y[n] = h[n] x[n] = Y (z) = X(z)H(z) (3)

Transcript

1 Συστήματα στο χώρο του Z και της συχνότητας ω Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 9 Νοεμβρίου 5 Εισαγωγή Δεδομένου ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση h[n], η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται, όπως ξέρουμε, με τη σχέση της συνέλιξης y[n] = h[n] x[n] = Οπως έχουμε ήδη δει, η σχέση αυτή συνεπάγεται ότι k= h[k]x[n k] () Y (e jω ) = X(e jω )H(e jω ) () όπου H(e jω ) η απόκριση σε συχνότητα του συστήματος. Η σχέση αυτή μπορει να εκφραστεί στο χώρο του Ζ ως Y (z) = X(z)H(z) () όπου H(z) ο μετασχ. Ζ του h[n], που λέγεται συνάρτηση μεταφοράς, οπως γνωριζετε, του συστήματος. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι πολύ χρήσιμη στην περιγραφή και την ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων. Εδώ θα ασχοληθούμε με ΓΧΑ συστήματα και ειδικότερα με μερικές συγκεκριμένες κατηγορίες ΓΧΑ συστημάτων, πάντα μέσω της μελέτης της συνάρτησης μεταφοράς τους. Η Απόκριση σε Συχνότητα ΓΧΑ Συστημάτων Αν αναλύσουμε σε μορφή μέτρου-φάσης την απόκριση σε συχνότητα της εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος, εκφρασμένη όπως στη Σχέση (, βλέπουμε ότι και άρα Y (e jω ) e j Y (ejω ) Y (e jω ) e j Y (ejω ) Y (e jω ) = X(e jω )H(e jω ) (4) = X(e jω ) e j X(ejω) H(e jω ) e j H(ejω ) = X(e jω ) H(e jω ) e j( H(ejω )+ H(e jω )) Y (e jω ) = H(e jω ) X(e jω ) (7) Y (e jω ) = H(e jω ) + X(e jω ) (8) Το H(e jω ) λέγεται απόκριση πλάτους (magnitude response) ή κέρδος του συστήματος, και το H(e jω ) λέγεται απόκριση φάσης (phase response) του συστήματος. Προσέξτε ότι η απόκριση πλάτους της εξόδου (5) (6)

2 αποτελείται από το γινόμενο των αποκρίσεων πλάτους της εισόδου και του συστήματος, ενώ η απόκριση φάσης της εξόδου αποτελείται από το άθροισμα των αποκρίσεων φάσης της εισόδου και του συστήματος. Αυτές οι σχεσεις επιδρούν στην είσοδο του συστήματος και τη μεταβάλλουν, είτε με επιθυμητό τροπο είτε με ανεπιθύμητο τροπο. Οσον αφορά το τελευταιο, τότε οι αντίστοιχες σχέσεις αποκαλούνται διαταραχές πλάτους και φάσης, αντίστοιχα.. Συνάρτηση Φάσης Οσον αφορά το φάσμα πλατους, τα πράγματα είναι ξεκάθαρα. Το γινόμενο του φάσματος πλάτους του συστηματος και της εισόδου δινει το φάσμα πλάτους της εξόδου. Τα πράγματα ειναι πιο περιπλοκα αν θέλουμε να δούμε την επιρροή της φάσης του συστηματος στη φάση εξόδου, και πως αυτή μεταβάλλεται. Η γωνία φάσης ενός οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού δεν ορίζεται μονοσήμαντα, αφού αν προσθέσουμε έναν ακέραιο πk, k Z το αποτέλεσμα της γωνίας παραμένει αμετάβλητο (όπως και ο ίδιος ο μιγαδικός). Οταν υπολογίζουμε τη φάση μέσω ενός προγράμματος ή μιας αριθμομηχανής, το αποτέλεσμα εμφανίζεται πάντα στο διάστημα ( π, π]. Αυτή η τιμή της φάσης λέγεται πρωτεύουσα τιμή φάσης (principal value), και θα τη συμβολίζουμε ως π < ARG[H(e jω )] π (9) Οποιαδήποτε άλλη γωνία που δίνει ορθό αποτέλεσμα για τη μιγαδική τιμή της συνάρτησης H(e jω ) μπορεί να αναπαρασταθεί με όρους πρωτεύουσας τιμής ως H(e jω ) = ARG[H(e jω )] + πr(ω) () όπου r(ω) είναι ένας θετικός ή αρνητικός ακέραιος που διαφέρει για κάθε τιμή του ω. Θα χρησιμοποιούμε γενικά τη γραφή H(e jω ) ή arg[h(e jω )] για να δηλώσουμε μη πρωτεύουσα τιμή της φάσης. Σε πολλές περιπτώσεις, η πρωτεύουσα τιμή φάσης παρουσιάζει π ασυνέχειες όταν τη βλέπουμε ως συνάρτηση του ω. Το Σχήμα () δείχνει μια συνάρτηση φάσης που είναι συνεχής, arg[h(e jω )], και την πρωτεύουσα τιμή της, ARG[H(e jω )] στο διάστημα π < ω π. Η συνάρτηση φάσης του Σχήματος (a) εκτείνεται πέρα από το διάστημα ( π, π]. Η πρωτεύουσα τιμή φάσης του Σχήματος (b) έχει άλματα κατά πολλαπλάσια του π, λόγω της αφαίρεσης πολλαπλάσιων του π που έλαβαν χώρα ώστε να βρεθεί κάθε τιμή της στο διάστημα ( π, π]. Τέλος, το Σχήμα (c) δείχνει την τιμή του r(ω) για κάθε διάστημα, δηλ. πόσα πολλαπλάσια του π απαιτούνται για το ξετύλιγμα (unwrapping) της φάσης εκτός του διαστήματος ( π, π]. Γι αυτό άλλωστε και η διαδικασία μετατροπής της πρωτεύουσας φάσης σε συνεχή συνάρτηση του ω μέσω προσθήκης πολλαπλασίων του π λέγεται ξετύλιγμα φάσης - phase unwrapping, και η αντίστοιχη συνάρτηση ξετυλιγμένη φάση - unwrapped phase.. Καθυστέρηση Φάσης και Καθυστέρηση Ομάδας - Phase and Group Delay Εστω η έξοδος y[n] ενός ΓΧΑ συστήματος με φασματική απόκριση H(e jω ). Σύμφωνα με την αρχική ανάλυσή μας, το σύστημα θα εφαρμόσει κάποια καθυστέρηση στην έξοδο σε σχέση με την είσοδο x[n], η οποία οφείλεται σε μια πιθανοτατα μη γραμμική απόκριση φάσης H(e jω ) = θ(ω) του συστήματος. Ας θεωρήσουμε την απλή περίπτωση όπου η είσοδος είναι ένα απλό ημίτονο x[n] = A cos(ω n + φ) () Ξέρουμε ότι η έξοδος θα είναι επίσης ημιτονοειδούς μορφής, και συγκεκριμένα ( y[n] = A H(e jω ) cos(ω n + φ + θ(ω )) = A H(e jω ) cos (ω n + θ(ω ) ) ) + φ ω Η ποσότητα θ(ω ) ω μας υποδεικνύει τη χρονική καθυστέρηση (μετατόπιση), σε δείγματα, του σήματος εξόδου σε σχέση με το αρχικό σήμα εισόδου. Η συνάρτηση τ p (ω) = θ(ω) ω () ()

3 Σχήμα : Συνεχής και πρωτεύουσα τιμή φάσης. ονομάζεται καθυστέρηση φάσης - phase delay. Θεωρήστε τώρα ότι το σήμα εισόδου αποτελείται από πολλά ημίτονα, διαφορετικής συχνότητας το καθένα. Καταλαβαίνετε ότι κάθε τέτοιο ημίτονο θα υποστεί διαφορετική καθυστέρηση φάσης από κάθε άλλο όταν περάσει από ένα ΓΧΑ σύστημα, και το σήμα εξόδου y[n] θα είναι, εν γένει, πολύ διαφορετικό στη μορφή του σε σχέση με το αρχικό σήμα εισόδου x[n]. Σε τέτοιες περιπτώσεις μας είναι χρήσιμη μια διαφορετική παράμετρος, που θα την αναπτύξουμε παρακάτω, μέσω ενός παραδείγματος. Εστω ένα σήμα x[n] = A cos(ω n) cos(ω c n) (4) με ω c > ω. Η παραπάνω σχέση λέγεται διαμόρφωση πλάτους - Amplitude Modulation (AM) και ήταν μια πρώτης μορφής ραδιοφωνική μετάδοση. Το σήμα χαμηλής συχνότητας ω λέγεται περιβάλλουσα (ή σήμα πληροφορίας), ενώ το σήμα συχνότητας ω c λέγεται φέρον σήμα, αφού μεταφέρει την πληροφορία στο πλάτους του. Με τις σχέσεις του Euler, αυτό μπορεί να γραφεί ως x[n] = A cos((ω c + ω )n) + A cos((ω c ω )n) = A cos(ω ln) + A cos(ω un) (5)

