακροσκοπικές ποσότητες ενδιαφέροντος προκύπτουν από μέσους όρους των μικροσκοπικών ιδιοτήτων π.χ. για κάθε κελί i 91

112 ρi = m i coi, = mc i / ρ i 2m 1 1 T = mc = ρ c 2 2 i i o 3k ρ 2 i i 2 (3.71) 3.8 MΕΛΕΤΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο DSMC ΤΗΣ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΗΣ ΙΣΟΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ροές αερίων υπό συνθήκες αραίωσης απαντώνται τόσο σε περιβάλλοντα χαμηλής πίεσης (κενού) όσο και σε γεωμετρίες με χαρακτηριστικά μήκη της τάξης του κλάσματος του μικρομέτρου σε κανονικές ατμοσφαιρικές συνθήκες. Το παρόν κεφάλαιο επικεντρώνεται στην περίπτωση της πλήρως αναπτυγμένης ισόθερμης ροής αερίου μεταξύ παραλλήλων πλακών υπό την επίδραση πτώσης πίεσης (ροή τύπου Poiseuille). Η περίπτωση αυτή ροής αποτελεί κλασικό σημείο αναφοράς για τις μελέτες αραιών αερίων, αφενός γιατί η απλοποιημένη γεωμετρία προσφέρεται για αναλυτικές ή αριθμητικές επιλύσεις με διάφορες μεθόδους και αφετέρου γιατί τα αποτελέσματα που εξάγονται μπορούν να γενικευτούν και σε πιο πολύπλοκες γεωμετρίες. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στον χειρισμό των συνοριακών συνθηκών εισόδου-εξόδου και στην σύγκριση με δημοσιευμένα αποτελέσματα με σκοπό την επιβεβαίωση της αξιοπιστίας του υπολογιστικού κώδικα και της μεθόδου. Για μικροροές υπό πτώση πίεσης οι συνοριακές συνθήκες εισόδου εξόδου για τη μέθοδο DSMC, είναι καλά ορισμένες μόνο για την περίπτωση όπου στα σύνορα βρίσκονται προσκολλημένες δεξαμενές στάσιμου αερίου, οπότε είναι γνωστή η αριθμητική πυκνότητα στο σύνορο καθώς και η μέση 92

113 ταχύτητα στη διεύθυνση της ροής που φυσικά είναι μηδενική. Σε πολλές περιπτώσεις όμως το ενδιαφέρον εστιάζεται σε πλήρως ανεπτυγμένες ροές είτε γιατί έτσι δεν συμπεριλαμβάνονται διαταραχές στη ροή λόγω των άκρων είτε γιατί οι αναλυτικές λύσεις που είναι διαθέσιμες για επιβεβαίωση της ορθότητας της μεθόδου αναφέρονται και αυτές μόνο στην περίπτωση της πλήρως ανεπτυγμένης ροής τύπου Poiseuille του τρισδιάστατου ή δισδιάστατου προβλήματος. Ο τρόπος με τον οποίο καθορίζονται οι συνοριακές συνθήκες εισόδουεξόδου σε πολλές δημοσιευμένες εργασίες αποσιωπείται ενώ από τις εργασίες όπου γίνεται μνεία σύντομη ή και αναλυτικότερη, δεν εξάγεται με σαφήνεια ποια προσέγγιση είναι η πλέον ενδεδειγμένη. Ο Piekos (1992) όρισε την πίεση, την θερμοκρασία και την εγκάρσια ταχύτητα στην είσοδο ενώ η παράλληλη προς την ροή ταχύτητα υπολογίστηκε μέσα από το πεδίο προσομοίωσης στην περιοχή εισόδου, επιτρέποντάς της έτσι να αυτό-ρυθμίζεται σε παραβολική κατανομή. Για να αποφύγει τον στατιστικό θόρυβο που συνοδεύει τον εκ των έσω υπολογισμό της ταχύτητας χρησιμοποίησε μέσες τιμές της ταχύτητας, με την τρέχουσα τιμή να προκύπτει από συνδυασμό, με κατάλληλη χρήση βαρών, προηγούμενων τιμών και νέων (αναφέροντας ικανοποιητικά αποτελέσματα για ειδική βαρύτητα 1/20 για τις νέες). Οι Alexander, Garcia, Adler (1994) εντοπίζοντας το πρόβλημα ασυνεχειών στην είσοδο και στην έξοδο δοκίμασαν να χρησιμοποιήσουν ταχύτητες εισόδου θεωρητικά υπολογισμένες για το αέριο που προέρχονταν από της προσκείμενες στα σύνορα δεξαμενές, γεγονός, που όπως αναφέρουν, βελτίωσε την κατάσταση αλλά δεν έλυσε το πρόβλημα. Εν τέλει κατέφυγαν στο να παρακολουθούν τις πιέσεις εισόδου και εξόδου και να αλλάζουν αναλόγως την ταχύτητα έτσι ώστε να πετύχουν τις επιθυμητές τιμές της πίεσης. Οι Nance et al (1997), με βάση μία ανάλογη συνοριακή συνθήκη που προτάθηκε από τους Ikegawa και Kobayashi (1990) χρησιμοποίησαν για τον υπολογισμό της ταχύτητας στην είσοδο ένα ισοζύγιο σωματιδίων 93

114 n+ n = ni( ui) A m m (3.72) όπου ο δείκτης m υποδεικνύει συνοριακό κελί, οι δείκτες + και αναφέρονται στην θετική και αρνητική κατεύθυνση αντιστοίχως και Α είναι το εμβαδόν της επιφάνειας του συνόρου. Παρατηρώντας ότι η ταχύτητα εισόδου εξαρτάται από την παροχή εισόδου, η οποία με την σειρά της εξαρτάται από την ταχύτητα εισόδου βάσει της σχέσης 3.65 σχολίασαν ότι η παραπάνω σχέση είναι μία μη γραμμική συνάρτηση της ταχύτητας εισόδου. Αντί για αριθμητική επίλυση, χρησιμοποίησαν τις τελευταίες υπολογισμένες τιμές για την εκτίμηση της παροχής εισόδου και κατ επέκταση τον προσδιορισμό της νέας ταχύτητας εισόδου σύμφωνα με τη σχέση (3.72). Για την έξοδο χρησιμοποίησαν την θεωρία των χαρακτηριστικών. Οι χαρακτηριστικές γραμμές, ή πιο απλά «χαρακτηριστικές», είναι διαδρομές στον χώρο και χρόνο κατά μήκος των οποίων ορισμένες μεταβλητές της ροής παραμένουν σταθερές. Η θεωρία των χαρακτηριστικών γραμμών προκύπτει από τις εξισώσεις Euler και φέρει κατ επέκταση της προϋποθέσεις για ανιξώδη, αδιαβατική ροή. Οι συγγραφείς αναφέρουν ότι η θεωρία των χαρακτηριστικών μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για ροή αραιού αερίου δεδομένου ότι οι εξισώσεις διατήρησης ισχύουν. Έτσι για την έξοδο εφάρμοσαν τις ακόλουθες σχέσεις ( ρ ) e ( u ) e m m = ρ + m m = u + pe p a m ( ) / ( ρ ) 2 m pe p ρ a Te = p m e e R m m m m (3.73) Ανάλογη προσέγγιση, χρησιμοποιώντας την θεωρία των χαρακτηριστικών τόσο για την είσοδο όσο και για την έξοδο, ακολούθησαν και οι Wang, Li (2004) με ικανοποιητικά αποτελέσματα για αριθμούς Κn< Την ιδέα του ισοζυγίου σωματιδίων εφάρμοσαν και οι Wu και Tseng (2001) τόσο στην είσοδο όσο και στην έξοδο, με τη διαφορά ότι στην έξοδο χρησιμοποίησαν την εκ των έσω υπολογισμένη θερμοκρασία. Ανέφεραν ότι η μακροσκοπική ταχύτητα εισόδου και εξόδου σε κάθε κελί μεταβάλλεται κατά 94

115 τη διάρκεια της προσομοίωσης και τελικά η τιμή της σταθεροποιείται καθώς επιτυγχάνεται μόνιμη κατάσταση. Για την προσομοίωση ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών υπό πτώση πίεσης οι Zheng, Garcia, Adler (2002) αφού όρισαν την πίεση και τη θερμοκρασία στην είσοδο καθόρισαν την μακροσκοπική ταχύτητα εισόδου με βάση την μέση χρονικά τιμή της μακροσκοπικής ταχύτητας του διπλανού κελιού. Το ίδιο έκαναν και για την έξοδο με τη διαφορά ότι επιπρόσθετα επέβαλαν μηδενική βαθμίδα πυκνότητας εξισώνοντας τον αριθμό μορίων των προσκείμενων κελιών. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκαν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις στον καθορισμό των συνοριακών συνθηκών εισόδου εξόδου. Το πρόβλημα είναι η μελέτη ανεπτυγμένης ισοθερμοκρασιακής ροής υπό πτώση πίεσης με καθορισμένες τις πιέσεις στα άκρα του δοκιμίου. Αν χρησιμοποιηθεί η σχέση 3.68 με μηδενική ταχύτητα, ουσιαστικά το δοκίμιο είναι συνδεδεμένο με δύο άπειρες δεξαμενές στάσιμου αερίου, γεγονός που δημιουργεί ανεπιθύμητα φαινόμενα ανωμαλιών της ροής στα άκρα όπως θα δειχθεί και πιο κάτω. Η πρώτη προσέγγιση που χρησιμοποιήθηκε (και η οποία θα αναφέρεται στο εξής ως ΣΣ1) ήταν να εφαρμόσουμε μεγαλύτερη πτώση πίεσης σε ένα μεγαλύτερο από το επιθυμητό δοκίμιο ώστε να προκύψει η επιθυμητή πτώση πίεσης στο μήκος δοκιμίου που ενδιαφέρει και έχοντας επιτρέψει την ροή να αναπτυχθεί πλήρως. Η προσέγγιση αυτή έχει το κύριο πλεονέκτημα ότι επιτρέπει στη ροή να αναπτυχθεί με φυσικό τρόπο. Τα μειονεκτήματά της είναι ότι απαιτείται να στοχεύσει κανείς εντός του μεγαλύτερου δοκιμίου την επιθυμητή βαθμίδα πίεσης η οποία λόγω της μη γραμμικότητας της πτώσης πίεσης ενδέχεται να μην συμπέσει με το επιθυμητό λόγο μήκους προς πλάτος του υπό εξέταση δοκιμίου. Ιδιαίτερα σημαντικό μειονέκτημα αποτελεί ασφαλώς και το γεγονός ότι απαιτείται μεγαλύτερο πεδίο προσομοίωσης και κατά συνέπεια περισσότεροι υπολογιστικοί πόροι. Τέλος η προσέγγιση αυτή δεν είναι δυνατό να εφαρμοστεί σε πιο πολύπλοκες γεωμετρίες, είτε γιατί δεν θα υπάρχει πληροφορία για τη δομή εκτός του υπό εξέταση δοκιμίου είτε γιατί η φύση του προβλήματος το απαγορεύει. 95

116 Η δεύτερη προσέγγιση (η οποία θα αναφέρεται στο εξής ως ΣΣ2) κάνει χρήση της ιδέας του ισοζυγίου σωματιδίων στην είσοδο και στην έξοδο ώστε να μπορέσει να ενημερώσει της ταχύτητες εισόδου και εξόδου σε τιμές που θα ανταποκρίνονται σε πλήρως ανεπτυγμένη ροή. Σχήμα 3.8.1: Σχηματική απεικόνιση των διαφορών μεταξύ των συνοριακών συνθηκών εισόδου ΣΣ1και ΣΣ2. Όλα τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται έχουν ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση (τόσο όσον αφορά την χρονική σύγκλιση, την διακριτοποίηση αλλά και την εξάρτηση από τον αριθμό σωματιδίων ανά κελί) και αποτυπώνουν το σύστημα σε μόνιμη κατάσταση (εκτός και αν αναφέρεται ρητά το αντίθετο) ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΤΥΠΟΥ 1 (ΣΣ1) 96

117 Στη περίπτωση της εφαρμογής της σχέσης 3.68 για τον υπολογισμό του αριθμού σωματιδίων που εισέρχονται από τα ανοικτά όρια του συστήματος η ροή δεν είναι πλήρως ανεπτυγμένη σε όλο το μήκος των πλακών αλλά παρατηρούνται ανωμαλίες στα άκρα Πίεση DSMC Επιθυμητή πίεση Πίεση (Pa) X ιάγραμμα 3.8.1: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο Pr=3, Lr=4, Kn out =0.2 και χαρακτηριστικό μήκος m. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην μηδενική μέση ταχύτητα των καινούργιων μορίων η οποία επηρεάζει την μέση ταχύτητα των μορίων που βρίσκονται ήδη εντός του χώρου προσομοίωσης και που κινούνται υπό την επίδραση της βαθμίδας πίεσης. Με την επιβολή της παραπάνω συνοριακής συνθήκης εισόδου-εξόδου παρατηρήθηκε δυσκολία στην επίτευξη των επιθυμητών τιμών της πίεσης στη είσοδο και στην έξοδο για χαμηλούς λόγους μήκους προς πλάτος. Στο διάγραμμα παρουσιάζεται ένα ενδεικτικό παράδειγμα της ασυμφωνίας μεταξύ των επιθυμητών τιμών της πίεσης και των τιμών που επικρατούν εντός του χώρου προσομοίωσης. 97

