ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4"

Transcript

1 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό έτος 2011 Για χρήση των ϕοιτητών του Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστηµίου Αθηνών Να µην αναπαραχθεί από τρίτους για εµπορικούς λόγους

2 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 2/ 45 Περιεχόµενα 4ου κεφαλαίου 1 Η ως κβαντικό µέγεθος Η Κβάντωση της ς Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Πρόσθεση Στροφορµών

3 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 3/ 45 Η στην Κβαντική Μηχανική

4 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 4/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Η Τροχιακή ˆL = ˆr ˆp T ρoχιακη Στ ρoϕoρµη ˆL ˆrˆrˆr ˆpˆpˆp οι συνιστώσες του τελεστή της ϑέσης ˆr = (ˆx, ŷ, ẑ) οι συνιστώσες του τελεστή της ορµής ˆp = (ˆp x, ˆp y, ˆp z ) Οι συνιστώσες της τροχιακής στροφορµής είναι ˆL x = ŷ ˆp z ẑ ˆp y, ˆL y = ẑ ˆp x ˆx ˆp z, ˆL z = ˆx ˆp y ŷ ˆp x

5 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 4/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Η Τροχιακή ˆL = ˆr ˆp T ρoχιακη Στ ρoϕoρµη ˆL ˆrˆrˆr ˆpˆpˆp οι συνιστώσες του τελεστή της ϑέσης ˆr = (ˆx, ŷ, ẑ) οι συνιστώσες του τελεστή της ορµής ˆp = (ˆp x, ˆp y, ˆp z ) Οι συνιστώσες της τροχιακής στροφορµής είναι ˆL x = ŷ ˆp z ẑ ˆp y, ˆL y = ẑ ˆp x ˆx ˆp z, ˆL z = ˆx ˆp y ŷ ˆp x

6 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 4/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Η Τροχιακή ˆL = ˆr ˆp T ρoχιακη Στ ρoϕoρµη ˆL ˆrˆrˆr ˆpˆpˆp οι συνιστώσες του τελεστή της ϑέσης ˆr = (ˆx, ŷ, ẑ) οι συνιστώσες του τελεστή της ορµής ˆp = (ˆp x, ˆp y, ˆp z ) Οι συνιστώσες της τροχιακής στροφορµής είναι ˆL x = ŷ ˆp z ẑ ˆp y, ˆL y = ẑ ˆp x ˆx ˆp z, ˆL z = ˆx ˆp y ŷ ˆp x

7 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 5/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Το τετράγωνο του µέτρου της τροχιακής στροφορµής : ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z Η Αλγεβρα της στροφορµής : [ ] [ ] [ ] ˆL x, ˆL y = ι ˆL z, ˆL y, ˆL z = ι ˆL x, ˆL z, ˆL x = ι ˆL y [ ] ˆL 2, ˆL k = 0, k = x, y, z Η Αλγεβρα της στροφορµής είναι η ίδια ανεξαρτήτως του είδους αυτής ( τροχιακής η ιδιοστροφορµής = σπιν )

8 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 5/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Το τετράγωνο του µέτρου της τροχιακής στροφορµής : ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z Η Αλγεβρα της στροφορµής : [ ] [ ] [ ] ˆL x, ˆL y = ι ˆL z, ˆL y, ˆL z = ι ˆL x, ˆL z, ˆL x = ι ˆL y [ ] ˆL 2, ˆL k = 0, k = x, y, z Η Αλγεβρα της στροφορµής είναι η ίδια ανεξαρτήτως του είδους αυτής ( τροχιακής η ιδιοστροφορµής = σπιν )

9 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 5/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Το τετράγωνο του µέτρου της τροχιακής στροφορµής : ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z Η Αλγεβρα της στροφορµής : [ ] [ ] [ ] ˆL x, ˆL y = ι ˆL z, ˆL y, ˆL z = ι ˆL x, ˆL z, ˆL x = ι ˆL y [ ] ˆL 2, ˆL k = 0, k = x, y, z Η Αλγεβρα της στροφορµής είναι η ίδια ανεξαρτήτως του είδους αυτής ( τροχιακής η ιδιοστροφορµής = σπιν )

10 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 6/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Η Ιδιοστροφορµή ( spin ) Εκτός της τροχιακής στροφορµής ορισµένα κβαντικά συστήµατα έχουν και εσωτερική στροφορµή ( ιδιοστροφορµή η σπιν ) που δεν συνδέεται µε την θέση και την ορµή τους! Κλασικό σωµατίδιο µε ϕορτίο e µάζα m και στροφορµή J έχει µαγνητική ϱοπή µ = e J 2 m c Η δυναµική ενέργεια και η δύναµη που ασκείται σε αυτό όταν ϐρεθεί σε µαγνητικό πεδίο είναι U B = µ B = F = UB Σε ανοµοιογενές µαγνητικό πεδίο η δύναµη είναι ανάλογη της στροφορµής του συστήµατος.

