Ανάλυση αποθεμάτων, προβλέψεων και πολυκριτηριακή ανάλυση: Ένα εγχειρίδιο αντιπροσωπευτικών μοντέλων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Ανάλυση αποθεμάτων, προβλέψεων και πολυκριτηριακή ανάλυση: Ένα εγχειρίδιο αντιπροσωπευτικών μοντέλων Διπλωματική Εργασία της Αναστασίας Μουμτζίδου (ΑΕΜ: 293) Εξεταστική Επιτροπή Επιβλέπων: Χρυσολέων Παπαδόπουλος Μέλη: Νικόλαος Βασιλειάδης Κυριακή Κοσμίδου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2011

2 Πρόλογος Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του διατμηματικού προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών Πληροφορικής και Διοίκησης και αποτελεί μια προσπάθεια δημιουργίας ενός συνοπτικού και κατανοητού εγχειριδίου αντιπροσωπευτικών μοντέλων και μεθόδων διαχείρισης αποθεμάτων, πρόβλεψης και πολυκριτηριακής ανάλυσης. Τα μοντέλα αυτά συμβάλλουν στην ορθή λήψη αποφάσεων εκ μέρους των επιχειρήσεων σε θέματα που αφορούν το ύψος των διατηρηθέντων αποθεμάτων και το χρόνο παραγγελίας τους ώστε να μειωθεί η πιθανότητα ελλείψεων καθώς και η πιθανότητα διατήρησης μεγάλων ποσοτήτων αποθεμάτων που αποτελούν πηγή εξόδων για την επιχείρηση. Στη λήψη τέτοιων αποφάσεων συμβάλλει αποφασιστικά και η όσο το δυνατόν ορθότερη πρόβλεψη που βασίζεται σε δεδομένα προηγούμενων περιόδων. Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί πως για την λήψη σημαντικών επιχειρησιακών αποφάσεων, οι αποφασίζοντες θα πρέπει να λαμβάνουν υπόψη τους πολλαπλά κριτήρια ώστε να καλύπτονται περισσότερες πτυχές ενός ερωτήματος. Αυτό καθίσταται δυνατό μέσω της χρήσης μεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης. Στο σημείο αυτό, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή Χρυσολέοντα Παπαδόπουλο, για τη συνεχή συμπαράσταση, την πολύτιμη βοήθεια και τη σωστή καθοδήγησή του στη συγγραφή του ελάχιστου αυτού πονήματος. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλα τα προσφιλή μου πρόσωπα: την οικογένειά μου και τους φίλους μου για την ηθική και ψυχολογική στήριξη που μου παρείχαν κατά την εκπόνηση της εργασίας μου. Αναστασία Μουμτζίδου Μάρτιος

3 Περιεχόμενα Πρόλογος... 2 Περιεχόμενα... 3 Ευρετήριο Εικόνων... 5 Ευρετήριο Πινάκων... 9 Εισαγωγή Διαχείριση Αποθεμάτων Εισαγωγή Ιστορική αναδρομή Διαχείριση αποθεμάτων και εφοδιαστική αλυσίδα Ζήτηση Στοιχεία κόστους αποθεμάτων Βασικοί τύποι αποθεμάτων Συστήματα διαχείρισης αποθεμάτων Βασικές έννοιες Μοντέλα με προσδιοριστική ζήτηση Μοντέλο Οικονομικής Ποσότητας Παραγγελίας Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες Μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο ποσοτικών εκπτώσεων Αβεβαιότητα στα μοντέλα αποθεμάτων (στοχαστικά μοντέλα) Μοντέλο μίας περιόδου Μοντέλο πολλαπλών περιόδων Χρονική τοποθέτηση παραγγελίας Ποσότητα παραγγελίας για σύστημα σταθερής περιόδου παραγγελίας Πρόβλεψη Εισαγωγή Στρατηγικός προγραμματισμός Συστατικά στοιχεία της πρόβλεψης της ζήτησης Χρονικό πλαίσιο Συμπεριφορά ζήτησης Τάση Διαδικασία πρόβλεψης Μέθοδοι πρόβλεψης Συμβολισμός βασικών εννοιών Μετρικές

4 2.3.1 Μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης Μετρικές σχέσης μεταβλητών Μέθοδοι χρονικής σειράς Κινούμενος μέσος όρος Σταθμισμένος κινούμενος μέσος όρος Εκθετική εξομάλυνση Προσαρμοσμένη εκθετική εξομάλυνση Γραμμική γραμμή τάσης Εποχιακές διακυμάνσεις Χρονική σειρά με εποχιακά στοιχεία και στοιχεία γραμμικής τάσης Μέθοδοι παλινδρόμησης Απλή γραμμική παλινδρόμηση Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση Μέθοδος πρόβλεψης για καινούρια προϊόντα Έλεγχοι καλής προσαρμογής Poisson κατανομή Πολυκριτηριακή Ανάλυση Εισαγωγή Προγραμματισμός στόχων Αναλυτική ιεραρχική διαδικασία Συμπεράσματα Βιβλιογραφία Παράρτημα Α Economic Models Tool Γενική Περιγραφή του εργαλείου Economic Models Tool Εκκίνηση εφαρμογής

5 Ευρετήριο Εικόνων Εικόνα 1.1: Σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου του Κεφαλαίου Εικόνα 1.2: Γράφημα της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Εικόνα 1.3: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο αγοράς χωρίς υστέρηση κατά την παραγγελία Εικόνα 1.4: Μοντέλο κόστους ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Εικόνα 1.5: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για συνεχείς μονάδες Εικόνα 1.6: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για συνεχείς μονάδες Εικόνα 1.7: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για διακριτές μονάδες Εικόνα 1.8: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για διακριτές μονάδες Εικόνα 1.9: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο αγοράς με υστέρηση κατά την παραγγελία Εικόνα 1.10: Μοντέλο κόστους ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Εικόνα 1.11: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για συνεχείς μονάδες Εικόνα 1.12: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για συνεχείς μονάδες Εικόνα 1.13: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για διακριτές μονάδες Εικόνα 1.14: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για διακριτές μονάδες Εικόνα 1.15: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο αγοράς με ανεκτέλεστες παραγγελίες Εικόνα 1.16: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για συνεχείς μονάδες Εικόνα 1.17: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για συνεχείς μονάδες Εικόνα 1.18: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για διακριτές μονάδες Εικόνα 1.19: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για διακριτές μονάδες Εικόνα 1.20: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο παραγωγής χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Εικόνα 1.21: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας και για συνεχείς μονάδες Εικόνα 1.22: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας και για συνεχείς μονάδες

6 Εικόνα 1.23: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Εικόνα 1.24: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Εικόνα 1.25 Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο ποσοτικών εκπτώσεων για τρεις στάθμες τιμών Εικόνα 1.26: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ με ποσοτικές εκπτώσεις Εικόνα 1.27: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ με ποσοτικές εκπτώσεις Εικόνα 1.28: Συνθήκη βέλτιστης λύσης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Εικόνα 1.29: Συνθήκη βέλτιστης λύσης χρησιμοποιώντας την αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Εικόνα 1.30: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο μιας περιόδου Εικόνα 1.31: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο μιας περιόδου Εικόνα 1.32 Μοντέλο πολλαπλών περιόδων στοχαστικής ζήτησης Εικόνα 1.33 Αλγόριθμος εύρεσης βέλτιστης λύσης για μοντέλο πολλαπλών περιόδων στοχαστικής ζήτησης (Papadopoulos, C.T.) Εικόνα 1.34: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο πολλαπλών περιόδων Εικόνα 1.35: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο πολλαπλών περιόδων Εικόνα 1.36: Μεταβλητή ζήτηση με Σημείο Αναπαραγγελίας (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Εικόνα 1.37: Μεταβλητή ζήτηση με Απόθεμα Ασφαλείας (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Εικόνα 2.1: Σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου του Κεφαλαίου Εικόνα 2.2: Πρότυπο τάσης Εικόνα 2.3: Κυκλικό πρότυπο Εικόνα 2.4: Εποχιακό πρότυπο Εικόνα 2.5: Πρότυπο τάσης με εποχιακές διακυμάνσεις Εικόνα 2.6: Γραμμική Τάση Εικόνα 2.7: Γραμμική Φθίνουσα Τάση Εικόνα 2.8: Μη τάση Εικόνα 2.9: Μη Γραμμική Τάση Εικόνα 2.10: Γενική επισκόπηση μεθόδων πρόβλεψης (Anderson, D.R., et al., 1991) Εικόνα 2.11: Γράφημα με έσοδα επιχείρησης Εικόνα 2.12: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΚΜΟ Εικόνα 2.13: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για τη μέθοδο πρόβλεψης ΚΜΟ Εικόνα 2.14: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για τη μέθοδο πρόβλεψης ΚΜΟ Εικόνα 2.15: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΣΚΜΟ Εικόνα 2.16: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο ΣΚΜΟ Εικόνα 2.17: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο ΣΚΜΟ Εικόνα 2.18: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΕΕ

7 Εικόνα 2.19: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο ΕΕ Εικόνα 2.20: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο ΕΕ Εικόνα 2.21: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΠΕΕ και ΕΕ Εικόνα 2.22: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο ΠΕΕ Εικόνα 2.23: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο ΠΕΕ Εικόνα 2.24: Γραφική απεικόνιση πωλήσεων αυτοκινήτων Εικόνα 2.25: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο γραμμικής γραμμής τάσης Εικόνα 2.26: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο γραμμικής γραμμής τάσης Εικόνα 2.27: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο γραμμικής γραμμής τάσης Εικόνα Γραφική απεικόνιση πωλήσεων χιονοπέδιλων Εικόνα 2.29: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για την περίπτωση εποχιακών διακυμάνσεων Εικόνα 2.30: Γραφική απεικόνιση πωλήσεων χιονοπέδιλων Εικόνα 2.31: Γράφημα με πωλήσεις ανά έτος Εικόνα 2.32: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για την χρονικής σειράς με εποχιακή στοιχεία και στοιχεία γραμμικής τάσης Εικόνα 2.33: Γραφική απεικόνιση πωλήσεων αυτοκινήτων Εικόνα 2.34: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο απλής γραμμικής παλινδρόμησης Εικόνα 2.35: Παράδειγμα επίλυσης με το Excel με τη μέθοδο απλής γραμμικής παλινδρόμησης Εικόνα 2.36: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο απλής γραμμικής παλινδρόμησης Εικόνα 2.37: Βήματα ανάπτυξης πρόβλεψης καινούριου ανταλλακτικού (DEC) Εικόνα 2.38: Κύκλος Επιστροφών Εικόνα 2.39: Παράδειγμα επίλυσης με Excel πρόβλεψης καινούριου προϊόντος Εικόνα 2.40: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool πρόβλεψης καινούριου προϊόντος Εικόνα 2.41: Έλεγχος καλής προσαρμογής κατανομής Poisson με χρήση του Excel Εικόνα 2.42: Έλεγχος καλής προσαρμογής κατανομής Poisson με χρήση του Economic Models Tool Εικόνα 3.1: Σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου του Κεφαλαίου Εικόνα 3.2: Ταξινόμηση μεθόδων Πολυκριτηριακής Λήψης Αποφάσεων (Μαυρωτάς, 2000) Εικόνα 3.3: Απεικόνιση προβλήματος χαρτοφυλακίου με το LINDO Εικόνα 3.4: Αποτελέσματα προβλήματος χαρτοφυλακίου από το LINDO Εικόνα 3.5: Ιεραρχία για το πρόβλημα επιλογής διαμερίσματος Εικόνα 3.6. Πίνακας προτεραιότητας Εικόνα 3.7 Παράδειγμα επίλυσης πολυκριτηριακού προβλήματος με AHP Εικόνα Α.1: Εργαλείο Economic Models Tool Εικόνα Α.2: Μενού File του εργαλείου Economic Models Tool Εικόνα Α.3: Μενού Edit του εργαλείου Economic Models Tool

8 Εικόνα Α.4: Μενού Information του εργαλείου Economic Models Tool Εικόνα Α.5: Παράθυρο της επιλογής Format Information του εργαλείου Economic Models Tool Εικόνα Α.6: Παράθυρο της επιλογής About του εργαλείου Economic Models Tool Εικόνα Α.7: Παράδειγμα λειτουργίας και αποτελεσμάτων του εργαλείου Economic Models Tool

9 Ευρετήριο Πινάκων Πίνακας 1.1: Δεδομένα εισόδου (μεταβλητή και συχνότητα) για το παράδειγμα μοντέλου μιας περιόδου Πίνακας 1.2: Υπολογισμός αθροιστικής κατανομής για το παράδειγμα μοντέλου μιας περιόδου Πίνακας 1.3: Κατανομή εβδομαδιαίας ζήτησης προϊόντος Πίνακας 1.4: Κατανομή χρόνου υστέρησης (εβδομάδες) Πίνακας 1.5: Υπολογισμός βασικών παραμέτρων για παράδειγμα μοντέλου πολλαπλών περιόδων Πίνακας 1.6: Υπολογισμός ζευγών Q, ROP και αντίστοιχου κόστους για το παράδειγμα μοντέλου πολλαπλών περιόδων Πίνακας 2.1: Δεδομένα με έσοδα επιχείρησης και αντίστοιχες προβλέψεις εσόδων Πίνακας 2.2: Υπολογισμοί για τον προσδιορισμό διαφόρων μέτρων ακρίβειας πρόβλεψης Πίνακας 2.3: Δεδομένα με έσοδα επιχείρησης Πίνακας 2.4: Περίληψη υπολογισμών για ΚΜΟ Πίνακας 2.5: Περίληψη υπολογισμών για ΣΚΜΟ Πίνακας 2.6: Περίληψη υπολογισμών για ΕΕ Πίνακας 2.7: Περίληψη υπολογισμών για ΠΕΕ Πίνακας 2.8: Πωλήσεις αυτοκινήτων Πίνακας 2.9: Περίληψη υπολογισμών για γραμμική γραμμή τάσης Πίνακας 2.10: Αναμενόμενες πωλήσεις και σφάλματα Πίνακας 2.11: Πωλήσεις χιονοπέδιλων Πίνακας 2.12: Περίληψη υπολογισμών για εποχιακές διακυμάνσεις Πίνακας 2.13: Πωλήσεις χιονοπέδιλων Πίνακας 2.14: Περίληψη υπολογισμών για εποχιακές διακυμάνσεις Πίνακας 2.15: Περίληψη υπολογισμών για γραμμική γραμμή τάσης Πίνακας 2.16: Πωλήσεις αυτοκινήτων Πίνακας 2.17: Περίληψη υπολογισμών για την απλή γραμμική παλινδρόμηση Πίνακας 2.18: Τιμές Παράγοντα Υπηρεσιών για τον Υπολογισμό του Αποθέματος Ασφαλείας. 108 Πίνακας 2.19: Υπολογισμός του population responsibility Πίνακας 2.20: Υπολογισμός του RPD Πίνακας 2.21: Υπολογισμός παραμέτρων του TSL Πίνακας 2.22: Υπολογισμός των απαιτήσεων των αποθεμάτων μέσω του TSL Πίνακας 2.23: Υπολογισμός του GMR Πίνακας 2.24: Εξαρτήματα προς επισκευή Πίνακας 2.25: Υπολογισμός εξαρτημάτων στο κύκλο επιστροφών Πίνακας 2.26: Υπολογισμός του NMR Πίνακας 2.27: Υπολογισμός του Συνολικού Κόστους Πίνακας 2.28: Παρατηρούμενες συχνότητες άφιξης πελατών για ένα δείγμα λεπτών περιόδων

10 Πίνακας 2.29: Αναμενόμενες Συχνότητες θεωρώντας Poisson Πιθανοτική Κατανομή με μέση τιμή μ= Πίνακας 2.30: Σύγκριση Παρατηρούμενων και Αναμενόμενων Συχνοτήτων Πίνακας 3.1: Χαρακτηριστικά μετοχών Πίνακας 3.2: Αντιστοιχία εντολών στο LINDO με τις εξισώσεις και περιορισμούς γραμμικού προβλήματος Πίνακας 3.3: Χαρακτηριστικά διαμερισμάτων για το παράδειγμα της μεθόδου αναλυτικής ιεραρχικής διαδικασίας Πίνακας 3.4: Κλίμακα συγκρίσεων κατά ζεύγη για την AHP Πίνακας 3.5: Κρίση για το κριτήριο Τύπος χώρου στάθμευσης Πίνακας 3.6: Πίνακας τυχαίου δείκτης συνέπειας Πίνακας 3.7: Κρίση για το κριτήριο Τιμή Πίνακας 3.8: Κρίση για το κριτήριο Απόσταση από εργασία Πίνακας 3.9: Κρίση για το κριτήριο Αριθμός δωματίων Πίνακας 3.10: Κρίση για τα κριτήρια Πίνακας 3.11: Προτεραιότητες για τα 4 κριτήρια

11 Εισαγωγή Σήμερα η διοίκηση των επιχειρήσεων αποδεσμεύτηκε από τις παραδοσιακές θεωρίες, χωρίς όμως να τις εγκαταλείπει πλήρως, και ενστερνίζεται τις θεωρίες της Διοίκησης Ολικής Ποιότητας (Δ.Ο.Π.). Η Διοίκηση Ολικής Ποιότητας αποτελεί ένα σύγχρονο «μοντέλο διοίκησης», που η επιτυχία του εξαρτάται από την αποτελεσματικότερη επίτευξη του άριστου συνδυασμού όλων των συντελεστών της παραγωγής που συμμετέχουν σε μια επιχείρηση. Δηλαδή προτείνει την εμπλοκή όλων των συντελεστών της επιχείρησης και ιδιαίτερα των εργαζομένων στην παραγωγική διαδικασία και στην «ποιότητα», γιατί θέτει στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος της επιχείρησης την ποιότητα των παραγόμενων προϊόντων και των παρεχόμενων υπηρεσιών (Θεοδώρου, Θ.). Στόχος της Δ.Ο.Π. είναι η ικανοποίηση του πελάτη και η συνεχής βελτίωση των επιχειρησιακών και παραγωγικών διαδικασιών του οργανισμού. Με γνώμονα τα παραπάνω, τα τελευταία χρόνια αρκετές επιχειρήσεις στράφηκαν προς τον επανασχεδιασμό των επιχειρησιακών τους διαδικασιών με κύριο στόχο τη βελτιστοποίηση της εφοδιαστικής τους αλυσίδας και κατά συνέπεια τη βελτίωση της ροής του υλικού και της πληροφορίας που σχετίζονται με αυτές. Τα βασικότερα αίτια που ώθησαν τις επιχειρήσεις προς την κατεύθυνση αυτή ήταν ο διαρκώς αυξανόμενος ανταγωνισμός και οι ταχείες τεχνολογικές πρόοδοι, ενώ στόχος τους ήταν η βελτίωση της ικανοποίησης των πελατών και της ανταγωνιστικότητας της εκάστοτε επιχείρησης μέσω της βελτίωσης της ταχύτητας, της αξιοπιστίας, και της αποδοτικότητας της κατά την παράδοση των προϊόντων της στην αγορά (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Πιο συγκεκριμένα, όσον αφορά τη διαχείριση των αποθεμάτων, τα κυριότερα μέσα για την εκπλήρωση των ανωτέρω στόχων είναι η βελτίωση της διαδικασίας απογραφής τους, η μείωση τους χωρίς όμως να επηρεάζεται το επίπεδο εξυπηρέτησης των πελατών και ο υπολογισμός των αποθεμάτων ασφαλείας κάθε προϊόντος σε κάθε θέση της εφοδιαστικής αλυσίδας προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί η συνολική επένδυση στα αποθέματα. Εμπειρικές μελέτες που πραγματοποίησαν διάφορες επιχειρήσεις έδειξαν πως η ακρίβεια πρόβλεψης της ζήτησης επηρεάζει πολύ τα αποθέματα και τις παρεχόμενες υπηρεσίες στους πελάτες, με συνέπεια να είναι δυνατός ο καθορισμός του επιπέδου της υπηρεσίας που θα υπόσχονταν στους πελάτες τους βάσει της ακρίβειας των προβλέψεων (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Τέλος, η Πολυκριτηριακή Ανάλυση, ως μέθοδος λήψης αποφάσεων, είναι ένας ακόμα τομέας της Επιχειρησιακής Έρευνας που τις τελευταίες δεκαετίες γνωρίζει ιδιαίτερη άνθηση στα πλαίσια της Δ.Ο.Π.. Καθώς η διαδικασία λήψης αποφάσεων σε επιχειρησιακό περιβάλλον δεν είναι σε θέση να οδηγήσει σε ορθολογικό αποτέλεσμα, αν γίνεται μέσα από υποκειμενική και μονοδιάστατη ανάλυση των εκάστοτε δεδομένων, καθίσταται αναγκαία η εφαρμογή της Πολυκριτηριακής Ανάλυσης που προσεγγίζει την απόφαση σε θεωρητικό επίπεδο μέσα από την πολυδιάστατη και αντικειμενική ανάλυση των παραγόντων που την επηρεάζουν (Μαυρωτάς, Γ., 2000). Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα εταιρείας που προχώρησε σε επανασχεδιασμό των επιχειρησιακών της διαδικασιών αποτέλεσε η IBM, που είναι μία από τις μεγαλύτερες επιχειρήσεις σε παραγωγή λογισμικού και υλικού υπολογιστών. Με τις αλλαγές που πραγματοποίησε η IBM, κατάφερε να μειώσει τα αποθέματα της από το 1998 ως το 1999 κατά 50% χωρίς να επηρεάζεται η εξυπηρέτηση των πελατών αποταμιεύοντας με τον τρόπο αυτό πάνω από $100 εκατομμύρια. Κατάφερε επίσης να μειώσει το χρόνο μεταξύ της προμήθειας των εξαρτημάτων και των πραγματικών πωλήσεων, γεγονός που οδήγησε σε πρόσθετη ετήσια εξοικονόμηση κόστους $650 εκατομμυρίων (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Βασικό κίνητρο της παρούσας εργασίας αποτελεί η όσο το δυνατόν εκτεταμένη υιοθέτηση συγκεκριμένων πρακτικών από ευρύ φάσμα επιχειρήσεων. Σε αυτό το πλαίσιο, στόχος της εργασίας είναι να καταστούν εύχρηστα και προσιτά σε μη εξειδικευμένους χρήστες τα αποτελέσματα της πιο πρόσφατης έρευνας σε θέματα που σχετίζονται με τη Δ.Ο.Π.. Τα αποτελέσματα αυτά συνίστανται στη διαχείριση της εφοδιαστικής αλυσίδας που περιλαμβάνει τεχνικές πρόβλεψης ζήτησης και διαχείρισης αποθεμάτων καθώς και στη λήψη αποφάσεων μέσω πολυκριτηριακής ανάλυσης. Επιπλέον, γνώμονας της προσπάθειας αυτής υπήρξε η ανάδειξη των προσδοκώμενων ωφελειών που δύναται να καρπωθεί μια επιχείρηση από την εφαρμογή μεθόδων Δ.Ο.Π. (Θεοδώρου, Θ.). Στην συνεισφορά της εργασίας συγκαταλέγονται: (α) η κατάρτιση ενός εγχειρίδιου με αντικείμενο τη χρήση μοντέλων για τη πρόβλεψη της ζήτησης, την εφαρμογή τεχνικών για τη διαχείριση αποθεμάτων, καθώς και την εφαρμογή μεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης για τη

12 λήψη αποφάσεων, (β) η αντιστοίχηση των παραπάνω μοντέλων με μερικά από τα χαρακτηριστικά προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι επιχειρήσεις και η ανάδειξη της χρησιμότητας τους μέσω της εύρεσης μιας θεωρητικής λύσης, (γ) η ανάπτυξη εργαλείου που ενσωματώνει την πλειοψηφία των προαναφερθέντων τεχνικών και μεθόδων και επιτρέπει σε ένα μη εξειδικευμένο χρήστη την εύκολη και αποτελεσματική εφαρμογή τους και, (δ) η βήμα προς βήμα επίλυση πρακτικών προβλημάτων με τη χρήση του εργαλείου που αναπτύχθηκε καθώς και άλλων ευρέως χρησιμοποιούμενων εργαλείων. Συγκεκριμένα, τα προβλήματα που παρουσιάζονται επιλύονται με μαθηματική ανάλυση, με το λογιστικό πακέτο Excel, με την εφαρμογή Java που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διπλωματικής και για την περίπτωση της πολυκριτηριακής ανάλυσης με το πακέτο λογισμικού LINDO. Η επιλογή του πακέτου Excel είναι προφανής καθώς αποτελεί σήμερα το πλέον διαδεδομένο πρόγραμμα λογιστικών φύλλων της αγοράς για περιβάλλον Windows. Αντίστοιχα το LINDO αποτελεί ένα δωρεάν λογισμικό που χρησιμοποιείται ευρέως στην επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η παρούσα εργασία είναι δομημένη στα ακόλουθα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο μελετώνται τεχνικές για τη διαχείριση αποθεμάτων. Συγκεκριμένα, εξετάζονται τα βασικότερα μοντέλα συνεχούς επιθεώρησης με προσδιοριστική ομοιόμορφη ζήτηση, κάποια στοχαστικά μοντέλα καθώς και το ζήτημα της χρονικής τοποθέτησης της παραγγελίας για διαφορετικά μοντέλα. Όσον αφορά τα μοντέλα προσδιοριστικής ζήτησης επικεντρωνόμαστε στη μελέτη διαφόρων παραλλαγών του βασικότερου και πιο ευρέως χρησιμοποιούμενου μοντέλου, του μοντέλου της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (ΟΠΠ). Τα μοντέλα που παρουσιάζονται είναι τα ακόλουθα: μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας, μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας, μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες, μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας και το μοντέλο Ποσοτικών Εκπτώσεων. Αναφορικά με τα μοντέλα στοχαστικής ζήτησης αποθεμάτων, μελετώνται δύο πιθανά μοντέλα, αυτό της μιας περιόδου και αυτό των πολλαπλών. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετώνται οι βασικές μέθοδοι πρόβλεψης ζήτησης και κάποιες μετρικές σφάλματος πρόβλεψης. Οι τεχνικές που μελετώνται μπορούν να διακριθούν: α) στις μεθόδους χρονικής σειράς που περιλαμβάνουν τον κινούμενο μέσο όρο, τον σταθμισμένο κινούμενο μέσο όρο, την εκθετική εξομάλυνση, τη προσαρμοσμένη εκθετική εξομάλυνση και τη γραμμική γραμμή τάσης, και β) στα αιτιολογικά μοντέλα πρόβλεψης όπου μελετάται αποκλειστικά η απλή γραμμική παλινδρόμηση. Επιπλέον μελετάται η τεχνική πρόβλεψης καινούριων προϊόντων και περιλαμβάνονται τεχνικές ελέγχου τύπου κατανομής από την οποία προέρχονται τα δεδομένα. Οι έλεγχοι αυτής της μορφής καλούνται «έλεγχοι καλής προσαρμογής» των δεδομένων σε μια συγκεκριμένη κατανομή όπως η κατανομή Poisson. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται οι δύο βασικότερες μέθοδοι πολυκριτηριακής ανάλυσης, ο προγραμματισμός στόχων και η αναλυτική ιεραρχική διαδικασία. Η μέθοδος προγραμματισμού στόχων αποτελεί επέκταση του γραμμικού προγραμματισμού καθώς οι αντικειμενικοί στόχοι που τίθενται μπορεί να είναι περισσότεροι του ενός. Αντίστοιχα, η αναλυτική ιεραρχική διαδικασία βασίζεται σε κρίσεις του αποφασίζοντα σχετικά με τη σχετική σημασία του κάθε κριτηρίου και με την προτίμηση του για τις εναλλακτικές του εκάστοτε κριτηρίου. Το τελευταίο κεφάλαιο περιλαμβάνει τα συμπεράσματα που εξάχθηκαν μέσα από την εργασία καθώς και προτάσεις για μελλοντική εργασία. Τέλος, στο παράρτημα Α παρουσιάζεται το εργαλείο Economic Models Tool που αναπτύχθηκε με Java στα πλαίσια της διπλωματικής. Ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει εκεί για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τη λειτουργία και τις δυνατότητες του εργαλείου. 12

13 1 Διαχείριση Αποθεμάτων Στο κεφάλαιο αυτό μελετάται το πρόβλημα διαχείρισης των αποθεμάτων για ανεξάρτητα προϊόντα ζήτησης. Συγκεκριμένα, εξετάζονται τα βασικότερα μοντέλα συνεχούς επιθεώρησης με προσδιοριστική ομοιόμορφη ζήτηση, κάποια στοχαστικά μοντέλα καθώς και το ζήτημα της χρονικής τοποθέτησης της παραγγελίας για διαφορετικά μοντέλα. Αναλυτικότερα, τα περιεχόμενα του κεφαλαίου φαίνονται στην Εικόνα 1.1. ιαχείριση Αποθεµάτων Εισαγωγή Μοντέλα Με Προσδιοριστική Ζήτηση Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά µε υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά µε ανεκτέλεστες παραγγελίες Μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο Ποσοτικών Εκπτώσεων Αβεβαιότητα στα Μοντέλα Αποθεµάτων (Στοχαστικά Μοντέλα) Μοντέλο µίας περιόδου Μοντέλο πολλαπλών περιόδων Χρονική τοποθέτηση παραγγελίας Ποσότητα παραγγελίας για σύστηµα σταθερής περιόδου παραγγελίας Εικόνα 1.1: Σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου του Κεφαλαίου Εισαγωγή Η διαχείριση των αποθεμάτων αποτελεί σημαντική ευθύνη για τη διοίκηση ενός παραγωγικού συστήματος. Ως απόθεμα θεωρείται η ποσότητα οποιοδήποτε οικονομικού αγαθού, υλικού ή όχι, που διατηρείται σε κάποιο σημείο μιας αλυσίδας εφοδιασμού για να καλύψει τη μελλοντική εσωτερική ή εξωτερική ζήτηση (Γιοβάνης, Α., 2008). Συνήθως, η έννοια των αποθεμάτων γίνεται αντιληπτή ως το τελικό προϊόν που περιμένει να πωληθεί σε κάποιον τελικό χρήστη. Αν και αυτή η έννοια των αποθεμάτων είναι ενδεχομένως μια από σημαντικότερες, δεν είναι και η μοναδική. Συγκεκριμένα, τα αποθέματα μπορεί να έχουν τις ακόλουθες μορφές εκτός από τελικά προϊόντα: πρώτες ύλες, αγορασμένες προμήθειες εμπορεύματα, πρώτες και βοηθητικές ύλες, αναλώσιμα υλικά, ανταλλακτικά και ημιτελή ή ημικατεργασμένα προϊόντα (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Όσον αφορά τη δημιουργία αποθεμάτων, αυτή οφείλεται στο γεγονός πως η εισαγωγή πρώτων υλών, εξαρτημάτων, προϊόντων σε ένα σύστημα (εργοστάσιο, αποθήκη, κτλ.) υπερβαίνει τις ποσότητες εξαγωγής τους από το σύστημα. Η δημιουργία αποθεμάτων μπορεί είτε να είναι σχεδιασμένη με σκοπό να εξομαλύνει τις διαφορές μεταξύ της προσφοράς και της ζήτησης του αγαθού είτε να είναι αποτέλεσμα διαφόρων παραγόντων όπως κακός προγραμματισμός ή έκτακτα φαινόμενα. Η αναγκαιότητα ύπαρξης του αποθέματος οφείλεται κυρίως στην αβεβαιότητα αναφορικά με την προσφορά και τη ζήτηση του αγαθού για την κάλυψη των εκάστοτε αναγκών (Γιοβάνης, Α., 2008 ). Στα πλαίσια της λήψης αποφάσεων σχετικών με τα αποθέματα αναπτύχθηκε η τεχνική «έλεγχος αποθεμάτων (inventory control)» που έχει επιστημονικές βάσεις. Στόχος της είναι η παρακολούθηση της αποθηκευμένης ποσότητας των αγαθών και η λήψη αποφάσεων σχετικών με το ύψος των διατηρούμενων αποθεμάτων, το ύψος των παραγγελιών καθώς και το πότε θα 13

14 πρέπει να ανανεώνονται τα αποθέματα και πότε θα πρέπει να γίνονται οι παραγγελίες (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008) Ιστορική αναδρομή Το πρόβλημα ελέγχου των αποθεμάτων έχει απασχολήσει σε μεγάλο βαθμό την βιβλιογραφία κι έχει γίνει μεγάλη προσπάθεια ανάλυσης του. Στη θεωρητική προσέγγιση του προβλήματος, έχει δημοσιευτεί πλήθος επιστημονικών μελετών και έχουν διατυπωθεί πολλές θεωρίες και μοντέλα διαχείρισης αποθεμάτων. Όμως, τελικά στην πράξη μόνο ένα μικρό μέρος των θεωριών έχει εφαρμοστεί σε πραγματικό περιβάλλον (Γιοβάνης, Α., 2008). Η πρώτη εργασία που δημοσιεύτηκε και που αφορά στη μοντελοποίηση της διαχείρισης αποθεμάτων είναι του Ford Harris (1913), ο οποίος τυποποίησε ένα ντετερμινιστικό μοντέλο αποθεμάτων και απέδειξε τον τύπο για την ποσότητα οικονομικής παραγγελίας (Economic Order Quantity E.O.Q.). Αργότερα τράβηξαν το επιστημονικό ενδιαφέρον οι έρευνες του R.H. Wilson (1934), του οποίου οι εργασίες δημοσιεύονταν για τα επόμενα δεκαπέντε χρόνια. Στις αρχές της δεκαετίας του 50 δημοσιεύθηκαν οι εργασίες των Arrow, Harris και Marschak (1951) καθώς και των Dvoretsky, Kiefer και Wolfowitz (1952, 1953), οι οποίες αποτέλεσαν τη βάση για τη μετέπειτα εξέλιξη στην μαθηματική θεωρία αποθεμάτων. Ο T.M. Whitin (1957) παρουσίασε τη σχέση μεταξύ της κλασικής οικονομικής σκέψης και θεμάτων στη διαχείριση αποθεμάτων και ήταν ένας από τους πρώτους που ασχολήθηκαν με το (Q, r) μοντέλο υπό συνθήκες αβεβαιότητας, το οποίο μετέπειτα αποτέλεσε το ορόσημο για πολλά συστήματα αποθεμάτων. Επίσης, μεγάλος αριθμός σημαντικών επιστημόνων έστρεψαν το ενδιαφέρον τους σε μαθηματικά μοντέλα αποθεμάτων κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του Συγκεκριμένα, οι Bellman, Glisksberg και Gross (1955) έδειξαν πώς οι μέθοδοι του δυναμικού προγραμματισμού μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση προβλημάτων απλών μοντέλων αποθεμάτων με στοχαστική ζήτηση. Μία σειρά μαθηματικών μοντέλων από τους Arrow, Karlin και Scarf (1958) έδωσαν την ώθηση για μετέπειτα εργασίες στο συγκεκριμένο πεδίο. Σήμερα ο αριθμός των εργασιών που έχουν ήδη δημοσιευθεί σχετικά με προβλήματα διαχείρισης αποθεμάτων ανέρχεται σε αρκετές χιλιάδες Διαχείριση αποθεμάτων και εφοδιαστική αλυσίδα Γενικά, είναι γενικά παραδεκτό πως «τα αποθέματα διατηρούνται σε ένα σύστημα-δίκτυο εφοδιασμού προκειμένου να αντιμετωπιστούν ατέλειες και αδυναμίες στις διαδικασίες του συστήματος» (Γιοβάνης, Α., 2008 ). Το πρόβλημα διαχείρισης αποθεμάτων ορίζεται γενικώς ως πρόβλημα εξισορρόπησης μεταξύ του κόστους έλλειψης και του κόστους πλεονάσματος αποθέματος ενός παραγωγικού προϊόντος. Ένας σωστός σχεδιασμός διαχείρισης αποθεμάτων αποσυνδέει το παραγωγικό σύστημα από τη σπανίως γνωστή ζήτηση, αντιμετωπίζει τις διακυμάνσεις της, και διατηρεί ομαλή τη ροή στην παραγωγή, ανεξάρτητη τη λειτουργία της παραγωγικής στάθμης, αυξάνει το ρυθμό παραγωγής και ελαττώνει το κόστος (Γιοβάνης, Α., 2008 ). Στόχος της διαχείρισης αποθεμάτων είναι η διατήρηση αρκετών αποθεμάτων προκειμένου να ικανοποιούνται οι απαιτήσεις των πελατών και ταυτόχρονα να είναι οικονομικά αποδοτικά (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Γενικά, η δημιουργία αποθεμάτων συμβάλει στην αντιμετώπιση της αβεβαιότητας της ζήτησης και του εφοδιασμού, στην επιτάχυνση και βελτίωση της έγκαιρης παράδοσης των προϊόντων μειώνοντας τις πιθανότητες μη εκπλήρωσης μίας παραγγελιάς η καθυστερημένης παράδοσης. Η ύπαρξη αποθεμάτων πρώτων υλών και ενδιάμεσων προϊόντων εξασφαλίζει τη συνεχή τροφοδοσία του παραγωγικού συστήματος και την ομαλή ροή της παραγωγής, χωρίς να επηρεάζεται από καθυστερήσεις των προμηθευτών. Επίσης εξασφαλίζει την ανεξάρτητη λειτουργία των παραγωγικών σταδίων, την αύξηση του ρυθμού παραγωγής και τη μείωση του κόστους παραγωγής. Ακόμη, αξιοποιεί τις οικονομίες κλίμακας, ενδεχόμενες εκπτωτικές τιμές λόγο ποσότητας προϊόντων ενώ αποτελεί ένα είδος πρόνοιας απέναντι σε ειδικά γεγονότα όπως απεργίες, κλείσιμο εργοστασίου προμηθευτή κτλ (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008). Από την άλλη πλευρά, η διατήρηση αποθεμάτων είναι μια ιδιαίτερα δαπανηρή λειτουργία καθώς απαιτείται χρηματοδότηση της λειτουργίας ενός δικτύου εφοδιασμού ενώ παράλληλα δεσμεύεται ένα σημαντικό κεφάλαιο που δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε άλλη δραστηριότητα ή να επενδυθεί αλλού (κόστος ευκαιρίας) (Slack, N., et al., 2007; Γιοβάνης, Α., 2008). Για πολλά χρόνια κυριαρχούσε η αντίληψη πως τα αποθέματα αποτελούν κεφάλαιο μιας επιχείρησης και συνεπώς δεν αντιμετωπίζονταν ως μια περιοχή ελέγχου κόστους. Έτσι οι 14

15 επιχειρήσεις διατηρούσαν υψηλά επίπεδα αποθεμάτων με στόχο την ικανοποίηση των μακροπρόθεσμων απαιτήσεων των πελατών καθώς η έννοια της ποιότητας στο μυαλό των πελατών είναι συνήθως συνυφασμένη με τη διαθεσιμότητα. Εντούτοις, υπάρχει ένα κόστος που συνδέεται με τη διατήρηση των αγαθών σε αποθέματα το οποίο συνεπάγεται αντιστάθμιση των δαπανών μεταξύ της ποιοτικής εξυπηρέτησης πελατών και του κόστους της συγκεκριμένης υπηρεσίας (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Στο τρέχον όμως περιβάλλον, όπου υπάρχουν περισσότεροι ανταγωνιστές και εισάγονται διαρκώς νέα προϊόντα και νέα χαρακτηριστικά προϊόντων, το κόστος των αποθεμάτων αυξάνεται εν μέρει εξαιτίας της ταχύτερης απαρχαίωσης των προϊόντων. Συγχρόνως, οι επιχειρήσεις επιδιώκουν συνεχώς τη μείωση των δαπανών τους ώστε να μπορούν να παρέχουν καλύτερα προϊόντα σε χαμηλότερες τιμές. Τα αποθέματα λοιπόν είναι σημαντικός υποψήφιος για μείωση των δαπανών (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Η κατανόηση από μέρους των επιχειρήσεων του κόστους που συνδέεται με τα αποθέματα, αποτέλεσε την αφορμή ώστε πολλές επιχειρήσεις να εστιάσουν στην αποδοτική διαχείριση της εφοδιαστικής αλυσίδας και στη διαχείριση της ποιότητας. Είναι γενικά παραδεκτό λοιπόν σήμερα πως τα αποθέματα μπορούν να μειωθούν σημαντικά με τη μείωση της αβεβαιότητας που εμφανίζεται σε διάφορα σημεία κατά μήκος της εφοδιαστικής αλυσίδας. Αυτή η αβεβαιότητα μπορεί να οφείλεται σε χαμηλή ποιότητα εκ μέρους της επιχείρησης ή των προμηθευτών της ή και των δύο και μπορεί να αντανακλάται σε μεταβολές των χρόνων παράδοσης, στη μη ικανοποίηση των προγραμμάτων παραγωγής λόγω είτε καθυστερήσεων στις παραδόσεις είτε μεγάλου αριθμού ατελειών κ.α. (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Σε ένα σύστημα διαρκής ανανέωσης αποθεμάτων, τα προϊόντα ή οι υπηρεσίες κινούνται από ένα στάδιο της εφοδιαστικής αλυσίδας στο επόμενο σύμφωνα με ένα σύστημα σταθερής επικοινωνίας μεταξύ πελατών και προμηθευτών. Τα προϊόντα αντικαθίστανται όταν μειώνονται αρκετά χωρίς να διατηρούνται μεγάλα αποθέματα σε κάθε στάδιο προκειμένου να αντισταθμιστούν οι καθυστερημένες παραδόσεις, οι ανεπαρκείς υπηρεσίες, η χαμηλή ποιότητα και η αβέβαιη ζήτηση. Μια αποδοτική, καλά-συντονισμένη εφοδιαστική αλυσίδα μειώνει ή αποβάλλει αυτούς τους τύπους αβεβαιοτήτων έτσι ώστε αυτός ο τύπος συστήματος να λειτουργεί (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Οι υποστηρικτές της διαχείρισης της ποιότητας θεωρούν ότι τα αποθέματα θα πρέπει να ελαχιστοποιηθούν. Αυτό ισχύει όμως, μόνο για επιχειρήσεις που δραστηριοποιούνται στο χώρο της παραγωγής ή κατασκευής. Αντιθέτως για τις επιχειρήσεις λιανικής η ύπαρξη αποθεμάτων είναι αναγκαία. Συνεπώς για τις επιχειρήσεις αυτές είναι ιδιαίτερα σημαντικές οι αποφάσεις που σχετίζονται με το μέγεθος της παραγγελίας καθώς και με την ημερομηνία υλοποίησής της (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Ζήτηση Η αφετηρία για τη διαχείριση των αποθεμάτων είναι η ζήτηση των πελατών. Τα αποθέματα υφίστανται για να ικανοποιούν την απαίτηση των πελατών, που μπορεί να αποτελούν μέρος ή όχι της επιχείρησης. Σε κάθε περίπτωση, βασικός παράγοντας της αποτελεσματικής διαχείρισης των αποθεμάτων είναι η ακριβής πρόβλεψη της ζήτησης. Για το λόγο αυτό τα θέματα της πρόβλεψης και της διαχείρισης αποθεμάτων είναι άμεσα αλληλένδετα. Γενικά, η ζήτηση για αποθέματα σε προϊόντα είναι είτε εξαρτώμενη είτε ανεξάρτητη (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Στην περίπτωση της εξαρτημένης ζήτησης, η ανάγκη για ένα προϊόν είναι αποτέλεσμα της ανάγκης για κάποιο άλλο, συνήθως σε υψηλότερο επίπεδο της παραγωγικής διαδικασίας (Γιοβάνης, Α., 2008). Για παράδειγμα, εάν μια βιομηχανία αυτοκινήτων προγραμματίσει να παράγει 1000 νέα αυτοκίνητα, συνεπάγεται πως θα χρειαστεί 4000 τροχούς και λάστιχα. Η ζήτηση για τους τροχούς εξαρτάται από την παραγωγή των αυτοκινήτων συνεπώς η ζήτηση για το ένα αντικείμενο εξαρτάται από τη ζήτηση κάποιου άλλου (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Γενικά η εξαρτημένη ζήτηση είναι σχετικά εύκολο να προσδιοριστεί βάσει της ζητούμενης ποσότητας του αντικειμένου από το οποίο εξαρτάται (Russel, R., and Taylor, T., 2006, Γιοβάνης, Α., 2008). Αντίθετα, στην περίπτωση της ανεξάρτητης ζήτησης, η ζήτηση για διάφορα προϊόντα είναι ανεξάρτητη η μια από την άλλη. Δηλαδή, μια παραγωγική μονάδα μπορεί να παράγει διάφορα αντικείμενα που δεν σχετίζονται μεταξύ τους αλλά αντιμετωπίζουν κάποια εξωτερική ζήτηση. Για τον καθορισμό της ποσότητας παραγωγής ανεξάρτητων αντικειμένων, οι επιχειρήσεις χρησιμοποιούν διάφορες μεθόδους όπως έρευνα αγοράς, μεθόδους προβλέψεις κ.α. Εξαιτίας της αβεβαιότητας της ανεξάρτητης ζήτησης, είναι απαραίτητη η διατήρηση επιπλέον μονάδων αποθέματος στα προϊόντα αυτά. 15