118 Ενδεικτικό της μη-πλήρους ανάπτυξης της ροής είναι και το διάγραμμα που παρουσιάζει τη μέση κατά διατομή θερμοκρασία των μορίων κατά μήκος των πλακών. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται μεγαλώνοντας το λόγο μήκους προς πλάτος αλλά οι παρατηρούμενες ανωμαλίες στα άκρα επιμένουν Θερμοκρασία (K) ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X ιάγραμμα 3.8.2: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =3, L r =4, Kn out =0.2 και και χαρακτηριστικό μήκος m. Ένας απλός τρόπος για να αποφευχθεί σε ένα βαθμό το πρόβλημα των ανωμαλιών στα άκρα είναι η προαναφερθείσα ΣΣ1 όπου επιβάλλεται μεγαλύτερη από την επιθυμητή βαθμίδα πίεσης σε δοκίμιο με μεγαλύτερο από το επιθυμητό μήκος δοκιμίου. Η επιθυμητή βαθμίδα πίεσης επιτυγχάνεται σε τμήμα του δοκιμίου μακριά από τα άκρα όπου η ροή έχει αναπτυχθεί. Το πρόβλημα της μεθόδου αυτής έγκειται στην αντιστοίχηση της επιθυμητής πτώσης πίεσης με τον επιθυμητό λόγο μήκους προς πλάτος των πλακών, 98

119 Kn out =0.388 Pr=2 Lr=20 εσωτερικού τμήματος Πίεση (Pa) X Kn=0.388 ιάγραμμα 3.8.3: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =25 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. Το επιθυμητό Kn out =0.388 και P r =2 αντιστοιχεί στην σημειωμένη περιοχή με L r =20. που για να ξεπεραστεί απαιτείται μία καθαρά εμπειρική προσέγγιση δοκιμής και σφάλματος, ιδιαίτερα χρονοβόρα. Η ακρίβεια της μεθόδου στηρίζεται στην απόσταση του υπό εξέταση εσωτερικού τμήματος από τα άκρα, η οποία βεβαίως όσο μεγαλώνει αυξάνει και το υπολογιστικό κόστος. Πρακτικά, αυξάνοντας το μήκος των πλακών προκύπτει η ανάγκη μείωσης της διακριτοποίησης και του αριθμού των σωματιδίων που οδηγεί σε αύξηση του στατιστικού θορύβου των μακροσκοπικών μεταβλητών. Στο διάγραμμα η επιθυμητή πτώση πίεσης είναι P r =P in /P out =2 και Kn out =2 με λόγο μήκους προς πλάτος L r =20. Επιβλήθηκε στην περιοχή ενδιαφέροντος P r =2.7 και L r =25, με αποτέλεσμα σε ενδιάμεσο τμήμα των πλακών να προκύψουν οι επιθυμητές τιμές. Η θερμοκρασία προσομοίωσης είναι Τ=300 Κ και όπως φαίνεται στο διάγραμμα ανωμαλίες 99

120 παρατηρούνται μόνο στα εξωτερικά άκρα του εσωτερικού τμήματος. Η απόσταση από τα άκρα είναι δυνατό να μεγαλώσει όπως φαίνεται και στο διάγραμμα όπου στην συγκεκριμένη περίπτωση στόχος ήταν το ίδιο P r σε μεγαλύτερο L r. Στο διάγραμμα γίνεται σύγκριση της μεταβολής της μέσης κατά διατομής τιμής της θερμοκρασίας κατά μήκος των πλακών για τις δύο προηγούμενες προσομοιώσεις, όπου γίνεται εμφανές το πλεονέκτημα του μεγαλύτερου L r και της μεγαλύτερης απόστασης από τα άκρα των πλακών. 302,0 301,5 301,0 Θερμοκρασία (K) 300,5 300,0 299,5 299,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X ιάγραμμα 3.8.4: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =25 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. 100

121 35 30 Kn out =0.388 Pr=2 Lr=67 εσωτερικού τμήματος Πίεση (Pa) Kn= X ιάγραμμα 3.8.5: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή πίεσης κατά μήκος της ροής. Παράδειγμα εφαρμογής της ΣΣ1.Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =100 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. Το επιθυμητό Kn out =0.388 και P r =2 αντιστοιχεί στην σημειωμένη περιοχή με L r =

122 300,5 300,4 300,3 Θερμοκρασία (K) 300,2 300,1 300,0 299,9 299,8 299,7 299,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 X ιάγραμμα 3.8.6: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Επιβαλλόμενο P r =2.7 με L r =100 και χαρακτηριστικό μήκος 1mm. 302,0 301,5 301,0 L r =25 L r =100 Θερμοκρασία (K) 300,5 300,0 299,5 299,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X ιάγραμμα 3.8.7: Μεταβολή της μέσης κατά διατομή θερμοκρασίας κατά μήκος της ροής. Σύγκριση μεταξύ των περιπτώσεων με L r =25 και L r =

123 Στο διαγράμματα α και β γίνεται σύγκριση της κατανομής της συνιστώσας της ταχύτητας κατά μήκος της ροής με διαθέσιμα βιβλιογραφικά αποτελέσματα. Τα αποτελέσματα DSMC με εφαρμογή της ΣΣ1 συγκρίνονται με ανάλογα αποτελέσματα προσομοιώσεων DMSC των Shen et al (2004) (οι οποίοι δεν κάνουν αναφορά στις συνοριακές συνθήκες εισόδου εξόδου που χρησιμοποίησαν) καθώς και με ανάλογα αποτελέσματα των Arkilik et al (1997) που χρησιμοποιούν της Navier-Stokes με πρώτης τάξης συνθήκη ολίσθησης και TMAC πειραματικά υπολογισμένο. Οι ταχύτητες είναι αδιαστατοποιημένες με τη μέγιστη ταχύτητα και η σύγκριση γίνεται για αριθμούς Knudsen Kn=0.194 και Kn= u/u max Shen et al (2004) Arkilik (1997) παρούσα εργασία Kn out = Y ιάγραμμα α: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης ως προς τη μέγιστη τιμή, κατά μήκος της διατομής μεταξύ αποτελεσμάτων της παρούσης εργασίας και ανάλογων αποτελεσμάτων των Shen et al (2004) και Arkilik (1997). Περίπτωση Kn out =

124 u/u max Shen et al (2004) Arkilik (1989) παρούσα εργασία Kn out = Y ιάγραμμα β: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης ως προς τη μέγιστη τιμή, κατά μήκος της διατομής μεταξύ αποτελεσμάτων της παρούσης εργασίας και ανάλογων αποτελεσμάτων των Shen et al (2004) και Arkilik (1997). Περίπτωση Kn out = Παρατηρείται ικανοποιητική συμφωνία μεταξύ των προσομοιώσεων DSMC. Τα αποτελέσματα του μοντέλου ολίσθησης αρχίζουν να εμφανίζουν διαφορά στο υψηλότερο Kn όπως είναι αναμενόμενο. Οι Shen et al (2004) παρουσίασαν επίσης για αποτελέσματα της απόκλιση από τη γραμμική συμπεριφορά της πτώσης πίεσης κατά μήκος της ροής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τα ανάλογα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας για αριθμούς Knudsen από Kn=0.194 έως Kn=4. Στις περιπτώσεις Kn=0.194 και Kn=0.388, που οι Shen et al (2004) παραθέτουν αντίστοιχα αποτελέσματα, η συμφωνία είναι ικανοποιητική. Αξίζει να σημειωθεί πως η μέτρηση της απόκλισης της πτώσης πίεσης από τη 104

125 γραμμικότητα είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στο στατιστικό θόρυβο και απαιτούνται ιδιαίτερα χρονοβόρες προσομοιώσεις για τον υπολογισμό της. Η απόκλιση της πτώσης πίεσης από τη γραμμική κατανομή δίνεται σε κανονικοποιημένη μορφή ως προς την πίεση εξόδου σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις δ P P P P l = (3.74) o x Pl = ( Pi Po) X + Pi ; X = (3.75) L Kn out =0.194 Kn out =0.388 Kn out =0.5 Kn out =0.5 test_b Kn out =1 Kn out = δp X ιάγραμμα 3.8.9: Μεταβολή του δp κατά μήκος της ροής για διάφορους αριθμούς Knudsen. Αποτελέσματα προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ1. Σε όλες τις περιπτώσεις P r =2, L r =

126 3.8.3 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΙΣΟ ΟΥ-ΕΞΟ ΟΥ ΤΥΠΟΥ 2 (ΣΣ2) εδομένου ότι στην περίπτωση της πλήρως ανεπτυγμένης ροής τα μόρια εισέρχονται στον χώρο προσομοίωσης με μία, προκαλούμενη από την πτώση πίεσης, μη μηδενική ταχύτητα η οποία είναι άγνωστη, η εξ δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί άμεσα για τον υπολογισμό της αριθμητικής παροχής στην είσοδο. Από την εξίσωση 3.66 γίνεται αντιληπτό ότι στην περίπτωση που η ταχύτητα c o 0 οι παροχές κατά την φορά της ταχύτητας και κατά την αντίθετη φορά είναι διαφορετικές. Η αρχή διατήρησης της μάζας επιβάλει στο σύνορο την ακόλουθη σχέση n+ n = ni( ui) A m m (3.76) όπου n είναι η αριθμητική πυκνότητα, δηλαδή, αριθμός μορίων ανά μονάδα επιφανείας για το δισδιάστατο πρόβλημα. Ο δείκτης m υποδηλώνει το σύνορο, οι δείκτες + και αναφέρονται στην θετική και αρνητική κατεύθυνση αντιστοίχως και Α είναι το εμβαδόν της επιφάνειας του συνόρου. Το μόνο που είναι γνωστό στο σύνορο είναι το n ι και η θερμοκρασία. Η ταχύτητα εισόδου εξαρτάται από τις παροχές των μορίων που διασχίζουν το σύνορο και από τις δύο πλευρές και οι οποίες με τη σειρά τους εξαρτώνται από την ταχύτητα εισόδου. Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί ως m ( u ) i m n+ n = (3.77) na και για την επίλυσή της χρησιμοποιείται μία επαναληπτική διαδικασία κατά την οποία η παροχή της αρνητικής κατεύθυνσης (εσωτερικά του χώρου προσομοίωσης) προκύπτει από την αριθμητική παροχή και τη μέση ταχύτητα εισόδου που υπολογίζονται εσωτερικά του συνόρου (στο συνοριακό κελί) κατά το προηγούμενο χρονικό βήμα. Η επιβαλλόμενη παροχή της θετικής κατεύθυνσης χρησιμοποιεί την ταχύτητα εισόδου που προκύπτει από την εξ. i 106

127 3.72. Κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης η ταχύτητα εισόδου μεταβάλλεται και τελικά σταθεροποιείται όταν το σύστημα πιάσει μόνιμη κατάσταση. Η παραπάνω διαδικασία εφαρμόζεται ανά κελί ώστε να αποφευχθούν αλλοιώσεις της κατανομής της ταχύτητας στην είσοδο. Η ΣΣ2 επιτυγχάνει να επιβάλει τις επιθυμητές τιμές της πίεσης στα άκρα για το επιθυμητό λόγο μήκους προς πλάτος L r με ελάχιστες ανωμαλίες στα άκρα. Για πρακτικούς λόγους που αναφέρθηκαν η ΣΣ1 αντενδείκνυται για την προσομοίωση πλήρως ανεπτυγμένης ισοθερμοκρασιακής ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών και στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε κατά κόρον η ΣΣ2. Στο ακόλουθο τμήμα της εργασίας παρουσιάζονται αποτελέσματα πλήρως ανεπτυγμένης ισοθερμοκρασιακής ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών υπό πτώση πίεσης με χρήση της ΣΣ2 και γίνεται σύγκριση με αποτελέσματα από την βιβλιογραφία τόσο από άλλες υλοποιήσεις της μεθόδου DSMC όσο και από μέθοδο επίλυσης της εξίσωσης Bοltzmann. Στο διάγραμμα γίνεται σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας μεταξύ προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ1 και ΣΣ2. Ικανοποιητική συμφωνία παρουσιάζει και η σύγκριση αποτελεσμάτων απόκλισης της πτώσης πίεσης από την γραμμικότητα που παρουσιάζεται στο διάγραμμα Όπως φαίνεται στο διάγραμμα η ΣΣ2 εξαφανίζει τις ανωμαλίες της κατανομής της πίεσης στα άκρα και επιβάλλει ορθά τις επιθυμητές πιέσεις στον επιθυμητό λόγο μήκους προς πλάτος. Στο διάγραμμα φαίνεται επίσης η εξάρτηση της μη γραμμικότητας της πτώσης πίεσης από το λόγο P r =P in /P out, εν αντιθέσει με τις περιπτώσεις με διαφορετικά χαρακτηριστικά μήκη που έχουν διαφορετική πτώση πίεσης αλλά την ίδια βαθμίδα πίεσης. Στο διάγραμμα παρουσιάζεται ένα ενδεικτικό αποτέλεσμα της μέσης μαζικής παροχής ανά μονάδα επιφανείας κατά μήκος του δοκιμίου. Παρά τον εμφανή στατιστικό θόρυβο η παροχή είναι κατά μέσο όρο σταθερή όπως άλλωστε αναμένεται από την αρχή διατήρησης της μάζας. 107

128 1,3 1,2 1,1 1,0 u/<u> 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 ΣΣ1 H=10-3 m ΣΣ2 H=5*10-7 m Kn out =0.194 P r =2 L r =20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Y ιάγραμμα : Μεταβολή της ταχύτητας κατά μήκος της διατομής. Σύγκριση μεταξύ προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ1 και ΣΣ2. Η ταχύτητα είναι αδιαστατοποιημένη με την μέση τιμή στη διατομή. 0,030 0,025 0,020 δp 0,015 0,010 0,005 0,000-0,005 ΣΣ1 Pr=2 H=10-3 m ΣΣ2 Pr=2 H=10-3 m ΣΣ2 Pr=2 H=5*10-7 m ΣΣ2 Pr=2.28 H=5*10-7 m 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X ιάγραμμα : Σύγκριση αποτελεσμάτων απόκλισης της πτώσης πίεσης από την γραμμικότητα μεταξύ των περιπτώσεων εφαρμογής της ΣΣ1 και ΣΣ2. Σε όλες τις περιπτώσεις L r =20, Kn out =