11 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 7/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Οι O. Stern - W. Gerlach, 1922 έδειξαν ότι η στροφορµή είναι κβαντισµένη και επίσης ότι το ηλεκτρόνιο διαθέτει εσωτερική στροφορµή ( σπιν )! έσµη ατόµων αργύρου ( Ag ) διέρχεται από ανοµοιογενές µαγνητικό πεδίο κατά την κατεύθυνση - z B = ẑ B z (z) Τα άτοµα Ag είναι ουδέτερα και δεν υφίστανται δύναµη ( Lorentz ) F = q u B. Η µοναδική δύναµη είναι λόγω της µαγνητικής ϱοπής και για το συγκεκριµένο πεδίο µόνο κατά την διεύθυνση - z B z F z = µ z z Τα 46 από τα 47 ηλεκτρόνια του Ag ϐρίσκονται σε κατάσταση µηδενικής ολικής στροφορµής και το µοναδικό εξωτερικό ηλεκτρόνιο ϐρίσκεται σε κατάσταση µε µηδενική τροχακή στροφορµή. Η µαγνητική ροπή του συστήµατος οφείλεται στο σπιν αυτού του ηλεκτρονίου!

12 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 8/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Η δύναµη που ασκείται στα άτοµα Ag είναι ανάλογη του σπιν του ηλεκτρονίου στην κατεύθυνση - z : e B z F z = S z 2 m e c z εν αναµένεται διαχωρισµός της δέσµης αν το ηλεκτρόνιο δεν διαθέτει σπιν, S z = 0. Αν S z 0 και παίρνει συνεχείς τιµές S S z S αναµένεται διαχωρισµός της δέσµης µε συνεχή τρόπο! Αν S z 0 και παίρνει διακριτές τιµές αναµένεται διαχωρισµός της δέσµης σε υποδέσµες τόσες όσες οι τιµές που παίρνει η S z!

13 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 8/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Η δύναµη που ασκείται στα άτοµα Ag είναι ανάλογη του σπιν του ηλεκτρονίου στην κατεύθυνση - z : e B z F z = S z 2 m e c z εν αναµένεται διαχωρισµός της δέσµης αν το ηλεκτρόνιο δεν διαθέτει σπιν, S z = 0. Αν S z 0 και παίρνει συνεχείς τιµές S S z S αναµένεται διαχωρισµός της δέσµης µε συνεχή τρόπο! Αν S z 0 και παίρνει διακριτές τιµές αναµένεται διαχωρισµός της δέσµης σε υποδέσµες τόσες όσες οι τιµές που παίρνει η S z!

14 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 9/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος

15 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 10/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος

16 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 11/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος

17 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 12/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Ο τελεστής του σπιν Το σπιν κβαντικού συστήµατος είναι ( ψευδο -) ανυσµατικό µέγεθος όπως η τροχιακή στροφορµή Ŝ = (Ŝ x, Ŝ y, Ŝ z ) οι συνιστώσες του ικανοποιούν τις ίδιες σχέσεις µετάθεσης µε την τροχιακή στροφορµή [ ] [ ] [ ] Ŝ x, Ŝ y = ι Ŝ z, Ŝ y, Ŝ z = ι Ŝ x, Ŝ z, Ŝ x = ι Ŝ y [ ] Ŝ 2, Ŝ k = 0, k = x, y, z

18 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 12/ 45 Η ως κβαντικό µέγεθος Ο τελεστής του σπιν Το σπιν κβαντικού συστήµατος είναι ( ψευδο -) ανυσµατικό µέγεθος όπως η τροχιακή στροφορµή Ŝ = (Ŝ x, Ŝ y, Ŝ z ) οι συνιστώσες του ικανοποιούν τις ίδιες σχέσεις µετάθεσης µε την τροχιακή στροφορµή [ ] [ ] [ ] Ŝ x, Ŝ y = ι Ŝ z, Ŝ y, Ŝ z = ι Ŝ x, Ŝ z, Ŝ x = ι Ŝ y [ ] Ŝ 2, Ŝ k = 0, k = x, y, z

19 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 13/ 45 Η Κβάντωση της ς Η Αλγεβρα και η Κβάντωση της ς Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 µετάθεσης αυτοσυζυγείς τελεστές που ικανοποιούν τις σχέσεις [ Ĵ 1, Ĵ 2 ] = ι Ĵ 3, [ Ĵ 2, Ĵ 3 ] = ι Ĵ 1, [ Ĵ 3, Ĵ 1 ] = ι Ĵ 2 [ Ĵ 2, Ĵ k ] = 0, k = 1, 2, 3 όπου Ĵ 2 = Ĵ Ĵ Ĵ 3 2 Από την Αλγεβρα καθορίζονται οι ιδιοτιµές των Ĵ 2 και Ĵ k! Ĵ 2 = j ( j + 1 ) j = 0, 2, 1, 3 2, Ĵ k = m m = j, j + 1, j