16 1.1.4 Στοιχεία κόστους αποθεμάτων Για την λήψη αποφάσεων σχετικά με το ύψος των αποθεμάτων, η επιχείρηση θα πρέπει να λάβει υπόψη και τα ακόλουθα τρία στοιχεία κόστους που σχετίζονται με τα αποθέματα: i. Στοιχεία κόστους τήρησης αποθέματος (holding/storage/carrying costs) Οι δαπάνες αυτές μεταβάλλονται ανάλογα με το επίπεδο των αποθεμάτων όσο μεγαλύτερο είναι δηλαδή το επίπεδο αποθεμάτων για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο τόσο μεγαλύτερο είναι και το κόστος τήρησης των αποθεμάτων. Η κατηγόρια αυτή περιλαμβάνει το κόστος αποθηκευτικού χώρου, το κόστος δεσμευμένου κεφαλαίου, το κόστος ασφάλισης αποθέματος, το κόστος απαρχαίωσης αποθέματος και το κόστος του χειρισμού του κατά την αποθήκευση και τη μεταφορά του. Οι δαπάνες μεταφοράς περιλαμβάνουν το κόστος δέσμευσης των κεφαλαίων σε αποθέματα, τις άμεσες δαπάνες αποθήκευσης όπως το μίσθωμα, η θέρμανση, η ψύξη, ο φωτισμός, η ασφάλεια, την παλαίωση καθώς η αγορά για τα συγκεκριμένα προϊόντα μειώνεται, την επιδείνωση προϊόντων καθώς και τους φόρους και τις μικροκλοπές (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008). Ειδικότερα για το κόστος δεσμευμένου κεφαλαίου, αυτό πηγάζει από την ανάγκη της επιχείρησης να επενδύσει τα κεφαλαία της για την διατήρηση αποθεμάτων έναντι των άλλων εναλλακτικών χρήσεων των κεφαλαίων της. Το κόστος του δεσμευμένου κεφαλαίου είναι πάντα ίσο ή μεγαλύτερο της απόδοσης που θα είχε η επιχείρηση εάν είχε επενδύσει τα κεφάλαια της σε χρηματοοικονομικά προϊόντα πολύ χαμηλού κινδύνου (Γιοβάνης, Α., 2008). Οι δαπάνες τήρησης αποθεμάτων μπορούν να οριστούν με δύο τρόπους: είτε ως συνολικές δαπάνες τήρησης αποθεμάτων με άθροισμα των επιμέρους δαπανών όπως αναφέρθηκαν προηγουμένως, ανά μονάδα και ανά χρονικό διάστημα είτε ως ποσοστό της αξίας ενός προϊόντος ή ως ποσοστό της μέσης αξίας των αποθεμάτων (Russel, R., and Taylor, T., 2006). ii. Κόστος προμήθειας/ παραγγελίας (ordering costs) Οι δαπάνες αυτές συνδέονται με την ανανέωση των διατηρούμενων αποθεμάτων. Εκφράζονται κανονικά ως ποσό ευρώ ανά παραγγελία και είναι ανεξάρτητες από το μέγεθος της παραγγελίας. Τα στοιχεία κόστους παραγγελίας ποικίλουν ανάλογα με τον αριθμό των παραγγελιών - καθώς ο αριθμός των παραγγελιών αυξάνεται, αυξάνονται και το εμπλεκόμενο κόστος παραγγελίας. Οι δαπάνες που αναλαμβάνονται κάθε φορά που γίνεται μια παραγγελία συνήθως περιλαμβάνουν τις αιτήσεις παραγγελίας και αγοράς υλικών, τη μεταφορά και τη ναυτιλία, τη λήψη, την επιθεώρηση, το χειρισμό, την αποθήκευση, και τις δαπάνες λογιστικής και ελέγχου (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Τα στοιχεία κόστους παραγγελίας δρουν γενικά αντίστροφα ως προς τις δαπάνες τήρησης αποθεμάτων, καθώς όσο μεγαλώνει το μέγεθος των παραγγελιών, απαιτούνται λιγότερες παραγγελίες με συνέπεια τη μείωση των δαπανών παραγγελίας. Εντούτοις, η προμήθεια μεγαλύτερων ποσών οδηγεί σε υψηλότερα επίπεδα αποθεμάτων και κατά συνέπεια σε υψηλότερες δαπάνες τήρησης. Γενικά, καθώς το μέγεθος της παραγγελίας αυξάνεται, οι δαπάνες παραγγελίας και τήρησης αποθεμάτων μειώνονται (Russel, R., and Taylor, T., 2006). iii. Στοιχεία κόστους έλλειψης/ μη ικανοποίησης της ζήτησης (shortage costs) Οι δαπάνες αυτές εμφανίζονται όταν η ζητούμενη ποσότητα προϊόντος υπερβαίνει το διαθέσιμο απόθεμα αυτού και κατά συνέπεια υπάρχει αδυναμία ικανοποίησης της ζήτησης των πελατών. Εάν αυτές οι ελλείψεις οδηγούν σε μόνιμη απώλεια πωλήσεων, τότε μπορούν να συμπεριλάβουν και την απώλεια κερδών. Οι ελλείψεις μπορούν επίσης να προκαλέσουν τη δυσαρέσκεια πελατών και ως εκ τούτου απώλεια της καλής θέλησης τους γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε μόνιμη απώλεια πελατών και μελλοντικών πωλήσεων. Σε μερικές περιπτώσεις, η ανικανότητα να ικανοποιηθεί η ζήτηση ή η καθυστέρηση στην ικανοποίηση της ζήτησης των πελατών μπορεί να οδηγήσει σε ποινικές ρήτρες υπό μορφή εκπτώσεων ή επιστροφής χρημάτων. Όταν η ζήτηση είναι εσωτερική, μια έλλειψη μπορεί να προκαλέσει στάσεις εργασίας στη διαδικασία παραγωγής και να δημιουργήσει καθυστερήσεις, με συνέπεια το κόστος χαμένης παραγωγής (συμπεριλαμβανομένων των έμμεσων και άμεσων δαπανών παραγωγής). Στις περιπτώσεις των κρίσιμων αγαθών το κόστος εξάντλησης είναι ιδιαίτερα υψηλό στην περίπτωση της απώλειας πωλήσεων και για αυτό το λόγο οι επιχειρήσεις καθορίζουν υψηλά αποθέματα ασφαλείας. Αντίθετα, σε άλλες περιπτώσεις η εξάντληση μπορεί να αντιμετωπιστεί με έκτακτες παραγγελίες ανανέωσης (bakcordering) ή με προσπάθεια υποκατάστασης του αγαθού με κάποιο ισοδύναμο (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Slack, N., et al., 2007). Από τα στοιχεία κόστους που αναφέρθηκαν, οι δαπάνες έλλειψης είναι δυσκολότερο να καθοριστούν σε σχέση με τις δαπάνες τήρησης και παραγγελίας αποθεμάτων καθώς είναι συχνά υποκειμενικές εκτιμήσεις. Οι ελλείψεις, γενικά, οφείλονται στο γεγονός ότι η τήρηση 16

17 αποθεμάτων είναι δαπανηρή και κατά συνέπεια, η έλλειψη έχει αντίστροφη σχέση με το κόστος τήρησης - καθώς όσο το ποσό αποθεμάτων σε ετοιμότητα αυξάνεται, το κόστος τήρησης αυξάνεται ενώ το κόστος έλλειψης μειώνεται (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Ο στόχος της διαχείρισης των αποθεμάτων είναι να χρησιμοποιηθεί ένα σύστημα ελέγχου αποθεμάτων που θα προσδιορίζει πόσο προϊόν πρέπει να προμηθευτεί η επιχείρηση και πότε πρέπει να πραγματοποιηθούν οι παραγγελίες ώστε το άθροισμα των τριών στοιχείων κόστους αποθεμάτων που περιγράφηκαν να ελαχιστοποιηθεί. Επίσης, ένα σύστημα αποθεμάτων ελέγχει το επίπεδο τους καθορίζοντας πόσο πρέπει να προμηθευτεί (επίπεδο ανανέωσης - level of replenishment), και πότε πρέπει να γίνει η παραγγελία (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Βασικοί τύποι αποθεμάτων Τα αποθέματα, ανάλογα με τον τρόπο που δημιουργούνται, μπορούν να διακριθούν σε τέσσερις κατηγορίες, κυκλικό, ασφαλείας, αναμονής και σε κίνηση. Τα διαφορετικά αυτά είδη αποθεμάτων διακρίνονται βάσει της αιτίας δημιουργίας τους (Γιοβάνης, Α., 2008). Το κυκλικό απόθεμα (cycle inventory) αποτελεί εκείνο το τμήμα του συνολικού αποθέματος που προσδιορίζεται άμεσα από το ύψος της παραγγελίας (μέγεθος της παρτίδας). Το ύψος του κυκλικού αποθέματος εξαρτάται από τον χρόνο ανάμεσα σε δύο παραγγελίες. Αν για παράδειγμα γίνεται μια παραγγελία κάθε πέντε εβδομάδες, το μέσο μέγεθος της παραγγελίας θα πρέπει να ισούται με την ζήτηση για πέντε εβδομάδες. Όσο μεγαλύτερη είναι η χρονική περίοδος ανάμεσα σε δυο παραγγελίες τόσο μεγαλύτερο θα είναι το κυκλικό απόθεμα (Γιοβάνης, Α., 2008). Για να αποφευχθούν προβλήματα εξυπηρέτησης των πελατών και μη διαθεσιμότητας εξαρτημάτων λόγω μη αναμενόμενων μεταβολών στην παραγωγή και τη ζήτηση καθώς και λόγω της αναξιοπιστίας κάποιων προμηθευτών ή μεταφορικών εταιριών, οι εταιρείες συχνά κρατάνε ένα απόθεμα ασφαλείας (safety stock inventory ή buffer inventory). Η διατήρηση αποθεμάτων ασφαλείας εξασφαλίζει την ομαλή λειτουργία της παραγωγικής διαδικασίας σε περίπτωση τέτοιων προβλημάτων. Για τη διατήρηση αποθεμάτων ασφαλείας, μία επιχείρηση είτε κάνει μία παραγγελία νωρίτερα απ ότι τη χρειάζεται πραγματικά είτε σε μεγαλύτερη ποσότητα (Slack, N., et al., 2007; Γιοβάνης, Α., 2008). Ως απόθεμα αναμονής (anticipation inventory) καθορίζεται το απόθεμα που χρησιμοποιείται για να απορροφήσει την ανόμοια/ εποχική ζήτηση. Με τη διατήρηση αποθεμάτων αναμονής, οι επιχειρήσεις δεν είναι υποχρεωμένες να προβαίνουν σε σημαντικές αυξομειώσεις της παραγωγής που συνεπάγονται κόστος. Τα αποθέματα αναμονής χρησιμοποιούνται επίσης και στην περίπτωση αβεβαιότητας σχετικά με την πρόσφορα ενός προϊόντος. Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί πως τα αποθέματα αυτά χρησιμοποιούνται κυρίως όταν οι διακυμάνσεις στη ζήτηση είναι μεγάλες αλλά σχετικά αναμενόμενες (Γιοβάνης, Α., 2008). Τελευταίο είδος αποθεμάτων είναι τα αποθέματα που κινούνται από το ένα σημείο του συστήματος ροής υλικών στο άλλο και για αυτό καλούνται αποθέματα σε κίνηση (pipeline inventory). Τα αποθέματα αυτά αποτελούν παραγγελίες που έχουν γίνει αλλά δεν έχουν παραληφθεί ακόμα και οφείλονται στην αδυναμία άμεσης μεταφοράς μεταξύ του σημείου παραγωγής και του σημείου ζήτησης. Δηλαδή το απόθεμα από τη στιγμή της διάθεσης του από τον προμηθευτή σε συγκεκριμένο πελάτη και έπειτα στο λιανοπωλητή, καλείται απόθεμα σε κίνηση (Slack, N., et al., 2007; Γιοβάνης, Α., 2008) Συστήματα διαχείρισης αποθεμάτων Ο προσδιορισμός της πολιτικής για τη διαχείριση των αποθεμάτων μιας επιχείρησης συνίσταται στον προσδιορισμό του πότε θα πρέπει να γίνει μια νέα παραγγελία, καθώς και της ποσότητας που θα πρέπει να παραγγελθεί κάθε φορά. Η απόφαση που θα παρθεί για μια παραγγελία θα έχει επιπτώσεις σε όλες τις επόμενες παραγγελίες και συνεπώς σε όλη τη διαχείριση αποθέματος (Γιοβάνης, Α., 2008). Τα συστήματα διαχείρισης αποθεμάτων μπορούν να διακριθούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: i. Συστήματα σταθερής ποσότητας παραγγελίας (ή συστήματα συνεχούς παρακολούθησης αποθέματος continuous inventory systems) ii. Συστήματα σταθερής περιόδου παραγγελίας (ή συστήματα περιοδικής παρακολούθησης αποθέματος periodic inventory systems). Ένα σύστημα σταθερής ποσότητας παραγγελίας ενεργοποιεί εντολές όταν το απόθεμα φτάσει σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο. Το γεγονός αυτό μπορεί να συμβεί οποιαδήποτε στιγμή ανάλογα με τη ζήτηση για το υλικό αυτό. Στα συστήματα αυτά καταγράφεται διαρκώς το 17

18 επίπεδο αποθεμάτων κάθε αντικειμένου και κατά την πτώση του αποθέματος σε ένα προκαθορισμένο επίπεδο, αναφερόμενο ως σημείο αναπαραγγελίας (σημείο αναπλήρωσης του αποθέματος - reorder point ROP), πραγματοποιείται μια νέα παραγγελία με στόχο την ανανέωση των αποθεμάτων. Η παραγγελία που δίνεται, ορίζεται για ένα σταθερό ποσό που ελαχιστοποιεί τις συνολικές δαπάνες αποθεμάτων. Αυτό το ποσό, καλείται οικονομική ποσότητα παραγγελίας. Ένα θετικό χαρακτηριστικό γνώρισμα ενός συνεχούς συστήματος είναι ότι το επίπεδο αποθεμάτων ελέγχεται συνεχώς, και κατά συνέπει η επιχείρηση γνωρίζει την κατάστασή τους κάθε χρονική στιγμή. Αυτό είναι συμφέρον για τα κρίσιμα προϊόντα όπως τα ανταλλακτικά ή οι πρώτες ύλες και οι προμήθειες. Εντούτοις, η διατήρηση ενός συνεχούς αρχείου της ποσότητας αποθεμάτων είναι μια υπόθεση οικονομικά και χρονικά δαπανηρή (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008). Εν αντιθέσει, ένα σύστημα σταθερής περιόδου παραγγελίας περιορίζεται στην τοποθέτηση εντολών στο τέλος μιας προκαθορισμένης περιόδου, για παράδειγμα κάθε εβδομάδα ή στο τέλος κάθε μήνα. Στο σύστημα σταθερής περιόδου παραγγελίας, καταμετρήσεις του αποθέματος γίνονται αποκλειστικά σε περιόδους αναθεωρήσεων, εξαλείφοντας με τον τρόπο αυτό την ανάγκη της διαρκής τήρησης αρχείων αποθεμάτων. Το μειονέκτημα τους όμως είναι ο λιγότερο άμεσος έλεγχος και κατά συνέπεια τα συστήματα αυτά διατηρούν συνήθως μεγαλύτερα επίπεδα αποθεμάτων ώστε να προστατευθούν από απροσδόκητες ελλείψεις σε προϊόντα. Στα συστήματα αυτά το ύψος της παραγγελίας διαφέρει συνήθως κάθε φορά που γίνεται μια περιοδική παραγγελία (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008). Τα προαναφερθέντα συστήματα διαχείρισης αποθεμάτων εφαρμόζονται για διαχείριση αποθεμάτων επιχειρήσεων διαφορετικού τύπου. Συγκεκριμένα, τα συστήματα σταθερής ποσότητας παραγγελίας προτιμούνται για πιο ακριβά υλικά που έχουν μικρότερα αποθέματα. Επίσης, είναι πιο κατάλληλα για υλικά σημαντικά στην παραγωγική διαδικασία (π.χ. ανταλλακτικά), καθώς υπόκεινται σε αυστηρό έλεγχο και συνεπώς υπάρχει πιο γρήγορη αντίδραση σε περιπτώσεις εξάντλησης τους. Απαιτούν, ωστόσο, περισσότερο χρόνο για τη συντήρηση τους, καθώς για κάθε προσθήκη ή άντληση αποθέματος θα πρέπει να γίνεται η σχετική ενημέρωση. Από την άλλη πλευρά, τα συστήματα σταθερής περιόδου παραγγελίας διατηρούν μεγαλύτερα αποθέματα κατά μέσο όρο γιατί θα πρέπει να προλαμβάνουν τυχόν ελλείψεις κατά την περίοδο αναθεώρησης (Γιοβάνης, Α., 2008). Τέλος, εκτός από τη διάκριση των συστημάτων ανάλογα με το αν είναι δυνατή η συνεχής παρακολούθηση του ύψους του αποθέματος ή όχι, είναι δυνατό να διακριθούν και βάσει της ζήτησης. Ως εκ τούτου υπάρχουν τα συστήματα διαχείρισης αποθεμάτων στα οποία η ζήτηση είναι γνωστή µε βεβαιότητα και ονομάζονται προσδιοριστικά ή ντετερμινιστικά και αυτά στα οποία η ζήτηση είναι γνωστή µόνο πιθανοθεωρητικά και καλούνται στοχαστικά (Γιοβάνης, Α., 2008). 18

19 1.2 Βασικές έννοιες Με βάση όσα αναφέρθηκαν, εξάγουμε το συμπέρασμα πως στόχος της διαχείρισης αποθεμάτων είναι η διαχείριση του ύψους των αποθεμάτων ενός ή περισσοτέρων αγαθών, µε σκοπό την απρόσκοπτη ικανοποίηση της ζήτησης µε το ελάχιστο δυνατό κόστος, δεδομένου ότι οι δαπάνες τοποθέτησης παραγγελιών και διατήρησης μεγάλων ποσοτήτων αποθεμάτων είναι απαγορευτικές για μια επιχείρηση. Για το λόγο αυτό οι επιχειρήσεις μέσω του προσδιορισμού της ζήτησης στοχεύουν στη χρήση κατάλληλων συστημάτων ελέγχου αποθεμάτων που θα προσδιορίζουν την κατάλληλη ποσότητα παραγγελίας που θα ελαχιστοποιεί τα στοιχεία κόστους που εμφανίζονται κατά τη διάρκεια δημιουργίας και διατήρησης του αποθέματος (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Γενικά, οι παράγοντες που επηρεάζουν την ποσότητα αποθέματος είναι : Ο ρυθμός ζήτησης (demand) που ορίζεται ως το πλήθος προϊόντων που ζητούνται προς κατανάλωση ανά χρονική μονάδα. Στα μοντέλα προσδιοριστικής ζήτησης ο ρυθμός αυτός είναι γνωστός, ενώ αντίθετα στα στοχαστικά μοντέλα ζήτησης, η ζήτηση κάθε περιόδου είναι τυχαία μεταβλητή. Ο χρόνος υστέρησης (lead time) που ορίζεται ως ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ παραγγελίας και παράδοσης. Σε ορισμένα μοντέλα ο χρόνος αυτός είναι μηδενικός. Ο κύκλος παραγγελίας που ορίζεται ως το διάστημα μεταξύ δυο παραγγελιών. Το απόθεμα ασφαλείας που είναι το απόθεμα που διατηρείται προκειμένου να αντιμετωπισθεί υψηλότερη ζήτηση από την προβλεπόμενη κατά την διάρκεια του χρόνου υστέρησης. Οι ποσοτικές εκπτώσεις που δίνονται από τους κατασκευαστές στους πελάτες και εξαρτώνται από το ύψος της παραγγελίας. Άλλοι βασικές έννοιες είναι: Το επίπεδο υπηρεσίας (service level) που ορίζεται ως μέσος αριθμός ελλείψεων (stock outs) σε προϊόντα που διατίθεται μια επιχείρηση να επιτρέπει ανά χρόνο. Ανεκτέλεστη Παραγγελία (backorder) που ορίζεται ως η λήψη μιας παραγγελίας για ένα προϊόν όταν δεν υπάρχουν διαθέσιμα προϊόντα να την καλύψουν. Συμβολισμός Βασικών Εννοιών Στοιχεία κόστους Τήρησης Αποθέματων = c h Στοιχεία κόστους Παραγγελίας αποθεμάτων = c ο Στοιχεία κόστους Ελλείψεων αποθεμάτων = c b Σημείο Αναπαραγγελίας = R Χρόνος Υστέρησης = m Σταθερή Ζήτηση = D Κύκλος Παραγγελίας = Τ Απόθεμα Ασφαλείας = S Σταθερός Ρυθμός Παράδοσης Παραγγελιών = p Σταθερός Ρυθμός Ζήτησης = d Ποσότητα Παραγγελίας = Q Μέγιστο Επίπεδο Αποθεμάτων = M Χρόνος Μεταξύ Παραγγελιών = Τ 0 19

20 1.3 Μοντέλα με προσδιοριστική ζήτηση Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τα βασικότερα προσδιοριστικά μοντέλα ομοιόμορφης συνεχής ζήτησης για τη διαχείριση αποθεμάτων. Αρχικά, θα περιγράψουμε το βασικό μοντέλο της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (ΟΠΠ) που αποτελεί το πιο κοινά χρησιμοποιούμενο σύστημα. Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές του μοντέλου ΟΠΠ, ανάλογα με τις υποθέσεις που γίνονται για το σύστημα των αποθεμάτων. Στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας θα περιγραφούν συνοπτικά οι βασικότερες παραλλαγές του μοντέλου αυτού και συγκεκριμένα τα μοντέλα που θα μελετηθούν είναι τα ακόλουθα: Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες Μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Μοντέλο Ποσοτικών Εκπτώσεων Μοντέλο Οικονομικής Ποσότητας Παραγγελίας Το μοντέλο της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (ΟΠΠ) (Economic Order Quantity - EOQ) αποτελεί την πιο κοινή προσέγγιση στον καθορισμό του βέλτιστου μεγέθους παραγγελίας ενός αγαθού όταν απαιτείται ανανέωση των αποθεμάτων με μοναδικό περιορισμό την ελαχιστοποίηση των συνολικών δαπανών των αποθεμάτων. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, σε ένα σταθερής ποσότητας παραγγελίας σύστημα όταν τα αποθέματα φτάνουν σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο, που ονομάζεται σημείο αναπαραγγελίας, η επιχείρηση προμηθεύεται ένα σταθερό ποσό αποθεμάτων (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Με το μοντέλο αυτό γίνεται μια προσπάθεια να συνεκτιμηθούν τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της διατήρησης αποθεμάτων. Απαραίτητα στοιχεία για τον υπολογισμό των παραμέτρων που ελαχιστοποιούν το συνολικό κόστος αποθέματος ενός αντικειμένου είναι ο υπολογισμός του συνολικού κόστους διατήρησης αποθέματος μια μονάδας για μια χρονική περίοδο (ΤCh) και το συνολικό κόστος τοποθέτησης μιας παραγγελίας (ΤCo). Για τον υπολογισμό των δαπανών αυτών χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους τύπους. TC c Q 2 TC c D Q, όπου c o είναι το κόστος παραγγελίας και c h το κόστος τήρησης αποθεμάτων. Συνεπώς το µέσο συνολικό κόστος ανά χρονική μονάδα (total cost per unit) σε έναν κύκλο λειτουργίας ως συνάρτηση της ποσότητας παραγγελίας (Q) είναι: TC c D Q c Q 2 Από τους παραπάνω τύπους αναμένεται πως για χαμηλές τιμές του μεγέθους παραγγελίας (Q), το κόστος διατήρησης είναι χαμηλό σε αντίθεση με το κόστος παραγγελίας καθώς απαιτείται να δίνονται συχνά παραγγελίες. Αντίθετα η αύξηση του μεγέθους παραγγελίας συνεπάγεται μικρότερο αριθμό παραγγελιών γεγονός που οδηγεί σε μείωση του κόστους παραγγελίας, ενώ το μέσο ποσό αποθεμάτων σε ετοιμότητα αυξάνεται με συνέπεια μια αύξηση στο κόστος τήρησης αποθεμάτων. Γενικά λοιπόν οι δύο αυτές δαπάνες δρουν αντίστροφα η μία στην άλλη. Αρχικά με τη μείωση του κόστους παραγγελίας, όπως φαίνεται και από την Εικόνα 1.2 παρατηρείται μείωση και του συνολικού κόστους. Από κάποιο όμως σημείο και έπειτα παρατηρείται πως η περαιτέρω αύξηση της ποσότητας παραγγελίας οδηγεί σε αύξηση της συνολικής δαπάνης. Το σημείο στο οποίο ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος αποτελεί την βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας και ορίζεται ως οικονομική ποσότητα παραγγελίας και θα συμβολίζεται με Q *. Ουσιαστικά λοιπόν, η οικονομική ποσότητα παραγγελίας αντιπροσωπεύει ένα συμβιβασμό μεταξύ των δύο αντιστρόφως σχετιζόμενων δαπανών. 20

21 Εικόνα 1.2: Γράφημα της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί πως παρόλο που υπάρχει μια μοναδική τιμή του Q που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος, μικρές αποκλίσεις από το σημείο EOQ δε συνεπάγονται σημαντική αύξηση του συνολικού κόστους και ως εκ τούτου μικρά σφάλματα στον υπολογισμό των δαπανών διατήρησης ή παραγγελίας αποθεμάτων δε συνιστά σημαντική απόκλιση από το σημείο Q * (Slack, N., et al., 2007) Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Το βασικό μοντέλο ΟΠΠ ή μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (Russel, R., and Taylor, T., 2006) : Η ζήτηση είναι γνωστή και σταθερή με την πάροδο του χρόνου (Ρυθμός ζήτησης, d = σταθερός). Μια ποσότητα παραγγελίας (Q) παραλαμβάνεται και καταναλώνεται με την πάροδο του χρόνου με σταθερό ρυθμό. Η πολιτική αναπλήρωσης αποθέματος συνοψίζεται στην παραγγελία ποσότητας Q μονάδων προϊόντων κάθε φορά που το απόθεμα μηδενίζεται και συνεπώς δεν υπάρχουν ελλείψεις (Σημείο αναπαραγγελίας, R=0 και Μέγιστο επίπεδο Αποθεμάτων M=Q). Η καινούρια παραγγελία παραλαμβάνεται σε μια παρτίδα ενιαία. Η παράδοση νέων προϊόντων πραγματοποιείται άμεσα, δηλαδή δεν μεσολαβεί χρόνος μεταξύ παραγγελίας και παράδοσης και κατά συνέπεια η χρονική υστέρηση είναι μηδενική (Χρόνος υστέρησης, m=0). Συνεχής θεώρηση του χρόνου Αυτές οι βασικές υποθέσεις του μοντέλου απεικονίζονται στην Εικόνα 1.3, που αποτελεί γραφική απεικόνιση του επιπέδου αποθεμάτων στο χρόνο. Στην Εικόνα 1.4 απεικονίζεται η αντίστροφη σχέση μεταξύ των δαπανών παραγγελίας και τήρησης αποθεμάτων, με συνέπεια μια κυρτή καμπύλη συνολικού κόστους. Εικόνα 1.3: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο αγοράς χωρίς υστέρηση κατά την παραγγελία. 21

22 Εικόνα 1.4: Μοντέλο κόστους ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας. Σκοπός είναι προσδιοριστεί η βέλτιστη ποσότητα των παραγγελιών. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί πως ο τύπος που δίνει τη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας διαφέρει ανάλογα με το είδος των προϊόντων/ αποθεμάτων (συνεχείς ή διακριτά). i. Συνεχείς μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει συνεχείς τιμές και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Q 2 c D c ii. Διακριτές μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει διακριτές τιμές (πολλαπλάσια του u) και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Q Q u 2 c D c Q Q u Tο συνολικό ελάχιστο κόστος και για τις δύο περιπτώσεις δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: TC c D Q c Q 2 Έχοντας παραθέσει τα βασικότερα στοιχεία και τύπους του μοντέλου μπορούμε να παραθέσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει καλύτερα αντιληπτό. Παράδειγμα (συνεχείς αποθέματα) Θεωρούμε μια βιοτεχνία παραγωγής υποδημάτων που παράγει ποικιλία δερμάτινων παπουτσιών. Έχει υπολογιστεί πως για να καλυφθούν οι ετήσιες ανάγκες της βιοτεχνίας χρειάζονται 7200 τετραγωνικά μέτρα δέρματος. Αντίστοιχα οι ετήσιες δαπάνες τήρησης αποθεμάτων ανέρχονται σε 0,5 ανά τετραγωνικό μέτρο και το κόστος παραγγελίας στα 100. Στόχος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, το συνολικό κόστος, ο ετήσιος αριθμός παραγγελιών, ο χρόνος μεταξύ δύο παραγγελιών και ο κύκλος παραγγελίας. Μαθηματική επίλυση Δεδομένου ότι τόσο τα στοιχεία κόστους όσο και η ζήτηση αφορούν την ίδια χρονική περίοδο, δηλαδή το έτος μπορούμε να εφαρμόσουμε τους παραπάνω τύπους ώστε να υπολογιστούν τα ζητούμενα μεγέθη. Επομένως, η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας είναι ίση με: Q, 1697,06 τ.μ. δέρμα 22

23 Tο συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC c D Q c Q ,5 1697,06 848, ,06 2 Ο ετήσιος αριθμός παραγγελιών (ΑΠ) ισούται με: ΑΠ 4,24 παραγγελίες ανά έτος Και τέλος ο κύκλος παραγγελίας (ΚΠ) είναι ίσος με: ΚΠ /Q 73,3 εργάσιμες ημέρες Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.5). Ετήσιος Αριθμός Παραγγελιών =G12/O10 Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας =ROUND(SQRT(2*G1 2*G11/(G10));2) Ελάχιστο Συνολικό Κόστος =(G11*G12/O10)+(G10*O10/ 2) Κύκλος Παραγγελίας =G13/(G12/O10) Εικόνα 1.5: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για συνεχείς μονάδες. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.6). 23

24 Εικόνα 1.6: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για συνεχείς μονάδες. Παράδειγμα (διακριτά αποθέματα) Θεωρούμε μια βιοτεχνία παραγωγής υποδημάτων που παράγει ποικιλία προϊόντων. Για ένα συγκεκριμένο τύπο δερμάτινου παπουτσιού έχει υπολογιστεί πως ο ετήσιος ρυθμός ζήτησης είναι σταθερός και ισούται με ζευγάρια παπούτσια ενώ οι δαπάνες παραγωγής και αποθήκευσης του ανά μήνα ανέρχονται αντίστοιχα στα 100 και 0,50. Στόχος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, το συνολικό κόστος, το χρονικό διάστημα παραλαβής μιας παραγγελίας, ο αριθμός παραγγελιών το χρόνο, και το μέγιστο επίπεδο αποθεμάτων. Μαθηματική επίλυση Δεδομένου ότι τόσο τα στοιχεία κόστους όσο και η ζήτηση αφορούν την ίδια χρονική περίοδο, δηλαδή το έτος μπορούμε να εφαρμόσουμε τους παραπάνω τύπους ώστε να υπολογιστούν τα ζητούμενα μεγέθη. Αρχικά, υπολογίζεται η συνεχής τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας: Q, 894,43 ζευγάρια παπούτσια Έπειτα στρογγυλοποιείτε προς τα κάτω και προκύπτει πως Q * = 894. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται η ανισότητα που δίνει την τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας για διακριτές μονάδες 24

25 Q Q u 2 c D Q Q u c , , Καθώς η προηγούμενη ανισότητα είναι αληθής προκύπτει πως η τιμή της βέλτιστης οικονομικής ποσότητας παραγγελίας είναι 894 ζευγάρια παπούτσια. Σε περίπτωση που δεν ήταν αληθής θα γινόταν ο έλεγχος και για την περίπτωση όπου Q * = 895 (στρογγυλοποίηση προς τα πάνω). Κατά συνέπεια, το συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC c D Q c Q , , Ο ετήσιος αριθμός παραγγελιών (ΑΠ) ισούται με: ΑΠ 2,237 παραγγελίες ανά έτος Και τέλος ο κύκλος παραγγελίας (ΚΠ) είναι ίσος με: ΚΠ /Q 139,025 εργάσιμες ημέρες Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.7). Στην εικόνα αυτή δεν περιλαμβάνονται οι τύποι κάποιων παραμέτρων καθώς είναι ίδιοι με αυτούς του προηγούμενου παραδείγματος για τα διακριτά αποθέματα. =IF(AND((2*G12*G11/G10) >=N11*(N11-1);(2*G12*G11/G10)<=N11 *(N11+1));"True";"False") Συνεχής ΒΠΠ =ROUND(SQRT(2*G12 *G11/(G10));2) =ROUNDDOWN(N10;0) =ROUNDUP(N10;0) ΒΠΠ =IF(O11="True";N11;N12) =IF(AND((2*G12*G11/G10)> =N12*(N12-1);(2*G12*G11/G10)<=N12*( N12+1));"True";"False") Εικόνα 1.7: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για διακριτές μονάδες. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.8). 25

26 Εικόνα 1.8: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση και για διακριτές μονάδες Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Τα βασικά χαρακτηριστικά του συστήματος που ακολουθεί το βασικό μοντέλο ΟΠΠ ή μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας είναι τα ακόλουθα (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008) : Η ζήτηση είναι γνωστή και σταθερή με την πάροδο του χρόνου (Ρυθμός ζήτησης, d = σταθερός). Μια ποσότητα παραγγελίας (Q) παραλαμβάνεται και καταναλώνεται με την πάροδο του χρόνου με σταθερό ρυθμό. Η πολιτική αναπλήρωσης αποθέματος συνοψίζεται στην παραγγελία ποσότητας Q μονάδων προϊόντων όταν το επίπεδο αποθεμάτων φτάνει στο σημείο αναπαραγγελίας. Το σημείο αναπαραγγελίας είναι ένας προκαθορισμένος αριθμός μονάδων του υλικού. (Σημείο αναπαραγγελίας, R 0 και Μέγιστο επίπεδο Αποθεμάτων M=Q). Η παράδοση νέων προϊόντων δεν πραγματοποιείται άμεσα, δηλαδή μεσολαβεί χρόνος μεταξύ της παραγγελίας και παράδοσης τους και κατά συνέπεια η χρονική υστέρηση είναι διάφορη του μηδενός (Χρόνος υστέρησης, m 0). Η καινούρια παραγγελία παραλαμβάνεται σε μια παρτίδα ενιαία τη στιγμή που τα αποθέματα έχουν μηδενιστεί και κατά συνέπεια δεν υπάρχουν ελλείψεις. Συνεχής θεώρηση του χρόνου. 26

27 Διαρκής επανάληψη του κύκλου αυτού με τα παραπάνω χαρακτηριστικά για την ίδια ποσότητα παραγγελίας, σημείο αναπαραγγελίας και χρόνο υστέρησης. Αυτές οι βασικές υποθέσεις του μοντέλου απεικονίζονται στην Εικόνα 1.9, που αποτελεί γραφική απεικόνιση του επιπέδου αποθεμάτων στο χρόνο. Στην Εικόνα 1.10 απεικονίζεται η αντίστροφη σχέση μεταξύ των δαπανών παραγγελίας και τήρησης αποθεμάτων, με συνέπεια μια κυρτή καμπύλη συνολικού κόστους. Εικόνα 1.9: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο αγοράς με υστέρηση κατά την παραγγελία. Εικόνα 1.10: Μοντέλο κόστους ΟΠΠ για αγορά χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας. Σκοπός είναι προσδιοριστεί η βέλτιστη ποσότητα των παραγγελιών. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί πως ο τύπος που δίνει τη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας διαφέρει ανάλογα με το είδος των προϊόντων/ αποθεμάτων (συνεχείς ή διακριτά). i. Συνεχείς μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει συνεχείς τιμές και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Q 2 c D c ii. Διακριτές μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει διακριτές τιμές (πολλαπλάσια του u) και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: 27

28 Q Q u 2 c D c Q Q u Tο συνολικό ελάχιστο κόστος και για τις δύο περιπτώσεις δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: TC c D Q c Q 2 Ο χρόνος μεταξύ των παραγγελιών δίνεται από τη σχέση Τ, ενώ η συχνότητα των παραγγελιών (αριθμός των παραγγελιών ανά έτος) ορίζεται ως το αντίστροφο του. Τέλος, το σημείο αναπαραγγελίας προκύπτει από τη σχέση R d m όπου d ο ρυθμός ζήτησης ανά περίοδο και m ο χρόνος υστέρησης. Έχοντας παραθέσει τα βασικότερα στοιχεία και τύπους του μοντέλου μπορούμε να παραθέσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει καλύτερα αντιληπτό. Παράδειγμα (συνεχείς αποθέματα) Θεωρούμε μια βιοτεχνία παραγωγής υποδημάτων που παράγει ποικιλία δερμάτινων παπουτσιών. Έχει υπολογιστεί πως για να καλυφθούν οι ετήσιες ανάγκες της βιοτεχνίας χρειάζονται 7200 τετραγωνικά μέτρα δέρματος. Αντίστοιχα οι ετήσιες δαπάνες τήρησης αποθεμάτων ανέρχονται σε 0,5 ανά τετραγωνικό μέτρο και το κόστος παραγγελίας στα 100. Τέλος, ο χρόνος υστέρηση είναι 5 μέρες. Στόχος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, το συνολικό κόστος, ο ετήσιος αριθμός παραγγελιών, ο χρόνος μεταξύ δύο παραγγελιών και ο κύκλος παραγγελίας. Μαθηματική επίλυση Δεδομένου ότι τόσο τα στοιχεία κόστους όσο και η ζήτηση αφορούν την ίδια χρονική περίοδο, δηλαδή το έτος μπορούμε να εφαρμόσουμε τους παραπάνω τύπους ώστε να υπολογιστούν τα ζητούμενα μεγέθη. Επομένως, η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας είναι ίση με: Q, 1697,06 τ.μ. δέρμα Tο συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC c D Q c Q ,5 1697,06 848, ,06 2 Ο ετήσιος αριθμός παραγγελιών (ΑΠ) ισούται με: ΑΠ 4,24 παραγγελίες ανά έτος Ο κύκλος παραγγελίας (ΚΠ) είναι ίσος με: ΚΠ /Q 73,3 εργάσιμες ημέρες Και τέλος, το σημείο αναπαραγγελίας είναι: R d m 5 115,76 τ.μ. δέρματος Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.11). Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.12). 28

29 Ετήσιος Αριθμός Παραγγελιών =G12/O10 Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας =ROUND(SQRT(2*G1 2*G11/(G10));2) Ελάχιστο Συνολικό Κόστος =(G11*G12/O10)+(G10*O10/2) Σημείο Αναπαραγγελίας =H15*(H13/H14) Κύκλος Παραγγελίας =G13/(G12/O10) Εικόνα 1.11: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για συνεχείς μονάδες. Εικόνα 1.12: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για συνεχείς μονάδες. 29

30 Παράδειγμα (διακριτά αποθέματα) Θεωρούμε μια βιοτεχνία παραγωγής υποδημάτων που παράγει ποικιλία προϊόντων. Για ένα συγκεκριμένο τύπο δερμάτινου παπουτσιού έχει υπολογιστεί πως ο ετήσιος ρυθμός ζήτησης είναι σταθερός και ισούται με ζευγάρια παπούτσια ενώ οι δαπάνες παραγωγής και αποθήκευσης του ανά μήνα ανέρχονται αντίστοιχα στα 100 και 0,50. Τέλος, ο χρόνος υστέρηση είναι 5 μέρες. Στόχος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, το συνολικό κόστος, το χρονικό διάστημα παραλαβής μιας παραγγελίας, ο αριθμός παραγγελιών το χρόνο, και το μέγιστο επίπεδο αποθεμάτων. Μαθηματική επίλυση Δεδομένου ότι τόσο τα στοιχεία κόστους όσο και η ζήτηση αφορούν την ίδια χρονική περίοδο, δηλαδή το έτος μπορούμε να εφαρμόσουμε τους παραπάνω τύπους ώστε να υπολογιστούν τα ζητούμενα μεγέθη. Αρχικά, υπολογίζεται η συνεχής τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας: Q, 894,43 ζευγάρια παπούτσια Έπειτα στρογγυλοποιείτε προς τα κάτω και προκύπτει πως Q * = 894. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται η ανισότητα που δίνει την τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας για διακριτές μονάδες Q Q u 2 c D Q Q u c , , Καθώς η προηγούμενη ανισότητα είναι αληθής προκύπτει πως η τιμή της βέλτιστης οικονομικής ποσότητας παραγγελίας είναι 894 ζευγάρια παπούτσια. Σε περίπτωση που δεν ήταν αληθής θα γινόταν ο έλεγχος και για την περίπτωση όπου Q * = 895 (στρογγυλοποίηση προς τα πάνω). Κατά συνέπεια, το συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC c D Q c Q , , Ο ετήσιος αριθμός παραγγελιών (ΑΠ) ισούται με: ΑΠ 2,237 παραγγελίες ανά έτος Ο κύκλος παραγγελίας (ΚΠ) είναι ίσος με: ΚΠ /Q 139,025 εργάσιμες ημέρες Και τέλος, το σημείο αναπαραγγελίας είναι: R d m ζευγάρια παπούτσια Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.13). Στην εικόνα αυτή δεν περιλαμβάνονται οι τύποι κάποιων παραμέτρων καθώς είναι ίδιοι με αυτούς του προηγούμενου παραδείγματος για τα διακριτά αποθέματα. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.14). 30

31 =IF(AND((2*G12*G11/G10) >=N11*(N11-1);(2*G12*G11/G10)<=N11 *(N11+1));"True";"False") Συνεχής ΒΠΠ =ROUND(SQRT(2*G12 *G11/(G10));2) =ROUNDDOWN(N10;0) =ROUNDUP(N10;0) ΒΠΠ =IF(O11="True";N11 ;N12) =IF(AND((2*G12*G11/G10)> =N12*(N12-1);(2*G12*G11/G10)<=N12*( N12+1));"True";"False") Εικόνα 1.13: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για διακριτές μονάδες. Εικόνα 1.14: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με υστέρηση και για διακριτές μονάδες. 31

32 1.3.4 Μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες Το μοντέλου ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες είναι γνωστό και ως εξής μοντέλο ΟΠΠ με ελλείμματα αποθέματος ή ντετερμινιστικό σύστημα σταθερής παραγγελίες με καθυστερημένη ικανοποίηση της ζήτησης (inventory model with planned shortages ή vendor with backorders). Η μοναδική διαφορά του σε σχέση με τo βασικό ΟΠΠ μοντέλο είναι ότι επιτρέπονται ελλείμματα αποθεμάτων. Συγκεκριμένα, τα βασικά χαρακτηριστικά του συστήματος αυτού είναι τα ακόλουθα (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008) : Η ζήτηση είναι γνωστή και σταθερή με την πάροδο του χρόνου (Ρυθμός ζήτησης, d = σταθερός). Η πολιτική αναπλήρωσης αποθέματος ορίζει πως παραγγέλλονται Q μονάδες προϊόντων κάθε φορά που το απόθεμα φτάνει σε επίπεδο S. Το S είναι μικρότερο του μηδενός και αποτελεί το μέγιστο έλλειμμα αποθέματος που παρατηρείται αμέσως πριν την τοποθέτηση Q παραγόμενων μονάδων. Τα ελλείμματα αυτά καλύπτονται από την επομένη παραγγελία. Αντιστοίχως το μέγιστο επίπεδο αποθεμάτων (Μ) διαφέρει από την ποσότητα παραγγελίας Q (M=Q-S). Συνεπώς, στο μοντέλο αυτό υπάρχει η δυνατότητα η επιχείρηση να καθυστερήσει στην κάλυψη της ζήτησης. Η εισαγωγή καθυστέρησης στην κάλυψη της ζήτησης εισάγει το αντίστοιχο κόστος έλλειψης αποθέματος (c b), το οποίο εξαρτάται από το χρόνο που η ζήτηση έμεινε ανικανοποίητη. Η καινούρια παραγγελία παραλαμβάνεται σε μια παρτίδα ενιαία. Η παράδοση νέων προϊόντων πραγματοποιείται άμεσα, δηλαδή δεν μεσολαβεί χρόνος μεταξύ παραγγελίας και παράδοσης και άρα η χρονική υστέρηση είναι μηδενική (Χρόνος υστέρησης, m=0). Συνεχής θεώρηση του χρόνου Αυτές οι βασικές υποθέσεις του μοντέλου απεικονίζονται στην Εικόνα 1.15, που αποτελεί γραφική απεικόνιση του επιπέδου αποθεμάτων στο χρόνο. Εικόνα 1.15: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο αγοράς με ανεκτέλεστες παραγγελίες. O τύπος που δίνει τη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας διαφέρει ανάλογα με το είδος των αποθεμάτων (συνεχείς ή διακριτά). i. Συνεχείς μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει συνεχείς τιμές και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: 32

33 Q 2 c D c c c c i. Διακριτές μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει διακριτές τιμές (πολλαπλάσια του u) και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Q Q u 2 c D c c c Q Q u c Tο συνολικό ελάχιστο κόστος και για τις δύο περιπτώσεις δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: TC c D Q c Q S c S 2 Q 2 Q Κάποιες άλλες παράμετροι του μοντέλου αυτού είναι το μέγιστο έλλειμμα αποθέματος δηλαδή η ποσότητα ζήτησης που δεν καλύπτεται σε κάθε κύκλο και το μέγιστο απόθεμα. Οι παράμετροι αυτοί δίνονται από τους ακόλουθους τύπους: c S Q c c M Q S Ο βέλτιστος χρόνος μεταξύ των παραγγελιών είναι: T Q D 2 c c D c c ενώ οι χρόνοι Τ1 και Τ2 όπως φαίνονται στην εικόνα 1 ορίζονται ως εξής: T T Τέλος, το σημείο αναπαραγγελίας βρίσκεται στο σημείο -S. Έχοντας παραθέσει τα βασικότερα στοιχεία και τύπους του μοντέλου μπορούμε να παραθέσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει καλύτερα αντιληπτό. Παράδειγμα (συνεχείς αποθέματα) Θεωρούμε μια βιοτεχνία παραγωγής υποδημάτων που παράγει ποικιλία δερμάτινων παπουτσιών. Έχει υπολογιστεί πως για να καλυφθούν οι ετήσιες ανάγκες της βιοτεχνίας χρειάζονται 7200 τετραγωνικά μέτρα δέρματος. Αντίστοιχα οι ετήσιες δαπάνες τήρησης αποθεμάτων ανέρχονται σε 0,5 ανά τετραγωνικό μέτρο και το κόστος παραγγελίας στα 100. Τέλος υπάρχει δυνατότητα ελλείψεων, με κόστος έλλειψης 0,70. Στόχος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, το συνολικό κόστος, ο ετήσιος αριθμός παραγγελιών, ο χρόνος μεταξύ δύο παραγγελιών και ο κύκλος παραγγελίας. Μαθηματική επίλυση Δεδομένου ότι τόσο τα στοιχεία κόστους όσο και η ζήτηση αφορούν την ίδια χρονική περίοδο, δηλαδή το έτος μπορούμε να εφαρμόσουμε τους παραπάνω τύπους ώστε να υπολογιστούν τα ζητούμενα μεγέθη. Επομένως, η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας είναι ίση με: Q Το μέγιστο έλλειμμα αποθέματος είναι ίσο με: c,, 2221,97 τ.μ. δέρμα,, S Q 925,82 τ.μ. δέρμα 33