4 με ω l = ω c ω και ω u = ω c + ω. Αν το παραπάνω σήμα παρουσιαστεί ως είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστημα με φασματική απόκριση H(e jω ), τότε η έξοδος θα είναι της μορφής y[n] = H(e jω l ) A cos(ω ln + θ(ω l )) + H(e jωu ) A cos(ω un + θ(ω u )) (6) ( = A cos ω c n + θ(ω u) + θ(ω l ) ) ( cos ω n + θ(ω u) θ(ω l ) ) (7) θεωρώντας ότι H(e jω ) στο διάστημα ω l ω ω u. Ετσι, βλέπουμε ότι η έξοδος είναι επίσης στη μορφή γινομένου δυο ημιτόνων με συχνότητες ω c και ω, όμως το καθένα έχει διαφορετική φάση μετατόπισης, και άρα διαφορετική καθυστέρηση φάσης σε σχέση με το αρχικό σήμα εισόδου. Ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου οι συχνότητες ω u, ω l είναι πολύ κοντά μεταξύ τους, δηλαδή ω << ω c, οπότε ω u ω c και ω l ω c. Σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτων γύρω από το ω c, μπορούμε να εκφράσουμε την ξετυλιγμένη φάση θ c (ω) του ΓΧΑ συστήματος με ανάπτυγμα Taylor ως θ c (ω) θ c (ω c ) + dθ c(ω) dω (ω ω c ) (8) ω=ωc κρατώντας μόνο τους δυο πρώτους όρους του αναπτύγματος. Με χρήση του αναπτύγματος, μπορούμε να βρούμε τις χρονικές καθυστερήσεις του σήματος συχνότητας ω c και αυτού συχνότητας ω της Σχέσης (7). Για το σήμα συχνότητας ω c είναι θ c(ω u ) + θ c (ω l ) ω c θ c(ω c ) ω c = θ c(ω c ) ω c (9) που είναι το ίδιο με την καθυστέρηση φάσης του σήματος συχνότητας ω c, σαν να περνούσε μόνο αυτό μέσα από το σύστημα. Για το σήμα συχνότητας ω, η χρονική καθυστέρηση είναι Η παράμετρος θ c(ω u ) θ c (ω l ) ω = θ c(ω u ) θ c (ω l ) ω u ω l τ g (ω c ) = dθ c(ω) dω dθ c(ω) dω () ω=ωc () ω=ωc λέγεται καθυστέρηση ομάδας - group delay που προκαλείται από το σύστημα στη θέση ω = ω c. Στη γενική μορφή, η συνάρτηση είναι της μορφής τ g (ω) = dθ c(ω) () dω Η καθυστερηση ομάδας ορίζεται δηλαδή ως η αρνητική παράγωγος της φάσης, [ ] τ g (ω) = grd H(e jω ) = d dω { H(ejω )} = d dω {arg{h(ejω )}} () και αφορά την καθυστέρηση της περιβάλλουσας της εξόδου στο χρόνο λόγω της επίδρασης της φάσης του ΓΧΑ συστήματος. Μια σχηματική απεικόνιση της καθυστέρησης φάσης και της καθυστέρησης ομάδας για το παραπάνω παράδειγμα βλέπετε στο Σχήμα (). Με άλλα λόγια, μας δίνει την καθυστέρηση μιας ομάδας συχνοτήτων στενής ζώνης (narrowband). Επίσης, η καθυστέρηση ομάδας μας δινει ένα μέτρο της γραμμικότητας (ή μη) της φάσης ως συνάρτηση της συχνότητας ω. Στο παραπάνω παράδειγμα, θεωρήσαμε ότι το σήμα μας είναι στενής ζώνης, δηλ. μη μηδενικό για ω [ω c ɛ, ω c + ɛ], αλλά μπορούμε να Ανάπτυγμα Taylor: f(x) = + n= f (n) (a) (x a) n n! 4

5 Σχήμα : Καθυστέρηση φάσης και καθυστέρηση ομάδας για το σήμα y[n]. σκεφτούμε ότι οποιοδήποτε σήμα μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα τέτοιων σημάτων, διαφορετικής ω c για το καθένα. Αν η καθυστέρηση ομάδας είναι σταθερή ως προς τη συχνότητα, τότε κάθε συνιστώσα στενής ζώνης θα υποστεί την ίδια καθυστέρηση. Αν η καθυστέρηση ομάδας δεν είναι σταθερή, τότε θα υπάρχουν διαφορετικές καθυστερήσεις για διαφορετικά πακέτα συχνοτήτων, με αποτέλεσμα τη διασπορά στο χρόνο της ενέργειας του σήματος εξόδου. Ετσι, η μη γραμμικότητα στη φάση ή, ισοδυνάμως, η μη σταθερή καθυστέρηση ομάδας συνεπάγεται διασπορά σήματος στο χρόνο. Για να καταλάβουμε καλύτερα την έννοια της καθυστέρησης ομάδας, ας δούμε δυο παραδείγματα. Θεωρήστε το ΓΧΑ σύστημα ιδανικής καθυστέρησης, με κρουστική απόκριση το οποίο έχει φασματική απόκριση η οποία σε μορφή μέτρου-φάσης γράφεται ως h id [n] = δ[n n d ] (4) H id (e ω ) = e jωn d (5) H id (e jω ) = (6) H id (e jω ) = ωn d, ω < π (7) όπου θεωρούμε ότι η περιοδικότητα κατά π υποννοείται. Παρατηρήστε ότι η χρονική καθυστέρηση (ή προήγηση, αν n d < ) σχετίζεται με τη φάση, η οποία είναι γραμμική ως προς τη συχνότητα. Παρατηρήστε επίσης ότι τ g (ω) = d dω {arg{h(ejω )}} = d dω ( ωn d) = n d (8) και τ p (ω) = arg{h(ejω )} = ωn d = n d (9) ω ω Στην περίπτωση της γραμμικής φάσης, η καθυστέρηση ομάδας συμπίπτει με την καθυστέρηση φάσης. Σε πολλές εφαρμογές, η διαταραχή φάσης σε μορφή καθυστέρησης θεωρείται αρκετά ήπια μορφή διαταραχής, μια και απλά μετατοπίζει την ακολουθία στο χρόνο, χωρίς κανένα άλλο ανεπιθύμητο πρόβλημα. 5

6 Ετσι, σε πολλές περιπτώσεις σχεδίασης φίλτρων ή ΓΧΑ συστημάτων, η γραμμική φάση είναι αποδεκτή ως μορφή διαταραχής φάσης. Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα όπου η καθυστέρηση ομάδας δεν είναι σταθερή. Θεωρήστε το σύστημα ( ) (.98e j.8π z )(.98e j.8π z 4 ( ) ) (c k H(z) = z )(c k z ) (.8e j.4π z )(.8e j.4π z ) ( c k z )( c = H (z)h (z) k z ) Το διάγραμμα πόλων-μηδενικών του παραπάνω συστήματος φαίνεται στο Σχήμα (). k= () Το υποσύστημα Σχήμα : Διάγραμμα πόλων-μηδενικών συστήματος H(z) = H (z)h (z). H (z) συνεισφέρει το συζυγές ζεύγος πόλων z =.8e ±j.4π, όπως και το ζεύγος μηδενικών κοντά στο μοναδιαίο κύκλο στις θέσεις z =.98e ±j.8π. Το υποσύστημα H (z) συνεισφέρει τα ζεύγη πόλων και μηδενικών δεύτερης τάξης στις θέσεις c k =.95e ±j(.5π+.πk) και /c k = (/.95)e j(.5π+.πk), με k =,,, 4. Το H (z) ονομάζεται all-pass σύστημα, γιατί H (e jω ) =, ω. Θα μελετήσουμε πιο κάτω τα all-pass συστήματα, και θα δούμε ότι εισάγουν μεγάλη καθυστέρηση ομάδας σε μια στενή ζώνη συχνοτήτων. Η φασματικές αποκρίσεις (πλάτους και φάσης) του συνολικού συστήματος φαίνονται στο Σχήμα (4) και στο Σχήμα (5). Αρχικά, παρατηρήστε το Σχήμα (4). Βλέπετε ότι αρχικά η φάση έχει υπολογιστεί στο διάστημα ( π, π] (πρωτεύουσα φάση), με αποτέλεσμα να έχει π ασυνέχειες, οι οποίες στη συνέχεια αφαιρούνται, όταν προσθέσουμε κατάλληλα πολλαπλάσια του π στην πρωτεύουσα φάση, καταλήγοντας στην ξετυλιγμένη φάση. Στο Σχήμα (5), βλέπετε την καθυστέρηση ομάδας και το φάσμα πλάτους του συστήματος. Παρατηρήστε αρχικά ότι η ξετυλιγμένη φάση είναι μονότονη συνάρτηση, και μάλιστα φθίνουσα, εκτός από μια μικρή περιοχή γύρω από τη συχνότητα ω = ±.8π. Ετσι, η καθυστέρηση ομάδας θα είναι θετική παντού εκτός αυτής της μικρής περιοχής γύρω από το ω = ±.8π. Επίσης, δείτε ότι η καθυστέρηση ομάδας έχει μεγάλες τιμές γύρω από τις συχνότητες.7π < ω <.π, όπου εκεί η ξετυλιγμένη φάση έχει μέγιστη αρνητική κλίση. Αυτές οι συχνότητες αντιστοιχούν στις γωνίες των ομάδων πόλων-μηδενικών που συζητήσαμε 6

7 νωρίτερα. Επίσης, προσέξτε το αρνητικό βύθισμα στη συχνότητα ω = ±.8π, όπου η φάση έχει θετική κλίση. Είπαμε νωρίτερα ότι το H (z) είναι ένα all-pass σύστημα, άρα το φάσμα πλάτους καθορίζεται Σχήμα 4: (a) Πρωτεύουσα φάση και (b) ξετυλιγμένη φάση συστήματος H(z) = H (z)h (z). απόλυτα από τις θέσεις των πόλων και μηδενικών του συστήματος H (z). Ετσι, αφού ξέρουμε ότι η φασματική απόκριση δεν είναι τίποτε άλλο παρά η εκτίμηση του H(z) επάνω στο μοναδιαίο κύκλο z = e jω, τα μηδενικά στις θέσεις z =.98e ±j.8π είναι η αιτία που το φάσμα πλάτους H(e jω ) έχει πολύ μικρές τιμές, σχεδόν μηδενικές, κοντά στο ω = ±.8π. Αντίστοιχα, οι πόλοι στις θέσεις z =.8e ±j.4π είναι η αιτία που το φάσμα πλάτους H(e jω ) έχει υψηλές τιμές κοντά στο ω = ±.4π. Ας θεωρήσουμε τώρα ότι στο παραπάνω σύστημα εμφανίζεται ως είσοδος το σήμα του Σχήματος (6). Οπως βλέπετε, το σήμα αποτελείται από τρεις παλμούς στενής ζώνης, οι οποίοι είναι διαχωρισμένοι στο χρόνο για ευκολία εποπτείας τους. Το φάσμα πλάτους του σήματος φαίνεται επίσης στο ίδιο Σχήμα. Η μαθηματική μορφή των παλμών είναι η x [n] = w[n] cos(.πn) () x [n] = w[n] cos(.4πn π/) () x [n] = w[n] cos(.8πn + π/5) () με w[n] να είναι ένας πεπερασμένης διάρκειας παλμός που δίνεται ως { cos(πn/m), n M w[n] =, αλλού 7 (4)