20 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 14/ 45 Η Κβάντωση της ς j, m > κοινά ιδιοανύσµατα του Ĵ 2 και ενός µόνο απο τους Ĵ k, π.χ. του Ĵ 3 Ĵ 2 j, m > = 2 j (j + 1) j, m >, Ĵ 3 j, m > = m j, m > Τα ιδιοανύσµατα j, m > ΕΝ είναι ιδιοανύσµατα των Ĵ 1, 2 µετατίθενται µε τον Ĵ 3! γιατί αυτοί δεν j m αρ. κατ. 2 j + 1 Καταστάσεις , 0 > 1/2, +1/2 > 1/2-1/2, 1/2 2 1/2, 1/2 > 1, +1 > 1-1, 0, 1 3 1, 0 > 1, 1 >

21 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 14/ 45 Η Κβάντωση της ς j, m > κοινά ιδιοανύσµατα του Ĵ 2 και ενός µόνο απο τους Ĵ k, π.χ. του Ĵ 3 Ĵ 2 j, m > = 2 j (j + 1) j, m >, Ĵ 3 j, m > = m j, m > Τα ιδιοανύσµατα j, m > ΕΝ είναι ιδιοανύσµατα των Ĵ 1, 2 µετατίθενται µε τον Ĵ 3! γιατί αυτοί δεν j m αρ. κατ. 2 j + 1 Καταστάσεις , 0 > 1/2, +1/2 > 1/2-1/2, 1/2 2 1/2, 1/2 > 1, +1 > 1-1, 0, 1 3 1, 0 > 1, 1 >

22 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 15/ 45 Η Κβάντωση της ς Ĵ +, Ĵ ορίζονται ως γραµµικοί συνδυασµοί των Ĵ 1, Ĵ 2 Ĵ + = Ĵ 1 + ι Ĵ 2, Ĵ = Ĵ 1 ι Ĵ 2 Ενεργούν ως τελεστές που ανεβάζουν και κατεβάζουν την τιµή του κβαντικού αριθµού m Ĵ + j, m > = C + j, m + 1 > Ĵ j, m > = C j, m 1 > Οι καταστάσεις j,... > είναι κανονικοποιηµένες και οι συντελεστές C ± C + = j (j + 1) m (m + 1) C = j (j + 1) m (m 1)

23 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 16/ 45 Η Κβάντωση της ς Απόδειξη......

24 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 17/ 45 Η Κβάντωση της ς Τα συµπεράσµατα είναι εφαρµόσιµα στην στροφορµή ΣΠΙΝ Τιµές του κβαντικού αριθµού του σπιν : Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = Ŝ x, Ŝ y, Ŝ z s = 0, 1 2, 1, 3 2, 1, ΤΡΟΧΙΑΚΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = ˆL x, ˆL y, ˆL z Τιµές του κβαντικού αριθµού της τροχιακής στροφορµής : 1 3 l = 0,, 1,, 2, 2 2 Μόνο ακέραιες τιµές είναι επιτρεπτές!

25 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 17/ 45 Η Κβάντωση της ς Τα συµπεράσµατα είναι εφαρµόσιµα στην στροφορµή ΣΠΙΝ Τιµές του κβαντικού αριθµού του σπιν : Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = Ŝ x, Ŝ y, Ŝ z s = 0, 1 2, 1, 3 2, 1, ΤΡΟΧΙΑΚΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = ˆL x, ˆL y, ˆL z Τιµές του κβαντικού αριθµού της τροχιακής στροφορµής : 1 3 l = 0,, 1,, 2, 2 2 Μόνο ακέραιες τιµές είναι επιτρεπτές!

26 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 17/ 45 Η Κβάντωση της ς Τα συµπεράσµατα είναι εφαρµόσιµα στην στροφορµή ΣΠΙΝ Τιµές του κβαντικού αριθµού του σπιν : Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = Ŝ x, Ŝ y, Ŝ z s = 0, 1 2, 1, 3 2, 1, ΤΡΟΧΙΑΚΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = ˆL x, ˆL y, ˆL z Τιµές του κβαντικού αριθµού της τροχιακής στροφορµής : 1 3 l = 0,, 1,, 2, 2 2 Μόνο ακέραιες τιµές είναι επιτρεπτές!

27 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 17/ 45 Η Κβάντωση της ς Τα συµπεράσµατα είναι εφαρµόσιµα στην στροφορµή ΣΠΙΝ Τιµές του κβαντικού αριθµού του σπιν : Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = Ŝ x, Ŝ y, Ŝ z s = 0, 1 2, 1, 3 2, 1, ΤΡΟΧΙΑΚΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Ĵ 1, Ĵ 2, Ĵ 3 = ˆL x, ˆL y, ˆL z Τιµές του κβαντικού αριθµού της τροχιακής στροφορµής : 1 3 l = 0,, 1,, 2, 2 2 Μόνο ακέραιες τιµές είναι επιτρεπτές!