34 Αντίστοιχα, το μέγιστο απόθεμα είναι ίσο με: M Q S 1296,15 τ.μ. δέρμα Ο βέλτιστος χρόνος μεταξύ των παραγγελιών είναι: T Q D 2 c c D c c c 0,31 Tο συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC,,,,,,, Τέλος, το σημείο αναπαραγγελίας είναι ίσο με R S 925,82 τ.μ. δέρματος. 648,07 Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.16). Μέγιστο Έλλειμμα Αποθέματος =P11*H11/(H11+H15) Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας =ROUND(SQRT((2*H 13*H12/H11)*((H15 +H11)/H15));2) Ελάχιστο Συνολικό Κόστος =(H12*H13/P11)+(H11*POWER( P14;2)/(2*P11))+(H15*POWER( P13;2)/(2*P11)) Βέλτιστος Χρόνος Μεταξύ Παραγγελιών =P11/H13 Μέγιστο Απόθεμα =P11-P13 Εικόνα 1.16: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για συνεχείς μονάδες. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.17). 34

35 Εικόνα 1.17: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για συνεχείς μονάδες. Παράδειγμα (διακριτά αποθέματα) Θεωρούμε μια βιοτεχνία παραγωγής υποδημάτων που παράγει ποικιλία προϊόντων. Για ένα συγκεκριμένο τύπο δερμάτινου παπουτσιού έχει υπολογιστεί πως ο ετήσιος ρυθμός ζήτησης είναι σταθερός και ισούται με ζευγάρια παπούτσια ενώ οι δαπάνες παραγωγής και αποθήκευσης του ανά μήνα ανέρχονται αντίστοιχα στα 100 και 0,50. Τέλος υπάρχει δυνατότητα ελλείψεων, με κόστος έλλειψης 0,70. Στόχος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας, το συνολικό κόστος, το χρονικό διάστημα παραλαβής μιας παραγγελίας, ο αριθμός παραγγελιών το χρόνο, και το μέγιστο επίπεδο αποθεμάτων. Μαθηματική επίλυση Δεδομένου ότι τόσο τα στοιχεία κόστους όσο και η ζήτηση αφορούν την ίδια χρονική περίοδο, δηλαδή το έτος μπορούμε να εφαρμόσουμε τους παραπάνω τύπους ώστε να υπολογιστούν τα ζητούμενα μεγέθη. Αρχικά, υπολογίζεται η συνεχής τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας: Q,, 1171,08 ζευγάρια παπούτσια,, Έπειτα στρογγυλοποιείτε προς τα κάτω και προκύπτει πως Q * =1171. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται η ανισότητα που δίνει την τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας για διακριτές μονάδες. 35

36 Q Q u 2 c D c c Q Q u c ,5 0, ,5 0, , ,5 0, , Καθώς η προηγούμενη ανισότητα είναι αληθής προκύπτει πως η τιμή της βέλτιστης οικονομικής ποσότητας παραγγελίας είναι 1171 ζευγάρια παπούτσια. Σε περίπτωση που δεν ήταν αληθής θα γινόταν ο έλεγχος και για την περίπτωση όπου Q * = 2221 (στρογγυλοποίηση προς τα κάτω). Το μέγιστο έλλειμμα αποθέματος είναι ίσο με: S Q 487, ζευγάρια παπούτσια Αντίστοιχα, το μέγιστο απόθεμα είναι ίσο με: M Q S 683,08 ζευγάρια παπούτσια Ο βέλτιστος χρόνος μεταξύ των παραγγελιών είναι: c T Q D 2 c c D c c c 0,5855 Tο συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC,,,, 341,57 Τέλος, το σημείο αναπαραγγελίας είναι ίσο με R S 487,92 ζευγάρια παπούτσια. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα. Στην Εικόνα 1.18 δεν περιλαμβάνονται οι τύποι κάποιων παραμέτρων καθώς είναι ίδιοι με αυτούς του προηγούμενου παραδείγματος για τα διακριτά αποθέματα. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.19). 36

37 =IF(AND(((2*H10*H9/H8)*( (H12+H8)/H12))>=P9*(P9-1), ((2*H10*H9/H8)* ((H12+H8)/H12))<=P9*(P9+ 1)),"True","False") Συνεχής ΒΠΠ =ROUND(SQRT((2*H1 0*H9/H8)*((H12+H8) =ROUNDDOWN(P8,0) =ROUNDUP(P8,0) ΒΠΠ =IF(Q9="True", P9,P10) =IF(AND(((2*H10*H9/H8)*(( H12+H8)/H12))>=P10*(P10-1),((2*H10*H9/H8)*((H12+H 8)/H12))<=P10*(P10+1)),"Tr ue","false") Εικόνα 1.18: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για διακριτές μονάδες. Εικόνα 1.19: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για αγορά με ανεκτέλεστες παραγγελίες και για διακριτές μονάδες. 37

38 1.3.5 Μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας Το μοντέλου ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας είναι γνωστό και με τα εξής ονόματα: μοντέλο ΟΠΠ μη αυτόματου ανεφοδιασμού ή μοντέλο ΟΠΠ με σταδιακή ομοιόμορφη αναπλήρωση αποθέματος. Η σημαντικότερη διαφορά σε σχέση με τα προηγούμενα συστήματα είναι πως οι παραγγελίες παραλαμβάνονται βαθμιαία. Συγκεκριμένα, τα βασικά χαρακτηριστικά του συστήματος αυτού είναι τα ακόλουθα (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008) : Η ζήτηση είναι γνωστή και σταθερή με την πάροδο του χρόνου (αυτή η παραδοχή ισχύει για όλα τα μοντέλα του κεφαλαίου αυτού) (Ρυθμός ζήτησης, d = σταθερός). Η ποσότητα παραγγελίας παραλαμβάνεται βαθμιαία με την πάροδο του χρόνου, και το επίπεδο αποθεμάτων (Q) ανανεώνεται και μειώνεται την ίδια στιγμή. Το απόθεμα αναπληρώνεται ομοιόμορφα µε σταθερό ρυθμό, αρχίζοντας µε την τοποθέτηση της παραγγελίας. Ο ρυθμός αναπλήρωσης/ παραγωγής είναι μεγαλύτερος του ρυθμού ζήτησης, διότι θεωρούμε πως δεν υπάρχουν ελλείψεις. Συνεχής θεώρηση του χρόνου. Διαρκής επανάληψη του κύκλου αυτού με τα παραπάνω χαρακτηριστικά για την ίδια ποσότητα παραγγελίας, σημείο αναπαραγγελίας και χρόνο υστέρησης. Το μοντέλο αυτό έχει εφαρμογή συνήθως στις περιπτώσεις όπου ο χρήστης των αποθεμάτων είναι ταυτόχρονα και παραγωγός, όπως σε μια βιομηχανία όπου ένα τμήμα ενός προϊόντος παράγεται για να χρησιμοποιηθεί σε άλλο σημείο της παραγωγής. Με βάση όσα αναφέραμε μια παράμετρος που εισάγεται στο μοντέλο αυτό και η οποία δεν υπήρχε στα προηγούμενα είναι ο ρυθμός παραγωγής (p) που ορίζεται ως o ρυθμός στον οποίο λαμβάνεται η παραγγελία στο χρόνο. Παρατηρώντας την Εικόνα 1.20 προκύπτουν οι ακόλουθες παρατηρήσεις: Ο χρόνος που απαιτείται για την λήψη μια παραγγελίας (ή χρόνος παραγωγής) είναι t Το μέγιστο ποσό αποθεμάτων είναι Μ p d t 1 Q Με βάση τις παρατηρήσεις αυτές προκύπτει πως το συνολικό κόστος τήρησης ορίζεται ως ακολούθως: TC p d t 1 d p c Q 2 Κατά συνέπεια το συνολικό ετήσιο κόστος αποθεμάτων καθορίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: TC 1 d p c Q c D 2 Q 38

39 Εικόνα 1.20: Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο παραγωγής χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας. O τύπος που δίνει τη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας διαφέρει ανάλογα με το είδος των αποθεμάτων (συνεχείς ή διακριτά). ii. Συνεχείς μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει συνεχείς τιμές και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: 2 c Q D c 1 d p ii. Διακριτές μονάδες Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας λαμβάνει διακριτές τιμές (πολλαπλάσια του u) και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Q Q u 2 c D c 1 d Q Q u p Tο συνολικό ελάχιστο κόστος και για τις δύο περιπτώσεις δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: TC 1 d p c Q c D 2 Q Έχοντας παραθέσει τα βασικότερα στοιχεία και τύπους του μοντέλου μπορούμε να παραθέσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει καλύτερα αντιληπτό. Παράδειγμα (συνεχείς αποθέματα) Θεωρούμε ένα κατάστημα λιανικής παπουτσιών που προμηθεύεται κατ αποκλειστικότητα ένα συγκεκριμένο τύπο παπουτσιού από μια βιοτεχνία κατασκευής υποδημάτων. Για το συγκεκριμένο προϊόν της βιοτεχνίας θεωρούμε πως το κόστος παραγγελίας είναι 100, το κόστος διατήρησης 0,25 ανά τετραγωνικό μέτρο, ενώ η ζήτηση του καταστήματος έχει υπολογιστεί στα τετραγωνικά μέτρα δέρματος το χρόνο. Η βιομηχανική εγκατάσταση λειτουργεί τις ίδιες ημέρες που το κατάστημα είναι ανοικτό (δηλ., 311 ημέρες) και παράγει 60 ζευγάρια παπουτσιών ανά ημέρα. Μαθηματική επίλυση Τα δεδομένα του παραδείγματος είναι τα εξής: c o=100, c h=0,25 ανά ζευγάρι, D= ζευγάρια το χρόνο, d=12.000/ τετραγωνικά μέτρα ανά ημέρα και p=60 τετραγωνικά μέτρα ανά ημέρα. Επομένως, η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας ισούται με: 39

40 Q., 5237,23 τετραγωνικά μέτρα δέρματος Tο συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC 1,,, 1 458,26 Το μέγιστο απόθεμα είναι ίσο με Μ 1 Q , ,03 τετραγωνικά μέτρα δέρματος. Ο χρόνος παραλαβής της παραγγελίας είναι ίσος με t, 87,29 ημέρες ανά παραγγελία. Επίσης, ο αριθμός των παραγγελιών ανά χρόνο είναι ίσος με, με 2,29 παραγγελίες το χρόνο. Και τέλος, η χρονική διάρκεια ενός κύκλου είναι ίση, , ημέρες. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.21). Μέγιστο Απόθεμα =(1-G15/G14)*O10 Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας =ROUND(SQRT(2*G12*G11/(G 10*(1-G15/G14)));2) Ελάχιστο Συνολικό Κόστος =(G11*G12/O10)+(G10*O10/2)*(1- G15/G14) Χρόνος Παραλαβής Παραγγελίας =O10/G14 Χρονική Διάρκεια Κύκλου =ROUNDUP(O10/G12*350;0) Αριθμός Παραγγελιών =G12/O10 Εικόνα 1.21: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας και για συνεχείς μονάδες. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.22). 40

41 Εικόνα 1.22: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας και για συνεχείς μονάδες. Παράδειγμα (διακριτά αποθέματα) Θεωρούμε ένα κατάστημα λιανικής παπουτσιών που προμηθεύεται ένα συγκεκριμένο τύπο παπουτσιού από μια μικρή τοπική βιοτεχνία κατασκευής υποδημάτων. Για το συγκεκριμένο προϊόν της βιοτεχνίας θεωρούμε πως το κόστος παραγωγής είναι 100, το κόστος διατήρησης 0,25 ευρώ ανά ζευγάρι, ενώ η ζήτηση είναι ίση με ζευγάρια το χρόνο. Η βιομηχανική εγκατάσταση λειτουργεί τις ίδιες ημέρες που το κατάστημα είναι ανοικτό (δηλ., 311 ημέρες) και παράγει 60 ζευγάρια παπουτσιών ανά ημέρα. Μαθηματική επίλυση Τα δεδομένα του παραδείγματος είναι τα εξής: c o=100, c h=0,25 ανά ζευγάρι, D= ζευγάρια το χρόνο, d=13.000/ ζευγάρια παπούτσια ανά ημέρα και p=60 ζευγάρια ανά ημέρα. Αρχικά, υπολογίζεται η συνεχής τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας: Q., 5887,84 ζευγάρια παπούτσια Έπειτα στρογγυλοποιείτε προς τα πάνω και προκύπτει πως Q * =5888. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται η ανισότητα που δίνει την τιμή της βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας για διακριτές μονάδες 41

42 Q Q u 2 c D c 1 d Q Q u p , ,25 0, , Καθώς η προηγούμενη ανισότητα είναι αληθής προκύπτει πως η τιμή της βέλτιστης οικονομικής ποσότητας παραγγελίας είναι 5888 ζευγάρια παπούτσια. Σε περίπτωση που δεν ήταν αληθής θα γινόταν ο έλεγχος και για την περίπτωση όπου Q * = 5887 (στρογγυλοποίηση προς τα πάνω). Tο συνολικό ελάχιστο κόστος είναι ίσο με: TC 1, 1 441,59 Το μέγιστο απόθεμα είναι ίσο με Μ 1 Q , ζευγάρια παπούτσια. Ο χρόνος παραλαβής της παραγγελίας είναι ίσος με t 98,13 ημέρες ανά παραγγελία. Επίσης, ο αριθμός των παραγγελιών ανά χρόνο είναι ίσος με 2,21 παραγγελίες το χρόνο. Και τέλος, η χρονική διάρκεια ενός κύκλου είναι ίση με , ημέρες. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα. Στην Εικόνα 1.23 δεν περιλαμβάνονται οι τύποι κάποιων παραμέτρων καθώς είναι ίδιοι με αυτούς του προηγούμενου παραδείγματος για τα διακριτά αποθέματα. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.24). 42

43 =IF(AND((2*G12*G11/(G10* (1-G15/G14)))>=N11*(N11-1);(2*G12*G11/(G10*(1- G15/G14)))<=N11*(N11+1)) ;"True";"False") Συνεχής ΒΠΠ =ROUND(SQRT(2*G12*G11/ (G10*(1-G15/G14)));2) =ROUNDDOWN(N10;0) =ROUNDUP(N10;0) ΒΠΠ =IF(O11="True";N11;N12) Ελάχιστο Συνολικό Κόστος =(G11*G12/N13)+(G10*N1 3/2)*(1-G15/G14) =IF(AND((2*G12*G11/(G 10*(1-G15/G14)))> =N12*(N12-1); (2*G12*G11/(G10*(1- G15/G14)))<=N12*(N12+ 1));"True";"False") Εικόνα 1.23: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας. Εικόνα 1.24: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ για παραγωγή χωρίς υστέρηση στην παραλαβή της παραγγελίας. 43

44 1.3.6 Μοντέλο ποσοτικών εκπτώσεων Το μοντέλο ΟΠΠ ποσοτικών εκπτώσεων έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (Russel, R., and Taylor, T., 2006): Η ζήτηση είναι γνωστή και σταθερή με την πάροδο του χρόνου (Ρυθμός ζήτησης, d = σταθερός). Μια ποσότητα παραγγελίας (Q) παραλαμβάνεται και καταναλώνεται με την πάροδο του χρόνου με σταθερό ρυθμό. Η πολιτική αναπλήρωσης αποθέματος συνοψίζεται στην παραγγελία ποσότητας Q μονάδων προϊόντων κάθε φορά που το απόθεμα μηδενίζεται και συνεπώς δεν υπάρχουν ελλείψεις (Σημείο αναπαραγγελίας, R=0 και Μέγιστο επίπεδο Αποθεμάτων M=Q). Η καινούρια παραγγελία παραλαμβάνεται σε μια παρτίδα ενιαία. Η παράδοση νέων προϊόντων πραγματοποιείται άμεσα, δηλαδή δεν μεσολαβεί χρόνος μεταξύ παραγγελίας και παράδοσης και κατά συνέπεια η χρονική υστέρηση είναι μηδενική (Χρόνος υστέρησης, m=0). Το κόστος πώλησης είναι κλιμακούμενο ανάλογα με το ύψος της παραγγελίας. Συνεχής θεώρηση του χρόνου Ως εκ τούτου, το κόστος του αποθέματος είναι μια κλιμακωτή συνάρτηση αφού το κόστος αγοράς είναι κλιμακούμενο. Η χρήση του μοντέλου είναι αρκετά συνηθισμένη δεδομένου ότι πολλές κατασκευαστικές επιχειρήσεις ή μαγαζιά λιανικής πώλησης λαμβάνουν εκπτώσεις για παραγγελία υλικών, προμηθειών και εμπορευμάτων σε μεγάλες ποσότητες. Επομένως, το συνολικό ετήσιο κόστος αποθεμάτων περιλαμβάνει στην περίπτωση αυτή και την τιμή αγοράς του προϊόντος προς παραγγελία και καθορίζεται από τον παρακάτω τύπο: TC p D c Q c D 2 Q όπου p είναι το κόστος αγοράς ανά μονάδα προϊόντος. Το κόστος αγοράς μπορεί να είναι είτε σταθερό είτε να μεταβάλλεται ανάλογα με το ύψος της παραγγελίας. Για παράδειγμα μπορεί αν είναι ίσο με p 1 για παραγγελίες μεγέθους μικρότερες του Q 1, p 2 για παραγγελίες μεγέθους ανάμεσα σε Q 1 και Q 2 κ.ο.κ.. Επομένως, ένας γενικότερος τύπος για το συνολικό ετήσιο κόστος αποθεμάτων είναι ο ακόλουθος: TC TCQ p D c Q c D 2 Q, 0 Q Q TCQ p D c Q 2 TCQ p D c Q 2 c D Q, Q Q Q c D Q, Q Q Q Η Εικόνα 1.25 απεικονίζει το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο ποσοτικών εκπτώσεων για τρεις στάθμες τιμών. Τα βήματα για τον υπολογισμό της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (ΟΠΠ) είναι τα ακόλουθα: 1. Υπολογισμός βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας με βάση τον τύπο Q για κάθε διαφορετικό κόστος αγοράς. Σε περίπτωση που η ποσότητα αυτή είναι μικρότερη από την αντίστοιχη ποσότητα έκτπωσης, γίνεται αναπροσαρμογή της στο κατώτερο όριο. 2. Υπολογισμός του συνολικού ετήσιου κόστους αποθεμάτων για κάθε ποσότητα. 3. Σύγκριση όλων των συνολικών ετήσιων δαπανών αποθεμάτων και επιλογή της ποσότητας εκείνης που επιτυγχάνει το χαμηλότερο συνολικό ετήσιο κόστος αποθεμάτων. 44

45 Εικόνα 1.25 Γράφημα με το επίπεδο αποθέματος ως συνάρτηση του χρόνου για το μοντέλο ποσοτικών εκπτώσεων για τρεις στάθμες τιμών. Έχοντας παραθέσει τα βασικότερα στοιχεία και τύπους του μοντέλου μπορούμε να παραθέσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει καλύτερα αντιληπτό. Παράδειγμα Ένα κατάστημα λιανικής υαλικών διαπραγματεύεται με μια εταιρεία κατασκευής σχετικά με το κόστος κάποιου είδους βάζου σε σχέση με το μέγεθος της παραγγελίας. Η εταιρεία κατασκευής προσφέρει την παρακάτω έκπτωση για το συγκεκριμένο προϊόν 1-69 τμχ. 5,6 ανά τμχ τμχ. 5 ανά τμχ τμχ. 4,7 ανά τμχ. 500 και πάνω τμχ. 4,6 ανά τμχ. Η ετήσια ζήτηση για το σώμα αυτό είναι 800 τεμάχια. Το κόστος παραγγελίας είναι 15 και το ετήσιο κόστος διατήρησης αποθέματος είναι ίσο με το 20% της τιμής του τεμαχίου. Μαθηματική επίλυση 1. Υπολογισμός βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας με βάση τον τύπο Q για κάθε διαφορετικό κόστος αγοράς. Q, 146 προσαρμόζεται σε 1,, Q 2 c D c 0,2 5 Q, 160 προσαρμόζεται σε 200,, Q, 162 προσαρμόζεται σε 500,, 2. Υπολογισμός του συνολικού ετήσιου κόστους αποθεμάτων για κάθε ποσότητα. TCQ, p D c Q c D 2 Q 5, ,2 5,6 1 2 TCQ p D c Q c D 2 Q , , ,92 45

46 TCQ, p D c Q c D 2 Q 4, ,2 4, TCQ, p D c Q c D 2 Q 4, ,2 4, Σύγκριση όλων των συνολικών ετήσιων δαπανών αποθεμάτων και επιλογή της ποσότητας εκείνης που επιτυγχάνει το χαμηλότερο συνολικό ετήσιο κόστος αποθεμάτων. Επομένως, η ποσότητα που επιλέγεται καθώς έχει το μικρότερο συνολικό κόστος είναι 200 τεμάχια. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.26). Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας =ROUND(SQRT(2*$H$10*$H$11/($H$13*L10));0) Προσαρμοσμένη ΒΠΠ =IF(AND($M10>=$J10;$M10<=$K10);$M10;$J10) Ελάχιστο Συνολικό Κόστος (TC) =($H$11*$H$10)/$N10+($H$13*$L10*$N10)/2+$H$10*$L10 Εικόνα 1.26: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο ΟΠΠ με ποσοτικές εκπτώσεις. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.27). 46

47 Εικόνα 1.27: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο ΟΠΠ με ποσοτικές εκπτώσεις. 47

48 1.4 Αβεβαιότητα στα μοντέλα αποθεμάτων (στοχαστικά μοντέλα) Τα προηγούμενα μοντέλα διαχείρισης αποθεμάτων βασίζονταν στην υπόθεση ότι η ζήτηση του αποθέματος είναι γνωστή και σταθερή. Αντίθετα, στην ενότητα αυτή θα μελετηθεί η περίπτωση εισαγωγής αβεβαιότητας στη ζήτηση. Αυτή η υπόθεση είναι συνήθως πιο κοντά στην πραγματικότητα καθώς συνήθως η ζήτηση παρουσιάζει διακυμάνσεις. Μάλιστα, για το σκοπό αυτό οι επιχειρήσεις διατηρούν συνήθως ένα απόθεμα ασφαλείας ώστε να αντιμετωπίζουν την μη προβλεπόμενη ζήτηση. Επομένως στην περίπτωση που η ζήτηση είναι αβέβαιη και οι παραγγελίες του αποθέματος επαναλαμβάνονται, το σύστημα διαχείρισης αποθέματος θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη τον κίνδυνο μη ικανοποίησης της ζήτησης λόγω ελλείψεως αποθέματος. Οι παράγοντες που πρέπει να καθοριστούν είναι η ποσότητα αποθέματος που θα παραγγέλλεται κάθε φορά (Q) και το σημείο αναπαραγγελίας (R). Εξ αιτίας των διακυμάνσεων στη ζήτηση είναι πιθανό είτε η ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου υστέρησης να ξεπεράσει την ποσότητα του αποθέματος και το απόθεμα της επιχείρησης να είναι σε έλλειψη, είτε η ζήτηση να είναι μικρότερη από το απόθεμα και συνεπώς να υπάρχει πλεόνασμα αποθέματος. Και οι δύο περιπτώσεις είναι ασύμφορες για την επιχείρηση καθώς συνεπάγονται κόστος. Επομένως, σκοπός είναι να βρεθούν οι βέλτιστες τιμές των Q και R που θα ελαχιστοποιούν το αναμενόμενο συνολικό κόστος διαχείρισης του αποθέματος. Αρχικά, θα μελετηθεί το μοντέλο μιας περιόδου και έπειτα αυτό με πολλαπλές περιόδους (Papadopoulos, C.T.) Μοντέλο μίας περιόδου Το μοντέλο αυτό έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (Papadopoulos, C.T.): Η ζήτηση είναι αβέβαιη Δεν μπορούν να μεταφερθούν μονάδες/ αποθέματα από έναν κύκλο σε έναν άλλο Η διάρκεια των κύκλων είναι σταθερή Υπάρχουν στοιχεία κόστους τήρησης και στοιχεία κόστους έλλειψης αλλά όχι στοιχεία κόστους ανανέωσης αποθεμάτων Στο σημείο αυτό, θα παραθέσουμε τους συμβολισμούς για τις βασικότερες έννοιες που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο αυτό (Papadopoulos, C.T.): Z = τυχαία μεταβλητή (συνεχής ή διακριτή) που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των μονάδων που απαιτούνται κατά τη διάρκεια ενός κύκλου z = τιμές που λαμβάνει η τυχαία μεταβλητή Z f Z(z) = συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μεταβλητής Ζ F Z(z) = αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μεταβλητής Ζ x = μεταβλητή απόφασης σχετικά με τον αριθμό των μονάδων που θα αποθηκευτούν x * = βέλτιστη τιμή της x c 1 = κόστος μη ανικανοποίητης ζήτησης (ή κόστος έλλειψης ανά προϊόν) c 2 = κόστος υπερεπάρκειας ανά μονάδα (κόστος διατήρησης αποθεμάτων) C(x,z) = κόστος τιμωρίας εάν ενώ η ζήτηση είναι z μονάδες ενώ οι διατηρηθείσες μονάδες είναι x C(x) = αναμενόμενο κόστος τιμωρίας ως συνάρτηση της μεταβλητής απόφασης, E {C(x,z)} Το αναμενόμενο κόστος τιμωρίας για z μεταβλητή διακριτή ή συνεχής δίνεται από τους ακόλουθους τύπους: x y c f y y x c f y z διακριτή Cx x y c f y dy y x c f y dy z συνεχής Η βέλτιστη λύση για την περίπτωση που η μεταβλητή z είναι διακριτή επιτυγχάνεται μέσω του ακόλουθου τύπου: 48

49 F x 1 c F c c x Αντίστοιχα, για την περίπτωση που η μεταβλητή z είναι συνεχής, η βέλτιστη λύση επιτυγχάνεται μέσω του παρακάτω τύπου: c F x c c Το πρόβλημα της βέλτιστης λύσης παριστάνεται γραφικά είτε ως τιμή του y για την οποία η περιοχή αριστερά του σημείου αυτού και κάτω από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι (Εικόνα 1.28) είτε ως τιμή του z για την οποία η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ίσης με (Εικόνα 1.29). c1 c +c 1 2 c1 c +c 1 2 Εικόνα 1.28: Συνθήκη βέλτιστης λύσης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Εικόνα 1.29: Συνθήκη βέλτιστης λύσης χρησιμοποιώντας την αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Παράδειγμα Θεωρούμε μια επιχείρηση κατασκευής μηχανών όπου ο διευθυντής προσωπικού πρέπει να αποφανθεί σχετικά με τον αριθμό τον εργαζομένων που θα προσλάβει και θα είναι υπεύθυνοι για να συντηρούν τον εξοπλισμό των εγκαταστάσεων. Καθώς το εργοστάσιο λειτουργεί κατά τη διάρκεια της ημέρας, οι εργαζόμενοι αυτοί θα απασχολούνται αποκλειστικά βραδινές ώρες και θα επισκευάζουν κατά τη βάρδια τους τις μηχανές που εμφάνισαν βλάβη κατά την πρωινή βάρδια. Κάθε άτομο μπορεί να επισκευάσει μια μηχανή ανά βάρδια. Εάν, κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης ημέρας, υπάρξουν βλάβες σε περισσότερες μηχανές από τον αριθμό των εργαζόμενων αυτών, οι επιπλέον μηχανές θα πρέπει να επισκευαστούν κατά τη διάρκεια της βραδινής βάρδιας από έναν εξωτερικό ανάδοχο, οποίος θα λαμβάνει 150 ανά μηχανή. Ο συνολικός μισθός των εργαζόμενων επισκευαστών ανέρχεται σε 50 ανά ημέρα. Επίσης ο αριθμός αποτυχιών των μηχανών σε μια ημέρα ποικίλλει. Εμπειρικά έχει προκύψει πως η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας του αριθμού των αποτυχιών των μηχανών σε μια μέρα είναι η ακόλουθη: Πίνακας 1.1: Δεδομένα εισόδου (μεταβλητή και συχνότητα) για το παράδειγμα μοντέλου μιας περιόδου. z fz(z) 0 0,20 1 0,30 2 0,30 3 0,10 4 0,10 Σκοπός της ανάλυσης είναι να εκτιμηθεί ο αριθμός μόνιμων εργαζόμενων υπεύθυνων για την επισκευή των μηχανών προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το ημερήσιο μέσο κόστος επισκευής. Μαθηματική Επίλυση Η μεταβλητή z αντιστοιχεί στον αριθμό των εργαζομένων και επομένως λαμβάνει διακριτές τιμές. Επομένως, η βέλτιστη λύση επιτυγχάνεται μέσω του ακόλουθου τύπου: F x 1 F x. Ακολουθεί υπολογισμός της αθροιστικής πιθανότητας. 49

50 Πίνακας 1.2: Υπολογισμός αθροιστικής κατανομής για το παράδειγμα μοντέλου μιας περιόδου. z fz(z) Fz(z) 0 0,20 0,20 1 0,30 0,50 2 0,30 0,80 3 0,10 0,90 4 0,10 1,00 Δεδομένου ότι οι τιμές των c 1 και c 2 είναι 100 και 50 αντίστοιχα, μπορεί να υπολογιστεί η βέλτιστη λύση. F x 1 c F c c x F x F x F x 1 0,6667 F x Το x για το οποίο ισχύει η ανισότητα 2. Επίσης ο μέσος αριθμός αποτυχιών είναι ο εξής: EZ f z z 0,2 0 0,3 1 0,3 2 0,1 3 0,1 4 0,3 0,6 0,3 0,4 1,6 Το αναμενόμενο κόστος τιμωρίας, δεδομένου ότι η βέλτιστη λύση είναι 2, δίνεται ως εξής: Cx x z c f z C2 x z c f z z x c f z z x c f z 2 z 50 f z z f z f f f f f f f f f , , , ,1 C2 65 Στην υποτιθέμενη περίπτωση που γνωρίζαμε με ακρίβεια τον αριθμό των μελλοντικών αποτυχιών και εφόσον μπορούσε να προσαρμοστεί το αντίστοιχο δυναμικό κατάλληλα, το ημερήσιο κόστος σχετικά με τις επισκευές θα ήταν: Eσυνολικό κόστος/ τέλεια πληροφόρηση Eσυνολικό κόστος / βεβαιότητα f z Eσυνολικό κόστος/z z f z c z f z 50 z 50 EZ 50 1,6 80 Αντίστοιχα, το συνολικό κόστος σε περίπτωση αβεβαιότητας όσον αφορά τον αριθμό των μελλοντικών αποτυχιών των μηχανών δίνεται ως συνάρτηση του κόστους βεβαιότητας και του κόστους τιμωρίας. Συγκεκριμένα, έχουμε: 50

51 Eσυνολικό κόστος / αβεβαιότητα Eσυνολικό κόστος / βεβαιότητα Eκόστος λόγω τιµωρίας αβεβαιότητας Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.30). =G11/(G11+G12) $10*$L10 =(ABS(M12-E16)*F16+ABS(M12- E17)*F17+ABS(M12- E18)*F18)*G12+(ABS(M12- E19)*F19+ABS(M12-E20)*F20)*G11 =G12*I2 =M13+M14 =IF(AND(M11>=G16,M1 1<=G17),E17,IF(AND(M 11>=G17,M11<=G18),E1 8,IF(AND(M11>=G18,M1 1<=G19),E19,E20))) Εικόνα 1.30: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο μιας περιόδου. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.31). 51

52 Εικόνα 1.31: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο μιας περιόδου Μοντέλο πολλαπλών περιόδων Το μοντέλο αυτό έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (Papadopoulos, C.T.): Η ζήτηση είναι αβέβαιη στοχαστική Ο χρόνος υστέρησης είναι διάφορος του μηδενός και είναι διακριτή μεταβλητή (στα πλαίσια της ανάπτυξης του μοντέλου είναι συνεχής) Επιτρέπονται οι ανεκτέλεστες παραγγελίες Δεν μπορούν να μεταφερθούν μονάδες/ αποθέματα από έναν κύκλο σε έναν άλλο Η διάρκεια των κύκλων είναι μεταβαλλόμενη Ο χρόνος υστέρησης είναι μεταβαλλόμενος Υπάρχουν στοιχεία κόστους τήρησης και στοιχεία κόστους έλλειψης αλλά όχι στοιχεία κόστους ανανέωσης αποθεμάτων Στο σημείο αυτό, θα παραθέσουμε τους συμβολισμούς για τις βασικότερες έννοιες που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο αυτό (Papadopoulos, C.T.): D = διακριτή τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τη ζήτηση (αριθμός μονάδων ανά χρονική περίοδο) στα πλαίσια της ανάπτυξης του μοντέλου λαμβάνει συνεχείς τιμές f D(d) = συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ζήτησης D M = διακριτή τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει το χρόνο υστέρησης στα πλαίσια της ανάπτυξης του μοντέλου λαμβάνει συνεχείς τιμές 52

53 f M(m) = συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου υστέρησης m DDLT = ζήτηση κατά τη τυχαία μεταβλητή του χρόνου υστέρησης f DDLT(ddlt) = συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ζήτησης κατά το χρόνο υστέρησης (θεωρείται πως η ζήτηση και ο χρόνος υστέρησης είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές) E(DDLT) = μέση τιμή της ζήτησης κατά το χρόνο υστέρησης R = αριθμός απαιτούμενων μονάδων για κάθε περίοδο R' = ρυθμός ανανέωσης μονάδων ανά μονάδα χρόνου (τείνει στο ) c o = κόστος παραγγελίας c h = κόστος τήρησης αποθεμάτων για κάθε περίοδο c b = κόστος ελλείψεων (ανά προϊόν). Είναι ανεξάρτητο του μήκους της περιόδου ανεκτέλεστης παραγγελίας ROP = σημείο αναπαραγγελίας E(DDLT>ROP) = αναμενόμενος αριθμός μονάδων σε έλλειψη κατά τη διάρκεια του χρόνου ανανέωσης των αποθεμάτων ή αναμενόμενο ποσό κατά το οποίο η ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου υστέρησης υπερβαίνει το σημείο αναπαραγγελίας C(Q,ROP) = συνολικό σχετικό κόστος αποθεμάτων ανά χρονική περίοδο E[C(Q,ROP)] = αναμενόμενο συνολικό σχετικό κόστος αποθεμάτων ανά χρονική περίοδο Η Εικόνα 1.32 απεικονίζει το μοντέλο αυτό και τα χαρακτηριστικά του όπως περιγράφηκαν παραπάνω. Εικόνα 1.32 Μοντέλο πολλαπλών περιόδων στοχαστικής ζήτησης Η εύρεση της βέλτιστης λύσης συνοψίζεται στην ελαχιστοποίηση του αναμενόμενου συνολικού σχετικού κόστους αποθεμάτων που δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:, 2 Η βέλτιστη λύση θα πρέπει να ικανοποιεί τους τύπους: Q (Ι) και F ROP 1 (ΙΙ) Για την εύρεση της βέλτιστης λύσης ακολουθείται η αλγοριθμική διαδικασία όπως περιγράφεται στην Εικόνα

54 ΑΡΧΗ Αρχικοποίηση Q 2 R c c = o h T Ch Q ROP = Μικρότερη τιµή που ικανοποιεί τη συνθήκη FDDLT ( ROP) [1 ] C R b Υπολογισµός νέας τιµής Q από τη σχέση: * 2 R [ Co+ Cb E( DDLT > ROP)] Q = C h * * Ch Q Υπολογισµός νέας τιµής ROP από τη σχέση: ROP = μικρότερο ROP st: F DDLT( ROP) [1 ] C R b Θέτουµε ROP = ROP* Q=Q* F ROP=ROP* ή Q=Q* T Εξέταση του E[C(Q,ROP)] για (Q*, ROP*) ΤΕΛΟΣ Εικόνα 1.33 Αλγόριθμος εύρεσης βέλτιστης λύσης για μοντέλο πολλαπλών περιόδων στοχαστικής ζήτησης (Papadopoulos, C.T.). Παράδειγμα Θεωρούμε ένα προϊόν με κατανομή εβδομαδιαίας ζήτησης που φαίνεται στον Πίνακα 1.3 ενώ η κατανομή του χρόνου υστέρησης απεικονίζεται στον Πίνακα 1.4. Επιπλέον δίνονται τα ακόλουθα στοιχεία κόστους που σχετίζονται με τα αποθέματα, το κόστος παραγγελίας (c o) είναι ίσο με 160 ανά παραγγελία, το κόστος διατήρησης αποθεμάτων (c h) που είναι ίσο με 5 ανά μονάδα ανά έτος, το κόστος έλλειψης αποθεμάτων (c b) που ισούται με 1 ανά μονάδα - προϊόν. Η συνολική ανά έτος ζήτηση είναι μονάδες προϊόντα. Πίνακας 1.3: Κατανομή εβδομαδιαίας ζήτησης προϊόντος. d P (D= d) 150 0, , ,3 Πίνακας 1.4: Κατανομή χρόνου υστέρησης (εβδομάδες). m P (Μ=m) 1 0,25 2 0,50 3 0,25 Μαθηματική επίλυση Πριν από την εφαρμογή της αλγοριθμικής διαδικασίας που περιγράφεται αναλυτικά στην εικόνα 1 και που αποτελεί μια επαναληπτική διαδικασία είναι απαραίτητο να γίνουν κάποιοι υπολογισμοί. Συγκεκριμένα, θα υπολογιστούν οι πιθανότητες, αθροιστικές πιθανότητες της ζήτησης κατά τη διάρκεια του χρόνου υστέρησης και ο αναμενόμενος αριθμός μονάδων σε έλλειψη κατά τη διάρκεια του χρόνου ανανέωσης των αποθεμάτων. 54

55 ddlt f DDLT(ddlt) F DDLT(ddlt) E(DDLT>ddlt) a) Αρχικά από τον Πίνακα 1.3 παρατηρούμε πως η ζήτηση μεταβάλλεται σταδιακά κατά 50 μονάδες. Επιπλέον δεδομένου ότι ο Πίνακας 1.3 αφορά την κατανομή της εβδομαδιαίας ζήτησης και έχει μέγιστη τιμή το 250 και ότι ο Πίνακας 1.4 μελετά την κατανομή του χρόνου υστέρησης για τρεις εβδομάδες συνεπάγεται πως η μελέτη θα αφορά τη ζήτηση από 150 έως 750 μονάδες (250 3 = 750). Επομένως η ζήτηση κατά το χρόνο υστέρησης λαμβάνει τις εξής τιμές: 150, 200, 250, 300, 350,, 750 (Πίνακας 1.5). Ακολουθεί ο υπολογισμός της πιθανότητας f DDLT(ddlt). Στο σημείο αυτό θα παραθέσουμε αναλυτικά τη διαδικασία υπολογισμού της πιθανότητας για μερικές ενδεικτικές τιμές της ζήτησης, δηλαδή για τις τιμές 150, 300, 400, και 550. ddlt = 150 Η ζήτηση 150 προκύπτει με βάση τον Πίνακα 1.3 αποκλειστικά με ένα τρόπο (συνδυασμό), συγκεκριμένα όταν ddlt = ,3 0,25 1 0,3 0, Οι παράγοντες της παραπάνω συνάρτησης που ενδεχομένως επιδέχονται περισσότερης εξήγησης είναι ο P(M=1) και ο συνδυασμός 1. Όσον αφορά το P(M=1), προκύπτει από το 1 γεγονός ότι απαιτείται μια εβδομάδα για να επιτευχθεί αυτή η ζήτηση ενώ ο συνδυασμός 1 προκύπτει επειδή επίσης μια βδομάδα απαιτείται για να επιτευχθεί αυτή η ζήτηση και 1 επειδή ο μέγιστος αριθμός εμφάνισης της ίδιας ζήτησης είναι πάλι μονάδα. ddlt = 300 Η ζήτηση 300 προκύπτει με βάση τον Πίνακα 1.3 αποκλειστικά με ένα τρόπο (συνδυασμό), όταν ddlt = 150 x ,3 0,5 1 0,3 0, Όπως και προηγουμένως, οι παράγοντες της παραπάνω συνάρτησης που ενδεχομένως επιδέχονται περισσότερης εξήγησης είναι ο P(M=2) και ο συνδυασμός 2. Όσον αφορά το 2 P(M=2), προκύπτει από το γεγονός ότι απαιτούνται δύο εβδομάδες για να επιτευχθεί αυτή η ζήτηση ( ) ενώ ο συνδυασμός 2 προκύπτει επειδή επίσης δύο εβδομάδες 2 απαιτούνται για να επιτευχθεί αυτή η ζήτηση και επειδή ο μέγιστος αριθμός εμφάνισης της ίδιας ζήτησης είναι ίσος με το 2 ( 150 ). ddlt = 400 Η ζήτηση 400 προκύπτει με βάση τον Πίνακ 1.3 με δύο τρόπους, όταν ddlt = 200 x 2 και όταν ddlt=

56 ,4 2 0,3 0,3 0,5 0,16 0,18 0,5 0, ddlt = 550 Η ζήτηση 550 προκύπτει με βάση τον Πίνακα 1.3 με δύο τρόπους, όταν ddlt = 200 x και όταν ddlt=150 x ,4 0,3 3 0,3 0,3 0,25 3 0, ,027 0,75 0,075 0,05625 Ομοίως προκύπτουν και οι υπόλοιπες πιθανότητες. Η αθροιστική πυκνότητα πιθανότητας προκύπτει αθροίζοντας τις προηγούμενες πιθανότητες. Για παράδειγμα δεδομένου ότι πλέον η στήλη των πιθανοτήτων f DDLT(ddlt) είναι γνωστή, το F DDLT(150) = f DDLT(150) = 0,075, το F DDLT(150) = f DDLT(150) + f DDLT(200) = 0,075+0,100=0,175 και ούτω καθεξής. Τέλος, υπολογίζεται ο αναμενόμενος αριθμός μονάδων σε έλλειψη κατά τη διάρκεια του χρόνου ανανέωσης των αποθεμάτων. Στο σημείο αυτό θα παραθέσουμε αναλυτικά τη διαδικασία υπολογισμού της παραμέτρου αυτής για μερικές ενδεικτικές τιμές της ζήτησης, δηλαδή για τις τιμές 700 και 550. ddlt = 700 EDDLT f ddlt = f f f f f , , , , Πίνακας 1.5: Υπολογισμός βασικών παραμέτρων για παράδειγμα μοντέλου πολλαπλών περιόδων. ddlt f DDLT(ddlt) F DDLT(ddlt) E(DDLT>ddlt) 150 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , b) Το επόμενο βήμα είναι η εφαρμογή του αλγορίθμου που περιγράφεται αναλυτικά στην Εικόνα Συνοπτικά ο αλγόριθμος αυτός περιλαμβάνει τον υπολογισμό του ζεύγους αριθμού αποθεμάτων και σημείου αναπαραγγελίας που ελαχιστοποιεί τη συνολική συνάρτηση κόστους. Η διαδικασία εύρεσης του ζεύγος που πραγματοποιείται είναι επαναληπτική και θεωρείται επιτυχής όταν είτε το Q είτε το ROP δύο διαδοχικών επαναλήψεων είναι ίδιο. 56

57 Αρχικοποίηση Υπολογισμός του πρώτου ζεύγος Q και ROP. Το Q δίνεται από τον απλούστερο τύπο διαχείρισης αποθεμάτων, δηλαδή: Η τιμή του ROP δίνεται προκύπτει έμμεσα από την ακόλουθη συνθήκη F ROP 1. Συγκεκριμένα, F ROP 1 1 0,6. Από τον Πίνακα 1.5 προκύπτει γνωρίζουμε πως το ddlt κυμαίνεται ανάμεσα στο 400 και 450 καθώς F DDLT(400) = 0,585 και F DDLT(450) = 0, Λαμβάνουμε τη μεγαλύτερη τιμή από τις δύο και επομένως προκύπτει πως ROP = 450. Συνεπώς το πρώτο ζευγάρι είναι (Q = 800, ROP = 450). Eπανάληψη Υπολογισμός του δεύτερου ζεύγους Q 1 και ROP 1. Το Q δίνεται πλέον από τον τύπο (Ι) Στρογγυλοποιούμε προς την πλησιέστερη πενηντάδα και προκύπτει πως Q 1 = 900. Η τιμή του ROP δίνεται ως εξής: F ROP 1 C Q ,55 C R Από τον Πίνακα 1.5 προκύπτει γνωρίζουμε πως το ddlt κυμαίνεται ανάμεσα στο 350 και 400 καθώς F DDLT(350) = 0,41500και F DDLT(400) = 0, Λαμβάνουμε τη μεγαλύτερη τιμή από τις δύο και επομένως προκύπτει πως ROP 1 = 400. Συνεπώς το δεύτερο ζευγάρι είναι (Q 1 = 900, ROP 1 = 400). Έλεγχος Στο βήμα αυτό ελέγχεται αν οι τιμές του Q ή του ROP είναι ίδιες για δύο διαδοχικά ζεύγη λύσεις. Το πρώτο ζεύγος είναι το (Q = 800, ROP = 450) και το δεύτερο το (Q 1 = 900, ROP 1 = 400). Επειδή το Q Q 1 και το ROP ROP 1 συνεπάγεται πως το ζεύγος (Q 1 = 900, ROP 1 = 400) δεν είναι η βέλτιστη λύση και άρα θα πρέπει να υπολογιστούν εκ νέου τα Q και ROP. Eπανάληψη Υπολογισμός του τρίτου ζεύγους Q 2 και ROP 2.,, 939,1 Στρογγυλοποιούμε προς την πλησιέστερη πενηντάδα και προκύπτει πως Q 2 = 950. Η τιμή του ROP δίνεται ως εξής: F ROP 1 C Q ,525 C R Από τον Πίνακα 1.5 προκύπτει γνωρίζουμε πως το ddlt κυμαίνεται ανάμεσα στο 350 και 400 καθώς F DDLT(350) = 0,41500και F DDLT(400) = 0, Λαμβάνουμε τη μεγαλύτερη τιμή από τις δύο και επομένως προκύπτει πως ROP 2 = 400. Συνεπώς το δεύτερο ζευγάρι είναι (Q 2 = 950, ROP 2 = 400). Έλεγχος 57