8 Σχήμα 5: (a) Καθυστέρηση ομάδας και (b) φάσμα πλάτους συστήματος H(z) = H (z)h (z). με M = 6. Άρα το συνολικό σήμα εισόδου περιγράφεται από τη σχέση x[n] = x[n] + x [n M ] + x [n M ] (5) δηλ. όπως φαίνεται και στο Σχήμα (6), η υψηλότερη συχνότητα εμφανίζεται πρώτη, η χαμηλότερη συχνότητα εμφανίζεται δεύτερη, και ακολουθεί η μεσαία συχνότητα. Κοιτάζοντας το X(e jω ) μπορεί να αναρωτηθεί κανείς που βρέθηκαν αυτοί οι λοβοί γύρω από τις συχνότητες ω = ±.π,.4π,.8π. Θα περίμενε κανείς να συναντήσει συναρτήσεις Δέλτα σε αυτές τις συχνότητες, μια και αυτές αποτελούν το μετασχ. Fourier σημάτων συνημιτόνου όπως αυτά που έχουμε στην είσοδο. Ο λόγος που εμφανίζονται αυτοί οι λοβοί σε αυτές τις συχνότητες γίνονται κατανοητοί αν σκεφτούμε πώς μεταφράζεται το γινόμενο w[n] επί cos(ω n) στο χώρο της συχνότητας. Οπως ήδη ξέρετε, το γινόμενο στο χρόνο γίνεται συνέλιξη στη συχνότητα, και άρα w[n] cos(ω n) W (e jω ) (πδ(ω ω ) + πδ(ω + ω )) = πw (e j(ω ω ) ) + πw (e j(ω+ω ) ) (6) Άρα ουσιαστικά αυτό που βλέπουμε στο φάσμα πλάτους X(e jω ) για κάθε ημίτονο της εισόδου είναι ο μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου W (e j(ω±ω ) ) του παραθύρου w[n] γύρω από τις συχνότητες ω = Το σήμα αυτό λέγεται παράθυρο Hamming, και είναι πολύ σημαντικό στην επεξεργασία σήματος. 8

9 Σχήμα 6: Σήμα (a) στο χρόνο και (b) φάσμα πλάτους σήματος εισόδου x[n] του συστήματος H(z) = H (z)h (z). ±.π,.4π,.8π! Γι αυτό και αντί για συναρτήσεις Δέλτα στις συχνότητες ω = ±.π,.4π,.8π (δηλ. ενέργεια ακριβώς και μόνο σε αυτές τις συχνότητες), βλέπουμε σημαντική ενέργεια γύρω από αυτές τις συχνότητες, σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτων, που εξαρτάται από το είδος και τη διάρκεια του παραθύρου. Εστω ότι αυτό το εύρος έχει διάρκεια B. Κάθε παλμός λοιπόν συνεισφέρει ένα σύνολο από συχνότητες (ω B, ω + B), όπου ω = ±.π,.4π,.8π, ή αλλιώς ένα εύρος από συχνότητες που έχουν κέντρο τις συχνότητες ω = ±.π,.4π,.8π. Οταν λοιπόν το παραπάνω σήμα παρουσιαστεί ως είσοδος στο ΓΧΑ σύστημα H(z), κάθε ένα από τα συχνοτικά πακέτα ή αλλιώς, κάθε μια από τις συχνοτικές ομάδες που σχετίζεται με καθέναν απ τους παλμούς στενής ζώνης, θα επηρεαστεί από την απόκριση πλάτους του συστήματος, καθώς και από την καθυστέρηση ομάδας στο εύρος συχνοτήτων της κάθε συχνοτικής ομάδας. Από την απόκριση πλάτους του συστήματος, βλέπουμε ότι η συχνοτική ομάδα γύρω από τη συχνότητα ω =.π θα λάβει ένα μικρό κέρδος στο πλάτος της, και η ομάδα γύρω από τη συχνότητα ω =.4π θα λάβει κέρδος στο πλάτος της περίπου ίσο με. Οσο για τη συχνότητα ω =.8π, αφού η απόκριση πλάτους του συστήματος είναι πολύ μικρή γύρω από αυτή τη συχνότητα, τότε ο παλμός υψηλότερης συχνότητας θα κατασταλεί σχεδόν πλήρως. Κάνοντας την ίδια εξέταση για την καθυστέρηση ομάδας του συστήματος, θα δούμε ότι η καθυστέρηση 9

10 ομάδας γύρω από τη συχνότητα ω =.π θα είναι σημαντικά μεγαλύτερη από αυτή είτε της συχνότητας ω =.4π είτε της συχνότητας ω =.8π, και κατά συνέπεια ο παλμος με τη χαμηλότερη συχνότητας θα λάβει τη μεγαλύτερη καθυστέρηση μέσω του συστήματος. Το σήμα εξόδου δίνεται στο Σχήμα (7). Ο παλμός συχνότητας ω =.8π έχει ουσιαστικά εξουδετερωθεί. Οι άλλοι δυο παλμοί έχουν ενισχυθεί και καθυστερήσει: ο παλμός συχνότητας ω =.π είναι ελαφρώς μεγαλύτερου πλάτους, και έχει καθυστερήσει κατά 5 δείγματα περίπου, ενώ ο παλμός συχνότητας ω =.4π είναι σχεδόν διπλάσιου πλάτους, και έχει καθυστερήσει κατά δείγματα περίπου. Η Σχήμα 7: Σήμα εξόδου y[n] του συστήματος H(z) = H (z)h (z). υποενότητα αυτή έδειξε πως τα ΓΧΑ συστήματα τροποποιούν τα σήματα εισόδου τους μέσω του συνδυασμού της απόκρισης πλάτους και της απόκρισης φάσης. Για το τελευταίο παράδειγμα, όπου το σήμα εισόδου αποτελούνταν από συνιστώσες στενής ζώνης, ήταν εύκολο να βρούμε τις συνέπειες σε κάθε παλμό ξεχωριστά. Αυτό συνέβη γιατί οι συναρτήσεις φασματικής απόκρισης (πλάτους, φάσης, καθυστέρηση ομάδας) ήταν ομαλές και μεταβάλλονται ελάχιστα γύρω από το μικρό εύρος συχνοτήτων που εμφανίζονταν οι συνιστώσες της εισόδου. Ετσι, όλες οι συχνότητες που σχετίζονται με ένα δεδομένο παλμό υπέστησαν περίπου την ίδια καθυστέρηση και το ίδιο κέρδος στο πλάτος τους, με αποτέλεσμα την αναπαραγωγή του παλμού στην έξοδο, σε διαφορετική θέση και με διαφορετικό πλάτος. Για σήματα που δεν είναι στενής ζώνης, αλλά ευρείας ζώνης (wideband signals), το παραπάνω δε θα ήταν γενικά αληθές, γιατί διαφορετικά τμήματα του φάσματος θα τροποποιούνταν διαφορετικά από το σύστημα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, τα αναγνωρίσιμα χαρακτηριστικά της εισόδου, όπως το σχήμα του παλμού, δε θα είναι εμφανή στην έξοδο, και ξεχωριστοί παλμοί στο χρόνο στην είσοδο μπορεί να καταλήξουν να είναι επικαλύψεις παλμών στην έξοδο. Συνάρτηση Μεταφοράς ΓΧΑ Συστημάτων Οπως ξέρουμε, η συνάρτηση μεταφοράς ειναι ο μετασχ. Ζ της κρουστικής απόκρισης ενός συστήματος H(z) = n= h[n]z n (7) Η απόκριση σε συχνότητα μπορεί να προέλθει από τη συνάρτηση μεταφοράς, οταν την υπολογίζουμε επάνω στο μοναδιαίο κύκλο: H(e jω ) = H(z) (8) z=e jω

11 Μας ενδιαφερουν ιδιαίτερα τα ΓΧΑ συστηματα που χαρακτηριζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M N y[n] + a k y[n k] = b k x[n k] (9) k= Αυτά τα τα ΓΧΑ συστήματα έχουν συνάρτηση μεταφοράς που ειναι ρητή συνάρτηση του z: k= N k= H(z) = b kz k N + M k= a kz = A k= ( b kz ) k M k= ( a kz ) Ετσι, η συνάρτηση μεταφοράς ορίζεται αποκλειστικά (εκτος από τη σταθερα A) από τη θέση των πόλων, a k και των μηδενικών b k. Προσέξτε ότι κάθε όρος του αριθμητή b k z = z b k z συνεισφέρει ένα μηδενικό, στη θέση z = b k, και έναν πόλο στη θέση z =, στη συνάρτηση μεταφοράς. Ομοια, ο αντίστοιχος ορος στον παρονομαστη συνεισφέρει έναν πόλο στη θέση z = a k και ένα μηδενικό στη θέση z =. Καταλαβαίνετε ότι αν M = N, τα μηδενικά και οι πόλοι στο z = αλληλοακυρώνονται, και έτσι το συστημα χαρακτηρίζεται από τους πόλους και τα μηδενικά που βρίσκονται στο υπόλοιπο z επίπεδο. Σε διαφορετική περιπτωση, συμπεριλαμβάνουμε τους πόλους και τα μηδενικά που μπορει να βρίσκονται στο z = ή στο z =, κι ετσι έχουμε το πλήρες διάγραμμα πόλων-μηδενικών. Θυμίζουμε οτι όσοι πόλοι, τόσα μηδενικά σε κάθε συνάρτηση μεταφοράς! Αν η κρουστική απόκριση h[n] ειναι πραγματική συνάρτηση, το H(z) είναι συζυγές συμμετρική συνάρτηση του z: H(z) = H (z ) (4) και έτσι οι πόλοι και τα μηδενικά απαντώνται σε συζυγη συμμετρικά ζευγη (δηλ. αν ένας πόλος ή μηδενικό βρίσκεται στη θέση z = z, υπάρχει κι ένας πόλος η μηδενικό στη θέση z = z ).. Ευστάθεια και Αιτιατότητα Η ευστάθεια και η αιτιατότητα επιβάλλουν κάποιους σημαντικούς περιορισμούς στη συνάρτηση μεταφοράς ενός ΓΧΑ συστήματος... Ευσταθεια Η κρουστική απόκριση ενός ευσταθούς συστηματος γνωρίζουμε οτι πρέπει να είναι απολύτως αθροίσιμη: n= Προσέξτε οτι αυτή η σχέση είναι ισοδυναμη με τη σχέση n= (4) (4) h[n] < (4) h[n] z n < (44) για z =, που σημαίνει ότι η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς να περιλαμβάνει το μοναδιαίο κύκλο, αν και μόνο αν το σύστημα είναι ευσταθές.