28 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 18/ 45 Η Κβάντωση της ς s = 1/2, m s = 1/2, +1/2 Ιδιοτιµή του Ŝ 2 : 2 s (s + 1) = Ιδιοτιµές του Ŝ z : m s = 2, + 2 Καταστάσεις : 1/2, +1/2 1/2, 1/2

29 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 19/ 45 Η Κβάντωση της ς Αναπαράσταση του σπιν 1 / 2 µε τους πίνακες Pauli Η περίπτωση s = 1 µπορεί να αναπαρασταθεί µε πίνακες 2 2 : 2 S k = 2 σ k, k = x, y, z όπου σ k είναι οι πίνακες Pauli ( ) 0 1 σ x =, σ 1 0 y = ( 0 ι ι 0 ) ( 1 0, σ z = 0 1 ) Οι ιδιοκαταστάσεις του s z µε ιδιοτιµές /2 και + /2 : 1/2, 1/2 = ( 0 1 ), 1/2, +1/2 = ( ) 1 0

30 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 20/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Η Τροχιακή στροφορµή στην αναπαράσταση θέσης Στην αναπαράσταση ϑέσης ˆL = r ( ι ) ( ˆL ± = e ± ιφ ± ) + ι cot θ θ φ ˆL z = ι φ [ ˆL 2 = 2 1 sin 2 sin θ θ θ ( sin θ θ ) + ] 2 φ 2

31 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 20/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Η Τροχιακή στροφορµή στην αναπαράσταση θέσης Στην αναπαράσταση ϑέσης ˆL = r ( ι ) ( ˆL ± = e ± ιφ ± ) + ι cot θ θ φ ˆL z = ι φ [ ˆL 2 = 2 1 sin 2 sin θ θ θ ( sin θ θ ) + ] 2 φ 2

32 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 21/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Οι ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Y l m (θ, φ) είναι συναρτήσεις των µεταβλητών θ, φ ˆL 2 Y (θ, φ) l m = 2 l ( l + 1 ) Y l m (θ, φ) ˆL z Y l m (θ, φ) = m Y l m (θ, φ) m = l, l + 1, l + 2, l 1, l Από την δεύτερη = µε λύση = ι φ Y l m (θ, φ) = m Y l m (θ, φ) Y l m (θ, φ) = e ι m φ P(θ)

33 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 21/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Οι ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Y l m (θ, φ) είναι συναρτήσεις των µεταβλητών θ, φ ˆL 2 Y (θ, φ) l m = 2 l ( l + 1 ) Y l m (θ, φ) ˆL z Y l m (θ, φ) = m Y l m (θ, φ) m = l, l + 1, l + 2, l 1, l Από την δεύτερη = µε λύση = ι φ Y l m (θ, φ) = m Y l m (θ, φ) Y l m (θ, φ) = e ι m φ P(θ)

34 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 22/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Οι Y l m (θ, φ) είναι περιοδικές ως προς την µεταβλητή φ Y l m (θ, φ + 2 π) = Y l m (θ, φ) = e ι m (φ+2 π) = e ι m φ m = ακɛϱαιoς m = l l = l = ακɛϱαιoς Η συνάρτηση P(θ) προσδιορίζεται από την εξίσωση ιδιοτιµών του ˆL 2 1 sin 2 θ [ sin θ d d θ ( sin θ d P ] d θ ) m 2 P = l (l + 1) P

35 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 22/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Οι Y l m (θ, φ) είναι περιοδικές ως προς την µεταβλητή φ Y l m (θ, φ + 2 π) = Y l m (θ, φ) = e ι m (φ+2 π) = e ι m φ m = ακɛϱαιoς m = l l = l = ακɛϱαιoς Η συνάρτηση P(θ) προσδιορίζεται από την εξίσωση ιδιοτιµών του ˆL 2 1 sin 2 θ [ sin θ d d θ ( sin θ d P ] d θ ) m 2 P = l (l + 1) P

36 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 23/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Οι δύο ανεξάρτητες λύσεις µπορούν να εκφρασθούν ως συναρτήσεις της µεταβλητής cos θ. Για ακέραιες τιµές του κβαντικού αριθµού της τροχιακής στροφορµής l η µία λύση είναι αναλυτική στο διάστηµα 1 cos θ 1. P m l (cos θ) Legendre Οι ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής : Y l m (θ, φ) = N l m P m l ( cos θ ) e ι m φ Spherical Harmonics N l m παράγοντας κανονικοποίησης!

37 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 23/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Οι δύο ανεξάρτητες λύσεις µπορούν να εκφρασθούν ως συναρτήσεις της µεταβλητής cos θ. Για ακέραιες τιµές του κβαντικού αριθµού της τροχιακής στροφορµής l η µία λύση είναι αναλυτική στο διάστηµα 1 cos θ 1. P m l (cos θ) Legendre Οι ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής : Y l m (θ, φ) = N l m P m l ( cos θ ) e ι m φ Spherical Harmonics N l m παράγοντας κανονικοποίησης!