58 Το πρώτο ζεύγος είναι το (Q 1 = 900, ROP 1 = 400) και το δεύτερο το (Q 2 = 900, ROP 2 = 400). Παρατηρούμε πως το ROP 1 = ROP 2 και ως εκ τούτου η λύση που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος είναι το ζεύγος (Q 2 = 950, ROP 2 = 400). c) Το τελευταίο βήμα είναι η αξιολόγηση του ζεύγους που υπολογίστηκε ως βέλτιστο. Συγκεκριμένα λόγω των διαδοχικών στρογγυλοποιήσεων που πραγματοποιήθηκαν, θα υπολογιστεί η τιμή του συνολικού κόστους για το βέλτιστο ζεύγος καθώς και για τιμές γύρω από αυτό. Οι τιμές των (Q, ROP) οι οποίες ελέγχονται και τα υπολογιζόμενα στοιχεία κόστους φαίνονται στον Πίνακα 1.6. Ενδεικτικά υπολογίζουμε το συνολικό κόστος για δύο ζεύγη (Q, ROP). (Q, ROP) = (900, 350), (Q, ROP) = (950, 400) , , , Σημειώνεται πως η μέση τιμή της ζήτησης στο χρόνο υστέρησης δίνεται EDDLT ddlt f ddlt και είναι ίση με 400. Πίνακας 1.6: Υπολογισμός ζευγών Q, ROP και αντίστοιχου κόστους για το παράδειγμα μοντέλου πολλαπλών περιόδων. ROP Q E[C(Q,ROP)] Παρατηρώντας προσεκτικά τον Πίνακα 1.6 προκύπτει πως όντως το ζευγάρι (Q, ROP) που δίνει το ελάχιστο κόστος είναι το (950, 400). Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.34). Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 1.35). 58

59 =SQRT(2*$G$14*($G$12+$G$13*G24)/$G$11 =SQRT(2*G14*G12/G11) =1-($G$11*L12)/($G$13*$G$14) =IF(OR(L12= L13,N12=N13 ),"MATCH", "NO MATCH") =ROUND($G$12*$G$14/M22+$G$11*(M22/2+L22- $I$31)+$G$13*$G$14*G22/M22,0) Εικόνα 1.34: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για το μοντέλο πολλαπλών περιόδων. Εικόνα 1.35: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για το μοντέλο πολλαπλών περιόδων. 59

60 1.5 Χρονική τοποθέτηση παραγγελίας Στις προηγούμενες παραγράφους παρουσιάστηκαν διάφορα μοντέλα της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας και μελετήθηκε κυρίως το ύψος της παραγγελίας. Στην ενότητα αυτή θα εξεταστεί μια άλλη, εξίσου σημαντική πτυχή της διαχείρισης αποθεμάτων ο χρόνος τοποθέτησης μιας παραγγελίας. Στην περίπτωση που οι παραγγελίες φτάνουν στιγμιαία και η ζήτηση είναι σταθερή και προβλέψιμη, η πραγματοποίηση μιας παραγγελίας ανανέωσης αποθεμάτων γίνεται τη στιγμή που το επίπεδο αποθεμάτων είναι μηδέν και δεν παρουσιάζεται έλλειμμα προϊόντων. Αντίθετα, στην περίπτωση που απαιτείται παρέλευση κάποιου χρονικού διαστήματος μεταξύ της παραγγελίας και της άφιξης της, απαιτείται να ληφθεί υπόψη αυτή η χρονική υστέρηση ώστε να υπολογιστεί ο σωστός χρόνος για την τοποθέτηση μιας παραγγελίας. Υπάρχουν οι εξής δύο τρόποι ορισμού της χρονικής τοποθέτησης μιας παραγγελίας: Το σημείο αναπαραγγελίας (reorder point ROP) που ορίζεται ως το σημείο εκείνο στο οποίο το απόθεμα μηδενίζεται μείον τον χρόνο υστέρησης της παραγγελίας. Το επίπεδο αναπαραγγελίας (reorder level ROL) που ορίζεται ως εκείνο το επίπεδο αποθεμάτων κατά το οποίο τοποθετείται μια νέα παραγγελία ανανέωσης αποθεμάτων. Για παράδειγμα θα μπορούσε να είναι ROL = 200 προϊόντα. Από τους προαναφερθέντες τρόπους, ο πιο συνήθης τρόπος ορισμού είναι το σημείο αναπαραγγελίας. Πριν να προχωρήσουμε με τον ορισμό του σημείου αναπαραγγελίας θα αναφέρουμε δύο σημαντικές έννοιες το απόθεμα ασφαλείας και το επίπεδο εξυπηρέτησης. Απόθεμα Ασφάλειας Έως τώρα έχουμε θεωρήσει πως η παραγγελία πάντα πραγματοποιείται όταν το επίπεδο αποθέματος φτάσει στο σημείο αναπαραγγελίας. Κατά τη διάρκεια του χρόνου υστέρησης το υπόλοιπο απόθεμα εξαντλείται με σταθερό ρυθμό ίσο με τον ρυθμό της ζήτησης, έτσι ώστε η παραγγελία να φτάσει τη χρονική στιγμή που το απόθεμα θα μηδενιστεί (Γιοβάνης, Α., 2008). Στην πραγματικότητα η ζήτηση και σε μικρότερο βαθμό ο χρόνος υστέρησης είναι στοχαστικές ποσότητες. Το απόθεμα μπορεί να εξαντλείται με μικρότερο ή μεγαλύτερο ρυθμό στη διάρκεια του χρόνου υστέρησης. Στην Εικόνα 1.36 απεικονίζεται η περίπτωση αβέβαιης ζήτησης και σταθερής χρονικής υστέρησης. Στην εικόνα αυτή, στο 2 ο κύκλο παρατηρείται «αρνητικό» απόθεμα δηλ. ζήτηση που δεν εξυπηρετείται ή δηλαδή ζήτηση που υπερβαίνει τα διαθέσιμα αποθέματα. Μια λύση για την αποτροπή αρνητικού αποθέματος είναι η δημιουργία και συντήρηση ενός επιπλέον αποθέματος που ονομάζεται απόθεμα ασφαλείας (safety stock) και έχει ως μοναδικό στόχο την αντιμετώπιση ελλείψεων σε αποθέματα κατά τη διάρκεια του χρόνου υστέρησης (Εικόνα 1.37) (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008). Σηµείο Αναπαραγγελίας, R Απόθεµα Ασφαλείας Εικόνα 1.36: Μεταβλητή ζήτηση με Σημείο Αναπαραγγελίας (Russel, R., and Taylor, T., 2006). 0 Χρόνος Υστέρησης Χρόνος Εικόνα 1.37: Μεταβλητή ζήτηση με Απόθεμα Ασφαλείας (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Επίπεδο Εξυπηρέτησης Υπάρχουν πολύ τρόποι για τον προσδιορισμό της ποσότητας που θα κρατηθεί ως απόθεμα ασφαλείας. Ο πιο διαδεδομένος τρόπος είναι ο προσδιορισμός του αποθέματος ασφαλείας που θα ικανοποιεί ένα συγκεκριμένο επίπεδο εξυπηρέτησης (service level) (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Γιοβάνης, Α., 2008). Το επίπεδο εξυπηρέτησης εκφράζει τη πιθανότητα ότι το διατηρούμενο απόθεμα μπορεί να καλύψει την αναμενόμενη ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου υστέρησης. Ένα επίπεδο εξυπηρέτησης 90% σημαίνει ότι η πιθανότητα κάλυψης της ζήτησης κατά τη διάρκεια του 60

61 χρόνου υστέρησης είναι 0,9, ενώ η πιθανότητα μη κάλυψης της ζήτησης είναι 0,1. Το επίπεδο εξυπηρέτησης είναι πολιτική απόφαση που σχετίζεται με το κόστος αποθεματοποίησης και το κόστος χαμένων πωλήσεων (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Ακολουθεί συνοπτική παρουσίαση των βασικών τύπων ορισμού του σημείου αναπαραγγελίας για περιπτώσεις σταθερής και μεταβλητής ζήτησης και χρόνου υστέρησης και χωρίς ή με απόθεμα ασφαλείας. Χωρίς απόθεμα ασφαλείας Σταθερή Ζήτηση και Χρόνος Υστέρησης Το σημείο αναπαραγγελίας δίνεται από τον τύπο: R d L όπου d = ρυθμός ζήτησης ανά περίοδο (π.χ. ημερήσιος) και L = χρόνος υστέρησης (lead time) Με απόθεμα ασφαλείας Για τον υπολογισμό του σημείου αναπαραγγελίας με απόθεμα ασφαλείας που θα καλύπτει ένα συγκεκριμένο επίπεδο εξυπηρέτησης θεωρούμε πως ισχύει γενικά πως: R Ζήτηση Απόθεµα Ασφαλείας Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις οι οποίες συνεισφέρουν στη μεταβλητότητα της ζήτησης κατά το χρόνο υστέρησης: η κυμαινόμενη ζήτηση, ο κυμαινόμενος χρόνος υστέρησης και ο συνδυασμός κυμαινόμενης ζήτησης και κυμαινόμενου χρόνου υστέρησης. Κυμαινόμενη Ζήτηση και Σταθερός Χρόνος Υστέρησης Στην περίπτωση αυτή το σημείο αναπαραγγελίας προκύπτει από τον ακόλουθο τύπο: R d L z σ L όπου d είναι η αναμενόμενη ημερήσια ζήτηση L είναι ο χρόνος υστέρησης σ είναι η τυπική απόκλιση της ημερήσιας ζήτησης z είναι αριθμός της τυπικής απόκλισης που αντιστοιχεί στο επίπεδο εξυπηρέτησης Σταθερή Ζήτηση και Κυμαινόμενος Χρόνος Υστέρησης Στην περίπτωση αυτή το σημείο αναπαραγγελίας προκύπτει από τον ακόλουθο τύπο: R d L z d σ όπου d είναι η σταθερή ημερήσια ζήτηση L είναι ο αναμενόμενος χρόνος υστέρησης σ είναι η τυπική απόκλιση του χρόνου υστέρησης z είναι αριθμός της τυπικής απόκλισης που αντιστοιχεί στο επίπεδο εξυπηρέτησης Κυμαινόμενη Ζήτηση και Κυμαινόμενος Χρόνος Υστέρησης Στην περίπτωση αυτή το σημείο αναπαραγγελίας προκύπτει από τον ακόλουθο τύπο: R d L z σ L d σ Παραδείγματα Σημείο Αναπαραγγελίας για βασικό μοντέλο EOQ Θεωρούμε ένα κατάστημα λιανικής υποδημάτων το οποίο λειτουργεί 311 μέρες το χρόνο, έχει ετήσια ζήτηση 7200 ζευγάρια υποδήματα ετησίως και ο χρόνος υστέρησης είναι 5 ημέρες. Στόχος είναι να υπολογιστεί το σημείο αναπαραγγελίας. Μαθηματική Επίλυση: R d L , Παράδειγμα 61

62 Ένα κατάστημα πώλησης μοκετών κρατά απόθεμα στην αποθήκη του μέσω του οποίου εξυπηρετεί τους πελάτες. Η ημερήσια ζήτηση για ένα είδος μοκέτας είναι κανονικά κατανεμημένη με μέσο 30 μέτρα και τυπική απόκλιση 5 μέτρα. Ο χρόνος παράδοσης μιας παραγγελίας είναι 10 ημέρες. Προσδιορίστε το σημείο αναπαραγγελίας και το απόθεμα ασφαλείας που πρέπει να διατηρεί η επιχείρηση αν το επίπεδο εξυπηρέτησης είναι 95%. Μαθηματική Επίλυση Το z προσδιορίστηκε με την χρήση των πινάκων της τυπικής κανονικής κατανομής (για επίπεδο εξυπηρέτησης 95% z=1,65). Το σημείο αναπαραγγελίας δίνεται από τη σχέση: R d L z σ L , ,1 μέτρα Το απόθεμα ασφαλείας δίνεται από τη σχέση: R z σ L 1, ,1 μέτρα 62

63 1.6 Ποσότητα παραγγελίας για σύστημα σταθερής περιόδου παραγγελίας Στο κεφάλαιο αυτό μελετήθηκαν μέχρι τώρα μοντέλα σταθερής ποσότητας παραγγελίας σύμφωνα με τα οποία, όπως προκύπτει άλλωστε και από το όνομά τους, η ποσότητα παραγγελίας είναι σταθερή ενώ μεταβάλλεται ο χρόνος μεταξύ των παραγγελιών. Τα συστήματα αυτά είναι τα πιο κοινά χρησιμοποιούμενα. Παρόλα αυτά υπάρχουν και τα συστήματα σταθερής περιόδου παραγγελίας όπου ο χρόνος μεταξύ των παραγγελιών είναι σταθερός αλλά το μέγεθος της παραγγελίας μεταβάλλεται. Το σύστημα αυτό εφαρμόζεται σε καταστήματα διαφορετικού είδους όπως τα φαρμακεία όπου ο προμηθευτής πραγματοποιεί περιοδικές επισκέψεις στα καταστήματα κατά τη διάρκεια των οποίων καταγράφει τα αποθέματα και βάσει αυτών τοποθετεί την καινούρια παραγγελία ώστε να ανέλθουν τα αποθέματα των προϊόντων στο επιθυμητό επίπεδο (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Επειδή όμως στα συστήματα αυτά ενδέχεται να εξαντληθούν τα προϊόντα πριν την καθιερωμένη επίσκεψη του προμηθευτή, συνήθως διατηρούνται υψηλότερα αποθέματα σε σχέση με τα συστήματα σταθερής ποσότητας παραγγελίας. Ποσότητα παραγγελίας με μεταβλητή ζήτηση Στην περίπτωση που η ζήτηση και ο χρόνος υστέρησης είναι σταθερά, το σύστημα σταθερής περιόδου ορίζει μια καθορισμένη ποσότητα παραγγελίας που πραγματοποιείται σε καθορισμένα χρονικά διαστήματα, το οποίο είναι το ίδιο με το σύστημα σταθερής παραγγελίας. Εντούτοις, τα συστήματα αυτά αντιδρούν διαφορετικά στην περίπτωση μεταβλητής ζήτησης. Συγκεκριμένα, το μέγεθος της παραγγελίας για ένα σύστημα σταθερής περιόδου όπου η ζήτηση μεταβάλλεται και ακολουθεί κανονική κατανομή ορίζεται από τον ακόλουθο τύπο: Q d t L z σ t L I όπου d είναι η αναμενόμενη ημερήσια ζήτηση L είναι ο χρόνος υστέρησης σ είναι η τυπική απόκλιση της ημερήσιας ζήτησης t είναι η σταθερή περίοδος παραγγελίας (χρόνος μεταξύ παραγγελιών) z είναι αριθμός της τυπικής απόκλισης που αντιστοιχεί στο επίπεδο εξυπηρέτησης I ποσότητα διαθέσιμου αποθέματος Παράδειγμα: Ένα φαρμακείο διατηρεί αποθέματα για όλα τα προϊόντα του. Συγκεκριμένα, για ένα προϊόν αντηλιακής προστασίας, η μέση ζήτηση είναι 6 προϊόντα ανά ημέρα, με μια σταθερή απόκλιση 1.2 προϊόντων. Ο προμηθευτής του φαρμακείου ελέγχει το απόθεμα κάθε 60 ημέρες. Κατά τη διάρκεια μιας επίσκεψης το φαρμακείο είχε 8 αντικείμενα από το συγκεκριμένο προϊόν στο απόθεμα. Επίσης ο χρόνος υστέρησης είναι 5 ημέρες. Σκοπός είναι να καθοριστεί το μέγεθος της παραγγελίας για αυτήν την περίοδο διαταγής που θα επιτρέψει στο φαρμακείο να διατηρεί ένα επίπεδο εξυπηρέτησης 95 τοις εκατό. Μαθηματική Επίλυση Από την εκφώνηση προκύπτει πως οι τιμές των παραμέτρων είναι οι ακόλουθες: d 6 προϊόντα ανά ημέρα L = 5 ημέρες σ 1,2 προϊόντα t 60 ημέρες z=1,65 για επίπεδο εξυπηρέτησης 95% I=8 προϊόντα Q d t L z σ t L I ,65 1, ,9 προϊόντα 63

64 2 Πρόβλεψη Στο κεφάλαιο αυτό μελετάται το ζήτημα της πρόβλεψης της ζήτησης. Η ακριβής πρόβλεψη της ζήτησης επιδρά στο επίπεδο εξυπηρέτησης των πελατών αλλά και στον όγκο των διατηρούμενων αποθεμάτων δεσμευμένου κεφαλαίου μια επιχείρησης. Στα πλαίσια της πρόβλεψης, εξετάζονται οι βασικότερες μέθοδοι χρονικής σειράς, η μέθοδος απλής γραμμικής παλινδρόμησης και η μέθοδος πρόβλεψης για καινούρια προϊόντα. Αναλυτικότερα, τα περιεχόμενα του κεφαλαίου φαίνονται στην Εικόνα 2.1. Εικόνα 2.1: Σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου του Κεφαλαίου Εισαγωγή Η πρόβλεψη είναι μια εικασία της έκβασης μελλοντικών γεγονότων. Έτσι, οι μετεωρολόγοι προβλέπουν τον καιρό, οι αθλητικοί δημοσιογράφοι την έκβαση των αγώνων και οι επιχειρήσεις επιχειρούν να προβλέψουν τις πωλήσεις ενός προϊόντος. Η πρόβλεψη της ζήτησης ενός προϊόντος αποτελεί τη βάση για τις περισσότερες σημαντικές αποφάσεις προγραμματισμού όπως ο σχεδιασμός, τα αποθέματα και η παραγωγή. Αυτές οι αποφάσεις ορίζονται από τις επιθυμίες ζήτηση των πελατών (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Η πρόβλεψη είναι κρίσιμη σε ένα περιβάλλον διοίκησης ολικής ποιότητας (Δ.Ο.Π.) καθώς πλέον η πλειοψηφία των πελατών αντιλαμβάνεται την καλή ποιότητας υπηρεσία ως άμεση παράδοση του επιθυμητού προϊόντος. Αυτό ισχύει τόσο για τις κατασκευαστικές όσο και για τις εταιρείες παροχής υπηρεσιών. Η ακριβής πρόβλεψη της ζήτησης των πελατών αποτελεί συνεπώς κρίσιμο τμήμα της παροχής υψηλής ποιότητας υπηρεσιών (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Η συνεχής ανανέωση των προϊόντων και το JIT (Just-In-Time) αποτελούν συμπληρωματικές έννοιες για το Δ.Ο.Π.. To JIT είναι ένα σύστημα διαχείρισης αποθεμάτων όπου τα συστατικά μέρη ενός προϊόντος παράγονται ακριβώς τη στιγμή που χρειάζεται. Αυτό εξαλείφει την ανάγκη για τη διατήρηση αποθεμάτων και έτσι επιτυγχάνεται μείωση των δαπανών διατήρησης αποθεμάτων καθώς και αποβλήτων που είναι και βασικός στόχος του Δ.Ο.Π.. Είναι προφανές

65 όμως πως για να λειτουργήσει επιτυχώς ένα τέτοιο σύστημα είναι απαραίτητη η ακριβής πρόβλεψη. Ιδιαίτερα σημαντικός είναι ο ρόλος που καλούνται να διαδραματίσουν οι προμηθευτές καθώς πρέπει να παρέχουν τα προϊόντα τους όταν είναι απαραίτητο. Αποτυχία στην ικανοποίηση των παραγγελιών αποτελεί παραβίαση των αρχών της Δ.Ο.Π. και θεωρείται ως χαμηλής ποιότητας υπηρεσία. Επομένως, η Δ.Ο.Π. απαιτεί μια καλά συντονισμένη, αποδοτική διαδικασία παραγωγής, χωρίς ατέλειες, με ελάχιστα αποθέματα, και μηδενικές απώλειες. Κατά αυτόν τον τρόπο οι δαπάνες μειώνονται. Προκύπτει λοιπόν εύλογα πως η ακριβής πρόβλεψη είναι ουσιαστική για τη διατήρηση αυτού του τύπου διαδικασίας (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Η πρόβλεψη όμως είναι μια αβέβαιη και επιρρεπής σε σφάλματα διαδικασία, καθώς όπως είναι φυσικό δεν είναι δυνατό να προβλεφθεί με συνέπεια το μέλλον. Οι διοικήσεις των επιχειρήσεων βρίσκονται σε ένα διαρκή αγώνα προκειμένου να προβλέψουν με όσο το δυνατόν περισσότερη ακρίβεια τη ζήτηση των πελατών, γεγονός που καθίσταται ολοένα και πιο δύσκολο εξαιτίας της πληθώρας των επιλογών και της καλύτερης πληροφόρησης. Οι πελάτες πλέον απαιτούν και λαμβάνουν μεγαλύτερη ποικιλομορφία προϊόντων, που είναι δυνατή λόγω της ταχείας τεχνολογικής προόδου με αποτέλεσμα οι προβλέψεις των προϊόντων να γίνονται δυσκολότερες (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Επιπρόσθετα, οι προβλέψεις συντελούν αποφασιστικά στον καθορισμό της ποσότητας του απαιτούμενου αποθέματος, του παραγόμενου προϊόντος και των προμηθειών. Οι ποσότητες αυτές θα πρέπει να επαρκούν ώστε και να καλύπτονται οι ανάγκες των πελατών και να γίνεται ορθή διαχείριση των αποθεμάτων ώστε να ελαχιστοποιείται το συνδεδεμένο με αυτά κόστος. Χωρίς ακριβείς προβλέψεις θα πρέπει να διατηρούνται μεγάλα αποθέματα, που ενέχουν και κόστος αλλά και κίνδυνο, σε κάθε στάδιο της αλυσίδας εφοδιασμού για να αντισταθμίσουν την αβεβαιότητα της ζήτησης των πελατών. Αντιστοίχως, οι ελλείψεις σε αποθέματα πλήττουν την ανταγωνιστικότητα της επιχείρησης καθώς στο σύγχρονο επιχειρησιακό περιβάλλον η εξυπηρέτηση πελατών και η έγκαιρη παράδοση είναι κρίσιμοι παράγοντες (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Αβίαστα λοιπόν προκύπτει το συμπέρασμα πως η βιωσιμότητα μιας επιχείρησης συνδέεται στενά με τις ικανότητες της διοίκησης στην πρόβλεψη του μέλλοντος και στην ανάπτυξη των κατάλληλων στρατηγικών. Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιαστούν διάφορες μέθοδοι που μπορούν να βοηθήσουν στην πρόβλεψη μελλοντικών πτυχών μιας επιχειρηματικής λειτουργίας (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Στρατηγικός προγραμματισμός Η έννοια του στρατηγικού προγραμματισμού είναι συνυφασμένη με την πρόβλεψη. Ο κυριότερος στόχος του στρατηγικού προγραμματισμού είναι να καθοριστεί η θέση της επιχείρησης στο μέλλον, δηλαδή ποιες αγορές θα ανταγωνιστεί, με ποια προϊόντα ώστε να είναι επιτυχής και να επεκταθεί. Η απάντηση στα ερωτήματα αυτά προϋποθέτει γνώση των νέων προϊόντων που θα είναι ελκυστικά στους πελάτες, τον αριθμό τους καθώς και το επίπεδο ποιότητας και τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που αναμένεται να έχουν. Η πρόβλεψη απαντά σε αυτές τις ερωτήσεις και αποτελεί το κλειδί για τη μακροπρόθεσμη ανταγωνιστικότητα και επιτυχία μιας επιχείρησης (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Συστατικά στοιχεία της πρόβλεψης της ζήτησης Ο τύπος της μεθόδου πρόβλεψης εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, συμπεριλαμβανομένου του χρονικού πλαισίου της πρόβλεψης (δηλ., το χρονικό διάστημα που αφορά η πρόβλεψη), της συμπεριφοράς της ζήτησης, και της πιθανής ύπαρξης αναγνωρίσιμων, επαναλαμβανόμενων δομών ( όπως τάσεις και εποχικότητα), και των αιτιών της συμπεριφοράς της ζήτησης (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Χρονικό πλαίσιο Οι προβλέψεις είναι είτε μικρής- μεσαίας, είτε μεγάλης χρονικής εμβέλειας. Οι περιορισμένης εμβέλειας (μικρής ή μεσαίας) προβλέψεις αφορούν συνήθως τη καθημερινή, εβδομαδιαία, ή μηνιαία ζήτηση προϊόντων μέχρι και περίπου τα δύο επόμενα έτη, ανάλογα με την επιχείρηση και τον τύπο βιομηχανίας. Χρησιμοποιούνται πρωτίστως για να καθορίσουν τα προγράμματα παραγωγής και παράδοσης και για να καθιερώσουν τα επίπεδα αποθεμάτων. Οι μεγάλης εμβέλειας προβλέψεις αφορούν περιόδους συνήθως μεγαλύτερες των δύο ετών και αφορούν το στρατηγικό προγραμματισμό καθορισμό μακροπρόθεσμων στόχων, προγραμματισμό νέων 65

66 προϊόντων για τις μεταβαλλόμενες αγορές, είσοδος σε νέες αγορές, ανάπτυξη νέων εγκαταστάσεων, νέων τεχνολογιών, και εφαρμογή στρατηγικών προγραμμάτων όπως η Δ.Ο.Π. (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Η ταξινόμηση βάσει του χρονικού πλαισίου είναι αρκετά γενική και η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των σύντομων και μεγάλης εμβέλειας προβλέψεων δεν είναι πάντα ευδιάκριτη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός πως ενώ για μερικές επιχειρήσεις μια περιορισμένου εμβέλειας πρόβλεψη μπορεί να είναι αρκετά έτη, για άλλες εταιρίες μπορεί να είναι μερικοί μήνες. Η εμβέλεια μιας πρόβλεψης εξαρτάται από πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η αγορά μέσα στην οποία δραστηριοποιείται η εκάστοτε επιχείρηση και από τόσο πόσο ευαίσθητη είναι η συγκεκριμένη αγορά στις τεχνολογικές αλλαγές (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Συμπεριφορά ζήτησης Χρησιμοποιώντας τα ιστορικά στοιχεία είναι δυνατό να προσδιοριστεί το επίπεδο πωλήσεων και να καθοριστεί η ύπαρξη ή όχι οποιασδήποτε τάσης, όπως μια αύξηση ή μια μείωση στον όγκο πωλήσεων με την πάροδο του χρόνου ή μιας εποχιακά επαναλαμβανόμενης τάσης. Με την αναθεώρηση των ιστορικών στοιχείων με την πάροδο του χρόνου μπορεί κανείς να κατανοήσει καλύτερα τον τρόπο μεταβολής των προηγούμενων πωλήσεων και ως εκ τούτου τη μεταβολή των πωλήσεων στο μέλλον. Η ιστορική μορφή στοιχείων πωλήσεων καλείται χρονική σειρά. Το σύνολο των παρατηρήσεων των στοιχείων πωλήσεων που έχουν ληφθεί σε τακτά διαδοχικά χρονικά διαστήματα καλείται χρονική σειρά. Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστούν διάφορες διαδικασίες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην ανάλυση στοιχείων χρονικής σειράς. Στόχος της ανάλυσης αυτής είναι να παρασχεθούν ικανοποιητικές προβλέψεις των μελλοντικών τιμών της χρονικής σειράς (Anderson, D.R., et al., 1991). Προκειμένου να γίνει κατανοητή η συμπεριφορά των στοιχείων σε μια χρονική σειρά, είναι συχνά χρήσιμο να θεωρήσει κανείς ότι η χρονική σειρά αποτελείται από διάφορα στοιχεία. Η πιο συνήθης παραδοχή είναι ότι υπάρχουν τέσσερα τέτοια στοιχεία: η τάση (Εικόνα 2.2), η κυκλική κύμανση (Εικόνα 2.3), η εποχιακή (Εικόνα 2.4) και η ακανόνιστη μεταβολή (Εικόνα 2.9), τα οποία συνδυάζονται μεταξύ τους κατά τέτοιο τρόπο ώστε μια χρονική σειρά να λάβει τις τελικές της τιμές (Anderson, D.R., et al., 1991). Συγκεκριμένα, οι πρώτοι τρεις τύποι χρονικών σειρών, αντιπροσωπεύουν δεδομένα που παρουσιάζουν προβλέψιμη συμπεριφορά τις οποίες η πρόβλεψη μπορεί να απεικονίσει ενώ ο τελευταίος τύπος δεδομένα που συμπεριφέρονται με έναν τυχαίο, ακανόνιστο τρόπο (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Ακολουθεί αναλυτική παρουσίαση των τεσσάρων αυτών στοιχείων συστατικών μιας χρονικής σειράς. Εικόνα 2.2: Πρότυπο τάσης. Εικόνα 2.3: Κυκλικό πρότυπο. Εικόνα 2.4: Εποχιακό πρότυπο. Εικόνα 2.5: Πρότυπο τάσης με εποχιακές διακυμάνσεις. 66

67 2.1.5 Τάση Ενώ συνήθως οι χρονικές σειρές παρουσιάζουν τυχαίες μεταβολές, αν τις παρατηρήσει κανείς για μεγάλα χρονικά διαστήματα μπορεί να παρατηρήσει σταδιακές μεταβολές με ανοδική ή καθοδική πορεία. Οι μεταβολές του είδους αυτού οφείλονται συνήθως σε μακροπρόθεσμους παράγοντες όπως είναι κοινωνικές, δημογραφικές ή και τεχνολογικές αλλαγές και ορίζονται ως τάσεις (Anderson, D.R., et al., 1991). Χαρακτηριστικό παράδειγμα τάσης είναι η σταδιακά αυξανόμενη ζήτηση των υπολογιστών τις τελευταίες δεκαετίες. Συνήθως οι τάσεις είναι εύκολα ανιχνεύσιμες συμπεριφορές και αποτελούν το σημείο εκκίνησης της ανάπτυξης μοντέλων πρόβλεψης (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Παραδείγματα τάσεων απεικονίζονται στις Εικόνες Εικόνα 2.6: Γραμμική Τάση. Εικόνα 2.7: Γραμμική Φθίνουσα Τάση. Εικόνα 2.8: Μη τάση Εικόνα 2.9: Μη Γραμμική Τάση Κυκλική κύμανση Στην κυκλική κύμανση υπάρχουν αυξομειώσεις στη ζήτηση που επαναλαμβάνονται για μεγάλο χρονικό διάστημα (περισσότερο από έτος) (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Παραδείγματα κυκλικής ζήτησης είναι η ζήτηση για τον εξοπλισμό χειμερινού αθλητισμού που αυξάνει κάθε τέσσερα έτη πριν και μετά από τους Χειμερινούς Ολυμπιακούς Αγώνες καθώς η αυξημένη ζήτηση για οικοδομικά υλικά κατά τη διάρκεια περιόδων ανοικοδόμησης. Εποχιακή μεταβολή Η εποχιακή μεταβολή μπορεί να περιγραφεί ως ταλάντωση της ζήτησης που εμφανίζεται περιοδικά (στο εγγύς μέλλον) και είναι επαναλαμβανόμενη. Η μεταβολή αυτή συνήθως συνδέεται με μεταβολές στις καιρικές συνθήκες (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Για παράδειγμα, κάθε χειμώνα η ζήτηση για εξοπλισμό σκι. Αξίζει να αναφερθεί πως σε αντίθεση με την τάση και την κυκλική κύμανση όπου τα παρατηρούμενες τιμές αφορούν αρκετά έτη, στην περίπτωση της εποχιακής μεταβολής, οι μεταβολές στις τιμές παρατηρούνται εντός ενός έτους καθώς ένα εποχιακό σχέδιο μπορεί να μεταβάλλεται εβδομαδιαία ή και καθημερινά (Anderson, D.R., et al., 1991). Για παράδειγμα, μερικά εστιατόρια εμφανίζουν μεγαλύτερη πληρότητα τις μεσημεριανές ώρες από ότι τις βραδινές. Η ζήτηση, τις περισσότερες φορές, δε χαρακτηρίζεται από ένα τέτοιο σχέδιο (τάση, κυκλική και εποχιακή μεταβολή) αλλά προκύπτει ως συνδυασμός τους (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Για παράδειγμα, η ζήτηση για εξοπλισμό σκι αν και γενικά εντός της χρονιάς παρουσιάζει εποχιακή ζήτηση, αν παρατηρηθούν προσεκτικότερα οι πωλήσεις και για μεγαλύτερη χρονική περίοδος, θα παρατηρήσει κανείς εύκολα πως υπάρχει μια ανοδική τάση κατά τη διάρκεια της τελευταίας δεκαετίας. Η Εικόνα 2.5 επιδεικνύει το συνδυασμό δύο σχεδίων απαίτησης, μια τάση με ένα εποχιακό σχέδιο. Ακανόνιστες μεταβολές Τέλος, οι περιπτώσεις όπου η μεταβολή της συμπεριφοράς της ζήτησης δεν παρουσιάζει κάποια συγκεκριμένη δομή καλούνται ακανόνιστες μεταβολές (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Αυτού του τύπου οι μεταβολές θεωρούνται ως ο κύριος υπεύθυνος για τις αποκλίσεις των πραγματικών τιμών της χρονικής σειράς από τις αναμενόμενες λόγω της επίδρασης της τάσης, της κυκλικότητας και της εποχικότητας, και κατά συνέπεια είναι υπεύθυνες για την τυχαία μεταβλητότητα στη χρονική σειρά (Anderson, D.R., et al., 1991). Για παράδειγμα, μια τοπική πλημμύρα δύναται να προκαλέσει μια στιγμιαία αύξηση στην απαίτηση ταπήτων. Αν και αυτή η συμπεριφορά έχει μια αιτία και, επομένως, δεν είναι συνολικά τυχαία, δεν ακολουθεί κάποια συγκεκριμένη δομή και επομένως δε μπορεί να προβλεφθεί. 67

68 2.1.6 Διαδικασία πρόβλεψης Η πρόβλεψη δεν αποτελεί αποκλειστικά μια μέθοδο υπολογισμού της μελλοντικής ζήτησης. Είναι μια διαρκής διαδικασία που απαιτεί συνεχής έλεγχο και ρύθμιση (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Το πρώτο βήμα στη διαδικασία πρόβλεψης είναι η γραφική απεικόνιση των διαθέσιμων ιστορικών δεδομένων ζήτησης και η προσεκτική τους εξέταση προκειμένου να γίνει μια πρώτη εκτίμηση της κατάλληλης μεθόδου πρόβλεψης που εξηγεί επαρκώς τις παρατηρούμενες τιμές. Έπειτα, εφαρμόζονται διάφορα μέτρα σύγκρισης της ιστορικής ζήτησης με την πρόβλεψης προκειμένου να αξιολογηθεί η ακρίβεια της πρόβλεψης. Στις περιπτώσεις που η πρόβλεψη δεν φαίνεται να είναι ακριβής, δοκιμάζεται άλλη μέθοδος. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως ότου εντοπισθεί μια ακριβής μέθοδος πρόβλεψης. Για προβλέψεις πέρα από τον επιθυμητό ορίζοντα προγραμματισμού εμπλέκονται και άλλοι πιο πολύπλοκοι παράγοντες και συνεπώς είναι αναγκαίο προκειμένου να ενισχυθεί η ακρίβεια του μοντέλου να ενσωματωθούν σε αυτό παρατηρήσεις που προκύπτουν από την εμπειρία, την κρίση, τη γνώση της αγοράς, ή ακόμα και η διαίσθηση (Russel, R., and Taylor, T., 2006) Μέθοδοι πρόβλεψης Υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις στην πρόβλεψη οι ποιοτικές μέθοδοι πρόβλεψης που βασίζονται στην κρίση, τις απόψεις, την προηγούμενη εμπειρία, ή τις εικασίες και οι ποσοτικές μέθοδοι πρόβλεψης που μπορούν να βοηθήσουν τους διευθυντές να αξιολογήσουν τις τάσεις και τις αιτιώδεις σχέσεις και να λάβουν αποφάσεις προγραμματισμού για το μέλλον (Εικόνα 2.10). Αν και καμία προσέγγιση ή τεχνική δεν θα μπορεί να οδηγήσει σε μια ακριβή πρόβλεψη, ένας συνδυασμός ποιοτικών και ποσοτικών προσεγγίσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να συνδυαστούν οι απόψεις των ειδικών και τα μοντέλα πρόβλεψης (Slack, N., et al., 2007). Ποιοτικές μέθοδοι Οι ποιοτικές μέθοδοι πρόβλεψης χρησιμοποιούν γενικά την κρίση των εμπειρογνωμόνων για να κάνουν τις προβλέψεις και θεωρούνται ο πιο κοινός τύπος πρόβλεψης για λήψη αποφάσεων σχετικών με τη μακροπρόθεσμη διαδικασία στρατηγικού προγραμματισμού. Ένα πλεονέκτημα αυτών των διαδικασιών είναι ότι μπορούν να εφαρμοστούν στις περιπτώσεις όπου δεν είναι διαθέσιμα ιστορικά δεδομένα ή ακόμα και αν είναι, μια σημαντική αλλαγή στις περιβαλλοντικές συνθήκες έχει επιπτώσεις στη χρονική σειρά σε σημείο που καθιστά αμφισβητήσιμη τη χρήση των προηγούμενων δεδομένων στην πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της χρονικής σειράς. Οι πιο διαδεδομένες ποιοτικές μέθοδοι είναι η προσέγγιση επιτροπής (panel approach), η μέθοδος Delphi και o προγραμματισμός σεναρίου (scenario planning). i. Προσέγγιση επιτροπής Η προσέγγιση επιτροπής (Slack, N., et al., 2007) ενεργεί όπως μια ομάδα εστίασης που επιτρέπει σε κάθε μέλος της να εκφράσει ανοιχτά και ελεύθερα την άποψή του. Αν και υπάρχει το μεγάλο πλεονέκτημα της παράθεσης απόψεων από πολλούς και διαφορετικούς ανθρώπους, είναι συνήθως δύσκολο να επιτευχθεί συναίνεση, ή μερικές φορές είναι επικρατούν οι απόψεις των ατόμων με υψηλότερη θέση. ii. Μέθοδος Delphi Η μέθοδος αυτή είναι μια διαδικασία συλλογής απόψεων από πεπειραμένους εμπειρογνώμονες μέσω μιας σειράς ερωτηματολογίων που στόχο έχει την κατάληξη είτε σε μια μοναδική είτε σε μικρό εύρος απόψεων στα οποία συγκλίνουν οι ειδικοί σχετικά με γεγονότα που προβλέπεται να πραγματοποιηθούν στο μέλλον (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Στη συνήθης της μορφή η τεχνική περιλαμβάνει σύνολο ειδικών που βρίσκονται σε διαφορετικό χώρο ώστε να μειωθούν οι επιρροές από τις αλληλεπιδράσεις και καλούνται να αποκριθούν σε μια σειρά ερωτηματολογίων. Συγκεκριμένα η διαδικασία που ακολουθείται περιλαμβάνει τα εξής βήματα: α) οι ειδικοί καλούνται να συμπληρώσουν ένα πρώτο ερωτηματολόγιο, β) οι απαντήσεις από το πρώτο ερωτηματολόγιο ταξινομούνται σε πίνακες και χρησιμοποιούνται για να προετοιμάσουν ένα δεύτερο ερωτηματολόγιο που περιέχει τις πληροφορίες και τις απόψεις ολόκληρης της ομάδας, και γ) κάθε εναγόμενος καλείται επανεξετάζει και αναθεωρεί ενδεχομένως την προηγούμενη απάντησή του λαμβάνοντας υπόψη τις νέες πληροφορίες που του έχουν παρασχεθεί (Anderson, D.R., et al., 1991). Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται αρκετοί μέχρι είτε να καταλήξουν σε μια κοινή απόφαση είτε τουλάχιστον ένα στενότερο εύρος αποφάσεων (Slack, N., et al., 2007). 68

69 iii. Προγραμματισμός σεναρίου Η μέθοδος αυτή (Slack, N., et al., 2007) χρησιμοποιείται για καταστάσεις μεγαλύτερης αβεβαιότητας και εφαρμόζεται όπως και η μέθοδος προσέγγιση επιτροπής για μακροπρόθεσμες προβλέψεις. Τα μέλη της ομάδας καλούνται να επινοήσουν μια σειρά μελλοντικών σεναρίων βασισμένων σε ένα σαφώς καθορισμένο σύνολο υποθέσεων. Κάθε σενάριο έπειτα συζητείται και εξετάζονται οι έμφυτοι κίνδυνοι. Σε αντίθεση με τη μέθοδο Delphi, ο προγραμματισμός σεναρίου δεν ενδιαφέρεται απαραιτήτως για την κατάληξη σε μια συναινετική απόφαση αλλά για την εξέταση μιας σειράς επιλογών, την οργάνωσή τους ώστε να αποφευχθεί αυτή που είναι λιγότερη επιθυμητή και επιλεχθεί αντίστοιχα η καλύτερη. Ποσοτικές μέθοδοι Υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις στην ποιοτική πρόβλεψη: η ανάλυση χρονικής σειράς και αιτιολογικές τεχνικές. Γενικά, οι ποσοτικές μέθοδοι πρόβλεψης βασίζονται στην ανάλυση ιστορικών δεδομένων και χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση δεδομένων (Anderson, D.R., et al., 1991). Οι μέθοδοι χρονικής σειράς είναι στατιστικές τεχνικές που χρησιμοποιούν τα ιστορικά δεδομένα ζήτησης για να προβλέψουν τη μελλοντική ζήτηση. Αντίθετα, οι αιτιολογικές τεχνικές πρόβλεψης στοχεύουν στην ανάπτυξης μιας μαθηματικής σχέσης που περιγράφει και αξιολογεί τις σύνθετες σχέσεις αιτίας-αποτελέσματος μεταξύ των βασικών μεταβλητών. Από τις αιτιολογικές τεχνικές θα μελετηθεί μόνο η μέθοδος ανάλυσης απλής παλινδρόμησης (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Slack, N., et al., 2007; Anderson, D.R., et al., 1991). i. Ανάλυση χρονικής σειράς Οι απλές χρονικές σειρές (Slack, N., et al., 2007) απεικονίζουν μια μεταβλητή με την πάροδο του χρόνου, και έπειτα αφαιρώντας διάφορες διακυμάνσεις που οφείλονται σε διάφορα αίτια χρησιμοποιούνται για να προβλεφθεί η μελλοντική συμπεριφορά. Η βασική αδυναμία της προσέγγισης αυτής είναι ότι εξετάζει την προηγούμενη συμπεριφορά για να προβλέψει το μέλλον, αγνοώντας τις αιτιολογικές μεταβλητές που λαμβάνονται υπόψη σε άλλες μεθόδους όπως η αιτιολογικές ή οι ποιοτικές τεχνικές. ii. Αιτιολογικά μοντέλα Τα μοντέλα αυτά υιοθετούν συχνά σύνθετες τεχνικές για να γίνει κατανοητή η συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών και της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης. Τα απλά μοντέλα παλινδρόμησης προσπαθούν να εξάγουν τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Αντιστοιχα τα πιο σύνθετα δίκτυα περιλαμβάνουν πολλές μεταβλητές και σχέσεις όπου σχέση κάθε περιλαμβάνει ένα σύνολο υποθέσεων και περιορισμών. Στα πλαίσια της ανάπτυξης τέτοιων μοντέλων, αξιολόγησης της σημασίας των εμπλεκόμενων παραγόντων και κατανόησης του δικτύου των αλληλεξαρτήσεων έχει αναπτυχθεί πληθώρα τεχνικών (Slack, N., et al., 2007). Εικόνα 2.10: Γενική επισκόπηση μεθόδων πρόβλεψης (Anderson, D.R., et al., 1991). 69

70 Στις επόμενες ενότητες, θα παρουσιαστούν αναλυτικά μερικές από τις βασικότερες ποσοτικές μεθόδους πρόβλεψης. 2.2 Συμβολισμός βασικών εννοιών Με βάση όσα αναφέρθηκαν, προκύπτει πως στόχος των τεχνικών πρόβλεψης είναι να μπορούν οι επιχειρήσεις να χρησιμοποιούν αποτελεσματικά τις δυνατότητες των μηχανημάτων, να μειώνουν τους χρόνους παραγωγής και τα αποθέματα. Είναι εμφανές λοιπόν πως υπάρχει άμεση συσχέτιση στην διαχείριση αποθεμάτων και στην πρόβλεψη. Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε τους συμβολισμούς των βασικότερων εννοιών που σχετίζονται με την έννοια της πρόβλεψης και οι οποίοι θα διατηρηθούν σε ολόκληρη την ενότητα. Αριθμός περιόδου = t Πραγματική ζήτηση την περίοδο t = D t Πρόβλεψη ζήτησης για την περίοδο t = F t Συνολικός αριθμός περιόδων = n 70

71 2.3 Μετρικές Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν συνοπτικά κάποιες βασικές μετρικές της ακρίβειας πρόβλεψης καθώς και κάποιες μετρικές της σχέσης μεταξύ μεταβλητών Μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης Μια πρόβλεψη δεν είναι ποτέ απολύτως ακριβής. Αυτό σημαίνει πως οι προβλέψεις θα παρεκκλίνουν πάντα από την πραγματική ζήτηση. Αυτή η διαφορά μεταξύ της προβλεφθείσας και της πραγματικής τιμής καλείται λάθος πρόβλεψης (forecast error) (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Αν και το λάθος πρόβλεψης είναι αναπόφευκτο, ο στόχος είναι να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Ένας μεγάλος λάθος μπορεί να αποτελεί ένδειξη είτε χρήσης λανθασμένης τεχνικής πρόβλεψης είτε λανθασμένων παραμέτρων. Υπάρχουν διάφορες μετρικές του λάθους πρόβλεψης. Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν κάποιες από τις πιο δημοφιλείς μετρικές (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Σφάλμα Πρόβλεψης (Forecast Error) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (Squared Forecast Error) Μέση Απόλυτη Απόκλιση (Mean Absolute Deviation - MAD) Μέση Εκατοστιαία Απόλυτη Απόκλιση (Mean Absolute Percent Deviation - MAPD) Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (Mean Squared Error - MSE) Συσσωρευτικό σφάλμα (Cumulative Error) Μέσο ή εγγενές/ σύμφωνο σφάλμα (Average Error or Bias E) Ακολουθεί ορισμός των προαναφερθέντων μετρικών. Σφάλμα Πρόβλεψης (Forecast Error) Ως σφάλμα πρόβλεψης ορίζεται η διαφορά μεταξύ της πραγματικής τιμής και της τιμής πρόβλεψης. Το σφάλμα αυτό υπολογίζεται για κάθε περίοδο ξεχωριστά. Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (Squared Forecast Error) Ως τετραγωνικό σφάλμα πρόβλεψης ορίζεται το τετράγωνο του σφάλματος πρόβλεψης δηλαδή το τετράγωνο της διαφορά μεταξύ της πραγματικής τιμής και της τιμής πρόβλεψης. Το σφάλμα αυτό υπολογίζεται για κάθε περίοδο ξεχωριστά. Μέση Απόλυτη Απόκλιση (Mean Absolute Deviation - MAD) Η μέση απόλυτη απόκλιση, ή το MAD, είναι μία από τις δημοφιλείς και απλές μετρικές του λάθους πρόβλεψης (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Ορίζεται ως ο μέσος όρος της διαφοράς μεταξύ της πρόβλεψης και της πραγματικής ζήτησης, και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Αξίζει να παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό πως η τιμή του MAD από μόνη της δεν αποτελεί σίγουρη ένδειξη της ακρίβειας πρόβλεψης. Συγκεκριμένα θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι πραγματικές τιμές της ζήτησης. Γενικά όμως μικρή τιμή της MAD σημαίνει μικρό σφάλμα και συνεπώς καλή ακρίβεια πρόβλεψης. Μέση Εκατοστιαία Απόλυτη Απόκλιση (Mean Absolute Percent Deviation - MAPD) Η μετρική αυτή μετρά το απόλυτο σφάλμα ως ποσοστό της ζήτησης παρά ανά περίοδο (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Αυτό έχει ως άμεση συνέπεια να αποβάλλει το πρόβλημα της ερμηνείας της ακρίβειας πρόβλεψης σε σχέση με το μέγεθος των τιμών πραγματικής ζήτησης και πρόβλεψης της ζήτησης, όπως συμβαίνει με τη μέση απόλυτη απόκλιση. Η μέση εκατοστιαία απόλυτη απόκλιση δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (Mean Squared Error - MSE) 71