12 .. Αιτιατότητα Επειδή η κρουστική απόκριση h[n] ενός αιτιατού συστηματος ειναι δεξιόπλευρο σήμα, το πεδιο σύγκλισης του H(z) θα είναι εξωστρεφες, δηλ. θα ειναι της μορφης z > a, με a τον πόλο της H(z) με το μεγαλύτερο μέτρο. Η αιτιατότητα επιβάλλει κάποιους περιορισμούς στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος. Ενας απ αυτούς εκφράζεται με το θεώρημα Paley-Wiener: Αν h[n] =, n <, και h[n] έχει πεπερασμένη ενέργεια, τότε π π log H(e jω ) dω < (45) Κατά συνέπεια, η απόκριση σε συχνότητα ενός ευσταθούς και αιτιατού συστήματος δεν μπορεί να είναι ποτέ μηδενική για κάποια πεπερασμένη ζώνη συχνοτήτων. Ετσι, οποιοδήποτε ευσταθές ιδανικό φίλτρο επιλογής συχνότητες (χαμηλοπερατό, ζωνοπερατό, υψιπερατό) θα είναι αναγκαστικά μη αιτιατό. Η αιτιατότητα επίσης επιβάλλει κάποιους περιορισμούς στο πραγματικό και στο φανταστικό μέρος της απόκρισης σε συχνότητα, H(e jω ). Για παράδειγμα, αν h[n] ειναι πραγματική, μπορεί να γραφεί ως το αθροισμα του άρτιου και του περιττού μέρους της, ως h[n] = h e [n] + h o [n] (46) με h c [n] = (h[n] + h[ n]) και h o[n] = (h[n] h[ n]). Αν το h[n] είναι αιτιατό, μπορει να καθοριστει απόλυτα από το αρτιο μέρος του ως h[n] = h e [n]u[n] h e [n]δ[n] (47) Αν η h[n] είναι απολύτως αθροίσιμη, ο μετασχ. Fourier της υπάρχει, και μπορει να γραφει ως το άθροισμα του πραγματικού και του φανταστικού μέρους του ως H(e jω ) = H R (e jω ) + jh I (e jω ) (48) Ετσι, επειδή το H R (e jω ) είναι ο μετασχ. Fourier του άρτιου μέρους του h[n], συνεπάγεται οτι το h[n] είναι πραγματικό, ευσταθές, και αιτιατό σήμα, και το H(e jω ) ορίζεται μοναδικά από το πραγματικό του μέρος. Αυτό υποδηλώνει μια σχέση μεταξύ του πραγματικού και του φανταστικού μέρους του H(e jω ), η οποία είναι H I (e jω ) = π π π ( ω θ ) H R (e jθ ) cot dθ (49) Αυτό το ολοκλήρωμα λέγεται - προς ενημέρωσή σας :-) - Διακριτος Μετασχηματισμός Hilbert. Δηλ. το H I (e jω ) είναι ο Διακριτός Μετασχηματισμός Hilbert του H R (e jω ).. Αντίστροφα Συστήματα Για ένα ΓΧΑ συστημα με συνάρτηση μεταφοράς H(z), το αντίστροφο συστημα ορίζεται ως το συστημα που έχει συνάρτηση μεταφοράς G(z), τέτοια ώστε H(z)G(z) = h[n] g[n] = δ[n] (5) Συνήθως το αντίστροφο συστημα συμβολίζεται με το δεικτη i, ως H i (z) = H(z). Ενα ερώτημα που μπορει να αναφερθεί ειναι τι συμβαινει με το πεδίο σύγκλισης του αντιστροφου συστήματος. Αν ROC H = R H, τότε ποιό είναι το πεδιο σύγκλισης του αντιστρόφου συστήματος, ROC Hi ; Την απάντηση σε αυτό το ερωτημα μας τη δίνει το θεώρημα της συνέλιξης, το οποίο - οπως γνωρίζετε - λέει οτι τα H(z) και G(z) = H i (z) πρέπει να έχουν επικαλυπτόμενα πεδία σύγκλισης.

13 Για παράδειγμα, αν το H(z) είναι μια ρητή συνάρτηση μεταφοράς του z, όπως στη Σχέση (4), το αντίστροφο σύστημα ειναι το G(z) = H i (z) = M k= ( a kz ) A N k= ( b (5) kz ) δηλ. οι πόλοι του H(z) γίνονται μηδενικά για το αντίστροφο συστημα, ενώ τα μηδενικά γίνονται πόλοι. Ας δούμε δυο παραδείγματα. Παράδειγμα Εστω τότε το αντίστροφο σύστημα είναι το H(z) =.5z, z >.8 (5).8z H i (z) =.8z.5z (5) Ομως, για το πεδιο συγκλισης έχουμε δυο επιλογές: i) z >.5, ii) z <.5. Από αυτά τα δυο πεδία, αυτό που επικαλύπτεται με το πεδιο συγκλισης του H(z) είναι το z >.5. Ετσι, μπορούμε να βρούμε και την κρουστική απόκριση, η οποία είναι h i [n] = Z {.5z } το οποίο ειναι αιτιατό και ευσταθές. Παράδειγμα Εστω το σύστημα Z {.8z } ( ) nu[n] ( ) n u[n.5z =.8 ] (54) H(z) = Σε αυτην την περίπτωση, το αντίστροφο συστημα είναι.5 z, z >.8 (55).8z H i (z) =.8z.8z =.5 z z (56) το οποίο έχει δυο πιθανά πεδια σύγκλισης, το z > και το z <. Παρατηρήστε ότι ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ πεδια συγκλισης επικαλύπτονται με το πεδίο σύγκλισης του H(z). Ετσι, και τα δυο ειναι έγκυρα αντίστροφα συστήματα, μόνο που ανταποκρίνονται σε διαφορετικά σήματα στο χρόνο. Για αυτό με πεδίο σύγκλισης το z >, η κρουστική απόκριση θα ειναι h i [n] = () n u[n].6() n u[n ] (57) το οποίο είναι αιτιατό αλλά ασταθές. Αυτό με πεδίο σύγκλισης το z < έχει κρουστική απόκριση το οποίο είναι ευσταθές αλλά όχι αιτιατο! h i [n] = () n u[ n ] +.6() n u[ n] (58). Μοναδιαία Απόκριση Ρητών Συναρτήσεων Μεταφοράς Ενα ΓΧΑ συστημα με ρητή συνάρτηση μεταφοράς μπορει να γραφεί ως N k= H(z) = A ( b kz ) M k= ( a kz ) (59)

14 Αν θεωρήσουμε οτι a k b l για κάθε k και l, το H(z) μπορει να αναπτυχθεί, στη γενικότερη μορφη του, με τη γνωστή μέθοδο σε απλά κλάσματα (PFE) ως H(z) = N M k= B k z k + M k=,k i A S k a k z + και αν το σύστημα είναι αιτιατο, τοτε η Σχέση (6) δίνει απόκριση σε συχνότητα h[n] = N M k= B k δ[n k] + M k=,k i A k a n k u[n] + S m= Φυσικά, αν δεν υπάρχουν πολλαπλές ρίζες, η σχέση γινεται απλά h[n] = N M k= ενώ αν M =, το H(z) έχει μόνο μηδενικά, δηλ. B k δ[n k] + H(z) = και άρα η κρουστική απόκριση θα ειναι πεπερασμένης διάρκειας, δηλ. h[n] = M k= m= C m ( a i z ) m (6) C m n + m (m )! an i u[n + m ] (6) A k a n ku[n] (6) N b k z k (6) k= N b k δ[n k] (64) k= Αυτά τα συστήματα, όπως ήδη ξέρετε, λέγονται Finite Impulse Response (FIR) filters. Αν M >, τότε η H(z) έχει πόλους σε θέσεις εκτός του μηδενός, και η κρουστική απόκριση ειναι όπως στη Σχέση (6) ή στη Σχέση (6). Αυτά τα συστηματα λέγονται Infinite Impulse Response (IIR) filters, γιατι ειναι άπειρα σε διάρκεια..4 Απόκριση Συχνότητας H(e jω ) για Ρητές Συναρτήσεις Μεταφοράς H(z) Είπαμε πριν ότι η απόκριση σε συχνότητα ενός συστήματος μπορει να υπολογιστεί αν εκτιμήσουμε το H(z) επάνω στο μοναδιαίο κύκλο, δηλ. H(e jω ) = H(z) (65) z=e jω Αρα σίγουρα αυτές οι δυο συναρτησεις εχουν κάποια σχέση μεταξύ τους. Ενα μεγαλο ερώτημα ειναι τι επιρροή εχουν οι πόλοι και τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς H(z) στη μορφη της H(e jω ). Για ρητές συναρτησεις μεταφοράς του z, η απόκριση σε συχνότητα μπορει να βρεθει γεωμετρικά από τους πόλους και τα μηδενικά του H(z). Ας δούμε πως. Το μέτρο της απόκρισης σε συχνότητα δίνεται από τη Σχέση (4), αν θέσουμε z = e jω και πάρουμε το μέτρο: H(e jω = b N k= b ke jω a M k= a (66) ke jω ενώ η φάση δίνεται από τη σχέση H(e jω ) = arg[ b a ] + M arg[ b k e jω ] k= 4 N arg[ a k e jω ] (67) k=