38 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 24/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Ορθοκανονικότητα : Y l m(θ, φ) Y l m (θ, φ) d Ω = δ l l δ m m d Ω η στερεά γωνία : d Ω = sin θ dθ dφ l = 0, m = 0 : Y 0 0 = 1 4 π l = 1, m = ±1, 0 : Y = 8 π sin θ e ι φ, Y 1 0 = + 4 π cos θ, Y 1 1 = Y 1 1

39 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 25/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Σφαιρική απεικόνιση των Y l m (θ, φ) 2

40 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 26/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

41 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 27/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

42 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 28/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

43 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 29/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

44 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 30/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

45 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 31/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής Παράδειγµα Κυµατική συνάρτηση : τίθεται στην µορφή ψ( r) = f(r) ( x 2 + y 2 + λ z 2 ) [ ( ψ( r) = F(r) 1 + ɛ ) Y ( ) ] 2 ɛ Y όπου F(r) = 4 π r 2 f(r) Πιθανότητες P l, m να µετρηθεί στροφορµή µε l, m P 2, 0 = 4 ɛ 2, P ɛ + 9 ɛ 2 0, 0 = 1 P 2, 0

46 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 32/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

47 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 33/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

48 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 34/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

49 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 35/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

50 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 36/ 45 Ιδιοσυναρτήσεις της τροχιακής στροφορµής

51 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 37/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αλληλεπίδραση σπιν - σπιν των δύο ηλεκτρονίων Ĥ = g S 1 S 2 Κάθε ηλεκτρόνιο σε δύο καταστάσεις - ύο προσανατολισµοί του σπιν!

52 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 37/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αλληλεπίδραση σπιν - σπιν των δύο ηλεκτρονίων Ĥ = g S 1 S 2 Κάθε ηλεκτρόνιο σε δύο καταστάσεις - ύο προσανατολισµοί του σπιν!

53 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 38/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών

54 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 38/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών

55 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 39/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αλληλεπίδραση σπιν - σπιν των δύο ηλεκτρονίων Ĥ = g S 1 S 2 Κάθε ηλεκτρόνιο σε δύο καταστάσεις - ύο προσανατολισµοί του σπιν! Πως από τις 4 καταστάσεις προκύπτουν οι ιδιοκαταστάσεις της ĤĤĤ ; Ποιές είναι οι δυνατές τιµές της ενέργειας ;

56 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 39/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αλληλεπίδραση σπιν - σπιν των δύο ηλεκτρονίων Ĥ = g S 1 S 2 Κάθε ηλεκτρόνιο σε δύο καταστάσεις - ύο προσανατολισµοί του σπιν! Πως από τις 4 καταστάσεις προκύπτουν οι ιδιοκαταστάσεις της ĤĤĤ ; Ποιές είναι οι δυνατές τιµές της ενέργειας ;

57 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 39/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αλληλεπίδραση σπιν - σπιν των δύο ηλεκτρονίων Ĥ = g S 1 S 2 Κάθε ηλεκτρόνιο σε δύο καταστάσεις - ύο προσανατολισµοί του σπιν! Πως από τις 4 καταστάσεις προκύπτουν οι ιδιοκαταστάσεις της ĤĤĤ ; Ποιές είναι οι δυνατές τιµές της ενέργειας ;

58 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 40/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Το ολικό σπιν του συστήµατος είναι S = S 1 + S 2 Οι τελεστές S 1 και S 2 µετατίθενται και οι συνιστώσες του ολικού σπιν ικανοποιούν την άλγεβρα της στροφορµής [ ] Ŝ i, Ŝ j = ι ɛ i j k Ŝ k Οι τελεστές S 2, Ŝ z και S 2 1, S 2 2 µετατίθενται και έχουν κοινά ιδιο - ανύσµατα που είναι γραµµικοί συνδιασµοί των 4 καταστάσεων των επι µέρους σπιν! Η εύρεση των ιδιοκαταστάσεων και των ιδιοτιµών αυτών είναι αντικείµενο της αθροισης η σύνθεσης των στροφορµών

59 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 40/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Το ολικό σπιν του συστήµατος είναι S = S 1 + S 2 Οι τελεστές S 1 και S 2 µετατίθενται και οι συνιστώσες του ολικού σπιν ικανοποιούν την άλγεβρα της στροφορµής [ ] Ŝ i, Ŝ j = ι ɛ i j k Ŝ k Οι τελεστές S 2, Ŝ z και S 2 1, S 2 2 µετατίθενται και έχουν κοινά ιδιο - ανύσµατα που είναι γραµµικοί συνδιασµοί των 4 καταστάσεων των επι µέρους σπιν! Η εύρεση των ιδιοκαταστάσεων και των ιδιοτιµών αυτών είναι αντικείµενο της αθροισης η σύνθεσης των στροφορµών