129 mass flux (kg/(m*sec)) X ιάγραμμα : Μαζική παροχή στη διεύθυνση της ροής επιβεβαίωση αρχής διατήρησης της μάζας. Στα διαγράμματα και παρουσιάζονται χαρακτηριστικά παραδείγματα προσομοιώσεων DSMC για τη μεταβολή της μέσης τιμής της ταχύτητας και της πίεσης αντιστοίχως. Η τάση της μεθόδου DSMC να αναπαράγει τα αποτελέσματα των μακροσκοπικών εξισώσεων στο όριο του συνεχούς παρουσίαζεται στο διάγραμμα όπου γίνεται σύγκριση της αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή της κατανομής της ταχύτητας μεταξύ των προβλέψεων των Navier- Stokes που αφορούν την περίπτωση της ροής στο όριο του συνεχούς και των αποτελεσμάτων της DSMC για αριθμό Knudsen Kn= όπου σχεδόν προσεγγίζεται το όριο του συνεχούς. Η συμφωνία είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική ενώ αξίζει να σημειωθεί ότι για τόσο χαμηλούς Kn οι υπολογιστικές απαιτήσεις της DSMC είναι ιδιαίτερα υψηλές και τέτοια αποτελέσματα δεν συναντώνται στη βιβλιογραφία. 109

130 u (m/s) P r =2 L r =20 P r =2 L r =25 P r =2 L r =30 P r =2.5 L r =20 P r =3 L r =20 H=5*10-7 m, Kn out =2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X ιάγραμμα : Μεταβολή της μέσης πιέσης ανά διατομή κατά μήκος της ροής. Προσομοιώσεις για H= m, Kn out =2 για διαφορές τιμές τιμές P r και L r. Πίεση (Pa) P r =3 L r =20 P r =2.5 L r =20 P r =2 L r =30 P r =2 L r =25 P r =2 L r =20 H=5*10-7 m, Kn out = ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X ιάγραμμα : Μεταβολή της μέσης ταχύτητας ανά διατομή κατά μήκος της ροής. Προσομοιώσεις για H=5 10-7m, Knout=2 για διάφορες τιμές τιμές Pr και Lr. 110

131 Σύγκριση με βιβλιογραφικά δεδομένα παρουσιάζεται στα διαγράμματα α-δ. Γίνεται σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας που υπολογίστηκε στην παρούσα εργασία με ανάλογα αποτελέσματα προσομοιώσεων DSMC των Beskok et al (1999) ), μία εργασία που αποτελεί για πολλούς ερευνητές σημείο αναφοράς, καθώς και με αποτελέσματα επίλυσης της γραμμικοποιημένης εξίσωσης Bοltzmann των Ohwada et al (1989). Η σύγκριση γίνεται για αριθμούς Knudsen που καλύπτουν ολόκληρη την μεταβατική περιοχή ροής δηλαδή για 0.1<Kn<10 με τη συμφωνία μεταξύ των μεθόδων να είναι ικανοποιητική u/<u> DSMC Kn=5.3*10-4 m poiseuille Y ιάγραμμα : Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας, αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, με προσομοίωση DSMC για ιδιαίτερα χαμηλό αριθμό Knudsen Kn=

132 u/<u> Beskok παρούσα εργασία Kn= Y ιάγραμμα α u/<u> Beskok παρούσα εργασία Kn= Y ιάγραμμα β 112

133 u/<u> Beskok παρούσα εργασία Kn= Y ιάγραμμα γ u/<u> Beskok παρούσα εργασία Kn= Y ιάγραμμα δ ιαγράμματα α-δ: Σύγκριση της κατανομής της ταχύτητας αδιαστατοποιημένης με τη μέση τιμή, μεταξύ προσομοιώσεων DSMC με ΣΣ2 της παρούσας εργασίας και ανάλογων προσομοιώσεων DSMC των Beskok et al (1999). Αποτελέσματα για αριθμούς Knudsen Kn=0.1 έως Kn=

134 Το πρόβλημα της ισοθερμοκρασιακής ροής αερίου λόγω πτώσης πίεσης πρωτομελετήθηκε από τον Knudsen (Knudsen 1909). Ο Knudsen πραγματοποίησε πειράματα σε αγωγούς και διαπίστωσε την ύπαρξη ελαχίστου στην εξάρτηση από την πίεση της κανονικοποιημένης παροχής. Το ελάχιστο αυτό δεν προβλέπεται από τις εξισώσεις Navier-Stokes και η προσπάθεια για την ερμηνεία αυτού του φαινομένου αποτέλεσε αφετηρία για πολλές εργασίες. Στο διάγραμμα γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων για το φαινόμενο του ελαχίστου της κανονικοποιημένης παροχής συναρτήσει του αριθμού Knudsen μεταξύ της μεθόδου DSMC της παρούσας εργασίας, των προσομοιώσεων DSMC των Beskok et al (1999 και των αποτελεσμάτων επίλυσης της γραμμικοποιημένης εξίσωσης Bοltzmann με την παραδοχή BGK με χρήση του προτύπου των σκληρών σφαιρών από τους Cercignani et al (1963). Τα αποτελέσματα είναι στην κανονικοποιημένη μορφή Q umh Q = = 1 ΔP 2 RT 1 ΔP 2 RT H H Pm L 2 Pm L 2 (3.78) όπου Q είναι η ογκομετρική παροχή ανά μονάδα βάθους, Η το πλάτος μεταξύ των πλακών, u η μέση ταχύτητα με το δείκτη m να υποδηλώνει ότι έχει μετρηθεί στην ίδια θέση με την πίεση P m και R είναι η ειδική σταθερά των ιδανικών αερίων. Η συμφωνία είναι ικανοποιητική, ιδιαίτερα στους χαμηλούς αριθμούς Knudsen με τα αποτελέσματα των Beskok για Kn=10 να διαφέρουν κατά 6% από την παρούσα εργασία. Το ελάχιστο παρουσιάζεται στο Kn 1. Τα αποτελέσματα της γραμμικοποιημένης εξίσωσης Boltzmann για Kn>1 έχουν μία συστηματική απόκλιση από τα αποτελέσματα της DSMC. Η απόκλιση αυτή αποδίδεται από τους Beskok et al (1999) στο πεπερασμένο μήκος των πλακών των προσομοιώσεων DSMC αντίθετα από το άπειρο μήκος της μεθόδου Boltzmann. 114

135 3,0 κανονικοποιημένη ογκομετρική παροχή 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 παρούσα εργασία Cercignani Beskok 0, Kn ιάγραμμα : Εξάρτηση της κανονικοποιημένης ογκομετρικής παροχής από τον αριθμό Knudsen. Φαινόμενο του ελαχίστου του Knudsen. Σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων DSMC και αποτελεσμάτων των Beskok et al (1999) και Cercignani (1963). 115

136 3.8.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο παρόν κεφάλαιο δόθηκε μία εισαγωγή στη ροή υπό συνθήκες αραίωσης όπου κατέστη σαφής η ύπαρξη δυσκολιών στην περιγραφή της. Παρουσιάστηκε παράλληλα η μέθοδος DSMC η οποία υιοθετείται στην παρούσα εργασία και της οποίας η υλοποίηση και αξιοπιστία ελέγχθηκε μέσα από τη μελέτη της ισοθερμοκρασιακής ροής αερίου μεταξύ παραλλήλων πλακών υπο την επίδραση εξωτερικά επιβαλλόμενης πτώσης πίεσης. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στις συνοριακές συνθήκες εισόδου-εξόδου και στη σημασία τους για τη σωστή περιγραφή της πλήρως ανεπτυγμένης ροής. Τα αποτελέσματα της μελέτης συγκρίθηκαν με διαθέσιμα βιβλιογραφικά δεδομένα και πιστοποιήθηκε η δυνατότητα της μεθόδου να αναπαράγει σωστά τα ιδιάζοντα χαρακτηριστικά της ροής σε πεπερασμένους αριθμόυς Knudsen. Φαινόμενα όπως η εμφάνιση ταχύτητας ολίσθησης, η μη γραμμική πτώση πίεσης και το φαινόμενο Knudsen περιγράφονται σωστά από τη DMSC και αποτελούν ενθαρρυντικό παράγοντα για την αξιοποίηση της μεθόδου και σε άλλα προβλήματα. 116

137 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΣΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΑΕΡΙΟΥ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Ο στόχος της μελέτης που παρουσιάζεται στο παρόν κεφάλαιο είναι η διερεύνηση της εξάρτησης του δυναμικού ιξώδους ενός αερίου από τον αριθμό Knudsen στη μεταβατική περιοχή της ροής. Η μελέτη έγινε μέσω της μεθόδου DSMC και δόθηκε μία αναλυτική έκφραση για την εξάρτηση αυτή, η οποία αναμένεται να αποδειχθεί χρήσιμη σε φαινομενολογικές περιγραφές και αριθμητικούς υπολογισμούς της ροής υπό συνθήκες αραίωσης σε στενά κανάλια και πόρους. Τα αποτελέσματα της μελέτης δημοσιεύτηκαν στο άρθρο των Michalis et al, 2010). Η θεωρία των αραιών αερίων Chapman-Enskog (βλέπε Chapman and Cowling 1970) παρέχει για το δυναμικό ιξώδες του μοντέλου σκληρών σφαιρών την ακόλουθη σχέση 5 2πkT μ 0 = ρλ 16 m (4.1) όπου k είναι η σταθερά του Boltzmann, Τ είναι η απόλυτη θερμοκρασία, m είναι η μοριακή μάζα και ρ η μαζική πυκνότητα. Λαμβάνοντας υπ όψη ότι η μέση θερμική ταχύτητα δίνεται από 8kT c= πm (4.2) 117

138 η εξ. 4.1 μπορεί επίσης να γραφτεί ως 5π μ 0 = ρcλ ρcλ (4.3) Έτσι για συγκεκριμένο αέριο και σταθερή θερμοκρασία, το δυναμικό ιξώδες έχει σταθερή τιμή δεδομένου ότι η πυκνότητα ρ είναι αντιστρόφως ανάλογη της μέσης ελευθέρας διαδρομής λ. Ένα εξίσου απλό αποτέλεσμα της κινητικής θεωρίας, που προτάθηκε από τον Maxwell, για το δυναμικό ιξώδες (Pollard and Present 1948) είναι 1 μ 0 = ρcλ 3 (4.4) Οι Alexander et al (1998) και Hadjiconstantinou (2000) εξέτασαν την επίδραση της διακριτοποίησης στο λάθος των υπολογισμών της DSMC για το ιξώδες χρησιμοποιώντας τη θεωρία Green-Kubo και βρήκαν ότι 5 mkt 16 L μ= 1+ 16d π 45π λ 2 y 2 2 (4.5) ακολουθώντας τη διόρθωση από τους Liley and Sader (2009), και 5 mkt 32 (cm Δt) μ= 1+ 2 π 150π 2 16d λ 2 (4.6) για τη χωρική και χρονική διακριτοποίηση αντιστοίχως, όπου d είναι η διάμετρος σύγκρουσης, L y είναι το πλάτος του κελιού στην κάθετη κατεύθυνση προς την κατεύθυνση της ροής, t είναι το χρονικό βήμα και c m είναι η πλέον πιθανή ταχύτητα των μορίων του αερίου. Οι Liley and Sader (2009) ερεύνησαν τη ροή αερίου στο στρώμα Knudsen για μικρές τιμές του Kn και πρότειναν μια εκθετική εξάρτηση του ιξώδους από την αδιάστατη απόσταση y από την στερεή επιφάνεια, η οποία έχει την μορφή 118

139 e 1-δ 0 μ y μ (y)= (4.7) Cδ όπου μ 0 είναι το δυναμικό ιξώδες στο όριο του συνεχούς και δ και C είναι παράμετροι που προέκυψαν από γραμμική παρεμβολή (regression) των αποτελεσμάτων της γραμμικοποιημένης εξίσωσης Boltzmann για το πρόβληma του Cramer με επαλήθευση από τους συγγραφείς μέσω DSMC για Kn=0.06. Οι Beskok και Karniadakis (1999) πρότειναν μία έκφραση τύπου Bosanquet για το ιξώδες στην μεταβατική περιοχή και διεξήγαγαν αριθμητικούς υπολογισμούς για ροή σε κυλίνδρους και κανάλια χρησιμοποιώντας την μακροσκοπική προσέγγιση των Navier-Stokes συνεπικουρούμενη από συνοριακές συνθήκες ολίσθησης. Βρήκαν καλή συμφωνία του μοντέλου αυτού με αποτελέσματα DSMC και με αποτελέσματα επίλυσης της γραμμικοποιημένης εξίσωσης Boltzmann. Επιπρόσθετα επιχειρήματα για την ισχύ μίας έκφρασης για το αποτελεσματικό ιξώδες μ e με τη μορφή 1 μ = μ (4.8) 1+aKn e 0 παρουσιάστηκαν στην εργασία. Οι συγγραφείς πρότειναν μία εξάρτηση του παράγοντα αραίωσης α από τον Kn και παρείχαν μία αναλυτική έκφραση για αυτήν την εξάρτηση με βάση το όριο της ελεύθερης μοριακής ροής και χρησιμοποιώντας δύο ελεύθερες παραμέτρους. Οι Guo et al (2007, 2008) πρότειναν ένα πρότυπο ακολουθώντας τον φορμαλισμό Navier-Stokes με την προσθήκη ενός γεωμετρικά εξαρτώμενου ιξώδους. Επιπρόσθετα, επέκτειναν την προσέγγιση αυτή σε πρότυπο δικτύου Boltzmann πολλαπλού χρόνου χαλάρωσης χρησιμοποιώντας επιχειρήματα από τον Stops (1970) και την έκφρασή του για την αποτελεσματική μέση ελευθέρα διαδρομή σε κανάλι στην μεταβατική περιοχή ροής. Χρησιμοποιώντας ως επιχείρημα την αναλογία μεταξύ της μέσης ελευθέρας διαδρομής και του δυναμικού ιξώδους, προτάθηκε από τους Guo et al (2007) μία έκφραση για το αποτελεσματικό ιξώδες ως συνάρτηση της απόστασης 119