15 όπου H(e jω ) είναι η ξετυλιγμένη φάση. Τέλος, η καθυστέρηση ομάδας δίνεται ως grd[h(e jω )] = M k= d dω arg[ a ke jω ] Μια εναλλακτική έκφραση για την καθυστέρηση ομάδας είναι N k= d dω arg[ b ke jω ] (68) grd[h(e jω )] = N k= a k R{a k e jω } M + a k R{a k e jω } b k R{b k e jω } + b k R{b k e jω } k= (69) Παρατηρήστε ότι οι Σχέσεις (66, 67, 68) εκφράζονται ως άθροισμα από τις συνεισφορές των πόλων των και των μηδενικών σε πλάτος, φάση, και καθυστέρηση ομάδας. Αυτό είναι ενδιαφέρον, γιατί για να καταλάβουμε πώς οι πόλοι και τα μηδενικά επηρεάζουν τη φασματική απόκριση σε πραγματικά συστήματα μεγάλης τάξης, πρέπει να καταλάβουμε σε βάθος πως λειτουργούν συστήματα μικρής τάξης, όπως π.χ. πρώτης και δεύτερης τάξης, σε σχέση με τη θέση των πόλων και των μηδενικών τους..5 Απόκριση Συστημάτων με Χρήση Διαγράμματος Διανυσμάτων Ας επιστρέψουμε στη σχέση H(e jω = b N k= b ke jω a M k= a ke jω (7) Βλέπετε ότι το H(e jω ) ειναι b /a φορές το γινόμενο των όρων b k e jω δια το γινόμενο των όρων a k e jω. Κάθε όρος στον αριθμητή b k e jω = ejω b k e jω = e jω b k (7) είναι το μήκος του διανύσματος u k από το μηδενικό στη θέση z = b k ως το μοναδιαίο κύκλο στο z = e jω. Ομοια ακριβώς, κάθε όρος στον παρονομαστή a k e jω = ejω a k e jω = e jω a k (7) είναι το μήκος του διανύσματος u k από τον πόλο στη θέση z = a k ως το μοναδιαίο κύκλο στο z = e jω. Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού απόκρισης πλάτους από το διάγραμμα διανυσμάτων. Παράδειγμα : Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό σύστημα που έχει ένα μηδενικό στη θέση z = b k = re jθ και, αναπόφευκτα, θα έχει έναν πόλο στη θέση z =, όπως στο Σχήμα (8). Το διάνυσμα από το μηδενικό ως το μοναδιαίο κύκλο συμβολίζεται με u, ενώ το διάνυσμα u είναι το διάνυσμα e jω και το διάνυσμα u είναι το διάνυσμα re jθ, όπου και βρίσκεται το μηδενικό. Η συνάρτηση μεταφοράς αυτού του συστήματος είναι και άρα η φασματική απόκριση είναι H(z) = ( re jθ z ) = z rejθ z (7) H(e jω ) = ( re jθ e jω ) = ejω re jθ 5 e jω (74)

16 Σχήμα 8: Διάγραμμα Διανυσμάτων Συστήματος Πρώτης Τάξης. Η πρωτεύουσα φάση θα είναι ARG[ re jθ e jω ] = tan r sin(ω θ) r cos(ω θ) (75) Επίσης, η καθυστέρηση ομάδας θα είναι grd[ re jθ e jω ] = r r cos(ω θ) + r r cos(ω θ) (76) Η απόκριση πλάτους θα είναι, όπως είδαμε πιο πάνω, ίση με H(e jω ) = ejω re jθ e jω = e jω re jθ (77) Αυτό το μέτρο είναι το μέτρο του διανύσματος u. Δηλαδή, η απόκριση πλάτους εξαρτάται μόνο από το μέτρο του διανύσματος u! Οταν το διάνυσμα u αρχίζει να τρέχει επάνω στο μοναδιαίο κύκλο, μεταβάλλοντας τη γωνία ω του, το μέτρο του u μεταβάλλεται, δίνοντάς μας τις τιμές της H(e jω ) για κάθε ω. Ας δούμε πως, εξετάζοντας μια πλήρη περιστροφή του u : ˆ Προσέξτε ότι το u μικραίνει όσο το ω θ, και θα γίνει ελάχιστο όταν ω = θ. ˆ Οπότε η H(e jω ) θα ξεκινά από μια τιμή στο ω =, έστω H(e j ), και θα φθίνει μέχρι το ω = θ, όπου το H(e jω ) θα γίνει ελάχιστο. ˆ Μετά, το διάνυσμα u θα αρχίσει να μεγαλώνει ξανά, άρα η H(e jω ) θα αυξάνει και πάλι μέχρι ω = π + θ, όπου θα γίνει μέγιστη. 6

17 ˆ Οσο ω π, το u θα φθίνει και πάλι, άρα η H(e jω ) θα μικραίνει ξανά, μέχρι να επανέλθει στην ίδια τιμή H(e j ) που είχε όταν ω =, αφού τώρα έχει συμπληρώσει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο. Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές του μηδενικού είναι r =.8 και θ =.45π, τιμές που μοιάζουν να ανταποκρίνονται στο Σχήμα (8). Το φάσμα πλάτους φαίνεται στο Σχήμα (9). Παρατηρήστε ότι η ελάχιστη τιμή του.8 Magnitude Response Phase Response Magnitude.8.6 Phase (radians) Frequency (ω) Frequency (ω) Σχήμα 9: Φάσμα Πλάτους και Φάσμα Φάσης Συστήματος Πρώτης Τάξης. είναι για ω = θ =.45π.4, όταν δηλαδή το διάνυσμα u βρίσκεται στο μικρότερο μήκος του, ενώ η μέγιστη τιμή του είναι για ω = π +.45π =.45π 4.55, όπως ακριβώς αναμενόταν από την προηγούμενη ανάλυσή μας. Για τη φάση, έχουμε ότι ( re jθ ) = (e jω re jθ ) e jω = u u = φ φ = φ ω (78) Αυτό σημαίνει ότι η απόκριση φάσης ισούται με τη διαφορά της γωνίας φ, δηλ. της γωνίας του διανύσματος u μείον τη γωνία του διανύσματος u. Ας κάνουμε παρόμοια ανάλυση κι εδώ, με βάση το Σχήμα (8): ˆ Οταν ω =, η απόκριση φάσης έχει μια τιμή, έστω H(e jω ) = φ, η οποία όμως είναι αρνητική, γιατί η φ είναι μεγαλύτερη από π, οπότε η τιμή της ανήκει στο διάστημα ( π, ). ˆ Οταν ω θ, παρατηρούμε τα εξής: Οταν το φανταστικό μέρος του u γίνει ίσο με το φανταστικό μέρος του u, τότε H(e jω ) = π ω = ω, και εκεί η απόκριση φάσης είναι ελάχιστη. Οταν η ω θ από τα δεξιά, η γωνία φ θα έχει πολύ μικρή μεταβολή σε σχέση με την ω, άρα η διαφορά τους θα μεγαλώνει απότομα. όταν ω = θ, η διαφορά φ ω θα είναι μηδέν, γιατί τότε φ = θ = ω. Άρα η φάση θα είναι μηδέν. Οταν η ω απομακρύνεται αλλά βρίσκεται κοντά στη θ, η γωνία φ θα έχει πολύ μεγάλη μεταβολή σε σχέση με την ω, άρα η διαφορά τους θα μεγαλώνει απότομα μέχρι το φανταστικό μέρος του u γίνει ξανά ίσο με το φανταστικό μέρος του u. Τότε η απόκριση φάσης θα γίνει μέγιστη, και από εκεί και μετά θα αρχίσει να φθίνει. 7

18 ˆ Οταν ω = π + θ, η φάση θα είναι μηδέν, γιατί οι γωνίες φ και ω θα είναι ίσες. ˆ Τέλος, όταν ω π, η ω θα είναι όλο και μεγαλύτερη από την φ και άρα η απόκριση φάσης θα φθίνει, μέχρι να φτάσει στην ίδια τιμή H(e jω ) = φ που είχε όταν ω =. Επιβεβαιώστε τα παραπάνω κοιτάζοντας το Σχήμα (9). Παράδειγμα : Ας πάμε τώρα σε κάτι πιο σύνθετο. Δείτε το Σχημα (), όπου έχουμε έναν πόλο z = a και ένα μηδενικό z = b στο z επίπεδο. Τότε η συνάρτηση μεταφοράς H(z) και το μέτρο της απόκρισης σε συχνότητα, Σχήμα : Διανύσματα Διανυσμάτων για Σύστημα Πρώτης Τάξης με έναν πόλο και ένα μηδενικό. H(e jω, δίνεται απλά ως H(z) = bz az H(ejω ) = ejω b e jω a = v v (79) με v το διάνυσμα από τον πόλο ως το μοναδιαίο κύκλο, και v αυτό από το μηδενικό ως το μοναδιαίο κύκλο. Βλέπετε λοιπόν ότι το μέτρο της απόκρισης σε συχνότητα καθορίζεται ΜΟΝΟ από τις αποστάσεις των πόλων και των μηδενικών από το μοναδιαίο κύκλο! Οταν ο πόλος, a = re jω, ειναι κοντά στο μοναδιαίο κύκλο (δηλ. r ), το πλάτος της απόκρισης σε συχνότητα γίνεται μεγάλο για ω ω, επειδή το μήκος του διανύσματος v γίνεται μικρό. Οταν το μηδενικό, b = ρe jω, ειναι κοντά στο μοναδιαίο κύκλο (δηλ. ρ ), το πλάτος της απόκρισης σε συχνότητα γίνεται μικρό για ω ω, επειδή το μήκος του διανύσματος v γίνεται μεγάλο. Καταλαβαίνετε φυσικά οτι αν το μηδενικό ειναι πάνω στο μοναδιαίο κύκλο, τοτε H(e jω ) =, και αντίστοιχα, αν ένας πόλος βρίσκεται εκεί, τότε H(e jω ) = +. 8