60 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 40/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Το ολικό σπιν του συστήµατος είναι S = S 1 + S 2 Οι τελεστές S 1 και S 2 µετατίθενται και οι συνιστώσες του ολικού σπιν ικανοποιούν την άλγεβρα της στροφορµής [ ] Ŝ i, Ŝ j = ι ɛ i j k Ŝ k Οι τελεστές S 2, Ŝ z και S 2 1, S 2 2 µετατίθενται και έχουν κοινά ιδιο - ανύσµατα που είναι γραµµικοί συνδιασµοί των 4 καταστάσεων των επι µέρους σπιν! Η εύρεση των ιδιοκαταστάσεων και των ιδιοτιµών αυτών είναι αντικείµενο της αθροισης η σύνθεσης των στροφορµών

61 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 40/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Το ολικό σπιν του συστήµατος είναι S = S 1 + S 2 Οι τελεστές S 1 και S 2 µετατίθενται και οι συνιστώσες του ολικού σπιν ικανοποιούν την άλγεβρα της στροφορµής [ ] Ŝ i, Ŝ j = ι ɛ i j k Ŝ k Οι τελεστές S 2, Ŝ z και S 2 1, S 2 2 µετατίθενται και έχουν κοινά ιδιο - ανύσµατα που είναι γραµµικοί συνδιασµοί των 4 καταστάσεων των επι µέρους σπιν! Η εύρεση των ιδιοκαταστάσεων και των ιδιοτιµών αυτών είναι αντικείµενο της αθροισης η σύνθεσης των στροφορµών

62 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 41/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Η Χαµιλτωνιανή γράφεται Ĥ = g 2 ( ) S 2 S 2 1 S 2 2 Τα κοινά ιδιανύσµατα των S 2, S 2 1 και S 2 2 Χαµιλτωνιανής µε ιδιοτιµές ενέργειας είναι και ιδιοανύσµατα της E s = g 2 2 [ S (S + 1) s 1 ( s 1 + 1) s 2 ( s 2 + 1) ] Ποιές οι τιµές του S και πόσες καταστάσεις υπάρχουν ;

63 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 41/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Η Χαµιλτωνιανή γράφεται Ĥ = g 2 ( ) S 2 S 2 1 S 2 2 Τα κοινά ιδιανύσµατα των S 2, S 2 1 και S 2 2 Χαµιλτωνιανής µε ιδιοτιµές ενέργειας είναι και ιδιοανύσµατα της E s = g 2 2 [ S (S + 1) s 1 ( s 1 + 1) s 2 ( s 2 + 1) ] Ποιές οι τιµές του S και πόσες καταστάσεις υπάρχουν ;

64 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 41/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Η Χαµιλτωνιανή γράφεται Ĥ = g 2 ( ) S 2 S 2 1 S 2 2 Τα κοινά ιδιανύσµατα των S 2, S 2 1 και S 2 2 Χαµιλτωνιανής µε ιδιοτιµές ενέργειας είναι και ιδιοανύσµατα της E s = g 2 2 [ S (S + 1) s 1 ( s 1 + 1) s 2 ( s 2 + 1) ] Ποιές οι τιµές του S και πόσες καταστάσεις υπάρχουν ;

65 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 42/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αθροιση των σπιν των ηλεκτρονίων Οι 4 καταστάσεις των 2 ηλεκτρονίων περιγράφονται από τα γινόµενα s 1 m 1 s 2 m 2 m 1 = ± 1 2 m 2 = ± 1 2 Οι τρίτες συνιστώσες Ŝ 1, z και Ŝ 2, z µετατίθενται εποµένως το άθροισµά τους έχει ιδιοτιµές το άθροισµα των ιδιοτιµών! = Ο τελεστής της τρίτης συνιστώσας του ολικού σπιν Ŝ z = Ŝ 1, z + Ŝ 2, z έχει ιδιοτιµές M όπου M = m 1 + m 2

66 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 43/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών m 2 \ m Η µεγαλύτερη τιµή της συνιστώσας Ŝ z είναι +1 άρα η αντίστοιχη κατάσταση έχει ολικό σπιν µε τιµή S = 1 Οι καταστάσεις µε ολικό σπιν S = 1 έχουν τρίτες συνιστώσες M = 1, 0, +1 Συνολικά υπάρχουν δύο καταστάσεις µε M = 0, η µία ήδη ανήκει στην S = 1 η µοναδική που αποµένει υποχρεωτικά έχει S = 0! Ŝ z S = 0, 1

67 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 43/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών m 2 \ m Η µεγαλύτερη τιµή της συνιστώσας Ŝ z είναι +1 άρα η αντίστοιχη κατάσταση έχει ολικό σπιν µε τιµή S = 1 Οι καταστάσεις µε ολικό σπιν S = 1 έχουν τρίτες συνιστώσες M = 1, 0, +1 Συνολικά υπάρχουν δύο καταστάσεις µε M = 0, η µία ήδη ανήκει στην S = 1 η µοναδική που αποµένει υποχρεωτικά έχει S = 0! Ŝ z S = 0, 1