140 από το τοίχωμα, η οποία για την περίπτωση της ροής μεταξύ παραλλήλων πλακών δίνεται από την εξίσωση 1 y H-y μ e(y)= μ0 ψ +ψ 2 λ λ (4.9) όπου y είναι η απόσταση από τον τοίχο και η συνάρτηση ψ δίνεται από -x 2 ψ(x)= 1+(x -1)e - x E i(x) (4.10) με την E i (x) να ορίζεται ως -1 -xt E(x)= i t e dt (4.11) 1 Το πρότυπο ιατήρησης της Πληροφορίας (Information Preservation, IP) (Fan and Shen 1999, 2001) δημιουργήθηκε ειδικά ως μία μεσοσκοπική τεχνική με σκοπό να ξεπεράσει το πρόβλημα του στατιστικού θορύβου άμεσων μεθόδων, όπως είναι η DSMC. Εφαρμόστηκε από τους Roohi and Darbandi (2001) για την επέκταση των Navier-Stokes με ολίσθηση στο αριστερό άκρο της μεταβατικής περιοχής. Μέσω των αποτελεσμάτων της IP, προτάθηκε μία τροποποιημένη έκφραση του συντελεστή ιξώδους και εισήχθη στην μακροσκοπική προσέγγιση των Navier-Stokes για να προβλέψει τόσο τη μαζική ροή όσο και την κατανομή της ταχύτητας σε δισδιάστατες ροές. Ο καθοριστικός, όμως παράγοντας για την ακρίβεια του υπολογισμού της διατμητικής τάσης από τη μέθοδο IP είναι το μοντέλο συγκρούσεων που χρησιμοποιείται. Το IP μοντέλο συγκρούσεων των Fan et al (1999, 2001) υποθέτει ότι η διατηρούμενη πληροφορία των σωματιδίων είναι η ίδια μετά τη σύγκρουση. Αριθμητικά αποτελέσματα όμως, έχουν δείξει ότι αυτό το βασικό μοντέλο δεν μπορεί να προσομοιώσει σωστά το ιξώδες και την θερμική αγωγιμότητα κατά τη ροή αερίων. Οι Sun και Boyd (2002) πρότειναν ένα φαινομενολογικό μοντέλο για την κατανομή της πληροφορίας μετά την σύγκρουση που βασίζεται στη γωνία σκέδασης. Αποτελέσματα των Roohi and Darbandi (2001) έδειξαν ότι υπερεκτιμάται η ταχύτητα ολίσθησης και υποτιμάται η μέγιστη ταχύτητα και για τα δύο πρότυπα IP για Kn>0.5, κάνοντας τη σύγκριση με προβλέψεις της DSMC. Το ίδιο δείχθηκε και από τους Cai et al (2000) για τις προβλέψεις του προτύπου IP των Fan and Shen 120

141 (1999, 2001), ενώ Roohi and Darbandi (2001) παρουσίασαν την ασυμφωνία για το πρότυπο των Sun και Boyd (2002). Παρόλο που η μέθοδος IP προβλέπει μαζικές παροχές και διατμητικές τάσεις κοντά σε αυτές της DSMC με σημαντικά μικρότερο στατιστικό λάθος, η ενσωμάτωση ενός φαινομενολογικού προτύπου για τη διατήρηση της πληροφορίας κατά τις συγκρούσεις περιορίζει την ικανότητά του για τη σωστή πρόβλεψη του ιξώδους στην περιοχή 0.1<Kn<0.5 και κατ επέκταση δεν αναμένεται να είναι κατάλληλο για το ακόμα μεγαλύτερο εύρος του αριθμού Knudsen που μελετάται στην παρούσα εργασία. Οπως δείχθηκε στο Κεφάλαιο 4 αλλά και εν γένει στην βιβλιογραφία (Alexander et al 1997, Bird 1998, LeBeau et al 2001) η μέθοδος DSMC είναι ικανή να αναπαράγει τα φαινόμενα που παρατηρούνται κατά τη ροή υπό συνθήκες αραίωσης. Στην παρούσα μελέτη, η μέθοδος DSMC χρησιμοποιείται με στόχο τη διερεύνηση της επίδρασης του αριθμού Knudsen στο ιξώδες αερίου χωρίς να καταφύγουμε σε οποιαδήποτε διαδικασία ρύθμισης ή φαινομενολογική περιγραφή της ροής. Το αποτελεσματικό ιξώδες προσδιορίζεται άμεσα από υπολογισμό του πεδίου ροής και τον ορισμό του με βάση τη διατμητική τάση. Ο στόχος αυτός έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον δεδομένης της έλλειψης παρόμοιων προσπαθειών και της προφανούς χρησιμότητας μίας σχέσης μεταξύ του ιξώδους και του αριθμού Knudsen όχι μόνο για εφαρμογές στην τεχνολογία κενού και των MEMS αλλά και στην τεχνολογία πορωδών μέσων. Μία τέτοια σχέση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σε φαινομενολογικά μοντέλα ροής υπό συνθήκες αραίωσης χωρίς να χρειαστεί να καταφύγει κανείς σε δύσκολες και χρονοβόρες προσομοιώσεις στην μικροσκοπική κλίμακα. 121

142 4.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΙΞΩ ΟΥΣ ΜΕ ΤΗ DSMC Η περίπτωση ροής αζώτου υπό πτώση πίεσης σε στενή σχισμή (παράλληλες πλάκες) εξετάζεται στην παρούσα εργασία υπό ισοθερμοκρασιακές συνθήκες και χαμηλή ταχύτητα. Χρησιμοποιείται το μοντέλο των σκληρών σφαιρών δεδομένου ότι είναι επαρκές για την ισοθερμοκρασιακή περίπτωση που εξετάζεται εδώ. Η μοριακή διάμετρος είναι m, ενώ η μοριακή μάζα είναι Kg. Στις περισσότερες προσομοιώσεις, που παρουσιάζονται, ο λόγος της πίεσης εισόδου προς την πίεση εξόδου είναι P r =2 και ο λόγος μήκους προς πλάτος είναι L r μεταβάλλεται μεταξύ 15 και 30. Η διερεύνηση μεγαλυτέρων L r είναι δυνατή αλλά το υπολογιστικό κόστος είναι ιδιαίτερα υψηλό. Η απόσταση μεταξύ των πλακών θεωρείται ότι είναι το χαρακτηριστικό μήκος που χρησιμοποιείται στον ορισμό του αριθμού Knudsen, o οποίος μεταβάλλεται μέσω μεταβολής της επιβαλλόμενης πίεσης και κατ επέκταση της μέσης ελευθέρας διαδρομής. Χρηισμοποιήθηκε εδώ η υπόθεση θερμικών τοιχωμάτων πλήρους διάχυσης. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στην ικανοποίηση των συνήθων προσεγγίσεων που απαιτεί η μέθοδος DSMC. Έτσι, για όλες τις περιπτώσεις, ο λόγος της μέσης ελεύθερης διαδρομής προς τη διάσταση του κελιού ήταν λ/ x cell >3, το χρονικό βήμα κρατήθηκε μικρότερο από το μέσο χρόνο σύγκρουσης, και χρησιμοποιήθηκε επαρκής αριθμός μορίων ανά κελί (>20). Οι υπολογισμοί που παρουσιάζονται πραγματοποιήθηκαν σε δίκτυο 200x10, με 2x2 υποκελιά ανά κελί, με το μήκος του δοκιμίου να είναι 10-5 m και το πλάτος Η να είναι m. Μεγαλύτερη διακριτοποίηση (200x30 και 400x20) χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο της σύγκλισης, χωρίς όμως να παρατηρηθούν σημαντικές διαφορές (<5% σε μία μέση τιμή Kn=0.1). Οι συνοριακές συνθήκες εισόδουεξόδου περιγράφτηκαν στο Κεφ. 4 (ΣΣ2). Υπό αυτές τις συνθήκες, η απόκλιση από την έκφραση Chapman-Enskog για το ιξώδες που προέρχεται από τη χωρική και χρονική διακριτοποίηση σύμφωνα με τις εξ. 4.5 και 4.6, αντιστοίχως, είναι μικρότερη του 2%. 122

143 Εξ ορισμού, η διατμητική τάση που ασκείται κατά την x διεύθυνση σε επιφάνεια ρευστού σταθερού y δίνεται από τ yx =-n[(mcxc y )-mc0xc 0y ] (4.12) όπου n είναι η αριθμητική πυκνότητα, c η μοριακή ταχύτητα και c 0 η μακροσκοπική ταχύτητα. Οι μέσες τιμές σε αυτόν τον υπολογισμό έγιναν για τα μόρια σε κάθε κελί. Ακολουθώντας τον ορισμό του αποτελεσματικού ιξώδους μ e, η διατμητική τάση δίνεται από την εξίσωση dc + dc τ 0x 0y yx =-μ e dy dx (4.13) Για σταθερή μοριακή μάζα m, γεγονός που ισχύει για μονοσυστατική ροή, το ιξώδες μπορεί να υπολογιστεί ως cc -c c μ e = ρ dc dc 0x + dy dx x y 0x 0y 0y (4.14) Η ποσότητα cc x y μπορεί άμεσα να υπολογιστεί σε κάθε κελί και η δειγματοληψία της να γίνει όπως και για τις άλλες μακροσκοπικές ποσότητες ενδιαφέροντος. εδομένης της στοχαστικής φύσης του βήματος συγκρούσεων της μεθόδου DSMC, είναι αναμενόμενο κάποιο επίπεδο στατιστικού θορύβου, το μέγεθος του οποίου είναι συνάρτηση των παραμέτρων της προσομοίωσης (πληθυσμός ανά κελί, χρονικό βήμα). Για την αντιμετώπιση του παραπάνω προβλήματος, υπολογίστηκαν μέσες τιμές του ιξώδους ανά διατομή, ώστε να μπορεί να προσδιοριστεί η μεταβολή του ιξώδους με τη θέση στο κανάλι. Η μεταβολή αυτή μπορεί να δοθεί ως σχέση μεταξύ του ιξώδους και του αριθμού Knudsen, μέσα από τον υπολογισμό της μέσης τιμής της πυκνότητας του αερίου ανά διατομή. Επανάληψη των προσομοιώσεων για διαφορετικές τιμές των επιβαλλόμενων πιέσεων στα άκρα του καναλιού επιτρέπει τον προσδιορισμό της εξάρτησης του ιξώδους του αερίου από τον αριθμό Knudsen για ένα μεγάλο εύρος τιμών του Kn. 123

144 4.3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Η επίδραση της αραίωσης είναι εμφανής στα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο διάγραμμα 4.1, το οποίο παρουσιάζει την μεταβολή του ιξώδους του N 2 με τον αριθμό Knudsen στην θερμοκρασία T=300K. Κάθε χρώμα (ή σχέδιο) αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή ανά διατομή του ιξώδους κατά μήκος του καναλιού για καθορισμένη τιμή του Kn στην έξοδο και για P r =2. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι οι υπολογισμοί του ιξώδους επιδεικνύουν μία ικανοποιητική συνέχεια μεταξύ των διαδοχικών προσομοιώσεων, γεγονός που υποδηλώνει ότι η επίδραση των άκρων είναι πρακτικά αμελητέα. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι το ιξώδες δεν είναι ανεξάρτητο του αριθμού Knudsen αλλά αλλάζει μέσα στη μεταβατική περιοχή της ροής κατά έναν παράγοντα 25. Ειδικότερα, παίρνει τιμές οι οποίες εκτείνονται από μ e = Pa s για Kn=0.1 έως μ e = Pa s για Kn= x10-5 κενά σύμβολα: υπολογισμοί DSMC Αποτελεσματικό ιξώδες (Pa s) 1.8x x x x x x x x x Sutherland με a=2 Chapman με a=1.5 Roohi and Darbandi (2001)) Kn ιάγραμμα 4.1: Μεταβολή του αποτελεσματικού ιξώδους συναρτήσει του αριθμού Knudsen. Κάθε χρώμα (ή σχέδιο) αντιστοιχεί σε αποτελέσματα διαφορετικών προσομοιώσεων DSMC. 124