72 Ως μέσο τετραγωνικό σφάλμα πρόβλεψης ορίζεται ο μέσος όρος των τετραγωνικών σφαλμάτων πρόβλεψης και δίνεται από τον εξής τύπο: Η κυριότερη διαφορά μεταξύ των μετρικών MSE και MAD είναι ότι η MSE επηρεάζεται αρκετά περισσότερο από τα μεγάλα σφάλματα πρόβλεψης σε σχέση με τα μικρότερα. Συσσωρευτικό σφάλμα (Cumulative Error - Ε) Το συσσωρευτικό σφάλμα υπολογίζεται ως άθροισμα των σφαλμάτων πρόβλεψης (Russel, R., and Taylor, T., 2006), βάσει του ακόλουθου τύπου. Ένα μεγάλο θετικό συσσωρευτικό σφάλμα υποδεικνύει πως η πρόβλεψη είναι διαρκώς μικρότερη από την πραγματική τιμή, αντιθέτως μεγάλο αρνητικό σφάλμα συνεπάγεται πως η πρόβλεψη είναι συνήθως μεγαλύτερη από την πραγματική ζήτηση. Μέσο ή εγγενές/ σύμφωνο σφάλμα (Average Error or Bias Ē) Η μετρική αυτή σχετίζεται άμεσα με το συσσωρευτικό σφάλμα και ορίζεται ο μέσος όρος του συσσωρευτικού σφάλματος για ένα συγκεκριμένο αριθμό περιόδων (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Οι τιμές του μέσου σφάλματος ερμηνεύονται με παρόμοιο τρόπο με αυτές του συσσωρευτικού σφάλματος. Στα πλαίσια της μελέτης κάποιων βασικών μετρικών λάθους πρόβλεψης, θα παραθέσουμε ένα παράδειγμα που θα χρησιμοποιεί όλες τις προαναφερθείσες τεχνικές. Παράδειγμα Θεωρούμε μια επιχείρηση με εβδομαδιαία έσοδα που φαίνονται στον Πίνακα 2.1. Στον ίδιο πίνακα φαίνονται και οι προβλέψεις που έχουν προκύψει με μια τυχαία μέθοδο πρόβλεψης. Στόχος είναι να υπολογιστεί η ακρίβεια των προβλέψεων μέσω διαφόρων μετρικών λάθους πρόβλεψης. Πίνακας 2.1: Δεδομένα με έσοδα επιχείρησης και αντίστοιχες προβλέψεις εσόδων. Έσοδα σε ευρώ Προβλέψεις σε ευρώ Εβδομάδα (Dt) (Ft) , , , , ,67 Επίλυση Με βάση τα δεδομένα του παραδείγματος δημιουργούμε τον Πίνακα 2.2 που περιλαμβάνει τους υπολογισμούς που απαιτούνται για τον προσδιορισμό των προαναφερθέντων μέτρων ακρίβειας πρόβλεψης. 72

73 Πίνακας 2.2: Υπολογισμοί για τον προσδιορισμό διαφόρων μέτρων ακρίβειας πρόβλεψης. Απόλυτο Τετραγωνικό Πραγματική Τιμή Πρόβλεψη Σφάλμα Πρόβλεψης Εβδομάδα Σφάλμα Πρόβλεψης Σφάλμα Πρόβλεψης (Dt) (Ft) (Dt-Ft) Dt-Ft (Dt-Ft) ,00 5,00 25, ,33 22,67 22,67 513, ,67-15,67 15,67 245, ,00 10,00 100, ,00 20,00 400, ,00 5,00 25, ,00 10,00 100, ,33 1,67 1,67 2, ,67 23,33 23,33 544, ,67 28,33 28,33 802,78 Σύνολο ,67 60,33 141, ,22 Όσον αφορά τα σφάλματα πρόβλεψης και τα τετραγωνικά σφάλματα πρόβλεψης για κάθε περίοδο περιλαμβάνονται στον Πίνακα 2.2. Τα σφάλματα αυτά χρησιμοποιούνται κατεξοχήν για τον υπολογισμό των υπόλοιπων μετρικών ακρίβειας της πρόβλεψης. Η μέση απόλυτη απόκλιση ισούται με: 141,67 14, Η μέση εκατοστιαία απόλυτη απόκλιση είναι ίση με: 141,67 0,24 ή 24% 590 Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα πρόβλεψης είναι ίσο με: 2.759, ,922 Συσσωρευτικό σφάλμα 60,33 Μέσο ή εγγενές/ σύμφωνο σφάλμα (Average Error ή Bias E) 60,33 6, Γενικά, θα πρέπει να αναφερθεί πως η επιλογή της μετρικής για τον υπολογισμό της ακρίβειας της πρόβλεψης δεν είναι μια απλή διαδικασία Μετρικές σχέσης μεταβλητών Στην παράγραφο αυτό παρουσιάζονται ο συντελεστής συσχέτισης και προσδιορισμού που αποτελούν αριθμητικά μέτρα ή δείκτες του βαθμού συσχέτισης μεταξύ δύο συνόλων τιμών. Οι μετρικές αυτές χρησιμοποιούνται κατεξοχήν στις μεθόδους γραμμική παλινδρόμησης για να εντοπιστεί η ύπαρξη σχέσης μεταξύ των μεταβλητών. Συσχέτιση (Correlation) 73

74 Η συσχέτιση αποτελεί μια παραμετρική στατιστική διαδικασία που ελέγχει κατά πόσο δύο ή περισσότερα χαρακτηριστικά μεταβάλλονται ταυτοχρόνως. Ο μαθηματικός τύπος του συντελεστή συσχέτισης είναι ο ακόλουθος: n x y x y n x x n y y Η μετρική αυτή λαμβάνει τιμές στο διάστημα [-1,1] όπου το +1 υποδεικνύει μια ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση (δηλαδή όταν η μία αυξάνει, η άλλη αυξάνεται με γραμμικό τρόπο) μεταξύ των μεταβλητών, το -1 υποδεικνύει ισχυρή αρνητική γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών (δηλαδή όταν η μία αυξάνει, η άλλη μειώνεται με γραμμικό τρόπο) και το 0 υποδεικνύει πως οι μεταβλητές είναι γραμμικά ασυσχέτιστες. Συντελεστής προσδιορισμού (Coefficient of determination) Μια άλλη μετρική ενδεικτική της συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών μιας εξίσωσης γραμμικής συμμεταβολής είναι ο συντελεστής προσδιορισμού. Ο συντελεστής αυτός δείχνει το ποσοστό της διακύμανσης/μεταβολής της τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής που είναι αποτέλεσμα της συμπεριφοράς της ανεξάρτητης μεταβλητής. Ο συντελεστής αυτός ορίζεται ως το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης, δηλαδή. 74

75 2.4 Μέθοδοι χρονικής σειράς Οι μέθοδοι χρονικής σειράς ή χρονοσειρές είναι στατιστικές τεχνικές που βασίζονται σε ιστορικά δεδομένα που λαμβάνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Η βασική υπόθεση πάνω στην οποία στηρίζεται η λειτουργία τους είναι πως ότι έχει συμβεί στο παρελθόν θα συνεχίσει να συμβαίνει στο μέλλον και επομένως τάσεις σχετικές με τη ζήτηση που εμφανίστηκαν στο παρελθόν θα επανεμφανιστούν στο μέλλον. Όπως προκύπτει και από το όνομά τους, οι μέθοδοι αυτοί σχετίζουν την πρόβλεψη με έναν μόνο παράγοντα, το χρόνο. Οι δημοφιλέστερες μέθοδοι από την κατηγορία των στατιστικών τεχνικών χρονικής σειράς είναι ο κινούμενος μέσος όρος, η εκθετική εξομάλυνση, και η γραμμική παρεμβολή και αποτελούν τη πιο συνήθης λύσης για την περιορισμένου φάσματος πρόβλεψη για την επιχειρήσεις παροχής υπηρεσιών και τις κατασκευαστικές επιχειρήσεις (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Πρόβλεψη με μεθόδους εξομάλυνσης Σε αυτό το τμήμα θα μελετηθούν τεχνικές πρόβλεψης που είναι κατάλληλες για χρονοσειρές που παρουσιάζουν σταθερότητα δηλαδή δεν παρουσιάζουν κάποια σημαντική τάση ή κάποια κυκλική ή εποχιακή κύμανση (Anderson, D.R., et al., 1991). Υπό τις συνθήκες αυτές, στόχος των μεθόδων πρόβλεψης είναι να εξομαλυνθούν τα ακανόνιστα τμήματα της χρονικής σειράς μέσω μιας διαδικασίας υπολογισμού του μέσου όρου. Από τις μεθόδους πρόβλεψης με εξομάλυνση, αυτές που θα μελετηθούν είναι οι κινούμενος μέσος όρος, σταθμικός μέσος όρος και η εκθετική εξομάλυνση Κινούμενος μέσος όρος Μια πρόβλεψη χρονικής σειράς μπορεί να είναι αρκετά απλή ώστε χρησιμοποιώντας τη ζήτηση της τρέχουσας περιόδου να πραγματοποιείται πρόβλεψη της ζήτησης της επόμενης περιόδου. Αυτού του είδους η πρόβλεψη καλείται και αφελής ή διαισθητική πρόβλεψη (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Για παράδειγμα, εάν η ζήτηση για ένα προϊόν είναι 100 μονάδες αυτή τη εβδομάδα, η πρόβλεψη για τη ζήτηση της επόμενης εβδομάδας είναι 100 μονάδες. Αυτός ο τύπος μεθόδου πρόβλεψης δεν λαμβάνει υπόψη την ιστορική συμπεριφορά της ζήτησης καθώς στηρίζεται αποκλειστικά στη ζήτησης της τρέχουσας περιόδου και κατά συνέπεια αντιδρά άμεσα στις κανονικές, τυχαίες μεταβολές στη ζήτηση (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Αντίθετα, η απλή μέθοδος κινούμενου μέσου όρου (moving average) (ΚΜΟ) χρησιμοποιεί διάφορες τιμές ζήτησης από το πρόσφατο παρελθόν στα πλαίσια της πρόβλεψης της τρέχουσας ζήτησης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να εξομαλύνονται οι τυχαίες αυξομειώσεις συγκριτικά με μια μέθοδος πρόβλεψης που βασίζεται αποκλειστικά σε δεδομένα μιας μόνο περιόδου. Η τεχνική του απλού κινούμενου μέσου όρου μπορεί να εφαρμοστεί όταν η ζήτηση είναι σταθερή και δεν παρουσιάζει έκδηλη συμπεριφορά ζήτησης, όπως μια τάση ή ένα εποχιακό πρότυπο (pattern). Οι κινούμενοι μέσοι όροι υπολογίζονται για συγκεκριμένες περιόδους, όπως τρεις μήνες ή πέντε μήνες, ανάλογα με το πόσο θέλει να εξομαλύνει ο ειδικός τα δεδομένα ζήτησης. Γενικά, όσο μεγαλύτερη η περίοδος που επιλέγεται τόσο μεγαλύτερη θα είναι η εξομάλυνση, δηλαδή λιγότερο έκδηλη η επίδραση ακανόνιστων μεταβολών. Κατά συνέπεια, η προσέγγιση του κινούμενου μέσου όρου στην πρόβλεψη χρησιμοποιεί το μέσο όρο της ζήτησης των πιο πρόσφατων n περιόδων για να προβλεφθεί η ζήτηση της επόμενης περιόδου. Δεδομένα παλιότερα των n περιόδων δε συμβάλλουν με κανένα τρόπο στην πρόβλεψη. Επομένως το n είναι ένας ακέραιος αριθμός που μπορεί να λάβει διάφορες τιμές, συνήθως όμως κινείται εντός του διαστήματος (Slack, N., et al., 2007). Ο τύπος για τον υπολογισμό του απλού κινούμενου μέσου όρου είναι: ΚΜΟ D n Όπου n = αριθμός περιόδων ζήτησης που θα ληφθούν υπόψη από τη μέθοδο κινούμενου μέσου όρου Di = ζήτηση την περίοδο i Γενικά τα βασικά χαρακτηριστικά της μεθόδου ΚΜΟ είναι ότι δεν αντιδρά στις εμφανιζόμενες μεταβολές, όπως οι κυκλικές ή εποχιακές διακυμάνσεις καθώς γενικά τείνει να αγνοεί τους παράγοντες που προκαλούν τις αλλαγές. Μπορεί να χαρακτηριστεί συνεπώς ως μια 75

76 «μηχανική» μέθοδος, η οποία απεικονίζει τα ιστορικά στοιχεία με έναν συνεπή τρόπο. Αντίστοιχα, τα βασικότερα πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι πως είναι εύχρηστη, γρήγορη, και σχετικά ανέξοδη. Συνολικά λοιπόν, η μέθοδος ΚΜΟ μπορεί να παρέχει μια καλή πρόβλεψη για το εγγύς μέλλον, αλλά δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αρκετά μελλοντικές προβλέψεις (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Παράδειγμα Θεωρούμε ένα συνοικιακό κατάστημα παροχής υπηρεσιών δικτύου (netcafe). Ο Πίνακας 2.3 περιλαμβάνει τα εβδομαδιαία έσοδα της επιχείρησης για τελευταίες 10 εβδομάδες, οι οποίες απεικονίζονται και στην Εικόνα Στόχος είναι να υπολογιστούν τα έσοδα της επιχείρησης μέσω της μεθόδου κινούμενου μέσου όρου λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές των τριών και πέντε προηγούμενων εβδομάδων. Πίνακας 2.3: Δεδομένα με έσοδα επιχείρησης Εβδομάδα Έσοδα σε ευρώ Εικόνα 2.11: Γράφημα με έσοδα επιχείρησης Μαθηματική Επίλυση Για την περίπτωση που λαμβάνουμε τις τρεις προηγούμενες τιμές για τον υπολογισμό του κινούμενου μέσου όρου, υπολογίζουμε ενδεικτικά τους μέσους όρους για τις βδομάδες 1-3 και ΚΜΟ εβδοµάδες και ΚΜΟ εβδοµάδες Αντιστοίχως υπολογίζονται και οι κινούμενοι μέσοι όροι για τις υπόλοιπες εβδομάδες. Παρατηρούμε πως ο ΚΜΟ για τις εβδομάδες 1-3, που αποτελεί την πρόβλεψη για την 4 η εβδομάδα είναι ίσος με 55. Αντίστοιχα, η πραγματική τιμή για την 4 η εβδομάδα είναι 65 και ως εκ τούτου το σφάλμα πρόβλεψης ισούται με 65-55=10. Ομοίως, η πρόβλεψη για την 5 η εβδομάδα είναι 60, ενώ η πραγματική τιμή είναι 40. Συνεπώς το σφάλμα πρόβλεψης είναι 40-60=-20. Έπειτα πραγματοποιούμε την ίδια διαδικασία και για την περίπτωση που λαμβάνονται οι πέντε προηγούμενες τιμές για τον υπολογισμό του κινούμενου μέσου όρου. Επομένως οι ΚΜΟ για όρους για τις βδομάδες 1-5 και 2-6 είναι οι εξής: ΚΜΟ εβδοµάδες και ΚΜΟ εβδοµάδες

77 Αντίστοιχα, τα σφάλματα πρόβλεψης είναι = 9 για την 6 η εβδομάδα και 60-53=7 για την 7 η εβδομάδα. Στον Πίνακα 2.4 και στην Εικόνα 2.12 παρουσιάζονται οι προβλέψεις του ΚΜΟ και για τις δύο περιπτώσεις. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί πως οι προβλέψεις για τους προγενέστερους μήνες επιτρέπουν τη σύγκριση της προβλεφθείσας ζήτησης με την πραγματική για να δουν πόσο ακριβής είναι η μέθοδος πρόβλεψης ενώ η τιμή που χρησιμοποιείται είναι μόνο η πρόβλεψη για τη 11 εβδομάδα. Εβδομάδα Έσοδα σε ευρώ ΚΜΟ3 Πίνακας 2.4: Περίληψη υπολογισμών για ΚΜΟ. ΚΜΟ5 Σφάλμα Πρόβλεψης (ΚΜΟ3) Σφάλμα Πρόβλεψης (ΚΜΟ5) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (ΚΜΟ3) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (ΚΜΟ5) , ,67-1 2, , , , , , , , Πραγματικές τιμές KMO_3 KMO_5 Εικόνα 2.12: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΚΜΟ. Παρατηρώντας προσεκτικά τον Πίνακα 2.4 και την Εικόνα 2.12, μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα πως και οι δύο προβλέψεις κινούμενου μέσου όρου τείνουν να εξομαλύνουν τις μεταβολές που παρουσιάζονται στις πραγματικές τιμές. Επίσης, είναι αντιληπτό πως ο ΚΜΟ των πέντε εβδομάδων εξομαλύνει περισσότερο τις μεταβολές συγκριτικά με αυτόν των τριών εβδομάδων. Εντούτοις, ο τριών μηνών μέσος όρος απεικονίζει καλύτερα τα πιο πρόσφατα στοιχεία που είναι διαθέσιμα στον υπεύθυνο. Γενικά λοιπόν προκύπτει πως ο ΚΜΟ μεγαλύτερης περιόδου αργεί να αντιδράσει στις πρόσφατες μεταβολές. Βάσει όσων αναφέρθηκαν, είναι εμφανές πως η επιλογή του διαστήματος τιμών που χρησιμοποιεί ο ΚΜΟ επηρεάζουν την ακρίβεια της πρόβλεψης της χρονικής σειράς. Επομένως 77

78 χρησιμοποιώντας μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης και την πρακτική «δοκιμής και λάθους» είναι δυνατό να επιλεχθεί το καλύτερο διάστημα. Στα πλαίσια του συγκεκριμένου παραδείγματος υπολογίζονται οι τιμές των μετρικών MAD, MAPD και MSE. Το μοντέλο που έχει τη μικρότερη τιμή για τις μετρικές αυτές θεωρείται ως ακριβέστερο. Για την περίπτωση που λαμβάνουμε τις τρεις προηγούμενες τιμές για τον υπολογισμό του κινούμενου μέσου όρου, υπολογίζουμε τις προαναφερθείσες μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης ,67 23,33 28, , , ,67 23,33 28,33 98,33 0, ,79 544,29 802, , ,09 Αντιστοίχως για την περίπτωση που λαμβάνουμε τις πέντε προηγούμενες τιμές για τον υπολογισμό του κινούμενου μέσου όρου, υπολογίζουμε ενδεικτικά τις προαναφερθείσες μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης , , ,29 Βάσει των ανωτέρω υπολογισμών προκύπτει πως ο ΚΜΟ που χρησιμοποιεί τις τρεις προηγούμενες τιμές για τον υπολογισμό της πρόβλεψης ακολουθεί καλύτερα τις τιμές της ζήτησης. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.13). Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.14). 78

79 MAD=SUMPRODUCT(ABS(F10: F16))/COUNT(F10:F16) MAPD=SUMPRODUCT(ABS (F10:F16))/SUM(D10:D16) Υπολογισμός πρόβλεψης ΚΜΟ απο δεδομένα τριών προηγούμενων περιόδων =ROUND((SUM(D7:D9)/3);2) Σφάλμα πρόβλεψης =D10-E10 Τετραγωνικό Σφάλμα πρόβλεψης =ROUND(POWER(F10;2);2) MSE=SUM(G10:G16)/ COUNT(G10:G16) Εικόνα 2.13: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για τη μέθοδο πρόβλεψης ΚΜΟ. Εικόνα 2.14: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool για τη μέθοδο πρόβλεψης ΚΜΟ. 79

80 2.4.2 Σταθμισμένος κινούμενος μέσος όρος Στη μέθοδο κινούμενων μέσων όρων κάθε παρατήρηση λαμβάνει το ίδιο βάρος. Μια πιθανή παραλλαγή της μεθόδου αυτή, γνωστή ως σταθμισμένος κινούμενος μέσος όρος (ΣΚΜΟ) μπορεί να ρυθμιστεί για να απεικονίσει περισσότερο τις διακυμάνσεις στα δεδομένα (Anderson, D.R., et al., 1991). Πιο συγκεκριμένα, περιλαμβάνει την επιλογή διαφορετικών βαρών για κάθε στοιχείο και έπειτα τον υπολογισμό ενός σταθμισμένου μέσου όρου ως πρόβλεψη. Στη σταθμισμένη μέθοδο κινούμενου μέσου όρου, τα βάρη δίνονται στα n πιο πρόσφατα στοιχεία, και συνήθως όσο πιο πρόσφατη είναι μια παρατήρηση τόσο μεγαλύτερο είναι το βάρος που της αναλογεί. Ο υπολογισμός του σταθμισμένου μέσου όρου γίνεται από τον ακόλουθο τύπο (Russel, R., and Taylor, T., 2006): ΣΚΜΟ D Όπου Wi = το βάρος για την περίοδο i (λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 and 100 τοις εκατό ή 0 και 1) Το άθροισμα των βαρών όλων των περιόδων/ παρατηρήσεων είναι ίσο με ένα, δηλαδή 1. Ο ακριβής καθορισμός των βαρών για κάθε περίοδο δεδομένων πραγματοποιείται μέσω πειραματισμού, όπως και ο καθορισμός του αριθμού των περιόδων που θα ληφθούν υπόψη κατά τον υπολογισμό του ΚΜΟ. Εάν στις πιο πρόσφατες περιόδου τοποθετηθούν μεγαλύτερα βάρη, τότε η πρόβλεψη μπορεί να αντιδρά υπερβολικά σε μια τυχαία πρόσφατη διακύμανση, αντίθετα τοποθετηθούν μικρά βάρη στις πρόσφατες περιόδους τότε ενδέχεται να μη μπορούν να αντιδράσουν σε μεταβολές της πραγματικής ζήτησης (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Παράδειγμα Θεωρούμε την ίδια επιχείρηση και δεδομένα με αυτά της ενότητας Στόχος είναι να υπολογιστούν τα έσοδα της επιχείρησης μέσω της μεθόδου σταθμισμένου κινούμενου μέσου όρου λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές των τριών είτε δίνοντας μεγαλύτερα βάρη στις πιο πρόσφατες περιόδους είτε στις παλιότερες. Μαθηματική Επίλυση Αρχικά, υπολογίζουμε το ΣΚΜΟ δίνοντας μεγαλύτερα βάρη στις πιο πρόσφατες περιόδους. Συγκεκριμένα, για την 3 η εβδομάδα θεωρούμε βάρος 55%, 30% για τη 2 η και 15% για την 1 η. Έπειτα υπολογίζουμε το ΣΚΜΟ για τις εβδομάδες 1-3, και ως εκ τούτου την πρόβλεψη για την 4 η εβδομάδα. ΣΚΜΟ εβδοµάδες 1 3 0, ,3 70 0, ,25 Αντιστοίχως υπολογίζονται και οι κινούμενοι μέσοι όροι για τις υπόλοιπες εβδομάδες. Έπειτα, υπολογίζουμε το ΣΚΜΟ δίνοντας μεγαλύτερα βάρη στις παλιότερες περιόδους. Συγκεκριμένα, για την 3 η εβδομάδα θεωρούμε βάρος 15%, 30% για τη 2 η και 55% για την 1 η. Έπειτα υπολογίζουμε το ΣΚΜΟ για τις εβδομάδες 1-3, και ως εκ τούτου την πρόβλεψη για την 4 η εβδομάδα. ΣΚΜΟ εβδοµάδες 1 3 0, ,3 70 0, ,25 Αντιστοίχως και πάλι υπολογίζονται και οι κινούμενοι μέσοι όροι για τις υπόλοιπες εβδομάδες. Ο Πίνακας 2.5 περιλαμβάνει όλες τις προβλέψεις και για τις δύο περιπτώσεις και για τις 10 εβδομάδες αλλά και για τη μελλοντική 11 εβδομάδα. Επίσης περιλαμβάνει τα αντίστοιχα σφάλματα πρόβλεψης. Οι προβλέψεις παρουσιάζονται γραφικά στην Εικόνα Εβδομάδα Έσοδα σε ευρώ ΣΚMA3 ( ) Πίνακας 2.5: Περίληψη υπολογισμών για ΣΚΜΟ. ΣΚMA3 ( ) Σφάλμα Πρόβλεψης ( ) Σφάλμα Πρόβλεψης ( ) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης ( ) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης ( ) 80

81 ,25 55,25 11,75 9,75 138,06 95, ,75 61,75-19,75-21,75 390,06 473, ,25 50,25-3,25-5,25 10,56 27, ,5 54,5 13,5 5,5 182,25 30, ,5 44,5-2,5 5,5 6,25 30, ,25 50,25 22,75 24,75 517,56 612, ,25 59,25 24,75 30,75 612,56 945, ,5 63, Πραγματικές Τιμές ΣΚΜΟ(0,15-0,3-0,55) ΣΚΜΟ(0,55-0,3-0,15) Εικόνα 2.15: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΣΚΜΟ Προκειμένου να επιλεχθεί η καλύτερη προσέγγιση όσον αφορά την κατανομή των βαρών στις τρεις περιόδους, υπολογίζονται οι μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης MAD, MAPD και MSE και συγκρίνονται τα αντίστοιχα σφάλματα για τις δύο περιπτώσεις. Το μοντέλο με τις μικρότερες τιμές μετρικών θεωρείται ως ακριβέστερο. Για την περίπτωση που δίνονται μεγαλύτερα βάρη στις πιο πρόσφατες περιόδους οι προαναφερθείσες μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης είναι οι ακόλουθες. 98, ,75 19,75 3,25 13,5 2,5 22,75 24, ,036 11,75 19,75 3,25 13,5 2,5 22,75 24, ,25 0, ,06 390,06 10,56 182,25 6,25 517,56 612, , ,3 7

82 Για την περίπτωση που δίνονται μεγαλύτερα βάρη στις παλιότερες περιόδους οι προαναφερθείσες μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης είναι οι ακόλουθες. 9,75 21,75 5,25 5,5 5,5 24,75 30, ,75 103,25 7 9,75 21,75 5,25 5,5 5,5 24,75 30, ,25 0, ,06 473,06 27,56 30,25 30,25 612,56 945, , ,3 7 Βάσει των ανωτέρω υπολογισμών προκύπτει πως ο ΣΚΜΟ που δίνει μεγαλύτερο βάρος στις πιο πρόσφατες περιόδους για τον υπολογισμό της πρόβλεψης ακολουθεί καλύτερα τις τιμές της ζήτησης. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.16). MAD=SUMPRODUCT(ABS(F9: F15))/COUNT(F9:F15) MAPD=SUMPRODUCT(ABS (F9:F15))/SUM(D9:D15) Σφάλμα πρόβλεψης =D9-E9 Υπολογισμός πρόβλεψης ΣΚΜΟ από δεδομένα 3 περιόδων με βάρη w1 (0,15) w2(0,3) w3(0,55) =SUM($D$21*D6+$D$22*D7+$D$23*D8) MSE=SUM(G9:G15)/ COUNT(G9:G15) Τετραγωνικό Σφάλμα πρόβλεψης =ROUND(POWER(F9;2);2) Εικόνα 2.16: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο ΣΚΜΟ. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.17). 82

83 Εικόνα 2.17: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο ΣΚΜΟ Εκθετική εξομάλυνση Η εκθετική εξομάλυνση (ΕΕ) είναι μια τεχνική πρόβλεψης που χρησιμοποιεί το σταθμισμένο μέσο όρο των πιο πρόσφατων στοιχείων για την πρόβλεψη της επόμενης περιόδου της χρονικής σειράς (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Anderson, D.R., et al., 1991). Συνεπώς η πρόβλεψη επηρεάζεται περισσότερο από τις πρόσφατες αλλαγές στη ζήτηση. Αυτό είναι χρήσιμο στις περιπτώσεις που οι πρόσφατες αλλαγές στα δεδομένα προκύπτουν από μια αλλαγή όπως ένα εποχιακό σχέδιο. Αποτελεί μια από τις δημοφιλέστερες μεθόδους καθώς απαιτεί τα λιγότερα δεδομένα, συγκεκριμένα την τιμή της πραγματικής και της προβλεφθείσας ζήτησης για την τρέχουσα περίοδο και ένα παράγοντας στάθμισης που καλείται σταθερά εξομάλυνσης για τον υπολογισμό της ζήτησης της επόμενης περιόδου (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Το σημαντικότερο πλεονέκτημα της μεθόδου αυτής συγκριτικά με τις μεθόδου κινούμενου και σταθμισμένου μέσου όρου είναι πως δε στηρίζεται αποκλειστικά σε στοιχεία n περιόδων (Slack, N., et al., 2007). Η πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: F α D 1 α F όπου F t+1 = πρόβλεψη για την περίοδο t+1 α = σταθερά εξομάλυνσης, λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0,1] D t = πραγματική τιμή ζήτησης για την περίοδο t 83

84 F t = πρόβλεψη για την περίοδο t Όσον αφορά τη σταθερά εξομάλυνσης, απεικονίζει το βάρος που δίνεται στα πιο πρόσφατα στοιχεία ζήτησης. Ουσιαστικά είναι το βάρος που δίνεται στην τελευταία διαθέσιμη περίοδο. Δεδομένου όμως ότι στον τύπο περιλαμβάνεται και η πρόβλεψη για την τρέχουσα περίοδο που εμπεριέχει την πραγματική ζήτηση της προηγούμενης περιόδου, προκύπτει πως και τα προηγούμενα δεδομένα επιδρούν στον καθορισμό της ζήτησης της επόμενης περιόδου (Russel, R., and Taylor, T., 2006; Slack, N., et al., 2007). Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τις ακραίες τιμές που μπορεί να λάβει η σταθερά εξομάλυνσης, προκύπτει πως για α=1, η πρόβλεψη της ζήτηση της επόμενης περιόδου ισούται με αυτή της τρέχουσας περιόδου, ενώ για α=0 η πρόβλεψη της ζήτηση της επόμενης περιόδου ισούται με την πραγματική ζήτηση αυτή της τρέχουσας περιόδου. Επομένως, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης τόσο πιο ευαίσθητη είναι η πρόβλεψη στην πρόσφατη ζήτηση αντιθέτως για μικρές τιμές της η ζήτηση αντιδρά με πιο αργό τρόπο στις διαφορές μεταξύ προβλεφθείσας και πραγματικής ζήτησης και άρα παρουσιάζει μεγαλύτερη σταθερότητα και μικρότερη ευαισθησία. Παράδειγμα Θεωρούμε την ίδια επιχείρηση και δεδομένα με αυτά της ενότητας Στόχος είναι να υπολογιστούν τα έσοδα της επιχείρησης μέσω της μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης θεωρώντας ότι η τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης είναι 0,3 και 0,6. Μαθηματική Επίλυση Αρχικά, υπολογίζουμε την εκθετική εξομάλυνση θεωρώντας την σταθερά εξομάλυνσης ίση με 0,3. Για τον υπολογισμό της πρόβλεψης για την 2 η εβδομάδα χρειάζεται τόσο η πραγματική τιμή της 1 ης εβδομάδας όσο και η αντίστοιχη πρόβλεψη. Δεδομένου, όμως ότι δε γνωρίζουμε τη πρόβλεψη για την 1 η εβδομάδα, θεωρούμε πως είναι ίση με την πραγματική ζήτησης. Επομένως, F 1 = D 1=50. Επομένως για τη 2 η εβδομάδα η πρόβλεψη ισούται με: F α D 1 α F 0, , Ομοίως για την 3 η εβδομάδα η πρόβλεψη είναι ίση με: F α D 1 α F 0, , Αντιστοίχως υπολογίζονται και οι προβλέψεις βάσει της μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης και για τις υπόλοιπες εβδομάδες. Έπειτα, υπολογίζουμε τις προβλέψεις θεωρώντας πως η σταθερά εξομάλυνσης είναι ίση με 0,6 και άρα δίνεται μεγαλύτερο βάρος στις πιο πρόσφατες τιμές. Συγκεκριμένα, θεωρούμε και πάλι πως για την 1 η εβδομάδα F 1 = D 1=50. Έπειτα υπολογίζουμε την πρόβλεψη για τη 2 η και 3 η εβδομάδα. F α D 1 α F 0, , και F α D 1 α F 0, , Αντιστοίχως και πάλι υπολογίζονται και οι προβλέψεις βάσει της μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης και για τις υπόλοιπες εβδομάδες. Ο Πίνακας 2.6 περιλαμβάνει όλες τις προβλέψεις και για τις δύο περιπτώσεις καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα πρόβλεψης. Αντίστοιχα, η Εικόνα 2.18 αντίστοιχα απεικονίζει τις προβλέψεις. Εβδομάδα Έσοδα σε ευρώ ΕΕ (α=0,3) Πίνακας 2.6: Περίληψη υπολογισμών για ΕΕ. ΕΕ (α=0,6) Σφάλμα Πρόβλεψης (α=0,3) Σφάλμα Πρόβλεψης (α=0,6) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (α=0,3) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης (α=0,6)

85 Πραγματικές τιμές ΕΕ(a=0,3) EE(a=0,6) Εικόνα 2.18: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΕΕ. Στην τελευταία σειρά του πίνακα περιέχονται οι προβλέψεις για την 11 η εβδομάδα, που αποτελεί την επόμενη περίοδο και είναι αυτή που ουσιαστικά ενδιαφέρει. Προκειμένου να επιλεχθεί μια από τις δύο τιμές του α χρησιμοποιούμε τα ακόλουθα μέτρα ακρίβειας ώστε να επιλεχθεί αυτό με τη μικρότερο σφάλμα. Για την περίπτωση που η σταθερά εξομάλυνσης είναι ίση με 0,3, υπολογίζονται οι ακόλουθες μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης: ,3 16,39 6,47 10,47 2,67 23,13 31, ,624 13, ,3 16,39 6,47 10,47 2,67 23,13 31, ,624 0, , ,29 268,63 41,9 109,6 7,14 534,99 972, ,741 85

86 Αντίστοιχα, για την περίπτωση που η σταθερά εξομάλυνσης είναι ίση με 0,6, υπολογίζονται οι ακόλουθες μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης: ,2 19,72 2,89 13,84 4,46 23,22 24, ,62 13, ,2 19,72 2,89 13,84 4,46 23,22 24, ,62 0, ,24 388,88 8,34 191,68 19,91 538,94 589, , ,08 Στο παράδειγμα αυτό είναι εμφανές πως τα αποτελέσματα των μετρικών δεν συμφωνούν καθώς ανάλογα με τη χρησιμοποιούμενη μετρική διαφορετικό μοντέλο θεωρείται πως ακολουθεί πιο πιστά τα δεδομένα. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.19). MAD=SUMPRODUCT(ABS(F6: F15))/COUNT(F6:F15) MSE=SUM(G6:G15)/ COUNT(G6:G15) Πρόβλεψη ΕΕ με σταθερά εξομάλυνσης = α = 0,3 =$D$21*D6+(1-$D$21)*E6 Σφάλμα πρόβλεψης =D7-E7 MAPD=SUMPRODUCT(ABS (F6:F15))/SUM(D6:D15) Τετραγωνικό Σφάλμα πρόβλεψης =ROUND(POWER(F7;2);2) Εικόνα 2.19: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο ΕΕ. 86

87 Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.20). Εικόνα 2.20: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο ΕΕ Προσαρμοσμένη εκθετική εξομάλυνση Η μέθοδος προσαρμοσμένης εκθετικής εξομάλυνσης (ΠΕΕ) αποτελεί μια διαφοροποίηση της μεθόδου εξομάλυνσης με μόνη διαφορά την εισαγωγή ενός παράγοντα ρύθμισης τάσης (trend adjustment factor) (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Συγκεκριμένα, ο τύπος που περιγράφει αυτή την τεχνική πρόβλεψης είναι ο ακόλουθος: ΑF F T όπου T = παράγοντας τάσης εκθετικά εξομαλυμένος Ο παράγοντας τάσης (T) υπολογίζεται βάσει του ακόλουθου τύπου: Τ β F F 1 β Τ όπου F t+1 = πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης για την περίοδο t+1 87

88 F t = πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης για την περίοδο t Τ t = παράγοντας τάσης για την περίοδο t β = σταθερά εξομάλυνσης για τάση, λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0,1] Ο παράγοντας β αντικατοπτρίζει το βάρος που δίνεται σε πιο πρόσφατα δεδομένα (όπως συμβαίνει αντίστοιχα και με τον παράγοντα α της εκθετικής εξομάλυνσης). Συνεπώς, υψηλή τιμή του β συνεπάγεται μεγαλύτερη ευαισθησία της πρόβλεψης σε αλλαγές τάσης συγκριτικά με χαμηλότερες τιμές. Παράδειγμα Θεωρούμε την ίδια επιχείρηση και δεδομένα με αυτά της ενότητας Στόχος είναι να υπολογιστούν τα έσοδα της επιχείρησης μέσω της μεθόδου προσαρμοσμένης εκθετικής εξομάλυνσης θεωρώντας ότι η τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης είναι 0,3. Μαθηματική Επίλυση Για τον υπολογισμό της πρόβλεψης, θεωρούμε γνωστές τις τιμές που τις προβλέψεις εκθετικής εξομάλυνσης και στοχεύουμε στον υπολογισμό του παράγοντα τάσης. Οι τιμές ΕΕ πρόβλεψης είναι ίδιες με αυτές της προηγούμενης ενότητας. Αρχικά, θεωρούμε πως ο παράγοντας τάσης για την περίοδο 1 είναι ίσος με 0. Κατά συνέπεια ο η πρόβλεψη ΠΕΕ είναι ίση με την πρόβλεψη ΕΕ για την περίοδο αυτή. ΑF F T F 0 F 50 Επομένως για τη 2 η εβδομάδα η πρόβλεψη ισούται με: ΑF F T F β F F 1 β Τ 50 0, και για την 3 η εβδομάδα η πρόβλεψη ισούται με: ΑF F T F β F F 1 β Τ 56 0, , ,8 57,8 Με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζονται και οι προβλέψεις για τις υπόλοιπες εβδομάδες. Ο Πίνακας 2.7 περιλαμβάνει όλες τις προβλέψεις και για τις δύο περιπτώσεις και για τις 10 εβδομάδες αλλά και για τη μελλοντική 11 εβδομάδα. Επίσης περιλαμβάνει τα αντίστοιχα σφάλματα πρόβλεψης. Δεδομένου ότι η ΠΕΕ εξαρτάται εν μέρει από την πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης, θα παρατεθούν ταυτόχρονα οι τιμές των δύο μεθόδων. Η Εικόνα 2.21 αντίστοιχα απεικονίζει τις προβλέψεις της τεχνικής ΠΕΕ συγκριτικά με αυτές της ΕΕ (για α=0,3). Παρατηρούμε πως οι τιμές των προβλέψεων κυμαίνονται στα ίδια επίπεδα, δηλαδή δεν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τους. Εβδομάδα Έσοδα σε ευρώ ΕΕ (α=0,3) Πίνακας 2.7: Περίληψη υπολογισμών για ΠΕΕ. Τ ΠΕΕ (β=0,3) Σφάλμα Πρόβλεψης ΠΕΕ (β=0,3) Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης ΠΕΕ (β=0,3)

89 Πραγματικές Τιμές EE(α=0.3) ΠΕΕ(β=0.3) Εικόνα 2.21: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο ΠΕΕ και ΕΕ. Στην τελευταία σειρά του πίνακα περιέχονται οι προβλέψεις για την 11 η εβδομάδα, που αποτελεί την επόμενη περίοδο και είναι αυτή που ουσιαστικά ενδιαφέρει. Στο σημείο αυτό θα υπολογιστούν οι μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης MAD, MAPD και MSE ,8 12,03 17,69 5,91 11,45 2,93 23,19 29, ,141 13, ,8 12,03 17,69 5,91 11,45 2,93 23,19 29, ,141 0, ,84 144,72 312,79 34,87 131,08 8,57 537,82 849, , ,53 10 Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.22). Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.23). 89

90 MAPD=SUMPRODUCT(ABS (F6:F15))/SUM(D6:D15) MAD=SUMPRODUCT( ABS(F6:F15))/COUNT (F6:F15) MSE=SUM(G6:G15)/ COUNT(G6:G15) Πρόβλεψη ΠΕΕ με σταθερά εξομάλυνσης = 0,3 =SUM(E9;F9) Τετραγωνικό Σφάλμα πρόβλεψης =ROUND(POWER(H9;2);2) Παράγοντας τάσης για 3 η εβδομάδα =$D$22*(E9-E8)+(1-$D$22)*F8 Σφάλμα πρόβλεψης =D9-G9 Εικόνα 2.22: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο ΠΕΕ. Εικόνα 2.23: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο ΠΕΕ. 90

91 2.4.5 Γραμμική γραμμή τάσης Η ενότητα αυτή περιγράφει τον τρόπο πρόβλεψης των τιμών μιας χρονικής σειράς που παρουσιάζει μακροπρόθεσμη γραμμική τάση, δηλαδή συνολική αύξηση ή μείωση στην πάροδο του χρόνου. Η τεχνική πρόβλεψης που χρησιμοποιείται για τέτοιες περιπτώσεις καλείται γραμμική παλινδρόμηση ή γραμμική παρεμβολή ή γραμμική γραμμή τάσης. Η μέθοδος αυτή ουσιαστικά ανήκει στα αιτιολογικά μοντέλα πρόβλεψης που περιγράφουν τη σχέση μεταξύ της ζήτησης και κάποια παράγοντα που είναι υπεύθυνος για τις αλλαγές στη ζήτηση. Στην περίπτωση της γραμμικής γραμμής τάσης, η ζήτηση (εξαρτημένη μεταβλητή) σχετίζεται με το χρόνο (ανεξάρτητη μεταβλητή) (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Αξίζει να σημειωθεί, πως στόχος της γραμμικής παρεμβολής δεν είναι η πιστή παρακολούθηση των μεταβολών είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω της ζήτησης. Αντιθέτως, στόχος είναι η απεικόνιση της γενικής τάσης της μεταβολής της ζήτησης. Η ακόλουθη εξίσωση απεικονίζει την έννοια της γραμμικής γραμμής τάσης: y b b t όπου y = τιμή πρόβλεψης της ζήτησης της χρονικής σειράς για την περίοδο x b 0 = σημείο τομής της γραμμής τάσης με τον άξονα των τεταγμένων (άξονας των y) b 1 = κλίση της γραμμής τάσης ή συντελεστής διεύθυνσης t = χρονική περίοδος Οι προαναφερθείσες παράμετροι της εξίσωσης της γραμμικής τάσης μέσω της εφαρμογής τύπων ελαχίστων τετραγώνων για γραμμική παλινδρόμηση. b t y n t y t n t b y b t όπου n = αριθμός περιόδων t = μέσος όρος των t τιμών (μέση τιμή της μεταβλητής του χρόνου) = μέσος όρος των y τιμών (μέση τιμή της μεταβλητής της χρονικής σειράς) y = πραγματική τιμή της χρονικής σειράς για την περίοδο t Παράδειγμα Θεωρούμε μια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων της Toyota που αποτελεί βασικό αντιπρόσωπο της εταιρίας στη Βόρεια Ελλάδα. Οι πωλήσεις της εταιρίας κατά της διάρκεια των τελευταίων δώδεκα μηνών καταγράφονται στον Πίνακα 2.8 και απεικονίζονται γραφικά στην Εικόνα Γενικά παρά κάποιες αυξομειώσεις στις πωλήσεις, είναι δυνατό να διακρίνει κανείς μια γενική αυξητική τάση. Στόχος είναι να βρεθεί η γραμμική συνάρτηση που απεικονίζει καλύτερα την τάση αυτή. Πίνακας 2.8: Πωλήσεις αυτοκινήτων. Χρόνος Πωλήσεις (t) (y) Εικόνα 2.24: Γραφική απεικόνιση πωλήσεων αυτοκινήτων. 91

92 Μαθηματική Επίλυση Προκειμένου να σχηματίσουμε την εξίσωση της γραμμικής τάσης, θα πρέπει να υπολογιστούν οι μέσες τιμές του χρόνου, της ζήτησης και οι παράμετροι b 0 και b 1. Στον Πίνακα 2.9 περιέχονται οι βασικότεροι υπολογισμοί για τον προσδιορισμό της. Πίνακας 2.9: Περίληψη υπολογισμών για γραμμική γραμμή τάσης. t y t y t Βάσει του Πίνακα 2.9 μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους b 0 και b 1 της εξίσωσης γραμμικής τάσης. t ,5 μήνες 1093,67 πωλήσεις ανά μήνα b t y n t y ,5 1093,67 t n t ,5 48,44 b y b t 1093,67 48,44 6,5 778,8 Συνεπώς, ο τύπος γραμμικής τάσης που περιγράφει τις πωλήσεις αυτοκινήτων είναι ο ακόλουθος: y 778,8 48,44 t Η Εικόνα 2.25 αναπαριστά την γραμμική γραμμή τάσης συγκριτικά με τα πραγματικά δεδομένα. Ένα μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι η θεώρηση πως τα δεδομένα ακολουθούν πάντα μια ευθεία γραμμή. Η θεώρηση αυτή περιορίζει τη χρήση της μεθόδου σε κοντινό και μικρό χρονοπλαίσιο ώστε να υπάρχει αυξημένη πιθανότητα να ισχύει η αρχική τάση. 92