19 Magnitude Response Phase Response 4.5 Magnitude.5 Phase (rad) Frequency (ω) Frequency (ω) Σχήμα : Φάσμα Πλάτους και Φάσμα Φάσης Συστήματος Πρώτης Τάξης με έναν πόλο και ένα μηδενικό. Το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσης του παραπάνω διαγράμματος φαίνεται στο Σχήμα (), αν θεωρήσουμε ότι το μηδενικό είναι στη θέση z =.56e j5π/4, ενώ ο πόλος είναι στη θέση z = e jπ/4, που μοιάζουν να ανταποκρίνονται στις θέσεις του σχήματος. Καταλαβαίνετε γιατί η καμπύλη του φάσματος πλάτους είναι αυτής της μορφής; Αναλύστε το σύστημα αυτό όπως κάναμε για το προηγούμενο! Ομοια ειναι η ανάλυση για το υπολογισμό της φάσης. Για το μηδενικό, βλέπουμε οτι arg( be jω ) = arg(e jω (e jω b)) = arg(e jω b) ω = θ ω (8) με θ τη γωνία μεταξύ του άξονα των πραγματικών και του διανύσματος v, όπως φαινεται στο Σχημα (). Ομοια, για τον πόλο, βλέπουμε ότι arg( ae jω ) = θ ω (8) με θ τη γωνία μεταξύ του άξονα των πραγματικών και του διανύσματος v. Αναλύστε το σύστημα αυτό και επιβεβαιώστε την καμπύλη της φάσης που φαίνεται στο Σχήμα (). Παράδειγμα : Ας δούμε κι ένα σύστημα δεύτερης τάξης, με δυο πόλους σε συζυγείς θέσεις, όπως στο Σχήμα (). Το σύστημα αυτό περιγράφεται από τη σχέση H(z) = ή εναλλακτικά, από την εξίσωση διαφορών ( re jθ z )( re jθ z ) = r cos(θ)z + r z (8) y[n] r cos(θ)y[n ] + r y[n ] = x[n] (84) Δείξτε ότι αν κάνουμε Ανάπτυγμα σε Μερικά Κλάσματα, η κρουστική απόκριση του συστήματος δίνεται ως h[n] = rn sin(θ(n + )) u[n] (8) sin(θ) 9

20 Σχήμα : Διάγραμμα Διανυσμάτων Συστήματος Δευτέρας Τάξης με δυο συζυγείς πόλους. Η φάση του συστήματος δίνεται ως arg[h(e jω )] = tan r sin(ω θ) r cos(ω θ) tan r sin(ω + θ) r cos(ω + θ) (85) και άρα η καθυστέρηση ομάδας είναι grd[h(e jω r( r cos(ω θ)) )] = + r r cos(ω θ) r( r cos(ω + θ)) + r r cos(ω + θ) Η εξαγωγή των φασματικών χαρακτηριστικών του συστήματος από τις παραπάνω σχέσεις απαιτεί λίγη προσπάθεια, αλλά θα μας ανταμείψει με υψηλή ακρίβεια. :-) Μια πιο ποιοτική παραγωγή των φασματικών συναρτήσεων μπορεί να γίνει με διάγραμμα διανυσμάτων. Προφανώς, για δυο πόλους σε συζυγείς θέσεις, θα έχουμε δυο μηδενικά στο μηδέν, όπως φαίνεται και στο Διάγραμμα (;;) Το διάνυσμα e jω re jθ, από τον πόλο του πρώτου τεταρτημορίου, re jθ, ως το μοναδιαίο κύκλο συμβολίζεται με u, ενώ το διάνυσμα u είναι το διάνυσμα e jω, και το διάνυσμα u = e jω re jθ είναι το διάνυσμα από το συζυγή πόλο του τέταρτου τεταρτημορίου ως το μοναδιαίο κύκλο. Η συνάρτηση μεταφοράς αυτού του συστήματος είναι (86) H(z) = και άρα η φασματική απόκριση είναι ( re jθ z )( re jθ z ) = z (z re jθ )(z re jθ ) (87) H(e jω ) = e jω (e jω re jθ )(e jω re jθ ) = e jω e jω re j(ω θ) re j(ω+θ) + r = e jω e jω r cos(θ)e jω + r (88)

21 Η απόκριση πλάτους θα είναι ίση με H(e jω ) = e jω (e jω re jθ ) (e jω re jθ ) = u u Δηλαδή, η απόκριση πλάτους εξαρτάται μόνο από τα μέτρα των διανυσμάτων u, u! Οταν το διάνυσμα u αρχίζει να τρέχει επάνω στο μοναδιαίο κύκλο, μεταβάλλοντας τη γωνία ω του, το μέτρο των u, u μεταβάλλεται, δίνοντάς μας τις τιμές της H(e jω ) για κάθε ω. Ας δούμε πως, εξετάζοντας μια πλήρη περιστροφή του u : ˆ Οταν ω =, τα διανύσματα u, u έχουν το ίδιο μέτρο. ˆ Στη συνέχεια, το u μικραίνει όσο το ω θ, ενώ αντίστοιχα το u μεγαλώνει, και θα άρα το γινόμενό τους θα γίνει μέγιστο όταν ω = θ. ˆ Οπότε η H(e jω ) θα ξεκινά από μια τιμή στο ω =, έστω H(e j ), και θα αυξάνει μέχρι το ω = θ, όπου το H(e jω ) θα γίνει μέγιστο. ˆ Μετά, το διάνυσμα u θα αρχίσει να μεγαλώνει ξανά, ενώ το ίδιο θα κάνει και το u, άρα η H(e jω ) θα φθίνει και πάλι μέχρι ω = π, όπου τα μέτρα των u, u είναι ξανά ίσα. Εκεί, η απόκριση πλάτους θα έχει ελάχιστο. ˆ Οσο ω θ, το u θα μικραίνει, ενώ το u θα μεγαλώνει, άρα η H(e jω ) θα μεγαλώνει ξανά, μέχρι ω = θ, όπου θα γίνει μέγιστη. Παρατηρήστε ότι η διαδικασία αυτή είναι συμμετρική με αυτή όταν ω θ. ˆ Οταν η ω απομακρυνθεί απ τη γωνία θ και ω, η απόκριση πλάτους θα φθίνει ξανά, μέχρι να επανέλθει στην ίδια τιμή H(e j ) που είχε όταν ω =, αφού τώρα έχει συμπληρώσει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο. Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές των πόλων είναι r =.86 και θ = ±.955 ±55 o, τιμές που μοιάζουν να α- νταποκρίνονται στο Σχήμα (). Το φάσμα πλάτους φαίνεται στο Σχήμα (). Παρατηρήστε ότι η ελάχιστη (89) 4.5 Magnitude Response Phase Response 4.5 Magnitude.5 Phase (rad) Frequency (ω) Frequency (ω) Σχήμα : Φάσμα Πλάτους και Φάσμα Φάσης Συστήματος Δεύτερης Τάξης με δυο συζυγείς πόλους. τιμή του είναι για ω = π, όταν δηλαδή τα u, u γίνονται ταυτόχρονα μέγιστα, άρα το u u ελάχιστο,

22 ενώ η μέγιστη τιμή του είναι για ω = ±θ, όπως ακριβώς αναμενόταν από την προηγούμενη ανάλυσή μας. Για τη φάση, έχουμε ότι [ ] arg ( re jθ e jω )( re jθ e jω ) = arg( re jθ e jω ) arg( re jθ e jω ) (9) = (φ ω) (φ ω) (9) = ω φ φ (9) με βάση τις Σχέσεις (67,8). Εδώ η απόκριση φάσης είναι πιο πολυπλοκη. Ας κάνουμε παρόμοια ανάλυση κι εδώ, με βάση το Σχήμα (): ˆ Οταν ω =, η απόκριση φάσης είναι arg H(e j ) = φ φ =, γιατί η φ = φ, και άρα argh(e j ) = φ φ =. ˆ Οταν ω θ, παρατηρούμε ότι η φ argh(e jω ) = θ θ π/ = θ π/. μεγαλώνει, καθώς και η φ, οπότε όταν ω = θ, έχουμε ˆ Οταν ω = π, τότε argh(e jπ ) = π φ φ, όμως τότε φ = π φ, και άρα argh(e jπ ) =. ˆ Τέλος, όταν ω απομακρύνεται από το π και προχωρά προς το π, η argh(e jω ) θα έχει περιττή συμμετρία σε σχέση με την καμπύλη που μόλις περιγράψαμε όσο ω (, π]. Επιβεβαιώστε τα παραπάνω κοιτάζοντας το Σχήμα (). Τέλος, για την καθυστέρηση ομάδας, γνωρίζοντας την φάση και παραγωγίζοντάς την, μπορούμε να βρούμε προσεγγιστικά τη γραφική παράστασή της, όπως στο Σχήμα (4). Phase for two conjugate poles Radians Frequency (ω) Group Delay for two conjugate poles 6 Samples Frequency (ω) Σχήμα 4: Φάσμα Φάσης και Καθυστέρηση Ομάδας Συστήματος Δεύτερης Τάξης με δυο συζυγείς πόλους.