145 Οι επιπτώσεις του παραπάνω ευρήματος είναι προφανείς. Κάθε υπολογιστική τεχνική που χρησιμοποιεί ως παράμετρο τον συντελεστή ιξώδους θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη της την εξάρτησή του από τον αριθμό Knudsen (π.χ. εφαρμογές κενού, MEMS και μεσοπορώδη μέσα). εδομένου ότι το μέγεθος του σωλήνα ή του πόρου συνήθως μεταβάλλεται με τη θέση μέσα στο σύστημα ή το πορώδες μέσο, μεταβάλλεται ακολούθως και ο Kn και κατ επέκταση θα πρέπει να χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς μία τοπική τιμή του ιξώδους. Στο διάγραμμα 4.1 γίνεται επίσης σύγκριση των προβλέψεων της DSMC για το ιξώδες με άλλους τύπους ή υπολογισμούς. Η σχέση του Sutherland (Chapman και Cowling 1970) προβλέπει μ 0 = Pa s για το άζωτο στους 300Κ, ενώ η εξ. 4.1 δίνει μ 0 = Pa s. Και οι δύο παραπάνω σχέσεις αναφέρονται στο ιξώδες στο όριο του συνεχούς (bulk viscosity), δηλαδή για Kn 0, που δεν εμπίπτει στην παρούσα περίπτωση δεδομένου ότι η ροή βρίσκεται στη μεταβατική περιοχή. Οι προβλέψεις της έκφρασης για το ιξώδες των Roohi et al (2001, εξ.15) χρησιμοποιώντας IP υπολογισμούς για εύρος Kn παρατίθενται επίσης στο Σχήμα 4.1, με μ 0 = Pa s. Τα αποτελέσματα της IP είναι παρόμοια με τα αποτελέσματα της DSMC για χαμηλές τιμές Kn~0.1 αλλά σταδιακά αποκλίνουν και υποτιμούν το συντελεστή ιξώδους για υψηλότερες τιμές Kn. Παρόλο που η μέθοδος IP προσφέρει μειωμένο στατιστικό θόρυβο και υπολογιστικό κόστος τα αποτελέσματα δεν είναι ενθαρρυντικά για υψηλότερα Kn. Με στόχο την απλοποιημένη χρήση των παραπάνω αποτελεσμάτων σε φαινομενολογικές προσεγγίσεις και υπολογισμούς σε MEMS ή πορώδη μέσα, διερευνήθηκε εάν μία προσέγγιση τύπου Bosanquet, η οποία είναι γνωστό ότι ισχύει με ικανοποιητική ακρίβεια για το συντελεστή διάχυσης στη μεταβατική περιοχή (Pollard and Present 1948), ικανοποιεί την εξάρτηση του ιξώδους από τον αριθμό Knudsen. Σε συμφωνία με τις εκφράσεις για το ιξώδες στο όριο του συνεχούς που παρατέθηκαν προηγούμενα, το ιξώδες απουσία τοιχωμάτων (Kn 0) μπορεί, εν γένει, να εκφραστεί ως μ 0=a0ρcλ (4.15)

146 όπου α 0 είναι μία αριθμητική σταθερά. Αναλόγως στο όριο της ελεύθερης μοριακής ροής (Kn ) μ =a ρch (4.16) όπου α είναι μία αριθμητική σταθερά για την περίπτωση απείρως μεγάλου λ. Κατ αναλογία με την περίπτωση της διάχυσης η προσέγγιση τύπου Bosanquet δίνεται ως = + (4.17) μ μ μ e 0 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις 4.15 και 4.16 στην εξ.4.17 προκύπτει 1 μ = μ (4.18) 1+aKn e 0 η οποία προτάθηκε επίσης από τους Beskok και Karniadakis (1999). Πρέπει να σημειωθεί ότι ο παράγοντας α=α 0 /α χρησιμοποιείται για να απορροφήσει τις άγνωστες αριθμητικές σταθερές α 0 και α σε ένα μοναδικό μέγεθος. Χρησιμοποιώντας μ 0 = Pa s και τις τιμές του αποτελεσματικού ιξώδους μ e που υπολογίστηκαν στις προσομοιώσεις του διαγράμματος 4.1, είναι δυνατός ο υπολογισμός του α από την εξ για κάθε τιμή του Kn. Στο διάγραμμα 4.2 παρουσίαζονται τα αποτελέσματα του προαναφερθέντος υπολογισμού και φαίνεται ότι η τιμή του α παρουσιάζει εξάρτηση από τον Kn, όπως αναφέρθηκε από τους Beskok και Karniadakis (1999). Όμως η εξάρτηση αυτή δεν φαίνεται να είναι ισχυρή, και για όλο το εύρος της μεταβατικής περιοχής θα μπορούσε να προταθεί μία αποτελεσματική τιμή κοντά στο 2. Χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή η εξάρτηση του ιξώδους από τον Kn παρουσιάζεται από τη συνεχή γραμμή του διαγράμματος 4.1, όπου φαίνεται ότι αναπαράγει αρκετά ικανοποιητικά τα αποτελέσματα της DSMC. Χρησιμοποιώντας την τιμή για το ιξώδες στο όριο του συνεχούς που προβλέπει η εξ. 4.5, δηλαδή μ 0 = Pa s, προκύπτει αντιστοίχως η τιμή α=1.5. Όπως φαίνεται στο διάγραμμα 4.1 η προσέγγιση αυτή αναπαράγει ικανοποιητικά τα αποτελέσματα της DSMC μόνο για Kn>1. 126

147 4 Αποτελέσματα DSMC L/H=20 Bosanquet παράμετρος α Kn ιάγραμμα 4.2: Εξάρτηση του παράγοντα α από τον αριθμό Knudsen. Κάθε χρώμα αντιστοιχεί σε αποτελέσματα διαφορετικών προσομοιώσεων DSMC. Μία παρόμοια τιμή (α=1.5) προτάθηκε από τους Beskok και Karniadakis (1999) στην προσπάθειά τους να ταιριάξουν τα αριθμητικά τους αποτελέσματα για τη μαζική παροχή σε κανάλι με τα αντίστοιχα αποτελέσματα DSMC. Θα πρέπει να τονιστεί ότι ο παράγοντας α δεν αποτελεί ρυθμιζόμενη παράμετρο στην παρούσα εργασία. Η τιμή του προσδιορίστηκε με βάση προσομοιώσεις της ροής σε κανάλι με τη μέθοδο DSMC και χρησιμοποιώντας με άμεσο τρόπο τον ορισμό του ιξώδους. Αξίζει επίσης να παρατηρηθεί ότι το υπολογισμένο ιξώδες πλησιάζει την τιμή του συνεχούς για Kn<10-3, όπως αναμένεται, ενώ για Kn>10, παίρνει μία τιμή που είναι πολύ κοντά στην πρόβλεψη της εξ με α =1/3. Θα πρέπει, επίσης, να σημειωθεί ότι η ίδια τιμή προσδιορίστηκε κατά μέσο όρο για το α για όλους τους λόγους μήκους προς πλάτος που εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία (L r =15-30). Μικρότεροι λόγοι ενδέχεται να οδηγούσαν σε ισχυρά φαινόμενα άκρων ενώ μεγαλύτεροι λόγοι απαιτούν πολύ μεγάλους υπολογιστικούς χρόνους. 127

148 Το διάγραμμα 4.3 δείχνει το αποτελεσματικό ιξώδες, αδιαστατοποιημένο με την τιμή στο συνεχές, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης από το τοίχωμα, y/h. Γίνεται σύγκριση μεταξύ των αποτελεσμάτων DSMC χρησιμοποιώντας μ 0 = Pa s με τις προβλέψεις της εξ. 4.9 για Kn= Παρόλο που η παρουσία στατιστικού θορύβου είναι εμφανής στα αποτελέσματα DSMC, παρατηρείται μία σχετικά καλή συμφωνία με τις τιμές του αποτελεσματικού ιξώδους που προτάθηκαν από τους Guo et al (2007). Λαμβάνοντας υπ όψη ότι πρόκειται περί δύο τελείως διαφορετικών προσεγγίσεων, η συμφωνία αυτή είναι ενθαρρυντική δεδομένου ότι συνεισφέρει στην ποσοτικοποίηση της μεταβολής του ιξώδους μέσα στο στρώμα Knudsen. ιάγραμμα 4.3: Εξάρτηση του αδιαστατοποιημένου με την τιμή του συνεχούς αποτελεσματικού ιξώδους από την απόσταση από το τοίχωμα. Σύγκριση μεταξύ των προβλέψεων της εξ. 4.9 και των αποτελεσμάτων DSMC με μ 0 = Pa s σε Kn=

149 4.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσίαστηκε μία μελέτη της εξάρτησης του ιξώδους αερίου από τον αριθμό Knudsen χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DSMC για ένα μεγάλο εύρος τιμών Kn που καλύπτει την μεταβατική περιοχή ροής. Μέσω άμεσων υπολογισμών προσδιορίστηκε η τοπική διατμητική τάση και τελικά το τοπικό αποτελεσματικό ιξώδες. Βρέθηκε ότι μία σχέση τύπου Bosanquet περιγράφει με ικανοποιητική ακρίβεια τη μεταβολή του ιξώδους σε όλο το εύρος των τιμών Kn που διερευνήθηκαν. Η παράμετρος Bosanquet υπολογίστηκε ίση με 2, τιμή που είναι κοντά σε αποτέλεσμα προηγούμενης εργασίας (Beskok και Karniadakis 1999) όπου είχε χρησιμοποιηθεί ως ρυθμιζόμενη παράμετρος για την αναπαραγωγή του πεδίου ροής με υπολογισμούς DSMC. Η απλοποιημένη αυτή περιγραφή της εξάρτησης του ιξώδους από τον Kn μέσω της έκφρασης τύπου Bosanquet με μία συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου αναμένεται να είναι χρήσιμη σε υπολογισμούς ροής υπό συνθήκες αραίωσης για εφαρμογές σε MEMS και πορώδη μέσα. Θα είχε ιδιαίτερο ενδιαφέρον και χρησιμότητα μια αναλυτική μελέτη της εξάρτησης της παραμέτρου α από τον λόγο μήκους προς πλάτος για μία πληρέστερη περιγραφή της εξάρτησης του ιξώδους από τον Kn. Μια τέτοια ποσοτικοποίηση θα ήταν χρήσιμη για ενσωμάτωση σε μακροσκοπικές προσεγγίσεις σε πληθώρα τεχνολογικών εφαρμογών και ιδιαίτερα σε ροές διαμέσου πορωδών μέσων όπου πολλάκις η κατανομή μεγέθους των πόρων είναι ευρεία. Μία τέτοια μελέτη είναι προτεινόμενη για μελλοντική εργασία και εκτιμάται ότι θα είναι εφικτή στο άμεσο μέλλον δεδομένης της ραγδαίας αύξησης της υπολογιστικής ισχύος και της διαρκούς βελτίωσης του τρόπου αξιοποίησης των διαθέσιμων υπολογιστικών πόρων. 129

150 130

151 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5 ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο DSMC ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΙΩΝ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΑΡΑΙΩΣΗΣ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ Η ροή μέσα από στενά κανάλια και πόρους έχει αποτελέσει αντικείμενο πολυάριθμων μελετών για αρκετές δεκαετίες εξ αιτίας της μεγάλης της σημασίας σε πληθώρα τεχνολογικών εφαρμογών. Πρόσφατα ανανεωμένο ενδιαφέρον έχει προκύψει για τη μελέτη ροής αερίων μέσα από πορώδη μέσα υπό συνθήκες αραίωσης δεδομένων των τεχνολογικών αλμάτων που έχουν συντελεστεί και εξακολουθούν να γίνονται στο χώρο της νάνο- και μικροτεχνολογίας. Η ροή σε τέτοια συστήματα απαιτεί ιδιαίτερη αντιμετώπιση καθώς οι μακροσκοπικές εξισώσεις και συνήθεις φαινομενολογικές προσεγγίσεις αδυνατούν να την περιγράψουν (Hadjiconstantinou 2006). Στην περίπτωση της μεταφοράς διαμέσου πορωδών μέσων ο στόχος πολλών εργασιών υπήρξε η ανάπτυξη μίας ολικής θεωρίας ή εξίσωσης η οποία θα συσχετίζει τα χαρακτηριστικά μεγέθη της πορώδους δομής με τους αποτελεσματικούς συντελεστές μεταφοράς, όπως τον αποτελεσματικό συντελεστή διάχυσης ή την διαπερατότητα. Παρόλο που η αξία μίας τέτοιας θεωρίας θα ήταν ανεκτίμητη, η ανάπτυξή της παραμένει ακατόρθωτη κυρίως λόγω των ατελείωτων παραλλαγών της δομής των πορωδών μέσων. Η ραγδαία όμως ανάπτυξη των υπολογιστικών δυνατοτήτων και τεχνικών απεικόνισης δομών, όπως τονίστηκε και στο Κεφάλαιο 2, κάνει δυνατή μια τελείως διαφορετική προσέγγιση, όπου το πορώδες μέσο μπορεί να περιγραφεί πλήρως ψηφιακά και οι προσομοιώσεις ροής (ή εν γένει μεταφοράς) να πραγματοποιηθούν χωρίς την ανάγκη να 131

152 καταφεύγουμε σε απλοποιητικές προσεγγίσεις, όπως εξιδανικευμένα δίκτυα πόρων, αναφορικά με τη πορώδη δομή. Οι τεχνικές ψηφιακής ανακατασκευής των δομών βρίσκουν συνεχώς μεγαλύτερη απήχηση και εφαρμογή σε ένα μεγάλο εύρος τεχνολογικών εφαρμογών, όπου οι προσομοιώσεις πλέον εφαρμόζονται κατά περίπτωση. Στο πλαίσιο της παραπάνω συλλογιστικής, ο στόχος της εργασίας που παρουσιάζεται στο παρόν κεφάλαιο είναι η μελέτη ροών υπό συνθήκες αραίωσης σε πορώδη μέσα, και μάλιστα χρησιμοποιώντας τις ανακατασκευασμένες ψηφιακές τους απεικονίσεις. Η μέθοδος DSMC, όπως έχουμε ήδη εξετάσει, αποτελεί την ενδεδειγμένη οδό για τη μελέτη ροών σε υψηλές τιμές του αριθμού Knudsen και η παρούσα εργασία είναι η πρώτη προσπάθεια εφαρμογής της σε ροή διαμέσου ανακατασκευασμένων πορωδών μέσων. Με την προσπάθεια αυτή, ευελπιστούμε να ανοίξει ο δρόμος και για άλλες παρόμοιες εργασίες, το όφελος των οποίων θα είναι σημαντικό τόσο για τη διαλεύκανση του γενικότερου φαινομένου της ροής υπό αραίωση όσο και ειδικότερα για την περίπτωση ροής διαμέσου πορωδών μέσων. Τα φαινόμενα αραίωσης κατά τη ροή αερίου μέσα από πορώδη μέσα εκφράζονται κυρίως από την εξάρτηση της διαπερατότητας του μέσου από το είδος του αερίου και την πίεση, αντίθετα από την περίπτωση των υγρών όπου η διαπερατότητα εξαρτάται μόνον από τις δομικές ιδιότητες του μέσου. Η διαπερατότητα, k, ορίζεται από τον νόμο του Darcy για τα αέρια ως 2 2 kpin Pout u = (5.1) μ 2PL όπου μ είναι το δυναμικό ιξώδες, L 0 είναι το μήκος του μέσου και u είναι το μέγεθος της φαινομενικής ταχύτητας στην κατεύθυνση αντίθετα από αυτήν της βαθμίδας πίεσης. Όπως δείχθηκε από τον Klinkenberg (Klinkenberg 1941, Innocentini και Pandolfelli 2001) και επιβεβαιώθηκε από διάφορες πειραματικές μετρήσεις, αντίθετα από την περίπτωση των υγρών, η διαπερατότητα κατά τη ροή αερίου εξαρτάται από την πίεση. Το φαινόμενο Klinkenberg είναι σημαντικό για μη αμελητέες τιμές του αριθμού Knudsen και αποδόθηκε από τον Klinkenberg στην εμφάνιση ταχύτητας ολίσθησης στα 132 0