68 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 43/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών m 2 \ m Η µεγαλύτερη τιµή της συνιστώσας Ŝ z είναι +1 άρα η αντίστοιχη κατάσταση έχει ολικό σπιν µε τιµή S = 1 Οι καταστάσεις µε ολικό σπιν S = 1 έχουν τρίτες συνιστώσες M = 1, 0, +1 Συνολικά υπάρχουν δύο καταστάσεις µε M = 0, η µία ήδη ανήκει στην S = 1 η µοναδική που αποµένει υποχρεωτικά έχει S = 0! Ŝ z S = 0, 1

69 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 43/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών m 2 \ m Η µεγαλύτερη τιµή της συνιστώσας Ŝ z είναι +1 άρα η αντίστοιχη κατάσταση έχει ολικό σπιν µε τιµή S = 1 Οι καταστάσεις µε ολικό σπιν S = 1 έχουν τρίτες συνιστώσες M = 1, 0, +1 Συνολικά υπάρχουν δύο καταστάσεις µε M = 0, η µία ήδη ανήκει στην S = 1 η µοναδική που αποµένει υποχρεωτικά έχει S = 0! Ŝ z S = 0, 1

70 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 44/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Καταστάσεις S = 1 : M = 1 : ++ M = 0 : 1 ( ) 2 M = 1 : Καταστάσεις S = 0 : M = 0 : 1 ( + + ) 2

71 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 45/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αθροιση στροφορµών j 1, j 2 (2 j 1 + 1) (2 j 2 + 1) καταστάσεις µε q.n. j 1, m 1 και j 2, m 2 j 1 j 2 ; m 1 m 2 j 1 m 1 j 2 m 2 Οι καταστάσεις του αθροίσµατος µε κβαντικούς αριθµους J, M είναι J M ; j 1 j 2 = C ( J M ; j 1 j 2 m 1 m 2 ) j 1 j 2 ; m 1 m 2 m 1, m 2 C (... ) = 0 όταν M m 1 + m 2 - Συντελεστές Clebsch - Gordan Οι κβαντικοί αριθµοί J, M δίνονται από J = j 1 j 2, ( j 1 + j 2 ), M = J, J + 1, J

72 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 45/ 45 Πρόσθεση Στροφορµών Αθροιση στροφορµών j 1, j 2 (2 j 1 + 1) (2 j 2 + 1) καταστάσεις µε q.n. j 1, m 1 και j 2, m 2 j 1 j 2 ; m 1 m 2 j 1 m 1 j 2 m 2 Οι καταστάσεις του αθροίσµατος µε κβαντικούς αριθµους J, M είναι J M ; j 1 j 2 = C ( J M ; j 1 j 2 m 1 m 2 ) j 1 j 2 ; m 1 m 2 m 1, m 2 C (... ) = 0 όταν M m 1 + m 2 - Συντελεστές Clebsch - Gordan Οι κβαντικοί αριθµοί J, M δίνονται από J = j 1 j 2, ( j 1 + j 2 ), M = J, J + 1, J

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 25 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 12 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 7 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Ασκήσεις προς Λύση) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Οι ασκήσεις που ακολουθούν είναι προς επίλυση από

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 25 Περιεχόµενα 6ης ενότητας Φαινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας

Διαβάστε περισσότερα

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς

Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων

Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 39 Τα άτομα από την σκοπιά της κβαντικής μηχανικής Το άτομο του Υδρογόνου: Η εξίσωση του Schrödinger και οι κβαντικοί αριθμοί ΟΙ κυματοσυναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1 Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια Κεφάλαιο 1 Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια 1.1 Η συμμετρία Πουανκαρέ 1.1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Η θεμελιώδης κινηματική συμμετρία για ένα φυσικό σύστημα είναι η συμμετρία των μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή 1. Κίνηση σε τρεις διαστάσεις Αποδεικνύεται (με τον ίδιο τρόπο όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα

Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το πιο απλό κβαντομηχανικό ρεαλιστικό σύστημα, το οποίο λύνεται ακριβώς, είναι το άτομο του Υδρογόνου (1 πρωτόνιο και 1 ηλεκτρόνιο) Το δυναμικό στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7ο. Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία

Μάθημα 7ο. Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία Μάθημα 7ο Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία h m U(x,y,z, t) ih t (x, y,z,t) (x, y,z)e iet / h H E Γενική & Ανόργανη Χημεία 06-7 Ewin Schöinge Η ανεξάρτητη από τον χρόνο εξίσωση Schöinge U m H E E

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι

Δηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι Κβαντικός περιστροφέας που J J J H y z τοποθετείται y z περιγράφεται μέσα σε από τη ομογενές, Χαμιλτονιανή χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, δηλαδή B B ez, με B >. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ) Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της