23 Παράδειγμα 4: Θεωρήστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς h[n] = δ[n] r cos(ω θ)δ[n ] + r δ[n ] (9) H(z) = r cos(θ)z + r z (94) Προσέξτε ότι η H(z) είναι η αντίστροφη του συστήματος του Παραδείγματος! Σύμφωνα λοιπόν με όσα έχουμε πει για τα αντίστροφα συστήματα, θα πρέπει οι αποκρίσεις πλάτους, φάσης, και καθυστέρησης ομάδας να είναι οι αντίστροφες απ αυτές του Παραδείγματος. Πράγματι, για r =.86 και θ =.955, έχουμε τις αποκρίσεις του Σχήματος (5). Magnitude for two conjugate zeros Magnitude Frequency (ω) Phase for two conjugate zeros Radians Frequency (ω) Group Delay for two conjugate zeros Samples Frequency (ω) Σχήμα 5: Φάσμα Πλάτους, Φάσμα Φάσης, και Καθυστέρηση Ομάδας Συστήματος Δεύτερης Τάξης με δυο συζυγή μηδενικά. Ολη η παραπάνω συζήτηση μας υποδεικνύει ότι όταν ενας πόλος είναι κοντά στο μοναδιαιο κύκλο, το πλάτος αυξάνεται γρήγορα ενώ η φάση μικραίνει γρήγορα όταν περνάμε κοντά απ αυτον τον πόλο. Ομοια, όταν ένα μηδενικό είναι κοντά στο μοναδιαιο κύκλο, το πλάτο μειώνεται γρήγορα, ενώ η φάση μεγαλώνει γρήγορα όταν περνάμε κοντά απ αυτό το μηδενικό. Επειδή η καθυστέρηση ομάδας (group delay) είναι η αρνητική παράγωγος της φάσης, αυτό σημαίνει ότι η καθυστέρηση ομάδας είναι μεγάλη και θετική κοντά σε έναν πόλο, και μεγάλη και αρνητική κοντά σε ένα μηδενικό. :-) Φυσικά, όλη αυτή η γεωμετρική ανάλυση και η ακρίβειά της δυσκολεύει όσο μεγαλώνει ο αριθμός των πόλων και των μηδενικών.

24 4 Σχέση Πλάτους και Φάσης Μετά από όλη αυτή τη συζήτηση περί φασμάτων πλάτους και φάσης ενός ΓΧΑ συστήματος, θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί: υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ φάσματος πλάτους και φάσματος φάσης; Μπορεί να βρεθεί το ένα από το άλλο, μονοσήμαντα; Κι αν ναι, πότε; Κατ αρχάς πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι οι ερωτήσεις αυτές είναι ενδιαφέρουσες. :-) Επειτα, ας προσπαθήσουμε να μελετήσουμε αν κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί - η απάντηση θα είναι έκπληξη στο τέλος ;-). Εν γένει, το φάσμα πλάτους δε μας δίνει κάποια πληροφορία για το φάσμα φάσης, και το αντίστροφο. Ομως, αν γνωρίζουμε πόσους πόλους και πόσα μηδενικά έχει ένα σύστημα, καθώς και την απόκριση πλάτους H(e jω ), τότε έχουμε πεπερασμένου πλήθους επιλογές για τη φάση. Ομοια ακριβώς, αν γνωρίζουμε πόσους πόλους και πόσα μηδενικά έχει ένα σύστημα, καθώς και την απόκριση φάσης H(e jω ), τότε έχουμε πεπερασμένου πλήθους επιλογές για την απόκριση πλάτους! Κι ακόμα, αν το σύστημα έχει έναν περιορισμό ο οποίος ονομάζεται ελάχιστη φάση - minimum phase, τότε μπορεί μονοσήμαντα να οριστεί η φάση από το φάσμα πλάτους, ενώ και η φάση μπορεί να ορίσει το φάσμα πλάτους σχεδόν μονοσήμαντα (με διαφορά μιας σταθεράς)! Ας δούμε αρχικά γιατί δεν μπορεί να οριστεί μονοσήμαντα η συνάρτηση μεταφοράς από το φάσμα πλάτους. Η μελέτη μας θα γίνει μέσω διαγραμμάτων πόλων-μηδενικών, αφού στην ουσία μέσω της γνώσης αυτών ορίζεται (σχεδόν μονοσήμαντα) η συνάρτηση μεταφοράς H(z). Ας εκφράσουμε το H(e jω ) ως H(e jω ) = H(e jω )H (e jω ) = H(z)H (/z ) (95) z=e jω Αυτό σημαίνει ότι το τετράγωνο της απόκρισης πλάτους είναι η εκτίμηση επάνω στο μοναδιαίο κύκλο του μετασχ. Ζ ( C(z) = H(z)H (/z b ) M k= ) = ( b kz )( b k z) a N k= ( a kz )( a k z) (96) αν θεωρήσουμε ότι η H(z) είναι μια ρητή συνάρτηση μεταφοράς, όπως την έχουμε δει τόσες φορές, δηλ. H(z) = b a N k= ( b kz ) M k= ( a kz ) (97) και άρα H (/z ) = b N k= ( b k z) a M k= ( a k z) (98) Άρα αν μας δωθεί το H(e jω ), αν αντικαταστήσουμε z = e jω, μπορούμε να βρούμε το C(z) = H(z)H (/z ). Από το C(z) θέλουμε να μάθουμε όσα μπορούμε περισσότερα για το H(z). Παρατηρώντας τη Σχέση (96), βλέπουμε ότι για κάθε πόλο a k του H(z), έχουμε έναν πόλο a k κι έναν πόλο (a k ) στο C(z). Αντίστοιχα, βλέπουμε ότι για κάθε μηδενικό b k του H(z), έχουμε ένα μηδενικό b k κι ένα μηδενικό (b k ) στο C(z). Αυτό μας δείχνει ότι οι πόλοι και τα μηδενικά έρχονται σε συζυγή αμοιβαία ζεύγη 4 στο C(z). Παρατηρήστε ότι το ένα στοιχείο ενός αμοιβαίου συζυγούς ζεύγους σχετίζεται με το H(z), ενώ το άλλο με το H (/z ). Επιπλέον, αν το ένα στοιχείο του ζεύγους βρίσκεται εντός του μοναδιαίου κύκλου, τότε το άλλο βρίσκεται εκτός (στην αμοιβαία συζυγή θέση) 5. Αν υποθέσουμε ότι το H(z) είναι ευσταθές και αιτιατό, τότε όλοι οι πόλοι του θα είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου. Με αυτόν τον περιορισμό, μας είναι εύκολο να ξεχωρίσουμε τους πόλους του H(z) από το C(z). Ομως χωρίς να ξέρουμε τίποτα για τα μηδενικά, δεν μπορούμε να βρούμε τα μηδενικά του H(z) από το C(z), κι έτσι να ορίσουμε μονοσήμαντα το H(z). Ας το δούμε αυτό σε ένα παράδειγμα. 4 Συζυγές αμοιβαίο θα λέμε το ζεύγος πόλων ή μηδενικών που τα στοιχεία του ζεύγους βρίσκονται σε θέσεις z = re jθ το ένα και z = r ejθ το άλλο. 5 Εκτος κι αν βρίσκονται στην ίδια θέση, επάνω στο μοναδιαίο κύκλο. 4

25 Παράδειγμα Εστω δυο ευσταθή συστήματα με συναρτήσεις μεταφοράς H (z) = H (z) = ( z )( +.5z ) (.8e jπ/4 z )(.8e jπ/4 z ) ( z )( + z ) (.8e jπ/4 z )(.8e jπ/4 z ) (99) () Τα διαγράμματα πόλων-μηδενικών των δυο αυτών συστημάτων φαίνονται στο Σχήμα (6). Ας σχηματίσουμε Σχήμα 6: Διαγράμματα πόλων-μηδενικών των H (z) και H (z) αντίστοιχα. το C(z) για κάθε σύστημα. Είναι C (z) = ( z )( +.5z ) ( z)( +.5z) (.8e jπ/4 z )(.8e jπ/4 z ) (.8e jπ/4 z(.8e jπ/4 z) C (z) = ( z )( + z ) ( z)( + z) (.8e jπ/4 z )(.8e jπ/4 z ) (.8e jπ/4 z)(.8e jπ/4 z) Ομως ο αριθμητής του C (z) είναι () () 4( +.5z )( +.5z)( z )( z) = ( + z )( + z)( z )( z) () δηλ. ίσος με τον αριθμητή του C (z). Οι παρονομαστές είναι επίσης ίδιοι, άρα τελικά C (z) = C (z), με διάγραμμα πόλων-μηδενικών όπως στο Σχήμα (7)! Οι συναρτήσεις μεταφοράς H (z), H (z) στο παραπάνω παράδειγμα διαφέρουν μόνο στη θέση των μηδενικών. Στο παράδειγμα αυτό, ο όρος ( +.5z ) = (z + ) συνεισφέρει το ίδιο στο τετράγωνο της απόκρισης πλάτους με τον όρο ( + z ), και κατά συνέπεια, οι αποκρίσεις πλάτους H (e jω ) και H (e jω ) είναι ίσες. Ομως, οι αποκρίσεις φάσεις αυτών των δυο φασματικών αποκρίσεων είναι διαφορετικές. Οπότε καταλαβαίνουμε ότι ένα συγκεκριμένο C(z) δεν μπορεί να αντιστοιχιστεί μονοσήμαντα σε ένα H(z), ή με άλλα λόγια, δεν μπορούμε μονοσήμαντα να βρούμε το H(z) από το C(z). 5