153 τοιχώματα. Η εξάρτηση της διαπερατότητας από την πίεση δίνεται από την έκφραση b k = k0 1+ P (5.2) όπου b είναι ο λεγόμενος παράγοντας Klinkenberg. Σύμφωνα με μία λεπτομερή μελέτη χαμηλής διαπερατότητας μέσων από τους Jones και Aime (1972) b (5.3) 0.36 k 0 όπου k 0 είναι η διαπερατότητα στο όριο του συνεχούς (αναφέρεται συχνά ως υγρή διαπερατότητα). Το φαινόμενο Klinkenberg εξετάστηκε από τους Wu, Pruess και Persoff (1998) οι οποίοι ανέπτυξαν αναλυτικές λύσεις για την εξέταση μόνιμων και μεταβατικών ροών και τις συνέκριναν με πειραματικά αποτελέσματα. Στην εργασία τους ενσωμάτωσαν την σχέση Klinkenberg στην ρεολογική εξίσωση ιξώδους ροής με χρήση μίας νέας μεταβλητής για την πίεση. Οι συγγραφείς επεσήμαναν πως για χαμηλής διαπερατότητας πορώδη μέσα, φαινόμενα τυρβώδους ροής και αδρανειακοί όροι μπορούν να θεωρηθούν αμελητέοι. Οι Innocentini και Pandolfelli (2001) επεσήμαναν πως, καθώς η εξίσωση του Darcy αφορά αργή, ιξώδη ροή, στην περίπτωση αυξημένης ταχύτητας οπότε οι αδρανειακοί όροι γίνονται σημαντικοί η αντίστοιχη εξίσωση γίνεται 2 2 Pin Pout μ ρ u u 2PL k k 2 = + (5.4) 1 2 όπου k 1 και k 2 είναι η κατά Darcy (ιξώδης) διαπερατότητα και η μη-darcy (αδρανειακή) διαπερατότητα, αντιστοίχως. Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και ως εξίσωση του Forchheimer. Οι συγγραφείς όρισαν ως αριθμό Forchheimer τον λόγο Fo u k 1 = ν k2 (5.5) 133

154 όπου ν το κινηματικό ιξώδες, που εκφράζει τον λόγο της κινητικής προς την ιξώδη συνεισφορά στην πτώση πίεσης. Έτσι κατέληξαν στην εξίσωση P P 2PL 2 2 in out μ = u(1 + Fo) (5.6) k 1 αποδίδοντας κατ επέκταση την εξάρτηση της διαπερατότητας από την πίεση σε αδρανειακούς όρους και όχι σε φαινόμενα ολίσθησης.οι συγγραφείς συμπέραναν ότι το φαινόμενο Klinkenberg θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη μόνο στην περίπτωση ροής υπό πολύ χαμηλές τιμές της πίεσης. Οι de Socio και Marino (2006) εξέτασαν το πρόβλημα της ροής αερίου αζώτου σε υψηλές τιμές του αριθμού Knudsen διαμέσου στήλης πληρωμένης με σφαίρες τόσο πειραματικά όσο και υπολογιστικά. Τα πειράματά τους έδειξαν μία εξάρτηση της διαπερατότητας από τον Kn η οποία παρουσιάζει ελάχιστο, για Kn~6, κατ αναλογία με το φαινόμενο του ελαχίστου του Knudsen που εμφανίζεται στη ροή σε ευθύγραμμους αγωγούς. Επιπρόσθετα, πέτυχαν καλή συμφωνία της πειραματικά προσδιορισμένης μεταβολής της πίεσης κατά μήκος του σωλήνα με προσομοιώσεις DSMC. Η επίδραση της πορώδους δομής στον προσδιορισμό της ροής μέσω της μεθόδου DSMC έγινε με έναν βασισμένο στο πορώδες στοχαστικό κανόνα. Συγκεκριμένα, χωρίς να αναπαραστήσουν με οποιοδήποτε τρόπο τη δομή, αντιμετώπισαν τις συγκρούσεις των μορίων με τις σφαίρες στοχαστικά υποθέτοντας ότι μέσα σε κάθε κελί ένα κλάσμα β των μορίων εντός του κελιού συγκρούονται με τις σφαίρες και υιοθετώντας ισότροπη σκέδαση της κατεύθυνσης της ταχύτητας των μορίων μετά τη σύγκρουση με τις σφαίρες. Μια διαφορετική προσέγγιση στη μελέτη του φαινομένου Klinkenberg έγινε από τον Bravo (2007) μέσω της χρήσης του προτύπου Dusty-Gas- Model (DGM). Ο συγγραφέας επιχείρησε μία επέκταση του προτύπου, ώστε να προσεγγιστεί το φαινόμενο Klinkenberg, θεωρώντας δίκτυο κυλινδρικών αγωγών και υποθέτοντας ότι η κατανομή της ταχύτητας μέσα σε σωλήνα διακρίνεται σε 3 ξεχωριστές περιοχές που ανταποκρίνονται σε 3 διαφορετικές περιοχές της ροής, δηλαδή σε ιξώδη, ροή με ολίσθηση και ελεύθερη μοριακή ροή. Με βάση την παραπάνω θεώρηση κατέληξε σε μία αναλυτική σχέση της επίδρασης της πίεσης στον παράγοντα Klinkenberg. 134

155 5.2 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ DSMC ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ ΙΑΜΕΣΟΥ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΠΟΡΩ ΩΝ ΜΕΣΩΝ Για να προσομοιωθεί η ροή αερίου σε ψηφιοποιημένες δομές και ανακατασκευασμένα πορώδη μέσα, αναπτύχθηκε κώδικας DSMC ο οποίος εφαρμόζει την προσέγγιση DSMC στο εσωτερικό δομών οι οποίες είναι χαρτογραφημένες πάνω σε ένα δισδιάστατο ομοιόμορφο καρτεσιανό δίκτυο κελιών. Η περιγραφή των στερεών τοιχωμάτων μπορεί να γίνει άμεσα από την ψηφιακή αναπαράσταση του πορώδους μέσου. Ειδικότερα, μία δισδιάστατη τομή μίας δομής μπορεί να αναπαρασταθεί από τον πίνακα της φασικής συνάρτησης, δηλαδή με κάθε κελί να έχει την τιμή 0 ή 1 αναλόγως εάν ανήκει Σχήμα 5.1: Πεδίο ροής σε ανακατασκευασμένο πορώδες μέσο. Ο υπολογισμός της ροής έγινε με τη μέθοδο DSMC και η ανακατασκευή με τη μέθοδο fbm. Πορώδες ε=0.7, Η=1. στην στερεά ή στην κενή φάση, αντιστοίχως. Όπως έχει συζητηθεί πιο εκτεταμένα στο Κεφάλαιο 2, ο πίνακας αυτός μπορεί να παραχθεί άμεσα με τομογραφικές τεχνικές ή εν γένει με κάποια κατάλληλη τεχνική 135

156 ανακατασκευής. Ο κώδικας DSMC που αναπτύχθηκε ταυτίζει χωρικά τον παραπάνω πίνακα με το δίκτυο κελιών της μεθόδου. Έτσι μέσω της φασικής συνάρτησης τα κελιά του δικτύου της DSMC αντιστοιχούν είτε στη στερεή φάση είτε στην ρευστή. Ο κώδικας επιτρέπει τον πλήρη προσδιορισμό όλων των διεπιφανειών στερεού-ρευστού και την ανάλογη αντιμετώπιση των συγκρούσεων των μορίων με τις στέρεες επιφάνειες μέσω της θεώρησης της τυχαίας ανάκλασης (diffuse reflection). Οι υπολογιστικές απαιτήσεις της προσομοίωσης μέσω της μεθόδου DSMC ροής αερίων υπό συνθήκες αραίωσης σε ψηφιοποιημένα πορώδη μέσα είναι πάρα πολύ μεγάλες. Το υψηλό υπολογιστικό κόστος προέρχεται από την απαίτηση επαρκούς διακριτοποίησης του χωρικού πεδίου που συνεπάγεται αύξηση του αριθμού μορίων DSMC. Με βάση τις παρούσες υπολογιστικές δυνατότητες, οι προσομοιώσεις παραμένουν ασύμφορες για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Όμως είναι πρακτικά δυνατές για την αντιμετώπιση μικρών δειγμάτων πορωδών μέσων, επιτρέποντας την επίλυση μέσω της DSMC του προβλήματος της ροής αερίων διαμέσου πορωδών μέσων. Στην παρούσα μελέτη, η μέθοδος εφαρμόστηκε σε ανακατασκευασμένες ομοιογενείς πορώδεις δομές κατασκευασμένες μέσω της τεχνικής fbm, η οποία περιγράφεται αναλυτικά στο Κεφάλαιο 2 (Kikkinides et al 1999, 2000, 2004). Λόγω του υψηλού υπολογιστικού κόστους εξετάστηκαν δύο μόνο δομές με πορώδες ε=0.7 και ε=0.8 και συντελεστή αυτοσυσχέτισης Hurst Η=1, αλλά για ολόκληρο το εύρος τιμών Kn που αντιστοιχεί στη μεταβατική περιοχή της ροής. Μελετήθηκε ισοθερμοκρασιακή (Τ=300K) ροή αζώτου μέσω του μοντέλου των σκληρών σφαιρών με μοριακή διάμετρο m και μοριακή μάζα Kg. Το μήκος των δοκιμίων ήταν m και ο λόγος μήκους προς πλάτος ήταν 2:1. Για τον ορισμό του αριθμού Knudsen χρησιμοποιήθηκε η μέση τιμή των χορδών της κενής φάσης η οποία προσδιορίστηκε μέσω βαλλιστικής κίνησης εντός των δομών και βρέθηκε ίση με m και m για τις δομές με πορώδες ε=0.7 και ε=0.8 αντιστοίχως. 136

157 5.3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στο Σχήμα 5.1 παρουσιάζεται διανυσματικά ένα χαρακτηριστικό πεδίο ροής καθώς και η δομή fbm με ε=0.7 και Η=1 μέσα στην οποία προσδιορίστηκε. Στην συγκεκριμένη προσομοίωση ισχύει Kn out =1. Στο σχήμα χρησιμοποιείται μικρότερος από τον πραγματικό αριθμός διανυσμάτων για βελτίωση της ευκρίνειας. 2.2x x x x10-13 K [=]m 2 1.4x x x x x x x x x x x x x x x10-4 1/P out [=]Pa -1 ε=0.7 ε=0.8 ιάγραμμα 5.1: Εξάρτηση της διαπερατότητας από την αντίστροφη πίεση για ανακατασκευασμένες fbm δομές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DSMC. Μεταβολή με το πορώδες. Τα αποτελέσματα για τη διαπερατότητα συναρτήσει της αντίστροφης πίεσης παρουσιάζονται στο διάγραμμα 5.1, όπου η διαπερατότητα υπολογίζεται από την εξ. 5.1 με ιξώδες σταθερό και ίσο με μ 0 = Pa s και με προσδιορισμό της ταχύτητας και της πίεσης στην έξοδο. Οι πιέσεις αντιστοιχούν σε εύρος αριθμού Knudsen Kn= Η γραμμική εξάρτηση στην αντίστροφη πίεση είναι εμφανής και σε συμφωνία με την έκφραση του 137