93 Εικόνα 2.25: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο γραμμικής γραμμής τάσης. Από τον τύπο της γραμμικής τάσης, θεωρώντας πως οι πωλήσεις αυτοκινήτων θα συνεχίσουν να ακολουθούν την ίδια ανοδική πορεία, μπορεί να υπολογιστεί ο αναμενόμενος αριθμός πωλήσεων για τον 16 μήνα. Συγκεκριμένα y 778,8 48, Χρόνος (t) Πίνακας 2.10: Αναμενόμενες πωλήσεις και σφάλματα. Πωλήσεις Αναμενόμενες Πωλήσεις Σφάλμα (y) (y) Πρόβλεψης Τετραγωνικό Σφάλμα Πρόβλεψης ,24-57, , ,68 73, , ,12 76, , ,57-22,57 509, ,01 149, , ,45 25,55 652, ,89-27,89 777, ,33-261, , ,77-191, , ,21-43, , ,65 28,35 803, ,09 249, ,01 Στο σημείο αυτό θα υπολογιστούν οι μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης MAD, MAPD και MSE με βάση τον Πίνακα , , ,01 0, , ,896 93

94 Για τα μοντέλα γραμμικής τάσης εκτός από τις μετρικές ακρίβειας πρόβλεψης χρησιμοποιούνται και οι συντελεστές συσχέτισης και προσδιορισμού για την εύρεση της σχέσης μεταξύ της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής. Ο συντελεστής συσχέτισης εξετάζει τη σχέση μεταξύ της μεταβλητής του χρόνου και της ζήτησης ενώ ο συντελεστής προσδιορισμού ορίζει το ποσοστό της μεταβολής της ζήτησης που οφείλεται στη μεταβολή του χρόνου. Οι τιμές των συντελεστών αυτών είναι οι εξής: n t y t y n t t n y y 0, Είναι εμφανές πως η συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών είναι πολύ ισχυρά γραμμικά θετική καθώς είναι περίπου ίση με τη μονάδα. Αντίστοιχα, ο συντελεστής προσδιορισμού ισούται με r 0,7848 0,615. Αυτό σημαίνει πως το 61,5 τοις εκατό της μεταβολής των πωλήσεων των αυτοκινήτων μπορούν να αποδοθούν σε μεταβολές στο χρόνο ενώ το υπόλοιπο 38,5 % οφείλεται σε άλλους παράγοντες. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.26). Παράμετρος b1 =SLOPE(E6:E17;D6:D17) Συσχέτιση =CORREL(D6:D17;E6:E17) Παράμετρος b0 =INTERCEPT(E6:E17;D6:D17) Συντελεστής προσδιορισμού =RSQ(D6:D17;E6:E17) Εικόνα 2.26: Παράδειγμα επίλυσης με Excel με τη μέθοδο γραμμικής γραμμής τάσης. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.27). 94

95 Εικόνα 2.27: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο γραμμικής γραμμής τάσης Εποχιακές διακυμάνσεις Ένα εποχιακό σχέδιο είναι μια επαναλαμβανόμενο πρότυπο, δηλαδή μια αύξηση ή μείωση της ζήτησης ανά τακτικά διαστήματα (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Γενικά αρκετά προϊόντα (ή και υπηρεσίες) παρουσιάζουν εποχιακή συμπεριφορά. Παράδειγμα προϊόντων με εποχιακή ζήτηση είναι οι πωλήσεις παιχνιδιών που παρουσιάζουν αύξηση συνήθως κατά την περίοδο των διακοπών και ο εξοπλισμός για χειμερινά σπορ (π.χ. σκι) που παρουσιάζουν άνοδο οι πωλήσεις κατά την περίοδο του χειμώνα. Παράδειγμα υπηρεσιών που παρουσιάζουν εποχιακή ζήτηση είναι οι επιχειρήσεις εστίασης όπου η ζήτηση τις βραδινές ώρες ή τα σαββατοκύριακα είναι μεγαλύτερη αντίστοιχα από τη ζήτηση τις μεσημεριανές ώρες ή τις εργάσιμες ημέρες. Είναι εμφανές λοιπόν πως τα εποχιακά αυτά πρότυπα μπορούν να αφορούν περιόδους ετήσιες, μηνιαίες, εβδομαδιαίες ή ημερήσιες (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την απεικόνιση εποχιακών προτύπων σε προβλέψεις χρονικής σειράς. Μια από τις απλούστερες μεθόδους είναι αυτή που εισάγει την έννοια του εποχιακού παράγοντα. Ένας εποχιακός παράγοντας είναι μια αριθμητική τιμή που πολλαπλασιάζεται με την κανονική πρόβλεψη ώστε να προκύψει μια πρόβλεψη που λαμβάνει υπόψη τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της περιόδου/ εποχής (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Μια μέθοδος για την εύρεση των παραγόντων αυτών περιλαμβάνει τη διαίρεση της απαίτησης της εκάστοτε περιόδου προς τη συνολική ετήσια απαίτηση βάσει του ακόλουθου τύπου (Russel, R., and Taylor, T., 2006): 95

96 S D D Ο εποχιακός παράγοντας λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0,1] και εκφράζει το μερίδιο της συνολικής ετήσιας ζήτησης που αντιστοιχεί σε κάθε εποχή. Οι εποχιακοί παράγοντες που προκύπτουν πολλαπλασιάζονται με την ετήσια προβλεπόμενη ζήτηση για να παράγουν τις προσαρμοσμένες προβλέψεις για κάθε εποχή (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Παράδειγμα Θεωρούμε μια επιχείρηση που πουλάει εξοπλισμό για χειμερινά σπορ όπως σκι και χιονοσανίδα. Λόγω της φύσης των αθλημάτων αυτών, η επιχείρηση παρουσιάζει περισσότερες πωλήσεις κατά τους χειμερινούς μήνες. Ο Πίνακας 2.11 περιέχει τις πωλήσεις ζευγαριών χιονοπέδιλων για κάθε μήνα για τις χρονιές Πίνακας 2.11: Πωλήσεις χιονοπέδιλων. Ζήτηση ανά δίμηνο Έτος Ι-Φ Μ-Α Μ-Ι Ι-Α Σ-Ο Ν-Δ Εικόνα Γραφική απεικόνιση πωλήσεων χιονοπέδιλων. Μαθηματική Επίλυση Αρχικά πραγματοποιούμε κάποιους βασικούς υπολογισμούς τους οποίους εισάγουμε στον Πίνακα Πίνακας 2.12: Περίληψη υπολογισμών για εποχιακές διακυμάνσεις. Ζήτηση ανά δίμηνο Έτος Ι-Φ Μ-Α Μ-Ι Ι-Α Σ-Ο Ν-Δ Σύνολο Βάσει των δεδομένων των τριών ετών και των υπολογισμών που εισήχθηκαν στον Πίνακα 2.12 μπορούμε να υπολογίσουμε τους εποχιακούς παράγοντες διαιρώντας τη συνολική διμηνιαία ζήτηση των τριών ετών με τη συνολική ζήτηση και για τα τρία χρόνια. Επομένως, προκύπτουν οι εξής παράγοντες: S , S 676 0, S 76 0, S 31 0, S 313 0, S ,

97 Παρατηρώντας την Εικόνα 2.28 καθώς και τις τιμές του Πίνακα 2.11 είναι εμφανές πως οι πωλήσεις κυμαίνονται στα ίδια επίπεδα για τις χρονιές 2004, 2005 και Θεωρώντας πως η τάση αυτή θα διατηρηθεί και το 2007, μπορούμε να υπολογίσουμε να τις πωλήσεις σε εξοπλισμό χιονοπέδιλων για κάθε δίμηνο του Ως εκ τούτου θεωρούμε πως οι συνολικές πωλήσεις για το 2007 θα κυμανθούν στα ίδια επίπεδα με τις προηγούμενες χρονιές και ενδεικτικά θεωρούμε την τιμή των 1470 ζευγαριών χιονοπέδιλων. Προκειμένου να υπολογιστούν οι πωλήσεις για κάθε δίμηνο πολλαπλασιάζουμε τη συνολική ζήτηση για το 2007 με τον εκάστοτε εποχιακό παράγοντα. Κατά συνέπεια προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές: SF S F ,45 662,02 SF S F , ,79 SF S F ,017 25,38 SF S F ,007 10,35 SF S F , ,55 SF S F ,3 441,92 Παρατηρώντας τις πωλήσεις για κάθε δίμηνο φαίνεται πως κυμαίνονται στα ίδια επίπεδα με αυτές των προηγούμενων αντίστοιχων περιόδων. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.29). Συνολικές Πωλήσεις για το 2004 =SUM(D6:I6) Συνολικές Πωλήσεις για το δίμηνο Ι Φ για τα έτη =SUM(D6:D8) Εποχιακός Παράγοντας =ROUND((D9/$J$9)*$G$12;2) Εικόνα 2.29: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για την περίπτωση εποχιακών διακυμάνσεων Χρονική σειρά με εποχιακά στοιχεία και στοιχεία γραμμικής τάσης Η ενότητα αυτή αφορά την πρόβλεψη χρονικής σειράς που εμπεριέχει στοιχεία τάσης και εποχιακά. Ουσιαστικά, χρησιμοποιούνται οι τεχνικές που αναφέρθηκαν στις προηγούμενες δύο ενότητες με μοναδική διαφορά ότι απαιτείται να διαχωριστεί η εποχιακή επίδραση από την χρονική σειρά (deseasonalizing). Συνεπώς, η μέθοδος που θα εφαρμοστεί περιλαμβάνει αρχικά την απομάκρυνση του εποχιακού συστατικού από τη χρονική σειρά και έπειτα τη μελέτη της χρονικής σειρά με γραμμική τάση βάσει της μεθόδου που αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο. Κατόπιν, χρησιμοποιώντας έναν υπολογισμό προβολής τάσης, είναι δυνατό να προβλεφτεί το τμήμα τάσης των περιόδων χρονικής σειράς στο μέλλον ενσωματώνοντας όμως 97

98 και το εποχιακό στοιχείο με τη χρησιμοποίηση ενός εποχιακού δείκτη για να ρυθμίσει την προβολή τάσης. Παράδειγμα Θεωρούμε μια επιχείρηση που πουλάει εξοπλισμό για χειμερινά σπορ όπως σκι και χιονοσανίδα. Λόγω της φύσης των αθλημάτων αυτών, η επιχείρηση παρουσιάζει περισσότερες πωλήσεις κατά τους χειμερινούς μήνες. Ο Πίνακας 2.13 περιέχει τις πωλήσεις ζευγαριών χιονοπέδιλων για κάθε μήνα για τις χρονιές Πίνακας 2.13: Πωλήσεις χιονοπέδιλων. Ζήτηση ανά δίμηνο Έτος Ι-Φ Μ-Α Μ-Ι Ι-Α Σ-Ο Ν-Δ Εικόνα 2.30: Γραφική απεικόνιση πωλήσεων χιονοπέδιλων. Μαθηματική Επίλυση Αρχικά πραγματοποιούμε κάποιους βασικούς υπολογισμούς τους οποίους εισάγουμε στον Πίνακα Πίνακας 2.14: Περίληψη υπολογισμών για εποχιακές διακυμάνσεις. Ζήτηση ανά δίμηνο Έτος Ι-Φ Μ-Α Μ-Ι Ι-Α Σ-Ο Ν-Δ Σύνολο Βάσει των δεδομένων των τριών ετών και των υπολογισμών που εισήχθηκαν στον Πίνακα 2.14 μπορούμε να υπολογίσουμε τους εποχιακούς παράγοντες διαιρώντας τη συνολική διμηνιαία ζήτηση των τριών ετών με τη συνολική ζήτηση και για τα τρία χρόνια. Επομένως, προκύπτουν οι εξής παράγοντες: S , S 746 0, S 91 0, S 36 0, S 376 0, S , Παρατηρώντας προσεκτικά την Εικόνα 2.30, που απεικονίζει τις πωλήσεις σε χιονοπέδιλα ανά έτος, μπορούμε να εξάγουμε αβίαστα το συμπέρασμα πως οι πωλήσεις παρουσιάζουν μια αυξητική τάση και κατά συνέπεια μπορούν να αναπαρασταθούν μέσω της τεχνικής γραμμικής παλινδρόμησης. Επομένως μέσω των δεδομένων και υπολογισμών του Πίνακα 2.15, είναι δυνατό να σχηματίσουμε τον ακόλουθο τύπο της γραμμικής γραμμής τάσης. 98

99 y 23,83 67,2 t (1) Πίνακας 2.15: Περίληψη υπολογισμών για γραμμική γραμμή τάσης. t y t y t Εικόνα 2.31: Γράφημα με πωλήσεις ανά έτος. Γνωρίζοντας πλέον τη γενική τάση που παρουσιάζουν οι πωλήσεις εξοπλισμού σκι μπορούμε να προχωρήσουμε με τον υπολογισμό της ζήτησης για το έτος 2008 και για πιο συγκεκριμένα για κάθε δίμηνο του Αρχικά υπολογίζουμε την πρόβλεψη συνολικά για το 2008 βάσει του τύπου (1). y ,5 138,5 t ,5 138, ,5 Επομένως οι συνολικές πωλήσεις για το 2008 είναι 1872 ζευγάρια χιονοπέδιλα. Προκειμένου να υπολογιστούν οι πωλήσεις για κάθε δίμηνο πολλαπλασιάζουμε τη συνολική ζήτηση για το 2008 με τον εκάστοτε εποχιακό παράγοντα. Κατά συνέπεια προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές: SF S F 2010,5 0, ,63 SF S F 2010,5 0, ,64 SF S F 2010,5 0,019 38,2 SF S F 2010,5 0,008 16,8 SF S F 2010,5 0, ,83 SF S F 2010,5 0, ,13 Παρατηρώντας τις πωλήσεις για κάθε δίμηνο φαίνεται πως ικανοποιούν τόσο τις εποχιακές διακυμάνσεις όσο και τη γενικότερη αυξητική τάση. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.32). 99

100 Παράμετρος b0 =INTERCEPT(J6: J8;C6:C8) Εποχιακός Παράγοντας =ROUND((D9/$J$9)*$P$12;2) Παράμετρος b1 =SLOPE(J6:J8;C6:C8) Συνολική Ζήτηση για το 2008 =$N$6+$N$7*$N $11 Εικόνα 2.32: Παράδειγμα επίλυσης με Excel για την χρονικής σειράς με εποχιακή στοιχεία και στοιχεία γραμμικής τάσης. 100

101 2.5 Μέθοδοι παλινδρόμησης Οι μέθοδοι παλινδρόμησης (regression methods) χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών, δηλαδή την πρόβλεψη της συμπεριφοράς μιας μεταβλητής (εξαρτημένης) από άλλες (ανεξάρτητες). Τα προβλήματα παλινδρόμησης μπορούν να διαχωριστούν με βάση δύο κριτήρια τον αριθμό των εμπλεκομένων μεταβλητών και το είδος της συσχέτισης. Συγκεκριμένα, όταν η πρόβλεψη αφορά στην πρόβλεψη της εξαρτημένης μεταβλητής από μία μόνο ανεξάρτητη τότε πρόκειται για απλή παλινδρόμηση, αντίθετα όταν εμπλέκονται περισσότερες της μίας ανεξάρτητες μεταβλητές τότε πρόκειται για πολλαπλή παλινδρόμηση. Επιπλέον, στην περίπτωση που το μοντέλο εξάρτησης εξαρτημένης μεταβλητής είναι γραμμικό πρόκειται για γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης σε αντίθεση με τα μη γραμμικά. Στην περίπτωση της πρόβλεψης επικεντρωνόμαστε στον προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ διαφόρων μεταβλητών και της ζήτησης Απλή γραμμική παλινδρόμηση Η απλή γραμμική παλινδρόμηση είναι μια μαθηματική τεχνική που συσχετίζει μια μεταβλητή (ανεξάρτητη μεταβλητή) με μία άλλη (εξαρτημένη μεταβλητή) με τη μορφή μια εξίσωσης ευθείας γραμμής (Russel, R., and Taylor, T., 2006). Η εξίσωση που απεικονίζει την έννοια της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι η ακόλουθη: y b b x όπου y = εξαρτημένη μεταβλητή (ζήτηση) b 0 = σημείο τομής της γραμμής τάσης με τον άξονα των τεταγμένων (άξονας των y) b 1 = κλίση της γραμμής τάσης ή συντελεστής διεύθυνσης x = ανεξάρτητη μεταβλητή Οι προαναφερθείσες παράμετροι της εξίσωσης της γραμμικής τάσης μέσω της εφαρμογής τύπων ελαχίστων τετραγώνων για γραμμική παλινδρόμηση. b x y n x y x n x b y b x όπου n = αριθμός περιόδων x = μέσος όρος των x τιμών (μέση τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής) = μέσος όρος των y τιμών (μέση τιμή της ζήτησης) y = πραγματική τιμή της ζήτησης για μια τιμή της μεταβλητής x Στα πλαίσια της χρήσης της γραμμική παλινδρόμησης ως τεχνική πρόβλεψης της ζήτησης, η εξαρτημένη μεταβλητή θα αντιπροσωπεύει τη ζήτησης και η ανεξάρτητη μεταβλητή ένας παράγοντας επιδρά με γραμμικό τρόπο στη μεταβολή της ζήτησης. Παράδειγμα Θεωρούμε μια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων της Toyota που αποτελεί βασικό αντιπρόσωπο της εταιρίας στη Βόρεια Ελλάδα. Οι πωλήσεις της εταιρίας θεωρούνται πως σχετίζονται άμεσα με το μέσο κατά κεφαλή εισόδημα των κατοίκων της περιοχής. Ο Πίνακας 2.16 περιέχει το μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα των κατοίκων της περιοχής για οκτώ χρόνια και τις πωλήσεις κατά το ίδιο χρονικό διάστημα. Γενικά παρά κάποιες αυξομειώσεις στις πωλήσεις, είναι δυνατό να διακρίνει κανείς μια γενική αυξητική τάση. Στόχος είναι να βρεθεί η γραμμική συνάρτηση που απεικονίζει καλύτερα την τάση αυτή. 101

102 Πίνακας 2.16: Πωλήσεις αυτοκινήτων. Κατά Κεφαλήν Εισόδημα (Ε) Πωλήσεις (y) Εικόνα 2.33: Γραφική απεικόνιση πωλήσεων αυτοκινήτων Επίλυση Προκειμένου να σχηματίσουμε την εξίσωση της γραμμικής τάσης, θα πρέπει να υπολογιστούν οι μέσες τιμές του κατά κεφαλήν εισοδήματος, της ζήτησης και οι παράμετροι b 0 και b 1. Στον Πίνακα 2.17 περιλαμβάνονται οι βασικότεροι υπολογισμοί για τον προσδιορισμό της εξίσωσης. Πίνακας 2.17: Περίληψη υπολογισμών για την απλή γραμμική παλινδρόμηση. x y x y x Βάσει του Πίνακα 2.17 μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους b 0 και b 1 της εξίσωσης γραμμικής τάσης. x 7931 =1241 το μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα της περιοχής 991,375 πωλήσεις ανά μήνα x y n x y b x n x b y b x 991,375 0, , , ,7642 Συνεπώς, ο τύπος γραμμικής τάσης που περιγράφει τις πωλήσεις αυτοκινήτων είναι ο ακόλουθος: y 43,0028 0,7642 x Η Εικόνα 2.34 αναπαριστά την γραμμική γραμμή τάσης συγκριτικά με τα πραγματικά δεδομένα. Ένα μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι η θεώρηση πως τα δεδομένα ακολουθούν πάντα μια ευθεία γραμμή. Η θεώρηση αυτή περιορίζει τη χρήση της μεθόδου σε κοντινό και μικρό χρονοπλαίσιο ώστε να υπάρχει αυξημένη πιθανότητα να ισχύει η αρχική τάση. 102

103 Εικόνα 2.34: Γράφημα με πραγματικές τιμές και προβλέψεις με τη μέθοδο απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Οι πιο συνήθεις μετρικές για μοντέλα γραμμικής τάσης είναι η συσχέτιση και ο συντελεστής προσδιορισμού. Ο συντελεστής συσχέτισης εξετάζει τη σχέση μεταξύ της μεταβλητής του χρόνου και της ζήτησης ενώ ο συντελεστής προσδιορισμού ορίζει το ποσοστό της μεταβολής της ζήτησης που οφείλεται στη μεταβολή του χρόνου. Η τιμή του συντελεστή συσχέτισης είναι η εξής: n x y x y n x x n y y 0, Είναι εμφανές πως η συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών είναι πολύ ισχυρά γραμμικά θετική καθώς είναι περίπου ίση με τη μονάδα. Αντιστοίχως, η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού ισούται με r 0,9939 0,9878. Η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού ερμηνεύεται ως εξής: το 98,78 τοις εκατό της μεταβολής των πωλήσεων των αυτοκινήτων μπορούν να αποδοθούν στο κατά κεφαλήν εισόδημα των κατοίκων της περιοχής (το υπόλοιπο 1,22 τοις εκατό οφείλεται σε άλλους παράγοντες). Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 1.35). Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.36). 103

104 Παράμετρος b0 =INTERCEPT(E6:E17; D6:D17) Παράμετρος b1 =SLOPE(E6:E17; D6:D17) Δεδομένα πωλήσεων για διάφορετικά κατά κεφαλήν εισοδήματα Συσχέτιση =CORREL(D6:D17;E6:E17) Συντελεστής προσδιορισμού =RSQ(D6:D17;E6:E17) Εικόνα 2.35: Παράδειγμα επίλυσης με το Excel με τη μέθοδο απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Εικόνα 2.36: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool με τη μέθοδο απλής γραμμικής παλινδρόμησης. 104

105 2.5.2 Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση Μια άλλη αιτιολογική μέθοδος πρόβλεψης είναι η πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση. Αυτή αποτελεί μια γενίκευση/ επέκταση της απλής γραμμική παλινδρόμησης. Σε αντίθεση με την απλή γραμμική παλινδρόμηση η ζήτηση εξαρτάται/ σχετίζεται με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές. Η εξίσωση που απεικονίζει το μοντέλο της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι η ακόλουθη: y b b x b x b x όπου y = εξαρτημένη μεταβλητή (ζήτηση) b 0 = σημείο τομής της γραμμής τάσης με τον άξονα των τεταγμένων (άξονας των y) b 1, b 2,...,b n,= παράμετροι που καθορίζουν την συνεισφορά της αντίστοιχης μεταβλητής στην ζήτηση x 1, x 2,, x n = ανεξάρτητες μεταβλητές 105

106 2.6 Μέθοδος πρόβλεψης για καινούρια προϊόντα Γενικά, κατά τη διαδικασία πρόβλεψης χρησιμοποιούνται δεδομένα προηγούμενων χρονικών περιόδων προκειμένου να υπολογιστεί η μελλοντική ζήτηση. Εντούτοις, υπάρχουν περιπτώσεις μη διαθεσιμότητας παρελθοντικών δεδομένων ζήτησης. Τέτοιες περιπτώσεις είναι η εισαγωγή ενός καινούριου προϊόντος σε έναν υπάρχοντα πληθυσμό ή το ξεκίνημα ενός προγράμματος αυτό-συντηρήσης μιας επιχείρησης όπου ο αρμόδιος επιχειρεί να καθορίσει τις αρχικές απαιτήσεις για τα ανταλλακτικά (DEC). Μια προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων αυτού του είδους, που έχει αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα, απαιτεί την ανάπτυξη μιας πρόβλεψης που βασίζεται στο συνιστώμενο κατάλογο εφεδρειών (Recommended Spares List - RSL) ενός προμηθευτή και σε πρόβλεψη με βάση διαθέσιμες πληροφορίες (DEC). Όσον αφορά τον κατάλογο RSL, είναι ένας ειδικά έτοιμος κατάλογος ηλεκτρονικών ενοτήτων (κυκλώματα), ηλεκτρομηχανικά μέρη, και συστατικών μέρη (π.χ., ολοκληρωμένα κυκλώματα, κρυσταλλολυχνίες, δίοδοι, κ.λπ.). Συνεπώς, το RSL είναι το έγγραφο που χρησιμοποιείται στα πλαίσια της πρόβλεψης των αρχικών απαιτήσεων ανταλλακτικών (DEC). Εκτός από το RSL, ο αρμόδιος καθορισμού των αρχικών απαιτήσεων ανταλλακτικών, πρέπει να υπολογίσει και την πρόβλεψη των ανταλλακτικών για τον νέο προϊόν. Για τον υπολογισμό μιας τέτοιας πρόβλεψης απαιτούνται οι ακόλουθες είσοδοι (DEC): Πληθυσμός του υλικού Κανονικός ρυθμός αποτυχίας (Normal Failure Rate - NFR), που απεικονίζει τον αριθμό των αποτυχιών που αναμένεται να συμβούν κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης χρονικής περιόδου, Κύκλος καθήκοντος (Duty Cycle - DC), που αντικατοπτρίζει το κλάσμα του χρόνου που μια συσκευή ξοδεύει για την εκτέλεση μιας συγκεκριμένης διαδικασίας προς το συνολικό χρόνο, Δεδομένα κόστους, που αντιστοιχούν στις δαπάνες επισκευής και ανεφοδιασμού των καινούριων εξαρτημάτων. Μια το πρόβλεψη ανταλλακτικών νέων προϊόντων είναι χρήσιμη για την πρόβλεψη της μελλοντικής ζήτησης των εξαρτημάτων όταν δεν είναι γνωστά προηγούμενα δεδομένα ζήτησης. Μέσω της πρόβλεψης ανταλλακτικών νέων προϊόντων υπολογίζονται και οι ακόλουθες παράμετροι (DEC): Απαιτήσεις για ανταλλακτικά που χρησιμοποιούνται για μια νέα συσκευή Πληροφορίες για τις αρχικές απαιτήσεις αποθεμάτων Πρόβλεψη των απαιτήσεων των εξαρτημάτων σε εβδομαδιαία, μηνιαία, ή τριμηνιαία βάση Διάφορες δαπάνες συμπεριλαμβανομένων των δαπανών επισκευής και αγοράς. Εικόνα 2.37: Βήματα ανάπτυξης πρόβλεψης καινούριου ανταλλακτικού (DEC). Η διαδικασία που ακολουθείται κατά την πρόβλεψη αποτελείται από 8 βασικά βήματα και οι μεταβλητές εισόδου αποτελούν βασικά δομικά στοιχεία αυτής (DEC). Συνολικά, τα βήματα της διαδικασίας πρόβλεψης καινούριων εξαρτημάτων απεικονίζονται στην Εικόνα 2.37, ενώ ακολουθεί αναλυτική περιγραφή τους και έπειτα γίνεται μια εφαρμογή του αλγορίθμου. Βήμα 1: Υπολογισμός του Population Responsibility 106

107 Το πρώτο βήμα είναι ο υπολογισμός του population responsibility που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των συσκευών που η αποθήκη αναμένεται να υποστηρίξει με τα ανταλλακτικά. Οι παράμετροι αρχικός αριθμός των συσκευών, μηνιαίες αποστολές συσκευών, και συσκευές που δεν υποστηρίζονται από την αυτο-συντήρηση χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της παραμέτρου population responsibility. Η παράμετρος αυτή πρέπει να υπολογιστεί προκειμένου να υπολογιστούν οι υλικές απαιτήσεις λόγω αποτυχιών και λόγω των αναγκών αποθεμάτων του κλάδου. Βήμα 2: Καθορισμός του Κανονικού Ρυθμού Βλαβών (NFR) Ο κανονικός ρυθμός βλαβών (Normal Failure Rate - NFR) καθορίζεται για κάθε συσκευή. Δεδομένων των πληθυσμών και των ρυθμών αποτυχίας τους, είναι δυνατό να υπολογιστεί ο αριθμός των αποτυχιών ανά εξάρτημα για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Υπάρχουν δύο μέθοδοι για τον υπολογισμό του normal failure rate: NFR με βάση το μέσο χρόνο μεταξύ αποτυχιών NPR με βάση την προηγούμενη εμπειρία με παρόμοιες συσκευές Μέθοδος 1: Υπολογισμός NFR με βάση το MTBF Μια μέθοδος για τον υπολογισμού της περιόδου αναθεώρησης ενός εξαρτήματος είναι μέσω του συνιστώμενου χρόνου μεταξύ αποτυχιών (MTBF) που προτείνει ο προμηθευτής. O MTBF αποτελεί μια εκτίμηση του ποσοστού αποτυχίας ενός προϊόντος και ορίζεται ως ο μέσος αριθμός ωρών μεταξύ των αποτυχιών. Κάποιες επιχειρήσεις θεωρούν πως η παράμετρος αυτή είναι εμπιστευτική και άρα δε διατίθεται στους πελάτες. σε ώρες ή σε ώρες Από τον παραπάνω τύπο είναι εμφανές πως για τον υπολογισμό του NFR απαιτείται γνώση των εξής παραμέτρων: Περίοδος αναθεώρησης (Review Period - RP): μέσος αριθμός ωρών ανά περίοδο αναθεώρησης. Μέσος Χρόνος Μεταξύ Βλαβών (Mean Time Between Failure - MTBF): μέσος χρόνος λειτουργίας ενός προϊόντος πριν την εμφάνιση μιας αστοχίας. Ο προμηθευτής συνήθως υπολογίζει το MTBF με τον ακόλουθο τύπο: MTBF Σύνολο Ωρών Λειτουργίας Αριθμός Αστοχιών Παράγοντας Κύκλου Λειτουργίας (Duty Cycle Factor - DCF): Σε περίπτωση που ο προμηθευτής παρέχει τον παράγοντα MTBF, θα πρέπει να είναι γνωστός ο κύκλος λειτουργίας (Duty Cycle - DC)στον οποίο επιτεύχθηκαν τα αποτελέσματα της δοκιμής. Ο συνολικός χρόνος αναφέρεται στο χρόνο που μια συσκευή λειτουργεί καθώς και σε αυτόν που δε λειτουργεί. Ο χρόνος σε αυτήν την αναλογία μπορεί να εκφραστεί σε ημέρες ή ώρες. % ό ί ό ό Ο παράγοντας κύκλου λειτουργίας αποτελεί ένα ποσοστό που χρησιμοποιείται για να τροποποιήσει του παράγοντα MTBF, προκειμένου ο τελευταίος να απεικονίζει την επίδραση του χρόνου ανοιγοκλεισίματος κατά τη διάρκεια της χαρακτηριστικής χρήσης μιας συσκευής. % % 107

108 Ο παράγοντας «User Operating Time» αντιπροσωπεύει το ποσοστό χρόνου που αναμένεται να λειτουργεί η συσκευή, ενώ ο παράγοντας «Vendor Duty Cycle» αποτελεί τον κύκλο λειτουργίας της συσκευής που παρέχει ο προμηθευτής μαζί με την πληροφορία MTBF. Μέθοδος 2: Υπολογισμός NFR με βάση την προηγούμενη εμπειρία με παρόμοιες συσκευές Δεδομένου ότι η πλειοψηφία των προϊόντων αποτελούν εξελίξεις παλιότερων με τα οποία σχετίζονται μάλιστα αρκετά και ως προς τη λειτουργία αλλά και ως προς την αρχιτεκτονική, είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η ομοιότητα αυτή για τον υπολογισμό του NFR. Φυσικά για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής απαιτείται η σύγκριση να βασίζεται σε συσκευές που εκτελούν την ίδια λειτουργία, μοιράζονται παρόμοιες περιβαλλοντικές συνθήκες, και έχουν παρόμοιους κύκλους λειτουργίας. Βήμα 3: Υπολογισμός της Ζήτησης της Περιόδου Αναθεώρησης (RPD) Το επόμενο βήμα είναι ο υπολογισμός της ζήτησης της περιόδου αναθεώρησης (Review Period Demand RPD). Η RPD αντικατοπτρίζει την προβλεπόμενη ζήτηση ενός εξαρτήματος κατά τη διάρκεια κάθε περιόδου αναθεώρησης. Βήμα 4: Υπολογισμός απαιτήσεων αποθεμάτων Οι απαιτήσεις των ανταλλακτικών καθορίζονται για κάθε μήνα μέσω του υπολογισμού του στοχευόμενου επιπέδου αποθεμάτων (Target Stock Level - TSL) για μια επιχείρηση αυτόσυντήρησης. Το επίπεδο TSL αντιπροσωπεύει το βέλτιστο επίπεδο αποθεμάτων για ένα δεδομένο ανταλλακτικό κατά τη διάρκεια μιας σταθερής χρονικής περιόδου και θέτει ένα αρκετά συγκεκριμένο στόχο αποθεμάτων που θα πρέπει να υφίστανται για ένα συγκεκριμένο ανταλλακτικό. Από τον παραπάνω τύπο είναι εμφανές πως για τον υπολογισμό του NFR απαιτείται γνώση των εξής παραμέτρων: Ζήτηση Χρόνου Υστέρησης (Lead Time Demand - LTD) Αποθέματα Ασφαλείας (Safety Stock - SS) Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειώσουμε πως οι τιμές του παράγοντα υπηρεσιών (Service Factor) δίνονται από τον Πίνακα 2.18 ανάλογα με το παρεχόμενο επίπεδο υπηρεσιών της επιχείρησης. Πίνακας 2.18: Τιμές Παράγοντα Υπηρεσιών για τον Υπολογισμό του Αποθέματος Ασφαλείας. Τιμές Παράγοντα Επίπεδο Υπηρεσιών Υπηρεσιών 50 0,0 75 0, , , , ,65 108

109 98 2, ,33 99,9 3,09 Βήμα 5: Υπολογισμός των Ακαθάριστων Υλικών Απαιτήσεων (GMR) Οι ακαθάριστες (συνολικές) υλικές απαιτήσεις (GMR) αντιπροσωπεύουν οποιαδήποτε αύξηση στο συνολικό υλικό λόγω των απαιτήσεων κατανάλωσης. Δηλαδή, αντικατοπτρίζουν τον αριθμό των ανταλλακτικών που χρειάζονται ανανέωση λόγω βλαβών των συσκευών. Επιπλέον, το GMR αντικατοπτρίζει τις αλλαγές που συμβαίνουν στο TSL. όπου το ΔTSL αντικατοπτρίζει τη μεταβολή του TSL. Βήμα 6: Υπολογισμός υλικών στον κύκλο επιστροφών Στο βήμα αυτό υπολογίζεται ο αριθμός των εξαρτημάτων στον κύκλο επιστροφών, αντιστοιχεί δηλαδή στα εξαρτήματα εκείνα που επισκευάζονται εσωτερικά από κατάλληλο τμήμα της επιχείρησης ή από τον προμηθευτή. Ο όρος «διαδικασία επισκευής» (Εικόνα 2.38) αναφέρεται στον απαιτούμενο χρόνο υστέρησης για την επισκευή των εξαρτημάτων που αποτυγχάνουν. Επίσης περιλαμβάνει τα εξαρτήματα που εκκρεμούν να επιδιορθωθούν λόγω της περιορισμένης χωρητικότητας του τμήματος επισκευών. Το αποτέλεσμα της διαδικασίας αυτής είναι το πότε και πόσα ανακυκλωμένα εξαρτήματα φτάνουν στην αποθήκη. Εικόνα 2.38: Κύκλος Επιστροφών. Προκειμένου να καθοριστεί ποια εξαρτήματα βρίσκονται στον κύκλο επιστροφών, προηγείται ο καθορισμός του αριθμού των εξαρτημάτων που πρέπει να επισκευαστούν. Επομένως, ο αριθμός των εξαρτημάτων που επιστρέφουν για επισκευή σε κάθε περίοδος αναθεώρησης δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: / Ο παράγοντας «Field Repaired Spares» αντιστοιχεί στην συχνότητα με την οποία ένα εξάρτημα μπορεί να επισκευαστεί επιτυχώς επί του τόπου στο σημείο που έπαθε βλάβη. Υπάρχουν δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις όπου η τιμή του παράγοντα αυτή είναι μηδενική. Πρώτον, στην περίπτωση που μια επιχείρηση απαιτεί την επιστροφή του εξαρτήματος σε ένα εσωτερικό τμήμα επισκευής της επιχείρησης ή του προμηθευτή για επισκευή και δεύτερον στην περίπτωση που το εξάρτημα αυτό έχει χαμηλή αξία ώστε να επιδιορθωθεί οπότε και απορρίπτεται. Ο παράγοντας απόρριψης (Scrap) ισούται με τον προσδοκώμενο αριθμό βλαβών που απορρίπτονται στον τομέα. Το ποσοστό αυτό κυμαίνεται συνήθως από 11% για ένα εξάρτημα μια καινούριας συσκευής σε τουλάχιστον 15% για ένα εξάρτημα μιας υπάρχουσας συσκευής. Επιπλέον, ο ρυθμός απόρριψης μπορεί να φτάσει και το 100% 109

110 σε περιπτώσεις που τα εξαρτήματα δεν επιδέχονται επιδιόρθωσης και απορρίπτονται όταν παθαίνουν κάποια βλάβη. Η διαδικασία επιδιόρθωσης (repair pipeline) αποτελεί το μέσο χρόνο μεταξύ της άφιξης ενός αντικειμένου στο τμήμα επισκευών και της επιστροφής του στην αποθήκη ανεφοδιασμού. Repair Pipeline Site to Inventory Lead lime Repair Facility Lead Time Backlog Time Ο χρόνος υστέρησης των αποθεμάτων ορίζεται ως ο μέσος χρόνος μεταξύ της αποστολής ενός εξαρτήματος από την αρχική τοποθεσία του στο τμήμα επισκευών της επιχείρησης ή του προμηθευτή. Ο χρόνος υστέρησης του τμήματος επισκευών (Repair Facility Lead Time) αντιστοιχεί στο μέσο χρόνο που απαιτείται για την επισκευή των εξαρτημάτων στο τμήμα επισκευών της επιχείρησης ή του προμηθευτή. Στο χρόνο αυτό περιλαμβάνονται ο χρόνος επιθεώρησης, δοκιμής, επισκευής καθώς και ο χρόνος δρομολόγησης των ανακυκλωμένων εξαρτημάτων στην αποθήκη. Η ανεκτέλεστη παραγγελία (Backlog Time) αντικατοπτρίζει τον πρόσθετο χρόνο που πρέπει να προστεθεί στη διαδικασία επιδιόρθωσης στην περίπτωση που τα εξαρτήματα στο τμήμα επισκευών της επιχείρησης ή του προμηθευτή εισάγονται σε μια ουρά αναμονής. Η ανεκτέλεστη παραγγελία ισχύει για τις περιπτώσεις όπου ο αριθμός των εξαρτημάτων που καταφτάνουν για επισκευή υπερβαίνει τη χωρητικότητα του τμήματος επισκευών. Βήμα 7: Υπολογισμός του ισοζυγίου των υλικών (NMR) Το ισοζύγιο υλικών (Νet material requirement - NMR) αντιστοιχεί στον κατ' εκτίμηση αριθμό των ανταλλακτικών που πρέπει προμηθευτεί η επιχείρηση. Συγκεκριμένα, προκειμένου να διατηρηθεί το επίπεδο υπηρεσίας μιας επιχείρησης που έχει δυνατότητα αυτό-συντήρησης απαιτείται να υπολογιστεί εκ των προτέρων ο αριθμός των ανταλλακτικών που πρέπει να αγοραστούν από τον προμηθευτή (NMR). Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί πως σε περίπτωση που το αποτέλεσμα του παραπάνω τύπου είναι αρνητικό, ορίζουμε το NMR ίσο με το μηδέν. Βήμα 8: Υπολογισμός των Συνολικών Δαπανών Ένα σημαντικό αποτέλεσμα αυτής της πρόβλεψης είναι ότι παρέχει μια εκτίμηση των δαπανών που συνδέονται με τη διατήρηση αποθεμάτων ανταλλακτικών. Ο υπολογισμός του συνολικού κόστους (Cumulative Costs) για τα ανταλλακτικά αποτελεί το τελικό βήμα στη διαδικασία αυτή. Από τον παραπάνω τύπο είναι εμφανές πως για τον υπολογισμό του NFR απαιτείται γνώση των εξής παραμέτρων: Κόστος NMR: Το κόστος αυτό είναι ίσο με την αξία παραγγελίας νέων εξαρτημάτων κάθε μονάδας προϊόντος επί την ποσότητα που αγοράζεται για κάθε περίοδο αναθεώρησης. Στοιχεία κόστους Επισκευής/ Επιδιόρθωσης (Repair Costs): Τα στοιχεία κόστους αυτά διακρίνονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με το αν η επισκευή γίνεται σε τμήμα εσωτερικά της επιχείρησης ή από τον ίδιο τον προμηθευτή. Κατά συνέπεια υπάρχουν τα εξής δύο στοιχεία κόστους επισκευής: o Κόστος Επιδιόρθωσης Προμηθευτή (Vendor repair cost), που μπορεί να ανακτηθεί από τη λίστα τιμών του προμηθευτή. o Κόστος Επιδιόρθωσης από εσωτερικό τμήμα της επιχείρησης (In-house repair cost), που είναι το μέσο κόστος επισκευών ενός εξαρτήματος από την μονάδα αυτόσυντήρησης της επιχείρησης. Παράδειγμα 110

111 Ένας πελάτης αναμένεται για να διατηρήσει συνολικά 300 εκτυπωτές. Οι συσκευές αυτές θα παραληφθούν κατά τη διάρκεια ενός εξαμήνου του χρόνου. Μαθηματική Επίλυση Βήμα 1: Υπολογισμός του Population Responsibility Ο πελάτης θέλει να προβλέψει τον αριθμό των νέων ανταλλακτικών για τις πρώτες έξι αποστολές εκτυπωτών-τερματικών. Η πρόβλεψη διαιρείται σε έξι συνεχόμενες περιόδους αναθεώρησης (review period) κάθε μία από τις οποίες αντιστοιχεί σε ένα μήνα. Μια περίοδος αναθεώρησης (επίσης γνωστή ως περίοδος πρόβλεψης) είναι ίση με το χρονικό διάστημα μεταξύ των προβλέψεων. Γενικά, το μέγεθος της περιόδου αναθεώρησης μπορεί να ποικίλει προκειμένου να ανταποκριθούν οι ιδιαίτερες ανάγκες μιας επιχείρησης παροχής υπηρεσιών. Εντούτοις, μόλις καθιερωθεί, η περίοδος αναθεώρησης πρέπει να παραμείνει σταθερή. Η πιο συχνά χρησιμοποιημένη περίοδος πρόβλεψης στη επιχείρηση παροχής υπηρεσιών είναι ένας επιχειρησιακός μήνας, ή 21 εργάσιμες ημέρες. Αρχικά η επιχείρηση έχει να υποστηρίξει δέκα τερματικά (αρχική βάση) που συντηρούνταν αρχικά από τον τομέα υπηρεσιών της επιχείρηση του προμηθευτή. Κατά τη διάρκεια των επόμενων έξι μηνών 395 επιπλέον τερματικά θα σταλούν στην επιχείρηση (device shipments). Από τα τερματικά αυτά, η επιχείρηση θα στείλει το 26% αυτών σε μια μακρινή περιοχή όπου δε μπορεί να πραγματοποιηθεί αυτο-συντήρηση. Κατά συνέπεια προκύπτει πως το population responsibility με βάση τον τύπο είναι ίσο με: Population Responsibility Cumulation Starting Device Base Monthly Shipments Devices not supported by self maintenance % Ο Πίνακας 2.19 περιγράφει αναλυτικά τον υπολογισμό του population responsibility για κάθε μήνα. Ενδεικτικά παραθέτουμε τους υπολογισμούς των παραμέτρων για τους πρώτους δύο μήνες. Μήνας 1 Αρχική Βάση Τερματικών 10 Αποστολή Τερματικών 10 Τερματικά που Δεν Υποστηρίζονται από Αυτό Συντήρηση 3 Τερματικά που Υποστηρίζονται από Αυτό Συντήρηση Μήνας 2 Αρχική Βάση Τερματικών 10 Αποστολή Τερματικών 13 Τερματικά που Δεν Υποστηρίζονται από Αυτό Συντήρηση 3 Τερματικά που Υποστηρίζονται από Αυτό Συντήρηση Πίνακας 2.19: Υπολογισμός του population responsibility. Παράμετροι Μήνας Σημειώσεις Αρχική Βάση Τερματικών Αποστολή Τερματικών Σύνολο Αποστολών: 395 Τερματικά που Δεν 105 τερματικά ή 26% των Υποστηρίζονται από την Συνολικών Αποστολών Αυτό-Συντήρηση Τερματικά που Υποστηρίζονται από την Αυτό-Συντήρηση Population Responsibility Επομένως ο συνολικός πληθυσμός είναι 300 τερματικά. 111

112 Βήμα 2: Υπολογισμός του Κανονικού Ρυθμού Βλαβών (NFR) Μέθοδος 1: Υπολογισμός NFR με βάση το MTBF Υπολογισμός του κανονικού ρυθμού αποτυχίας ενός τερματικού στο διάστημα των πρώτων έξι μηνών των αποστολών. Από τον προμηθευτή δίνεται ο μέσος χρόνος μεταξύ των βλαβών MTBF που είναι ίσος με ώρες. Θεωρούμε ότι τα τερματικά δουλεύουν 12 ώρες ανά ημέρα για 30 εργάσιμες μέρες το μήνα. Ο παράγοντας κύκλων καθήκοντος αρμόδιων δίνεται ως εξής: 12 0,5 24 Αντίστοιχα, ο μέσος αριθμός ωρών ανά περίοδο αναθεώρησης στο παράδειγμα αυτό είναι ίσος με τον αριθμός ωρών ανά μήνα, δηλαδή: Συνεπώς, ώρες 720 0,5 0, Μέθοδος 2: Υπολογισμός NFR με βάση την προηγούμενη εμπειρία με παρόμοιες συσκευές Υπολογισμός του κανονικού ρυθμού αποτυχίας ενός τερματικού στο διάστημα των πρώτων έξι μηνών των αποστολών. Οι μόνες διαθέσιμες πληροφορίες είναι: ο αριθμός αποτυχιών δύο παρόμοιων ανταλλακτικών που χρησιμοποιούνταν σε παλιότερο τερματικό σε τριμηνιαία βάση και ο πληθυσμός του υλικού κατά τη διάρκεια των ίδιων τριμήνων. Συγκεκριμένα ο πληθυσμός για το πρώτο τρίμηνο είναι 500 με αριθμό σφαλμάτων 5 και αντίστοιχα για το δεύτερο τρίμηνο ο πληθυσμός είναι 600 με 6 σφάλματα. Συνεπώς, NFR NFR ,01 0,01 Βήμα 3: Υπολογισμός της Ζήτησης της Περιόδου Αναθεώρησης (RPD) Με βάση τον τύπο και τα αποτελέσματα των προηγούμενων βημάτων μπορεί να υπολογιστεί η ζήτηση της περιόδου αναθεώρησης. Ο Πίνακας 2.20 περιγράφει αναλυτικά τον υπολογισμό του RPD για κάθε μήνα. Ενδεικτικά παραθέτουμε τους υπολογισμούς των παραμέτρων για τους πρώτους δύο μήνες. Μήνας 1: 10 0,01 0,1 Μήνας 2: 20 0,01 0,2 Πίνακας 2.20: Υπολογισμός του RPD. Παράμετροι Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) Population Responsibility NFR 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 RPD 0,1 0,2 0,5 1,2 2,1 3,0 Σημειώσεις Αποτελέσματα από Βήμα 1 Αποτελέσματα από Βήμα 1 Βήμα 4: Υπολογισμός απαιτήσεων αποθεμάτων Υπολογισμός των απαιτήσεων των ανταλλακτικών μέσω του υπολογισμού του στοχευόμενου επιπέδου αποθεμάτων (TSL). Οι διαθέσιμες πληροφορίες είναι οι εξής: το RP είναι 112