26 Σχήμα 7: Διάγραμμα πόλων-μηδενικών του C (z) = C (z). Κάποιος θα μπορούσε όμως να πει ότι υπάρχουν πεπερασμένες επιλογές για τα πιθανά H(z) που μπορούν να προκύψουν από ένα δεδομένο C(z), οπότε ίσως αυτές οι επιλογές - αν βρεθούν - να αρκούν. Ας δούμε αν είναι έτσι. Παράδειγμα Εστω ότι μας δίνουν ένα διάγραμμα πόλων-μηδενικών για το C(z), όπως στο Σχήμα (8). Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τους πόλους και τα μηδενικά του H(z). Γνωρίζουμε ότι οι πόλοι και τα μηδενικά που αποτελούν στοιχεία συζυγών αμοιβαίων ζευγών θα ανήκουν το ένα στο H(z) και το άλλο στο H (/z ). Τα ζεύγη αυτά είναι: P P := (p, p 4 ) (4) P P := (p, p 5 ) (5) P P := (p, p 6 ) (6) ZP := (z, z 4 ) (7) ZP := (z, z 5 ) (8) ZP := (z, z 6 ) (9) με P P x τα ζεύγη πόλων και ZP x τα ζεύγη μηδενικών. Προφανώς αν δεν έχουμε καμία άλλη πληροφορία για το H(z), υπάρχουν πολλοί τρόποι να αντιστοιχίσουμε πόλους και μηδενικά σε αυτό. Αν όμως γνωρίζουμε ότι το H(z) είναι ευσταθές και αιτιατό, τότε ξέρουμε ότι οι πόλοι που θα διαλέξουμε από κάθε ζεύγος P P x θα πρέπει να είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου. Άρα επιλέγουμε τους p, p, p. Ομως δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για τα μηδενικά όταν μιλάμε για ευσταθή και αιτιατά συστήματα. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές c k, d k της εξίσωσης διαφορών που περιγράφει το σύστημα H(z) είναι πραγματικοί. Αυτό σημαίνει ότι οι πόλοι και τα μηδενικά έρχονται σε συζυγή ζεύγη ή είναι πραγματικοί αριθμοί. Με αυτόν τον περιορισμό, τα μηδενικά (τους πόλους τους διαλέξαμε ήδη) του H(z) μπορούν να 6

27 Σχήμα 8: Διάγραμμα πόλων-μηδενικών του C(z). είναι: z ή z 6 () (z, z ) ή (z 4, z 5 ) () Ετσι, έχουμε συνολικά τέσσερα διαφορετικά συστήματα H i (z), i =,,, 4 που είναι ευσταθή και αιτιατά, με πραγματικούς συντελεστές, και τρεις πόλους και τρια μηδενικά το καθένα, των οποίων το διάγραμμα πόλων-μηδενικών του C(z) τους είναι αυτό του Σχήματος (8), και κατά συνέπεια, το φάσμα πλάτους τους, H i (e jω ) είναι το ίδιο για όλα. Φαίνεται ως τώρα λοιπόν ότι ακόμα κι αν δε γνωρίζουμε πόσους πόλους ή πόσα μηδενικά έχει ένα σύστημα H(z), μπορούμε να βρούμε πεπερασμένου πλήθους H i (z) από ένα δοθέν C(z), αν υποθεσουμε κάποια πράγματα για την ευστάθεια ή αιτιατότητα ή αν έχουμε κάποια άλλη πληροφορία, τα οποία όλα να έχουν ίδιο φάσμα πλάτους H i (e jω ) αλλά διαφορετικό φάσμα φάσης arg[h i (e jω ]. Άρα μήπως απαντήσαμε στο αρχικό μας ερώτημα μπορώ να βρω γενικά το H(z), και άρα το H(e jω ), από το C(z) = H(z) ; Η απάντησή μας ως τώρα είναι Ναι, αλλά όχι μονοσήμαντα, υπάρχουν όμως πεπερασμένου πλήθους συστήματα που έχουν ίδιο H(e jω ). Κάτι είναι κι αυτό, αν ισχύει. :-) Προσέξτε - δυστυχώς :-( - όμως το εξής. Αν ένα H(z) από αυτά τα τέσσερα που βρήκαμε έχει έναν όρο της μορφής δηλ. μπορεί να γραφεί ως H ap (z) = z a az () H(z) = H (z)h ap (z) = H (z) z a az () 7

28 τότε αν βρούμε το C(z) ξανά, είναι γιατί C(z) = H(z)H (/z ) = H (z) z a az ( H (/z ) z a H ap (z)h ap(/z ) = az ) = H (z)h (/z ) (4) ( z a ) ( z a ) az az = z a z a a z az = a z az + a az a z + a = (5) Αυτο τι σημαίνει;; Σημαίνει ότι το H(z) και H (z) έχουν το ίδιο C(z), και άρα το ίδιο H(e jω )! Αυτό συμβαίνει γιατί ο όρος H ap (z) ακυρώνεται στο C(z), λόγω της παρουσίας του όρου H ap(/z ) = z a a z (6) και άρα ο πόλος z = /a και το μηδενικό z = a του H ap (z) δεν εμφανίζονται ποτέ στο διάγραμμα πόλωνμηδενικών του C(z)!! Ετσι, αν ο αριθμός των πόλων και των μηδενικών του H(z) δε μας ειναι γνωστός, δεδομένου ενός C(z), υπάρχουν άπειρες επιλογές H(z), γιατί για κάθε ένα H(z) που μπορεί κανείς να βρει, μπορεί να θεωρήσει ότι υπάρχουν άπειροι όροι της μορφής H ap (z) = z a az (7) πολλαπλασιασμένοι με το H(z) που βρέθηκε, οι οποίοι δε φαίνονται στο διάγραμμα πόλων-μηδενικών του C(z), λόγω της ακύρωσής τους με τους πόλους και τα μηδενικά του όρου H ap(/z ) = z a a z (8) Το ενδιαφέρον στην υπόθεση είναι ότι αυτοί οι όροι H ap (z) έχουν μοναδιαία απόκριση πλάτους, όπως θα δούμε σύντομα, δηλ. H ap (e jω ) =, ω (9) Είναι αρκετά εύκολο να το δείξετε. Άρα όλα αυτά τα διαφορετικά H i (z) που μπορούν να βρεθούν λόγων των διαφορετικών H ap (z) που μπορεί να υπάρχουν ως όροι τους, θα έχουν φασματική απόκριση H(e jω ) με ίδιο πλάτος αλλά με διαφορετική φάση το καθένα, λόγω της επίδρασης της φάσης του όρου H ap (z) 6. Οπότε τελικά, η απάντηση στο ερώτημα μπορώ να βρω γενικά το H(z), και άρα το H(e jω ), από το C(z) = H(z) ; είναι ΟΧΙ, δεν μπορεί να βρεθεί μονοσήμαντα το H(z) από το C(z), υπάρχουν άπειρες πιθανές επιλογές για το H(z), οι οποίες γίνονται πεπερασμένες αν γνωρίζουμε το πλήθος των πόλων και των μηδενικών του H(z). Φυσικά, αυτοί οι περίφημοι όροι H ap (z) δε θα μπορούσαν να μην έχουν το δικό τους όνομα. Τέτοια συστήματα ονομάζονται all-pass συστήματα, και θα τα μελετήσουμε αμέσως τώρα. 6 Του οποιου τη φάση δεν έχουμε μελετήσει αλλά σας λέμε τώρα ότι είναι μη μηδενική :-) 8

29 5 All-pass Συστήματα Ενα all-pass σύστημα (όπως προδίδει και το όνομά του :-) ) έχει απόκριση σε συχνότητα που έχει σταθερο πλάτος, δηλ. H(e jω ) =, ω () δηλ. ένα all-pass σύστημα αφήνει αμετάβλητο το πλάτος του σήματος που δέχεται στην είσοδό του. Αυτή η ιδιότητα επιβάλλει τον περιορισμό στους πόλους και τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς να βρίσκονται σε συζυγή αμοιβαια ζευγη: H(z) = N k= z a k a k z () Ετσι, αν το H(z) έχει έναν πόλο στη θέση z = a k, πρέπει να εχει κι ένα μηδενικό στη συζυγή αμοιβαια θέση z = /a k. Αν η h[n] είναι πραγματική, οι μιγαδικές ρίζες στην παραπάνω σχέση έρχονται σε συζυγή ζευγη, και αν συνδυάσουμε αυτά τα ζευγη για να πάρουμε παράγοντες δευτερης τάξης, θα έχουμε H(z) = A N k= z b k b k z N k= (z d k )(z d k ) ( d k z )( d k z ) () με συντελεστές b k πραγματικούς και d k μιγαδικούς, και τη σταθερά A πραγματικό αριθμό. Αν ένα all-pass σύστημα ειναι ευσταθές και αιτιατο, έχει προφανώς ολους τους πόλους του εντος του μοναδιαίου κύκλου, a k <. Η απόκριση φάσης για ένα τέτοιο φίλτρο πρώτης τάξης είναι της μορφής [ e jω a ] [ e jω re jθ ] ae jω = re jθ e jω = ω tan r sin(ω θ) r cos(ω θ) ενώ για ένα δευτέρας τάξης με πόλους στις θέσεις z = re jθ και z = re jθ, είναι [ (e jω re jθ )(e jω re jθ ) ] ( re jθ e jω )( re jθ e jω ) = ω tan r sin(ω θ) r cos(ω θ) tan r sin(ω + θ) r cos(ω + θ) () (4) Ενα αιτιατό all-pass σύστημα έχει καθυστέρηση ομάδας που εναι μη-αρνητική για κάθε ω. Αυτό γιατι για ένα πρώτης τάξης all-pass συστημα της μορφης H(z) = z a az (5) με a = re jθ, r <, η καθυστέρηση ομάδας δινεται από (δειξτε το αναλυτικά! :-) ) grd[h(e jω )] = r re jθ e jω = r + r r cos(ω θ) (6) Ετσι, για r <, συνεπάγεται ότι grd[h(e jω )]. Αυτό όμως μας δίνει μια πολύ σημαντική ιδιότητα των αιτιατών συστημάτων all-pass: ότι η απόκριση φάσης είναι αρνητική. Ας το δείξουμε. Η φάση δίνεται ως ω arg[h ap (e jω )] = grd[h ap (e jφ )]dφ + arg[h ap (e j )] (7) για ω π. Ομως μπορούμε να δείξουμε από τη Σχέση () ότι H ap (e j ) = A N k= b k b k 9 N k= d k d k = A (8)