158 Klinkenberg. Αξίζει να σημειωθεί ότι η διαπερατότητα μπορεί να αλλάξει έως και δύο τάξεις μεγέθους κατά μήκος της μεταβατικής περιοχής της ροής, γεγονός που υποδεικνύει τη μεγάλη σπουδαιότητα της επίδρασης της αραίωσης για ροές σε πεπερασμένους αριθμούς Knudsen. Εν αντίθεση με τα αποτελέσματα των de Socio και Marino (2006) για ροή αζώτου μέσα από στήλες γεμισμένες με σφαιρικά σωματίδια, δεν παρατηρείται στα παρόντα αποτελέσματα κάποιο ελάχιστο στη διαπερατότητα. Με γραμμική παρεμβολή στα αποτελέσματα διαπερατότητας και χρησιμοποιώντας την εξ. 5.2 βρέθηκε ότι και για τις δύο δομές ισχύει b (5.7) 0.35 k 0 που βρίσκεται σε συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα των Jones και Aime (1972). Στο διάγραμμα 5.2 παρουσιάζεται η εξάρτηση της βαθμίδας της πίεσης από την φαινομενική ταχύτητα για τη δομή με ε=0.7. Η εξάρτηση δεν παρουσιάζει εξάρτηση δευτέρου βαθμού κατά τη θεώρηση των Innocentini και Pandolfelli (2001) ενώ ο αριθμός Forchheimer για όλες τις περιπτώσεις των προσομοιώσεων κυμαινόταν από 0.1 έως 0.2. Η σύγκριση αυτή δείχνει ότι οι αδρανειακοί όροι δεν υπεισέρχονται στην περίπτωση των ροών που εξετάστηκαν και ότι το φαινόμενο Klinkenberg προέρχεται μόνον από φαινόμενα αραίωσης. Όπως προαναφέρθηκε, ο Klinkenberg απέδωσε τη μεταβολή της διαπερατότητας από την πίεση σε φαινόμενα ολίσθησης. Η ισχύς, όμως της άποψης αυτής δεν συνάδει με την αποτυχία των μακροσκοπικών εξισώσεων Navier-Stokes με χρήση συνοριακών συνθηκών ολίσθησης να περιγράψουν τη ροή υπό συνθήκες αραίωσης. Στο σημείο αυτό αξίζει να υπενθυμίσουμε την προσέγγιση των Beskok και Karniadakis (1999), οι οποίοι χρησιμοποίησαν τις εξισώσεις Navier-Stokes με συνθήκες ολίσθησης αλλά με την ταυτόχρονη προσθήκη εκφράσεως για το αποτελεσματικό ιξώδες. Μία διαφορετική και πολύ ενδιαφέρουσα προσέγγιση αποτελεί η εργασία των 138

159 Dongari, Sharma και Durst (2008) οι οποίοι εξέτασαν την ροή αερίων μέσα από μικρο-κανάλια μέσω τροποποιημένων εξισώσεων Navier-Stokes με την 6.00E+010 ε= E+010 (P in 2 -Pout ) 2 /(2PL 0 ) 4.00E E E E E u (m/s) ιάγραμμα 5.2: Εξάρτηση της βαθμίδας πίεσης από τη φαινομενική ταχύτητα για ανακατασκευασμένη fbm δομή με πορώδες ε=0.7 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DSMC. ενσωμάτωση της επίδρασης της διάχυσης της ροής και με χρήση συνοριακών συνθηκών μή-ολίσθησης. Τα αποτελέσματά τους δείχνουν ότι είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπ όψη η παροχή λόγω διάχυσης, η επίδραση της οποίας μεγαλώνει καθώς κινούμαστε προς το δεξί άκρο της μεταβατικής παροχής, και στη οποία, και σύμφωνα με τους συγγραφείς, οφείλεται η παρατηρούμενη ταχύτητα ολίσθησης. Η αλλαγή του μηχανισμού ροής από συναγωγή σε διάχυση είχε χρησιμοποιηθεί ήδη από το 1948 από τους Pollard και Present για την εξήγηση του φαινομένου του ελαχίστου Knudsen. εδομένου ότι ο όρος διάχυσης του φορμαλισμού των τροποποιημένων Navier-Stokes των Dongari et al (2008) αντιστοιχεί στην περίπτωση διάχυσης απουσίας τοιχωμάτων, οι συγγραφείς ενσωμάτωσαν μία έκφραση για τον 139

160 αποτελεσματικό συντελεστή διάχυσης και με ανάλογη αλλαγή για το αποτελεσματικό ιξώδες. Η ανάλυση που ακολουθεί βασίζεται στη θεωρία Dusty-Gas-Model (DGM), η οποία αναπτύχθηκε για να περιγράψει τη μεταφορά αερίου διαμέσου πορωδών υλικών λαμβάνωντας υπόψη τη σύζευξη των μηχανισμών ροής. Η κλασική θεώρηση της DGM (Jackson 1977) επεκτείνεται με χρήση του αποτελεσματικού ιξώδους στον ιξώδη όρο της σύζευξης. Σύμφωνα με το πρότυπο DGM, η παροχή ανά μονάδα επιφανείας ενός αερίου, το οποίο ρέει και διαχέεται μέσα σε ένα πορώδες μέσο, δίνεται από την προσθετική μορφή N = N D +N V (5.8) όπου N D και N V είναι οι παροχές οι παροχές ανά μονάδα επιφανείας για τη διάχυση και την ιξώδη ροή αντιστοίχως. Για μονοσυστατική ροή, η βαθμίδα του γραμμομοριακού κλάσματος είναι ίση με μηδέν και κατ επέκταση η διάχυση Knudsen είναι η μόνη συνεισφορά στην N D. Θεωρώντας τη μακροσκοπική μεταφορά στη μία μόνο διεύθυνση, έστω τη x διεύθυνση, έχουμε 1 K k dp RT μ dx 0 N=- D + P (5.9) η οποία ισχύει για ένα αντιπροσωπευτικό στοιχείο μέσα στο πορώδες μέσο. Για ισοθερμοκρασιακή μεταφορά, ο συντελεστής διάχυσης Knudsen, D K, είναι σταθερός σε όλο το πορώδες μέσο, με την προϋπόθεση το μέσο να είναι ομοιογενές. Η διαπερατότητα στο όριο του συνεχούς, k 0, είναι επίσης σταθερή, δεδομένου ότι εξαρτάται μόνο από τα δομικά χαρακτηριστικά του μέσου. Όμως, το τοπικό ιξώδες είναι συνάρτηση του τοπικού αριθμού Knudsen υπό συνθήκες αραίωσης. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της μελέτης που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 4, μία καλή προσέγγιση για τη μεταβολή του δυναμικού ιξώδους από τον αριθμό Knudsen στη μεταβατική περιοχή της ροής δίνεται από την έκφραση τύπου Bosanquet 140

161 1 μe = μb 1+ akn (5.10) όπου μ b είναι το ιξώδες στο όριο του συνεχούς και α είναι ένας αριθμητικός παράγοντας ο οποίος βρέθηκε ότι για λόγο μήκους προς πλάτος L/h=20 έχει την τιμή 2. Χρησιμοποιώντας την πιο γενική σχέση B 0 λ Kn = = h hp (5.11) όπου h είναι το τοπικό μέγεθος του πόρου, το ιξώδες μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της τοπικής πίεσης στο εσωτερικό ενός πορώδους μέσου. Το B 0 είναι μία ποσότητα η οποία εξαρτάται μόνον από την θερμοκρασία, Τ, και την μοριακή διάμετρο, d, σύμφωνα με την εξίσωση B= 0 kt 2πd 2 (5.12) εδομένου ότι η παροχή είναι σταθερή, ολοκλήρωση της εξ. 5.9 χρησιμοποιώντας τις εξ και εξ δίνει 1 K αk0b 0 k 0 ΔP N= D + + Pm RT μ0h μ0 L0 (5.13) όπου P=P 1 -P 2 είναι η πτώση πίεσης κατά μήκος του πορώδους μέσου μήκους L 0 στην κατεύθυνση της ροής, και P m = (P 1 +P 2 )/2 είναι η μέση πίεση. Η μακροσκοπική ταχύτητα u σε οποιαδήποτε θέση x δίνεται από τη σχέση N u= n (5.14) όπου n είναι η τοπική συγκέντρωση. Εισάγοντας την εξ στην εξ και χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων, προκύπτει k k 0 D μ0 αb 0 1 P m ΔP u= + + μ0 k0 h P P L0 (5.15) 141

162 Εάν η ταχύτητα υπολογιστεί στη θέση της μέσης πίεσης (P=P m ), τότε η παραπάνω σχέση απλοποιείται στη σχέση K k 0 D μ0 αb 0 1 ΔP u= μ0 k0 h Pm L0 (5.16) Άμεση σύγκριση με τον νόμο του Darcy δίνει για την αποτελεσματική διαπερατότητα του αερίου K D μ0 αb 0 1 k e=k k0 h Pm (5.17) Η εξ έχει την ίδια ακριβώς μορφή με την εξίσωση Klinkenberg (εξ. 5.2). Ο τρόπος, όμως, με τον οποίο προέκυψε η εξ επιτρέπει τον άμεσο υπολογισμό της παραμέτρου του Klinkenberg, b, η οποία τυπικά αντιμετωπίζεται ως μία εμπειρική παράμετρος. Έτσι με βάση την παραπάνω συλλογιστική, προτείνεται η ακόλουθη έκφραση για την παράμετρο του Klinkenberg k D μ0 αb b= + k h 0 0 (5.18) 4ε εδομένου ότι h= όπου ε είναι το πορώδες και S v η ειδική εσωτερική S v επιφάνεια, είναι δυνατός ο άμεσος υπολογισμός της σταθεράς Klinkenberg, b, για το συγκεκριμένο, υπό θεώρηση ρευστό. Αν η πορώδης δομή είναι χωρικά ετερογενής, μια παρόμοια ανάλυση μπορεί να εφαρμοστεί για τον προσδιορισμό της διαπερατότητας λαμβάνοντας ως δεδομένο ότι είναι γνωστή η χωρική συνάρτηση h(x), είτε αναλυτικά είτε αριθμητικά. Εν αντιθέσει με την προσέγγιση του Bravo (2007) που προσπάθησε να εισαγάγει τα φαινόμενα αραίωσης στο πρότυπο DGM μέσω μίας θεώρησης για την κατανομή της ταχύτητας μέσα σε αγωγό, στην παραπάνω θεώρηση η παράμετρος b λαμβάνει συνεισφορά από την τύπου Bosanquet εξάρτηση του δυναμικού ιξώδους μέσω του παράγοντα α. Μία ανάλυση τάξεως μεγέθους για τη ροή αζώτου σε ένα πορώδες μέσο με μέσο μέγεθος πόρων ~120 nm (Kn~2) δείχνεί ότι οι δύο όροι της εξ είναι παρόμοιου μεγέθους. 142

163 Προφανώς, καθώς το μέσο μέγεθος πόρων αυξάνεται, η συνεισφορά του δεύτερου όρου μειώνεται. Για επαρκώς μεγάλους πόρους, προσεγγίζεται το όριο του συνεχούς και επιβιώνει μόνον ο πρώτος όρος. Θα πρέπει επίσης να τονιστεί ότι στην παρούσα ανάλυση έγινε ολοκλήρωση της εξίσωσης της παροχής κατά μήκος του πορώδους μέσου για να προκύψει η μακροσκοπική γραμμική σχέση τύπου Darcy μεταξύ της φαινομενικής ταχύτητας και της πτώσης πίεσης. Εάν εργαστεί κανείς με τη διαφορική μορφή της εξίσωσης Darcy, η ανάλυση περιορίζεται σε τοπικές διαπερατότητες ενώ η παρούσα ανάλυση επιτρέπει τον προσδιορισμό της διαπερατότητας στην κλίμακα του πορώδους μέσου. Αν τα αποτελέσματα της DSMC εισαχθούν απευθείας στην εξ. 5.16, ο συντελεστής διάχυσης Knudsen, D k, για τις δύο δομές υπολογίζεται ότι είναι m 2 /s και m 2 /s για τα πορώδη 0.7 και 0.8 αντιστοίχως. Ανεξάρτητες προσομοιώσεις της διάχυσης Knudsen στις αντίστοιχες δομές χρησιμοποιώντας την τεχνική των μοριακών τροχιών (Burganos 1998) δίνουν m 2 /s και m 2 /s. Η συμφωνία είναι πολύ ικανοποιητική δεδομένου ότι για την περίπτωση της τροποποιημένης θεώρησης DGM η διαχυτότητα, D k, προέκυψε από την κλίση και την τεταγμένη επί της αρχής της γραμμικής παρεμβολής στα αποτελέσματα της διαπερατότητας ως προς την αντίστροφη πίεση με μ 0 = Pa s και α=2, και ότι η απλοποιημένη κινητική θεωρία χρησιμοποιήθηκε για να συσχετίσει την πίεση με τον αριθμό Knudsen. 5.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στη μελέτη που παρουσιάστηκε στο παρόν κεφάλαιο υλοποιήθηκε κώδικας DSMC προσαρμοσμένος σε ψηφιοποιημένες δομές και χρησιμοποιήθηκε για τη μελέτη ροής αερίου στη μεταβατική περιοχή της ροής. Εφαρμόστηκε σε πορώδεις δομές ανακατασκευασμένες με την τεχνική fbm και υπολογίστηκε η διαπερατότητα, η εξάρτηση της οποίας από την πίεση βρέθηκε σε συμφωνία με τη θεώρηση Klinkenberg. 143

164 Επιπρόσθετα, ολοκλήρωση των εξισώσεων του προτύπου DGM για μονοσυστατική ροή μέσα από πορώδη μέσα, με χρήση μίας τύπου Bosanquet εξάρτησης του ιξώδους από τον αριθμό Knudsen, βρέθηκε να αναπαράγει την σχέση μεταξύ της φαινομενικής ταχύτητας και της πτώσης πίεσης όπως ακριβώς αυτή περιγράφεται από την εμπειρική εξίσωση Klinkenberg. Η καινούργια εξίσωση για τη διαπερατότητα παρέχει μία απευθείας σχέση μεταξύ της διαχυτότητας Knudsen, της ιξώδους διαπερατότητας στο όριο του συνεχούς και της αποτελεσματικής διαπερατότητας στη μεταβατική περιοχή της ροής. Η ακρίβεια της σχέσης που προτείνεται εδώ ελέγχθηκε με τη βοήθεια μοριακών τροχιών και της μεθόδου της μέσης τετραγωνικής μετατόπισης σε ανακατασκευασμένες πορώδεις δομές στο όριο του άπειρου αριθμού Knudsen. Με τον τρόπο αυτό υπολογίσθηκε ο συντελεστής διάχυσης Knudsen, ο οποίος σε συνδυασμό με την τιμή της διαπερατότητας στο όριο του συνεχούς οδήγησε μέσω της νέας σχέσης στη διαπερατότητα υπό συνθήκες υψηλής αραίωσης. Βρέθηκε ότι η διαπερατότητα που υπολογίσθηκε με τη μέθοδο αυτή προέβλεψε τη διαπερατότητα που προκύπτει από απευθείας εφαρμογή της τεχνικής DSMC στο πορώδες δείγμα με πολύ ικανοποιητικά ακρίβεια αν αναλογισθεί κανείς ότι δεν χρησιμοποιείται καμιά παράμετρος προσαρμογής αλλά και το γεγονός ότι πρόκειται για στοχαστικές τεχνικές. 144