113 4 εβδομάδες, το επίπεδο υπηρεσιών της επιχείρησης είναι 90% και ο χρόνος υστέρησης είναι 2 εβδομάδες. Στη συνέχεια ακολουθεί ενδεικτικός αναλυτικός υπολογισμός της ζήτησης του χρόνου υστέρησης και των αποθεμάτων ασφαλείας και του TSL για τους πρώτους δύο μήνες. Το σύνολο των υπολογισμών βρίσκεται στους Πίνακες 2.21 και Επιπλέον, θα πρέπει να σημειωθεί πως η τιμή του παράγοντα υπηρεσιών προκύπτει από τον Πίνακα 2.18 και δεδομένου ότι το επίπεδο υπηρεσιών της επιχείρησης είναι 90% είναι ίσος με 1,28 1,3. Μήνας 1 Μήνας 2 2 0,1 0,050,1 4 1,3 0,1 0,1 0,6 0,1 0,1 0,6 0,8 2 0,2 0,1 4 1,3 0,2 0,1 0,7 0,2 0,1 0,7 1,0 Παράμετροι RPD Πίνακας 2.21: Υπολογισμός παραμέτρων του TSL. Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) ,1 0,2 0,5 1,2 2,1 3,0 LTD 0,1 0,1 0,3 0,6 1,1 1,5 Service Factor 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 SS 0,6 0,7 1,2 1,7 2,3 2,8 Σημειώσεις Αποτελέσματα από Βήμα 2 Πίνακας 2.22: Υπολογισμός των απαιτήσεων των αποθεμάτων μέσω του TSL. Παράμετροι Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) Σημειώσεις RPD 0,1 0,2 0,5 1,2 2,1 3,0 LTD 0,1 0,1 0,3 0,6 1,1 1,5 SS 0,6 0,7 1,2 1,7 2,3 2,8 Σύνολο (TSL) 0,8 1,0 2,0 3,5 5,5 7,3 TSL (Προσαρμοσμένο) Στρογγυλοποίηση στον Επόμενο Μεγαλύτερο Ακέραιο Βήμα 5: Υπολογισμός των Ακαθάριστων Υλικών Απαιτήσεων (GMR) Με βάση τον τύπο και τα αποτελέσματα των προηγούμενων βημάτων μπορεί να υπολογιστεί η ζήτηση της περιόδου αναθεώρησης. Ο Πίνακας 2.23 περιγράφει αναλυτικά τον υπολογισμό του GMR για κάθε μήνα. Ενδεικτικά παραθέτουμε τους υπολογισμούς των παραμέτρων για τους πρώτους δύο μήνες. Μήνας 1: 0, ,1 Μήνας 2: 0, ,2 Πίνακας 2.23: Υπολογισμός του GMR. Παράμετροι Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) Συνολικές Απαιτήσεις Σημειώσεις RPD 0,1 0,2 0,5 1,2 2,1 3,0 7,1 Αποτελέσματα 113

114 TSL Δ TSL GMR 1,1 0,2 1,5 3,2 4,1 5 15,1 από Βήμα 2 Προσθήκες στο TSL Βήμα 6: Υπολογισμός υλικών στον κύκλο επιστροφών Προκειμένου να καθοριστεί ποια εξαρτήματα βρίσκονται στον κύκλο επιστροφών, προηγείται ο καθορισμός του αριθμού των εξαρτημάτων που πρέπει να επισκευαστούν. Με βάση τους ειδικούς του σχεδιασμού του συστήματος υπολογίζεται πως ο ρυθμός απόρριψης λόγω βλαβών είναι 4% των εξαρτημάτων, ενώ θα πρέπει να σημειωθεί πως όλα τα εξαρτήματα που αποτυγχάνουν επιστρέφονται στον προμηθευτή για επισκευή (Field Repaired Spares = 0) ή σε κάποιο εσωτερικό τμήμα επισκευών και δεν επισκευάζονται επιτόπου. Ο τύπος που δίνει τον αριθμό των εξαρτημάτων που επιστρέφουν για επισκευή σε κάθε περίοδος αναθεώρησης είναι ο εξής: Με βάση τον παραπάνω τύπο και τα αποτελέσματα των προηγούμενων βημάτων μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός των εξαρτημάτων που πρέπει να επισκευαστούν. Ο Πίνακας 2.24 περιλαμβάνει όλους του υπολογισμούς για τους έξι μήνες. Ενδεικτικά παραθέτουμε τους υπολογισμούς των παραμέτρων για τους πρώτους δύο μήνες. Μήνας 1: 0,1 0 0,1 0,04 0,1 Μήνας 2: 0,2 0 0,2 0,04 0,2 Βάσει των υπολογισμών αυτών είναι δυνατόν να εκτιμηθεί η διαδικασία επισκευών (Πίνακας 2.25). Πίνακας 2.24: Εξαρτήματα προς επισκευή. Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) Παράμετροι Σύνολο Σημειώσεις Αποτελέσματα από Βήμα RPD 0,1 0,2 0,5 1,2 2,1 3,0 7,1 2 Electronic Module. In Field Repaired this case Cannot Be Spares Repaired In-Field Scrap % Scrap Rate Parts To Be 0,1 0,2 0,5 1,2 2,0 2,9 6,9 Repaired Παράμετροι Parts To Be Repaired Recycled Spares Πίνακας 2.25: Υπολογισμός εξαρτημάτων στο κύκλο επιστροφών. Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) Σημειώσεις 0,1 0,2 0,5 1,2 2,0 2,9? Διαδικασία = 1 Μήνας 0 0,1 0,2 0,5 1,2 2,0 2,9 Διαδικασία = 2 Μήνες 0 0 0,1 0,2 0,5 1,2 2,0 Διαδικασία = 3 Μήνες ,1 0,2 0,5 1,2 Διαδικασία = 4 Μήνες ,1 0,2 0,5 114

115 Βήμα 7: Υπολογισμός του ισοζυγίου των υλικών (NMR) Στο βήμα αυτό υπολογίζεται το ισοζύγιο υλικών χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες πληροφορίες (δηλαδή το GMR, ο αριθμός των ανταλλακτικών που επισκευάζονται επιτόπου, και τα ανταλλακτικά προς ανακύκλωση). Με βάση τον παραπάνω τύπο και τα αποτελέσματα των προηγούμενων βημάτων μπορεί να υπολογιστεί το NMR. Ο Πίνακας 2.26 περιλαμβάνει όλους του υπολογισμούς για τους έξι μήνες. Ενδεικτικά παραθέτουμε τους υπολογισμούς των παραμέτρων για τους πρώτους δύο μήνες. Μήνας 1: 1, ,1 Μήνας 2: 0,2 0,1 0 0,1 Το αποτέλεσμα του συνολικού NMR είναι 11,1 και αντιστοιχεί στον συνολικό αριθμό εξαρτημάτων που θα πρέπει να προμηθευτεί η επιχείρηση κατά τη διάρκεια των πρώτων έξι μηνών. Δεδομένου όμως ότι πρόκειται για εξαρτήματα, δεν έχει νόημα η έννοια των δεκαδικών για το λόγο αυτό γίνεται στρογγυλοποίηση των αποτελεσμάτων στον επόμενο μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό (Πίνακας 2.26). Η στρογγυλοποίηση αυτή γίνεται κάθε μήνα. Φυσικά, είναι εμφανές πως με τον τρόπο αυτό μεγαλώνουν οι απαιτήσεις του ισοζυγίου, γεγονός όμως που είναι αποδεκτό ώστε να αποφεύγονται οι ποινικές ρήτρες λόγω έλλειψης αποθέματος. Πίνακας 2.26: Υπολογισμός του NMR. Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) Συνολικές Παράμετροι Απαιτήσεις Σημειώσεις (6 μήνες) GMR 1,1 0,2 1,5 3,2 4,1 5 15,1 Αποτελέσματα από Βήμα 4 Recycled Spares 0 0,1 0,2 0,5 1,2 2,0 4,0 Διαδικασία = 1 Μήνας Field Repaired Spares NMR 1,1 0,1 1,3 2,7 2,9 3 11,1 Προσαρμοσμένο NMR Στρογγυλοποίηση στον Επόμενο Μεγαλύτερο Ακέραιο Βήμα 8: Υπολογισμός των Συνολικών Δαπανών Υπολογισμός των συνολικών δαπανών. Είναι γνωστό πως το κόστος αγοράς είναι 750 ανά εξάρτημα και το αντίστοιχο κόστος επισκευής 150. Με βάση τον τύπο και τα αποτελέσματα των προηγούμενων βημάτων μπορεί να υπολογιστεί το NMR. Ο Πίνακας 2.27 περιλαμβάνει όλους του υπολογισμούς για τους έξι μήνες. Ενδεικτικά παραθέτουμε τους υπολογισμούς των παραμέτρων για τους πρώτους δύο μήνες. Μήνας 1: Μήνας 2: 1, , ,

116 Όπως φαίνεται από τον Πίνακας 2.27, το συνολικό κόστος ανέρχεται σε για την εξάμηνη πρόβλεψη. Σε περίπτωση που χρησιμοποιούνταν το προσαρμοσμένο NMR, το κόστος θα έφτανε τα Πίνακας 2.27: Υπολογισμός του Συνολικού Κόστους. Περίοδος Επιθεώρησης (Μήνας) Συνολικές Παράμετροι Απαιτήσεις Σημειώσεις (6 μήνες) NMR 1,1 0,1 1,3 2,7 2, Αποτελέσματα από Βήμα 7 NMR Cost ( ) Κόστος Αγοράς 750 Recycled Spares 0 0,1 0,2 0,5 1,2 2,0 4,0 Αποτελέσματα από Βήμα 6 Repair Cost ( ) Κόστος Επισκευών 150 NMR Στρογγυλοποιημένο Cumulative στον Επόμενο Μεγαλύτερο Cost Ακέραιο Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα (Εικόνα 2.39). 116

117 Service Factor (C17) IF($M$8=50,0,IF($M$8=75,0.67,(IF($M$8=80,0.84,(IF($M$8=85,1, (IF($M$8=90,1.3,(IF($M$8=95,1.65,(IF($M$8=98,2.05,(IF($M$8=9 9,2.33,(IF($M$8=99.9,3.09))))))))))) Δίνονται από την εκφώνηση C10=C6+C7-C8 C12=($M$6*$M$7/$M$5) C14=C10*C12 C16= ROUND(4*C14/ $M$9,2) C18=ROUND(C17* SQRT(C14+C16),1) C19=C14+C16+C18 C20=ROUNDUP(C19,0) C22=C20-0 C23=C14+C22 C26 =ROUND(C14* $M$11,1) C27= =ROUND(C14-C25- C26,1) C33=C23-C28-C25 C34=ROUNDUP(C33,0) C37=$M$12*C33 C38=$M$13*C28 C39=C37+C38 Εικόνα 2.39: Παράδειγμα επίλυσης με Excel πρόβλεψης καινούριου προϊόντος. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.40). 117

118 Εικόνα 2.40: Παράδειγμα επίλυσης με το Economic Models Tool πρόβλεψης καινούριου προϊόντος. 118

119 2.7 Έλεγχοι καλής προσαρμογής Η ενότητα αυτή επικεντρώνεται σε ένα σημαντικό πρόβλημα της στατιστικής που σχετίζεται με την μορφή της κατανομής που ακολουθεί ένας πληθυσμός. Το ζήτημα αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό καθώς καθορίζει εάν η αναπαράσταση της κατανομής ενός πληθυσμού με βάση μια γνωστή κατανομή είναι ορθή. Στα πλαίσια του ελέγχου της ορθής αναπαράστασης της κατανομής ενός πληθυσμό εφαρμόζονται κάποιοι έλεγχοι οι οποίοι καλούνται «έλεγχοι καλής προσαρμογής» (goodness of fit test) των δεδομένων (Anderson, D.R., et al., 1990). Στόχος λοιπόν των ελέγχων αυτών είναι να ελεγχθεί αν ένας πληθυσμός ακολουθεί μια υποθετική κατανομή πιθανότητας. Οι έλεγχοι αυτοί περιλαμβάνουν τη σύγκριση των παρατηρούμενων συχνοτήτων ενός δείγματος του πληθυσμό με τις αναμενόμενες συχνότητες μιας κατανομής πιθανοτήτων. Συγκεκριμένα μια κατανομή χ τετράγωνο (chi-square distribution) χρησιμοποιείται για να καθορίσει εάν οι διαφορές ανάμεσα στις παρατηρούμενες και τις αναμενόμενες συχνότητες είναι επαρκείς για να απορρίψουν ή να επιβεβαιώσουν την υποτιθέμενη κατανομή πιθανότητας (Anderson, D.R., et al., 1990). Γενικά, οι έλεγχοι καλής προσαρμογής μπορούν να εφαρμοστούν για οποιοδήποτε είδος κατανομής πιθανότητας. Ο έλεγχος καλής προσαρμογής βασίζεται στην κατανομή χ τετράγωνο προκειμένου να καθορίσει εάν ένας πληθυσμός ακολουθεί κάποια συγκεκριμένη κατανομή πιθανότητας. Ο έλεγχος της υπόθεσης αυτής βασίζεται στις διαφορές μεταξύ των παρατηρούμενων συχνοτήτων σε ένα δείγμα και των αναμενόμενων συχνοτήτων βασισμένων στην υποτιθέμενη κατανομή του πληθυσμού. Γενικά, τα βασικά στάδια ενός ελέγχου καλής προσαρμογή είναι τα ακόλουθα (Anderson, D.R., et al., 1990): 1. Διατύπωση της μηδενικής υπόθεσης που υποδεικνύει πως ο πληθυσμός ακολουθεί μια συγκεκριμένη κατανομή με ενδεχομένως συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. 2. Επιλογή ενός τυχαίου δείγματος n δεδομένων και καταγραφή των παρατηρούμενων συχνοτήτων για κάθε μια από τις κατηγορίες ή διαστήματα. 3. Θεωρώντας αληθής την μηδενική υπόθεση, υπολογισμός της που συνδέεται με κάθε μια από τις κατηγορίες. 4. Υπολογισμός της κατανομής χ τετράγωνο βάσει των παρατηρούμενων και των αναμενόμενων συχνοτήτων από τον ακόλουθο τύπο: χ f e e όπου f i = παρατηρούμενη συχνότητα για την κατηγορία i e i = αναμενόμενη συχνότητα για την κατηγορία i θεωρώντας ότι η υπόθεση H 0 είναι αληθής k = αριθμός κατηγοριών p = ο αριθμός των παραμέτρων του πληθυσμού που υπολογίζονται από τα στοιχεία του δείγματος k - p 1 = βαθμοί ελευθερίας για την κατανομή χ τετράγωνο δεδομένου πως η αναμενόμενη συχνότητα κάθε κατηγορίας είναι τουλάχιστον 5 5. Αποδοχή ή απόρριψη της υπόθεσης H 0. Συγκεκριμένα, συγκρίνεται η κρίσιμη τιμή της κανονικής κατανομής με την εκτιμώμενη τιμή για συγκεκριμένη τιμή του επιπέδου σημαντικότητας και των βαθμών ελευθερίας. Στην περίπτωση που η εκτιμώμενη τιμή είναι μικρότερη της κρίσιμης τιμής, δε μπορεί να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση στην αντίθετη περίπτωση απορρίπτεται. Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας θα μελετηθούν αποκλειστικά οι περιπτώσεις που ο υπό έλεγχο πληθυσμός ελέγχεται αν ακολουθεί poisson κατανομή πιθανότητας (Anderson, D.R., et al., 1990) Poisson κατανομή Στην παράγραφο αυτή μελετάται μέσω της εφαρμογής ελέγχων καλής προσαρμογής η περίπτωση που η ελεγχόμενη κατανομή του πληθυσμού είναι Poisson. Στα πλαίσια της μελέτης αυτής θα παρουσιαστεί ένα παράδειγμα. 119

120 Παράδειγμα Θεωρείται ένα κατάστημα της ελληνικής διατροφική αλυσίδα Goodys για γρήγορο φαγητό και συγκεκριμένα μελετάται η άφιξη πελατών. Προκειμένου να επιτευχθεί αποδοτικότερη και ταχύτερη εξυπηρέτηση πελατών συζητάτε το ενδεχόμενο να αυξηθεί ο αριθμός των ταμείων βάσει του αναμενόμενου αριθμού πελατών. Η λύση που προτάθηκε όμως είναι εφαρμόσιμη μόνο για την περίπτωση που ο αριθμός των πελατών που εισέρχονται στο κατάστημα για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα ακολουθεί την κατανομή Poisson. Κατά συνέπεια είναι απαραίτητο να ελεγχθεί η ισχύς του περιορισμού αυτού. Ως εκ τούτου είναι απαραίτητο να συλλεχθούν δεδομένα σχετικά με την άφιξη των πελατών και να πραγματοποιηθεί στατιστική ανάλυση που θα ελέγξει την εγκυρότητα της υπόθεσης που σχετίζεται με την κατανομή. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειώσουμε πως ορίζουμε την άφιξη στο κατάστημα ως αριθμό των πελατών που εισέρχονται στο κατάστημα σε διαστήματα των πέντε λεπτών. Μαθηματική Επίλυση Με βάση την εκφώνηση, η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση που ορίζονται στα πλαίσια του παραδείγματος αυτούς είναι οι ακόλουθες: H O; Ο αριθμός των πελατών που εισέρχονται στο κατάστημα σε διαστήματα 5 λεπτών ακολουθεί Poisson κατανομή πιθανότητας H a; Ο αριθμός των πελατών που εισέρχονται στο κατάστημα σε διαστήματα 5 λεπτών δεν ακολουθεί Poisson κατανομή πιθανότητας Στην περίπτωση που επαληθευτεί η H 0 υπόθεση, η λύση που προτάθηκε σχετικά με τη βελτίωση της εξυπηρέτησης των πελατών μπορεί να εφαρμοστεί. Προκειμένου να ελεγχθεί η υπόθεση για Poisson κατανομή του αριθμού των πελατών κατά τις απογευματινές ώρες των εργάσιμών ημερών καταγράφεται ο αριθμός των πελατών για 128 διάσπαρτα 5 λεπτά για μια περίοδο τριών εβδομάδων. Τα αποτελέσματα της παρακολούθησης καταγράφονται συνοπτικά στον Πίνακα 2.28, όπου καταγράφεται ο αριθμός των 5-λεπτων διαστημάτων που ο αριθμός των εισερχόμενων πελατών είναι ίσος με το μηδέν, τη μονάδα κτλ. Ο μέγιστος αριθμός ατόμων εντός 5 λεπτών για τη περίοδο που πραγματοποιήθηκε η έρευνα είναι 8 άτομα. Ο Πίνακας 2.28 περιλαμβάνει τις παρατηρούμενες συχνότητες για τις 9 περιπτώσεις/ κατηγορίες. Προκειμένου να ελέγξουμε αν το δείγμα που επιλέχθηκε ακολουθεί την Poisson κατανομή πιθανότητας θα πρέπει να πραγματοποιήσουμε τον έλεγχο καλής προσαρμογής και κατά συνέπεια θα πρέπει να υπολογιστεί η αναμενόμενη συχνότητα για καθεμία από τις 9 κατηγορίες υπό την υπόθεση ότι ακολουθείται Poisson κατανομή. Πίνακας 2.28: Παρατηρούμενες συχνότητες άφιξης πελατών για ένα δείγμα λεπτών περιόδων. Αριθμός αφικνούμενων πελατών, Παρατηρούμενη Συχνότητα (x) Σύνολο = 128 Η συνάρτηση κατανομής Poisson δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: fx µ µ! (1) όπου μ = μέσος ή αναμενόμενο αριθμός πελατών που φθάνουν ανά διάστημα πέντε λεπτών, 120

121 x = τυχαία μεταβλητή που δείχνει τον αριθμό πελατών που φθάνουν κατά τη διάρκεια μιας περιόδου πέντε λεπτών και ισούται με 0,1,2..8 για το συγκεκριμένο παράδειγμα και f(x) = πιθανότητα ότι οι x πελάτες θα φθάσουν σε ένα διάστημα πέντε λεπτών. Είναι προφανές πως της εφαρμογής της σχέσης (1) προηγείται ο υπολογισμός- εκτίμηση του μέσου όρου των αφίξεων των πελατών (παράγοντας μ). Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του Πίνακα 2.29 είναι δυνατό να υπολογίσουμε την τιμή του μ. µ Οι 640 αφίξεις πελατών για ένα δείγμα 128 περιόδων παρέχουν ένα μέσο ρυθμό άφιξης ίσο με 5 πελάτες ανά περίοδο πέντε λεπτών. Κατά συνέπεια, η συνάρτηση κατανομής Poisson είναι η ακόλουθη: fx 5 e x! Θεωρούμε ότι οι αφίξεις των πελατών στο κατάστημα ακολουθούν την Poisson κατανομή πιθανότητας. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη συνάρτηση πιθανότητας είναι δυνατό να υπολογιστεί η πιθανότητα που συνδέεται με κάθε κατηγορία αφίξεων. Για τον υπολογισμό των αναμενόμενων συχνοτήτων κάθε κατηγορίας πολλαπλασιάζονται οι αντίστοιχες πιθανότητες με το μέγεθος του δείγματος. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να φτάσουν 0 πελάτες στο κατάστημα κατά τη διάρκεια ενός διαστήματος πέντε λεπτών είναι f0! e 0,0067, ενώ ο αντίστοιχος αναμενόμενος αριθμός περιόδων με μηδενικές αφίξεις υπολογίζεται ως εξής 0, ,8576. Συνολικά, οι πιθανότητες για όλες τις κατηγορίες και οι αντίστοιχες αναμενόμενες συχνότητες περιλαμβάνονται στον Πίνακα Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί πως το άθροισμα των πιθανοτήτων για όλες τις κατηγορίες πρέπει να ισούται με τη μονάδα. Κατά συνέπεια δημιουργείται και μια 11 κατηγορία (10 ή περισσότεροι) που προκύπτει από τη διαφορά της μονάδας με το άθροισμα των υπολοίπων πιθανοτήτων. Πίνακας 2.29: Αναμενόμενες Συχνότητες θεωρώντας Poisson Πιθανοτική Κατανομή με μέση τιμή μ=5. Αριθμός αφικνούμενων πελατών, (x) Poisson Πιθανότητα, f(x) Αναμενόμενη Συχνότητα 0 0,0067 0, ,0337 4, , , , , , , , , , , , , ,0653 8, ,0363 4, ή περισσότεροι 0,0318 4,0704 Το επόμενο βήμα είναι ο υπολογισμός της κατανομής χ τετράγωνο που προκύπτει από τη διαφορά των παρατηρούμενων και των αναμενόμενων συχνοτήτων. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί πως θα να προηγηθεί έλεγχος της ισχύς της ακόλουθης απαίτησης για την εφαρμογή της χ τετράγωνο κατανομής. Η απαίτηση αυτή ορίζει πως η κάθε κατηγορία θα πρέπει να έχει συχνότητα τουλάχιστον 5. Με μια γρήγορη παρατήρηση του Πίνακα 2.29 προκύπτει πως τέσσερις από τις κατηγορίες έχουν αναμενόμενη συχνότητα μικρότερη από 5. Η επίλυση του προβλήματος αυτού είναι αρκετά απλή καθώς συνίσταται στην απλή ενσωμάτωση κατηγοριών προκειμένου να ικανοποιηθεί αυτή η απαίτηση. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα 121

122 συνδυάζονται οι κατηγορίες 1 και 2 σε μια ενιαία κατηγορία και οι κατηγορίες 9 και «10 ή περισσότεροι» σε μια άλλη κατηγορία. Τα αποτελέσματα της ενοποίησης των προαναφερθεισών κατηγοριών καθώς και η διαφορά των παρατηρούμενων και των αναμενόμενων συχνοτήτων φαίνονται στον Πίνακα Χρησιμοποιώντας τις παρατηρούμενες και τις αναμενόμενες συχνότητες που παρουσιάζονται στον Πίνακα 2.30, υπολογίζεται η χ τετράγωνο μετρική στατιστικής. Γενικά, μικρές διαφορές μεταξύ των συχνοτήτων αυτών συνηγορούν υπέρ της χρήσης της Poisson κατανομής σε αντίθεση με τις μεγάλες διαφορές που υπονοούν λανθασμένη υπόθεση περί της επιλεχθείσας κατανομής. Πίνακας 2.30: Σύγκριση Παρατηρούμενων και Αναμενόμενων Συχνοτήτων. Παρατηρούμενη Αναμενόμενη Συχνότητα Συχνότητα (fi) (ei) Αριθμός αφικνούμενων πελατών, (x) Διαφορά (fi- ei) 0 or ,1712 4, ,7776-0, ,9712-5, ,4640-4, ,4640-0, ,7136 3, ,3632 2, ,3584 3, ή περισσότεροι 6 8,7168-2,7168 Σύνολο = 128 Σύνολο = 128,0000 Κατά συνέπεια η τιμή της κατανομής χ τετράγωνο είναι η εξής: χ 4,8288 5,1712 0, ,7776 2,7168 8,7168 4,5091 0,0561 0, ,98 Το επόμενο βήμα είναι ο υπολογισμός των βαθμών ελευθερίας που σχετίζονται με τον έλεγχο καλής προσαρμογής. Οι βαθμοί ελευθερίας για την κατανομή χ τετράγωνο για το συγκεκριμένο παράδειγμα είναι k - p 1 = 7, όπου το k=9 (κατηγορίες για αριθμό αφικνούμενων πελατών στο κατάστημα Πίνακας 2.30) και p=1 καθώς υπολογίστηκε μόνο η μέση τιμή της κατανομής. Το τελικό βήμα στη διαδικασία εξέτασης του ελέγχου της κατανομής είναι η σύγκριση της κρίσιμης τιμής της κατανομής Poisson με την εκτιμώμενη τιμή. Επομένως, θεωρώντας πως η τιμή του επιπέδου σημαντικότητας είναι 0,05 και οι βαθμοί ελευθερίας 7, η τιμή της κατανομής χ τετράγωνο από τους αντίστοιχους πίνακες είναι χ 0,05 = Δεδομένου πως η εκτιμώμενη τιμή της χ τετράγωνο κατανομής είναι 10,98 < 14.07, προκύπτει πως δε μπορεί να απορριφθεί η υπόθεση περί Poisson κατανομής του ρυθμού άφιξης των πελατών κατά τις πρωινές εργάσιμες ημέρες στο κατάστημα των Goodys και κατά συνέπεια η λύση που προτάθηκε μπορεί να εφαρμοστεί. Επίλυση με Excel Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση της διαδικασίας και των βασικών τύπων που απαιτούνται για τον υπολογισμό του τετράγωνου κατανομής για την περίπτωση που υποθέτουμε πως πληθυσμός ακολουθεί κατανομή Poisson με χρήση του πακέτου Excel (Εικόνα 2.41). 122

123 =COUNT(D49:D57)- 2 =SUM(H49:H57) =C11*D1 =ROUND((POWER($D$42,E31)*E XP(-$D$42))/FACT(E31),4) =SUM($D$11:$D $20)*F31 =POWER(F49,2) =D49-E49 =ROUND(G49/E49, 4) Εικόνα 2.41: Έλεγχος καλής προσαρμογής κατανομής Poisson με χρήση του Excel. Επίλυση με εφαρμογή Java Η παράγραφος αυτή χρησιμοποιεί το εργαλείο Economic Models Tool για τον υπολογισμό των παραμέτρων που υπολογίστηκαν στο συγκεκριμένο παράδειγμα (Εικόνα 2.42). 123

124 Εικόνα 2.42: Έλεγχος καλής προσαρμογής κατανομής Poisson με χρήση του Economic Models Tool. 124

125 3 Πολυκριτηριακή Ανάλυση Στο κεφάλαιο αυτό μελετάται η πολυκριτηριακή ανάλυση για η λήψη αποφάσεων που βασίζονται σε πολλαπλά κριτήρια. Συγκεκριμένα, εξετάζονται οι δύο βασικότερες μέθοδοι πολυκριτηριακής ανάλυσης, ο προγραμματισμός στόχων και η αναλυτική ιεραρχική διαδικασία. Τα περιεχόμενα του κεφαλαίου αναπαρίστανται με γραφικό τρόπο στην Εικόνα 3.1. Εικόνα 3.1: Σχηματική αναπαράσταση του περιεχομένου του Κεφαλαίου Εισαγωγή «Η Πολυκριτήρια ή Πολυκριτηριακή Ανάλυση Αποφάσεων αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους και ταχύτερα εξελισσόμενους χώρους της επιχειρησιακής έρευνας, με αντικείμενο την αντιμετώπιση προβλημάτων όπου η λήψη αποφάσεων προσδιορίζεται βάσει πολλαπλών κριτηρίων και στόχων, που συνήθως έχουν μια ανταγωνιστική σχέση μεταξύ τους» (Κοσμίδου, Κ. και λοιποί, 2005). Λόγω της εισαγωγής περισσοτέρων του ενός κριτηρίων στη διαδικασία λήψης απόφασης οδηγούμαστε σε μια πιο ρεαλιστική απεικόνιση των πραγματικών προβλημάτων. Η πολυκριτηριακή θεώρηση προσφέρει μεγαλύτερη ευελιξία και καλύτερη αντιμετώπιση των προβλημάτων διότι εξετάζονται περισσότερες διαστάσεις (Μαυρωτάς, 2000). Γενικά, η πολυκριτηριακή ανάλυση μπορεί να ορισθεί ως μία συστηματική και μαθηματικά τυποποιημένη προσπάθεια επίλυσης προβλημάτων που προκύπτουν από αντικρουόμενους στόχους και η διαδικασία επίλυσης τους αποβλέπει στην επιλογή μιας λύσης από ένα σύνολο εναλλακτικών επιλογών. Η ικανοποίηση των στόχων αυτών δεν μπορεί να είναι πλήρης. Οι διαθέσιμες επιλογές σε ένα τέτοιο πρόβλημα παρουσιάζουν άριστη επίδοση μόνο ως προς έναν ή περισσότερους αλλά ποτέ ως προς όλους τους στόχους, γιατί τότε δε θα υπήρχε πρόβλημα απόφασης: η επιλογή που θα ικανοποιούσε μια τέτοια συνθήκη θα ήταν η άριστη (LIFE 03). Είναι αναγκαίος λοιπόν ένας συμβιβασμός μεταξύ των αλληλοσυγκρουόμενων στόχων. Η λήψη απόφασης γίνεται από τον αποφασίζοντα ο οποίος συγκρίνει και αξιολογεί τις εναλλακτικές λύσεις (επιλογές) ώστε να επιλεχθεί τελικά η καταλληλότερη λύση για κάποιο συγκεκριμένο πρόβλημα (Μαυρωτάς, 2000). Ο υπεύθυνος δηλαδή για τη λήψη της απόφασης επιλέγει τον ή τους στόχους, τους οποίους επιθυμεί να μεγιστοποιήσει, καθώς και τις αντισταθμιστικές απώλειες που είναι διατεθειμένος να αποδεχθεί ως προς τους υπόλοιπους στόχους. Η έννοια του συμβιβασμού και κατ επέκταση της συμβιβαστικής λύσης σε αντιδιαστολή προς την άριστη λύση δηλώνει το χαρακτήρα των αποφάσεων λύσεων, που αναζητούνται στα πολυκριτηριακά προβλήματα. Οι λύσεις αυτές είναι άριστες μόνο κατά την άποψη του ατόμου που αποφασίζει για την επιλογή (LIFE 03). Τα προβλήματα της ΠΚΛΑ είναι χαμηλού βαθμού δόμησης, δηλαδή η ορθολογική λύση δεν καθορίζεται από το ίδιο το πρόβλημα (όπως όταν υπάρχει μόνο ένα κριτήριο απόφασης) αλλά αποτελεί αντικείμενο αναζήτησης με την άμεση εμπλοκή του αποφασίζοντα στη διαδικασία αυτή, ο οποίος εκφράζει τις υποκειμενικές του προτιμήσεις. Γι αυτό το λόγο, οι μέθοδοι αντιμετώπισης τέτοιων προβλημάτων ορίζονται και ως μέθοδοι πολυκριτηριακής υποστήριξης αποφάσεων. Όταν το σύνολο των εναλλακτικών επιλογών είναι διακριτό και ρητά καθορισμένο με συγκεκριμένες επιλογές που χαρακτηρίζονται από την επίδοσή τους σε κάποια κριτήρια-, τότε το πρόβλημα χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα Πολυκριτηριακής Ανάλυσης ΠΚΑ (Μαυρωτάς, 2000). Αντίθετα, όταν το σύνολο των δυνατών επιλογών δεν δίδεται ρητά αλλά έμμεσα μέσω των τιμών των μεταβλητών απόφασης ενός προβλήματος μαθηματικού προγραμματισμού, τότε το πρόβλημα ανήκει στον Πολυκριτηριακό Μαθηματικό Προγραμματισμό ΠΚΜΠ. Οι μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών απόφασης που πρέπει να ικανοποιούνται 125

126 αποτελούν τους περιορισμούς του προβλήματος, ενώ οι συναρτήσεις εκείνες των μεταβλητών απόφασης που πρέπει να αριστοποιήσουν ονομάζονται αντικειμενικές συναρτήσεις. Με τον όρο λύση του προβλήματος εννοείται κάθε συνδυασμός τιμών που μπορούν να λάβουν οι μεταβλητές απόφασης (Μαυρωτάς, 2000). Η Εικόνα 3.2 απεικονίζει την ταξινόμηση των μεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης ανάλογα με το είδος των επιλογών. Στα πλαίσια της διπλωματικής αυτής θα μελετηθούν δύο τεχνικές. Η τεχνική προγραμματισμός στόχων που ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία μεθόδων Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού και η αναλυτική ιεραρχική διαδικασία που ανήκει στις μεθόδους πολυκριτηριακής ανάλυσης. Εικόνα 3.2: Ταξινόμηση μεθόδων Πολυκριτηριακής Λήψης Αποφάσεων (Μαυρωτάς, 2000). 126

127 3.2 Προγραμματισμός στόχων Η μέθοδος προγραμματισμού στόχων (Goal Programming) είναι παρόμοια με τα μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού με τη διαφορά πως οι αντικειμενικοί στόχοι που τίθενται μπορεί να είναι περισσότεροι του ενός (Prentice-Hall, Goal Programming). Ουσιαστικά, η ιδέα πάνω στην οποία βασίζεται ο προγραμματισμός στόχων είναι πως η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των στόχων και των περιορισμών δεν είναι σαφής. Επομένως, θεωρείται καλή τακτική στην περίπτωση που υπάρχουν πολλαπλοί στόχοι, να αντιμετωπίζονται όλοι ή μέρος αυτών ως περιορισμοί και όχι ως στόχοι (Trick, Μ., 1996; Anderson, D.R., et al., 1991). Επιπλέον, θα πρέπει να σημειωθεί πως οι τιμές-στόχοι των κριτηρίων καθορίζονται a priori. Στον προγραμματισμό στόχων επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση των αποστάσεων διαφόρων αντικειμενικών συναρτήσεων από κάποιες προκαθορισμένες τιμές/ στόχους. Η ενοποίηση των κριτηρίων σε μία αντικειμενική συνάρτηση γίνεται συνήθως μέσω του σταθμισμένου αθροίσματος των αποκλίσεων αυτών. Ο αποφασίζων μπορεί επίσης να θέσει προτεραιότητες στην επίτευξη των στόχων (preemptive goal programming) έτσι ώστε αφού προσεγγιστεί όσο είναι δυνατόν ο πρώτος στόχος να προχωρήσει στο δεύτερο στόχο κ.ο.κ (Topcu Y.). Η έννοια του προγραμματισμού στόχων χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Charnes, Cooper και Ferguson το 1955, παρόλο αυτά ο πιο ολοκληρωμένος ορισμός και ανάπτυξη του μοντέλου αυτού έγινε το 1961 από τους Charnes και Cooper (Topcu, Y.; Wikipedia, Goal programming). Ο προγραμματισμός στόχων θεωρείται ως η πιο διαδεδομένη τεχνική επίλυσης προβλημάτων πολυκριτηριακού μαθηματικού προγραμματισμού. Εφαρμόζεται σε πληθώρα πεδίων μερικά από τα πιο συνηθισμένα είναι τα ακόλουθα (Μαυρωτάς, Γ., 2000): Ενεργειακός σχεδιασμός Διαχείριση υδάτινων ή δασικών πόρων Καταμερισμός διαφημιστικής δαπάνης Επιλογή χαρτοφυλακίου Πρόβλημα δίαιτας - διατροφής Ένα σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι η απλότητα της που την καθιστά εύκολη στη χρήση και ως εκ τούτου αρκετά διαδομένη, όπως άλλωστε προαναφέραμε. Επίσης μπορεί να χειριστεί σχετικά μεγάλους αριθμούς μεταβλητών, περιορισμών και στόχων. Από την άλλη πλευρά ένα μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι πως είναι δυνατόν να προκύψουν λύσεις που δεν αποδοτικές κατά Παρέτο. Αυτό όμως αποτελεί παράβαση βασικής έννοιας της θεωρίας λήψης αποφάσεων. Εντούτοις, υπάρχουν τεχνικές που ανιχνεύουν αυτές τις περιπτώσεις και μεταβάλλουν τη λύση ώστε αυτή να είναι αποδοτική κατά Παρέτο (Wikipedia, Goal programming). Ένα άλλο βασικό μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι η ανάγκη καθορισμού συγκεκριμένων τιμών-στόχων για τις αντικειμενικές συναρτήσεις με βάση τις οποίες υπολογίζονται οι «άριστες» λύσεις, που μπορεί τελικά να μην είναι ικανές λύσεις. Στα πλαίσια της μελέτης της μεθόδου προγραμματισμού στόχων θα παρουσιαστεί αναλυτικά ένα παράδειγμα (Anderson, D.R., et al., 1991). Παράδειγμα Το παράδειγμα που ακολουθεί προέρχεται από τον τομέα της χρηματοοικονομικής και αποτελεί μια κλασσική περίπτωση επενδυτικού χαρτοφυλακίου. Συγκεκριμένα, υπάρχει κάποιος πελάτης που επιθυμεί να επενδύσει σε ένα μίγμα από τις μετοχές ΤΙΤΑΝ και ΟΤΕ. Τα χαρακτηριστικά των μετοχών αυτών που σχετίζονται με την τιμή, την απόδοση και τον εμπλεκόμενο κίνδυνο υπάρχουν στον Πίνακα 3.1. Ο πελάτης μετά από επικοινωνία με τη συνεργαζόμενη χρηματιστηριακή εταιρία θέτει ως αποδεκτό επίπεδο κινδύνου αυτό που αντιστοιχεί σε 500 ή λιγότερο. Επιπλέον επιθυμεί τα ετήσια κέρδη του να είναι τουλάχιστον Προτεραιότητα που θέτει ο πελάτης είναι ο κίνδυνος να μην ξεπεράσει τα 500. Πίνακας 3.1: Χαρακτηριστικά μετοχών. Όνομα Μετοχής Τιμή Μετοχής Υπολογιζόμενη Ετήσιες Ποσοστό κινδύνου Απολαβές Μετοχής ανά μετοχή ΤΙΤΑΝ Ανώνυμη Εταιρία Τσιμέντων ,25 ΟΤΕ Α.Ε ,50 127

128 Επίλυση Από την εκφώνηση του παραδείγματος καθίσταται προφανές πως πρόκειται για ένα πρόβλημα λήψης απόφασης λαμβάνοντας υπόψη πολλαπλά κριτήρια/ στόχους: τον εμπλεκόμενο κίνδυνο και την ετήσια απόδοση. Μέσω του προγραμματισμού στόχων θα υπολογιστεί το χαρτοφυλάκιο εκείνο που καταφέρνει να ικανοποιήσει στο βέλτιστο βαθμό και τους δύο στόχους. Επιπλέον, όπως ορίζεται στην εκφώνηση ο στόχος με την μεγαλύτερη σημασία για τον πελάτη σχετίζεται με τον εμπλεκόμενο κίνδυνο του μίγματος χαρτοφυλακίου και έπειτα ακολουθεί η ετήσια απόδοση. Επομένως με βάση τις προτεραιότητες οι στόχοι είναι οι ακόλουθοι: Πρωταρχικός Στόχος (Επίπεδο Προτεραιότητας 1): Εύρεση χαρτοφυλακίου με εμπλεκόμενο κίνδυνο μικρότερο ή ίσο από 500. Δευτερεύον Στόχος (Επίπεδο Προτεραιότητας 2): Εύρεση χαρτοφυλακίου με ετήσια απόδοση τουλάχιστον κίνδυνο μικρότερο ή ίσο από α. Ορισμός περιορισμών και εξισώσεων στόχων i. Ορισμός των μεταβλητών λήψης απόφασης: x 1 = αριθμός μετοχών TITAN x 2 = αριθμός μετοχών OTE Δεδομένου των τιμών των μετοχών και του συνολικού κεφαλαίο προς επένδυση προκύπτει ο εξής περιορισμός που είναι και ο μοναδικός για το συγκεκριμένο πρόβλημα: 16 x 7 x Έπειτα δημιουργούμε για κάθε στόχο μία εξίσωση. Αρχικά ορίζουμε την εξίσωση με βάση τον πρωταρχικό στόχο που αφορά την εύρεση χαρτοφυλακίου με εμπλεκόμενο κίνδυνο μικρότερο ή ίσο από ,25 x 0,50 x 500 d d όπου d 1 + = ποσό κατά το οποίο ο συνολικός κίνδυνος του χαρτοφυλακίου υπερβαίνει τα 500 d 1 - = το ποσό από το οποίο ο συνολικός κίνδυνος του χαρτοφυλακίου είναι μικρότερος από 500 Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί πως οι μεταβλητές d 1 + and d 1 - καλούνται μεταβλητές απόκλισης. Τα πρόσημα συν (+) ή μείον (-) χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν αν η μεταβλητή αντιστοιχεί σε θετική ή αρνητική απόκλιση από την επιθυμητή τιμή της εξίσωσης στόχου. Ο σκοπός των μεταβλητών απόκλισης είναι να εισάγουν την πιθανότητα να μην ικανοποιηθούν οι στόχοι με ακρίβεια. Επίσης, στην περίπτωση που το d 1 + είναι μεγαλύτερο του μηδενός, το d 1 - ισούται με το μηδέν. Έπειτα ξαναγράφουμε την εξίσωση πρωταρχικού στόχου ως εξής: 0,25 x 0,5 x d d 500 Γενικά, στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στόχου βρίσκεται η επιθυμητή τιμή της εξίσωσης στόχου ενώ η αριστερή πλευρά της εξίσωσης στόχου αποτελείται από δύο μέρη: a. Μια συνάρτηση που καθορίζει το ποσό επίτευξης του στόχου χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές λήψης απόφασης (π.χ. 0,25 x 0,50 x ) και b. Τη διαφορά μεταξύ της επιθυμητής τιμής της εξίσωσης στόχου και του ποσού επίτευξης που αντιπροσωπεύεται από τις μεταβλητές απόκλισης (π.χ. d d ). Έπειτα ορίζουμε τη δεύτερη εξίσωση στόχων που αφορά την εύρεση χαρτοφυλακίου με ετήσια απόδοση μεγαλύτερη ή ίση των x 2 x 500 d d ή 5 x 2 x d d

129 όπου d 2 + = ποσό κατά το οποίο η ετήσια απόδοση του χαρτοφυλακίου υπερβαίνει τα 9000 d 2 - = το ποσό από το οποίο η ετήσια απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι μικρότερη από 9000 Επομένως, οι περιορισμοί και οι εξισώσεις στόχων του προβλήματος αυτού είναι οι εξής: 16 x 7 x ,25 x 0,50 x d d x 2 x d d 9000 Ανάπτυξη Αντικειμενική Συνάρτησης με Προτεραιότητες Η αντικειμενική συνάρτηση στον προγραμματισμό στόχων απαιτεί την ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης των μεταβλητών απόκλισης. Στο δεδομένο πρόβλημα, σημαντικότερος στόχος θεωρείται η δημιουργία χαρτοφυλακίου με κίνδυνο μικρότερο ή ίσο των 500 ενώ ο άλλος στόχος έπεται σε σημαντικότητα. Επομένως συμβολίζουμε τον πρωταρχικό στόχο με P l και τον δευτερεύοντα με P 2. Η ικανοποίηση των στόχων αυτών ακολουθεί υποχρεωτικά το βαθμό σημαντικότητας τους, υπονοώντας πως είναι απαραίτητο να ισχύει ο πρώτος στόχος για να είναι αποδεκτή η λύση (Anderson, D.R., et al., 1991). Η επίλυση των προβλημάτων προγραμματισμού στόχων έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (Anderson, D.R., et al., 1991): Αρχικά λαμβάνονται υπόψη μόνο οι στόχοι P 1, ακολουθούν οι στόχοι P 2, έπειτα οι P 3 κ.ο.κ. Σε κάθε στάδιο της διαδικασίας λύσης επιτρέπεται αναθεώρηση της λύσης μόνο εάν δεν επιδρά αρνητικά στην επίτευξη ενός στόχου υψηλότερης προτεραιότητας. Επιλύεται μια ακολουθία γραμμικών προβλημάτων με διαφορετικές αντικειμενικές συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, ο αριθμός των γραμματικών προβλημάτων καθορίζεται από τον αριθμό επιπέδων προτεραιότητας δηλαδή ορίζεται και λύνεται ένα γραμμικό πρόβλημα για κάθε επίπεδο προτεραιότητας. Το πρώτο γραμμικό πρόγραμμα που λύνεται καλείται πρόβλημα επιπέδου προτεραιότητας 1, το δεύτερο πρόβλημα επιπέδου προτεραιότητας 2 και ούτω καθεξής. Κάθε ένα από τα γραμμικά προβλήματα προκύπτει από το πρόβλημα αμέσως μεγαλύτερης προτεραιότητας αλλάζοντας την αντικειμενική συνάρτηση και προσθέτοντας έναν περιορισμό. Με αντίστοιχο τρόπο ορίζεται και το πρόβλημα επιπέδου προτεραιότητας 2: Ορίζουμε την αντικειμενική συνάρτηση: 0,25 x 0,50 x d d 500 που αφορά τον εμπλεκόμενο κίνδυνο. Δεδομένου πως ο κίνδυνος αυτός δε πρέπει να ξεπερνάει τα 500, η εύρεση μια λύσης που να είναι μικρότερη από το κατώφλι αυτό είναι αποδεκτή (d 1- ), ενώ αντίθετα μια λύση που να ξεπερνά το κατώφλι δεν είναι αποδεκτή (d 1+ ) και ως εκ τούτου θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η τιμή της μεταβλητής απόκλισης d 1 +. Επομένως, το γραμμικό πρόβλημα με προτεραιότητα P l ορίζεται ως εξής: min d + 1 s.t.. 16 x x Διαθέσιμο Κεφάλαιο 0,25 x 1 + 0,50 x 2 - d d - 1 = 500 P 1 στόχος 5 x x 2 - d d - 2 = 9000 P 2 στόχος x 1 x 2 d + 1 d - 1 d + 2 d Με αντίστοιχο τρόπο ορίζεται και το πρόβλημα επιπέδου προτεραιότητας 2: Ορίζουμε την αντικειμενική συνάρτηση: 2 x 1 x d d 9000 που αφορά τις ετήσιες απολαβές. 129