Διαβάστε περισσότερα

Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης: Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης: Κινούμενα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν κύματα (κύματα de Broglie)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Κύριος κβαντικός αριθμός (n)

Κύριος κβαντικός αριθμός (n) Κύριος κβαντικός αριθμός (n) Επιτρεπτές τιμές: n = 1, 2, 3, Καθορίζει: το μέγεθος του ηλεκτρονιακού νέφους κατά μεγάλο μέρος, την ενέργεια του τροχιακού τη στιβάδα στην οποία κινείται το ηλεκτρόνιο Όσομεγαλύτερηείναιητιμήτουn

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών

Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Αφού δοθεί ο ορισμός ολικής στροφορμής θα γίνει η συσχέτιση της βάσης ολικής στροφορμής (jm j) με τη βάση των επιμέρους στροφορμών (m 1m ). Οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης (28-11- 2018) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο 1 Spin και πάριτυ ενός πυρήνα (J και πάριτυ: J p ) Σπιν πυρήνα, J = ολικό τροχιακό σπίν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων

Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων Εξίσωση του chrodger H H H µ µ m e e 4πε r Ζe 4πε r για το άτοµο του υδρογόνου για τα υδρογονοειδή άτοµα He Ζe 4πε r < j Ζe 4πε r j για πολυηλεκτρονικά άτοµα µ m m m e

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2013-14) Τμήμα T3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D)

Ατομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D) Ατομική δομή Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (1D) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2 2m 2 ψ + V r ψ = Εψ Τελεστής Λαπλασιανής για σφαιρικές

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 15 Δεκ

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 15 β-διάσπαση B' μέρος (διατήρηση σπίν, επιτρεπτές και απαγορευμένες

Μάθημα 15 β-διάσπαση B' μέρος (διατήρηση σπίν, επιτρεπτές και απαγορευμένες Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 15 β-διάσπαση B' μέρος (διατήρηση σπίν, επιτρεπτές και απαγορευμένες διασπάσεις)

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μοριακή Κβαντική Χημεία. Ενότητα 1: Το Πείραμα Stern Gerlach Αριστείδης Μαυρίδης Τμήμα Χημείας

Τίτλος Μαθήματος: Μοριακή Κβαντική Χημεία. Ενότητα 1: Το Πείραμα Stern Gerlach Αριστείδης Μαυρίδης Τμήμα Χημείας Τίτλος Μαθήματος: Μοριακή Κβαντική Χημεία Ενότητα 1: Το Πείραμα Stern Gerlach Αριστείδης Μαυρίδης Τμήμα Χημείας 1. Το Πείραμα Stern Gerlach... 3 1.1 Περιγραφή του Πειράματος... 3 1. Διαδοχικά Πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

Η άλγεβρα της στροφορμής

Η άλγεβρα της στροφορμής Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό

Διάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöding για το κεντρικό δυναμικό Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 k V ) Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών

Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών 5 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών 5.1 Οι συνιστώσες του Τελεστή της Τροχιακής Στροφορµής σε Σφαιρικές Συντεταγµένες Η τροχιακή στροφορµή για ένα σωµατίδιο δίνεται από τη σχέση : L = r p

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +)

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +) ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης Επικ. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Τις προσεχείς ώρες θα συζητήσουμε τα πέντε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Θέματα Εξετάσεων) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Θέματα Εξετάσεων) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 8: Ερωτήσεις και Ασκήσεις (Θέματα Εξετάσεων) Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Τα ϑέµατα που ακολουθούν έχουν διατυπωθεί σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας

Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Στοιχειώδες μαθηματικό υπόβαθρο Σχέση Euler Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, ένα αρμονικό κύμα της μορφής Acos(kx) (πραγματική συνάρτηση), μπορεί να γραφτεί ως Re[Ae ikx ] που

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 6 Περιστροφική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 6 Περιστροφική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 6 Περιστροφική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paua

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δώσει μια πλήρη μαθηματική- κβαντομηχανική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +)

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +) ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12, 13, 14 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 12, 13, 14 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2016-17) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 12, 13, 14 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υλικών, 11/2/2011

Θεωρία Υλικών, 11/2/2011 Θεωρία Υλικών, // Θέμα (.5) Για τα στοιχειακό μέταλλο Al δίνεται ότι η πυκνότητα είναι ρ M =.7 g/cm 3 και το ατομικό του βάρος 6.98. Η ηλεκτρονική δομή του ατόμου του Al είναι [Ne]3s p. α) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΚΤΙΝΕΣ γ

ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΚΤΙΝΕΣ γ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΚΤΙΝΕΣ γ Η πιθανότητα μετάπτωσης: Δεύτερος Χρυσός κανόνα του Feri, οι κυματοσυναρτήσεις της αρχικής τελικής κατάστασης ο τελεστής της μετάπτωσης γ (Ηλεκτρομαγνητικός τελεστής). Κυματική

Διαβάστε περισσότερα