165 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΩΝ ΣΕ ΠΟΡΩ Η ΜΕΣΑ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΑΙΩΣΗΣ 6.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Όπως έχει καταστεί σαφές και από τις προηγούμενες αναφορές, η γνώση του μηχανισμού της ροής σε συνθήκες αραίωσης δεν είναι ολοκληρωμένη και η κατάλληλη μέθοδος για την μελέτη της θα πρέπει να επιλέγεται με προσοχή. Οι εξισώσεις Navier-Stokes αδυνατούν να περιγράψουν σωστά το πρόβλημα, γεγονός που οφείλεται στην έλλειψη δυνατότητάς τους να περιγράψουν σε μικροσκοπικό επίπεδο τις ενδομοριακές συγκρούσεις και τις συγκρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα. Η πλέον ενδεδειγμένη μέθοδος, είναι η μοριακή δυναμική, η οποία όμως προς το παρόν περιορίζεται σε πολύ μικρές χρονικές και χωρικές κλίμακες. Η επίλυση της εξίσωσης Boltzmann έχει επιτευχθεί για απλές μόνο γεωμετρίες και παραμένει μαθηματικά μία μη-ελκυστική μέθοδος για πιο πολύπλοκες δομές. Η μέθοδος DMSC, μέσω της στοχαστικής αντιμετώπισης της δυναμικής των μορίων, ξεπερνάει σε ένα βαθμό τα προβλήματα της μοριακής δυναμικής αλλά όπως αναφέρθηκε στο Κεφ. 5 παραμένει πρακτικά ασύμφορη για τη μελέτη ροών σε δοκίμια πορωδών μέσων μεγάλων διαστάσεων. Μια ενδιαφέρουσα εναλλακτική μέθοδος προσομοίωσης είναι το πρότυπο δικτύου Boltzmann (LB), όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενο κεφάλαιο. Η μέθοδος LB έχει μελετηθεί και εφαρμοστεί με επιτυχία για ροές σε 145

166 πορώδη μέσα (Tolke 2002), έχοντας επιδείξει χαμηλό υπολογιστικό κόστος και ευκολία στο χειρισμό τοιχωμάτων. Τα τελευταία χρόνια προσελκύει ένα διαρκώς αυξανόμενο ενδιαφέρον και για την εφαρμογή της σε ροές υπό συνθήκες αραίωσης. Αφετηρία του ενδιαφέροντος αποτελεί το γεγονός ότι πρόκειται για μία μεσοσκοπική τεχνική, η βασική εξίσωση της οποίας είναι μία διακριτοποιημένη μορφή της εξίσωσης Boltzmann. Το πρότυπο, βέβαια, του δικτύου Boltzmann αναπτύχθηκε κατά κύριο λόγο για να αναπαράγει τα αποτελέσματα των εξισώσεων Navier-Stokes με αποτέλεσμα ο τρόπος της μετάβασης από το όριο του συνεχούς στην περιοχή πεπερασμένων αριθμών Knudsen να μην είναι ξεκάθαρος. Για την αντιμετώπιση ροών υπό συνθήκες αραίωσης από το πρότυπο LB δύο βασικές κατευθύνσεις αποτέλεσαν το σημείο εστίασης των ερευνητικών προσπαθειών. Η πρώτη αφορά την εισαγωγή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών στο τοίχωμα ώστε να επιτευχθεί ταχύτητα ολίσθησης και η δεύτερη την εύρεση του ενδεδειγμένου τρόπου εξάρτησης από την πίεση του χρόνου χαλάρωσης και κατ επέκταση του ιξώδους. εδομένου του ότι η φύση της συνάρτησης κατανομής ενός σωματιδίου είναι μικροσκοπική, η συμπεριφορά της διακριτοποιημένης συνάρτησης κατανομής f i πάνω στο τοίχωμα αντιμετωπίστηκε κατ αναλογία με τις μοριακές συνοριακές συνθήκες, δηλαδή την πλήρη κατοπτρική ανάκλαση, την τυχαία ανάκλαση ή, επικρατέστερα, με συνδυασμό τους σύμφωνα με το πρότυπο Maxwell, δηλαδή με συνδυασμό της πλήρους ολίσθησης με τη μη ολίσθηση στο τοίχωμα. Έτσι το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε εμπειρικά υπό τη θεώρηση ότι η συνοριακή συνθήκη τύπου bounce-forward αντιστοιχεί στην πλήρη ολίσθηση (Lim et al 2002) και η bounce-back στην μη ολίσθηση (Nie et al 2002). Ο συνδυασμός τους καλείται συνήθως CBBSR (combined bounceback / specular reflection (Succi 2002). Μια διαφορετική προσέγγιση ακολουθήθηκε από τους Ansumali και Karlin (2002), οι οποίοι μετέφεραν στον φορμαλισμό του προτύπου LB τη συνοριακή συνθήκη τυχαίας ανάκλασης όπου οι ανακλώμενες μοριακές ταχύτητες ακολουθούν την κατανομή ισορροπίας στη θερμοκρασία του τοίχου. Η επέκταση της παραπάνω συνοριακής συνθήκης στο συνδυαστικό πρότυπο Maxwell είναι γνωστή και ως DMDR (discrete Maxwell s diffuse reflection). Οι μελέτες των Guo et al 146

167 (2006, 2008) μελέτησαν τις ομοιότητες και διαφορές των κανόνων CBBSR και DMDR και έδειξαν ότι ταυτίζονται για συγκεκριμένο εύρος των παραμέτρων τους. Η προσπάθεια για την εύρεση μιας κατάλληλης έκφρασης για να δοθεί ο χρόνος χαλάρωσης της μεθόδου LB ως τοπική συνάρτηση αντιμετωπίστηκε ποικιλοτρόπως. Σε ορισμένες μελέτες ο χρόνος χαλάρωσης συσχετίστηκε άμεσα με τον μέσο χρόνο μεταξύ των ενδομοριακών συγκρούσεων (Lim et al 2002, Tang et al 2005). Σε άλλες εργασίες, χρησιμοποιήθηκε η έκφραση για το ιξώδες κατά Chapman-Enskog για να συνδεθεί ο χρόνος χαλάρωσης με τον αριθμό Knudsen (Zhang et al 2005, Guo and Zheng 2008). Επίσης, ένας αποτελεσματικός χρόνος χαλάρωσης εισήχθη με βάση την εργασία του Stops (Stops 1970, Guo et al 2006) που κάνει χρήση της έννοιας της αποτελεσματικής μέσης ελεύθερης διαδρομής. Πρόσφατα, η τύπου Bosanquet έκφραση για το αποτελεσματικό ιξώδες που προτάθηκε από τους Michalis et al (2010) εισήχθη σε έναν MRT φορμαλισμό για τη μελέτη ροής σε κανάλι (Li et al 2011). Ο στόχος της εργασίας στο κεφάλαιο αυτό είναι να εξεταστεί η δυνατότητα να χρησιμοποιηθεί το πρότυπο δικτύου Boltzmann για τη μελέτη ροών υπό συνθήκες αραίωσης και, ιδιαίτερα, για ροές σε ανακατασκευασμένα πορώδη μέσα. Η μέθοδος LB υπερτερεί της DMSC κατά πολλές τάξεις μεγέθους όσον αφορά τον υπολογιστικό χρόνο, ένα πλεονέκτημα που είναι καθοριστικό για το κατά πόσο είναι εφικτή η μελέτη ροών σε πορώδεις δομές. Το τροποποιημένο πρότυπο που αναπτύχθηκε βασίζεται στη μεθοδολογία μονού χρόνου χαλάρωσης που κρίνεται επαρκής για την περίπτωση των ισοθερμοκρασιακών ροών που εξετάζονται. 147

168 6.2 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΙΚΤΥΟΥ BOLTZMANN ΧΡΟΝΟΣ ΧΑΛΑΡΩΣΗΣ Στην παρούσα μελέτη η συσχέτιση του χρόνου χαλάρωσης του προτύπου δικτύου Boltzmann με τον αριθμό Knudsen προκύπτει με τον ακόλουθο τρόπο. Στην τυπική μεθοδολογία LB το κινηματικό ιξώδες, ν, δίνεται σε διαστατική μορφή από ν = c s2 ( τ 0.5) δt (6.1) όπου τ είναι ο αδιάστατος χρόνος χαλάρωσης, c s είναι η ταχύτητα του ήχου και δt το διαστατικό χρονικό βήμα. Σύμφωνα με την τύπου Bosanquet εξάρτηση του ιξώδους από τον Kn που προέκυψε από τις προσομοιώσεις της μεθόδου DSMC για ισοθερμοκρασιακή ροή υπό πτώση πίεσης μεταξύ παραλλήλων πλακών (Κεφ. 5), το αποτελεσματικό κινηματικό ιξώδες μπορεί να γραφεί ως 1 ν e = ν 0 1+ akn (6.2) όπου ν 0 είναι το κινηματικό ιξώδες στο όριο του συνεχούς (Kn 0). Με συνδυασμό των δύο παραπάνω εξισώσεων προκύπτει ν 1+ akn 0 2 = cs ( τ 0.5) δt (6.3) με αντικατάσταση του κινηματικού ιξώδους του ρευστού από το αποτελεσματικό, ν e, για ροές υπό συνθήκες αραίωσης. Εισάγοντας στην παραπάνω έκφραση την έκφραση κατά Chapman-Enskog για το ιξώδες στο όριο του συνεχούς, η οποία είναι ν 1 2 c λ 0 0 = = (6.4) όπου c είναι η μέση θερμική ταχύτητα, και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 148 μ ρ

169 c s kt = (6.5) m 8 c = c s (6.6) π λ = N δ xkn (6.7) 0 τελικά προκύπτει η ακόλουθη έκφραση για τον χρόνο χαλάρωσης τ 6 N Kn π 1+ αkn = (6.8) όπου δx είναι το διαστατικό μοναδιαίο μήκος στο πρότυπο LB, m η μοριακή μάζα και N 0 είναι ο αριθμός των κόμβων του δικτύου του πλάτους του καναλιού. Με τον τρόπο αυτό, ο χρόνος χαλάρωσης μετατρέπεται σε τοπική συνάρτηση μέσω της εξάρτησής του από τον τοπικό αριθμό Knudsen, ο οποίος με τη σειρά του μεταβάλλεται σύμφωνα με την αλλαγή της πυκνότητας κατά μήκος του καναλιού. Η εφαρμογή της παραπάνω έκφρασης γίνεται με υπολογισμό της πυκνότητας σε κάθε κόμβο ανά χρονικό βήμα και υπολογισμό του αριθμού Kn και χρήση του τοπικού χρόνου χαλάρωσης στην διακριτοποιημένη εξίσωση δικτύου Boltzmann ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ Η συνοριακή συνθήκη στο τοίχωμα που χρησιμοποιήθηκε είναι τύπου CBBSR σύμφωνα με την οποία ένα κλάσμα r των μορίων που προσπίπτουν στο τοίχωμα αναπηδούν με την ίδια ταχύτητα αλλά στην αντίθετη διεύθυνση (bounce-back) και το υπόλοιπο 1-r αναπηδά κατοπτρικά της αρχικής διεύθυνσης (bounce-forward). Για παράδειγμα, κατά μήκος ενός οριζοντίου τοιχώματος (σχήμα 6.1) οι άγωστες εξερχόμενες, f b και f s, από το τοίχωμα κατανομές των σωματιδίων υπολογίζονται ως γραμμικός συνδυασμός των γνωστών εισερχόμενων κατανομών, f in. Για το τετραγωνικό δίκτυο D2Q9, οι 149

170 άγνωστες εισερχόμενες στο ρευστό κατανομές, προερχόμενες από το κάτω τοίχωμα, είναι οι f 2, f 5, και f 6. Αυτές προσδιορίζονται από τις γνωστές f 4, f 7 kai f 8. δηλαδή f ( x,y ) = f ( x,y ) 2 w 4 w ( ) ( ) f ( x,y ) = p f ( x,y ) + 1 r f ( x,y ) 5 w b 7 w 8 w f ( x,y ) = rf ( x,y ) + 1 r f ( x,y ) 6 w 8 w 7 w (6.9) όπου y w ο πρώτος ρευστός κόμβος δίπλα στο τοίχωμα. Αντίστοιχα για το πάνω τοίχωμα οι άγνωστοι πληθυσμοί των κατανομών f 4, f 7 και f 8 προσδιορίζονται συναρτήσει των γνωστών f 2, f 5 και f 6, από τις ακόλουθες εκφράσεις f(x,y + h) = f(x,y + h) 4 w 2 w ( ) ( ) f (x,y + h) = rf (x,y + h) + 1 r f (x,y + h) 7 w 5 w 6 w f (x,y + h) = rf (x,y + h) + 1 r f (x,y + h) 8 w 6 w 5 w (6.10) Αξίζει να σημειωθεί πως σε περίπτωση που η παράμετρος r είναι ίση με τη μονάδα, η παραπάνω συνοριακή συνθήκη εκφυλίζεται στη συνθήκη αναπήδησης (bounce-back). Αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες εφαρμόζονται για την περίπτωση κάθετων τοιχωμάτων. Σχήμα 6.1: Σχηματική αναπαράσταση της συνοριακής συνθήκης ολίσθησης καθώς και της θεμελιώδους κυψελίδας του δικτύου D 2 Q