130 Δεδομένου πως η ετήσια απόδοση δε πρέπει να είναι μικρότερη των 9000, η εύρεση μια λύσης που να είναι μικρότερη από το κατώφλι αυτό δεν είναι αποδεκτή (d 1- ), ενώ αντίθετα μια λύση που να ξεπερνά το κατώφλι είναι αποδεκτή (d 1+ ) και ως εκ τούτου θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η τιμή της μεταβλητής απόκλισης d 1 -. Επομένως, το γραμμικό πρόβλημα με προτεραιότητα P 2 ορίζεται ως εξής: min d - 2 s.t.. 16 x x Διαθέσιμο Κεφάλαιο 0,25 x 1 + 0,50 - d d - 1 = 500 P 1 στόχος x 2 5 x x 2 - d d 2 - = 9000 P 2 στόχος d 1 + = 0 Ισχύς P 1 στόχου x 1 x 2 d 1 + d 1 - d 2 + d 2-0 Τέλος, στο σημείο αυτό αξίζει να σημειώσουμε πως οι μεταβλητές απόφασης λαμβάνουν μόνο θετικές τιμές, δηλαδή x 1 0 και x 2 0 καθώς δεν μπορούμε να ορίσουμε αρνητικό αριθμό μερισμάτων μιας μετοχής. Μοντέλο Προγραμματισμού Στόχων Όπως έχουμε προαναφέρει, τα προβλήματα προγραμματισμού στόχων λύνονται ως ακολουθία γραμμικών προβλημάτων όπου συγκεκριμένα ορίζεται ένα πρόβλημα για κάθε επίπεδο προτεραιότητας. Παρόλα αυτά είναι δυνατό να δημιουργήσουμε ένα ενιαίο μοντέλο προγραμματισμού στόχων που να περιλαμβάνει όλα τα γραμμικά προβλήματα. Για το παράδειγμα που μελετάμε το μοντέλο που περιγράφει συνολικά το πρόβλημα είναι το ακόλουθο: min P 1(d + 1 ) + P 2(d - 2 ) s.t. 16 x x Διαθέσιμο Κεφάλαιο 0,25 x 1 + 0,50 - d d - 1 = 500 P 1 στόχος x 2 5 x x 2 - d d 2 - = 9000 P 2 στόχος x 1 x 2 d 1 + d 1 - d 2 + d 2-0 Η σημαντικότερη διαφορά εντοπίζεται στη σειρά min P 1(d 1 + ) + P 2(d 2 - ). Ουσιαστικά, αυτή η συνάρτηση είναι η αντικειμενική συνάρτηση που περιγράφει τις προτεραιότητες του προβλήματος. Τα επίπεδα προτεραιότητας P 1 και P 2 δεν είναι αριθμητικά βάρη στις μεταβλητές απόκλισης, αλλά ετικέτες που υποδεικνύουν τα επίπεδα προτεραιότητας για τους στόχους. Η έως τώρα ανάλυση αφορούσε αποκλειστικά την δημιουργία του μοντέλου και των διαφόρων ενδιάμεσων προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα LINDO. Ουσιαστικά στο πρόγραμμα εισάγουμε τους περιορισμούς όπως ορίστηκαν στο γραμμικό πρόβλημα με προτεραιότητα 2. Η αντιστοιχία των εντολών στο LINDO και των περιορισμών και της αντικειμενικής συνάρτησης φαίνεται στον Πίνακα 3.2. Πίνακας 3.2: Αντιστοιχία εντολών στο LINDO με τις εξισώσεις και περιορισμούς γραμμικού προβλήματος. Γραμμικό πρόβλημα με προτεραιότητα 2 Εντολές στο LINDO min d - 2 MIN D2MINUS 16 x x 2 = X1 + 7 X2 <= ,25 x 1 + 0,50 x 2 - d d - 1 = X X2 + D1MINUS - D1PLUS = x x 2 d d - 2 = X1 + 2 X2 + D2MINUS - D2PLUS = 9000 d + 1 = 0 D1PLUS = 0 130

131 Οι Εικόνες 3.3 και 3.4 αποτελούν στιγμιότυπα της οθόνης με το πρόγραμμα LINDO και τα αποτελέσματα αυτού για το παράδειγμα μίγματος χαρτοφυλακίου με δύο χρεόγραφα (ΟΤΕ και ΤΙΤΑΝ). Από την Εικόνα 3.4 προκύπτει πως ο αριθμός των μετοχών ΤΙΤΑΝ και ΟΤΕ που θα πρέπει να αγοράσει ο επενδυτής είναι 1750 και 125 αντίστοιχα ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί και η αντικειμενική συνάρτηση. Εικόνα 3.3: Απεικόνιση προβλήματος χαρτοφυλακίου με το LINDO. Εικόνα 3.4: Αποτελέσματα προβλήματος χαρτοφυλακίου από το LINDO. 131

132 3.3 Αναλυτική ιεραρχική διαδικασία Η αναλυτική ιεραρχική διαδικασία (Analytic Hierarchy Process - AHP), αναπτύχθηκε από τον Thomas L. Saaty και χρησιμοποιείται για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων με πολλαπλά κριτήρια. Η μέθοδος αυτή βασίζεται σε κρίσεις του αποφασίζοντα σχετικά με τη σχετική σημασία του κάθε κριτηρίου και με την προτίμηση για κάθε εναλλακτική λύση απόφασης του κάθε κριτηρίου. Τα αποτελέσματα της μεθόδου αυτής εκφράζονται ως ταξινόμηση της γενικής προτίμησης για κάθε μια από τις εναλλακτικές λύσεις απόφασης (Anderson, D.R., et al., 1991). Και στην περίπτωση αυτής της μεθόδου προκειμένου να γίνει αντιληπτός ο τρόπος λειτουργίας της θα μελετηθεί ένα συγκεκριμένο πρόβλημα (Anderson, D.R., et al., 1991). Παράδειγμα Θεωρούμε ότι ένας άνθρωπος επιθυμεί να νοικιάσει κάποιο διαμέρισμα. Τα διαμερίσματα στα οποία έχει καταλήξει ο αγοραστής είναι τρία και τα χαρακτηριστικά τους βάσει των οποίων θα γίνει η επιλογή του κατάλληλου διαμερίσματος παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.3. Όπως φαίνεται τα κριτήρια που εξετάζει είναι η τιμή, η απόσταση σε σχέση με τον εργασιακό του χώρο, ο αριθμός δωματίων και ο τύπος χώρου στάθμευσης που παρέχεται (πυλωτή, κλειστή ιδιωτική θέση στάθμευσης και καθόλου θέση). Πίνακας 3.3: Χαρακτηριστικά διαμερισμάτων για το παράδειγμα της μεθόδου αναλυτικής ιεραρχικής διαδικασίας. Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Τιμή Απόσταση από την δουλειά 1 χλμ. 10 χλμ. 14 χλμ. Αριθμός δωματίων Τύπος χώρου στάθμευσης κλειστή ιδιωτική θέση πυλωτή καθόλου θέση Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί πως όταν εξετάζουμε ένα κριτήριο που μετριέται αρκετά εύκολα όπως η τιμή αγοράς, εντούτοις, εισάγεται πάλι υποκειμενικότητα καθώς ένας αγοραστής μπορεί να θεωρεί πως η διαφορά των 100 είναι σημαντική ενώ ένας άλλος όχι. Κατά συνέπεια, το αν το διαμέρισμα 1 θεωρηθεί εξαιρετικά ακριβότερο από το 3 ή απλώς σχετικά ακριβότερο είναι μια υποκειμενική κρίση που εξαρτάται πρωτίστως από την οικονομική θέση του προσώπου που κάνει τη σύγκριση. Ένα πλεονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι ότι μπορεί να χειριστεί τέτοιες καταστάσεις, δηλαδή καταστάσεις όπου οι υποκειμενικές κρίσεις των ατόμων αποτελούν ένα σημαντικό μέρος της διαδικασίας απόφασης. Το πρώτο βήμα αφορά την ανάπτυξη μιας γραφικής αντιπροσώπευσης του προβλήματος από την άποψη του γενικού στόχου, των κριτηρίων, και των εναλλακτικών λύσεων απόφασης. Μια τέτοια γραφική παράσταση απεικονίζει την ιεραρχία για το πρόβλημα. Η Εικόνα 3.5 παρουσιάζει την ιεραρχία για το πρόβλημα επιλογή διαμερίσματος. Το πρώτο επίπεδο της ιεραρχίας δείχνει ότι ο γενικός στόχος είναι να επιλεχτεί το καλύτερο διαμέρισμα. Στο δεύτερο επίπεδο, υπάρχουν τα τέσσερα κριτήρια που προαναφέραμε και που θα συμβάλουν στην επίτευξη του γενικού στόχου. Ενώ τέλος, στο τρίτο επίπεδο, βλέπουμε ότι πως κάθε εναλλακτική λύση απόφασης (Διαμέρισμα 1, Διαμέρισμα 2, και Διαμέρισμα 3) συμβάλει σε κάθε κριτήριο με μοναδικό τρόπο. Έπειτα, ο αποφασίζων θα πρέπει να καταστήσει σαφής την άποψη του σχετικά με τη σχετική σημαντικότητα του εκάστοτε κριτηρίου στα πλαίσια της συμβολής του στην επίτευξη του γενικού στόχου. Εν συνεχεία, θα πρέπει να εκφράσει την προτίμηση ή μια προτεραιότητα για κάθε εναλλακτική λύση απόφασης από την άποψη το πώς συμβάλλει σε κάθε κριτήριο. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα, ο ενδιαφερόμενος θα πρέπει να διευκρινίσει την ανάλογη σημασία του κάθε κριτηρίου με βάση την κρίση του και έπειτα θα πρέπει να δείξει την προτίμησή του για κάθε ένα από τα τρία διαμερίσματα σχετικά με κάθε κριτήριο. Λαμβάνοντας υπόψη τις πληροφορίες για τη σχετική σημασία και τις προσωπικές προτιμήσεις πραγματοποιείται σύνθεση των πληροφοριών μέσω μιας μαθηματικής διαδικασίας και ταξινομούνται τα τρία διαμερίσματα με βάση τη συνολική προτίμηση. 132

133 Εικόνα 3.5: Ιεραρχία για το πρόβλημα επιλογής διαμερίσματος. Εισαγωγή προτεραιοτήτων μέσω της μεθόδου AHP Στην ενότητα αυτή θα επιδείξουμε πώς το AHP χρησιμοποιεί τις συγκρίσεις κατά ζεύγη προκειμένου να καθορίσει τα μέτρα προτεραιότητας τόσο για τα κριτήρια όσο και για τις εναλλακτικές λύσεις απόφασης. Τα σύνολα προτεραιοτήτων που πρέπει να καθοριστούν στο πρόβλημα επιλογής διαμερίσματος είναι τα ακόλουθα: 1. Οι προτεραιότητες των τεσσάρων κριτηρίων από την άποψη του γενικού στόχου 2. Οι προτεραιότητες των τριών διαμερισμάτων στα πλαίσια του κριτηρίου τιμής 3. Οι προτεραιότητες των τριών διαμερισμάτων στα πλαίσια του κριτηρίου απόστασης 4. Οι προτεραιότητες των τριών διαμερισμάτων στα πλαίσια του κριτηρίου αριθμού δωματίων 5. Οι προτεραιότητες των τριών διαμερισμάτων στα πλαίσια του κριτηρίου τύπου χώρου στάθμευσης Ακολουθεί παρουσίαση του τρόπου εισαγωγής προτεραιοτήτων για τα τρία διαμερίσματα για το κριτήριο του τύπου χώρου στάθμευσης. Με παρόμοιο τρόπο ορίζονται και τα υπόλοιπα σύνολα προτεραιοτήτων. Συγκρίσεις κατά ζεύγη Οι συγκρίσεις κατά ζεύγη αποτελούν βασικές δομικές μονάδες του AHP. Στην καθιέρωση των προτεραιοτήτων για τα τρία διαμερίσματα από την άποψη του τύπου χώρου στάθμευσης, ο ενδιαφερόμενος καλείται να δηλώσει μια προτίμηση για την άνεση των αυτοκινήτων όταν εξετάζονται τα αυτοκίνητα σε ζεύγη. Η μέθοδος AHP υιοθετεί μια 9βάθμια κλίμακα για να εκτιμήσει τις σχετικές προτιμήσεις για δύο στοιχεία, η οποία παρουσιάζεται αναλυτικά στον Πίνακα 3.4. Πίνακας 3.4: Κλίμακα συγκρίσεων κατά ζεύγη για την AHP. Λεκτική Κρίση ή Προτίμηση Αριθµητική εκτίµηση Εξαιρετικά προτιμώμενο 9 Πολύ ισχυρά ως εξαιρετικά 8 Πολύ ισχυρά προτιμώμενο 7 Ισχυρά ως πολύ ισχυρά 6 Ισχυρά προτιμώμενο 5 Μέτρια ως ισχυρά 4 Μέτρια προτιμώμενο 3 Ισότιμα ως μέτρια 2 133

134 Ισότιμα προτιμώμενο 1 Επομένως ο ενδιαφερόμενος καλείται να συγκρίνει τον τύπο χώρου στάθμευσης του διαμερίσματος 1 με το διαμέρισμα 2, του διαμερίσματος 1 με το διαμέρισμα 3, και του διαμερίσματος 3 με το διαμέρισμα 3 δίνοντας συγκεκριμένη αριθμητική εκτίμηση για κάθε ζεύγος (Πίνακας 3.5). Πίνακας 3.5: Κρίση για το κριτήριο Τύπος χώρου στάθμευσης. Αριθμητικές και λεκτικές εκτιμήσεις για το κριτήριο Τύπος χώρου στάθμευσης Ζεύγος Λεκτική Κρίση ή Προτίμηση Αριθμητική εκτίμηση διαμέρισμα 1 - διαμέρισμα 2 Ισότιμα ως μέτρια 2 διαμέρισμα 1 - διαμέρισμα 3 Πολύ ισχυρά ως εξαιρετικά 8 διαμέρισμα 2 - διαμέρισμα 3 Ισχυρά ως πολύ ισχυρά 6 Πίνακας συγκρίσεων κατά ζεύγη Προκειμένου να αναπτυχθούν οι προτεραιότητες για τα τρία αυτοκίνητα από την άποψη του κριτηρίου τύπου χώρου στάθμευσης δημιουργούμε ένα πίνακα συγκρίσεων κατά ζεύγη. Δεδομένου ότι εξετάζονται τρία διαμερίσματα, οι διαστάσεις του πίνακα αυτού είναι 3x3 (3 σειρές και 3 στήλες) όπου κάθε στήλη/ γραμμή αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο διαμέρισμα. Τύπος Χώρου Στάθμευσης Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Διαμέρισμα Διαμέρισμα Διαμέρισμα Έπειτα εισάγουμε τις αριθμητικές εκτιμήσεις όπως παρουσιάστηκαν στον Πίνακα 3.5 στον πίνακα σύγκρισης. Για τα υπόλοιπα κελία του πίνακα συγκρίσεων που είναι κενά ισχύουν τα ακόλουθα: 1. Τα στοιχεία της διαγωνίου είναι ίσα με τη μονάδα καθώς η σύγκριση οποιαδήποτε διαμερίσματος (ή γενικότερα οποιουδήποτε στοιχείο) με τον εαυτό του είναι ίσο με τη μονάδα. 2. Οι τιμές των εναπομεινάντων κελιών προκύπτουν από τα ήδη υπάρχοντα. Επομένως, εφόσον είναι γνωστή η τιμή της σύγκρισης μεταξύ των στοιχείων 1 και 2, η τιμή της αντίστροφης σύγκρισης είναι η αντίστροφη τιμή. Συγκεκριμένα, δεδομένου ότι η µέµ σύγκριση 2 µέµ, η τιμή της σύγκρισης του ζεύγους. µέµ µέµ Επομένως, ο πλήρης πίνακας σύγκρισης κατά ζεύγη είναι ο ακόλουθος: Τύπος Χώρου Στάθμευσης Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Διαμέρισμα Διαμέρισμα 2 1/2 1 6 Διαμέρισμα 3 1/8 1/6 1 Σύνθεση Το επόμενο βήμα της μεθόδου AHP είναι ο υπολογίσουμε την προτεραιότητα του κάθε στοιχείου προς σύγκριση. Αυτό το βήμα καλείται σύνθεση (synthesis). Η ακριβής μαθηματική διαδικασία που απαιτείται για να εκτελέσει αυτό το βήμα περιλαμβάνει τον υπολογισμό ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων, αλλά στα πλαίσια της διπλωματικής θα παρουσιαστεί θα παρουσιαστεί μια απλούστερη μέθοδος που αποτελεί μια καλή προσέγγιση των προτεραιοτήτων. Διαδικασία Σύνθεσης Βήμα 1: Άθροιση των τιμών κάθε στήλης του πίνακα συγκρίσεων ζευγών. 134

135 Βήμα 2: Διαίρεση κάθε στοιχείου/ κελιού του πίνακα με το άθροισμα της συγκεκριμένης στήλης (βήμα 1-) ο πίνακας που προκύπτει καλείται «κανονικοποιημένος πίνακας». Βήμα 3: Υπολογισμός του μέσου όρου των στοιχείων κάθε σειράς για τον κανονικοποιημένο πίνακα - αυτοί οι μέσοι όροι παρέχουν μια εκτίμηση των σχετικών προτεραιοτήτων των στοιχείων σύγκρισης. Ακολουθεί εφαρμογή της διαδικασίας αυτής για συγκεκριμένο προς μελέτη παράδειγμα. Βήμα 1 Άθροιση των τιμών κάθε στήλης Τύπος Χώρου Στάθμευσης Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Διαμέρισμα Διαμέρισμα 2 1/2 1 6 Διαμέρισμα 3 1/8 1/6 1 Άθροισμα στηλών 13/8 19/6 15 Βήμα 2 Διαίρεση κάθε στοιχείου/ κελιού του πίνακα με το άθροισμα της συγκεκριμένης στήλης. Τύπος Χώρου Στάθμευσης Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Διαμέρισμα 1 8/13 12/19 8/15 Διαμέρισμα 2 4/13 6/19 6/15 Διαμέρισμα 3 1/13 1/19 1/15 Βήμα 3 Υπολογισμός μέσου όρου των στοιχείων κάθε σειράς. Τύπος Χώρου Στάθμευσης Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Μέσος όρος Σειράς Διαμέρισμα 1 0,615 0,632 0,533 0,593 Διαμέρισμα 2 0,308 0,316 0,400 0,341 Διαμέρισμα 3 0,077 0,053 0,067 0,066 1,000 Η διαδικασία σύνθεσης δείχνει τις σχετικές προτεραιότητες των τριών διαμερισμάτων με βάση το κριτήριο χώρου στάθμευσης. Επομένως, όσον αφορά το συγκεκριμένο κριτήριο προκύπτει από το διάνυσμα προτεραιοτήτων πως το διαμέρισμα που προτιμάται είναι το 1 (με προτεραιότητα 0,593), ακολουθεί το διαμέρισμα 2 (με προτεραιότητα 0.341) και τελευταίο είναι το διαμέρισμα 3 (με προτεραιότητα 0.066). 0,593 0,341 0,066 Συνέπεια Ένα σημαντικό στοιχείο που θα πρέπει να ελεγχθεί στις προτεραιότητες είναι η συνέπεια των απόψεων/ κρίσεων του ιθύνοντα κατά τη διάρκεια των συγκρίσεων κατά ζεύγη. Για παράδειγμα, θεωρούμε ένα πίνακα σύγκρισης ζευγών που σχετίζεται με το εισόδημα τριών θέσεων εργασίας. Μισθός Θέση Εργασίας 1 Θέση Εργασίας 2 Θέση Εργασίας 3 Θέση Εργασίας Θέση Εργασίας 2 1/2 1 3 Θέση Εργασίας 3 1/8 1/

136 Η ερμηνεία των αποτελεσμάτων προτίμησης είναι ότι η θέση εργασίας 1 ισούται με δύο φορές της προτίμησης για την εργασία 2, και η προτίμηση για την εργασία 2 είναι τρεις φορές η προτίμηση για την εργασία 3. Ως εκ τούτου καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η προτίμηση για την εργασία 1 πρέπει να είναι 2 * 3 = 6 φορές η προτίμηση για την εργασία 3. Το γεγονός ότι στον πίνακα σύγκρισης ζευγών υπάρχει 8 αντί για 6 υποδεικνύει έλλειψης συνέπειας στις συγκρίσεις. Εντούτοις, θα πρέπει να σημειωθεί πως η τέλεια συνέπεια είναι πολύ δύσκολο να επιτευχθεί στις συγκρίσεις ζευγών. Για το χειρισμό της ασυνέπειας, η AHP παρέχει μια μέθοδο που υπολογίζει το βαθμό συνέπειας μεταξύ των ζευγαριών κρίσεων που παρέχονται από τον ιθύνοντα και εάν ο βαθμός συνέπειας είναι αποδεκτός, η διαδικασία απόφασης μπορεί να συνεχιστεί. Σε αντίθετη περίπτωση, ο ιθύνων πρέπει να επανεξετάσει και να αναθεωρήσει ενδεχομένως τις κρίσεις σύγκρισης πριν συνεχίσει με την ανάλυση. Η μετρική ασυνέπειας που χρησιμοποιείται από τη μέθοδο AHP γίνεται μέσω ενός δείκτη ασυνέπειας που έχει σχεδιαστεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε τιμές άνω του 0,1 είναι ενδεικτικές σημαντικής ασυνέπειας και ως εκ τούτου υπάρχει ανάγκη για αναθεώρηση των αρχικών τιμών των κρίσεων σύγκρισης από τον ιθύνοντα, ενώ αντίθετα τιμές μικρότερες του 0,1 υποδεικνύουν λογικό επίπεδο συνέπειας και άρα μπορούν να συνεχιστεί η ανάλυση με τις υπάρχουσες τιμές κρίσεων. Στα πλαίσια της διπλωματική θα παρουσιαστεί μια προσεγγιστική μεθοδολογία υπολογισμού της αναλογίας συνέπειας. Υπολογισμός Αναλογίας Συνέπειας Βήμα 1 Πολλαπλασιασμός κάθε τιμής της πρώτης στήλης του πίνακα συγκρίσεων ζευγών με την προτεραιότητα πρώτης γραμμής, πολλαπλασιασμός κάθε τιμής της δεύτερης στήλης του πίνακα συγκρίσεων ζευγών με την προτεραιότητα δεύτερης γραμμής και ούτω καθεξής. Έπειτα αθροίζονται οι τιμές των πινάκων Nx1 και προκύπτει ένα διάνυσμα τιμών που καλούνται σταθμισμένο άθροισμα. Για το παράδειγμα που μελετάμε το σταθμισμένο άθροισμα υπολογίζεται ως εξής: ,593 0,682 0,528 1,803 0,593 1/2 0, , ,297 0,341 0,396 1,034 1/8 1/6 1 0,074 0,057 0,066 0,197 Βήμα 2 Διαίρεση των τιμών του διανύσματος σταθμισμένου αθροίσματος (βήμα 1) με την αντίστοιχη τιμή προτεραιότητας. Για το παράδειγμα επιλογής διαμερίσματος έχουμε: 1,803 0,593 3,040 1,034 0,341 3,032 0,066 2,985 0,197 Βήμα 3 Υπολογισμός του μέσου όρου των τιμών του βήματος 2. Ο μέσος όρος αυτός συμβολίζεται με λ max. Για το παράδειγμα επιλογής διαμερίσματος έχουμε: λ 3,040 3,032 2, ,019 Βήμα 4 Υπολογισμός του δείκτη συνέπειας (Consistency Index - CI), ως εξής: CI λ n n 1 όπου n = αριθμός στοιχείων προς σύγκριση Για το παράδειγμα σύγκρισης των διαμερισμάτων η παράμετρος n είναι ίση με 3 και επομένως έχουμε: 136

137 3,019 3 CI 0,010 2 Βήμα 5 Υπολογισμός της αναλογίας συνέπειας (Consistency Ratio - CR) από τον τύπο CR CI RI όπου RI = είναι ο δείκτης συνέπειας ενός τυχαία παραγόμενου πίνακα συγκρίσεων κατά ζεύγη. Ο δείκτης αυτός εξαρτάται από τον αριθμό των στοιχείων προς σύγκριση και λαμβάνει τιμές που φαίνονται στον Πίνακας 3.6. Πίνακας 3.6: Πίνακας τυχαίου δείκτης συνέπειας. n RI 3 0,58 4 0,90 5 1,12 6 1,24 7 1,32 8 1,41 Συνεπώς, για το παράδειγμα που μελετάται και δεδομένου ότι το n είναι ίσο με 3, προκύπτει πως το RI ισούται με 0,58 (Πίνακας 3.6). Επομένως η αναλογία συνέπειας είναι ο ακόλουθος: CR 0,01 0,017 0,58 Δεδομένου ότι η τιμή της αναλογίας συνέπειας είναι μικρότερη του 0,1, οι κρίσεις θεωρούνται πως είναι συνεπείς και άρα δε χρειάζεται αναθεώρηση αυτών. Πίνακες σύγκρισης ζευγών υπόλοιπων κριτηρίων Στο σημείο αυτό θα δημιουργήσουμε και τους υπόλοιπους πίνακες σύγκρισης ζευγών για τα υπόλοιπα κριτήρια. Πίνακας 3.7: Κρίση για το κριτήριο Τιμή. Αριθμητικές και λεκτικές εκτιμήσεις για το κριτήριο Τιμή Ζεύγος Λεκτική Κρίση ή Προτίμηση Αριθµητική εκτίµηση διαμέρισμα 2 - διαμέρισμα 1 Μέτρια προτιμώμενο 3 διαμέρισμα 3 - διαμέρισμα 1 Μέτρια ως ισχυρά 4 διαμέρισμα 3 - διαμέρισμα 2 Ισότιμα ως μέτρια 2 Πίνακας 3.8: Κρίση για το κριτήριο Απόσταση από εργασία. Αριθμητικές και λεκτικές εκτιμήσεις για το κριτήριο Απόσταση από εργασία Ζεύγος Λεκτική Κρίση ή Προτίμηση Αριθµητική εκτίµηση διαμέρισμα 2 - διαμέρισμα 1 Μέτρια ως ισχυρά 4 διαμέρισμα 3 - διαμέρισμα 1 Ισχυρά ως πολύ ισχυρά 6 διαμέρισμα 3 - διαμέρισμα 2 Μέτρια προτιμώμενο 3 Πίνακας 3.9: Κρίση για το κριτήριο Αριθμός δωματίων. Αριθμητικές και λεκτικές εκτιμήσεις για το κριτήριο Αριθμός δωματίων Ζεύγος Λεκτική Κρίση ή Προτίμηση Αριθµητική εκτίµηση διαμέρισμα 2 - διαμέρισμα 1 Μέτρια προτιμώμενο 3 διαμέρισμα 2 - διαμέρισμα 3 Πολύ ισχυρά προτιμώμενο 7 διαμέρισμα 1 - διαμέρισμα 3 Μέτρια ως ισχυρά 4 137

138 Με βάση τους Πίνακες 3.8, 3.8 και 3.9 προκύπτουν οι ακόλουθοι πίνακες σύγκρισης ζευγών. Τιμή Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Διαμέρισμα 1 1 1/3 1/4 Διαμέρισμα /2 Διαμέρισμα Απόσταση Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Διαμέρισμα 1 1 1/4 1/6 Διαμέρισμα /3 Διαμέρισμα Αριθμός δωματίων Διαμέρισμα 1 Διαμέρισμα 2 Διαμέρισμα 3 Διαμέρισμα 1 1 1/3 4 Διαμέρισμα Διαμέρισμα 3 1/4 1/7 1 Έπειτα εφαρμόζουμε τη διαδικασία σύνθεσης και προκύπτουν τα ακόλουθα διανύσματα προτεραιοτήτων για τα κριτήρια τιμή, απόσταση και αριθμός δωματίων αντίστοιχα. 0,123 0,320 0,557 0,087 0,274 0,639 0,265 0,655 0,080 Έχοντας πλέον ολοκληρώσει τις συγκρίσεις κατά ζεύγη των εναλλακτικών λύσεων για τα τέσσερα κριτήρια, θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια διαδικασία σύγκρισης κατά ζεύγη για να θέσουμε προτεραιότητες και για τα τέσσερα κριτήρια σχετικά με τη συμβολή τους στο γενικό στόχο, την επιλογή δηλαδή του καλύτερου δυνατού διαμερίσματος όπως την αντιλαμβάνεται ο συγκεκριμένος ενδιαφερόμενος. Επομένως ακολουθούμε την ίδια διαδικασία και με βάση τον Πίνακα 3.10 που περιέχει την άποψη του ενδιαφερόμενου για τα κριτήρια προς μελέτη υπολογίζεται ο πίνακας συγκρίσεων των κριτηρίων κατά ζεύγη. Πίνακας 3.10: Κρίση για τα κριτήρια. Αριθμητικές και λεκτικές εκτιμήσεις για τα κριτήρια Ζεύγος Λεκτική Κρίση ή Προτίμηση Αριθµητική εκτίµηση Τιμή - Απόσταση Μέτρια προτιμώμενο 3 Τιμή Τύπος χώρου στάθμευσης Ισότιμα ως μέτρια 2 Τιμή Αριθμός δωματίων Ισότιμα ως μέτρια 2 Τύπος χώρου στάθμευσης - Απόσταση Μέτρια ως ισχυρά 4 Αριθμός δωματίων - Απόσταση Μέτρια ως ισχυρά 4 Αριθμός δωματίων - Τύπος χώρου στάθμευσης Ισότιμα ως μέτρια 2 Λαμβάνοντας υπόψη τον Πίνακα 3.10 προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας σύγκρισης ζευγών για τα προς μελέτη κριτήρια. Κριτήρια Τιμή Απόσταση Τύπος χώρου Αριθμός στάθμευσης δωματίων Τιμή Απόσταση 1/3 1 1/4 1/4 Τύπος χώρου στάθμευσης 1/ /2 Αριθμός δωματίων 1/

139 Τέλος, πραγματοποιούμε τη διαδικασία σύνθεσης ώστε να προκύψει το διάνυσμα προτεραιοτήτων των κριτηρίων όπως φαίνεται στον Πίνακα Πίνακας 3.11: Προτεραιότητες για τα 4 κριτήρια. Προτεραιότητες για τα 4 κριτήρια Τιμή Απόσταση Τύπος Χώρου Στάθμευσης Αριθμός Δωματίων Από το διάνυσμα προτεραιοτήτων προκύπτει πως η τιμή είναι το σημαντικότερο κριτήριο (0,398), ακολουθεί ο αριθμός δωματίων (0,299), ο τύπος χώρου στάθμευσης (0,218) ενώ τέλος τη μικρότερη σημασία έχει το κριτήριο απόσταση από τη δουλειά (0,085). Στο επόμενη ενότητα παρουσιάζεται η διαδικασία βάσει της οποίας προκύπτει η γενική ταξινόμηση των τριών διαμερισμάτων. Χρήση της μεθόδου AHP για ανάπτυξη γενικής ταξινόμησης προτεραιότητας Στο ενότητα αυτή παρουσιάζεται η διαδικασία βάσει της οποίας προκύπτει η γενική ταξινόμηση των εναλλακτικών λύσεων ενός προβλήματος δεδομένων των προτεραιοτήτων των κριτηρίων και κάθε εναλλακτικής λύσης που έχει υποδείξει ο ενδιαφερόμενος/ ιθύνων. Η Εικόνα 3.6 απεικονίζει συνολικά τις προτεραιότητες για κάθε διαμέρισμα για κάθε κριτήριο και ονομάζεται πίνακας προτεραιότητας. Κριτήρια Τιμή Απόσταση Τύπος χώρου Αριθμός στάθμευσης δωματίων Διαμέρισμα 1 0,123 0,087 0,593 0,265 Διαμέρισμα 2 0,320 0,274 0,341 0,655 Διαμέρισμα 3 0,557 0,639 0,066 0,080 Εικόνα 3.6. Πίνακας προτεραιότητας Η διαδικασία που ακολουθείται για τον υπολογισμό των συνολικών προτεραιοτήτων κάθε εναλλακτικής λύσης απόφασης μπορεί να γίνει κατανοητή αν θεωρηθεί η προτεραιότητα για κάθε κριτήριο ως βάρος που απεικονίζει τη σημασία του. Επομένως, η γενική προτεραιότητα για κάθε εναλλακτική λύση λαμβάνεται ως το άθροισμα του γινομένου των προτεραιοτήτων της συγκεκριμένης εναλλακτικής λύσης με τις προτεραιότητες των εκάστοτε κριτηρίων. Επομένως για το συγκεκριμένο παράδειγμα οι συνολικές προτεραιότητες των διαμερισμάτων 1, 2 και 3 είναι οι ακόλουθες: Συνολική προτεραιότητα διαµερίσµατος 1 0,398 0,123 0,085 0,087 0,218 0,593 0,299 0,265 0,265 Συνολική προτεραιότητα διαµερίσµατος 2 0,398 0,320 0,085 0,274 0,218 0,341 0,299 0,655 0,421 Συνολική προτεραιότητα διαµερίσµατος 3 0,398 0,557 0,085 0,639 0,218 0,066 0,299 0,080 0,314 Αυτά τα αποτελέσματα παρέχουν έναν οδηγό για τον ενδιαφερόμενο ώστε να λάβει μια απόφαση σχετικά με την επιλογή του κατάλληλου προς ενοικίαση διαμερίσματος. Με βάση τις προτεραιότητες τις μεθόδου AHP και για τις συγκεκριμένες αξιολογήσεις του ενδιαφερόμενου αναφορικά με τη σημαντικότητα των κριτηρίων και τις αξιολογήσεις του για κάθε διαμέρισμα ως προς κάθε κριτήριο, προκύπτει πως η καλύτερη επιλογή είναι το διαμέρισμα 2. Επίλυση με Excel 139

140 Η παράγραφος αυτή επικεντρώνεται στην παρουσίαση των βασικών τύπων που θα πρέπει να εισαχθούν στο πακέτο Excel για την υλοποίηση της διαδικασίας της μεθόδου AHP για το ίδιο παράδειγμα (Εικόνα 3.7). Δεδομένα Εισόδου 1 γραμμή του διανύσματος προτεραιοτήτων =($E25/SUM($E$25:$E$27)+$F 25/SUM($F$25:$F$27)+$G25/S UM($G$25:$G$27))/COUNT($E $25:$E$27) CR =G60/$K$13 Έλεγχος συνέπειας =IF(G61<=0.1,"OK", "PROBLEM") λmax =((G$50*$E25+G$51*$F2 5+G$52*$G25)/G$50+(G$ 50*$E26+G$51*$F26+G$ 52*$G26)/G$51+(G$50*$ E27+G$51*$F27+G$52*$ G27)/G$52)/COUNT(G$5 0:G$52) Συνολική προτεραιότητα =ROUND($E50*$I$50+$F50*$I$ 51+$G50*$I$52+$H50*$I$53,3) CI =(G59- COUNT(G50:G52))/(CO UNT(G50:G52)-1)) Εικόνα 3.7 Παράδειγμα επίλυσης πολυκριτηριακού προβλήματος με AHP 140

141 4 Συμπεράσματα Συμπερασματικά μπορούμε να αναφέρουμε πως τα αποτελέσματα της έρευνας στον τομέα του Δ.Ο.Π. μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα για τη επίλυση πρακτικών προβλημάτων που αντιμετωπίζουν οι επιχειρήσεις. Συγκεκριμένα, είδαμε πως οι διάφορες παραλλαγές του μοντέλου οικονομικής ποσότητας παραγγελίας μπορούν να βελτιστοποιήσουν τη διαχείριση αποθεμάτων σε περίπτωση προσδιοριστικής ή στοχαστικής ζήτησης. Επίσης διαπιστώσαμε πως αξιοποιώντας μοντέλα πρόβλεψης της ζήτησης μπορούμε να επιτύχουμε μια πιο ρεαλιστική ανάλυση των αναγκών παραγωγής της επιχείρησης. Τέλος, καταλήξαμε πως η χρήση μεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης βελτιώνει τη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Επιπροσθέτως με την κατάρτιση του παρόντος εγχειρίδιου και την αναλυτική παρουσίαση μιας σειράς από ενδεικτικά παραδείγματα κατέστη προφανές πως η αξιοποίηση των ερευνητικών αποτελεσμάτων στον τομέα Δ.Ο.Π. μπορεί να γίνει ακόμα και από μη εξειδικευμένους χρήστες με τη χρήση των εργαλείων που αναπτύχθηκαν και παρουσιάστηκαν στα πλαίσια της παρούσας εργασίας. Μια μελλοντική επέκταση της εργασίας θα μπορούσε να συμπεριλάβει: α) περαιτέρω μελέτη των διαθέσιμων τεχνικών και μεθόδων για επίλυση επιχειρησιακών προβλημάτων στα πλαίσια της Δ.Ο.Π. και ενσωμάτωσή τους στο εγχειρίδιο, β) βελτίωση της λειτουργικότητας του εργαλείου που αναπτύχθηκε ώστε να καταστεί πιο ευέλικτο στο επίπεδο του καθορισμού παραμέτρων ώστε να καλύπτει μεγαλύτερος εύρος περιπτώσεων και, γ) βελτίωση της χρηστικότητας του εργαλείου ώστε να καταστεί δυνατή η εκτέλεση των βασικών λειτουργιών που υποστηρίζει χωρίς τη χρήση επεξηγηματικού υλικού. 141

142 5 Βιβλιογραφία Ξένη Βιβλιογραφία Anderson, D.R., Sweeney, D.S. and Williams, T.A., (1990). Statistics for Business and Economics, 4th Edition, West Publishing Co. Anderson, D.R., Sweeney, D.S. and Williams, T.A., (1991). An Introduction to Management Science', 6th Edition, West Publishing Co. Arrow, K.J., Harris, T., Marschak, J., (1951). Optimal inventory policy. Journal Econometrica, Vol. 19, pp Arrow, K.J., Karlin, S., Scarf, H., (authors and editors) (1958). Studies in the Mathematical Theory of Inventory and Production. Stanford University Press. R. Bellman, I. Glicksberg, Gross, O., (1955). On the Optimal Inventory Equation. Journal of Management Science, Vol. 2, No. 1, pp Dvoretzky, A., Kiefer, J.,Wolfowitz, J., (1952). The inventory problem: I. Case of known distribution of demand, II. Case of unknown distribution of demand. Journal Econometrica, Vol. 20, pp , pp Dvoretzky, A., Kiefer, J., Wolfowitz, J., (1953). On the optimal character of the (s; S) policy in inventory theory. Journal Econometrica, Vol. 21, pp Harris, Ford Whitman, (1913). How Many Parts to Make at Once. Factory: The Magazine of Management, vol 10, pp DEC, Digital Equipment Corporation, Logistics Management Concepts and Techniques, Accessories & Supplies Group, Nashua, New Hampshire, 03063, USA, Papadopoulos, C.T., Inventory models and Some probabilistic models: Personal Notes. Russell, R. and Taylor, T., (2006). Operations Management, 5 th Edition, John Wiley & Sons. Slack, N., Chambers S. and Johnston, R., (2007). Operations Management, 5 th Edition, Prentice Hall, Whitin, T. M. (1957). The Theory of Inventory Management, 2nd ed. Princeton University Press, Princeton, NJ. Wilson, R. H. (1934). A Scientific Routine for Stock Control. Harvard Business Review, Vol. 13, pp Ελληνική Βιβλιογραφία Γιώργος Μαυρωτάς, (2000). Πολυκριτηριακός Προγραμματισμός σε Συνθήκες Αβεβαιότητας. Κατασκευή Συστήματος Υποστήριξης Αποφάσεων και Εφαρμογή στον Ενεργειακό Σχεδιασμό, Διδακτορική Διατριβή, Εθνικό Μετσόβειο Πολυτεχνείο, σελ Παπαγιαννάκης Ν. Δ., (2009). Η Πολυκριτηριακή Ανάλυση στην Αξιολόγηση και Επιλογή Προμηθευτών, Μεταπτυχιακή Εργασία, Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων. Έκθεση σχετικά με τις μεθόδους πολυκριτηριακής ανάλυσης, Development of best management systems for high priority waste streams in Cyprus, σελ. 4, LIFE03 TCY/CY/000018, Site 142

143 Γιοβάνης Απόστολος, (2008), Διαχείριση Αποθεμάτων, Σημειώσεις μαθήματος Διοίκησης Παραγωγής και Συστημάτων Υπηρεσιών, Θεόδωρου Κ. Θεόδωρος, "Η Διοίκηση Ολικής Ποιότητας (Δ.Ο.Π.) στις επιχειρήσεις και στην εκπαίδευση", Κ. Κοσμίδου, Κ. Ζοπουνίδης και Μ. Δούμπος, Αποφάσεις με Πολλαπλά κριτήρια, 2005, Prentice-Hall, "Goal Programming", Trick, A. Michael, "Goal Programming", Topcu, Y. Iiker, "Goal Programming", Operations Research Lecture Notes, Wikipedia, "Goal Programming", 143

144 Παράρτημα Α Economic Models Tool Γενική Περιγραφή του εργαλείου Economic Models Tool Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζεται το εργαλείο Economic Models Tool που αναπτύχθηκε με Java στα πλαίσια της διπλωματικής. Η Εικόνα Α.1 απεικονίζει το εργαλείο και τα επιμέρους τμήματα του. Συγκεκριμένα, στο πάνω μέρος του εργαλείου βρίσκεται η γραμμή των μενού, από κάτω βρίσκεται μια περιοχή με καρτέλες (tabbed pane) που αντιστοιχούν στα διάφορα μοντέλα (είσοδοι και συνοπτική περιγραφή) που μελετήθηκαν ενώ στο κάτω μέρος βρίσκεται η περιοχή των αποτελεσμάτων. Αποτελέσματα μοντέλου Περιγραφή Μοντέλου και Είσοδοι Εικόνα Α.1: Εργαλείο Economic Models Tool. Ακολουθεί αναλυτικότερη περιγραφή των επιλογών της γραμμής των μενού που περιλαμβάνει τα εξής τρία μενού: File Edit Information 144

145 To μενού File, διαθέτει μία επιλογή, την Save Results, που εξάγει τα αποτελέσματα του μοντέλου σε ένα αρχείο κειμένου που είναι δομημένο με τον ίδιο τρόπο που εμφανίζεται η έξοδος του προγράμματος στην περιοχή αποτελεσμάτων (Εικόνα Α.2) και εξάγει μια εικόνα με τη μορφή του μοντέλου σε ορισμένες περιπτώσεις. Εικόνα Α.2: Μενού File του εργαλείου Economic Models Tool. Αντίστοιχα, το μενού Edit διαθέτει μία επιλογή, την Clear All, που καθαρίζει όλα τα κελιά και τα αποτελέσματα για το τρέχων μοντέλο (Εικόνα Α.3). Εικόνα Α.3: Μενού Edit του εργαλείου Economic Models Tool. Τέλος, το μενού Information (Εικόνα Α.4) διαθέτει δύο επιλογές, την Input Format (Εικόνα Α.5), που παρέχει κάποιες βασικές οδηγίες σχετικά με την μορφή των δεδομένων εισόδου και, την επιλογή About (Εικόνα Α.6) που παρέχει γενικές πληροφορίες για το εργαλείο. Εικόνα Α.4: Μενού Information του εργαλείου Economic Models Tool. Συγκεκριμένα, όσον αφορά τις βασικές οδηγίες που περιγράφονται στα παράθυρο της Input Format επιλογής είναι οι ακόλουθες: Ο διαχωρισμός μεταξύ δεκαδικών και ακέραιων ψηφίων γίνεται με την τελεία. Η εισαγωγή πολλαπλών τιμών στο ίδιο πεδίο κειμένου (text field) γίνει με εισαγωγή απλού διαστήματος μεταξύ των διαφορετικών τιμών. Η μορφή του αρχείου εισόδου για τις περιπτώσεις που ως είσοδο δίνεται κάποιος πίνακας έχει τα εξής χαρακτηριστικά: o Κάθε γραμμή του πίνακα αντιστοιχεί σε μια νέα σειρά του αρχείου o Ο διαχωρισμός των στηλών γίνεται είτε με την εισαγωγή απλού διαστήματος είτε με την εισαγωγή στηλογνώμονα (tab) 145

146 Εικόνα Α.5: Παράθυρο της επιλογής Format Information του εργαλείου Economic Models Tool. Εικόνα Α.6: Παράθυρο της επιλογής About του εργαλείου Economic Models Tool. Όσον αφορά τις καρτέλες με τα μοντέλα, τα ονόματά τους είναι ενδεικτικά του μοντέλου με το οποίο και σχετίζονται και είναι οι ακόλουθες: Inventory Management Techniques o Vendor EOQ Model o Producer EOQ Model o EOQ Quantity Discount Model o Single/ Multiple Period Models Single Period Model Multiple Period Models Forecasting Techniques o Moving Average o Exponential Smoothing o Linear Regression o New Products Goodness of Fit Tests o Poisson Distribution Στο σημείο αυτό, θα παραθέσουμε ενδεικτικά τα αποτελέσματα που προέκυψαν από το Economic Models Tool για την περίπτωση του Vendor EOQ μοντέλου. Η Εικόνα Α.7 απεικονίζει το συμπληρωμένο μοντέλο, με τα ενσωματωμένα αποτελέσματα. 146